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title: "Satélites e movimento dos planetas"
book: "Física do ensino médio"
subject: physics
language: pt
chapter: 27
exercises: 15
source: https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/27-satelites-e-movimento-dos-planetas
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# Capítulo 27 — Satélites e movimento dos planetas

A antena parabólica da varanda está parafusada, e ainda assim passa o dia inteiro encarando um ponto fixo do céu, a $36\,000\,\mathrm{km}$ de altura; a estação espacial cruza o céu do anoitecer em minutos; uma constelação de relógios voadores diz ao seu celular onde você está. Nenhuma dessas máquinas tem motor ligado: todas estão simplesmente *caindo*. Este capítulo calcula com que velocidade e a que altura cada uma precisa cair — e depois pesa planetas com a mesma lei.

## 27.1 Cair em volta da Terra

Tudo repousa sobre a lei medida antes ([Capítulo 4](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/4-gravitacao-universal-e-peso#ch-g10-universal-gravitation)): a Terra, de massa $M$, puxa um [satélite](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/4-gravitacao-universal-e-peso#def-g10-universal-gravitation-satellite) de massa $m$ cujo centro está à distância $r$ do dela com uma [força](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-force) dirigida ao centro da Terra, de módulo

$$
F = G\,\frac{m M}{r^2}, \qquad G = 6.67 \times 10^{-11}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{kg}^{2}.
$$

Atenção ao que é $r$: a distância *entre os centros*. Um [satélite](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/4-gravitacao-universal-e-peso#def-g10-universal-gravitation-satellite) à altitude $h$ tem $r = R + h$, com $R = 6.37 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$ o raio da Terra — esquecer o $R$ é a mancada clássica deste capítulo.

**Observação 27.1 (O canhão de Newton, revisitado).**

Disparada horizontalmente, uma bala de canhão cai no chão; mais rápida, cai mais longe; na velocidade certa, o solo se afasta em curva exatamente tão depressa quanto a bala cai, e a queda se fecha sobre si mesma: uma [órbita](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/4-gravitacao-universal-e-peso#def-g10-universal-gravitation-satellite). Um [satélite](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/4-gravitacao-universal-e-peso#def-g10-universal-gravitation-satellite) não precisa de motor — apenas da velocidade *lateral* certa.

![O canhão de Newton: disparada cada vez mais rápido, a bala cai mais longe (laranja); a cerca de 7.9\, km/ s a queda dela acompanha a curvatura da Terra e ela entra em órbita (azul); mais rápida ainda, ela escapa (vermelho).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g12-satellites-kepler/fig-086db513f6b3.svg)

*O canhão de Newton: disparada cada vez mais rápido, a bala cai mais longe (laranja); a cerca de $7.9\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ a queda dela acompanha a curvatura da Terra e ela entra em [órbita](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/4-gravitacao-universal-e-peso#def-g10-universal-gravitation-satellite) (azul); mais rápida ainda, ela escapa (vermelho).*

## 27.2 A órbita circular: uma velocidade, um período

**Teorema 27.2 (Velocidade orbital).**

Um [satélite](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/4-gravitacao-universal-e-peso#def-g10-universal-gravitation-satellite) em [órbita](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/4-gravitacao-universal-e-peso#def-g10-universal-gravitation-satellite) [circular uniforme](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/24-cinematica-em-duas-dimensoes#def-g12-kinematics-2d-ucm) de raio $r$ em torno de um corpo de massa $M$ viaja com a [velocidade escalar](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/24-cinematica-em-duas-dimensoes#def-g12-kinematics-2d-velocity)

$$
v = \sqrt{\frac{G M}{r}},
$$

que não depende da massa do [satélite](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/4-gravitacao-universal-e-peso#def-g10-universal-gravitation-satellite).

**Demonstração.** A gravidade é a única [força](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-force), de modo que a [segunda lei de Newton](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/25-as-leis-de-newton#thm-g12-newtons-laws-second) ([Teorema 25.5](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/25-as-leis-de-newton#thm-g12-newtons-laws-second)) diz $m\vect a = \vect F$; projete-a na [base de Frenet](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/24-cinematica-em-duas-dimensoes#def-g12-kinematics-2d-frenet) ([Definição 24.13](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/24-cinematica-em-duas-dimensoes#def-g12-kinematics-2d-frenet)). A [força](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-force) aponta para o centro: a componente tangencial dela é nula, logo a [velocidade escalar](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/24-cinematica-em-duas-dimensoes#def-g12-kinematics-2d-velocity) é constante; a componente normal é todo o $GmM/r^2$, e o movimento circular tem $a_n = v^2/r$ ([Teorema 24.12](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/24-cinematica-em-duas-dimensoes#thm-g12-kinematics-2d-centripetal)). Portanto $m v^2/r = GmM/r^2$ e — dividindo por $m$ — $v^2 = GM/r$. ∎

![Todo o mecanismo de uma órbita: velocidade tangente, força em direção ao centro — a gravidade nunca freia o satélite, ela apenas entorta o caminho dele, para sempre.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g12-satellites-kepler/fig-8912b5a3a128.svg)

*Todo o mecanismo de uma [órbita](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/4-gravitacao-universal-e-peso#def-g10-universal-gravitation-satellite): velocidade tangente, [força](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-force) em direção ao centro — a gravidade nunca freia o [satélite](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/4-gravitacao-universal-e-peso#def-g10-universal-gravitation-satellite), ela apenas entorta o caminho dele, para sempre.*

**Proposição 27.3 (Período orbital).**

O [satélite](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/4-gravitacao-universal-e-peso#def-g10-universal-gravitation-satellite) completa a [órbita](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/4-gravitacao-universal-e-peso#def-g10-universal-gravitation-satellite) dele no [período](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/24-cinematica-em-duas-dimensoes#def-g12-kinematics-2d-ucm)

$$
T = \frac{2\pi r}{v} = 2\pi \sqrt{\frac{r^3}{G M}}.
$$

**Demonstração.** Uma volta é a circunferência $2\pi r$ com [velocidade escalar](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/24-cinematica-em-duas-dimensoes#def-g12-kinematics-2d-velocity) constante; insira $v = \sqrt{GM/r}$: $T = 2\pi r\sqrt{r/(GM)} = 2\pi\sqrt{r^3/(GM)}$. ∎

Nem $v$ nem $T$ contêm $m$: um parafuso que se solte da estação espacial orbita bem ao lado dela. E os dois caem com $r$: *quanto mais alta a [órbita](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/4-gravitacao-universal-e-peso#def-g10-universal-gravitation-satellite), mais lento o [satélite](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/4-gravitacao-universal-e-peso#def-g10-universal-gravitation-satellite)*, em velocidade ($v \propto 1/\sqrt r$) e em ângulo ($T \propto r^{3/2}$).

**Exemplo 27.4 (A estação espacial).**

A Estação Espacial Internacional voa à altitude $h \approx 400\,\mathrm{km}$, logo $r = 6.37 \times 10^{6} + 4.0 \times 10^{5} = 6.77 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$; com $GM = 6.67 \times 10^{-11} \times 5.97 \times 10^{24} = 3.98 \times 10^{14}\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}^{2}$, $v = \sqrt{3.98 \times 10^{14}/6.77 \times 10^{6}} \approx 7.7 \times 10^{3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ e $T = 2\pi r/v \approx 5.5 \times 10^{3}\,\mathrm{s} \approx 92\,\mathrm{min}$: uma volta no planeta a cada hora e meia, cerca de dezesseis nasceres do Sol por dia para os astronautas.

**Exemplo 27.5 (A Lua cai como a maçã).**

A Lua, a $r = 3.84 \times 10^{8}\,\mathrm{m}$, orbita em $T = 27.3\,\mathrm{d} = 2.36 \times 10^{6}\,\mathrm{s}$, logo $v = 2\pi r/T \approx 1.02 \times 10^{3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ e $a = v^2/r \approx 2.7 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ — exatamente $g/60^2$, e a Lua está a $60$ raios terrestres de distância: o puxão que derruba a maçã entorta a Lua, enfraquecido pelo inverso do quadrado. A cada segundo a Lua “cai” cerca de $1.4\,\mathrm{mm}$ em nossa direção, e o quilômetro lateral dela a leva em volta — a conferência que Newton fez em 1666.

## 27.3 As leis de Kepler

Newton não chutou o inverso do quadrado: ele o extraiu de três regularidades que Johannes Kepler destilou, entre 1609 e 1619, dos vinte anos de posições planetárias a olho nu de Tycho Brahe — os melhores dados do mundo pré-telescópio.

**Definição 27.6 (Elipse).**

Uma *elipse* é o conjunto dos pontos cujas distâncias a dois pontos fixos, os *focos*, têm soma constante; a metade do maior diâmetro dela é o *semieixo maior* $a$, e o círculo é o caso em que os focos se fundem. Os pontos da [órbita](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/4-gravitacao-universal-e-peso#def-g10-universal-gravitation-satellite) de um planeta mais próximo e mais distante do Sol são o *periélio* e o *afélio* dela.

**Teorema 27.7 (Leis de Kepler).**

Para os planetas que orbitam o Sol (massa $M$):

1. cada [órbita](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/4-gravitacao-universal-e-peso#def-g10-universal-gravitation-satellite) é uma [elipse](#def-g12-satellites-kepler-ellipse) com o Sol em um dos [focos](#def-g12-satellites-kepler-ellipse) ;
2. o segmento Sol–planeta varre áreas iguais em tempos iguais;
3. a razão entre o quadrado do [período](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/24-cinematica-em-duas-dimensoes#def-g12-kinematics-2d-ucm) e o cubo do [semieixo maior](#def-g12-satellites-kepler-ellipse) é a mesma para todos os planetas: $T^2/a^3 = 4\pi^2/(G M)$ .

As mesmas leis governam qualquer família de [satélites](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/4-gravitacao-universal-e-peso#def-g10-universal-gravitation-satellite) em torno de qualquer corpo central, com $M$ a massa central.

**Demonstração.** *Admitido neste nível.* ∎

**Observação 27.8 (O que podemos demonstrar este ano).**

Para uma [órbita](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/4-gravitacao-universal-e-peso#def-g10-universal-gravitation-satellite) *circular* a terceira lei é nossa: elevar ao quadrado a [Proposição 27.3](#prop-g12-satellites-kepler-period) dá $T^2/r^3 = 4\pi^2/(GM)$ — uma constante para todo [satélite](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/4-gravitacao-universal-e-peso#def-g10-universal-gravitation-satellite) do mesmo centro. Que as [elipses](#def-g12-satellites-kepler-ellipse), as áreas iguais e o $a$ geral decorrem do inverso do quadrado é mostrado, com mais cálculo, no volume do primeiro ano de graduação. Enquanto isso, a segunda lei pode ser lida: o planeta anda mais depressa no [periélio](#def-g12-satellites-kepler-ellipse), onde o segmento curto que varre precisa se apressar.

![A segunda lei de Kepler: em um mês perto do periélio P o planeta varre um setor curto e gordo; perto do afélio A, um setor longo e fino — áreas iguais: ele se apressa quando está perto e se arrasta quando está longe.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g12-satellites-kepler/fig-47904751e888.svg)

*A segunda lei de Kepler: em um mês perto do [periélio](#def-g12-satellites-kepler-ellipse) $P$ o planeta varre um setor curto e gordo; perto do [afélio](#def-g12-satellites-kepler-ellipse) $A$, um setor longo e fino — áreas iguais: ele se apressa quando está perto e se arrasta quando está longe.*

![Os oito planetas em eixos log–log: uma reta de inclinação 3/2, ou seja, T2 a3 — a terceira lei de Kepler, que nessas unidades (unidades astronômicas, anos) se lê simplesmente T2 = a3.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g12-satellites-kepler/fig-15061593fb39.svg)

*Os oito planetas em eixos log–log: uma reta de inclinação $3/2$, ou seja, $T^2 \propto a^3$ — a terceira lei de Kepler, que nessas [unidades](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/1-ordens-de-grandeza-medir-o-universo#def-g10-orders-of-magnitude-unit) ([unidades astronômicas](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/1-ordens-de-grandeza-medir-o-universo#def-g10-orders-of-magnitude-lightyear), anos) se lê simplesmente $T^2 = a^3$.*

## 27.4 Órbitas em serviço

**Definição 27.9 (Órbita geoestacionária).**

Um [satélite](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/4-gravitacao-universal-e-peso#def-g10-universal-gravitation-satellite) é *geoestacionário* quando fica pendurado sobre um ponto fixo do solo. A [órbita](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/4-gravitacao-universal-e-peso#def-g10-universal-gravitation-satellite) dele precisa ser circular, equatorial e de [período](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/24-cinematica-em-duas-dimensoes#def-g12-kinematics-2d-ucm) igual a um *dia sideral*, $T = 86\,164\,\mathrm{s}$ ($23\,\mathrm{h}$ $56\,\mathrm{min}$ $4\,\mathrm{s}$): o tempo que a Terra leva para dar uma volta *em relação às estrelas*. (O dia de $24\,\mathrm{h}$ é em relação ao Sol, em direção ao qual a Terra também avança um grau por dia.)

**Exemplo 27.10 (A altitude geoestacionária).**

A terceira lei de Kepler, lida ao contrário, dita o raio: $r = \left(GMT^2/4\pi^2\right)^{1/3} =
\left(3.98 \times 10^{14} \times (86\,164)^2/4\pi^2\right)^{1/3} \approx
4.22 \times 10^{7}\,\mathrm{m}$ — uma altitude $h = r - R \approx 3.58 \times 10^{7}\,\mathrm{m} \approx
35\,800\,\mathrm{km}$, percorrida a $v = 2\pi r/T \approx 3.1\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$. Todo repetidor que “fica parado” está sobre esse único círculo acima do equador — não existe outro.

**Exemplo 27.11 (A constelação de navegação).**

Os sistemas de navegação por [satélite](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/4-gravitacao-universal-e-peso#def-g10-universal-gravitation-satellite) voam com uns trinta [satélites](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/4-gravitacao-universal-e-peso#def-g10-universal-gravitation-satellite) a $r \approx 2.66 \times 10^{7}\,\mathrm{m}$ (altitude $\approx 20\,200\,\mathrm{km}$), onde a [Proposição 27.3](#prop-g12-satellites-kepler-period) dá $T \approx 4.32 \times 10^{4}\,\mathrm{s}$: meio [dia sideral](#def-g12-satellites-kepler-geo), de modo que cada [satélite](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/4-gravitacao-universal-e-peso#def-g10-universal-gravitation-satellite) refaz o traço no solo dele diariamente. O seu receptor compara os tempos de chegada dos sinais dos relógios deles contra [órbitas](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/4-gravitacao-universal-e-peso#def-g10-universal-gravitation-satellite) conhecidas com precisão de [metros](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/1-ordens-de-grandeza-medir-o-universo#def-g10-orders-of-magnitude-unit).

**Método 27.12 (Pesar um mundo pelo satélite dele).**

Para medir a massa de um planeta ou de uma estrela: encontre um [satélite](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/4-gravitacao-universal-e-peso#def-g10-universal-gravitation-satellite) qualquer dele (uma lua, uma sonda, um planeta), meça o raio $r$ e o [período](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/24-cinematica-em-duas-dimensoes#def-g12-kinematics-2d-ucm) $T$ da [órbita](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/4-gravitacao-universal-e-peso#def-g10-universal-gravitation-satellite) dele e inverta a terceira lei:

$$
M = \frac{4\pi^2 r^3}{G\,T^2}.
$$

Isso pesa apenas o corpo *central* — a massa do [satélite](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/4-gravitacao-universal-e-peso#def-g10-universal-gravitation-satellite) se cancelou na [Teorema 27.2](#thm-g12-satellites-kepler-speed). Toda massa da ficha de dados veio assim: a da Terra, pela Lua; a do Sol, pela própria [órbita](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/4-gravitacao-universal-e-peso#def-g10-universal-gravitation-satellite) da Terra.

**Observação 27.13 (Mais alto é mais lento — mas custa mais).**

Como $v = \sqrt{GM/r}$, a Lua se arrasta a $1\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ enquanto a estação corre a $7.7\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$. E, ainda assim, a [órbita](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/4-gravitacao-universal-e-peso#def-g10-universal-gravitation-satellite) mais alta é a mais *cara*: subir contra a gravidade armazena [energia](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/9-energia-formas-e-conservacao#def-g10-energy-conservation-energy) potencial (a conta é acertada no [Capítulo 29](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/29-trabalho-e-energia-mecanica#ch-g12-work-and-energy)), e o ganho em $E_p$ supera a perda em $E_k$. Por isso um foguete queima *para a frente* para alcançar uma [órbita](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/4-gravitacao-universal-e-peso#def-g10-universal-gravitation-satellite) mais alta e mais lenta — e um [satélite](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/4-gravitacao-universal-e-peso#def-g10-universal-gravitation-satellite) freado pelo ar rarefeito espirala *para baixo* e ganha velocidade.

**Observação 27.14 (Ficha de dados).**

Salvo indicação em contrário: $G = 6.67 \times 10^{-11}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{kg}^{2}$; Terra: $M = 5.97 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$, $R = 6.37 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$, [dia sideral](#def-g12-satellites-kepler-geo) $86\,164\,\mathrm{s}$; [órbita](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/4-gravitacao-universal-e-peso#def-g10-universal-gravitation-satellite) da Lua: $r = 3.84 \times 10^{8}\,\mathrm{m}$, $T = 27.3\,\mathrm{d}$; Sol: $M = 1.99 \times 10^{30}\,\mathrm{kg}$; distância Terra–Sol $1.496 \times 10^{11}\,\mathrm{m}$; um ano $= 3.156 \times 10^{7}\,\mathrm{s}$; Marte: $M = 6.42 \times 10^{23}\,\mathrm{kg}$, $R = 3.39 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$.

## 27.5 Exercícios

**Exercício 27.1 ★.**

Um [satélite](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/4-gravitacao-universal-e-peso#def-g10-universal-gravitation-satellite) de $1000\,\mathrm{kg}$ está na plataforma de lançamento e depois voa à altitude de $400\,\mathrm{km}$. Calcule o puxão da Terra nos dois lugares: que porcentagem sobrevive lá em cima — e por que os ocupantes flutuam?

**Solução de Exercício 27.1.**

Na plataforma: $F = GMm/R^2 = 3.98 \times 10^{17}/4.06 \times 10^{13} \approx
9.8 \times 10^{3}\,\mathrm{N}$. A $r = 6.77 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$: $F \approx 8.7 \times 10^{3}\,\mathrm{N}$ — ainda $89\%$ do valor no solo. Os ocupantes flutuam porque *caem* junto com a estação, e não porque a gravidade sumiu.

**Exercício 27.2 ★.**

Para um [satélite](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/4-gravitacao-universal-e-peso#def-g10-universal-gravitation-satellite) (teórico) rasante à superfície da Terra ($r = R$), calcule a velocidade orbital e o [período](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/24-cinematica-em-duas-dimensoes#def-g12-kinematics-2d-ucm). Compare com a bala de canhão de Newton ([Observação 27.1](#rem-g12-satellites-kepler-cannon)).

**Solução de Exercício 27.2.**

$v = \sqrt{GM/R} = \sqrt{3.98 \times 10^{14}/6.37 \times 10^{6}} \approx
7.9 \times 10^{3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; $T = 2\pi R/v \approx 5.1 \times 10^{3}\,\mathrm{s} \approx
84\,\mathrm{min}$. Exatamente os $7.9\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ da bala de canhão: uma [órbita](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/4-gravitacao-universal-e-peso#def-g10-universal-gravitation-satellite) rasante *é* o tiro de Newton.

**Exercício 27.3 ★.**

Um [satélite](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/4-gravitacao-universal-e-peso#def-g10-universal-gravitation-satellite) é levado de uma [órbita](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/4-gravitacao-universal-e-peso#def-g10-universal-gravitation-satellite) circular de raio $r$ para outra de raio $2r$. Por que fator mudam a velocidade e o [período](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/24-cinematica-em-duas-dimensoes#def-g12-kinematics-2d-ucm) dele? As respostas dependem da massa dele?

**Solução de Exercício 27.3.**

$v \propto 1/\sqrt{r}$: dividida por $\sqrt 2 \approx 1.41$. $T \propto r^{3/2}$: multiplicado por $2^{3/2} \approx 2.8$. Nenhum dos dois contém $m$: não.

**Exercício 27.4 ★.**

Refaça os números da estação: a partir de $r = 6.77 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$, calcule $v$, $T$ e o número de [órbitas](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/4-gravitacao-universal-e-peso#def-g10-universal-gravitation-satellite) completadas em $24\,\mathrm{h}$.

**Solução de Exercício 27.4.**

$v = \sqrt{3.98 \times 10^{14}/6.77 \times 10^{6}} \approx 7.67 \times 10^{3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; $T = 2\pi r/v \approx 5.55 \times 10^{3}\,\mathrm{s} \approx 92\,\mathrm{min}$; $86\,400/5546 \approx 15.6$ [órbitas](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/4-gravitacao-universal-e-peso#def-g10-universal-gravitation-satellite) por dia.

**Exercício 27.5 ★.**

Enuncie as três [leis de Kepler](#thm-g12-satellites-kepler-kepler). Em que ponto da [elipse](#def-g12-satellites-kepler-ellipse) bem esticada dele um cometa é mais rápido, e que lei diz isso? O [período](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/24-cinematica-em-duas-dimensoes#def-g12-kinematics-2d-ucm) de um [satélite](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/4-gravitacao-universal-e-peso#def-g10-universal-gravitation-satellite) depende da massa dele?

**Solução de Exercício 27.5.**

[Elipses](#def-g12-satellites-kepler-ellipse) com o Sol em um dos [focos](#def-g12-satellites-kepler-ellipse); áreas iguais em tempos iguais; $T^2/a^3$ idêntico para todos os planetas. Mais rápido no [periélio](#def-g12-satellites-kepler-ellipse), pela segunda lei (o segmento curto que varre precisa varrer depressa). Não: a massa do [satélite](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/4-gravitacao-universal-e-peso#def-g10-universal-gravitation-satellite) se cancela — só entra a massa central.

**Exercício 27.6 ★★.**

Pese a Terra: a partir do raio e do [período](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/24-cinematica-em-duas-dimensoes#def-g12-kinematics-2d-ucm) da [órbita](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/4-gravitacao-universal-e-peso#def-g10-universal-gravitation-satellite) da Lua (ficha de dados), calcule a massa da Terra e compare com o valor da ficha.

**Solução de Exercício 27.6.**

$T = 2.36 \times 10^{6}\,\mathrm{s}$: $M = 4\pi^2 r^3/(GT^2) = 2.24 \times 10^{27}/371
\approx 6.0 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$ — a menos de $1\%$ de $5.97 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$.

**Exercício 27.7 ★★.**

Uma empresa propõe um [satélite](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/4-gravitacao-universal-e-peso#def-g10-universal-gravitation-satellite) pairando permanentemente sobre Paris (latitude $49^\circ$ norte). A partir da direção da gravidade, explique por que toda [órbita](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/4-gravitacao-universal-e-peso#def-g10-universal-gravitation-satellite) circular é centrada no centro da Terra; conclua que a proposta é impossível. Onde um [satélite](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/4-gravitacao-universal-e-peso#def-g10-universal-gravitation-satellite) *pode* pairar?

**Solução de Exercício 27.7.**

A gravidade aponta para o centro da Terra e, no movimento circular, a [força resultante](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/16-forcas-e-movimento#def-g11-forces-and-motion-netforce) aponta para o centro do círculo: os dois centros coincidem. Um círculo acima do paralelo de Paris seria centrado no eixo, e não no centro da Terra — impossível. Pairar só funciona onde o paralelo é um círculo máximo centrado no centro: sobre o *equador*.

**Exercício 27.8 ★★.**

Fobos circula Marte a $r = 9.38 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$ em $T = 7\,\mathrm{h} 39\,\mathrm{min}$. Deduza a massa de Marte; compare com a ficha de dados.

**Solução de Exercício 27.8.**

$T = 2.754 \times 10^{4}\,\mathrm{s}$: $M = 4\pi^2 r^3/(GT^2) =
3.26 \times 10^{22}/5.06 \times 10^{-2} \approx 6.4 \times 10^{23}\,\mathrm{kg}$ — o Marte da ficha de dados.

**Exercício 27.9 ★★.**

Marte orbita o Sol a $a = 2.279 \times 10^{11}\,\mathrm{m}$ em $687\,\mathrm{d}$. Calcule $T^2/a^3$ para Marte e para a Terra (ficha de dados), verifique a terceira lei de Kepler e deduza a massa do Sol.

**Solução de Exercício 27.9.**

Terra: $T^2/a^3 = 9.96 \times 10^{14}/3.35 \times 10^{33} = 2.98 \times 10^{-19}\,\mathrm{s}^{2}/\mathrm{m}^{3}$. Marte: $T = 5.94 \times 10^{7}\,\mathrm{s}$, $3.52 \times 10^{15}/1.18 \times 10^{34} =
2.98 \times 10^{-19}\,\mathrm{s}^{2}/\mathrm{m}^{3}$ — iguais, como exige a terceira lei. Então $M = 4\pi^2/(G \times 2.98 \times 10^{-19}) \approx 1.99 \times 10^{30}\,\mathrm{kg}$.

**Exercício 27.10 ★★.**

O teste da Lua, de Newton: a partir da ficha de dados, calcule a velocidade da Lua e a [aceleração centrípeta](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/24-cinematica-em-duas-dimensoes#thm-g12-kinematics-2d-centripetal) $a = v^2/r$ dela. Mostre que ela é igual a $g/60^2$ e diga por que isso convenceu Newton de que uma só lei governa a maçã e a Lua.

**Solução de Exercício 27.10.**

$v = 2\pi r/T = 1.02 \times 10^{3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; $a = v^2/r = 2.72 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$; $g/60^2 = 9.81/3600 = 2.73 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$. A Lua está a $60$ raios terrestres, e a queda dela é $60^2$ vezes mais fraca do que a da maçã: exatamente o inverso do quadrado — uma lei só para as duas.

**Exercício 27.11 ★★.**

Em [unidades](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/1-ordens-de-grandeza-medir-o-universo#def-g10-orders-of-magnitude-unit) solares ([unidades astronômicas](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/1-ordens-de-grandeza-medir-o-universo#def-g10-orders-of-magnitude-lightyear), anos) a terceira lei de Kepler se lê $T^2 = a^3$: a reta do gráfico log–log do curso. Coloque nela o asteroide Ceres, $a = 2.77\,\mathrm{au}$, e o cometa de Halley, $a = 17.8\,\mathrm{au}$: calcule os dois [períodos](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/24-cinematica-em-duas-dimensoes#def-g12-kinematics-2d-ucm). Halley passou pelo [periélio](#def-g12-satellites-kepler-ellipse) pela última vez em 1986 — quando ele volta?

**Solução de Exercício 27.11.**

Ceres: $T = 2.77^{3/2} = \sqrt{21.3} \approx 4.6\,\mathrm{yr}$. Halley: $T = 17.8^{3/2} \approx 75\,\mathrm{yr}$, de modo que o próximo [periélio](#def-g12-satellites-kepler-ellipse) fica em torno de $1986 + 75 \approx 2061$.

**Exercício 27.12 ★★★.**

O ar rarefeito roça a estação e, ainda assim, a velocidade dela *aumenta* conforme ela perde altitude. Calcule $v$ nas altitudes de $400\,\mathrm{km}$ e $350\,\mathrm{km}$ e depois resolva o paradoxo: o [atrito](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-inventory) freia as coisas — de onde vem a velocidade extra?

**Solução de Exercício 27.12.**

A $400\,\mathrm{km}$: $v \approx 7.67 \times 10^{3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; a $350\,\mathrm{km}$ ($r = 6.72 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$): $v \approx 7.70 \times 10^{3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. O [atrito](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-inventory) de fato drena [energia mecânica](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/18-energia-mecanica-e-sua-conservacao#def-g11-mechanical-energy-em) — a [órbita](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/4-gravitacao-universal-e-peso#def-g10-universal-gravitation-satellite) encolhe; mas, na descida, o [trabalho](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/17-trabalho-de-uma-forca#def-g11-work-of-force-work) da gravidade paga com juros a velocidade perdida para o arrasto: $E_m$ cai enquanto $E_k$ sobe.

**Exercício 27.13 ★★★.**

Um telescópio encontra um exoplaneta que circula a estrela dele a $r = 7.48 \times 10^{9}\,\mathrm{m}$ a cada $3.50\,\mathrm{d}$. Pese a estrela, em [quilogramas](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/1-ordens-de-grandeza-medir-o-universo#def-g10-orders-of-magnitude-unit) e em Sóis. Que massa — a da estrela ou a do planeta — *não* pode ser obtida assim, e por quê?

**Solução de Exercício 27.13.**

$T = 3.024 \times 10^{5}\,\mathrm{s}$: $M = 4\pi^2 r^3/(GT^2) = 1.65 \times 10^{31}/6.10
\approx 2.7 \times 10^{30}\,\mathrm{kg} \approx 1.4$ Sóis. A massa do *planeta* está fora de [alcance](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/26-queda-livre-e-lancamento-de-projeteis#def-g12-projectile-motion-range): ela se cancelou nas equações da [órbita](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/4-gravitacao-universal-e-peso#def-g10-universal-gravitation-satellite).

**Exercício 27.14 ★★★.**

Colonos de Marte querem um repetidor “areoestacionário” sobre a base deles. Marte gira em relação às estrelas em $24\,\mathrm{h}$ $37\,\mathrm{min}$: calcule o raio da [órbita](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/4-gravitacao-universal-e-peso#def-g10-universal-gravitation-satellite) e a altitude acima da superfície marciana (ficha de dados).

**Solução de Exercício 27.14.**

$T = 8.862 \times 10^{4}\,\mathrm{s}$, $GM = 4.28 \times 10^{13}\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}^{2}$: $r^3 = GMT^2/(4\pi^2) = 8.52 \times 10^{21}$, logo $r \approx 2.04 \times 10^{7}\,\mathrm{m}$ e $h = r - R \approx 1.7 \times 10^{7}\,\mathrm{m} \approx 17\,000\,\mathrm{km}$ acima do solo marciano.

**Exercício 27.15 ★★★.**

O cometa de Halley passa pelo [periélio](#def-g12-satellites-kepler-ellipse) a $r_p = 8.77 \times 10^{10}\,\mathrm{m}$ movendo-se a $54.5\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$; o [afélio](#def-g12-satellites-kepler-ellipse) fica em $r_a = 5.25 \times 10^{12}\,\mathrm{m}$. Nos dois extremos a velocidade é perpendicular ao segmento Sol–cometa, e a segunda lei de Kepler então [força](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-force) $r_p v_p = r_a v_a$ (triângulos varridos de área $\tfrac12 r v\,\Delta t$ iguais). Deduza a velocidade no [afélio](#def-g12-satellites-kepler-ellipse) e comente a razão.

**Solução de Exercício 27.15.**

$v_a = r_p v_p / r_a = 8.77 \times 10^{10} \times 5.45 \times 10^{4} /
5.25 \times 10^{12} \approx 9.1 \times 10^{2}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Como $r_a/r_p \approx 60$, o cometa está $60$ vezes mais longe e vai $60$ vezes mais devagar: ele passa décadas se arrastando no escuro e semanas disparando ao redor do Sol.

## 27.6 Problema: uma vaga sobre o equador

**Problema 27.1.**

Problema de fim de semana — pôr um [satélite](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/4-gravitacao-universal-e-peso#def-g10-universal-gravitation-satellite) sobre o equador: por que a única vaga de estacionamento do céu é um círculo a $35\,800\,\mathrm{km}$ de altura, como ela se compara com a estação que corre lá embaixo, e como a mesma lei pesa Júpiter de passagem

Uma empresa de telecomunicações quer um repetidor que as antenas de solo dela, parafusadas uma única vez, nunca precisem perseguir: um [satélite](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/4-gravitacao-universal-e-peso#def-g10-universal-gravitation-satellite) [geoestacionário](#def-g12-satellites-kepler-geo). Você é a analista da missão; use a ficha de dados. Para a Parte IV: Io, lua de Júpiter, orbita a $r = 4.22 \times 10^{8}\,\mathrm{m}$ em $T = 1.77\,\mathrm{d}$, e Júpiter gira em relação às estrelas em $9\,\mathrm{h}$ $56\,\mathrm{min}$.

**Parte I — As regras de ficar parado.**

1. O [satélite](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/4-gravitacao-universal-e-peso#def-g10-universal-gravitation-satellite) precisa permanecer sobre um ponto fixo do solo. Qual deve ser o [período](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/24-cinematica-em-duas-dimensoes#def-g12-kinematics-2d-ucm) dele — e por que o [dia sideral](#def-g12-satellites-kepler-geo) de $86\,164\,\mathrm{s}$ , e não $24\,\mathrm{h}$ ?
2. No movimento circular a [força resultante](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/16-forcas-e-movimento#def-g11-forces-and-motion-netforce) aponta para o centro do círculo; aqui a única [força](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-force) é a gravidade. Deduza que o centro de qualquer [órbita](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/4-gravitacao-universal-e-peso#def-g10-universal-gravitation-satellite) circular é o centro da Terra.
3. Um círculo pairando sobre a latitude de Paris seria centrado no eixo da Terra, ao norte do centro. Conclua: em que plano precisa estar uma [órbita geoestacionária](#def-g12-satellites-kepler-geo) ?
4. Escreva a [segunda lei de Newton](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/25-as-leis-de-newton#thm-g12-newtons-laws-second) na [base de Frenet](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/24-cinematica-em-duas-dimensoes#def-g12-kinematics-2d-frenet) para uma [órbita](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/4-gravitacao-universal-e-peso#def-g10-universal-gravitation-satellite) circular de raio $r$ e deduza $v = \sqrt{GM/r}$ .
5. Deduza $T = 2\pi\sqrt{r^3/(GM)}$ e reescreva-o como a terceira lei de Kepler, $T^2/r^3 = 4\pi^2/(GM)$ .

**Parte II — O único círculo que funciona.**

6. Resolva a terceira lei para $r$ e calcule o raio [geoestacionário](#def-g12-satellites-kepler-geo) .
7. Deduza a altitude acima do solo.
8. Calcule a velocidade orbital a partir de $v = 2\pi r/T$ .
9. Confira-a contra $v = \sqrt{GM/r}$ .
10. O [satélite](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/4-gravitacao-universal-e-peso#def-g10-universal-gravitation-satellite) da empresa tem massa de $4.0 \times 10^{3}\,\mathrm{kg}$ ; o de uma concorrente pesa o dobro. Compare os raios [geoestacionários](#def-g12-satellites-kepler-geo) deles e diga o que a massa extra muda no lançamento.

**Parte III — A estação lá embaixo.**

11. A estação espacial voa a $r = 6.77 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$ : calcule a velocidade dela.
12. Calcule o [período](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/24-cinematica-em-duas-dimensoes#def-g12-kinematics-2d-ucm) dela, em segundos e em minutos.
13. Quantas [órbitas](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/4-gravitacao-universal-e-peso#def-g10-universal-gravitation-satellite) ela completa em $24\,\mathrm{h}$ — e mais ou menos quantos nasceres do Sol os astronautas assistem por dia?
14. Calcule a razão entre os raios, $r_{\text{geo}}/r_{\text{EEI}}$ , e verifique que a razão entre os [períodos](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/24-cinematica-em-duas-dimensoes#def-g12-kinematics-2d-ucm) é esse número elevado à [potência](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/17-trabalho-de-uma-forca#def-g11-work-of-force-power) $3/2$ , como exige a terceira lei de Kepler.
15. Que [satélite](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/4-gravitacao-universal-e-peso#def-g10-universal-gravitation-satellite) se move mais depressa, e qual exigiu mais [energia](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/9-energia-formas-e-conservacao#def-g10-energy-conservation-energy) por [quilograma](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/1-ordens-de-grandeza-medir-o-universo#def-g10-orders-of-magnitude-unit) para ser colocado no lugar? Concilie os dois em uma frase.

**Parte IV — Pesar Júpiter de quebra.**

16. A partir da terceira lei de Kepler aplicada a Io, exprima a massa $M_J$ de Júpiter em função de $G$ , $r$ e $T$ .
17. Calcule $M_J$ .
18. Quantas massas terrestres é isso? Que fração aproximada da massa do Sol?
19. Um repetidor “joviestacionário” deve ficar pendurado sobre um ponto das nuvens de Júpiter: calcule o raio da [órbita](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/4-gravitacao-universal-e-peso#def-g10-universal-gravitation-satellite) dele; compare com o de Io.
20. Relate à diretoria, em duas frases: a altitude em que a empresa precisa estacionar o repetidor dela e a massa de Júpiter que a mesmíssima lei entregou de graça.

**Solução de Problema 27.1.**

**1.** $T = 86\,164\,\mathrm{s}$: o solo gira com a Terra *em relação às estrelas* uma vez por [dia sideral](#def-g12-satellites-kepler-geo); o dia de $24\,\mathrm{h}$ acrescenta o grau por dia que a Terra avança em torno do Sol.

**2.** A [força resultante](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/16-forcas-e-movimento#def-g11-forces-and-motion-netforce) do movimento circular mira o centro do círculo; a única [força](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-force), a gravidade, mira o centro da Terra: os dois centros são o mesmo ponto.

**3.** Um círculo pairando sobre Paris seria centrado no eixo, ao norte do centro — excluído por 2. A [órbita](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/4-gravitacao-universal-e-peso#def-g10-universal-gravitation-satellite) precisa estar no *plano equatorial*.

**4.** Componente normal da [segunda lei de Newton](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/25-as-leis-de-newton#thm-g12-newtons-laws-second): $m v^2/r = GmM/r^2$, logo $v = \sqrt{GM/r}$ ($m$ se cancela).

**5.** $T = 2\pi r/v = 2\pi\sqrt{r^3/(GM)}$; elevando ao quadrado, $T^2/r^3 = 4\pi^2/(GM)$.

**6.** $r = \left(GMT^2/4\pi^2\right)^{1/3} = (7.49 \times 10^{22})^{1/3}
\approx 4.22 \times 10^{7}\,\mathrm{m}$.

**7.** $h = r - R = 4.22 \times 10^{7} - 6.37 \times 10^{6} \approx
3.58 \times 10^{7}\,\mathrm{m} \approx 35\,800\,\mathrm{km}$.

**8.** $v = 2\pi \times 4.22 \times 10^{7}/86\,164 \approx
3.07 \times 10^{3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

**9.** $\sqrt{3.98 \times 10^{14}/4.22 \times 10^{7}} \approx
3.07 \times 10^{3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ — coerente.

**10.** Raios idênticos: a massa se cancelou em 4. O [satélite](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/4-gravitacao-universal-e-peso#def-g10-universal-gravitation-satellite) mais pesado muda apenas a conta do lançamento — mais combustível para a mesma [órbita](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/4-gravitacao-universal-e-peso#def-g10-universal-gravitation-satellite).

**11.** $v = \sqrt{3.98 \times 10^{14}/6.77 \times 10^{6}} \approx
7.67 \times 10^{3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

**12.** $T = 2\pi r/v \approx 5.55 \times 10^{3}\,\mathrm{s} \approx
92.4\,\mathrm{min}$.

**13.** $86\,400/5546 \approx 15.6$ [órbitas](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/4-gravitacao-universal-e-peso#def-g10-universal-gravitation-satellite): cerca de $16$ nasceres do Sol por dia.

**14.** $r_{\text{geo}}/r_{\text{EEI}} = 4.22 \times 10^{7}/6.77 \times 10^{6}
= 6.23$; $6.23^{3/2} \approx 15.5 = 86\,164/5546$ — a terceira lei de Kepler, verificada na hora.

**15.** A estação é mais rápida ($7.67\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ contra $3.07\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$), e ainda assim o [geoestacionário](#def-g12-satellites-kepler-geo) custou mais [energia](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/9-energia-formas-e-conservacao#def-g10-energy-conservation-energy) por [quilograma](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/1-ordens-de-grandeza-medir-o-universo#def-g10-orders-of-magnitude-unit): a subida em [energia](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/9-energia-formas-e-conservacao#def-g10-energy-conservation-energy) potencial supera a perda de velocidade.

**16.** $M_J = 4\pi^2 r^3/(G T^2)$.

**17.** $T = 1.529 \times 10^{5}\,\mathrm{s}$: $M_J = 2.97 \times 10^{27}/1.56 \approx
1.90 \times 10^{27}\,\mathrm{kg}$.

**18.** $1.90 \times 10^{27}/5.97 \times 10^{24} \approx 318$ Terras — e cerca de $1/1000$ do Sol.

**19.** $T_J = 3.576 \times 10^{4}\,\mathrm{s}$: $r^3 = GM_J T_J^2/(4\pi^2) =
4.11 \times 10^{24}$, $r \approx 1.60 \times 10^{8}\,\mathrm{m}$ — Io, a $4.22 \times 10^{8}\,\mathrm{m}$, voa $2.6$ vezes mais alto e deriva pelo céu de Júpiter.

**20.** Estacione o repetidor no círculo equatorial de altitude $35\,800\,\mathrm{km}$, onde ele corre a $3.07\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ e nunca sai da mira da antena; e a mesma lei, alimentada com o mês de Io, pesou Júpiter em $1.90 \times 10^{27}\,\mathrm{kg}$ — $318$ Terras — de graça.