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title: "Forças e o princípio da inércia"
book: "Física do ensino médio"
subject: physics
language: pt
chapter: 6
exercises: 15
source: https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia
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# Capítulo 6 — Forças e o princípio da inércia

Pare de pedalar e a bicicleta vai perdendo velocidade até parar; pare de puxar e o trenó fica imóvel. A experiência sussurra que o movimento precisa ser alimentado por um esforço — e por dois mil anos a física concordou. Este capítulo constrói a [força](#def-g10-inertia-force), uma flecha medida em [newtons](#def-g10-inertia-force), e enuncia a primeira grande lei da mecânica: deixado realmente em paz, um corpo em movimento conserva o seu movimento, retilíneo e regular, para sempre.

## 6.1 Modelar uma ação como força

**Definição 6.1 (Força).**

Uma *força* modela uma ação mecânica (um empurrão, um puxão, uma atração) exercida sobre um corpo. Ela é caracterizada por:

- o seu *ponto de aplicação* ;
- a sua direção — a reta ao longo da qual ela age — e o seu sentido sobre essa reta;
- o seu módulo, medido em *newtons* (símbolo $\mathrm{N}$ ).

Uma força se desenha como uma flecha $\vect F$ (um vetor, como no volume de matemática) a partir do seu ponto de aplicação, com comprimento proporcional ao módulo numa escala declarada.

**Exemplo 6.2 (O peso de uma mochila).**

Uma mochila de massa $m = 4.0\,\mathrm{kg}$ é puxada para baixo pela Terra com o seu [peso](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/4-gravitacao-universal-e-peso#def-g10-universal-gravitation-weight) ([Capítulo 4](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/4-gravitacao-universal-e-peso#ch-g10-universal-gravitation)): $P = mg = 4.0 \times 9.81 \approx 39\,\mathrm{N}$ — um [newton](#def-g10-inertia-force) é mais ou menos o [peso](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/4-gravitacao-universal-e-peso#def-g10-universal-gravitation-weight) de uma maçã. Na escala $1\,\mathrm{cm} \leftrightarrow
10\,\mathrm{N}$: uma flecha vertical de $3.9\,\mathrm{cm}$, aplicada no centro de gravidade da mochila, apontando para baixo.

## 6.2 Um inventário de forças

**Definição 6.3 (Forças de contato e forças a distância).**

Uma *força de contato* é exercida nos pontos em que dois corpos se tocam. Uma *força a distância* dispensa contato: o [peso](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/4-gravitacao-universal-e-peso#def-g10-universal-gravitation-weight) — a atração gravitacional do [Capítulo 4](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/4-gravitacao-universal-e-peso#ch-g10-universal-gravitation) — é a única usada neste capítulo.

**Definição 6.4 (As forças de contato mais comuns).**

Quatro [forças de contato](#def-g10-inertia-contact) cobrem a maioria das situações do dia a dia:

- a *reação normal* $\vect R$ de um apoio, perpendicular à sua superfície, empurrando para fora dela;
- a *tensão* $\vect T$ de um fio, de uma corda ou de uma corrente, dirigida ao longo dele e puxando na sua direção;
- o *atrito* $\vect f$ de uma superfície, do ar ou da água, opondo-se ao deslizamento ou ao movimento;
- a *propulsão* de um motor, de um jato ou de uma mão, empurrando no sentido do esforço.

![O livro sobre a mesa: peso P e reação normal R — mesma reta, comprimentos iguais, sentidos opostos.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g10-inertia/fig-c8a17ee1dbd0.svg)

*O livro sobre a mesa: [peso](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/4-gravitacao-universal-e-peso#def-g10-universal-gravitation-weight) $\vect P$ e [reação normal](#def-g10-inertia-inventory) $\vect R$ — mesma reta, comprimentos iguais, sentidos opostos.*

**Exemplo 6.5 (Inventário de um trenó rebocado).**

Um trenó rebocado sobre a neve: [peso](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/4-gravitacao-universal-e-peso#def-g10-universal-gravitation-weight) $\vect P$ (a distância), [reação normal](#def-g10-inertia-inventory) $\vect R$ da neve, [tensão](#def-g10-inertia-inventory) $\vect T$ da corda, [atrito](#def-g10-inertia-inventory) $\vect f$ que se opõe ao deslizamento. Nada mais toca o trenó: o inventário está completo — *sempre o [peso](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/4-gravitacao-universal-e-peso#def-g10-universal-gravitation-weight), e depois uma [força de contato](#def-g10-inertia-contact) por objeto que toca*.

## 6.3 O princípio da inércia

**Definição 6.6 (Movimento retilíneo uniforme).**

Um corpo está em *movimento retilíneo uniforme* num [referencial](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/5-movimento-relativo#def-g10-relative-motion-frame) quando a sua [trajetória](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/5-movimento-relativo#def-g10-relative-motion-trajectory) é uma reta percorrida com velocidade constante: o seu vetor velocidade $\vect v$ é o mesmo em todos os instantes. O repouso é o caso particular $\vect v = \vect 0$.

**Definição 6.7 (Forças que se compensam).**

As [forças](#def-g10-inertia-force) que agem sobre um corpo *se compensam* quando o efeito conjunto delas é nulo: postas ponta com cauda, as suas flechas voltam ao ponto de partida. Duas [forças](#def-g10-inertia-force) se compensam exatamente quando compartilham a mesma reta de ação com módulos iguais e sentidos opostos.

**Teorema 6.8 (Princípio da inércia).**

No [referencial do solo](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/5-movimento-relativo#def-g10-relative-motion-frames), um corpo sujeito a nenhuma [força](#def-g10-inertia-force), ou a [forças que se compensam](#def-g10-inertia-compensate), permanece em repouso ou mantém um [movimento retilíneo uniforme](#def-g10-inertia-uniform); reciprocamente, um corpo em repouso ou em [movimento retilíneo uniforme](#def-g10-inertia-uniform) está sujeito a [forças que se compensam](#def-g10-inertia-compensate) (ou a nenhuma [força](#def-g10-inertia-force)).

**Demonstração.** *Admitido neste nível.* ∎

**Observação 6.9.**

Nenhuma experiência consegue isolar um corpo por completo, de modo que o princípio é um postulado — entrevisto por Galileu, enunciado por Newton. Um capítulo posterior o promove a uma lei que relaciona [forças](#def-g10-inertia-force) a *variações* de velocidade; o volume do primeiro ano de graduação pergunta em que referenciais ele de fato vale.

**Proposição 6.10 (Ler o movimento a partir das forças, e vice-versa).**

No [referencial do solo](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/5-movimento-relativo#def-g10-relative-motion-frames):

1. se a velocidade de um corpo muda — em módulo *ou* em direção —, as [forças](#def-g10-inertia-force) sobre ele *não* [se compensam](#def-g10-inertia-compensate) ;
2. se um corpo está em repouso ou em [movimento retilíneo uniforme](#def-g10-inertia-uniform) , as [forças](#def-g10-inertia-force) do seu inventário têm de se cancelar — o que determina as incógnitas.

**Demonstração.** A primeira afirmação é a contrapositiva do [Teorema 6.8](#thm-g10-inertia-principle), e a segunda é a sua parte recíproca aplicada a um inventário completo. ∎

![Um disco de hóquei depois de solto: posições a intervalos de tempo iguais, uma flecha de velocidade idêntica em cada uma — movimento retilíneo uniforme.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g10-inertia/fig-65f18f72c519.svg)

*Um disco de hóquei depois de solto: posições a intervalos de tempo iguais, uma flecha de velocidade idêntica em cada uma — [movimento retilíneo uniforme](#def-g10-inertia-uniform).*

**Exemplo 6.11 (O disco de hóquei).**

Solto pelo taco, um disco atravessa $30\,\mathrm{m}$ de gelo liso em $2.5\,\mathrm{s}$, em linha reta, com a velocidade constante $v = 30/2.5 = 12\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Inventário: [peso](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/4-gravitacao-universal-e-peso#def-g10-universal-gravitation-weight) e [reação normal](#def-g10-inertia-inventory) ([atrito](#def-g10-inertia-inventory) desprezível). Eles [se compensam](#def-g10-inertia-compensate), e o princípio prevê exatamente o movimento observado: nada empurra o disco para a frente — e nada precisa empurrar.

**Observação 6.12 (Galileu contra Aristóteles).**

Aristóteles ensinava que todo movimento precisa de um motor, e a vida cotidiana — com [atrito](#def-g10-inertia-inventory) em cada contato — parece concordar. Galileu idealizou o [atrito](#def-g10-inertia-inventory) para fora: superfícies cada vez mais lisas exigem cada vez menos empurrão para *manter* o movimento. A persistência, e não o repouso, é o estado natural.

**Observação 6.13 (O passageiro que é jogado para a frente).**

Quando um ônibus freia bruscamente, os passageiros em pé são projetados para a frente. [Força](#def-g10-inertia-force) nenhuma os arremessa: por inércia, os corpos deles conservam a sua velocidade enquanto o ônibus perde a sua. O cinto de segurança fornece a [força](#def-g10-inertia-force) para trás que falta no inventário.

![Uma pedra de curling a intervalos de tempo iguais. À esquerda: P e R se compensam — passos iguais. À direita: sobra um atrito f não compensado — os passos encolhem, a velocidade muda.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g10-inertia/fig-d47529b6aede.svg)

![Uma pedra de curling a intervalos de tempo iguais. À esquerda: P e R se compensam — passos iguais. À direita: sobra um atrito f não compensado — os passos encolhem, a velocidade muda.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g10-inertia/fig-7004372faab2.svg)

*Uma pedra de curling a intervalos de tempo iguais. À esquerda: $\vect P$ e $\vect R$ [se compensam](#def-g10-inertia-compensate) — passos iguais. À direita: sobra um [atrito](#def-g10-inertia-inventory) $\vect f$ não compensado — os passos encolhem, a velocidade muda.*

## 6.4 Forças equilibradas: estática a partir de um desenho

**Definição 6.14 (Diagrama de forças).**

O *diagrama de forças* de um corpo mostra o corpo sozinho, com todas as [forças](#def-g10-inertia-force) que agem *sobre* ele desenhadas em escala a partir do seu [ponto de aplicação](#def-g10-inertia-force); as [forças](#def-g10-inertia-force) exercidas *pelo* corpo nunca aparecem.

**Método 6.15 (Analisar uma situação estática).**

1. Escolha o corpo a estudar; trabalhe no [referencial do solo](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/5-movimento-relativo#def-g10-relative-motion-frames) .
2. Inventário: sempre o [peso](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/4-gravitacao-universal-e-peso#def-g10-universal-gravitation-weight) , e uma [força de contato](#def-g10-inertia-contact) por contato.
3. Desenhe o [diagrama de forças](#def-g10-inertia-diagram) .
4. O corpo está em repouso, logo as [forças](#def-g10-inertia-force) [se compensam](#def-g10-inertia-compensate) ( [Teorema 6.8](#thm-g10-inertia-principle) ): leia os módulos desconhecidos no desenho (comprimentos iguais em 1D, componentes em 2D).

**Exemplo 6.16 (O livro sobre a mesa).**

Um livro de massa $0.50\,\mathrm{kg}$ repousa sobre uma mesa: [peso](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/4-gravitacao-universal-e-peso#def-g10-universal-gravitation-weight) $P = 0.50 \times 9.81 \approx 4.9\,\mathrm{N}$ e [reação normal](#def-g10-inertia-inventory) $\vect R$. Em repouso, $\vect R$ compensa $\vect P$: vertical, para cima, $R = 4.9\,\mathrm{N}$. Coloque um segundo livro e $R$ se ajusta — um apoio empurra exatamente com a [força](#def-g10-inertia-force) necessária.

![A luminária suspensa: as partes horizontais das duas tensões se cancelam por simetria; as partes verticais, juntas, sustentam o peso.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g10-inertia/fig-bc9a21917d2c.svg)

*A luminária suspensa: as partes horizontais das duas tensões se cancelam por simetria; as partes verticais, juntas, sustentam o [peso](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/4-gravitacao-universal-e-peso#def-g10-universal-gravitation-weight).*

**Exemplo 6.17 (A luminária em dois fios).**

Uma luminária de massa $3.0\,\mathrm{kg}$ ($P \approx 29.4\,\mathrm{N}$) pende de dois fios, cada um a $45^\circ$ da vertical. Por simetria as tensões são iguais ($T_1 = T_2 = T$) e as suas componentes horizontais se cancelam; as componentes verticais, cada uma $T \cos 45^\circ$, sustentam o [peso](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/4-gravitacao-universal-e-peso#def-g10-universal-gravitation-weight):

$$
2\,T \cos 45^\circ = P
\qquad\text{logo}\qquad
T = \frac{29.4}{2 \times 0.707} \approx 21\,\mathrm{N}
$$

— mais da metade do [peso](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/4-gravitacao-universal-e-peso#def-g10-universal-gravitation-weight) por fio: puxar em ângulo custa [tensão](#def-g10-inertia-inventory).

## 6.5 Exercícios

**Exercício 6.1 ★.**

Faça o inventário e classifique (contato ou distância) as [forças](#def-g10-inertia-force) sobre: (a) um livro em repouso sobre uma mesa; (b) uma luminária pendurada no seu fio; (c) um disco deslizando sobre gelo liso; (d) uma maçã caindo (resistência do ar desprezível).

**Solução de Exercício 6.1.**

(a) [Peso](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/4-gravitacao-universal-e-peso#def-g10-universal-gravitation-weight) (distância), [reação normal](#def-g10-inertia-inventory) da mesa (contato). (b) [Peso](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/4-gravitacao-universal-e-peso#def-g10-universal-gravitation-weight) (distância), [tensão](#def-g10-inertia-inventory) do fio (contato). (c) [Peso](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/4-gravitacao-universal-e-peso#def-g10-universal-gravitation-weight) (distância), [reação normal](#def-g10-inertia-inventory) do gelo (contato); [atrito](#def-g10-inertia-inventory) desprezível. (d) Só o [peso](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/4-gravitacao-universal-e-peso#def-g10-universal-gravitation-weight) — nada toca a maçã.

**Exercício 6.2 ★.**

Calcule o [peso](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/4-gravitacao-universal-e-peso#def-g10-universal-gravitation-weight) de um livro de $250\,\mathrm{g}$ e o de uma pessoa de $60\,\mathrm{kg}$. Na escala $1\,\mathrm{cm} \leftrightarrow 1\,\mathrm{N}$, qual é o comprimento da flecha do livro, e por que a escala é inviável para a pessoa?

**Solução de Exercício 6.2.**

Livro: $P = 0.250 \times 9.81 \approx 2.45\,\mathrm{N}$, uma flecha de cerca de $2.5\,\mathrm{cm}$. Pessoa: $P = 60 \times 9.81 \approx 589\,\mathrm{N}$ — uma flecha de $5.89\,\mathrm{m}$. Escolha a escala de modo que a maior [força](#def-g10-inertia-force) caiba na página.

**Exercício 6.3 ★.**

Num diagrama na escala $1\,\mathrm{cm} \leftrightarrow 2\,\mathrm{N}$, uma [força](#def-g10-inertia-force) é uma flecha horizontal de $3.5\,\mathrm{cm}$ apontando para a esquerda, aplicada num ponto $A$. Dê as suas três características.

**Solução de Exercício 6.3.**

[Ponto de aplicação](#def-g10-inertia-force) $A$; direção horizontal, sentido para a esquerda; módulo $3.5 \times 2 = 7.0\,\mathrm{N}$.

**Exercício 6.4 ★.**

Um dicionário de massa $1.2\,\mathrm{kg}$ está sobre uma prateleira. Desenhe o seu [diagrama de forças](#def-g10-inertia-diagram) e dê o módulo e a direção de cada [força](#def-g10-inertia-force).

**Solução de Exercício 6.4.**

[Peso](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/4-gravitacao-universal-e-peso#def-g10-universal-gravitation-weight) $\vect P$: vertical, para baixo, $P = 1.2 \times 9.81 \approx 11.8\,\mathrm{N}$. [Reação normal](#def-g10-inertia-inventory) $\vect R$ da prateleira: mesma reta, para cima, $R = 11.8\,\mathrm{N}$ (o dicionário está em repouso, logo as duas [se compensam](#def-g10-inertia-compensate)).

**Exercício 6.5 ★.**

Verdadeiro ou falso — corrija as falsas: (a) um corpo sempre acaba parando, a menos que uma [força](#def-g10-inertia-force) continue a empurrá-lo; (b) o [movimento retilíneo uniforme](#def-g10-inertia-uniform) não exige [força](#def-g10-inertia-force) não compensada alguma; (c) um corpo em repouso não está sujeito a [força](#def-g10-inertia-force) alguma; (d) se a velocidade de um corpo muda, as [forças](#def-g10-inertia-force) sobre ele não [se compensam](#def-g10-inertia-compensate).

**Solução de Exercício 6.5.**

(a) Falso: é o [atrito](#def-g10-inertia-inventory) que faz as coisas pararem; sem [força](#def-g10-inertia-force) alguma, o corpo conserva o seu [movimento retilíneo uniforme](#def-g10-inertia-uniform). (b) Verdadeiro ([princípio da inércia](#thm-g10-inertia-principle)). (c) Falso: ele está sujeito a [forças](#def-g10-inertia-force) que *[se compensam](#def-g10-inertia-compensate)* (por exemplo, [peso](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/4-gravitacao-universal-e-peso#def-g10-universal-gravitation-weight) e reação). (d) Verdadeiro — é a leitura contrapositiva do princípio.

**Exercício 6.6 ★★.**

Depois de solto, um disco percorre $24\,\mathrm{m}$ de gelo em $3.0\,\mathrm{s}$, em linha reta e com velocidade constante. Calcule a sua velocidade; as [forças](#def-g10-inertia-force) sobre ele [se compensam](#def-g10-inertia-compensate)? No concreto, o mesmo disco para em poucos [metros](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/1-ordens-de-grandeza-medir-o-universo#def-g10-orders-of-magnitude-unit): o que mudou no inventário, e o que conclui a [Proposição 6.10](#prop-g10-inertia-converse)?

**Solução de Exercício 6.6.**

*1.* $v = 24/3.0 = 8.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. [Forças](#def-g10-inertia-force): [peso](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/4-gravitacao-universal-e-peso#def-g10-universal-gravitation-weight) e [reação normal](#def-g10-inertia-inventory); elas [se compensam](#def-g10-inertia-compensate) ([movimento retilíneo uniforme](#def-g10-inertia-uniform), [atrito](#def-g10-inertia-inventory) desprezível). *2.* O [atrito](#def-g10-inertia-inventory) do concreto já não é desprezível: o inventário ganha uma [força](#def-g10-inertia-force) para trás não compensada e, de fato, a velocidade muda — o disco desacelera e para.

**Exercício 6.7 ★★.**

Um passageiro de $70\,\mathrm{kg}$ está de pé num elevador que sobe com a velocidade constante de $1.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Liste as [forças](#def-g10-inertia-force) sobre o passageiro; elas [se compensam](#def-g10-inertia-compensate)? Dê o módulo da [força](#def-g10-inertia-force) do piso. Alguma coisa mudaria com o elevador em repouso?

**Solução de Exercício 6.7.**

[Peso](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/4-gravitacao-universal-e-peso#def-g10-universal-gravitation-weight) $P = 70 \times 9.81 \approx 687\,\mathrm{N}$ para baixo; [força](#def-g10-inertia-force) do piso para cima. [Movimento retilíneo uniforme](#def-g10-inertia-uniform), logo elas [se compensam](#def-g10-inertia-compensate): o piso empurra com $687\,\mathrm{N}$. Nada muda com o elevador em repouso — repouso e movimento uniforme dão o mesmo [diagrama de forças](#def-g10-inertia-diagram).

**Exercício 6.8 ★★.**

Uma luminária de massa $1.8\,\mathrm{kg}$ pende em repouso de um único fio vertical. Calcule a [tensão](#def-g10-inertia-inventory) do fio. O fio é substituído por dois fios *verticais* que repartem a carga igualmente: qual é a [tensão](#def-g10-inertia-inventory) de cada um?

**Solução de Exercício 6.8.**

*1.* Em repouso, a [tensão](#def-g10-inertia-inventory) compensa o [peso](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/4-gravitacao-universal-e-peso#def-g10-universal-gravitation-weight): $T = 1.8 \times 9.81 \approx 17.7\,\mathrm{N}$. *2.* Cada fio vertical carrega a metade: $T = 8.8\,\mathrm{N}$.

**Exercício 6.9 ★★.**

Um ônibus freia bruscamente e um passageiro em pé é projetado para a frente; numa curva a velocidade constante, o mesmo passageiro se inclina para fora. Explique as duas coisas sem inventar uma [força](#def-g10-inertia-force) “para a frente” ou “para fora”.

**Solução de Exercício 6.9.**

Frenagem: o corpo do passageiro conserva a sua velocidade (inércia) enquanto o ônibus perde a sua, de modo que o passageiro avança *em relação ao ônibus*. Curva: o corpo tende a seguir em linha reta enquanto o ônibus gira por baixo, e por isso ele deriva para o lado de fora da curva. Nos dois casos a “[força](#def-g10-inertia-force)” é fictícia; o que falta é uma [força](#def-g10-inertia-force) real (aderência, corrimão) para mudar a velocidade do passageiro junto com a do ônibus.

**Exercício 6.10 ★★.**

Um paraquedista de massa total $85\,\mathrm{kg}$ desce verticalmente com a velocidade constante de $5.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Desenhe o [diagrama de forças](#def-g10-inertia-diagram) e calcule a resistência do ar sobre o velame.

**Solução de Exercício 6.10.**

[Movimento retilíneo uniforme](#def-g10-inertia-uniform), logo [peso](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/4-gravitacao-universal-e-peso#def-g10-universal-gravitation-weight) e resistência do ar [se compensam](#def-g10-inertia-compensate): arrasto $= P = 85 \times 9.81 \approx 834\,\mathrm{N}$, vertical e para cima.

**Exercício 6.11 ★★.**

Um esquiador aquático é rebocado em linha reta com velocidade constante; a corda horizontal puxa com $300\,\mathrm{N}$. Qual é o arrasto horizontal da água sobre os esquis (justifique)? Que duas [forças](#def-g10-inertia-force) verticais [se compensam](#def-g10-inertia-compensate) uma à outra?

**Solução de Exercício 6.11.**

*1.* [Movimento retilíneo uniforme](#def-g10-inertia-uniform): as [forças](#def-g10-inertia-force) horizontais [se compensam](#def-g10-inertia-compensate), logo o arrasto vale $300\,\mathrm{N}$, no sentido oposto ao da corda. *2.* O [peso](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/4-gravitacao-universal-e-peso#def-g10-universal-gravitation-weight) do esquiador e o empurrão para cima que a água exerce sobre os esquis.

**Exercício 6.12 ★★★.**

Uma luminária de massa $2.4\,\mathrm{kg}$ pende de dois fios a $40^\circ$ da vertical ($\cos 40^\circ \approx 0.766$). Calcule cada [tensão](#def-g10-inertia-inventory). Por que a [tensão](#def-g10-inertia-inventory) cresce à medida que os fios se aproximam da horizontal, e por que dois fios exatamente horizontais nunca conseguiriam sustentar a luminária?

**Solução de Exercício 6.12.**

*1.* $P = 2.4 \times 9.81 \approx 23.5\,\mathrm{N}$; as componentes verticais sustentam o [peso](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/4-gravitacao-universal-e-peso#def-g10-universal-gravitation-weight): $2T\cos 40^\circ = P$, logo $T = 23.5/(2 \times 0.766) \approx 15.4\,\mathrm{N}$. *2.* $T = P/(2\cos\theta)$ cresce sem limite quando $\theta \to 90^\circ$, já que $\cos\theta \to 0$; fios exatamente horizontais não têm componente vertical *alguma*, de modo que nada sustentaria o [peso](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/4-gravitacao-universal-e-peso#def-g10-universal-gravitation-weight).

**Exercício 6.13 ★★★.**

Uma pedra de curling é empurrada, solta, desliza desacelerando bem aos poucos e por fim para. Para cada fase (empurrão, deslizamento, repouso), desenhe o [diagrama de forças](#def-g10-inertia-diagram) e diga se as [forças](#def-g10-inertia-force) [se compensam](#def-g10-inertia-compensate), citando o [Teorema 6.8](#thm-g10-inertia-principle) ou a [Proposição 6.10](#prop-g10-inertia-converse).

**Solução de Exercício 6.13.**

Empurrão: [peso](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/4-gravitacao-universal-e-peso#def-g10-universal-gravitation-weight), reação, [propulsão](#def-g10-inertia-inventory) da mão, pequeno [atrito](#def-g10-inertia-inventory); a velocidade aumenta, logo as [forças](#def-g10-inertia-force) não [se compensam](#def-g10-inertia-compensate) ([Proposição 6.10](#prop-g10-inertia-converse)). Deslizamento: [peso](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/4-gravitacao-universal-e-peso#def-g10-universal-gravitation-weight), reação, pequeno [atrito](#def-g10-inertia-inventory); a pedra desacelera, logo de novo não há compensação — o [atrito](#def-g10-inertia-inventory) é o resto não compensado (num gelo ideal ela deslizaria para sempre). Repouso: só [peso](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/4-gravitacao-universal-e-peso#def-g10-universal-gravitation-weight) e reação, compensando-se ([Teorema 6.8](#thm-g10-inertia-principle)).

**Exercício 6.14 ★★★.**

A sonda *Voyager 1* desliza pelo espaço interestelar a $17\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$, com os motores desligados. Por que ela não precisa de combustível para manter a velocidade, e o que Aristóteles preveria? Que distância ela percorre em um ano, em $\mathrm{km}$ e depois em [unidades astronômicas](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/1-ordens-de-grandeza-medir-o-universo#def-g10-orders-of-magnitude-lightyear) ($1\,\mathrm{au} \approx 1.496 \times 10^{8}\,\mathrm{km}$)? Por que ela precisa acionar um propulsor mesmo para mudar de direção *sem* mudar de velocidade escalar?

**Solução de Exercício 6.14.**

*1.* Pelo [princípio da inércia](#thm-g10-inertia-principle), manter uma velocidade constante não exige [força](#def-g10-inertia-force) alguma — e no espaço interestelar quase nenhuma age. Aristóteles preveria que a sonda para quando o “motor” desiste. *2.* Um ano $\approx 3.156 \times 10^{7}\,\mathrm{s}$, logo $d = 17 \times 3.156 \times 10^{7} \approx 5.4 \times 10^{8}\,\mathrm{km} \approx
3.6\,\mathrm{au}$. *3.* A velocidade é um vetor: mudar a sua direção muda a velocidade, e isso exige uma [força](#def-g10-inertia-force) não compensada.

**Exercício 6.15 ★★★.**

Três cordas puxam um anel em repouso. Numa malha em que um quadradinho vale $1\,\mathrm{N}$, duas [forças](#def-g10-inertia-force) valem $\vect F_1\,(3, 2)$ e $\vect F_2\,(-1, 2)$. Encontre as componentes, o módulo e a direção da terceira [força](#def-g10-inertia-force).

**Solução de Exercício 6.15.**

Em repouso, as três [forças](#def-g10-inertia-force) [se compensam](#def-g10-inertia-compensate): $\vect F_3 = -(\vect F_1 + \vect F_2)$, logo $\vect F_3\,(-2, -4)$, de módulo $\sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} \approx 4.5\,\mathrm{N}$, apontando no sentido oposto ao da resultante das duas primeiras (para baixo e para a esquerda na malha).

## 6.6 Problema: inércia em três atos

**Problema 6.1.**

Problema de fim de semana — a esteira do aeroporto, o rinque de gelo e o paraquedas: a velocidade constante como assinatura de forças compensadas, e por que um paraquedas não reduz o arrasto, mas a velocidade

Três cenas — uma mala numa esteira rolante, um disco num rinque de gelo, um paraquedista no ar da tarde — e uma única lei falando nas três.

**Parte I — A esteira do aeroporto.** Uma mala de $23\,\mathrm{kg}$ está parada sobre uma esteira que se move com a velocidade constante de $0.75\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

1. Qual é o movimento da mala no [referencial do solo](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/5-movimento-relativo#def-g10-relative-motion-frames) ? Faça o inventário das [forças](#def-g10-inertia-force) sobre ela.
2. Essas [forças](#def-g10-inertia-force) [se compensam](#def-g10-inertia-compensate) ? Justifique; calcule os dois módulos.
3. Compare o [diagrama de forças](#def-g10-inertia-diagram) dela com o da mesma mala parada no piso. Que afirmação profunda a comparação ilustra?
4. A esteira para de repente. Descreva o que a mala faz, sem inventar uma [força](#def-g10-inertia-force) para a frente.
5. A dona dela caminha a $1.2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ em relação à esteira. Qual é a velocidade dela em relação ao solo? As [forças](#def-g10-inertia-force) sobre *ela* [se compensam](#def-g10-inertia-compensate) ?

**Parte II — O rinque de gelo.**

6. Um disco de $160\,\mathrm{g}$ desliza em linha reta com a velocidade constante de $8.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Desenhe o seu [diagrama de forças](#def-g10-inertia-diagram) com os módulos.
7. Aristóteles afirma que o disco precisa de um motor. O que o rinque responde, e por que as superfícies do dia a dia parecem dar razão a ele?
8. O disco atravessa um trecho áspero e desacelera. Que conclusão se tira sobre as [forças](#def-g10-inertia-force) ali? Qual [força](#def-g10-inertia-force) é a culpada?
9. Uma patinadora faz uma curva suave a velocidade constante. As [forças](#def-g10-inertia-force) sobre ela [se compensam](#def-g10-inertia-compensate) ? Cuidado: que tipo de grandeza é a velocidade?
10. Associe diagrama e movimento: (a) [forças](#def-g10-inertia-force) compensadas; (b) uma [força](#def-g10-inertia-force) extra oposta a $\vect v$ ; (c) uma [força](#def-g10-inertia-force) extra perpendicular a $\vect v$ — (i) desacelerando em linha reta; (ii) fazendo curva a velocidade constante; (iii) [movimento retilíneo uniforme](#def-g10-inertia-uniform) .

**Parte III — O paraquedas.** A massa total de um saltador, equipamento incluído, é $80\,\mathrm{kg}$.

11. Ao deixar o avião, a velocidade vertical e o arrasto ainda são nulos. Calcule as [forças](#def-g10-inertia-force) ; elas [se compensam](#def-g10-inertia-compensate) ? O que tem de acontecer em seguida?
12. O arrasto cresce com a velocidade. Descreva a queda enquanto o arrasto $<$ [peso](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/4-gravitacao-universal-e-peso#def-g10-universal-gravitation-weight) .
13. Antes de o velame abrir, o saltador atinge um regime estável de $50\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ (“velocidade limite”). Calcule o arrasto. Qual é o movimento, e por que ele é “inércia disfarçada”?
14. O velame abre: o arrasto passa a superar de longe o [peso](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/4-gravitacao-universal-e-peso#def-g10-universal-gravitation-weight) . O que acontece com a velocidade? (O saltador se move *para baixo* o tempo todo.)
15. Uma nova velocidade estável de $5.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ é atingida. Calcule o arrasto; compare com a questão 13.
16. O desfecho: o que o paraquedas mudou — o arrasto final ou a velocidade em que o arrasto alcança o [peso](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/4-gravitacao-universal-e-peso#def-g10-universal-gravitation-weight) ?

**Parte IV — Vereditos.**

17. Complete e justifique: “em repouso ou em [movimento retilíneo uniforme](#def-g10-inertia-uniform) $\iff$ …”. Por que o repouso não merece uma lei própria?
18. Em qual dos atos o “o movimento precisa de um motor” de Aristóteles teria falhado de modo mais visível, e para o que Galileu apontaria?
19. Uma prova afirma: “o paraquedista cai com velocidade constante, logo nenhuma [força](#def-g10-inertia-force) age sobre ele”. Corrija a frase em uma linha.
20. Final: para cada ato, nomeie o par de [forças que se compensam](#def-g10-inertia-compensate) e enuncie a única lei usada vinte vezes neste problema.

**Solução de Problema 6.1.**

**1.** [Movimento retilíneo uniforme](#def-g10-inertia-uniform) a $0.75\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. [Forças](#def-g10-inertia-force): [peso](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/4-gravitacao-universal-e-peso#def-g10-universal-gravitation-weight) e [reação normal](#def-g10-inertia-inventory) da esteira (nenhum [atrito](#def-g10-inertia-inventory) é necessário: a mala não desliza sobre a esteira). **2.** Sim — [movimento retilíneo uniforme](#def-g10-inertia-uniform) ([Teorema 6.8](#thm-g10-inertia-principle)). $P = 23 \times 9.81 \approx
226\,\mathrm{N}$, logo $R = 226\,\mathrm{N}$. **3.** Os diagramas são idênticos. O repouso e o [movimento retilíneo uniforme](#def-g10-inertia-uniform) são um único e mesmo estado mecânico: a inércia não os distingue. **4.** A mala conserva os seus $0.75\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ enquanto a esteira para: ela desliza ou tomba para a frente até o [atrito](#def-g10-inertia-inventory) absorver o seu movimento. Nada a empurrou — ela apenas conservou a velocidade que tinha. **5.** Velocidades no mesmo sentido se somam: $0.75 + 1.2 = 1.95\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. A velocidade dela é constante, logo as [forças](#def-g10-inertia-force) sobre ela [se compensam](#def-g10-inertia-compensate). **6.** $P = 0.160 \times 9.81 \approx 1.57\,\mathrm{N}$ para baixo, $R = 1.57\,\mathrm{N}$ para cima, e *nenhuma* [força](#def-g10-inertia-force) horizontal. **7.** O disco conserva os seus $8.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ sem motor algum. As superfícies do dia a dia escondem o [atrito](#def-g10-inertia-inventory) — uma [força](#def-g10-inertia-force) para trás não compensada —, e por isso o movimento parece morrer sozinho. **8.** A velocidade muda, logo as [forças](#def-g10-inertia-force) já não [se compensam](#def-g10-inertia-compensate) ([Proposição 6.10](#prop-g10-inertia-converse)); a culpada é o [atrito](#def-g10-inertia-inventory) do gelo áspero. **9.** Não: a velocidade é um *vetor*, e a sua direção está mudando, de modo que as [forças](#def-g10-inertia-force) não [se compensam](#def-g10-inertia-compensate) — o gelo empurra de lado as lâminas dos patins. **10.** (a)–(iii), (b)–(i), (c)–(ii). **11.** [Peso](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/4-gravitacao-universal-e-peso#def-g10-universal-gravitation-weight) $P = 80 \times 9.81 \approx 785\,\mathrm{N}$, arrasto nulo: nada compensa o [peso](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/4-gravitacao-universal-e-peso#def-g10-universal-gravitation-weight), logo a velocidade tem de mudar — o saltador ganha velocidade para baixo. **12.** Enquanto o arrasto $<$ [peso](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/4-gravitacao-universal-e-peso#def-g10-universal-gravitation-weight), as [forças](#def-g10-inertia-force) continuam sem se compensar: a velocidade segue crescendo, e o arrasto cresce com ela. **13.** Velocidade estável: [peso](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/4-gravitacao-universal-e-peso#def-g10-universal-gravitation-weight) e arrasto [se compensam](#def-g10-inertia-compensate), logo o arrasto vale $785\,\mathrm{N}$. O movimento é retilíneo e uniforme — um corpo em queda no exato estado mecânico da mala sobre a esteira: inércia disfarçada. **14.** O arrasto passa a superar o [peso](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/4-gravitacao-universal-e-peso#def-g10-universal-gravitation-weight): as [forças](#def-g10-inertia-force) não [se compensam](#def-g10-inertia-compensate), logo a velocidade muda — o saltador, ainda descendo, desacelera; e, à medida que a velocidade cai, o arrasto encolhe de volta em direção ao [peso](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/4-gravitacao-universal-e-peso#def-g10-universal-gravitation-weight). **15.** Estável de novo: arrasto $= P = 785\,\mathrm{N}$ — exatamente o mesmo que a $50\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. **16.** O arrasto final é sempre igual ao [peso](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/4-gravitacao-universal-e-peso#def-g10-universal-gravitation-weight), com velame ou sem ele. O paraquedas muda a *velocidade* em que o arrasto alcança os $785\,\mathrm{N}$: $5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ em vez de $50\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. **17.** “…as [forças](#def-g10-inertia-force) que agem sobre o corpo [se compensam](#def-g10-inertia-compensate) (ou nenhuma age)” — as duas leituras do [Teorema 6.8](#thm-g10-inertia-principle). O repouso é apenas $\vect v = \vect 0$, um [movimento retilíneo uniforme](#def-g10-inertia-uniform) como qualquer outro. **18.** O rinque: o disco cruza o gelo sem motor algum à vista. Galileu aponta para a superfície cada vez mais lisa — é o [atrito](#def-g10-inertia-inventory), e não a natureza, que faz as coisas pararem. **19.** [Forças](#def-g10-inertia-force) agem, sim — [peso](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/4-gravitacao-universal-e-peso#def-g10-universal-gravitation-weight) de $785\,\mathrm{N}$ para baixo e arrasto de $785\,\mathrm{N}$ para cima; elas *[se compensam](#def-g10-inertia-compensate)*, e é justamente por isso que a velocidade é constante. **20.** Esteira: [peso](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/4-gravitacao-universal-e-peso#def-g10-universal-gravitation-weight) e [reação normal](#def-g10-inertia-inventory). Rinque: [peso](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/4-gravitacao-universal-e-peso#def-g10-universal-gravitation-weight) e [reação normal](#def-g10-inertia-inventory). Paraquedas: [peso](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/4-gravitacao-universal-e-peso#def-g10-universal-gravitation-weight) e arrasto. A única lei: o [princípio da inércia](#thm-g10-inertia-principle), nas suas leituras direta e recíproca.