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title: "Circuitos RC e RL"
book: "Física do ensino médio"
subject: physics
language: pt
chapter: 30
exercises: 15
source: https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/30-circuitos-rc-e-rl
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# Capítulo 30 — Circuitos RC e RL

Aperte o disparador de uma câmera até a metade: um zunido fino sobe por dois segundos, uma luz fica verde — e só então o flash dispara, despejando em um milissegundo o que levou dois segundos juntando. Este capítulo apresenta os dois componentes que dão aos circuitos uma memória e um relógio — o [capacitor](#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) e a [bobina](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/15-magnetismo-e-campos-magneticos#def-g11-magnetic-fields-solenoid) — e as primeiras equações diferenciais da física, conferíveis com as derivadas deste ano.

## 30.1 O capacitor

**Definição 30.1 (Capacitor e capacitância).**

Um *capacitor* é um par de placas metálicas frente a frente, separadas por um isolante fino. Ligadas a uma fonte, as placas recebem cargas opostas $+q$ e $-q$ — um [campo elétrico](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/14-campos-eletrico-e-gravitacional#def-g11-electric-gravitational-fields-efield) preenche o vão ([Capítulo 14](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/14-campos-eletrico-e-gravitacional#ch-g11-electric-gravitational-fields)) — e a tensão $u$ entre as placas é proporcional à carga armazenada:

$$
q = C\,u .
$$

A constante $C$ é a *capacitância*, medida em *farads* ($\mathrm{F}$): $1\,\mathrm{F} = 1\,\mathrm{C}/\mathrm{V}$.

**Exemplo 30.2 (Ordens de grandeza).**

Um [farad](#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) é enorme — um [coulomb](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/13-as-interacoes-fundamentais#def-g11-fundamental-interactions-charge) estacionado por [volt](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/12-circuitos-eletricos-e-potencia#def-g11-circuits-and-power-voltage). Os cerâmicos dos circuitos de rádio: de $\mathrm{pF}$ a $\mathrm{nF}$; os eletrolíticos das fontes de alimentação e dos flashes: de $\text{µ}\mathrm{F}$ a $\mathrm{mF}$; os supercapacitores: milhares de [farads](#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor).

**Proposição 30.3 (Corrente que entra num capacitor).**

A corrente que chega à placa de um [capacitor](#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) é a taxa com que a carga dele cresce:

$$
i = \frac{dq}{dt} = C\,\frac{du}{dt} ,
$$

com as minúsculas marcando as grandezas que variam no tempo ($U$ e $I$ permanecem constantes, [Capítulo 12](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/12-circuitos-eletricos-e-potencia#ch-g11-circuits-and-power)).

**Demonstração.** Corrente é carga entregue por segundo ([Definição 12.1](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/12-circuitos-eletricos-e-potencia#def-g11-circuits-and-power-current)): num intervalo que encolhe, $i$ é a derivada de $q$; e $q = Cu$ com $C$ constante dá $C\,du/dt$. ∎

**Observação 30.4 (Duas consequências).**

Se $u$ é constante, $i = 0$: um [capacitor](#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) carregado não deixa passar corrente contínua. E $u$ nunca pode dar um salto — um degrau exigiria corrente infinita: a tensão do [capacitor](#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) é a memória do circuito.

## 30.2 Carregar um capacitor: o circuito RC

Uma única malha — fonte $\mathcal{E}$ ([Definição 12.18](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/12-circuitos-eletricos-e-potencia#def-g11-circuits-and-power-emf)), chave, resistor, [capacitor](#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) vazio: feche $K$ em $t = 0$.

![O circuito RC de carga: fechar K deixa a fonte empurrar carga através de R até as placas de C.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g12-rc-rl-circuits/fig-2f8ee4d9b2da.svg)

*O [circuito RC](#thm-g12-rc-rl-circuits-charging) de carga: fechar $K$ deixa a fonte empurrar carga através de $R$ até as placas de $C$.*

**Teorema 30.5 (Lei de carga do circuito RC).**

Depois que a chave fecha, a tensão do [capacitor](#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) obedece à equação abaixo e, a partir de $u(0) = 0$, decorre dela:

$$
RC\,\frac{du}{dt} + u = \mathcal{E},
\qquad
u(t) = \mathcal{E}\left(1 - e^{-t/\tau}\right),
\qquad \tau = RC .
$$

**Demonstração.** As tensões ao longo da malha se somam ([Proposição 12.4](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/12-circuitos-eletricos-e-potencia#prop-g11-circuits-and-power-laws)): $\mathcal{E} = u_R + u = Ri + u$ a cada instante; substitua $i = C\,du/dt$ ([Proposição 30.3](#prop-g12-rc-rl-circuits-cdudt)). Agora *verifique* a candidata: $du/dt = (\mathcal{E}/\tau)e^{-t/\tau}$, logo $RC\,(\mathcal{E}/RC)\,e^{-t/\tau} + \mathcal{E}(1 - e^{-t/\tau}) = \mathcal{E}$, verdadeiro para todo $t$; e $u(0) = \mathcal{E}(1-1) = 0$. Que nenhuma *outra* curva se ajusta à equação e à partida é demonstrado no curso de matemática deste ano, sobre equações diferenciais. ∎

**Definição 30.6 (Constante de tempo).**

A *constante de tempo* de um [circuito RC](#thm-g12-rc-rl-circuits-charging) é $\tau = RC$. [Unidades](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/1-ordens-de-grandeza-medir-o-universo#def-g10-orders-of-magnitude-unit): $\Omega \times \mathrm{F} = (\mathrm{V}/\mathrm{A})(\mathrm{C}/\mathrm{V}) = \mathrm{C}/\mathrm{A} =
\mathrm{s}$ — o compasso próprio do circuito.

**Método 30.7 (Ler τ\tauτ na curva).**

Três leituras equivalentes, direto de um gráfico:

1. *tangente na origem:* $u'(0) = \mathcal{E}/\tau$ , de modo que a tangente inicial alcança a assíntota em $t = \tau$ ;
2. *63%:* $u(\tau) = \mathcal{E}(1 - e^{-1}) \approx 0.63\,\mathcal{E}$ ;
3. *95%:* $u(3\tau) \approx 0.95\,\mathcal{E}$ — carregado, para fins práticos ( $5\tau$ : $99\%$ ).

**Proposição 30.8 (Descarga).**

Um [capacitor](#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) carregado a $U_0$ e fechado sobre um resistor $R$ sozinho obedece a $RC\,du/dt + u = 0$ e segue

$$
u(t) = U_0\,e^{-t/\tau}, \qquad \tau = RC
$$

— restam $37\%$ em $\tau$ e $5\%$ em $3\tau$.

**Demonstração.** A mesma lei das malhas, sem fonte; e de novo a substituição: $RC(-U_0/\tau)e^{-t/\tau} + U_0 e^{-t/\tau} = 0$, com $u(0) = U_0$. ∎

![Carga (azul, de u = 0 rumo a E) e descarga (vermelho, a partir de U_0 = E). As duas tangentes iniciais encontram a assíntota delas em t =; 63\% feito em , 95\% em 3.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g12-rc-rl-circuits/fig-de2eed6e47d0.svg)

*Carga (azul, de $u = 0$ rumo a $\mathcal{E}$) e descarga (vermelho, a partir de $U_0 = \mathcal{E}$). As duas tangentes iniciais encontram a assíntota delas em $t = \tau$; $63\%$ feito em $\tau$, $95\%$ em $3\tau$.*

**Exemplo 30.9 (Os números de um flash).**

Um flash fotográfico carrega $C = 800\,\text{µ}\mathrm{F}$ através de $R = 1.0\,\mathrm{k}\Omega$: $\tau = 10^3 \times 8.0\times10^{-4} = 0.80\,\mathrm{s}$, de modo que a luz de “pronto” — ligada para acender a $95\%$ — espera $3\tau \approx 2.4\,\mathrm{s}$: o zunido da espera. Disparado através dos meros $0.50\,\Omega$ do tubo de flash, o *mesmo* [capacitor](#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) se esvazia com $\tau' = 0.40\,\mathrm{ms}$: duas mil vezes mais rápido para sair do que para entrar.

## 30.3 A bobina: indutância e o circuito RL

**Definição 30.10 (Indutor e indutância).**

Um *indutor* é uma [bobina](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/15-magnetismo-e-campos-magneticos#def-g11-magnetic-fields-solenoid) de fio: a corrente dele enfia nas próprias espiras um [campo magnético](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/15-magnetismo-e-campos-magneticos#def-g11-magnetic-fields-bfield) ([Capítulo 15](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/15-magnetismo-e-campos-magneticos#ch-g11-magnetic-fields)); sempre que esse [campo](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/14-campos-eletrico-e-gravitacional#def-g11-electric-gravitational-fields-field) *muda*, aparece uma tensão nos terminais da [bobina](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/15-magnetismo-e-campos-magneticos#def-g11-magnetic-fields-solenoid):

$$
u = L\,\frac{di}{dt} .
$$

A constante $L$ é a *indutância*, medida em *henries* ($\mathrm{H}$): $1\,\mathrm{H} = 1\,\mathrm{V}\,\mathrm{s}/\mathrm{A}$.

**Demonstração.** *Admitido neste nível.* ∎

**Observação 30.11 (A bobina resiste à mudança).**

Por que uma corrente que varia gera uma tensão — a indução — é deduzido nos volumes universitários; aqui tomamos a lei e o caráter dela: a [bobina](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/15-magnetismo-e-campos-magneticos#def-g11-magnetic-fields-solenoid) *se opõe às mudanças* da corrente dela. Gêmeos espelhados: o $u$ de um [capacitor](#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) não pode saltar, o $i$ de uma [bobina](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/15-magnetismo-e-campos-magneticos#def-g11-magnetic-fields-solenoid) não pode saltar.

![O circuito RL: depois que K fecha, a bobina deixa a corrente subir apenas no compasso próprio dela, = L/R.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g12-rc-rl-circuits/fig-9934f9796a6b.svg)

*O [circuito RL](#prop-g12-rc-rl-circuits-rl): depois que $K$ fecha, a [bobina](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/15-magnetismo-e-campos-magneticos#def-g11-magnetic-fields-solenoid) deixa a corrente subir apenas no compasso próprio dela, $\tau = L/R$.*

**Proposição 30.12 (Subida da corrente num circuito RL).**

Fechar a chave sobre uma fonte $\mathcal{E}$, um resistor $R$ e uma [bobina](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/15-magnetismo-e-campos-magneticos#def-g11-magnetic-fields-solenoid) $L$ em série dá $\mathcal{E} = Ri + L\,di/dt$, ou seja,

$$
\frac{L}{R}\,\frac{di}{dt} + i = \frac{\mathcal{E}}{R},
\qquad\text{resolvida por}\quad
i(t) = \frac{\mathcal{E}}{R}\left(1 - e^{-t/\tau}\right),
\quad \tau = \frac{L}{R} .
$$

**Demonstração.** De novo a lei das malhas; e é a *mesma equação* do [Teorema 30.5](#thm-g12-rc-rl-circuits-charging) com $u \to i$, $\mathcal{E} \to \mathcal{E}/R$ e $RC \to L/R$ — a mesma substituição verifica a solução, e toda leitura do [Método 30.7](#met-g12-rc-rl-circuits-reading) se transfere. ∎

**Exemplo 30.13 (Um eletroímã acorda).**

A [bobina](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/15-magnetismo-e-campos-magneticos#def-g11-magnetic-fields-solenoid) de um relé, $L = 0.30\,\mathrm{H}$ e $R = 6.0\,\Omega$, numa fonte de $12\,\mathrm{V}$: corrente final $\mathcal{E}/R = 2.0\,\mathrm{A}$, no compasso $\tau = 0.30/6.0 = 50\,\mathrm{ms}$ — desperto em $3\tau \approx 0.15\,\mathrm{s}$.

**Observação 30.14 (A faísca na abertura).**

Abra uma chave sobre uma [bobina](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/15-magnetismo-e-campos-magneticos#def-g11-magnetic-fields-solenoid) energizada e $i$ precisa despencar a zero numa fração de milissegundo: $di/dt$ fica enorme e $u = L\,di/dt$ alcança centenas ou milhares de [volts](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/12-circuitos-eletricos-e-potencia#def-g11-circuits-and-power-voltage) — uma faísca salta o contato. A [bobina](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/15-magnetismo-e-campos-magneticos#def-g11-magnetic-fields-solenoid) de ignição de um carro faz isso de propósito, milhares de vezes por minuto.

## 30.4 Energia armazenada

**Proposição 30.15 (Energia num capacitor, energia numa bobina).**

Um [capacitor](#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) $C$ carregado à tensão $u$ e uma [bobina](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/15-magnetismo-e-campos-magneticos#def-g11-magnetic-fields-solenoid) $L$ percorrida por uma corrente $i$ armazenam

$$
E_C = \tfrac12\,C u^2 = \frac{q^2}{2C},
\qquad
E_L = \tfrac12\,L i^2 .
$$

**Demonstração.** Pousar uma pequena carga $dq$ em placas já à tensão $u$ custa $u\,dq$ ([Definição 12.3](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/12-circuitos-eletricos-e-potencia#def-g11-circuits-and-power-voltage)); empilhando os custos, o total é a área sob a reta $u = q/C$ — o triângulo abaixo — logo $E_C = \tfrac12 qu = \tfrac12 Cu^2$. O mesmo triângulo para a [bobina](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/15-magnetismo-e-campos-magneticos#def-g11-magnetic-fields-solenoid) (elevar $i$ de $di$ custa $Li\,di$) dá $E_L = \tfrac12 Li^2$. ∎

![Cada fatia dq custa u\,dq; a carga inteira custa a área do triângulo, E_C = 1/2 q_0 u_0 — os primeiros coulombs embarcam com tensão baixa.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g12-rc-rl-circuits/fig-fe806a23267a.svg)

*Cada fatia $dq$ custa $u\,dq$; a carga inteira custa a área do triângulo, $E_C = \tfrac12 q_0 u_0$ — os primeiros [coulombs](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/13-as-interacoes-fundamentais#def-g11-fundamental-interactions-charge) embarcam com tensão baixa.*

**Exemplo 30.16 (Ordens de grandeza de energia).**

O [capacitor](#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) de flash do [Exemplo 30.9](#ex-g12-rc-rl-circuits-flashrc): $\tfrac12 \times 8.0\times10^{-4} \times 300^2 = 36\,\mathrm{J}$. Um supercapacitor de $3000\,\mathrm{F}$ a $2.7\,\mathrm{V}$: $1.1 \times 10^{4}\,\mathrm{J}$ — o equivalente a uma pilha AA. Uma [bobina](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/15-magnetismo-e-campos-magneticos#def-g11-magnetic-fields-solenoid) de $10\,\mathrm{mH}$ a $10\,\mathrm{A}$: $0.50\,\mathrm{J}$. Menos do que as pilhas guardam — mas liberável em um milissegundo.

**Observação 30.17 (Para que servem os dois marcadores de tempo).**

Entrar devagar e sair depressa é o que move o flash da câmera e o desfibrilador. O [atraso](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/20-ondas-mecanicas#def-g12-mechanical-waves-delay) $\tau = RC$ toca os [circuitos temporizadores](#rem-g12-rc-rl-circuits-applications): limpadores de para-brisa intermitentes, balizas piscantes, luzes de escada. Um [capacitor](#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) em paralelo com uma fonte *filtra* a tensão ($u$ não pode saltar); uma [bobina](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/15-magnetismo-e-campos-magneticos#def-g11-magnetic-fields-solenoid) em série filtra a corrente ($i$ não pode saltar). E [bobina](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/15-magnetismo-e-campos-magneticos#def-g11-magnetic-fields-solenoid) mais [capacitor](#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) juntos fazem um [oscilador](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/28-osciladores-mecanicos-e-a-medida-do-tempo#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) ([Capítulo 31](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/31-oscilacoes-eletricas-livres-rlc#ch-g12-rlc-oscillations)).

## 30.5 Exercícios

**Exercício 30.1 ★.**

Um [capacitor](#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) de $470\,\text{µ}\mathrm{F}$ é carregado a $12\,\mathrm{V}$: que carga ele guarda? Que tensão poria $2.0\,\mathrm{mC}$ em $100\,\text{µ}\mathrm{F}$?

**Solução de Exercício 30.1.**

$q = Cu = 4.7\times10^{-4} \times 12 \approx 5.6\,\mathrm{mC}$; $u = q/C = 2.0\times10^{-3}/10^{-4} = 20\,\mathrm{V}$.

**Exercício 30.2 ★.**

Distribua $47\,\mathrm{pF}$, $2200\,\text{µ}\mathrm{F}$ e $10\,\mathrm{F}$ entre um [filtro](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/11-cor-e-fontes-de-luz#def-g11-color-light-sources-subtractive) de fonte de alimentação, um sintonizador de rádio e um supercapacitor; calcule a [energia](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/9-energia-formas-e-conservacao#def-g10-energy-conservation-energy) do último a $2.7\,\mathrm{V}$.

**Solução de Exercício 30.2.**

$47\,\mathrm{pF}$: sintonizador de rádio; $2200\,\text{µ}\mathrm{F}$: [filtro](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/11-cor-e-fontes-de-luz#def-g11-color-light-sources-subtractive) de fonte; $10\,\mathrm{F}$: supercapacitor. $E = \tfrac12 \times 10 \times 2.7^2 \approx 36\,\mathrm{J}$.

**Exercício 30.3 ★.**

A tensão num [capacitor](#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) de $220\,\text{µ}\mathrm{F}$ sobe de modo uniforme de $0$ a $5.0\,\mathrm{V}$ em $10\,\mathrm{ms}$: que corrente entra? E que corrente circula depois que a tensão para de variar, e por quê?

**Solução de Exercício 30.3.**

$i = C\,\Delta u/\Delta t = 2.2\times10^{-4} \times 5.0/0.010 =
0.11\,\mathrm{A}$. Depois $i = C\,du/dt = 0$: um [capacitor](#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) carregado é um circuito aberto — nada de corrente contínua.

**Exercício 30.4 ★.**

Calcule $\tau$ para $R = 10\,\mathrm{k}\Omega$ e $C = 100\,\text{µ}\mathrm{F}$, e depois para $L = 0.10\,\mathrm{H}$ e $R = 50\,\Omega$. Confira, [unidade](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/1-ordens-de-grandeza-medir-o-universo#def-g10-orders-of-magnitude-unit) por [unidade](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/1-ordens-de-grandeza-medir-o-universo#def-g10-orders-of-magnitude-unit), que as duas combinações dão segundos.

**Solução de Exercício 30.4.**

$RC = 10^4 \times 10^{-4} = 1.0\,\mathrm{s}$; $L/R = 0.10/50 = 2.0\,\mathrm{ms}$. $\Omega\,\mathrm{F} =
(\mathrm{V}/\mathrm{A})(\mathrm{C}/\mathrm{V}) = \mathrm{C}/\mathrm{A} = \mathrm{s}$; $\mathrm{H}/\Omega = (\mathrm{V}\,\mathrm{s}/\mathrm{A})/(\mathrm{V}/\mathrm{A}) = \mathrm{s}$.

**Exercício 30.5 ★.**

Um [capacitor](#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) carrega rumo a $6.0\,\mathrm{V}$ e passa por $3.8\,\mathrm{V}$ em $t = 2.0\,\mathrm{s}$. Leia a [constante de tempo](#def-g12-rc-rl-circuits-tau); quando a carga está $95\%$ concluída?

**Solução de Exercício 30.5.**

$3.8/6.0 = 0.63$, logo $\tau = 2.0\,\mathrm{s}$; $95\%$ em $3\tau = 6.0\,\mathrm{s}$.

**Exercício 30.6 ★★.**

Um [circuito RC](#thm-g12-rc-rl-circuits-charging): $\mathcal{E} = 9.0\,\mathrm{V}$, $R = 4.7\,\mathrm{k}\Omega$, $C = 220\,\text{µ}\mathrm{F}$. Calcule $\tau$, $u(\tau)$, $u(3\tau)$ e a corrente no instante em que a chave fecha.

**Solução de Exercício 30.6.**

$\tau = 4700 \times 2.2\times10^{-4} \approx 1.0\,\mathrm{s}$; $u(\tau) = 0.63 \times 9.0 = 5.7\,\mathrm{V}$; $u(3\tau) = 0.95 \times 9.0 = 8.6\,\mathrm{V}$; $I_0 = \mathcal{E}/R = 9.0/4700 \approx 1.9\,\mathrm{mA}$ ([capacitor](#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) vazio: todo o $\mathcal{E}$ fica sobre $R$).

**Exercício 30.7 ★★.**

Verifique por substituição que $u(t) = \mathcal{E}(1 - e^{-t/RC})$ satisfaz $RC\,du/dt + u = \mathcal{E}$; o que o valor dela em $t = 0$ e o limite para $t$ grande codificam fisicamente?

**Solução de Exercício 30.7.**

$du/dt = (\mathcal{E}/RC)e^{-t/RC}$, logo $RC\,du/dt + u = \mathcal{E}e^{-t/RC} + \mathcal{E}(1 - e^{-t/RC}) =
\mathcal{E}$. $u(0) = 0$: o [capacitor](#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) parte vazio; $u \to \mathcal{E}$: totalmente carregado, a corrente parou.

**Exercício 30.8 ★★.**

Um [capacitor](#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) de $100\,\text{µ}\mathrm{F}$ carregado a $12\,\mathrm{V}$ se descarrega através de $47\,\mathrm{k}\Omega$: calcule $\tau$, $u(\tau)$ e o tempo para $u$ cair abaixo de $0.60\,\mathrm{V}$.

**Solução de Exercício 30.8.**

$\tau = 4.7\times10^{4} \times 10^{-4} = 4.7\,\mathrm{s}$; $u(\tau) = 12\,e^{-1} \approx 4.4\,\mathrm{V}$; $0.60\,\mathrm{V}$ são $5\%$, atingidos em $3\tau \approx 14\,\mathrm{s}$.

**Exercício 30.9 ★★.**

A corrente numa [bobina](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/15-magnetismo-e-campos-magneticos#def-g11-magnetic-fields-solenoid) de $0.50\,\mathrm{H}$ sobe de modo uniforme de $0$ a $2.0\,\mathrm{A}$ em $40\,\mathrm{ms}$: que tensão aparece nos terminais dela? Com $u = L\,di/dt$, por que *abrir* uma chave sobre uma [bobina](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/15-magnetismo-e-campos-magneticos#def-g11-magnetic-fields-solenoid) dá faísca, e fechá-la não?

**Solução de Exercício 30.9.**

$u = L\,\Delta i/\Delta t = 0.50 \times 2.0/0.040 = 25\,\mathrm{V}$. Ao fechar, $i$ sobe no compasso próprio do circuito, com $di/dt$ modesto; ao abrir, $i$ é *forçada* a zero quase instantaneamente, $di/dt$ fica enorme e $u$ alcança valores de faísca.

**Exercício 30.10 ★★.**

O relé do [Exemplo 30.13](#ex-g12-rc-rl-circuits-rl): verifique por substituição que $i(t) = (\mathcal{E}/R)(1 - e^{-Rt/L})$ satisfaz $L\,di/dt + Ri = \mathcal{E}$ e depois calcule $i(\tau)$ e $i(3\tau)$.

**Solução de Exercício 30.10.**

$di/dt = (\mathcal{E}/L)e^{-Rt/L}$, logo $L\,di/dt + Ri = \mathcal{E}e^{-Rt/L} + \mathcal{E}(1 - e^{-Rt/L}) =
\mathcal{E}$. $i(\tau) = 0.63 \times 2.0 = 1.3\,\mathrm{A}$; $i(3\tau) = 0.95 \times 2.0 = 1.9\,\mathrm{A}$.

**Exercício 30.11 ★★.**

Mostre que $u'(0) = \mathcal{E}/\tau$ e deduza que a tangente na origem encontra a assíntota em $t = \tau$. Numa curva registrada que dá $\tau = 0.50\,\mathrm{s}$, com $R = 2.0\,\mathrm{k}\Omega$: encontre $C$.

**Solução de Exercício 30.11.**

$u'(t) = (\mathcal{E}/\tau)e^{-t/\tau}$, logo $u'(0) = \mathcal{E}/\tau$: a tangente $u = (\mathcal{E}/\tau)\,t$ alcança $\mathcal{E}$ em $t = \tau$. $C = \tau/R = 0.50/2000 = 250\,\text{µ}\mathrm{F}$.

**Exercício 30.12 ★★★.**

Ordene pela [energia](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/9-energia-formas-e-conservacao#def-g10-energy-conservation-energy) armazenada, calculando cada uma: um supercapacitor de $3000\,\mathrm{F}$ a $2.7\,\mathrm{V}$; um [capacitor](#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) de flash, $800\,\text{µ}\mathrm{F}$ a $300\,\mathrm{V}$; uma [bobina](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/15-magnetismo-e-campos-magneticos#def-g11-magnetic-fields-solenoid) de $10\,\mathrm{mH}$ a $10\,\mathrm{A}$; uma pilha AA ($E \approx 1.3 \times 10^{4}\,\mathrm{J}$). O que os três primeiros oferecem que a pilha não consegue?

**Solução de Exercício 30.12.**

Supercapacitor: $\tfrac12 \times 3000 \times 2.7^2 \approx
1.1 \times 10^{4}\,\mathrm{J}$; flash: $\tfrac12 \times 8.0\times10^{-4} \times 300^2 = 36\,\mathrm{J}$; [bobina](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/15-magnetismo-e-campos-magneticos#def-g11-magnetic-fields-solenoid): $\tfrac12 \times 0.010 \times 10^2 = 0.50\,\mathrm{J}$. Pilha ($1.3 \times 10^{4}\,\mathrm{J}$) $>$ supercapacitor $\gg$ flash $\gg$ [bobina](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/15-magnetismo-e-campos-magneticos#def-g11-magnetic-fields-solenoid) — mas os três conseguem despejar a [energia](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/9-energia-formas-e-conservacao#def-g10-energy-conservation-energy) deles em milissegundos: [potência](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/17-trabalho-de-uma-forca#def-g11-work-of-force-power), e não [energia](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/9-energia-formas-e-conservacao#def-g10-energy-conservation-energy).

**Exercício 30.13 ★★★.**

Um temporizador de escada mantém a luz acesa enquanto $u < 0.63\,\mathcal{E}$ no [capacitor](#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) que carrega, apagando em $t = \tau$. Projete a luz para durar $5.0\,\mathrm{s}$ usando $C = 100\,\text{µ}\mathrm{F}$: qual é o $R$? Para um limiar de $0.50\,\mathcal{E}$, mostre que o [atraso](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/20-ondas-mecanicas#def-g12-mechanical-waves-delay) é $\tau \ln 2$ e calcule-o.

**Solução de Exercício 30.13.**

$\tau = 5.0\,\mathrm{s}$, logo $R = \tau/C = 5.0/10^{-4} = 50\,\mathrm{k}\Omega$. $1 - e^{-t/\tau} = 0.50$ dá $e^{-t/\tau} = 0.50$, ou seja, $t = \tau\ln 2 \approx 0.69\,\tau = 3.5\,\mathrm{s}$.

**Exercício 30.14 ★★★.**

Um [capacitor](#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) de $2200\,\text{µ}\mathrm{F}$ filtra uma fonte: entre duas recargas, ele sozinho alimenta uma carga que puxa $0.50\,\mathrm{A}$ por $10\,\mathrm{ms}$. A partir de $i = C\,du/dt$, calcule a queda de tensão e depois a [capacitância](#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) que a mantém abaixo de $0.50\,\mathrm{V}$.

**Solução de Exercício 30.14.**

$\Delta u = i\,\Delta t/C = 0.50 \times 0.010/2.2\times10^{-3} \approx
2.3\,\mathrm{V}$. É preciso $C \geq i\,\Delta t/\Delta u =
5.0\times10^{-3}/0.50 = 10\,\mathrm{mF}$.

**Exercício 30.15 ★★★.**

Uma [bobina](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/15-magnetismo-e-campos-magneticos#def-g11-magnetic-fields-solenoid) de ignição, $L = 0.80\,\mathrm{H}$, conduz $2.0\,\mathrm{A}$ quando o platinado a corta em cerca de $1.0\,\mathrm{ms}$. Estime a tensão na [bobina](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/15-magnetismo-e-campos-magneticos#def-g11-magnetic-fields-solenoid) durante o corte e a [energia](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/9-energia-formas-e-conservacao#def-g10-energy-conservation-energy) da faísca; por que uma interrupção lenta não dá faísca alguma?

**Solução de Exercício 30.15.**

$u \approx L\,\Delta i/\Delta t = 0.80 \times 2.0/10^{-3} =
1.6\,\mathrm{kV}$; $E_L = \tfrac12 \times 0.80 \times 2.0^2 =
1.6\,\mathrm{J}$. Cortando devagar, $di/dt$ fica pequeno e $u$ não passa de alguns [volts](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/12-circuitos-eletricos-e-potencia#def-g11-circuits-and-power-voltage): faísca nenhuma.

## 30.6 Problema: o flash da câmera

**Problema 30.1.**

Problema de fim de semana — o flash da câmera: dois segundos de zunido, um milissegundo de glória e o primo de parede que faz corações voltarem a bater — uma só exponencial governa todos eles

Uma [unidade](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/1-ordens-de-grandeza-medir-o-universo#def-g10-orders-of-magnitude-unit) de flash compacta armazena [energia](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/9-energia-formas-e-conservacao#def-g10-energy-conservation-energy) num [capacitor](#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) $C = 800\,\text{µ}\mathrm{F}$, carregado através de $R = 1.0\,\mathrm{k}\Omega$ a partir de um [conversor](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/9-energia-formas-e-conservacao#def-g10-energy-conservation-transfer) modelado como fonte ideal $\mathcal{E} = 300\,\mathrm{V}$; a luz de “pronto” acende a $95\%$ da tensão final. Disparado, o [capacitor](#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) enxerga apenas o tubo de flash, $R_f = 0.50\,\Omega$. Dados: uma pilha AA entrega $1.5\,\mathrm{V}$ e $2.4\,\mathrm{A}\,\mathrm{h}$; $e = 1.60 \times 10^{-19}\,\mathrm{C}$.

**Parte I — O reservatório.**

1. Calcule a carga no [capacitor](#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) a $300\,\mathrm{V}$ .
2. Quantas [cargas elementares](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/13-as-interacoes-fundamentais#def-g11-fundamental-interactions-elementary) são essas?
3. Calcule a [energia](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/9-energia-formas-e-conservacao#def-g10-energy-conservation-energy) armazenada $E_C$ .
4. A pilha AA guarda $q = It \approx 8.6 \times 10^{3}\,\mathrm{C}$ , ou seja, cerca de $1.3 \times 10^{4}\,\mathrm{J}$ . Quantas vezes a [energia](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/9-energia-formas-e-conservacao#def-g10-energy-conservation-energy) do [capacitor](#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) é isso?
5. Então por que se dar ao [trabalho](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/17-trabalho-de-uma-forca#def-g11-work-of-force-work) do [capacitor](#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) ? Em uma frase, usando a palavra “ [potência](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/17-trabalho-de-uma-forca#def-g11-work-of-force-power) ”.

**Parte II — A espera pelo verde.**

6. Escreva a lei das malhas e transforme-a na equação diferencial de $u(t)$ .
7. Verifique por substituição que $u(t) = \mathcal{E}(1 - e^{-t/RC})$ a resolve, partindo de $u(0) = 0$ .
8. Calcule a [constante de tempo](#def-g12-rc-rl-circuits-tau) $\tau$ .
9. Depois de quanto tempo a luz de pronto fica verde, e em que tensão? Reconheça o zunido de dois segundos.
10. Calcule a corrente inicial de carga; por que ela então morre?

**Parte III — O milissegundo de glória.**

11. Escreva a lei de descarga $u(t)$ através do tubo e calcule a nova [constante de tempo](#def-g12-rc-rl-circuits-tau) $\tau'$ .
12. Calcule a corrente de pico no tubo.
13. Calcule a [potência](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/17-trabalho-de-uma-forca#def-g11-work-of-force-power) de pico; compare-a com uma chaleira elétrica de $2.2\,\mathrm{kW}$ .
14. Tomando o flash como terminado em $3\tau'$ , dê a duração e a [potência](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/17-trabalho-de-uma-forca#def-g11-work-of-force-power) média dele.
15. Forme a razão entre o tempo de carga e o tempo de flash: mesmo [capacitor](#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) , mesma carga — o que mudou, e o que isso faz de um [capacitor](#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) : um tanque de [energia](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/9-energia-formas-e-conservacao#def-g10-energy-conservation-energy) ou uma alavanca de [potência](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/17-trabalho-de-uma-forca#def-g11-work-of-force-power) ?

**Parte IV — O primo na parede.** Um desfibrilador precisa entregar $E_C = 200\,\mathrm{J}$ a $U_0 = 1500\,\mathrm{V}$; o tórax e as pás apresentam cerca de $50\,\Omega$.

16. Calcule a [capacitância](#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) necessária.
17. Calcule a carga armazenada.
18. Calcule a [constante de tempo](#def-g12-rc-rl-circuits-tau) e a duração do choque ( $3\tau$ ); compare com o flash.
19. Calcule a corrente de pico e a [potência](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/17-trabalho-de-uma-forca#def-g11-work-of-force-power) de pico no paciente.
20. O circuito de recarga precisa deixar o aparelho pronto ( $95\%$ ) em $6.0\,\mathrm{s}$ : encontre a [resistência](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/12-circuitos-eletricos-e-potencia#def-g11-circuits-and-power-resistance) de carga necessária e a corrente inicial de carga — os números que uma projetista encomendaria.

**Solução de Problema 30.1.**

**1.** $q = CU_0 = 8.0\times10^{-4} \times 300 = 0.24\,\mathrm{C}$.

**2.** $N = 0.24/1.60\times10^{-19} = 1.5 \times 10^{18}$.

**3.** $E_C = \tfrac12 \times 8.0\times10^{-4} \times 300^2 =
36\,\mathrm{J}$.

**4.** $1.3 \times 10^{4}/36 \approx 360$ vezes.

**5.** A pilha armazena bastante mas entrega devagar; o [capacitor](#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) transforma uma [energia](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/9-energia-formas-e-conservacao#def-g10-energy-conservation-energy) modesta em *[potência](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/17-trabalho-de-uma-forca#def-g11-work-of-force-power)* enorme.

**6.** $\mathcal{E} = Ri + u$ com $i = C\,du/dt$: $RC\,du/dt + u = \mathcal{E}$.

**7.** $du/dt = (\mathcal{E}/RC)e^{-t/RC}$: $\mathcal{E}e^{-t/RC} + \mathcal{E}(1 - e^{-t/RC}) = \mathcal{E}$ para todo $t$, e $u(0) = 0$.

**8.** $\tau = RC = 10^3 \times 8.0\times10^{-4} = 0.80\,\mathrm{s}$.

**9.** Em $3\tau = 2.4\,\mathrm{s}$, $u = 0.95 \times 300 =
285\,\mathrm{V}$ — o zunido de dois segundos.

**10.** $I_0 = \mathcal{E}/R = 0.30\,\mathrm{A}$; conforme $u$ sobe, o que resta ($\mathcal{E} - u$) sobre $R$ encolhe, de modo que $i = (\mathcal{E}-u)/R$ morre.

**11.** $u(t) = U_0\,e^{-t/\tau'}$ com $\tau' = R_f C = 0.50 \times 8.0\times10^{-4} = 0.40\,\mathrm{ms}$.

**12.** $I_0 = U_0/R_f = 300/0.50 = 600\,\mathrm{A}$.

**13.** $P_0 = U_0 I_0 = 300 \times 600 = 180\,\mathrm{kW}$ — cerca de $80$ chaleiras de uma vez.

**14.** Duração $3\tau' = 1.2\,\mathrm{ms}$; [potência](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/17-trabalho-de-uma-forca#def-g11-work-of-force-power) média $\approx 36/1.2\times10^{-3} = 30\,\mathrm{kW}$.

**15.** $2.4/1.2\times10^{-3} = 2000$. Só a [resistência](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/12-circuitos-eletricos-e-potencia#def-g11-circuits-and-power-resistance) mudou ($1.0\,\mathrm{k}\Omega$ na entrada, $0.50\,\Omega$ na saída): uma alavanca de [potência](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/17-trabalho-de-uma-forca#def-g11-work-of-force-power).

**16.** $C = 2E_C/U_0^2 = 400/1500^2 \approx 1.8 \times 10^{-4}\,\mathrm{F} =
180\,\text{µ}\mathrm{F}$.

**17.** $q = CU_0 = 1.78\times10^{-4} \times 1500 \approx
0.27\,\mathrm{C}$.

**18.** $\tau = 50 \times 1.78\times10^{-4} \approx 8.9\,\mathrm{ms}$, duração $3\tau \approx 27\,\mathrm{ms}$ — umas vinte vezes o flash.

**19.** $I_0 = 1500/50 = 30\,\mathrm{A}$; $P_0 = 1500 \times 30 = 45\,\mathrm{kW}$.

**20.** $3\tau_c = 6.0\,\mathrm{s}$ dá $\tau_c = 2.0\,\mathrm{s}$, logo $R_c = \tau_c/C = 2.0/1.78\times10^{-4} \approx 11\,\mathrm{k}\Omega$ e $I_0 = 1500/1.12\times10^{4} \approx 0.13\,\mathrm{A}$ — pronto em seis segundos, com um décimo de [ampère](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/12-circuitos-eletricos-e-potencia#def-g11-circuits-and-power-current).