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title: "Relatividade restrita: a dilatação do tempo"
book: "Física do ensino médio"
subject: physics
language: pt
chapter: 35
exercises: 15
source: https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/35-relatividade-restrita-a-dilatacao-do-tempo
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# Capítulo 35 — Relatividade restrita: a dilatação do tempo

Todo [satélite](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/4-gravitacao-universal-e-peso#def-g10-universal-gravitation-satellite) de GPS carrega um relógio atômico bom até um segundo em três milhões de anos — e, antes do lançamento, os engenheiros o desafinam de propósito: deixado honesto, ele adiantaria 38 milionésimos de segundo por dia e, já amanhã à noite, o seu celular o colocaria a onze quilômetros de onde você está. O relógio não tem culpa — o próprio tempo corre de modo diferente para quem se move e para quem está parado: este capítulo acompanha Einstein de um fato teimoso até essa conclusão.

## 35.1 Uma velocidade se recusa a somar

As velocidades dependem do [referencial](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/5-movimento-relativo#def-g10-relative-motion-frame) e se compõem por adição ([Capítulo 5](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/5-movimento-relativo#ch-g10-relative-motion)): um passageiro que caminha a $4\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ rumo à frente de um trem a $300\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ passa pelo observador da beira dos trilhos a $304\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$.

**Definição 35.1 (Referencial inercial).**

Um *referencial inercial* é um [referencial](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/5-movimento-relativo#def-g10-relative-motion-frame) ([Capítulo 5](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/5-movimento-relativo#ch-g10-relative-motion)) no qual um corpo livre de [forças](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-force) mantém velocidade constante: o solo, com boa aproximação, e todo [referencial](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/5-movimento-relativo#def-g10-relative-motion-frame) em [movimento retilíneo uniforme](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/24-cinematica-em-duas-dimensoes#def-g12-kinematics-2d-uniform) em relação a ele.

Leve a regra ao extremo: o feixe do farol do trem deveria passar pelo observador do solo a $c + 300\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$. Em 1887 Michelson e Morley compararam a velocidade da luz ao longo e através da corrida orbital de $30\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ da Terra, caçando diferenças desse tipo; com precisão primorosa, não acharam nenhuma — o mesmo $c$ em todas as direções, em todas as estações. Einstein, em 1905, acreditou no experimento e reconstruiu o tempo e o espaço em torno dele, sobre dois postulados julgados pelas consequências deles — testadas há um século, sem uma única falha.

**Teorema 35.2 (Os postulados da relatividade restrita).**

1. *Princípio da relatividade* : as leis da física assumem a mesma forma em todo [referencial inercial](#def-g12-special-relativity-inertial) ; nenhum está “verdadeiramente em repouso”.
2. *Invariância de $c$* : a luz no vácuo viaja a $c = 3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ em todo [referencial inercial](#def-g12-special-relativity-inertial) , seja qual for o movimento da fonte ou do observador.

**Demonstração.** *Admitido neste nível.* ∎

## 35.2 Adeus ao “mesmo instante”

**Proposição 35.3 (Relatividade da simultaneidade).**

Dois [eventos](#def-g12-special-relativity-proper-time) simultâneos num [referencial inercial](#def-g12-special-relativity-inertial) não são, em geral, simultâneos noutro: o “agora, em toda parte” depende do [referencial](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/5-movimento-relativo#def-g10-relative-motion-frame).

**Demonstração.** O trem de Einstein. Dois raios caem nas duas pontas de um trem em movimento, chamuscando os trilhos. O observador da plataforma $M$, a meio caminho entre as marcas, recebe os dois clarões juntos; cada um percorreu a mesma distância com a mesma velocidade $c$, de modo que as quedas foram simultâneas. O passageiro $M'$, no meio do trem, corre *em direção* ao clarão da frente, que o alcança primeiro; mas, no [referencial](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/5-movimento-relativo#def-g10-relative-motion-frame) dele, os dois clarões também percorreram distâncias iguais (meio trem) com a mesma velocidade $c$ — segundo postulado! — de modo que a queda da frente aconteceu antes. Cada veredito está correto no [referencial](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/5-movimento-relativo#def-g10-relative-motion-frame) dele; a discordância, de nanossegundos para um trem, é por que ninguém tinha percebido. ∎

![O trem de Einstein: os clarões de A e de B chegam juntos a M; M' corre em direção ao clarão de B, encontra-o primeiro — e conclui que ele caiu antes.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g12-special-relativity/fig-f6d4aa5bf897.svg)

*O trem de Einstein: os clarões de $A$ e de $B$ chegam juntos a $M$; $M'$ corre em direção ao clarão de $B$, encontra-o primeiro — e conclui que ele caiu antes.*

## 35.3 O relógio de luz e o fator $\gamma$

**Definição 35.4 (Evento, tempo próprio).**

Um *evento* é um acontecimento num só lugar e num só instante — um tique, um clarão, um decaimento. Quando um único relógio está presente nos dois eventos, o intervalo que ele marca entre eles é o *tempo próprio* $\Delta t_0$. Um [referencial](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/5-movimento-relativo#def-g10-relative-motion-frame) no qual esse relógio se move mede um intervalo $\Delta t$ em geral diferente.

**Teorema 35.5 (Dilatação do tempo).**

Um relógio que se move com velocidade constante $v$ através de um [referencial inercial](#def-g12-special-relativity-inertial) é medido ali como atrasado: entre dois [eventos](#def-g12-special-relativity-proper-time) no relógio,

$$
\Delta t = \gamma\, \Delta t_0, \qquad
\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} \geq 1 .
$$

**Demonstração.** Construa o relógio mais simples imaginável: dois espelhos frente a frente, à distância $L$, com um [fóton](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/34-o-mundo-quantico-fotons-e-niveis-de-energia#def-g12-quantum-world-photon) quicando entre eles; uma ida e volta é um tique e, em repouso, um tique dura $\Delta t_0 = 2L/c$. Agora parafuse o relógio numa nave que cruza com velocidade $v$, com os espelhos perpendiculares ao movimento, e cronometre um tique a partir do solo: enquanto o [fóton](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/34-o-mundo-quantico-fotons-e-niveis-de-energia#def-g12-quantum-world-photon) sobe, os espelhos deslizam para o lado, de modo que o [fóton](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/34-o-mundo-quantico-fotons-e-niveis-de-energia#def-g12-quantum-world-photon) voa por um caminho inclinado — dois movimentos ao mesmo tempo, como o [projétil](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/26-queda-livre-e-lancamento-de-projeteis#def-g12-projectile-motion-projectile) do [Capítulo 24](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/24-cinematica-em-duas-dimensoes#ch-g12-kinematics-2d). Se o tique dura $\Delta t$, cada meio-tique avança $v\,\Delta t/2$ na horizontal e $L$ na vertical; e — o passo crucial — o segundo postulado fixa em $c$ a velocidade do [fóton](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/34-o-mundo-quantico-fotons-e-niveis-de-energia#def-g12-quantum-world-photon) em relação ao solo, de modo que a meia [trajetória](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/5-movimento-relativo#def-g10-relative-motion-trajectory) inclinada mede $c\,\Delta t/2$. Por Pitágoras:

$$
\Bigl(\frac{c\,\Delta t}{2}\Bigr)^{\!2} = L^2 + \Bigl(\frac{v\,\Delta t}{2}\Bigr)^{\!2}
\;\Longrightarrow\;
\Delta t = \frac{2L/c}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} = \gamma\,\Delta t_0 .
$$

E qualquer relógio que viaje ao lado dele — relógio de pulso, batimento cardíaco, [núcleo](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/13-as-interacoes-fundamentais#def-g11-fundamental-interactions-ladder) que decai — precisa acompanhar o compasso, senão a comparação denunciaria o movimento da nave e violaria o primeiro postulado. ∎

![O relógio de luz. Em repouso o fóton sobe L; do solo, ele voa a hipotenusa com o mesmo c — de modo que o tique precisa demorar mais.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g12-special-relativity/fig-e65aba67bb25.svg)

![O relógio de luz. Em repouso o fóton sobe L; do solo, ele voa a hipotenusa com o mesmo c — de modo que o tique precisa demorar mais.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g12-special-relativity/fig-9749ce7870a4.svg)

*O relógio de luz. Em repouso o [fóton](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/34-o-mundo-quantico-fotons-e-niveis-de-energia#def-g12-quantum-world-photon) sobe $L$; do solo, ele voa a hipotenusa com o mesmo $c$ — de modo que o tique precisa demorar mais.*

**Exemplo 35.6 (Gama em números).**

| $v/c$ | 0.01 | 0.1 | 0.5 | 0.8 | 0.9 | 0.99 | 0.999 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $\gamma$ | 1.00005 | 1.005 | 1.155 | 1.667 | 2.294 | 7.09 | 22.4 |

Nada acontece por páginas, e depois acontece tudo: $\gamma$ abraça o $1$ até um terço da velocidade da luz, passa de $2$ perto de $0.9c$ e explode quando $v \to c$.

![= 1/√1 - v2/c2: indistinguível de 1 nas velocidades do dia a dia, divergindo na assíntota v = c — a velocidade que nenhum corpo com massa alcança.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g12-special-relativity/fig-8e12dcb81baf.svg)

*$\gamma = 1/\sqrt{1 - v^2/c^2}$: indistinguível de $1$ nas velocidades do dia a dia, divergindo na assíntota $v = c$ — a velocidade que nenhum corpo com massa alcança.*

**Observação 35.7 (Por que o dia a dia nunca percebeu).**

Para $v \ll c$, escreva $x = v^2/c^2$: como $(1-x)(1+x) \approx 1$ e $(1 + x/2)^2 \approx 1 + x$, obtemos $\gamma \approx 1 + v^2/(2c^2)$. Um carro a $130\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ tem $\gamma - 1 \approx 7 \times 10^{-15}$ (um segundo perdido a cada quatro milhões de anos de estrada); um jato consegue $3.5 \times 10^{-13}$, um segundo a cada noventa mil anos no ar. Os nossos relógios eram simplesmente grosseiros demais.

## 35.4 O veredito do experimento

**Exemplo 35.8 (Os múons chegam ao solo).**

Os raios cósmicos que atingem a alta atmosfera criam *múons* — partículas de vida curta, de tempo de vida próprio $\Delta t_0 = 2.2\,\text{µ}\mathrm{s}$ — a uns $15\,\mathrm{km}$ de altura, movendo-se a quase $c$. Sem relatividade, um múon cobre $c\,\Delta t_0 \approx 660\,\mathrm{m}$ por tempo de vida: a descida leva uns $23$ tempos de vida, e a fração sobrevivente $\mathrm{e}^{-23} \approx 10^{-10}$ deveria tornar os múons ao nível do mar raríssimos. E, no entanto, os detectores contam cerca de um por centímetro quadrado por minuto. A [dilatação do tempo](#thm-g12-special-relativity-dilation) resolve o caso: chegando com $\gamma \approx 30$, os múons vivem $30 \times 2.2\,\text{µ}\mathrm{s} = 66\,\text{µ}\mathrm{s}$ nos nossos relógios — [alcance](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/26-queda-livre-e-lancamento-de-projeteis#def-g12-projectile-motion-range) $\approx 20\,\mathrm{km}$, a atmosfera inteira.

![A viagem do múon: um tempo de vida clássico se extingue 660\, m abaixo da altitude de nascimento; o tempo de vida dilatado atravessa a atmosfera.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g12-special-relativity/fig-acaf17fac4b3.svg)

*A viagem do múon: um tempo de vida clássico se extingue $660\,\mathrm{m}$ abaixo da altitude de nascimento; o tempo de vida dilatado atravessa a atmosfera.*

As confirmações se acumulam. Em 1971 Hafele e Keating levaram relógios atômicos de césio ([Capítulo 28](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/28-osciladores-mecanicos-e-a-medida-do-tempo#ch-g12-oscillators-and-time)) em voos comerciais ao redor do mundo; no pouso, eles diferiam dos relógios de solo pelas frações de microssegundo previstas. Os aceleradores apostam na dilatação diariamente, com as partículas deles impulsionadas a $\gamma$ na casa dos milhares e sobrevivendo a voltas que classicamente jamais completariam. E o GPS é um experimento em andamento, com preço fechado.

**Observação 35.9 (A conta relativística do GPS).**

Um [satélite](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/4-gravitacao-universal-e-peso#def-g10-universal-gravitation-satellite) de GPS orbita a cerca de $3.9\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$, de modo que a [relatividade restrita](#thm-g12-special-relativity-postulates) atrasa o relógio dele em uns $7\,\text{µ}\mathrm{s}$ por dia. A gravidade, mais fraca na altitude, age no sentido contrário e vence: a relatividade geral (a teoria da [gravitação](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/13-as-interacoes-fundamentais#def-g11-fundamental-interactions-four) de Einstein, contada nos volumes universitários) o adianta em cerca de $45\,\text{µ}\mathrm{s}$ por dia; no líquido, $38\,\text{µ}\mathrm{s}$ de adiantamento por dia. O posicionamento converte leituras de relógio em distâncias à velocidade $c$: um dia sem correção borraria as posições em $c \times 38\,\text{µ}\mathrm{s} \approx 11\,\mathrm{km}$ — daí os relógios desafinados do parágrafo de abertura.

**Proposição 35.10 (Contração dos comprimentos).**

Um corpo de comprimento $L_0$ no [referencial](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/5-movimento-relativo#def-g10-relative-motion-frame) de repouso dele é medido mais curto ao longo da direção de movimento num [referencial](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/5-movimento-relativo#def-g10-relative-motion-frame) em que ele se move com velocidade $v$: $L = L_0/\gamma$.

**Demonstração.** *Admitido neste nível.* ∎

**Observação 35.11 (A versão do próprio múon).**

A [contração dos comprimentos](#prop-g12-special-relativity-contraction) é o outro lado da [dilatação do tempo](#thm-g12-special-relativity-dilation) (deduzida com honestidade nos volumes universitários): o relógio do múon bate normalmente no [referencial](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/5-movimento-relativo#def-g10-relative-motion-frame) dele, mas a atmosfera que sobe correndo está contraída a $15\,\mathrm{km}/30 = 500\,\mathrm{m}$, atravessados bem dentro de $2.2\,\text{µ}\mathrm{s}$ — os dois referenciais concordam que o múon chega ao solo.

## 35.5 Massa, energia e o mundo clássico reencontrado

**Teorema 35.12 (Equivalência massa–energia).**

Um corpo de massa $m$ possui, só pela massa dele, a [energia](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/9-energia-formas-e-conservacao#def-g10-energy-conservation-energy)

$$
E = m c^2 .
$$

A massa é uma forma concentrada de [energia](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/9-energia-formas-e-conservacao#def-g10-energy-conservation-energy); a [energia](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/9-energia-formas-e-conservacao#def-g10-energy-conservation-energy), reciprocamente, tem massa.

**Demonstração.** *Admitido neste nível.* ∎

**Observação 35.13 (Onde você já a encontrou).**

Este é o livro-caixa por trás da [energia nuclear](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/9-energia-formas-e-conservacao#def-g10-energy-conservation-forms) ([Capítulo 33](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/33-energia-nuclear-fissao-fusao-e-mc2#ch-g12-nuclear-energy)): o [defeito de massa](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/33-energia-nuclear-fissao-fusao-e-mc2#def-g12-nuclear-energy-defect) de uma reação, vezes $c^2$, é a [energia](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/9-energia-formas-e-conservacao#def-g10-energy-conservation-energy) liberada. Um grama de massa são $9.0 \times 10^{13}\,\mathrm{J}$ — a produção de um dia inteiro de uma grande usina. A dedução honesta pertence aos volumes universitários; os reatores e as estrelas funcionam com ela de qualquer maneira.

**Observação 35.14 (Newton não estava errado).**

Faça $v \ll c$: $\gamma \to 1$, os tempos concordam, os comprimentos se descontraem, a simultaneidade vira absoluta — e a mecânica dos últimos três anos reaparece, intacta, como o limite de baixa velocidade. A relatividade não demoliu Newton; ela traçou a fronteira do império dele. É assim que a física cresce: refinando teorias, cada uma nova devolvendo a antiga como caso-limite.

## 35.6 Exercícios

**Exercício 35.1 ★.**

Calcule $\gamma$, com três [algarismos significativos](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/1-ordens-de-grandeza-medir-o-universo#def-g10-orders-of-magnitude-sigfig), para $v = 0.1c$, $0.6c$, $0.8c$ e $0.995c$.

**Solução de Exercício 35.1.**

$\gamma = 1/\sqrt{1 - (v/c)^2}$: $1.01$ ($0.1c$); $1.25$ ($0.6c$); $1.67$ ($0.8c$); $10.0$ ($0.995c$).

**Exercício 35.2 ★.**

Uma nave viaja a $0.6c$; o metrônomo dela bate a cada $10.0\,\mathrm{s}$ pelo relógio de bordo. Que intervalo o solo mede? Qual é o [tempo próprio](#def-g12-special-relativity-proper-time), e por quê?

**Solução de Exercício 35.2.**

$\gamma = 1.25$, de modo que o solo mede $1.25 \times 10.0 = 12.5\,\mathrm{s}$. Os $10.0\,\mathrm{s}$ da nave são o [tempo próprio](#def-g12-special-relativity-proper-time): o metrônomo (um único relógio) está presente nas duas batidas.

**Exercício 35.3 ★.**

Com que velocidade (como fração de $c$) tem-se $\gamma = 2$? E $\gamma = 10$?

**Solução de Exercício 35.3.**

$v = c\sqrt{1 - 1/\gamma^2}$: $\gamma = 2$ dá $v = 0.866c$; $\gamma = 10$ dá $v = 0.995c$.

**Exercício 35.4 ★.**

Um carro anda a $130\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$. Calcule $v/c$ e depois $\gamma - 1$ ([Observação 35.7](#rem-g12-special-relativity-everyday)); por quanto tempo ele precisa rodar para o relógio dele ficar $1\,\mathrm{s}$ atrás?

**Solução de Exercício 35.4.**

$v = 36.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $v/c = 1.2 \times 10^{-7}$; $\gamma - 1 \approx (1.2 \times 10^{-7})^2/2 \approx 7.2 \times 10^{-15}$. Um segundo de [atraso](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/20-ondas-mecanicas#def-g12-mechanical-waves-delay) depois de $1/7.2 \times 10^{-15} \approx 1.4 \times 10^{14}\,\mathrm{s}$ — cerca de quatro milhões de anos de estrada.

**Exercício 35.5 ★.**

No experimento do trem de Einstein, explique — citando o postulado usado — por que o passageiro conclui que a queda da *frente* veio primeiro, e por que nenhum dos dois observadores está enganado.

**Solução de Exercício 35.5.**

O passageiro corre em direção ao clarão da frente, que por isso o alcança primeiro; pelo segundo postulado, os dois clarões viajam com a mesma velocidade $c$ pelas distâncias iguais de meio trem *no [referencial](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/5-movimento-relativo#def-g10-relative-motion-frame) dele*, de modo que uma chegada mais cedo significa uma queda mais cedo. A simultaneidade depende do [referencial](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/5-movimento-relativo#def-g10-relative-motion-frame): cada veredito está correto no [referencial](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/5-movimento-relativo#def-g10-relative-motion-frame) dele.

**Exercício 35.6 ★★.**

Os píons carregados vivem $\Delta t_0 = 2.6 \times 10^{-8}\,\mathrm{s}$. Um feixe deixa um acelerador a $0.99c$. Calcule $\gamma$, o tempo de vida no laboratório, o [alcance](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/26-queda-livre-e-lancamento-de-projeteis#def-g12-projectile-motion-range) clássico $v\,\Delta t_0$ e o [alcance](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/26-queda-livre-e-lancamento-de-projeteis#def-g12-projectile-motion-range) médio real.

**Solução de Exercício 35.6.**

$\gamma = 1/\sqrt{1 - 0.99^2} = 7.09$; tempo de vida no laboratório $7.09 \times 2.6 \times 10^{-8} = 1.8 \times 10^{-7}\,\mathrm{s}$. [Alcance](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/26-queda-livre-e-lancamento-de-projeteis#def-g12-projectile-motion-range) clássico $0.99 \times 3.00 \times 10^{8} \times 2.6 \times 10^{-8} \approx 7.7\,\mathrm{m}$; real $7.09 \times 7.7 \approx 55\,\mathrm{m}$.

**Exercício 35.7 ★★.**

Na curva de $\gamma$, leia as velocidades que dão $\gamma = 1.5$ e $\gamma = 3$ (confira por cálculo). O que a assíntota vertical em $v = c$ diz sobre acelerar um corpo com massa?

**Solução de Exercício 35.7.**

$\gamma = 1.5$ em $v = c\sqrt{1 - 1/2.25} \approx 0.75c$; $\gamma = 3$ em $\approx 0.94c$. A assíntota: $\gamma$ (e o custo energético de mais velocidade) diverge quando $v \to c$ — esforço finito algum leva um corpo com massa à velocidade da luz.

**Exercício 35.8 ★★.**

Um relógio de luz tem espelhos a $L = 1.5\,\mathrm{m}$ um do outro. Calcule o tique dele em repouso e depois o tique medido do solo quando ele viaja a $0.8c$.

**Solução de Exercício 35.8.**

$\Delta t_0 = 2L/c = 3.0/3.00 \times 10^{8} = 1.0 \times 10^{-8}\,\mathrm{s}$; a $0.8c$, $\gamma = 5/3$, logo $\Delta t = 1.7 \times 10^{-8}\,\mathrm{s}$.

**Exercício 35.9 ★★.**

Quem mede o [tempo próprio](#def-g12-special-relativity-proper-time) entre: (a) dois tiques de um relógio de pulso — quem o usa ou quem passa? (b) o nascimento e o decaimento de um múon — o múon ou o laboratório? (c) a partida da Terra e a chegada a Marte — a piloto ou o controle da missão?

**Solução de Exercício 35.9.**

O [tempo próprio](#def-g12-special-relativity-proper-time) pertence ao relógio presente nos dois [eventos](#def-g12-special-relativity-proper-time): (a) quem usa o relógio; (b) o múon; (c) a piloto — só a nave está tanto na partida quanto na chegada.

**Exercício 35.10 ★★.**

A estação espacial orbita a $7.7\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$. Calcule $\gamma - 1 \approx v^2/2c^2$ e depois de quanto o relógio de uma astronauta fica atrás de um relógio de solo após seis meses ($1.58 \times 10^{7}\,\mathrm{s}$).

**Solução de Exercício 35.10.**

$\gamma - 1 \approx 7700^2/(2 \times 9.0 \times 10^{16}) \approx 3.3 \times 10^{-10}$; ao longo de $1.58 \times 10^{7}\,\mathrm{s}$ a astronauta fica atrás $3.3 \times 10^{-10} \times 1.58 \times 10^{7} \approx 5.2 \times 10^{-3}\,\mathrm{s}$ — cerca de cinco milissegundos mais jovem.

**Exercício 35.11 ★★.**

Calcule o conteúdo energético $E = mc^2$ de $1.0\,\mathrm{g}$ de matéria. Compare-o com a produção diária de uma usina de $1.0\,\mathrm{GW}$ e com a [energia cinética](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/18-energia-mecanica-e-sua-conservacao#def-g11-mechanical-energy-kinetic) de $8.5 \times 10^{5}\,\mathrm{J}$ de um carro a $130\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$.

**Solução de Exercício 35.11.**

$E = 1.0 \times 10^{-3} \times (3.00 \times 10^{8})^2 = 9.0 \times 10^{13}\,\mathrm{J}$. Uma usina de $1.0\,\mathrm{GW}$ entrega $1.0 \times 10^{9} \times 86400 \approx 8.6 \times 10^{13}\,\mathrm{J}$ por dia — um grama é um dia de produção dela — e $9.0 \times 10^{13}/8.5 \times 10^{5} \approx 10^{8}$: cem milhões de carros em velocidade.

**Exercício 35.12 ★★★.**

Mostre, a partir de $\gamma = 1/\sqrt{1 - v^2/c^2}$, que $v = c\sqrt{1 - 1/\gamma^2}$; deduza a velocidade dos múons de $\gamma = 30$, com cinco [algarismos significativos](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/1-ordens-de-grandeza-medir-o-universo#def-g10-orders-of-magnitude-sigfig) em [unidades](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/1-ordens-de-grandeza-medir-o-universo#def-g10-orders-of-magnitude-unit) de $c$.

**Solução de Exercício 35.12.**

Eleve ao quadrado e inverta: $\gamma^2(1 - v^2/c^2) = 1$, logo $v^2/c^2 = 1 - 1/\gamma^2$ e, portanto, $v = c\sqrt{1 - 1/\gamma^2}$. Para $\gamma = 30$: $v = c\sqrt{1 - 1/900} = 0.99944c$.

**Exercício 35.13 ★★★.**

Reconte a viagem do múon a partir do [referencial](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/5-movimento-relativo#def-g10-relative-motion-frame) dele: que espessura tem a atmosfera com $\gamma = 30$, quanto tempo ela leva para passar a $0.99944c$ e isso cabe dentro de um tempo de vida próprio?

**Solução de Exercício 35.13.**

Espessura contraída $L = 15\,\mathrm{km}/30 = 500\,\mathrm{m}$; tempo de passagem $500/(0.99944 \times 3.00 \times 10^{8}) \approx 1.7 \times 10^{-6}\,\mathrm{s} <
2.2\,\text{µ}\mathrm{s}$. Os dois referenciais concordam que o múon chega ao solo — um culpa um tempo de vida esticado, o outro uma atmosfera encolhida.

**Exercício 35.14 ★★★.**

Um acelerador linear empurra elétrons até $\gamma = 1.0 \times 10^{5}$ ao longo de um tubo de $3.2\,\mathrm{km}$. Quanto tempo a viagem leva no laboratório? E no [referencial](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/5-movimento-relativo#def-g10-relative-motion-frame) do elétron, e que “comprimento” o tubo tem ali?

**Solução de Exercício 35.14.**

Laboratório: $3200/3.00 \times 10^{8} \approx 1.1 \times 10^{-5}\,\mathrm{s}$ (velocidade $\approx c$). [Referencial](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/5-movimento-relativo#def-g10-relative-motion-frame) do elétron: o tubo está contraído a $3200/1.0 \times 10^{5} = 3.2\,\mathrm{cm}$, atravessado em $1.1 \times 10^{-5}/1.0 \times 10^{5} \approx 1.1 \times 10^{-10}\,\mathrm{s}$.

**Exercício 35.15 ★★★.**

Proxima Centauri fica a $4.2$ anos-luz de distância (um [ano-luz](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/1-ordens-de-grandeza-medir-o-universo#def-g10-orders-of-magnitude-lightyear) é a distância que a luz cobre em um ano). Uma sonda viaja até lá a $0.9c$: quanto tempo a viagem leva no calendário da Terra e no relógio da sonda?

**Solução de Exercício 35.15.**

Terra: $4.2/0.9 \approx 4.7\,\mathrm{anos}$. Com $\gamma = 1/\sqrt{1 - 0.81} = 2.29$, o relógio da sonda registra $4.7/2.29 \approx 2.0\,\mathrm{anos}$.

## 35.7 Problema: o múon e a irmã gêmea

**Problema 35.1.**

Problema de fim de semana — a viagem do múon e a irmã gêmea da astronauta: uma partícula que sobrevive ao próprio relógio, um relógio de luz reconstruído, uma viajante mais jovem do que a gêmea e a contabilidade que mantém o GPS honesto

Dados: tempo de vida próprio do múon $\Delta t_0 = 2.2\,\text{µ}\mathrm{s}$; múons nascidos a cerca de $15\,\mathrm{km}$ de altura, a quase $c$; fluxo ao nível do mar de cerca de um múon por $\mathrm{cm}^{2}$ por minuto; $c = 3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

**Parte I — A chegada impossível do múon.**

1. Sem relatividade, que distância um múon percorre em um tempo de vida?
2. Quantos tempos de vida a descida de $15\,\mathrm{km}$ leva, então?
3. Depois de $n$ tempos de vida sobrevive uma fração $\mathrm{e}^{-n}$ : estime-a, confronte-a com o fluxo medido e dê o veredito sobre a física clássica em uma frase.
4. Esses múons, de fato, chegam com $\gamma \approx 30$ . Calcule o tempo de vida deles medido do solo e o [alcance](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/26-queda-livre-e-lancamento-de-projeteis#def-g12-projectile-motion-range) resultante.
5. Calcule a velocidade deles, usando $v = c\sqrt{1 - 1/\gamma^2}$ , com cinco [algarismos significativos](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/1-ordens-de-grandeza-medir-o-universo#def-g10-orders-of-magnitude-sigfig) em [unidades](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/1-ordens-de-grandeza-medir-o-universo#def-g10-orders-of-magnitude-unit) de $c$ .

**Parte II — O relógio de luz, reconstruído.** Um relógio de luz ($L = 1.5\,\mathrm{m}$) viaja numa nave a $v = 0.6c$.

6. Calcule o tique $\Delta t_0$ lido a bordo.
7. Visto do solo, um tique dura $\Delta t$ : dê o avanço horizontal por meio-tique, a subida vertical do [fóton](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/34-o-mundo-quantico-fotons-e-niveis-de-energia#def-g12-quantum-world-photon) e — nomeando o postulado que a fixa — o comprimento da meia [trajetória](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/5-movimento-relativo#def-g10-relative-motion-trajectory) inclinada.
8. Aplique Pitágoras ao triângulo do meio-tique e resolva para $\Delta t$ , mostrando que $\Delta t = \gamma\,\Delta t_0$ .
9. Calcule $\gamma$ e $\Delta t$ numericamente.
10. Que observador mede o [tempo próprio](#def-g12-special-relativity-proper-time) entre dois tiques? Justifique pela definição.

**Parte III — A viajante e a irmã gêmea.** Uma astronauta deixa a irmã gêmea na Terra para uma viagem de ida e volta a $0.8c$; os relógios da Terra cronometram a viagem inteira em $10.0\,\mathrm{anos}$.

11. Calcule $\gamma$ em $0.8c$ (fração exata e depois decimal).
12. Quanto tempo passa no relógio da astronauta?
13. A que distância (no [referencial](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/5-movimento-relativo#def-g10-relative-motion-frame) da Terra, em anos-luz) ficava o [ponto de retorno](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/29-trabalho-e-energia-mecanica#def-g12-work-and-energy-diagram) ?
14. Qual é a diferença de idade no reencontro, e qual das gêmeas é a mais jovem?
15. “Mas o movimento é relativo — a astronauta poderia alegar que foi a Terra que viajou!” Resolva a objeção em uma frase.

**Parte IV — A conta do GPS.** Um [satélite](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/4-gravitacao-universal-e-peso#def-g10-universal-gravitation-satellite) de GPS orbita com raio $r = 2.66 \times 10^{7}\,\mathrm{m}$ e [período](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/28-osciladores-mecanicos-e-a-medida-do-tempo#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) $T = 12\,\mathrm{h}$.

16. Calcule a velocidade orbital dele, $v = 2\pi r/T$ .
17. Calcule $\gamma - 1 \approx v^2/2c^2$ .
18. Deduza, em microssegundos, quanto o relógio do [satélite](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/4-gravitacao-universal-e-peso#def-g10-universal-gravitation-satellite) fica atrás dos relógios de solo por dia ( $86\,400\,\mathrm{s}$ ).
19. Se apenas esse desvio ficasse sem correção, as posições erram por $c \times$ (desvio): calcule o erro depois de um dia.
20. A gravidade, mais fraca na altitude, faz o relógio *adiantar* em $45\,\text{µ}\mathrm{s}$ por dia (relatividade geral): calcule o desvio líquido e o erro de posição diário em quilômetros — o número que obriga os engenheiros a desafinar todo relógio de GPS.

**Solução de Problema 35.1.**

**1.** $c\,\Delta t_0 = 3.00 \times 10^{8} \times 2.2 \times 10^{-6} \approx
660\,\mathrm{m}$.

**2.** $15\,000/660 \approx 23$ tempos de vida.

**3.** $\mathrm{e}^{-23} \approx 10^{-10}$: menos de um múon em dez bilhões deveria chegar, e no entanto o fluxo é de um por $\mathrm{cm}^{2}$ por minuto — a física clássica é frontalmente desmentida pelo céu.

**4.** Tempo de vida no solo $30 \times 2.2\,\text{µ}\mathrm{s} = 66\,\text{µ}\mathrm{s}$; [alcance](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/26-queda-livre-e-lancamento-de-projeteis#def-g12-projectile-motion-range) $\approx 3.00 \times 10^{8} \times 6.6 \times 10^{-5} \approx 20\,\mathrm{km} >
15\,\mathrm{km}$: a chegada está explicada.

**5.** $v = c\sqrt{1 - 1/900} = 0.99944c$.

**6.** $\Delta t_0 = 2L/c = 3.0/3.00 \times 10^{8} = 1.0 \times 10^{-8}\,\mathrm{s}$.

**7.** Horizontal $v\,\Delta t/2$; vertical $L$; a meia [trajetória](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/5-movimento-relativo#def-g10-relative-motion-trajectory) inclinada mede $c\,\Delta t/2$ porque o segundo postulado fixa em $c$ a velocidade do [fóton](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/34-o-mundo-quantico-fotons-e-niveis-de-energia#def-g12-quantum-world-photon) também no [referencial do solo](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/5-movimento-relativo#def-g10-relative-motion-frames).

**8.** $(c\,\Delta t/2)^2 = L^2 + (v\,\Delta t/2)^2$ dá $\Delta t^2(c^2 - v^2) = 4L^2$, logo $\Delta t = (2L/c)/\sqrt{1 - v^2/c^2} = \gamma\,\Delta t_0$.

**9.** $\gamma = 1/\sqrt{1 - 0.36} = 1.25$; $\Delta t = 1.25 \times 10^{-8}\,\mathrm{s}$.

**10.** O da nave: o único relógio dela está presente nos dois tiques, de modo que ele marca o [tempo próprio](#def-g12-special-relativity-proper-time); o solo precisa de dois relógios sincronizados.

**11.** $\gamma = 1/\sqrt{1 - 0.64} = 1/0.6 = 5/3 \approx 1.67$.

**12.** $10.0/(5/3) = 6.0\,\mathrm{anos}$.

**13.** Ida de $5.0\,\mathrm{anos}$ a $0.8c$: $4.0$ anos-luz.

**14.** $10.0 - 6.0 = 4.0\,\mathrm{anos}$: a astronauta está quatro anos mais jovem do que a irmã gêmea.

**15.** A situação não é simétrica: só a astronauta dá meia-volta — ela acelera e troca de [referencial inercial](#def-g12-special-relativity-inertial), enquanto a gêmea da Terra permanece em um só — de modo que só o relógio dela registra o tempo menor.

**16.** $v = 2\pi \times 2.66 \times 10^{7}/43\,200 \approx
3.9 \times 10^{3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

**17.** $\gamma - 1 \approx (3.87 \times 10^{3})^2/(2 \times 9.0 \times 10^{16})
\approx 8.3 \times 10^{-11}$.

**18.** $8.3 \times 10^{-11} \times 86\,400 \approx 7.2 \times 10^{-6}\,\mathrm{s} =
7.2\,\text{µ}\mathrm{s}$ de [atraso](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/20-ondas-mecanicas#def-g12-mechanical-waves-delay) por dia.

**19.** $c \times 7.2 \times 10^{-6} \approx 2.2\,\mathrm{km}$ de erro de posição por dia.

**20.** Desvio líquido $45 - 7.2 \approx 38\,\text{µ}\mathrm{s}$ de adiantamento por dia; erro $c \times 38 \times 10^{-6} \approx 11\,\mathrm{km}$ por dia — a conta relativística que todo relógio de GPS paga adiantado, desafinado no solo para bater certo em [órbita](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/4-gravitacao-universal-e-peso#def-g10-universal-gravitation-satellite).

Aqui termina a física da escola — não a física. Nos volumes universitários, a mecânica volta armada de cálculo; a eletricidade e o magnetismo se revelam uma estrutura só, na qual a luz, e a própria relatividade, estavam escondidas o tempo todo; o mundo quântico, entrevisto no capítulo anterior, vira uma teoria da matéria em pleno funcionamento. Cada teoria será obrigada, como a relatividade, a devolver o que você agora sabe na forma de um caso-limite. Leve isso adiante: é a parte que não vai mudar.