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title: "Movimento relativo"
book: "Física do ensino médio"
subject: physics
language: pt
chapter: 5
exercises: 15
source: https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/5-movimento-relativo
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# Capítulo 5 — Movimento relativo

Um passageiro caminha em direção à frente de um trem de alta velocidade, café na mão, num passo tranquilo. Um observador à beira da via cronometra esse mesmo passageiro a mais de $300\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$. As duas medidas estão certas. Nenhuma das duas é “a” velocidade do passageiro, porque tal coisa não existe: o movimento não é uma propriedade de um corpo sozinho, mas de um corpo *e* do ponto de vista escolhido para descrevê-lo. Este capítulo torna esse ponto de vista preciso — e ensina você a escolher um bom.

## 5.1 O movimento é relativo

**Definição 5.1 (Referencial).**

Um *referencial* é um corpo rígido — o solo, um vagão de trem, a Terra inteira — em relação ao qual as posições são registradas, junto com um relógio para datá-las. Um corpo está *em repouso* num referencial quando a sua posição nesse referencial não muda com o tempo; caso contrário, ele está em movimento nesse referencial.

**Definição 5.2 (Trajetória).**

A *trajetória* de um corpo num dado [referencial](#def-g10-relative-motion-frame) é a curva formada pelas suas posições sucessivas nesse [referencial](#def-g10-relative-motion-frame): uma reta, um círculo, um arco… A trajetória só faz sentido depois que o [referencial](#def-g10-relative-motion-frame) é nomeado.

**Exemplo 5.3 (O caminhante no trem).**

Um trem viaja a $300\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ em relação ao solo enquanto um passageiro caminha para a frente a $4\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ em relação ao trem.

- No [referencial](#def-g10-relative-motion-frame) do *trem* : o passageiro se move a $4\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ pelo corredor; as poltronas estão em repouso; as árvores lá fora correm para trás a $300\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ .
- No [referencial](#def-g10-relative-motion-frame) do *solo* : as poltronas se movem a $300\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ , o passageiro a $304\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ , e as árvores estão em repouso.

A mesma cena, dois referenciais, duas descrições inteiramente diferentes — e nenhuma experiência feita dentro do trem consegue declarar uma delas “a verdadeira”.

**Proposição 5.4 (Relatividade do movimento).**

O estado de repouso ou de movimento de um corpo, a sua [trajetória](#def-g10-relative-motion-trajectory) e a sua velocidade dependem todos do [referencial](#def-g10-relative-motion-frame) escolhido para descrevê-los.

**Demonstração.** Um exemplo resolve cada afirmação. O passageiro sentado do [Exemplo 5.3](#ex-g10-relative-motion-walker) está em repouso no [referencial](#def-g10-relative-motion-frame) do trem e se move a $300\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ no [referencial do solo](#def-g10-relative-motion-frames) (repouso e velocidade dependem do [referencial](#def-g10-relative-motion-frame)). Quanto à [trajetória](#def-g10-relative-motion-trajectory), observe a válvula da roda de uma bicicleta: um observador que vai na bicicleta a vê descrever um círculo em torno do cubo, enquanto um observador parado na estrada a vê descrever uma sucessão de arcadas (uma curva chamada *cicloide*) — veja a figura abaixo. ∎

![A mesma válvula, dois referenciais: um círculo para o ciclista, uma cicloide — uma sequência de arcadas — para o observador na estrada.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g10-relative-motion/fig-41c565804073.svg)

![A mesma válvula, dois referenciais: um círculo para o ciclista, uma cicloide — uma sequência de arcadas — para o observador na estrada.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g10-relative-motion/fig-d9d5fdd000e6.svg)

*A mesma válvula, dois referenciais: um círculo para o ciclista, uma [cicloide](#prop-g10-relative-motion-relativity) — uma sequência de arcadas — para o observador na estrada.*

**Observação 5.5.**

Repare no que *não* muda entre as duas imagens: a válvula, a roda, a física. Só a descrição muda. Perguntar “a válvula está mesmo indo em círculo?” é como perguntar se uma montanha está “mesmo” à esquerda: depende de onde você está.

## 5.2 Velocidade média

**Definição 5.6 (Velocidade média).**

A *velocidade média* de um corpo, num dado [referencial](#def-g10-relative-motion-frame), é a distância $d$ que ele percorre nesse [referencial](#def-g10-relative-motion-frame) dividida pelo tempo de percurso $t$:

$$
v = \frac{d}{t} .
$$

Com $d$ em [metros](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/1-ordens-de-grandeza-medir-o-universo#def-g10-orders-of-magnitude-unit) e $t$ em segundos, $v$ sai em [metros](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/1-ordens-de-grandeza-medir-o-universo#def-g10-orders-of-magnitude-unit) por segundo ($\mathrm{m}/\mathrm{s}$); a vida cotidiana prefere quilômetros por hora ($\mathrm{km}/\mathrm{h}$).

**Método 5.7 (Converter entre m/s e km/h).**

Um quilômetro tem $1000\,\mathrm{m}$ e uma hora tem $3600\,\mathrm{s}$, logo $1\,\mathrm{m}/\mathrm{s} = 3.6\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$:

- de $\mathrm{m}/\mathrm{s}$ para $\mathrm{km}/\mathrm{h}$ : *multiplique* por $3.6$ ;
- de $\mathrm{km}/\mathrm{h}$ para $\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : *divida* por $3.6$ .

Conferência: o número de $\mathrm{km}/\mathrm{h}$ é sempre o *maior* dos dois.

**Exemplo 5.8 (Algumas velocidades que vale a pena saber).**

Uma caminhada rápida: $1.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s} \times 3.6 = 5.4\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$. Um carro na cidade a $54\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$: $54 / 3.6 = 15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ — cerca de $15\,\mathrm{m}$ percorridos a cada segundo, coisa que vale lembrar antes de descer da calçada. O som no ar: $340\,\mathrm{m}/\mathrm{s} \times 3.6 = 1224\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$.

**Exemplo 5.9 (Uma caminhada com pausa).**

Um caminhante percorre $12\,\mathrm{km}$ em $2\,\mathrm{h}$ de marcha, depois descansa por $1\,\mathrm{h}$ e então percorre $6\,\mathrm{km}$ na última $1.5\,\mathrm{h}$. [Velocidade média](#def-g10-relative-motion-speed) do passeio inteiro:

$$
v = \frac{d}{t} = \frac{12 + 6}{2 + 1 + 1.5}
= \frac{18\,\mathrm{km}}{4.5\,\mathrm{h}} = 4.0\,\mathrm{km}/\mathrm{h}.
$$

A média conta *todo* o tempo decorrido, pausas incluídas — e em geral não é a média das velocidades dos trechos separados.

## 5.3 Escolher um referencial: solo, geocêntrico, heliocêntrico

Como todo [referencial](#def-g10-relative-motion-frame) é legítimo, escolhemos aquele em que o movimento que nos interessa fica mais simples. Três escolhas cobrem quase toda a física deste livro.

**Definição 5.10 (Os três referenciais usuais).**

- O *referencial do solo* (ou *referencial do laboratório* ) está preso à superfície da Terra, onde a experiência acontece. É o [referencial](#def-g10-relative-motion-frame) certo para o movimento do dia a dia: objetos em queda, veículos, esportes, bancadas de laboratório.
- O *referencial geocêntrico* é centrado na Terra, mas *não* gira com ela (as suas direções apontam para estrelas distantes). É o [referencial](#def-g10-relative-motion-frame) certo para a Lua e para os [satélites](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/4-gravitacao-universal-e-peso#def-g10-universal-gravitation-satellite) artificiais, que orbitam a Terra como um todo e ignoram a sua rotação diária.
- O *referencial heliocêntrico* é centrado no Sol, com as direções novamente fixadas em estrelas distantes. É o [referencial](#def-g10-relative-motion-frame) certo para os planetas: cada um segue então uma [órbita](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/4-gravitacao-universal-e-peso#def-g10-universal-gravitation-satellite) simples, quase circular.

![Três referenciais encaixados: o solo gira com a Terra, o referencial geocêntrico acompanha a Terra sem girar, e o referencial heliocêntrico assiste à dança inteira do Sol.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g10-relative-motion/fig-f1d975e1f5f7.svg)

*Três referenciais encaixados: o solo gira com a Terra, o [referencial geocêntrico](#def-g10-relative-motion-frames) acompanha a Terra sem girar, e o [referencial heliocêntrico](#def-g10-relative-motion-frames) assiste à dança inteira do Sol.*

**Método 5.11 (Escolher o referencial).**

Nomeie os corpos cujo movimento você quer descrever e escolha o [referencial](#def-g10-relative-motion-frame) em que esse movimento é mais simples:

1. movimento perto da superfície da Terra, durando minutos — [referencial do solo](#def-g10-relative-motion-frames) ;
2. [órbitas](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/4-gravitacao-universal-e-peso#def-g10-universal-gravitation-satellite) *em volta* da Terra (Lua, [satélites](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/4-gravitacao-universal-e-peso#def-g10-universal-gravitation-satellite) ) — [referencial geocêntrico](#def-g10-relative-motion-frames) ;
3. [órbitas](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/4-gravitacao-universal-e-peso#def-g10-universal-gravitation-satellite) em volta do Sol (planetas, cometas) — [referencial heliocêntrico](#def-g10-relative-motion-frames) .

Enuncie sempre a sua escolha antes de descrever um movimento: uma [trajetória](#def-g10-relative-motion-trajectory) ou uma velocidade citada sem o seu [referencial](#def-g10-relative-motion-frame) não significa nada ([Proposição 5.4](#prop-g10-relative-motion-relativity)).

**Observação 5.12 (Quem tem razão, Ptolomeu ou Copérnico?).**

“O Sol nasce a leste” e “a Terra gira para leste” são a mesma observação relatada em dois referenciais — a primeira no [referencial do solo](#def-g10-relative-motion-frames), onde o Sol varre o céu, e a segunda no [referencial geocêntrico](#def-g10-relative-motion-frames), onde o observador é levado em volta do eixo da Terra. Durante séculos os próprios referenciais foram o campo de batalha: a descrição de Ptolomeu, centrada na Terra, acompanhava o céu com precisão, mas precisava de voltas sobre voltas para seguir os planetas, enquanto a descrição centrada no Sol, ressuscitada por Copérnico em 1543, fazia de cada planeta um quase-círculo simples e explicava as estranhas voltas para trás de Marte como mero efeito de [referencial](#def-g10-relative-motion-frame) — a Terra ultrapassando um planeta mais lento. O veredito moderno não é que um [referencial](#def-g10-relative-motion-frame) seja verdadeiro e o outro falso, mas que eles não são igualmente *convenientes*; um critério mais profundo para preferir certos referenciais (os inerciais) chega com o princípio da inércia, no [Capítulo 6](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#ch-g10-inertia).

## 5.4 Compor movimentos ao longo de uma reta

O que liga os $4\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ do caminhante ([referencial](#def-g10-relative-motion-frame) do trem) aos $304\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ([referencial do solo](#def-g10-relative-motion-frames))? Ao longo de uma única reta, a resposta é uma soma simples.

**Proposição 5.13 (Composição de velocidades em uma dimensão).**

Suponha que um corpo se mova ao longo de uma reta sobre um suporte móvel (uma esteira, um trem, água corrente), com o próprio suporte deslizando ao longo da mesma reta em relação ao solo. Escolhido um sentido positivo na reta e contadas as velocidades com sinal,

$$
v_{\text{corpo/solo}} \;=\; v_{\text{corpo/suporte}} \;+\;
v_{\text{suporte/solo}} .
$$

Em palavras: velocidades no mesmo sentido se somam; velocidades em sentidos opostos se subtraem.

**Demonstração.** Durante um segundo, o suporte leva o corpo $v_{\text{suporte/solo}}$ [metros](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/1-ordens-de-grandeza-medir-o-universo#def-g10-orders-of-magnitude-unit) ao longo da reta, e o corpo avança $v_{\text{corpo/suporte}}$ [metros](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/1-ordens-de-grandeza-medir-o-universo#def-g10-orders-of-magnitude-unit) ao longo do suporte. Os dois deslocamentos acontecem sobre a mesma reta, de modo que o deslocamento total do corpo em relação ao solo nesse segundo é a soma algébrica deles — que é a sua velocidade em relação ao solo. ∎

**Exemplo 5.14 (A esteira rolante).**

Uma esteira de aeroporto rola a $1.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Um viajante caminha sobre ela a $1.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ em relação à esteira, no sentido do movimento: velocidade em relação ao solo $1.5 + 1.0 = 2.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Caminhando na contramão no mesmo passo: $1.5 - 1.0 = 0.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, ainda avançando (devagar) contra a esteira. Parado sobre a esteira: $1.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ em relação ao solo, $0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ em relação à esteira — em repouso e em movimento ao mesmo tempo, em dois referenciais diferentes.

![Composição unidimensional: as flechas estão desenhadas em escala, e a flecha do referencial do solo é a soma das outras duas.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g10-relative-motion/fig-77e614ef8334.svg)

*Composição unidimensional: as flechas estão desenhadas em escala, e a flecha do [referencial do solo](#def-g10-relative-motion-frames) é a soma das outras duas.*

**Observação 5.15 (Duas direções ao mesmo tempo).**

Quando os dois movimentos *não* estão sobre a mesma reta — um barco apontando direto para a outra margem enquanto a correnteza o empurra rio abaixo —, cada movimento segue o seu curso de modo independente, e as velocidades se compõem como flechas colocadas ponta com cauda, exatamente como os vetores do volume de matemática. O barco ainda alcança a margem oposta no tempo fixado apenas pela sua velocidade de travessia, mas atraca rio abaixo do ponto para onde apontava, e a sua [trajetória](#def-g10-relative-motion-trajectory) no [referencial do solo](#def-g10-relative-motion-frames) é uma reta inclinada. O tratamento vetorial completo vem num capítulo posterior; aqui apenas lemos a figura.

![Um barco apontando direto para a outra margem: no referencial da água ele vai reto para o outro lado; no referencial do solo ele segue a reta tracejada inclinada, derivando rio abaixo enquanto atravessa.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g10-relative-motion/fig-f2983d737d64.svg)

*Um barco apontando direto para a outra margem: no [referencial](#def-g10-relative-motion-frame) da água ele vai reto para o outro lado; no [referencial do solo](#def-g10-relative-motion-frames) ele segue a reta tracejada inclinada, derivando rio abaixo enquanto atravessa.*

## 5.5 Exercícios

**Exercício 5.1 ★.**

Um passageiro dorme num trem que viaja a $100\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$. Diga se o passageiro está em repouso ou em movimento, e com que velocidade, em relação a: o vagão; o solo; uma árvore à beira da via; um trem que vem em sentido contrário a $100\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$. Depois descreva o movimento da árvore no [referencial](#def-g10-relative-motion-frame) do trem do passageiro.

**Solução de Exercício 5.1.**

Em relação ao vagão: em repouso. Em relação ao solo e à árvore: em movimento a $100\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$. Em relação ao trem que vem em sentido contrário: velocidades em sentidos opostos se somam, $100 + 100 = 200\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$. No [referencial](#def-g10-relative-motion-frame) do trem do passageiro, a árvore se move para trás a $100\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ao longo de uma reta.

**Exercício 5.2 ★.**

Converta: $72\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ e $108\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ para $\mathrm{m}/\mathrm{s}$; $25\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ e $340\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ para $\mathrm{km}/\mathrm{h}$. Confira cada resposta com a regra do [Método 5.7](#met-g10-relative-motion-convert).

**Solução de Exercício 5.2.**

$72 / 3.6 = 20\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; $108 / 3.6 = 30\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; $25 \times 3.6 = 90\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$; $340 \times 3.6 = 1224\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$. Em cada par o valor em $\mathrm{km}/\mathrm{h}$ é o maior, como a regra de conferência exige.

**Exercício 5.3 ★.**

Um ciclista percorre $36\,\mathrm{km}$ em $1\,\mathrm{h}$ $30\,\mathrm{min}$; um velocista percorre $100\,\mathrm{m}$ em $10.0\,\mathrm{s}$. Calcule as duas [velocidades médias](#def-g10-relative-motion-speed) em $\mathrm{m}/\mathrm{s}$ e em $\mathrm{km}/\mathrm{h}$. Quem é mais rápido, e a resposta surpreende você?

**Solução de Exercício 5.3.**

Ciclista: $v = \frac{36\,\mathrm{km}}{1.5\,\mathrm{h}} = 24\,\mathrm{km}/\mathrm{h}
= 24/3.6 \approx 6.7\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Velocista: $v = \frac{100\,\mathrm{m}}{10.0\,\mathrm{s}} = 10.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}
= 36\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$. O velocista é uma vez e meia mais rápido — mas só por dez segundos, enquanto o ciclista mantém o ritmo por uma hora e meia. [Velocidades médias](#def-g10-relative-motion-speed) só se comparam com justiça em durações comparáveis.

**Exercício 5.4 ★.**

Uma esteira rolante anda a $0.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Um viajante caminha a $1.4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ em relação à esteira. Dê a velocidade do viajante em relação ao solo quando ele caminha no sentido da esteira, contra ela, e quando fica parado sobre ela.

**Solução de Exercício 5.4.**

Mesmo sentido: $1.4 + 0.9 = 2.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Contra a esteira: $1.4 - 0.9 = 0.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Parado sobre a esteira: os $0.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ da própria esteira.

**Exercício 5.5 ★.**

Para cada movimento, escolha o [referencial](#def-g10-relative-motion-frame) mais conveniente entre solo, geocêntrico e heliocêntrico, e justifique em uma frase: uma caneta solta dentro de um trem em movimento (bônus: há um [referencial](#def-g10-relative-motion-frame) ainda melhor disponível); a [órbita](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/4-gravitacao-universal-e-peso#def-g10-universal-gravitation-satellite) da Estação Espacial Internacional; um ano marciano; uma corrida de $100\,\mathrm{m}$.

**Solução de Exercício 5.5.**

Caneta solta: o [referencial do solo](#def-g10-relative-motion-frames) funciona, mas o [referencial](#def-g10-relative-motion-frame) do *trem* é ainda melhor — nele a caneta simplesmente cai na vertical. Estação espacial: [referencial geocêntrico](#def-g10-relative-motion-frames) (ela orbita a Terra como um todo, ignorando a rotação). Ano marciano: [referencial heliocêntrico](#def-g10-relative-motion-frames) (Marte descreve um quase-círculo em volta do Sol). Corrida: [referencial do solo](#def-g10-relative-motion-frames) (largada, chegada e cronômetro estão todos fixos ao solo).

**Exercício 5.6 ★★.**

Um trem anda a $108\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$. Um passageiro caminha para a frente a $1.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ em relação ao trem.

1. Converta a velocidade do trem para $\mathrm{m}/\mathrm{s}$ e dê então a velocidade do passageiro em relação ao solo, caminhando para a frente e para trás.
2. O vagão tem $60\,\mathrm{m}$ de comprimento. Quanto tempo dura a caminhada até a frente, e que distância o passageiro percorre em relação ao solo durante ela?

**Solução de Exercício 5.6.**

*1.* $108/3.6 = 30\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Para a frente: $30 + 1.5 = 31.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; para trás: $30 - 1.5 = 28.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

*2.* Em relação ao trem, o passageiro percorre $60\,\mathrm{m}$ a $1.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$: $t = 60/1.5 = 40\,\mathrm{s}$. Em relação ao solo, ele percorre $31.5 \times 40 = 1260\,\mathrm{m}$ — os $1200\,\mathrm{m}$ transportados pelo trem mais os $60\,\mathrm{m}$ caminhados, como a regra de composição prevê.

**Exercício 5.7 ★★.**

A velocidade de um barco em água parada é $5.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; um rio corre a $2.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. O barco percorre $420\,\mathrm{m}$ rio abaixo, dá meia-volta e retorna.

1. Calcule a velocidade do barco em relação à margem em cada trecho e a duração de cada trecho.
2. Calcule a [velocidade média](#def-g10-relative-motion-speed) da ida e volta. Por que ela é menor do que $5.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , se a correnteza ajuda num trecho exatamente tanto quanto atrapalha no outro?

**Solução de Exercício 5.7.**

*1.* Rio abaixo: $5.0 + 2.0 = 7.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, logo $t_1 = 420/7.0 = 60\,\mathrm{s}$. Rio acima: $5.0 - 2.0 = 3.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, logo $t_2 = 420/3.0 = 140\,\mathrm{s}$.

*2.* [Velocidade média](#def-g10-relative-motion-speed): $v = \frac{840}{60 + 140}
= \frac{840}{200} = 4.2\,\mathrm{m}/\mathrm{s} < 5.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. A ajuda e o estorvo da correnteza são iguais em *velocidade*, mas não em *tempo*: o barco passa $140\,\mathrm{s}$ sendo freado e apenas $60\,\mathrm{s}$ sendo ajudado, de modo que o trecho lento domina a média.

**Exercício 5.8 ★★.**

Dois trens se cruzam em vias paralelas: o trem A ($180\,\mathrm{m}$ de comprimento) a $25\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ e o trem B ($90\,\mathrm{m}$) a $20\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

1. Eles viajam em sentidos opostos. Qual é a velocidade de B no [referencial](#def-g10-relative-motion-frame) de A, e quanto dura o cruzamento completo (do encontro das frentes à separação das caudas)?
2. As mesmas perguntas se eles viajarem no mesmo sentido.

**Solução de Exercício 5.8.**

*1.* Sentidos opostos: no [referencial](#def-g10-relative-motion-frame) de A, B se aproxima a $25 + 20 = 45\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. O cruzamento se completa quando B tiver deslizado pelo comprimento combinado $180 + 90 = 270\,\mathrm{m}$: $t = 270/45 = 6.0\,\mathrm{s}$.

*2.* Mesmo sentido: velocidade relativa $25 - 20 = 5.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, e $t = 270/5.0 = 54\,\mathrm{s}$ — nove vezes mais, e é por isso que ultrapassar um caminhão parece não acabar nunca.

**Exercício 5.9 ★★.**

Uma bicicleta rola por uma estrada reta. Descreva a [trajetória](#def-g10-relative-motion-trajectory) da válvula do pneu: no [referencial](#def-g10-relative-motion-frame) do ciclista; no [referencial do solo](#def-g10-relative-motion-frames); e no [referencial](#def-g10-relative-motion-frame) da própria válvula. Descreva também a [trajetória](#def-g10-relative-motion-trajectory) do cubo da roda no [referencial do solo](#def-g10-relative-motion-frames). Sem contas — nomeie cada curva.

**Solução de Exercício 5.9.**

[Referencial](#def-g10-relative-motion-frame) do ciclista: um círculo (o círculo do aro, centrado no cubo). [Referencial do solo](#def-g10-relative-motion-frames): uma [cicloide](#prop-g10-relative-motion-relativity) — uma sequência de arcadas, uma por volta da roda. [Referencial](#def-g10-relative-motion-frame) da própria válvula: a válvula está em repouso, um único ponto. O cubo no [referencial do solo](#def-g10-relative-motion-frames): uma reta horizontal à altura de um raio de roda.

**Exercício 5.10 ★★.**

O equador da Terra tem cerca de $40\,000\,\mathrm{km}$, e a Terra dá uma volta em $24\,\mathrm{h}$.

1. Calcule a velocidade de um ponto do equador no [referencial geocêntrico](#def-g10-relative-motion-frames) , em $\mathrm{km}/\mathrm{h}$ e em $\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .
2. Explique em uma frase cada: por que não sentimos essa velocidade e por que “o Sol nasce” e “a Terra gira” relatam a mesma observação.

**Solução de Exercício 5.10.**

*1.* $v = \frac{40\,000\,\mathrm{km}}{24\,\mathrm{h}}
\approx 1.7 \times 10^{3}\,\mathrm{km}/\mathrm{h} = 1667/3.6 \approx 463\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ — mais rápido do que o som.

*2.* Não a sentimos porque tudo à nossa volta — solo, ar, edifícios — compartilha exatamente o mesmo movimento, de modo que nada se move em relação a nós (e o princípio da inércia, [Capítulo 6](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#ch-g10-inertia), explicará por que um movimento uniforme compartilhado é indetectável por dentro). “O Sol nasce” é o relato no [referencial do solo](#def-g10-relative-motion-frames) e “a Terra gira” é o relato no [referencial geocêntrico](#def-g10-relative-motion-frames) de uma única e mesma observação.

**Exercício 5.11 ★★.**

Parado numa escada rolante em movimento, o percurso de subida leva $60\,\mathrm{s}$. Subir a mesma escada desligada leva $90\,\mathrm{s}$. Quanto tempo leva subir a escada em movimento caminhando? (Trabalhe com as velocidades, não com os tempos.)

**Solução de Exercício 5.11.**

Seja $L$ o comprimento da escada. Velocidade da escada: $L/60$; velocidade de caminhada: $L/90$. Caminhando na escada em movimento, as velocidades se somam:

$$
v = \frac{L}{60} + \frac{L}{90} = L\left(\frac{3 + 2}{180}\right)
= \frac{L}{36},
$$

de modo que a subida leva $36\,\mathrm{s}$. (Não é a média de $60$ e $90$: as velocidades se somam, os tempos não.)

**Exercício 5.12 ★★★.**

Um motorista percorre a mesma distância duas vezes: na ida a $60\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$, na volta a $90\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$.

1. Mostre que a [velocidade média](#def-g10-relative-motion-speed) da ida e volta é $72\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ — e não $75\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ .
2. Explique onde a resposta ingênua erra e diga qual trecho domina a média.

**Solução de Exercício 5.12.**

*1.* Para uma distância $d$ em cada sentido: $t = \frac{d}{60} + \frac{d}{90} = d\,\frac{3 + 2}{180} = \frac{d}{36}$, logo $v = \frac{2d}{d/36} = 72\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$.

*2.* O ingênuo $75$ tira a média das duas velocidades como se o motorista tivesse passado *tempos* iguais em cada uma; na verdade as distâncias é que são iguais, de modo que o trecho mais lento dura mais ($\frac{d}{60} > \frac{d}{90}$) e puxa a média para perto de $60\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$. A [velocidade média](#def-g10-relative-motion-speed) é a distância total dividida pelo tempo total — e nada mais.

**Exercício 5.13 ★★★.**

Dois ciclistas partem a $35\,\mathrm{km}$ um do outro e pedalam um em direção ao outro, um a $15\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ e o outro a $20\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$.

1. Descreva o movimento do segundo ciclista no [referencial](#def-g10-relative-motion-frame) do primeiro e deduza quando eles se encontram.
2. Que distância cada um pedalou no encontro?
3. Se, em vez disso, eles pedalarem no mesmo sentido (o mais rápido atrás), quanto tempo dura a perseguição?

**Solução de Exercício 5.13.**

*1.* No [referencial](#def-g10-relative-motion-frame) do primeiro ciclista, o segundo se aproxima em linha reta a $15 + 20 = 35\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$, a partir de $35\,\mathrm{km}$ de distância: eles se encontram depois de exatamente $1.0\,\mathrm{h}$.

*2.* O primeiro pedalou $15 \times 1 = 15\,\mathrm{km}$ e o segundo, $20 \times 1 = 20\,\mathrm{km}$ — ao todo $35\,\mathrm{km}$, como tinha de ser.

*3.* Mesmo sentido: velocidade de aproximação $20 - 15 = 5\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$, logo a perseguição dura $35/5 = 7\,\mathrm{h}$.

**Exercício 5.14 ★★★.**

Um nadador atravessa um rio de $60\,\mathrm{m}$ de largura, apontando direto para a outra margem a $1.2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ em relação à água; a correnteza corre a $0.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

1. Explique por que o tempo de travessia é fixado apenas pela velocidade de travessia do nadador e calcule-o.
2. A que distância rio abaixo o nadador chega à outra margem?
3. Usando um triângulo retângulo, encontre a velocidade do nadador no [referencial do solo](#def-g10-relative-motion-frames) e o comprimento do caminho efetivamente nadado em relação ao solo.

**Solução de Exercício 5.14.**

*1.* A correnteza empurra o nadador ao longo do rio, não através dele: os dois movimentos se compõem de modo independente, e o avanço em direção à outra margem se faz a $1.2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ qualquer que seja a deriva. Tempo de travessia: $t = 60/1.2 = 50\,\mathrm{s}$.

*2.* Deriva: $0.9 \times 50 = 45\,\mathrm{m}$ rio abaixo.

*3.* A velocidade no [referencial do solo](#def-g10-relative-motion-frames) é a hipotenusa de um triângulo retângulo de catetos $1.2$ e $0.9$: $v = \sqrt{1.2^2 + 0.9^2} = \sqrt{2.25} = 1.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ (um triângulo $3$–$4$–$5$ multiplicado por $0.3$). Comprimento do caminho: $1.5 \times 50 = 75\,\mathrm{m}$ — ou diretamente $\sqrt{60^2 + 45^2} = 75\,\mathrm{m}$.

**Exercício 5.15 ★★★.**

A Terra orbita o Sol num quase-círculo de raio $1.50 \times 10^{11}\,\mathrm{m}$, em um ano ($3.16 \times 10^{7}$ segundos).

1. Calcule a velocidade da Terra no [referencial heliocêntrico](#def-g10-relative-motion-frames) , em $\mathrm{km}/\mathrm{s}$ .
2. Compare-a com a velocidade de rotação do equador encontrada no [Exercício 5.10](#exo-g10-relative-motion-10) .
3. Vista da Terra, Marte às vezes parece parar e derivar para trás entre as estrelas por algumas semanas. Explique em duas frases, com o vocabulário deste capítulo, por que o [referencial heliocêntrico](#def-g10-relative-motion-frames) dissolve o mistério.

**Solução de Exercício 5.15.**

*1.* $v = \frac{2\pi \times 1.50 \times 10^{11}}{3.16 \times 10^{7}}
= \frac{9.42 \times 10^{11}}{3.16 \times 10^{7}} \approx 2.98 \times 10^{4}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}
\approx 30\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$.

*2.* $30 / 0.46 \approx 65$: a Terra nos leva em volta do Sol cerca de sessenta e cinco vezes mais depressa do que nos gira em torno do seu eixo.

*3.* No [referencial geocêntrico](#def-g10-relative-motion-frames), o caminho aparente de Marte combina o movimento orbital dele com o da Terra e, quando a Terra, mais rápida, ultrapassa Marte, a combinação corre para trás por algumas semanas. No [referencial heliocêntrico](#def-g10-relative-motion-frames) os dois planetas simplesmente circulam o Sol em ritmos regulares — a “volta para trás” não é um movimento de Marte, mas um artefato do [referencial](#def-g10-relative-motion-frame).

## 5.6 Problema: a esteira, o rio e o satélite

**Problema 5.1.**

Problema de fim de semana — a esteira rolante, o rio e o satélite: quem se move, em relação a quê, e o relatório final de velocidade do viajante de poltrona

Um aeroporto, uma travessia de balsa e um ponto brilhante deslizando pelo céu do anoitecer: três cenas do dia a dia, uma pergunta feita três vezes — quem se move, em relação a quê? Cada parte escolhe o seu [referencial](#def-g10-relative-motion-frame), calcula e observa a resposta mudar com o ponto de vista; o final soma o quanto *você* está se movendo agora mesmo, sentado perfeitamente imóvel.

**Parte I — A corrida da esteira.** Uma esteira de aeroporto tem $90\,\mathrm{m}$ de comprimento e anda a $1.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Um viajante caminha a $1.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ (em relação ao que estiver sob os seus pés).

1. Quanto tempo a esteira leva para carregar de uma ponta à outra um viajante parado?
2. Quanto tempo o viajante leva caminhando sobre a esteira em movimento, no sentido dela?
3. Quanto tempo caminhando ao lado da esteira, no piso fixo?
4. Um brincalhão caminha na contramão sobre a esteira, a $1.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ em relação a ela. Velocidade em relação ao solo e tempo para ir da ponta oposta de volta à entrada?
5. Uma criança corre na contramão a exatamente $1.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ em relação à esteira. Descreva o movimento da criança no [referencial do solo](#def-g10-relative-motion-frames) e diga que aparelho de academia isso reinventa.
6. Resuma as questões 1–5 numa tabela de duas colunas: a velocidade de cada um no [referencial](#def-g10-relative-motion-frame) da esteira e no [referencial do solo](#def-g10-relative-motion-frames) . Que coluna as pernas dos viajantes sentem?

**Parte II — O rio.** Uma balsa atravessa um rio de $120\,\mathrm{m}$ de largura. A sua velocidade em relação à água é $2.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; a correnteza corre a $1.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. O piloto começa apontando direto para a margem oposta.

7. Quanto tempo dura a travessia?
8. A que distância rio abaixo a balsa atraca?
9. Usando um triângulo retângulo, calcule a velocidade da balsa no [referencial do solo](#def-g10-relative-motion-frames) e o comprimento da sua [trajetória](#def-g10-relative-motion-trajectory) no [referencial do solo](#def-g10-relative-motion-frames) . (Aparece um trio de números familiar.)
10. Descreva a [trajetória](#def-g10-relative-motion-trajectory) da balsa no [referencial](#def-g10-relative-motion-frame) da água e no [referencial do solo](#def-g10-relative-motion-frames) . O que há de igual entre elas e o que muda?
11. Um nadador cuja velocidade em relação à água é $1.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ parte da mesma margem, apontando direto para o outro lado como a balsa. Quanto tempo dura a travessia e a que distância rio abaixo ele chega? Calcule a velocidade do nadador no [referencial do solo](#def-g10-relative-motion-frames) (triângulo retângulo de novo). Por que o nadador, mais lento, deriva mais do que a balsa?
12. Um tronco passa flutuando pela balsa. Dê a velocidade dele no [referencial do solo](#def-g10-relative-motion-frames) e no [referencial](#def-g10-relative-motion-frame) da água. Em que [referencial](#def-g10-relative-motion-frame) o tronco “está se movendo”? Comente.

**Parte III — A passagem do [satélite](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/4-gravitacao-universal-e-peso#def-g10-universal-gravitation-satellite).** Ao anoitecer, a Estação Espacial Internacional cruza o céu em poucos minutos. Ela orbita a uma altitude de $400\,\mathrm{km}$; o raio da Terra é $6.37 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$, e uma [órbita](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/4-gravitacao-universal-e-peso#def-g10-universal-gravitation-satellite) leva $5.56 \times 10^{3}\,\mathrm{s}$ (cerca de $93\,\mathrm{min}$).

13. Em que [referencial](#def-g10-relative-motion-frame) usual o movimento da estação é mais simples? Calcule a sua velocidade nesse [referencial](#def-g10-relative-motion-frame) , em $\mathrm{km}/\mathrm{s}$ .
14. Explique em duas frases por que o [referencial do solo](#def-g10-relative-motion-frames) descreve a estação de modo desajeitado — o que acontece com o seu rastro sobre o solo de uma [órbita](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/4-gravitacao-universal-e-peso#def-g10-universal-gravitation-satellite) para a seguinte?
15. Compare a velocidade orbital da estação com a velocidade de rotação do equador ( $\approx 0.46\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ ): por que fator a estação é mais rápida?
16. Um [satélite](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/4-gravitacao-universal-e-peso#def-g10-universal-gravitation-satellite) geoestacionário orbita a um raio de $4.22 \times 10^{7}\,\mathrm{m}$ em exatamente um dia ( $8.64 \times 10^{4}\,\mathrm{s}$ ). Calcule a sua velocidade no [referencial geocêntrico](#def-g10-relative-motion-frames) e descreva depois o seu movimento no [referencial do solo](#def-g10-relative-motion-frames) . Concilie as duas respostas em uma frase.
17. No [referencial geocêntrico](#def-g10-relative-motion-frames) , a Lua descreve um quase-círculo em volta da Terra em cerca de $27$ dias. Esboce em palavras a sua [trajetória](#def-g10-relative-motion-trajectory) no [referencial heliocêntrico](#def-g10-relative-motion-frames) ao longo de alguns meses.

**Parte IV — Quem se move?**

18. “O Sol nasce a leste.” “A Terra gira para leste.” Diga o [referencial](#def-g10-relative-motion-frame) em que cada frase descreve a observação e explique por que nenhuma está errada.
19. Num parágrafo sóbrio: o que o [referencial](#def-g10-relative-motion-frame) de Ptolomeu fazia bem, o que o [referencial](#def-g10-relative-motion-frame) de Copérnico simplificou (mencione as voltas para trás de Marte) e por que o veredito moderno é sobre *conveniência* e não sobre um [referencial](#def-g10-relative-motion-frame) ser verdadeiro.
20. O relatório de velocidade do viajante de poltrona. Você está sentado imóvel numa poltrona perto do equador. Dê a sua velocidade no [referencial do solo](#def-g10-relative-motion-frames) , no [referencial geocêntrico](#def-g10-relative-motion-frames) ( $\approx 0.46\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ ) e no [referencial heliocêntrico](#def-g10-relative-motion-frames) ( $\approx 30\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ ). Calcule então a distância que você percorre no [referencial heliocêntrico](#def-g10-relative-motion-frames) durante um filme de $90\,\mathrm{min}$ e conclua o problema com a moral do capítulo em uma frase.

**Solução de Problema 5.1.**

**1.** $t = 90/1.0 = 90\,\mathrm{s}$.

**2.** Velocidade em relação ao solo $1.5 + 1.0 = 2.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$: $t = 90/2.5 = 36\,\mathrm{s}$.

**3.** $t = 90/1.5 = 60\,\mathrm{s}$.

**4.** $1.5 - 1.0 = 0.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ em relação ao solo, contra o sentido da esteira: $t = 90/0.5 = 180\,\mathrm{s}$ — três minutos inteiros de caminhada acelerada.

**5.** Velocidade em relação ao solo $1.0 - 1.0 = 0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$: a criança corre com afinco e não sai do lugar, em repouso no [referencial do solo](#def-g10-relative-motion-frames) enquanto dispara no [referencial](#def-g10-relative-motion-frame) da esteira. Isso é uma esteira ergométrica.

**6.** [Referencial](#def-g10-relative-motion-frame) da esteira / [referencial do solo](#def-g10-relative-motion-frames): viajante parado $0$ / $1.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; caminhante a favor da esteira $1.5$ / $2.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; caminhante no piso $0.5$ (o piso desliza para trás no [referencial](#def-g10-relative-motion-frame) da esteira) / $1.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; brincalhão $1.5$ / $0.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; criança $1.0$ / $0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. As pernas de cada um sentem a coluna do [referencial](#def-g10-relative-motion-frame) daquilo que está sob os seus pés — a coluna da esteira para quem anda sobre ela, a do solo para quem anda no piso: o esforço é a velocidade de caminhada em relação ao que está por baixo.

**7.** O avanço através do rio se faz a $2.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ faça a correnteza o que fizer: $t = 120/2.0 = 60\,\mathrm{s}$.

**8.** Deriva: $1.5 \times 60 = 90\,\mathrm{m}$ rio abaixo.

**9.** Velocidade em relação ao solo: hipotenusa de um triângulo retângulo de catetos $2.0$ e $1.5$: $v = \sqrt{2.0^2 + 1.5^2}
= \sqrt{6.25} = 2.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Comprimento da [trajetória](#def-g10-relative-motion-trajectory): $2.5 \times 60 = 150\,\mathrm{m}$ — o trio $3$–$4$–$5$ de novo, ampliado para $90$–$120$–$150$.

**10.** [Referencial](#def-g10-relative-motion-frame) da água: uma reta de $120\,\mathrm{m}$, perpendicular às margens. [Referencial do solo](#def-g10-relative-motion-frames): também uma reta, mas inclinada e com $150\,\mathrm{m}$. Mesma forma (reta), direção e comprimento diferentes: a [trajetória](#def-g10-relative-motion-trajectory) pertence ao [referencial](#def-g10-relative-motion-frame), e não à balsa.

**11.** O avanço através do rio se faz a $1.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, logo $t = 120/1.0 = 120\,\mathrm{s}$. Deriva: $1.5 \times 120 = 180\,\mathrm{m}$ — o dobro dos $90\,\mathrm{m}$ da balsa. Velocidade em relação ao solo: hipotenusa de catetos $1.0$ e $1.5$: $v = \sqrt{1.0^2 + 1.5^2} = \sqrt{3.25} \approx 1.8\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. O nadador, mais lento, demora o dobro para atravessar, de modo que a mesma correnteza tem o dobro de tempo para levá-lo rio abaixo.

**12.** [Referencial do solo](#def-g10-relative-motion-frames): o tronco deriva com os $1.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ da correnteza. [Referencial](#def-g10-relative-motion-frame) da água: ele está em repouso, boiando com a água à sua volta. Se o tronco “se move” não tem resposta independente de [referencial](#def-g10-relative-motion-frame) — e é esse o ponto do capítulo inteiro.

**13.** O [referencial geocêntrico](#def-g10-relative-motion-frames). Raio da [órbita](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/4-gravitacao-universal-e-peso#def-g10-universal-gravitation-satellite) $r = 6.37 \times 10^{6} + 4.0 \times 10^{5} = 6.77 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$, logo

$$
v = \frac{2\pi r}{T} = \frac{2\pi \times 6.77 \times 10^{6}}{5.56 \times 10^{3}}
\approx 7.65 \times 10^{3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s} \approx 7.7\,\mathrm{km}/\mathrm{s}.
$$

**14.** Enquanto a estação completa uma [órbita](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/4-gravitacao-universal-e-peso#def-g10-universal-gravitation-satellite), a Terra gira por baixo dela cerca de $23^\circ$, de modo que o rastro sobre o solo se desloca para oeste a cada passagem. No [referencial do solo](#def-g10-relative-motion-frames) o caminho da estação é uma curva ondulada complicada que nunca se repete exatamente; no [referencial geocêntrico](#def-g10-relative-motion-frames) é um único quase-círculo fixo.

**15.** $7.65 / 0.46 \approx 17$: a estação supera o equador em rotação em cerca de dezessete vezes, e é por isso que ela cruza o céu inteiro em minutos.

**16.** $v = \frac{2\pi \times 4.22 \times 10^{7}}{8.64 \times 10^{4}}
\approx 3.07 \times 10^{3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s} \approx 3.1\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ no [referencial geocêntrico](#def-g10-relative-motion-frames). No [referencial do solo](#def-g10-relative-motion-frames) ele está *em repouso*, pairando sobre um ponto fixo do equador — ele dá a volta no eixo da Terra exatamente no mesmo tempo que o próprio solo, de modo que os dois movimentos se cancelam no [referencial do solo](#def-g10-relative-motion-frames). Em repouso e a $3.1\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$: as duas coisas verdadeiras, uma por [referencial](#def-g10-relative-motion-frame).

**17.** No [referencial heliocêntrico](#def-g10-relative-motion-frames) a Lua percorre essencialmente a [órbita](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/4-gravitacao-universal-e-peso#def-g10-universal-gravitation-satellite) da Terra — um enorme quase-círculo em volta do Sol — sobreposta a uma oscilação suave de ciclo de $27\,\mathrm{d}$. A influência do Sol domina de modo tão forte que o caminho se curva sempre em direção ao Sol; ele nunca dá voltas para trás.

**18.** “O Sol nasce” é o relato no [referencial do solo](#def-g10-relative-motion-frames), onde o observador está em repouso e o Sol varre o céu. “A Terra gira” é o relato no [referencial geocêntrico](#def-g10-relative-motion-frames), onde a direção do Sol é fixa e o observador é levado para leste em volta do eixo. As duas descrevem a mesma observação; cada uma está correta no seu [referencial](#def-g10-relative-motion-frame), e a [Proposição 5.4](#prop-g10-relative-motion-relativity) diz que nenhuma observação do movimento sozinha pode arbitrar.

**19.** O [referencial](#def-g10-relative-motion-frame) de Ptolomeu, centrado na Terra, casava naturalmente com o movimento diário do céu e previa as posições planetárias de forma utilizável, mas só ao preço de voltas sobre voltas (epiciclos) para reproduzir as andanças de cada planeta. O [referencial](#def-g10-relative-motion-frame) de Copérnico, centrado no Sol, fez de cada planeta um quase-círculo regular e transformou as voltas para trás de Marte num efeito de [referencial](#def-g10-relative-motion-frame) — a Terra ultrapassando um corredor mais lento pela raia de dentro. O veredito moderno não é que o Sol “realmente” fique parado (ele também se move, em volta do centro da galáxia), mas que referenciais são ferramentas: o heliocêntrico torna o movimento planetário incomparavelmente mais simples, e é para a simplicidade, não para a verdade, que serve um [referencial](#def-g10-relative-motion-frame).

**20.** [Referencial do solo](#def-g10-relative-motion-frames): $0\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ — em repouso na poltrona. [Referencial geocêntrico](#def-g10-relative-motion-frames): cerca de $0.46\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$, levado em volta do eixo da Terra. [Referencial heliocêntrico](#def-g10-relative-motion-frames): cerca de $30\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$, levado em volta do Sol. Durante um filme de $90\,\mathrm{min}$: $d = 3.0 \times 10^{4} \times 5400 \approx 1.6 \times 10^{8}\,\mathrm{m}
= 160\,000\,\mathrm{km}$ — quase metade do caminho até a Lua sem sair da poltrona. Moral: o movimento não é uma propriedade de um corpo, mas de um corpo e de um [referencial](#def-g10-relative-motion-frame); escolha o [referencial](#def-g10-relative-motion-frame) que torna a história simples e diga sempre qual foi.