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title: "Decaimento radioativo"
book: "Física do ensino médio"
subject: physics
language: pt
chapter: 32
exercises: 15
source: https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/32-decaimento-radioativo
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# Capítulo 32 — Decaimento radioativo

No porão de um museu, um contador Geiger estala sobre uma lasca de madeira do caixão de um faraó. Cada estalo é sem lei: nada o anunciou, nada prevê o próximo. E, ainda assim, na sexta-feira o laboratório vai imprimir uma data com precisão de um século. Este capítulo resolve o paradoxo — como eventos perfeitamente aleatórios um a um somam, aos trilhões, os relógios mais estáveis que possuímos.

## 32.1 Sem lei um a um, relojoaria por mol

No ano passado ([Capítulo 19](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/19-o-nucleo-e-a-radioatividade#ch-g11-nucleus-radioactivity)) encontramos os [núcleos](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/13-as-interacoes-fundamentais#def-g11-fundamental-interactions-ladder) instáveis, equilibramos as equações $\alpha$ e $\beta$ deles e vimos metade de qualquer amostra grande sumir a cada [meia-vida](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/19-o-nucleo-e-a-radioatividade#def-g11-nucleus-radioactivity-halflife) $T_{1/2}$. O que não podíamos dizer era *quando, entre os degraus* — nem por que um processo aleatório cumpre horário. As duas perguntas têm uma só resposta.

**Definição 32.1 (Constante de decaimento).**

Para cada [nuclídeo](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/19-o-nucleo-e-a-radioatividade#def-g11-nucleus-radioactivity-notation) instável existe uma constante $\lambda$, a *constante de decaimento* dele ([unidade](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/1-ordens-de-grandeza-medir-o-universo#def-g10-orders-of-magnitude-unit) $\mathrm{s}^{-1}$), tal que, durante qualquer intervalo curto $\dd t$, cada [núcleo](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/13-as-interacoes-fundamentais#def-g11-fundamental-interactions-ladder) tem probabilidade $p = \lambda\,\dd t$ de decair — a mesma para todo [núcleo](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/13-as-interacoes-fundamentais#def-g11-fundamental-interactions-ladder) da espécie, seja qual for a idade dele, e intocada pela temperatura, pela [pressão](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/7-pressao-do-esporte-ao-mergulho#def-g10-pressure-pressure) ou pela química.

**Observação 32.2 (Sem lei um a um, exato em multidão).**

Um [núcleo](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/13-as-interacoes-fundamentais#def-g11-fundamental-interactions-ladder) que já esperou dez mil anos tem exatamente a mesma chance de decair neste segundo que um feito hoje de manhã: sem desgaste, sem aviso — qual vai a seguir é genuinamente imprevisível. Multidões são outra história. Jogue $100$ moedas: espere $50$ caras, mas não se espante com $43$ — flutuações da ordem de $\sqrt n$, aqui $10\%$. Jogue $10^{20}$: a flutuação relativa $1/\sqrt n$ é $10^{-10}$, e o resultado é certo até a décima casa. Um grama de matéria guarda uns $10^{22}$ [núcleos](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/13-as-interacoes-fundamentais#def-g11-fundamental-interactions-ladder): a falta de lei se promedia em relojoaria, uma lei exata para $N(t)$, o número de [núcleos](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/13-as-interacoes-fundamentais#def-g11-fundamental-interactions-ladder) ainda intactos no instante $t$.

![Duas amostras reais de 20 núcleos cambaleiam de forma imprevisível em torno da curva esperada; um mol de núcleos a abraçaria até a décima casa decimal.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g12-radioactive-decay/fig-d0b92571fb7d.svg)

*Duas amostras reais de $20$ [núcleos](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/13-as-interacoes-fundamentais#def-g11-fundamental-interactions-ladder) cambaleiam de forma imprevisível em torno da curva esperada; um mol de [núcleos](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/13-as-interacoes-fundamentais#def-g11-fundamental-interactions-ladder) a abraçaria até a décima casa decimal.*

## 32.2 A lei do decaimento

**Proposição 32.3 (A equação de evolução).**

Numa amostra grande de $N$ [núcleos](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/13-as-interacoes-fundamentais#def-g11-fundamental-interactions-ladder), durante $\dd t$ o número muda de

$$
\dd N = -\lambda N\,\dd t, \qquad\text{ou seja,}\qquad \frac{\dd N}{\dd t} = -\lambda N :
$$

a população encolhe a uma taxa proporcional a ela mesma.

**Demonstração.** Cada um dos $N$ [núcleos](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/13-as-interacoes-fundamentais#def-g11-fundamental-interactions-ladder) decai durante $\dd t$ com probabilidade $\lambda\,\dd t$: decaimentos esperados $N\lambda\,\dd t$, e para $N$ grande a contagem real gruda na esperada ([Observação 32.2](#rem-g12-radioactive-decay-crowds)); cada decaimento remove um [núcleo](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/13-as-interacoes-fundamentais#def-g11-fundamental-interactions-ladder). ∎

**Teorema 32.4 (Lei do decaimento radioativo).**

Uma amostra que guarda $N_0$ [núcleos](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/13-as-interacoes-fundamentais#def-g11-fundamental-interactions-ladder) em $t = 0$ guarda, no instante $t$,

$$
N(t) = N_0 \, e^{-\lambda t}.
$$

**Demonstração.** Confira por substituição: $\dd N/\dd t = N_0(-\lambda)\,e^{-\lambda t} = -\lambda N(t)$ e $N(0) = N_0 e^0 = N_0$: equação e partida, as duas certas. (Que nenhuma *outra* função serve é demonstrado, com integrais, no volume universitário.) ∎

**Definição 32.5 (Decaimento exponencial).**

Uma grandeza que segue $N_0\,e^{-\lambda t}$ sofre *decaimento exponencial*: em tempos iguais, perdem-se *frações* iguais. É exatamente o [capacitor](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/30-circuitos-rc-e-rl#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) que se descarrega do [Capítulo 30](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/30-circuitos-rc-e-rl#ch-g12-rc-rl-circuits), com $\lambda$ fazendo o papel de $1/(RC)$: uma equação diferencial, aprendida uma vez, roda circuitos e [núcleos](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/13-as-interacoes-fundamentais#def-g11-fundamental-interactions-ladder) igualmente.

**Proposição 32.6 (Meia-vida).**

A [meia-vida](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/19-o-nucleo-e-a-radioatividade#def-g11-nucleus-radioactivity-halflife) ([Definição 19.14](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/19-o-nucleo-e-a-radioatividade#def-g11-nucleus-radioactivity-halflife)) de um [nuclídeo](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/19-o-nucleo-e-a-radioatividade#def-g11-nucleus-radioactivity-notation) é fixada pela [constante de decaimento](#def-g12-radioactive-decay-lambda) dele: $T_{1/2} = \ln 2/\lambda$, e depois de $n$ meias-vidas $N = N_0/2^{\,n}$, com $n$ inteiro ou não.

**Demonstração.** $N(T_{1/2}) = N_0/2$ exige $e^{-\lambda T_{1/2}} = \tfrac12$, ou seja, $\lambda T_{1/2} = \ln 2$; e $N(n\,T_{1/2}) = N_0\,e^{-n\ln 2} = N_0/2^{\,n}$ para qualquer $n$: a exponencial enfia a escada num fio e preenche o que há entre os degraus. ∎

![N(t) = N_0\,e- t passa por todos os degraus da escada — e agora diz o que acontece entre eles.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g12-radioactive-decay/fig-0b2c5c72c050.svg)

*$N(t) = N_0\,e^{-\lambda t}$ passa por todos os degraus da escada — e agora diz o que acontece entre eles.*

**Exemplo 32.7 (Vinte potências de dez).**

Com $1$ ano $= 3.156 \times 10^{7}\,\mathrm{s}$:

| [nuclídeo](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/19-o-nucleo-e-a-radioatividade#def-g11-nucleus-radioactivity-notation) | $T_{1/2}$ | $\lambda$ ($\mathrm{s}^{-1}$) |  |
| --- | --- | --- | --- |
| polônio-214 | $1.6 \times 10^{-4}\,\mathrm{s}$ | $4.2 \times 10^{3}$ | elo da cadeia do urânio |
| tecnécio-99m | $6.0$ horas | $3.2 \times 10^{-5}$ | imagem médica |
| iodo-131 | $8.0$ dias | $1.0 \times 10^{-6}$ | medicina da tireoide |
| césio-137 | $30$ anos | $7.3 \times 10^{-10}$ | rejeito de reator |
| carbono-14 | $5730$ anos | $3.8 \times 10^{-12}$ | arqueologia |
| potássio-40 | $1.25 \times 10^{9}$ anos | $1.8 \times 10^{-17}$ | datação de rochas |
| urânio-238 | $4.5 \times 10^{9}$ anos | $4.9 \times 10^{-18}$ | calor interno da Terra |

Uma só lei, vinte potências de dez de $\lambda$.

## 32.3 Atividade: contar os estalos

**Proposição 32.8 (Atividade).**

A [atividade](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/19-o-nucleo-e-a-radioatividade#def-g11-nucleus-radioactivity-activity) de uma amostra — os decaimentos por segundo dela, em [becquerels](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/19-o-nucleo-e-a-radioatividade#def-g11-nucleus-radioactivity-activity) ([Definição 19.18](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/19-o-nucleo-e-a-radioatividade#def-g11-nucleus-radioactivity-activity)) — é

$$
\mathcal A = \lambda N, \qquad\text{logo}\qquad \mathcal A(t) = \mathcal A_0 \, e^{-\lambda t}:
$$

proporcional à população sobrevivente, e igualmente exponencial.

**Demonstração.** $N$ [núcleos](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/13-as-interacoes-fundamentais#def-g11-fundamental-interactions-ladder), cada um com probabilidade $\lambda$ por segundo: $\lambda N$ decaimentos por segundo; multiplicar o [Teorema 32.4](#thm-g12-radioactive-decay-law) por $\lambda$ dá $\mathcal A(t) = \mathcal A_0 e^{-\lambda t}$. ∎

**Exemplo 32.9 (NNN enorme, λ\lambdaλ minúsculo).**

Uma banana tiquetaqueia a cerca de $15\,\mathrm{Bq}$, um corpo humano a cerca de $8000\,\mathrm{Bq}$, um [metro](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/1-ordens-de-grandeza-medir-o-universo#def-g10-orders-of-magnitude-unit) cúbico de granito a uns $10^{6}\,\mathrm{Bq}$ ([Capítulo 19](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/19-o-nucleo-e-a-radioatividade#ch-g11-nucleus-radioactivity)). Por trás dos estalos modestos há populações astronômicas: o potássio-40 do corpo contribui com $\mathcal A \approx 4.4 \times 10^{3}\,\mathrm{Bq}$ com $\lambda = 1.8 \times 10^{-17}\,\mathrm{s}^{-1}$: $N = \mathcal A/\lambda \approx 2.5 \times 10^{20}$ [núcleos](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/13-as-interacoes-fundamentais#def-g11-fundamental-interactions-ladder), dos quais mal alguns milhares disparam a cada segundo.

**Método 32.10 (Medir uma meia-vida).**

1. Conte decaimentos com um contador Geiger em intervalos iguais e sucessivos: isso amostra $\mathcal A$ em instantes sucessivos.
2. Trace $\ln \mathcal A$ contra $t$ : como $\ln \mathcal A = \ln \mathcal A_0 - \lambda t$ , o [decaimento exponencial](#def-g12-radioactive-decay-exponential) aparece como uma *reta* — dados tortos significam outra lei, ou uma mistura de [nuclídeos](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/19-o-nucleo-e-a-radioatividade#def-g11-nucleus-radioactivity-notation) .
3. Leia $\lambda$ como menos a inclinação; $T_{1/2} = \ln 2/\lambda$ .

![Contagens Geiger de um nuclídeo de vida curta: em eixos semilogarítmicos a exponencial vira uma reta; aqui a inclinação dá 9.6 × 10-3\, s-1, logo T_1/2 72\, s.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g12-radioactive-decay/fig-1f8c6bfc6d33.svg)

*Contagens Geiger de um [nuclídeo](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/19-o-nucleo-e-a-radioatividade#def-g11-nucleus-radioactivity-notation) de vida curta: em eixos semilogarítmicos a exponencial vira uma reta; aqui a inclinação dá $\lambda \approx 9.6 \times 10^{-3}\,\mathrm{s}^{-1}$, logo $T_{1/2} \approx 72\,\mathrm{s}$.*

**Observação 32.11 (Becquerels não são dano).**

O [becquerel](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/19-o-nucleo-e-a-radioatividade#def-g11-nucleus-radioactivity-activity) conta decaimentos, não estragos. O dano é acompanhado pela [dose](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/19-o-nucleo-e-a-radioatividade#rem-g11-nucleus-radioactivity-dose) em [sieverts](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/19-o-nucleo-e-a-radioatividade#rem-g11-nucleus-radioactivity-dose) ([Capítulo 19](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/19-o-nucleo-e-a-radioatividade#ch-g11-nucleus-radioactivity)), que pesa a [energia](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/9-energia-formas-e-conservacao#def-g10-energy-conservation-energy) depositada por [quilograma](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/1-ordens-de-grandeza-medir-o-universo#def-g10-orders-of-magnitude-unit) de tecido pela destrutividade de cada radiação: uma cintilografia de $5 \times 10^{8}\,\mathrm{Bq}$ de tecnécio é rotina, e bem menos [becquerels](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/19-o-nucleo-e-a-radioatividade#def-g11-nucleus-radioactivity-activity) de um emissor $\alpha$ inalado não são; converter $\mathrm{Bq}$ em $\mathrm{Sv}$ é matéria universitária.

## 32.4 Datação: ler o tempo numa razão

A lei do decaimento lida ao contrário é um relógio: meça a fração sobrevivente, e a exponencial nomeia o tempo decorrido.

**Método 32.12 (Datação por carbono-14).**

1. *Vivo:* o tecido vivo troca carbono com a atmosfera e carrega a proporção de carbono-14 dela — um [átomo](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/13-as-interacoes-fundamentais#def-g11-fundamental-interactions-ladder) em $10^{12}$ , o que dá $\mathcal A_0 = 13.6$ decaimentos por minuto por grama de carbono.
2. *A morte dispara o relógio:* a entrada cessa e a proporção decai com $T_{1/2} = 5730$ anos.
3. Meça a [atividade](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/19-o-nucleo-e-a-radioatividade#def-g11-nucleus-radioactivity-activity) $\mathcal A$ da amostra por grama de carbono; $\mathcal A = \mathcal A_0 e^{-\lambda t}$ se inverte em $t = \frac{1}{\lambda}\ln(\mathcal A_0/\mathcal A)  = T_{1/2}\,\ln(\mathcal A_0/\mathcal A)/\ln 2$ .

**Exemplo 32.13 (Uma fogueira numa caverna).**

Carvão de uma fogueira soterrada dá $5.0$ decaimentos por minuto por grama: $\mathcal A_0/\mathcal A = 13.6/5.0 = 2.72$, logo $t = 5730 \times \ln(2.72)/\ln 2 \approx 8.3 \times 10^{3}$ anos. O fogo se apagou há oito mil anos — a própria madeira é o arquivo.

![A curva de datação: entre pela razão medida e leia para baixo a idade. O ponto é a fogueira do : razão 0.37, idade 8.3 × 103 anos.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g12-radioactive-decay/fig-6b0ae97cafd3.svg)

*A curva de datação: entre pela razão medida e leia para baixo a idade. O ponto é a fogueira do [Exemplo 32.13](#ex-g12-radioactive-decay-hearth): razão $0.37$, idade $8.3 \times 10^{3}$ anos.*

**Exemplo 32.14 (Relógios para rochas).**

O carbono-14 emudece além de uns $50\,000$ anos; a geologia mantém relógios mais lentos. *Potássio–argônio*: o potássio-40 ($T_{1/2} = 1.25 \times 10^{9}$ anos) decai em argônio, um gás que escapa da lava derretida mas fica preso assim que a rocha se cristaliza — a solidificação zera o relógio. *Urânio–chumbo*: o urânio-238 encabeça uma cadeia de decaimentos que termina no chumbo-206 estável ([Capítulo 19](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/19-o-nucleo-e-a-radioatividade#ch-g11-nucleus-radioactivity)), e a razão chumbo/urânio num cristal o data. Os dois relógios concordam sobre os minerais mais antigos ($\approx 4.4 \times 10^{9}$ anos) e, via meteoritos, sobre a idade do Sistema Solar.

**Observação 32.15 (Cadeias, e o gás do porão).**

Entre o urânio e o chumbo a cadeia passa pelo rádio e depois pelo radônio-222, um *gás* radioativo ($T_{1/2} = 3.8$ dias). Nascido no granito e no solo, ele se infiltra em porões e se acumula; as filhas emissoras de $\alpha$ dele decaem nos pulmões — para a maioria das pessoas, a maior [dose](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/19-o-nucleo-e-a-radioatividade#rem-g11-nucleus-radioactivity-dose) natural, e a mais barata de reduzir: abra a janela do porão.

## 32.5 Exercícios

**Exercício 32.1 ★.**

O iodo-131 tem $\lambda = 1.0 \times 10^{-6}\,\mathrm{s}^{-1}$. Calcule a [meia-vida](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/19-o-nucleo-e-a-radioatividade#def-g11-nucleus-radioactivity-halflife) dele em segundos e depois em dias.

**Solução de Exercício 32.1.**

$T_{1/2} = \ln 2/\lambda = 0.693/1.0 \times 10^{-6} = 6.9 \times 10^{5}\,\mathrm{s} \approx
8.0$ dias — o relógio do iodo-131.

**Exercício 32.2 ★.**

O radônio-222 tem $T_{1/2} = 3.8$ dias. Calcule $\lambda$ em $\mathrm{s}^{-1}$ e depois a [atividade](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/19-o-nucleo-e-a-radioatividade#def-g11-nucleus-radioactivity-activity) de uma amostra de $1.0 \times 10^{10}$ [núcleos](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/13-as-interacoes-fundamentais#def-g11-fundamental-interactions-ladder).

**Solução de Exercício 32.2.**

$T_{1/2} = 3.8 \times 86\,400 = 3.28 \times 10^{5}\,\mathrm{s}$; $\lambda = 0.693/3.28 \times 10^{5} = 2.1 \times 10^{-6}\,\mathrm{s}^{-1}$; $\mathcal A = \lambda N = 2.1 \times 10^{-6} \times 1.0 \times 10^{10} \approx
2.1 \times 10^{4}\,\mathrm{Bq}$.

**Exercício 32.3 ★.**

Verifique por substituição que $N(t) = N_0\,e^{-\lambda t}$ satisfaz $\dd N/\dd t = -\lambda N$ e $N(0) = N_0$; depois calcule $N(T_{1/2})/N_0$.

**Solução de Exercício 32.3.**

$\dd N/\dd t = N_0(-\lambda)e^{-\lambda t} = -\lambda N$ — a equação vale; $N(0) = N_0 e^0 = N_0$; $N(T_{1/2})/N_0 = e^{-\lambda \ln 2/\lambda} = e^{-\ln 2} = \tfrac12$.

**Exercício 32.4 ★.**

Uma fonte de césio-137 ($T_{1/2} = 30$ anos) tem [atividade](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/19-o-nucleo-e-a-radioatividade#def-g11-nucleus-radioactivity-activity) de $4.0 \times 10^{5}\,\mathrm{Bq}$ hoje. Calcule a [atividade](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/19-o-nucleo-e-a-radioatividade#def-g11-nucleus-radioactivity-activity) dela daqui a $90$ anos e depois daqui a $300$ anos.

**Solução de Exercício 32.4.**

$90$ anos $= 3\,T_{1/2}$: $\mathcal A = 4.0 \times 10^{5}/2^3 =
5.0 \times 10^{4}\,\mathrm{Bq}$. $300$ anos $= 10\,T_{1/2}$: $\mathcal A = 4.0 \times 10^{5}/1024 \approx 3.9 \times 10^{2}\,\mathrm{Bq}$.

**Exercício 32.5 ★.**

Um gráfico semilogarítmico de $\ln \mathcal A$ contra $t$ para uma amostra de tecnécio é uma reta que passa por $(0, 20.00)$ e $(10\,\mathrm{horas}, 18.85)$. Encontre $\lambda$ (em $\mathrm{h}^{-1}$ e em $\mathrm{s}^{-1}$) e $T_{1/2}$.

**Solução de Exercício 32.5.**

Inclinação $= (18.85 - 20.00)/10 = -0.115$, logo $\lambda = 0.115\,\mathrm{h}^{-1} = 0.115/3600 = 3.2 \times 10^{-5}\,\mathrm{s}^{-1}$; $T_{1/2} = 0.693/0.115 = 6.0$ horas — o tecnécio-99m.

**Exercício 32.6 ★★.**

Um grama de rádio-226 ($T_{1/2} = 1600$ anos; massa molar $226\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$; $N_A = 6.02 \times 10^{23}\,\mathrm{mol}^{-1}$): calcule o número de [núcleos](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/13-as-interacoes-fundamentais#def-g11-fundamental-interactions-ladder), depois $\lambda$ e depois a [atividade](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/19-o-nucleo-e-a-radioatividade#def-g11-nucleus-radioactivity-activity) — a primeira [unidade](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/1-ordens-de-grandeza-medir-o-universo#def-g10-orders-of-magnitude-unit) de [atividade](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/19-o-nucleo-e-a-radioatividade#def-g11-nucleus-radioactivity-activity) da história, o curie.

**Solução de Exercício 32.6.**

$N = (1.0/226) \times 6.02 \times 10^{23} = 2.7 \times 10^{21}$; $T_{1/2} = 1600 \times 3.156 \times 10^{7} = 5.05 \times 10^{10}\,\mathrm{s}$, logo $\lambda = 1.37 \times 10^{-11}\,\mathrm{s}^{-1}$; $\mathcal A = \lambda N \approx 3.7 \times 10^{10}\,\mathrm{Bq}$ — um curie, a [atividade](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/19-o-nucleo-e-a-radioatividade#def-g11-nucleus-radioactivity-activity) do grama de rádio de Marie Curie.

**Exercício 32.7 ★★.**

Dois estudantes lacram amostras de $20$ e de $2.0 \times 10^{20}$ [núcleos](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/13-as-interacoes-fundamentais#def-g11-fundamental-interactions-ladder) de um mesmo [nuclídeo](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/19-o-nucleo-e-a-radioatividade#def-g11-nucleus-radioactivity-notation). O que cada um espera depois de uma [meia-vida](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/19-o-nucleo-e-a-radioatividade#def-g11-nucleus-radioactivity-halflife)? De quem é a previsão confiável? (Estime a flutuação relativa $1/\sqrt n$ para cada.)

**Solução de Exercício 32.7.**

Os dois esperam que sobre metade: $10$, e $1.0 \times 10^{20}$. As flutuações são $\sim 1/\sqrt{n}$ da contagem: com $10$ decaimentos, cerca de $30\%$ — $7$ ou $13$ não seriam surpresa; com $1.0 \times 10^{20}$, cerca de $10^{-10}$. Só a amostra grande obedece à lei com precisão mensurável.

**Exercício 32.8 ★★.**

Um corpo guarda cerca de $140\,\mathrm{g}$ de potássio, dos quais $0.012\%$ é potássio-40 ($T_{1/2} = 1.25 \times 10^{9}$ anos, massa molar $40\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$). Calcule o número de [núcleos](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/13-as-interacoes-fundamentais#def-g11-fundamental-interactions-ladder) de potássio-40 e depois a [atividade](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/19-o-nucleo-e-a-radioatividade#def-g11-nucleus-radioactivity-activity) deles; compare com os $8000\,\mathrm{Bq}$ totais do corpo.

**Solução de Exercício 32.8.**

$m = 140 \times 1.2 \times 10^{-4} = 1.7 \times 10^{-2}\,\mathrm{g}$; $N = (0.0168/40) \times 6.02 \times 10^{23} = 2.5 \times 10^{20}$. $\lambda = 0.693/(1.25 \times 10^{9} \times 3.156 \times 10^{7}) =
1.76 \times 10^{-17}\,\mathrm{s}^{-1}$; $\mathcal A = \lambda N \approx 4.4 \times 10^{3}\,\mathrm{Bq}$ — cerca de metade do total do corpo (o grosso do resto é carbono-14).

**Exercício 32.9 ★★.**

Um paciente recebe $500\,\mathrm{MBq}$ de tecnécio-99m ($T_{1/2} = 6.0$ horas). Calcule a [atividade](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/19-o-nucleo-e-a-radioatividade#def-g11-nucleus-radioactivity-activity) $15$ horas depois e, em seguida, o tempo para ela cair abaixo de $1\,\mathrm{MBq}$.

**Solução de Exercício 32.9.**

$\lambda = 0.693/6.0 = 0.116\,\mathrm{h}^{-1}$. Em $15$ horas: $\mathcal A = 500\,e^{-0.116 \times 15} = 500 \times 0.177 \approx
88\,\mathrm{MBq}$. Abaixo de $1\,\mathrm{MBq}$: $t = \ln(500)/0.116 \approx 54\,\mathrm{horas}$ — cerca de $9$ meias-vidas.

**Exercício 32.10 ★★.**

O carvão de uma cova mostra $3.4$ decaimentos por minuto por grama de carbono; um osso de outra mostra $30\%$ da taxa dos vivos ($\mathcal A_0 = 13.6$ por minuto por grama, $T_{1/2} = 5730$ anos). Date as duas amostras.

**Solução de Exercício 32.10.**

Carvão: $3.4/13.6 = \tfrac14$, exatamente $2$ meias-vidas: $t = 1.15 \times 10^{4}$ anos. Osso: $t = 5730 \times \ln(1/0.30)/\ln 2 = 5730 \times 1.74
\approx 1.0 \times 10^{4}$ anos.

**Exercício 32.11 ★★.**

Um porão é lacrado com uma leva de radônio-222 dentro ($T_{1/2} = 3.8$ dias). Depois de quanto tempo a [atividade](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/19-o-nucleo-e-a-radioatividade#def-g11-nucleus-radioactivity-activity) dessa leva caiu a $1\%$? Os porões reais ficam radioativos por décadas: de onde vem radônio fresco, e por que a ventilação precisa ser permanente, e não de uma vez só?

**Solução de Exercício 32.11.**

$\lambda = 0.693/3.8 = 0.182\,\mathrm{d}^{-1}$; $t = \ln(100)/\lambda = 4.61/0.182 \approx 25$ dias (cerca de $6.6$ meias-vidas). Mas a cadeia do urânio no granito e no solo em volta gera radônio continuamente: um arejamento único é desfeito em semanas, e por isso a ventilação precisa ser permanente.

**Exercício 32.12 ★★★.**

Mostre, a partir de $N = N_0 e^{-\lambda t}$, que $t = T_{1/2}\ln(N_0/N)/\ln 2$. Um osso retém $5.0\%$ do carbono-14 que tinha em vida: date-o.

**Solução de Exercício 32.12.**

$N/N_0 = e^{-\lambda t}$ dá $\lambda t = \ln(N_0/N)$, e $\lambda = \ln 2/T_{1/2}$ dá $t = T_{1/2}\ln(N_0/N)/\ln 2$. Aqui $t = 5730 \times \ln(20)/\ln 2 = 5730 \times 4.32 \approx
2.5 \times 10^{4}$ anos.

**Exercício 32.13 ★★★.**

Num cristal que não aprisionou argônio algum na solidificação, cada [núcleo](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/13-as-interacoes-fundamentais#def-g11-fundamental-interactions-ladder) de potássio-40 que decaiu deixa um [átomo](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/13-as-interacoes-fundamentais#def-g11-fundamental-interactions-ladder) de argônio no lugar. Mostre que $N_{\mathrm{Ar}}/N_{\mathrm K} = e^{\lambda t} - 1$; uma rocha mostra uma razão de $3.0$: encontre a idade dela ($T_{1/2} = 1.25 \times 10^{9}$ anos).

**Solução de Exercício 32.13.**

$N_{\mathrm K} = N_0 e^{-\lambda t}$ e $N_{\mathrm{Ar}} = N_0 - N_{\mathrm K}$, logo $N_{\mathrm{Ar}}/N_{\mathrm K} = e^{\lambda t} - 1$. Razão $3.0$: $e^{\lambda t} = 4$, logo $\lambda t = 2\ln 2$ e $t = 2\,T_{1/2} = 2.5 \times 10^{9}$ anos.

**Exercício 32.14 ★★★.**

Um contador Geiger dá, em $t = 0$, $60$, $120$, $180$, $240$ segundos, taxas de $400$, $225$, $127$, $71$, $40$ contagens por segundo. Calcule $\ln \mathcal A$ em cada instante, verifique o alinhamento e deduza $\lambda$ e $T_{1/2}$.

**Solução de Exercício 32.14.**

$\ln \mathcal A = 5.99$, $5.42$, $4.84$, $4.26$, $3.69$: quedas de $0.57$–$0.58$ a cada $60\,\mathrm{s}$ — alinhados. Pela inclinação: $\lambda = 2.30/240 = 9.6 \times 10^{-3}\,\mathrm{s}^{-1}$; $T_{1/2} = 0.693/9.6 \times 10^{-3} \approx 72\,\mathrm{s}$.

**Exercício 32.15 ★★★.**

Para um único [núcleo](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/13-as-interacoes-fundamentais#def-g11-fundamental-interactions-ladder), a probabilidade de sobreviver a $n$ meias-vidas é $1/2^{\,n}$. Calcule a probabilidade de que (a) um dado [núcleo](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/13-as-interacoes-fundamentais#def-g11-fundamental-interactions-ladder) sobreviva a $10$ meias-vidas; (b) todos os $8$ [núcleos](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/13-as-interacoes-fundamentais#def-g11-fundamental-interactions-ladder) observados sobrevivam a uma [meia-vida](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/19-o-nucleo-e-a-radioatividade#def-g11-nucleus-radioactivity-halflife). (c) De $1000$ [núcleos](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/13-as-interacoes-fundamentais#def-g11-fundamental-interactions-ladder), quantos se esperam depois de $3$ meias-vidas — e a lei consegue dizer *quais*? Conclua sobre o que a lei prevê.

**Solução de Exercício 32.15.**

(a) $2^{-10} \approx 1 \times 10^{-3}$. (b) $(1/2)^8 = 1/256 \approx 0.4\%$. (c) Esperam-se $1000/8 = 125$ — mas a lei se cala sobre quais: ela prevê populações com exatidão e indivíduos de modo algum.

## 32.6 Problema: a idade das coisas

**Problema 32.1.**

Problema de fim de semana — a idade das coisas: um laboratório de museu calibra o relógio do carbono, data uma estátua e um papiro, aprende por que nenhum relógio marca além do mostrador dele e empurra uma rocha vulcânica um bilhão de anos para trás

Uma semana no laboratório de datação de um museu. Dados: o tecido vivo mostra $\mathcal A_0 = 13.6$ decaimentos de carbono-14 por minuto por grama de carbono; $T_{1/2} = 5730$ anos (carbono-14) e $1.25 \times 10^{9}$ anos (potássio-40); $1$ ano $= 3.156 \times 10^{7}\,\mathrm{s}$; $N_A = 6.02 \times 10^{23}\,\mathrm{mol}^{-1}$; massa molar do carbono $12\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$; os contadores resolvem cerca de $0.2$ decaimento por minuto por grama.

**Parte I — Segunda-feira: calibrar o relógio.**

1. Por que a proporção de carbono-14 é constante no tecido vivo, e o que muda na morte?
2. Calcule $\lambda$ do carbono-14 em $\mathrm{s}^{-1}$ .
3. Verifique por substituição que $N_0 e^{-\lambda t}$ resolve $\dd N/\dd t = -\lambda N$ .
4. A partir de $\mathcal A_0$ , calcule o número de [átomos](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/13-as-interacoes-fundamentais#def-g11-fundamental-interactions-ladder) de carbono-14 por grama de carbono no tecido vivo.
5. Quantos [átomos](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/13-as-interacoes-fundamentais#def-g11-fundamental-interactions-ladder) de carbono um grama guarda? Deduza a proporção de carbono-14 — compare com “um em $10^{12}$ ”.
6. Mostre que uma [atividade](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/19-o-nucleo-e-a-radioatividade#def-g11-nucleus-radioactivity-activity) medida $\mathcal A$ data uma amostra como $t = T_{1/2}\,\ln(\mathcal A_0/\mathcal A)/\ln 2$ .

**Parte II — Terça-feira: a estátua e o papiro.**

7. Uma estátua de madeira dá $9.1$ decaimentos por minuto por grama. Date a madeira.
8. Que evento, exatamente, essa data marca — o entalhe ou outra coisa? Que cautela decorre disso?
9. Um papiro egípcio dá $10.4$ decaimentos por minuto por grama. Date-o. Um escriba de vinte e dois séculos atrás é plausível?
10. A [atividade](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/19-o-nucleo-e-a-radioatividade#def-g11-nucleus-radioactivity-activity) é medida com $\pm 0.2$ decaimento por minuto. Estime a incerteza da idade do papiro, usando $\Delta t \approx \Delta\mathcal A/(\lambda \mathcal A)$ .
11. O pergaminho “antigo” de um negociante dá $13.4$ decaimentos por minuto por grama. Veredito?

**Parte III — Quinta-feira: os limites do relógio.**

12. Depois de quantas meias-vidas a [atividade](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/19-o-nucleo-e-a-radioatividade#def-g11-nucleus-radioactivity-activity) de uma amostra cai abaixo dos $0.2$ decaimento por minuto por grama dos contadores? Que idade é essa?
13. Os melhores laboratórios chegam a umas dez meias-vidas. Qual é o horizonte prático da datação por carbono, em anos?
14. Um osso de dinossauro tem cerca de $6.6 \times 10^{7}$ anos: quantas meias-vidas do carbono-14 são essas? Usando a questão 4, depois de quantas meias-vidas não resta nem *um* [átomo](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/13-as-interacoes-fundamentais#def-g11-fundamental-interactions-ladder) do carbono-14 daquele grama? Conclua sobre “datar dinossauros por carbono”.
15. Que tipo de [nuclídeo](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/19-o-nucleo-e-a-radioatividade#def-g11-nucleus-radioactivity-notation) poderia datar a rocha do dinossauro, em vez disso?

**Parte IV — Sexta-feira: a rocha vulcânica.**

16. O argônio é um gás e o potássio, um morador fiel do sólido: explique por que a solidificação da lava zera o relógio potássio–argônio.
17. Supondo que cada [núcleo](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/13-as-interacoes-fundamentais#def-g11-fundamental-interactions-ladder) de potássio-40 que decaiu deixe um [átomo](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/13-as-interacoes-fundamentais#def-g11-fundamental-interactions-ladder) de argônio preso, mostre que $N_{\mathrm{Ar}}/N_{\mathrm K} = e^{\lambda t} - 1$ .
18. A rocha sob o fóssil do museu mostra $N_{\mathrm{Ar}}/N_{\mathrm K} = 0.60$ . Date a rocha.
19. O carbono-14 poderia ter datado essa rocha, ou o potássio–argônio, a estátua? Dê a janela útil de cada relógio, em meias-vidas.
20. Relatório de sexta, em uma frase: as três idades encontradas nesta semana e a única lei que leu todas elas.

**Solução de Problema 32.1.**

**1.** A troca com a atmosfera (comer, respirar) mantém a proporção completada no valor atmosférico; a morte interrompe a entrada e o decaimento assume.

**2.** $T_{1/2} = 5730 \times 3.156 \times 10^{7} =
1.81 \times 10^{11}\,\mathrm{s}$, logo $\lambda = 0.693/1.81 \times 10^{11} =
3.8 \times 10^{-12}\,\mathrm{s}^{-1}$.

**3.** $\dd N/\dd t = -\lambda N_0 e^{-\lambda t} = -\lambda N$, e $N(0) = N_0$.

**4.** $\mathcal A_0 = 13.6/60 = 0.227\,\mathrm{Bq}$ por grama; $N = \mathcal A_0/\lambda = 0.227/3.8 \times 10^{-12} \approx 5.9 \times 10^{10}$ [átomos](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/13-as-interacoes-fundamentais#def-g11-fundamental-interactions-ladder) por grama.

**5.** $(1/12) \times 6.02 \times 10^{23} = 5.0 \times 10^{22}$ [átomos](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/13-as-interacoes-fundamentais#def-g11-fundamental-interactions-ladder) de carbono; proporção $5.9 \times 10^{10}/5.0 \times 10^{22} \approx 1.2 \times 10^{-12}$ — um em $10^{12}$, como prometido.

**6.** $\mathcal A = \mathcal A_0 e^{-\lambda t}$ dá $\lambda t = \ln(\mathcal A_0/\mathcal A)$, e $\lambda = \ln 2/T_{1/2}$ transforma isso em $t = T_{1/2}\ln(\mathcal A_0/\mathcal A)/\ln 2$.

**7.** $t = 5730 \times \ln(13.6/9.1)/\ln 2 =
5730 \times 0.580 \approx 3.3 \times 10^{3}$ anos.

**8.** A morte da madeira — o corte da árvore, e não o entalhe; uma estátua feita de madeira velha (ou uma falsificação entalhada em madeira antiga) é anterior ou posterior à data do material dela.

**9.** $t = 5730 \times \ln(13.6/10.4)/\ln 2 =
5730 \times 0.387 \approx 2.2 \times 10^{3}$ anos — plenamente compatível com um escriba de vinte e dois séculos atrás.

**10.** $\Delta t \approx \Delta\mathcal A/(\lambda\mathcal A)$ com $\lambda = \ln 2/5730 = 1.21 \times 10^{-4}$ por ano: $\Delta t = (0.2/10.4)/1.21 \times 10^{-4} \approx 1.6 \times 10^{2}$ anos — uma data boa até um século ou dois.

**11.** $t = 5730 \times \ln(13.6/13.4)/\ln 2 \approx 120$ anos — indistinguível de moderno dentro da incerteza de $\pm 160$ anos: o pergaminho é recente, e a “antiguidade”, falsa.

**12.** $13.6/2^n < 0.2$ exige $2^n > 68$: $n = 7$ meias-vidas (pois $2^7 = 128$), cerca de $4.0 \times 10^{4}$ anos.

**13.** Dez meias-vidas: cerca de $5.7 \times 10^{4}$ anos — o horizonte prático, uns sessenta mil anos.

**14.** $6.6 \times 10^{7}/5730 \approx 11\,500$ meias-vidas. Os $5.9 \times 10^{10}$ [átomos](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/13-as-interacoes-fundamentais#def-g11-fundamental-interactions-ladder) de um grama se esgotam quando $2^n > 5.9 \times 10^{10}$, ou seja, $n \approx 36$ meias-vidas ($\approx 2 \times 10^{5}$ anos): muito antes da idade dos dinossauros, não resta um único [átomo](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/13-as-interacoes-fundamentais#def-g11-fundamental-interactions-ladder) de carbono-14 — não há nada para contar.

**15.** Um relógio bem mais lento: potássio-40 ou urânio-238, com meias-vidas de bilhões de anos.

**16.** A lava derretida deixa o argônio borbulhar embora, de modo que o cristal recém-solidificado guarda potássio e zero argônio: a razão começa em $0$ na solidificação — o relógio está zerado.

**17.** Como no exercício: $N_{\mathrm K} = N_0 e^{-\lambda t}$ e $N_{\mathrm{Ar}} = N_0 - N_{\mathrm K}$, logo $N_{\mathrm{Ar}}/N_{\mathrm K} = e^{\lambda t} - 1$.

**18.** $e^{\lambda t} = 1.60$: $t = 1.25 \times 10^{9} \times \ln(1.60)/\ln 2 = 1.25 \times 10^{9} \times 0.678
\approx 8.5 \times 10^{8}$ anos.

**19.** Não, nos dois sentidos: em $8.5 \times 10^{8}$ anos o carbono-14 já correu $10^5$ meias-vidas — silêncio; em $3.3 \times 10^{3}$ anos o potássio-40 correu $2.6 \times 10^{-6}$ de uma [meia-vida](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/19-o-nucleo-e-a-radioatividade#def-g11-nucleus-radioactivity-halflife) — a razão de argônio $\approx \lambda t \sim 2 \times 10^{-6}$ é pequena demais para ser medida. Cada relógio só lê de cerca de um décimo de [meia-vida](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/19-o-nucleo-e-a-radioatividade#def-g11-nucleus-radioactivity-halflife) até cerca de dez.

**20.** Estátua $\approx 3.3 \times 10^{3}$ anos, papiro $\approx 2.2 \times 10^{3}$ anos, rocha $\approx 8.5 \times 10^{8}$ anos — três relógios, uma lei: $N = N_0\,e^{-\lambda t}$, lida ao contrário.