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title: "As leis de Newton"
book: "Física do ensino médio"
subject: physics
language: pt
chapter: 25
exercises: 15
source: https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/25-as-leis-de-newton
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# Capítulo 25 — As leis de Newton

Contrabandeie uma balança de banheiro para dentro de um elevador. Quando a cabine arranca para cima, o ponteiro marca três [quilogramas](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/1-ordens-de-grandeza-medir-o-universo#def-g10-orders-of-magnitude-unit) a mais; perto do último andar, marca a menos; entre as duas coisas, a pura verdade — a bordo nada mudou além do movimento. Este capítulo enuncia as três leis por trás desse ponteiro e as forja no método que governa toda a mecânica: escolha um sistema, desenhe as [forças](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-force) dele, projete $\sum \vect F = m\vect a$.

## 25.1 Quantidade de movimento e a primeira lei tornada exata

**Definição 25.1 (Quantidade de movimento).**

A *quantidade de movimento* de um corpo de massa $m$ ($\mathrm{kg}$) que se move com velocidade $\vect v$ é o vetor

$$
\vect p = m \vect v \qquad (\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}):
$$

a velocidade, ponderada pela massa; para um sistema, a soma vetorial sobre as partes dele.

**Definição 25.2 (Referencial inercial).**

Um *referencial inercial* é aquele em que todo corpo isolado — sem [forças](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-force), ou com [forças que se compensam](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-compensate) — se move em linha reta com velocidade constante ([Capítulo 6](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#ch-g10-inertia)). O solo é um deles com excelente precisão, assim como qualquer cabine em [movimento retilíneo uniforme](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/24-cinematica-em-duas-dimensoes#def-g12-kinematics-2d-uniform) sobre ele; um trem freando ou um carrossel girando não são: ali, a bagagem solta acelera sem que ninguém a empurre.

**Teorema 25.3 (Primeira lei de Newton).**

Num [referencial inercial](#def-g12-newtons-laws-inertial), a [quantidade de movimento](#def-g12-newtons-laws-momentum) de um sistema isolado não muda: $\vect p$ é constante, ou seja, $d\vect p/dt = \vect 0$.

**Demonstração.** *Admitido neste nível.* ∎

**Observação 25.4 (A inércia, afiada duas vezes).**

É o [princípio da inércia](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#thm-g10-inertia-principle) do [Capítulo 6](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#ch-g10-inertia), promovido duas vezes: ele diz *onde* vale — define os referenciais inerciais como aqueles em que vale — e protege um vetor, $m\vect v$, cuja contabilidade rende no fim do capítulo.

## 25.2 A segunda lei de Newton

**Teorema 25.5 (Segunda lei de Newton).**

Num [referencial inercial](#def-g12-newtons-laws-inertial), a [força resultante](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/16-forcas-e-movimento#def-g11-forces-and-motion-netforce) sobre um corpo é igual à taxa de variação da sua [quantidade de movimento](#def-g12-newtons-laws-momentum); para massa constante, como $\vect p = m\vect v$,

$$
\sum \vect F = \frac{d\vect p}{dt} = m\,\frac{d\vect v}{dt} = m \vect a .
$$

**Demonstração.** *Admitido neste nível.* ∎

**Observação 25.6 (Uma lei da natureza e a unidade dela).**

Não há demonstração: esta é uma lei da natureza, pesada contra a experiência por três séculos. O ano passado ([Capítulo 16](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/16-forcas-e-movimento#ch-g11-forces-and-motion)) deu a sombra dela, $\Delta v \propto F\,\Delta t/m$; a derivada ([Capítulo 24](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/24-cinematica-em-duas-dimensoes#ch-g12-kinematics-2d)) a torna exata a cada instante — as letras miúdas esperam no volume do primeiro ano de graduação. A [força](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-force) ganha uma [unidade](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/1-ordens-de-grandeza-medir-o-universo#def-g10-orders-of-magnitude-unit), $\mathrm{N} = \mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$; e um corpo sujeito apenas ao seu [peso](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/4-gravitacao-universal-e-peso#def-g10-universal-gravitation-weight) obedece a $m\vect a = m\vect g$: toda massa cai com $\vect a = \vect g$, e $g = 9.81\,\mathrm{N}/\mathrm{kg} = 9.81\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ — as duas leituras são uma só.

**Exemplo 25.7 (Força média, sem precisar de detalhes).**

Um carro de $1300\,\mathrm{kg}$ vai do repouso a $100\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ($27.8\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$) em $8.0\,\mathrm{s}$: seja qual for a história instante a instante, a [força resultante](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/16-forcas-e-movimento#def-g11-forces-and-motion-netforce) média é $\Delta p/\Delta t = 1300 \times 27.8/8.0 \approx 4.5 \times 10^{3}\,\mathrm{N}$ — a [quantidade de movimento](#def-g12-newtons-laws-momentum) transforma uma pergunta sobre [forças](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-force) numa contabilidade de antes e depois.

## 25.3 A terceira lei de Newton

**Teorema 25.8 (Terceira lei de Newton).**

Se um corpo $A$ exerce uma [força](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-force) $\vect F_{A \to B}$ sobre um corpo $B$, então $B$ exerce sobre $A$ a [força](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-force) $\vect F_{B \to A} = -\vect F_{A \to B}$: mesma reta de ação, mesmo módulo, sentidos opostos — a cada instante, qualquer que seja o movimento, por contato ou a distância.

**Demonstração.** *Admitido neste nível.* ∎

**Exemplo 25.9 (O livro, a mesa e a Terra).**

Um livro repousa sobre uma mesa: duas interações, dois pares. Gravitacional: a Terra puxa o livro para baixo ($\vect P$), o livro puxa a Terra para cima. De contato: a mesa empurra o livro para cima ($\vect N$), o livro pressiona a mesa para baixo. Caminhar é o mesmo negócio: empurre o chão para trás; a reação dele é a única [força](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-force) que impulsiona você para a frente.

![Um livro, duas interações, quatro flechas: o par gravitacional (a Terra puxa o livro, o livro puxa a Terra) e o par de contato (a mesa empurra o livro, o livro pressiona a mesa). P e N não são parceiros: eles agem sobre o mesmo livro — e se cancelam apenas porque a aceleração dele é nula.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g12-newtons-laws/fig-88ac0efff76d.svg)

*Um livro, duas interações, quatro flechas: o par gravitacional (a Terra puxa o livro, o livro puxa a Terra) e o par de contato (a mesa empurra o livro, o livro pressiona a mesa). $\vect P$ e $\vect N$ *não* são parceiros: eles agem sobre o mesmo livro — e se cancelam apenas porque a aceleração dele é nula.*

## 25.4 O método: escolher, desenhar, projetar

**Método 25.10 (Resolver um problema de dinâmica).**

1. *Sistema* : nomeie o corpo (ou o conjunto de corpos) estudado.
2. *[Referencial](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/5-movimento-relativo#def-g10-relative-motion-frame)* : escolha um [referencial inercial](#def-g12-newtons-laws-inertial) e eixos adequados ao movimento — eixos da rampa, ou a [base de Frenet](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/24-cinematica-em-duas-dimensoes#def-g12-kinematics-2d-frenet) para uma curva ( [Capítulo 24](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/24-cinematica-em-duas-dimensoes#ch-g12-kinematics-2d) ).
3. *Inventário* : liste todas as [forças](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-force) — o [peso](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/4-gravitacao-universal-e-peso#def-g10-universal-gravitation-weight) e depois uma [força](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-force) por contato, nada além disso — e desenhe o diagrama de corpo livre: um ponto, uma flecha por [força](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-force) .
4. *Projete* : escreva $\sum \vect F = m\vect a$ e projete em cada eixo.
5. *Resolva e confira* : [unidades](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/1-ordens-de-grandeza-medir-o-universo#def-g10-orders-of-magnitude-unit) , sinais, casos-limite ( $\mu \to 0$ , $\alpha \to 0$ , …).

**Definição 25.11 (Força normal e atrito).**

Uma superfície age sobre um corpo por meio de duas componentes: a *força normal* $\vect N$, perpendicular à superfície, e o [atrito](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-inventory) $\vect f$, tangencial. A experiência dá as leis do [atrito](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-inventory): enquanto o corpo não desliza, o [atrito estático](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/16-forcas-e-movimento#def-g11-forces-and-motion-friction) se ajusta até um teto, $f_s \leq \mu_s N$; uma vez que ele desliza, o [atrito cinético](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/16-forcas-e-movimento#def-g11-forces-and-motion-friction) vale $f_k = \mu_k N$, contra o deslizamento. Os *coeficientes de atrito* $\mu_s$ e $\mu_k$ ($\mu_k \leq \mu_s$) dependem apenas dos dois materiais.

**Exemplo 25.12 (A rampa, duas vezes).**

Um bloco desliza por uma rampa de ângulo $\alpha$; eixos: $x$ rampa abaixo, $y$ perpendicular. Em $y$: $N = mg\cos\alpha$. Em $x$, sem [atrito](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-inventory): $ma = mg\sin\alpha$, logo $a = g\sin\alpha$ — sem a massa; em $\alpha = 30^\circ$, $a = 4.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$. Com [atrito cinético](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/16-forcas-e-movimento#def-g11-forces-and-motion-friction): $a = g(\sin\alpha - \mu_k\cos\alpha)$; para $\mu_k = 0.20$, $a = 9.81\,(0.500 - 0.173) = 3.2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$. E ele só ficou parado antes disso enquanto o [atrito estático](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/16-forcas-e-movimento#def-g11-forces-and-motion-friction) necessário coube sob o seu teto: $\tan\alpha \leq \mu_s$.

![Diagrama de corpo livre na rampa: peso P, força normal N e atrito f rampa acima, para um bloco que desliza para baixo. Os eixos ao longo da rampa e perpendicular a ela decompõem P em mg e mg (tracejados).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g12-newtons-laws/fig-0b658db3e7ea.svg)

*Diagrama de corpo livre na rampa: [peso](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/4-gravitacao-universal-e-peso#def-g10-universal-gravitation-weight) $\vect P$, [força normal](#def-g12-newtons-laws-friction) $\vect N$ e [atrito](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-inventory) $\vect f$ rampa acima, para um bloco que desliza para baixo. Os eixos ao longo da rampa e perpendicular a ela decompõem $\vect P$ em $mg\sin\alpha$ e $mg\cos\alpha$ (tracejados).*

**Definição 25.13 (Peso aparente).**

O *peso aparente* de um corpo é a [força normal](#def-g12-newtons-laws-friction) entre ele e o seu apoio — o que uma balança sob ele marca.

**Exemplo 25.14 (O elevador).**

Um passageiro de $70\,\mathrm{kg}$ está sobre uma balança num elevador de aceleração vertical $a_z$ (positiva para cima): $N - mg = ma_z$, logo $N = m(g + a_z)$. Puxando para cima a $a_z = 1.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$: $792\,\mathrm{N}$, mais pesado; freando perto do topo: $582\,\mathrm{N}$, mais leve; cruzeiro estável: $mg = 687\,\mathrm{N}$ — a primeira lei; em queda livre, $a_z = -g$: $N = 0$, ausência de [peso](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/4-gravitacao-universal-e-peso#def-g10-universal-gravitation-weight) sobre uma balança.

**Exemplo 25.15 (Dois blocos e uma roldana).**

Um bloco $m_1 = 4.0\,\mathrm{kg}$ sobre uma mesa sem [atrito](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-inventory) é amarrado por uma corda leve, passando por uma roldana ideal, a um bloco pendurado $m_2 = 1.0\,\mathrm{kg}$. A corda transmite a mesma tensão $T$ nas duas pontas; os blocos compartilham um único módulo de aceleração $a$. Uma segunda lei para cada um, ao longo do respectivo movimento: $m_1 a = T$ e $m_2 a = m_2 g - T$, logo $a = m_2\,g/(m_1 + m_2) = 1.96\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ e $T = m_1 a = 7.8\,\mathrm{N}$ — menor do que $m_2 g = 9.8\,\mathrm{N}$, como tem de ser para que $m_2$ acelere para baixo.

![Dois blocos, uma corda leve, uma roldana ideal: a mesma tensão T puxa as duas pontas e os blocos compartilham um único módulo de aceleração — uma segunda lei para cada, duas equações, duas incógnitas.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g12-newtons-laws/fig-2e421ec922ba.svg)

*Dois blocos, uma corda leve, uma roldana ideal: a mesma tensão $T$ puxa as duas pontas e os blocos compartilham um único módulo de aceleração — uma segunda lei para cada, duas equações, duas incógnitas.*

**Exemplo 25.16 (A curva plana).**

Um carro de massa $m$ faz uma curva plana de raio $R$ com [velocidade escalar](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/24-cinematica-em-duas-dimensoes#def-g12-kinematics-2d-velocity) constante $v$. Na [base de Frenet](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/24-cinematica-em-duas-dimensoes#def-g12-kinematics-2d-frenet) ([Capítulo 24](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/24-cinematica-em-duas-dimensoes#ch-g12-kinematics-2d)) a aceleração é puramente normal, $a_N = v^2/R$, apontada para o centro. Na vertical, $N = mg$; na horizontal, a única [força](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-force) centrípeta disponível é o [atrito estático](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/16-forcas-e-movimento#def-g11-forces-and-motion-friction) da pista sobre os pneus: $f = mv^2/R \leq \mu_s N = \mu_s mg$, logo $v \leq \sqrt{\mu_s\, g R}$, seja qual for a massa. Para $R = 90\,\mathrm{m}$ em pista seca ($\mu_s = 0.70$): $v_{\max} \approx 25\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ($89\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$); no gelo o teto desaba — o [Exercício 25.13](#exo-g12-newtons-laws-13) sobreleva a pista, e o [Exercício 25.10](#exo-g12-newtons-laws-10) faz a mesma projeção pendurada num fio.

![Um carro numa curva plana com velocidade escalar constante: de cima (à esquerda) a velocidade é tangente e a força resultante aponta para o centro; de trás (à direita) N equilibra P, e o atrito estático lateral da pista é toda a força centrípeta.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g12-newtons-laws/fig-6627816682bd.svg)

![Um carro numa curva plana com velocidade escalar constante: de cima (à esquerda) a velocidade é tangente e a força resultante aponta para o centro; de trás (à direita) N equilibra P, e o atrito estático lateral da pista é toda a força centrípeta.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g12-newtons-laws/fig-48df2160fac1.svg)

*Um carro numa curva plana com [velocidade escalar](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/24-cinematica-em-duas-dimensoes#def-g12-kinematics-2d-velocity) constante: de cima (à esquerda) a velocidade é tangente e a [força resultante](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/16-forcas-e-movimento#def-g11-forces-and-motion-netforce) aponta para o centro; de trás (à direita) $\vect N$ equilibra $\vect P$, e o [atrito estático](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/16-forcas-e-movimento#def-g11-forces-and-motion-friction) lateral da pista é toda a [força](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-force) centrípeta.*

## 25.5 Sistemas isolados: a quantidade de movimento se conserva

**Proposição 25.17 (Conservação da quantidade de movimento).**

Para dois corpos cujas [forças](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-force) externas se anulam ou [se compensam](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-compensate), a [quantidade de movimento](#def-g12-newtons-laws-momentum) total $\vect p_1 + \vect p_2$ é constante, sejam quais forem as [forças](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-force) que eles exerçam um sobre o outro.

**Demonstração.** Some as duas segundas leis: $\frac{d}{dt}(\vect p_1 + \vect p_2) = \vect F_{2 \to 1} + \vect F_{1 \to 2} +
\vect F_{\text{ext}}$: o par interno se cancela pela terceira lei, e $\vect F_{\text{ext}} = \vect 0$ por hipótese. ∎

**Exemplo 25.18 (Recuo).**

Uma patinadora de $60\,\mathrm{kg}$ em repouso sobre gelo liso arremessa horizontalmente uma bola medicinal de $4.0\,\mathrm{kg}$ a $6.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Antes: $\vect p = \vect 0$; depois: $0 = 60\,V + 4.0 \times 6.0$, logo $V = -0.40\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ — ela desliza para trás. Nada externo a empurrou: foi a bola (terceira lei), e as contas continuam fechando em zero.

**Observação 25.19 (Como um foguete empurra o nada).**

Um foguete é uma máquina de arremessar massa. A cada segundo os motores dele lançam uma leva de gás para trás; o gás leva embora [quantidade de movimento](#def-g12-newtons-laws-momentum) para trás, de modo que o foguete ganha a mesma quantidade para a frente — uma [propulsão](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-inventory) constante, aproximadamente a massa expelida por segundo vezes a velocidade de ejeção. O foguete empurra o próprio jato de escape, e não o ar: ele funciona melhor no espaço vazio.

## 25.6 Exercícios

**Exercício 25.1 ★.**

Calcule a [quantidade de movimento](#def-g12-newtons-laws-momentum) (a) de um velocista de $70\,\mathrm{kg}$ a $10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; (b) de um carro de $1300\,\mathrm{kg}$ a $50\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$; (c) de uma bala de $8.0\,\mathrm{g}$ a $800\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Ordene-as. Por que a mais veloz fica em último?

**Solução de Exercício 25.1.**

(a) $p = 70 \times 10 = 7.0 \times 10^{2}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. (b) $v = 13.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$: $p \approx 1.8 \times 10^{4}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. (c) $p = 0.0080 \times 800 = 6.4\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Carro $>$ velocista $>$ bala: cinco [ordens de grandeza](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/1-ordens-de-grandeza-medir-o-universo#def-g10-orders-of-magnitude-oom) de massa são mais do que a velocidade consegue comprar.

**Exercício 25.2 ★.**

Um passageiro de $70\,\mathrm{kg}$ está sobre uma balança num elevador. O que ela marca quando a cabine (a) acelera para cima a $1.2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$; (b) sobe a constantes $2.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; (c) acelera para baixo a $1.2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$? Que lei resolve o item (b)?

**Solução de Exercício 25.2.**

$N = m(g + a_z)$: (a) $70 \times 11.01 = 771\,\mathrm{N}$; (b) $a_z = 0$, logo $N = mg = 687\,\mathrm{N}$ — a primeira lei: velocidade constante, [forças que se compensam](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-compensate); (c) $70 \times 8.61 = 603\,\mathrm{N}$.

**Exercício 25.3 ★.**

Um bloco é solto numa rampa sem [atrito](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-inventory) de ângulo $30^\circ$. Calcule a aceleração dele e depois a velocidade após deslizar $3.0\,\mathrm{m}$. Para onde foi a massa?

**Solução de Exercício 25.3.**

$a = g\sin 30^\circ = 4.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$; $v = \sqrt{2 \times 4.905 \times 3.0} = 5.4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. A massa se cancela entre $ma$ e $mg\sin\alpha$.

**Exercício 25.4 ★.**

Uma bola de tênis de $58\,\mathrm{g}$ chega a $15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ e é devolvida pela mesma reta a $25\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; o contato dura $5.0\,\mathrm{ms}$. Calcule a variação da [quantidade de movimento](#def-g12-newtons-laws-momentum) e a [força](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-force) média das cordas; compare essa [força](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-force) com o [peso](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/4-gravitacao-universal-e-peso#def-g10-universal-gravitation-weight) da bola.

**Solução de Exercício 25.4.**

Inversão: $\Delta p = 0.058 \times (25 + 15) = 2.3\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; $F = 2.32/0.0050 = 4.6 \times 10^{2}\,\mathrm{N}$ — cerca de $800$ vezes o [peso](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/4-gravitacao-universal-e-peso#def-g10-universal-gravitation-weight) de $0.57\,\mathrm{N}$, e é por isso que a gravidade é ignorada durante o contato.

**Exercício 25.5 ★.**

Um livro repousa sobre uma mesa. Nomeie as duas [forças](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-force) que agem sobre o livro e, para cada uma, o par de ação e reação dela (que corpo? que sentido?). Por que o [peso](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/4-gravitacao-universal-e-peso#def-g10-universal-gravitation-weight) do livro e o empurrão da mesa não são parceiros um do outro?

**Solução de Exercício 25.5.**

[Peso](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/4-gravitacao-universal-e-peso#def-g10-universal-gravitation-weight) (a Terra sobre o livro, para baixo): parceiro = o livro puxa a Terra, para cima. [Força normal](#def-g12-newtons-laws-friction) (a mesa sobre o livro, para cima): parceiro = o livro pressiona a mesa, para baixo. O [peso](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/4-gravitacao-universal-e-peso#def-g10-universal-gravitation-weight) e a normal agem sobre o *mesmo* corpo e pertencem a duas interações diferentes — iguais aqui apenas porque $\vect a = \vect 0$.

**Exercício 25.6 ★★.**

Um engradado de $50\,\mathrm{kg}$ está num piso horizontal, com $\mu_s = 0.45$ e $\mu_k = 0.35$. (a) Que empurrão horizontal o coloca em movimento? (b) Se esse empurrão for mantido, qual é a aceleração dele? (c) Que empurrão o mantém em movimento com velocidade constante?

**Solução de Exercício 25.6.**

$N = mg = 490\,\mathrm{N}$. (a) $F > \mu_s N = 221\,\mathrm{N}$. (b) $a = (220.7 - 0.35 \times 490.5)/50 = 0.98\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$. (c) $F = \mu_k N = 172\,\mathrm{N}$.

**Exercício 25.7 ★★.**

O mesmo engradado é colocado numa rampa de inclinação ajustável ($\mu_s = 0.45$, $\mu_k = 0.35$). (a) Em que ângulo ele começa a deslizar? (b) A $30^\circ$, calcule a aceleração dele. (c) Uma vez iniciado o movimento no ângulo do item (a), ele continua acelerando? Por quê?

**Solução de Exercício 25.7.**

(a) Desliza quando $\tan\alpha > \mu_s$: $\alpha = \arctan 0.45 \approx
24^\circ$. (b) $a = g(\sin 30^\circ - 0.35\cos 30^\circ) =
9.81 \times 0.197 = 1.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$. (c) Sim: uma vez deslizando, o [atrito](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-inventory) cai para $\mu_k < \mu_s$, de modo que $a = g\cos\alpha\,(\tan\alpha - \mu_k) \approx 0.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2} > 0$.

**Exercício 25.8 ★★.**

Um bloco de $3.0\,\mathrm{kg}$ sobre uma mesa sem [atrito](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-inventory) é amarrado, por uma roldana ideal, a um bloco pendurado de $2.0\,\mathrm{kg}$. Calcule a aceleração e a tensão. Por que a tensão tinha de sair menor do que o [peso](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/4-gravitacao-universal-e-peso#def-g10-universal-gravitation-weight) do bloco pendurado?

**Solução de Exercício 25.8.**

$a = m_2 g/(m_1 + m_2) = 19.62/5.0 = 3.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$; $T = m_1 a = 11.8\,\mathrm{N}$. O bloco pendurado acelera para baixo, de modo que a [força resultante](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/16-forcas-e-movimento#def-g11-forces-and-motion-netforce) sobre ele aponta para baixo: $T$ tem de ficar abaixo de $m_2 g$.

**Exercício 25.9 ★★.**

Uma curva de raio $50\,\mathrm{m}$ é plana. Calcule a velocidade máxima de um carro para $\mu_s = 0.70$ (pista seca) e $0.40$ (molhada), em $\mathrm{km}/\mathrm{h}$. Por que a resposta vale igualmente para uma motoneta e para um caminhão?

**Solução de Exercício 25.9.**

$v_{\max} = \sqrt{\mu_s g R}$: seca $\sqrt{0.70 \times 9.81 \times 50} = 18.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s} \approx
67\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$; molhada $14.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s} = 50\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$. Tanto $mv^2/R$ quanto $\mu_s mg$ carregam $m$: ela se cancela.

**Exercício 25.10 ★★.**

Uma massa de $0.30\,\mathrm{kg}$ num fio de $1.2\,\mathrm{m}$ descreve um círculo horizontal, com o fio mantendo constantes $25^\circ$ com a vertical (um pêndulo cônico). Projete a segunda lei na vertical e depois ao longo do raio: calcule a tensão e a velocidade.

**Solução de Exercício 25.10.**

Vertical: $T\cos\theta = mg$, logo $T = 2.943/\cos 25^\circ = 3.2\,\mathrm{N}$. Raio $R = L\sin\theta =
0.507\,\mathrm{m}$; radial: $T\sin\theta = mv^2/R$, logo $v = \sqrt{gR\tan\theta} = \sqrt{9.81 \times 0.507 \times 0.466}
= 1.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

**Exercício 25.11 ★★.**

Um pacote de $5.0\,\mathrm{kg}$ viaja sobre uma balança num elevador de carga; as leituras:

| fase | $0\text{ to }2\,\mathrm{s}$ | $2\text{ to }8\,\mathrm{s}$ | $8\text{ to }10\,\mathrm{s}$ |
| --- | --- | --- | --- |
| balança ($\mathrm{N}$) | 54.0 | 49.0 | 44.1 |

Calcule a aceleração em cada fase e descreva um percurso possível. O elevador poderia estar *descendo* o tempo todo?

**Solução de Exercício 25.11.**

$a_z = (N - mg)/m$ com $mg = 49.05\,\mathrm{N}$: $+1.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$, $0$, $-1.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$. Por exemplo, uma subida: ganhar velocidade, cruzeiro, frear. Sim: entrando já em descida, as mesmas leituras significam frear, cruzeiro e voltar a ganhar velocidade descendo — a balança marca aceleração, e não velocidade.

**Exercício 25.12 ★★★.**

Uma patinadora de $60\,\mathrm{kg}$ em repouso sobre gelo liso arremessa horizontalmente uma bola de $4.0\,\mathrm{kg}$. (a) A bola parte a $8.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ *em relação ao solo*: qual é a velocidade de recuo dela? (b) Os $8.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ são agora medidos *em relação a ela*: recalcule as duas velocidades. (c) Que [força](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-force) a empurrou para trás?

**Solução de Exercício 25.12.**

(a) $0 = 60V + 4.0 \times 8.0$: $V = -0.53\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. (b) A bola vai a $8.0 + V$ em relação ao solo: $0 = 60V + 4.0(8.0 + V)$, logo $V = -32/64 = -0.50\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ e a bola voa a $7.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. (c) O empurrão da bola nas mãos dela — o parceiro, pela terceira lei, do arremesso.

**Exercício 25.13 ★★★.**

Uma curva de rodovia de raio $80\,\mathrm{m}$ é projetada para $20\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ sem qualquer ajuda do [atrito](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-inventory). Mostre que a pista precisa ser sobrelevada no ângulo $\theta$ dado por $\tan\theta = v^2/(gR)$ e calcule-o. O que o [atrito](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-inventory) precisa fazer com um carro que faça a curva mais devagar — ou mais rápido?

**Solução de Exercício 25.13.**

Sem [atrito](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-inventory): $N\cos\theta = mg$ (vertical) e $N\sin\theta =
mv^2/R$ (radial); dividindo, $\tan\theta = v^2/(gR) = 400/784.8$: $\theta \approx 27^\circ$. Mais devagar: o carro tende a escorregar rampa abaixo, e o [atrito](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-inventory) precisa apontar rampa acima; mais rápido: o contrário.

**Exercício 25.14 ★★★.**

Os motores de um foguete ejetam $250\,\mathrm{kg}$ de gás por segundo a $2500\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. (a) Quanta [quantidade de movimento](#def-g12-newtons-laws-momentum) sai por segundo — que [propulsão](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-inventory) os gases devolvem? (b) O foguete tem $5.0 \times 10^{4}\,\mathrm{kg}$ na ignição: qual é o [peso](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/4-gravitacao-universal-e-peso#def-g10-universal-gravitation-weight) dele? E a aceleração de decolagem? (c) Por que o motor funciona igualmente bem no espaço vazio?

**Solução de Exercício 25.14.**

(a) $250 \times 2500 = 6.3 \times 10^{5}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ por segundo: [propulsão](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-inventory) de $6.3 \times 10^{5}\,\mathrm{N}$. (b) $P = 4.9 \times 10^{5}\,\mathrm{N}$; $a = (6.25 - 4.905) \times 10^5 / 5.0 \times 10^{4} = 2.7\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$. (c) Ele empurra o próprio jato de escape (terceira lei), e não o ar.

**Exercício 25.15 ★★★.**

Um bloco de $4.0\,\mathrm{kg}$ numa mesa ($\mu_s = 0.35$, $\mu_k = 0.25$) é amarrado, por uma roldana ideal, a uma massa pendurada $m_2$. (a) Qual é o $m_2$ mínimo que inicia o movimento? (b) Para $m_2 = 2.0\,\mathrm{kg}$, calcule a aceleração e a tensão. (c) Verifique que $\mu_k = 0$ recupera a fórmula sem [atrito](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-inventory) do [Exercício 25.8](#exo-g12-newtons-laws-8).

**Solução de Exercício 25.15.**

(a) $m_2 g > \mu_s m_1 g$: $m_2 > 0.35 \times 4.0 = 1.4\,\mathrm{kg}$. (b) $a = (m_2 - \mu_k m_1)\,g/(m_1 + m_2) = 1.0 \times 9.81/6.0 =
1.6\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$; $T = m_2(g - a) = 16.4\,\mathrm{N}$. (c) $\mu_k = 0$ dá $a = m_2 g/(m_1 + m_2)$: a fórmula do [Exercício 25.8](#exo-g12-newtons-laws-8).

## 25.7 Problema: o teleférico

**Problema 25.1.**

Problema de fim de semana — certificar o teleférico: a tensão que a rampa exige em repouso, a sobretaxa da partida, o alívio sobre a torre, o preço de uma parada de emergência — e o único número que a placa da cabine pode prometer

Um teleférico de montanha — cabine mais carro, de massa vazia $M_0 = 2.0 \times 10^{3}\,\mathrm{kg}$ — rola sobre um cabo carregador inclinado a $\alpha = 30^\circ$, puxado por um cabo tractor paralelo à rampa com tensão $\vect T$. O [atrito](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-inventory) de rolamento é desprezível; o piso da cabine permanece horizontal o tempo todo. A cabine tem lugar para $25$ passageiros de massa média $80\,\mathrm{kg}$; você é o engenheiro que certifica. Salvo indicação em contrário, a cabine está cheia: $M = 4.0 \times 10^{3}\,\mathrm{kg}$.

**Parte I — Em repouso na rampa.**

1. Escolha o sistema; diga por que o [referencial](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/5-movimento-relativo#def-g10-relative-motion-frame) da montanha serve como [referencial inercial](#def-g12-newtons-laws-inertial) ; faça o inventário das três [forças](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-force) , com os sentidos.
2. Que lei governa a espera? Projete-a ao longo da rampa e perpendicularmente a ela para exprimir $T$ e a [força normal](#def-g12-newtons-laws-friction) $N$ do cabo carregador.
3. Calcule $T$ e $N$ .
4. Recalcule $T$ para a cabine vazia. Por que $T$ é proporcional à massa total?
5. O cabo tractor arrebenta, com os freios soltos: mostre que a aceleração de descida descontrolada vale $g \sin\alpha$ , com a cabine cheia ou vazia, e calcule-a.

**Parte II — A partida.** O guincho acelera a cabine cheia a $a = 0.60\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ rampa acima até ela atingir a velocidade de cruzeiro $v = 6.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

6. Exprima e calcule a tensão $T'$ durante essa fase.
7. Em que fração a partida eleva a tensão acima do valor de repouso?
8. Quanto dura a fase, e ao longo de que distância?
9. Uma passageira de $80\,\mathrm{kg}$ está de pé no piso horizontal. Projete a segunda lei na vertical para exprimir e calcular o [peso aparente](#def-g12-newtons-laws-apparent) dela; compare com $mg$ .
10. Que [força](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-force) a acelera horizontalmente, e de que tamanho? Por que os passageiros se inclinam?

**Parte III — Sobre a torre.** A constantes $6.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, o cabo carregador se curva sobre uma torre de apoio ao longo de um arco circular vertical de raio $R = 40\,\mathrm{m}$; no alto, a velocidade é horizontal.

11. Na [base de Frenet](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/24-cinematica-em-duas-dimensoes#def-g12-kinematics-2d-frenet) no alto ( [Capítulo 24](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/24-cinematica-em-duas-dimensoes#ch-g12-kinematics-2d) ), dê as duas componentes da aceleração, com os valores delas.
12. Projete a segunda lei ao longo da normal para exprimir e calcular a [força normal](#def-g12-newtons-laws-friction) $N'$ do cabo sobre o carro.
13. A mesma pergunta para o [peso aparente](#def-g12-newtons-laws-apparent) da passageira no alto: em que fração ela fica mais leve?
14. Com que velocidade $N'$ se anularia? Compare com a velocidade de cruzeiro e comente.
15. Que [força](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-force) o carro exerce sobre o cabo sobre a torre — que lei diz isso, com que módulo e que sentido?

**Parte IV — Frenagem, um salto e a placa.**

16. No trecho horizontal de chegada, uma parada de emergência leva a cabine cheia de $6.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ao repouso em $1.5\,\mathrm{s}$ : leia $\sum \vect F = d\vect p/dt$ como média ao longo da parada para calcular a [força](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-force) de frenagem.
17. Que [força](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-force) horizontal precisa parar uma passageira de $80\,\mathrm{kg}$ , e o [atrito estático](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/16-forcas-e-movimento#def-g11-forces-and-motion-friction) entre sapato e piso ( $\mu_s = 0.40$ ) consegue fornecê-la? Conclua.
18. Na plataforma, com os freios soltos, a cabine vazia fica pendurada e imóvel; o último passageiro ( $80\,\mathrm{kg}$ ) salta horizontalmente a $2.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ *em relação à cabine* . Calcule a velocidade de recuo da cabine e a velocidade do passageiro em relação ao solo.
19. Em uma frase: que dispositivo de [propulsão](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-inventory) vive desse princípio de recuo, e o que fixa a [propulsão](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-inventory) dele?
20. *Certificação.* O cabo tractor rompe a $100\,\mathrm{kN}$ ; as normas limitam a tensão de [trabalho](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/17-trabalho-de-uma-forca#def-g11-work-of-force-work) a um quinto disso. Mostre que o pior caso encontrado acima é a partida, deduza a massa total máxima e imprima a placa: quantos passageiros de $80\,\mathrm{kg}$ podem viajar? Confira o coeficiente de segurança.

**Solução de Problema 25.1.**

**1.** Sistema: cabine $+$ carro ($+$ passageiros). A montanha é fixa ao solo, inercial com excelente precisão. [Forças](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-force): o [peso](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/4-gravitacao-universal-e-peso#def-g10-universal-gravitation-weight) $M\vect g$ (para baixo), a [força normal](#def-g12-newtons-laws-friction) $\vect N$ do cabo carregador (perpendicular a ele) e a tensão $\vect T$ do cabo tractor (rampa acima).

**2.** Em repouso, a primeira lei: $\sum \vect F = \vect 0$. Ao longo da rampa: $T = Mg\sin\alpha$; perpendicularmente: $N = Mg\cos\alpha$.

**3.** $T = 4000 \times 9.81 \times 0.500 = 19.6\,\mathrm{kN}$; $N = 4000 \times 9.81 \times 0.866 = 34.0\,\mathrm{kN}$.

**4.** Vazia: $T = 9.8\,\mathrm{kN}$. Toda [força](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-force) do equilíbrio é proporcional a $M$, e portanto $T$ também é.

**5.** Ao longo da rampa, $Ma = Mg\sin\alpha$: $M$ se cancela, $a = g\sin\alpha = 4.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ rampa abaixo.

**6.** $T' = M(g\sin\alpha + a) = 4000 \times 5.505 =
22.0\,\mathrm{kN}$.

**7.** $a/(g\sin\alpha) = 0.60/4.905 \approx 12\%$.

**8.** $t = v/a = 10\,\mathrm{s}$; $d = v^2/(2a) = 30\,\mathrm{m}$.

**9.** Componente vertical de $\vect a$: $a\sin\alpha =
0.30\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$, logo $N = m(g + a\sin\alpha) = 80 \times 10.11 =
809\,\mathrm{N}$ contra $mg = 785\,\mathrm{N}$: $3\%$ mais pesada.

**10.** O [atrito estático](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/16-forcas-e-movimento#def-g11-forces-and-motion-friction) do piso, horizontal: $ma\cos\alpha = 80 \times 0.52 \approx 42\,\mathrm{N}$. Inclinar-se faz o empurrão total do piso passar pelo [centro de massa](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/16-forcas-e-movimento#def-g11-forces-and-motion-com) dela, e assim ele não a derruba.

**11.** $a_T = dv/dt = 0$ ([velocidade escalar](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/24-cinematica-em-duas-dimensoes#def-g12-kinematics-2d-velocity) constante); $a_N = v^2/R = 36/40 = 0.90\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$, apontada para o centro — verticalmente para baixo no alto.

**12.** Eixo normal (para baixo positivo): $Mg - N' = Mv^2/R$, logo $N' = M(g - v^2/R) = 4000 \times 8.91 = 35.6\,\mathrm{kN}$.

**13.** $N = m(g - v^2/R) = 80 \times 8.91 = 713\,\mathrm{N}$: mais leve em $v^2/(gR) = 0.90/9.81 \approx 9\%$.

**14.** $N' = 0$ em $v = \sqrt{gR} = 19.8\,\mathrm{m}/\mathrm{s} \approx
71\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ — mais do que o triplo do cruzeiro: o carro corre sobre o cabo com larga margem.

**15.** [Terceira lei de Newton](#thm-g12-newtons-laws-third): $35.6\,\mathrm{kN}$, pressionando para baixo sobre o cabo (e portanto sobre a torre) — um pouco menos do que o [peso](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/4-gravitacao-universal-e-peso#def-g10-universal-gravitation-weight) em repouso, aliviado pelo voo curvo.

**16.** $F = \Delta p/\Delta t = 4000 \times 6.0/1.5 =
16\,\mathrm{kN}$, contra o movimento ($a = 4.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$).

**17.** $f = ma = 80 \times 4.0 = 320\,\mathrm{N}$; o teto é $\mu_s mg = 0.40 \times 785 = 314\,\mathrm{N} < 320\,\mathrm{N}$: os pés sozinhos escorregam — segure no corrimão.

**18.** $0 = M_0 V + m(v_{\text{rel}} + V)$: $V = -80 \times 2.5/2080 = -0.096\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; o passageiro se move a $2.5 - 0.096 \approx 2.4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ em relação ao solo.

**19.** O foguete: a [propulsão](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-inventory) dele é fixada pela massa expelida por segundo vezes a velocidade de ejeção em relação a ele.

**20.** A maior tensão encontrada é a da partida, $T' = M \times 5.505\,\mathrm{N}/\mathrm{kg}$ (o repouso dá $Mg\sin\alpha$, e o alto da torre, menos ainda). Teto: $T' \leq 20\,\mathrm{kN}$, logo $M \leq 20000/5.505 = 3.63 \times 10^{3}\,\mathrm{kg}$: carga útil de $1.63 \times 10^{3}\,\mathrm{kg}$, ou seja, $20$ passageiros de $80\,\mathrm{kg}$ (e não $25$). Placa: *20 pessoas*; então $M = 3.6 \times 10^{3}\,\mathrm{kg}$, $T' = 19.8\,\mathrm{kN}$, coeficiente de segurança $100/19.8 \approx 5.1 \geq 5$.