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title: "Trabalho e energia mecânica"
book: "Física do ensino médio"
subject: physics
language: pt
chapter: 29
exercises: 15
source: https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/29-trabalho-e-energia-mecanica
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# Capítulo 29 — Trabalho e energia mecânica

Deixe uma bolinha de gude cair numa saladeira: ela mergulha, passa do fundo, sobe até a altura de partida, hesita e volta — e cada inversão pode ser prevista a partir de uma curva (o perfil da tigela) e de uma reta horizontal (a [energia](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/9-energia-formas-e-conservacao#def-g10-energy-conservation-energy) da bolinha), sem resolver nenhuma equação do movimento. O ano passado precificou [forças](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-force) em linhas retas ([Capítulo 17](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/17-trabalho-de-uma-forca#ch-g11-work-of-force)) e equilibrou [energia cinética](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/18-energia-mecanica-e-sua-conservacao#def-g11-mechanical-energy-kinetic) contra [energia potencial](#def-g12-work-and-energy-ep) ([Capítulo 18](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/18-energia-mecanica-e-sua-conservacao#ch-g11-mechanical-energy)); este ano a contabilidade vai a todos os lugares: caminhos curvos, molas, paisagens lidas de relance.

## 29.1 Trabalho ao longo de um caminho qualquer

**Definição 29.1 (Trabalho ao longo de um caminho).**

Seja uma [força](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-force) $\vect F$ agindo sobre um corpo que se move por um caminho qualquer de $A$ até $B$: corte o caminho em deslocamentos $\vect{\dd\ell}$ tão curtos que cada um seja reto e $\vect F$ mal mude ao longo dele. Cada passo rende o pequeno [trabalho](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/17-trabalho-de-uma-forca#def-g11-work-of-force-work) $\scal{F}{\dd\ell} = F\,\dd\ell\cos\theta$ ([Capítulo 17](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/17-trabalho-de-uma-forca#ch-g11-work-of-force)), e o *trabalho ao longo do caminho* é a soma deles, $W_{AB}(\vect F) = \sum \scal{F}{\dd\ell}$ — que, num caminho reto com [força](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-force) constante, se reduz ao $F \times AB \times \cos\theta$ do ano passado.

![Um caminho curvo é uma linha quebrada de muitos passos curtos: cada rende F\,; o trabalho é a soma.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g12-work-and-energy/fig-0e501691baea.svg)

*Um caminho curvo é uma linha quebrada de muitos passos curtos: cada $\vect{\dd\ell}$ rende $F\,\dd\ell\cos\theta$; o [trabalho](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/17-trabalho-de-uma-forca#def-g11-work-of-force-work) é a soma.*

**Proposição 29.2 (Trabalho do peso, por qualquer caminho).**

Ao longo de *qualquer* caminho de $A$ (altitude $z_A$) até $B$ (altitude $z_B$), o [peso](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/4-gravitacao-universal-e-peso#def-g10-universal-gravitation-weight) de uma massa $m$ realiza o [trabalho](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/17-trabalho-de-uma-forca#def-g11-work-of-force-work) $W_{AB}(\vect P) = mg\,(z_A - z_B)$: entra o desnível, nunca a rota.

**Demonstração.** Cada passo curto contribui com $mg \times (\text{pequeno desnível})$ (o cálculo em segmentos retos do ano passado); os desníveis se telescopam em $z_A - z_B$. O caso curvo, admitido então, está entregue. ∎

**Definição 29.3 (Forças conservativas e não conservativas).**

Uma [força](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-force) é *conservativa* se o [trabalho](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/17-trabalho-de-uma-forca#def-g11-work-of-force-work) dela entre dois pontos é o mesmo por qualquer caminho (nulo em toda ida e volta), e *não conservativa* em caso contrário. O [peso](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/4-gravitacao-universal-e-peso#def-g10-universal-gravitation-weight) e a [força](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-force) de uma mola (próxima seção): conservativas. O [atrito](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-inventory) de deslizamento não é: oposto ao movimento, ele realiza $W = -fL$ num caminho de comprimento $L$ — um pedágio por [metro](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/1-ordens-de-grandeza-medir-o-universo#def-g10-orders-of-magnitude-unit), jamais reembolsado.

**Exemplo 29.4 (Duas trilhas até o refúgio).**

Uma caminhante de $75\,\mathrm{kg}$ ganha $300\,\mathrm{m}$ por uma trilha íngreme de $800\,\mathrm{m}$ ou por $2.4\,\mathrm{km}$ de curvas em ziguezague. O [peso](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/4-gravitacao-universal-e-peso#def-g10-universal-gravitation-weight) cobra $-75 \times 9.81 \times 300 \approx -2.2 \times 10^{5}\,\mathrm{J}$ nas duas; uma [força](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-force) de [atrito](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-inventory) de $30\,\mathrm{N}$, $-2.4 \times 10^{4}\,\mathrm{J}$ numa e $-7.2 \times 10^{4}\,\mathrm{J}$ na outra. O [peso](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/4-gravitacao-universal-e-peso#def-g10-universal-gravitation-weight) devolve na descida; a conta do [atrito](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-inventory) virou calor, nos dois sentidos.

## 29.2 Energia potencial

**Definição 29.5 (Energia potencial).**

A cada [força conservativa](#def-g12-work-and-energy-conservative) se associa uma *energia potencial* $E_p$, um número que depende apenas da posição, definido por $W_{AB} = E_p(A) - E_p(B)$: [trabalho](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/17-trabalho-de-uma-forca#def-g11-work-of-force-work) entregue é [energia](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/9-energia-formas-e-conservacao#def-g10-energy-conservation-energy) potencial gasta. Fixar $E_p = 0$ num ponto de referência escolhido a fixa em todo lugar; a escolha desloca todos os valores por uma constante que se cancela em toda diferença. Para o [peso](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/4-gravitacao-universal-e-peso#def-g10-universal-gravitation-weight), isso devolve o $E_p = mgz$ do ano passado, agora válido por qualquer caminho. O [atrito](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-inventory) não pode ter $E_p$ algum: uma conta que depende da rota não é diferença de números dos extremos — só as [forças conservativas](#def-g12-work-and-energy-conservative) armazenam de modo recuperável, exatamente o que o nome conserva.

**Proposição 29.6 (Energia potencial elástica).**

Uma mola de [constante elástica](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/28-osciladores-mecanicos-e-a-medida-do-tempo#def-g12-oscillators-and-time-spring) $k$ ($\mathrm{N}/\mathrm{m}$) esticada ou comprimida de $x$ puxa de volta com a [força](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-force) $F = kx$ ([Capítulo 28](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/28-osciladores-mecanicos-e-a-medida-do-tempo#ch-g12-oscillators-and-time)); o [trabalho](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/17-trabalho-de-uma-forca#def-g11-work-of-force-work) que ela entrega ao voltar ao repouso — a *energia potencial elástica* dela — é $E_p = \tfrac12\, k x^2$.

**Demonstração.** A [força restauradora](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/28-osciladores-mecanicos-e-a-medida-do-tempo#def-g12-oscillators-and-time-pendulum) age ao longo do movimento, de modo que $\sum F\,\dd\ell$ é a *área sob o gráfico $F$–$x$*: um triângulo de base $x$ e altura $kx$, de área $\tfrac12 x \times kx$. A [força](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-force) em cada alongamento é a mesma na ida e na volta: [trabalho](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/17-trabalho-de-uma-forca#def-g11-work-of-force-work) fixado pelos extremos, [força](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-force) da mola [conservativa](#def-g12-work-and-energy-conservative), $E_p$ bem definida. ∎

![A força da mola cresce com o alongamento; a energia armazenada é a área sob a reta: um triângulo, 1/2 × x × kx.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g12-work-and-energy/fig-bbf6191dad19.svg)

*A [força](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-force) da mola cresce com o alongamento; a [energia](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/9-energia-formas-e-conservacao#def-g10-energy-conservation-energy) armazenada é a área sob a reta: um triângulo, $\tfrac12 \times x \times kx$.*

## 29.3 Os dois teoremas da energia

**Teorema 29.7 (Teorema da energia cinética).**

Para qualquer movimento de um corpo de massa $m$ de $A$ até $B$ — curvo, em laço, em três dimensões —

$$
\Delta E_k = E_k(B) - E_k(A) = \sum W_{AB}(\vect F),
$$

com a soma percorrendo todas as [forças](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-force) que agem sobre o corpo.

**Demonstração.** Como $v^2 = \scal{v}{v}$, a regra do produto da matemática deste ano dá a derivada de $v^2$ como $2\,\scal{a}{v}$, de modo que $\dd E_k/\dd t = m\,\scal{a}{v} = \scal{F_{\text{tot}}}{v}$ pela [segunda lei de Newton](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/25-as-leis-de-newton#thm-g12-newtons-laws-second) ([Capítulo 25](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/25-as-leis-de-newton#ch-g12-newtons-laws)). Num $\dd t$ curto o corpo se desloca $\vect{\dd\ell} = \vect v\,\dd t$: $E_k$ ganha o pequeno [trabalho](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/17-trabalho-de-uma-forca#def-g11-work-of-force-work) da [Definição 29.1](#def-g12-work-and-energy-path); somar os passos soma os [trabalhos](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/17-trabalho-de-uma-forca#def-g11-work-of-force-work) — o enunciado admitido no ano passado, agora conquistado por inteiro. ∎

**Proposição 29.8 (Potência instantânea).**

A cada instante uma [força](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-force) $\vect F$ sobre um corpo de velocidade $\vect v$ entrega a [potência](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/17-trabalho-de-uma-forca#def-g11-work-of-force-power) $P = \scal{F}{v} = Fv\cos\theta$, e $\dd E_k/\dd t$ é a soma das [potências](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/17-trabalho-de-uma-forca#def-g11-work-of-force-power) de todas as [forças](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-force): a fórmula de velocidade constante do ano passado, exata a cada instante de qualquer movimento.

**Demonstração.** Leia na demonstração anterior: cada [força](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-force) injeta $\scal{F}{\dd\ell} = \scal{F}{v}\,\dd t$ em $E_k$ durante $\dd t$. ∎

**Teorema 29.9 (Teorema da energia mecânica).**

Seja $E_m = E_k + E_p$, onde $E_p$ reúne as [energias potenciais](#def-g12-work-and-energy-ep) de todas as [forças conservativas](#def-g12-work-and-energy-conservative) em ação. Então, por qualquer caminho,

$$
\Delta E_m = W_{AB}(\text{forças não conservativas}),
$$

e $E_m$ se conserva sempre que as [forças não conservativas](#def-g12-work-and-energy-conservative) não realizam [trabalho](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/17-trabalho-de-uma-forca#def-g11-work-of-force-work).

**Demonstração.** Divida o [teorema da energia cinética](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/18-energia-mecanica-e-sua-conservacao#thm-g11-mechanical-energy-ketheorem): $\Delta E_k = W_{\text{cons}} + W_{\text{nc}} = -\Delta E_p + W_{\text{nc}}$; passe $\Delta E_p$ para o outro lado. ∎

**Exemplo 29.10 (O pêndulo, desta vez com honestidade).**

Um corpo de pêndulo num fio de comprimento $L = 2.5\,\mathrm{m}$ é solto em repouso a $45{}^{\circ}$ da vertical. A tensão, perpendicular ao movimento, não tem [potência](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/17-trabalho-de-uma-forca#def-g11-work-of-force-power); o [peso](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/4-gravitacao-universal-e-peso#def-g10-universal-gravitation-weight) é conservativo: $E_m$ se conserva *sobre o arco curvo*, o que no ano passado só podia ser conferido. O corpo parte $h = L(1 - \cos45{}^{\circ}) =
0.73\,\mathrm{m}$ acima, de modo que embaixo $v = \sqrt{2gh} \approx 3.8\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

**Método 29.11 (Auditoria energética de um movimento qualquer).**

1. Escolha o sistema e liste as [forças](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-force) sobre ele.
2. Classifique: perpendicular ao movimento $\to$ [trabalho](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/17-trabalho-de-uma-forca#def-g11-work-of-force-work) nulo; [conservativa](#def-g12-work-and-energy-conservative) $\to$ uma $E_p$ dentro de $E_m$ ; o resto $\to$ $W_{\text{nc}}$ ( [atrito](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-inventory) de deslizamento: $-fL$ , com $L$ o comprimento do caminho).
3. Escreva $\Delta E_m = W_{\text{nc}}$ entre o ponto dos dados e o ponto da pergunta; resolva. A [energia](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/9-energia-formas-e-conservacao#def-g10-energy-conservation-energy) responde “com que velocidade, a que altura”; só o tempo e a aceleração precisam das leis de Newton.

## 29.4 Diagramas de energia

**Definição 29.12 (Diagrama de energia, pontos de retorno).**

Para um movimento ao longo de um eixo $x$ com $E_m$ conservada, o *diagrama de energia* traça a curva $E_p(x)$ e a reta horizontal $E_m$. Como $E_k = E_m - E_p \geq 0$, o movimento fica confinado ao trecho em que a curva está abaixo da reta; a distância entre as duas é $E_k$, lida diretamente. Num *ponto de retorno*, onde a curva encontra a reta, $v = 0$ e o movimento se inverte.

![Um diagrama de energia, lido sem resolver nada: com a energia E_m o corpo oscila entre x_1 e x_2, mais rápido onde a distância é maior; com E_m' ele passa por cima da colina e escapa.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g12-work-and-energy/fig-808d07656ea0.svg)

*Um [diagrama de energia](#def-g12-work-and-energy-diagram), lido sem resolver nada: com a [energia](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/9-energia-formas-e-conservacao#def-g10-energy-conservation-energy) $E_m$ o corpo oscila entre $x_1$ e $x_2$, mais rápido onde a distância é maior; com $E_m'$ ele passa por cima da colina e escapa.*

**Proposição 29.13 (Força a partir da paisagem; equilíbrios).**

A [força conservativa](#def-g12-work-and-energy-conservative) ao longo de $x$ é menos a inclinação de $E_p$: $F = -\,\dd E_p/\dd x$ — ela aponta *ladeira abaixo* no diagrama e se anula onde a tangente é horizontal: um equilíbrio. Um mínimo de $E_p$ é *estável* — o corpo afastado é empurrado de volta, uma bola num vale; um máximo é *instável* — ele é empurrado para longe, uma bola no alto de uma colina.

**Demonstração.** Num passo pequeno $\dd x$ a [força](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-force) realiza $F\,\dd x = E_p(x) - E_p(x + \dd x) =
-\dd E_p$; divida por $\dd x$. A descida dos dois lados de um vale aponta para dentro; em torno do alto de uma colina, para fora. ∎

**Observação 29.14 (Oscilações e escape).**

As pequenas oscilações do [Capítulo 28](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/28-osciladores-mecanicos-e-a-medida-do-tempo#ch-g12-oscillators-and-time) vivem no fundo dos vales de $E_p$. E, longe da Terra, a gravidade enfraquece: a curva $E_p(r)$ sobe cada vez mais devagar em direção a um teto finito (a área sob o gráfico da [força](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-force) que encolhe é finita). Um foguete cujo $E_m$ [alcance](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/26-queda-livre-e-lancamento-de-projeteis#def-g12-projectile-motion-range) o teto nunca encontra um [ponto de retorno](#def-g12-work-and-energy-diagram): ele *escapa* — cerca de $11.2\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ a partir do solo ([Exercício 29.13](#exo-g12-work-and-energy-13)); abaixo disso ele fica preso. O próprio teto é calculado no volume do primeiro ano de graduação.

**Exemplo 29.15 (O looping).**

Uma bolinha solta da altura $H$ chega embalada a um looping vertical de raio $R$. A dinâmica circular ([Capítulo 25](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/25-as-leis-de-newton#ch-g12-newtons-laws)) exige $v_{\text{alto}}^2 \geq gR$ no alto — o dado emprestado pelo problema da montanha-russa do ano passado, agora nosso. A conservação do repouso em $H$ até o alto (altura $2R$) dá $v_{\text{alto}}^2 = 2g(H - 2R)$, logo $H \geq \tfrac52 R$: meio raio acima do topo do looping, seja qual for a massa — um pouco mais no mundo real, que raspa.

![O looping: a soltura fica meio raio acima do topo, de modo que a E_k que sobra mantém a bolinha pressionada contra o trilho (v_ alto2 = gR).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g12-work-and-energy/fig-44424d11620e.svg)

*O looping: a soltura fica meio raio acima do topo, de modo que a $E_k$ que sobra mantém a bolinha pressionada contra o trilho ($v_{\text{alto}}^2 = gR$).*

## 29.5 Exercícios

**Exercício 29.1 ★.**

Uma mola de [constante elástica](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/28-osciladores-mecanicos-e-a-medida-do-tempo#def-g12-oscillators-and-time-spring) $k = 200\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ é esticada de $5.0\,\mathrm{cm}$. Calcule a [energia](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/9-energia-formas-e-conservacao#def-g10-energy-conservation-energy) armazenada; no que ela se transforma se o alongamento dobrar? Quanto custam os *segundos* $5.0\,\mathrm{cm}$?

**Solução de Exercício 29.1.**

$E_p = \tfrac12 \times 200 \times 0.050^2 = 0.25\,\mathrm{J}$. Com o alongamento dobrado: $\times 4$, ou seja, $1.0\,\mathrm{J}$. Os segundos $5.0\,\mathrm{cm}$ sozinhos custam $1.0 - 0.25 = 0.75\,\mathrm{J}$ — a [força](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-force) ali é maior.

**Exercício 29.2 ★.**

Um drone de $0.90\,\mathrm{kg}$ voa por uma rota sinuosa de um terraço a $z = 12\,\mathrm{m}$ até uma sacada a $z = 30\,\mathrm{m}$. Qual é o [trabalho](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/17-trabalho-de-uma-forca#def-g11-work-of-force-work) do [peso](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/4-gravitacao-universal-e-peso#def-g10-universal-gravitation-weight) dele? E pela subida em linha reta? E na ida e volta?

**Solução de Exercício 29.2.**

$W = mg(z_A - z_B) = 0.90 \times 9.81 \times (12 - 30) \approx
-1.6 \times 10^{2}\,\mathrm{J}$, seja qual for a rota — o mesmo pela subida reta. Na ida e volta: $0\,\mathrm{J}$ ([força conservativa](#def-g12-work-and-energy-conservative)).

**Exercício 29.3 ★.**

[Conservativa](#def-g12-work-and-energy-conservative), [não conservativa](#def-g12-work-and-energy-conservative) ou sem [trabalho](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/17-trabalho-de-uma-forca#def-g11-work-of-force-work)? Justifique a partir dos caminhos: (a) o [peso](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/4-gravitacao-universal-e-peso#def-g10-universal-gravitation-weight); (b) a [força](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-force) de uma mola; (c) o [atrito](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-inventory) de deslizamento; (d) a [força normal](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/25-as-leis-de-newton#def-g12-newtons-laws-friction) sobre uma caixa que desliza; (e) o arrasto do ar.

**Solução de Exercício 29.3.**

(a), (b) [conservativas](#def-g12-work-and-energy-conservative): [trabalho](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/17-trabalho-de-uma-forca#def-g11-work-of-force-work) fixado pelos extremos (desnível de altitude; alongamento). (c), (e) [não conservativas](#def-g12-work-and-energy-conservative): $-fL$ e o arrasto cobram por [metro](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/1-ordens-de-grandeza-medir-o-universo#def-g10-orders-of-magnitude-unit) percorrido. (d) sem [trabalho](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/17-trabalho-de-uma-forca#def-g11-work-of-force-work): sempre perpendicular ao movimento.

**Exercício 29.4 ★.**

Um pêndulo de comprimento $2.0\,\mathrm{m}$ é solto em repouso a $60{}^{\circ}$ da vertical. Encontre a velocidade dele no ponto mais baixo. Por que a tensão do fio nunca entra no balanço?

**Solução de Exercício 29.4.**

$h = L(1 - \cos60{}^{\circ}) = 1.0\,\mathrm{m}$; $v = \sqrt{2 \times 9.81 \times 1.0} \approx 4.4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. A tensão é perpendicular ao movimento a cada instante: [potência](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/17-trabalho-de-uma-forca#def-g11-work-of-force-power) nula, [trabalho](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/17-trabalho-de-uma-forca#def-g11-work-of-force-work) nulo.

**Exercício 29.5 ★.**

Uma ciclista anda a $9.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ no plano, entregando $250\,\mathrm{W}$: que [força](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-force) resistiva total ela combate? Subindo a $5.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ com a mesma [potência](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/17-trabalho-de-uma-forca#def-g11-work-of-force-power): que [força](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-force) ela vence?

**Solução de Exercício 29.5.**

$F = P/v = 250/9.0 \approx 28\,\mathrm{N}$. A $5.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$: $F = 250/5.0 = 50\,\mathrm{N}$ (na maior parte, a componente do [peso](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/4-gravitacao-universal-e-peso#def-g10-universal-gravitation-weight) ao longo da subida).

**Exercício 29.6 ★★.**

A mola de um lançador de brinquedo ($k = 450\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$) é comprimida de $8.0\,\mathrm{cm}$ atrás de um dardo de $20\,\mathrm{g}$. Encontre a [energia](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/9-energia-formas-e-conservacao#def-g10-energy-conservation-energy) armazenada, a velocidade de lançamento e a altura atingida se ele for disparado verticalmente para cima (sem ar).

**Solução de Exercício 29.6.**

$E_p = \tfrac12 \times 450 \times 0.080^2 = 1.44\,\mathrm{J}$; $v = \sqrt{2 \times 1.44/0.020} = 12\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; $h = E_p/mg = 1.44/(0.020 \times 9.81) \approx 7.3\,\mathrm{m}$.

**Exercício 29.7 ★★.**

Esticando um elástico, um estudante mede $F = 0$, $3.0$, $7.0$, $12.0$, $18.0\,\mathrm{N}$ em $x = 0$, $2.0$, $4.0$, $6.0$, $8.0\,\mathrm{cm}$. Estime a [energia](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/9-energia-formas-e-conservacao#def-g10-energy-conservation-energy) armazenada por áreas de trapézios; compare com $\tfrac12 kx^2$, tomando $k = F/x$ no fim. Por que elas diferem?

**Solução de Exercício 29.7.**

Trapézios (passos de $2.0\,\mathrm{cm}$): $(0.03 + 0.10 + 0.19 + 0.30) =
0.62\,\mathrm{J}$. Modelo de reta: $k = 18.0/0.080 = 225\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$, $\tfrac12 kx^2 = 0.72\,\mathrm{J}$. A curva medida afunda abaixo da reta para $x$ pequeno, de modo que a área verdadeira é menor.

**Exercício 29.8 ★★.**

Um trenó com condutor de $55\,\mathrm{kg}$ parte do repouso, desce $8.0\,\mathrm{m}$ ao longo de uma pista curva de $25\,\mathrm{m}$ e chega a $9.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Quanta [energia mecânica](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/18-energia-mecanica-e-sua-conservacao#def-g11-mechanical-energy-em) se perdeu? Qual é a [força](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-force) de [atrito](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-inventory) média? Por que a forma exata da pista é irrelevante?

**Solução de Exercício 29.8.**

$\Delta E_m = \tfrac12 \times 55 \times 9.0^2 - 55 \times 9.81 \times
8.0 = 2228 - 4316 \approx -2.1 \times 10^{3}\,\mathrm{J}$; $f = 2089/25 \approx 84\,\mathrm{N}$. O [peso](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/4-gravitacao-universal-e-peso#def-g10-universal-gravitation-weight) é conservativo e a [força normal](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/25-as-leis-de-newton#def-g12-newtons-laws-friction) não trabalha: entram apenas o desnível e o *comprimento* do caminho, e não a forma dele.

**Exercício 29.9 ★★.**

Uma pista de bolinhas tem um looping de raio $20\,\mathrm{cm}$. Encontre a altura mínima de soltura (do repouso, sem [atrito](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-inventory)). Solta de $60\,\mathrm{cm}$: qual é a velocidade no topo do looping e a razão $v_{\text{alto}}^2/(gR)$? Por que uma pista real precisa de um lançamento ainda mais alto?

**Solução de Exercício 29.9.**

$H_{\min} = \tfrac52 R = 0.50\,\mathrm{m}$. De $60\,\mathrm{cm}$: $v_{\text{alto}} = \sqrt{2 \times 9.81 \times (0.60 - 0.40)} \approx
2.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, e $v_{\text{alto}}^2/(gR) = 2.0$ — o dobro do mínimo. O [atrito](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-inventory) raspa [energia](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/9-energia-formas-e-conservacao#def-g10-energy-conservation-energy) o tempo todo, e por isso as pistas reais precisam de altura extra.

**Exercício 29.10 ★★.**

Uma conta de $100\,\mathrm{g}$ desliza sem [atrito](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-inventory) ao longo de um eixo, com $E_p(x) = 8.0\,x^2$ (em [joules](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/17-trabalho-de-uma-forca#def-g11-work-of-force-work), com $x$ em [metros](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/1-ordens-de-grandeza-medir-o-universo#def-g10-orders-of-magnitude-unit)) e $E_m = 2.0\,\mathrm{J}$. Quais são os [pontos de retorno](#def-g12-work-and-energy-diagram)? E a velocidade máxima? Que tipo de movimento é esse?

**Solução de Exercício 29.10.**

[Pontos de retorno](#def-g12-work-and-energy-diagram): $8.0\,x^2 = 2.0$, $x = \pm0.50\,\mathrm{m}$. Velocidade máxima em $x = 0$: $v = \sqrt{2 \times 2.0/0.100} \approx 6.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Uma oscilação de vaivém num poço parabólico — a $E_p$ do [oscilador massa–mola](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/28-osciladores-mecanicos-e-a-medida-do-tempo#prop-g12-oscillators-and-time-spring-period) tem exatamente essa forma.

**Exercício 29.11 ★★.**

Um carro de $1200\,\mathrm{kg}$ a $2.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ é parado por uma mola de para-choque de [constante elástica](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/28-osciladores-mecanicos-e-a-medida-do-tempo#def-g12-oscillators-and-time-spring) $k = 6.0 \times 10^{5}\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$. Encontre a compressão máxima. A $4.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$: por que ela não é quatro vezes maior, se a [energia](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/9-energia-formas-e-conservacao#def-g10-energy-conservation-energy) quadruplica?

**Solução de Exercício 29.11.**

$\tfrac12 kx^2 = \tfrac12 mv^2$: $x = v\sqrt{m/k} = 2.0\sqrt{1200/6.0 \times 10^{5}} \approx 8.9\,\mathrm{cm}$. A $4.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$: $18\,\mathrm{cm}$ — o dobro, e não o quádruplo: a [energia](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/9-energia-formas-e-conservacao#def-g10-energy-conservation-energy) quadruplica, mas $E_p$ cresce como $x^2$, de modo que $x$ apenas dobra.

**Exercício 29.12 ★★★.**

Um carrinho de $0.50\,\mathrm{kg}$ rola numa pista cuja $E_p(x)$ tem um alto de colina de $6.0\,\mathrm{J}$ ($x = 0$) e um vale de $2.0\,\mathrm{J}$ ($x = 1.5\,\mathrm{m}$). (a) Chegando pela esquerda com $E_m = 5.0\,\mathrm{J}$: ele passa? O que acontece em vez disso? (b) Com $E_m = 7.0\,\mathrm{J}$: quais são as velocidades no alto e no vale? (c) Quais são os equilíbrios?

**Solução de Exercício 29.12.**

(a) $E_m = 5.0\,\mathrm{J} < 6.0\,\mathrm{J}$: ele não consegue passar; para na encosta onde $E_p = 5.0\,\mathrm{J}$ e volta rolando. (b) No alto: $E_k = 1.0\,\mathrm{J}$, $v = \sqrt{2 \times 1.0/0.50} = 2.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; no vale: $E_k = 5.0\,\mathrm{J}$, $v \approx 4.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. (c) $x = 0$: instável (máximo); $x = 1.5\,\mathrm{m}$: estável (mínimo).

**Exercício 29.13 ★★★.**

Admitindo que arrastar uma massa $m$ do solo até arbitrariamente longe custa $mgR_E$, com $R_E = 6.37 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$ (a área finita sob o gráfico da gravidade que enfraquece), calcule a *[velocidade de escape](#rem-g12-work-and-energy-escape)* da Terra. Por que ela é a mesma para uma sonda e para um seixo? E um lançamento logo abaixo dela?

**Solução de Exercício 29.13.**

$\tfrac12 mv^2 = mgR_E$: $v = \sqrt{2 \times 9.81 \times 6.37 \times 10^{6}} \approx 1.12 \times 10^{4}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}
= 11.2\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$. Todo termo é proporcional a $m$: sonda e seixo por igual. Logo abaixo dela, o lançamento ainda sobe enormemente longe, encontra um [ponto de retorno](#def-g12-work-and-energy-diagram) e cai de volta: preso.

**Exercício 29.14 ★★★.**

Um carrinho de $250\,\mathrm{g}$ oscila numa mola ($k = 40\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$) com [amplitude](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/28-osciladores-mecanicos-e-a-medida-do-tempo#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) de $6.0\,\mathrm{cm}$ ([Capítulo 28](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/28-osciladores-mecanicos-e-a-medida-do-tempo#ch-g12-oscillators-and-time)). Qual é a [energia](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/9-energia-formas-e-conservacao#def-g10-energy-conservation-energy) total? E a velocidade máxima? E as posições em que $E_k = E_p$?

**Solução de Exercício 29.14.**

$E_m = \tfrac12 kA^2 = \tfrac12 \times 40 \times 0.060^2 =
7.2 \times 10^{-2}\,\mathrm{J}$; $v_{\max} = \sqrt{2E_m/m} =
\sqrt{2 \times 0.072/0.250} \approx 0.76\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; $E_k = E_p$ onde $\tfrac12 kx^2 = E_m/2$: $x = \pm A/\sqrt 2 \approx \pm4.2\,\mathrm{cm}$.

**Exercício 29.15 ★★★.**

Um saltador com vara corre a $9.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Estime a altura que o [centro de massa](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/16-forcas-e-movimento#def-g11-forces-and-motion-com) dele ganha se a vara converter toda a [energia cinética](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/18-energia-mecanica-e-sua-conservacao#def-g11-mechanical-energy-kinetic), e a altura do sarrafo transposto (com o [centro de massa](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/16-forcas-e-movimento#def-g11-forces-and-motion-com) partindo de $1.0\,\mathrm{m}$). O recorde é de cerca de $6.3\,\mathrm{m}$: o que a estimativa captura e o que ela deixa de fora?

**Solução de Exercício 29.15.**

$h = v^2/2g = 9.5^2/19.62 \approx 4.6\,\mathrm{m}$; sarrafo $\approx
4.6 + 1.0 = 5.6\,\mathrm{m}$. O recorde é mais alto: os saltadores acrescentam [trabalho](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/17-trabalho-de-uma-forca#def-g11-work-of-force-work) com braços e pernas sobre a vara que verga. Mas a estimativa energética fixa a escala — nenhum salto de velocista chegará a $10\,\mathrm{m}$.

## 29.6 Problema: o salto de esqui

**Problema 29.1.**

Problema de fim de semana — o salto de esqui: uma rampa de impulso auditada por um radar, um voo em queda livre, a geometria gentil de uma aterrissagem íngreme e a torre que um projetista precisa comprar quando o atrito manda a conta

Um saltador de esqui olímpico ($m = 70\,\mathrm{kg}$, esquis incluídos) parte do repouso de um portão $H = 45\,\mathrm{m}$ acima da mesa de saída, desliza $L = 90\,\mathrm{m}$ de rampa de impulso curva e deixa a mesa horizontalmente; ali um [radar](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/8-sinais-e-ondas#met-g10-signals-and-waves-echo) marca $v_0 = 26\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. O ponto de aterrissagem fica $h = 40\,\mathrm{m}$ mais baixo, numa encosta de $35{}^{\circ}$. As Partes II e III desprezam a resistência do ar.

**Parte I — A rampa de impulso.**

1. Preveja a velocidade de saída sem [atrito](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-inventory) ; por que a curvatura da rampa é irrelevante?
2. Com a referência na mesa: calcule $E_m$ no portão e na saída.
3. Calcule $\Delta E_m$ ; que teorema nomeia os culpados, e quem são eles?
4. Deduza a [força](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-force) resistiva média (neve mais ar) ao longo da descida.
5. Que fração de $E_m$ se perde? Por que encerar os esquis e se agachar?

**Parte II — O voo.**

6. Só o [peso](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/4-gravitacao-universal-e-peso#def-g10-universal-gravitation-weight) age durante o voo: que movimento do [Capítulo 26](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/26-queda-livre-e-lancamento-de-projeteis#ch-g12-projectile-motion) é esse? Quais são as componentes da velocidade na aterrissagem?
7. Calcule a velocidade de aterrissagem duas vezes: pelas componentes e pela conservação de $E_m$ . E em $\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ?
8. Calcule o [tempo de voo](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/26-queda-livre-e-lancamento-de-projeteis#def-g12-projectile-motion-range) e a distância horizontal percorrida.
9. Saltadores reais cavalgam o ar como uma asa e voam muito mais longe: o ar pode *aumentar* a velocidade de aterrissagem? Argumente com o [teorema da energia mecânica](#thm-g12-work-and-energy-emtheorem) .

**Parte III — A aterrissagem.**

10. Calcule o ângulo da velocidade de aterrissagem abaixo da horizontal.
11. Decomponha-a em componentes paralela e perpendicular à encosta.
12. As pernas absorvem apenas a parte perpendicular: calcule essa [energia cinética](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/18-energia-mecanica-e-sua-conservacao#def-g11-mechanical-energy-kinetic) ; compare-a com a total.
13. Um terreno plano absorveria tudo: a que queda vertical equivale cada aterrissagem ( $h_{\text{eq}} = v_\perp^2/2g$ e, respectivamente, $v^2/2g$ )?
14. Em uma frase: por que as rampas de aterrissagem são íngremes e curvas?

**Parte IV — A torre do projetista.** Uma rampa menor precisa de saída a apenas $v_0' = 24\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; a rampa de impulso reta dela desce a $35{}^{\circ}$, de modo que uma altura de portão $H'$ significa um comprimento de pista $H'/\sin35{}^{\circ}$; mesmo arrasto de $80\,\mathrm{N}$.

15. Calcule a altura do portão que um projetista sem [atrito](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-inventory) construiria.
16. Escreva o [teorema da energia mecânica](#thm-g12-work-and-energy-emtheorem) , do portão até a mesa, para $H'$ .
17. Resolva para $H'$ .
18. Em que porcentagem o [atrito](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-inventory) ergueu a torre?
19. A massa não se cancela mais: recalcule $H'$ para uma saltadora de $60\,\mathrm{kg}$ . Quem precisa da torre mais alta, e por quê?
20. O arremate: a torre anunciada e a fatia dela que cabe ao [atrito](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-inventory) .

**Solução de Problema 29.1.**

**1.** $v = \sqrt{2gH} = \sqrt{2 \times 9.81 \times 45} \approx
29.7\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$: [peso](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/4-gravitacao-universal-e-peso#def-g10-universal-gravitation-weight) conservativo, [força normal](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/25-as-leis-de-newton#def-g12-newtons-laws-friction) sem [trabalho](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/17-trabalho-de-uma-forca#def-g11-work-of-force-work) — o perfil sai da conta.

**2.** Portão: $E_m = mgH = 70 \times 9.81 \times 45 \approx
3.09 \times 10^{4}\,\mathrm{J}$. Saída: $E_m = \tfrac12 \times 70 \times 26^2 \approx
2.37 \times 10^{4}\,\mathrm{J}$.

**3.** $\Delta E_m \approx -7.2 \times 10^{3}\,\mathrm{J}$; o [teorema da energia mecânica](#thm-g12-work-and-energy-emtheorem) cobra isso das [forças não conservativas](#def-g12-work-and-energy-conservative): o [atrito](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-inventory) da neve e o arrasto do ar.

**4.** $f = 7.2 \times 10^{3}/90 \approx 80\,\mathrm{N}$.

**5.** $7.2 \times 10^{3}/3.09 \times 10^{4} \approx 23\%$. A cera abaixa $f$ e o agachamento abaixa o arrasto: os dois encolhem $fL$, o único termo negociável.

**6.** [Queda livre](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/26-queda-livre-e-lancamento-de-projeteis#def-g12-projectile-motion-freefall) com velocidade inicial horizontal — um lançamento de [projétil](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/26-queda-livre-e-lancamento-de-projeteis#def-g12-projectile-motion-projectile). $v_x = 26\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; $v_y = \sqrt{2 \times 9.81 \times 40} \approx 28.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

**7.** $v = \sqrt{26^2 + 28.0^2} = \sqrt{1461} \approx
38.2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; pela [energia](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/9-energia-formas-e-conservacao#def-g10-energy-conservation-energy): $v = \sqrt{v_0^2 + 2gh} =
\sqrt{676 + 785}$ — idêntico. Cerca de $138\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$.

**8.** $t = v_y/g = 28.0/9.81 \approx 2.9\,\mathrm{s}$; $d = v_0 t \approx 74\,\mathrm{m}$.

**9.** Não. A sustentação é perpendicular à velocidade (não trabalha) e o arrasto se opõe a ela ([trabalho](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/17-trabalho-de-uma-forca#def-g11-work-of-force-work) negativo): $\Delta E_m \leq 0$, de modo que a velocidade real de aterrissagem só pode ser *menor* — o ar estica o voo, ele não o alimenta.

**10.** $\alpha = \arctan(28.0/26) \approx 47{}^{\circ}$ abaixo da horizontal.

**11.** Ângulo com a encosta: $47 - 35 = 12{}^{\circ}$. $v_\parallel = 38.2\cos12{}^{\circ} \approx 37.4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; $v_\perp = 38.2\sin12{}^{\circ} \approx 7.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

**12.** Absorvida: $\tfrac12 \times 70 \times 7.9^2 \approx
2.2 \times 10^{3}\,\mathrm{J}$, contra $\tfrac12 \times 70 \times 38.2^2 \approx
5.1 \times 10^{4}\,\mathrm{J}$ no total: cerca de $4\%$.

**13.** $h_{\text{eq}} = 7.9^2/19.62 \approx 3.2\,\mathrm{m}$ — um salto ousado de um muro. No plano: $38.2^2/19.62 \approx 74\,\mathrm{m}$ — insobrevivível.

**14.** Uma encosta paralela à [trajetória](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/5-movimento-relativo#def-g10-relative-motion-trajectory) do voo mantém $v_\perp$ pequena, de modo que as pernas absorvem [metros](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/1-ordens-de-grandeza-medir-o-universo#def-g10-orders-of-magnitude-unit), e não a montanha inteira de [energia cinética](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/18-energia-mecanica-e-sua-conservacao#def-g11-mechanical-energy-kinetic).

**15.** $H'_0 = v_0'^2/2g = 576/19.62 \approx 29.4\,\mathrm{m}$.

**16.** $mgH' - f\,\dfrac{H'}{\sin35{}^{\circ}} =
\tfrac12 m v_0'^2$.

**17.** $H' = \dfrac{\tfrac12 \times 70 \times 576}
{686.7 - 80/0.574} = \dfrac{20\,160}{547} \approx 37\,\mathrm{m}$.

**18.** $36.8/29.4 \approx 1.25$: uma sobretaxa de $25\%$.

**19.** Para $60\,\mathrm{kg}$: $H' = 17\,280/(588.6 - 139.5)
\approx 38.5\,\mathrm{m}$. A saltadora *mais leve* precisa da torre mais alta: a conta do [atrito](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-inventory) $fL$ é a mesma, mas o orçamento de [energia](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/9-energia-formas-e-conservacao#def-g10-energy-conservation-energy) $mgH'$ dela é menor.

**20.** Anuncie uma torre de $37\,\mathrm{m}$ para $24\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ de saída — e confesse que um quarto dela, uns $7\,\mathrm{m}$ de concreto, é a sobretaxa que o [atrito](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-inventory) cobra do sonho sem [atrito](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-inventory).