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title: "Osciladores mecânicos e a medida do tempo"
book: "Física do ensino médio"
subject: physics
language: pt
chapter: 28
exercises: 15
source: https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/28-osciladores-mecanicos-e-a-medida-do-tempo
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# Capítulo 28 — Osciladores mecânicos e a medida do tempo

Um relógio de pêndulo faz tique: cada tique é um pêndulo de latão cruzando a vertical, repetido quinze milhões de vezes desde o Ano-Novo. Uma lâmina de quartzo no seu relógio de pulso verga $32\,768$ vezes por segundo; um [átomo](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/13-as-interacoes-fundamentais#def-g11-fundamental-interactions-ladder) de césio zumbe nove bilhões de vezes mais depressa. Tudo que balança pode marcar o tempo: este capítulo acompanha o balanço, de Huygens aos [satélites](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/4-gravitacao-universal-e-peso#def-g10-universal-gravitation-satellite).

## 28.1 Oscilações livres

**Definição 28.1 (Oscilador, período, frequência, amplitude).**

Um *oscilador mecânico* é um sistema que, afastado de uma *posição de equilíbrio* estável e solto, vai e volta em torno dela: são as *oscilações livres*. O movimento se repete depois do *período* $T_0$ ($\mathrm{s}$); a *frequência* é $f_0 = 1/T_0$ ($\mathrm{Hz}$, [Capítulo 20](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/20-ondas-mecanicas#ch-g12-mechanical-waves)); a *amplitude* é o afastamento máximo.

**Exemplo 28.2 (Um zoológico de osciladores).**

Um balanço de parquinho: $T_0 \approx 3\,\mathrm{s}$. A corda lá de um violão: $f_0 = 110\,\mathrm{Hz}$. Um cristal de quartzo: $32\,768\,\mathrm{Hz}$. A oscilação do césio que define o segundo: cerca de $9.2 \times 10^{9}\,\mathrm{Hz}$. Dez [ordens de grandeza](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/1-ordens-de-grandeza-medir-o-universo#def-g10-orders-of-magnitude-oom), um único ofício: contar.

## 28.2 O pêndulo simples

**Definição 28.3 (Pêndulo simples).**

Um *pêndulo simples*: um pequeno corpo de massa $m$ preso a um fio inextensível de comprimento $L$ e massa desprezível, oscilando num plano vertical. Das duas [forças](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-force) sobre o corpo ([Capítulo 25](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/25-as-leis-de-newton#ch-g12-newtons-laws)), a tensão é perpendicular ao movimento, enquanto a componente do [peso](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/4-gravitacao-universal-e-peso#def-g10-universal-gravitation-weight) ao longo da [trajetória](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/5-movimento-relativo#def-g10-relative-motion-trajectory) aponta de volta para o ponto mais baixo: o [peso](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/4-gravitacao-universal-e-peso#def-g10-universal-gravitation-weight) é a *[força](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-force) restauradora*, que se opõe ao afastamento.

![Forças sobre o corpo: a tensão T é perpendicular ao movimento; a parte tangencial P_t do peso sempre aponta de volta para a vertical — a força restauradora.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g12-oscillators-and-time/fig-4439374d74c4.svg)

*[Forças](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-force) sobre o corpo: a tensão $\vect T$ é perpendicular ao movimento; a parte tangencial $\vect{P_t}$ do [peso](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/4-gravitacao-universal-e-peso#def-g10-universal-gravitation-weight) sempre aponta de volta para a vertical — a [força restauradora](#def-g12-oscillators-and-time-pendulum).*

**Proposição 28.4 (Período do pêndulo simples).**

Para [amplitudes](#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) pequenas (abaixo de uns $15^\circ$), o [período](#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) é

$$
T_0 = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}, \qquad g = 9.81\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}.
$$

Ele não depende nem da massa do corpo nem — enquanto o ângulo permanecer pequeno — da [amplitude](#def-g12-oscillators-and-time-oscillator): as oscilações pequenas são *isócronas*, todas levando o mesmo tempo.

**Demonstração.** *Admitido neste nível.* ∎

**Observação 28.5 (Análise dimensional, e onde mora o 2π2\pi2π).**

A fórmula pode ser adivinhada. A partir de $m$ ($\mathrm{kg}$), $L$ ($\mathrm{m}$) e $g$ ($\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$), a única combinação com [unidade](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/1-ordens-de-grandeza-medir-o-universo#def-g10-orders-of-magnitude-unit) de tempo é $\sqrt{L/g}$ — e a massa *não pode* entrar, já que nenhum outro dado carrega um [quilograma](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/1-ordens-de-grandeza-medir-o-universo#def-g10-orders-of-magnitude-unit) para cancelá-la. As dimensões não conseguem dar o número puro da frente: o $2\pi$ vem de resolver a equação do movimento, o que se faz no volume do primeiro ano de graduação. E a condição de ângulo pequeno também não é opcional: a $30^\circ$ o [período](#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) verdadeiro é $2\%$ maior, e o isocronismo falha.

**Exemplo 28.6 (O pêndulo de segundos).**

Que comprimento bate o segundo, $T_0 = 2.00\,\mathrm{s}$, um tique para cada lado? Resolvendo, $L = g\,T_0^2/4\pi^2 = 9.81 \times 2.00^2/4\pi^2 \approx 0.994\,\mathrm{m}$. Quase um [metro](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/1-ordens-de-grandeza-medir-o-universo#def-g10-orders-of-magnitude-unit): os relógios de pêndulo são altos porque os segundos são longos.

## 28.3 O oscilador massa–mola

**Definição 28.7 (Força restauradora de uma mola).**

Um carrinho de massa $m$ desliza sobre um trilho horizontal sem [atrito](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-inventory), preso a uma mola de *constante elástica* $k$ ($\mathrm{N}/\mathrm{m}$). Seja $x$ o afastamento dele do equilíbrio. Esticada ou comprimida, a mola puxa ou empurra o carrinho de volta com a [força](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-force) $F = -kx$: proporcional ao afastamento e oposta a ele — de novo uma [força restauradora](#def-g12-oscillators-and-time-pendulum), agora fornecida pela elasticidade.

**Proposição 28.8 (Equação do movimento e a solução dela).**

A [segunda lei de Newton](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/25-as-leis-de-newton#thm-g12-newtons-laws-second) ao longo do trilho ([Capítulo 25](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/25-as-leis-de-newton#ch-g12-newtons-laws)) dá $m \frac{d^2x}{dt^2} = -kx$, ou seja, $\frac{d^2x}{dt^2} = -\frac{k}{m}\,x$. Sejam quais forem as constantes $A$ e $\varphi$,

$$
x(t) = A \cos\!\left(\frac{2\pi t}{T_0} + \varphi\right),
\qquad T_0 = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}},
$$

satisfaz essa equação: oscilação de [período](#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) $T_0$, independente da [amplitude](#def-g12-oscillators-and-time-oscillator).

**Demonstração.** Derivando, $\frac{dx}{dt} = -\frac{2\pi}{T_0}A \sin(\frac{2\pi t}{T_0} + \varphi)$; de novo, $\frac{d^2x}{dt^2} = -(\frac{2\pi}{T_0})^2 A\cos(\frac{2\pi t}{T_0} + \varphi) =
-(\frac{2\pi}{T_0})^2\,x(t)$, que é $-(k/m)\,x$ exatamente quando $(2\pi/T_0)^2 = k/m$. ∎

**Observação 28.9 (Todos os movimentos que existem).**

Que *todo* movimento do carrinho é uma dessas funções fica admitido aqui e é demonstrado no volume do primeiro ano de graduação. E não há $g$ em $2\pi\sqrt{m/k}$: mais rígida oscila mais rápido, mais pesada mais devagar, e o mesmo vale na Lua.

**Definição 28.10 (Amplitude e fase).**

Em $x(t) = A\cos(2\pi t/T_0 + \varphi)$ a constante positiva $A$ é a [amplitude](#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) — os extremos são $x = \pm A$ — e $2\pi t/T_0 + \varphi$ é a *fase*, que cresce de $2\pi$ a cada [período](#def-g12-oscillators-and-time-oscillator); a *fase inicial* $\varphi$ registra a partida: solto em repouso de $x = A$, tem-se $\varphi = 0$. Por exemplo, $m = 0.20\,\mathrm{kg}$ numa mola de $k = 20\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ dá $T_0 = 2\pi\sqrt{0.20/20} = 0.63\,\mathrm{s}$; puxado até $5.0\,\mathrm{cm}$ e solto, $x(t) = 5.0\cos(2\pi t/0.63)$ em centímetros.

## 28.4 Energia, amortecimento, ressonância

**Proposição 28.11 (Energia do oscilador).**

Uma mola esticada de $x$ armazena a [energia](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/9-energia-formas-e-conservacao#def-g10-energy-conservation-energy) potencial elástica $E_p = \tfrac12 kx^2$ (justificada no [Capítulo 29](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/29-trabalho-e-energia-mecanica#ch-g12-work-and-energy)). Durante uma oscilação sem [atrito](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-inventory), a [energia mecânica](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/18-energia-mecanica-e-sua-conservacao#def-g11-mechanical-energy-em)

$$
E_m = E_k + E_p = \tfrac12 m v^2 + \tfrac12 k x^2 = \tfrac12 k A^2
$$

é constante: toda elástica nos extremos, toda cinética no equilíbrio. O pêndulo toca o mesmo dueto entre $E_k$ e a $E_p$ gravitacional ([Capítulo 18](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/18-energia-mecanica-e-sua-conservacao#ch-g11-mechanical-energy)).

**Demonstração.** Com $v = \frac{dx}{dt}$, a derivada de $E_m$ é $mv\frac{dv}{dt} + kx\frac{dx}{dt} = v\,(m\frac{d^2x}{dt^2} + kx) = 0$ pela equação do movimento; o valor $\tfrac12 kA^2$ se lê num extremo. ∎

![Um período, com partida em x = A: a energia vai e volta duas vezes da forma elástica para a cinética, com a soma cravada em 1/2 kA2.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g12-oscillators-and-time/fig-1e30d3c04c5f.svg)

*Um [período](#def-g12-oscillators-and-time-oscillator), com partida em $x = A$: a [energia](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/9-energia-formas-e-conservacao#def-g10-energy-conservation-energy) vai e volta duas vezes da forma elástica para a cinética, com a soma cravada em $\tfrac12 kA^2$.*

**Definição 28.12 (Oscilações amortecidas).**

O [atrito](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-inventory) drena [energia mecânica](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/18-energia-mecanica-e-sua-conservacao#def-g11-mechanical-energy-em) de todo [oscilador](#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) real: as [oscilações livres](#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) dele são *amortecidas*. Com amortecimento fraco o sistema ainda oscila, com uma [amplitude](#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) que morre mas um tempo de repetição quase inalterado, o *pseudoperíodo*, próximo de $T_0$; com amortecimento forte (mel) ele volta rastejando ao equilíbrio sem nunca passar do ponto; a [energia](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/9-energia-formas-e-conservacao#def-g10-energy-conservation-energy), proporcional ao quadrado da [amplitude](#def-g12-oscillators-and-time-oscillator), decai virando calor.

![Oscilações sem amortecimento e com amortecimento fraco: quase o mesmo período (2.0\, s aqui), com a amplitude amortecida morrendo dentro de um envelope exponencial que encolhe (tracejado).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g12-oscillators-and-time/fig-a34ec1acdf1d.svg)

*Oscilações sem [amortecimento](#def-g12-oscillators-and-time-damping) e com [amortecimento](#def-g12-oscillators-and-time-damping) fraco: quase o mesmo [período](#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) ($2.0\,\mathrm{s}$ aqui), com a [amplitude](#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) amortecida morrendo dentro de um envelope exponencial que encolhe (tracejado).*

**Definição 28.13 (Oscilações forçadas e ressonância).**

Empurre um [oscilador](#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) periodicamente — *oscilações forçadas* — e, depois de um breve transitório, ele oscila na [frequência](#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) $f$ *do excitador*, e não na dele. A [amplitude](#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) dele é máxima quando $f$ se aproxima da *frequência própria* $f_0$ do [oscilador](#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) livre: é a *ressonância*, com cada empurrão chegando em compasso com o movimento e injetando [energia](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/9-energia-formas-e-conservacao#def-g10-energy-conservation-energy) a cada ciclo; quanto mais fraco o [amortecimento](#def-g12-oscillators-and-time-damping), mais alto e mais estreito o pico.

![Curva de ressonância: amplitude forçada contra a frequência do excitador. Perto de f = f_0 a resposta se ergue como uma torre, tanto mais alta quanto mais fraco o amortecimento.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g12-oscillators-and-time/fig-c7f12fe7a19e.svg)

*Curva de [ressonância](#def-g12-oscillators-and-time-resonance): [amplitude](#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) forçada contra a [frequência](#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) do excitador. Perto de $f = f_0$ a resposta se ergue como uma torre, tanto mais alta quanto mais fraco o [amortecimento](#def-g12-oscillators-and-time-damping).*

**Exemplo 28.14 (Ressonância para o bem e para o mal).**

Uma mãe empurrando um balanço empurra na [frequência própria](#def-g12-oscillators-and-time-resonance) dele — [ressonância](#def-g12-oscillators-and-time-resonance) a serviço. Em $2000$ a recém-inaugurada Millennium Bridge, em Londres, balançou de modo alarmante quando os passos da multidão se travaram numa [frequência própria](#def-g12-oscillators-and-time-resonance) perto de $1\,\mathrm{Hz}$; ela ficou dois anos fechada para receber amortecedores. Todo relógio de quartzo mantém o cristal dele cantando ao excitá-lo em [ressonância](#def-g12-oscillators-and-time-resonance), a $32\,768\,\mathrm{Hz}$.

## 28.5 Medir o tempo

**Método 28.15 (Cronometrar um período).**

Nunca cronometre uma única oscilação: dispare o cronômetro quando o corpo cruzar a vertical (o ponto mais rápido, o mais fácil de julgar), conte $N = 50$ oscilações e divida por $N$ — um erro de reação de $0.2\,\mathrm{s}$ vira $4\,\mathrm{ms}$ em $T_0$. Repita, e compare as tomadas.

**Exemplo 28.16 (Três séculos de tique).**

Huygens construiu o primeiro relógio de pêndulo em $1657$: o isocronismo levou os relógios de um quarto de hora de desvio por dia para segundos, e os pêndulos compensados, para frações de segundo por dia. O relógio de pulso de quartzo ($1969$) trocou a haste por um cristal que verga a $32\,768\,\mathrm{Hz}$: décimos de segundo por mês. Desde $1967$ o próprio segundo é *definido* por uma oscilação atômica: a duração de $9\,192\,631\,770$ [períodos](#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) da radiação de [micro-ondas](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/8-sinais-e-ondas#def-g10-signals-and-waves-wave) de uma transição interna do césio-133 ([Capítulo 34](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/34-o-mundo-quantico-fotons-e-niveis-de-energia#ch-g12-quantum-world)). Os melhores relógios de césio erram um segundo em cem milhões de anos.

**Observação 28.17 (Por que caçar o nanossegundo).**

Um receptor de GPS acha a posição dele cronometrando sinais de rádio vindos de [satélites](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/4-gravitacao-universal-e-peso#def-g10-universal-gravitation-satellite); a luz percorre $30\,\mathrm{cm}$ por nanossegundo, de modo que um erro de relógio de um microssegundo o desloca em $300\,\mathrm{m}$. Por isso os [satélites](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/4-gravitacao-universal-e-peso#def-g10-universal-gravitation-satellite) carregam relógios atômicos — e, nessa precisão, o ritmo de um relógio depende de com que velocidade ele se move e de que altura ele ocupa, um efeito que encontramos no [Capítulo 35](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/35-relatividade-restrita-a-dilatacao-do-tempo#ch-g12-special-relativity).

## 28.6 Exercícios

**Exercício 28.1 ★.**

(a) Calcule o [período](#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) e a [frequência](#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) de um [pêndulo simples](#def-g12-oscillators-and-time-pendulum) de $1.00\,\mathrm{m}$. (b) O comprimento é quadruplicado: o que acontece com o [período](#def-g12-oscillators-and-time-oscillator)?

**Solução de Exercício 28.1.**

(a) $T_0 = 2\pi\sqrt{1.00/9.81} = 2.01\,\mathrm{s}$; $f_0 = 1/T_0 = 0.50\,\mathrm{Hz}$. (b) $T_0 \propto \sqrt{L}$: o [período](#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) dobra.

**Exercício 28.2 ★.**

Um coração em repouso bate $72$ vezes por minuto; a asa de uma libélula, a $30\,\mathrm{Hz}$. Dê a [frequência](#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) e o [período](#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) do coração e o [período](#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) da asa; que palavra do capítulo nomeia a elevação máxima do peito a cada batida?

**Solução de Exercício 28.2.**

Coração: $f = 72/60 = 1.2\,\mathrm{Hz}$, $T = 0.83\,\mathrm{s}$. Asa: $T = 1/30 = 33\,\mathrm{ms}$. A elevação do peito é a *[amplitude](#def-g12-oscillators-and-time-oscillator)*.

**Exercício 28.3 ★.**

Um carrinho de $0.10\,\mathrm{kg}$ anda numa mola de $25\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$: calcule $T_0$ e $f_0$. O que dobrar a massa faz com o [período](#def-g12-oscillators-and-time-oscillator)?

**Solução de Exercício 28.3.**

$T_0 = 2\pi\sqrt{0.10/25} = 0.40\,\mathrm{s}$, $f_0 = 2.5\,\mathrm{Hz}$. Dobrar $m$: $T_0 \times \sqrt{2} \approx 1.4$.

**Exercício 28.4 ★.**

Máximos sucessivos de um [oscilador](#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) amortecido: $2.0$, $1.5$, $1.13$, $0.85\,\mathrm{cm}$ em $t = 0$, $2.0$, $4.0$, $6.0\,\mathrm{s}$. Leia o [pseudoperíodo](#def-g12-oscillators-and-time-damping); mostre que a [amplitude](#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) cai por um fator fixo a cada [período](#def-g12-oscillators-and-time-oscillator); preveja o próximo máximo.

**Solução de Exercício 28.4.**

[Pseudoperíodo](#def-g12-oscillators-and-time-damping) de $2.0\,\mathrm{s}$. As razões $1.5/2.0 = 1.13/1.5 = 0.85/1.13 = 0.75$ a cada [período](#def-g12-oscillators-and-time-oscillator); o próximo máximo é $0.85 \times 0.75 \approx 0.64\,\mathrm{cm}$.

**Exercício 28.5 ★.**

Uma astronauta leva um pêndulo e um [oscilador massa–mola](#prop-g12-oscillators-and-time-spring-period) para a Lua ($g = 1.62\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$). Por que fator muda cada [período](#def-g12-oscillators-and-time-oscillator)? Explique.

**Solução de Exercício 28.5.**

Pêndulo: $T_0 \propto 1/\sqrt{g}$, logo $\times\sqrt{9.81/1.62} = 2.46$ (mais lento). Massa–mola: inalterado — não há $g$ em $2\pi\sqrt{m/k}$.

**Exercício 28.6 ★★.**

(a) Verifique que $\sqrt{L/g}$ tem dimensão de tempo. (b) Por que nenhuma fórmula para $T_0$ construída com $m$, $L$ e $g$ pode conter a massa? (c) Esse argumento poderia alguma vez produzir o $2\pi$?

**Solução de Exercício 28.6.**

(a) $[L/g] = \mathrm{m}/(\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}) = \mathrm{s}^{2}$; a raiz quadrada disso é um tempo. (b) O [quilograma](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/1-ordens-de-grandeza-medir-o-universo#def-g10-orders-of-magnitude-unit) aparece só em $m$: nada mais poderia cancelá-lo, de modo que $m$ não pode entrar. (c) Nunca: números puros como $2\pi$ são invisíveis para as dimensões.

**Exercício 28.7 ★★.**

Verifique, derivando duas vezes, que $x(t) = A\cos(2\pi t/T_0 + \varphi)$ satisfaz $\frac{d^2x}{dt^2} = -(k/m)\,x$ se e somente se $T_0 = 2\pi\sqrt{m/k}$.

**Solução de Exercício 28.7.**

$\frac{dx}{dt} = -\frac{2\pi}{T_0}A\sin(2\pi t/T_0 + \varphi)$, logo $\frac{d^2x}{dt^2} = -(2\pi/T_0)^2 x(t)$. A igualdade com $-(k/m)x$ para todo $t$ vale exatamente quando $(2\pi/T_0)^2 = k/m$, ou seja, $T_0 = 2\pi\sqrt{m/k}$.

**Exercício 28.8 ★★.**

Uma mola de [constante elástica](#def-g12-oscillators-and-time-spring) $40\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ carrega um carrinho de $0.20\,\mathrm{kg}$ com [amplitude](#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) de $3.0\,\mathrm{cm}$. Calcule a [energia mecânica](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/18-energia-mecanica-e-sua-conservacao#def-g11-mechanical-energy-em) e a velocidade máxima. Onde a velocidade é máxima? E nula?

**Solução de Exercício 28.8.**

$E_m = \tfrac12 kA^2 = \tfrac12 \times 40 \times 0.030^2 =
1.8 \times 10^{-2}\,\mathrm{J}$; $v_{\max} = \sqrt{2E_m/m} = \sqrt{0.18} =
0.42\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ — em $x = 0$; nula nos extremos $x = \pm A$.

**Exercício 28.9 ★★.**

(a) Calcule o comprimento do pêndulo de segundos ($T_0 = 2.00\,\mathrm{s}$). (b) O comprimento dele cresce $1.0\%$: com $\sqrt{1+x} \approx 1 + x/2$, encontre a variação relativa de $T_0$ e o erro diário.

**Solução de Exercício 28.9.**

(a) $L = gT_0^2/4\pi^2 = 0.994\,\mathrm{m}$. (b) $\Delta T_0/T_0 = \tfrac12 \times 1.0\% = 0.5\%$: $86400 \times 0.005 \approx 4.3 \times 10^{2}\,\mathrm{s}$ — sete minutos de [atraso](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/20-ondas-mecanicas#def-g12-mechanical-waves-delay) por dia.

**Exercício 28.10 ★★.**

Um [oscilador](#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) fracamente amortecido perde $5.0\%$ da [energia](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/9-energia-formas-e-conservacao#def-g10-energy-conservation-energy) dele a cada [período](#def-g12-oscillators-and-time-oscillator). (a) Qual é a queda de [amplitude](#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) por [período](#def-g12-oscillators-and-time-oscillator)? (b) Quantos [períodos](#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) para perder metade da [energia](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/9-energia-formas-e-conservacao#def-g10-energy-conservation-energy)? (c) O [pseudoperíodo](#def-g12-oscillators-and-time-damping) está longe de $T_0$?

**Solução de Exercício 28.10.**

(a) $A \propto \sqrt{E}$: $\sqrt{0.95} \approx 0.975$, uma queda de $2.5\%$. (b) $0.95^n = 0.5$: $n = \ln 2/\ln(1/0.95) \approx 14$ [períodos](#def-g12-oscillators-and-time-oscillator). (c) Não: com [amortecimento](#def-g12-oscillators-and-time-damping) fraco ele fica a uma fração de por cento de $T_0$.

**Exercício 28.11 ★★.**

Explique com a curva de [ressonância](#def-g12-oscillators-and-time-resonance): (a) por que empurrar um balanço só funciona no ritmo próprio dele; (b) por que os soldados quebram o passo em passarelas; (c) por que uma máquina de lavar treme numa certa rotação enquanto acelera a centrifugação.

**Solução de Exercício 28.11.**

(a) Em $f_0$ cada empurrão chega em compasso e acrescenta [energia](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/9-energia-formas-e-conservacao#def-g10-energy-conservation-energy); fora do pico, os empurrões ora ajudam, ora atrapalham. (b) Marchar em passo é uma excitação periódica; perto do $f_0$ da ponte, ela subiria o pico de [ressonância](#def-g12-oscillators-and-time-resonance). (c) O tambor varre a [frequência própria](#def-g12-oscillators-and-time-resonance) da estrutura durante a aceleração: [ressonância](#def-g12-oscillators-and-time-resonance) momentânea, e depois passa do pico.

**Exercício 28.12 ★★★.**

Um relógio de pêndulo, exato ao nível do mar, muda-se para um observatório onde $g = 9.78\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$. (a) Ele adianta ou atrasa? Quantos segundos por dia? (b) Quanto mais curto precisa ficar o pêndulo de $0.994\,\mathrm{m}$ dele?

**Solução de Exercício 28.12.**

(a) $T_0 \propto 1/\sqrt{g}$: atrasa, de $\Delta T_0/T_0 = \tfrac12 \times 0.03/9.81 = 1.5 \times 10^{-3}$, ou seja, $\approx 132\,\mathrm{s}$ por dia. (b) $L \propto g$ com $T_0$ fixo: encurtar $0.994 \times 0.03/9.81 \approx 3.0\,\mathrm{mm}$.

**Exercício 28.13 ★★★.**

Um carrinho de $0.20\,\mathrm{kg}$ obedece a $x(t) = A\cos(2\pi t/T_0)$, com $A = 4.0\,\mathrm{cm}$ e $T_0 = 0.63\,\mathrm{s}$. Calcule a velocidade máxima, a aceleração máxima, a [constante elástica](#def-g12-oscillators-and-time-spring) $k$ e a [energia mecânica](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/18-energia-mecanica-e-sua-conservacao#def-g11-mechanical-energy-em).

**Solução de Exercício 28.13.**

$v_{\max} = 2\pi A/T_0 = 2\pi \times 0.040/0.63 = 0.40\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; $a_{\max} = (2\pi/T_0)^2 A = 4.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$; $k = m(2\pi/T_0)^2 = 20\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$; $E_m = \tfrac12 kA^2 = 1.6 \times 10^{-2}\,\mathrm{J}$.

**Exercício 28.14 ★★★.**

Para medir $g$: um pêndulo com $L = 99.5 \pm 0.2\,\mathrm{cm}$ faz $20$ oscilações em $40.1 \pm 0.2\,\mathrm{s}$. Calcule $g$ e a [incerteza relativa](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/1-ordens-de-grandeza-medir-o-universo#def-g10-orders-of-magnitude-uncertainty) dele (some as de $L$ e de $T_0^2$); o resultado concorda com $9.81\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$?

**Solução de Exercício 28.14.**

$T_0 = 40.1/20 = 2.005\,\mathrm{s}$; $g = 4\pi^2 L/T_0^2 = 4\pi^2 \times 0.995/4.020 = 9.77\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$. Incerteza $\approx 0.2\% + 2 \times 0.5\% = 1.2\%$, ou seja, $\pm0.12\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$: o intervalo contém $9.81\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ — compatível.

**Exercício 28.15 ★★★.**

Compare marcadores de tempo pelo desvio relativo (erro dividido pelo tempo decorrido): um relógio de pêndulo que atrasa $10\,\mathrm{s}$ por dia, um relógio de quartzo que erra $0.5\,\mathrm{s}$ por mês e um relógio de césio que erra $1\,\mathrm{s}$ em cem milhões de anos: calcule as três razões. Um relógio de GPS errado em $1\,\text{µ}\mathrm{s}$: qual é o erro de posição? De que família o GPS precisa?

**Solução de Exercício 28.15.**

Pêndulo: $10/86400 \approx 1.2 \times 10^{-4}$; quartzo: $0.5/2.6 \times 10^{6} \approx 1.9 \times 10^{-7}$; césio: $1/3.2 \times 10^{15} \approx 3 \times 10^{-16}$. Um erro de $1\,\text{µ}\mathrm{s}$ são $1000 \times 30\,\mathrm{cm} = 300\,\mathrm{m}$ de posição: o GPS precisa da família atômica.

## 28.7 Problema: a bancada do relojoeiro

**Problema 28.1.**

Problema de fim de semana — a bancada do relojoeiro: um relógio de parede trazido de volta à hora certa — cinquenta balanços cronometrados, uma haste de latão que estica no verão, o empurrãozinho sussurrado do escapamento, um desafiante de quartzo — e o veredito dado em segundos por mês

Um relógio de parede de pêndulo chega à bancada “andando errado”. Trate a haste de latão e o corpo pesado dele como um [pêndulo simples](#def-g12-oscillators-and-time-pendulum) de comprimento efetivo $L$, com massa $m = 1.2\,\mathrm{kg}$; a engrenagem conta cada oscilação completa como exatamente $2.000\,\mathrm{s}$.

**Parte I — Tomar o pulso do relógio.**

1. Por que cronometrar $50$ oscilações, e não uma? Estime o erro que sobra em $T_0$ se o seu tempo de reação for de $0.2\,\mathrm{s}$ .
2. O cronômetro marca $99.4\,\mathrm{s}$ para $50$ oscilações: qual é o [período](#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) ?
3. Deduza o comprimento efetivo atual do pêndulo.
4. Que comprimento daria exatamente $2.000\,\mathrm{s}$ ? A porca de regulagem deve subir ou descer o corpo, e de quanto?
5. Sem ajuste, o relógio adianta ou atrasa, e quantos segundos por dia?
6. Sensibilidade a $g$ : qual seria o [período](#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) na Lua ( $g = 1.62\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ )? E o erro diário num observatório onde $g = 9.80\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ?

**Parte II — A moleza do verão.** O latão se dilata: um aquecimento $\Delta\theta$ estica a haste até $L' = L\,(1 + \lambda\, \Delta\theta)$, com $\lambda = 1.9 \times 10^{-5}$ por [kelvin](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/2-espectros-luminosos-e-a-mensagem-da-luz#def-g10-light-spectra-kelvin). O relógio é ajustado a $20\,{}^{\circ}\mathrm{C}$.

7. Calcule $\Delta L$ para uma sala de verão a $25\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ .
8. Usando $\sqrt{1+x} \approx 1 + x/2$ , mostre que $\Delta T_0 / T_0 = \tfrac12 \lambda\, \Delta\theta$ .
9. Calcule $\Delta T_0/T_0$ e o erro diário de verão: adianta ou atrasa?
10. As mesmas perguntas para um corredor de inverno a $10\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ .
11. Os antigos relógios de precisão usavam pêndulos de “grelha”, que misturavam hastes de latão com hastes de aço (que se dilatam cerca da metade) em sentidos alternados. Explique como isso pode segurar o ritmo.

**Parte III — O empurrão sussurrado.** Com o escapamento desengatado, o balanço, iniciado com [amplitude](#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) $\theta_m = 2.00^\circ$, reduz a [amplitude](#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) à metade em $280\,\mathrm{s}$; em serviço, um empurrãozinho do escapamento a cada [período](#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) mantém $\theta_m$ constante.

12. Quantos [períodos](#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) leva essa redução à metade?
13. No extremo o corpo subiu $h = L(1 - \cos\theta_m) \approx L\,\theta_m^2/2$ (em radianos): deduza $E_m = \tfrac12 m g L\,\theta_m^2$ e calcule-a ( [Capítulo 18](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/18-energia-mecanica-e-sua-conservacao#ch-g11-mechanical-energy) ).
14. A [energia](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/9-energia-formas-e-conservacao#def-g10-energy-conservation-energy) é proporcional ao quadrado da [amplitude](#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) : que fração de $E_m$ se perde por [período](#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) ?
15. Deduza a [energia](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/9-energia-formas-e-conservacao#def-g10-energy-conservation-energy) de cada empurrão e a [potência](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/17-trabalho-de-uma-forca#def-g11-work-of-force-power) média necessária.
16. O [peso](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/4-gravitacao-universal-e-peso#def-g10-universal-gravitation-weight) motor $M = 2.5\,\mathrm{kg}$ desce $h = 1.0\,\mathrm{m}$ por semana: isso é [energia](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/9-energia-formas-e-conservacao#def-g10-energy-conservation-energy) suficiente, e com que [rendimento](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/9-energia-formas-e-conservacao#def-g10-energy-conservation-efficiency) ?

**Parte IV — O desafiante de quartzo.** Um movimento de quartzo oscila a $f = 32\,768\,\mathrm{Hz}$ e erra cerca de $0.3\,\mathrm{s}$ por mês; o pêndulo restaurado ainda erra $0.5\,\mathrm{s}$ por dia.

17. Calcule o [período](#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) do quartzo. Mostre que $32\,768 = 2^{15}$ : por que uma potência de dois é exatamente o que o circuito de um relógio quer?
18. Calcule os desvios relativos do quartzo e do pêndulo restaurado, e cada um em segundos por mês. Quem vence, e por que fator?
19. O padrão de césio — $9\,192\,631\,770$ [períodos](#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) fazem um segundo — erra $1\,\mathrm{s}$ em cem milhões de anos: qual é o desvio relativo dele? Quantas [ordens de grandeza](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/1-ordens-de-grandeza-medir-o-universo#def-g10-orders-of-magnitude-oom) abaixo do quartzo, e por que o GPS o exige?
20. O veredito, em uma frase com números: o que o relógio restaurado ganha na parede, e a quem pertence agora o segundo?

**Solução de Problema 28.1.**

**1.** O erro de reação de $\approx 0.2\,\mathrm{s}$ fica dividido por $50$: cerca de $4\,\mathrm{ms}$ em $T_0$.

**2.** $T = 99.4/50 = 1.988\,\mathrm{s}$.

**3.** $L = gT^2/4\pi^2 = 9.81 \times 1.988^2/4\pi^2 \approx
0.982\,\mathrm{m}$.

**4.** $L = 0.994\,\mathrm{m}$ (o pêndulo de segundos): descer o corpo, alongando $\approx 1.2\,\mathrm{cm}$.

**5.** Curto demais, portanto rápido demais: adianta $(2.000 - 1.988)/1.988 \times 86400 \approx 5.2 \times 10^{2}\,\mathrm{s} \approx 8.7$ minutos por dia.

**6.** Lua: $\times\sqrt{9.81/1.62} = 2.46$ — inutilizável. Observatório: $\Delta T_0/T_0 = \tfrac12 \times 0.01/9.81 =
5.1 \times 10^{-4}$: atrasa $\approx 44\,\mathrm{s}$ por dia.

**7.** $\Delta L = L\lambda\,\Delta\theta = 0.994 \times
1.9 \times 10^{-5} \times 5.0 \approx 9.4 \times 10^{-5}\,\mathrm{m} \approx 0.1\,\mathrm{mm}$.

**8.** $T' = 2\pi\sqrt{L(1 + \lambda\Delta\theta)/g} =
T_0\sqrt{1 + \lambda\Delta\theta} \approx T_0\,(1 + \tfrac12
\lambda\Delta\theta)$.

**9.** $\Delta T_0/T_0 = \tfrac12 \times 1.9 \times 10^{-5} \times 5.0 =
4.8 \times 10^{-5}$: $86400 \times 4.8 \times 10^{-5} \approx 4.1\,\mathrm{s}$ por dia, atrasando (haste mais longa, [período](#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) mais longo).

**10.** $\Delta\theta = -10\,\mathrm{K}$: $\Delta T_0/T_0 = -9.5 \times 10^{-5}$, e ele adianta $\approx 8.2\,\mathrm{s}$ por dia.

**11.** Aço e latão se dilatam de modo diferente; pendurados em sentidos alternados, as hastes de latão descem o corpo enquanto as de aço o sobem. Dimensionadas para que os dois deslocamentos se cancelem, o comprimento efetivo — e o ritmo — sobrevive às estações.

**12.** $280/2.000 = 140$ [períodos](#def-g12-oscillators-and-time-oscillator).

**13.** $\theta_m = 2.00^\circ = 0.0349\,\mathrm{rad}$: $E_m = \tfrac12 \times 1.2 \times 9.81 \times 0.994 \times 0.0349^2
\approx 7.1 \times 10^{-3}\,\mathrm{J}$.

**14.** Por [período](#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) a [amplitude](#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) encolhe de $2^{-1/140} \approx
0.9951$, e a [energia](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/9-energia-formas-e-conservacao#def-g10-energy-conservation-energy) de $0.9951^2 \approx 0.990$: cerca de $1.0\%$ de $E_m$ por [período](#def-g12-oscillators-and-time-oscillator).

**15.** Empurrão $\approx 0.010 \times 7.1 \times 10^{-3} =
7.1 \times 10^{-5}\,\mathrm{J}$; [potência](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/17-trabalho-de-uma-forca#def-g11-work-of-force-power) $7.1 \times 10^{-5}/2.0 \approx 3.5 \times 10^{-5}\,\mathrm{W}$ — dezenas de microwatts.

**16.** Uma semana são $604800/2.0 = 3.02 \times 10^{5}$ [períodos](#def-g12-oscillators-and-time-oscillator), que exigem $3.02 \times 10^{5} \times 7.1 \times 10^{-5} \approx 21\,\mathrm{J}$; o [peso](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/4-gravitacao-universal-e-peso#def-g10-universal-gravitation-weight) fornece $Mgh = 2.5 \times 9.81 \times 1.0 = 24.5\,\mathrm{J}$: suficiente, com [rendimento](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/9-energia-formas-e-conservacao#def-g10-energy-conservation-efficiency) de $21/24.5 \approx 88\%$.

**17.** $T = 1/32\,768 = 30.5\,\text{µ}\mathrm{s}$. $32\,768 = 2^{15}$: quinze estágios de divisão por dois transformam o [sinal](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/8-sinais-e-ondas#def-g10-signals-and-waves-signal) do cristal num tique exato de $1\,\mathrm{Hz}$.

**18.** Quartzo: $0.3/2.6 \times 10^{6} \approx 1.2 \times 10^{-7}$. Pêndulo: $0.5/86400 \approx 5.8 \times 10^{-6}$, ou seja, $\approx 15\,\mathrm{s}$ por mês. O quartzo vence por um fator $\approx 50$.

**19.** $1/3.2 \times 10^{15} \approx 3 \times 10^{-16}$: nove [ordens de grandeza](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/1-ordens-de-grandeza-medir-o-universo#def-g10-orders-of-magnitude-oom) abaixo do quartzo. O GPS cronometra sinais com precisão de nanossegundos — $30\,\mathrm{cm}$ de percurso da luz cada um — de modo que só os relógios atômicos servem.

**20.** Restaurado, o relógio de parede segura $\pm15\,\mathrm{s}$ por mês contra os $\pm0.3\,\mathrm{s}$ do quartzo: fique com ele pelo carrilhão, confie no quartzo para pegar o trem — e o próprio segundo agora pertence ao [átomo](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/13-as-interacoes-fundamentais#def-g11-fundamental-interactions-ladder) de césio.