---
title: "التحريض الكهرمغناطيسي وتطبيقاته"
book: "الفيزياء الجامعية — السنة الأولى"
subject: physics
language: ar
chapter: 29
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/physics/3/ar/chapter/29-electromagnetic-induction-and-applications
---

# الفصل 29 — التحريض الكهرمغناطيسي وتطبيقاته

حرّك مغناطيسًا نحو وشيعة يجرِ فيها تيار؛ وأوقف المغناطيس يتوقف التيار. وقد وجد فاراداي ذلك سنة 1831، بعد عشر سنوات من البحث، وهو الواقعة التي يقوم عليها العالم الكهربائي: فكل محطة توليد، وكل محوّل، وكل محرك [ومكبر صوت](#prop-b1-induction-loudspeaker) وميكروفون، وكل موقد تحريض وشاحن لاسلكي، يحوّل الطاقة بالقانون القائل إن تدفقًا مغناطيسيًّا *متغيّرًا* يولّد [قوة محركة كهربائية](https://one-course.com/books/physics/3/ar/chapter/6-dc-circuits-kirchhoffs-laws-and-theorems#def-b1-dc-circuits-sources). وينصّ هذا الفصل القانون مع إشاراته، ويعطيه الوجهين اللذين يلبسهما (مجال متغيّر في دارة ثابتة، ودارة تتحرك في مجال ثابت)، ويعرّف [التحريض الذاتي](#def-b1-induction-inductance) والمتبادل، ثم يمرّ على الآلات الكهرميكانيكية — القضيب المنزلق، [والمولّد المتناوب](#prop-b1-induction-alternator)، والمحوّل، [ومكبر الصوت](#prop-b1-induction-loudspeaker) — حيث يحوّل القانون نفسه الاستطاعة الميكانيكية إلى كهربائية والعكس، ولا شيء منه مجاني.

![جهاز رنين مغناطيسي: ملف لولبي فائق الناقلية يحفظ 1.5\, T فوق مريض — أي ميغاجول من الطاقة المغناطيسية في مجال لا شيء فيه. الصورة: يان أيناّلي، CC BY 3.0.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-induction/img-fb3c35ccfe21.jpg)

*جهاز رنين مغناطيسي: ملف لولبي فائق الناقلية يحفظ $1.5\,\mathrm{T}$ فوق مريض — أي ميغاجول من [الطاقة المغناطيسية](#prop-b1-induction-inductor) في مجال لا شيء فيه. الصورة: يان أيناّلي، CC BY 3.0.*

## 29.1 قانون فاراداي

**تعريف 29.1 (التدفق المغناطيسي عبر دارة).**

وجّه دارة مغلقة $\Gamma$ (باختيار جهة سير)؛ فيأخذ سطحها الناظم $\vect n$ الذي تعطيه [قاعدة اليد اليمنى](https://one-course.com/books/physics/3/ar/chapter/28-magnetostatics-field-forces-and-dipoles#prop-b1-magnetostatics-maps). و*التدفق المغناطيسي* عبر الدارة هو $\Phi = \sum\vect B\cdot\vect n\,\dd S$ على أيّ سطح يحدّه $\Gamma$ (بالويبر، $1\,\mathrm{Wb} = 1\,\mathrm{T}\,\mathrm{m}^{2}$) — و“أيّ” لأن تدفق $\vect B$ عبر سطح مغلق معدوم. وفي مجال منتظم ووشيعة مستوية من $N$ لفة ومساحتها $S$ يكون $\Phi =
NBS\cos\alpha$، حيث $\alpha$ الزاوية بين $\vect B$ و $\vect n$.

**مبرهنة 29.2 (قانون فاراداي للتحريض).**

كلما تغيّر التدفق عبر دارة كانت الدارة مقرًّا *[لقوة محركة كهربائية](https://one-course.com/books/physics/3/ar/chapter/6-dc-circuits-kirchhoffs-laws-and-theorems#def-b1-dc-circuits-sources) محرَّضة*

$$
e = -\frac{\dd\Phi}{\dd t} ,
$$

محسوبةً في جهة توجيه الدارة، أي بوصفها [منبع توتر](https://one-course.com/books/physics/3/ar/chapter/6-dc-circuits-kirchhoffs-laws-and-theorems#def-b1-dc-circuits-sources) مثاليًّا قوته المحركة $e$ في تلك الجهة؛ وفي دارة مقاومتها $R$ تولّد التيار $i = e/R$. والإشارة السالبة هي *[قانون لنز](#thm-b1-induction-faraday)*: فالتيار المحرَّض يجري بحيث يعارض تغيّر التدفق الذي ينتجه — فمجاله هو، والقوى التي يحسّ بها، يقاومان السبب.

**برهان.** *نقبله في هذا المستوى.* ∎

**ملاحظة 29.3 (وجهان لقانون واحد).**

يتغير التدفق إما لأن $\vect B$ يتغير مع الزمن عبر دارة ثابتة (وهو *[تحريض نويمان](#rem-b1-induction-twofaces)*: المحوّل وموقد التحريض) وإما لأن الدارة تتحرك أو تتشوّه في مجال ثابت (وهو *[تحريض لورنتس](#rem-b1-induction-twofaces)*: المولّد [ومكبر الصوت](#prop-b1-induction-loudspeaker)). وفي الحالة الثانية يمكن حساب القوة المحركة مباشرةً أيضًا: فحاملات عنصر ناقل $\dd\vect l$ يتحرك بالسرعة $\vect v$ تحسّ بالقوة $q\vect v\wedge
\vect B$، وهي تكافئ مجالًا كهربائيًّا $\vect v\wedge\vect B$، فيكون $e = \oint(\vect v\wedge\vect B)\cdot\dd\vect l$ — وهذا يتفق دائمًا مع $-\dd\Phi/\dd t$. ويغطي [قانون فاراداي](#thm-b1-induction-faraday) الحالتين؛ ومجلد السنة الثانية يفسّر لماذا تعطي الآليتان صيغة واحدة.

![التوجيه وقانون لنز. على اليمين: توجيه الدارة يعيّن n وإشارة . وفي الوسط: مغناطيس يقترب من حلقة فيزيد التدفق؛ فيُحدث التيار المحرَّض مجالًا يعارض مجال المغناطيس فتدفعه الحلقة بعيدًا. وعلى اليسار: قضيب ينزلق على سكتين في مجال متجه نحو القارئ؛ فيتزايد تدفق الدارة، ويجري التيار المحرَّض بحيث تعارض قوة لابلاس على القضيب حركته.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-induction/fig-abcd300fba9d.svg)

*التوجيه [وقانون لنز](#thm-b1-induction-faraday). على اليمين: توجيه الدارة يعيّن $\vect n$ وإشارة $\Phi$. وفي الوسط: مغناطيس يقترب من حلقة فيزيد التدفق؛ فيُحدث التيار المحرَّض مجالًا يعارض مجال المغناطيس فتدفعه الحلقة بعيدًا. وعلى اليسار: قضيب ينزلق على سكتين في مجال متجه نحو القارئ؛ فيتزايد تدفق الدارة، ويجري التيار المحرَّض بحيث تعارض [قوة لابلاس](https://one-course.com/books/physics/3/ar/chapter/28-magnetostatics-field-forces-and-dipoles#thm-b1-magnetostatics-laplace) على القضيب حركته.*

**مثال 29.4 (رتب القدر).**

وشيعة من $100$ لفة ومساحتها $10\,\mathrm{cm}^{2}$ في مجال الأرض، تُقلَب في $0.1\,\mathrm{s}$: $\Delta\Phi = 2 \times 100 \times 10^{-3} \times 5 \times 10^{-5} = 1 \times 10^{-5}\,\mathrm{Wb}$ و $e \sim 0.1\,\mathrm{mV}$ — وهو قابل للقياس بغلفانومتر حسّاس، وبه رُسمت خريطة مجال الأرض يومًا. والوشيعة نفسها في فجوة $1\,\mathrm{T}$ لمغناطيس، تُنزَع في $0.1\,\mathrm{s}$: $1\,\mathrm{V}$. ووشيعة محوّل من $1000$ لفة مع $1\,\mathrm{T}$ عند $50\,\mathrm{Hz}$ على $10\,\mathrm{cm}^{2}$: $e_{\max} =
1000 \times 10^{-3} \times 314 = 314\,\mathrm{V}$ — أي شبكة التغذية.

## 29.2 التحريض الذاتي والمتبادل

**تعريف 29.5 (التحريض).**

تدفق مجال دارة الخاص عبر نفسها يتناسب مع تيارها: $\Phi_{\text{الذاتي}} = Li$، حيث $L > 0$ هو *تحريضها الذاتي* (بالهنري، $\mathrm{H}$). والتدفق الذي ترسله الدارة 1 عبر الدارة 2 هو $\Phi_{1 \to 2} = Mi_1$، وبالتناظر $\Phi_{2 \to 1} = Mi_2$، حيث $M$ *تحريضهما المتبادل* (وتعيّن الجهاتُ إشارته). ويكون التدفق الكلي للدارة 1 عندئذ $\Phi_1 = L_1i_1 + Mi_2$.

**قضية 29.6 (الوشيعة؛ الملف اللولبي).**

دارة تحريضها $L$ تحمل تيارًا متغيّرًا تكون مقرًّا للقوة المحركة $e = -L\,\dd i/\dd t$: وفي [اصطلاح المستقبِل](https://one-course.com/books/physics/3/ar/chapter/6-dc-circuits-kirchhoffs-laws-and-theorems#thm-b1-dc-circuits-kirchhoff) يكون ذلك التوتر $u = L\,\dd i/\dd t$ للوشيعة المستعملة منذ [الفصل 7](https://one-course.com/books/physics/3/ar/chapter/7-transient-regimes-first-and-second-order#ch-b1-transient-regimes). وهي تخزّن الطاقة $W = \tfrac12Li^2$. وملف لولبي طويل فيه $n$ لفة في المتر وطوله $\ell$ ومقطعه $S$ له $L = \mu_0n^2S\ell$؛ وطاقته المخزونة $\tfrac12\mu_0n^2I^2S\ell =
\dfrac{B^2}{2\mu_0}\,S\ell$: [فالطاقة المغناطيسية](#prop-b1-induction-inductor) تعيش في المجال بكثافة قدرها $B^2/2\mu_0$، تمامًا كما تعيش الكهربائية بالكثافة $\varepsilon_0E^2/2$.

**برهان.** فاراداي مع $\Phi = Li$ و $L$ ثابتة. وأما الطاقة: فالاستطاعة التي تتلقاها الوشيعة هي $ui = Li\,\dd i/\dd t = \dd(\tfrac12Li^2)/\dd t$. وفي الملف اللولبي: $B = \mu_0nI$ في الداخل، والتدفق $BS$ عبر كلٍّ من اللفات $n\ell$، ومنه $\Phi =
\mu_0n^2S\ell I$. أما الكثافة العامة فمسلَّم بها. ∎

**مثال 29.7 (مغناطيس رنين مغناطيسي).**

$1.5\,\mathrm{T}$ على نحو متر مكعب: $B^2/2\mu_0 = 2.25/2.5 \times 10^{-6} =
0.9\,\mathrm{MJ}/\mathrm{m}^{3}$ — أي طاقة بطارية سيارة، مخزونة في فضاء خالٍ. ومع تيار وشيعة قدره $500\,\mathrm{A}$ يكون $L = 2W/I^2 = 7\,\mathrm{H}$. وإذا صار فائق الناقلية مقاومًا فجأةً (وهو *الإخماد*)، صار ذلك الميغاجول حرارةً في ثوانٍ وأغلى مئات اللترات من الهيليوم السائل: ولغرفة المغناطيس منفس لذلك.

**قضية 29.8 (المحوّل المثالي).**

وشيعتان من $N_1$ و $N_2$ لفة ملفوفتان على قلب حديدي مغلق واحد، بحيث يخترق التدفق $\varphi$ نفسه كل لفة، تحققان

$$
\frac{u_2}{u_1} = \frac{N_2}{N_1} , \qquad N_1i_1 + N_2i_2 = 0 \quad\text{(بلا ضياعات ولا تيار مغنطة)},
$$

ومنه $u_2i_2 = -u_1i_1$: فالاستطاعة المأخوذة عند الأولي تُقدَّم عند الثانوي؛ وتتحول التوترات بنسبة اللفات، والتيارات عكسًا. ولا يعمل المحوّل إلا بتيارات متغيّرة.

**برهان.** $u_1 = N_1\,\dd\varphi/\dd t$ و $u_2 = N_2\,\dd\varphi/\dd t$ ([باصطلاح المستقبِل](https://one-course.com/books/physics/3/ar/chapter/6-dc-circuits-kirchhoffs-laws-and-theorems#thm-b1-dc-circuits-kirchhoff) في كليهما، والجهتان مختارتان على امتداد التدفق المشترك): فاقسم. وعلاقة التيارين هي مبرهنة أمبير على القلب: إذ كان يجب على تكامله الخطي مضروبًا بالمقدار $\mu_0\mu_r$ في مجموع الأمبير-لفات أن يُحدث التدفق؛ وفي قلب مثالي ($\mu_r \to \infty$) يقتضي ذلك أمبير-لفات متلاشية، ومنه $N_1i_1 + N_2i_2 = 0$. ومسلَّم به بهذه الصيغة. ∎

![على اليمين: محوّل — وشيعتان على قلب حديدي مغلق تتقاسمان التدفق نفسه؛ فتتحول التوترات بنسبة اللفات، والتيارات عكسًا. وعلى اليسار: وشيعتان مقترنتان في الهواء وتحريضهما المتبادل M؛ وتدفق الوشيعة الخاص هو Li.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-induction/fig-788e4ac51c87.svg)

*على اليمين: محوّل — وشيعتان على قلب حديدي مغلق تتقاسمان التدفق نفسه؛ فتتحول التوترات بنسبة اللفات، والتيارات عكسًا. وعلى اليسار: وشيعتان مقترنتان في الهواء وتحريضهما المتبادل $M$؛ وتدفق الوشيعة الخاص هو $Li$.*

## 29.3 النواقل المتحركة: المولّدات والمحركات

**قضية 29.9 (القضيب المنزلق).**

قضيب طوله $\ell$ ينزلق بالسرعة $v$ على سكتين تغلقهما مقاومة $R$، في مجال منتظم $B$ ناظمي على المستوي. فيكون مقرًّا للقوة المحركة $e = B\ell v$، ويولّد $i = B\ell v/R$، ويحسّ [بقوة لابلاس](https://one-course.com/books/physics/3/ar/chapter/28-magnetostatics-field-forces-and-dipoles#thm-b1-magnetostatics-laplace) $F = B\ell i = B^2\ell^2v/R$ التي *تعارض* حركته. والاستطاعة الميكانيكية المبذولة لدفعه، $Fv$، تساوي [الاستطاعة الكهربائية](https://one-course.com/books/physics/3/ar/chapter/6-dc-circuits-kirchhoffs-laws-and-theorems#thm-b1-dc-circuits-kirchhoff) $ei = Ri^2$ المبددة: فالقضيب مولّد. أما إذا غُذّي من منبع $E$ فهو محرك: إذ يدفعه التيار $(E - B\ell v)/R$ حتى توازن القوة المحركة المضادة $B\ell v$ المقدارَ $E$، عند سرعة اللاحمل $E/B\ell$.

**برهان.** التدفق $B\ell x$، ومنه $e = -B\ell\dot x$ في التوجيه الذي يكون فيه $\vect n$ على امتداد $\vect B$؛ [وقوة لابلاس](https://one-course.com/books/physics/3/ar/chapter/28-magnetostatics-field-forces-and-dipoles#thm-b1-magnetostatics-laplace) $i\vect\ell\wedge\vect B$ على التيار الموجَّه هكذا تعاكس $\vect v$ ([المبرهنة 29.2](#thm-b1-induction-faraday)، لنز). واضرب المعادلة الكهربائية $e = Ri$ في $i$ والمعادلة الميكانيكية في $v$: $Fv = B\ell iv = ei$. والاستطاعة الكهرميكانيكية $ei$ واستطاعة لابلاس $-Fv$ متعاكستان دائمًا — وهو قانون التحويل. ∎

**قضية 29.10 (الحلقة الدوّارة: المولّد المتناوب).**

وشيعة من $N$ لفة ومساحتها $S$ تدور بالسرعة $\omega$ حول محور عمودي على مجال منتظم $B$ لها $\Phi = NBS\cos\omega t$ و

$$
e = NBS\omega\sin\omega t :
$$

أي قوة محركة جيبية سعتها $NBS\omega$ وتواترها تواتر الدوران. وفي مقاومة $R$ تقدّم متوسط استطاعة $(NBS\omega)^2/2R$، يقدّمه العزم الذي يبقيها تدور في مواجهة مزدوجة لابلاس $-\vect m\wedge\vect B$ لتيارها هي.

**برهان.** اشتقّ التدفق؛ ولدينا $\langle\sin^2\rangle = \tfrac12$. والمزدوجة هي [المبرهنة 28.14](https://one-course.com/books/physics/3/ar/chapter/28-magnetostatics-field-forces-and-dipoles#thm-b1-magnetostatics-dipoleinfield) مع $m = Ni S$؛ ومتوسط استطاعتها $\langle\Gamma\omega\rangle$ يساوي $\langle ei\rangle$ بالحساب نفسه الذي جرى في القضيب. ∎

![على اليمين: القضيب المنزلق مولّدًا — القوة المحركة B v، والتيار عبر R، وقوة لابلاس تكبح القضيب؛ واستطاعة الدافع هي حرارة المقاومة. وفي الوسط وعلى اليسار: الوشيعة الدوّارة في مولّد متناوب وقوتها المحركة الجيبية.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-induction/fig-a4282d192124.svg)

![على اليمين: القضيب المنزلق مولّدًا — القوة المحركة B v، والتيار عبر R، وقوة لابلاس تكبح القضيب؛ واستطاعة الدافع هي حرارة المقاومة. وفي الوسط وعلى اليسار: الوشيعة الدوّارة في مولّد متناوب وقوتها المحركة الجيبية.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-induction/fig-3b5b25027c02.svg)

*على اليمين: القضيب المنزلق مولّدًا — القوة المحركة $B\ell v$، والتيار عبر $R$، [وقوة لابلاس](https://one-course.com/books/physics/3/ar/chapter/28-magnetostatics-field-forces-and-dipoles#thm-b1-magnetostatics-laplace) تكبح القضيب؛ واستطاعة الدافع هي حرارة المقاومة. وفي الوسط وعلى اليسار: الوشيعة الدوّارة في [مولّد متناوب](#prop-b1-induction-alternator) وقوتها المحركة الجيبية.*

**مثال 29.11 (التيارات الدوامية).**

ناقل كتلي يتحرك في مجال غير منتظم، أو يستقر في مجال متغيّر، يخترقه تدفق متغيّر على امتداد مسالك مغلقة لا تُحصى: فتدور فيه *[تيارات دوامية](#ex-b1-induction-eddy)*، تسخّنه و— [بقانون لنز](#thm-b1-induction-faraday) — تكبحه. ومغناطيس يُسقَط في أنبوب نحاسي ينزل ببطء؛ وتستعمل ذلك مكابح الشاحنات والأفعوانيات (بلا تماسّ ولا تآكل ولا عطل كابح — لكن بلا كبح عند السكون)؛ وموقد التحريض يسخّن الإناء بالتيارات نفسها، عند $25\,\mathrm{kHz}$؛ وتُصفَّح قلوب المحوّلات لقطعها بالضبط.

## 29.4 مكبر الصوت: جملة مقترنة

**قضية 29.12 (الاقتران الكهرميكانيكي لوشيعة في مجال قطري).**

وشيعة طول سلكها الكلي $\ell$ تقع في مجال قطري $B$ بحيث يكون كل عنصر من السلك عموديًّا على $\vect B$؛ وهي تتحرك على امتداد محورها بالسرعة $v$ وتحمل $i$. فتحسّ عندئذ [بقوة لابلاس](https://one-course.com/books/physics/3/ar/chapter/28-magnetostatics-field-forces-and-dipoles#thm-b1-magnetostatics-laplace) المحورية $F = B\ell i$ وتكون مقرًّا للقوة المحركة المضادة $e = -B\ell v$ (وفي [اصطلاح المستقبِل](https://one-course.com/books/physics/3/ar/chapter/6-dc-circuits-kirchhoffs-laws-and-theorems#thm-b1-dc-circuits-kirchhoff): توتر $B\ell v$). ومع كتلة $m$ وتعليق صلابته $k$ وتخميد ميكانيكي $h$، وتغذية بتوتر $u$ عبر مقاومة الوشيعة $R$ وتحريضها $L$:

$$
u = Ri + L\frac{\dd i}{\dd t} + B\ell v , \qquad
m\frac{\dd v}{\dd t} = -kx - hv + B\ell i .
$$

وبالضرب في $i$ وفي $v$ والجمع: تساوي [الاستطاعة الكهربائية](https://one-course.com/books/physics/3/ar/chapter/6-dc-circuits-kirchhoffs-laws-and-theorems#thm-b1-dc-circuits-kirchhoff) $ui$ ضياعَ جول $Ri^2$ زائد نموّ الطاقات المخزونة $\tfrac12Li^2 + \tfrac12mv^2 + \tfrac12kx^2$ زائد الضياع الميكانيكي $hv^2$ (وهو يشمل الصوت): فحدّ التحويل $B\ell iv$ يتلاشى بين المعادلتين. وإذا أُديرت إلى الوراء (بفرض الحركة وقراءة $u$) كانت الأداة نفسها *ميكروفونًا* ديناميًّا.

**برهان.** [قوة لابلاس](https://one-course.com/books/physics/3/ar/chapter/28-magnetostatics-field-forces-and-dipoles#thm-b1-magnetostatics-laplace) على كل عنصر $i\,\dd\vect l\wedge\vect B$، وكلها محورية و بالإشارة نفسها؛ والقوة المحركة من $(\vect v\wedge\vect B)\cdot\dd\vect l$ مجموعةً على السلك. وموازنة الطاقة هي مجموع المعادلتين مضروبتين كما ذُكر. ∎

![مكبر صوت ذو وشيعة متحركة بمقطع: تقع وشيعة الصوت في الفجوة الحلقية لمغناطيس يكون المجال فيها قطريًّا، فيعطي تيارٌ قوةً محورية مهما يكن الموضع؛ والمخروط الذي تحرّكه يحمله تعليق صلب مخمَّد؛ وتُغذّي حركة الوشيعة قوة محركة مضادة B v في الدارة الكهربائية.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-induction/fig-ea8e4b577d84.svg)

*[مكبر صوت](#prop-b1-induction-loudspeaker) ذو وشيعة متحركة بمقطع: تقع وشيعة الصوت في الفجوة الحلقية لمغناطيس يكون المجال فيها قطريًّا، فيعطي تيارٌ قوةً محورية مهما يكن الموضع؛ والمخروط الذي تحرّكه يحمله تعليق صلب مخمَّد؛ وتُغذّي حركة الوشيعة قوة محركة مضادة $B\ell v$ في الدارة الكهربائية.*

**ملاحظة 29.13 (لماذا يخمّد الاقتران).**

عند التواتر المنخفض ($L\omega \ll R$) يكون $i \approx (u - B\ell v)/R$ وتكون القوة $B\ell u/R - (B^2\ell^2/R)\,v$: فتضيف الدارة الكهربائية التخميد $B^2\ell^2/R$ إلى الميكانيكي. [ومكبر صوت](#prop-b1-induction-loudspeaker) موصول بمضخّم (مقاومة خرجه منخفضة) شديد التخميد — فيتوقف مخروطه حين تتوقف الإشارة — والاقتران نفسه هو ما يتيح للميكروفون أن يأخذ طاقة من الصوت ([المسألة 29.1](#pb-b1-induction-1)).

## 29.5 تمارين

**تمرين 29.1 ★.**

وشيعة من $100$ لفة ومساحتها $10\,\mathrm{cm}^{2}$ في مجال منتظم $0.20\,\mathrm{T}$ بزاوية $30{}^{\circ}$ مع ناظمها. أوجد التدفق؛ ومتوسط القوة المحركة إذا قُطع المجال في $10\,\mathrm{ms}$؛ ثم في $1\,\mathrm{ms}$؛ وجهة التيار المحرَّض بالنسبة إلى المجال ([بقانون لنز](#thm-b1-induction-faraday)).

**حل التمرين 29.1.**

$\Phi = NBS\cos30^\circ = 100 \times 0.2 \times 10^{-3} \times 0.866 = 1.7 \times 10^{-2}\,\mathrm{Wb}$؛ و $\langle e\rangle = \Delta\Phi/\Delta t = 1.7\,\mathrm{V}$ في $10\,\mathrm{ms}$، و$17\,\mathrm{V}$ في $1\,\mathrm{ms}$. ويجري التيار بحيث يعيد إنشاء التدفق المتلاشي: فمجاله على امتداد $\vect B$ القديم.

**تمرين 29.2 ★.**

قضيب طوله $20\,\mathrm{cm}$ ينزلق بالسرعة $2.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ على سكتين تغلقهما $0.10\,\Omega$، في $0.50\,\mathrm{T}$. أوجد القوة المحركة والتيار [وقوة لابلاس](https://one-course.com/books/physics/3/ar/chapter/28-magnetostatics-field-forces-and-dipoles#thm-b1-magnetostatics-laplace) والقوة التي على الدافع تطبيقها والاستطاعة الميكانيكية [والاستطاعة الكهربائية](https://one-course.com/books/physics/3/ar/chapter/6-dc-circuits-kirchhoffs-laws-and-theorems#thm-b1-dc-circuits-kirchhoff).

**حل التمرين 29.2.**

$e = B\ell v = 0.5 \times 0.2 \times 2 = 0.20\,\mathrm{V}$؛ و $i = 2.0\,\mathrm{A}$؛ و $F = B\ell i =
0.20\,\mathrm{N}$ كابحة، فيطبّق الدافع $0.20\,\mathrm{N}$؛ و $Fv = 0.40\,\mathrm{W}
= Ri^2$.

**تمرين 29.3 ★.**

ملف لولبي فيه 1000 لفة في المتر، وطوله $20\,\mathrm{cm}$، ومقطعه $4.0\,\mathrm{cm}^{2}$: أوجد التحريض؛ والطاقة عند $5.0\,\mathrm{A}$؛ [وثابت الزمن](https://one-course.com/books/physics/3/ar/chapter/7-transient-regimes-first-and-second-order#def-b1-transient-regimes-firstorder) مع مقاومة $1.0\,\Omega$؛ والمجال في الداخل وكثافة الطاقة، للتحقق من $B^2/2\mu_0$.

**حل التمرين 29.3.**

$L = \mu_0n^2S\ell = 4\pi \times 10^{-7} \times 10^6 \times 4 \times 10^{-4} \times 0.2 =
0.10\,\mathrm{mH}$؛ و $W = \tfrac12LI^2 = 1.3\,\mathrm{mJ}$؛ و $\tau = L/R = 0.1\,\mathrm{ms}$. و $B = \mu_0nI = 6.3\,\mathrm{mT}$ و $B^2/2\mu_0 = 15.7\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}$ على $S\ell = 8 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}^{3}$: أي $1.3\,\mathrm{mJ}$.

**تمرين 29.4 ★.**

محوّل من $230\,\mathrm{V}$ إلى $12\,\mathrm{V}$: أوجد نسبة اللفات؛ وعدد لفات الأولي من أجل ثانوي فيه $50$ لفة؛ وتيار الأولي حين يقدّم الثانوي $2.0\,\mathrm{A}$. ولماذا لا يعمل على بطارية سيارة؟

**حل التمرين 29.4.**

$N_2/N_1 = 12/230 = 0.052$؛ و $N_1 = 50/0.052 = 960$ لفة؛ و $i_1 = 2 \times 0.052 =
0.10\,\mathrm{A}$. والتيار المستقر يعطي تدفقًا مستقرًّا: فلا $\dd\varphi/\dd t$، ولا توتر ثانوي — ويحترق الأولي، وهو دارة قصر.

**تمرين 29.5 ★★.**

[قانون لنز](#thm-b1-induction-faraday): أعطِ جهة التيار المحرَّض وجهة القوة في كل حالة — (أ) قطب شمالي يقترب من حلقة على امتداد محورها؛ (ب) حلقة في مجال متزايد؛ (ج) حلقة تُسقَط على مغناطيس؛ (د) مغناطيس يسقط في أنبوب نحاسي طويل. وفي (د)، فسّر بالطاقة لماذا يسقط بسرعة صغيرة ثابتة.

**حل التمرين 29.5.**

(أ) يتزايد التدفق (على امتداد جهة الاقتراب): فيُحدث التيار مجالًا يعارضه — إذ يواجه قطبُه الشمالي القطبَ الشمالي للمغناطيس — و تُدفَع الحلقة بعيدًا. (ب) تيار يعارض مجالُه التزايدَ؛ و الحلقة، وهي ثنائي قطب معاكس للمتجهة $\vect B$، تُدفَع نحو المجال الأضعف. (ج) وفي أثناء سقوطها يتزايد التدفق: فالتيار نفسه كما في (أ)، وتُكبَح الحلقة. (د) وكل مقطع من الأنبوب أمام المغناطيس يرى تدفقًا متزايدًا، وخلفه متناقصًا؛ ويكبح التياران المحرَّضان المغناطيس؛ وعند السرعة التي توازن فيها [قوة لابلاس](https://one-course.com/books/physics/3/ar/chapter/28-magnetostatics-field-forces-and-dipoles#thm-b1-magnetostatics-laplace) الثقلَ يسقط المغناطيس بانتظام وتصير طاقة وضعه المفقودة حرارةَ جول في الأنبوب.

**تمرين 29.6 ★★.**

[مولّد متناوب](#prop-b1-induction-alternator): $N = 200$ و $S = 20\,\mathrm{cm}^{2}$ و $B = 0.10\,\mathrm{T}$ عند $50\,\mathrm{Hz}$. أوجد القوة المحركة القمّية والفعّالة؛ والتيار القمّي والعزم القمّي في $10\,\Omega$؛ ومتوسط [الاستطاعة الكهربائية](https://one-course.com/books/physics/3/ar/chapter/6-dc-circuits-kirchhoffs-laws-and-theorems#thm-b1-dc-circuits-kirchhoff)؛ وقارنه بمتوسط الاستطاعة الميكانيكية، وبالعزم اللحظي في اللحظة التي تنعدم فيها القوة المحركة.

**حل التمرين 29.6.**

$E_{\max} = NBS\omega = 200 \times 2 \times 10^{-3} \times 0.1 \times 314 = 12.6\,\mathrm{V}$، والفعّالة $8.9\,\mathrm{V}$؛ و $I_{\max} = 1.26\,\mathrm{A}$ و $\Gamma_{\max} = NBSI_{\max} = 0.050\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}$ (حين $\sin\omega t = 1$)؛ و $\langle P\rangle = E_{\max}^2/2R = 7.9\,\mathrm{W}$ $=
\langle\Gamma\omega\rangle = \tfrac12 \times 0.05 \times 314$؛ وحين $e = 0$ يكون التيار معدومًا وينعدم العزم — فالعزم ينبض عند $100\,\mathrm{Hz}$.

**تمرين 29.7 ★★.**

*الكابح المغناطيسي.* حلقة مربعة ضلعها $a = 10\,\mathrm{cm}$ و مقاومتها $R = 1.0\,\mathrm{m}\Omega$ وكتلتها $1.0\,\mathrm{kg}$، تغادر منطقة مجال منتظم $B = 1.0\,\mathrm{T}$ بالسرعة $v$ (وضلع واحد ما زال في المجال). أوجد القوة المحركة والتيار وقوة الكبح؛ ومعادلة الحركة [وثابت الزمن](https://one-course.com/books/physics/3/ar/chapter/7-transient-regimes-first-and-second-order#def-b1-transient-regimes-firstorder)؛ والمسافة المقطوعة قبل التوقف انطلاقًا من $1.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$؛ وأين ذهبت [الطاقة الحركية](https://one-course.com/books/physics/3/ar/chapter/13-work-energy-and-potential-energy#thm-b1-work-and-energy-ke)؟

**حل التمرين 29.7.**

$e = Bav$ و $i = Bav/R$ و $F = B^2a^2v/R = 10\,v$ (بالنيوتن). ومنه $m\,\dd v/\dd t = -B^2a^2v/R$: $v = v_0\eu^{-t/\tau}$ و $\tau = mR/B^2a^2 = 0.10\,\mathrm{s}$؛ والمسافة $v_0\tau =
10\,\mathrm{cm}$ (إن كانت منطقة المجال طويلة كفايةً). [والطاقة الحركية](https://one-course.com/books/physics/3/ar/chapter/13-work-energy-and-potential-energy#thm-b1-work-and-energy-ke)، $0.5\,\mathrm{J}$، تتبدد بالمقدار $Ri^2$ في الحلقة.

**تمرين 29.8 ★★.**

وشيعة صغيرة ($N_2 = 50$ لفة، ومقطعها $2.0\,\mathrm{cm}^{2}$) تقع داخل ملف لولبي طويل ($n_1 = 2000\,\mathrm{m}^{-1}$)، ومحوراهما متطابقان. أوجد [التحريض المتبادل](#def-b1-induction-inductance)؛ والقوة المحركة في الوشيعة حين يتزايد تيار الملف بمعدل $100\,\mathrm{A}/\mathrm{s}$، وحين يكون $1.0\,\mathrm{A}$ عند $10\,\mathrm{kHz}$. وهل يتوقف $M$ على أيّ الوشيعتين تحمل التيار؟

**حل التمرين 29.8.**

تدفق [مجال الملف اللولبي](https://one-course.com/books/physics/3/ar/chapter/28-magnetostatics-field-forces-and-dipoles#prop-b1-magnetostatics-three) $\mu_0n_1i_1$ عبر اللفات $N_2$: ومنه $M =
\mu_0n_1N_2S_2 = 4\pi \times 10^{-7} \times 2000 \times 50 \times 2 \times 10^{-4} = 25\,\text{µ}\mathrm{H}$. وفي التزايد الخطي: $e = M\,\dd i_1/\dd t = 2.5\,\mathrm{mV}$؛ وعند $10\,\mathrm{kHz}$ و$1\,\mathrm{A}$: $e_{\max} =
M\omega I = 25 \times 10^{-6} \times 6.3 \times 10^4 = 1.6\,\mathrm{V}$. و $M$ متناظر: فالعدد نفسه يعطي التدفق الذي ترسله الوشيعة الصغيرة عبر الملف اللولبي — وهو أصعب بكثير في الحساب المباشر.

**تمرين 29.9 ★★.**

الطاقة في مجال: $B = 1.5\,\mathrm{T}$ على $1.0\,\mathrm{m}^{3}$، كما في مغناطيس رنين مغناطيسي. أوجد الطاقة؛ والتحريض من أجل $I = 500\,\mathrm{A}$؛ والارتفاع الذي كانت تلك الطاقة لترفع إليه سيارة كتلتها $1\,\mathrm{t}$؛ وحجم الهيليوم السائل الذي تغليه في إخماد ($2.6\,\mathrm{kJ}$ للتر). ثم طاقة مجال الأرض ($5 \times 10^{-5}\,\mathrm{T}$) في غرفة حجمها $50\,\mathrm{m}^{3}$.

**حل التمرين 29.9.**

$W = B^2V/2\mu_0 = 2.25/(2.51 \times 10^{-6}) = 0.90\,\mathrm{MJ}$؛ و $L = 2W/I^2 =
7.2\,\mathrm{H}$؛ و $h = W/mg = 92\,\mathrm{m}$؛ والهيليوم: $9 \times 10^5/2600 = 350\,\mathrm{L}$. وأما مجال الأرض: $(5 \times 10^{-5})^2/2\mu_0 = 1 \times 10^{-3}\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}$، أي $50\,\mathrm{mJ}$ في الغرفة.

**تمرين 29.10 ★★★.**

*السكتان محركًا.* قضيب [التمرين 29.2](#exo-b1-induction-2) (كتلته $m$، وبلا احتكاك) موصول بمنبع $E$ عبر المقاومة $R$. (أ) اكتب المعادلتين الكهربائية والميكانيكية؛ وبيّن أن $m\,\dd v/\dd t = B\ell(E -
B\ell v)/R$. (ب) وأوجد [السرعة الحدية](https://one-course.com/books/physics/3/ar/chapter/12-newtons-laws-of-dynamics#prop-b1-newton-dynamics-terminal) [وثابت الزمن](https://one-course.com/books/physics/3/ar/chapter/7-transient-regimes-first-and-second-order#def-b1-transient-regimes-firstorder). (ج) وموازنة الاستطاعة: استطاعة المنبع $=$ جول $+$ الميكانيكية؛ [والمردود](https://one-course.com/books/physics/3/ar/chapter/24-heat-engines-and-machines#def-b1-heat-engines-efficiency) بدلالة $v$. (د) والأعداد: $E = 2.0\,\mathrm{V}$ و $m = 50\,\mathrm{g}$، والباقي كما في [التمرين 29.2](#exo-b1-induction-2). (ه) ومدفع كهرمغناطيسي يسرّع قذيفة كتلتها $10\,\mathrm{g}$ بتيار $1\,\mathrm{MA}$ على امتداد $5\,\mathrm{m}$ في $1\,\mathrm{T}$: أوجد سرعة الخروج ([برتبة القدر](https://one-course.com/books/physics/3/ar/chapter/1-units-dimensions-and-measurement#def-b1-units-dimensions-oom)).

**حل التمرين 29.10.**

(أ) $E - B\ell v = Ri$ (فالقوة المحركة المضادة تعارض المنبع)، و $m\,\dd v/\dd t =
B\ell i$: ومنه $m\,\dd v/\dd t = B\ell(E - B\ell v)/R$. (ب) و $v_\infty = E/B\ell$ و $\tau =
mR/B^2\ell^2$. (ج) واضرب المعادلة الكهربائية في $i$: $Ei = Ri^2 +
B\ell vi$، ويكون $B\ell vi = Fv$ هو الاستطاعة الميكانيكية؛ [والمردود](https://one-course.com/books/physics/3/ar/chapter/24-heat-engines-and-machines#def-b1-heat-engines-efficiency) $Fv/Ei =
B\ell v/E = v/v_\infty$ — فيكون $100\%$ عند اللاحمل وحده، حيث لا يُقدَّم شيء. (د) و $v_\infty = 2/(0.5 \times 0.2) = 20\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ و $\tau = 0.05 \times
0.1/0.01 = 0.5\,\mathrm{s}$. (ه) و $F = B\ell I = 1 \times 0.1 \times 10^6 = 1 \times 10^{5}\,\mathrm{N}$ (بأخذ $\ell = 10\,\mathrm{cm}$)، و $a = 1 \times 10^{7}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$، و $v = \sqrt{2a \times 5} =
1 \times 10^{4}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ — أي عشرة كيلومترات في الثانية، وهو وعد المدافع الكهرمغناطيسية ومشكلتها (فالسكتان تتآكلان).

**تمرين 29.11 ★★★.**

*قرص فاراداي.* قرص نحاسي نصف قطره $R$ يدور بالسرعة $\omega$ حول محوره في مجال منتظم $B$ على امتداد المحور؛ وتلمس فرشاتان المركز والحافة. (أ) أوجد القوة المحركة بين المركز والحافة بجمع $(\vect v\wedge
\vect B)\cdot\dd\vect l$ على امتداد نصف قطر: $e = \tfrac12B\omega R^2$. (ب) والأعداد: $R = 10\,\mathrm{cm}$ و$3000\,\mathrm{rpm}$ و$1.0\,\mathrm{T}$. (ج) ولماذا هي آلة منخفضة التوتر عالية التيار؛ وأوجد التيار في $1\,\mathrm{m}\Omega$، و عزم الكبح. (د) واستعد $e$ من [قانون فاراداي](#thm-b1-induction-faraday) مطبَّقًا على الدارة فرشاة-نصف قطر-حافة-فرشاة: أيّ تدفق يتغير؟

**حل التمرين 29.11.**

(أ) عند نصف القطر $r$ يتحرك المعدن بالسرعة $v = \omega r$؛ و $\vect v\wedge\vect B$ قطري طويلته $\omega rB$: ومنه $e = \int_0^R\omega Br\,\dd r = \tfrac12B\omega R^2$. (ب) و $\omega = 314$: $e = 0.5 \times 1 \times 314 \times 0.01 = 1.6\,\mathrm{V}$. (ج) و“لفة” واحدة لا غير، فبضعة فولطات على الأكثر؛ وفي $1\,\mathrm{m}\Omega$: $1.6\,\mathrm{kA}$، والعزم $= P/\omega = ei/\omega = 2500/314 = 8\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}$. (د) والدارة فرشاة-نصف قطر- حافة-فرشاة تكنس مساحة $\tfrac12R^2\omega\,\dd t$ في كل $\dd t$: ومنه $\dd\Phi/\dd t =
\tfrac12BR^2\omega$ — أي التدفق عبر الدارة المتحركة المتشوّهة.

**تمرين 29.12 ★★★.**

*موقد التحريض.* تحمل الوشيعة تحت الزجاج $i_1 =
I_1\cos\omega t$ مع $I_1 = 30\,\mathrm{A}$ عند $25\,\mathrm{kHz}$؛ ويسلك قاع الإناء سلوك لفة واحدة مقاومتها $R_p = 10\,\mathrm{m}\Omega$ مقترنة [بتحريض متبادل](#def-b1-induction-inductance) $M = 1.0\,\text{µ}\mathrm{H}$ (مع إهمال تحريض لفة الإناء). (أ) أوجد القوة المحركة المحرَّضة في الإناء، بقيمتها القمّية. (ب) والتيار ومتوسط الاستطاعة المبددة في الإناء. (ج) ولماذا تواتر مرتفع، ولماذا تظهر الحرارة في الإناء لا في الزجاج؟ (د) ويؤثر تيار الإناء في الوشيعة: أوجد القوة المحركة التي يُحدثها فيها (قمّيةً)، والاستطاعة الزائدة التي على المولّد تقديمها — وتحقّق من أنها تساوي (ب).

**حل التمرين 29.12.**

(أ) $e_2 = -M\,\dd i_1/\dd t$، وقيمته القمّية $M\omega I_1 = 10^{-6} \times 1.57 \times 10^5 \times 30 =
4.7\,\mathrm{V}$. (ب) و $I_2 = 4.7/0.01 = 470\,\mathrm{A}$ قمّيًّا؛ و $\langle P\rangle = R_pI_2^2/2
= 1.1\,\mathrm{kW}$. (ج) والقوة المحركة $\propto\omega$: فالتواتر المرتفع يعطي قوة محركة مفيدة بتحريض $M$ متواضع؛ والزجاج عازل فلا يجري فيه شيء — والحرارة تولد داخل المعدن. (د) ويُحدث تيار الإناء في الوشيعة $M\omega I_2 = 10^{-6} \times 1.57 \times 10^5 \times 470 = 74\,\mathrm{V}$ قمّيًّا، على الطور مع $i_1$ (فتيار الإناء لا يتأخر عن $e_2$ بشيء، إذ هو مقاوم، و $e_2$ يتأخر عن $i_1$ بزاوية $90{}^{\circ}$… ومن ثمّ تكون القوة المحركة المرتدّة $-M\,\dd i_2/\dd t$، في تعاكس طوري مع التوتر *المحرّك* للتيار $i_1$): فيقدّم المولّد $\tfrac12 \times 74 \times 30 =
1.1\,\mathrm{kW}$ زيادةً — أي بالضبط ما يبدّده الإناء.

![دينامو قارورة: تدير العجلة مغناطيسًا داخل وشيعة، فيتغير التدفق عبر الوشيعة، ويضيء المصباح — قانون فاراداي على دراجة.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-induction/img-25a69feba0de.jpg)

*دينامو قارورة: تدير العجلة مغناطيسًا داخل وشيعة، فيتغير التدفق عبر الوشيعة، ويضيء المصباح — [قانون فاراداي](#thm-b1-induction-faraday) على دراجة.*

## 29.6 مسألة: دينامو الدراجة ومكبر الصوت

**مسألة 29.1.**

مسألة نهاية الأسبوع — محوّلان كهرميكانيكيان مفكَّكان: دينامو ينظّم نفسه، ومكبر صوت مضخّمه كابحه أيضًا

**الجزء I — دينامو الدراجة.** وشيعة من $N = 300$ لفة ومساحتها $S = 3.0\,\mathrm{cm}^{2}$ تدور في مجال منتظم $B = 0.30\,\mathrm{T}$؛ ويحمل محورها بكرة نصف قطرها $r = 1.0\,\mathrm{cm}$ مضغوطة على الإطار، فتدور الوشيعة بالسرعة $\omega = v/r$ من أجل سرعة دراجة $v$. ومقاومة الوشيعة $r_c = 4.0\,\Omega$، وتحريضها $L = 20\,\mathrm{mH}$؛ والمصباح مقاومة $R = 12\,\Omega$.

1. التدفق عبر الوشيعة والقوة المحركة المحرَّضة بدلالة الزمن؛ والسعة والتواتر عند $v = 18\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ .
2. وبإهمال $L$ أولًا: أوجد التيار الفعّال والاستطاعة في المصباح عند $18\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ؛ وهل يكون مصباح “ $6\,\mathrm{V}$ و $3\,\mathrm{W}$ ” مرتاحًا؟
3. ومتوسط الاستطاعة الميكانيكية التي يقدّمها الدرّاج للدينامو، و القوة الموافقة على الإطار (وقارنها باحتكاك التدحرج، وهو نحو $2\,\mathrm{N}$ ).
4. فسّر [بقانون لنز](#thm-b1-induction-faraday) لماذا يقاوم الدينامو، ولماذا لا يناقض مصباح يضيء “مجانًا” انحفاظَ الطاقة.
5. وأدخِل $L$ الآن: أوجد [الممانعة](https://one-course.com/books/physics/3/ar/chapter/8-sinusoidal-steady-state-and-impedance#def-b1-sinusoidal-impedance-impedance) العقدية للدارة؛ وبيّن أن سعة التيار هي $I = NBS\omega/\sqrt{(R + r_c)^2 + L^2\omega^2}$ وأنها تتشبع عند السرعات العالية؛ وأوجد نهايتها، و السرعة التي تبلغ عندها $70\%$ من تلك النهاية.
6. وبلا التحريض، ما الذي كان المصباح ليتلقاه عند $54\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ في نزول؟ ومع التحريض؟
7. والتيار واستطاعة المصباح عند $9\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ وعند $36\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ؛ وعلّق على التنظيم الذاتي.
8. والديناموات الحقيقية تُدير مغناطيسًا داخل وشيعة ثابتة. فهل يتغير التحليل؟ وأيّ مشكلة عملية يزيلها ذلك؟
9. وماذا يفعل المصباح حين تتوقف الدراجة عند إشارة حمراء، وكيف تعالج المصابيح الحديثة ذلك؟

**الجزء II — [مكبر الصوت](#prop-b1-induction-loudspeaker).** وشيعة الصوت: طول السلك $\ell = 5.0\,\mathrm{m}$ في مجال قطري $B =
1.0\,\mathrm{T}$، ومقاومتها $R = 8.0\,\Omega$، وتحريضها $L = 0.50\,\mathrm{mH}$؛ والكتلة المتحركة (الوشيعة والمخروط) $m = 10\,\mathrm{g}$؛ وصلابة التعليق $k = 1000\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$، والتخميد الميكانيكي $h = 1.0\,\mathrm{N}\,\mathrm{s}/\mathrm{m}$. والنظام جيبي، بالسعات العقدية.

10. القوة على الوشيعة من أجل تيار $i$ ؛ والقوة المحركة المضادة من أجل سرعة $v$ (اشتقّهما مع الإشارتين).
11. اكتب المعادلتين الكهربائية والميكانيكية.
12. احذف $i$ وبيّن أن $\underline v = \dfrac{B\ell\,\underline u}{(R + jL\omega)(jm\omega + h + k/j\omega) + B^2\ell^2}$ .
13. وعند التواترات التي يكون فيها $L\omega \ll R$ ، بيّن أن الاقتران يعمل عمل تخميد ميكانيكي إضافي $B^2\ell^2/R$ ؛ وأوجد قيمته؛ وتواتر رنين المخروط وعامل جودته مع التخميد الكهربائي ومن دونه.
14. ويقدّم المضخّم تيارًا $i$ سعته $1.0\,\mathrm{A}$ عند $1\,\mathrm{kHz}$ : أوجد سعات القوة والتسارع والانزياح والسرعة للمخروط (في النظام الذي تحكمه الكتلة)؛ وسعة القوة المحركة المضادة مقارنةً بالمقدار $Ri$ .
15. والتيار نفسه عند تواتر الرنين: أوجد سعة السرعة (في النظام الذي يحكمه التخميد) والقوة المحركة المضادة؛ وعلّق.
16. [والاستطاعة الكهربائية](https://one-course.com/books/physics/3/ar/chapter/6-dc-circuits-kirchhoffs-laws-and-theorems#thm-b1-dc-circuits-kirchhoff) عند $1\,\mathrm{kHz}$ ؛ والاستطاعة الميكانيكية المبددة في $h$ (وتُؤخذ ضياعات الصوت والتعليق)؛ [والمردود](https://one-course.com/books/physics/3/ar/chapter/24-heat-engines-and-machines#def-b1-heat-engines-efficiency) .
17. ولماذا يكون كون ضغط الصوت متناسبًا مع تسارع المخروط (سلّم به) هو سبب أن مخروطًا تحكمه الكتلة يعطي استجابة مسطّحة فوق الرنين؟
18. ولماذا يجب أن يكون المجال قطريًّا، ولماذا يكون مكبر الحادّة صغيرًا؟
19. ارسم طويلة [الممانعة](https://one-course.com/books/physics/3/ar/chapter/8-sinusoidal-steady-state-and-impedance#def-b1-sinusoidal-impedance-impedance) $\underline u/\underline i$ التي يراها المضخّم من $10\,\mathrm{Hz}$ إلى $10\,\mathrm{kHz}$ : قيمتها عند التواتر المنخفض، وعند الرنين (باستعمال السرعة التي يحكمها التخميد)، وعند $10\,\mathrm{kHz}$ .

**الجزء III — إلى الوراء، والحساب الختامي.**

20. الأداة نفسها ميكروفونًا: يحرّك صوتٌ المخروطَ بالسرعة $v = 1.0\,\mathrm{mm}/\mathrm{s}$ ؛ أوجد توتر الدارة المفتوحة.
21. ومحمَّلًا بمقاومة $R_L = 600\,\Omega$ : أوجد التيار، وقوة الكبح على المخروط؛ وبيّن أن الميكروفون يأخذ استطاعة من الصوت عبر تخميد فعّال $B^2\ell^2/(R + R_L)$ .
22. وتُلفّ الوشيعة على أسطوانة من الألومنيوم (وهي الحامل)، وهي لفة مغلقة طولها $0.10\,\mathrm{m}$ ومقاومتها $1.0\,\mathrm{m}\Omega$ : أوجد التخميد الذي تضيفه؛ ولماذا تُشقّ الحوامل.
23. انقر مخروط [مكبر صوت](#prop-b1-induction-loudspeaker) طرفاه مفتوحان، ثم مخروط مكبر طرفاه مقصوران: أيّهما يرنّ أطول، ولماذا؟
24. اكتب موازنة طاقة [مكبر الصوت](#prop-b1-induction-loudspeaker) على امتداد دور في النظام المستقر، مسمّيًا كل حدّ.
25. لخّص: لكل أداة، القانون المستعمل والعددان الجديران بالحفظ.

**حل المسألة 29.1.**

**1.** $\Phi = NBS\cos\omega t$ و $e = NBS\omega\sin\omega t$؛ و $NBS = 300 \times
0.3 \times 3 \times 10^{-4} = 0.027\,\mathrm{Wb}$؛ و $\omega = v/r = 5/0.01 = 500\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$: فالسعة $13.5\,\mathrm{V}$ والتواتر $\omega/2\pi = 80\,\mathrm{Hz}$.

**2.** $I_{\text{الفعّال}} = 13.5/\sqrt2/16 = 0.60\,\mathrm{A}$؛ وفي المصباح $RI^2 = 4.3\,\mathrm{W}$ تحت $7.2\,\mathrm{V}$: فمصباح $6\,\mathrm{V}$ و$3\,\mathrm{W}$ مُجهَد ولن يعمّر.

**3.** الميكانيكية $=$ الكهربائية: $(R + r_c)I_{\text{الفعّال}}^2 = 16 \times 0.36 =
5.7\,\mathrm{W}$؛ و $F = P/v = 5.7/5 = 1.1\,\mathrm{N}$ — أي نصف احتكاك التدحرج؛ ويحسّ بها الدرّاج.

**4.** مزدوجة لابلاس للتيار المحرَّض تعارض الدوران ([بقانون لنز](#thm-b1-induction-faraday))؛ وطاقة المصباح تأتي من ساقَي الدرّاج، وهي $5.7\,\mathrm{W}$ منها.

**5.** $\underline Z = R + r_c + jL\omega$؛ و $I = NBS\omega/\sqrt{(R + r_c)^2 + L^2\omega^2}$؛ ومن أجل $L\omega \gg R + r_c$ يكون $I \to NBS/L = 0.027/0.02 = 1.35\,\mathrm{A}$. وعند $70\%$: $L\omega
= 0.7(R + r_c)/\sqrt{1 - 0.49} = 15.7$، ومنه $\omega = 784\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ و $v = 7.8\,\mathrm{m}/\mathrm{s}
= 28\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$.

**6.** بلا $L$: يكون $e_{\max} = 3 \times 13.5 = 40.5\,\mathrm{V}$، و $I_{\text{الفعّال}} = 1.8\,\mathrm{A}$، و$39\,\mathrm{W}$ في المصباح — فينفجر. ومع $L$: $I = 40.5/\sqrt{256 +
900} = 1.2\,\mathrm{A}$ قمّيًّا، و$8.5\,\mathrm{W}$: فهو ساخن، لكن أقل عشر مرات.

**7.** عند $9\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$: $e_{\max} = 6.75$ و $|Z| = \sqrt{256 + 25} = 16.8$ و $I = 0.40$ و $P = \tfrac12 \times 0.16 \times 12 = 1.0\,\mathrm{W}$: فهو خافت. وعند $36\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$: $e_{\max} = 27$ و $|Z| = 25.6$ و $I = 1.05$ و $P = 6.6\,\mathrm{W}$. فأربعة أضعاف السرعة تعطي $2.6$ ضعفًا من التيار: فالتحريض ينظّم.

**8.** لا يهمّ إلا [الحركة النسبية](https://one-course.com/books/physics/3/ar/chapter/18-non-inertial-frames-dynamics-on-earth#def-b1-non-inertial-frames-frames): فيتغير التدفق عبر الوشيعة الثابتة تغيّرًا مطابقًا، وتكون القوة المحركة هي هي. ولا حاجة إلى تماسّات منزلقة (فرشاتين) لإخراج التيار من وشيعة دوّارة.

**9.** لا حركة، فلا تغيّر في التدفق، فلا ضوء — ومن هنا [المكثف](https://one-course.com/books/physics/3/ar/chapter/27-electric-potential-conductors-and-capacitors#def-b1-potential-capacitors-capacitance) أو البطارية الصغيرة (“ضوء التوقف”) التي تُشحن أثناء السير.

**10.** كل عنصر من السلك عمودي على $\vect B$ القطري: فتكون $F = B\ell i$ محورية. وبالتحرك بالسرعة $v$ يرى كل عنصر $\vect v\wedge\vect B$ على امتداد السلك: ومنه $e = -B\ell v$، معارضًا التيار الذي ينتج الحركة (وفي [اصطلاح المستقبِل](https://one-course.com/books/physics/3/ar/chapter/6-dc-circuits-kirchhoffs-laws-and-theorems#thm-b1-dc-circuits-kirchhoff): توتر $B\ell v$).

**11.** $u = Ri + L\,\dd i/\dd t + B\ell v$؛ و $m\,\dd v/\dd t = -kx - hv + B\ell i$.

**12.** $\underline i = (\underline u - B\ell\underline v)/(R + jL\omega)$؛ و $\underline v\,(jm\omega + h +
k/j\omega) = B\ell\,\underline i$؛ فعوّض وحُلّ لإيجاد $\underline v$.

**13.** $i \approx (u - B\ell v)/R$ يعطي $m\dot v + (h + B^2\ell^2/R)v + kx =
B\ell u/R$: فالتخميد الإضافي $25/8 = 3.1\,\mathrm{N}\,\mathrm{s}/\mathrm{m}$. و $f_0 = \tfrac1{2\pi}\sqrt{k/m} =
50\,\mathrm{Hz}$؛ و $Q = \sqrt{km}/h_{\text{الكلي}}$: أي $3.2$ عند الفتح، و $0.77$ مع المضخّم.

**14.** $F = 5.0\,\mathrm{N}$ و $a = F/m = 500\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ و $x = a/\omega^2 =
13\,\text{µ}\mathrm{m}$ و $v = a/\omega = 0.080\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$؛ و $B\ell v = 0.40\,\mathrm{V}$ مقابل $Ri = 8\,\mathrm{V}$: أي $5\%$.

**15.** مع فرض التيار يكون $v = F/h = 5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ (أي سعة $16\,\mathrm{mm}$ — وهي انزياح كبير من أجل $1\,\mathrm{A}$)؛ و $B\ell v =
25\,\mathrm{V}$، أي ثلاثة أضعاف $Ri$: فعلى المضخّم أن يقدّم $33\,\mathrm{V}$ ليدفع $1\,\mathrm{A}$ عند الرنين — وهي قمة [الممانعة](https://one-course.com/books/physics/3/ar/chapter/8-sinusoidal-steady-state-and-impedance#def-b1-sinusoidal-impedance-impedance). أما مضخّم [بمنبع توتر](https://one-course.com/books/physics/3/ar/chapter/6-dc-circuits-kirchhoffs-laws-and-theorems#def-b1-dc-circuits-sources) فكان ليدع التخميد الكهربائي يمسك المخروط.

**16.** $\tfrac12RI^2 = 4.0\,\mathrm{W}$؛ و $\tfrac12hv^2 = \tfrac12 \times 0.0064 =
3.2\,\mathrm{mW}$: [فالمردود](https://one-course.com/books/physics/3/ar/chapter/24-heat-engines-and-machines#def-b1-heat-engines-efficiency) $0.08\%$ — ومكبرات الصوت مدافئ تهمس.

**17.** فوق الرنين يكون $a = F/m = B\ell i/m$ مستقلًّا عن التواتر من أجل تيار معطى، فيكون الضغط، $\propto a$، مسطّحًا: فالنطاق الذي تحكمه الكتلة هو نطاق العمل.

**18.** المجال القطري: فالقوة محورية وهي هي عند كل موضع للوشيعة في الفجوة. وعلى مكبر الحادّة أن يبقى محكومًا بالكتلة حتى $20\,\mathrm{kHz}$ بانزياح ضئيل: أي وشيعة ومخروط خفيفان؛ و المخروط الصغير يشعّ التواترات العالية في كل الجهات.

**19.** عند التواتر المنخفض: $v$ صغيرة، و $|Z| \approx R = 8\,\Omega$؛ وعند $50\,\mathrm{Hz}$: $u = Ri + B\ell v$ مع $v = B\ell i/h$: ومنه $Z = R + B^2\ell^2/h = 8 + 25 =
33\,\Omega$؛ وعند $10\,\mathrm{kHz}$: $|R + jL\omega| = |8 + 31j| = 32\,\Omega$. أي قمة عند الرنين، وأرضية مسطّحة عند $8\,\Omega$، وارتفاع مع $L\omega$.

**20.** $e = B\ell v = 5 \times 10^{-3} = 5\,\mathrm{mV}$.

**21.** $i = 5 \times 10^{-3}/608 = 8.2\,\text{µ}\mathrm{A}$؛ و $F = B\ell i = 41\,\text{µ}\mathrm{N}$، معارضةً $v$: أي $F = [B^2\ell^2/(R + R_L)]\,v$، وهو تخميد قدره $0.041\,\mathrm{N}\,\mathrm{s}/\mathrm{m}$؛ والاستطاعة $Fv = 4 \times 10^{-8}\,\mathrm{W}$ تُؤخذ من الصوت وتنتهي في المقاومتين.

**22.** في الحامل: $B^2\ell_f^2/R_f = 1 \times 0.01/10^{-3} = 10\,\mathrm{N}\,\mathrm{s}/\mathrm{m}$، أي عشرة أضعاف $h$: فكان ليخمد المخروط ويبدد الاستطاعة حرارةً؛ والشقّ يكسر اللفة المغلقة.

**23.** عند الفتح: لا يخمّد إلا $h$، و $Q = 3.2$، فيرنّ. وعند القصر: تدفع القوة المحركة المضادة تيارًا عبر $R$، فيُضاف التخميد $B^2\ell^2/R$، و $Q = 0.77$: فيتوقف في الحال. (جرّبه.)

**24.** على امتداد دور تعود الطاقات المخزونة إلى قيمها: $\langle ui\rangle = \langle Ri^2\rangle + \langle hv^2\rangle$ — أي الدخل الكهربائي $=$ حرارة جول في الوشيعة $+$ الضياعات الميكانيكية (الصوت المشعّ و احتكاك التعليق)؛ وحدّ الاقتران $B\ell iv$ يظهر في المعادلتين بإشارتين متعاكستين فيتلاشى.

**25.** الدينامو: فاراداي على وشيعة دوّارة — $13.5\,\mathrm{V}$ عند $18\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$، وتيار محدود عند $1.35\,\mathrm{A}$ بتحريضه هو. [ومكبر الصوت](#prop-b1-induction-loudspeaker): [قوة لابلاس](https://one-course.com/books/physics/3/ar/chapter/28-magnetostatics-field-forces-and-dipoles#thm-b1-magnetostatics-laplace) والقوة المحركة المضادة — $3.1\,\mathrm{N}\,\mathrm{s}/\mathrm{m}$ من التخميد الكهربائي، [ومردود](https://one-course.com/books/physics/3/ar/chapter/24-heat-engines-and-machines#def-b1-heat-engines-efficiency) $0.08\%$. والميكروفون: الوشيعة نفسها معكوسةً — $5\,\mathrm{mV}$ لكل ميليمتر في الثانية.