---
title: "Sinais e ondas"
book: "Física do ensino médio"
subject: physics
language: pt
chapter: 8
exercises: 15
source: https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/8-sinais-e-ondas
---

# Capítulo 8 — Sinais e ondas

Toda mensagem que você já recebeu chegou como um [sinal](#def-g10-signals-and-waves-signal): uma voz pressionada contra o seu tímpano, esta página que lhe chegou como um tremular de rádio. Por trás da variedade está uma única ideia — uma [grandeza física](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/1-ordens-de-grandeza-medir-o-universo#def-g10-orders-of-magnitude-unit) que varia no tempo — e um único conjunto de ferramentas: [período](#def-g10-signals-and-waves-period), [frequência](#def-g10-signals-and-waves-frequency), [amplitude](#def-g10-signals-and-waves-amplitude) e a arte de cronometrar um atraso. Com ele, um barco mede o fundo do mar e um médico conta batimentos.

## 8.1 Os sinais carregam informação

**Definição 8.1 (Sinal).**

Um *sinal* é uma [grandeza física](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/1-ordens-de-grandeza-medir-o-universo#def-g10-orders-of-magnitude-unit) que varia no tempo para carregar informação: a [pressão](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/7-pressao-do-esporte-ao-mergulho#def-g10-pressure-pressure) do ar no seu tímpano, a tensão nos terminais de um microfone, o brilho da luz numa [fibra óptica](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/3-refracao-da-luz#def-g10-refraction-fiber). Para estudar um sinal, registre-o em função do tempo e leia a informação na curva.

Numa ligação telefônica a mesma informação troca de portador várias vezes: [pressão](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/7-pressao-do-esporte-ao-mergulho#def-g10-pressure-pressure) no ar, depois tensão no microfone, depois rádio na antena — e o caminho inverso na outra ponta. Um único vocabulário dá conta de todos eles; este capítulo o constrói.

## 8.2 Sinais periódicos

**Definição 8.2 (Sinal periódico, período).**

Um [sinal](#def-g10-signals-and-waves-signal) é *periódico* quando se repete de forma idêntica em intervalos regulares. O *período* $T$ é a duração de um ciclo completo, em segundos.

**Definição 8.3 (Frequência).**

A *frequência* de um [sinal periódico](#def-g10-signals-and-waves-period) é o número de ciclos por segundo:

$$
f = \frac{1}{T} .
$$

A sua [unidade](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/1-ordens-de-grandeza-medir-o-universo#def-g10-orders-of-magnitude-unit), um ciclo por segundo, é o *hertz* ($\mathrm{Hz}$), com os múltiplos habituais $\mathrm{kHz}$, $\mathrm{MHz}$, $\mathrm{GHz}$.

**Definição 8.4 (Amplitude).**

A *amplitude* de um [sinal periódico](#def-g10-signals-and-waves-period) é o seu afastamento máximo em relação ao valor de repouso. Para uma tensão que oscila simetricamente em torno de zero, a amplitude é o valor de pico; de crista a vale mede-se o *dobro* da amplitude (o valor de pico a pico).

**Exemplo 8.5 (Rede elétrica e lá de concerto).**

A tensão da rede elétrica oscila a $f = 50\,\mathrm{Hz}$: o seu [período](#def-g10-signals-and-waves-period) é $T = 1/f = 0.020\,\mathrm{s} = 20\,\mathrm{ms}$. O lá de concerto de uma orquestra é um [sinal](#def-g10-signals-and-waves-signal) de [pressão](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/7-pressao-do-esporte-ao-mergulho#def-g10-pressure-pressure) a $440\,\mathrm{Hz}$: um ciclo dura $T = 1/440 = 2.3\,\mathrm{ms}$. [Frequência](#def-g10-signals-and-waves-frequency) maior, ciclo mais curto: $f$ e $T$ são inversos um do outro.

![Um sinal periódico: o padrão se repete a cada T segundos, e a amplitude é o afastamento máximo em relação ao valor de repouso.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g10-signals-and-waves/fig-8b8d861ff524.svg)

*Um [sinal periódico](#def-g10-signals-and-waves-period): o padrão se repete a cada $T$ segundos, e a [amplitude](#def-g10-signals-and-waves-amplitude) é o afastamento máximo em relação ao valor de repouso.*

## 8.3 Ler um oscilograma

**Definição 8.6 (Osciloscópio).**

Um *osciloscópio* traça uma tensão em função do tempo; a curva na sua tela quadriculada é um *oscilograma*. Dois ajustes convertem divisões da tela em valores físicos: a *base de tempo* (segundos por divisão horizontal) e o *ganho* vertical (volts por divisão vertical).

**Método 8.7 (Da tela para os números).**

1. Conte as divisões horizontais ocupadas por um ciclo completo (de crista a crista é o mais seguro); multiplique pela [base de tempo](#def-g10-signals-and-waves-oscilloscope) para obter $T$ , e depois $f = 1/T$ .
2. Conte as divisões verticais da linha central até uma crista e multiplique pelo [ganho](#def-g10-signals-and-waves-oscilloscope) para obter a [amplitude](#def-g10-signals-and-waves-amplitude) (de crista a vale obtém-se o valor de pico a pico: divida pela metade).

**Exemplo 8.8 (Uma leitura completa).**

No [oscilograma](#def-g10-signals-and-waves-oscilloscope) abaixo, a [base de tempo](#def-g10-signals-and-waves-oscilloscope) é $5\,\mathrm{ms}$ por divisão e o [ganho](#def-g10-signals-and-waves-oscilloscope), $2\,\mathrm{V}$ por divisão. Um ciclo ocupa $4.0$ divisões: $T = 4.0 \times 5\,\mathrm{ms} = 20\,\mathrm{ms}$ e $f = 1/0.020\,\mathrm{s} = 50\,\mathrm{Hz}$ — a rede elétrica de novo. Uma crista fica $3.0$ divisões acima do eixo: a [amplitude](#def-g10-signals-and-waves-amplitude) é $3.0 \times 2\,\mathrm{V} = 6.0\,\mathrm{V}$.

![Um oscilograma, com base de tempo 5\, ms/div e ganho 2\, V/div: um ciclo ocupa 4.0 divisões (T = 20\, ms, f = 50\, Hz) e a crista fica 3.0 divisões acima (amplitude 6.0\, V).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g10-signals-and-waves/fig-2cfd80c61a63.svg)

*Um [oscilograma](#def-g10-signals-and-waves-oscilloscope), com [base de tempo](#def-g10-signals-and-waves-oscilloscope) $5\,\mathrm{ms}$/div e [ganho](#def-g10-signals-and-waves-oscilloscope) $2\,\mathrm{V}$/div: um ciclo ocupa $4.0$ divisões ($T = 20\,\mathrm{ms}$, $f = 50\,\mathrm{Hz}$) e a crista fica $3.0$ divisões acima ([amplitude](#def-g10-signals-and-waves-amplitude) $6.0\,\mathrm{V}$).*

## 8.4 Sinais sonoros e eletromagnéticos

**Definição 8.9 (Som).**

O *som* é um [sinal](#def-g10-signals-and-waves-signal) de [pressão](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/7-pressao-do-esporte-ao-mergulho#def-g10-pressure-pressure): um objeto que vibra — corda, membrana, cordas vocais — empurra o ar ritmicamente, e as compressões viajam para longe a cerca de $340\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Um microfone converte a [pressão](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/7-pressao-do-esporte-ao-mergulho#def-g10-pressure-pressure) que chega numa tensão; o tímpano, em impulsos nervosos. O som precisa de um meio: um sino tocado dentro de uma campânula de vácuo emudece à medida que o ar é bombeado para fora.

**Definição 8.10 (Onda).**

Uma perturbação que se propaga — o padrão de compressões de um [som](#def-g10-signals-and-waves-sound), a ondulação num lago, um pulso de rádio — é uma *onda*. O meio, quando existe, fica no lugar: cada porção de água balança onde está enquanto a ondulação atravessa o lago. A geometria das ondas — [comprimento de onda](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/2-espectros-luminosos-e-a-mensagem-da-luz#def-g10-light-spectra-wavelength), interferência, difração — é retomada num capítulo posterior; este capítulo só precisa das velocidades delas.

**Definição 8.11 (Ultrassom e infrassom).**

O ouvido humano escuta o [som](#def-g10-signals-and-waves-sound) entre cerca de $20\,\mathrm{Hz}$ e $20\,\mathrm{kHz}$ (o teto baixa com a idade). O [som](#def-g10-signals-and-waves-sound) acima de $20\,\mathrm{kHz}$ é *ultrassom* — morcegos caçam a $50\,\mathrm{kHz}$ e os aparelhos médicos formam imagens do corpo a alguns megahertz. O [som](#def-g10-signals-and-waves-sound) abaixo de $20\,\mathrm{Hz}$ é *infrassom*, sentido por elefantes e sismógrafos.

**Proposição 8.12 (Sinais eletromagnéticos).**

O rádio, o Wi-Fi e a luz são *sinais eletromagnéticos*: uma única família, todos viajando pelo vácuo — sem precisar de meio — e todos com uma única velocidade, a velocidade da luz do [Capítulo 3](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/3-refracao-da-luz#ch-g10-refraction),

$$
c = 3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s} \quad \text{(praticamente a mesma no ar).}
$$

**Demonstração.** *Admitido neste nível.* ∎

**Observação 8.13.**

Aqui isso é um fato experimental — a luz do Sol atravessa $150$ milhões de quilômetros de espaço vazio; ela é honestamente deduzida no volume do segundo ano de graduação a partir das leis da eletricidade e do magnetismo. Guarde o contraste: o [som](#def-g10-signals-and-waves-sound) é uma vibração *do* meio e morre sem ele; um [sinal eletromagnético](#prop-g10-signals-and-waves-em) carrega o seu próprio campo através do vácuo, um milhão de vezes mais rápido.

![Frequências sonoras em escala logarítmica (cada passo × 10). O ouvido escuta de 20\, Hz a 20\, kHz; abaixo está o infrassom, acima está o ultrassom.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g10-signals-and-waves/fig-65623a2abffb.svg)

*[Frequências](#def-g10-signals-and-waves-frequency) sonoras em escala logarítmica (cada passo $\times 10$). O ouvido escuta de $20\,\mathrm{Hz}$ a $20\,\mathrm{kHz}$; abaixo está o [infrassom](#def-g10-signals-and-waves-ultrasound), acima está o [ultrassom](#def-g10-signals-and-waves-ultrasound).*

## 8.5 Ecos: distâncias a partir de atrasos

Um [sinal](#def-g10-signals-and-waves-signal) que se propaga com velocidade $v$ percorre $d = v\,t$ num tempo $t$: todo atraso é uma distância disfarçada. Melhor ainda, envie um pulso curto contra um obstáculo e cronometre o seu *eco* — a ida e volta cobre $2d$.

**Método 8.14 (Medir distâncias por eco).**

1. Envie um pulso curto; meça o tempo $t$ de ida e volta do [eco](#rem-g10-signals-and-waves-honest) .
2. Tome a velocidade $v$ do [sinal](#def-g10-signals-and-waves-signal) *no meio atravessado* .
3. O pulso cobriu $2d = v\,t$ , logo $d = \dfrac{v\,t}{2}$ .

Pulsos de [som](#def-g10-signals-and-waves-sound) na água fazem o *sonar* ($v \approx 1500\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$); pulsos de rádio no ar fazem o *radar* ($v = c$); pulsos de [ultrassom](#def-g10-signals-and-waves-ultrasound) no corpo fazem o aparelho de ultrassonografia ($v \approx 1540\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ nos tecidos moles).

**Exemplo 8.15 (Sonar).**

O [sonar](#met-g10-signals-and-waves-echo) de um navio emite um pulso e o [eco](#rem-g10-signals-and-waves-honest) do fundo do mar volta depois de $t = 0.80\,\mathrm{s}$: a profundidade é $d = \frac{1500 \times 0.80}{2} = 600\,\mathrm{m}$. Esquecer o fator $2$ dobra o oceano.

![Um pulso de sonar desce e volta: o atraso medido t cobre 2d, de modo que a profundidade vale d = v\,t/2 com v 1500\, m/ s na água do mar.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g10-signals-and-waves/fig-0cf7ed2ba2c3.svg)

*Um pulso de [sonar](#met-g10-signals-and-waves-echo) desce e volta: o atraso medido $t$ cobre $2d$, de modo que a profundidade vale $d = v\,t/2$ com $v \approx 1500\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ na água do mar.*

**Exemplo 8.16 (Radar).**

Um [radar](#met-g10-signals-and-waves-echo) de aeroporto recebe o [eco](#rem-g10-signals-and-waves-honest) de um avião $0.30\,\mathrm{ms}$ depois do pulso: $d = \frac{3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s} \times 3.0 \times 10^{-4}\,\mathrm{s}}{2} = 45\,\mathrm{km}$. Como $c$ é tão grande, o [radar](#met-g10-signals-and-waves-echo) vive de relógios de microssegundo: cronometrar a luz é trabalho de precisão.

**Exemplo 8.17 (O coração como sinal).**

Cada batimento cardíaco envia um pequeno pulso de tensão pelo tórax; eletrodos o registram como o *eletrocardiograma* (ECG), um [sinal](#def-g10-signals-and-waves-signal) quase [periódico](#def-g10-signals-and-waves-period). Se os picos altos estão a $T = 0.75\,\mathrm{s}$ um do outro, o coração bate a $f = 1/0.75 = 1.33\,\mathrm{Hz}$, ou seja, $1.33 \times 60 = 80$ batimentos por minuto: ler $T$ num traçado é o modo como o cardiologista toma o seu pulso.

## 8.6 Exercícios

**Exercício 8.1 ★.**

Calcule a [frequência](#def-g10-signals-and-waves-frequency) do [sinal periódico](#def-g10-signals-and-waves-period) de [período](#def-g10-signals-and-waves-period) (a) $T = 20\,\mathrm{ms}$; (b) $T = 4.0\,\mathrm{ms}$; (c) $T = 50\,\text{µ}\mathrm{s}$.

**Solução de Exercício 8.1.**

$f = 1/T$: (a) $1/0.020\,\mathrm{s} = 50\,\mathrm{Hz}$; (b) $1/4.0 \times 10^{-3}\,\mathrm{s} = 250\,\mathrm{Hz}$; (c) $1/5.0 \times 10^{-5}\,\mathrm{s} = 20\,\mathrm{kHz}$.

**Exercício 8.2 ★.**

Calcule o [período](#def-g10-signals-and-waves-period) (a) da rede elétrica de $50\,\mathrm{Hz}$; (b) de um lá de concerto de $440\,\mathrm{Hz}$; (c) de um [sinal](#def-g10-signals-and-waves-signal) de Wi-Fi de $2.4\,\mathrm{GHz}$.

**Solução de Exercício 8.2.**

$T = 1/f$: (a) $20\,\mathrm{ms}$; (b) $1/440 = 2.3\,\mathrm{ms}$; (c) $1/2.4 \times 10^{9}\,\mathrm{Hz} = 0.42\,\mathrm{ns}$.

**Exercício 8.3 ★.**

Classifique como [infrassom](#def-g10-signals-and-waves-ultrasound), [som](#def-g10-signals-and-waves-sound) audível ou [ultrassom](#def-g10-signals-and-waves-ultrasound): $12\,\mathrm{Hz}$; $440\,\mathrm{Hz}$; $18\,\mathrm{kHz}$; $40\,\mathrm{kHz}$ (um sensor de estacionamento); $5\,\mathrm{MHz}$ (uma sonda médica).

**Solução de Exercício 8.3.**

$12\,\mathrm{Hz}$: [infrassom](#def-g10-signals-and-waves-ultrasound). $440\,\mathrm{Hz}$ e $18\,\mathrm{kHz}$: audíveis (a segunda, só para ouvidos jovens). $40\,\mathrm{kHz}$ e $5\,\mathrm{MHz}$: [ultrassom](#def-g10-signals-and-waves-ultrasound).

**Exercício 8.4 ★.**

Num [osciloscópio](#def-g10-signals-and-waves-oscilloscope) ajustado em $2\,\mathrm{ms}$ por divisão e $0.5\,\mathrm{V}$ por divisão, um ciclo ocupa $5.0$ divisões e uma crista fica $4.0$ divisões acima do eixo. Encontre $T$, $f$ e a [amplitude](#def-g10-signals-and-waves-amplitude).

**Solução de Exercício 8.4.**

$T = 5.0 \times 2\,\mathrm{ms} = 10\,\mathrm{ms}$, logo $f = 100\,\mathrm{Hz}$; [amplitude](#def-g10-signals-and-waves-amplitude) $4.0 \times 0.5\,\mathrm{V} = 2.0\,\mathrm{V}$.

**Exercício 8.5 ★.**

Você vê o relâmpago e, $6.0\,\mathrm{s}$ depois, ouve o trovão. A que distância ele caiu ($v_{\text{som}} = 340\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$)? Por que se pode desprezar o tempo de percurso da luz?

**Solução de Exercício 8.5.**

$d = 340 \times 6.0 = 2040\,\mathrm{m} \approx 2.0\,\mathrm{km}$. A luz cobre isso em $2040/(3.00\times10^{8}) \approx 7\,\text{µ}\mathrm{s}$, um milhão de vezes menos do que $6.0\,\mathrm{s}$: o clarão marca o instante da descarga.

**Exercício 8.6 ★★.**

Um [eco](#rem-g10-signals-and-waves-honest) de [sonar](#met-g10-signals-and-waves-echo) volta do fundo do mar depois de $0.60\,\mathrm{s}$ ($v = 1500\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ na água do mar). Por que o produto $v\,t$ precisa ser dividido pela metade? Calcule a profundidade. Quanto tempo o [eco](#rem-g10-signals-and-waves-honest) levaria sobre uma fossa de $1200\,\mathrm{m}$ de profundidade?

**Solução de Exercício 8.6.**

O [som](#def-g10-signals-and-waves-sound) desce *e volta*, cobrindo $2d$: $d = \frac{1500 \times 0.60}{2} = 450\,\mathrm{m}$. Sobre a fossa: $t = 2d/v = 2 \times 1200/1500 = 1.6\,\mathrm{s}$.

**Exercício 8.7 ★★.**

Um [radar](#met-g10-signals-and-waves-echo) de aeroporto recebe o [eco](#rem-g10-signals-and-waves-honest) de um avião depois de $0.24\,\mathrm{ms}$ e, exatamente $1.0\,\mathrm{s}$ mais tarde, um segundo [eco](#rem-g10-signals-and-waves-honest) depois de $0.238\,\mathrm{ms}$. Calcule as duas distâncias e depois a velocidade do avião. Ele está se aproximando?

**Solução de Exercício 8.7.**

$d_1 = \frac{3.00\times10^{8} \times 2.4\times10^{-4}}{2} =
36.0\,\mathrm{km}$ e $d_2 = 35.7\,\mathrm{km}$: o avião percorreu $300\,\mathrm{m}$ em $1.0\,\mathrm{s}$, logo $v = 300\,\mathrm{m}/\mathrm{s} \approx 1100\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$, e está se aproximando.

**Exercício 8.8 ★★.**

Um ECG é impresso a $25\,\mathrm{mm}/\mathrm{s}$; os picos altos estão a $20\,\mathrm{mm}$ um do outro. Encontre o [período](#def-g10-signals-and-waves-period) e a [frequência](#def-g10-signals-and-waves-frequency) cardíaca em batimentos por minuto. Taquicardia significa mais de $100$ batimentos por minuto: abaixo de que espaçamento entre picos ela aparece nesse papel?

**Solução de Exercício 8.8.**

$T = 20\,\mathrm{mm}/25\,\mathrm{mm}/\mathrm{s} = 0.80\,\mathrm{s}$, logo $f = 1.25\,\mathrm{Hz}$: $75$ batimentos por minuto. Para $100$ batimentos por minuto, $T = 0.60\,\mathrm{s}$, ou seja, $25 \times 0.60 = 15\,\mathrm{mm}$: a taquicardia aparece abaixo de $15\,\mathrm{mm}$.

**Exercício 8.9 ★★.**

Você precisa exibir um [sinal](#def-g10-signals-and-waves-signal) de $200\,\mathrm{Hz}$ e [amplitude](#def-g10-signals-and-waves-amplitude) $3.0\,\mathrm{V}$ numa tela de $10$ divisões horizontais e $8$ verticais ($4$ acima da linha central). Escolha uma [base de tempo](#def-g10-signals-and-waves-oscilloscope) que mostre cerca de dois ciclos completos e um [ganho](#def-g10-signals-and-waves-oscilloscope) que use quase toda a tela sem cortar o [sinal](#def-g10-signals-and-waves-signal).

**Solução de Exercício 8.9.**

$T = 1/200 = 5.0\,\mathrm{ms}$; dois ciclos duram $10\,\mathrm{ms}$, espalhados por $10$ divisões: [base de tempo](#def-g10-signals-and-waves-oscilloscope) de $1\,\mathrm{ms}$ por divisão. A crista tem de caber em $4$ divisões: [ganho](#def-g10-signals-and-waves-oscilloscope) de pelo menos $3.0/4 = 0.75\,\mathrm{V}$ por divisão — tome $1\,\mathrm{V}$ por divisão (crista a $3.0$ divisões de altura).

**Exercício 8.10 ★★.**

Uma sonda médica envia um pulso de [ultrassom](#def-g10-signals-and-waves-ultrasound) para dentro do abdome ($v = 1540\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ nos tecidos moles) e escuta [ecos](#rem-g10-signals-and-waves-honest) depois de $40\,\text{µ}\mathrm{s}$ (parede anterior de um órgão) e $60\,\text{µ}\mathrm{s}$ (parede posterior). Encontre a profundidade de cada parede e a espessura do órgão.

**Solução de Exercício 8.10.**

$d = v\,t/2$: parede anterior, $\frac{1540 \times 4.0\times10^{-5}}{2} = 3.1\,\mathrm{cm}$; parede posterior, $\frac{1540 \times 6.0\times10^{-5}}{2} = 4.6\,\mathrm{cm}$; espessura de cerca de $1.5\,\mathrm{cm}$.

**Exercício 8.11 ★★.**

Um show é transmitido ao vivo. Quem escuta primeiro uma batida de bateria: um ouvinte a $30\,\mathrm{m}$ do palco ou um ouvinte de rádio a $3000\,\mathrm{km}$? Por quanto?

**Solução de Exercício 8.11.**

[Som](#def-g10-signals-and-waves-sound): $30/340 = 0.088\,\mathrm{s}$. Rádio: $3.0\times10^{6}/(3.00\times10^{8}) = 0.010\,\mathrm{s}$. O ouvinte de rádio, mais distante, escuta a bateria primeiro, por cerca de $78\,\mathrm{ms}$.

**Exercício 8.12 ★★★.**

Um morcego emite pulsos de [ultrassom](#def-g10-signals-and-waves-ultrasound) de $3.0\,\mathrm{ms}$ de duração e não consegue escutar um [eco](#rem-g10-signals-and-waves-honest) enquanto ainda está emitindo. Abaixo de que distância uma mariposa é indetectável? Qual é o atraso do [eco](#rem-g10-signals-and-waves-honest) para uma mariposa a $1.7\,\mathrm{m}$? Por que o morcego precisa encurtar os seus pulsos na aproximação final?

**Solução de Exercício 8.12.**

Enquanto emite por $3.0\,\mathrm{ms}$, o morcego fica surdo a [ecos](#rem-g10-signals-and-waves-honest), ou seja, a tudo que esteja a menos de $d = \frac{340 \times 3.0\times10^{-3}}{2} = 0.51\,\mathrm{m}$. Mariposa a $1.7\,\mathrm{m}$: $t = 2 \times 1.7/340 = 10\,\mathrm{ms}$. À medida que se aproxima, o [eco](#rem-g10-signals-and-waves-honest) volta cada vez mais cedo; o pulso tem de terminar antes que ele chegue, e por isso precisa encurtar.

**Exercício 8.13 ★★★.**

Você bate palma de frente para um paredão e ouve o [eco](#rem-g10-signals-and-waves-honest) $1.5\,\mathrm{s}$ depois. A que distância está o paredão? Você caminha $100\,\mathrm{m}$ em linha reta na direção dele: qual é o novo atraso? O ouvido deixa de separar palma e [eco](#rem-g10-signals-and-waves-honest) abaixo de cerca de $0.1\,\mathrm{s}$: dentro de que distância o [eco](#rem-g10-signals-and-waves-honest) some dentro da palma?

**Solução de Exercício 8.13.**

$d = \frac{340 \times 1.5}{2} = 255\,\mathrm{m}$. A $155\,\mathrm{m}$: $t = 2 \times 155/340 = 0.91\,\mathrm{s}$. [Eco](#rem-g10-signals-and-waves-honest) e palma se fundem quando $t < 0.1\,\mathrm{s}$, ou seja, dentro de $d < \frac{340 \times 0.1}{2} = 17\,\mathrm{m}$.

**Exercício 8.14 ★★★.**

Com $5\,\mathrm{ms}$ por divisão, um ciclo de um [sinal](#def-g10-signals-and-waves-signal) ocupa $3.0$ divisões de uma tela de $10$ divisões.

1. Encontre $T$ e $f$ .
2. A [base de tempo](#def-g10-signals-and-waves-oscilloscope) é mudada para $2\,\mathrm{ms}$ por divisão: quantas divisões um ciclo ocupa agora?
3. Quantos ciclos *completos* cabem na tela em cada ajuste?

**Solução de Exercício 8.14.**

*1.* $T = 3.0 \times 5\,\mathrm{ms} = 15\,\mathrm{ms}$, $f = 1/0.015 \approx 67\,\mathrm{Hz}$. *2.* $15\,\mathrm{ms}/2\,\mathrm{ms} = 7.5$ divisões. *3.* A tela mostra $50\,\mathrm{ms}$ e depois $20\,\mathrm{ms}$: $3$ ciclos completos ($50/15 = 3.3$) e depois $1$ ($20/15 = 1.3$).

**Exercício 8.15 ★★★.**

Um “ping” mede o tempo de ida e volta de um pacote de internet até um servidor a $1200\,\mathrm{km}$. Qual é o menor tempo de ida e volta concebível (sinais a $c$)? Numa [fibra óptica](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/3-refracao-da-luz#def-g10-refraction-fiber) a luz viaja a cerca de $2.0 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$: refaça a conta. O ping medido é de $40\,\mathrm{ms}$: dê duas razões pelas quais ele supera as suas respostas.

**Solução de Exercício 8.15.**

*1.* $t = 2 \times 1.2\times10^{6}/(3.00\times10^{8}) =
8.0\,\mathrm{ms}$. *2.* $2 \times 1.2\times10^{6}/(2.0\times10^{8}) = 12\,\mathrm{ms}$. *3.* A fibra não corre em linha reta entre as duas máquinas, e cada roteador e servidor do caminho acrescenta um atraso de processamento.

## 8.7 Problema: o sonar, a tempestade e o cardiograma

**Problema 8.1.**

Problema de fim de semana — ler os sinais do mundo: uma única lei, $d = v\,t$, mede a distância de uma tempestade, mapeia um fundo de mar, conta um batimento cardíaco e revela como funciona o GPS

Um barco de pesca trabalha ao longo de uma noite de tempestade: relâmpagos no horizonte, o [sonar](#met-g10-signals-and-waves-echo) varrendo o fundo, o coração do mestre na tira de papel do médico, um receptor de GPS escutando [satélites](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/4-gravitacao-universal-e-peso#def-g10-universal-gravitation-satellite). Quatro instrumentos, uma lei. Tome $v_{\text{som}} = 340\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ no ar, $1500\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ na água do mar e $c = 3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

**Parte I — A tempestade.**

1. Um clarão; o trovão vem $9.0\,\mathrm{s}$ depois. A que distância ele está?
2. Calcule o tempo de percurso da luz nessa distância e justifique tratar o clarão como instantâneo.
3. Os marinheiros contam os segundos entre o clarão e o trovão e dividem por três para obter quilômetros. Justifique a regra.
4. Cinco minutos depois, um clarão dá $6.0\,\mathrm{s}$ . A que distância agora? Encontre a [velocidade média](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/5-movimento-relativo#def-g10-relative-motion-speed) de aproximação da tempestade em $\mathrm{m}/\mathrm{s}$ e em $\mathrm{km}/\mathrm{h}$ .
5. O trovão ronca em vez de estalar: o canal do relâmpago tem quilômetros de comprimento, de modo que as suas partes estão a distâncias diferentes. Se o canal se estende de $2.0\,\mathrm{km}$ a $5.0\,\mathrm{km}$ do barco, quanto tempo dura o ronco?

**Parte II — O [sonar](#met-g10-signals-and-waves-echo).**

6. O [sonar](#met-g10-signals-and-waves-echo) emite um pulso; o fundo responde em $0.90\,\mathrm{s}$ . Qual é a profundidade?
7. Sobre a plataforma continental o [eco](#rem-g10-signals-and-waves-honest) encurta para $0.20\,\mathrm{s}$ . Qual é a profundidade?
8. Um pulso devolve *dois* [ecos](#rem-g10-signals-and-waves-honest) , em $0.16\,\mathrm{s}$ e $0.20\,\mathrm{s}$ . Interprete-os; a que altura do fundo nada o cardume?
9. O [sonar](#met-g10-signals-and-waves-echo) emite um pulso a cada $0.50\,\mathrm{s}$ . Qual é a maior profundidade que ele pode medir sem confusão, e o que dá errado além dela?
10. No ar, o mesmo atraso de $0.60\,\mathrm{s}$ significaria que distância? Moral: o que é preciso saber antes de transformar um atraso em distância?

**Parte III — O cardiograma.**

11. Os picos do ECG do mestre estão a $0.86\,\mathrm{s}$ um do outro. Qual é a [frequência](#def-g10-signals-and-waves-frequency) ? E os batimentos por minuto?
12. A tira avança a $25\,\mathrm{mm}/\mathrm{s}$ . Que espaçamento entre picos o médico mediu?
13. Depois de recolher as redes, o espaçamento é de $15\,\mathrm{mm}$ . Qual é a nova [frequência](#def-g10-signals-and-waves-frequency) cardíaca?
14. O jovem marinheiro, remador treinado, fica em repouso a $50$ batimentos por minuto. Qual é o [período](#def-g10-signals-and-waves-period) ? E o espaçamento na tira?
15. Um ECG é rigorosamente [periódico](#def-g10-signals-and-waves-period) ? O que, então, o médico lê no traçado?

**Parte IV — De volta para casa pela luz.**

16. O barco chama o porto pelo rádio, a $50\,\mathrm{km}$ . Quanto tempo a mensagem leva? Quanto tempo o [som](#def-g10-signals-and-waves-sound) levaria?
17. Um [satélite](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/4-gravitacao-universal-e-peso#def-g10-universal-gravitation-satellite) de GPS orbita a cerca de $20\,200\,\mathrm{km}$ de altitude. Quanto tempo o seu [sinal](#def-g10-signals-and-waves-signal) leva para chegar ao barco?
18. O GPS transforma tempo em posição. Que erro de distância um erro de relógio de $1.0\,\text{µ}\mathrm{s}$ provoca? Que precisão de cronometragem uma localização com $3.0\,\mathrm{m}$ de erro exige?
19. Por que não poderia existir um GPS baseado em [som](#def-g10-signals-and-waves-sound) , nem mesmo em princípio?
20. Final: liste as três velocidades usadas nesta noite e a única lei por trás dos quatro instrumentos, e enuncie em uma frase o hábito de medir distâncias por atraso.

**Solução de Problema 8.1.**

**1.** $d = 340 \times 9.0 = 3060\,\mathrm{m} \approx 3.1\,\mathrm{km}$.

**2.** $3060/(3.00\times10^{8}) \approx 10\,\text{µ}\mathrm{s}$, um milhão de vezes mais curto do que $9.0\,\mathrm{s}$: o clarão marca o instante da descarga.

**3.** Em $3\,\mathrm{s}$ o [som](#def-g10-signals-and-waves-sound) cobre $340 \times 3 = 1020\,\mathrm{m} \approx 1\,\mathrm{km}$: segundos divididos por três dão quilômetros.

**4.** $d = 340 \times 6.0 = 2040\,\mathrm{m}$. A tempestade encurtou $1020\,\mathrm{m}$ em $300\,\mathrm{s}$: $v = 3.4\,\mathrm{m}/\mathrm{s} \approx 12\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$, rumo ao barco.

**5.** A ponta mais próxima é ouvida depois de $2000/340 = 5.9\,\mathrm{s}$ e a mais distante depois de $5000/340 = 14.7\,\mathrm{s}$: o ronco dura cerca de $8.8\,\mathrm{s}$.

**6.** $d = 1500 \times 0.90/2 = 675\,\mathrm{m}$.

**7.** $d = 1500 \times 0.20/2 = 150\,\mathrm{m}$.

**8.** Dois obstáculos: um cardume a $1500 \times 0.16/2 = 120\,\mathrm{m}$ e o fundo a $150\,\mathrm{m}$. O cardume nada $30\,\mathrm{m}$ acima do fundo.

**9.** O [eco](#rem-g10-signals-and-waves-honest) tem de voltar antes do pulso seguinte: $d_{\max} = 1500 \times 0.50/2 = 375\,\mathrm{m}$. De água mais funda o [eco](#rem-g10-signals-and-waves-honest) chega *depois* do pulso seguinte e é atribuído a ele: a tela mostra um fundo falso, raso demais.

**10.** No ar, $340 \times 0.60/2 = 102\,\mathrm{m}$ em vez de $450\,\mathrm{m}$. Um atraso só vira distância depois que se conhece o portador e a velocidade dele no meio atravessado.

**11.** $f = 1/0.86 = 1.16\,\mathrm{Hz}$, ou seja, $1.16 \times 60 \approx 70$ batimentos por minuto.

**12.** $25 \times 0.86 = 21.5\,\mathrm{mm}$.

**13.** $T = 15/25 = 0.60\,\mathrm{s}$: $100$ batimentos por minuto.

**14.** $T = 60/50 = 1.2\,\mathrm{s}$; espaçamento $25 \times 1.2 = 30\,\mathrm{mm}$.

**15.** Não: o [período](#def-g10-signals-and-waves-period) varia de batimento para batimento com o esforço, a respiração e o estresse. O médico lê o [período](#def-g10-signals-and-waves-period) (a [frequência](#def-g10-signals-and-waves-frequency)), a sua regularidade e a forma de cada ciclo — o diagnóstico está no [sinal](#def-g10-signals-and-waves-signal).

**16.** Rádio: $5.0\times10^{4}/(3.00\times10^{8}) =
0.17\,\mathrm{ms}$ — instantâneo para os sentidos humanos. [Som](#def-g10-signals-and-waves-sound): $50\,000/340 \approx 147\,\mathrm{s}$, dois minutos e meio.

**17.** $t = 2.02\times10^{7}/(3.00\times10^{8}) = 67\,\mathrm{ms}$.

**18.** $c \times 1.0\,\text{µ}\mathrm{s} = 300\,\mathrm{m}$. Para uma localização com $3.0\,\mathrm{m}$: $3.0/(3.00\times10^{8}) = 10\,\mathrm{ns}$ — e é por isso que os [satélites](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/4-gravitacao-universal-e-peso#def-g10-universal-gravitation-satellite) de GPS carregam relógios atômicos.

**19.** Os [satélites](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/4-gravitacao-universal-e-peso#def-g10-universal-gravitation-satellite) estão no vácuo, e o [som](#def-g10-signals-and-waves-sound) precisa de um meio: [sinal](#def-g10-signals-and-waves-signal) nenhum sairia do [satélite](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/4-gravitacao-universal-e-peso#def-g10-universal-gravitation-satellite). (Mesmo concedendo ar em todo o caminho, $20\,200\,\mathrm{km}$ a $340\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ dão mais de $16\,\mathrm{h}$ — uma posição com horas de atraso.)

**20.** $340\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ([som](#def-g10-signals-and-waves-sound) no ar), $1500\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ([som](#def-g10-signals-and-waves-sound) na água do mar) e $c = 3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ (rádio e luz); a lei é $d = v\,t$, dividida pela metade quando se trata de [eco](#rem-g10-signals-and-waves-honest). O hábito: conheça o seu portador, conheça a velocidade dele no meio, cronometre o atraso — um atraso é uma distância disfarçada.