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title: "Cinemática em duas dimensões"
book: "Física do ensino médio"
subject: physics
language: pt
chapter: 24
exercises: 15
source: https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/24-cinematica-em-duas-dimensoes
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# Capítulo 24 — Cinemática em duas dimensões

Observe um carro fazendo uma rotatória a constantes $30\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$: o ponteiro não sai do lugar e, ainda assim, todo passageiro se sente puxado para o lado — o movimento está mudando, e não é a [velocidade escalar](#def-g12-kinematics-2d-velocity). Um número por instante já não basta: o movimento no plano precisa de flechas. Este capítulo equipa um ponto móvel com três — posição, velocidade e aceleração — encadeadas pela derivada, e lê famílias inteiras de movimentos na geometria delas.

## 24.1 O vetor posição

O movimento só existe em relação a um [referencial](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/5-movimento-relativo#def-g10-relative-motion-frame) declarado — um corpo rígido mais um relógio ([Capítulo 5](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/5-movimento-relativo#ch-g10-relative-motion)). A novidade deste ano é a precisão: prenda ao [referencial](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/5-movimento-relativo#def-g10-relative-motion-frame) uma origem $O$ e dois eixos graduados perpendiculares $Ox$ e $Oy$, e registre onde o ponto está a cada instante, como um par de funções.

**Definição 24.1 (Vetor posição).**

Num [referencial](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/5-movimento-relativo#def-g10-relative-motion-frame) equipado com uma origem $O$ e eixos $Ox$ e $Oy$, o *vetor posição* de um ponto móvel $M$ no instante $t$ é $\vect{OM}(t)$, de coordenadas $\bigl(x(t),\, y(t)\bigr)$: duas funções do tempo, uma por eixo. A curva descrita por $M$ enquanto $t$ corre é a sua [trajetória](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/5-movimento-relativo#def-g10-relative-motion-trajectory).

## 24.2 O vetor velocidade

**Definição 24.2 (Vetor velocidade).**

Ao longo de um intervalo curto o ponto se desloca de $\vect{OM}(t+\Delta t) - \vect{OM}(t)$; divida por $\Delta t$ e faça o intervalo encolher: é a derivada do seu curso de matemática, aplicada a cada coordenada. O *vetor velocidade* de $M$ é a derivada do seu [vetor posição](#def-g12-kinematics-2d-position), $\vect v(t) = \bigl(x'(t),\, y'(t)\bigr)$, em $\mathrm{m}/\mathrm{s}$. A norma dele, $v = \sqrt{x'^2 + y'^2}$, é a *velocidade escalar* — o único número que o velocímetro mostra.

**Exemplo 24.3 (Um drone em voo nivelado).**

Um drone voa com $x(t) = 4.0\,t$ e $y(t) = 3.0\,t$ ([metros](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/1-ordens-de-grandeza-medir-o-universo#def-g10-orders-of-magnitude-unit), segundos): [trajetória](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/5-movimento-relativo#def-g10-relative-motion-trajectory) sobre a reta $y = \tfrac34 x$, velocidade $\vect v = (4.0, 3.0)$ em todos os instantes e [velocidade escalar](#def-g12-kinematics-2d-velocity) $\sqrt{4.0^2 + 3.0^2} = 5.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, constante.

**Proposição 24.4 (Tangente à trajetória).**

A cada instante, $\vect v(t)$ é tangente à [trajetória](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/5-movimento-relativo#def-g10-relative-motion-trajectory) na posição atual de $M$ e aponta no sentido do movimento.

**Demonstração.** O deslocamento é uma corda da [trajetória](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/5-movimento-relativo#def-g10-relative-motion-trajectory); à medida que $\Delta t$ encolhe, a direção da corda vira a da tangente. ∎

## 24.3 O vetor aceleração

**Definição 24.5 (Vetor aceleração).**

O *vetor aceleração* de $M$ é a derivada do seu [vetor velocidade](#def-g12-kinematics-2d-velocity), $\vect a(t) = \bigl(v_x'(t),\, v_y'(t)\bigr) =
\bigl(x''(t),\, y''(t)\bigr)$, em $\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$: com que rapidez, e em que direção, o [vetor velocidade](#def-g12-kinematics-2d-velocity) está mudando naquele momento.

**Observação 24.6 (Acelerar sem ganhar velocidade).**

$\vect a \neq \vect 0$ sempre que o *vetor* velocidade muda — em comprimento *ou em direção*: um carro freando acelera (para trás); um carro fazendo curva a [velocidade escalar](#def-g12-kinematics-2d-velocity) constante acelera (para o lado). É essa a grandeza que as [forças](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-force) controlam (Capítulos [16](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/16-forcas-e-movimento#ch-g11-forces-and-motion) e [25](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/25-as-leis-de-newton#ch-g12-newtons-laws)).

**Método 24.7 (Ler uma cronofotografia).**

Uma *cronofotografia* registra as posições $M_0, M_1, M_2, \dots$ de um ponto móvel em intervalos de tempo iguais $\Delta t$.

1. O espaçamento dos pontos revela a [velocidade escalar](#def-g12-kinematics-2d-velocity) : espaçamentos iguais, velocidade constante; abrindo, acelerando; fechando, freando.
2. A velocidade em $M_i$ é a corda simétrica, $\vect v_i \approx \vect{M_{i-1}M_{i+1}}/(2\,\Delta t)$ , desenhada em $M_i$ , tangente ao caminho pontilhado.
3. Para a aceleração em $M_i$ : copie $\vect v_{i-1}$ e $\vect v_{i+1}$ para $M_i$ e desenhe $\Delta\vect v = \vect v_{i+1} - \vect v_{i-1}$ , de ponta a ponta; então $\vect a_i \approx \Delta\vect v/(2\,\Delta t)$ .

![Cronofotografia de uma bola arremessada: v_2 e v_4, construídos a partir das cordas, são copiados para M_3; a diferença deles, v, entrega a — vertical, para baixo.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g12-kinematics-2d/fig-294866202bd1.svg)

*[Cronofotografia](#met-g12-kinematics-2d-chrono) de uma bola arremessada: $\vect v_2$ e $\vect v_4$, construídos a partir das cordas, são copiados para $M_3$; a diferença deles, $\Delta\vect v$, entrega $\vect a$ — vertical, para baixo.*

## 24.4 Movimentos retilíneos

Ao longo de uma reta basta um eixo: $x(t)$, $v(t) = x'(t)$ e $a(t) = v'(t)$, todos números com sinal.

**Definição 24.8 (Movimento retilíneo uniforme).**

Um movimento é *retilíneo uniforme* quando $\vect v$ é um vetor constante: [trajetória](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/5-movimento-relativo#def-g10-relative-motion-trajectory) reta, [velocidade escalar](#def-g12-kinematics-2d-velocity) constante, $\vect a = \vect 0$. Então $x(t) = v\,t + x_0$.

**Proposição 24.9 (Movimento retilíneo uniformemente acelerado).**

Se um ponto se move ao longo de $Ox$ com aceleração *constante* $a$, partindo em $t = 0$ da posição $x_0$ com velocidade $v_0$, então

$$
v(t) = a\,t + v_0,
\qquad
x(t) = \tfrac12\,a\,t^2 + v_0\,t + x_0 .
$$

**Demonstração.** $v$ é uma primitiva da constante $a$: $v(t) = a t + C$, e $t = 0$ obriga $C = v_0$. Por sua vez, $x$ é uma primitiva de $a t + v_0$: $x(t) = \tfrac12 a t^2 + v_0 t + C'$, com $C' = x_0$. ∎

![Movimento uniformemente acelerado (a = 2.0\, m/ s2, v_0 = 1.0\, m/ s, x_0 = 0): cada gráfico é a derivada do de cima — uma parábola, a inclinação dela e a inclinação da inclinação.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g12-kinematics-2d/fig-ad4c6ed03948.svg)

*[Movimento uniformemente acelerado](#prop-g12-kinematics-2d-uarm) ($a = 2.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$, $v_0 = 1.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $x_0 = 0$): cada gráfico é a derivada do de cima — uma parábola, a inclinação dela e a inclinação da inclinação.*

**Exemplo 24.10 (Distância de frenagem).**

Um carro com [velocidade escalar](#def-g12-kinematics-2d-velocity) $v_0$ freia com desaceleração constante $a$ (aceleração $-a$). Ele para quando $v(t) = -a t + v_0 = 0$, em $t_s = v_0/a$, tendo percorrido $d = -\tfrac12 a t_s^2 + v_0 t_s = v_0^2/(2a)$. O quadrado é a manchete da segurança viária: dobrar a velocidade *quadruplica* a distância de frenagem — com $a = 6.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$, são $16\,\mathrm{m}$ a partir de $50\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ e $64\,\mathrm{m}$ a partir de $100\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$.

## 24.5 Movimento circular uniforme e a base de Frenet

**Definição 24.11 (Movimento circular uniforme).**

Um movimento é *circular uniforme* quando a [trajetória](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/5-movimento-relativo#def-g10-relative-motion-trajectory) é um círculo de raio $R$ e a [velocidade escalar](#def-g12-kinematics-2d-velocity) $v$ é constante. O *período* $T$ é a duração de uma volta, e a *frequência* $f = 1/T$ (em $\mathrm{Hz}$) é o número de voltas por segundo: $v = 2\pi R/T = 2\pi R f$.

[Velocidade escalar](#def-g12-kinematics-2d-velocity) constante — e, no entanto, a velocidade gira: *existe* uma aceleração. Para que lado, e de que tamanho?

**Teorema 24.12 (Aceleração centrípeta).**

Num [movimento circular uniforme](#def-g12-kinematics-2d-ucm) de raio $R$ e [velocidade escalar](#def-g12-kinematics-2d-velocity) $v$, a aceleração — chamada de *centrípeta* — aponta do ponto móvel para o centro do círculo, com norma constante

$$
a = \frac{v^2}{R}.
$$

**Demonstração.** Centre os eixos no centro do círculo e ponha $\omega = v/R$, de modo que o arco $v t$ subentende o ângulo $\omega t$: a posição é $x(t) = R\cos(\omega t)$, $y(t) = R\sin(\omega t)$. Derivando, $\vect v = (-R\omega\sin(\omega t),\, R\omega\cos(\omega t))$, de norma constante $R\omega = v$; derivando outra vez, $\vect a = -\omega^2\,\vect{OM}$: oposto ao [vetor posição](#def-g12-kinematics-2d-position) — em direção ao centro — e de norma $\omega^2 R = v^2/R$. ∎

![Movimento circular uniforme: v tangente e de comprimento fixo; a apontado para o centro e de comprimento fixo v2/R — girando a velocidade para sempre, sem nunca esticá-la.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g12-kinematics-2d/fig-213e819fb580.svg)

*[Movimento circular uniforme](#def-g12-kinematics-2d-ucm): $\vect v$ tangente e de comprimento fixo; $\vect a$ apontado para o centro e de comprimento fixo $v^2/R$ — girando a velocidade para sempre, sem nunca esticá-la.*

**Definição 24.13 (Base de Frenet).**

A *base de Frenet* na posição atual de um ponto sobre um caminho curvo é o par de vetores unitários perpendiculares $(\vect{u_t}, \vect{u_n})$: $\vect{u_t}$ tangente, no sentido do movimento; $\vect{u_n}$ normal, apontando para o centro do círculo de raio $R$ que melhor se ajusta à curva ali.

**Proposição 24.14 (Aceleração na base de Frenet).**

Ao longo de qualquer caminho plano de raio local $R$, percorrido com [velocidade escalar](#def-g12-kinematics-2d-velocity) $v(t)$,

$$
\vect a = a_t\,\vect{u_t} + a_n\,\vect{u_n},
\qquad a_t = \frac{\dd v}{\dd t},
\qquad a_n = \frac{v^2}{R}:
$$

a *aceleração tangencial* $a_t$ muda a [velocidade escalar](#def-g12-kinematics-2d-velocity); a *aceleração normal* $a_n$ gira a velocidade.

**Demonstração.** *Admitido neste nível.* ∎

**Observação 24.15 (Onde mora a demonstração).**

Demonstramos os extremos: $a_t$ puro numa reta ([Proposição 24.9](#prop-g12-kinematics-2d-uarm)) e $a_n$ puro num círculo ([Teorema 24.12](#thm-g12-kinematics-2d-centripetal)); a decomposição geral é deduzida no volume do primeiro ano de graduação.

**Exemplo 24.16 (Frear entrando na curva).**

Um carro entra numa curva de raio $R = 50\,\mathrm{m}$ a $v = 15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ enquanto freia a $\dd v/\dd t = -3.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$: $a_t = -3.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$, $a_n = 15^2/50 = 4.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$, de modo que $a = \sqrt{3.0^2 + 4.5^2} \approx 5.4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$, apontando para trás *e* para dentro da curva. Os pneus precisam fornecer as duas coisas ao mesmo tempo — e é por isso que os pilotos de corrida freiam *antes* da curva.

## 24.6 Exercícios

**Exercício 24.1 ★.**

Para $x(t) = 3.0\,t$ e $y(t) = 4.0\,t$ ([metros](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/1-ordens-de-grandeza-medir-o-universo#def-g10-orders-of-magnitude-unit), segundos), dê $\vect v$, a [velocidade escalar](#def-g12-kinematics-2d-velocity), a [trajetória](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/5-movimento-relativo#def-g10-relative-motion-trajectory) e a classe do movimento.

**Solução de Exercício 24.1.**

$\vect v = (3.0, 4.0)$, constante; [velocidade escalar](#def-g12-kinematics-2d-velocity) $\sqrt{3.0^2 + 4.0^2} = 5.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. [Trajetória](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/5-movimento-relativo#def-g10-relative-motion-trajectory): a reta $y = \tfrac43 x$. [Vetor velocidade](#def-g12-kinematics-2d-velocity) constante: [movimento retilíneo uniforme](#def-g12-kinematics-2d-uniform).

**Exercício 24.2 ★.**

Numa [cronofotografia](#met-g12-kinematics-2d-chrono) feita a cada $0.10\,\mathrm{s}$, os pontos estão sobre uma reta, igualmente espaçados de $0.35\,\mathrm{m}$. Identifique o movimento e calcule a [velocidade escalar](#def-g12-kinematics-2d-velocity). O que espaçamentos que se abrem indicariam?

**Solução de Exercício 24.2.**

Reta, com espaçamentos iguais: [retilíneo uniforme](#def-g12-kinematics-2d-uniform); $v = 0.35/0.10 = 3.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Espaçamentos que se abrem significariam [velocidade escalar](#def-g12-kinematics-2d-velocity) crescente.

**Exercício 24.3 ★.**

Para $x(t) = 2.0\,t^2$ ao longo de $Ox$ ([metros](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/1-ordens-de-grandeza-medir-o-universo#def-g10-orders-of-magnitude-unit), segundos), obtenha $v(t)$ e $a(t)$, nomeie a classe do movimento e calcule a [velocidade escalar](#def-g12-kinematics-2d-velocity) em $t = 3.0\,\mathrm{s}$.

**Solução de Exercício 24.3.**

$v(t) = 4.0\,t$, $a = 4.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$: aceleração constante, movimento retilíneo uniformemente acelerado. $v(3.0) = 12\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

**Exercício 24.4 ★.**

Um cavalinho de carrossel percorre um círculo de raio $4.5\,\mathrm{m}$, uma volta a cada $8.0\,\mathrm{s}$: calcule a [frequência](#def-g12-kinematics-2d-ucm), a [velocidade escalar](#def-g12-kinematics-2d-velocity) e a aceleração (norma e direção).

**Solução de Exercício 24.4.**

$f = 1/8.0 = 0.125\,\mathrm{Hz}$; $v = 2\pi \times 4.5/8.0 \approx 3.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; $a = v^2/R = 3.53^2/4.5 \approx 2.8\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$, apontando para o eixo do carrossel.

**Exercício 24.5 ★.**

Um gráfico de $v(t)$ sobe em linha reta de $2.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ em $t = 0$ até $10.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ em $t = 4.0\,\mathrm{s}$. Leia a aceleração e depois a distância percorrida (área sob o gráfico).

**Solução de Exercício 24.5.**

Inclinação: $a = (10.0 - 2.0)/4.0 = 2.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$. Área (trapézio): $d = \tfrac12 (2.0 + 10.0) \times 4.0 = 24\,\mathrm{m}$.

**Exercício 24.6 ★★.**

Um trem de alta velocidade faz uma curva de raio $6.0\,\mathrm{km}$ a $320\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$. Calcule $a_n$ e compare-a com $g$; por que as linhas de alta velocidade precisam evitar curvas fechadas, mesmo perfeitamente inclinadas?

**Solução de Exercício 24.6.**

$v = 88.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$: $a_n = 88.9^2/6000 \approx 1.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}
\approx 0.13\,g$. Como $a_n = v^2/R$, um $v$ alto exige um $R$ enorme para manter aceitável a aceleração lateral (e a [força](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-force) sobre a via e sobre os passageiros) — a inclinação da via muda quem a fornece, e não o tamanho dela.

**Exercício 24.7 ★★.**

Um carrinho num trilho reto tem $x(t) = -1.2\,t^2 + 8.0\,t + 3.0$ ([metros](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/1-ordens-de-grandeza-medir-o-universo#def-g10-orders-of-magnitude-unit), segundos). Encontre $v(t)$ e $a$, o instante e a posição da inversão de sentido, e descreva o movimento antes e depois.

**Solução de Exercício 24.7.**

$v(t) = -2.4\,t + 8.0$; $a = -2.4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$, constante. Inversão em $v = 0$: $t = 8.0/2.4 \approx 3.3\,\mathrm{s}$, em $x \approx 16.3\,\mathrm{m}$. Antes: para a frente, freando; depois: para trás, ganhando velocidade — uniformemente acelerado o tempo todo.

**Exercício 24.8 ★★.**

Uma [cronofotografia](#met-g12-kinematics-2d-chrono) ao longo de uma reta, a cada $\Delta t = 0.20\,\mathrm{s}$, dá $x = 0$, $0.10$, $0.28$, $0.54$ e $0.88\,\mathrm{m}$. Estime a velocidade nos três pontos interiores ([Método 24.7](#met-g12-kinematics-2d-chrono)) e depois a aceleração; conclua.

**Solução de Exercício 24.8.**

$v_1 = 0.28/0.40 = 0.70\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; $v_2 = (0.54 - 0.10)/0.40 = 1.10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; $v_3 = (0.88 - 0.28)/0.40 = 1.50\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. A velocidade ganha $0.40\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ a cada $0.20\,\mathrm{s}$: $a = 2.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$, constante — retilíneo uniformemente acelerado.

**Exercício 24.9 ★★.**

A Lua orbita a Terra num quase-círculo de raio $3.84 \times 10^{8}\,\mathrm{m}$ em $27.3\,\mathrm{d}$. Calcule a [velocidade escalar](#def-g12-kinematics-2d-velocity) e a [aceleração centrípeta](#thm-g12-kinematics-2d-centripetal) dela; compare a segunda com $g$, sabendo que a Lua está a cerca de $60$ raios terrestres ([Capítulo 4](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/4-gravitacao-universal-e-peso#ch-g10-universal-gravitation)).

**Solução de Exercício 24.9.**

$T = 2.36 \times 10^{6}\,\mathrm{s}$: $v = 2\pi \times 3.84 \times 10^{8}/2.36 \times 10^{6} \approx 1.0 \times 10^{3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; $a_n = v^2/R \approx 2.7 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$. Razão: $g/a_n \approx 3600 = 60^2$ — a gravidade, diluída pelo inverso do quadrado da distância ([Capítulo 4](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/4-gravitacao-universal-e-peso#ch-g10-universal-gravitation)), explica exatamente a curva da Lua.

**Exercício 24.10 ★★.**

O tambor de uma máquina de lavar, de raio $25\,\mathrm{cm}$, gira a $1200$ rotações por minuto. Calcule $f$, $T$, a [velocidade escalar](#def-g12-kinematics-2d-velocity) na borda e a aceleração na borda em múltiplos de $g$. Por que a roupa fica grudada enquanto a água sai?

**Solução de Exercício 24.10.**

$f = 1200/60 = 20\,\mathrm{Hz}$, $T = 0.050\,\mathrm{s}$; $v = 2\pi R f = 2\pi \times 0.25 \times 20 \approx 31\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; $a_n = v^2/R \approx 3.9 \times 10^{3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2} \approx 400\,g$. A parede do tambor fornece o $a_n$ da roupa; pelos furos nada empurra a água para dentro, e por isso ela sai pela tangente.

**Exercício 24.11 ★★.**

Um carro a $90\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ freia com $a = 7.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ constante: calcule o tempo de parada e a distância de frenagem, e esboce $v(t)$.

**Solução de Exercício 24.11.**

$v_0 = 25\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$: $t_s = 25/7.5 \approx 3.3\,\mathrm{s}$; $d = v_0^2/(2a) = 625/15 \approx 42\,\mathrm{m}$. Gráfico: um segmento de reta descendo de $25\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ até $0$ em $t_s$.

**Exercício 24.12 ★★★.**

Para $x(t) = R\cos(\omega t)$ e $y(t) = R\sin(\omega t)$: calcule $\vect v$; verifique que a [velocidade escalar](#def-g12-kinematics-2d-velocity) é a constante $R\omega$ e que $\vect v \perp \vect{OM}$; calcule $\vect a$, mostre que ele vale $-\omega^2\,\vect{OM}$ e recupere $a = v^2/R$.

**Solução de Exercício 24.12.**

$\vect v = (-R\omega\sin\omega t,\, R\omega\cos\omega t)$, de norma constante $R\omega$; o produto escalar dele com $\vect{OM}$ se anula, de modo que ele é perpendicular ao raio e, portanto, tangente. Derivando de novo, $\vect a = -\omega^2\vect{OM}$: em direção a $O$, de norma $\omega^2 R = (v/R)^2 R = v^2/R$.

**Exercício 24.13 ★★★.**

Uma motocicleta entra numa curva de raio $80\,\mathrm{m}$ a $20\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, freando a $2.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$. Calcule $a_t$, $a_n$, a norma de $\vect a$ e o ângulo dele com a direção do movimento. Os pneus aderem até $7.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ no total: o piloto está dentro do limite?

**Solução de Exercício 24.13.**

$a_t = 2.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ (para trás), $a_n = 20^2/80 = 5.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$; $a = \sqrt{2.5^2 + 5.0^2} \approx 5.6\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$; ângulo com a direção do movimento: $\theta = 180^\circ - \arctan(5.0/2.5) \approx 117^\circ$ (ou seja, $63^\circ$ a partir de exatamente para trás). $5.6 < 7.0$: dentro da aderência, com pouca folga.

**Exercício 24.14 ★★★.**

Um metrô acelera do repouso a $1.2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ até $20\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, segue em velocidade de cruzeiro por $40\,\mathrm{s}$ e depois freia a $1.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ até parar. Calcule a duração e o comprimento de cada fase, a distância total e a [velocidade média](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/5-movimento-relativo#def-g10-relative-motion-speed). Esboce $v(t)$ e confira a distância como uma área.

**Solução de Exercício 24.14.**

Arrancada: $t_1 = 20/1.2 \approx 17\,\mathrm{s}$, $d_1 = 20^2/(2 \times 1.2) \approx 167\,\mathrm{m}$. Cruzeiro: $40\,\mathrm{s}$, $800\,\mathrm{m}$. Frenagem: $t_3 = 20/1.5 \approx 13\,\mathrm{s}$, $d_3 = 400/3.0 \approx 133\,\mathrm{m}$. Total: $1.1 \times 10^{3}\,\mathrm{m}$ em $70\,\mathrm{s}$; média $1100/70 \approx 16\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ($57\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$). O $v(t)$ é um trapézio cuja área, $\tfrac12(70 + 40) \times 20 = 1100\,\mathrm{m}$, confere com o total.

**Exercício 24.15 ★★★.**

Um [satélite](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/4-gravitacao-universal-e-peso#def-g10-universal-gravitation-satellite) geoestacionário gira num raio de $4.22 \times 10^{7}\,\mathrm{m}$ a partir do centro da Terra, com [período](#def-g12-kinematics-2d-ucm) $86\,164\,\mathrm{s}$. Calcule a [velocidade escalar](#def-g12-kinematics-2d-velocity) e a [aceleração centrípeta](#thm-g12-kinematics-2d-centripetal) dele. O que a fornece, e por que o [satélite](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/4-gravitacao-universal-e-peso#def-g10-universal-gravitation-satellite) fica pairando sobre um ponto fixo do equador ([Capítulo 27](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/27-satelites-e-movimento-dos-planetas#ch-g12-satellites-kepler))?

**Solução de Exercício 24.15.**

$v = 2\pi \times 4.22 \times 10^{7}/86\,164 \approx 3.1 \times 10^{3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; $a_n = v^2/R \approx 0.22\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$. Quem a fornece é a gravidade da Terra àquela distância; o [período](#def-g12-kinematics-2d-ucm) é igual ao [período](#def-g12-kinematics-2d-ucm) de rotação da Terra, de modo que [satélite](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/4-gravitacao-universal-e-peso#def-g10-universal-gravitation-satellite) e solo giram juntos e ele fica pairando sobre um ponto do equador ([Capítulo 27](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/27-satelites-e-movimento-dos-planetas#ch-g12-satellites-kepler)).

## 24.7 Problema: o laudo do acidente

**Problema 24.1.**

Problema de fim de semana — o laudo do acidente: um vídeo de câmera de bordo lido quadro a quadro, uma lei de frenagem reconstruída a partir das marcas de derrapagem, uma rotatória que testemunha sobre a aderência e um veredito em quilômetros por hora

Um carro atinge uma van que saiu de uma rua [transversal](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/20-ondas-mecanicas#def-g12-mechanical-waves-transverse); ninguém se machuca, mas as seguradoras discordam. O perito tem imagens de uma câmera aérea (um quadro a cada $0.50\,\mathrm{s}$), marcas de derrapagem medidas e a câmera de bordo do carro. O limite de velocidade é $50\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$.

**Parte I — Ler o filme.** Os quadros anteriores a qualquer reação dão, ao longo da estrada reta:

| $t$ ($\mathrm{s}$) | 0.00 | 0.50 | 1.00 | 1.50 | 2.00 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $x$ ($\mathrm{m}$) | 0.0 | 9.0 | 18.0 | 27.0 | 36.0 |

1. Por que o laudo precisa nomear primeiro um [referencial](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/5-movimento-relativo#def-g10-relative-motion-frame) e eixos? Quais são usados aqui?
2. Calcule a [velocidade média](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/5-movimento-relativo#def-g10-relative-motion-speed) em cada um dos quatro intervalos.
3. Que classe de movimento é essa? Justifique pela tabela.
4. Dê a velocidade $v_0$ do carro em $\mathrm{m}/\mathrm{s}$ e em $\mathrm{km}/\mathrm{h}$ .
5. Qual é a aceleração ao longo desses dois segundos?

**Parte II — As marcas de derrapagem.** Testes de pneus nesse asfalto seco dão uma desaceleração de frenagem constante $a = 6.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$; as marcas de derrapagem têm $d_b = 27\,\mathrm{m}$ de comprimento. Tome $t = 0$ e $x = 0$ no início da frenagem, com velocidade desconhecida $v_B$.

6. Por primitivas, escreva $v(t)$ e $x(t)$ durante a frenagem.
7. Exprima o tempo de parada $t_s$ ; mostre que $d_b = v_B^2/(2a)$ .
8. Deduza $v_B$ a partir das marcas de derrapagem. É coerente com a Parte I?
9. O tempo de reação é $1.0\,\mathrm{s}$ : calcule a distância de reação e a distância total de parada.
10. Explique, a partir da questão 7, por que dobrar a velocidade quadruplica a distância de frenagem; calcule $d_b$ a exatamente $50\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ .

**Parte III — A rotatória testemunha.** Um pouco antes, a câmera de bordo mostra o carro percorrendo uma faixa de rotatória de raio $R = 12.5\,\mathrm{m}$ com [velocidade escalar](#def-g12-kinematics-2d-velocity) constante, um quarto de volta em $2.5\,\mathrm{s}$. A pista consegue fornecer no máximo $a_n = \mu g$, com $\mu = 0.70$.

11. A [velocidade escalar](#def-g12-kinematics-2d-velocity) ali é constante — e a velocidade? O carro está acelerando? Explique.
12. Calcule a [velocidade escalar](#def-g12-kinematics-2d-velocity) do carro na rotatória.
13. Calcule a [aceleração centrípeta](#thm-g12-kinematics-2d-centripetal) dele (norma e direção).
14. Calcule a velocidade máxima sem derrapagem. O carro estava dentro dela?
15. Dê o [período](#def-g12-kinematics-2d-ucm) e a [frequência](#def-g12-kinematics-2d-ucm) de uma volta completa nessa velocidade.

**Parte IV — O veredito.** A van apareceu $D = 41\,\mathrm{m}$ à frente do carro no instante em que o motorista começou a reagir.

16. De quanto, em $\mathrm{km}/\mathrm{h}$ e em porcentagem, a velocidade antes da frenagem excedeu o limite?
17. Calcule a velocidade do carro no impacto.
18. Refaça a conta de parada a exatamente $50\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ (mesma reação, mesma frenagem): o carro para, e com que margem?
19. Dê a fórmula geral da distância de parada $d(v)$ ; por que a velocidade entra duas vezes — uma linearmente e outra ao quadrado?
20. O veredito, em uma frase com os números: a que velocidade o motorista estava, e o acidente teria acontecido no limite?

**Solução de Problema 24.1.**

**1.** O movimento é relativo ([Capítulo 5](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/5-movimento-relativo#ch-g10-relative-motion)): toda posição e toda velocidade precisam nomear o seu [referencial](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/5-movimento-relativo#def-g10-relative-motion-frame). Aqui: o [referencial do solo](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/5-movimento-relativo#def-g10-relative-motion-frames) (a estrada), com $x$ ao longo da estrada a partir da posição do primeiro quadro.

**2.** Em cada intervalo: $9.0/0.50 = 18.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ — quatro valores iguais.

**3.** Estrada reta, deslocamentos iguais em tempos iguais: [movimento retilíneo uniforme](#def-g12-kinematics-2d-uniform).

**4.** $v_0 = 18.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s} = 64.8\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$.

**5.** $\vect a = \vect 0$.

**6.** $v(t) = -a\,t + v_B$; $x(t) = -\tfrac12 a t^2 + v_B\,t$.

**7.** $v(t_s) = 0$ dá $t_s = v_B/a$; então $d_b = -\tfrac12 a (v_B/a)^2 + v_B^2/a = v_B^2/(2a)$.

**8.** $v_B = \sqrt{2 a d_b} = \sqrt{2 \times 6.0 \times 27} =
\sqrt{324} = 18.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ — exatamente a velocidade filmada: o motorista não reduziu antes de frear.

**9.** Reação: $18.0 \times 1.0 = 18\,\mathrm{m}$; total $18 + 27 = 45\,\mathrm{m}$.

**10.** $d_b = v_B^2/(2a) \propto v_B^2$: dobrar $v_B$ multiplica $d_b$ por $4$. A $50\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ($13.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$): $d_b = 13.9^2/12.0 \approx 16\,\mathrm{m}$.

**11.** A [velocidade escalar](#def-g12-kinematics-2d-velocity) é constante, mas a direção da velocidade gira: $\vect v$ não é constante, de modo que o carro está acelerando.

**12.** Quarto de volta: $2\pi R/4 = 19.6\,\mathrm{m}$; $v = 19.6/2.5 \approx 7.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ($28\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$).

**13.** $a_n = 7.85^2/12.5 \approx 4.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$, em direção ao centro da rotatória.

**14.** $a_{\max} = \mu g = 0.70 \times 9.81 \approx
6.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$; $v_{\max} = \sqrt{\mu g R} = \sqrt{6.87 \times 12.5} \approx
9.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ($33\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$). $7.9 < 9.3$: dentro da aderência — coerente com a faixa limpa, sem derrapagem.

**15.** $T = 2\pi R/v = 78.5/7.85 \approx 10.0\,\mathrm{s};
f = 0.10\,\mathrm{Hz}$.

**16.** $64.8 - 50 \approx 15\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ acima — cerca de $30\%$ acima do limite.

**17.** A frenagem age ao longo de $41 - 18 = 23\,\mathrm{m}$: $v^2 = v_B^2 - 2ad = 324 - 2 \times 6.0 \times 23 = 48$, logo $v \approx 6.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s} \approx 25\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ no impacto.

**18.** A $13.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$: $13.9 \times 1.0 + 13.9^2/12.0 = 13.9 + 16.1 = 30.0\,\mathrm{m} <
41\,\mathrm{m}$ — o carro para $11\,\mathrm{m}$ antes da van.

**19.** $d(v) = v\,t_r + v^2/(2a)$: uma vez linearmente (a reação cobre $v t_r$ antes de os freios agirem) e outra ao quadrado (a parcela cinética $v^2/(2a)$) — e é por isso que excessos moderados custam de modo desproporcional.

**20.** A câmera de bordo e as marcas de derrapagem concordam: $65\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ numa zona de $50\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$; no limite legal o carro teria parado $11\,\mathrm{m}$ antes da van — o acidente são os $15\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ a mais.