--- title: "المبدأ الثاني: الإنتروبيا" book: "الفيزياء الجامعية — السنة الأولى" subject: physics language: ar chapter: 23 exercises: 12 source: https://one-course.com/books/physics/3/ar/chapter/23-the-second-law-entropy --- # الفصل 23 — المبدأ الثاني: الإنتروبيا ألقِ ملعقة ساخنة في كوب من الماء البارد: تبرد الملعقة، ويدفأ الماء، وينتهيان عند [درجة حرارة](https://one-course.com/books/physics/3/ar/chapter/20-kinetic-theory-and-the-perfect-gas#def-b1-kinetic-theory-temperature) واحدة. وكان المبدأ الأول ليجيز العكس تمامًا — أن يزداد الماء بردًا بينما تزداد الملعقة سخونة، والطاقة محفوظة إلى الجول — ومع ذلك لا يقع أبدًا. وشريط يُدار إلى الوراء يُعرَف من فوره؛ فالجزيئات تخضع لقوانين لا سهم لها، وللعالم سهم. [والمبدأ الثاني للترموديناميك](#thm-b1-second-law-entropy-secondlaw) يسمّي المقدار الذي يميّز الجهتين إحداهما من الأخرى: وهو الإنتروبيا، التي لا تستطيع [جملة مغلقة](https://one-course.com/books/physics/3/ar/chapter/12-newtons-laws-of-dynamics#def-b1-newton-dynamics-conservation) إلا أن تُنشئها، ولا أن تُفنيها أبدًا. وينصّ هذا الفصل المبدأ، ويحسب الإنتروبيا لجمل هذا المجلد، ويبيّن كيف تقيس اللاعكوسية، ويعطيها في آخره معناها بلغة العدّ. ![مكعب ثلج ينصهر في قهوة ساخنة: تجري الحرارة في اتجاه واحد لا غير، والإنتروبيا المُنشأة تقيس كم يبعد المزج عن العكوسية.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-second-law-entropy/img-b1d68b6fb92a.jpg) *مكعب ثلج ينصهر في قهوة ساخنة: تجري الحرارة في اتجاه واحد لا غير، والإنتروبيا المُنشأة تقيس كم يبعد المزج عن العكوسية.* ## 23.1 المبدأ الثاني **مبرهنة 23.1 (المبدأ الثاني للترموديناميك).** لكل [جملة مغلقة](https://one-course.com/books/physics/3/ar/chapter/12-newtons-laws-of-dynamics#def-b1-newton-dynamics-conservation) دالةُ حالة امتدادية، هي *الإنتروبيا* $S$ (بوحدة $\mathrm{J}/\mathrm{K}$)، بحيث يكون في أيّ تحول $$ \Delta S = S_{\mathrm{exch}} + S_{\mathrm{created}}, \qquad S_{\mathrm{exch}} = \int\frac{\delta Q}{T_{\mathrm{ext}}}, \qquad S_{\mathrm{created}} \geq 0 , $$ حيث $\delta Q$ الحرارة المتلقاة من الوسط الخارجي عند [درجة الحرارة](https://one-course.com/books/physics/3/ar/chapter/20-kinetic-theory-and-the-perfect-gas#def-b1-kinetic-theory-temperature) $T_{\mathrm{ext}}$ في الموضع الذي تدخل منه، وتكون $S_{\mathrm{created}} = 0$ إذا كان التحول عكوسًا وفقط إذا كان كذلك. ولا تستطيع جملة معزولة ($\delta Q = 0$) إلا أن ترى إنتروبيتها تنمو، ويكون توازنها حالةَ الإنتروبيا العظمى. **برهان.** *نقبله في هذا المستوى.* ∎ **ملاحظة 23.2 (قراءة المبدأ).** خلافًا للطاقة، لا تنحفظ الإنتروبيا: بل *تُتبادَل* مع الحرارة (ومعها وحدها — إذ لا يحمل الشغل إنتروبيا) و*تُنشأ* في كل سيرورة لاعكوسة: الاحتكاك، وجريان الحرارة عبر فرق في [درجة الحرارة](https://one-course.com/books/physics/3/ar/chapter/20-kinetic-theory-and-the-perfect-gas#def-b1-kinetic-theory-temperature)، واندفاع غاز في الخلاء، والمزج. والحدّ المُنشأ هو مقياس اللاعكوسية، ولا يكون التحول ممكنًا إلا إذا كان غير سالب. و“العكوس” مثال أعلى — شبه سكوني، بلا احتكاك، وبحرارة تُتبادَل عبر فروق متلاشية في [درجة الحرارة](https://one-course.com/books/physics/3/ar/chapter/20-kinetic-theory-and-the-perfect-gas#def-b1-kinetic-theory-temperature) — تقترب منه السيرورات الحقيقية ولا تبلغه أبدًا. ![موازنة الإنتروبيا: الحرارة تحمل عبر الحدّ الإنتروبيا Q/T_ ext، والشغل لا يحمل شيئًا، والسيرورات اللاعكوسة في الداخل تُنشئ منها — ولا تُفنيها أبدًا.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-second-law-entropy/fig-798dd7d46106.svg) *موازنة الإنتروبيا: الحرارة تحمل عبر الحدّ الإنتروبيا $\delta Q/T_{\mathrm{ext}}$، والشغل لا يحمل شيئًا، والسيرورات اللاعكوسة في الداخل تُنشئ منها — ولا تُفنيها أبدًا.* **قضية 23.3 (المتطابقة الأساسية؛ إنتروبيا الغاز المثالي والأطوار المكثَّفة).** من أجل [جملة مغلقة](https://one-course.com/books/physics/3/ar/chapter/12-newtons-laws-of-dynamics#def-b1-newton-dynamics-conservation) ثابتة التركيب، وعلى امتداد أيّ مسار عكوس، يكون $\delta Q_{\mathrm{rev}} = T\,\dd S$ و $\delta W_{\mathrm{rev}} = -P\,\dd V$، ومنه $$ \dd U = T\,\dd S - P\,\dd V , $$ وهي علاقة بين دوال حالة تصحّ من أجل أيّ تغيّر تفاضلي. ومن ثمّ يكون، من أجل $n$ مولًا من [غاز مثالي](https://one-course.com/books/physics/3/ar/chapter/20-kinetic-theory-and-the-perfect-gas#def-b1-kinetic-theory-model)، $$ S(T, V) = nC_{V,m}\ln T + nR\ln V + \text{ثابت}, \qquad S(T, P) = nC_{P,m}\ln T - nR\ln P + \text{ثابت}, $$ ويكون من أجل طور مكثَّف سعته الحرارية $C$: $S(T) = C\ln T + \text{ثابت}$. **برهان.** في [التحول العكوس](https://one-course.com/books/physics/3/ar/chapter/22-the-first-law-of-thermodynamics#def-b1-first-law-transformation) يعطي $T_{\mathrm{ext}} = T$ و $S_{\mathrm{created}} = 0$ أن $\dd S = \delta Q/T$؛ ويعطي المبدأ الأول عندئذ المتطابقة، التي لم تعد تشير إلى مسار. [والغاز المثالي](https://one-course.com/books/physics/3/ar/chapter/20-kinetic-theory-and-the-perfect-gas#def-b1-kinetic-theory-model): $\dd S = (\dd U + P\,\dd V)/T = nC_{V,m}\dd T/T + nR\,\dd V/V$؛ فنكامل؛ ونستعمل $PV = nRT$ للصيغة الأخرى. والطور المكثَّف: $\dd V = 0$، ومنه $\dd S = C\,\dd T/T$. ∎ **مثال 23.4 (قراءة الصيغتين).** [التحول الكظوم](https://one-course.com/books/physics/3/ar/chapter/22-the-first-law-of-thermodynamics#prop-b1-first-law-transformations) العكوس *متساوي الإنتروبيا*: فثبات $S(T, V)$ يعطي $T^{C_{V,m}}V^R$ ثابتًا، أي $TV^{\gamma - 1}$ ثابتًا — وهو [قانون لابلاس](https://one-course.com/books/physics/3/ar/chapter/22-the-first-law-of-thermodynamics#prop-b1-first-law-transformations) من جديد. ومضاعفة حجم [مول](https://one-course.com/books/physics/3/ar/chapter/20-kinetic-theory-and-the-perfect-gas#def-b1-kinetic-theory-scales) من غاز عند ثبات [درجة الحرارة](https://one-course.com/books/physics/3/ar/chapter/20-kinetic-theory-and-the-perfect-gas#def-b1-kinetic-theory-temperature) ترفع إنتروبيته بمقدار $R\ln2 = 5.8\,\mathrm{J}/\mathrm{K}$، سواء جرى ذلك على نحو عكوس (فتأتي الإنتروبيا حرارةً من الحوض) أم [بتمدد جول](https://one-course.com/books/physics/3/ar/chapter/22-the-first-law-of-thermodynamics#rem-b1-first-law-irreversible) في الخلاء (فلا حرارة: وتكون $5.8\,\mathrm{J}/\mathrm{K}$ نفسها عندئذ *مُنشأة*). فدالة الحالة لا يعنيها كيف بلغت حالتها؛ أما الموازنة فيعنيها ذلك. ## 23.2 موازنات الإنتروبيا **قضية 23.5 (الحرارة المتبادلة مع منظِّم حراري).** جملة تتلقى الحرارة $Q$ من منظِّم حراري عند $T_0$ (مهما يجرِ في داخلها) تكون لها $S_{\mathrm{exch}} = Q/T_0$، وتتغير إنتروبيا المنظِّم نفسه بمقدار $-Q/T_0$: فالمنظِّم الحراري يتبادل الإنتروبيا على نحو عكوس. **برهان.** الحدّ $T_{\mathrm{ext}} = T_0$ ثابت؛ وتتغير حالة المنظِّم الحراري الداخلية تغيّرًا تفاضليًّا، فيكون ما يُنشئه مهمَلًا. ∎ **مثال 23.6 (جسم ساخن في بحيرة باردة).** كتلة من الحديد ($m = 1.0\,\mathrm{kg}$ و $c = 450\,\mathrm{J}/(\mathrm{kg}\,\mathrm{K})$) عند $T_1 = 373\,\mathrm{K}$ تُلقى في بحيرة عند $T_0 = 293\,\mathrm{K}$: فتنتهي عند $T_0$، مع $\Delta S_{\text{الكتلة}} = mc\ln(T_0/T_1) = -109\,\mathrm{J}/\mathrm{K}$ و $Q = mc(T_0 - T_1) = -36\,\mathrm{kJ}$ تُعطى للبحيرة، ومنه $S_{\mathrm{exch}} = Q/T_0 = -123\,\mathrm{J}/\mathrm{K}$ و $S_{\mathrm{created}} = -109 + 123 = +14\,\mathrm{J}/\mathrm{K}$. فقد هبطت إنتروبيا الكتلة، وارتفعت إنتروبيا البحيرة بأكثر منها: فالسيرورة لاعكوسة، والعدد يقيس بكم. **قضية 23.7 (نتيجتان).** 1. *(كلاوزيوس)* لا تجري الحرارة تلقائيًّا من جسم بارد إلى جسم أسخن منه: فمقدار $Q > 0$ ينتقل من $T_h$ إلى $T_c < T_h$ يُنشئ $S = Q(1/T_c - 1/T_h) > 0$ ؛ والعكس كان ليُفني إنتروبيا. 2. *(كلفن)* لا تستطيع آلة دورية أن تنتج شغلًا من منظِّم حراري واحد: ففي دور يفرض $\Delta S = 0 = Q/T_0 + S_{\mathrm{created}}$ أن $Q \leq 0$ ، ومنه $W = -Q \geq 0$ — فلا تستطيع الآلة إلا أن *تتلقى* شغلًا وتطرح حرارة. **برهان.** كلتاهما هي الموازنة مطبَّقة على الجملة “المنظِّمان الحراريان” أو “الآلة على امتداد دور”، مع $S$ دالةَ حالة بحيث يكون $\Delta S = 0$ على امتداد دور. ∎ **تعريف 23.8 (مخطط الإنتروبيا).** في المستوي $(S, T)$ يكون [التحول العكوس](https://one-course.com/books/physics/3/ar/chapter/22-the-first-law-of-thermodynamics#def-b1-first-law-transformation) منحنيًا، وتكون الحرارة المتلقاة هي المساحة تحته: $Q_{\mathrm{rev}} = \int T\,\dd S$. والمتساوي الحرارة العكوس أفقي، والمتساوي الإنتروبيا (أي الكظوم العكوس) شاقولي؛ والدور العكوس يحصر مساحة تساوي الحرارة المتلقاة، ومن ثمّ تساوي، بالمبدأ الأول، الشغل المقدَّم ([الفصل 24](https://one-course.com/books/physics/3/ar/chapter/24-heat-engines-and-machines#ch-b1-heat-engines)). ![على اليمين: في مخطط الإنتروبيا يتلقى دور عكوس من متساويَي حرارة ومتساويَي إنتروبيا المقدارَ T_h S عند درجة الحرارة العليا، ويطرح T_c S عند الدنيا، ويقدّم الفرق شغلًا — وهو دور كارنو في الفصل التالي. وعلى اليسار: الإنتروبيا المُنشأة حين يوضع جسمان متساويان عند T_1 و T_2 في تماسّ: وهي معدومة عند T_1 = T_2 وحدها، وموجبة فيما عدا ذلك.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-second-law-entropy/fig-67f765376390.svg) ![على اليمين: في مخطط الإنتروبيا يتلقى دور عكوس من متساويَي حرارة ومتساويَي إنتروبيا المقدارَ T_h S عند درجة الحرارة العليا، ويطرح T_c S عند الدنيا، ويقدّم الفرق شغلًا — وهو دور كارنو في الفصل التالي. وعلى اليسار: الإنتروبيا المُنشأة حين يوضع جسمان متساويان عند T_1 و T_2 في تماسّ: وهي معدومة عند T_1 = T_2 وحدها، وموجبة فيما عدا ذلك.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-second-law-entropy/fig-e9f51bc0058c.svg) *على اليمين: في [مخطط الإنتروبيا](#def-b1-second-law-entropy-TS) يتلقى دور عكوس من متساويَي حرارة ومتساويَي إنتروبيا المقدارَ $T_h\Delta S$ عند [درجة الحرارة](https://one-course.com/books/physics/3/ar/chapter/20-kinetic-theory-and-the-perfect-gas#def-b1-kinetic-theory-temperature) العليا، ويطرح $T_c\Delta S$ عند الدنيا، ويقدّم الفرق شغلًا — وهو دور كارنو في الفصل التالي. وعلى اليسار: الإنتروبيا المُنشأة حين يوضع جسمان متساويان عند $T_1$ و $T_2$ في تماسّ: وهي معدومة عند $T_1 = T_2$ وحدها، وموجبة فيما عدا ذلك.* **طريقة 23.9 (إقامة موازنة إنتروبيا).** 1. احسب $\Delta S$ للجملة من دوال الحالة ( [القضية 23.3](#prop-b1-second-law-entropy-identity) ): من الحالتين الابتدائية والنهائية لا غير. 2. احسب $S_{\mathrm{exch}}$ من الحرارة المتلقاة فعلًا ومن [درجة حرارة](https://one-course.com/books/physics/3/ar/chapter/20-kinetic-theory-and-the-perfect-gas#def-b1-kinetic-theory-temperature) المنبع: أي $\sum Q_i/T_i$ للمنظِّمات الحرارية، و $\int\delta Q/T_{\mathrm{ext}}$ فيما عدا ذلك. 3. استنتج $S_{\mathrm{created}} = \Delta S - S_{\mathrm{exch}}$ ؛ وعليها أن تكون $\geq 0$ — وإلا كان التحول مستحيلًا (أو كان في الحساب خطأ)؛ وتكون $= 0$ في [التحول العكوس](https://one-course.com/books/physics/3/ar/chapter/22-the-first-law-of-thermodynamics#def-b1-first-law-transformation) . **مثال 23.10 (مزج الساخن بالبارد).** كتلتان متساويتان $m$ من الماء عند $T_1$ و $T_2$ تُمزجان في إناء عازل فتنتهيان عند $(T_1 + T_2)/2$ (بالمبدأ الأول)؛ ويكون $\Delta S = mc[\ln\frac{T_f}{T_1} + \ln\frac{T_f}{T_2}] = mc\ln\frac{(T_1 + T_2)^2}{4T_1T_2} \geq 0$ (لأن المتوسط الحسابي يفوق المتوسط الهندسي)، بلا أيّ تبادل: فكلها مُنشأة. ومن أجل $1\,\mathrm{kg}$ عند $300\,\mathrm{K}$ و $400\,\mathrm{K}$: تبلغ $86\,\mathrm{J}/\mathrm{K}$. وتبيّن مسألة نهاية الأسبوع أن مزجهما *على نحو عكوس* — عبر محرك مثالي — كان ليتيح استعادة شغل والانتهاء عند $\sqrt{T_1T_2}$. ## 23.3 ما الذي تعدّه الإنتروبيا **قضية 23.11 (صيغة بولتزمان).** يمكن أن تتحقق حالة عيانية (بمعلومية $U$ و $V$ و $N$) بعدد $\Omega$ من التشكيلات المجهرية (*[الحالات المجهرية](#prop-b1-second-law-entropy-boltzmann)*). وإنتروبيتها هي $$ S = k_B\ln\Omega . $$ تتطور جملة معزولة نحو الحالة العيانية التي لها، وبفارق هائل، أكبر عدد من [الحالات المجهرية](#prop-b1-second-law-entropy-boltzmann): فنموّ الإنتروبيا هو السير نحو ما هو راجح رجحانًا ساحقًا. **برهان.** *نقبله في هذا المستوى.* ∎ **مثال 23.12 (لماذا لا يعود الغاز أبدًا).** $N$ جزيئًا حرّةً في أن تكون في أيّ من نصفَي صندوق: $2^N$ ترتيبًا، كلها متساوية الرجحان؛ وواحد منها فقط يضعها كلها في اليسار. ودعُ غازًا محبوسًا في نصف واحد يتمدد يضرب $\Omega$ بالعامل $2^N$، ومنه $\Delta S = Nk_B\ln2 = nR\ln2$ — وهي بالضبط نتيجة [تمدد جول](https://one-course.com/books/physics/3/ar/chapter/22-the-first-law-of-thermodynamics#rem-b1-first-law-irreversible) أعلاه، ولها الآن معنًى: أن للجزيئات $2^N$ ضعفًا من الطرائق في أن تكون. واحتمال عودتها التلقائية هو $2^{-N}$: أي واحد من ألف لعشر جزيئات، وواحد من $10^{30}$ لمئة، وللمول عدد فيه $10^{23}$ صفرًا. فالمبدأ الثاني ليس منعًا؛ بل هو احتمال من الجور بحيث لم يُضبط مرة واحدة وهو يخيب. ![عشرون جزيئًا في صندوق: عدد الترتيبات التي يكون فيها k منها في النصف الأيسر. فالتقاسم المتساوي يتحقق بعدد 184756 من الطرائق، وحالة “كلها في اليسار” بطريقة واحدة. ومع 1023 جزيئًا تصير القمة نتوءًا عرضه النسبي 10-11: فالغاز المنتظم ليس قانونًا، بل هو الشيء الوحيد الذي يمكن أن يُرى.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-second-law-entropy/fig-33560dc00902.svg) *عشرون جزيئًا في صندوق: عدد الترتيبات التي يكون فيها $k$ منها في النصف الأيسر. فالتقاسم المتساوي يتحقق بعدد $184756$ من الطرائق، وحالة “كلها في اليسار” بطريقة واحدة. ومع $10^{23}$ جزيئًا تصير القمة نتوءًا عرضه النسبي $10^{-11}$: فالغاز المنتظم ليس قانونًا، بل هو الشيء الوحيد الذي يمكن أن يُرى.* ## 23.4 تمارين **تمرين 23.1 ★.** تغيّر الإنتروبيا في $1.0\,\mathrm{kg}$ من الجليد ينصهر عند $0{}^{\circ}\mathrm{C}$ ($L_f = 334\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$)، وفي $1.0\,\mathrm{kg}$ من الماء يغلي عند $100{}^{\circ}\mathrm{C}$ ($L_v = 2260\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$). ولماذا يكون الثاني أكبر بكثير؟ **حل التمرين 23.1.** $\Delta S = mL/T$: فالانصهار $334000/273 = 1.22\,\mathrm{kJ}/\mathrm{K}$؛ والغليان $2260000/ 373 = 6.06\,\mathrm{kJ}/\mathrm{K}$. فالتبخر يحرّر الجزيئات بعضها من بعض تحريرًا تامًّا — أي فوضى مجهرية أكبر بكثير، وحرارة أكبر بكثير لكل [كلفن](https://one-course.com/books/physics/3/ar/chapter/20-kinetic-theory-and-the-perfect-gas#def-b1-kinetic-theory-temperature). **تمرين 23.2 ★.** تغيّر الإنتروبيا في $1.0\,\mathrm{kg}$ من الماء يُسخَّن من $20\,$ إلى $80{}^{\circ}\mathrm{C}$. وهل يتوقف على الطريقة التي جرى بها التسخين؟ **حل التمرين 23.2.** $\Delta S = mc\ln(T_2/T_1) = 4180\ln(353/293) = 0.78\,\mathrm{kJ}/\mathrm{K}$ — وهي دالة حالة: فلا تتوقف على الطريقة (أما الإنتروبيا *المُنشأة* فتتوقف عليها). **تمرين 23.3 ★.** [مول](https://one-course.com/books/physics/3/ar/chapter/20-kinetic-theory-and-the-perfect-gas#def-b1-kinetic-theory-scales) واحد من [غاز مثالي](https://one-course.com/books/physics/3/ar/chapter/20-kinetic-theory-and-the-perfect-gas#def-b1-kinetic-theory-model) يضاعف حجمه عند ثبات [درجة الحرارة](https://one-course.com/books/physics/3/ar/chapter/20-kinetic-theory-and-the-perfect-gas#def-b1-kinetic-theory-temperature). أوجد $\Delta S$؛ والإنتروبيا المتبادَلة والمُنشأة إن كان التمدد عكوسًا؛ ثم إن كان [تمدد جول](https://one-course.com/books/physics/3/ar/chapter/22-the-first-law-of-thermodynamics#rem-b1-first-law-irreversible) في الخلاء. **حل التمرين 23.3.** $\Delta S = nR\ln2 = 5.8\,\mathrm{J}/\mathrm{K}$. وفي التمدد المتساوي الحرارة العكوس: $Q = nRT\ln2$ من الحوض عند $T$، و $S_{\mathrm{exch}} = nR\ln2$، والمُنشأة $0$. وفي [تمدد جول](https://one-course.com/books/physics/3/ar/chapter/22-the-first-law-of-thermodynamics#rem-b1-first-law-irreversible): $Q = 0$ و $S_{\mathrm{exch}} = 0$، والمُنشأة $5.8\,\mathrm{J}/\mathrm{K}$. **تمرين 23.4 ★.** بيّن انطلاقًا من $S(T, V)$ أن تحولًا كظومًا عكوسًا [لغاز مثالي](https://one-course.com/books/physics/3/ar/chapter/20-kinetic-theory-and-the-perfect-gas#def-b1-kinetic-theory-model) يحقق $TV^{\gamma - 1} = \text{ثابت}$. وما تغيّر الإنتروبيا في انضغاط كظوم *مفاجئ* ([التمرين 22.11](https://one-course.com/books/physics/3/ar/chapter/22-the-first-law-of-thermodynamics#exo-b1-first-law-11))؟ احسبه بأعداد ذلك التمرين. **حل التمرين 23.4.** ثبات $S = nC_{V,m}\ln T + nR\ln V$ يعني ثبات $T^{C_{V,m}}V^R$، أي ثبات $TV^{R/C_{V,m}} = TV^{\gamma - 1}$. وفي الانضغاط المفاجئ: $Q = 0$، ومنه $S_{\mathrm{exch}} = 0$ و $\Delta S = S_{\mathrm{created}}$؛ ومع $T$: $300 \to 643$ [كلفن](https://one-course.com/books/physics/3/ar/chapter/20-kinetic-theory-and-the-perfect-gas#def-b1-kinetic-theory-temperature)، و $V$: $24.9 \to 10.7$ لتر: $\Delta S = 20.8\ln(643/300) + 8.314\ln(10.7/ 24.9) = 15.9 - 7.0 = +8.9\,\mathrm{J}/\mathrm{K}$ مُنشأة. **تمرين 23.5 ★★.** كتلة من الحديد وزنها $1.0\,\mathrm{kg}$ ($c = 450\,\mathrm{J}/(\mathrm{kg}\,\mathrm{K})$) عند $100{}^{\circ}\mathrm{C}$ تُلقى في بحيرة عند $20{}^{\circ}\mathrm{C}$. أوجد تغيّر الإنتروبيا في الكتلة، وفي البحيرة، وفي الكون. **حل التمرين 23.5.** الكتلة: $450\ln(293/373) = -109\,\mathrm{J}/\mathrm{K}$؛ والبحيرة: $+36000/293 = +123\,\mathrm{J}/\mathrm{K}$؛ والكون: $+14\,\mathrm{J}/\mathrm{K}$. **تمرين 23.6 ★★.** كتلتان من الماء وزن كلٍّ منهما $1.0\,\mathrm{kg}$ عند $300\,\mathrm{K}$ و$400\,\mathrm{K}$ تُمزجان كظومًا. أوجد [درجة الحرارة](https://one-course.com/books/physics/3/ar/chapter/20-kinetic-theory-and-the-perfect-gas#def-b1-kinetic-theory-temperature) النهائية والإنتروبيا المُنشأة. وبيّن عمومًا أن الإنتروبيا المُنشأة $mc\ln[(T_1 + T_2)^2/4T_1T_2]$ غير سالبة. **حل التمرين 23.6.** $T_f = 350\,\mathrm{K}$؛ و $S = 4180[\ln(350/400) + \ln(350/300)] = 4180 \times 0.0206 = 86\,\mathrm{J}/\mathrm{K}$، وكلها مُنشأة. ولدينا $(T_1 + T_2)^2 - 4T_1T_2 = (T_1 - T_2)^2 \geq 0$، ومنه أن وسيط اللوغاريتم $\geq 1$. **تمرين 23.7 ★★.** تسرّب حراري قدره $1.0\,\mathrm{kJ}$ يعبر جدارًا من غرفة عند $300\,\mathrm{K}$ إلى الخارج عند $280\,\mathrm{K}$. أوجد الإنتروبيا المُنشأة. ثم الحرارة نفسها من فرن عند $1000\,\mathrm{K}$ إلى الغرفة: قارن، وعلّق على الموضع الذي يكون فيه “الضياع” أكبر. **حل التمرين 23.7.** $S = Q(1/T_c - 1/T_h)$: أي $1000(1/280 - 1/300) = 0.24\,\mathrm{J}/\mathrm{K}$؛ ومن الفرن إلى الغرفة: $1000(1/300 - 1/1000) = 2.3\,\mathrm{J}/\mathrm{K}$، أي عشرة أضعاف: فكلما اتسع فرق [درجة الحرارة](https://one-course.com/books/physics/3/ar/chapter/20-kinetic-theory-and-the-perfect-gas#def-b1-kinetic-theory-temperature) الذي يعبره جريان حراري ازداد لاعكوسية — والهبوط من الفرن إلى الغرفة هو موضع تبديد الطاقة الرفيعة. **تمرين 23.8 ★★.** برهن على نصّ كلفن انطلاقًا من موازنة إنتروبيا آلة تجري دورًا في تماسّ مع منظِّم حراري واحد. ولماذا لا يستخرج محرك سفينة الحرارة من البحر ببساطة؟ **حل التمرين 23.8.** في دور: $\Delta S = 0 = Q/T_0 + S_{\mathrm{created}}$ مع $S_{\mathrm{created}} \geq 0$، ومنه $Q \leq 0$ و $W = -Q \geq 0$: فلا تستطيع الآلة أن تقدّم شغلًا. والبحر منظِّم حراري واحد: فلا تتحول حرارته إلى شغل من دون جسم أبرد تُلقى فيه الإنتروبيا. **تمرين 23.9 ★★.** [مول](https://one-course.com/books/physics/3/ar/chapter/20-kinetic-theory-and-the-perfect-gas#def-b1-kinetic-theory-scales) من الآزوت [ومول](https://one-course.com/books/physics/3/ar/chapter/20-kinetic-theory-and-the-perfect-gas#def-b1-kinetic-theory-scales) من الأكسجين، عند $T$ و $P$ نفسيهما، يفصل بينهما جدار في صندوق حجمه الكلي $2V$، يُتركان ليمتزجا. أوجد تغيّر الإنتروبيا (وعامِل كل غاز على أنه يتمدد في الصندوق كله). وهل هي مُنشأة أم متبادَلة؟ وماذا لو كان في الجانبين آزوت؟ **حل التمرين 23.9.** يتمدد كل غاز من $V$ إلى $2V$ عند ثبات $T$: ومنه $\Delta S = 2 \times R\ln2 = 11.5\,\mathrm{J}/\mathrm{K}$، وهي مُنشأة (إذ لا حرارة تُتبادَل، والصندوق معزول). أما نصفان من الآزوت: فرفع الجدار لا يغيّر شيئًا عيانيًّا — ويكون $\Delta S = 0$ (وهي مفارقة غيبس: فالجزيئات المتطابقة لا “تمتزج”). **تمرين 23.10 ★★★.** مصباح استطاعته $100\,\mathrm{W}$ يشتغل ساعةً؛ وتنتهي طاقته كلها حرارةً في غرفة عند $293\,\mathrm{K}$. أوجد الإنتروبيا المُنشأة. وأين أُنشئت فيزيائيًّا؟ **حل التمرين 23.10.** $Q = 3.6 \times 10^{5}\,\mathrm{J}$ تدخل الغرفة عند $293\,\mathrm{K}$: فتُنشأ $S = 1230\,\mathrm{J}/\mathrm{K}$ — في الشعيرة (إذ يتحول الشغل الكهربائي إلى حرارة) وفي جريان تلك الحرارة من الشعيرة الساخنة إلى الغرفة الباردة؛ أما الشغل الكهربائي نفسه فلم يحمل إنتروبيا. **تمرين 23.11 ★★★.** جسم سعته الحرارية $C$ عند $T_1$ يُبرَّد إلى $T_0 < T_1$: (أ) بتماسّ مباشر مع منظِّم حراري عند $T_0$، (ب) على مرحلتين عبر منظِّم حراري وسيط عند $\sqrt{T_1T_0}$، (ج) عبر متصلة من المنظِّمات الحرارية. أوجد الإنتروبيا المُنشأة في كل حالة؛ واستنتج ما الذي يقتضيه “التبريد العكوس”. **حل التمرين 23.11.** $\Delta S_{\text{الجسم}} = C\ln(T_0/T_1)$ في كل حالة. (أ) المتبادَلة $C(T_0 - T_1)/T_0$: فالمُنشأة $C[T_1/T_0 - 1 - \ln(T_1/T_0)]$. (ب) مرحلتان نسبة كلٍّ منهما $r = \sqrt{T_1/T_0}$: فالمُنشأة $2C[r - 1 - \ln r]$، وهي أصغر (فمن أجل $T_1/T_0 = 2$: $0.193C$ مقابل $0.307C$). (ج) عدد لا منتهٍ من المراحل: تُنشئ كلٌّ منها $C[(1 + \epsilon) - 1 - \ln(1 + \epsilon)] \approx C\epsilon^2/2$، ومجموعها إلى الصفر حين $\epsilon \to 0$: فالتبريد العكوس يقتضي منظِّمًا حراريًّا عند كل [درجة حرارة](https://one-course.com/books/physics/3/ar/chapter/20-kinetic-theory-and-the-perfect-gas#def-b1-kinetic-theory-temperature) وسيطة — فلا يجوز للحرارة أن تعبر فرقًا منتهيًا أبدًا. **تمرين 23.12 ★★★.** احتمال أن تجلس $N$ جزيئًا كلها في النصف الأيسر من صندوق، من أجل $N = 10$ ثم $100$ ثم $10^{22}$ (وعبّر عن الأخير بقوة للعشرة). وبيّن أن $\Delta S = k_B\ln(2^N)$ يساوي $nR\ln2$ وعلّق على كلمتَي “لاعكوس” و“مستحيل”. **حل التمرين 23.12.** $2^{-10} = 10^{-3}$؛ و $2^{-100} = 8 \times 10^{-31}$؛ و $2^{-10^{22}} = 10^{-3\times10^{21}}$. ولدينا $k_B\ln2^N = Nk_B\ln2 = nR\ln2$. و“المستحيل” يعني بدقة أن الاحتمال معدوم؛ وهو هنا $10^{-3\times10^{21}}$ — ليس صفرًا، لكنه من الصغر بحيث لا يمكن رصد أيّ فرق أبدًا: فاللاعكوسية إحصاء عند مقياس $10^{23}$. ## 23.5 مسألة: كوب القهوة وسهم الزمن **مسألة 23.1.** مسألة نهاية الأسبوع — كوب يبرد، وحوض يُمزج، وثلاجة وصندوق من الجزيئات: أربع موازنات إنتروبيا، وكم كانت الإنتروبيا المُنشأة لتساوي شغلًا الماء: $c = 4180\,\mathrm{J}/(\mathrm{kg}\,\mathrm{K})$؛ والغرفة (وهي منظِّم حراري): $T_0 = 293\,\mathrm{K}$؛ و $R = 8.314\,\mathrm{J}/(\mathrm{mol}\,\mathrm{K})$ و $k_B = 1.38 \times 10^{-23}\,\mathrm{J}/\mathrm{K}$. **الجزء I — الكوب يبرد.** كوب فيه $0.25\,\mathrm{kg}$ من القهوة عند $T_1 = 363\,\mathrm{K}$ يبرد إلى [درجة حرارة](https://one-course.com/books/physics/3/ar/chapter/20-kinetic-theory-and-the-perfect-gas#def-b1-kinetic-theory-temperature) الغرفة. 1. الحرارة المعطاة للغرفة، وتغيّر إنتروبيا الغرفة. 2. تغيّر إنتروبيا القهوة. 3. الإنتروبيا المُنشأة؛ وتحقّق من إشارتها. 4. يُشرَب الكوب حين يبلغ $330\,\mathrm{K}$ : فما الإنتروبيا المُنشأة حتى تلك اللحظة؟ 5. بيّن أنه من أجل أيّ $T_1 > T_0$ يكون $S_{\mathrm{created}} = mc[T_1/T_0 - 1 - \ln(T_1/T_0)] \geq 0$ (بدراسة $f(x) = x - 1 - \ln x$ ). 6. تبرد القهوة أسرع إذا حُرّكت أو نُفخ عليها: فهل يغيّر ذلك الإنتروبيا المُنشأة؟ ولماذا؟ **الجزء II — المزج، رديئًا وجيدًا.** كتلتان من الماء وزن كلٍّ منهما $1.0\,\mathrm{kg}$ عند $T_1 = 400\,\mathrm{K}$ و $T_2 = 300\,\mathrm{K}$، في إناء عازل. 7. المزج المباشر: أوجد [درجة الحرارة](https://one-course.com/books/physics/3/ar/chapter/20-kinetic-theory-and-the-perfect-gas#def-b1-kinetic-theory-temperature) النهائية $T_f$ والإنتروبيا المُنشأة. 8. وبدلًا من ذلك، يأخذ محرك مثالي الحرارة من الماء الساخن، ويطرح حرارة إلى البارد ويقدّم شغلًا، حتى يصير الاثنان عند [درجة الحرارة](https://one-course.com/books/physics/3/ar/chapter/20-kinetic-theory-and-the-perfect-gas#def-b1-kinetic-theory-temperature) $T_f'$ نفسها؛ والسيرورة كلها عكوسة. اكتب موازنة الإنتروبيا وبيّن أن $T_f' = \sqrt{T_1T_2}$ . 9. احسب $T_f'$ والشغل المقدَّم (بالمبدأ الأول على الكتلتين المائيتين). 10. تحقّق عدديًّا من موازنة إنتروبيا المخطط العكوس: أن الإنتروبيا التي يفقدها الماء الساخن تساوي التي يكسبها البارد. 11. قارن الشغل بالمقدار $T_0 \times S_{\mathrm{created}}$ من السؤال 6 (وخذ الغرفة مرجعًا [لدرجة الحرارة](https://one-course.com/books/physics/3/ar/chapter/20-kinetic-theory-and-the-perfect-gas#def-b1-kinetic-theory-temperature) هنا، $T_0 \approx T_2$ ): فما الذي تقيسه الإنتروبيا المُنشأة في المزج المتهاون؟ 12. ولماذا لا يستعيد أيّ مطبخ ذلك الشغل؟ **الجزء III — الثلاجة.** ثلاجة تُبقي داخلها عند $T_c = 278\,\mathrm{K}$ في غرفة عند $T_0$؛ وتتسرب إليها الحرارة بمعدل $40\,\mathrm{W}$، تضخّها الآلة إلى الخارج. 13. على امتداد ثانية واحدة، اكتب موازنة إنتروبيا الآلة (وهي جهاز دوري): الإنتروبيا المتلقاة من الداخل البارد، والمعطاة للغرفة، والمُنشأة في الداخل. 14. استنتج أصغر شغل في الثانية (أي [الاستطاعة الكهربائية](https://one-course.com/books/physics/3/ar/chapter/6-dc-circuits-kirchhoffs-laws-and-theorems#thm-b1-dc-circuits-kirchhoff) ) لازم، ومعامل الأداء الأعظمي الموافق $Q_c/W$ . 15. عبّر عن ذلك الحدّ بدلالة $T_c$ و $T_0$ وحدهما، وقدّره من أجل مجمّد عند $T_c = 255\,\mathrm{K}$ . 16. ثلاجة حقيقية بهذا الحجم تسحب نحو $15\,\mathrm{W}$ : فما الإنتروبيا المُنشأة في الثانية؟ 17. وإذا تُرك بابها مفتوحًا دخلت الحرارة بمعدل $200\,\mathrm{W}$ : فما أصغر استطاعة عندئذ، ولماذا تدفئ ثلاجة مفتوحة غرفةً؟ 18. وماذا يقول المبدأ الثاني عن ثلاجة لا تحتاج إلى كهرباء البتة؟ **الجزء IV — العدّ.** صندوق يقسمه جدار نصفين متساويين؛ و $N$ جزيئًا من [غاز مثالي](https://one-course.com/books/physics/3/ar/chapter/20-kinetic-theory-and-the-perfect-gas#def-b1-kinetic-theory-model) في اليسار. ثم يُرفع الجدار. 19. عدد [الحالات المجهرية](#prop-b1-second-law-entropy-boltzmann) قبل ذلك وبعده (فلكل جزيء أن يكون في أيّ من النصفين)، و $\Delta S$ [بصيغة بولتزمان](#prop-b1-second-law-entropy-boltzmann) . 20. تحقّق مقابل $\Delta S = nR\ln2$ من الصيغة الترموديناميكية [لتمدد جول](https://one-course.com/books/physics/3/ar/chapter/22-the-first-law-of-thermodynamics#rem-b1-first-law-irreversible) . 21. من أجل $N = 50$ ، ما احتمال أن نجد الجزيئات كلها من جديد في اليسار عند لحظة عشوائية؟ وللمول، ما رتبة قدر ذلك الاحتمال بقوة للعشرة؟ 22. كم سؤالًا من نوع نعم/لا (أي كم بتًّا) يعيّن أيّ نصف يشغله كلٌّ من الجزيئات $N$ ؟ وقارن بالمقدار $\Delta S/(k_B\ln2)$ . 23. الإنتروبيا المتبادَلة والمُنشأة في [تمدد جول](https://one-course.com/books/physics/3/ar/chapter/22-the-first-law-of-thermodynamics#rem-b1-first-law-irreversible) ؛ ولماذا هو المثال المدرسي على اللاعكوسية؟ 24. ثم يُضغط الغاز نفسه عائدًا على نحو عكوس ومتساوي الحرارة إلى النصف الأيسر: أوجد الشغل المتلقى، والحرارة المعطاة للغرفة، والإنتروبيا المتبادَلة؛ وما الذي يجب تقديمه لنقض التمدد الحرّ؟ 25. لخّص في ثلاثة أسطر: ما الذي يحفظه المبدأ الثاني (لا شيء)، وما الذي يمنعه، وما الذي تكلّفه الإنتروبيا المُنشأة. **حل المسألة 23.1.** **1.** $Q = mc(T_0 - T_1) = 0.25 \times 4180 \times (-70) = -73\,\mathrm{kJ}$ للقهوة: فتكسب الغرفة $73\,\mathrm{kJ}$، ويكون $\Delta S_{\text{الغرفة}} = 73150/293 = +250\,\mathrm{J}/\mathrm{K}$. **2.** $mc\ln(T_0/T_1) = 1045\ln(293/363) = -224\,\mathrm{J}/\mathrm{K}$. **3.** $S_{\mathrm{created}} = -224 - (-250) = +26\,\mathrm{J}/\mathrm{K} > 0$. **4.** $\Delta S = 1045\ln(330/363) = -99.6\,\mathrm{J}/\mathrm{K}$؛ و $Q = 1045 \times (-33) = -34.5\,\mathrm{kJ}$ و $S_{\mathrm{exch}} = -117.7\,\mathrm{J}/\mathrm{K}$: فالمُنشأة $18\,\mathrm{J}/\mathrm{K}$ حتى الآن — ومعظم اللاعكوسية يقع بينما تكون القهوة أشدّ سخونة. **5.** $\Delta S - Q/T_0 = mc[\ln(T_0/T_1) - (T_0 - T_1)/T_0] = mc[x - 1 - \ln x]$ مع $x = T_1/T_0$؛ و $f'(x) = 1 - 1/x$ ينعدم عند $x = 1$ حيث $f = 0$، و $f'' = 1/x^2 > 0$: فالأصغر هو $0$. **6.** لا: فالحالتان الابتدائية والنهائية هما هما، والحرارة هي هي، والغرفة هي المنظِّم الحراري نفسه — فالإنتروبيا المُنشأة تعيّنها الحالتان، لا السرعة. **7.** $T_f = 350\,\mathrm{K}$؛ والمُنشأة $4180\ln(350^2/120000) = 86\,\mathrm{J}/\mathrm{K}$. **8.** في [التحول العكوس](https://one-course.com/books/physics/3/ar/chapter/22-the-first-law-of-thermodynamics#def-b1-first-law-transformation) تنحفظ الإنتروبيا الكلية: $mc\ln(T_f'/T_1) + mc\ln(T_f'/ T_2) = 0$، ومنه $T_f'^2 = T_1T_2$. **9.** $T_f' = \sqrt{120000} = 346.4\,\mathrm{K}$؛ وتفقد الكتلتان المائيتان $mc[(T_1 - T_f') + (T_2 - T_f')] = 4180 \times (53.6 - 46.4) = 30\,\mathrm{kJ}$، تُقدَّم شغلًا. **10.** الساخنة: $4180\ln(346.4/400) = -601\,\mathrm{J}/\mathrm{K}$؛ والباردة: $4180\ln(346.4/ 300) = +601\,\mathrm{J}/\mathrm{K}$: فالمجموع معدوم، كما تقتضي العكوسية. **11.** $T_0S_{\mathrm{created}} = 300 \times 86 = 26\,\mathrm{kJ}$، وهي قريبة من $30\,\mathrm{kJ}$ القابلة للاستعادة: فالإنتروبيا المُنشأة، مضروبةً [بدرجة الحرارة](https://one-course.com/books/physics/3/ar/chapter/20-kinetic-theory-and-the-perfect-gas#def-b1-kinetic-theory-temperature) المرجعية، هي الشغل الذي رماه المسار اللاعكوس. **12.** كان ذلك ليقتضي محركًا يعمل بين كتلتين مائيتين فاترتين تتغير درجتا حرارتهما باستمرار — أي بضع عشرات من الكيلوجولات لآلة كبيرة: فلا يستحق العناء، لكن المبدأ الثاني يقول إن الشغل كان هناك. **13.** المتلقاة من الداخل $Q_c/T_c = 40/278 = 0.144\,\mathrm{W}/\mathrm{K}$؛ والمعطاة للغرفة $Q_0/T_0 = (40 + W)/293$؛ والموازنة على امتداد دور: $0 = 0.144 - (40 + W)/293 + S_c$. **14.** $S_c \geq 0$: ومنه $(40 + W)/293 \geq 0.144$ و $W \geq 42.2 - 40 = 2.2\,\mathrm{W}$؛ ومعامل الأداء $\leq 40/2.2 = 18$ (وهو $= T_c/(T_0 - T_c)$). **15.** $\mathrm{COP}_{\max} = T_c/(T_0 - T_c)$: فمن أجل مجمّد $255/38 = 6.7$ — فكلما ازداد الصندوق بردًا غلا كل جول يُنزَع منه. **16.** مع $W = 15$: $S_c = (55/293) - 0.144 = 0.044\,\mathrm{W}/\mathrm{K}$ تُنشأ في كل ثانية. **17.** $W \geq 200 \times 15/278 = 10.8\,\mathrm{W}$؛ وتلقي الآلة $200\,\mathrm{W}$ مع شغلها هي في الغرفة بينما يبقى الداخل باردًا: فمكسب الغرفة الصافي هو $W$ — والثلاجة المفتوحة مدفأة. **18.** لو كان $W = 0$ لأعطى $S_c = Q_c(1/T_0 - 1/T_c) < 0$: وهو ممنوع — وذلك هو [نصّ كلاوزيوس](#prop-b1-second-law-entropy-clausiuskelvin). **19.** قبل ذلك: $1$ (كلها في اليسار)؛ وبعده: $2^N$؛ ومنه $\Delta S = k_B\ln2^N = Nk_B\ln2$. **20.** لدينا $Nk_B = nR$: ومنه $\Delta S = nR\ln2$، وهي نتيجة [تمدد جول](https://one-course.com/books/physics/3/ar/chapter/22-the-first-law-of-thermodynamics#rem-b1-first-law-irreversible). **21.** بتّ واحد لكل جزيء: أي $N$ بتًّا؛ ولدينا $\Delta S/(k_B\ln2) = N$ — فالإنتروبيا تعدّ المعلومات التي يحتاج إليها المرء ليحدّد مواضع الجزيئات. **22.** $2^{-50} = 9 \times 10^{-16}$؛ وللمول $2^{-6\times10^{23}} = 10^{-1.8\times10^{23}}$. **23.** لا حرارة ($Q = 0$): فالمتبادَلة $0$، والمُنشأة $nR\ln2$ — وهي أصفى الحالات: لا شغل ولا حرارة، بل انتشار الغاز لا غير. **24.** يتلقى الغاز $W = nRT\ln2$، ويعطي الغرفة $Q = -nRT\ln2$، وتكون $S_{\mathrm{exch}} = -nR\ln2$ (فتعود إنتروبيا الغاز إلى قيمتها الابتدائية، على نحو عكوس): فنقض التمدد الحرّ يكلّف الشغل $nRT\ln2$ ويلقي $nR\ln2$ من الإنتروبيا في الغرفة — ويحتفظ الكون بالمقدار $nR\ln2$ التي أُنشئت مرة واحدة إلى الأبد. **25.** لا تنحفظ الإنتروبيا في شيء حقيقي — بل في النهاية العكوسة المثالية وحدها؛ والمبدأ يمنع كل سيرورة تُفنيها (حرارة تصعد، وشغل من منظِّم حراري واحد، وفصل مجاني لمزيج)؛ وكل بتّ يُنشأ هو شغل ضائع، مقداره $T_0S_{\mathrm{created}}$.