--- title: "Pressão: do esporte ao mergulho" book: "Física do ensino médio" subject: physics language: pt chapter: 7 exercises: 15 source: https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/7-pressao-do-esporte-ao-mergulho --- # Capítulo 7 — Pressão: do esporte ao mergulho Um esquiador desliza sobre a neve em que um caminhante afunda; um empurrão de $5\,\mathrm{N}$ enfia uma agulha num couro que um soco não consegue amassar. Mesmas [forças](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-force), efeitos completamente diferentes: a grandeza que falta é a *[pressão](#def-g10-pressure-pressure)*, a [força](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-force) dividida pela área que a recebe. Este capítulo a define, segue-a piscina abaixo, barômetro acima, para dentro de uma seringa comprimida — e termina a quarenta [metros](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/1-ordens-de-grandeza-medir-o-universo#def-g10-orders-of-magnitude-unit) sob o mar, onde ela se torna vital. ## 7.1 Pressão: força espalhada por uma área **Definição 7.1 (Pressão).** Quando uma [força](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-force) de módulo $F$ (em $\mathrm{N}$) pressiona perpendicularmente uma superfície de área $S$ (em $\mathrm{m}^{2}$), a *pressão* exercida sobre essa superfície é $$ P = \frac{F}{S}. $$ A sua [unidade](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/1-ordens-de-grandeza-medir-o-universo#def-g10-orders-of-magnitude-unit), o $\mathrm{N}/\mathrm{m}^{2}$, é o *pascal* ($\mathrm{Pa}$) — uma [unidade](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/1-ordens-de-grandeza-medir-o-universo#def-g10-orders-of-magnitude-unit) minúscula, o [peso](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/4-gravitacao-universal-e-peso#def-g10-universal-gravitation-weight) de uma maçã espalhado por um [metro](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/1-ordens-de-grandeza-medir-o-universo#def-g10-orders-of-magnitude-unit) quadrado, de modo que na prática se usam o $\mathrm{kPa}$ e o $\mathrm{MPa}$. **Exemplo 7.2 (Salto agulha contra raquete de neve).** Uma pessoa de $60\,\mathrm{kg}$ pesa $F = 60 \times 9.81 \approx 590\,\mathrm{N}$. Sobre um único salto agulha de $1.0\,\mathrm{cm}^{2}$ = $1.0 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}^{2}$: $P = 590/1.0 \times 10^{-4} \approx 5.9 \times 10^{6}\,\mathrm{Pa} = 5.9\,\mathrm{MPa}$. Sobre duas raquetes de neve de $0.20\,\mathrm{m}^{2}$ cada: $P = 590/0.40 \approx 1.5\,\mathrm{kPa}$. O *mesmo* [peso](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/4-gravitacao-universal-e-peso#def-g10-universal-gravitation-weight) pressiona $4000$ vezes mais forte sob o salto: saltos marcam pisos de madeira, raquetes flutuam sobre a neve fofa. ![A mesma força sobre duas áreas: é a pressão, e não a força, que decide se a superfície cede.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g10-pressure/fig-6bcafb92682d.svg) ![A mesma força sobre duas áreas: é a pressão, e não a força, que decide se a superfície cede.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g10-pressure/fig-ca1ef2327aa6.svg) *A mesma [força](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-force) sobre duas áreas: é a [pressão](#def-g10-pressure-pressure), e não a [força](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-force), que decide se a superfície cede.* **Observação 7.3 (Concentrar ou espalhar).** Uma agulha de costura empurrada com $5\,\mathrm{N}$ sobre uma ponta de $0.01\,\mathrm{mm}^{2}$ = $1 \times 10^{-8}\,\mathrm{m}^{2}$ exerce $5 \times 10^{8}\,\mathrm{Pa} = 500\,\mathrm{MPa}$ — o bastante para separar as fibras do couro. As ferramentas de furar concentram [força](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-force); os projetos que sustentam carga (esquis, esteiras de trator, fundações) a espalham. O esporte é gestão aplicada de [pressão](#def-g10-pressure-pressure): os patins mordem o gelo, os esquis deslizam sobre a neve. ## 7.2 Pressão num líquido em repouso Por que a água pressiona mais forte lá embaixo? Isole uma coluna vertical imaginária de água, de seção $S$, da superfície até a profundidade $h$: volume $Sh$, massa $\rho S h$ ($\rho$ é a densidade do líquido, em $\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$), [peso](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/4-gravitacao-universal-e-peso#def-g10-universal-gravitation-weight) $\rho S h g$. A base da coluna sustenta esse [peso](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/4-gravitacao-universal-e-peso#def-g10-universal-gravitation-weight) *mais* o empurrão $P_0 S$ da atmosfera sobre o topo. Dividindo a [força](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-force) total por $S$: a [pressão](#def-g10-pressure-pressure) à profundidade $h$ deveria ser $P_0 + \rho g h$ — e é, em toda parte do líquido. **Teorema 7.4 (Pressão em função da profundidade).** Num líquido de densidade $\rho$ em repouso, aberto ao ar, a [pressão](#def-g10-pressure-pressure) à profundidade $h$ abaixo da superfície é $$ P = P_0 + \rho g h, $$ em que $P_0$ é a [pressão atmosférica](#def-g10-pressure-atmospheric) na superfície. A [pressão](#def-g10-pressure-pressure) depende só da profundidade, e não da forma do recipiente, e num dado ponto o líquido pressiona com a mesma intensidade em todas as direções. **Demonstração.** *Admitido neste nível.* ∎ **Observação 7.5.** O argumento da coluna só torna a lei plausível; a dedução honesta (qualquer forma, todas as direções) está no volume do primeiro ano de graduação. O termo próprio da água, $\rho g h$, é a [pressão](#def-g10-pressure-pressure) *manométrica* — o que o manômetro de um mergulhador exibe. **Exemplo 7.6 (Dez metros de água).** Em água doce ($\rho = 1000\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$), a $h = 10\,\mathrm{m}$: $\rho g h = 1000 \times 9.81 \times 10 \approx 98\,\mathrm{kPa}$, logo $P = 101 + 98 \approx 199\,\mathrm{kPa}$. Dez [metros](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/1-ordens-de-grandeza-medir-o-universo#def-g10-orders-of-magnitude-unit) de água somam quase exatamente uma atmosfera: é a regra prática do mergulhador, *uma atmosfera a mais a cada dez [metros](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/1-ordens-de-grandeza-medir-o-universo#def-g10-orders-of-magnitude-unit)*. ![Água doce em repouso: a pressão cresce linearmente com a profundidade, uma atmosfera a mais a cada dez metros.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g10-pressure/fig-3121f9de0feb.svg) *Água doce em repouso: a [pressão](#def-g10-pressure-pressure) cresce linearmente com a profundidade, uma atmosfera a mais a cada dez [metros](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/1-ordens-de-grandeza-medir-o-universo#def-g10-orders-of-magnitude-unit).* ## 7.3 O oceano de ar **Definição 7.7 (Pressão atmosférica).** Vivemos no fundo de um oceano de ar, cujo [peso](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/4-gravitacao-universal-e-peso#def-g10-universal-gravitation-weight) cria a *pressão atmosférica*, ao nível do mar $$ P_0 \approx 101\,\mathrm{kPa} = 1.01 \times 10^{5}\,\mathrm{Pa}. $$ Sobre cada centímetro quadrado isso vale $F = 1.01 \times 10^{5} \times 1 \times 10^{-4} \approx 10\,\mathrm{N}$: o [peso](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/4-gravitacao-universal-e-peso#def-g10-universal-gravitation-weight) de uma massa de um [quilograma](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/1-ordens-de-grandeza-medir-o-universo#def-g10-orders-of-magnitude-unit) sobre cada $\mathrm{cm}^{2}$ da sua pele, da sua escrivaninha, de tudo. **Exemplo 7.8 (A carga invisível).** Uma folha A4 ($21.0\,\mathrm{cm}$ $\times$ $29.7\,\mathrm{cm}$, logo $S \approx 0.0624\,\mathrm{m}^{2}$) recebe do ar acima dela $F = 1.01 \times 10^{5} \times 0.0624 \approx 6.3 \times 10^{3}\,\mathrm{N}$ — o [peso](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/4-gravitacao-universal-e-peso#def-g10-universal-gravitation-weight) de um carro pequeno. Nada se rasga: o ar de baixo empurra *para cima* com a mesma intensidade. Só percebemos a atmosfera quando um dos lados a perde — uma ventosa, um canudo, a cabine de um avião. **Observação 7.9 (O barômetro de Torricelli).** Em 1643, Torricelli inverteu um tubo selado de mercúrio sobre uma cuba de mercúrio. A coluna desceu até a altura em que $\rho g h = P_0$: $h = 1.01 \times 10^{5}/(13600 \times 9.81) \approx 0.76\,\mathrm{m}$, deixando acima dela o primeiro vácuo já produzido. A altura acompanha o tempo e diminui com a altitude: um barômetro pesa o ar que está acima de você (com água seriam necessários $10.3\,\mathrm{m}$: [Exercício 7.9](#exo-g10-pressure-9)). ## 7.4 Gases: bombardeio e lei de Boyle Um gás também pressiona o seu recipiente: ele é um enxame de moléculas em movimento desordenado incessante, cada colisão dá à parede um empurrãozinho para fora, e bilhões de bilhões de impactos por segundo se fundem na [força](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-force) constante que medimos como [pressão](#def-g10-pressure-pressure) do gás. Comprima o gás até metade do volume: as moléculas batem com o dobro da frequência, de modo que a [pressão](#def-g10-pressure-pressure) deveria dobrar. E dobra. **Proposição 7.10 (Lei de Boyle).** Para uma quantidade fixa de gás mantida a temperatura constante, [pressão](#def-g10-pressure-pressure) e volume são inversamente proporcionais: $$ P \, V = \text{constante}, \qquad\text{ou seja,}\qquad P_1 V_1 = P_2 V_2 . $$ **Demonstração.** *Admitido neste nível.* ∎ **Observação 7.11.** Neste nível trata-se de um fato experimental — o volume do primeiro ano de graduação a deduz a partir da imagem das colisões. A experiência (uma seringa de ar selada, um sensor de [pressão](#def-g10-pressure-pressure), $20{}^{\circ}\mathrm{C}$): | $V$ ($\mathrm{mL}$) | 60 | 50 | 40 | 30 | 20 | | --- | --- | --- | --- | --- | --- | | $P$ ($\mathrm{kPa}$) | 100 | 120 | 150 | 200 | 300 | | $P \times V$ ($\mathrm{kPa}\,\mathrm{mL}$) | 6000 | 6000 | 6000 | 6000 | 6000 | ![Os dados da seringa caem sobre a hipérbole P = 6000/V: divida o volume pela metade e a pressão dobra.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g10-pressure/fig-500a8f85aedb.svg) *Os dados da seringa caem sobre a hipérbole $P = 6000/V$: divida o volume pela metade e a [pressão](#def-g10-pressure-pressure) dobra.* **Exemplo 7.12 (Uma seringa comprimida).** O ar ocupa $4.0\,\mathrm{L}$ a $100\,\mathrm{kPa}$; comprimido devagar (para que a temperatura fique constante) até $250\,\mathrm{kPa}$, ele ocupa $V_2 = P_1 V_1 / P_2 = 400/250 = 1.6\,\mathrm{L}$. ## 7.5 Mergulho: a pressão posta a trabalhar **Método 7.13 (Pressão absoluta em profundidade).** Para um mergulhador à profundidade $h$ no mar ($\rho \approx 1025\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$, de modo que $\rho g h \approx 101\,\mathrm{kPa}$ a cada $10\,\mathrm{m}$), calcule $P = P_0 + \rho g h$ — e, na [lei de Boyle](#prop-g10-pressure-boyle), use sempre essa [pressão](#def-g10-pressure-pressure) *absoluta*, nunca só o termo manométrico. Um mergulhador está sob $2$ atmosferas a $10\,\mathrm{m}$, $3$ a $20\,\mathrm{m}$ e $5$ a $40\,\mathrm{m}$. ![Pressão absoluta no mar: uma atmosfera na superfície, mais uma a cada dez metros.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g10-pressure/fig-2025d52a8678.svg) *[Pressão absoluta](#met-g10-pressure-dive) no mar: uma atmosfera na superfície, mais uma a cada dez [metros](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/1-ordens-de-grandeza-medir-o-universo#def-g10-orders-of-magnitude-unit).* **Observação 7.14 (Nunca prenda a respiração).** Um regulador entrega ar à [pressão](#def-g10-pressure-pressure) ambiente: os pulmões se enchem normalmente em qualquer profundidade. Mas encha $6.0\,\mathrm{L}$ a $20\,\mathrm{m}$ ($302\,\mathrm{kPa}$), prenda essa respiração e suba: Boyle exige $6.0 \times 302/101 \approx 18\,\mathrm{L}$ — três vezes o que um tórax comporta, e os pulmões se rasgam bem antes disso, mesmo com poucos [metros](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/1-ordens-de-grandeza-medir-o-universo#def-g10-orders-of-magnitude-unit) de subida. Daí a primeira regra do mergulho autônomo: *nunca prenda a respiração na subida* — continue respirando e o ar em expansão simplesmente sai. Uma apneísta está segura: o ar dela foi tomado na superfície, de modo que, na subida, ele apenas volta a se expandir até o volume original. **Observação 7.15 (Descompressão).** Respirar ar a alta [pressão](#def-g10-pressure-pressure) também dissolve nitrogênio extra no sangue, como o gás numa garrafa de refrigerante fechada; suba rápido demais e ele efervesce em bolhas dentro do corpo — é a doença descompressiva. Daí a subida lenta (cerca de $10\,\mathrm{m}$ por minuto) e as paradas rasas, que deixam o gás sair sem alarde pelos pulmões. A teoria espera o volume do primeiro ano de graduação; a regra de conduta é de todo mergulhador. ## 7.6 Exercícios **Exercício 7.1 ★.** Um engradado de $600\,\mathrm{N}$ apoia-se sobre uma face de $0.50\,\mathrm{m} \times 0.30\,\mathrm{m}$ e depois sobre uma face de $0.30\,\mathrm{m} \times 0.20\,\mathrm{m}$. Calcule as duas pressões sobre o chão. Que orientação é melhor sobre areia fofa? **Solução de Exercício 7.1.** Face grande: $S = 0.15\,\mathrm{m}^{2}$, $P = 600/0.15 = 4.0\,\mathrm{kPa}$. Face pequena: $S = 0.060\,\mathrm{m}^{2}$, $P = 10\,\mathrm{kPa}$. Na areia, a face grande: [pressão](#def-g10-pressure-pressure) menor, menos afundamento. **Exercício 7.2 ★.** Exprima $0.25\,\mathrm{MPa}$ em $\mathrm{kPa}$ e em $\mathrm{Pa}$. Qual pressiona mais forte: $3.0\,\mathrm{N}$ sobre $2.0\,\mathrm{cm}^{2}$ ou $60\,\mathrm{N}$ sobre $500\,\mathrm{cm}^{2}$? **Solução de Exercício 7.2.** $0.25\,\mathrm{MPa} = 250\,\mathrm{kPa} = 2.5 \times 10^{5}\,\mathrm{Pa}$. $3.0/2.0 \times 10^{-4} = 15\,\mathrm{kPa}$ vence $60/0.050 = 1.2\,\mathrm{kPa}$: a [força](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-force) pequena pressiona mais forte. **Exercício 7.3 ★.** Calcule a [pressão manométrica](#thm-g10-pressure-depth) $\rho g h$ e a [pressão absoluta](#met-g10-pressure-dive) no fundo de uma piscina de $3.0\,\mathrm{m}$ de profundidade ($\rho = 1000\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$, $P_0 = 101\,\mathrm{kPa}$). **Solução de Exercício 7.3.** $\rho g h = 1000 \times 9.81 \times 3.0 \approx 29\,\mathrm{kPa}$; absoluta $P = 101 + 29 = 130\,\mathrm{kPa}$. **Exercício 7.4 ★.** O ar ocupa $4.0\,\mathrm{L}$ a $100\,\mathrm{kPa}$, com temperatura constante. Qual é o seu volume a $250\,\mathrm{kPa}$? E a $50\,\mathrm{kPa}$? **Solução de Exercício 7.4.** $V_2 = 100 \times 4.0 / 250 = 1.6\,\mathrm{L}$; a $50\,\mathrm{kPa}$, $V_2 = 400/50 = 8.0\,\mathrm{L}$. **Exercício 7.5 ★.** Uma patinadora de $65\,\mathrm{kg}$ desliza sobre uma única lâmina de área de contato $12\,\mathrm{cm}^{2}$ e depois fica de pé sobre solas que somam $360\,\mathrm{cm}^{2}$. Calcule as duas pressões e a razão entre elas. **Solução de Exercício 7.5.** $F = 65 \times 9.81 \approx 638\,\mathrm{N}$. Lâmina: $638/1.2 \times 10^{-3} \approx 5.3 \times 10^{5}\,\mathrm{Pa} = 530\,\mathrm{kPa}$. Solas: $638/0.036 \approx 18\,\mathrm{kPa}$. Razão $\approx 30$: a lâmina morde o gelo, as solas não. **Exercício 7.6 ★★.** Um polegar empurra uma tachinha com $20\,\mathrm{N}$. A cabeça tem área $1.2\,\mathrm{cm}^{2}$ e a ponta, $0.010\,\mathrm{mm}^{2}$. Calcule as pressões sobre o polegar e sobre a parede; por que só a parede é perfurada? **Solução de Exercício 7.6.** Polegar: $20/1.2 \times 10^{-4} \approx 1.7 \times 10^{5}\,\mathrm{Pa} = 170\,\mathrm{kPa}$. Parede: $20/1.0 \times 10^{-8} = 2.0 \times 10^{9}\,\mathrm{Pa}$. Os mesmos $20\,\mathrm{N}$ agem sobre uma área $12\,000$ vezes menor na ponta, de modo que só ali a [pressão](#def-g10-pressure-pressure) supera o que o material aguenta. **Exercício 7.7 ★★.** Uma escotilha de submarino de área $0.50\,\mathrm{m}^{2}$ está a $30\,\mathrm{m}$ de profundidade em água do mar ($\rho = 1025\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$); por dentro, o ar está à [pressão atmosférica](#def-g10-pressure-atmospheric). Calcule a [força](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-force) resultante que a mantém fechada e a massa cujo [peso](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/4-gravitacao-universal-e-peso#def-g10-universal-gravitation-weight) é igual a ela. **Solução de Exercício 7.7.** $\Delta P = \rho g h = 1025 \times 9.81 \times 30 \approx 3.0 \times 10^{5}\,\mathrm{Pa}$, logo $F = 3.0 \times 10^{5} \times 0.50 \approx 1.5 \times 10^{5}\,\mathrm{N}$ — o [peso](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/4-gravitacao-universal-e-peso#def-g10-universal-gravitation-weight) de $F/g \approx 1.5 \times 10^{4}\,\mathrm{kg}$, quinze toneladas. Tripulação nenhuma abre isso para fora contra o mar. **Exercício 7.8 ★★.** Um sensor a $5.00\,\mathrm{m}$ de profundidade num líquido desconhecido marca uma [pressão manométrica](#thm-g10-pressure-depth) de $66.2\,\mathrm{kPa}$. Encontre a densidade. É água doce? **Solução de Exercício 7.8.** $\rho = \dfrac{P}{g h} = \dfrac{66.2 \times 10^{3}}{9.81 \times 5.00} \approx 1350\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$. Não é água doce ($1000\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$): é um líquido bem mais denso, por exemplo uma salmoura concentrada. **Exercício 7.9 ★★.** Que altura teria o barômetro de Torricelli com água ($\rho = 1000\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$) em vez de mercúrio ($\rho = 13\,600\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$)? Obtenha as duas alturas de $\rho g h = P_0$; por que o mercúrio venceu? **Solução de Exercício 7.9.** $h = P_0/(\rho g)$: água, $1.01 \times 10^{5}/9810 \approx 10.3\,\mathrm{m}$; mercúrio, $1.01 \times 10^{5}/(13600 \times 9.81) \approx 0.76\,\mathrm{m}$. Um tubo de $76\,\mathrm{cm}$ cabe numa mesa; um barômetro de água de $10\,\mathrm{m}$ precisa de uma caixa de escada — a densidade do mercúrio venceu. **Exercício 7.10 ★★.** Usando os dados da seringa da [Proposição 7.10](#prop-g10-pressure-boyle) ($PV = 6000\,\mathrm{kPa}\,\mathrm{mL}$), preveja o volume a $240\,\mathrm{kPa}$ e a [pressão](#def-g10-pressure-pressure) a $75\,\mathrm{mL}$. Que curva é $P$ em função de $V$? E $P$ em função de $1/V$? **Solução de Exercício 7.10.** $V = 6000/240 = 25\,\mathrm{mL}$; $P = 6000/75 = 80\,\mathrm{kPa}$. $P$ em função de $V$ é uma hipérbole; $P$ em função de $1/V$ é uma reta pela origem, de coeficiente angular $6000\,\mathrm{kPa}\,\mathrm{mL}$. **Exercício 7.11 ★★.** Um mergulhador a $20\,\mathrm{m}$ solta uma bolha de volume $0.50\,\mathrm{cm}^{3}$. Qual é o volume dela logo abaixo da superfície? (Temperatura constante; a água do mar acrescenta $101\,\mathrm{kPa}$ a cada $10\,\mathrm{m}$.) **Solução de Exercício 7.11.** A $20\,\mathrm{m}$: $P = 101 + 2 \times 101 = 303\,\mathrm{kPa}$, três atmosferas. Na superfície, $V = 0.50 \times 303/101 = 1.5\,\mathrm{cm}^{3}$: a bolha triplica. **Exercício 7.12 ★★★.** Uma ventosa de área $12\,\mathrm{cm}^{2}$ é pressionada contra um teto. 1. Vácuo perfeito por dentro: que [força](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-force) a atmosfera exerce sobre a ventosa, e que massa pendurada ela consegue sustentar? 2. Uma ventosa real mantém $20\,\mathrm{kPa}$ de ar por dentro. Que massa agora? **Solução de Exercício 7.12.** *1.* $F = 1.01 \times 10^{5} \times 1.2 \times 10^{-3} \approx 121\,\mathrm{N}$, sustentando $m = 121/9.81 \approx 12\,\mathrm{kg}$. *2.* $\Delta P = 101 - 20 = 81\,\mathrm{kPa}$: $F = 8.1 \times 10^{4} \times 1.2 \times 10^{-3} \approx 97\,\mathrm{N}$, cerca de $9.9\,\mathrm{kg}$. **Exercício 7.13 ★★★.** Um cilindro de mergulho contém $12\,\mathrm{L}$ de ar a $200\,\mathrm{bar}$ ($1\,\mathrm{bar}$ = $100\,\mathrm{kPa}$ $\approx 1$ atmosfera); $50\,\mathrm{bar}$ precisam ficar de reserva. Um mergulhador respira $15\,\mathrm{L}$ por minuto à [pressão](#def-g10-pressure-pressure) ambiente. Quantos litros de ar à [pressão](#def-g10-pressure-pressure) da superfície são utilizáveis? Quanto tempo o cilindro dura a $30\,\mathrm{m}$ ([pressão absoluta](#met-g10-pressure-dive) $\approx 4\,\mathrm{bar}$)? E a $10\,\mathrm{m}$? **Solução de Exercício 7.13.** Boyle: $12 \times (200 - 50) = 1800\,\mathrm{L}$ de ar à [pressão](#def-g10-pressure-pressure) da superfície são utilizáveis. A $30\,\mathrm{m}$ cada respiração é tomada a $4\,\mathrm{bar}$, de modo que $15\,\mathrm{L}/\mathrm{min}$ à [pressão](#def-g10-pressure-pressure) ambiente custam $15 \times 4 = 60\,\mathrm{L}/\mathrm{min}$ de ar da superfície: $1800/60 = 30\,\mathrm{min}$. A $10\,\mathrm{m}$ ($2\,\mathrm{bar}$): $30\,\mathrm{L}/\mathrm{min}$, logo $60\,\mathrm{min}$. A profundidade se paga em ar. **Exercício 7.14 ★★★.** Os pulmões de uma apneísta comportam $6.0\,\mathrm{L}$ na superfície e não podem encolher abaixo do volume residual de $1.5\,\mathrm{L}$. A que profundidade no mar ($\rho = 1025\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$) esse limite é alcançado? (Já se declarou que esse era o limite do mergulho em apneia; hoje os recordes passam de $100\,\mathrm{m}$, com o sangue deslocando-se para o tórax e ocupando o volume que falta.) **Solução de Exercício 7.14.** $P = P_0 \dfrac{V_0}{V} = 101 \times \dfrac{6.0}{1.5} = 404\,\mathrm{kPa}$. Com $\rho g \approx 10.1\,\mathrm{kPa}/\mathrm{m}$, $h = (404 - 101)/10.1 \approx 30\,\mathrm{m}$. **Exercício 7.15 ★★★.** Num elevador hidráulico, um líquido transmite a [pressão](#def-g10-pressure-pressure) sem alteração de um pistão pequeno ($s = 2.0\,\mathrm{cm}^{2}$) a um pistão grande ($S = 400\,\mathrm{cm}^{2}$) que sustenta um carro de $1200\,\mathrm{kg}$. 1. Que [força](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-force) sobre o pistão pequeno mantém o carro suspenso? Que [pressão](#def-g10-pressure-pressure) o líquido carrega? 2. Para levantar o carro $2.0\,\mathrm{cm}$ , que distância o pistão pequeno precisa percorrer? Compare o trabalho realizado em cada pistão. **Solução de Exercício 7.15.** *1.* [Peso](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/4-gravitacao-universal-e-peso#def-g10-universal-gravitation-weight) $F = 1200 \times 9.81 \approx 1.18 \times 10^{4}\,\mathrm{N}$; [pressão](#def-g10-pressure-pressure) $P = F/S = 1.18 \times 10^{4}/0.040 \approx 2.9 \times 10^{5}\,\mathrm{Pa}$; pistão pequeno: $f = P s = 2.9 \times 10^{5} \times 2.0 \times 10^{-4} \approx 59\,\mathrm{N}$ — a [força](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-force) fica dividida por $S/s = 200$. *2.* O volume de líquido se conserva: $400 \times 2.0 = 800\,\mathrm{cm}^{3}$ têm de vir do cilindro pequeno, que percorre $800/2.0 = 400\,\mathrm{cm} = 4.0\,\mathrm{m}$. Trabalho: $59 \times 4.0 \approx 235\,\mathrm{J}$ de um lado, $1.18 \times 10^{4} \times 0.020 \approx 235\,\mathrm{J}$ do outro — o elevador troca distância por [força](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-force), nunca trabalho. ## 7.7 Problema: uma respiração para descer, uma para subir **Problema 7.1.** Problema de fim de semana — uma respiração para descer e uma para subir: a física de um mergulho em apneia e de uma subida com cilindro, do aperto da máscara à regra de que os últimos dez metros são os mais perigosos Lena mergulha em apneia: uma respiração na superfície, descida até $30\,\mathrm{m}$ e volta. Marco mergulha ao lado dela com cilindro, respirando do equipamento. Mesmo mar ($\rho = 1025\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$, $g = 9.81\,\mathrm{N}/\mathrm{kg}$, $P_0 = 101\,\mathrm{kPa}$), os mesmos pulmões de $6.0\,\mathrm{L}$, perigos opostos — tudo governado por $P = P_0 + \rho g h$ e $PV$ = constante (temperatura constante o tempo todo). **Parte I — O [peso](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/4-gravitacao-universal-e-peso#def-g10-universal-gravitation-weight) da água.** 1. Calcule $\rho g$ para a água do mar em $\mathrm{kPa}$ por [metro](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/1-ordens-de-grandeza-medir-o-universo#def-g10-orders-of-magnitude-unit) e confira a regra prática: uma atmosfera a cada $10\,\mathrm{m}$ . 2. Calcule a [pressão absoluta](#met-g10-pressure-dive) a $10\,\mathrm{m}$ , $20\,\mathrm{m}$ , $30\,\mathrm{m}$ e $40\,\mathrm{m}$ . 3. Exprima cada uma como múltiplo da [pressão](#def-g10-pressure-pressure) na superfície. 4. A máscara de Lena cobre $150\,\mathrm{cm}^{2}$ . A $30\,\mathrm{m}$ , se o ar dentro dela ainda estivesse à [pressão](#def-g10-pressure-pressure) da superfície, que [força](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-force) resultante a água exerceria? (Os mergulhadores expiram pelo nariz para dentro da máscara justamente para evitar esse *aperto de máscara* .) 5. Um tímpano tem área de cerca de $0.60\,\mathrm{cm}^{2}$ . Calcule a [força](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-force) resultante sobre ele a $3.0\,\mathrm{m}$ se o ouvido médio ficar à [pressão](#def-g10-pressure-pressure) da superfície; por que os ouvidos doem já numa simples piscina, e o que a “compensação” precisa alcançar? **Parte II — Uma respiração para descer.** Lena deixa a superfície com $6.0\,\mathrm{L}$ de ar nos pulmões. 6. Usando a [lei de Boyle](#prop-g10-pressure-boyle) com [pressões absolutas](#met-g10-pressure-dive) , calcule o volume pulmonar dela a $10\,\mathrm{m}$ , $20\,\mathrm{m}$ e $30\,\mathrm{m}$ . 7. A que profundidade o volume pulmonar dela cai à metade? 8. O volume pulmonar é proporcional à profundidade? Descreva a curva de $V$ em função da [pressão absoluta](#met-g10-pressure-dive) $P$ . 9. O volume residual dela é $1.5\,\mathrm{L}$ : os pulmões não encolhem mais do que isso. Mostre que esse limite é alcançado perto de $30\,\mathrm{m}$ . 10. Ainda assim, os recordes de apneia passam de $100\,\mathrm{m}$ : o que preenche o volume que falta? (Que outra coisa pode fluir para o tórax?) **Parte III — Uma respiração para subir.** A $30\,\mathrm{m}$, o regulador de Marco enche os seus pulmões de $6.0\,\mathrm{L}$. 11. A que [pressão](#def-g10-pressure-pressure) o regulador entrega esse ar? Quantas vezes mais denso ele é do que o ar da superfície? 12. Marco entra em pânico, prende a respiração e sobe até $10\,\mathrm{m}$ : que volume o ar preso nele exige ali? 13. E que volume na superfície — quantas vezes a capacidade dele? 14. Enuncie a primeira regra do mergulhador autônomo e diga por que respirar normalmente elimina o perigo. 15. Lena também prende a respiração de $30\,\mathrm{m}$ até a superfície e, ainda assim, os pulmões dela estão perfeitamente seguros. Explique a assimetria. **Parte IV — Bolhas e os últimos dez [metros](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/1-ordens-de-grandeza-medir-o-universo#def-g10-orders-of-magnitude-unit).** 16. Marco solta uma bolha de $1.0\,\mathrm{cm}^{3}$ a $40\,\mathrm{m}$ . Calcule o volume dela a $30\,\mathrm{m}$ , $20\,\mathrm{m}$ , $10\,\mathrm{m}$ e logo abaixo da superfície. 17. Para cada etapa de $10\,\mathrm{m}$ da subida, calcule o fator de crescimento da bolha. Onde o crescimento é mais rápido? 18. Os mergulhadores sobem no máximo $10\,\mathrm{m}$ por minuto: quanto tempo desde $40\,\mathrm{m}$ , e em que minuto qualquer gás preso ou dissolvido se expande mais? 19. Em profundidade, o sangue de Marco dissolve nitrogênio extra, como o gás numa garrafa de refrigerante fechada. O que uma subida rápida demais provoca, e como a subida lenta e uma parada de segurança a $5\,\mathrm{m}$ evitam isso? 20. Desfecho: em uma frase cada, dê o veredito da apneísta, o veredito do mergulhador autônomo e a razão quantificada pela qual os últimos dez [metros](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/1-ordens-de-grandeza-medir-o-universo#def-g10-orders-of-magnitude-unit) de qualquer subida merecem o maior respeito. **Solução de Problema 7.1.** **1.** $\rho g = 1025 \times 9.81 \approx 10.1\,\mathrm{kPa}$ por [metro](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/1-ordens-de-grandeza-medir-o-universo#def-g10-orders-of-magnitude-unit), de modo que $10\,\mathrm{m}$ de água do mar acrescentam $\approx 101\,\mathrm{kPa}$: uma atmosfera a cada dez [metros](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/1-ordens-de-grandeza-medir-o-universo#def-g10-orders-of-magnitude-unit), quase exatamente. **2.** $P = 101 + 10.1\,h$: $202\,\mathrm{kPa}$ a $10\,\mathrm{m}$, $302\,\mathrm{kPa}$ a $20\,\mathrm{m}$, $403\,\mathrm{kPa}$ a $30\,\mathrm{m}$ e $503\,\mathrm{kPa}$ a $40\,\mathrm{m}$. **3.** $2.0$, $3.0$, $4.0$ e $5.0$ vezes $P_0$. **4.** $\Delta P = 403 - 101 = 302\,\mathrm{kPa}$ sobre $0.015\,\mathrm{m}^{2}$: $F = 3.02 \times 10^{5} \times 0.015 \approx 4.5 \times 10^{3}\,\mathrm{N}$ — o [peso](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/4-gravitacao-universal-e-peso#def-g10-universal-gravitation-weight) de quase meia tonelada sobre o rosto. **5.** $\Delta P = 10.1 \times 3.0 \approx 30\,\mathrm{kPa}$; $F = 3.0 \times 10^{4} \times 6.0 \times 10^{-5} \approx 1.8\,\mathrm{N}$ — um dedo apertado contra o tímpano, já na profundidade de uma piscina. Compensar é empurrar ar para o ouvido médio até que a [pressão](#def-g10-pressure-pressure) interna iguale a da água. **6.** $V = 6.0 \, P_0/P$: $6.0 \times 101/202 = 3.0\,\mathrm{L}$; $606/302 = 2.0\,\mathrm{L}$; $606/403 = 1.5\,\mathrm{L}$. **7.** Cai à metade quando $P = 2P_0$, ou seja, a $10\,\mathrm{m}$ — já no primeiro trecho do mergulho. **8.** Não: $V = 606/P$ é uma hipérbole na [pressão absoluta](#met-g10-pressure-dive) (e é $P$, não $h$, o que a [lei de Boyle](#prop-g10-pressure-boyle) enxerga); cada $10\,\mathrm{m}$ a mais retira menos volume do que os anteriores. **9.** $V = 1.5\,\mathrm{L}$ exige $P = 101 \times 6.0/1.5 = 404\,\mathrm{kPa}$, ou seja, $h = 303/10.1 \approx 30\,\mathrm{m}$ ([Exercício 7.14](#exo-g10-pressure-14)). **10.** O sangue: o plasma se desloca para os vasos do tórax, é incompressível e ocupa o volume que o ar já não preenche. **11.** À [pressão](#def-g10-pressure-pressure) ambiente, $403\,\mathrm{kPa}$. Por Boyle, o mesmo ar a $101\,\mathrm{kPa}$ ocuparia $4$ vezes o volume: ele é $4.0$ vezes mais denso do que o ar da superfície. **12.** $V = 6.0 \times 403/202 \approx 12\,\mathrm{L}$ — o dobro, depois de apenas $20\,\mathrm{m}$ de subida. **13.** $V = 6.0 \times 403/101 \approx 24\,\mathrm{L}$: quatro vezes a capacidade pulmonar dele. **14.** *Nunca prenda a respiração na subida.* Com as vias aéreas abertas, o ar em expansão sai pelo regulador, e o volume pulmonar nunca ultrapassa $6.0\,\mathrm{L}$. **15.** Os $1.5\,\mathrm{L}$ de Lena a $30\,\mathrm{m}$ *são* os seus $6.0\,\mathrm{L}$ de superfície comprimidos: na subida eles se reexpandem até exatamente $6.0\,\mathrm{L}$, e não mais. Já os $6.0\,\mathrm{L}$ de Marco foram *tomados* a $403\,\mathrm{kPa}$: há $24\,\mathrm{L}$ de ar de superfície dentro deles. **16.** $V = 1.0 \times 503/P$: $1.25\,\mathrm{cm}^{3}$ a $30\,\mathrm{m}$, $1.67\,\mathrm{cm}^{3}$ a $20\,\mathrm{m}$, $2.49\,\mathrm{cm}^{3}$ a $10\,\mathrm{m}$ e $4.98\,\mathrm{cm}^{3}$ na superfície. **17.** Fatores por etapa: $503/403 = 1.25$, depois $1.33$, $1.49$ e $202/101 = 2.0$ nos últimos dez [metros](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/1-ordens-de-grandeza-medir-o-universo#def-g10-orders-of-magnitude-unit) — o crescimento acelera à medida que a superfície se aproxima. **18.** $40/10 = 4.0\,\mathrm{min}$. O último minuto: de $10\,\mathrm{m}$ até a superfície a [pressão absoluta](#met-g10-pressure-dive) cai à metade, a maior queda relativa de toda a subida. **19.** Uma subida rápida deixa o nitrogênio dissolvido efervescer em bolhas dentro do sangue e das articulações (doença descompressiva); subir devagar e fazer uma pausa perto de $5\,\mathrm{m}$ mantém o gás dissolvido tempo suficiente para que ele saia sem alarde pelos pulmões. **20.** Apneísta: o ar dela apenas volta ao volume original — Boyle a protege. Mergulhador autônomo: o ar tomado em profundidade se multiplica na subida — respire, nunca prenda. E os últimos dez [metros](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/1-ordens-de-grandeza-medir-o-universo#def-g10-orders-of-magnitude-unit) dobram todo volume aprisionado ($\times 2.0$, contra $\times 1.25$ lá embaixo, a $40\,\mathrm{m}$): quanto mais perto da superfície, mais devagar você deve se aproximar dela.