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title: "O mundo quântico: fótons e níveis de energia"
book: "Física do ensino médio"
subject: physics
language: pt
chapter: 34
exercises: 15
source: https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/34-o-mundo-quantico-fotons-e-niveis-de-energia
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# Capítulo 34 — O mundo quântico: fótons e níveis de energia

Uma lâmpada de calor infravermelha pode banhar a sua pele a noite inteira sem marcá-la; dez minutos do sol rarefeito da montanha deixam uma queimadura. A lâmpada entrega muito mais [energia](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/9-energia-formas-e-conservacao#def-g10-energy-conservation-energy) — mas não é [energia](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/9-energia-formas-e-conservacao#def-g10-energy-conservation-energy) que marca a pele. A luz, mostra este capítulo, chega em grãos, e só um grão que bate com [força](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-force) suficiente faz química: um grão [ultravioleta](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/2-espectros-luminosos-e-a-mensagem-da-luz#def-g10-light-spectra-wavelength) rompe uma ligação que um bilhão de grãos [infravermelhos](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/2-espectros-luminosos-e-a-mensagem-da-luz#def-g10-light-spectra-wavelength) apenas aquecem. Siga os grãos e um século se abre: metais vazando elétrons, [átomos](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/13-as-interacoes-fundamentais#def-g11-fundamental-interactions-ladder) cantando em [linhas espectrais](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/2-espectros-luminosos-e-a-mensagem-da-luz#def-g10-light-spectra-emission), elétrons interferindo como [ondas](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/8-sinais-e-ondas#def-g10-signals-and-waves-wave).

## 34.1 A luz chega em grãos: o fóton

**Definição 34.1 (O fóton).**

A luz de [frequência](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/28-osciladores-mecanicos-e-a-medida-do-tempo#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) $\nu$ troca [energia](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/9-energia-formas-e-conservacao#def-g10-energy-conservation-energy) com a matéria apenas em grãos inteiros chamados *fótons*, cada um de [energia](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/9-energia-formas-e-conservacao#def-g10-energy-conservation-energy)

$$
E = h\nu = \frac{hc}{\lambda}, \qquad h = 6.63 \times 10^{-34}\,\mathrm{J}\,\mathrm{s},
$$

onde $h$ é a *constante de Planck* (Planck, 1900; Einstein, 1905) e $\lambda$, o [comprimento de onda no vácuo](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/22-a-luz-como-onda-difracao-e-interferencia#def-g12-light-as-wave-lightwave). A intensidade de um feixe mede o *número* de fótons por segundo; a [energia](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/9-energia-formas-e-conservacao#def-g10-energy-conservation-energy) de cada grão é fixada só pela [frequência](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/28-osciladores-mecanicos-e-a-medida-do-tempo#def-g12-oscillators-and-time-oscillator).

**Notação 34.2 (O elétron-volt).**

A física atômica usa o *elétron-volt*, $1\,\mathrm{eV} = 1.60 \times 10^{-19}\,\mathrm{J}$: a [energia](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/9-energia-formas-e-conservacao#def-g10-energy-conservation-energy) que uma [carga elementar](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/13-as-interacoes-fundamentais#def-g11-fundamental-interactions-elementary) ganha ao atravessar $1\,\mathrm{V}$ ([Capítulo 14](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/14-campos-eletrico-e-gravitacional#ch-g11-electric-gravitational-fields)). Prático: $E \,(\mathrm{eV}) \approx 1240/\lambda\,(\mathrm{nm})$.

![Uma só escala para a família eletromagnética (): comprimento de onda (em cima), energia por fóton hc/ (em azul), dos grãos de rádio de um microelétron-volt aos grãos gama de MeV do — e ainda assim um apontador de 1.0\, mW despeja 3 × 1015 grãos por segundo: a luz do dia a dia escorre tão lisa quanto areia derramada.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g12-quantum-world/fig-e3483ae32342.svg)

*Uma só escala para a família eletromagnética ([Capítulo 22](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/22-a-luz-como-onda-difracao-e-interferencia#ch-g12-light-as-wave)): [comprimento de onda](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/20-ondas-mecanicas#def-g12-mechanical-waves-wavelength) (em cima), [energia](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/9-energia-formas-e-conservacao#def-g10-energy-conservation-energy) por [fóton](#def-g12-quantum-world-photon) $hc/\lambda$ (em azul), dos grãos de rádio de um [microelétron-volt](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/12-circuitos-eletricos-e-potencia#def-g11-circuits-and-power-voltage) aos grãos gama de $\mathrm{MeV}$ do [Capítulo 19](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/19-o-nucleo-e-a-radioatividade#ch-g11-nucleus-radioactivity) — e ainda assim um apontador de $1.0\,\mathrm{mW}$ despeja $3 \times 10^{15}$ grãos por segundo: a luz do dia a dia escorre tão lisa quanto areia derramada.*

## 34.2 O efeito fotoelétrico

Ilumine uma placa metálica limpa no vácuo e elétrons saltam para fora — o *efeito fotoelétrico*. As regras dele quebraram a física clássica.

**Proposição 34.3 (O que o experimento mostra).**

Para cada metal existe uma *frequência de corte* $\nu_0$:

1. abaixo de $\nu_0$ , elétron algum sai, por mais intensa que seja a luz;
2. acima de $\nu_0$ , a emissão começa sem [atraso](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/20-ondas-mecanicas#def-g12-mechanical-waves-delay) , por mais fraca que ela seja;
3. a intensidade eleva o *número* de elétrons por segundo, e não a [energia cinética](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/18-energia-mecanica-e-sua-conservacao#def-g11-mechanical-energy-kinetic) máxima deles; a [frequência](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/28-osciladores-mecanicos-e-a-medida-do-tempo#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) eleva $E_{k,\max}$ .

Nada disso cabe numa [onda](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/8-sinais-e-ondas#def-g10-signals-and-waves-wave) contínua, com a qual qualquer cor deveria conseguir carregar — ao longo de meses, sob luz fraca ([Exercício 34.14](#exo-g12-quantum-world-14)) — e cuja intensidade deveria fixar a [energia](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/9-energia-formas-e-conservacao#def-g10-energy-conservation-energy) dos elétrons: as três previsões falham.

**Demonstração.** *Admitido neste nível.* ∎

**Teorema 34.4 (Relação fotoelétrica de Einstein).**

Um elétron precisa de pelo menos a *função trabalho* $W_0$ do metal para escapar da superfície dele. Um [fóton](#def-g12-quantum-world-photon) é absorvido inteiro por um elétron, de modo que

$$
h\nu = W_0 + E_{k,\max}, \qquad \text{e portanto } \nu_0 = \frac{W_0}{h}.
$$

**Demonstração.** Contabilidade de [energia](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/9-energia-formas-e-conservacao#def-g10-energy-conservation-energy): entra $h\nu$, gasta-se $W_0$ na saída e o resto é cinético — no máximo $h\nu - W_0$, e menos para elétrons que partem de mais fundo. Abaixo de $\nu_0$ um grão não consegue pagar o pedágio de saída, seja qual for o número deles. ∎

**Definição 34.5 (Potencial de corte).**

Para medir $E_{k,\max}$, uma tensão reversa freia os elétrons ([Capítulo 14](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/14-campos-eletrico-e-gravitacional#ch-g11-electric-gravitational-fields)); o *potencial de corte* $U_s$ é a menor tensão que anula a corrente: os elétrons mais rápidos por pouco não conseguem atravessar, de modo que $E_{k,\max} = e\,U_s$.

![E_k, = eU_s medido contra a frequência (sódio): uma reta de inclinação h, cortando o eixo em _0; extrapolada (tracejado), ela revela -W_0 em = 0.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g12-quantum-world/fig-bbf94966f615.svg)

*$E_{k,\max} = eU_s$ medido contra a [frequência](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/28-osciladores-mecanicos-e-a-medida-do-tempo#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) (sódio): uma reta de inclinação $h$, cortando o eixo em $\nu_0$; extrapolada (tracejado), ela revela $-W_0$ em $\nu = 0$.*

**Método 34.6 (Medir a constante de Planck).**

1. Ilumine uma célula fotoelétrica através de [filtros](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/11-cor-e-fontes-de-luz#def-g11-color-light-sources-subtractive) de [comprimentos de onda](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/20-ondas-mecanicas#def-g12-mechanical-waves-wavelength) conhecidos; calcule cada $\nu = c/\lambda$ ; registre cada [potencial de corte](#def-g12-quantum-world-stopping) .
2. Trace $E_{k,\max} = eU_s$ contra $\nu$ : Einstein promete a reta $h\nu - W_0$ .
3. Leia a inclinação: ela *é* $h$ ; os interceptos dão $\nu_0$ e $-W_0$ .

## 34.3 Níveis de energia: por que os átomos emitem linhas

**Definição 34.7 (Níveis de energia).**

A [energia](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/9-energia-formas-e-conservacao#def-g10-energy-conservation-energy) de um elétron ligado num [átomo](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/13-as-interacoes-fundamentais#def-g11-fundamental-interactions-ladder) é *quantizada*: restrita a uma escada discreta de *níveis de energia* $E_1 < E_2 < \dots < 0$, contados negativos a partir do elétron livre. O degrau mais baixo é o *estado fundamental*, e os outros são *estados excitados*; chegar a $0$ é a *ionização*.

**Proposição 34.8 (A escada do hidrogênio).**

Os [níveis de energia](#def-g12-quantum-world-levels) do [átomo](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/13-as-interacoes-fundamentais#def-g11-fundamental-interactions-ladder) de hidrogênio são

$$
E_n = -\frac{13.6\,\mathrm{eV}}{n^2}, \qquad n = 1, 2, 3, \dots
$$

de modo que $E_1 = -13.6\,\mathrm{eV}$, $E_2 = -3.40\,\mathrm{eV}$, $E_3 = -1.51\,\mathrm{eV}$, $E_4 = -0.85\,\mathrm{eV}$, amontoando-se rumo a $0$.

**Demonstração.** *Admitido neste nível.* ∎

**Observação 34.9 (De onde vem a escada).**

Por que esses números é mecânica quântica, guardada para os volumes universitários — assim como a fórmula de de Broglie: a [onda de matéria](#def-g12-quantum-world-debroglie) do elétron ([Definição 34.15](#def-g12-quantum-world-debroglie), adiante) precisa se fechar sobre si mesma em torno do [núcleo](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/13-as-interacoes-fundamentais#def-g11-fundamental-interactions-ladder), e só certos [comprimentos de onda](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/20-ondas-mecanicas#def-g12-mechanical-waves-wavelength) cabem — como uma corda de violão, um [átomo](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/13-as-interacoes-fundamentais#def-g11-fundamental-interactions-ladder) tem um conjunto discreto de notas.

**Teorema 34.10 (O fóton de uma transição).**

Um [átomo](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/13-as-interacoes-fundamentais#def-g11-fundamental-interactions-ladder) muda de nível apenas emitindo ou absorvendo um [fóton](#def-g12-quantum-world-photon) que carrega exatamente a diferença: cair do nível $p$ para um nível mais baixo $n$ emite $h\nu = E_p - E_n$; subir de $n$ até $p$ absorve essa mesma [energia](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/9-energia-formas-e-conservacao#def-g10-energy-conservation-energy).

**Demonstração.** [Conservação da energia](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/9-energia-formas-e-conservacao#thm-g10-energy-conservation-conservation), um grão de cada vez: o [fóton](#def-g12-quantum-world-photon) é a única moeda que a luz aceita, e os livros do [átomo](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/13-as-interacoes-fundamentais#def-g11-fundamental-interactions-ladder) precisam fechar. ∎

**Observação 34.11 (Espectros de linhas explicados).**

Aqui está a resposta prometida pelo [Capítulo 2](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/2-espectros-luminosos-e-a-mensagem-da-luz#ch-g10-light-spectra): um gás quente emite apenas as [frequências](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/28-osciladores-mecanicos-e-a-medida-do-tempo#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) $(E_p - E_n)/h$ da escada dele — um código de barras de linhas brilhantes — e um gás frio rouba exatamente essas [frequências](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/28-osciladores-mecanicos-e-a-medida-do-tempo#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) da [luz branca](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/2-espectros-luminosos-e-a-mensagem-da-luz#def-g10-light-spectra-white), imprimindo linhas escuras de absorção que casam com elas. Cada elemento tem a escada dele, e portanto o código de barras dele — é assim que lemos a luz das estrelas.

**Exemplo 34.12 (As linhas visíveis do hidrogênio).**

As transições que terminam em $n = 2$ caem no visível. Com $E \,(\mathrm{eV}) = 1240/\lambda\,(\mathrm{nm})$: $3 \to 2$: $1.89\,\mathrm{eV}$, $656\,\mathrm{nm}$ (vermelho); $4 \to 2$: $2.55\,\mathrm{eV}$, $486\,\mathrm{nm}$ (verde-azulado); $5 \to 2$: $2.86\,\mathrm{eV}$, $434\,\mathrm{nm}$ (violeta). As transições para $n = 1$ passam de $10\,\mathrm{eV}$: todas [ultravioleta](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/2-espectros-luminosos-e-a-mensagem-da-luz#def-g10-light-spectra-wavelength).

![A escada do hidrogênio, em escala: as linhas visíveis terminam todas em n = 2; a queda até o estado fundamental é ultravioleta profundo.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g12-quantum-world/fig-44c49806c1ae.svg)

*A escada do hidrogênio, em escala: as linhas visíveis terminam todas em $n = 2$; a queda até o [estado fundamental](#def-g12-quantum-world-levels) é [ultravioleta](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/2-espectros-luminosos-e-a-mensagem-da-luz#def-g10-light-spectra-wavelength) profundo.*

**Observação 34.13 (Lasers, num fôlego só).**

Um [fóton](#def-g12-quantum-world-photon) de exatamente $E_p - E_n$ que passe por um [átomo](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/13-as-interacoes-fundamentais#def-g11-fundamental-interactions-ladder) *excitado* pode provocá-lo a emitir um [fóton](#def-g12-quantum-world-photon) idêntico — mesma [energia](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/9-energia-formas-e-conservacao#def-g10-energy-conservation-energy), mesma direção, em compasso. Mantenha mais [átomos](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/13-as-interacoes-fundamentais#def-g11-fundamental-interactions-ladder) em cima do que embaixo e um [fóton](#def-g12-quantum-world-photon) vira uma avalanche de clones: *emissão estimulada* — e um [laser](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/11-cor-e-fontes-de-luz#def-g11-color-light-sources-lamps) é pouco mais do que isso.

## 34.4 Ondas de matéria

**Proposição 34.14 (Os elétrons interferem).**

Mande elétrons um a um por uma fenda dupla ([Capítulo 22](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/22-a-luz-como-onda-difracao-e-interferencia#ch-g12-light-as-wave)): cada um chega como um ponto nítido — uma partícula. Mas, à medida que milhares se acumulam, os pontos desenham [franjas de interferência](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/22-a-luz-como-onda-difracao-e-interferencia#def-g12-light-as-wave-fringes): cada elétron, sozinho, passa como [onda](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/8-sinais-e-ondas#def-g10-signals-and-waves-wave) pelas *duas* fendas. Cristais também difratam feixes de elétrons (Davisson e Germer, 1927).

**Demonstração.** *Admitido neste nível.* ∎

![Um elétron, um ponto; milhares, franjas. Onde o próximo ponto cai é aleatório — como o decaimento de um núcleo () — mas a onda fixa a probabilidade: franja clara, provável; escura, quase nunca. O acaso individual governado por uma onda exata: o coração da física quântica.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g12-quantum-world/fig-24ce5d3fd2de.svg)

*Um elétron, um ponto; milhares, franjas. Onde o próximo ponto cai é aleatório — como o decaimento de um [núcleo](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/13-as-interacoes-fundamentais#def-g11-fundamental-interactions-ladder) ([Capítulo 19](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/19-o-nucleo-e-a-radioatividade#ch-g11-nucleus-radioactivity)) — mas a [onda](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/8-sinais-e-ondas#def-g10-signals-and-waves-wave) fixa a *probabilidade*: franja clara, provável; escura, quase nunca. O acaso individual governado por uma [onda](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/8-sinais-e-ondas#def-g10-signals-and-waves-wave) exata: o coração da física quântica.*

**Definição 34.15 (Comprimento de onda de de Broglie).**

Toda partícula de [quantidade de movimento](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/25-as-leis-de-newton#def-g12-newtons-laws-momentum) $p = mv$ viaja como uma *onda de matéria* de *comprimento de onda de de Broglie*

$$
\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{mv}.
$$

**Demonstração.** *Admitido neste nível.* ∎

**Exemplo 34.16 (Por que você nunca difrata).**

Um elétron acelerado por $100\,\mathrm{V}$ tem $E_k = 1.60 \times 10^{-17}\,\mathrm{J}$ e $p = \sqrt{2m_e E_k} = 5.4 \times 10^{-24}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, de modo que $\lambda \approx 0.12\,\mathrm{nm}$ — o espaçamento dos [átomos](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/13-as-interacoes-fundamentais#def-g11-fundamental-interactions-ladder) num cristal, que por isso funciona como a fenda dupla dele. Uma bola de tênis de $58\,\mathrm{g}$ a $25\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$: $\lambda = 6.63\times10^{-34}/1.45 \approx 4.6 \times 10^{-34}\,\mathrm{m}$, umas $10^{19}$ vezes menor do que um [núcleo](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/13-as-interacoes-fundamentais#def-g11-fundamental-interactions-ladder) — fenda alguma jamais a mostrará em franjas. O $h$ é tão pequeno que a granulosidade quântica só vem à tona na escala do [átomo](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/13-as-interacoes-fundamentais#def-g11-fundamental-interactions-ladder).

**Exemplo 34.17 (O microscópio eletrônico).**

A [difração](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/22-a-luz-como-onda-difracao-e-interferencia#def-g12-light-as-wave-diffraction) proíbe resolver detalhes muito menores do que o [comprimento de onda](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/20-ondas-mecanicas#def-g12-mechanical-waves-wavelength) usado ([Capítulo 22](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/22-a-luz-como-onda-difracao-e-interferencia#ch-g12-light-as-wave)): a luz visível para perto de $0.5\,\text{µ}\mathrm{m}$. Elétrons a $10\,\mathrm{kV}$ têm $\lambda \approx 12\,\mathrm{pm}$ — dezenas de milhares de vezes menor: os microscópios eletrônicos fotografam vírus, a maquinaria da célula e até [átomos](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/13-as-interacoes-fundamentais#def-g11-fundamental-interactions-ladder) isolados. A [onda de matéria](#def-g12-quantum-world-debroglie) entregou à física um olho novo.

## 34.5 Exercícios

**Exercício 34.1 ★.**

Um apontador [laser](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/11-cor-e-fontes-de-luz#def-g11-color-light-sources-lamps) verde emite $1.0\,\mathrm{mW}$ em $530\,\mathrm{nm}$. Calcule a [energia](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/9-energia-formas-e-conservacao#def-g10-energy-conservation-energy) de um [fóton](#def-g12-quantum-world-photon) em [joules](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/17-trabalho-de-uma-forca#def-g11-work-of-force-work) e em [elétron-volts](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/33-energia-nuclear-fissao-fusao-e-mc2#def-g12-nuclear-energy-units), e depois os [fótons](#def-g12-quantum-world-photon) por segundo.

**Solução de Exercício 34.1.**

$E = hc/\lambda = 1.99 \times 10^{-25}/5.30 \times 10^{-7} = 3.75 \times 10^{-19}\,\mathrm{J} =
2.35\,\mathrm{eV}$. $N = 1.0 \times 10^{-3}/3.75 \times 10^{-19} \approx 2.7 \times 10^{15}$ [fótons](#def-g12-quantum-world-photon) por segundo.

**Exercício 34.2 ★.**

Uma estação de FM transmite a $100\,\mathrm{MHz}$. Calcule a [energia](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/9-energia-formas-e-conservacao#def-g10-energy-conservation-energy) do [fóton](#def-g12-quantum-world-photon) dela em $\mathrm{eV}$ e compare com a de um [fóton](#def-g12-quantum-world-photon) visível: por que a granulosidade do rádio é indetectável?

**Solução de Exercício 34.2.**

$E = h\nu = 6.63\times10^{-34} \times 10^{8} = 6.63 \times 10^{-26}\,\mathrm{J} \approx
4.1 \times 10^{-7}\,\mathrm{eV}$ — cerca de cinco milhões de vezes menos do que um [fóton](#def-g12-quantum-world-photon) visível. Qualquer [sinal](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/8-sinais-e-ondas#def-g10-signals-and-waves-signal) de rádio detectável envolve tantos [fótons](#def-g12-quantum-world-photon) por segundo que o fluxo é perfeitamente liso.

**Exercício 34.3 ★.**

O césio tem $W_0 = 1.9\,\mathrm{eV}$. Calcule a [frequência](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/28-osciladores-mecanicos-e-a-medida-do-tempo#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) e o [comprimento de onda](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/20-ondas-mecanicas#def-g12-mechanical-waves-wavelength) de corte dele. Um [laser](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/11-cor-e-fontes-de-luz#def-g11-color-light-sources-lamps) vermelho de $633\,\mathrm{nm}$ arranca elétrons do césio — e, se arranca, com que [energia cinética](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/18-energia-mecanica-e-sua-conservacao#def-g11-mechanical-energy-kinetic) máxima?

**Solução de Exercício 34.3.**

$\nu_0 = W_0/h = 3.04 \times 10^{-19}/6.63 \times 10^{-34} \approx 4.6 \times 10^{14}\,\mathrm{Hz}$; $\lambda_0 = c/\nu_0 \approx 654\,\mathrm{nm}$. Em $633\,\mathrm{nm}$, $E = 1240/633 = 1.96\,\mathrm{eV} > 1.9\,\mathrm{eV}$: sim, por pouco, com $E_{k,\max} \approx 0.06\,\mathrm{eV} \approx 1 \times 10^{-20}\,\mathrm{J}$.

**Exercício 34.4 ★.**

Usando $E_n = -13.6/n^2$ $\mathrm{eV}$, calcule a [energia](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/9-energia-formas-e-conservacao#def-g10-energy-conservation-energy) e o [comprimento de onda](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/20-ondas-mecanicas#def-g12-mechanical-waves-wavelength) do [fóton](#def-g12-quantum-world-photon) emitido na transição $3 \to 2$ do hidrogênio. Qual é a cor dele?

**Solução de Exercício 34.4.**

$E_3 - E_2 = -1.51 + 3.40 = 1.89\,\mathrm{eV}$; $\lambda = 1240/1.89 \approx 656\,\mathrm{nm}$: a linha vermelha.

**Exercício 34.5 ★.**

No gráfico de $E_{k,\max}$ contra $\nu$ do curso, leia a [frequência de corte](#prop-g12-quantum-world-facts) e a [função trabalho](#thm-g12-quantum-world-einstein) do sódio (em $\mathrm{eV}$); que constante é a inclinação?

**Solução de Exercício 34.5.**

$\nu_0 \approx 5.6 \times 10^{14}\,\mathrm{Hz}$; $W_0 = h\nu_0 \approx 3.7 \times 10^{-19}\,\mathrm{J} \approx 2.3\,\mathrm{eV}$ (o intercepto $-W_0$). A inclinação é a [constante de Planck](#def-g12-quantum-world-photon) $h$.

**Exercício 34.6 ★★.**

Luz de [comprimento de onda](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/20-ondas-mecanicas#def-g12-mechanical-waves-wavelength) $400\,\mathrm{nm}$ incide sobre potássio ($W_0 = 2.3\,\mathrm{eV}$). Calcule a [energia](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/9-energia-formas-e-conservacao#def-g10-energy-conservation-energy) do [fóton](#def-g12-quantum-world-photon), a [energia cinética](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/18-energia-mecanica-e-sua-conservacao#def-g11-mechanical-energy-kinetic) máxima dos elétrons (em $\mathrm{eV}$ e em [joules](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/17-trabalho-de-uma-forca#def-g11-work-of-force-work)) e o [potencial de corte](#def-g12-quantum-world-stopping).

**Solução de Exercício 34.6.**

$E = 1240/400 = 3.10\,\mathrm{eV}$; $E_{k,\max} = 3.10 - 2.3 = 0.80\,\mathrm{eV} = 1.3 \times 10^{-19}\,\mathrm{J}$; $U_s = E_{k,\max}/e = 0.80\,\mathrm{V}$.

**Exercício 34.7 ★★.**

Uma célula fotoelétrica é iluminada acima do corte. O que acontece com (a) a corrente e (b) o [potencial de corte](#def-g12-quantum-world-stopping) quando a intensidade é dobrada com a [frequência](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/28-osciladores-mecanicos-e-a-medida-do-tempo#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) fixa? E quando a [frequência](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/28-osciladores-mecanicos-e-a-medida-do-tempo#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) é elevada? Que fato contradiz a imagem ondulatória, e por quê?

**Solução de Exercício 34.7.**

Intensidade dobrada: a corrente dobra (o dobro de [fótons](#def-g12-quantum-world-photon)) e $U_s$ não muda (mesma [energia](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/9-energia-formas-e-conservacao#def-g10-energy-conservation-energy) por [fóton](#def-g12-quantum-world-photon)). [Frequência](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/28-osciladores-mecanicos-e-a-medida-do-tempo#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) elevada: $U_s$ sobe, pois $E_{k,\max} = h\nu - W_0$. A imagem ondulatória amarra a [energia](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/9-energia-formas-e-conservacao#def-g10-energy-conservation-energy) dos elétrons à intensidade, e não à [frequência](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/28-osciladores-mecanicos-e-a-medida-do-tempo#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) — exatamente o que *não* se observa.

**Exercício 34.8 ★★.**

Que [energia](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/9-energia-formas-e-conservacao#def-g10-energy-conservation-energy) mínima de [fóton](#def-g12-quantum-world-photon) ioniza um [átomo](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/13-as-interacoes-fundamentais#def-g11-fundamental-interactions-ladder) de hidrogênio a partir do [estado fundamental](#def-g12-quantum-world-levels)? E a partir de $n = 2$? Calcule os dois [comprimentos de onda](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/20-ondas-mecanicas#def-g12-mechanical-waves-wavelength) de corte e nomeie os domínios espectrais deles.

**Solução de Exercício 34.8.**

A partir de $n = 1$: $13.6\,\mathrm{eV}$, $\lambda = 1240/13.6 \approx 91\,\mathrm{nm}$, [ultravioleta](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/2-espectros-luminosos-e-a-mensagem-da-luz#def-g10-light-spectra-wavelength) distante. A partir de $n = 2$: $3.40\,\mathrm{eV}$, $\lambda \approx 365\,\mathrm{nm}$, [ultravioleta](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/2-espectros-luminosos-e-a-mensagem-da-luz#def-g10-light-spectra-wavelength) próximo.

**Exercício 34.9 ★★.**

[Luz branca](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/2-espectros-luminosos-e-a-mensagem-da-luz#def-g10-light-spectra-white) atravessa um frasco de hidrogênio frio (todos os [átomos](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/13-as-interacoes-fundamentais#def-g11-fundamental-interactions-ladder) no [estado fundamental](#def-g12-quantum-world-levels)). Explique por que o [espectro](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/21-som-e-acustica#def-g12-sound-acoustics-timbre) transmitido *não* mostra linha escura alguma no visível, e ainda assim as linhas de absorção de Balmer aparecem nos [espectros](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/21-som-e-acustica#def-g12-sound-acoustics-timbre) de estrelas quentes.

**Solução de Exercício 34.9.**

Do [estado fundamental](#def-g12-quantum-world-levels) o menor salto custa $E_2 - E_1 = 10.2\,\mathrm{eV}$ ($122\,\mathrm{nm}$): toda linha de absorção é [ultravioleta](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/2-espectros-luminosos-e-a-mensagem-da-luz#def-g10-light-spectra-wavelength), nenhuma é visível. Numa atmosfera estelar quente as colisões mantêm alguns [átomos](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/13-as-interacoes-fundamentais#def-g11-fundamental-interactions-ladder) em $n = 2$, de onde [fótons](#def-g12-quantum-world-photon) visíveis de Balmer ($1.89\text{ to }3.40\,\mathrm{eV}$) podem ser absorvidos.

**Exercício 34.10 ★★.**

Calcule o [comprimento de onda de de Broglie](#def-g12-quantum-world-debroglie) (a) de um elétron acelerado por $100\,\mathrm{V}$; (b) de uma mosca de $0.10\,\mathrm{g}$ a $1.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Compare cada um com o tamanho de um [átomo](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/13-as-interacoes-fundamentais#def-g11-fundamental-interactions-ladder) ($\sim 10^{-10}\,\mathrm{m}$); conclua.

**Solução de Exercício 34.10.**

(a) $E_k = 1.6 \times 10^{-17}\,\mathrm{J}$, $p = \sqrt{2m_e E_k} = 5.4 \times 10^{-24}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $\lambda = h/p \approx 1.2 \times 10^{-10}\,\mathrm{m}$ — do tamanho de um [átomo](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/13-as-interacoes-fundamentais#def-g11-fundamental-interactions-ladder): os cristais o difratam. (b) $p = 1.0 \times 10^{-4} \times 1.0 =
1.0 \times 10^{-4}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $\lambda \approx 6.6 \times 10^{-30}\,\mathrm{m}$ — $10^{20}$ vezes menor do que um [átomo](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/13-as-interacoes-fundamentais#def-g11-fundamental-interactions-ladder): a [onda](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/8-sinais-e-ondas#def-g10-signals-and-waves-wave) da mosca é para sempre invisível.

**Exercício 34.11 ★★.**

Um olho adaptado ao escuro responde a cerca de $90$ [fótons](#def-g12-quantum-world-photon) de luz de $505\,\mathrm{nm}$. Calcule essa [energia](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/9-energia-formas-e-conservacao#def-g10-energy-conservation-energy), compare-a com a [energia cinética](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/18-energia-mecanica-e-sua-conservacao#def-g11-mechanical-energy-kinetic) de um mosquito de $2.5\,\mathrm{mg}$ voando a $0.50\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ e interprete a razão.

**Solução de Exercício 34.11.**

Um [fóton](#def-g12-quantum-world-photon): $1.99 \times 10^{-25}/5.05 \times 10^{-7} = 3.94 \times 10^{-19}\,\mathrm{J}$; noventa: $\approx 3.5 \times 10^{-17}\,\mathrm{J}$. O mosquito: $\tfrac12 \times 2.5 \times 10^{-6} \times 0.50^2 = 3.1 \times 10^{-7}\,\mathrm{J}$ — $10^{10}$ vezes mais. O olho trabalha a cem grãos do limite absoluto: quase um contador de [fótons](#def-g12-quantum-world-photon).

**Exercício 34.12 ★★★.**

Uma célula fotoelétrica dá $U_s = 1.19\,\mathrm{V}$ em $405\,\mathrm{nm}$ e $U_s = 0.40\,\mathrm{V}$ em $546\,\mathrm{nm}$. A partir desses dois pontos, meça $h$ e depois a [função trabalho](#thm-g12-quantum-world-einstein) em $\mathrm{eV}$. Que metal deste capítulo é o cátodo?

**Solução de Exercício 34.12.**

$\nu_1 = 7.41 \times 10^{14}\,\mathrm{Hz}$, $\nu_2 = 5.49 \times 10^{14}\,\mathrm{Hz}$; $h = e\,\Delta U_s/\Delta\nu = 1.60 \times 10^{-19} \times 0.79 /
1.91 \times 10^{14} \approx 6.6 \times 10^{-34}\,\mathrm{J}\,\mathrm{s}$. $W_0 = h\nu_2 - eU_{s,2} = 3.63 \times 10^{-19} - 0.64 \times 10^{-19} =
3.0 \times 10^{-19}\,\mathrm{J} \approx 1.9\,\mathrm{eV}$: césio.

**Exercício 34.13 ★★★.**

Uma lâmpada de hidrogênio mostra linhas em $486\,\mathrm{nm}$ e $434\,\mathrm{nm}$. Converta cada uma numa [energia](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/9-energia-formas-e-conservacao#def-g10-energy-conservation-energy) de [fóton](#def-g12-quantum-world-photon) e identifique as duas transições casando diferenças dos níveis $E_n = -13.6/n^2$ $\mathrm{eV}$.

**Solução de Exercício 34.13.**

$1240/486 = 2.55\,\mathrm{eV} = E_4 - E_2 = 3.40 - 0.85$: transição $4 \to 2$. $1240/434 = 2.86\,\mathrm{eV} = E_5 - E_2 = 3.40 - 0.54$: transição $5 \to 2$.

**Exercício 34.14 ★★★.**

Estimativa clássica do [atraso](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/20-ondas-mecanicas#def-g12-mechanical-waves-delay): luz fraca, de intensidade $1.0 \times 10^{-6}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$, incide sobre potássio ($W_0 = 2.3\,\mathrm{eV}$). Se um [átomo](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/13-as-interacoes-fundamentais#def-g11-fundamental-interactions-ladder) coletasse apenas a [energia](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/9-energia-formas-e-conservacao#def-g10-energy-conservation-energy) que atravessa a seção reta dele (raio $1.0 \times 10^{-10}\,\mathrm{m}$), quanto tempo levaria para juntar $W_0$? Compare com o [atraso](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/20-ondas-mecanicas#def-g12-mechanical-waves-delay) observado (menos de $10^{-9}\,\mathrm{s}$).

**Solução de Exercício 34.14.**

Seção reta $\pi r^2 \approx 3.1 \times 10^{-20}\,\mathrm{m}^{2}$, [potência](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/17-trabalho-de-uma-forca#def-g11-work-of-force-power) coletada $3.1 \times 10^{-26}\,\mathrm{W}$; $t = 3.7 \times 10^{-19}/3.1 \times 10^{-26} \approx 1.2 \times 10^{7}\,\mathrm{s}$ — quatro meses, contra menos de um nanossegundo observado. A [energia](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/9-energia-formas-e-conservacao#def-g10-energy-conservation-energy) não pode estar espalhada pela [frente de onda](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/20-ondas-mecanicas#def-g12-mechanical-waves-wavefront): ela viaja concentrada, em grãos.

**Exercício 34.15 ★★★.**

Num microscópio eletrônico os elétrons são acelerados por $5.0\,\mathrm{kV}$. Calcule o [comprimento de onda de de Broglie](#def-g12-quantum-world-debroglie) deles, compare-o com o da luz verde ($550\,\mathrm{nm}$) e explique, pela [difração](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/22-a-luz-como-onda-difracao-e-interferencia#def-g12-light-as-wave-diffraction) ([Capítulo 22](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/22-a-luz-como-onda-difracao-e-interferencia#ch-g12-light-as-wave)), por que isso compra resolução.

**Solução de Exercício 34.15.**

$E_k = 8.0 \times 10^{-16}\,\mathrm{J}$, $p = \sqrt{2m_e E_k} = 3.8 \times 10^{-23}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $\lambda = h/p \approx 1.7 \times 10^{-11}\,\mathrm{m} = 17\,\mathrm{pm}$ — cerca de $3 \times 10^{4}$ vezes menor do que $550\,\mathrm{nm}$. A [difração](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/22-a-luz-como-onda-difracao-e-interferencia#def-g12-light-as-wave-diffraction) borra detalhes menores do que $\sim\lambda$, de modo que encolher $\lambda$ por $10^4$ compra $10^4$ em resolução.

## 34.6 Problema: o laboratório de física do painel solar

**Problema 34.1.**

Problema de fim de semana — o laboratório de física do painel solar: os $10^{21}$ grãos que um telhado bebe a cada segundo, uma célula fotoelétrica que mede a [constante de Planck](#def-g12-quantum-world-photon), uma lâmpada de hidrogênio lida linha a linha — um fim de semana, um $h$

A sua turma instrumenta o painel solar do telhado da escola por um fim de semana. Dados: irradiância solar ao meio-dia $1.0 \times 10^{3}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$; [comprimento de onda](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/20-ondas-mecanicas#def-g12-mechanical-waves-wavelength) solar médio $550\,\mathrm{nm}$; área do painel $1.0\,\mathrm{m}^{2}$, [rendimento](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/9-energia-formas-e-conservacao#def-g10-energy-conservation-efficiency) $20\%$; o dia entrega o equivalente a $5.0\,\mathrm{h}$ de sol pleno.

**Parte I — Contabilidade de [fótons](#def-g12-quantum-world-photon).**

1. Calcule a [energia](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/9-energia-formas-e-conservacao#def-g10-energy-conservation-energy) de um [fóton](#def-g12-quantum-world-photon) solar médio, em [joules](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/17-trabalho-de-uma-forca#def-g11-work-of-force-work) e em [elétron-volts](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/33-energia-nuclear-fissao-fusao-e-mc2#def-g12-nuclear-energy-units) .
2. Deduza o número de [fótons](#def-g12-quantum-world-photon) que atingem o painel por segundo ao meio-dia.
3. Calcule a [potência elétrica](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/12-circuitos-eletricos-e-potencia#prop-g11-circuits-and-power-power) do painel ao meio-dia e depois a [energia](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/9-energia-formas-e-conservacao#def-g10-energy-conservation-energy) produzida ao longo do dia, em $\mathrm{kW}\,\mathrm{h}$ .
4. A corrente do painel parece perfeitamente lisa. Usando a questão 2, explique por que a chegada grão a grão é invisível.
5. A luz do Sol carrega mais [energia](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/9-energia-formas-e-conservacao#def-g10-energy-conservation-energy) infravermelha do que [ultravioleta](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/2-espectros-luminosos-e-a-mensagem-da-luz#def-g10-light-spectra-wavelength) e, ainda assim, só a [ultravioleta](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/2-espectros-luminosos-e-a-mensagem-da-luz#def-g10-light-spectra-wavelength) queima a pele (ligações de $3\text{ to }4\,\mathrm{eV}$ ). Explique em termos de grãos.

**Parte II — Medir $h$ com a célula fotoelétrica do kit.** A célula fotoelétrica do kit tem um cátodo desconhecido. Os [filtros](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/11-cor-e-fontes-de-luz#def-g11-color-light-sources-subtractive) dão:

| $\lambda$ ($\mathrm{nm}$) | 365 | 405 | 436 | 546 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| $U_s$ ($\mathrm{V}$) | 1.50 | 1.16 | 0.94 | 0.37 |

6. O que o [potencial de corte](#def-g12-quantum-world-stopping) mede? Relacione $U_s$ , $\nu$ , $W_0$ e $h$ .
7. Converta os quatro [comprimentos de onda](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/20-ondas-mecanicas#def-g12-mechanical-waves-wavelength) em [frequências](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/28-osciladores-mecanicos-e-a-medida-do-tempo#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) (em $10^{14}\,\mathrm{Hz}$ ).
8. Por que traçar $eU_s$ contra $\nu$ deve dar uma reta? Verifique o alinhamento dos pontos.
9. A partir dos pontos extremos, calcule a inclinação: o seu $h$ medido.
10. Deduza a [função trabalho](#thm-g12-quantum-world-einstein) do cátodo (em $\mathrm{eV}$ ), a [frequência de corte](#prop-g12-quantum-world-facts) e o [comprimento de onda](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/20-ondas-mecanicas#def-g12-mechanical-waves-wavelength) de corte.
11. Que parte da luz do Sol conseguiria arrancar elétrons desse cátodo — e que metade do [espectro](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/21-som-e-acustica#def-g12-sound-acoustics-timbre) é inútil para ele?
12. Compare o seu $h$ com $6.63 \times 10^{-34}\,\mathrm{J}\,\mathrm{s}$ : qual é o erro relativo, em porcentagem?

**Parte III — A lâmpada de hidrogênio de calibração.** A escala de [comprimentos de onda](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/20-ondas-mecanicas#def-g12-mechanical-waves-wavelength) do kit é conferida contra uma lâmpada de hidrogênio, $E_n = -13.6/n^2$ $\mathrm{eV}$.

13. Calcule $E_2$ , $E_3$ , $E_4$ e $E_5$ .
14. Calcule as [energias](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/9-energia-formas-e-conservacao#def-g10-energy-conservation-energy) dos [fótons](#def-g12-quantum-world-photon) das transições $3 \to 2$ , $4 \to 2$ e $5 \to 2$ .
15. Deduza os três [comprimentos de onda](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/20-ondas-mecanicas#def-g12-mechanical-waves-wavelength) e dê a cor de cada linha.
16. Por que a lâmpada emite *linhas* em vez de um arco-íris contínuo? Em uma frase, nomeando a ideia-chave.
17. O hidrogênio da lâmpada conseguiria absorver luz em $500\,\mathrm{nm}$ ? Justifique com a escada.

**Parte IV — Inspecionar as células: a [onda](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/8-sinais-e-ondas#def-g10-signals-and-waves-wave) do elétron.** Microfissuras numa célula ficam muito abaixo do [alcance](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/26-queda-livre-e-lancamento-de-projeteis#def-g12-projectile-motion-range) de $0.5\,\text{µ}\mathrm{m}$ dos microscópios ópticos; o microscópio eletrônico de varredura do laboratório opera a $10\,\mathrm{kV}$.

18. Calcule a velocidade dos elétrons; verifique que ela fica abaixo de $0.25\,c$ (fórmula clássica).
19. Calcule a [quantidade de movimento](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/25-as-leis-de-newton#def-g12-newtons-laws-momentum) e o [comprimento de onda de de Broglie](#def-g12-quantum-world-debroglie) deles.
20. A resolução acompanha o [comprimento de onda](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/20-ondas-mecanicas#def-g12-mechanical-waves-wavelength) : calcule o ganho em relação à luz verde ( $550\,\mathrm{nm}$ ); conclua com os dois números do fim de semana — o seu $h$ e esse ganho.

**Solução de Problema 34.1.**

**1.** $E = hc/\lambda = 1.99 \times 10^{-25}/5.50 \times 10^{-7} =
3.62 \times 10^{-19}\,\mathrm{J} = 2.26\,\mathrm{eV}$.

**2.** $N = 1.0 \times 10^{3}/3.62 \times 10^{-19} \approx 2.8 \times 10^{21}$ [fótons](#def-g12-quantum-world-photon) por segundo.

**3.** $P = 0.20 \times 1.0 \times 10^{3}\,\mathrm{W} = 200\,\mathrm{W}$; $E = 200 \times 5.0 = 1.0\,\mathrm{kW}\,\mathrm{h}$ ($3.6 \times 10^{6}\,\mathrm{J}$).

**4.** Com $10^{21}$ grãos por segundo, a tremulação estatística é fantasticamente pequena: a granulosidade se promedia numa corrente perfeitamente lisa, como areia derramada depressa escorre feito água.

**5.** O dano exige um grão de $3\text{ to }4\,\mathrm{eV}$: os grãos [ultravioleta](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/2-espectros-luminosos-e-a-mensagem-da-luz#def-g10-light-spectra-wavelength) se qualificam, e os [infravermelhos](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/2-espectros-luminosos-e-a-mensagem-da-luz#def-g10-light-spectra-wavelength) ($\sim 0.1\,\mathrm{eV}$) nunca — número nenhum substitui a pancada por grão.

**6.** $U_s$ é a tensão reversa que por pouco detém os elétrons mais rápidos: $eU_s = E_{k,\max} = h\nu - W_0$.

**7.** $\nu = c/\lambda$: $8.22$, $7.41$, $6.88$ e $5.49$ $\times\,10^{14}\,\mathrm{Hz}$.

**8.** $eU_s = h\nu - W_0$ é afim em $\nu$, com inclinação $h$. Inclinações sucessivas: $(0.94 - 0.37)/1.39 = 0.41$ e $(1.50 - 0.94)/1.34 = 0.42$ $\mathrm{eV}$ por $10^{14}\,\mathrm{Hz}$ — os três pontos se alinham.

**9.** $h = e(U_{s,1}-U_{s,4})/(\nu_1-\nu_4) = 1.60 \times 10^{-19}
\times 1.13/2.72 \times 10^{14} = 6.64 \times 10^{-34}\,\mathrm{J}\,\mathrm{s}$.

**10.** Em $546\,\mathrm{nm}$: $W_0 = h\nu - eU_s = 3.64 \times 10^{-19} - 0.59 \times 10^{-19} =
3.05 \times 10^{-19}\,\mathrm{J} = 1.90\,\mathrm{eV}$; $\nu_0 = W_0/h = 4.60 \times 10^{14}\,\mathrm{Hz}$; $\lambda_0 \approx 653\,\mathrm{nm}$.

**11.** Só $\lambda < 653\,\mathrm{nm}$ arranca elétrons: o visível do violeta ao vermelho e o [ultravioleta](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/2-espectros-luminosos-e-a-mensagem-da-luz#def-g10-light-spectra-wavelength). Todo o lado [infravermelho](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/2-espectros-luminosos-e-a-mensagem-da-luz#def-g10-light-spectra-wavelength) — grosso modo metade da [energia](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/9-energia-formas-e-conservacao#def-g10-energy-conservation-energy) do Sol — é inútil para esse cátodo.

**12.** $(6.64 - 6.63)/6.63 \approx 0.2\%$ — uma medida de laboratório escolar de uma constante universal com dois por mil de erro.

**13.** $E_2 = -3.40\,\mathrm{eV}$, $E_3 = -1.51\,\mathrm{eV}$, $E_4 = -0.85\,\mathrm{eV}$, $E_5 = -0.54\,\mathrm{eV}$.

**14.** $3 \to 2$: $1.89\,\mathrm{eV}$; $4 \to 2$: $2.55\,\mathrm{eV}$; $5 \to 2$: $2.86\,\mathrm{eV}$.

**15.** $\lambda = 1240/E$: $656\,\mathrm{nm}$ (vermelho), $486\,\mathrm{nm}$ (verde-azulado), $434\,\mathrm{nm}$ (violeta).

**16.** As [energias](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/9-energia-formas-e-conservacao#def-g10-energy-conservation-energy) do [átomo](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/13-as-interacoes-fundamentais#def-g11-fundamental-interactions-ladder) são [quantizadas](#def-g12-quantum-world-levels), de modo que ele só pode emitir as diferenças discretas $E_p - E_n$: uma escada faz linhas, e não um arco-íris.

**17.** Não: $500\,\mathrm{nm}$ significa $2.48\,\mathrm{eV}$, que não casa com diferença de nível alguma (a partir de $E_2$, para cima, dá $1.89$, $2.55$, $2.86$ e $3.40\,\mathrm{eV}$; a partir de $E_1$, tudo custa pelo menos $10.2\,\mathrm{eV}$) — o gás é transparente ali.

**18.** $eU = \tfrac12 m_e v^2$: $v = \sqrt{2 \times 1.60 \times 10^{-19} \times 1.0 \times 10^{4}/9.11 \times 10^{-31}}
\approx 5.9 \times 10^{7}\,\mathrm{m}/\mathrm{s} \approx 0.20\,c$ — tratamento clássico aceitável.

**19.** $p = m_e v = 5.4 \times 10^{-23}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; $\lambda = h/p = 1.2 \times 10^{-11}\,\mathrm{m} = 12\,\mathrm{pm}$.

**20.** Ganho $= 5.50 \times 10^{-7}/1.23 \times 10^{-11} \approx 4.5 \times 10^{4}$. Os dois números do fim de semana: $h = 6.64 \times 10^{-34}\,\mathrm{J}\,\mathrm{s}$, medido com $0.2\%$ de erro usando [filtros](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/11-cor-e-fontes-de-luz#def-g11-color-light-sources-subtractive) e um voltímetro, e um microscópio quarenta e cinco mil vezes mais nítido porque os elétrons ondulam.