--- title: "المبدأ الأول للترموديناميك" book: "الفيزياء الجامعية — السنة الأولى" subject: physics language: ar chapter: 22 exercises: 12 source: https://one-course.com/books/physics/3/ar/chapter/22-the-first-law-of-thermodynamics --- # الفصل 22 — المبدأ الأول للترموديناميك انفخ إطار دراجة يسخن جسم المنفاخ حتى لا تُطيق الإمساك به. ومحرك الديزل لا شمعة إشعال فيه: فهو يضغط هواءه إلى جزء من عشرين، فيسخن الهواء حتى يشعل الوقود من تلقائه. وقارورة غاز مضغوط يكسوها الصقيع وهي تفرغ. وفي كل حالة تتغير صورة الطاقة — فيصير الشغل [حرارة](#def-b1-first-law-heat)، وتصير [الحرارة](#def-b1-first-law-heat) شغلًا، ويصيران معًا [طاقة داخلية](https://one-course.com/books/physics/3/ar/chapter/20-kinetic-theory-and-the-perfect-gas#def-b1-kinetic-theory-U) — [والمبدأ الأول للترموديناميك](#thm-b1-first-law-firstlaw) هو المحاسبة التي تجعل الحساب متوازنًا. ويعرّف هذا الفصل الشغل [والحرارة](#def-b1-first-law-heat) [لجملة ترموديناميكية](#def-b1-first-law-transformation)، وينصّ المبدأ الأول، ويقدّم [الطاقة الداخلية](https://one-course.com/books/physics/3/ar/chapter/20-kinetic-theory-and-the-perfect-gas#def-b1-kinetic-theory-U) [والإنثالبي](#def-b1-first-law-enthalpy) بوصفهما المقدارين اللذين يحفظهما، ثم يطبّقه على تحولات [الغاز المثالي](https://one-course.com/books/physics/3/ar/chapter/20-kinetic-theory-and-the-perfect-gas#def-b1-kinetic-theory-model) وعلى المسعرية. ![منفاخ دراجة: شغل اليد على الهواء المحبوس يرفع طاقته الداخلية، فيدفأ جسم المنفاخ — المبدأ الأول في راحة الكفّ.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-first-law/img-7b8ecb401796.jpg) *منفاخ دراجة: شغل اليد على الهواء المحبوس يرفع طاقته الداخلية، فيدفأ جسم المنفاخ — المبدأ الأول في راحة الكفّ.* ## 22.1 التحولات والشغل والحرارة **تعريف 22.1 (الجملة والتحول).** *الجملة الترموديناميكية* هي المادة داخل حدّ مختار؛ وما عداها هو *الوسط الخارجي*. و*التحول* ينقلها من حالة توازن إلى أخرى. ويكون *شبه سكوني* إذا مرّت الجملة بمتتالية من حالات التوازن (أي ببطء يكفي لتعريف $P$ و $T$ في كل موضع منها)، ويكون *عكوسًا* إذا أدّى، فوق ذلك، عكسُ الشروط الخارجية إلى عكس المسار (بلا احتكاك، وبلا فرق منتهٍ في [درجة الحرارة](https://one-course.com/books/physics/3/ar/chapter/20-kinetic-theory-and-the-perfect-gas#def-b1-kinetic-theory-temperature) أو الضغط مع الوسط الخارجي). ويُسمّى التحول بما يبقى ثابتًا فيه: *متساوي [الحرارة](#def-b1-first-law-heat)* ($T$)، *متساوي الضغط* ($P$)، *متساوي الحجم* ($V$)؛ و*كظوم* إن لم تُتبادَل [حرارة](#def-b1-first-law-heat)؛ و*وحيد الضغط* (*وحيد [الحرارة](#def-b1-first-law-heat)*) إذا ثبت الضغط الخارجي (أو [درجة الحرارة](https://one-course.com/books/physics/3/ar/chapter/20-kinetic-theory-and-the-perfect-gas#def-b1-kinetic-theory-temperature) الخارجية) مهما يجرِ في الداخل. **قضية 22.2 (شغل قوى الضغط).** جملة يتغير حجمها بمقدار $\dd V$ في مواجهة ضغط خارجي $P_{\mathrm{ext}}$ تتلقى الشغل $$ \delta W = -P_{\mathrm{ext}}\,\dd V, \qquad W = -\int_{V_1}^{V_2}P_{\mathrm{ext}}\,\dd V . $$ وفي [تحول شبه سكوني](#def-b1-first-law-transformation) يكون $P_{\mathrm{ext}} = P$ (أي ضغط الجملة نفسها) ويكون $W = -\int P\,\dd V$ مقابلًا للمساحة تحت المسار في مخطط كلابيرون بإشارة سالبة: فهو موجب عند الانضغاط وسالب عند التمدد. **برهان.** مكبس مساحته $S$ يدفعه الوسط الخارجي بالقوة $P_{\mathrm{ext}}S$ فينزاح بمقدار $\dd x$ نحو الخارج: فيؤدي الوسط الخارجي على الجملة الشغل $-P_{\mathrm{ext}}S\,\dd x = -P_{\mathrm{ext}}\,\dd V$. وأيّ حدّ هو مجموعة من مكابس كهذه. وفي [التحول شبه السكوني](#def-b1-first-law-transformation) يكون المكبس في توازن، فيكون $P_{\mathrm{ext}} = P$ إلى فرق متلاشٍ. ∎ **تعريف 22.3 (الحرارة).** *الحرارة* $Q$ طاقة تُنقل إلى الجملة بغير الشغل العياني — بتصادمات جزيئية عند جدار (وهو التوصيل)، أو بجريان مائع (وهو الحمل)، أو بالإشعاع. و*المنظِّم الحراري* جسم من الكبر بحيث لا تتغير درجة حرارته مهما تبادل من حرارة. واصطلاح الإشارة في الكتاب كله: أن $W$ و $Q$ *تتلقاهما* الجملة، فهما موجبان حين يدخلان. ## 22.2 المبدأ الأول **مبرهنة 22.4 (المبدأ الأول للترموديناميك).** [لجملة مغلقة](https://one-course.com/books/physics/3/ar/chapter/12-newtons-laws-of-dynamics#def-b1-newton-dynamics-conservation) دالةُ حالة، هي *طاقتها الداخلية* $U$ (وهي امتدادية)، بحيث يكون في أيّ [تحول](#def-b1-first-law-transformation) $$ \Delta U + \Delta E_{k} = W + Q , $$ حيث $E_k$ [الطاقة الحركية](https://one-course.com/books/physics/3/ar/chapter/13-work-energy-and-potential-energy#thm-b1-work-and-energy-ke) العيانية (وهي معدومة لجملة ساكنة): فالطاقة المتلقاة شغلًا وحرارةً تُخزَّن طاقةً داخلية. ويتوقف كلٌّ من $W$ و $Q$ على المسار؛ ولا يتوقف مجموعهما عليه. **برهان.** *نقبله في هذا المستوى.* ∎ **ملاحظة 22.5 (ما الذي ينصّ عليه).** هو انحفاظ الطاقة، مع الاعتراف [بالحرارة](#def-b1-first-law-heat) نقلًا للطاقة (تجربة جول بالدولاب ذي الريش: فشغل مقيس يرفع دائمًا [درجة حرارة](https://one-course.com/books/physics/3/ar/chapter/20-kinetic-theory-and-the-perfect-gas#def-b1-kinetic-theory-temperature) الماء بقدر ما ترفعها [حرارة](#def-b1-first-law-heat) مقيسة). وقولنا “$U$ دالة حالة” يعني أن $\Delta U$ تعيّنه الحالتان الابتدائية والنهائية — فيكون في دور $\Delta U = 0$ و $W + Q = 0$: فمحرك يقدّم شغلًا لا بدّ أن يتلقى [حرارة](#def-b1-first-law-heat). ومضمون $U$ المجهري هو مضمون [التعريف 20.10](https://one-course.com/books/physics/3/ar/chapter/20-kinetic-theory-and-the-perfect-gas#def-b1-kinetic-theory-U). **تعريف 22.6 (الإنثالبي؛ السعات الحرارية).** *الإنثالبي* $H = U + PV$ دالة حالة ملائمة للتحولات عند ثبات الضغط. و*السعتان الحراريتان عند ثبات الحجم وعند ثبات الضغط* هما $$ C_V = \left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_V, \qquad C_P = \left(\frac{\partial H}{\partial T}\right)_P , $$ بوحدة $\mathrm{J}/\mathrm{K}$؛ وللمول $C_{V,m}$ و $C_{P,m}$؛ وللكيلوغرام الحرارتان النوعيتان $c_V$ و $c_P$. **قضية 22.7 (الحرارة عند ثبات الحجم وعند ثبات الضغط).** من أجل جملة ساكنة لا تتبادل الشغل إلا بقوى الضغط: - [التحول](#def-b1-first-law-transformation) المتساوي الحجم: $W = 0$ و $Q_V = \Delta U$ ؛ - [التحول](#def-b1-first-law-transformation) الوحيد الضغط بين حالتين عند الضغط الخارجي $P_0$ : $Q_P = \Delta H$ . **برهان.** المتساوي الحجم: $\dd V = 0$. والوحيد الضغط: $W = -P_0(V_2 - V_1)$، ومنه $Q = \Delta U + P_0\Delta V = \Delta(U + PV)$ لأن $P_1 = P_2 = P_0$. ∎ **قضية 22.8 (الغاز المثالي: UUU و HHH وعلاقة ماير).** من أجل [غاز مثالي](https://one-course.com/books/physics/3/ar/chapter/20-kinetic-theory-and-the-perfect-gas#def-b1-kinetic-theory-model)، تتوقف $U$ و $H$ على $T$ وحدها (وهما [قانونا جول](#prop-b1-first-law-gas)): $\dd U = C_V\,\dd T$ و $\dd H = C_P\,\dd T$، ويكون $$ C_{P,m} - C_{V,m} = R, \qquad \gamma = \frac{C_P}{C_V}, \qquad C_{V,m} = \frac{R}{\gamma - 1}, \quad C_{P,m} = \frac{\gamma R}{\gamma - 1} ; $$ حيث $\gamma = 5/3$ للغازات أحادية الذرة، و $7/5$ لثنائية الذرة عند درجات [الحرارة](#def-b1-first-law-heat) العادية. أما الطور المكثَّف في نموذج [القضية 20.13](https://one-course.com/books/physics/3/ar/chapter/20-kinetic-theory-and-the-perfect-gas#prop-b1-kinetic-theory-condensed)، فيكون فيه $C_P \approx C_V = C$ و $\dd U \approx \dd H = C\,\dd T$. **برهان.** لدينا $H = U + nRT$؛ ونشتقّ بالنسبة إلى $T$. وتكون $C_{V,m} = \tfrac32 R$ أو $\tfrac52 R$ حسب [القضية 20.11](https://one-course.com/books/physics/3/ar/chapter/20-kinetic-theory-and-the-perfect-gas#prop-b1-kinetic-theory-Ugas). ∎ ## 22.3 تحولات الغاز المثالي **قضية 22.9 (التحولات النموذجية الأربعة).** من أجل $n$ مولًا من [غاز مثالي](https://one-course.com/books/physics/3/ar/chapter/20-kinetic-theory-and-the-perfect-gas#def-b1-kinetic-theory-model): - متساوي الحجم: $W = 0$ و $Q = \Delta U = nC_{V,m}\Delta T$ ؛ - متساوي الضغط (شبه سكوني): $W = -P\Delta V = -nR\Delta T$ و $Q = \Delta H = nC_{P,m}\Delta T$ ؛ - متساوي [الحرارة](#def-b1-first-law-heat) عكوس: $\Delta U = 0$ و $W = -Q = -nRT\ln(V_2/V_1) = nRT\ln(P_2/P_1)$ ؛ - كظوم عكوس: $Q = 0$ و $W = \Delta U = nC_{V,m}(T_2 - T_1)$، وعلى امتداد المسار (وهو *[قانون لابلاس](#prop-b1-first-law-transformations)*) $$PV^\gamma = \text{ثابت}, \qquad TV^{\gamma - 1} = \text{ثابت}, \qquad T^\gamma P^{1 - \gamma} = \text{ثابت} .$$ **برهان.** المتساوي الحجم والمتساوي الضغط: من القضيتين السابقتين. والمتساوي [الحرارة](#def-b1-first-law-heat): $W = -\int nRT\,\dd V/V$. والكظوم: $\dd U = \delta W$، أي $nC_{V,m}\dd T = -P\,\dd V = -nRT\,\dd V/V$، ومنه $\dd T/T = -(\gamma - 1)\dd V/V$ (باستعمال $R/C_{V,m} = \gamma - 1$)؛ ونكامل فنجد $TV^{\gamma - 1}$ ثابتًا؛ وتأتي الصيغتان الأخريان من $PV = nRT$. ∎ ![على اليمين: في مخطط كلابيرون يكون الشغل المتلقى في انضغاط شبه سكوني هو المساحة تحت المسار؛ وانطلاقًا من النقطة نفسها يكون الكظوم أشدّ ميلًا من متساوي الحرارة (> 1): فالغاز المضغوط بلا ضياع للحرارة يسخن ويرتقي إلى متساوي حرارة أعلى. وعلى اليسار: شغل الوسط الخارجي على مكبس.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-first-law/fig-2cb30b490811.svg) ![على اليمين: في مخطط كلابيرون يكون الشغل المتلقى في انضغاط شبه سكوني هو المساحة تحت المسار؛ وانطلاقًا من النقطة نفسها يكون الكظوم أشدّ ميلًا من متساوي الحرارة (> 1): فالغاز المضغوط بلا ضياع للحرارة يسخن ويرتقي إلى متساوي حرارة أعلى. وعلى اليسار: شغل الوسط الخارجي على مكبس.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-first-law/fig-ae8ef6d4c195.svg) *على اليمين: في مخطط كلابيرون يكون الشغل المتلقى في انضغاط شبه سكوني هو المساحة تحت المسار؛ وانطلاقًا من النقطة نفسها يكون الكظوم أشدّ ميلًا من متساوي [الحرارة](#def-b1-first-law-heat) ($\gamma > 1$): فالغاز المضغوط بلا ضياع [للحرارة](#def-b1-first-law-heat) يسخن ويرتقي إلى متساوي [حرارة](#def-b1-first-law-heat) أعلى. وعلى اليسار: شغل الوسط الخارجي على مكبس.* **مثال 22.10 (المنفاخ والديزل).** هواء ($\gamma = 1.4$) يُضغط كظومًا من $1\,\mathrm{bar}$ و$300\,\mathrm{K}$ إلى $7\,\mathrm{bar}$ (وهو منفاخ دراجة): $T_2 = 300 \times 7^{0.286} = 523\,\mathrm{K}$ — أي $250{}^{\circ}\mathrm{C}$ للحظة، وهو ما يحسّه جسم المنفاخ. وفي محرك ديزل نسبة انضغاطه $20$: $T_2 = 300 \times 20^{0.4} = 994\,\mathrm{K}$ و $P_2 = 20^{1.4} = 66\,\mathrm{bar}$ — أي فوق درجة الاشتعال الذاتي للوقود: فلا يحتاج المحرك إلى شرارة (ومسألة نهاية الأسبوع تجري الدور كله). **ملاحظة 22.11 (التحولات اللاعكوسة).** حين لا يكون [التحول شبه سكوني](#def-b1-first-law-transformation) لا ينطبق [قانون لابلاس](#prop-b1-first-law-transformations) ولا $W = -\int P\,\dd V$؛ ولا يبقى إلا $W = -\int P_{\mathrm{ext}}\,\dd V$ والمبدأ الأول. وهاتان حالتان كلاسيكيتان: غاز يتمدد في الخلاء (وهو [تمدد جول](#rem-b1-first-law-irreversible)) لا يتلقى شغلًا ولا، في جدران كظومة، حرارةً — فيكون $\Delta U = 0$، ويحفظ [الغاز المثالي](https://one-course.com/books/physics/3/ar/chapter/20-kinetic-theory-and-the-perfect-gas#def-b1-kinetic-theory-model) درجة حرارته؛ وغاز يُضغط فجأة بضغط خارجي يقفز إلى $P_2$ يتلقى $W = -P_2\Delta V$، وهو أكبر من الشغل العكوس إلى الضغط نفسه، فينتهي أسخن ([التمرين 22.11](#exo-b1-first-law-11)). ## 22.4 المسعرية **طريقة 22.12 (الموازنة المسعرية).** أجسام توضع في تماسّ حراري داخل وعاء معزول عند ضغط ثابت (هو الضغط الجوي) لا تتبادل [الحرارة](#def-b1-first-law-heat) إلا فيما بينها: فيكون المجموع $\Delta H = \sum Q_P = 0$. ولكل جسم $\Delta H = mc\,\Delta T$ (إن لم يتغير طوره) أو $\pm mL$ عند تغيّر حالة عند [درجة حرارة](https://one-course.com/books/physics/3/ar/chapter/20-kinetic-theory-and-the-perfect-gas#def-b1-kinetic-theory-temperature) تحوّله، حيث $L$ هي *[الحرارة](#def-b1-first-law-heat) الكامنة* (أي [إنثالبي](#def-b1-first-law-enthalpy) الانصهار أو التبخر لواحدة الكتلة: ففي الماء $L_f = 334\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ عند $0{}^{\circ}\mathrm{C}$، و $L_v = 2260\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ عند $100{}^{\circ}\mathrm{C}$). فاكتب الموازنة، وحُلّ لإيجاد [درجة الحرارة](https://one-course.com/books/physics/3/ar/chapter/20-kinetic-theory-and-the-perfect-gas#def-b1-kinetic-theory-temperature) النهائية، وتحقّق من أن الطور المفترض لكل جسم ينسجم معها. **مثال 22.13 (جليد في ماء).** $50\,\mathrm{g}$ من الجليد عند $0{}^{\circ}\mathrm{C}$ في $200\,\mathrm{g}$ من الماء عند $30{}^{\circ}\mathrm{C}$: يحتاج الانصهار إلى $16.7\,\mathrm{kJ}$؛ ويستطيع الماء أن يعطي $25.1\,\mathrm{kJ}$ وهو يبرد إلى $0{}^{\circ}\mathrm{C}$، فينصهر الجليد كله وتعطي الموازنة $0.250 \times 4180 \times (T_f - 0) = 25.1 - 16.7$ كيلوجول $T_f = 8{}^{\circ}\mathrm{C}$. ولو كان الجليد $100\,\mathrm{g}$ للزم $33.4\,\mathrm{kJ}$: فلا ينصهر إلا بعضه ويكون $T_f = 0{}^{\circ}\mathrm{C}$ — ومن هنا أهمية التحقق. ![تسخين كيلوغرام من الماء من جليد عند -20 C حتى البخار: تتوقف درجة الحرارة عند كل تغيّر حالة ريثما تُقدَّم الحرارة الكامنة — 334\, kJ للانصهار، و2260\, kJ للغليان، وهو أكبر بكثير من 418\, kJ التي تحمل السائل من 0\, إلى 100 C.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-first-law/fig-939521f808ad.svg) *تسخين كيلوغرام من الماء من جليد عند $-20{}^{\circ}\mathrm{C}$ حتى البخار: تتوقف [درجة الحرارة](https://one-course.com/books/physics/3/ar/chapter/20-kinetic-theory-and-the-perfect-gas#def-b1-kinetic-theory-temperature) عند كل تغيّر حالة ريثما تُقدَّم [الحرارة](#def-b1-first-law-heat) الكامنة — $334\,\mathrm{kJ}$ للانصهار، و$2260\,\mathrm{kJ}$ للغليان، وهو أكبر بكثير من $418\,\mathrm{kJ}$ التي تحمل السائل من $0\,$ إلى $100{}^{\circ}\mathrm{C}$.* ## 22.5 تمارين **تمرين 22.1 ★.** [مول](https://one-course.com/books/physics/3/ar/chapter/20-kinetic-theory-and-the-perfect-gas#def-b1-kinetic-theory-scales) واحد من الهواء ($C_{P,m} = 29.1\,\mathrm{J}/(\mathrm{mol}\,\mathrm{K})$) يُسخَّن من $300\,\mathrm{K}$ إلى $400\,\mathrm{K}$ عند ثبات الضغط. أوجد [الحرارة](#def-b1-first-law-heat) المتلقاة والشغل المتلقى وتغيّر [الطاقة الداخلية](https://one-course.com/books/physics/3/ar/chapter/20-kinetic-theory-and-the-perfect-gas#def-b1-kinetic-theory-U). **حل التمرين 22.1.** $Q = C_{P,m}\Delta T = 29.1 \times 100 = 2.91\,\mathrm{kJ}$؛ و $W = -nR\Delta T = -0.83\,\mathrm{kJ}$؛ و $\Delta U = Q + W = 2.08\,\mathrm{kJ} = C_{V,m}\Delta T$. **تمرين 22.2 ★.** [مول](https://one-course.com/books/physics/3/ar/chapter/20-kinetic-theory-and-the-perfect-gas#def-b1-kinetic-theory-scales) واحد من غاز عند $300\,\mathrm{K}$ يُضغط عند ثبات [الحرارة](#def-b1-first-law-heat) وعلى نحو عكوس من $2.0\,\mathrm{L}$ إلى $0.50\,\mathrm{L}$. أوجد الشغل المتلقى [والحرارة](#def-b1-first-law-heat) المتبادلة و $\Delta U$. **حل التمرين 22.2.** $W = -nRT\ln(V_2/V_1) = -2494\ln(0.25) = +3.46\,\mathrm{kJ}$؛ و $\Delta U = 0$ ومنه $Q = -3.46\,\mathrm{kJ}$ (تُعطى للحوض). **تمرين 22.3 ★.** هواء عند $300\,\mathrm{K}$ و$1\,\mathrm{bar}$ يُضغط كظومًا وعلى نحو عكوس إلى عُشر حجمه. أوجد [درجة الحرارة](https://one-course.com/books/physics/3/ar/chapter/20-kinetic-theory-and-the-perfect-gas#def-b1-kinetic-theory-temperature) والضغط النهائيين. **حل التمرين 22.3.** $T_2 = T_1 \times 10^{\gamma - 1} = 300 \times 10^{0.4} = 754\,\mathrm{K}$؛ و $P_2 = 10^{1.4} = 25\,\mathrm{bar}$. **تمرين 22.4 ★.** أعطِ $C_{V,m}$ و $C_{P,m}$ و $\gamma$ للأرغون وللآزوت. وفي الماء السائل ($c = 4180\,\mathrm{J}/(\mathrm{kg}\,\mathrm{K})$)، لماذا يُهمَل التمييز بين $c_P$ و $c_V$؟ **حل التمرين 22.4.** الأرغون: $C_{V,m} = \tfrac32 R = 12.5$ و $C_{P,m} = \tfrac52 R = 20.8$ جول لكل [مول](https://one-course.com/books/physics/3/ar/chapter/20-kinetic-theory-and-the-perfect-gas#def-b1-kinetic-theory-scales) [وكلفن](https://one-course.com/books/physics/3/ar/chapter/20-kinetic-theory-and-the-perfect-gas#def-b1-kinetic-theory-temperature)، و $\gamma = 1.67$؛ والآزوت: $20.8$ ثم $29.1$ و $\gamma = 1.40$. أما الماء فتمدده بالتسخين ضئيل جدًّا، فيكون الشغل $P\,\dd V$ عند ثبات الضغط مهمَلًا أمام [الحرارة](#def-b1-first-law-heat): $c_P - c_V \approx 0$. **تمرين 22.5 ★★.** $200\,\mathrm{g}$ من الماء عند $80{}^{\circ}\mathrm{C}$ تُمزج مع $300\,\mathrm{g}$ عند $20{}^{\circ}\mathrm{C}$ في كأس معزول. أوجد [درجة الحرارة](https://one-course.com/books/physics/3/ar/chapter/20-kinetic-theory-and-the-perfect-gas#def-b1-kinetic-theory-temperature) النهائية؛ وما الذي يتغير إذا كانت للكأس نفسه سعة حرارية $80\,\mathrm{J}/\mathrm{K}$ وكان في البدء عند $20{}^{\circ}\mathrm{C}$؟ **حل التمرين 22.5.** $T_f = (200 \times 80 + 300 \times 20)/500 = 44{}^{\circ}\mathrm{C}$. ومع الكأس: $(200 \times 4.18 \times 80 + (300 \times 4.18 + 80) \times 20)/(500 \times 4.18 + 80) = 43{}^{\circ}\mathrm{C}$. **تمرين 22.6 ★★.** $50\,\mathrm{g}$ من الجليد عند $-10{}^{\circ}\mathrm{C}$ ($c_{\text{الجليد}} = 2100\,\mathrm{J}/(\mathrm{kg}\,\mathrm{K})$) تُلقى في $200\,\mathrm{g}$ من الماء عند $30{}^{\circ}\mathrm{C}$. أوجد الحالة [ودرجة الحرارة](https://one-course.com/books/physics/3/ar/chapter/20-kinetic-theory-and-the-perfect-gas#def-b1-kinetic-theory-temperature) النهائيتين. والسؤال نفسه مع $150\,\mathrm{g}$ من الجليد. **حل التمرين 22.6.** الجليد: تسخينه إلى $0$: $0.050 \times 2100 \times 10 = 1.05\,\mathrm{kJ}$؛ وانصهاره: $16.7\,\mathrm{kJ}$؛ فالمجموع $17.8\,\mathrm{kJ}$. ويستطيع الماء أن يعطي $25.1\,\mathrm{kJ}$ نزولًا إلى $0$: فينصهر كله؛ ثم $0.250 \times 4180\,T_f = 25.1 - 17.8$ كيلوجول، ومنه $T_f = 7{}^{\circ}\mathrm{C}$. ومع $150\,\mathrm{g}$: يلزم $53.3\,\mathrm{kJ}$ وهو $>$ $25.1\,\mathrm{kJ}$: فلا ينصهر إلا $(25.1 - 3.15)/334 = 66\,\mathrm{g}$ من الجليد، ويكون $T_f = 0{}^{\circ}\mathrm{C}$، ويبقى $84\,\mathrm{g}$ من الجليد. **تمرين 22.7 ★★.** غاز يتبع دورًا مستطيلًا في مخطط كلابيرون: $(V_1, P_1) \to (V_2, P_1) \to (V_2, P_2) \to (V_1, P_2) \to (V_1, P_1)$ مع $V_2 > V_1$ و $P_2 > P_1$. أوجد الشغل المتلقى على امتداد الدور بدلالة المساحة؛ ثم إشارته ومعنى تلك الإشارة. **حل التمرين 22.7.** $W = -P_1(V_2 - V_1) + 0 - P_2(V_1 - V_2) + 0 = (P_2 - P_1)(V_2 - V_1) > 0$: فالدور يُقطع بعكس عقارب الساعة (تمدد عند ضغط منخفض، وانضغاط عند ضغط مرتفع)، ومن ثمّ *يتلقى* الغاز شغلًا صافيًا يساوي المساحة المحصورة؛ ولو قُطع مع عقارب الساعة لقدّمه — فكان محركًا. **تمرين 22.8 ★★.** منفاخ دراجة يضغط الهواء من $1\,\mathrm{bar}$ و$300\,\mathrm{K}$ إلى $7\,\mathrm{bar}$ بسرعة تكفي لأن يكون [التحول](#def-b1-first-law-transformation) كظومًا. أوجد [درجة الحرارة](https://one-course.com/books/physics/3/ar/chapter/20-kinetic-theory-and-the-perfect-gas#def-b1-kinetic-theory-temperature) المبلوغة؛ ولماذا يدفأ المنفاخ؛ ولماذا يهبط ضغط الإطار قليلًا بعد انتهاء النفخ. **حل التمرين 22.8.** $T_2 = 300 \times 7^{0.286} = 523\,\mathrm{K}$. والهواء المضغوط الساخن يسخّن جسم المنفاخ بالتوصيل في كل دفعة. وفي الإطار يبرد الهواء إلى [درجة حرارة](https://one-course.com/books/physics/3/ar/chapter/20-kinetic-theory-and-the-perfect-gas#def-b1-kinetic-theory-temperature) المحيط عند ثبات الحجم: فيكون $P \propto T$، ويهبط الضغط بنسبة درجتَي [الحرارة](#def-b1-first-law-heat) — فأعِد نفخه قليلًا. **تمرين 22.9 ★★.** [غاز مثالي](https://one-course.com/books/physics/3/ar/chapter/20-kinetic-theory-and-the-perfect-gas#def-b1-kinetic-theory-model) يتمدد في وعاء مفرَّغ ومعزول (وهو [تمدد جول](#rem-b1-first-law-irreversible)). أوجد الشغل [والحرارة](#def-b1-first-law-heat) و $\Delta U$ و $\Delta T$. وهل [التحول عكوس](#def-b1-first-law-transformation)؟ وماذا يفعل غاز حقيقي؟ **حل التمرين 22.9.** $W = 0$ (إذ لا ضغط خارجي يدفع الغاز في مواجهته)، و $Q = 0$: ومنه $\Delta U = 0$، ومن ثمّ $\Delta T = 0$ [لغاز مثالي](https://one-course.com/books/physics/3/ar/chapter/20-kinetic-theory-and-the-perfect-gas#def-b1-kinetic-theory-model). [والتحول لاعكوس](#rem-b1-first-law-irreversible): فالغاز لا يعود أبدًا من تلقائه. أما الغاز الحقيقي، وجزيئاته يجذب بعضها بعضًا، فيبرد قليلًا (إذ يصير جزء من [الطاقة الحركية](https://one-course.com/books/physics/3/ar/chapter/13-work-energy-and-potential-energy#thm-b1-work-and-energy-ke) طاقةً كامنة وهي تتباعد). **تمرين 22.10 ★★★.** غليان $1.0\,\mathrm{kg}$ من الماء عند $100{}^{\circ}\mathrm{C}$ و$1\,\mathrm{atm}$ (حجم البخار $1.67\,\mathrm{m}^{3}$). أوجد [الحرارة](#def-b1-first-law-heat) المقدَّمة والشغل المتبادل مع الجوّ و $\Delta U$. وأين يذهب معظم [الحرارة](#def-b1-first-law-heat) الكامنة؟ **حل التمرين 22.10.** $Q = L_v = 2.26\,\mathrm{MJ}$؛ و $W = -P(V_g - V_l) = -1.013\times10^5 \times 1.67 = -0.17\,\mathrm{MJ}$؛ و $\Delta U = 2.09\,\mathrm{MJ}$: فيذهب $93\%$ من [الحرارة](#def-b1-first-law-heat) إلى تفريق الجزيئات (أي إلى [الطاقة الداخلية](https://one-course.com/books/physics/3/ar/chapter/20-kinetic-theory-and-the-perfect-gas#def-b1-kinetic-theory-U))، و $7\%$ إلى دفع الجوّ إلى الوراء. **تمرين 22.11 ★★★.** [مول](https://one-course.com/books/physics/3/ar/chapter/20-kinetic-theory-and-the-perfect-gas#def-b1-kinetic-theory-scales) واحد من [غاز ثنائي الذرة](https://one-course.com/books/physics/3/ar/chapter/20-kinetic-theory-and-the-perfect-gas#prop-b1-kinetic-theory-Ugas) عند $300\,\mathrm{K}$ و$1\,\mathrm{bar}$، في أسطوانة معزولة، يُضغط برفع الضغط الخارجي فجأةً إلى $5\,\mathrm{bar}$ ثم انتظار التوازن. أوجد [درجة الحرارة](https://one-course.com/books/physics/3/ar/chapter/20-kinetic-theory-and-the-perfect-gas#def-b1-kinetic-theory-temperature) والحجم النهائيين (بالمبدأ الأول مع $W = -P_{\mathrm{ext}}\Delta V$)؛ وقارن بالانضغاط الكظوم العكوس إلى $5\,\mathrm{bar}$. **حل التمرين 22.11.** $W = -P_2(V_2 - V_1)$ و $\Delta U = nC_{V,m}(T_2 - T_1)$ و $V_2 = nRT_2/P_2$ و $V_1 = nRT_1/P_1$: ومنه $\tfrac52(T_2 - 300) = -T_2 + 300 \times 5$ و $3.5T_2 = 2250$ و $T_2 = 643\,\mathrm{K}$ و $V_2 = 10.7\,\mathrm{L}$. أما العكوس: $T_2 = 300 \times 5^{0.286} = 475\,\mathrm{K}$ و $V_2 = 7.9\,\mathrm{L}$. فالانضغاط المفاجئ يؤدي على الغاز شغلًا أكبر (إذ تؤثر $5\,\mathrm{bar}$ كاملةً منذ البداية) وينتهي أسخن وأقل انضغاطًا. **تمرين 22.12 ★★★.** الصوت انضغاط سريع، ومن ثمّ كظوم: وسرعته $c = \sqrt{\gamma P/\rho}$ (وكانت القيمة المتساوية [الحرارة](#def-b1-first-law-heat) $\sqrt{P/\rho}$ خطأ نيوتن). احسب القيمتين من أجل الهواء عند $20{}^{\circ}\mathrm{C}$ وقارنهما بالقيمة المقيسة $343\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. وبيّن أن $c = \sqrt{\gamma RT/M}$ وقارن [بالسرعة التربيعية المتوسطة](https://one-course.com/books/physics/3/ar/chapter/20-kinetic-theory-and-the-perfect-gas#def-b1-kinetic-theory-kinetictemp) في [الفصل 20](https://one-course.com/books/physics/3/ar/chapter/20-kinetic-theory-and-the-perfect-gas#ch-b1-kinetic-theory). **حل التمرين 22.12.** $\rho = PM/RT = 1.20\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$: ومنه $\sqrt{\gamma P/\rho} = \sqrt{1.4 \times 1.013\times10^5/1.20} = 343\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$؛ و $\sqrt{P/\rho} = 290\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$، أي أدنى بنسبة $15\%$. ومع $P/\rho = RT/M$ يكون $c = \sqrt{\gamma RT/M}$؛ ومقابل $u = \sqrt{3RT/M}$ = $502\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$: يكون $c/u = \sqrt{\gamma/3} = 0.68$. ## 22.6 مسألة: من منفاخ الدراجة إلى محرك الديزل **مسألة 22.1.** مسألة نهاية الأسبوع — منفاخ يدوي يحرق الأصابع، وأسطوانة تشعل وقودها بنفسها، وكرة فولاذية ترتدّ على وسادة من الهواء: المبدأ الأول في ثلاثة انضغاطات الهواء: [غاز مثالي](https://one-course.com/books/physics/3/ar/chapter/20-kinetic-theory-and-the-perfect-gas#def-b1-kinetic-theory-model) ثنائي الذرة، $\gamma = 1.40$ و $C_{V,m} = \tfrac52 R$ و $C_{P,m} = \tfrac72 R$ و $M = 29\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$؛ و $R = 8.314\,\mathrm{J}/(\mathrm{mol}\,\mathrm{K})$. والحالة الابتدائية في كل موضع: $P_1 = 1.00\,\mathrm{bar}$ و $T_1 = 300\,\mathrm{K}$. **الجزء I — منفاخ الدراجة.** حجم أسطوانة المنفاخ $V_1 = 212\,\mathrm{cm}^{3}$؛ ويُضغط الهواء الذي فيها على نحو عكوس وكظوم حتى يبلغ ضغط الإطار، وهو $7.0\,\mathrm{bar}$. 1. كمية الهواء في الأسطوانة. 2. الحجم في نهاية الانضغاط. 3. [درجة الحرارة](https://one-course.com/books/physics/3/ar/chapter/20-kinetic-theory-and-the-perfect-gas#def-b1-kinetic-theory-temperature) في نهاية الانضغاط. 4. الشغل الذي يتلقاه الهواء في دفعة واحدة. 5. على الإطار ( $2.0\,\mathrm{L}$ ) أن ينتقل من $1\,\mathrm{bar}$ إلى $7\,\mathrm{bar}$ عند $300\,\mathrm{K}$ : فكم دفعةً يلزم، وكم يبلغ الشغل كله (وخذ الشغل في الدفعة ثابتًا)؟ 6. ثم يبرد الهواء الساخن في الإطار إلى $300\,\mathrm{K}$ : فماذا يحدث لضغط الإطار، وماذا يفعل الدرّاج؟ 7. قارن الشغل الكظوم في الدفعة بشغل انضغاط متساوي [الحرارة](#def-b1-first-law-heat) إلى $7\,\mathrm{bar}$ نفسها. ولماذا يكون الشغل المتساوي [الحرارة](#def-b1-first-law-heat) أكبر مع أن الغاز ينتهي أبرد؟ **الجزء II — انضغاط الديزل.** أسطوانة حجمها $V_1 = 0.50\,\mathrm{L}$ تضغط هواءها على نحو عكوس وكظوم بعامل $20$. 8. كمية الهواء، [ودرجة الحرارة](https://one-course.com/books/physics/3/ar/chapter/20-kinetic-theory-and-the-perfect-gas#def-b1-kinetic-theory-temperature) $T_2$ بعد الانضغاط. 9. الضغط $P_2$ . 10. يشتعل الوقود من تلقائه فوق $500\,\mathrm{K}$ تقريبًا: فسّر لماذا لا يحتاج الديزل إلى شمعة إشعال، ولماذا يجب ألّا يشتعل محرك البنزين ذاتيًّا (ونسبته $\approx 10$ ، انظر [التمرين 22.3](#exo-b1-first-law-3) ). 11. الشغل الذي يتلقاه الهواء أثناء الانضغاط. 12. عند $3000\,\mathrm{rpm}$ تضغط أسطوانة واحدة $25$ مرة في الثانية: فما الاستطاعة التي يمتصّها الانضغاط (وهي تُردّ لاحقًا في الدور)؟ 13. الانضغاطات الحقيقية سريعة (فتكون لاعكوسة) وتفقد [حرارة](#def-b1-first-law-heat) إلى الجدران: فإلى أيّ جهة يزيح كلٌّ من الأثرين $T_2$ ؟ **الجزء III — الاحتراق والتمدد.** عند أعلى الشوط يحترق $20\,\mathrm{mg}$ من الوقود (قيمته الحرارية $43\,\mathrm{MJ}/\mathrm{kg}$) بينما يبدأ المكبس بالنزول، عند ثبات الضغط $P_2$؛ ثم يتمدد الغاز على نحو عكوس وكظوم عائدًا إلى $V_1$. وعامِل الغاز على أنه هواء في كل ذلك. 14. [الحرارة](#def-b1-first-law-heat) التي يحرّرها الوقود. 15. [درجة الحرارة](https://one-course.com/books/physics/3/ar/chapter/20-kinetic-theory-and-the-perfect-gas#def-b1-kinetic-theory-temperature) $T_3$ والحجم $V_3$ في نهاية الاحتراق المتساوي الضغط. 16. الشغل المتبادل في المرحلة المتساوية الضغط (انتبه للإشارة!). 17. [درجة الحرارة](https://one-course.com/books/physics/3/ar/chapter/20-kinetic-theory-and-the-perfect-gas#def-b1-kinetic-theory-temperature) $T_4$ في نهاية التمدد الكظوم، والشغل المتبادل فيه. 18. الشغل الصافي الذي يقدّمه الغاز على امتداد الأشواط الأربعة، ونسبته إلى [الحرارة](#def-b1-first-law-heat) المحرَّرة (وهي المردود المثالي). 19. قارن ذلك المردود بالمقدار $1 - T_1/T_3$ ، وهو الحدّ الذي سيقيمه [الفصل 24](https://one-course.com/books/physics/3/ar/chapter/24-heat-engines-and-machines#ch-b1-heat-engines) لأيّ محرك يعمل بين درجتَي [الحرارة](#def-b1-first-law-heat) القصويين هاتين. 20. [الحرارة](#def-b1-first-law-heat) المطروحة مع العادم، بالمبدأ الأول على امتداد الدور؛ وتحقّق من الموازنة. **الجزء IV — قياس $\gamma$ بكرة مرتدّة.** كرة فولاذية كتلتها $m = 16.5\,\mathrm{g}$ تنطبق على أنبوب زجاجي شاقولي مقطعه $S = 2.0\,\mathrm{cm}^{2}$ مغلق من أسفله بدورق حجمه $V = 10\,\mathrm{L}$ من الهواء عند $P = 1.0\,\mathrm{bar}$؛ فإذا أُزيحت بمقدار $x$ عن وضع توازنها اهتزّت. 21. لماذا يمكن اعتبار انضغاطات الهواء وتمدداته كظومة؟ واكتب العلاقة بين انزياح صغير $x$ وتغيّر الضغط $\dd P$ ( [قانون لابلاس](#prop-b1-first-law-transformations) ، بعد النشر الخطي). 22. استنتج القوة المُعيدة على الكرة وبيّن أن حركتها توافقية، مع $\omega_0^2 = \gamma PS^2/mV$ . 23. احسب الدور، ثم قيمة $\gamma$ التي تُستنتج من دور مقيس قدره $1.10\,\mathrm{s}$ . 24. لماذا يحيد الاحتكاك بين الكرة والأنبوب، وتسرّب الهواء، بالنتيجة، وإلى أيّ جهة؟ 25. لخّص الانضغاطات الثلاثة: أيّ مقدار حفظه المبدأ الأول في كل منها، وما الذي حكمه [الأس الكظوم](#prop-b1-first-law-gas) $\gamma$ . **حل المسألة 22.1.** **1.** $n = P_1V_1/RT_1 = 10^5 \times 2.12\times10^{-4}/2494 = 8.5 \times 10^{-3}\,\mathrm{mol}$. **2.** $PV^\gamma$ ثابت: ومنه $V_2 = V_1(P_1/P_2)^{1/\gamma} = 212 \times 7^{-0.714} = 53\,\mathrm{cm}^{3}$. **3.** $T_2 = T_1(P_2/P_1)^{(\gamma - 1)/\gamma} = 300 \times 7^{0.286} = 523\,\mathrm{K}$. **4.** $W = nC_{V,m}(T_2 - T_1) = 8.5\times10^{-3} \times 20.8 \times 223 = 39\,\mathrm{J}$. **5.** الهواء الواجب إضافته: $\Delta n = \Delta P\,V/RT = 6\times10^5 \times 2\times10^{-3}/ 2494 = 0.48\,\mathrm{mol}$: أي $0.48/8.5\times10^{-3} = 57$ دفعة، ونحو $2.2\,\mathrm{kJ}$ — أي دقيقة من الجهد الصادق. **6.** عند ثبات الحجم يكون $P \propto T$: فيهبط الضغط وهو يبرد (بنسبة تبلغ $300/523$ لهواء الدفعة الأخيرة)؛ فيضيف الدرّاج بضع دفعات بعد وقفة. **7.** $W_{\text{المتساوي}} = nRT\ln(P_2/P_1) = 8.5\times10^{-3} \times 2494 \times 1.95 = 41\,\mathrm{J} > 39\,\mathrm{J}$: فالمسار المتساوي [الحرارة](#def-b1-first-law-heat) يضغط الغاز أكثر (إلى $30\,\mathrm{cm}^{3}$ بدل $53\,\mathrm{cm}^{3}$) ليبلغ $7\,\mathrm{bar}$، لأنه يبقى باردًا — فحجم مكنوس أكبر، وشغل أكبر. **8.** $n = 10^5 \times 5\times10^{-4}/2494 = 0.020\,\mathrm{mol}$؛ و $T_2 = 300 \times 20^{0.4} = 994\,\mathrm{K}$. **9.** $P_2 = 20^{1.4} = 66\,\mathrm{bar}$. **10.** تفوق $994\,\mathrm{K}$ بكثير درجة الاشتعال الذاتي للوقود: فيشتعل الوقود المحقون عند التماسّ. أما محرك البنزين فلا يضغط مزيج الهواء والوقود إلا إلى نحو $750\,\mathrm{K}$ كي لا يشتعل قبل الشرارة؛ ونسبة انضغاط مفرطة تعطي “الطرق”. **11.** $W = nC_{V,m}(T_2 - T_1) = 0.020 \times 20.8 \times 694 = 289\,\mathrm{J}$. **12.** $25 \times 289 = 7.2\,\mathrm{kW}$ لكل أسطوانة، تُخزَّن في الغاز الساخن وتُردّ في التمدد. **13.** اللاعكوسية (إذ لا يتبع الغاز المسار شبه السكوني، ويتبدد شغل زائد) ترفع $T_2$؛ [والحرارة](#def-b1-first-law-heat) المفقودة إلى الجدران تخفضها. وفي محرك حقيقي يغلب الأثر الثاني عادةً: فتكون $T_2$ أدنى قليلًا من القيمة المثالية. **14.** $Q = 20\times10^{-6} \times 43\times10^6 = 860\,\mathrm{J}$. **15.** متساوي الضغط: $Q = nC_{P,m}(T_3 - T_2)$: ومنه $T_3 - T_2 = 860/(0.020 \times 29.1) = 1480\,\mathrm{K}$ و $T_3 = 2470\,\mathrm{K}$؛ و $V_3 = V_2T_3/T_2 = 25 \times 2.48 = 62\,\mathrm{cm}^{3}$. **16.** $W = -P_2(V_3 - V_2) = -66\times10^5 \times 37\times10^{-6} = -244\,\mathrm{J}$: وهو شغل يقدّمه الغاز. **17.** $T_4 = T_3(V_3/V_1)^{\gamma - 1} = 2470 \times (0.124)^{0.4} = 1070\,\mathrm{K}$؛ و $W = nC_{V,m}(T_4 - T_3) = 0.020 \times 20.8 \times (-1400) = -582\,\mathrm{J}$. **18.** الشغل الصافي المقدَّم $= 244 + 582 - 289 = 537\,\mathrm{J}$؛ والنسبة $537/860 = 62\%$ (وهو مردود دور ديزل المثالي عند هذه الضبطيات؛ وتبلغ المحركات الحقيقية نحو $40\%$). **19.** $1 - 300/2470 = 88\%$: فدور ديزل المثالي يبقى دون حدّ كارنو بكثير، لأنه يتلقى حرارته على امتداد مجال من درجات [الحرارة](#def-b1-first-law-heat) لا عند أعلاها. **20.** على امتداد دور يكون $\Delta U = 0$: ومنه $Q_{\text{الخارجة}} = -(860 - 537) = -323\,\mathrm{J}$، أي أن $323\,\mathrm{J}$ تخرج مع العادم؛ وللتحقق: $nC_{V,m}(T_4 - T_1) = 0.020 \times 20.8 \times 770 = 320\,\mathrm{J}$. **21.** الاهتزاز سريع (ثانية واحدة) بالقياس إلى توصيل [الحرارة](#def-b1-first-law-heat) عبر $10\,\mathrm{L}$ من الهواء: فهو كظوم. وبالنشر الخطي للمقدار $PV^\gamma$: $\dd P/P = -\gamma\,\dd V/V = -\gamma Sx/V$. **22.** القوة على الكرة $S\,\dd P = -\gamma PS^2x/V$: ومنه $m\ddot x = -(\gamma PS^2/V)x$، وهي توافقية، مع $\omega_0^2 = \gamma PS^2/mV$. **23.** $\omega_0^2 = 1.4 \times 10^5 \times 4\times10^{-8}/(0.0165 \times 0.010) = 33.9\,\mathrm{s}^{-2}$: ومنه $T = 2\pi/5.83 = 1.08\,\mathrm{s}$. وانطلاقًا من $T = 1.10\,\mathrm{s}$: $\gamma = 4\pi^2mV/(T^2PS^2) = 4\pi^2 \times 0.0165 \times 0.010/(1.21 \times 10^5 \times 4\times10^{-8}) = 1.35$. **24.** الاحتكاك يخمد الحركة، ويزيح وضع التوازن إن كان جافًّا؛ والتسرّب بجانب الكرة يدع الهواء يفلت أثناء الانضغاط، فيخفض القوة المُعيدة: وكلاهما يطيل الدور ويحيد بالمقدار $\gamma$ نحو الأدنى — كما في القيمة $1.35$ أعلاه. **25.** المنفاخ والديزل: $Q = 0$، ومنه $\Delta U = W$ — فصار الشغل طاقةً داخلية ودرجةَ [حرارة](#def-b1-first-law-heat)، وفق [قانون لابلاس](#prop-b1-first-law-transformations) بالأس $\gamma$. أما الكرة: فالانضغاط السريع كظوم، و $\gamma$ هي التي تعيّن صلابة نابض الهواء.