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title: "A luz como onda: difração e interferência"
book: "Física do ensino médio"
subject: physics
language: pt
chapter: 22
exercises: 15
source: https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/22-a-luz-como-onda-difracao-e-interferencia
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# Capítulo 22 — A luz como onda: difração e interferência

Incline uma película de sabão em direção a uma janela: cores deslizam por ela, embora nada no sabão ou na água seja colorido. Aponte um [laser](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/11-cor-e-fontes-de-luz#def-g11-color-light-sources-lamps) para um único fio de cabelo: a parede atrás não mostra uma sombra fina como o fio, e sim um risco luminoso, barrado por linhas escuras, milhares de vezes mais largo do que o cabelo. Raios que marcham em linha reta ([Capítulo 3](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/3-refracao-da-luz#ch-g10-refraction)) não explicam nenhuma das duas visões. Este capítulo promove a luz a [onda](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/8-sinais-e-ondas#def-g10-signals-and-waves-wave) plena — meio micrômetro de crista a crista — e depois converte a ideia em dinheiro: um [laser](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/11-cor-e-fontes-de-luz#def-g11-color-light-sources-lamps) e uma parede nua vão medir um fio de cabelo, um [comprimento de onda](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/20-ondas-mecanicas#def-g12-mechanical-waves-wavelength) e os sulcos de um CD.

## 22.1 A luz é uma onda

**Definição 22.1 (Ondas luminosas).**

A [luz monocromática](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/2-espectros-luminosos-e-a-mensagem-da-luz#def-g10-light-spectra-white) — uma cor pura, que prisma nenhum consegue separar mais ([Capítulo 2](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/2-espectros-luminosos-e-a-mensagem-da-luz#ch-g10-light-spectra)) — é uma *onda luminosa* periódica: ela atravessa o vácuo a $c = 3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ e é caracterizada pela sua [frequência](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/8-sinais-e-ondas#def-g10-signals-and-waves-frequency) $f$ ou pelo seu *comprimento de onda no vácuo* $\lambda = c/f$, a distância de crista a crista do [Capítulo 20](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/20-ondas-mecanicas#ch-g12-mechanical-waves). O olho responde de cerca de $400\,\mathrm{nm}$ (violeta) a $800\,\mathrm{nm}$ (vermelho); a [luz branca](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/2-espectros-luminosos-e-a-mensagem-da-luz#def-g10-light-spectra-white) mistura a faixa inteira.

**Exemplo 22.2 (Ordens de grandeza).**

Um [laser](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/11-cor-e-fontes-de-luz#def-g11-color-light-sources-lamps) de hélio-neônio emite luz vermelha de $\lambda = 633\,\mathrm{nm} = 6.33 \times 10^{-7}\,\mathrm{m}$, de modo que $f = c/\lambda \approx 4.7 \times 10^{14}\,\mathrm{Hz}$: eletrônica alguma conta tão depressa — todo [comprimento de onda](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/20-ondas-mecanicas#def-g12-mechanical-waves-wavelength) deste capítulo será medido por geometria. Para dar escala, um fio de cabelo (cerca de $70\,\text{µ}\mathrm{m}$) tem cem [comprimentos de onda](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/20-ondas-mecanicas#def-g12-mechanical-waves-wavelength) de diâmetro. O que ondula? Não é o ar: são um [campo elétrico](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/14-campos-eletrico-e-gravitacional#def-g11-electric-gravitational-fields-efield) e um [campo magnético](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/15-magnetismo-e-campos-magneticos#def-g11-magnetic-fields-bfield), honestamente descritos no volume do segundo ano de graduação; abaixo, só o [comprimento de onda](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/20-ondas-mecanicas#def-g12-mechanical-waves-wavelength) importa.

## 22.2 Difração

**Definição 22.3 (Difração).**

Quando uma [onda](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/8-sinais-e-ondas#def-g10-signals-and-waves-wave) encontra uma abertura ou um obstáculo de tamanho $a$ comparável ao seu [comprimento de onda](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/20-ondas-mecanicas#def-g12-mechanical-waves-wavelength), ela se espalha para dentro da região que os raios deixariam escura. Esse espalhamento é a *difração* — desprezível enquanto $\lambda/a$ for minúsculo, dominante à medida que $a$ encolhe rumo a $\lambda$.

![Frentes de onda planas (uma por crista, separadas por ) encontram uma fenda de largura a comparável a : a onda se abre em leque — é a difração.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g12-light-as-wave/fig-a9d8249a91f0.svg)

*[Frentes de onda](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/20-ondas-mecanicas#def-g12-mechanical-waves-wavefront) planas (uma por crista, separadas por $\lambda$) encontram uma fenda de largura $a$ comparável a $\lambda$: a [onda](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/8-sinais-e-ondas#def-g10-signals-and-waves-wave) se abre em leque — é a [difração](#def-g12-light-as-wave-diffraction).*

**Proposição 22.4 (Semiabertura angular do espalhamento).**

Uma fenda de largura $a$, iluminada com [comprimento de onda](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/20-ondas-mecanicas#def-g12-mechanical-waves-wavelength) $\lambda < a$, espalha a luz em torno da direção incidente dentro da semiabertura angular $\theta$ (em radianos); um anteparo à distância $D$ mostra uma faixa central luminosa de largura $L$, igual ao dobro de $D \tan\theta \approx D\,\theta$ (ângulo pequeno):

$$
\theta \approx \frac{\lambda}{a}, \qquad L = \frac{2\lambda D}{a}.
$$

**Demonstração.** *Admitido neste nível.* ∎

**Observação 22.5 (Leia a fórmula ao contrário).**

Quanto *mais estreita* a fenda, *mais largo* o espalhamento — o oposto da previsão dos raios. A dedução honesta (somar as ondinhas reemitidas ao longo da fenda) mora no volume do segundo ano de graduação; aqui a fórmula é um instrumento de medida.

**Exemplo 22.6 (Um laser através de uma fenda).**

[Laser](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/11-cor-e-fontes-de-luz#def-g11-color-light-sources-lamps) vermelho, $\lambda = 633\,\mathrm{nm}$; fenda $a = 0.10\,\mathrm{mm}$; anteparo a $D = 2.00\,\mathrm{m}$. Então $\theta = 6.33 \times 10^{-7} / 1.0 \times 10^{-4} = 6.3 \times 10^{-3}\,\mathrm{rad}$ — um terço de grau, mas a faixa central na parede tem $L = 2 \times 6.33 \times 10^{-7} \times 2.00 / 1.0 \times 10^{-4} \approx
2.5\,\mathrm{cm}$ de largura, ladeada por linhas escuras e por faixas laterais mais fracas. Reduza a fenda à metade e a faixa dobra.

![A experiência da fenda simples: um cone de semiângulo /a pinta uma faixa central de largura L = 2 D/a.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g12-light-as-wave/fig-8570898a8b65.svg)

*A experiência da fenda simples: um [cone](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/11-cor-e-fontes-de-luz#def-g11-color-light-sources-cones) de semiângulo $\theta \approx \lambda/a$ pinta uma faixa central de largura $L = 2\lambda D/a$.*

**Proposição 22.7 (Um obstáculo difrata como uma fenda).**

Um obstáculo opaco fino de largura $d$ — um fio, um cabelo — produz, fora do feixe incidente, o mesmo padrão de uma fenda de largura $d$ (princípio de Babinet, deduzido no volume do segundo ano de graduação).

**Demonstração.** *Admitido neste nível.* ∎

**Método 22.8 (Medir uma largura minúscula).**

1. Estique o fio de cabelo através do feixe de [laser](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/11-cor-e-fontes-de-luz#def-g11-color-light-sources-lamps) ; coloque um anteparo a uma distância medida $D$ (alguns [metros](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/1-ordens-de-grandeza-medir-o-universo#def-g10-orders-of-magnitude-unit) ).
2. Meça a largura $L$ da faixa central, de linha escura a linha escura.
3. Como $L = 2\lambda D/d$ : $d = 2\lambda D/L$ — cabelo mais fino, padrão maior.

**Observação 22.9 (A difração limita todo instrumento).**

A luz entra numa câmera, num telescópio ou num olho por uma abertura de largura $a$, de modo que mesmo uma [lente](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/10-lentes-imagens-e-o-olho#def-g11-lenses-and-eye-lens) perfeita borra um ponto num borrão de tamanho angular da ordem de $\lambda/a$: detalhes mais próximos se fundem. Um microscópio de luz visível, portanto, não resolve nada muito abaixo de $\lambda \approx 0.5\,\text{µ}\mathrm{m}$ (bactérias sim, vírus não); os espelhos dos telescópios são construídos largos pela mesma razão.

## 22.3 Interferência

**Definição 22.10 (Fontes coerentes, diferença de caminho).**

Duas fontes de [onda](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/8-sinais-e-ondas#def-g10-signals-and-waves-wave) são *coerentes* quando têm a mesma [frequência](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/8-sinais-e-ondas#def-g10-signals-and-waves-frequency) e vibram em sincronia — na prática, quando são duas cópias de uma mesma [onda](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/8-sinais-e-ondas#def-g10-signals-and-waves-wave), obtidas por divisão. Para um ponto $M$ alcançado pelas duas, a *diferença de caminho* é $\delta = S_2M - S_1M$.

**Proposição 22.11 (Condições de interferência).**

Onde duas [ondas](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/8-sinais-e-ondas#def-g10-signals-and-waves-wave) [coerentes](#def-g12-light-as-wave-coherent) de [comprimento de onda](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/20-ondas-mecanicas#def-g12-mechanical-waves-wavelength) $\lambda$ se superpõem elas se somam — elas *interferem*:

- $\delta = k\lambda$ ( $k$ inteiro): em sincronia, reforçando-se — interferência *construtiva* (claro);
- $\delta = (k + \tfrac12)\lambda$ : crista sobre vale, cancelando-se — interferência *destrutiva* (escuro).

**Demonstração.** Deslocar uma [onda periódica](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/20-ondas-mecanicas#def-g12-mechanical-waves-periodic) por [comprimentos de onda](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/20-ondas-mecanicas#def-g12-mechanical-waves-wavelength) inteiros não muda nada: as cristas se empilham sobre cristas. Meio [comprimento de onda](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/20-ondas-mecanicas#def-g12-mechanical-waves-wavelength) a mais põe crista sobre vale: [ondas](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/8-sinais-e-ondas#def-g10-signals-and-waves-wave) iguais se cancelam. ∎

**Exemplo 22.12 (A experiência das duas fendas de Young).**

Perfure duas fendas finas $S_1$ e $S_2$, separadas por uma fração de milímetro, numa placa opaca, e ilumine as duas com um único [laser](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/11-cor-e-fontes-de-luz#def-g11-color-light-sources-lamps): duas [fontes coerentes](#def-g12-light-as-wave-coherent). Num anteparo a uns dois [metros](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/1-ordens-de-grandeza-medir-o-universo#def-g10-orders-of-magnitude-unit), a superposição fica listrada: no centro $\delta = 0$, claro; subindo pelo anteparo, $\delta$ cresce passando por $\lambda/2$ (escuro), $\lambda$ (claro) … escuridão onde luz somada a luz se cancela.

![As fendas de Young: os caminhos até M diferem por = S_2M - S_1M; as franjas claras (os traços cinzas) ficam onde = k.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g12-light-as-wave/fig-d0802d70671e.svg)

*As fendas de Young: os caminhos até $M$ diferem por $\delta = S_2M - S_1M$; as franjas claras (os traços cinzas) ficam onde $\delta = k\lambda$.*

**Definição 22.13 (Franjas e interfranja).**

As faixas claras e escuras que se alternam no padrão são as suas *franjas de interferência*; a distância $i$ entre centros claros consecutivos é a *interfranja*.

**Proposição 22.14 (A interfranja).**

Para fendas separadas por uma distância $a$ e um anteparo à distância $D \gg a$, o ponto do anteparo à distância $x$ do centro $O$ tem [diferença de caminho](#def-g12-light-as-wave-coherent) $\delta \approx a\,x/D$ (geometria admitida); pela [Proposição 22.11](#prop-g12-light-as-wave-conditions), as franjas claras ficam em $x_k = k\,\lambda D/a$, igualmente espaçadas, com [interfranja](#def-g12-light-as-wave-fringes)

$$
i = \frac{\lambda D}{a}.
$$

Com $\lambda = 633\,\mathrm{nm}$, $a = 0.20\,\mathrm{mm}$ e $D = 2.0\,\mathrm{m}$: $i = 6.3\,\mathrm{mm}$ — a montagem amplia $\lambda$ por $D/a = 10^4$. A geometria por trás disso é trabalhada no volume do segundo ano de graduação.

**Demonstração.** *Admitido neste nível.* ∎

![Intensidade ao longo do anteparo na experiência de Young: franjas separadas por i = D/a, sob uma envoltória geral esquemática.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g12-light-as-wave/fig-e38d0b5e0a78.svg)

*Intensidade ao longo do anteparo na experiência de Young: franjas separadas por $i = \lambda D/a$, sob uma envoltória geral esquemática.*

**Método 22.15 (Medir um comprimento de onda).**

1. Envie o [laser](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/11-cor-e-fontes-de-luz#def-g11-color-light-sources-lamps) desconhecido por uma fenda dupla de espaçamento $a$ conhecido; coloque o anteparo a uma distância medida $D$ .
2. Meça a extensão de $10$ [interfranjas](#def-g12-light-as-wave-fringes) ; divida por $10$ : obtém-se a [interfranja](#def-g12-light-as-wave-fringes) $i$ , com o erro da régua reduzido dez vezes.
3. Então $\lambda = i\,a/D$ .

**Observação 22.16 (Por que duas lâmpadas nunca interferem).**

Duas luminárias de mesa iluminando uma mesma parede não produzem franja alguma: cada uma emite trens de [onda](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/8-sinais-e-ondas#def-g10-signals-and-waves-wave) curtos e não correlacionados, cuja sincronia relativa salta ao acaso um bilhão de vezes por segundo, de modo que as franjas se deslocam na mesma velocidade e o olho as promedia numa luz uniforme. A interferência exige coerência — uma [onda](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/8-sinais-e-ondas#def-g10-signals-and-waves-wave) dividida em duas, como fazem as fendas de Young; o [laser](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/11-cor-e-fontes-de-luz#def-g11-color-light-sources-lamps) é o atalho moderno, uma única [onda](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/8-sinais-e-ondas#def-g10-signals-and-waves-wave) limpa e longa.

## 22.4 Cores pintadas por interferência

**Definição 22.17 (Iridescência).**

Cores que mudam com o ângulo de observação — bolhas de sabão, manchas de óleo, penas de pavão, o verso de um CD — são *iridescência*: não há pigmento algum, e sim interferência em [luz branca](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/2-espectros-luminosos-e-a-mensagem-da-luz#def-g10-light-spectra-white), reforçando alguns [comprimentos de onda](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/20-ondas-mecanicas#def-g12-mechanical-waves-wavelength) e cancelando outros.

**Exemplo 22.18 (Películas de sabão e manchas de óleo).**

A luz que atinge uma película de sabão reflete em parte na face da frente e em parte na de trás: duas cópias [coerentes](#def-g12-light-as-wave-coherent) cuja [diferença de caminho](#def-g12-light-as-wave-coherent) é fixada pela espessura e pelo ângulo de observação. Cada espessura devolve alguns [comprimentos de onda](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/20-ondas-mecanicas#def-g12-mechanical-waves-wavelength) reforçados e outros cancelados: a película reflete uma cor que desliza à medida que ela escorre e afina. Uma mancha de óleo no asfalto molhado faz o mesmo truque.

**Observação 22.19 (Luz monocromática contra luz branca).**

Em [luz branca](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/2-espectros-luminosos-e-a-mensagem-da-luz#def-g10-light-spectra-white) cada [comprimento de onda](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/20-ondas-mecanicas#def-g12-mechanical-waves-wavelength) desenha as suas próprias franjas de Young com o seu próprio $i = \lambda D/a$: no centro todas as cores ficam claras (uma franja branca); poucas franjas adiante os padrões se descolam — bordas iridescentes e depois borrão. A [luz monocromática](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/2-espectros-luminosos-e-a-mensagem-da-luz#def-g10-light-spectra-white) dá franjas nítidas sem fim: daí o [laser](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/11-cor-e-fontes-de-luz#def-g11-color-light-sources-lamps) em toda medida precisa aqui.

## 22.5 Exercícios

**Exercício 22.1 ★.**

Calcule a [frequência](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/8-sinais-e-ondas#def-g10-signals-and-waves-frequency) da luz vermelha ($\lambda = 700\,\mathrm{nm}$) e da luz violeta ($400\,\mathrm{nm}$). Qual é maior?

**Solução de Exercício 22.1.**

$f = c/\lambda$: vermelho, $3.00 \times 10^{8}/7.0 \times 10^{-7} \approx
4.3 \times 10^{14}\,\mathrm{Hz}$; violeta, $\approx 7.5 \times 10^{14}\,\mathrm{Hz}$ — o violeta é maior ([comprimento de onda](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/20-ondas-mecanicas#def-g12-mechanical-waves-wavelength) menor, mesma velocidade $c$).

**Exercício 22.2 ★.**

Um [laser](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/11-cor-e-fontes-de-luz#def-g11-color-light-sources-lamps) verde ($\lambda = 532\,\mathrm{nm}$) atravessa uma fenda de largura $a = 0.20\,\mathrm{mm}$: calcule $\theta$ e depois a largura da faixa central num anteparo a $1.5\,\mathrm{m}$.

**Solução de Exercício 22.2.**

$\theta = 5.32 \times 10^{-7}/2.0 \times 10^{-4} = 2.7 \times 10^{-3}\,\mathrm{rad}$; $L = 2\theta D = 2 \times 2.66 \times 10^{-3} \times 1.5 \approx
8.0\,\mathrm{mm}$.

**Exercício 22.3 ★.**

Uma porta tem $0.80\,\mathrm{m}$ de largura: calcule $\lambda/a$ para uma voz de $425\,\mathrm{Hz}$ ($v = 340\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$) e para luz de $550\,\mathrm{nm}$. Por que você escuta, mas não enxerga, quem está virando a esquina?

**Solução de Exercício 22.3.**

Voz: $\lambda = 340/425 = 0.80\,\mathrm{m}$, logo $\lambda/a = 1.0$ — [difração](#def-g12-light-as-wave-diffraction) máxima, e o [som](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/8-sinais-e-ondas#def-g10-signals-and-waves-sound) inunda o corredor. Luz: $\lambda/a \approx 5.5 \times 10^{-7}/0.80 \approx 7 \times 10^{-7}$ — espalhamento desprezível: a luz segue reta e a esquina a esconde.

**Exercício 22.4 ★.**

Dois alto-falantes acionados por um mesmo gerador emitem, em sincronia, [som](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/8-sinais-e-ondas#def-g10-signals-and-waves-sound) de [comprimento de onda](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/20-ondas-mecanicas#def-g12-mechanical-waves-wavelength) $2.0\,\mathrm{cm}$. [Diferença de caminho](#def-g12-light-as-wave-coherent) em $M$: $6.0\,\mathrm{cm}$; em $N$: $5.0\,\mathrm{cm}$. [Som](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/8-sinais-e-ondas#def-g10-signals-and-waves-sound) forte ou silêncio em cada um? Justifique.

**Solução de Exercício 22.4.**

Em $M$: $\delta = 6.0\,\mathrm{cm} = 3\lambda$, [construtiva](#prop-g12-light-as-wave-conditions) — [som](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/8-sinais-e-ondas#def-g10-signals-and-waves-sound) forte. Em $N$: $\delta = 5.0\,\mathrm{cm} = (2 + \tfrac12)\lambda$, [destrutiva](#prop-g12-light-as-wave-conditions) — silêncio (ou quase).

**Exercício 22.5 ★.**

Fendas de Young: $\lambda = 633\,\mathrm{nm}$, $a = 0.25\,\mathrm{mm}$, $D = 1.8\,\mathrm{m}$. Calcule a [interfranja](#def-g12-light-as-wave-fringes). Quantas franjas claras cabem nos $2.0\,\mathrm{cm}$ centrais do anteparo?

**Solução de Exercício 22.5.**

$i = \lambda D/a = 6.33 \times 10^{-7} \times 1.8/2.5 \times 10^{-4} \approx
4.6\,\mathrm{mm}$. Dentro de $\pm1.0\,\mathrm{cm}$: $|k| \leq 10/4.6 = 2.2$, logo $k = -2, \dots, 2$: cinco franjas claras.

**Exercício 22.6 ★★.**

Um fio de cabelo num feixe de $\lambda = 650\,\mathrm{nm}$, com anteparo a $1.6\,\mathrm{m}$, dá uma faixa central de $2.8\,\mathrm{cm}$ de largura. Calcule o diâmetro do cabelo.

**Solução de Exercício 22.6.**

$d = 2\lambda D/L = 2 \times 6.5 \times 10^{-7} \times 1.6/0.028 \approx
74\,\text{µ}\mathrm{m}$.

**Exercício 22.7 ★★.**

Um [laser](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/11-cor-e-fontes-de-luz#def-g11-color-light-sources-lamps) desconhecido atravessa fendas de Young ($a = 0.20\,\mathrm{mm}$, $D = 1.50\,\mathrm{m}$): dez [interfranjas](#def-g12-light-as-wave-fringes) ocupam $4.7\,\mathrm{cm}$. Encontre $\lambda$ e a cor. Por que medir dez em vez de uma?

**Solução de Exercício 22.7.**

$i = 4.7\,\mathrm{mm}$, logo $\lambda = i\,a/D = 4.7 \times 10^{-3} \times 2.0 \times 10^{-4}/1.5 \approx
6.3 \times 10^{-7}\,\mathrm{m} = 630\,\mathrm{nm}$: vermelho. Medir dez [interfranjas](#def-g12-light-as-wave-fringes) divide por dez o erro de leitura da régua.

**Exercício 22.8 ★★.**

Duas luminárias de mesa idênticas iluminam a mesma parede; os feixes se superpõem e, ainda assim, franja alguma aparece, nunca. Que condição de coerência ([Definição 22.10](#def-g12-light-as-wave-coherent)) falha, e como o arranjo de Young a repara?

**Solução de Exercício 22.8.**

As luminárias têm [frequências](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/8-sinais-e-ondas#def-g10-signals-and-waves-frequency) (grosso modo) compatíveis, mas *não estão em sincronia*: cada uma emite trens de [onda](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/8-sinais-e-ondas#def-g10-signals-and-waves-wave) curtos com fase que salta ao acaso, de modo que as fontes são incoerentes e as franjas instantâneas se deslocam bilhões de vezes por segundo — e o olho vê a média, uniforme. Young ilumina as duas fendas com *uma única* [onda](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/8-sinais-e-ondas#def-g10-signals-and-waves-wave): as duas cópias herdam juntas cada salto de fase e permanecem em sincronia.

**Exercício 22.9 ★★.**

Num padrão de duas fendas ($a = 0.30\,\mathrm{mm}$, $D = 1.4\,\mathrm{m}$), os centros da primeira e da sétima franjas claras estão a $18.0\,\mathrm{mm}$ um do outro: encontre a [interfranja](#def-g12-light-as-wave-fringes) e depois $\lambda$.

**Solução de Exercício 22.9.**

Da primeira à sétima: $6i = 18.0\,\mathrm{mm}$, logo $i = 3.0\,\mathrm{mm}$; $\lambda = i\,a/D = 3.0 \times 10^{-3} \times 3.0 \times 10^{-4}/1.4 \approx
6.4 \times 10^{-7}\,\mathrm{m} \approx 640\,\mathrm{nm}$.

**Exercício 22.10 ★★.**

As trilhas de um CD formam uma rede de espaçamento $d = 1.6\,\text{µ}\mathrm{m}$. Admitindo $d \sin\theta = k\lambda$ ($k$ inteiro), encontre as direções dos feixes para $\lambda = 633\,\mathrm{nm}$. Qual é a maior ordem $k$?

**Solução de Exercício 22.10.**

$\sin\theta = k\lambda/d = 0.396\,k$: para $k = 1$, $\theta = 23^\circ$; para $k = 2$, $\sin\theta = 0.79$, $\theta = 52^\circ$; $k = 3$ exigiria $\sin\theta = 1.19 > 1$: impossível. Maior ordem: $k = 2$.

**Exercício 22.11 ★★.**

Um telescópio de abertura $a = 10\,\mathrm{cm}$ em $\lambda = 550\,\mathrm{nm}$: calcule o borrão de [difração](#def-g12-light-as-wave-diffraction) dele, $\theta \approx \lambda/a$. Ele consegue separar dois faróis a $1.5\,\mathrm{m}$ um do outro, a $100\,\mathrm{km}$ de distância?

**Solução de Exercício 22.11.**

$\theta = 5.5 \times 10^{-7}/0.10 = 5.5 \times 10^{-6}\,\mathrm{rad}$. Os faróis subentendem $1.5/1.0 \times 10^{5} = 1.5 \times 10^{-5}\,\mathrm{rad}$, cerca de três vezes o borrão: separados, por pouco.

**Exercício 22.12 ★★★.**

Uma película de sabão vertical escorre, ficando mais grossa embaixo, e mostra faixas coloridas horizontais que descem devagar. Explique: por que cores, por que faixas, por que em movimento. (Sem contas.)

**Solução de Exercício 22.12.**

As reflexões das faces da frente e de trás [interferem](#prop-g12-light-as-wave-conditions); em [luz branca](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/2-espectros-luminosos-e-a-mensagem-da-luz#def-g10-light-spectra-white) cada espessura reforça alguns [comprimentos de onda](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/20-ondas-mecanicas#def-g12-mechanical-waves-wavelength) e cancela outros, daí uma cor. A espessura da película depende só da altura, de modo que os pontos de mesma cor formam faixas horizontais. O escorrimento afina a película, e por isso a espessura que pintava uma dada cor fica cada vez mais embaixo: as faixas descem devagar.

**Exercício 22.13 ★★★.**

Fendas de Young em [luz branca](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/2-espectros-luminosos-e-a-mensagem-da-luz#def-g10-light-spectra-white), $a = 0.20\,\mathrm{mm}$, $D = 1.5\,\mathrm{m}$: calcule a [interfranja](#def-g12-light-as-wave-fringes) para o violeta ($400\,\mathrm{nm}$) e para o vermelho ($750\,\mathrm{nm}$), e deduza o que o anteparo mostra no centro, a poucos milímetros dali e bem longe.

**Solução de Exercício 22.13.**

$i = \lambda D/a$: violeta, $4.0 \times 10^{-7} \times 1.5/2.0 \times 10^{-4} = 3.0\,\mathrm{mm}$; vermelho, $5.6\,\mathrm{mm}$. No centro: todas as cores claras — uma franja branca. A poucos milímetros dali os padrões de cores já se descolaram: franjas iridescentes. Mais longe, os máximos de todas as cores se superpõem em toda parte: um borrão branco uniforme.

**Exercício 22.14 ★★★.**

Um [satélite](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/4-gravitacao-universal-e-peso#def-g10-universal-gravitation-satellite) de vigilância carrega um espelho de $2.4\,\mathrm{m}$ a $250\,\mathrm{km}$. Usando $\theta \approx \lambda/a$ em $550\,\mathrm{nm}$, encontre o menor detalhe no solo que ele resolve; julgue a afirmação de que ele “lê jornais por cima do seu ombro”.

**Solução de Exercício 22.14.**

$\theta = 5.5 \times 10^{-7}/2.4 = 2.3 \times 10^{-7}\,\mathrm{rad}$; a $250\,\mathrm{km}$ isso dá $2.3 \times 10^{-7} \times 2.5 \times 10^{5} \approx 6\,\mathrm{cm}$. Ele consegue contar carros e localizar uma pessoa, mas letra de jornal (com milímetros) fica vinte vezes abaixo do limite de [difração](#def-g12-light-as-wave-diffraction): a afirmação é lenda.

**Exercício 22.15 ★★★.**

Uma montagem de Young mostra $i = 4.0\,\mathrm{mm}$ no ar e depois é imersa em água ($n = 1.33$). Lembrando o [Capítulo 3](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/3-refracao-da-luz#ch-g10-refraction): a [frequência](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/8-sinais-e-ondas#def-g10-signals-and-waves-frequency) muda? E o [comprimento de onda](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/20-ondas-mecanicas#def-g12-mechanical-waves-wavelength)? Calcule a nova [interfranja](#def-g12-light-as-wave-fringes).

**Solução de Exercício 22.15.**

A [frequência](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/8-sinais-e-ondas#def-g10-signals-and-waves-frequency) é fixada pela fonte: não muda. A velocidade cai para $c/n$, de modo que $\lambda' = \lambda/n$ e $i' = i/n = 4.0/1.33 \approx 3.0\,\mathrm{mm}$: as franjas se apertam.

## 22.6 Problema: medir com luz

**Problema 22.1.**

Problema de fim de semana — medir com luz: um laser, uma régua e uma parede nua viram uma oficina de micrômetros que afere uma fenda, um fio de cabelo humano, um comprimento de onda desconhecido e os sulcos de dois discos prateados

O seu kit: um [laser](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/11-cor-e-fontes-de-luz#def-g11-color-light-sources-lamps) vermelho ($\lambda = 633\,\mathrm{nm}$, pelo rótulo), um [laser](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/11-cor-e-fontes-de-luz#def-g11-color-light-sources-lamps) verde de [comprimento de onda](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/20-ondas-mecanicas#def-g12-mechanical-waves-wavelength) desconhecido, uma fenda calibrada de $a = 100\,\text{µ}\mathrm{m}$, uma fenda dupla de espaçamento $a' = 0.250\,\mathrm{mm}$, uma trena, dois fios de cabelo, um CD e um DVD.

**Parte I — Calibrar na fenda conhecida.** [Laser](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/11-cor-e-fontes-de-luz#def-g11-color-light-sources-lamps) vermelho, fenda, parede a $D = 3.00\,\mathrm{m}$.

1. Calcule a semiabertura angular $\theta$ do feixe difratado.
2. Mostre que a faixa central tem largura $L = 2\lambda D/a$ ; calcule-a.
3. Você mede $L = 3.7\,\mathrm{cm}$ : calcule o desvio relativo. O método está validado?
4. Uma segunda fenda tem metade da largura, $50\,\text{µ}\mathrm{m}$ : preveja o $L$ dela. Enuncie a regra que liga a largura da fenda à largura do padrão.
5. Justifique o passo $\tan\theta \approx \theta$ da questão 2: compare $\theta$ e $\tan\theta$ nesse ângulo.

**Parte II — O fio de cabelo.** Mesmo [laser](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/11-cor-e-fontes-de-luz#def-g11-color-light-sources-lamps) e mesma parede; um fio de cabelo esticado substitui a fenda.

6. Que resultado admitido permite manter a fórmula da fenda para um fio de cabelo, e o que ele diz?
7. A faixa central tem $L = 5.4\,\mathrm{cm}$ de largura: calcule o diâmetro $d$ do cabelo.
8. A sua régua lê $L$ com $\pm0.2\,\mathrm{cm}$ : dê o intervalo resultante para $d$ , na forma $d \pm \Delta d$ .
9. O cabelo de um amigo dá $L = 7.6\,\mathrm{cm}$ : qual é o diâmetro dele? Qual dos dois cabelos é mais fino, e por que mais fino significa mais largo?
10. Uma luminária de mesa poderia substituir o [laser](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/11-cor-e-fontes-de-luz#def-g11-color-light-sources-lamps) ? Dê duas razões.

**Parte III — O [comprimento de onda](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/20-ondas-mecanicas#def-g12-mechanical-waves-wavelength) do [laser](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/11-cor-e-fontes-de-luz#def-g11-color-light-sources-lamps) verde.** [Laser](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/11-cor-e-fontes-de-luz#def-g11-color-light-sources-lamps) verde, fenda dupla, parede a $D = 2.00\,\mathrm{m}$.

11. Por que as duas fendas precisam ser iluminadas pelo *mesmo* [laser](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/11-cor-e-fontes-de-luz#def-g11-color-light-sources-lamps) ?
12. Por que a franja central é clara qualquer que seja o [comprimento de onda](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/20-ondas-mecanicas#def-g12-mechanical-waves-wavelength) ?
13. Dez [interfranjas](#def-g12-light-as-wave-fringes) ocupam $4.26\,\mathrm{cm}$ . Dê $i$ e a razão de medir dez de uma vez.
14. Deduza o [comprimento de onda](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/20-ondas-mecanicas#def-g12-mechanical-waves-wavelength) do [laser](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/11-cor-e-fontes-de-luz#def-g11-color-light-sources-lamps) verde.
15. O rótulo do fabricante diz $(532 \pm 10)\,\mathrm{nm}$ : é coerente? Que cor você espera?

**Parte IV — Ler discos prateados.** O [laser](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/11-cor-e-fontes-de-luz#def-g11-color-light-sources-lamps) vermelho atinge um CD sob incidência normal; as trilhas dele agem como uma rede de reflexão que obedece (admitido) a $d \sin\theta = k\lambda$. Na parede a $D = 1.00\,\mathrm{m}$, cada feixe de primeira ordem faz um ponto a $x$ do ponto central.

16. Para o CD, $x = 43\,\mathrm{cm}$ : calcule $\theta$ . Por que o atalho de ângulo pequeno da Parte I agora é proibido?
17. Deduza o espaçamento $d$ das trilhas do CD.
18. O DVD manda o ponto de primeira ordem para $x = 1.65\,\mathrm{m}$ : calcule o $\theta$ dele e o espaçamento das trilhas.
19. Compare os dois espaçamentos. Por que um DVD armazena mais do que um CD?
20. Feche o caderno: liste os comprimentos medidos neste fim de semana e diga em uma frase o que fez da luz uma régua para todos eles.

**Solução de Problema 22.1.**

**1.** $\theta = \lambda/a = 6.33 \times 10^{-7}/1.00 \times 10^{-4} =
6.3 \times 10^{-3}\,\mathrm{rad}$.

**2.** Semilargura $D\tan\theta \approx D\theta = \lambda D/a$, logo $L = 2\lambda D/a = 2 \times 6.33 \times 10^{-7} \times
3.00/1.00 \times 10^{-4} = 3.8\,\mathrm{cm}$.

**3.** $(3.8 - 3.7)/3.8 \approx 3\%$: dentro da precisão de uma régua — validado.

**4.** $L \propto 1/a$: reduzir $a$ à metade dobra $L$, logo $L = 7.6\,\mathrm{cm}$. Obstáculo (ou fenda) mais estreito, padrão mais largo.

**5.** $\tan(6.33 \times 10^{-3}) = 6.330\,08 \times 10^{-3}$: eles concordam a cerca de $1 \times 10^{-5}$ em termos relativos — a aproximação é muito melhor do que qualquer medida feita aqui.

**6.** Pela [Proposição 22.7](#prop-g12-light-as-wave-hair): um obstáculo de largura $d$ difrata como uma fenda de largura $d$, de modo que $L = 2\lambda D/d$ continua valendo.

**7.** $d = 2\lambda D/L = 2 \times 6.33 \times 10^{-7} \times
3.00/0.054 \approx 70\,\text{µ}\mathrm{m}$.

**8.** $L = 5.2\,\mathrm{cm} \to d = 73\,\text{µ}\mathrm{m}$; $L = 5.6\,\mathrm{cm} \to d = 68\,\text{µ}\mathrm{m}$: logo, $d = (70 \pm 3)\,\text{µ}\mathrm{m}$.

**9.** $d = 3.80 \times 10^{-6}/0.076 = 50\,\text{µ}\mathrm{m}$: o do amigo é mais fino — e, como $L \propto 1/d$, o cabelo mais fino lança o padrão mais largo.

**10.** Não: uma luminária é branca (cada [comprimento de onda](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/20-ondas-mecanicas#def-g12-mechanical-waves-wavelength) pinta um padrão diferente, e todos se borram) e incoerente e larga (não há um feixe único e limpo para difratar). O [laser](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/11-cor-e-fontes-de-luz#def-g11-color-light-sources-lamps) é monocromático e direcional.

**11.** Só cópias de uma mesma [onda](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/8-sinais-e-ondas#def-g10-signals-and-waves-wave) são [coerentes](#def-g12-light-as-wave-coherent); duas fontes independentes saem de sincronia e as franjas se apagam ([Observação 22.16](#rem-g12-light-as-wave-lamps)).

**12.** No centro, $\delta = 0 = 0 \times \lambda$ para todo $\lambda$: [construtiva](#prop-g12-light-as-wave-conditions), qualquer que seja o [comprimento de onda](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/20-ondas-mecanicas#def-g12-mechanical-waves-wavelength).

**13.** $i = 4.26/10 = 4.3\,\mathrm{mm}$; uma extensão de dez é lida com o mesmo erro de régua de uma única [interfranja](#def-g12-light-as-wave-fringes), de modo que o erro sobre $i$ fica dividido por dez.

**14.** $\lambda = i\,a'/D = 4.26 \times 10^{-3} \times
2.50 \times 10^{-4}/2.00 = 5.33 \times 10^{-7} \approx 533\,\mathrm{nm}$.

**15.** $533\,\mathrm{nm}$ está dentro de $(532 \pm 10)\,\mathrm{nm}$: coerente; e esse [comprimento de onda](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/20-ondas-mecanicas#def-g12-mechanical-waves-wavelength) é verde.

**16.** $\tan\theta = 0.43/1.00$, logo $\theta = 23^\circ$. Aqui $\tan\theta = 0.43$ enquanto $\sin\theta = 0.40$: a $23^\circ$ a identificação de ângulo pequeno entre $\sin$, $\tan$ e $\theta$ erra por quase $10\%$ — use as funções exatas.

**17.** $d = \lambda/\sin\theta = 6.33 \times 10^{-7}/0.396 \approx
1.6\,\text{µ}\mathrm{m}$.

**18.** $\tan\theta = 1.65$, $\theta = 59^\circ$, $\sin\theta = 0.855$: $d = 6.33 \times 10^{-7}/0.855 \approx
0.74\,\text{µ}\mathrm{m}$.

**19.** $1.6/0.74 \approx 2.2$: as trilhas do DVD são duas vezes mais densas, e os poços dele são correspondentemente menores (lidos com um [laser](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/11-cor-e-fontes-de-luz#def-g11-color-light-sources-lamps) de [comprimento de onda](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/20-ondas-mecanicas#def-g12-mechanical-waves-wavelength) mais curto) — várias vezes mais dados no mesmo disco de $12\,\mathrm{cm}$.

**20.** Cabelo $(70 \pm 3)\,\text{µ}\mathrm{m}$; cabelo do amigo $50\,\text{µ}\mathrm{m}$; [laser](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/11-cor-e-fontes-de-luz#def-g11-color-light-sources-lamps) verde $533\,\mathrm{nm}$; trilhas do CD $1.6\,\text{µ}\mathrm{m}$; trilhas do DVD $0.74\,\text{µ}\mathrm{m}$ — um [comprimento de onda](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/20-ondas-mecanicas#def-g12-mechanical-waves-wavelength) conhecido transforma a geometria de cada padrão num comprimento, de modo que uma luz de meio micrômetro é uma régua graduada em meio micrômetro.