---
title: "تحريك النقطة المادية"
book: "الفيزياء الجامعية — السنة الأولى"
subject: physics
language: ar
chapter: 11
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/physics/3/ar/chapter/11-kinematics-of-a-point
---

# الفصل 11 — تحريك النقطة المادية

عربة الأفعوانية تدخل الحلقة عند $90\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$، فتبطئ وهي تصعد، وتتعلّق لحظةً في القمة، ثم تندفع خارجةً من جديد؛ ويشعر راكبوها بأنهم مسحوقون في مقاعدهم عند الأسفل وبأنهم بلا وزن تقريبًا عند القمة. ووصف تلك الرحلة — أين العربة، وكم تسرع، وكيف تدور سرعتها وتتغير — هو التحريك، وهو يحتاج إلى أكثر من $x$ و $y$ و $z$ لطريق مستقيم: أي إلى [الإحداثيات القطبية](#def-b1-point-kinematics-cylindrical) لكل ما يدور، وإلى [مرجع](#def-b1-point-kinematics-frame) يسافر مع العربة نفسها. ويقيم هذا الفصل تلك الأدوات، ويبرهن على صيغ [السرعة](#def-b1-point-kinematics-velocity) [والتسارع](#def-b1-point-kinematics-velocity) في كل منها، ويطبّقها على الحركات التي سيستدعيها كل فصل تال: الدائرية والحلزونية والتوافقية والحركة على أيّ منحنٍ.

## 11.1 الموضع والسرعة والتسارع

**تعريف 11.1 (المرجع والموضع والمسار).**

*المرجع* جسم صلب يُؤخذ ثابتًا (كالمختبر أو الأرض أو قطار)، مع ساعة. و*النقطة المادية* $M$ — وهي جسم لا يهمّ حجمه في الحركة المدروسة — تُحدَّد في كل لحظة بواسطة *متجهة موضعها* $\vect{OM}(t)$ من مبدأ $O$ مرتبط بالمرجع؛ والمنحني الذي ترسمه $M$ هو *مسارها*. والحركة دائمًا حركة *بالنسبة إلى مرجع*: فالراكب نفسه ساكن في القطار ومتحرك في المحطة.

**تعريف 11.2 (السرعة والتسارع).**

*سرعة* النقطة $M$ و*تسارعها* في [المرجع](#def-b1-point-kinematics-frame) هما

$$
\vect v = \frac{\dd\vect{OM}}{\dd t}, \qquad
\vect a = \frac{\dd\vect v}{\dd t} = \frac{\dd^2\vect{OM}}{\dd t^2},
$$

وهما مشتقّا دالتين متجهيتين: ويُحصَّل مشتقّ متجهة باشتقاق مركّباتها في أساس *ثابت في [المرجع](#def-b1-point-kinematics-frame)*. والسرعة مماسّة [للمسار](#def-b1-point-kinematics-frame) وتشير في اتجاه الحركة؛ ومعيارها $v$ هو *قيمة السرعة*. والوحدات: $\mathrm{m}/\mathrm{s}$ و $\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$.

**قضية 11.3 (الإحداثيات الديكارتية).**

مع أساس متعامد ممنظم ثابت $(\vect e_x, \vect e_y, \vect e_z)$ و $\vect{OM} = x\,\vect e_x + y\,\vect e_y + z\,\vect e_z$، يكون

$$
\vect v = \dot x\,\vect e_x + \dot y\,\vect e_y + \dot z\,\vect e_z, \qquad
\vect a = \ddot x\,\vect e_x + \ddot y\,\vect e_y + \ddot z\,\vect e_z,
$$

حيث ترمز النقطة إلى $\dd/\dd t$.

**برهان.** متجهات الأساس ثابتة؛ ولا تتغير إلا المركّبات. ∎

**مثال 11.4 (قذيفة).**

كرة تُقذف من $O$ بقيمة [سرعة](#def-b1-point-kinematics-velocity) $v_0$ وزاوية $\alpha$ فوق الأفق، وإحداثياتها (من الديناميك في الفصل التالي) هي $x = v_0\cos\alpha\,t$ و $z = v_0\sin\alpha\,t - \tfrac12 gt^2$. ومنه $\vect v = v_0\cos\alpha\,\vect e_x + (v_0\sin\alpha - gt)\vect e_z$ و $\vect a = -g\vect e_z$: [فالتسارع](#def-b1-point-kinematics-velocity) ثابت بينما تدور [السرعة](#def-b1-point-kinematics-velocity)؛ وعند القمة ($\dot z = 0$ و $t = v_0\sin\alpha/g$) تكون [السرعة](#def-b1-point-kinematics-velocity) أفقية [والتسارع](#def-b1-point-kinematics-velocity) عموديًّا عليها. وبحذف $t$: $z = x\tan\alpha - gx^2/(2v_0^2\cos^2\alpha)$، أي قطع مكافئ.

![قطع القذيفة المكافئ: السرعة مماسّة للمسار وتدور، والتسارع g ثابت. وعند القمة تتعامد السرعة والتسارع: فقيمة السرعة ساكنة لحظيًّا بينما يظلّ الاتجاه يتغير.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-point-kinematics/fig-243698fae792.svg)

*قطع القذيفة المكافئ: [السرعة](#def-b1-point-kinematics-velocity) مماسّة [للمسار](#def-b1-point-kinematics-frame) وتدور، [والتسارع](#def-b1-point-kinematics-velocity) $\vect g$ ثابت. وعند القمة تتعامد [السرعة](#def-b1-point-kinematics-velocity) [والتسارع](#def-b1-point-kinematics-velocity): فقيمة [السرعة](#def-b1-point-kinematics-velocity) ساكنة لحظيًّا بينما يظلّ الاتجاه يتغير.*

## 11.2 الإحداثيات الأسطوانية

**تعريف 11.5 (الإحداثيات الأسطوانية وأساسها).**

تُحدَّد النقطة $M$ بالمقدار $r \geq 0$ (وهو بعدها عن المحور $z$)، وبالزاوية $\theta$ التي يصنعها مسقطها على المستوي $xy$ مع $\vect e_x$، وبالإحداثي $z$: أي $\vect{OM} = r\,\vect e_r + z\,\vect e_z$، حيث

$$
\vect e_r = \cos\theta\,\vect e_x + \sin\theta\,\vect e_y, \qquad
\vect e_\theta = -\sin\theta\,\vect e_x + \cos\theta\,\vect e_y,
$$

وتشكّل هذه مع $\vect e_z$ *الأساس المحلي* $(\vect e_r, \vect e_\theta,
\vect e_z)$، وهو متعامد ممنظم ومباشر، و*يتحرك مع $M$*. وفي المستوي ($z$ ثابت) تكون هذه هي *الإحداثيات القطبية* $(r, \theta)$.

**مبرهنة مساعدة 11.6 (مشتقّات الأساس المحلي).**

$$
\frac{\dd\vect e_r}{\dd t} = \dot\theta\,\vect e_\theta, \qquad
\frac{\dd\vect e_\theta}{\dd t} = -\dot\theta\,\vect e_r, \qquad
\frac{\dd\vect e_z}{\dd t} = \vect 0 .
$$

**برهان.** باشتقاق المركّبات: $\dd\vect e_r/\dd t = \dot\theta(-\sin\theta\,
\vect e_x + \cos\theta\,\vect e_y) = \dot\theta\vect e_\theta$، و كذلك من أجل $\vect e_\theta$. فمشتقّ متجهة واحدة دائرة عمودي عليها ومعياره هو المعدل الزاوي. ∎

**مبرهنة 11.7 (السرعة والتسارع بالإحداثيات الأسطوانية).**

$$
\vect v = \dot r\,\vect e_r + r\dot\theta\,\vect e_\theta + \dot z\,\vect e_z,
\qquad
\vect a = \big(\ddot r - r\dot\theta^2\big)\vect e_r
+ \big(r\ddot\theta + 2\dot r\dot\theta\big)\vect e_\theta + \ddot z\,\vect e_z .
$$

**برهان.** نشتقّ $\vect{OM} = r\vect e_r + z\vect e_z$ بمساعدة المبرهنة المساعدة: $\vect v = \dot r\vect e_r + r\dot\theta\vect e_\theta + \dot z\vect e_z$. ثم نشتقّ من جديد: $\ddot r\vect e_r + \dot r\dot\theta\vect e_\theta +
\dot r\dot\theta\vect e_\theta + r\ddot\theta\vect e_\theta - r\dot\theta^2
\vect e_r + \ddot z\vect e_z$؛ ثم نجمع الأمثال. ∎

![الإحداثيات القطبية: الأساس المحلي ( e_r, e_ ) يدور مع M؛ وللسرعة جزء قطري r وجزء عمودي على القطر مقداره r. وهنا يتّجه المسار (بالأحمر) حلزونيًّا إلى الخارج، فيكون r > 0 وتميل v خارجًا عن مماسّ الدائرة.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-point-kinematics/fig-98a6b555635a.svg)

*[الإحداثيات القطبية](#def-b1-point-kinematics-cylindrical): [الأساس المحلي](#def-b1-point-kinematics-cylindrical) $(\vect e_r, \vect e_\theta)$ يدور مع $M$؛ وللسرعة جزء قطري $\dot r$ وجزء عمودي على القطر مقداره $r\dot\theta$. وهنا يتّجه [المسار](#def-b1-point-kinematics-frame) (بالأحمر) حلزونيًّا إلى الخارج، فيكون $\dot r > 0$ وتميل $\vect v$ خارجًا عن مماسّ الدائرة.*

**نتيجة 11.8 (الحركة الدائرية).**

على دائرة نصف قطرها $R$ (حيث $r = R$ و $z = 0$)، ومع *[السرعة الزاوية](#cor-b1-point-kinematics-circular)* $\omega = \dot\theta$:

$$
\vect v = R\omega\,\vect e_\theta, \qquad
\vect a = -R\omega^2\,\vect e_r + R\dot\omega\,\vect e_\theta
= -\frac{v^2}{R}\,\vect e_r + \frac{\dd v}{\dd t}\,\vect e_\theta .
$$

ومن أجل [الحركة الدائرية](#cor-b1-point-kinematics-circular) *المنتظمة* ($\omega$ ثابت) يكون [التسارع](#def-b1-point-kinematics-velocity) *مركزيًّا* خالصًا، معياره $v^2/R = R\omega^2$، مع أن قيمة [السرعة](#def-b1-point-kinematics-velocity) ثابتة.

**برهان.** نضع $\dot r = \ddot r = 0$ في المبرهنة؛ ويكون $v = R\omega$. ∎

**مثال 11.9 (دائرتان).**

سيارة تدور في مستديرة نصف قطرها $20\,\mathrm{m}$ [بسرعة](#def-b1-point-kinematics-velocity) $36\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ (أي $10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$): فيكون $a = v^2/R = 5.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$، أي نصف $g$، موجَّهًا نحو المركز — وهو ما يجب أن توفّره الإطارات. والقمر ($R = 3.84 \times 10^{8}\,\mathrm{m}$ و $T = 27.3\,\mathrm{d}$): $\omega = 2\pi/T =
2.66 \times 10^{-6}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ و $a = R\omega^2 = 2.7 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$، أي جزء من $3600$ من $g$ عند سطح الأرض، على بعد ستين نصف قطر أرضي — وهي المقارنة التي أجراها نيوتن ([الفصل 16](https://one-course.com/books/physics/3/ar/chapter/16-central-forces-planets-and-satellites#ch-b1-central-forces)).

## 11.3 الإحداثيات الكروية

**تعريف 11.10 (الإحداثيات الكروية).**

تُحدَّد النقطة $M$ ببعدها $r = OM$، وبالزاوية *القطبية* $\theta \in [0, \pi]$ بين $\vect{OM}$ و $\vect e_z$، وبزاوية *السمت* $\varphi$ لمسقطها على المستوي $xy$: أي $\vect{OM} = r\,\vect e_r$ مع

$$
\vect e_r = \sin\theta\cos\varphi\,\vect e_x + \sin\theta\sin\varphi\,\vect e_y + \cos\theta\,\vect e_z ;
$$

وتُتمّ $\vect e_\theta$ (المماسّة لخط الزوال، نحو $\theta$ المتزايدة) و $\vect e_\varphi$ (المماسّة لدائرة العرض) الأساسَ المحلي المتعامد الممنظم. وعلى الأرض تكون $\theta$ هي $90^\circ$ ناقص خط العرض، و $\varphi$ هي خط الطول.

**قضية 11.11 (السرعة بالإحداثيات الكروية).**

$$
\vect v = \dot r\,\vect e_r + r\dot\theta\,\vect e_\theta + r\sin\theta\,\dot\varphi\,\vect e_\varphi .
$$

**برهان.** $\dd\vect e_r/\dd t = \dot\theta\,\vect e_\theta + \sin\theta\,\dot\varphi\,
\vect e_\varphi$: فالحدّ الأول هو الدوران في مستوي خط الزوال (كما في الحالة القطبية)، والثاني هو الدوران حول $\vect e_z$ بمعدل $\dot\varphi$ لمتجهة بعدها عن المحور $\sin\theta$. ثم $\vect v = \dd(r\vect e_r)/\dd t$. أما [التسارع](#def-b1-point-kinematics-velocity) فلا حاجة إليه هذه السنة. ∎

![الإحداثيات الكروية (r, , ) وأساسها المحلي: e_r قطرية، وe_ على خط الزوال (نحو الجنوب على كرة أرضية)، وe_ على دائرة العرض (نحو الشرق).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-point-kinematics/fig-64181e6f86ea.svg)

*[الإحداثيات الكروية](#def-b1-point-kinematics-spherical) $(r, \theta, \varphi)$ وأساسها المحلي: $\vect e_r$ قطرية، و$\vect e_\theta$ على خط الزوال (نحو الجنوب على كرة أرضية)، و$\vect e_\varphi$ على دائرة العرض (نحو الشرق).*

## 11.4 أساس فريني

**تعريف 11.12 (الفاصلة المنحنية وأساس فريني).**

على امتداد [مسار](#def-b1-point-kinematics-frame)، تكون *الفاصلة المنحنية* $s(t)$ هي طول القوس من نقطة مرجعية، محسوبًا جبريًّا؛ و $v = \dot s$. وعند $M$ يشير المماسّ الواحدي $\vect T = \dd\vect{OM}/\dd s$ نحو $s$ المتزايدة؛ ويُعرَّف *نصف قطر التقوّس* $\rho > 0$ والناظم الواحدي $\vect N$، المشير نحو الجهة المقعرة (أي نحو مركز التقوّس)، بالعلاقة

$$
\frac{\dd\vect T}{\dd s} = \frac{1}{\rho}\,\vect N .
$$

والزوج $(\vect T, \vect N)$ هو *أساس فريني*؛ ويكون $\rho = \infty$ على مستقيم، و $\rho = R$ على دائرة نصف قطرها $R$.

**مبرهنة 11.13 (التسارع في أساس فريني).**

$$
\vect v = v\,\vect T, \qquad
\vect a = \frac{\dd v}{\dd t}\,\vect T + \frac{v^2}{\rho}\,\vect N .
$$

المركّبة *المماسية* $\dd v/\dd t$ تقيس [سرعة](#def-b1-point-kinematics-velocity) تغيّر قيمة [السرعة](#def-b1-point-kinematics-velocity)؛ والمركّبة *الناظمية* $v^2/\rho$، وهي دائمًا نحو مركز التقوّس، تقيس [سرعة](#def-b1-point-kinematics-velocity) دوران الاتجاه. وتكون الحركة منتظمة إذا وفقط إذا كان $\vect a \perp \vect v$؛ وتكون مستقيمة إذا وفقط إذا كان $\vect a \parallel \vect v$.

**برهان.** $\vect v = (\dd\vect{OM}/\dd s)(\dd s/\dd t) = v\vect T$. ومنه $\vect a =
\dot v\vect T + v\,\dd\vect T/\dd t = \dot v\vect T + v(\dd\vect T/\dd s)\dot s
= \dot v\vect T + (v^2/\rho)\vect N$. أما كون $\dd\vect T/\dd s \perp \vect T$ فيتبع من اشتقاق $\vect T\cdot\vect T = 1$. ∎

![أساس فريني عند نقطة من منحنٍ: T في اتجاه الحركة، وN نحو مركز التقوّس C. وينقسم التسارع إلى جزء مماسي v T (تسريع أو كبح) وجزء ناظمي (v2/ ) N (دوران).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-point-kinematics/fig-7773a1ffba95.svg)

*[أساس فريني](#def-b1-point-kinematics-frenet) عند نقطة من منحنٍ: $\vect T$ في اتجاه الحركة، و$\vect N$ نحو مركز التقوّس $C$. وينقسم [التسارع](#def-b1-point-kinematics-velocity) إلى جزء مماسي $\dot v\vect T$ (تسريع أو كبح) وجزء ناظمي $(v^2/\rho)\vect N$ (دوران).*

**مثال 11.14 (الكبح في منعطف).**

سيارة عند $90\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ (أي $25\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$) في منعطف نصف قطره $100\,\mathrm{m}$ تكبح بمقدار $2.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$: فيكون $a_T = -2.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ و $a_N = 625/100 =
6.25\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ و $a = \sqrt{4 + 39} = 6.6\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$. فالجزء الناظمي هو المهيمن: فالمنعطف قبل كل شيء دوران، وتماسك الإطارات (في الفصل التالي) يحدّ $\sqrt{a_T^2 + a_N^2}$، ولهذا يُكبح *قبل* المنعطف.

## 11.5 الحركات المعيارية

**قضية 11.15 (الحركة المستقيمة المنتظمة التسارع).**

على محور، $\ddot x = a$ ثابت، انطلاقًا من $x_0$ و $v_0$: $v = v_0 + at$ و $x = x_0 + v_0t + \tfrac12 at^2$ و $v^2 - v_0^2 = 2a(x - x_0)$.

**برهان.** نكامل مرتين؛ ثم نحذف $t$ بين العلاقتين الأوليين. ∎

**قضية 11.16 (الحركة الحلزونية).**

$r = R$ و $\theta = \omega t$ و $z = v_zt$ (والثوابت $R$ و $\omega$ و $v_z$): تكون قيمة [السرعة](#def-b1-point-kinematics-velocity) $v = \sqrt{R^2\omega^2 + v_z^2}$ ثابتة، ويكون [التسارع](#def-b1-point-kinematics-velocity) $\vect a = -R\omega^2\vect e_r$ مركزيًّا ثابت المعيار، ويكون [نصف قطر التقوّس](#def-b1-point-kinematics-frenet) $\rho = v^2/a = R(1 + v_z^2/R^2\omega^2) > R$.

**برهان.** [المبرهنة 11.7](#thm-b1-point-kinematics-cylindrical) مع $\dot r = 0$ و $\ddot\theta = 0$ و $\ddot z = 0$؛ والحركة منتظمة، فيكون $\vect a$ ناظميًّا خالصًا و $v^2/\rho = R\omega^2$. ∎

**قضية 11.17 (الحركة التوافقية).**

$x = A\cos(\omega t + \varphi)$: ومنه $\dot x = -A\omega\sin(\omega t + \varphi)$ و $\ddot x = -\omega^2 x$. فتتقدّم [السرعة](#def-b1-point-kinematics-velocity) على الموضع بربع دور ويكون [التسارع](#def-b1-point-kinematics-velocity) معاكسًا للموضع؛ و $v_{\max} =
A\omega$ و $a_{\max} = A\omega^2$. وهذه هي مسقط [حركة دائرية](#cor-b1-point-kinematics-circular) منتظمة نصف قطرها $A$ وسرعتها الزاوية $\omega$ على قطر.

**برهان.** نشتقّ؛ وللمسقط نأخذ $x = A\cos\theta$ مع $\theta =
\omega t + \varphi$. ∎

**طريقة 11.18 (اختيار الإحداثيات).**

- حركة مستقيمة أو مكافئية [بتسارع](#def-b1-point-kinematics-velocity) ثابت: الديكارتية.
- حركة حول محور أو نقطة (كالدوائر واللوالب والمدارات وأقراص الدوران): الأسطوانية أو القطبية؛ والأساس يتحرك، فتُستعمل [المبرهنة 11.7](#thm-b1-point-kinematics-cylindrical) ، لا الاشتقاق الساذج للمركّبات.
- منحنٍ معطى (كمضمار أو منعطف أو حلقة) حين يُعرف قانون قيمة [السرعة](#def-b1-point-kinematics-velocity) : [أساس فريني](#def-b1-point-kinematics-frenet) ، وهو يفصل “كم [السرعة](#def-b1-point-kinematics-velocity) ” عن “أيّ اتجاه”.

ومهما يكن الاختيار، تبقى $\vect v$ و $\vect a$ متجهتين تتوقفان على [المرجع](#def-b1-point-kinematics-frame)، ولا تكتمل النتيجة إلا بتسمية [المرجع](#def-b1-point-kinematics-frame).

## 11.6 تمارين

**تمرين 11.1 ★.**

سيارة تنطلق من السكون بالقانون $x(t) = 2.0\,t^2$ (بوحدات النظام الدولي). أوجد [السرعة](#def-b1-point-kinematics-velocity) و [التسارع](#def-b1-point-kinematics-velocity) عند $t = 3.0\,\mathrm{s}$؛ والمسافة المقطوعة في أول $5\,\mathrm{s}$؛ والزمن اللازم لبلوغ $100\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$.

**حل التمرين 11.1.**

$v = 4.0t$: أي $12\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ عند $3.0\,\mathrm{s}$؛ و$a = 4.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$؛ و$x(5) = 50\,\mathrm{m}$؛ و$100\,\mathrm{km}/\mathrm{h} = 27.8\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ عند $t = 27.8/4.0
= 6.9\,\mathrm{s}$.

**تمرين 11.2 ★.**

نقطة تتحرك في مستوٍ مع $r = 2.0\,\mathrm{m}$ و $\theta = 3.0\,t$ (بالراديان، بوحدات النظام الدولي). أعطِ $\vect v$ و $\vect a$ في الأساس القطبي ومعياريهما، وطبيعة الحركة.

**حل التمرين 11.2.**

$\dot r = 0$ و $\dot\theta = 3.0\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$: فيكون $\vect v = r\dot\theta\,\vect e_\theta
= 6.0\,\vect e_\theta$ (بوحدة $\mathrm{m}/\mathrm{s}$)؛ و $\vect a = -r\dot\theta^2\vect e_r =
-18\,\vect e_r$ (بوحدة $\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$). وهي [حركة دائرية](#cor-b1-point-kinematics-circular) منتظمة: قيمة [سرعة](#def-b1-point-kinematics-velocity) ثابتة و [تسارع مركزي](#cor-b1-point-kinematics-circular).

**تمرين 11.3 ★.**

نقطة على خط الاستواء ($R = 6.37 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$، واليوم النجمي $86\,164\,\mathrm{s}$): أوجد قيمة [السرعة](#def-b1-point-kinematics-velocity) [والتسارع](#def-b1-point-kinematics-velocity) في [المرجع](#def-b1-point-kinematics-frame) الأرضي المركزي. وقارن [التسارع](#def-b1-point-kinematics-velocity) بالمقدار $g$.

**حل التمرين 11.3.**

$v = 2\pi R/T = 2\pi \times 6.37\times10^6/86164 = 465\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$؛ و$a = v^2/R = 0.034\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$، أي $g/290$.

**تمرين 11.4 ★.**

تُقذف كرة [بسرعة](#def-b1-point-kinematics-velocity) $v_0 = 12\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ عند $\alpha = 40^\circ$؛ وإحداثياتها هي إحداثيات [المثال 11.4](#ex-b1-point-kinematics-projectile). أوجد زمن بلوغ القمة والارتفاع الأعظمي والمدى و [السرعة](#def-b1-point-kinematics-velocity) عند الوصول إلى الأرض.

**حل التمرين 11.4.**

$v_0\sin\alpha = 7.71\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ و $v_0\cos\alpha = 9.19\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. والقمة عند $t = 7.71/9.81 = 0.79\,\mathrm{s}$، وارتفاعها $7.71^2/(2 \times 9.81) =
3.0\,\mathrm{m}$. والمدى $2 \times 9.19 \times 0.786 = 14.5\,\mathrm{m}$. وعند الوصول: $(9.19, -7.71)$، أي $12\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ بزاوية $40^\circ$ تحت الأفق.

**تمرين 11.5 ★★.**

دراج [بسرعة](#def-b1-point-kinematics-velocity) $10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ يدخل منعطفًا نصف قطره $25\,\mathrm{m}$ و يتسارع بمقدار $1.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$. أعطِ $\vect a$ في [أساس فريني](#def-b1-point-kinematics-frenet) و معيارها؛ وماذا بعد $5\,\mathrm{s}$ من [التسارع](#def-b1-point-kinematics-velocity) نفسه على المنعطف نفسه؟

**حل التمرين 11.5.**

$a_T = 1.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ و $a_N = 10^2/25 = 4.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ و $a =
4.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$. وبعد $5\,\mathrm{s}$: $v = 15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ و $a_N = 225/25 =
9.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ و $a = 9.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$.

**تمرين 11.6 ★★.**

نقطة تتبع اللولب $r = b\theta$ مع $\theta = \omega t$ (و $b$ و $\omega$ ثابتان). احسب $\vect v$ وقيمة [السرعة](#def-b1-point-kinematics-velocity) و $\vect a$ في الأساس القطبي. ومن أين يأتي الحدّ $2\dot r\dot\theta$؟

**حل التمرين 11.6.**

$r = b\omega t$ و $\dot r = b\omega$ و $\ddot r = 0$ و $\dot\theta = \omega$: فيكون $\vect v = b\omega\,\vect e_r + b\omega^2 t\,\vect e_\theta$ و $v = b\omega
\sqrt{1 + \omega^2t^2}$؛ و $\vect a = -b\omega^3 t\,\vect e_r + 2b\omega^2\,
\vect e_\theta$. والحدّ $2\dot r\dot\theta$ نصفان متساويان: فاتجاه [السرعة](#def-b1-point-kinematics-velocity) القطرية يدور بمعدل $\dot\theta$ (فيعطي $\dot r\dot\theta\,\vect e_\theta$)، والانتقال إلى الخارج يزيد [السرعة](#def-b1-point-kinematics-velocity) العمودية على القطر $r\dot\theta$ (فيعطي $\dot r\dot\theta$ آخر).

**تمرين 11.7 ★★.**

حلزون: $R = 2.0\,\mathrm{m}$ و $\omega = 1.0\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ و $v_z = 0.50\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. أوجد قيمة [السرعة](#def-b1-point-kinematics-velocity) [والتسارع](#def-b1-point-kinematics-velocity) وخطوة الحلزون [ونصف قطر التقوّس](#def-b1-point-kinematics-frenet).

**حل التمرين 11.7.**

$v = \sqrt{(2.0 \times 1.0)^2 + 0.5^2} = 2.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$؛ و$a = R\omega^2 =
2.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ نحو المحور؛ والخطوة $v_z \times 2\pi/\omega =
3.1\,\mathrm{m}$؛ و$\rho = v^2/a = 4.25/2.0 = 2.1\,\mathrm{m} > R$.

**تمرين 11.8 ★★.**

مكبس يتحرك وفق $x = 0.10\cos(10t)$ (بوحدات النظام الدولي). أعطِ $v_{\max}$ و $a_{\max}$ والعلاقات الطورية بين $x$ و $v$ و $a$، والمواضع التي تكون عندها $\abs v$ و $\abs a$ أكبر ما تكون.

**حل التمرين 11.8.**

$v_{\max} = A\omega = 1.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$؛ و$a_{\max} = A\omega^2 = 10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$؛ وتتقدّم $v$ على $x$ بربع دور، ويكون $a = -\omega^2x$ معاكسًا للموضع $x$. وتكون $\abs v$ أكبر ما تكون عند $x = 0$، و $\abs a$ عند الطرفين $x = \pm A$.

**تمرين 11.9 ★★.**

انطلاقًا من $\vect e_r = \cos\theta\,\vect e_x + \sin\theta\,\vect e_y$، اشتقّ $\dd\vect e_r/\dd t$ و $\dd\vect e_\theta/\dd t$، ثم [السرعة](#def-b1-point-kinematics-velocity) [والتسارع](#def-b1-point-kinematics-velocity) القطبيين في [المبرهنة 11.7](#thm-b1-point-kinematics-cylindrical).

**حل التمرين 11.9.**

$\dot{\vect e}_r = \dot\theta(-\sin\theta\,\vect e_x + \cos\theta\,\vect e_y)
= \dot\theta\,\vect e_\theta$؛ و$\dot{\vect e}_\theta = \dot\theta(-\cos\theta\,
\vect e_x - \sin\theta\,\vect e_y) = -\dot\theta\,\vect e_r$. ومنه $\vect v = \dot r\vect e_r + r\dot\theta\vect e_\theta$، وباشتقاق مرة أخرى بقاعدة الجداء نحصل على [تسارع](#def-b1-point-kinematics-velocity) [المبرهنة 11.7](#thm-b1-point-kinematics-cylindrical).

**تمرين 11.10 ★★★.**

من أجل قذيفة [المثال 11.4](#ex-b1-point-kinematics-projectile)، أوجد نصف قطر تقوّس [المسار](#def-b1-point-kinematics-frame) عند القمة وعند نقطة القذف (باستعمال المركّبة الناظمية للمتجهة $\vect g$). فأيّهما أصغر، ولماذا؟

**حل التمرين 11.10.**

عند القمة: $v = v_0\cos\alpha$ و $a_N = g$: ومنه $\rho = v_0^2\cos^2\alpha/g$. وعند القذف: $v = v_0$ و $a_N = g\cos\alpha$: ومنه $\rho = v_0^2/(g\cos\alpha)$. فنصف قطر القمة أصغر بالعامل $\cos^3\alpha$: إذ ينحني القطع المكافئ أشدّ ما ينحني حيث يكون أبطأ وحيث يكون $\vect g$ كله ناظميًّا.

**تمرين 11.11 ★★★.**

عجلة نصف قطرها $R$ تتدحرج دون انزلاق [بسرعة](#def-b1-point-kinematics-velocity) $v$؛ ونقطة من إطارها إحداثياها $x = vt - R\sin(vt/R)$ و $y = R - R\cos(vt/R)$ (أي منحنٍ دويري). احسب سرعتها وتسارعها؛ وبيّن أنها حين تلامس الأرض تنعدم سرعتها ويكون تسارعها $v^2/R$ إلى أعلى؛ وأوجد قيمة سرعتها عند القمة.

**حل التمرين 11.11.**

$\dot x = v - v\cos(vt/R)$ و $\dot y = v\sin(vt/R)$؛ و$\ddot x = (v^2/R)
\sin(vt/R)$ و $\ddot y = (v^2/R)\cos(vt/R)$. وعند الأرض (حيث $vt/R = 2\pi n$): $\dot x = \dot y = 0$ و $\vect a = (0, v^2/R)$، أي إلى أعلى. وعند القمة (حيث $vt/R = \pi$): $\dot x = 2v$ و $\dot y = 0$: فقيمة [السرعة](#def-b1-point-kinematics-velocity) $2v$.

**تمرين 11.12 ★★★.**

يمشي شخص إلى الخارج على امتداد نصف قطر قرص دوّار يدور [بسرعة زاوية](#cor-b1-point-kinematics-circular) ثابتة $\omega$، [بسرعة](#def-b1-point-kinematics-velocity) ثابتة $u$ بالنسبة إلى القرص: أي $r = ut$ و $\theta = \omega t$. احسب $\vect a$ في الأساس القطبي، وعيّن الحدّين، وقيّمهما من أجل $u = 1.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ و $\omega = 1.0\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ عند $t = 2.0\,\mathrm{s}$. وأيّ حدّ لا نظير له لشخص يمشي على الأرض؟

**حل التمرين 11.12.**

$\ddot r = 0$ و $\dot r = u$ و $\dot\theta = \omega$: فيكون $\vect a = -ut\omega^2\,
\vect e_r + 2u\omega\,\vect e_\theta$. وعند $t = 2.0\,\mathrm{s}$: $-2.0\,\vect e_r
+ 2.0\,\vect e_\theta$ (بوحدة $\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$). والأول هو الحدّ المركزي للدوران؛ أما الثاني، $2\dot r\dot\theta$، فلا يوجد إلا لأن الاتجاه القطري نفسه يدور — فعلى الأرض لا يعطي المشي مستقيمًا [بسرعة](#def-b1-point-kinematics-velocity) ثابتة أيّ [تسارع](#def-b1-point-kinematics-velocity) البتة.

![حلقة شاقولية (يوميوري لاند، طوكيو): على شكل دمعة لا دائرة، حتى يكون التقوّس أكبر ما يكون عند القمة حيث تكون السرعة أصغر ما تكون — وهي هندسة مسألة نهاية الأسبوع. الصورة: جيريمي طومسون، CC BY 2.0.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-point-kinematics/img-427803100044.jpg)

*حلقة شاقولية (يوميوري لاند، طوكيو): على شكل دمعة لا دائرة، حتى يكون التقوّس أكبر ما يكون عند القمة حيث تكون [السرعة](#def-b1-point-kinematics-velocity) أصغر ما تكون — وهي هندسة مسألة نهاية الأسبوع. الصورة: جيريمي طومسون، CC BY 2.0.*

## 11.7 مسألة: حلقة الأفعوانية

**مسألة 11.1.**

مسألة نهاية الأسبوع — عربة تدخل حلقة شاقولية عند تسعين كيلومترًا في الساعة: أين تبطئ، وإلى أين يشير تسارعها، وكم من $g$ يشعر الراكبون، ولماذا لا تكون الحلقات الحديثة دوائر

عربة، تُعامل نقطةً $M$، تسير على حلقة دائرية شاقولية نصف قطرها $R = 10\,\mathrm{m}$ ومركزها $C$. ويُعطى موضعها بالزاوية $\theta$ بين $\vect{CM}$ والشاقول النازل (فتكون $\theta =
0$ عند الأسفل و $\pi$ عند القمة). ويُهمَل الاحتكاك، و قانون قيمة [السرعة](#def-b1-point-kinematics-velocity) (المشتقّ في [الفصل 13](https://one-course.com/books/physics/3/ar/chapter/13-work-energy-and-potential-energy#ch-b1-work-and-energy)) هو

$$
v^2 = v_0^2 - 2gR(1 - \cos\theta),
$$

مع $v_0 = 25\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ قيمةَ [السرعة](#def-b1-point-kinematics-velocity) عند الأسفل؛ و $g = 9.81\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$.

**الجزء I — التحريك على الدائرة.**

1. [بالإحداثيات القطبية](#def-b1-point-kinematics-cylindrical) المتمركزة عند $C$ (مع $\vect e_r$ من $C$ إلى $M$ )، اكتب $\vect v$ و $\vect a$ للحركة على الدائرة.
2. عيّن متجهتَي فريني $\vect T$ و $\vect N$ بدلالة $\vect e_r$ و $\vect e_\theta$ ، [ونصف قطر التقوّس](#def-b1-point-kinematics-frenet) .
3. احسب قيمة [السرعة](#def-b1-point-kinematics-velocity) عند القمة، وعند النقطتين الجانبيتين $\theta = \pi/2$ و $3\pi/2$ .
4. اشتقّ قانون قيمة [السرعة](#def-b1-point-kinematics-velocity) بالنسبة إلى الزمن لتبيّن أن [التسارع المماسي](#thm-b1-point-kinematics-frenet) هو $a_T = -g\sin\theta$ . وفسّر إشارته في الصعود وفي النزول.
5. عبّر عن [التسارع الناظمي](#thm-b1-point-kinematics-frenet) $a_N(\theta)$ واحسبه عند الأسفل والجانبين والقمة.
6. أعطِ معيار $\vect a$ عند النقاط الأربع والزاوية التي يصنعها مع الشاقول عند القمة.
7. عند أيّ نقاط تكون $\vect a$ عمودية على $\vect v$ ؟ وموازية لها؟

**الجزء II — المعدلات الزاوية والتوقيت.**

8. عبّر عن $\dot\theta$ بدلالة $\theta$ واحسبها عند الأسفل والقمة.
9. بيّن أن $\ddot\theta = -(g/R)\sin\theta$ (وهي معادلة نواس) وعلّق على ذلك.
10. للمقارنة، احسب دور التذبذبات الصغيرة لنواس بسيط طوله $R$ (وقد أعطت [المثال 1.8](https://one-course.com/books/physics/3/ar/chapter/1-units-dimensions-and-measurement#ex-b1-units-dimensions-pendulum) صيغته؛ مع $k = 2\pi$ ).
11. قدّر زمن الدوران حول الحلقة، مستعملًا متوسط قيم [السرعة](#def-b1-point-kinematics-velocity) عند النقاط المرجعية الأربع.
12. أصغر قيمة [للسرعة](#def-b1-point-kinematics-velocity) عند القمة تُبقي العربة على المضمار (في الفصل التالي) هي $\sqrt{gR}$ . فهل تتحقق؟ وأيّ أصغر $v_0$ يلزم؟

**الجزء III — ما يشعر به الراكبون.** الوزن الظاهري لواحدة الكتلة الذي يشعر به راكب هو $\vect a - \vect g$ (وهو مسلَّم هنا، ومشتقّ في [الفصل 12](https://one-course.com/books/physics/3/ar/chapter/12-newtons-laws-of-dynamics#ch-b1-newton-dynamics))؛ ومعياره بوحدات $g$ هو “حمولة $g$”.

13. احسب حمولة $g$ عند الأسفل.
14. احسبها عند القمة، وقل إلى أيّ جهة يُضغط الراكب (المقعد أم المقيِّد).
15. احسبها عند النقطتين الجانبيتين.
16. يتحمّل الراكبون نحو $4g$ برهةً. فهل تنجح هذه الحلقة؟ وأين المشكلة؟
17. بيّن أنه من أجل حلقة دائرية يُدخل إليها [بسرعة](#def-b1-point-kinematics-velocity) تكفي بالضبط لتجاوز القمة (بوزن ظاهري معدوم هناك)، تكون حمولة $g$ عند الأسفل $6g$ حتمًا، مهما تكن $R$ .

**الجزء IV — الحلقة الكلوثويدية.** الحلقات الحديثة على شكل “دمعة”: [فنصف قطر التقوّس](#def-b1-point-kinematics-frenet) كبير عند الأسفل وصغير عند القمة.

18. باستعمال صورة فريني [للتسارع](#def-b1-point-kinematics-velocity) $\vect a$ ، فسّر لماذا يغيّر تغيير $\rho$ على امتداد المضمار المقدارَ $a_N$ دون تغيير قانون قيمة [السرعة](#def-b1-point-kinematics-velocity) (الذي يتوقف على الارتفاع وحده).
19. اختر $\rho_{\text{الأسفل}}$ بحيث تكون حمولة $g$ عند الأسفل $3g$ مع $v_0 = 25\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .
20. عند القمة يبقى الارتفاع $2R = 20\,\mathrm{m}$ فوق الأسفل. اختر $\rho_{\text{القمة}}$ بحيث تكون حمولة $g$ هناك $1.5g$ .
21. للكلوثويد تقوّس يتناسب مع طول القوس، $1/\rho = s/A^2$ . فعلى امتداد مدخل كهذا، وقيمة [السرعة](#def-b1-point-kinematics-velocity) شبه ثابتة، كيف ينمو $a_N$ مع الزمن، ولماذا يكون ذلك أرفق بالعنق من دائرة (حيث يقفز $a_N$ عند المدخل)؟
22. ارسم شكل الحلقة الناتج رسمًا نوعيًّا ولخّص في جملتين لماذا حلّ محلّ الدائرة.

**الجزء V — منظورًا من الأرض.** آلة تصوير على مستوى الأرض، على بعد $50\,\mathrm{m}$ من مركز الحلقة في مستويها، تتعقّب العربة.

23. حين تكون العربة عند القمة متحركةً أفقيًّا [بسرعة](#def-b1-point-kinematics-velocity) $15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ، بأيّ معدل زاوي (بالراديان في الثانية) يجب أن تدور [آلة التصوير](https://one-course.com/books/physics/3/ar/chapter/4-optical-instruments-and-the-eye#def-b1-optical-instruments-camera) ؟ ( [بالإحداثيات القطبية](#def-b1-point-kinematics-cylindrical) من [آلة التصوير](https://one-course.com/books/physics/3/ar/chapter/4-optical-instruments-and-the-eye#def-b1-optical-instruments-camera) .)
24. لماذا تكون آلة تصوير تدور بمعدل ثابت متعقّبًا رديئًا [لحركة دائرية](#cor-b1-point-kinematics-circular) منتظمة؟
25. لخّص درس هذا الفصل من الحلقة: أيّ نظام إحداثيات أجاب عن أيّ سؤال.

**حل المسألة 11.1.**

**1.** $\vect v = R\dot\theta\,\vect e_\theta$؛ و$\vect a = -R\dot\theta^2
\,\vect e_r + R\ddot\theta\,\vect e_\theta$.

**2.** $\vect T = \vect e_\theta$ (والحركة في اتجاه $\theta$ المتزايدة)، و $\vect N = -\vect e_r$ (نحو $C$)، و $\rho = R$.

**3.** عند القمة: $v^2 = 625 - 392 = 233$ و $v = 15.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. وعند الجانبين: $625 - 196 = 429$ و $v = 20.7\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

**4.** $2v\dot v = -2gR\sin\theta\,\dot\theta$ و $v = R\dot\theta$: ومنه $\dot v = -g\sin\theta$. وهو سالب من أجل $0 < \theta < \pi$ (أي إبطاء في الصعود)، وموجب في النزول.

**5.** $a_N = v^2/R = v_0^2/R - 2g(1 - \cos\theta)$: فعند الأسفل $62.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$؛ وعند الجانبين $62.5 - 19.6 = 42.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$؛ وعند القمة $62.5 -
39.2 = 23.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$.

**6.** عند الأسفل: $62.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ (بلا جزء مماسي)؛ وعند الجانبين: $\sqrt{42.9^2 + 9.81^2} = 44.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$؛ وعند القمة: $23.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$، مشيرًا شاقوليًّا إلى الأسفل نحو $C$: فالزاوية $0$ مع الشاقول.

**7.** عمودية عند الأسفل والقمة (حيث $a_T = 0$)؛ وليست موازية أبدًا (لأن $a_N > 0$ في كل مكان).

**8.** $\dot\theta = v/R = \sqrt{v_0^2 - 2gR(1 - \cos\theta)}/R$: فعند الأسفل $2.50\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$، وعند القمة $1.53\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$.

**9.** $\ddot\theta = \dot v/R = -(g/R)\sin\theta$: وهي معادلة نواس بسيط طوله $R$ — فالعربة على مضمارها ثقل نواس يعبر القمة.

**10.** $2\pi\sqrt{R/g} = 2\pi\sqrt{10/9.81} = 6.3\,\mathrm{s}$.

**11.** متوسط $25$ و$20.7$ و$15.3$ و$20.7$: نحو $20\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$؛ والطول $2\pi R = 63\,\mathrm{m}$: أي نحو $3\,\mathrm{s}$.

**12.** $\sqrt{gR} = 9.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s} < 15.3$: فنعم. وأصغر قيمة: $v_0^2 \geq
gR + 4gR = 5gR = 490$، أي $v_0 \geq 22.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

**13.** عند الأسفل: $\vect a = 62.5$ إلى أعلى و $\vect g$ إلى أسفل: ومنه $\abs{\vect a - \vect g} = 62.5 + 9.8 = 72.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2} = 7.4g$.

**14.** عند القمة: كلاهما إلى أسفل، $23.3 - 9.8 = 13.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2} = 1.4g$، يضغط الراكب في مقعده (أي نحو المركز، وهو إلى أعلى بالنسبة إلى الراكب المقلوب).

**15.** عند الجانبين: $\vect a = 42.9$ أفقيًّا نحو $C$ زائد $9.8$ إلى أسفل (مماسيًّا)؛ والمقدار $\vect a - \vect g$ يساوي $42.9$ أفقيًّا: أي $4.4g$ جانبيًّا نحو المركز.

**16.** تفشل: $7.4g$ عند الأسفل (أما القمة والجانبان فلا بأس بهما).

**17.** وزن ظاهري معدوم عند القمة: $v_{\text{القمة}}^2 = gR$؛ ومنه $v_0^2 = gR + 4gR = 5gR$ و $a_N = 5g$ عند الأسفل، فتكون الحمولة $5g + g = 6g$، مستقلة عن $R$.

**18.** $a_N = v^2/\rho$: فقيمة $v$ يثبّتها الارتفاع (بالطاقة)، و $\rho$ تثبّتها هندسة المضمار؛ فقيمة مختلفة لنصف القطر $\rho$ عند الارتفاع نفسه تغيّر $a_N$ وحده.

**19.** $a_N + g = 3g$: ومنه $a_N = 2g$ و $\rho = v_0^2/2g = 625/19.6 =
32\,\mathrm{m}$.

**20.** $v_{\text{القمة}} = 15.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$؛ ومن $a_N - g = 1.5g$ نجد $a_N =
24.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ و $\rho = 233/24.5 = 9.5\,\mathrm{m}$.

**21.** $a_N = v^2/\rho = v^2s/A^2 = v^3t/A^2$: فهو ينمو خطيًّا من الصفر — أي بمعدل تغيّر ثابت [للتسارع](#def-b1-point-kinematics-velocity) — بدلًا من القفز من $0$ إلى $v^2/R$ عند مدخل دائرة، وهو ما يشعر به العنق ضربةً.

**22.** على شكل دمعة: عريضة لطيفة التقوّس عند الأسفل حيث تكون العربة سريعة، وضيقة عند القمة حيث تكون بطيئة. فتُبقي الحمولة قرب $3g$ في كل مكان وتأتي بها تدريجيًّا.

**23.** خط النظر: البعد الأفقي $50\,\mathrm{m}$ والارتفاع $20\,\mathrm{m}$: ومنه $r = 53.9\,\mathrm{m}$ وزاوية الارتفاع $\beta = 21.8^\circ$. و المركّبة المستعرضة [للسرعة](#def-b1-point-kinematics-velocity) الأفقية هي $v\sin\beta = 15 \times
0.371 = 5.6\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$؛ ومنه $\dot\theta = 5.6/53.9 = 0.10\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$.

**24.** منظورًا من نقطة خارج المركز لا يكون المعدل الزاوي لخط النظر ثابتًا (فهو سريع حين تقترب العربة، وبطيء حين تبتعد): فتنزلق آلة تصوير ذات معدل ثابت عن العربة.

**25.** [الإحداثيات القطبية](#def-b1-point-kinematics-cylindrical) عند $C$ [للسرعة](#def-b1-point-kinematics-velocity) [والتسارع](#def-b1-point-kinematics-velocity) على الدائرة؛ وفصل فريني بين “التسريع” و“الدوران” و من أجل الكلوثويد؛ [والإحداثيات القطبية](#def-b1-point-kinematics-cylindrical) عند [آلة التصوير](https://one-course.com/books/physics/3/ar/chapter/4-optical-instruments-and-the-eye#def-b1-optical-instruments-camera) لمعدل التعقّب؛ والطاقة (في الفصول التالية) لقانون قيمة [السرعة](#def-b1-point-kinematics-velocity).