---
title: "Som e acústica"
book: "Física do ensino médio"
subject: physics
language: pt
chapter: 21
exercises: 15
source: https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/21-som-e-acustica
---

# Capítulo 21 — Som e acústica

Toque a corda grave de um violão: a sala se enche de um lá grave e, ainda assim, nada viajou até o seu ouvido além de ar comprimido e esticado. Este capítulo acompanha esse padrão — a velocidade dele, como a [frequência](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/8-sinais-e-ondas#def-g10-signals-and-waves-frequency) vira [altura](#def-g12-sound-acoustics-pitch-loudness) e a [potência](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/17-trabalho-de-uma-forca#def-g11-work-of-force-power) vira intensidade sonora, e por que uma mesma nota soa diferente em cada instrumento.

## 21.1 O som é uma onda de pressão

**Definição 21.1 (Onda sonora).**

Uma *onda sonora* é uma [onda mecânica](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/20-ondas-mecanicas#def-g12-mechanical-waves-wave) de [pressão](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/7-pressao-do-esporte-ao-mergulho#def-g10-pressure-pressure) ([Capítulo 20](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/20-ondas-mecanicas#ch-g12-mechanical-waves)): uma superfície que vibra cria *compressões* (uma leve sobrepressão) e *rarefações* (subpressão) que viajam. As porções de ar oscilam *ao longo* da direção de propagação (o [som](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/8-sinais-e-ondas#def-g10-signals-and-waves-sound) é *longitudinal*), e um meio é indispensável: um sino sob uma campânula de vácuo emudece ([Capítulo 8](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/8-sinais-e-ondas#ch-g10-signals-and-waves)).

![Um alto-falante gera uma onda longitudinal: as porções de ar se agrupam em compressões separadas por um comprimento de onda = v/f.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g12-sound-acoustics/fig-ef52588115c2.svg)

*Um alto-falante gera uma [onda longitudinal](#def-g12-sound-acoustics-sound-wave): as porções de ar se agrupam em [compressões](#def-g12-sound-acoustics-sound-wave) separadas por um [comprimento de onda](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/20-ondas-mecanicas#def-g12-mechanical-waves-wavelength) $\lambda = v/f$.*

**Proposição 21.2 (Velocidade do som).**

O [som](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/8-sinais-e-ondas#def-g10-signals-and-waves-sound) viaja a cerca de $340\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ no ar a $20{}^{\circ}\mathrm{C}$, $1500\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ na água e $5000\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ no aço: quanto mais rígido o meio, mais rápido.

**Demonstração.** *Admitido neste nível.* ∎

**Observação 21.3 (Ar quente é mais rápido).**

Esses são valores medidos; prevê-los é assunto do volume do primeiro ano de graduação. O [som](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/8-sinais-e-ondas#def-g10-signals-and-waves-sound) fica mais rápido em ar mais quente ($331\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ a $0{}^{\circ}\mathrm{C}$) — e é por isso que os sopros desafinam à medida que a sala esquenta.

**Exemplo 21.4 (Os tamanhos dos sons).**

A relação $\lambda = v/f$ dimensiona qualquer [som](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/8-sinais-e-ondas#def-g10-signals-and-waves-sound): no ar, um ronco de $20\,\mathrm{Hz}$ ocupa $340/20 = 17\,\mathrm{m}$ — um prédio — e um chiado de $20\,\mathrm{kHz}$ cabe em $1.7\,\mathrm{cm}$; os do tamanho de um [metro](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/1-ordens-de-grandeza-medir-o-universo#def-g10-orders-of-magnitude-unit) contornam portas e esquinas com facilidade.

## 21.2 Altura, intensidade sonora e o ouvido

**Definição 21.5 (Altura e intensidade sonora).**

A *altura* é a [percepção](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/11-cor-e-fontes-de-luz#def-g11-color-light-sources-perception) da [frequência](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/8-sinais-e-ondas#def-g10-signals-and-waves-frequency): quanto maior $f$, mais aguda a nota; o lá de concerto vale $440\,\mathrm{Hz}$, e dobrar $f$ sobe a nota uma oitava. A *intensidade sonora* é a [percepção](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/11-cor-e-fontes-de-luz#def-g11-color-light-sources-perception) da [amplitude](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/8-sinais-e-ondas#def-g10-signals-and-waves-amplitude): quanto mais forte a oscilação de [pressão](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/7-pressao-do-esporte-ao-mergulho#def-g10-pressure-pressure), mais alto o [som](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/8-sinais-e-ondas#def-g10-signals-and-waves-sound); a amplificação muda a intensidade, e não a altura.

**Observação 21.6 (A janela do ouvido).**

A audição cobre de cerca de $20\,\mathrm{Hz}$ a $20\,\mathrm{kHz}$ ([Capítulo 8](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/8-sinais-e-ondas#ch-g10-signals-and-waves)); abaixo está o [infrassom](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/8-sinais-e-ondas#def-g10-signals-and-waves-ultrasound), acima o [ultrassom](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/8-sinais-e-ondas#def-g10-signals-and-waves-ultrasound) — morcegos a $50\,\mathrm{kHz}$, sondas médicas em megahertz. Um piano amostra só o meio: $27.5\text{ to }4186\,\mathrm{Hz}$.

## 21.3 Intensidade sonora e a escala de decibéis

**Definição 21.7 (Intensidade sonora).**

A *intensidade sonora* $I$ é a [potência](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/17-trabalho-de-uma-forca#def-g11-work-of-force-power) acústica que atravessa um [metro](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/1-ordens-de-grandeza-medir-o-universo#def-g10-orders-of-magnitude-unit) quadrado voltado para a [onda](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/8-sinais-e-ondas#def-g10-signals-and-waves-wave): $I = P/S$, em $\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$. O [som](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/8-sinais-e-ondas#def-g10-signals-and-waves-sound) audível mais fraco tem cerca de $I_0 = 1.0 \times 10^{-12}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$; a dor começa perto de $1\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$.

**Proposição 21.8 (Atenuação em inverso do quadrado).**

Uma fonte pequena que irradia uma [potência](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/17-trabalho-de-uma-forca#def-g11-work-of-force-power) $P$ igualmente em todas as direções dá, à distância $r$, $I = P/(4\pi r^2) \propto 1/r^2$: dobrar a distância divide a intensidade por quatro.

**Demonstração.** Toda a [potência](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/17-trabalho-de-uma-forca#def-g11-work-of-force-power) $P$ atravessa a esfera de área $4\pi r^2$; divida. ∎

**Definição 21.9 (Nível sonoro).**

O ouvido cobre doze potências de dez, e por isso as intensidades são dadas em escala logarítmica. O *nível sonoro* de $I$ é

$$
L = 10 \log_{10}(I/I_0), \qquad I_0 = 1.0 \times 10^{-12}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2},
$$

em *decibéis* ($\mathrm{dB}$): limiar de audição em $0\,\mathrm{dB}$, dor perto de $120\,\mathrm{dB}$.

**Proposição 21.10 (Aritmética dos decibéis).**

Multiplicar $I$ por $k$ acrescenta $10\log_{10}k$ [decibéis](#def-g12-sound-acoustics-level). Em particular, $\times 10$ acrescenta $10\,\mathrm{dB}$; $\times 2$ acrescenta $10\log_{10}2 \approx 3.0\,\mathrm{dB}$; $N$ fontes idênticas e incoerentes somam *intensidades*, nunca níveis, resultando em $L_1 + 10\log_{10}N$; e dobrar a distância a uma fonte pequena ($I$ dividida por quatro) retira cerca de $6.0\,\mathrm{dB}$.

**Demonstração.** $10\log_{10}(kI/I_0) = 10\log_{10}(I/I_0) + 10\log_{10}k$; para a distância, use a [Proposição 21.8](#prop-g12-sound-acoustics-inverse-square) com $k = 1/4$. ∎

**Método 21.11 (Trabalhar em decibéis).**

1. $L = 10\log_{10}(I/I_0)$ ; de volta: $I = I_0 \times 10^{L/10}$ .
2. Nunca some níveis: converta em intensidades, some e converta de volta — ou use $+3\,\mathrm{dB}$ por duplicação e $+10\,\mathrm{dB}$ por fator dez.
3. Cada duplicação da distância a uma fonte pequena custa $6\,\mathrm{dB}$ .

![Uma escada de níveis do dia a dia: cada degrau de 20\, dB é um salto de cem vezes na intensidade; acima de 85\, dB (zona vermelha) a exposição danifica a audição.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g12-sound-acoustics/fig-540693ea75bf.svg)

*Uma escada de níveis do dia a dia: cada degrau de $20\,\mathrm{dB}$ é um salto de cem vezes na intensidade; acima de $85\,\mathrm{dB}$ (zona vermelha) a exposição danifica a audição.*

**Observação 21.12 (Danos à audição).**

A perda auditiva é uma [dose](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/19-o-nucleo-e-a-radioatividade#rem-g11-nucleus-radioactivity-dose): $85\,\mathrm{dB}$ é seguro por oito horas, e cada $3\,\mathrm{dB}$ a mais — uma duplicação de intensidade — reduz o tempo seguro à metade; as células ciliadas perdidas não voltam a crescer.

## 21.4 Timbre e harmônicos

**Definição 21.13 (Harmônicos).**

Um [som](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/8-sinais-e-ondas#def-g10-signals-and-waves-sound) [periódico](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/8-sinais-e-ondas#def-g10-signals-and-waves-period) de [frequência](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/8-sinais-e-ondas#def-g10-signals-and-waves-frequency) $f_1$ — a *fundamental* — é, em geral, uma soma de senoides nas [frequências](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/8-sinais-e-ondas#def-g10-signals-and-waves-frequency) $f_n = n f_1$, com $n = 1, 2, 3, \dots$, os seus *harmônicos*. Um [som](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/8-sinais-e-ondas#def-g10-signals-and-waves-sound) reduzido à sua fundamental é um *som puro*, como o de um diapasão.

**Definição 21.14 (Espectro e timbre).**

O *espectro* de um [som](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/8-sinais-e-ondas#def-g10-signals-and-waves-sound) é o diagrama de barras dos seus [harmônicos](#def-g12-sound-acoustics-harmonics): uma barra por $f_n$, com [altura](#def-g12-sound-acoustics-pitch-loudness) igual à intensidade daquele [harmônico](#def-g12-sound-acoustics-harmonics). O ouvido escuta $f_1$ como a [altura](#def-g12-sound-acoustics-pitch-loudness) da nota e a *mistura* de intensidades como o *timbre* — a cor do [som](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/8-sinais-e-ondas#def-g10-signals-and-waves-sound): instrumentos que tocam a mesma nota compartilham $f_1$ e diferem apenas nos espectros.

![O mesmo lá (220\, Hz): formas de onda (em cima) e espectros (embaixo) — mesma fundamental e mesma altura; a escada de harmônicos do violino é o timbre dele.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g12-sound-acoustics/fig-baf30ecd2148.svg)

*O mesmo lá ($220\,\mathrm{Hz}$): formas de [onda](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/8-sinais-e-ondas#def-g10-signals-and-waves-wave) (em cima) e [espectros](#def-g12-sound-acoustics-timbre) (embaixo) — mesma [fundamental](#def-g12-sound-acoustics-harmonics) e mesma [altura](#def-g12-sound-acoustics-pitch-loudness); a escada de [harmônicos](#def-g12-sound-acoustics-harmonics) do violino é o [timbre](#def-g12-sound-acoustics-timbre) dele.*

**Exemplo 21.15 (Por que você reconhece quem liga).**

O lá de uma flauta é quase um [som puro](#def-g12-sound-acoustics-harmonics); um violino que toque com o arco os mesmos $220\,\mathrm{Hz}$ acrescenta [harmônicos](#def-g12-sound-acoustics-harmonics) fortes em $440\,\mathrm{Hz}\text{, }660\,\mathrm{Hz}\text{ and }880\,\mathrm{Hz}$. Mesma [altura](#def-g12-sound-acoustics-pitch-loudness) e mesma intensidade e, ainda assim, ninguém os confunde: uma voz também é um [espectro](#def-g12-sound-acoustics-timbre) que você conhece de cor.

## 21.5 A corda que vibra

**Definição 21.16 (Onda estacionária).**

Uma [onda](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/8-sinais-e-ondas#def-g10-signals-and-waves-wave) confinada entre as extremidades fixas de uma corda pode se acomodar numa *onda estacionária*: uma oscilação no lugar, com pontos imóveis — os *nós* — alternando com pontos de oscilação máxima — os *ventres*. Nada mais viaja; a corda vibra num padrão fixo.

**Proposição 21.17 (Modos de uma corda).**

Uma corda de comprimento $L$, fixa nas duas pontas e percorrida por [ondas](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/8-sinais-e-ondas#def-g10-signals-and-waves-wave) de velocidade $v$, vibra de modo estável apenas em padrões que encaixam um número inteiro $n$ de meios [comprimentos de onda](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/20-ondas-mecanicas#def-g12-mechanical-waves-wavelength) entre os [nós](#def-g12-sound-acoustics-standing-wave) impostos nas extremidades:

$$
\lambda_n = \frac{2L}{n}, \quad f_n = n\,\frac{v}{2L} = n f_1, \quad n = 1, 2, 3, \dots
$$

O modo mais baixo, $f_1 = v/(2L)$, é a [fundamental](#def-g12-sound-acoustics-harmonics); os outros são exatamente os [harmônicos](#def-g12-sound-acoustics-harmonics) dela.

**Demonstração.** *Admitido neste nível.* ∎

**Observação 21.18 (Onde mora a demonstração honesta).**

Que as [ondas](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/8-sinais-e-ondas#def-g10-signals-and-waves-wave) confinadas escolhem exatamente esses modos decorre da superposição da [onda](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/8-sinais-e-ondas#def-g10-signals-and-waves-wave) com as suas reflexões, um cálculo feito no volume do primeiro ano de graduação. A geometria convence: as duas pontas têm de permanecer paradas, de modo que um número inteiro de meios [comprimentos de onda](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/20-ondas-mecanicas#def-g12-mechanical-waves-wavelength) precisa caber ali.

![Os três primeiros modos de uma corda fixa nas duas pontas: n meios comprimentos de onda cabem em L, de modo que _n = 2L/n e f_n = nf_1.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g12-sound-acoustics/fig-d7cc284084d2.svg)

*Os três primeiros modos de uma corda fixa nas duas pontas: $n$ meios [comprimentos de onda](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/20-ondas-mecanicas#def-g12-mechanical-waves-wavelength) cabem em $L$, de modo que $\lambda_n = 2L/n$ e $f_n = nf_1$.*

**Exemplo 21.19 (A corda lá de um violino).**

A corda lá de um violino tem $L = 32.8\,\mathrm{cm}$ e soa $f_1 = 440\,\mathrm{Hz}$: as [ondas](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/8-sinais-e-ondas#def-g10-signals-and-waves-wave) correm por ela a $v = 2Lf_1 = 2 \times 0.328 \times 440 \approx 289\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ — fixada pela tensão e pela massa, e afinada pela cravelha. Pressionar um dedo encurta $L$ e eleva todos os $f_n$ de uma vez: o [espectro](#def-g12-sound-acoustics-timbre) inteiro desliza para cima.

**Observação 21.20 (Por que os instrumentos diferem).**

O modo de excitar a corda — dedilhada, com arco, percutida — fixa quanto de cada modo está presente, e o corpo do instrumento amplifica uns [harmônicos](#def-g12-sound-acoustics-harmonics) mais do que outros; excitação e corpo fixam o [espectro](#def-g12-sound-acoustics-timbre), e por isso o mesmo $f_1$ sai de um violão, de um violino e de um piano soando como cada um deles.

## 21.6 Exercícios

**Exercício 21.1 ★.**

No ar ($v = 340\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$), encontre o [comprimento de onda](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/20-ondas-mecanicas#def-g12-mechanical-waves-wavelength) (a) de uma nota grave de $55\,\mathrm{Hz}$; (b) de um bipe de $1.0\,\mathrm{kHz}$; (c) de um zumbido de $15\,\mathrm{kHz}$. Compare o maior com o menor.

**Solução de Exercício 21.1.**

$\lambda = v/f$: (a) $340/55 \approx 6.2\,\mathrm{m}$; (b) $0.34\,\mathrm{m}$; (c) $2.3\,\mathrm{cm}$. Razão $15000/55 \approx 270$.

**Exercício 21.2 ★.**

Classifique como [infrassom](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/8-sinais-e-ondas#def-g10-signals-and-waves-ultrasound), [som](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/8-sinais-e-ondas#def-g10-signals-and-waves-sound) audível ou [ultrassom](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/8-sinais-e-ondas#def-g10-signals-and-waves-ultrasound): $8\,\mathrm{Hz}$; $100\,\mathrm{Hz}$; $15\,\mathrm{kHz}$; $40\,\mathrm{kHz}$; $3\,\mathrm{MHz}$. Entre os audíveis, qual soa mais grave?

**Solução de Exercício 21.2.**

[Infrassom](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/8-sinais-e-ondas#def-g10-signals-and-waves-ultrasound): $8\,\mathrm{Hz}$. Audíveis: $100\,\mathrm{Hz}$ e $15\,\mathrm{kHz}$. [Ultrassom](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/8-sinais-e-ondas#def-g10-signals-and-waves-ultrasound): $40\,\mathrm{kHz}$ e $3\,\mathrm{MHz}$. Mais grave: $100\,\mathrm{Hz}$ ([frequência](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/8-sinais-e-ondas#def-g10-signals-and-waves-frequency) menor).

**Exercício 21.3 ★.**

Um operário bate num trilho a $1.0\,\mathrm{km}$ de distância. Calcule os tempos de percurso no aço e no ar. O que escuta quem tem um ouvido encostado no trilho?

**Solução de Exercício 21.3.**

Aço: $1000/5000 = 0.20\,\mathrm{s}$; ar: $1000/340 \approx 2.9\,\mathrm{s}$. Duas batidas, a $2.7\,\mathrm{s}$ uma da outra — a do trilho primeiro.

**Exercício 21.4 ★.**

(a) Qual é o [nível sonoro](#def-g12-sound-acoustics-level) para $I = 1.0 \times 10^{-5}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$? (b) Qual é a intensidade a $60\,\mathrm{dB}$? (c) Cite um [som](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/8-sinais-e-ondas#def-g10-signals-and-waves-sound) do dia a dia perto de cada nível.

**Solução de Exercício 21.4.**

(a) $L = 10\log_{10}10^{7} = 70\,\mathrm{dB}$. (b) $I = 10^{-12} \times 10^{6} = 1.0 \times 10^{-6}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$. (c) $70\,\mathrm{dB}$: um aspirador de pó; $60\,\mathrm{dB}$: uma conversa.

**Exercício 21.5 ★.**

A corda sol de um violino soa $f_1 = 196\,\mathrm{Hz}$: dê os três [harmônicos](#def-g12-sound-acoustics-harmonics) seguintes. Por que um apito de $12\,\mathrm{kHz}$, por mais rico que seja na fonte, chega ao ouvido como um [som puro](#def-g12-sound-acoustics-harmonics)?

**Solução de Exercício 21.5.**

$392\,\mathrm{Hz}\text{, }588\,\mathrm{Hz}\text{ and }784\,\mathrm{Hz}$. Os [harmônicos](#def-g12-sound-acoustics-harmonics) mais altos dele ($n \ge 2$) começam em $24\,\mathrm{kHz}$, acima do teto audível: só a [fundamental](#def-g12-sound-acoustics-harmonics) de $12\,\mathrm{kHz}$ é escutada.

**Exercício 21.6 ★★.**

Uma sirene irradia $P = 0.50\,\mathrm{W}$ igualmente em todas as direções. Calcule a intensidade e o [nível sonoro](#def-g12-sound-acoustics-level) a $5.0\,\mathrm{m}$.

**Solução de Exercício 21.6.**

$I = 0.50/(4\pi \times 25) \approx 1.6 \times 10^{-3}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$; $L = 10\log_{10}(1.6 \times 10^{9}) \approx 92\,\mathrm{dB}$.

**Exercício 21.7 ★★.**

Um violino dá $68\,\mathrm{dB}$ na sua poltrona. Que nível dão dois? E quatro? Quantos violinos seriam necessários para chegar a $78\,\mathrm{dB}$?

**Solução de Exercício 21.7.**

Dois: $+3\,\mathrm{dB} \to 71\,\mathrm{dB}$; quatro: $74\,\mathrm{dB}$. $+10\,\mathrm{dB}$ exige $\times 10$ na intensidade: $10$ violinos.

**Exercício 21.8 ★★.**

O nível é de $95\,\mathrm{dB}$ a $2.0\,\mathrm{m}$ de um alto-falante pequeno. Preveja o nível a $8.0\,\mathrm{m}$: fica abaixo da marca de $85\,\mathrm{dB}$?

**Solução de Exercício 21.8.**

$r \times 4$: $I \div 16$, ou seja, $-12\,\mathrm{dB}$: $83\,\mathrm{dB}$. Sim — logo abaixo da marca de $85\,\mathrm{dB}$.

**Exercício 21.9 ★★.**

Uma nota de $440\,\mathrm{Hz}$ passa do ar para a água. Calcule o [comprimento de onda](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/20-ondas-mecanicas#def-g12-mechanical-waves-wavelength) dela em cada meio. O mergulhador escuta a mesma [altura](#def-g12-sound-acoustics-pitch-loudness): que grandeza é fixada pela fonte, e qual se ajusta?

**Solução de Exercício 21.9.**

Ar: $340/440 \approx 0.77\,\mathrm{m}$; água: $1500/440 \approx 3.4\,\mathrm{m}$. A fonte fixa a [frequência](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/8-sinais-e-ondas#def-g10-signals-and-waves-frequency); o [comprimento de onda](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/20-ondas-mecanicas#def-g12-mechanical-waves-wavelength) $\lambda = v/f$ se ajusta ao meio.

**Exercício 21.10 ★★.**

Um [espectro](#def-g12-sound-acoustics-timbre) mostra picos em $130\,\mathrm{Hz}\text{, }260\,\mathrm{Hz}\text{, }390\,\mathrm{Hz}\text{ and }520\,\mathrm{Hz}$ de [alturas](#def-g12-sound-acoustics-pitch-loudness) decrescentes: qual é a [fundamental](#def-g12-sound-acoustics-harmonics)? Outro instrumento toca a mesma nota com a mesma intensidade: o que é igual no [espectro](#def-g12-sound-acoustics-timbre) dele e o que é diferente?

**Solução de Exercício 21.10.**

$f_1 = 130\,\mathrm{Hz}$ (o espaçamento dos picos). Igual: as posições das barras, $nf_1$ (mesma [altura](#def-g12-sound-acoustics-pitch-loudness)), e a intensidade total; diferente: as [alturas](#def-g12-sound-acoustics-pitch-loudness) das barras — a mistura que faz o [timbre](#def-g12-sound-acoustics-timbre).

**Exercício 21.11 ★★.**

Uma corda de violão de $65.0\,\mathrm{cm}$ soa $f_1 = 110\,\mathrm{Hz}$. Encontre a velocidade da [onda](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/8-sinais-e-ondas#def-g10-signals-and-waves-wave) e depois os comprimentos vibrantes que dão a oitava ($220\,\mathrm{Hz}$) e a quinta ($165\,\mathrm{Hz}$).

**Solução de Exercício 21.11.**

$v = 2Lf_1 = 2 \times 0.650 \times 110 = 143\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Oitava: $L' = v/(2 \times 220) = L/2 = 32.5\,\mathrm{cm}$; quinta: $L' = 143/330 \approx 43.3\,\mathrm{cm} = 2L/3$.

**Exercício 21.12 ★★★.**

Uma sonda médica envia [ultrassom](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/8-sinais-e-ondas#def-g10-signals-and-waves-ultrasound) de $5.0\,\mathrm{MHz}$ para dentro de tecido mole ($v = 1540\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$): qual é o [comprimento de onda](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/20-ondas-mecanicas#def-g12-mechanical-waves-wavelength)? [Ecos](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/8-sinais-e-ondas#rem-g10-signals-and-waves-honest) voltam depois de $26\,\text{µ}\mathrm{s}$ e $58\,\text{µ}\mathrm{s}$ das duas paredes de um órgão: encontre as profundidades delas e a espessura do órgão.

**Solução de Exercício 21.12.**

$\lambda = 1540/5.0 \times 10^{6} \approx 0.31\,\mathrm{mm}$. Profundidade $= vt/2$: $1540 \times 26 \times 10^{-6}/2 \approx 2.0\,\mathrm{cm}$ e $1540 \times 58 \times 10^{-6}/2 \approx 4.5\,\mathrm{cm}$; espessura $\approx 2.5\,\mathrm{cm}$.

**Exercício 21.13 ★★★.**

Um palco ao ar livre produz $110\,\mathrm{dB}$ a $3.0\,\mathrm{m}$. Tratando-o como fonte pequena, a que distância o nível cai para $85\,\mathrm{dB}$? Dê duas razões pelas quais a distância real difere.

**Solução de Exercício 21.13.**

$-25\,\mathrm{dB}$ significa $I \div 10^{2.5} \approx 316$, logo $r \times \sqrt{316} \approx 17.8$: $r \approx 3.0 \times 17.8 \approx 53\,\mathrm{m}$. Salas reais diferem: as reflexões do chão e das paredes acrescentam intensidade, enquanto o ar e o público a absorvem (e o palco não é uma fonte pontual isotrópica).

**Exercício 21.14 ★★★.**

Encontre a razão entre o limiar da dor ($1\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$) e $I_0$. Tomando o tímpano como $0.5\,\mathrm{cm}^{2}$, calcule a [potência](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/17-trabalho-de-uma-forca#def-g11-work-of-force-power) recebida em cada limiar; comente o ouvido como detector.

**Solução de Exercício 21.14.**

$1/10^{-12} = 10^{12}$. Tímpano de $S = 5 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}^{2}$: [potência](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/17-trabalho-de-uma-forca#def-g11-work-of-force-power) recebida de $5 \times 10^{-17}\,\mathrm{W}$ no limiar e de $5 \times 10^{-5}\,\mathrm{W}$ na dor — o ouvido detecta dezenas de attowatts e continua funcionando com um trilhão de vezes mais: um detector com doze décadas de faixa dinâmica.

**Exercício 21.15 ★★★.**

Cada alto-falante idêntico de um festival dá, sozinho, $80\,\mathrm{dB}$ na mesa de [som](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/8-sinais-e-ondas#def-g10-signals-and-waves-sound). Que nível dão $2$? E $10$? E $100$? Quanto custa cada $10\,\mathrm{dB}$ adicional — e o que isso diz sobre disputas de volume?

**Solução de Exercício 21.15.**

$2$: $83\,\mathrm{dB}$; $10$: $90\,\mathrm{dB}$; $100$: $100\,\mathrm{dB}$. Cada $10\,\mathrm{dB}$ adicional custa dez vezes mais alto-falantes: as disputas de volume são exponencialmente caras (e perigosas muito antes de serem vencidas).

## 21.7 Problema: a oficina do luthier

**Problema 21.1.**

Problema de fim de semana — a oficina do luthier: uma corda de violão marcada traste a traste, os harmônicos dela afinados num timbre, um recital mantido abaixo da linha de perigo e uma caça por ultrassom a um defeito na madeira

Um luthier está terminando um violão. A corda lá dele tem comprimento vibrante $L = 65.0\,\mathrm{cm}$ e precisa soar $f_1 = 110\,\mathrm{Hz}$. Tome $340\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ para o [som](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/8-sinais-e-ondas#def-g10-signals-and-waves-sound) no ar e admita $f_1 = v/(2L)$ ([Proposição 21.17](#prop-g12-sound-acoustics-string-modes)), com $v$ sendo a velocidade da [onda](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/8-sinais-e-ondas#def-g10-signals-and-waves-wave) na corda.

**Parte I — Marcar o braço.**

1. Calcule a velocidade $v$ da [onda](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/8-sinais-e-ondas#def-g10-signals-and-waves-wave) na corda.
2. Calcule o [comprimento de onda](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/20-ondas-mecanicas#def-g12-mechanical-waves-wavelength) da [fundamental](#def-g12-sound-acoustics-harmonics) *na corda* e depois o [comprimento de onda](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/20-ondas-mecanicas#def-g12-mechanical-waves-wavelength) do [som](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/8-sinais-e-ondas#def-g10-signals-and-waves-sound) de $110\,\mathrm{Hz}$ *no ar* . Por que eles diferem, com a mesma [frequência](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/8-sinais-e-ondas#def-g10-signals-and-waves-frequency) ?
3. A oitava ( $220\,\mathrm{Hz}$ ): que comprimento vibrante a dá? Onde o décimo segundo traste precisa ficar, como fração de $L$ ?
4. A quinta ( $165\,\mathrm{Hz}$ ): que comprimento vibrante a dá?
5. Cada traste eleva a nota um semitom, um fator $2^{1/12}$ . Verifique com logaritmos quantos semitons separam $110\,\mathrm{Hz}$ de $220\,\mathrm{Hz}$ ; qual é o comprimento no primeiro traste?

**Parte II — [Harmônicos](#def-g12-sound-acoustics-harmonics) e [timbre](#def-g12-sound-acoustics-timbre).**

6. Liste os cinco primeiros [harmônicos](#def-g12-sound-acoustics-harmonics) da corda lá solta.
7. O lá de um violinista soa $440\,\mathrm{Hz}$ . Que [harmônico](#def-g12-sound-acoustics-harmonics) da corda do violão é esse, e que intervalo musical o separa da [fundamental](#def-g12-sound-acoustics-harmonics) ? E $330\,\mathrm{Hz}$ ?
8. O luthier dedilha perto do cavalete e depois sobre a escala: mesma [altura](#def-g12-sound-acoustics-pitch-loudness) , cor diferente. Explique com os [espectros](#def-g12-sound-acoustics-timbre) .
9. Um toque leve no ponto médio durante o dedilhado impõe um [nó](#def-g12-sound-acoustics-standing-wave) ali. Que [harmônicos](#def-g12-sound-acoustics-harmonics) sobrevivem, e que [altura](#def-g12-sound-acoustics-pitch-loudness) se escuta?
10. Quantos [harmônicos](#def-g12-sound-acoustics-harmonics) da corda solta caem, em princípio, dentro da faixa audível?

**Parte III — O recital.** No primeiro concerto do violão, cada instrumento irradia uma [potência](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/17-trabalho-de-uma-forca#def-g11-work-of-force-power) acústica $P = 6.0 \times 10^{-3}\,\mathrm{W}$ como fonte pequena, igualmente em todas as direções.

11. Calcule a intensidade a $r = 3.0\,\mathrm{m}$ de um instrumento.
12. Deduza o [nível sonoro](#def-g12-sound-acoustics-level) ali.
13. Um quarteto toca: que nível quatro instrumentos desses dão no mesmo ponto? Por que não é quatro vezes o nível?
14. Doze instrumentos tocam: qual é o nível a $3.0\,\mathrm{m}$ ?
15. A que distância um ouvinte precisa se sentar para que o conjunto caia a $85\,\mathrm{dB}$ ?
16. Regra de segurança: $85\,\mathrm{dB}$ é seguro por oito horas, e cada $3\,\mathrm{dB}$ reduz o tempo seguro à metade. Quanto tempo o ouvinte da primeira fila da questão 14 pode ficar em segurança?

**Parte IV — O defeito na madeira.** Antes de envernizar, o luthier examina um bloco de braço de $45\,\mathrm{mm}$ de espessura com um aparelho de $2.0\,\mathrm{MHz}$; nessa madeira, tome $v = 5.0 \times 10^{3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

17. Calcule o [comprimento de onda](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/20-ondas-mecanicas#def-g12-mechanical-waves-wavelength) do [ultrassom](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/8-sinais-e-ondas#def-g10-signals-and-waves-ultrasound) na madeira. Por que uma [onda](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/8-sinais-e-ondas#def-g10-signals-and-waves-wave) que caça defeitos precisa ser ultrassônica em vez de audível?
18. Calcule o [atraso](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/20-ondas-mecanicas#def-g12-mechanical-waves-delay) do [eco](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/8-sinais-e-ondas#rem-g10-signals-and-waves-honest) vindo da face de trás do bloco.
19. Um [eco](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/8-sinais-e-ondas#rem-g10-signals-and-waves-honest) chega depois de $7.2\,\text{µ}\mathrm{s}$ : a que profundidade está o defeito?
20. Escreva a ficha da oficina: velocidade da [onda](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/8-sinais-e-ondas#def-g10-signals-and-waves-wave) na corda, comprimentos no décimo segundo e no primeiro traste, distância segura de escuta e profundidade do defeito.

**Solução de Problema 21.1.**

**1.** $v = 2Lf_1 = 2 \times 0.650 \times 110 = 143\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

**2.** Na corda, $\lambda_1 = 2L = 1.30\,\mathrm{m}$; no ar, $\lambda = 340/110 \approx 3.1\,\mathrm{m}$. Mesmo $f$, mas $\lambda = v/f$ e as velocidades das [ondas](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/8-sinais-e-ondas#def-g10-signals-and-waves-wave) são diferentes.

**3.** $L' = v/(2 \times 220) = L/2 = 32.5\,\mathrm{cm}$: o décimo segundo traste fica no ponto médio, a $L/2$ do cavalete.

**4.** $L' = 143/(2 \times 165) \approx 43.3\,\mathrm{cm} = 2L/3$.

**5.** $\log(220/110)/\log 2^{1/12} = 12$ semitons — doze trastes até a oitava. Primeiro traste: $L_1 = L/2^{1/12} = 65.0/1.059 \approx 61.4\,\mathrm{cm}$.

**6.** $110\,\mathrm{Hz}\text{, }220\,\mathrm{Hz}\text{, }330\,\mathrm{Hz}\text{, }440\,\mathrm{Hz}\text{ and }550\,\mathrm{Hz}$.

**7.** $440\,\mathrm{Hz} = 4f_1$: o quarto [harmônico](#def-g12-sound-acoustics-harmonics), duas oitavas acima. $330\,\mathrm{Hz} = 3f_1$: o terceiro [harmônico](#def-g12-sound-acoustics-harmonics), uma oitava mais uma quinta.

**8.** A posição do dedilhado fixa a mistura de modos: perto do cavalete os [harmônicos](#def-g12-sound-acoustics-harmonics) agudos ficam fortes ([espectro](#def-g12-sound-acoustics-timbre) brilhante), e sobre a escala a [fundamental](#def-g12-sound-acoustics-harmonics) domina ([som](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/8-sinais-e-ondas#def-g10-signals-and-waves-sound) mais macio). Mesmo $f_1$, logo mesma [altura](#def-g12-sound-acoustics-pitch-loudness) — [espectro](#def-g12-sound-acoustics-timbre) diferente, [timbre](#def-g12-sound-acoustics-timbre) diferente.

**9.** Só sobrevivem os [harmônicos](#def-g12-sound-acoustics-harmonics) que têm um [nó](#def-g12-sound-acoustics-standing-wave) no ponto médio: os pares, $220\,\mathrm{Hz}\text{, }440\,\mathrm{Hz}\text{ and }660\,\mathrm{Hz}$, …A [altura](#def-g12-sound-acoustics-pitch-loudness) salta uma oitava, para $220\,\mathrm{Hz}$.

**10.** $nf_1 \le 20\,\mathrm{kHz}$: $n \le 20000/110 = 181.8$, logo $181$ [harmônicos](#def-g12-sound-acoustics-harmonics).

**11.** $I = P/(4\pi r^2) = 6.0 \times 10^{-3}/(4\pi \times 9.0)
\approx 5.3 \times 10^{-5}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$.

**12.** $L = 10\log_{10}(5.3 \times 10^{7}) \approx 77\,\mathrm{dB}$.

**13.** $I \times 4$: $+6\,\mathrm{dB} \to 83\,\mathrm{dB}$. Os níveis são logaritmos: as intensidades se somam, os níveis não.

**14.** $+10\log_{10}12 \approx +10.8\,\mathrm{dB} \to 88\,\mathrm{dB}$.

**15.** Alvo $I = I_0 \times 10^{8.5} \approx 3.2 \times 10^{-4}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ com $12P = 7.2 \times 10^{-2}\,\mathrm{W}$: $r = \sqrt{12P/(4\pi I)} \approx \sqrt{18.1} \approx 4.3\,\mathrm{m}$.

**16.** $88\,\mathrm{dB}$ são $+3\,\mathrm{dB}$ acima do limite de oito horas: o tempo seguro cai à metade uma vez — quatro horas. O recital cabe.

**17.** $\lambda = 5000/2.0 \times 10^{6} = 2.5\,\mathrm{mm}$. Uma [onda](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/8-sinais-e-ondas#def-g10-signals-and-waves-wave) só reflete em defeitos com pelo menos, mais ou menos, um [comprimento de onda](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/20-ondas-mecanicas#def-g12-mechanical-waves-wavelength) de tamanho: o [som](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/8-sinais-e-ondas#def-g10-signals-and-waves-sound) audível na madeira tem $\lambda$ de dezenas de centímetros e contorna por difração qualquer defeito pequeno.

**18.** $t = 2d/v = 2 \times 0.045/5000 = 18\,\text{µ}\mathrm{s}$.

**19.** $d = vt/2 = 5000 \times 7.2 \times 10^{-6}/2 = 18\,\mathrm{mm}$.

**20.** A ficha: $v = 143\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ na corda; trastes em $32.5\,\mathrm{cm}$ (décimo segundo) e $61.4\,\mathrm{cm}$ (primeiro); conjunto seguro além de $\approx 4.3\,\mathrm{m}$; defeito a $18\,\mathrm{mm}$ de profundidade — quatro números, um capítulo.