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title: "Queda livre e lançamento de projéteis"
book: "Física do ensino médio"
subject: physics
language: pt
chapter: 26
exercises: 15
source: https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/26-queda-livre-e-lancamento-de-projeteis
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# Capítulo 26 — Queda livre e lançamento de projéteis

Todo jato de uma mangueira de jardim desenha a mesma curva no ar. E também uma bola de basquete rumo à cesta, um saltador em distância, uma bala de canhão: qualquer corpo abandonado ao seu [peso](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/4-gravitacao-universal-e-peso#def-g10-universal-gravitation-weight). Este capítulo conquista essa curva — uma parábola — a partir da [segunda lei de Newton](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/25-as-leis-de-newton#thm-g12-newtons-laws-second) em duas linhas de cálculo, lê nela o ponto mais alto, o [tempo de voo](#def-g12-projectile-motion-range) e o [alcance](#def-g12-projectile-motion-range), e depois deixa o ar voltar para ver o que ele estraga.

## 26.1 Queda livre

**Definição 26.1 (Queda livre).**

Um corpo está em *queda livre* quando a única [força](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-force) que age sobre ele é o seu [peso](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/4-gravitacao-universal-e-peso#def-g10-universal-gravitation-weight) $\vect P = m\vect g$: sem apoio, sem fio, com resistência do ar desprezível. Uma pedra solta, ou uma bola que já deixou a mão, está em queda livre com boa precisão — e “queda” inclui a subida.

**Teorema 26.2 (Lei da queda livre de Galileu).**

Em [queda livre](#def-g12-projectile-motion-freefall), todos os corpos compartilham a mesma aceleração, seja qual for a massa deles:

$$
\vect a = \vect g, \qquad g = 9.81\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2},
$$

dirigida verticalmente para baixo: a intensidade de [campo](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/14-campos-eletrico-e-gravitacional#def-g11-electric-gravitational-fields-field) $9.81\,\mathrm{N}/\mathrm{kg}$ do [Capítulo 4](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/4-gravitacao-universal-e-peso#ch-g10-universal-gravitation) na outra roupa dela, $\mathrm{N}/\mathrm{kg} = \mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$.

**Demonstração.** A [segunda lei de Newton](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/25-as-leis-de-newton#thm-g12-newtons-laws-second) ([Capítulo 25](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/25-as-leis-de-newton#ch-g12-newtons-laws)) com o [peso](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/4-gravitacao-universal-e-peso#def-g10-universal-gravitation-weight) como única [força](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-force): $m\vect a = m\vect g$, e a massa se cancela. Martelo e pena diferem apenas por causa do ar. ∎

**Proposição 26.3 (Queda vertical a partir do repouso).**

Solto do repouso, com a profundidade de queda $h$ contada para baixo a partir do ponto de soltura, um corpo em [queda livre](#def-g12-projectile-motion-freefall) obedece a

$$
a = g, \qquad v = g t, \qquad h = \tfrac12\, g t^2 .
$$

**Demonstração.** $v(t)$ é a primitiva da constante $a = g$ que se anula em $t = 0$ ([Capítulo 24](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/24-cinematica-em-duas-dimensoes#ch-g12-kinematics-2d)); $h(t)$ é a de $v = gt$ que se anula em $t = 0$. ∎

**Exemplo 26.4 (Ordens de grandeza).**

Após $1$, $2$, $3$ segundos de [queda livre](#def-g12-projectile-motion-freefall): $v = 9.8$, $19.6$, $29.4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ($35$, $71$, $106\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$) e $h = 4.9$, $19.6$, $44.1\,\mathrm{m}$. De um telhado de $30\,\mathrm{m}$: $t = \sqrt{2h/g} \approx 2.5\,\mathrm{s}$, chegando a $24\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ $\approx 87\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$. Os tempos crescem como $\sqrt h$ — e, passados alguns segundos, o ar se recusa a continuar desprezível (última seção).

**Exemplo 26.5 (Lançamento vertical).**

Lançado verticalmente para cima com $v_0$, eixo $Oy$ para cima a partir da mão: as mesmas duas primitivas dão $v = v_0 - gt$ e $y = v_0 t - \tfrac12 gt^2$. O ponto mais alto, onde $v = 0$, vem em $t = v_0/g$, na altura $h = v_0^2/2g$ — a resposta energética $v_0 = \sqrt{2gh}$ do [Capítulo 18](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/18-energia-mecanica-e-sua-conservacao#ch-g11-mechanical-energy) lida ao contrário; lançado *para baixo*, $v_0$ troca de sinal. Para $15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$: ponto mais alto a $11.5\,\mathrm{m}$ em $1.53\,\mathrm{s}$, de volta em $3.06\,\mathrm{s}$, a $15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

## 26.2 O projétil: uma lei, duas primitivas

**Definição 26.6 (Projétil).**

Um *projétil* é um corpo lançado com uma velocidade $\vect v_0$ e depois entregue à [queda livre](#def-g12-projectile-motion-freefall). Eixos no ponto de lançamento: $Ox$ horizontal no plano vertical de $\vect v_0$, $Oy$ vertical para cima; o *ângulo de lançamento* $\alpha$ de $\vect v_0$ acima da horizontal fixa as coordenadas dele, $(v_0\cos\alpha,\; v_0\sin\alpha)$.

**Teorema 26.7 (Equações do movimento).**

Um [projétil](#def-g12-projectile-motion-projectile) lançado da origem com [velocidade escalar](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/24-cinematica-em-duas-dimensoes#def-g12-kinematics-2d-velocity) $v_0$ e ângulo $\alpha$ tem $\vect a = (0,\,-g)$ a cada instante, logo

$$
\vect v(t) = \bigl(v_0\cos\alpha,\; v_0\sin\alpha - g t\bigr),
\qquad
\begin{cases}
x(t) = v_0\cos\alpha\; t,\\[2pt]
y(t) = v_0\sin\alpha\; t - \tfrac12\, g t^2 .
\end{cases}
$$

**Demonstração.** A [segunda lei de Newton](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/25-as-leis-de-newton#thm-g12-newtons-laws-second) dá $\vect a = \vect g = (0,-g)$. Primitivas eixo a eixo: $\vect v(t)$ a partir de $\vect a$ com valor inicial $(v_0\cos\alpha,\, v_0\sin\alpha)$, e depois a posição a partir de $\vect v$, saindo de $(0,0)$. ∎

**Proposição 26.8 (Independência dos dois movimentos).**

O movimento horizontal é uniforme — $v_x$ nunca muda — e o movimento vertical é exatamente o lançamento vertical da seção anterior: nenhuma das equações menciona a coordenada da outra. Em particular, uma bola disparada horizontalmente e uma bola solta no mesmo instante da mesma altura permanecem lado a lado — elas chegam ao chão juntas.

**Demonstração.** Na [Teorema 26.7](#thm-g12-projectile-motion-equations), $x(t)$ envolve apenas $v_0\cos\alpha$, e $y(t)$ apenas $v_0\sin\alpha$ e $g$; as duas bolas têm $v_y(0) = 0$, de modo que as duas obedecem a $h = \tfrac12 gt^2$. ∎

![Uma bola solta, outra disparada horizontalmente no mesmo instante: em cada instante t_1, t_2, t_3, a mesma altura — a velocidade não atrasa nada.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g12-projectile-motion/fig-c13d7b0707ad.svg)

*Uma bola solta, outra disparada horizontalmente no mesmo instante: em cada instante $t_1$, $t_2$, $t_3$, a mesma altura — a velocidade não atrasa nada.*

**Observação 26.9 (O macaco que se solta).**

Um tratador mira o dardo *exatamente no* macaco, que larga o galho no instante do disparo. Má ideia: dardo e macaco caem cada um $\tfrac12 gt^2$ abaixo das posições que teriam sem gravidade — a linha de mira, o galho — de modo que eles se encontram exatamente, seja qual for a velocidade do dardo ([Exercício 26.15](#exo-g12-projectile-motion-15)).

## 26.3 A parábola, lida por inteiro

**Teorema 26.10 (Trajetória).**

Eliminando $t$ entre $x(t)$ e $y(t)$: a [trajetória](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/5-movimento-relativo#def-g10-relative-motion-trajectory) de um [projétil](#def-g12-projectile-motion-projectile) ($0 \leq \alpha < 90{}^{\circ}$) é a parábola de concavidade para baixo

$$
y = x\tan\alpha \;-\; \frac{g}{2 v_0^2 \cos^2\alpha}\, x^2 .
$$

**Demonstração.** $t = x/(v_0\cos\alpha)$, substituído em $y(t)$ da [Teorema 26.7](#thm-g12-projectile-motion-equations). ∎

![A velocidade ao longo do voo: v_x nunca muda; v_y encolhe, se anula no ponto mais alto e se inverte — a flecha tomba, e a parábola acompanha.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g12-projectile-motion/fig-9bca4402f8e5.svg)

*A velocidade ao longo do voo: $\vect v_x$ nunca muda; $\vect v_y$ encolhe, se anula no ponto mais alto e se inverte — a flecha tomba, e a parábola acompanha.*

**Definição 26.11 (Alcance).**

Para um [projétil](#def-g12-projectile-motion-projectile) sobre terreno plano, o *alcance* $R$ é a distância horizontal percorrida quando ele volta à altura de lançamento; o *tempo de voo* $t_f$ é a duração dessa viagem.

**Proposição 26.12 (Ponto mais alto, tempo de voo, alcance).**

Sobre terreno plano, com $0 < \alpha < 90{}^{\circ}$:

$$
t_f = \frac{2 v_0 \sin\alpha}{g}, \qquad
h_{\text{max}} = \frac{(v_0\sin\alpha)^2}{2g}
\ \ \text{atingido em } t_f/2, \qquad
R = \frac{v_0^2 \sin(2\alpha)}{g}.
$$

O [alcance](#def-g12-projectile-motion-range) é máximo em $\alpha = 45{}^{\circ}$, onde $R = v_0^2/g$; ângulos complementares $\alpha$ e $90{}^{\circ} - \alpha$ dão o mesmo [alcance](#def-g12-projectile-motion-range).

**Demonstração.** $y = 0$ dá $t\,(v_0\sin\alpha - \tfrac12 gt) = 0$: o lançamento, e $t_f$. O ponto mais alto, $v_y = 0$, fica em $t = v_0\sin\alpha/g = t_f/2$; substitua em $y(t)$. Então $R = x(t_f) = 2v_0^2\sin\alpha\cos\alpha/g = v_0^2\sin(2\alpha)/g$. O seno é máximo em $2\alpha = 90{}^{\circ}$, e $\sin\bigl(2(90{}^{\circ}-\alpha)\bigr) = \sin(180{}^{\circ} -
2\alpha) = \sin(2\alpha)$. ∎

![Mesma velocidade de lançamento v_0 = 10\, m/ s, cinco ângulos: 45 lança mais longe; os pares (15,75) e (30,60) caem no mesmo ponto — um rasante e rápido, o outro alto e lento.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g12-projectile-motion/fig-4bb814d17b83.svg)

*Mesma velocidade de lançamento $v_0 = 10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, cinco ângulos: $45{}^{\circ}$ lança mais longe; os pares ($15{}^{\circ}$,$75{}^{\circ}$) e ($30{}^{\circ}$,$60{}^{\circ}$) caem no mesmo ponto — um rasante e rápido, o outro alto e lento.*

**Exemplo 26.13 (Tiro de meta).**

Um goleiro chuta a $v_0 = 25\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $\alpha = 45{}^{\circ}$: $R = 25^2/9.81 \approx 64\,\mathrm{m}$; os chutes reais caem mais perto de $55\,\mathrm{m}$ — é a mordida do ar.

**Método 26.14 (Contabilidade de um projétil).**

1. Eixos no ponto de lançamento, $Ox$ horizontal, $Oy$ para cima; coordenadas de $\vect v_0$ .
2. Confirme a [queda livre](#def-g12-projectile-motion-freefall) (só o [peso](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/4-gravitacao-universal-e-peso#def-g10-universal-gravitation-weight) ): então $\vect a = (0,-g)$ ; duas primitivas, com as condições iniciais a cada vez.
3. Pergunta sobre um *lugar* : elimine $t$ ( [trajetória](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/5-movimento-relativo#def-g10-relative-motion-trajectory) ). Sobre um *instante* : mantenha $t$ .
4. Dicionário: ponto mais alto $\Leftrightarrow v_y = 0$ ; altura de lançamento $\Leftrightarrow y = 0$ ; muro a $d \Leftrightarrow x = d$ ; chão $\ell$ abaixo $\Leftrightarrow y = -\ell$ .
5. Bom senso: voo simétrico em torno do ponto mais alto; $R \leq v_0^2/g$ ; o ar só encurta.

## 26.4 O que o ar muda

**Definição 26.15 (Velocidade limite).**

A resistência do ar se opõe à velocidade e cresce com ela. Um corpo em queda, portanto, acelera apenas até que o arrasto equilibre o [peso](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/4-gravitacao-universal-e-peso#def-g10-universal-gravitation-weight); a partir daí $\vect a = \vect 0$: ele cai com uma *velocidade limite* constante.

**Exemplo 26.16 (Ordens de grandeza da velocidade limite).**

Um paraquedista de corpo aberto: cerca de $55\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ($200\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$). Uma gota de chuva: cerca de $9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ — no vácuo, $2000\,\mathrm{m}$ de queda a entregariam a $\sqrt{2gh} \approx 2.0 \times 10^{2}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Uma pena: cerca de $1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, atingida em alguns centímetros — o segredo da lentidão dela: ela passa a queda inteira *na* [velocidade limite](#def-g12-projectile-motion-terminal); o martelo nem chega perto da sua.

**Observação 26.17 (Balística de verdade).**

O arrasto empurra contra a velocidade ao longo de todo o voo: o [alcance](#def-g12-projectile-motion-range) encurta, o ponto mais alto baixa e a simetria se quebra — a descida mais íngreme do que a subida, e os tiros longos visivelmente aquém da parábola. O tratamento honesto e quantitativo é uma equação diferencial resolvida no volume do primeiro ano de graduação; este ano, a parábola é o modelo certo para projéteis densos e de velocidade moderada — uma bola de basquete a $10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, e não uma bola de golfe a $70\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

![O mesmo lançamento, com e sem ar: o arrasto apara o alcance e o ponto mais alto e faz o projétil cair mais íngreme do que decolou — a simetria da parábola é a primeira baixa.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g12-projectile-motion/fig-60ed2551ae02.svg)

*O mesmo lançamento, com e sem ar: o arrasto apara o [alcance](#def-g12-projectile-motion-range) e o ponto mais alto e faz o [projétil](#def-g12-projectile-motion-projectile) cair mais íngreme do que decolou — a simetria da parábola é a primeira baixa.*

## 26.5 Exercícios

**Exercício 26.1 ★.**

Uma pedra solta de uma ponte atinge a água $2.0\,\mathrm{s}$ depois: qual é a altura da ponte e a velocidade de impacto em $\mathrm{m}/\mathrm{s}$ e em $\mathrm{km}/\mathrm{h}$?

**Solução de Exercício 26.1.**

$h = \tfrac12 \times 9.81 \times 2.0^2 = 19.6\,\mathrm{m}$; $v = gt = 19.6\,\mathrm{m}/\mathrm{s} \approx 71\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$.

**Exercício 26.2 ★.**

Na Lua, um astronauta soltou juntos um martelo e uma pena: eles chegaram juntos. Por quê — e por que a pena perde tão feio na Terra?

**Solução de Exercício 26.2.**

Não há ar na Lua: os dois em [queda livre](#def-g12-projectile-motion-freefall), e $m\vect a = m\vect g$ dá $\vect a = \vect g$ para qualquer massa. Na Terra, o arrasto sobre a pena é comparável ao [peso](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/4-gravitacao-universal-e-peso#def-g10-universal-gravitation-weight) minúsculo dela: ela desce com uma [velocidade limite](#def-g12-projectile-motion-terminal) de cerca de $1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, enquanto o martelo mal percebe o ar.

**Exercício 26.3 ★.**

Desprezando o ar, calcule o tempo de queda e a velocidade de chegada de $1.0\,\mathrm{m}$, $10\,\mathrm{m}$ e $100\,\mathrm{m}$. Como os tempos crescem com a altura?

**Solução de Exercício 26.3.**

$t = \sqrt{2h/g} = 0.45$, $1.4$, $4.5\,\mathrm{s}$; $v = gt = 4.4$, $14$, $44\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Os tempos crescem como $\sqrt h$: $\times 100$ na altura é apenas $\times 10$ no tempo.

**Exercício 26.4 ★.**

Uma bola é lançada verticalmente para cima a $15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$: qual é a altura e o instante do ponto mais alto, o tempo total até voltar à mão e a velocidade de retorno?

**Solução de Exercício 26.4.**

$h = v_0^2/2g = 11.5\,\mathrm{m}$ em $t = v_0/g = 1.53\,\mathrm{s}$; de volta em $3.06\,\mathrm{s}$, de novo a $15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ (simetria).

**Exercício 26.5 ★.**

Uma bolinha de gude rola para fora de uma mesa de $0.80\,\mathrm{m}$ de altura a $2.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Calcule o tempo de queda e a distância do ponto de chegada até a borda. O tempo de queda depende da velocidade da bolinha?

**Solução de Exercício 26.5.**

$t = \sqrt{2 \times 0.80/9.81} = 0.40\,\mathrm{s}$; $x = 2.5 \times 0.40 = 1.0\,\mathrm{m}$. Não: o tempo de queda pertence apenas ao movimento vertical (independência).

**Exercício 26.6 ★★.**

Na figura dos cinco ângulos do curso: que pares de [ângulos de lançamento](#def-g12-projectile-motion-projectile) compartilham o [alcance](#def-g12-projectile-motion-range), e que ângulo vence? Para um [alcance](#def-g12-projectile-motion-range) abaixo do máximo, qual dos dois ângulos possíveis voa por mais tempo? Justifique com $t_f$.

**Solução de Exercício 26.6.**

$(15{}^{\circ},75{}^{\circ})$ e $(30{}^{\circ},60{}^{\circ})$ compartilham o [alcance](#def-g12-projectile-motion-range); $45{}^{\circ}$ vence. O mais íngreme de um par complementar voa por mais tempo: $t_f = 2v_0\sin\alpha/g$ cresce com $\alpha$.

**Exercício 26.7 ★★.**

De uma sacada a $20\,\mathrm{m}$ uma bola é lançada verticalmente *para baixo* a $5.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Calcule o tempo até o chão e a velocidade de impacto; confira a última com um balanço de [energia](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/9-energia-formas-e-conservacao#def-g10-energy-conservation-energy) ([Capítulo 18](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/18-energia-mecanica-e-sua-conservacao#ch-g11-mechanical-energy)).

**Solução de Exercício 26.7.**

$4.905\,t^2 + 5.0\,t - 20 = 0$ dá $t = (-5 + \sqrt{25 + 392.4})/9.81 = 1.57\,\mathrm{s}$; $v = 5.0 + 9.81 \times 1.57 = 20.4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Pela [energia](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/9-energia-formas-e-conservacao#def-g10-energy-conservation-energy): $v = \sqrt{5.0^2 + 2 \times 9.81 \times 20} = 20.4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ — o mesmo.

**Exercício 26.8 ★★.**

Um [projétil](#def-g12-projectile-motion-projectile) parte do solo plano a $40\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $\alpha = 30{}^{\circ}$: [tempo de voo](#def-g12-projectile-motion-range), altura do ponto mais alto e [alcance](#def-g12-projectile-motion-range)?

**Solução de Exercício 26.8.**

$t_f = 2 \times 40 \times \sin30{}^{\circ}/9.81 = 4.1\,\mathrm{s}$; $h = (40\sin30{}^{\circ})^2/(2 \times 9.81) = 20.4\,\mathrm{m}$; $R = 40^2 \sin60{}^{\circ}/9.81 = 1.4 \times 10^{2}\,\mathrm{m}$.

**Exercício 26.9 ★★.**

Modele um saltador em distância como um [projétil](#def-g12-projectile-motion-projectile): impulsão a $10.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $\alpha = 20{}^{\circ}$. Calcule o [alcance](#def-g12-projectile-motion-range); os campeões saltam quase $9\,\mathrm{m}$ — aponte dois ingredientes que o modelo pontual deixa de fora.

**Solução de Exercício 26.9.**

$R = 10.5^2\sin40{}^{\circ}/9.81 \approx 7.2\,\mathrm{m}$. Ficaram de fora: o [centro de massa](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/16-forcas-e-movimento#def-g11-forces-and-motion-com) decola alto (corpo estendido) e aterrissa baixo e bem à frente (pernas jogadas para diante), e o saltador não é um ponto — os $1.7\,\mathrm{m}$ que faltam moram nessa geometria, e não na parábola.

**Exercício 26.10 ★★.**

A $1.2\,\mathrm{m}$ acima de um solo plano, uma bala é solta e outra idêntica é disparada horizontalmente a $300\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Qual chega primeiro? Calcule o tempo de queda e a distância de chegada da bala disparada. Que princípio está sendo testado?

**Solução de Exercício 26.10.**

Juntas: as duas têm $v_y(0) = 0$, logo o mesmo $t = \sqrt{2 \times 1.2/9.81} = 0.49\,\mathrm{s}$; a disparada cai a $300 \times 0.49 \approx 1.5 \times 10^{2}\,\mathrm{m}$ de distância. Testa-se a independência dos movimentos horizontal e vertical.

**Exercício 26.11 ★★.**

Mostre algebricamente que $\alpha$ e $90{}^{\circ} - \alpha$ compartilham o [alcance](#def-g12-projectile-motion-range) e depois encontre os dois ângulos que fazem um [projétil](#def-g12-projectile-motion-projectile) de $25\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ cair a $50\,\mathrm{m}$ de distância.

**Solução de Exercício 26.11.**

$\sin\bigl(2(90{}^{\circ}-\alpha)\bigr) = \sin(180{}^{\circ}-2\alpha) =
\sin(2\alpha)$: mesmo $R$. Aqui $\sin(2\alpha) = gR/v_0^2 =
9.81 \times 50/625 = 0.785$: $\alpha = 25.9{}^{\circ}$ ou $64.1{}^{\circ}$.

**Exercício 26.12 ★★★.**

A água sai de uma mangueira de jardim a $8.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$: qual é o maior [alcance](#def-g12-projectile-motion-range) horizontal? E a maior altura vertical? E os dois ângulos do bico que regam um canteiro a $5.0\,\mathrm{m}$ de distância?

**Solução de Exercício 26.12.**

$R_{\max} = v_0^2/g = 6.5\,\mathrm{m}$ (a $45{}^{\circ}$); $h_{\max} = v_0^2/2g = 3.3\,\mathrm{m}$ (na vertical). $\sin(2\alpha) = 9.81 \times 5.0/64 = 0.766$: $\alpha = 25.0{}^{\circ}$ ou $65.0{}^{\circ}$.

**Exercício 26.13 ★★★.**

Uma bola é chutada do solo a $18\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $\alpha = 35{}^{\circ}$, na direção de uma cerca viva de $4.0\,\mathrm{m}$ a $15\,\mathrm{m}$ de distância. Usando a equação da [trajetória](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/5-movimento-relativo#def-g10-relative-motion-trajectory), decida se ela passa por cima, e por quanto.

**Solução de Exercício 26.13.**

$y(15) = 15\tan35{}^{\circ} - \dfrac{9.81 \times 15^2}
{2 \times 18^2 \cos^235{}^{\circ}} = 10.5 - 5.1 = 5.4\,\mathrm{m}$: ela passa cerca de $1.4\,\mathrm{m}$ acima da cerca de $4.0\,\mathrm{m}$.

**Exercício 26.14 ★★★.**

Um paraquedista de $80\,\mathrm{kg}$ cai de corpo aberto com [velocidade limite](#def-g12-projectile-motion-terminal) de $55\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. (a) Qual é a [força](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-force) de arrasto? (b) Esboce a forma de $v(t)$ desde o salto. (c) Uma gota de chuva cai de $2.0\,\mathrm{km}$: qual seria a velocidade de chegada no vácuo, comparada com os $9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ reais dela?

**Solução de Exercício 26.14.**

(a) O arrasto equilibra o [peso](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/4-gravitacao-universal-e-peso#def-g10-universal-gravitation-weight): $80 \times 9.81 \approx 7.8 \times 10^{2}\,\mathrm{N}$. (b) $v(t)$ sobe com inclinação cada vez menor e estabiliza em $55\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. (c) No vácuo: $\sqrt{2 \times 9.81 \times 2000} \approx 2.0 \times 10^{2}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, vinte vezes os $9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ reais — as gotas de chuva passam quase toda a queda na [velocidade limite](#def-g12-projectile-motion-terminal).

**Exercício 26.15 ★★★.**

O macaco que se solta, demonstrado: um dardo parte da origem mirando exatamente um macaco à distância $D$ e à altura $H$ ($\tan\alpha = H/D$), que se solta em $t = 0$. Mostre que, quando o dardo chega a $x = D$, a altura dele é igual à do macaco — seja qual for $v_0$.

**Solução de Exercício 26.15.**

Em $t^* = D/(v_0\cos\alpha)$ o dardo está na altura $v_0\sin\alpha\, t^* - \tfrac12 g t^{*2} = D\tan\alpha - \tfrac12 g
t^{*2} = H - \tfrac12 g t^{*2}$, exatamente o $y = H - \tfrac12 g t^{*2}$ do macaco que se soltou. Os dois pendem $\tfrac12 gt^2$ abaixo dos pontos que ocupariam sem gravidade — eles se encontram para qualquer $v_0$.

## 26.6 Problema: a cesta no estouro do cronômetro

**Problema 26.1.**

Problema de fim de semana — a cesta no estouro do cronômetro: um lance livre dissecado flecha por flecha, a bola passando centímetros acima dos dedos do marcador, um arremesso de quadra inteira pesado contra o que um braço consegue dar, um balão por cima da tabela — e um veredito sobre o arremesso mais teatral do esporte

O aro de uma cesta de basquete é um anel horizontal a $3.05\,\mathrm{m}$ do piso; Nora solta todo arremesso a $2.00\,\mathrm{m}$, de modo que, com os eixos no ponto de soltura ($Ox$ horizontal em direção à cesta, $Oy$ para cima), o centro do aro fica $1.05\,\mathrm{m}$ acima da origem. O ar é desprezado, salvo onde se disser o contrário.

**Parte I — O lance livre.** Nora arremessa de $d = 4.20\,\mathrm{m}$ (na horizontal) com [ângulo de lançamento](#def-g12-projectile-motion-projectile) $\alpha = 50{}^{\circ}$.

1. Que [forças](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-force) agem depois da soltura? Dê $\vect a$ , citando a lei usada.
2. Deduza as coordenadas de $\vect v(t)$ .
3. Deduza $x(t)$ e $y(t)$ .
4. Elimine $t$ para obter a [trajetória](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/5-movimento-relativo#def-g10-relative-motion-trajectory) $y(x)$ .
5. A bola precisa passar pelo centro do aro, $y(d) = 1.05\,\mathrm{m}$ : resolva para $v_0$ , em $\mathrm{m}/\mathrm{s}$ e em $\mathrm{km}/\mathrm{h}$ .

**Parte II — Por cima dos dedos, dentro do anel.**

6. Quanto tempo a bola leva para chegar ao aro?
7. Calcule o instante e a altura do ponto mais alto; verifique que a bola já está descendo no aro.
8. Um marcador a $0.90\,\mathrm{m}$ à frente de Nora estica os dedos até $2.60\,\mathrm{m}$ . Por quanto a bola passa acima deles?
9. Calcule $v_x$ e $v_y$ no aro, a [velocidade escalar](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/24-cinematica-em-duas-dimensoes#def-g12-kinematics-2d-velocity) ali e o ângulo da velocidade abaixo da horizontal.
10. Por que a bola precisa chegar *descendo* — e por que íngreme?

**Parte III — O arremesso de quadra inteira.** Com o cronômetro prestes a soar, Nora está a $26.0\,\mathrm{m}$ do aro do outro lado.

11. A subida de $1.05\,\mathrm{m}$ é pequena diante de $26.0\,\mathrm{m}$ : justifique um modelo de terreno plano e deduza o [tempo de voo](#def-g12-projectile-motion-range) a partir de $y(t_f) = 0$ .
12. Deduza $R = v_0^2\sin(2\alpha)/g$ e o ângulo de maior [alcance](#def-g12-projectile-motion-range) .
13. Calcule o $v_0$ necessário para cobrir $26.0\,\mathrm{m}$ em $\alpha = 45{}^{\circ}$ .
14. Uma jogadora forte consegue arremessar uma bola de basquete a cerca de $17.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Qual é o [alcance](#def-g12-projectile-motion-range) máximo dela — o arremesso é humanamente viável?
15. A $17.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , encontre os *dois* ângulos que fazem a bola cair a $26.0\,\mathrm{m}$ de distância, e os [tempos de voo](#def-g12-projectile-motion-range) deles: com $2.0\,\mathrm{s}$ no relógio, qual bate o cronômetro?

**Parte IV — O balão por cima da tabela.** De trás da linha de fundo Nora solta um balão: soltura a $6.0\,\mathrm{m}$ do centro do aro, $\alpha = 75{}^{\circ}$; o plano da tabela cruza o arremesso dela $0.45\,\mathrm{m}$ antes do centro do aro, com a borda superior a $3.95\,\mathrm{m}$ do piso.

16. Encontre o $v_0$ que faz a bola cair pelo centro do aro.
17. Calcule a altura da bola no plano da tabela ( $x = 5.55\,\mathrm{m}$ ): ela passa por cima da borda superior, e por quanto?
18. Calcule a altura do ponto mais alto e o [tempo de voo](#def-g12-projectile-motion-range) — por que a torcida adora isso?
19. Qualitativamente, o que a resistência do ar muda nesses três arremessos, e qual deles ela mais ameaça?
20. *O veredito da cesta no estouro do cronômetro* , em duas frases: compare a velocidade que o arremesso de quadra inteira exige com a que um braço fornece, dê a margem e julgue — possível ou lenda?

**Solução de Problema 26.1.**

**1.** Só o [peso](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/4-gravitacao-universal-e-peso#def-g10-universal-gravitation-weight) (ar desprezado); pela [segunda lei de Newton](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/25-as-leis-de-newton#thm-g12-newtons-laws-second): $m\vect a = m\vect g$, logo $\vect a = (0,\,-g)$.

**2.** $v_x = v_0\cos\alpha$, $v_y = v_0\sin\alpha - gt$.

**3.** $x = v_0\cos\alpha\, t$, $y = v_0\sin\alpha\, t - \tfrac12 gt^2$.

**4.** $t = x/(v_0\cos\alpha)$: $y = x\tan\alpha - g x^2/(2v_0^2\cos^2\alpha)$.

**5.** $v_0^2 = \dfrac{g d^2}{2\cos^2\alpha\,(d\tan\alpha -
1.05)} = \dfrac{173.0}{0.826 \times 3.96} = 52.9$: $v_0 = 7.28\,\mathrm{m}/\mathrm{s} \approx 26\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$.

**6.** $t = d/(v_0\cos\alpha) = 4.20/4.68 = 0.90\,\mathrm{s}$.

**7.** Ponto mais alto em $t = v_0\sin\alpha/g = 0.57\,\mathrm{s}$, à altura $2.00 + (v_0\sin\alpha)^2/2g = 2.00 + 1.58 = 3.58\,\mathrm{m}$; $0.57 < 0.90$: descendo no aro.

**8.** $y(0.90) = 0.90\tan50{}^{\circ} - 0.182 = 0.89\,\mathrm{m}$ acima da soltura, ou seja, $2.89\,\mathrm{m}$ acima do piso: $0.29\,\mathrm{m}$ acima dos dedos.

**9.** $v_x = 4.68\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; $v_y = 5.57 - 9.81 \times 0.90 = -3.24\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; $v = 5.69\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, a $\arctan(3.24/4.68) = 34.7{}^{\circ}$ abaixo da horizontal.

**10.** O aro é um anel horizontal: a bola precisa cruzar o plano dele vindo de cima. Quanto mais íngreme a entrada, maior parece a abertura do anel ao longo da velocidade — mais margem de erro.

**11.** $1.05/26.0 = 4\%$: desprezível. $y(t_f) = 0$ dá $t_f\,(v_0\sin\alpha - \tfrac12 g t_f) = 0$, logo $t_f = 2v_0\sin\alpha/g$.

**12.** $R = v_0\cos\alpha\, t_f = v_0^2\sin(2\alpha)/g$; máximo em $\alpha = 45{}^{\circ}$.

**13.** $v_0 = \sqrt{gR} = \sqrt{9.81 \times 26.0} =
16.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s} \approx 57\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$.

**14.** $R_{\max} = 17.5^2/9.81 = 31.2\,\mathrm{m} > 26.0\,\mathrm{m}$: viável, com $5\,\mathrm{m}$ de [alcance](#def-g12-projectile-motion-range) de sobra.

**15.** $\sin(2\alpha) = 255.1/306.3 = 0.833$: $\alpha = 28.2{}^{\circ}$ ou $61.8{}^{\circ}$; [tempos de voo](#def-g12-projectile-motion-range) $2v_0\sin\alpha/g = 1.69\,\mathrm{s}$ e $3.14\,\mathrm{s}$. Só o arremesso rasante bate o cronômetro de $2.0\,\mathrm{s}$.

**16.** $v_0^2 = \dfrac{9.81 \times 36}{2\cos^275{}^{\circ}\,
(6.0\tan75{}^{\circ} - 1.05)} = \dfrac{353.2}{2.86} = 123.5$: $v_0 = 11.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

**17.** $y(5.55) = 5.55\tan75{}^{\circ} - 18.26 = 2.45\,\mathrm{m}$ acima da soltura, ou seja, $4.45\,\mathrm{m}$ acima do piso: $0.50\,\mathrm{m}$ acima da borda superior da tabela.

**18.** Ponto mais alto a $2.00 + (11.1\sin75{}^{\circ})^2/2g \approx 7.9\,\mathrm{m}$; voo de $6.0/(11.1\cos75{}^{\circ}) = 2.1\,\mathrm{s}$ — dois segundos inteiros com a bola pendurada a $8\,\mathrm{m}$ de altura.

**19.** O arrasto encurta todo arremesso e torna a descida mais íngreme; o efeito cresce com a velocidade, de modo que o arremesso de quadra inteira a $17.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ é o mais castigado — o [alcance](#def-g12-projectile-motion-range) real dele fica alguns [metros](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/1-ordens-de-grandeza-medir-o-universo#def-g10-orders-of-magnitude-unit) aquém de $31\,\mathrm{m}$, comendo a margem.

**20.** *O veredito da cesta no estouro do cronômetro*: o arremesso de $26.0\,\mathrm{m}$ exige $16.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ e um braço fornece cerca de $17.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, uma margem de [alcance](#def-g12-projectile-motion-range) de $5\,\mathrm{m}$ ($\approx 20\%$) que a resistência do ar apara, mas não apaga. Possível — e é exatamente por isso que, algumas vezes por temporada, ela entra.