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title: "Oscilações elétricas livres: RLC"
book: "Física do ensino médio"
subject: physics
language: pt
chapter: 31
exercises: 15
source: https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/31-oscilacoes-eletricas-livres-rlc
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# Capítulo 31 — Oscilações elétricas livres: RLC

Gire o botão pesado de um rádio de sótão e as estações desfilam diante do ponteiro: uma voz, violinos, chiado, outra voz. Atrás do painel não há motor nem computador — uma [bobina](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/15-magnetismo-e-campos-magneticos#def-g11-magnetic-fields-solenoid), um [capacitor](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/30-circuitos-rc-e-rl#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) cujas placas intercaladas o botão gira e um pedaço de fio de antena. Este capítulo liga os dois tanques de [energia](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/9-energia-formas-e-conservacao#def-g10-energy-conservation-energy) do capítulo anterior ([Capítulo 30](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/30-circuitos-rc-e-rl#ch-g12-rc-rl-circuits)) frente a frente e encontra o pêndulo mais rápido já construído: carga indo e vindo, até milhões de vezes por segundo, num compasso que o botão escolhe.

## 31.1 Um pêndulo elétrico: o circuito LC

Carregue um [capacitor](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/30-circuitos-rc-e-rl#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) $C$ à tensão $U_0$ — as placas dele guardam então $\pm Q_0$ com $Q_0 = C U_0$ — e, em $t = 0$, chaveie-o sobre uma [bobina](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/15-magnetismo-e-campos-magneticos#def-g11-magnetic-fields-solenoid) *ideal* $L$, de [resistência](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/12-circuitos-eletricos-e-potencia#def-g11-circuits-and-power-resistance) nula. Nenhuma fonte em lugar algum da malha: o que quer que aconteça em seguida, o circuito faz sozinho.

![O circuito LC: um capacitor carregado a Q_0, uma chave, uma bobina ideal. Fechar K deixa a carga escorrer pela bobina — e a bobina, que detesta mudança, não a deixa parar.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g12-rlc-oscillations/fig-ef767bffd34d.svg)

*O [circuito LC](#prop-g12-rlc-oscillations-equation): um [capacitor](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/30-circuitos-rc-e-rl#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) carregado a $Q_0$, uma chave, uma [bobina](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/15-magnetismo-e-campos-magneticos#def-g11-magnetic-fields-solenoid) ideal. Fechar $K$ deixa a carga escorrer pela [bobina](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/15-magnetismo-e-campos-magneticos#def-g11-magnetic-fields-solenoid) — e a [bobina](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/15-magnetismo-e-campos-magneticos#def-g11-magnetic-fields-solenoid), que detesta mudança, não a deixa parar.*

**Proposição 31.1 (A equação do LC).**

Na malha LC ideal a carga $q(t)$ da placa de cima obedece a

$$
L\,\frac{d^2q}{dt^2} + \frac{q}{C} = 0,
\qquad\text{ou seja,}\qquad
\frac{d^2q}{dt^2} = -\frac{1}{LC}\,q .
$$

**Demonstração.** Ao longo da malha as tensões somam zero ([Proposição 12.4](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/12-circuitos-eletricos-e-potencia#prop-g11-circuits-and-power-laws)): $u_L + u_C = 0$. O [capacitor](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/30-circuitos-rc-e-rl#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) dá $u_C = q/C$ e a [bobina](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/15-magnetismo-e-campos-magneticos#def-g11-magnetic-fields-solenoid), $u_L = L\,di/dt$ ([Definição 30.10](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/30-circuitos-rc-e-rl#def-g12-rc-rl-circuits-inductor)), com $i = dq/dt$ contando a carga que chega à placa de cima ([Proposição 30.3](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/30-circuitos-rc-e-rl#prop-g12-rc-rl-circuits-cdudt)); substitua. ∎

**Teorema 31.2 (Oscilações livres do circuito LC).**

Solto em $t = 0$ com $q(0) = Q_0$ e $i(0) = 0$, o circuito oscila:

$$
q(t) = Q_0 \cos\!\left(\frac{2\pi t}{T_0}\right),
\qquad
i(t) = -I_0 \sin\!\left(\frac{2\pi t}{T_0}\right),
\qquad
T_0 = 2\pi\sqrt{LC},
$$

com corrente de pico $I_0 = 2\pi Q_0/T_0 = Q_0/\sqrt{LC}$.

**Demonstração.** Verifique por substituição. Derivando, $i = dq/dt = -\frac{2\pi}{T_0} Q_0 \sin(2\pi t/T_0)$ — o $i(t)$ enunciado — e de novo $\frac{d^2q}{dt^2} = -(\frac{2\pi}{T_0})^2 q$, que é igual a $-q/(LC)$ exatamente quando $(2\pi/T_0)^2 = 1/(LC)$, ou seja, $T_0 = 2\pi\sqrt{LC}$. E $q(0) = Q_0$, $i(0) = 0$. Que nenhuma *outra* função se ajusta à equação e à partida fica admitido, exatamente como no caso da mola ([Observação 28.9](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/28-osciladores-mecanicos-e-a-medida-do-tempo#rem-g12-oscillators-and-time-uniqueness)). ∎

**Definição 31.3 (Período e frequência próprios).**

O *período próprio* de um [circuito LC](#prop-g12-rlc-oscillations-equation) é $T_0 = 2\pi\sqrt{LC}$; a *frequência própria* dele é

$$
f_0 = \frac{1}{T_0} = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}} .
$$

Conferência dimensional: $1\,\mathrm{H} = 1\,\mathrm{V}\,\mathrm{s}/\mathrm{A}$ e $1\,\mathrm{F} = 1\,\mathrm{C}/\mathrm{V}$, de modo que $LC$ carrega $\mathrm{s} \times \mathrm{C}/\mathrm{A} = \mathrm{s}^{2}$ — $\sqrt{LC}$ é um tempo, como tem de ser.

**Exemplo 31.4 (Primeiros números).**

$L = 10\,\mathrm{mH}$ com $C = 1.0\,\text{µ}\mathrm{F}$: $\sqrt{LC} = 1.0 \times 10^{-4}\,\mathrm{s}$, logo $T_0 = 0.63\,\mathrm{ms}$ e $f_0 \approx 1.6\,\mathrm{kHz}$ — um tom audível. $L = 1.0\,\mathrm{mH}$ com $C = 100\,\mathrm{pF}$: $T_0 = 2.0\,\text{µ}\mathrm{s}$, $f_0 \approx 0.50\,\mathrm{MHz}$ — uma radiofrequência. Só o *produto* $LC$ fixa o compasso.

**Observação 31.5 (Um quarto de período fora de compasso).**

A corrente está um quarto de [período](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/28-osciladores-mecanicos-e-a-medida-do-tempo#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) defasada em relação à carga: $i = 0$ quando $q = \pm Q_0$ (placas cheias, escoamento se invertendo) e $i = \pm I_0$ quando $q = 0$ (placas vazias, escoamento a todo vapor) — exatamente o pêndulo, imóvel nos extremos e mais rápido embaixo.

![Carga e corrente do circuito LC livre: a corrente é máxima toda vez que a carga cruza o zero, um quarto de período fora de compasso.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g12-rlc-oscillations/fig-6b6eee0e7326.svg)

*Carga e corrente do [circuito LC](#prop-g12-rlc-oscillations-equation) livre: a corrente é máxima toda vez que a carga cruza o zero, um quarto de [período](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/28-osciladores-mecanicos-e-a-medida-do-tempo#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) fora de compasso.*

## 31.2 A valsa das energias

**Proposição 31.6 (Conservação da energia armazenada).**

No [circuito LC](#prop-g12-rlc-oscillations-equation) ideal a [energia](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/9-energia-formas-e-conservacao#def-g10-energy-conservation-energy) total armazenada ([Proposição 30.15](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/30-circuitos-rc-e-rl#prop-g12-rc-rl-circuits-energy))

$$
E \;=\; E_C + E_L \;=\; \frac{q^2}{2C} + \tfrac12\,L i^2
\;=\; \frac{Q_0^2}{2C} \;=\; \tfrac12\,L I_0^2
$$

é constante: inteiramente no [capacitor](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/30-circuitos-rc-e-rl#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) quando $q = \pm Q_0$, inteiramente na [bobina](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/15-magnetismo-e-campos-magneticos#def-g11-magnetic-fields-solenoid) quando $i = \pm I_0$.

**Demonstração.** Derive: $\frac{dE}{dt} = \frac{q}{C}\frac{dq}{dt} + Li\frac{di}{dt} =
i\left(\frac{q}{C} + L\frac{d^2q}{dt^2}\right) = 0$ pela [Proposição 31.1](#prop-g12-rlc-oscillations-equation). O valor dela se lê em $t = 0$ (tudo no [capacitor](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/30-circuitos-rc-e-rl#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor)) e de novo no instante em que tudo é corrente, $q = 0$ — de onde $\tfrac12 L I_0^2 = Q_0^2/2C$, recuperando $I_0 = Q_0/\sqrt{LC}$ só com [energia](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/9-energia-formas-e-conservacao#def-g10-energy-conservation-energy). ∎

![Um período da valsa: a energia vai e volta das placas para a bobina duas vezes por período, com a soma cravada em Q_02/2C — a mesmíssima figura do oscilador massa–mola, com outros rótulos.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g12-rlc-oscillations/fig-472fd43e4334.svg)

*Um [período](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/28-osciladores-mecanicos-e-a-medida-do-tempo#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) da valsa: a [energia](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/9-energia-formas-e-conservacao#def-g10-energy-conservation-energy) vai e volta das placas para a [bobina](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/15-magnetismo-e-campos-magneticos#def-g11-magnetic-fields-solenoid) duas vezes por [período](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/28-osciladores-mecanicos-e-a-medida-do-tempo#def-g12-oscillators-and-time-oscillator), com a soma cravada em $Q_0^2/2C$ — a mesmíssima figura do [oscilador massa–mola](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/28-osciladores-mecanicos-e-a-medida-do-tempo#prop-g12-oscillators-and-time-spring-period), com outros rótulos.*

**Exemplo 31.7 (A valsa, medida).**

$C = 1.0\,\text{µ}\mathrm{F}$ carregado a $U_0 = 10\,\mathrm{V}$, chaveado sobre $L = 10\,\mathrm{mH}$: [energia](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/9-energia-formas-e-conservacao#def-g10-energy-conservation-energy) $E = \tfrac12 C U_0^2 = 5.0 \times 10^{-5}\,\mathrm{J}$, [período](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/28-osciladores-mecanicos-e-a-medida-do-tempo#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) $T_0 = 0.63\,\mathrm{ms}$ e uma corrente de pico $I_0 = U_0\sqrt{C/L} = 0.10\,\mathrm{A}$ atingida um quarto de [período](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/28-osciladores-mecanicos-e-a-medida-do-tempo#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) ($0.16\,\mathrm{ms}$) depois que a chave fecha.

## 31.3 Circuitos reais: oscilações amortecidas

Toda [bobina](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/15-magnetismo-e-campos-magneticos#def-g11-magnetic-fields-solenoid) real é enrolada com fio resistivo: a malha honesta é um circuito *RLC* série, e a [resistência](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/12-circuitos-eletricos-e-potencia#def-g11-circuits-and-power-resistance) taxa a valsa.

**Definição 31.8 (Regimes pseudoperiódico e aperiódico).**

Num circuito RLC série o resistor dissipa [energia](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/9-energia-formas-e-conservacao#def-g10-energy-conservation-energy) por [efeito Joule](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/12-circuitos-eletricos-e-potencia#def-g11-circuits-and-power-joule) ([Capítulo 12](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/12-circuitos-eletricos-e-potencia#ch-g11-circuits-and-power)): as [oscilações livres](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/28-osciladores-mecanicos-e-a-medida-do-tempo#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) são *[amortecidas](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/28-osciladores-mecanicos-e-a-medida-do-tempo#def-g12-oscillators-and-time-damping)*. Dois regimes, lidos num [osciloscópio](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/8-sinais-e-ondas#def-g10-signals-and-waves-oscilloscope):

- *pseudoperiódico* ( $R$ pequeno): o circuito ainda oscila dentro de um envelope que encolhe, com um tempo de repetição — o *pseudoperíodo* — próximo de $T_0 = 2\pi\sqrt{LC}$ quando o [amortecimento](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/28-osciladores-mecanicos-e-a-medida-do-tempo#def-g12-oscillators-and-time-damping) é fraco;
- *aperiódico* ( $R$ grande): a carga volta rastejando a zero sem nunca passar do ponto — oscilação nenhuma.

O espelho exato do [oscilador mecânico](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/28-osciladores-mecanicos-e-a-medida-do-tempo#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) amortecido ([Definição 28.12](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/28-osciladores-mecanicos-e-a-medida-do-tempo#def-g12-oscillators-and-time-damping)).

![Os dois destinos de um circuito RLC real: oscilações que morrem dentro de um envelope exponencial (tracejado), ou um rastejo até zero sem oscilação alguma. Com amortecimento fraco, o pseudoperíodo continua T_0.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g12-rlc-oscillations/fig-d1450114903a.svg)

*Os dois destinos de um [circuito RLC](#def-g12-rlc-oscillations-regimes) real: oscilações que morrem dentro de um envelope exponencial (tracejado), ou um rastejo até zero sem oscilação alguma. Com [amortecimento](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/28-osciladores-mecanicos-e-a-medida-do-tempo#def-g12-oscillators-and-time-damping) fraco, o [pseudoperíodo](#def-g12-rlc-oscillations-regimes) continua $\approx T_0$.*

**Observação 31.9 (Manter as oscilações).**

Para manter a [amplitude](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/28-osciladores-mecanicos-e-a-medida-do-tempo#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) viva, injete no circuito exatamente a [energia](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/9-energia-formas-e-conservacao#def-g10-energy-conservation-energy) que a [resistência](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/12-circuitos-eletricos-e-potencia#def-g11-circuits-and-power-resistance) queima, uma vez por ciclo e *em compasso* com o balanço: um amplificador faz pela malha RLC o que o empurrão do escapamento faz pelo pêndulo ([Capítulo 28](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/28-osciladores-mecanicos-e-a-medida-do-tempo#ch-g12-oscillators-and-time)). Todo relógio de quartzo e todo transmissor de rádio é um [oscilador](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/28-osciladores-mecanicos-e-a-medida-do-tempo#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) mantido desse tipo, rodando na [frequência própria](#def-g12-rlc-oscillations-period) $f_0$ dele.

## 31.4 O gêmeo mecânico

**Proposição 31.10 (O dicionário elétrico–mecânico).**

A equação do LC é a equação massa–mola ([Proposição 28.8](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/28-osciladores-mecanicos-e-a-medida-do-tempo#prop-g12-oscillators-and-time-spring-period)) palavra por palavra:

| [circuito LC](#prop-g12-rlc-oscillations-equation) |  | carrinho massa–mola |
| --- | --- | --- |
| [2pt] carga $q$ | $\longleftrightarrow$ | posição $x$ |
| corrente $i = dq/dt$ | $\longleftrightarrow$ | velocidade $v = dx/dt$ |
| [indutância](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/30-circuitos-rc-e-rl#def-g12-rc-rl-circuits-inductor) $L$ | $\longleftrightarrow$ | massa $m$ |
| inverso da [capacitância](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/30-circuitos-rc-e-rl#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) $1/C$ | $\longleftrightarrow$ | [constante elástica](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/28-osciladores-mecanicos-e-a-medida-do-tempo#def-g12-oscillators-and-time-spring) $k$ |
| [resistência](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/12-circuitos-eletricos-e-potencia#def-g11-circuits-and-power-resistance) $R$ | $\longleftrightarrow$ | [atrito](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-inventory) |
| $L\,\frac{d^2q}{dt^2} + \frac{q}{C} = 0$ | $\longleftrightarrow$ | $m\,\frac{d^2x}{dt^2} + kx = 0$ |
| [2pt] $T_0 = 2\pi\sqrt{LC}$ | $\longleftrightarrow$ | $T_0 = 2\pi\sqrt{m/k}$ |
| [2pt] $E_C = q^2/2C$ | $\longleftrightarrow$ | $E_p = \tfrac12 kx^2$ |
| $E_L = \tfrac12 Li^2$ | $\longleftrightarrow$ | $E_k = \tfrac12 mv^2$ |

Mesma equação, mesmas soluções: todo resultado sobre um dos [osciladores](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/28-osciladores-mecanicos-e-a-medida-do-tempo#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) se traduz na hora para a outra língua.

**Demonstração.** Compare a [Proposição 31.1](#prop-g12-rlc-oscillations-equation) com $m\,d^2x/dt^2 = -kx$: substituir $q \to x$, $L \to m$ e $1/C \to k$ transforma uma na outra, e $LC \to m/k$ transforma $2\pi\sqrt{LC}$ em $2\pi\sqrt{m/k}$. ∎

**Exemplo 31.11 (Sintonizar um rádio).**

A antena joga um sussurro de *todas* as estações dentro de uma malha LC, mas só a que transmite perto de $f_0$ empurra em compasso e vai crescendo — [ressonância](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/28-osciladores-mecanicos-e-a-medida-do-tempo#def-g12-oscillators-and-time-resonance) ([Definição 28.13](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/28-osciladores-mecanicos-e-a-medida-do-tempo#def-g12-oscillators-and-time-resonance)). O botão gira as placas de um [capacitor](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/30-circuitos-rc-e-rl#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) variável: mudar $C$ desloca $f_0 = 1/(2\pi\sqrt{LC})$, e o ponteiro entrega ao fone uma estação de cada vez. Do lado da transmissão, um [oscilador](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/28-osciladores-mecanicos-e-a-medida-do-tempo#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) mantido ([Observação 31.9](#rem-g12-rlc-oscillations-maintain)) fixa a [frequência](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/28-osciladores-mecanicos-e-a-medida-do-tempo#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) de transmissão; num relógio, um cristal de quartzo — um gêmeo mecânico de rigidez de tirar o fôlego — faz o mesmo papel.

## 31.5 Exercícios

**Exercício 31.1 ★.**

Calcule $T_0$ e $f_0$ para (a) $L = 10\,\mathrm{mH}$, $C = 1.0\,\text{µ}\mathrm{F}$; (b) $L = 1.0\,\mathrm{mH}$, $C = 100\,\mathrm{pF}$. Por que fator diferem as [frequências](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/28-osciladores-mecanicos-e-a-medida-do-tempo#def-g12-oscillators-and-time-oscillator)?

**Solução de Exercício 31.1.**

(a) $\sqrt{LC} = 1.0 \times 10^{-4}\,\mathrm{s}$: $T_0 = 0.63\,\mathrm{ms}$, $f_0 \approx 1.6\,\mathrm{kHz}$. (b) $\sqrt{LC} = 3.16 \times 10^{-7}\,\mathrm{s}$: $T_0 = 2.0\,\text{µ}\mathrm{s}$, $f_0 \approx 0.50\,\mathrm{MHz}$ — um fator $\sqrt{10^5} \approx 316$.

**Exercício 31.2 ★.**

Usando $1\,\mathrm{H} = 1\,\mathrm{V}\,\mathrm{s}/\mathrm{A}$ e $1\,\mathrm{F} = 1\,\mathrm{C}/\mathrm{V}$, mostre, [unidade](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/1-ordens-de-grandeza-medir-o-universo#def-g10-orders-of-magnitude-unit) por [unidade](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/1-ordens-de-grandeza-medir-o-universo#def-g10-orders-of-magnitude-unit), que $\sqrt{LC}$ é um tempo. Por que o $2\pi$ não muda nada?

**Solução de Exercício 31.2.**

$LC$: $(\mathrm{V}\,\mathrm{s}/\mathrm{A})(\mathrm{C}/\mathrm{V}) = \mathrm{s} \times \mathrm{C}/\mathrm{A} =
\mathrm{s} \times \mathrm{s} = \mathrm{s}^{2}$, de modo que $\sqrt{LC}$ está em segundos. $2\pi$ é um número puro — não tem dimensão para mudar.

**Exercício 31.3 ★.**

Um [capacitor](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/30-circuitos-rc-e-rl#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) de $470\,\mathrm{nF}$ é carregado a $6.0\,\mathrm{V}$. Calcule $Q_0$ e a [energia](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/9-energia-formas-e-conservacao#def-g10-energy-conservation-energy) armazenada; descreva, sem calcular, o que acontece quando ele é chaveado sobre uma [bobina](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/15-magnetismo-e-campos-magneticos#def-g11-magnetic-fields-solenoid) ideal.

**Solução de Exercício 31.3.**

$Q_0 = CU_0 = 2.8\,\text{µ}\mathrm{C}$; $E = \tfrac12 CU_0^2 = \tfrac12 \times 4.7 \times 10^{-7} \times 36 \approx
8.5\,\text{µ}\mathrm{J}$. A carga oscila em $f_0 = 1/(2\pi\sqrt{LC})$, com a corrente um quarto de [período](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/28-osciladores-mecanicos-e-a-medida-do-tempo#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) defasada, a [energia](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/9-energia-formas-e-conservacao#def-g10-energy-conservation-energy) indo e vindo entre as placas e a [bobina](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/15-magnetismo-e-campos-magneticos#def-g11-magnetic-fields-solenoid), e o total constante.

**Exercício 31.4 ★.**

Um [circuito LC](#prop-g12-rlc-oscillations-equation) segue $q(t) = 2.0\cos(2\pi t/T_0)$ em microcoulombs, com $T_0 = 4.0\,\mathrm{ms}$. Leia $Q_0$; calcule $f_0$, $q(T_0/2)$, $i(0)$ e a corrente de pico $I_0 = 2\pi Q_0/T_0$.

**Solução de Exercício 31.4.**

$Q_0 = 2.0\,\text{µ}\mathrm{C}$; $f_0 = 1/T_0 = 250\,\mathrm{Hz}$; $q(T_0/2) = -2.0\,\text{µ}\mathrm{C}$; $i(0) = 0$ (o cosseno tem tangente horizontal em $t=0$); $I_0 = 2\pi \times 2.0 \times 10^{-6}/4.0 \times 10^{-3} \approx 3.1\,\mathrm{mA}$.

**Exercício 31.5 ★.**

Em que instantes do ciclo a [energia](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/9-energia-formas-e-conservacao#def-g10-energy-conservation-energy) está inteiramente no [capacitor](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/30-circuitos-rc-e-rl#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor)? E inteiramente na [bobina](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/15-magnetismo-e-campos-magneticos#def-g11-magnetic-fields-solenoid)? Qual é a contrapartida mecânica de cada momento para um pêndulo?

**Solução de Exercício 31.5.**

Tudo no [capacitor](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/30-circuitos-rc-e-rl#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) quando $q = \pm Q_0$ e $i = 0$ ($t = 0$, $T_0/2$, $T_0$, …): os extremos do pêndulo. Tudo na [bobina](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/15-magnetismo-e-campos-magneticos#def-g11-magnetic-fields-solenoid) quando $q = 0$ e $i = \pm I_0$ ($t = T_0/4$, $3T_0/4$, …): o ponto mais baixo e mais rápido do pêndulo.

**Exercício 31.6 ★★.**

Verifique por substituição que $q(t) = Q_0\cos(2\pi t/T_0)$ satisfaz $L\,d^2q/dt^2 + q/C = 0$ exatamente quando $T_0 = 2\pi\sqrt{LC}$.

**Solução de Exercício 31.6.**

$d^2q/dt^2 = -(2\pi/T_0)^2\,Q_0\cos(2\pi t/T_0) = -(2\pi/T_0)^2 q$, logo $L\,d^2q/dt^2 + q/C = q\,[\,1/C - L(2\pi/T_0)^2\,] = 0$ para todo $t$ exatamente quando $(2\pi/T_0)^2 = 1/(LC)$, ou seja, $T_0 = 2\pi\sqrt{LC}$.

**Exercício 31.7 ★★.**

Uma estação de [ondas](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/8-sinais-e-ondas#def-g10-signals-and-waves-wave) longas transmite a $198\,\mathrm{kHz}$. Com $C = 220\,\mathrm{pF}$, que [indutância](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/30-circuitos-rc-e-rl#def-g12-rc-rl-circuits-inductor) sintoniza nela?

**Solução de Exercício 31.7.**

$L = \dfrac{1}{4\pi^2 f_0^2 C} = \dfrac{1}{39.5 \times
(1.98 \times 10^{5})^2 \times 2.2 \times 10^{-10}} \approx 2.9\,\mathrm{mH}$.

**Exercício 31.8 ★★.**

$C = 1.0\,\text{µ}\mathrm{F}$ carregado a $10\,\mathrm{V}$ se descarrega em $L = 10\,\mathrm{mH}$. Calcule a [energia](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/9-energia-formas-e-conservacao#def-g10-energy-conservation-energy) armazenada, a corrente de pico (pela [conservação da energia](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/9-energia-formas-e-conservacao#thm-g10-energy-conservation-conservation)) e o instante em que ela é atingida pela primeira vez.

**Solução de Exercício 31.8.**

$E = \tfrac12 CU_0^2 = 5.0 \times 10^{-5}\,\mathrm{J}$; $\tfrac12 LI_0^2 = E$ dá $I_0 = \sqrt{2E/L} = \sqrt{1.0 \times 10^{-2}} = 0.10\,\mathrm{A}$, atingida pela primeira vez em $T_0/4 = \tfrac14 \times 0.63\,\mathrm{ms} \approx
0.16\,\mathrm{ms}$.

**Exercício 31.9 ★★.**

Explique por que $E_C$ e $E_L$ oscilam na [frequência](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/28-osciladores-mecanicos-e-a-medida-do-tempo#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) $2f_0$, e não $f_0$. Mostre que em $t = T_0/8$ (partindo de $q = Q_0$) a [energia](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/9-energia-formas-e-conservacao#def-g10-energy-conservation-energy) está dividida exatamente ao meio.

**Solução de Exercício 31.9.**

$E_C \propto \cos^2(2\pi t/T_0)$, e $\cos^2$ se repete a cada *meia* volta: dois enchimentos do [capacitor](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/30-circuitos-rc-e-rl#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) por [período](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/28-osciladores-mecanicos-e-a-medida-do-tempo#def-g12-oscillators-and-time-oscillator), e portanto $2f_0$. Em $t = T_0/8$ a [fase](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/28-osciladores-mecanicos-e-a-medida-do-tempo#def-g12-oscillators-and-time-phase) é $\pi/4$: $\cos^2(\pi/4) = \tfrac12$, logo $E_C = E_L = E/2$.

**Exercício 31.10 ★★.**

Num [oscilograma](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/8-sinais-e-ondas#def-g10-signals-and-waves-oscilloscope) de um [circuito RLC](#def-g12-rlc-oscillations-regimes) fracamente amortecido, máximos sucessivos marcam $4.0\,\mathrm{V}$ e depois $3.0\,\mathrm{V}$. Supondo que a razão permaneça constante, preveja o sexto máximo depois do de $4.0\,\mathrm{V}$. Que fração da *[energia](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/9-energia-formas-e-conservacao#def-g10-energy-conservation-energy)* sobrevive a cada [pseudoperíodo](#def-g12-rlc-oscillations-regimes)? E o que se pode dizer do [pseudoperíodo](#def-g12-rlc-oscillations-regimes) em si?

**Solução de Exercício 31.10.**

Razão $3.0/4.0 = 0.75$ por [pseudoperíodo](#def-g12-rlc-oscillations-regimes): sexto máximo $4.0 \times 0.75^6 \approx 0.71\,\mathrm{V}$. A [energia](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/9-energia-formas-e-conservacao#def-g10-energy-conservation-energy) é proporcional ao quadrado da [amplitude](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/28-osciladores-mecanicos-e-a-medida-do-tempo#def-g12-oscillators-and-time-oscillator): sobrevivem $0.75^2 \approx 56\%$ a cada [período](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/28-osciladores-mecanicos-e-a-medida-do-tempo#def-g12-oscillators-and-time-oscillator). O [pseudoperíodo](#def-g12-rlc-oscillations-regimes) continua $\approx T_0 = 2\pi\sqrt{LC}$: o [amortecimento](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/28-osciladores-mecanicos-e-a-medida-do-tempo#def-g12-oscillators-and-time-damping) fraco encolhe a [amplitude](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/28-osciladores-mecanicos-e-a-medida-do-tempo#def-g12-oscillators-and-time-oscillator), quase não o compasso.

**Exercício 31.11 ★★.**

Um [circuito LC](#prop-g12-rlc-oscillations-equation) tem $L = 0.50\,\mathrm{H}$ e $C = 20\,\text{µ}\mathrm{F}$. Calcule $T_0$; e depois, usando o dicionário ([Proposição 31.10](#prop-g12-rlc-oscillations-analogy)), encontre a [constante elástica](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/28-osciladores-mecanicos-e-a-medida-do-tempo#def-g12-oscillators-and-time-spring) $k$ que dá a um carrinho de $0.50\,\mathrm{kg}$ o mesmo [período](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/28-osciladores-mecanicos-e-a-medida-do-tempo#def-g12-oscillators-and-time-oscillator), e confira.

**Solução de Exercício 31.11.**

$T_0 = 2\pi\sqrt{0.50 \times 2.0 \times 10^{-5}} = 2\pi \times 3.16 \times 10^{-3}
\approx 20\,\mathrm{ms}$. Pelo dicionário: $k = m/(LC) = 0.50/1.0 \times 10^{-5} = 5.0 \times 10^{4}\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$; conferindo, $2\pi\sqrt{m/k} = 2\pi\sqrt{1.0 \times 10^{-5}}$ — os mesmos $20\,\mathrm{ms}$.

**Exercício 31.12 ★★★.**

Um sintonizador usa $L = 0.20\,\mathrm{mH}$ e um [capacitor](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/30-circuitos-rc-e-rl#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) variável que varre de $50\text{ to }500\,\mathrm{pF}$. Calcule as duas [frequências](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/28-osciladores-mecanicos-e-a-medida-do-tempo#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) extremas. Mostre que $f_0 \propto 1/\sqrt{C}$, de modo que dez vezes em $C$ dá apenas $\sqrt{10} \approx 3.2$ em [frequência](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/28-osciladores-mecanicos-e-a-medida-do-tempo#def-g12-oscillators-and-time-oscillator).

**Solução de Exercício 31.12.**

$C = 500\,\mathrm{pF}$: $f_0 = 1/(2\pi\sqrt{1.0 \times 10^{-13}}) \approx
0.50\,\mathrm{MHz}$; $C = 50\,\mathrm{pF}$: $f_0 \approx 1.6\,\mathrm{MHz}$. Com $L$ fixo, $f_0 = (2\pi\sqrt{L})^{-1} C^{-1/2} \propto 1/\sqrt{C}$: dez vezes em $C$, apenas $\sqrt{10} \approx 3.2$ em $f_0$ — como se encontrou.

**Exercício 31.13 ★★★.**

Uma [bobina](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/15-magnetismo-e-campos-magneticos#def-g11-magnetic-fields-solenoid) real faz o circuito perder $5.0\%$ da [energia](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/9-energia-formas-e-conservacao#def-g10-energy-conservation-energy) dele a cada [pseudoperíodo](#def-g12-rlc-oscillations-regimes). Depois de quantos [períodos](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/28-osciladores-mecanicos-e-a-medida-do-tempo#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) a [energia](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/9-energia-formas-e-conservacao#def-g10-energy-conservation-energy) caiu à metade? Qual é a [amplitude](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/28-osciladores-mecanicos-e-a-medida-do-tempo#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) então, como fração da inicial? A $f_0 = 1.0\,\mathrm{MHz}$, quanto tempo é isso em microssegundos?

**Solução de Exercício 31.13.**

$0.95^n = \tfrac12$: $n = \ln 2/\lvert\ln 0.95\rvert \approx 13.5$, ou seja, uns $14$ [períodos](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/28-osciladores-mecanicos-e-a-medida-do-tempo#def-g12-oscillators-and-time-oscillator). A [amplitude](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/28-osciladores-mecanicos-e-a-medida-do-tempo#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) é proporcional a $\sqrt{E}$: cai para $1/\sqrt{2} \approx 0.71$ da inicial. A $1.0\,\mathrm{MHz}$, $T_0 = 1.0\,\text{µ}\mathrm{s}$: cerca de $14\,\text{µ}\mathrm{s}$.

**Exercício 31.14 ★★★.**

O [oscilador](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/28-osciladores-mecanicos-e-a-medida-do-tempo#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) de um relógio armazena $E = 1.0 \times 10^{-9}\,\mathrm{J}$ e perde $2.0\%$ disso por ciclo, a $f_0 = 32\,768\,\mathrm{Hz}$. Que [potência](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/17-trabalho-de-uma-forca#def-g11-work-of-force-power) média o circuito de manutenção precisa fornecer? Por que o empurrão tem de chegar em compasso com a oscilação?

**Solução de Exercício 31.14.**

Perda por ciclo $0.020 \times 1.0 \times 10^{-9}\,\mathrm{J} = 2.0 \times 10^{-11}\,\mathrm{J}$, a $32\,768$ ciclos por segundo: $P = 32\,768 \times 2.0 \times 10^{-11} \approx 6.6 \times 10^{-7}\,\mathrm{W}$ — menos de um microwatt, anos com uma pilha-botão. Em compasso porque só um empurrão na [fase](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/28-osciladores-mecanicos-e-a-medida-do-tempo#def-g12-oscillators-and-time-phase) certa *acrescenta* [energia](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/9-energia-formas-e-conservacao#def-g10-energy-conservation-energy) ([ressonância](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/28-osciladores-mecanicos-e-a-medida-do-tempo#def-g12-oscillators-and-time-resonance)); fora de compasso, ele frearia o balanço.

**Exercício 31.15 ★★★.**

Depois de cada borda de um [sinal](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/8-sinais-e-ondas#def-g10-signals-and-waves-signal) quadrado, a fiação de um experimentador “repica” a $25\,\mathrm{MHz}$; a [indutância](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/30-circuitos-rc-e-rl#def-g12-rc-rl-circuits-inductor) parasita é de cerca de $1.0\,\text{µ}\mathrm{H}$. Estime a [capacitância](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/30-circuitos-rc-e-rl#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) parasita responsável. Para que regime um pequeno resistor em série deveria empurrar o circuito, e por que isso cura o repique?

**Solução de Exercício 31.15.**

$C = \dfrac{1}{4\pi^2 f_0^2 L} = \dfrac{1}{39.5 \times
(2.5 \times 10^{7})^2 \times 1.0 \times 10^{-6}} \approx 41\,\mathrm{pF}$. O resistor deve empurrar a malha para o [regime aperiódico](#def-g12-rlc-oscillations-regimes): a carga então se acomoda sem passar do ponto — sem oscilação, sem repique.

## 31.6 Problema: montar um rádio de galena

**Problema 31.1.**

Problema de fim de semana — montar um rádio de galena: uma bobina, um capacitor variável, um diodo e um fone — sem pilha, sem amplificador, e o jornal da noite chega com a energia da própria onda

Um kit do sótão dos avós: uma [bobina](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/15-magnetismo-e-campos-magneticos#def-g11-magnetic-fields-solenoid) $L = 0.20\,\mathrm{mH}$ enrolada num tubo de papelão, um [capacitor](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/30-circuitos-rc-e-rl#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) variável cujas placas giram de $20\,\mathrm{pF}$ a $480\,\mathrm{pF}$, um diodo de cristal, um fone de ouvido e $20\,\mathrm{m}$ de fio de antena. As estações a pegar transmitem entre $530\,\mathrm{kHz}$ e $1700\,\mathrm{kHz}$.

**Parte I — A malha de sintonia.**

1. O [capacitor](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/30-circuitos-rc-e-rl#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) , carregado, é deixado descarregar na [bobina](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/15-magnetismo-e-campos-magneticos#def-g11-magnetic-fields-solenoid) : escreva a lei das malhas e transforme-a na equação diferencial de $q(t)$ .
2. Verifique por substituição que $q(t) = Q_0\cos(2\pi t/T_0)$ a resolve, desde que $T_0 = 2\pi\sqrt{LC}$ .
3. Confira por análise dimensional que $\sqrt{LC}$ é um tempo.
4. Botão ajustado em $C = 330\,\mathrm{pF}$ : calcule $T_0$ e $f_0$ . A malha está sintonizada dentro da faixa?
5. Encontre a [capacitância](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/30-circuitos-rc-e-rl#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) que sintoniza exatamente $1.00\,\mathrm{MHz}$ .

**Parte II — O [capacitor](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/30-circuitos-rc-e-rl#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) variável.**

6. Calcule a [capacitância](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/30-circuitos-rc-e-rl#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) necessária para $530\,\mathrm{kHz}$ .
7. Calcule a [capacitância](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/30-circuitos-rc-e-rl#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) necessária para $1700\,\mathrm{kHz}$ .
8. Calcule as duas [frequências](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/28-osciladores-mecanicos-e-a-medida-do-tempo#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) que o [capacitor](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/30-circuitos-rc-e-rl#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) de $20\text{ to }480\,\mathrm{pF}$ do kit de fato alcança. Ele cobre a faixa inteira?
9. Mostre que $f_0 \propto 1/\sqrt{C}$ com $L$ fixo; por que fator $C$ precisa mudar para dobrar $f_0$ ?
10. As placas se abrem linearmente, de modo que $C$ cai de forma uniforme conforme o botão gira. Explique por que as estações então se amontoam numa das pontas do dial — e em qual delas.

**Parte III — [Energia](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/9-energia-formas-e-conservacao#def-g10-energy-conservation-energy) e [amortecimento](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/28-osciladores-mecanicos-e-a-medida-do-tempo#def-g12-oscillators-and-time-damping).** Sintonizada em $1.00\,\mathrm{MHz}$ ($C = 127\,\mathrm{pF}$), a antena carrega por um instante o [capacitor](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/30-circuitos-rc-e-rl#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) a $U_0 = 20\,\mathrm{mV}$.

11. Calcule a carga $Q_0$ e a [energia](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/9-energia-formas-e-conservacao#def-g10-energy-conservation-energy) armazenada $E$ .
12. Calcule a corrente de pico $I_0$ , usando a [conservação da energia](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/9-energia-formas-e-conservacao#thm-g10-energy-conservation-conservation) .
13. A [resistência](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/12-circuitos-eletricos-e-potencia#def-g11-circuits-and-power-resistance) da [bobina](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/15-magnetismo-e-campos-magneticos#def-g11-magnetic-fields-solenoid) dissipa $4.0\%$ da [energia](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/9-energia-formas-e-conservacao#def-g10-energy-conservation-energy) armazenada por ciclo: depois de quantos ciclos a [energia](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/9-energia-formas-e-conservacao#def-g10-energy-conservation-energy) caiu à metade?
14. Quanto tempo é isso em microssegundos? Por que esse “repique” sozinho não consegue tocar o jornal da noite?
15. Explique por que a [onda](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/8-sinais-e-ondas#def-g10-signals-and-waves-wave) que chega mantém a malha balançando apenas quando ela está sintonizada naquela estação — e o que mantém a oscilação no *transmissor* ( [Observação 31.9](#rem-g12-rlc-oscillations-maintain) ).

**Parte IV — O gêmeo mecânico.**

16. Usando o dicionário ( [Proposição 31.10](#prop-g12-rlc-oscillations-analogy) ) com um carrinho de massa $m = 0.20\,\mathrm{kg}$ , calcule a [constante elástica](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/28-osciladores-mecanicos-e-a-medida-do-tempo#def-g12-oscillators-and-time-spring) $k$ da mola que corresponde ao circuito sintonizado.
17. Uma mola dura de carro tem $k \approx 5 \times 10^{4}\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ . Comente: um sistema massa–mola de bancada consegue oscilar em megahertz?
18. Fique, em vez disso, com um $k = 100\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ razoável: que massa oscila a $1.00\,\mathrm{MHz}$ ?
19. Que objeto real é um [oscilador mecânico](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/28-osciladores-mecanicos-e-a-medida-do-tempo#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) assim, leve como pluma e ultrarrígido, e onde você o encontrou antes, este ano ( [Capítulo 28](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/28-osciladores-mecanicos-e-a-medida-do-tempo#ch-g12-oscillators-and-time) )?
20. Ficha técnica, em uma frase: a faixa que o seu rádio varre, a [capacitância](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/30-circuitos-rc-e-rl#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) que pega $1.00\,\mathrm{MHz}$ , quanto dura um repique solitário e o que toca o jornal assim mesmo.

**Solução de Problema 31.1.**

**1.** Lei das malhas: $u_L + u_C = 0$, com $u_C = q/C$, $u_L = L\,di/dt$ e $i = dq/dt$: $L\,d^2q/dt^2 + q/C = 0$.

**2.** $d^2q/dt^2 = -(2\pi/T_0)^2 q$, de modo que a equação fica $q\,[\,1/C - L(2\pi/T_0)^2\,] = 0$, verdadeira para todo $t$ exatamente quando $T_0 = 2\pi\sqrt{LC}$.

**3.** $LC$: $(\mathrm{V}\,\mathrm{s}/\mathrm{A})(\mathrm{C}/\mathrm{V}) = \mathrm{s} \times
\mathrm{C}/\mathrm{A} = \mathrm{s}^{2}$ — $\sqrt{LC}$ é um tempo.

**4.** $LC = 6.6 \times 10^{-14}\,\mathrm{s}^{2}$: $T_0 = 2\pi \times 2.57 \times 10^{-7} \approx 1.6\,\text{µ}\mathrm{s}$, $f_0 \approx 620\,\mathrm{kHz}$ — dentro de $530\text{ to }1700\,\mathrm{kHz}$.

**5.** $C = \dfrac{1}{4\pi^2 f_0^2 L} = \dfrac{1}{39.5 \times
1.0 \times 10^{12} \times 2.0 \times 10^{-4}} \approx 127\,\mathrm{pF}$.

**6.** A mesma fórmula a $530\,\mathrm{kHz}$: $C \approx 451\,\mathrm{pF}$.

**7.** A $1700\,\mathrm{kHz}$: $C \approx 44\,\mathrm{pF}$.

**8.** $C = 480\,\mathrm{pF}$: $f_0 \approx 514\,\mathrm{kHz}$; $C = 20\,\mathrm{pF}$: $f_0 \approx 2.5\,\mathrm{MHz}$ — a faixa inteira, com margem nas duas pontas.

**9.** $f_0 = (2\pi\sqrt{L})^{-1}C^{-1/2} \propto 1/\sqrt{C}$; dobrar $f_0$ exige dividir $C$ por $4$.

**10.** Como $f_0 \propto 1/\sqrt{C}$, passos iguais de $C$ movem $f_0$ devagar com $C$ grande e depressa com $C$ pequeno: um dado espaçamento entre estações exige então pouco giro do botão — elas se amontoam na ponta de [frequência](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/28-osciladores-mecanicos-e-a-medida-do-tempo#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) alta (e $C$ baixo).

**11.** $Q_0 = CU_0 = 1.27 \times 10^{-10} \times 0.020 \approx
2.5 \times 10^{-12}\,\mathrm{C}$; $E = \tfrac12 CU_0^2 \approx 2.5 \times 10^{-14}\,\mathrm{J}$.

**12.** $\tfrac12 LI_0^2 = E$: $I_0 = U_0\sqrt{C/L} = 0.020\sqrt{6.35 \times 10^{-7}} \approx
16\,\text{µ}\mathrm{A}$.

**13.** $0.96^n = \tfrac12$: $n = \ln 2/\lvert\ln 0.96\rvert \approx 17$ ciclos.

**14.** A $1.00\,\mathrm{MHz}$, $T_0 = 1.0\,\text{µ}\mathrm{s}$: o repique cai à metade em cerca de $17\,\text{µ}\mathrm{s}$. Um repique solitário morre em microssegundos; a música exige a malha alimentada continuamente.

**15.** A [onda](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/8-sinais-e-ondas#def-g10-signals-and-waves-wave) empurra milhões de vezes por segundo; só quando a [frequência](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/28-osciladores-mecanicos-e-a-medida-do-tempo#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) dela coincide com $f_0$ é que os empurrões chegam em compasso e constroem o balanço — [ressonância](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/28-osciladores-mecanicos-e-a-medida-do-tempo#def-g12-oscillators-and-time-resonance); as estações fora de sintonia empurram tanto contra quanto a favor. No transmissor, um amplificador devolve a [energia](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/9-energia-formas-e-conservacao#def-g10-energy-conservation-energy) [dissipada](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/18-energia-mecanica-e-sua-conservacao#def-g11-mechanical-energy-dissipation) a cada ciclo: um [oscilador](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/28-osciladores-mecanicos-e-a-medida-do-tempo#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) mantido.

**16.** $LC = 2.54 \times 10^{-14}\,\mathrm{s}^{2}$: $k = m/(LC) = 0.20/2.54 \times 10^{-14} \approx 7.9 \times 10^{12}\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$.

**17.** Cerca de $10^8$ vezes a mola do carro: nenhum sistema massa–mola de bancada chega a megahertz — as rigidezes e as massas do dia a dia são desesperadamente lentas.

**18.** $m = \dfrac{k}{(2\pi f_0)^2} = \dfrac{100}
{(6.28 \times 10^{6})^2} \approx 2.5 \times 10^{-12}\,\mathrm{kg}$ — alguns nanogramas, um cisco de poeira.

**19.** Um cristal de quartzo: uma lâmina leve como pluma e ultrarrígida, cantando na [frequência própria](#def-g12-rlc-oscillations-period) dela — o marcador de tempo encontrado antes, neste ano.

**20.** Com $L = 0.20\,\mathrm{mH}$ e $20\text{ to }480\,\mathrm{pF}$ a malha varre cerca de $0.51\text{ to }2.5\,\mathrm{MHz}$, cobrindo a faixa; $C \approx 127\,\mathrm{pF}$ pega $1.00\,\mathrm{MHz}$; deixado sozinho, o repique cai à metade em $\approx 17\,\text{µ}\mathrm{s}$, mas a própria [onda](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/8-sinais-e-ondas#def-g10-signals-and-waves-wave) da estação, ressoando em compasso, realimenta a malha — o jornal toca com a [energia](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/9-energia-formas-e-conservacao#def-g10-energy-conservation-energy) da própria [onda](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/8-sinais-e-ondas#def-g10-signals-and-waves-wave).