---
title: "الأجهزة البصرية والعين"
book: "الفيزياء الجامعية — السنة الأولى"
subject: physics
language: ar
chapter: 4
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/physics/3/ar/chapter/4-optical-instruments-and-the-eye
---

# الفصل 4 — الأجهزة البصرية والعين

من الصفّ الأخير في قاعة حفلات يجذب منظار مزدوج وجه المغني إلى مدّ الذراع؛ ويحوّل [مجهر](#def-b1-optical-instruments-microscope) قطرةً من ماء بركة إلى حديقة حيوان؛ ويصوّر هاتف في سماكة الإصبع درب التبانة. وكل واحد من هذه الأجهزة بضع [عدسات رقيقة](https://one-course.com/books/physics/3/ar/chapter/3-mirrors-and-thin-lenses#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) مرتَّبة لغرض واحد: أن تقدّم إلى [العين](#def-b1-optical-instruments-eye)، أو إلى مستقبِل، صورةً أكبر أو أسطع أو أوضح ممّا تستطيع [العين](#def-b1-optical-instruments-eye) تكوينه وحدها. ولذلك يبدأ هذا الفصل [بالعين](#def-b1-optical-instruments-eye) نفسها — بما تستطيعه وما لا تستطيعه — ثم يبني [المكبِّرة](#def-b1-optical-instruments-G) [والمجهر](#def-b1-optical-instruments-microscope) والمقراب [وآلة التصوير](#def-b1-optical-instruments-camera) انطلاقًا من علاقة الترافق في الفصل السابق.

![المقراب الكاسر ذو الأربعين بوصة في مرصد يركس (1897)، وهو حتى اليوم أكبر مقراب عدسي بُني قط: شيئية قطرها متر وأنبوب طوله تسعة عشر. وفوق هذا الحجم تتهدّل العدسة تحت وزنها، فانصرف علم الفلك إلى المرايا.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-optical-instruments/img-4e4f7ec86ae8.jpg)

*المقراب الكاسر ذو الأربعين بوصة في مرصد يركس (1897)، وهو حتى اليوم أكبر مقراب عدسي بُني قط: [شيئية](#def-b1-optical-instruments-microscope) قطرها متر وأنبوب طوله تسعة عشر. وفوق هذا الحجم تتهدّل [العدسة](https://one-course.com/books/physics/3/ar/chapter/3-mirrors-and-thin-lenses#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) تحت وزنها، فانصرف علم الفلك إلى المرايا.*

![مقراب كاسر صغير عند الغسق: شيئية طويلة البعد البؤري وعينية قصيرته — وهو المقراب اللابؤري في هذا الفصل، مصوَّبًا إلى القمر في مسألة نهاية الأسبوع.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-optical-instruments/img-ccb52c3300bb.jpg)

*مقراب كاسر صغير عند الغسق: [شيئية](#def-b1-optical-instruments-microscope) طويلة [البعد البؤري](https://one-course.com/books/physics/3/ar/chapter/3-mirrors-and-thin-lenses#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) [وعينية](#def-b1-optical-instruments-microscope) قصيرته — وهو المقراب اللابؤري في هذا الفصل، مصوَّبًا إلى القمر في مسألة نهاية الأسبوع.*

## 4.1 العين

**تعريف 4.1 (العين المختزَلة).**

تنمذج *العين المختزَلة* القرنيةَ والعدسةَ البلورية [بعدسة رقيقة](https://one-course.com/books/physics/3/ar/chapter/3-mirrors-and-thin-lenses#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) مجمّعة واحدة بعدها البؤري *متغير*، وتنمذج *الشبكية* شاشةً على مسافة ثابتة $d \approx 17\,\mathrm{mm}$ خلفها. وتغيّر العضلات تكوّر [العدسة](https://one-course.com/books/physics/3/ar/chapter/3-mirrors-and-thin-lenses#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) لإبقاء صورة الجسم المنظور إليه على الشبكية: وهذه هي *المطابقة*. أما القزحية أمام [العدسة](https://one-course.com/books/physics/3/ar/chapter/3-mirrors-and-thin-lenses#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) فهي فتحة متغيرة قطرها من $2\,$ إلى $8\,\mathrm{mm}$، وهي *البؤبؤ*.

**تعريف 4.2 (النقطة البعيدة والنقطة القريبة).**

*النقطة البعيدة* هي النقطة الجسم التي تُرى واضحةً بلا [مطابقة](#def-b1-optical-instruments-eye)؛ و*النقطة القريبة* هي أقرب نقطة تُرى واضحةً [بمطابقة](#def-b1-optical-instruments-eye) قصوى. وللعين السوية يقع البعيد في اللانهاية والقريب على $d_m \approx 25\,\mathrm{cm}$، وهي *مسافة الرؤية الواضحة* الاصطلاحية. أما فرق التقارب اللازم بينهما فهو *سعة [المطابقة](#def-b1-optical-instruments-eye)*: نحو $4\,\delta$ لشابّ بالغ، وتتناقص مع السنّ.

**مثال 4.3 (تقارب العين).**

جسم بعيد: الصورة على $d = 17\,\mathrm{mm}$ تعني $f' = 17\,\mathrm{mm}$ و $V = 1/0.017 = 59\,\delta$. وجسم على $25\,\mathrm{cm}$: $V = 1/0.017 + 1/0.25 = 59 + 4 = 63\,\delta$. أي أربعة ديوبترات من [المطابقة](#def-b1-optical-instruments-eye) من أصل ستين: [فالعدسة](https://one-course.com/books/physics/3/ar/chapter/3-mirrors-and-thin-lenses#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) البلورية لا تضيف إلا بضعة بالمئة إلى عمل القرنية، لكن هذه البضعة هي كل شيء في القراءة.

**قضية 4.4 (العيوب وتصحيحها).**

[العين](#def-b1-optical-instruments-eye) *القصيرة البصر* مفرطة التجميع: فنقطتها البعيدة على مسافة منتهية $D_r$؛ [وعدسة مفرّقة](https://one-course.com/books/physics/3/ar/chapter/3-mirrors-and-thin-lenses#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) بعدها البؤري $f' = -D_r$ (تُلبس قرب [العين](#def-b1-optical-instruments-eye)) تصوّر اللانهاية عند [النقطة البعيدة](#def-b1-optical-instruments-punctum) فتعيد الرؤية البعيدة. [والعين](#def-b1-optical-instruments-eye) *الطويلة البصر* ناقصة التجميع: فنقطتها البعيدة تخيلية (خلف [العين](#def-b1-optical-instruments-eye)) ونقطتها القريبة بعيدة جدًّا؛ وتصحّحها [عدسة مجمّعة](https://one-course.com/books/physics/3/ar/chapter/3-mirrors-and-thin-lenses#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens). أما *[الشيخوخة البصرية](#prop-b1-optical-instruments-defects)* فهي فقدان [المطابقة](#def-b1-optical-instruments-eye) مع السنّ: إذ تتراجع [النقطة القريبة](#def-b1-optical-instruments-punctum) وتحتاج القراءة إلى عدسات مجمّعة، مهما تكن [النقطة البعيدة](#def-b1-optical-instruments-punctum).

**برهان.** [العدسة](https://one-course.com/books/physics/3/ar/chapter/3-mirrors-and-thin-lenses#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) القريبة من [العين](#def-b1-optical-instruments-eye) تكوّن معها نظامًا يجب أن يكون جسمه ما تستطيع [العين](#def-b1-optical-instruments-eye) رؤيته: فعلى [العدسة](https://one-course.com/books/physics/3/ar/chapter/3-mirrors-and-thin-lenses#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) أن تحوّل جسمًا في اللانهاية إلى [صورة تخيلية](https://one-course.com/books/physics/3/ar/chapter/3-mirrors-and-thin-lenses#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) عند [النقطة البعيدة](#def-b1-optical-instruments-punctum)، أي $\overline{OA'} = -D_r$ من أجل $\overline{OA} = -\infty$، ومنه $f' = \overline{OA'} = -D_r$. وسائر الحالات هي الحجّة نفسها مع النقاط المعنية. ∎

![العين المختزَلة: عدسة رقيقة متغيرة البعد البؤري وشبكية على 17\, mm خلفها. فهي مسترخيةً تضبط الأجسام البعيدة؛ وهي مطابِقةً تقصّر f' لتُنزل صورة جسم قريب على الشبكية. والصورة مقلوبة — والدماغ يعيد قلبها.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-optical-instruments/fig-8e9be66f37b1.svg)

*[العين المختزَلة](#def-b1-optical-instruments-eye): [عدسة رقيقة](https://one-course.com/books/physics/3/ar/chapter/3-mirrors-and-thin-lenses#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) متغيرة [البعد البؤري](https://one-course.com/books/physics/3/ar/chapter/3-mirrors-and-thin-lenses#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) [وشبكية](#def-b1-optical-instruments-eye) على $17\,\mathrm{mm}$ خلفها. فهي مسترخيةً تضبط الأجسام البعيدة؛ وهي مطابِقةً تقصّر $f'$ لتُنزل صورة جسم قريب على [الشبكية](#def-b1-optical-instruments-eye). والصورة مقلوبة — والدماغ يعيد قلبها.*

**تعريف 4.5 (القياس الزاوي والتمييز).**

*القياس الزاوي* لجسم ارتفاعه $h$ على مسافة $D$ هو $\theta \approx h/D$ (للزوايا الصغيرة). ولا تميّز [العين](#def-b1-optical-instruments-eye) بين نقطتين إلا إذا تجاوز فصلهما الزاوي *تمييزها الزاوي*، وهو نحو $\epsilon \approx 3 \times 10^{-4}\,\mathrm{rad}$ (أي دقيقة قوسية واحدة): فتباعد الخلايا المخروطية والحيود عند البؤبؤ يفرضان معًا هذا الحدّ.

**ملاحظة 4.6 (ما فائدة الجهاز).**

تفصيل قدره $1\,\mathrm{mm}$ مقرَّب إلى [النقطة القريبة](#def-b1-optical-instruments-punctum) يُرى تحت زاوية $1/250 =
4 \times 10^{-3}\,\mathrm{rad}$: أي ثلاثة عشر ضعف حدّ التمييز؛ أما تفصيل قدره $0.05\,\mathrm{mm}$ فيُرى تحت $2 \times 10^{-4}\,\mathrm{rad}$ ويبقى غير مرئي. والأجهزة التي تنظر إلى الأجسام القريبة ([المكبِّرة](#def-b1-optical-instruments-G) [والمجهر](#def-b1-optical-instruments-microscope)) تزيد [القياس الزاوي](#def-b1-optical-instruments-angular) فوق ما يستطيعه تقريب الجسم؛ والأجهزة الموجَّهة إلى الأجسام البعيدة (المقراب) تزيد [القياس الزاوي](#def-b1-optical-instruments-angular) لما لا يمكن الاقتراب منه؛ أما [آلة التصوير](#def-b1-optical-instruments-camera) فتستبدل [بالشبكية](#def-b1-optical-instruments-eye) مستقبِلًا يستطيع أن يجمع الضوء ثوانيَ وأن يُكبَّر بعد ذلك.

## 4.2 المكبِّرة

**تعريف 4.7 (التكبير الزاوي).**

من أجل جهاز تستعمله [العين](#def-b1-optical-instruments-eye) يكون *التكبير الزاوي* $G = \theta'/\theta$، حيث $\theta'$ [القياس الزاوي](#def-b1-optical-instruments-angular) للصورة المرئية عبر الجهاز و $\theta$ [القياس الزاوي](#def-b1-optical-instruments-angular) للجسم المرئي [بالعين](#def-b1-optical-instruments-eye) المجرّدة — عند [النقطة القريبة](#def-b1-optical-instruments-punctum) $d_m = 25\,\mathrm{cm}$ من أجل جسم قريب، وفي مكانه من أجل جسم بعيد.

**قضية 4.8 (المكبِّرة).**

[عدسة مجمّعة](https://one-course.com/books/physics/3/ar/chapter/3-mirrors-and-thin-lenses#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) بعدها البؤري $f' < d_m$ والجسم في مستويها البؤري الجسم تعطي صورة في اللانهاية، تُرى دون [مطابقة](#def-b1-optical-instruments-eye)، مع

$$
G = \frac{d_m}{f'} = d_m V .
$$

**برهان.** جسم $AB$ ارتفاعه $h$ في المستوي البؤري: تغادر الأشعة الصادرة عن $B$ متوازية، بزاوية الشعاع المارّ بالمركز $O$، أي $\theta' = h/f'$. وبالعين المجرّدة في أحسن حال: $\theta = h/d_m$. والنسبة $d_m/f'$. ∎

**مثال 4.9 (مكبِّرة الساعاتي).**

$f' = 25\,\mathrm{mm}$: ومنه $G = 250/25 = 10$، وتُباع باسم “$10\times$”. وعندئذٍ يُرى تفصيل قدره $0.05\,\mathrm{mm}$ تحت $2 \times 10^{-3}\,\mathrm{rad}$، وهو مميَّز بارتياح. أما دفع $G$ إلى أعلى فيعني $f'$ من بضعة مليمترات، أي عدسة ضئيلة تُمسك بمحاذاة [العين](#def-b1-optical-instruments-eye) — وهو حدّ [العدسة](https://one-course.com/books/physics/3/ar/chapter/3-mirrors-and-thin-lenses#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) المفردة، والسبب في وجود [المجهر](#def-b1-optical-instruments-microscope).

## 4.3 المجهر

**تعريف 4.10 (المجهر المركّب).**

*المجهر* *شيئيةٌ* $L_1$ قصيرة [البعد البؤري](https://one-course.com/books/physics/3/ar/chapter/3-mirrors-and-thin-lenses#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) $f_1'$ تكوّن صورة وسيطة حقيقية مكبَّرة لجسم قريب في المستوي البؤري الجسم لعدسة *عينية* $L_2$ (بعدها البؤري $f_2'$) تعمل عمل [مكبِّرة](#def-b1-optical-instruments-G). والمسافة $\Delta =
\overline{F_1'F_2}$ بين البؤرة الصورة للشيئية والبؤرة الجسم للعينية هي *الفاصل البصري*، وقد وُحِّد عند $160\,\mathrm{mm}$ في الأجهزة الكلاسيكية.

**قضية 4.11 (تكبير المجهر).**

والصورة النهائية في اللانهاية،

$$
\gamma_1 = -\frac{\Delta}{f_1'}, \qquad G_2 = \frac{d_m}{f_2'},
\qquad G = \abs{\gamma_1}\,G_2 = \frac{\Delta\,d_m}{f_1' f_2'} .
$$

**برهان.** تقع الصورة الوسيطة $A_1B_1$ في المستوي البؤري الجسم [للعينية](#def-b1-optical-instruments-microscope)، أي عند $\overline{F_1'A_1} = \Delta$؛ وتعطي علاقة نيوتن $\gamma_1 = -\overline{F_1'A_1}/f_1' = -\Delta/f_1'$. ثم تُظهر [العينية](#def-b1-optical-instruments-microscope) الصورة $A_1B_1$ (وارتفاعها $\abs{\gamma_1} h$) في اللانهاية تحت الزاوية $\theta' = \abs{\gamma_1} h/f_2'$، في مقابل $\theta = h/d_m$ [للعين](#def-b1-optical-instruments-eye) المجرّدة. ∎

![المجهر: تكوّن الشيئية صورةً وسيطة حقيقية مكبَّرة مقلوبة A_1B_1 في المستوي البؤري الجسم للعينية؛ ثم ترسلها العينية إلى اللانهاية، حيث تشاهدها العين المسترخية تحت زاوية كبيرة.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-optical-instruments/fig-8bf812b2cdb8.svg)

*[المجهر](#def-b1-optical-instruments-microscope): تكوّن [الشيئية](#def-b1-optical-instruments-microscope) صورةً وسيطة حقيقية مكبَّرة مقلوبة $A_1B_1$ في المستوي البؤري الجسم [للعينية](#def-b1-optical-instruments-microscope)؛ ثم ترسلها [العينية](#def-b1-optical-instruments-microscope) إلى اللانهاية، حيث تشاهدها [العين](#def-b1-optical-instruments-eye) المسترخية تحت زاوية كبيرة.*

**مثال 4.12 (مجهر طالب).**

[شيئية](#def-b1-optical-instruments-microscope) $f_1' = 4.0\,\mathrm{mm}$، [وعينية](#def-b1-optical-instruments-microscope) $f_2' = 25\,\mathrm{mm}$، و $\Delta = 160\,\mathrm{mm}$: ومنه $\gamma_1 = -40$ و $G_2 = 10$ و $G = 400$. ويقع الجسم على $\overline{F_1A} = -f_1'^2/\Delta = -16/160 =
-0.10\,\mathrm{mm}$ من $F_1$: أي $4.1\,\mathrm{mm}$ من [الشيئية](#def-b1-optical-instruments-microscope). وضبط الوضوح يعني تحريك الأنبوب كله بكسور من المليمتر.

**ملاحظة 4.13 (حدّ التمييز).**

التكبير بلا حدّ عديم الفائدة: فالضوء موجة، [والشيئية](#def-b1-optical-instruments-microscope) التي تقبل أشعة داخل نصف زاوية $u$ (في وسط قرينته $n$) لا تستطيع الفصل بين نقطتين أقرب من نحو $\lambda/(2n\sin u)$ — وتشتقّه المعالجة الموجية في مجلد السنة الثانية. ومع $n\sin u \approx 1.4$ (الغمر في الزيت) و $\lambda =
0.5\,\text{µ}\mathrm{m}$ يقترب الحدّ من $0.2\,\text{µ}\mathrm{m}$. ولجعل هذا التفصيل مرئيًّا [للعين](#def-b1-optical-instruments-eye) ($\epsilon = 3 \times 10^{-4}\,\mathrm{rad}$ على $25\,\mathrm{cm}$، أي $75\,\text{µ}\mathrm{m}$) يكفي تكبير نحو $400$؛ وفوق $1000$ تصير الصورة أكبر لا أغنى: وهو *التكبير الفارغ*.

## 4.4 المقراب الفلكي

**قضية 4.14 (المقراب الكاسر).**

[شيئية](#def-b1-optical-instruments-microscope) $L_1$ [وعينية](#def-b1-optical-instruments-microscope) $L_2$ مع $F_1' = F_2$ تكوّنان نظامًا لا بؤريًّا: فالنجم (في اللانهاية) يُرى في اللانهاية، وتشاهده [العين](#def-b1-optical-instruments-eye) المسترخية، ويكون

$$
G = -\frac{f_1'}{f_2'} .
$$

وصورة حافة [الشيئية](#def-b1-optical-instruments-microscope) عبر [العينية](#def-b1-optical-instruments-microscope) هي *[البؤبؤ الخارج](#prop-b1-optical-instruments-telescope)*: قرص مضيء قطره $D/\abs G$ يقع على $\overline{O_2P'} = f_2'(f_1' + f_2')/f_1'$ خلف [العينية](#def-b1-optical-instruments-microscope)، وهناك يجب أن يوضع بؤبؤ [العين](#def-b1-optical-instruments-eye) لتلقّي الضوء كله.

**برهان.** اشتُقّ $G$ في [القضية 3.18](https://one-course.com/books/physics/3/ar/chapter/3-mirrors-and-thin-lenses#prop-b1-mirrors-thin-lenses-doublet). [والشيئية](#def-b1-optical-instruments-microscope)، منظورًا إليها من $L_2$، جسمٌ عند $\overline{O_2O_1} = -(f_1'
+ f_2')$؛ وتعطي علاقة ديكارت $1/\overline{O_2P'} = 1/f_2' - 1/(f_1' + f_2')
= f_1'/[f_2'(f_1' + f_2')]$، ويُنزل التكبير $\overline{O_2P'}/
\overline{O_2O_1} = -f_2'/f_1' = 1/G$ القطرَ $D$ إلى $D/\abs G$. وكل شعاع يدخل [الشيئية](#def-b1-optical-instruments-microscope) يغادر عبر [البؤبؤ الخارج](#prop-b1-optical-instruments-telescope)، لأن كل نقطة من [الشيئية](#def-b1-optical-instruments-microscope) تُصوَّر هناك. ∎

![المقراب الفلكي: تجمّع الشيئية حزمةً متوازية آتية من نجم في المستوي البؤري المشترك، ثم ترسلها العينية إلى اللانهاية بزاوية أكبر G مرة. ويمرّ كل الضوء الذي تجمعه الشيئية ذات القطر D عبر البؤبؤ الخارج، وقطره D/ G.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-optical-instruments/fig-9d33f4512d1f.svg)

*المقراب الفلكي: تجمّع [الشيئية](#def-b1-optical-instruments-microscope) حزمةً متوازية آتية من نجم في المستوي البؤري المشترك، ثم ترسلها [العينية](#def-b1-optical-instruments-microscope) إلى اللانهاية بزاوية أكبر $\abs G$ مرة. ويمرّ كل الضوء الذي تجمعه [الشيئية](#def-b1-optical-instruments-microscope) ذات القطر $D$ عبر [البؤبؤ الخارج](#prop-b1-optical-instruments-telescope)، وقطره $D/\abs G$.*

**قضية 4.15 (ما يربحه المقراب).**

في مقابل [العين](#def-b1-optical-instruments-eye) المجرّدة (وبؤبؤها $d_p$):

- *[القياس الزاوي](#def-b1-optical-instruments-angular)* : يُضرب في $\abs G$ ؛
- *الضوء المجموع* من منبع نقطي: يُضرب في $(D/d_p)^2$ ، شريطة ألّا يكون [البؤبؤ الخارج](#prop-b1-optical-instruments-telescope) أكبر من بؤبؤ [العين](#def-b1-optical-instruments-eye) ، أي $\abs G \geq D/d_p$ ؛
- *[التمييز الزاوي](#def-b1-optical-instruments-angular)* : يحدّه الحيود عند [الشيئية](#def-b1-optical-instruments-microscope) عند $\theta_{\min} \approx 1.22\,\lambda/D$ ( [محك رايلي](#prop-b1-optical-instruments-gains) )، وهو أدنى بكثير من $\epsilon$ [للعين](#def-b1-optical-instruments-eye) ؛ والتكبير الذي يجعل هذا الحدّ مرئيًّا هو $G_r = \epsilon/\theta_{\min}$ ، وما فوقه لا يكبّر إلا اللطخة.

**برهان.** *نقبله في هذا المستوى.* ∎

**مثال 4.16 (مقراب هاوٍ قطره 150 مليمترًا).**

$D = 150\,\mathrm{mm}$ و $f_1' = 1200\,\mathrm{mm}$ [وعينية](#def-b1-optical-instruments-microscope) $25\,\mathrm{mm}$: ومنه $G = -48$؛ [والبؤبؤ الخارج](#prop-b1-optical-instruments-telescope) $3.1\,\mathrm{mm}$؛ وربح الضوء $(150/7)^2 \approx
460$ في مقابل بؤبؤ متكيّف مع الظلام قطره $7\,\mathrm{mm}$؛ والتمييز $1.22 \times
550\,\mathrm{nm}/0.15\,\mathrm{m} = 4.5 \times 10^{-6}\,\mathrm{rad} = 0.9''$، أي فوهات عرضها $1.7\,\mathrm{km}$ على القمر؛ و$G_r = 3\times10^{-4}/4.5\times
10^{-6} \approx 67$ — [فالعينية](#def-b1-optical-instruments-microscope) ذات $6\,\mathrm{mm}$ ($G = 200$) لا تُظهر تفصيلًا أكثر، بل قرصًا أكبر وأخفت. وتصمّم مسألة نهاية الأسبوع هذا الجهاز.

**ملاحظة 4.17 (العاكسات والمناظير المزدوجة والمناظير المقرِّبة).**

تحلّ [مرآة مقعرة](https://one-course.com/books/physics/3/ar/chapter/3-mirrors-and-thin-lenses#def-b1-mirrors-thin-lenses-mirror) بعدها البؤري $f_1'$ محلّ [العدسة](https://one-course.com/books/physics/3/ar/chapter/3-mirrors-and-thin-lenses#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) [الشيئية](#def-b1-optical-instruments-microscope) في المقراب *العاكس* (فلا تبدد لوني، ويمكن صنع مرآة بعرض أمتار وإسنادها من الخلف): ويصحّ كل ما سبق مع $f_1'$ بعد المرآة البؤري. والصورة مقلوبة — وهو غير ضارّ للنجوم؛ أما في الاستعمال الأرضي فتُدخل المناظير المزدوجة زوجًا من الموشورات ذات [الانعكاس الكلي](https://one-course.com/books/physics/3/ar/chapter/2-geometric-optics-rays-reflection-refraction#thm-b1-rays-reflection-refraction-tir) لتعديلها، ويستعمل منظار غاليليو [عينية](#def-b1-optical-instruments-microscope) مفرّقة ($f_2' < 0$، $G > 0$)، وهو أقصر لكن حقله ضيق.

## 4.5 آلة التصوير

**تعريف 4.18 (آلة التصوير؛ العدد البؤري).**

*آلة التصوير* [عدسة مجمّعة](https://one-course.com/books/physics/3/ar/chapter/3-mirrors-and-thin-lenses#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) بعدها البؤري $f'$ تكوّن [صورة حقيقية](https://one-course.com/books/physics/3/ar/chapter/3-mirrors-and-thin-lenses#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) على مستقبِل، عند $\overline{OA'} \approx f'$ من أجل مواضيع بعيدة؛ وضبط الوضوح يحرّك [العدسة](https://one-course.com/books/physics/3/ar/chapter/3-mirrors-and-thin-lenses#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens). ويحدّ حجابٌ قطره $D$ الحزمةَ؛ و*العدد البؤري* هو $N = f'/D$ (ويُكتب $f/N$). و*زاوية الحقل* هي $2\arctan(\ell/2f')$ من أجل مستقبِل عرضه $\ell$.

**قضية 4.19 (التعريض وعمق الميدان).**

يتناسب الإشعاع على المستقبِل مع $1/N^2$، ومن ثمّ يتناسب زمن التعريض اللازم لسطوع صورة معطى مع $N^2$. والنقطة الواقعة على مسافة غير مسافة الضبط تكوّن قرص ضبابية؛ وباشتراط أن يبقى دون قطر مسموح به $c$، فإن عدسة مضبوطة على *[المسافة فوق البؤرية](#prop-b1-optical-instruments-dof)*

$$
H = \frac{f'^2}{N c}
$$

تُظهر كل ما بين $H/2$ واللانهاية واضحًا بما فيه الكفاية.

**برهان.** الإشعاع $=$ استطاعة/مساحة $\propto D^2/f'^2 = 1/N^2$ (فصورة موضوع معطى لها حجم يحدّده $f'$، والاستطاعة المجموعة تنمو مثل $D^2$). ولنضبط على المسافة $p$ والصورة عند $q \approx f'$؛ فالنقطة في اللانهاية تتجمّع عند $f'$، أي على مسافة $q - f'$ قبل المستقبِل؛ ومخروط أشعتها، وقاعدته $D$ عند [العدسة](https://one-course.com/books/physics/3/ar/chapter/3-mirrors-and-thin-lenses#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens)، قطره $D(q - f')/q$ على المستقبِل (بالمثلثات المتشابهة). ومع $1/q = 1/f' - 1/p$ مجاوريًّا يكون $q - f' \approx f'^2/p$ من أجل $p \gg f'$، فتكون الضبابية $Df'/p = f'^2/(Np)$؛ وهي تساوي $c$ عند $p = H$. والهندسة نفسها في الجهة القريبة تعطي الحدّ $H/2$. ∎

![عمق الميدان: العدسة مضبوطة على نقطة تبعد p (والصورة على المستقبِل)؛ أما النقطة في اللانهاية فتتجمّع عند F'، قبل المستقبِل، وتترك قرص ضبابية قطره c = Df'/p — وهو أصغر من أجل فتحة صغيرة (أي N كبير)، ومن هنا المقايضة بين الوضوح وزمن التعريض.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-optical-instruments/fig-f95954b99aeb.svg)

*[عمق الميدان](#def-b1-optical-instruments-camera): [العدسة](https://one-course.com/books/physics/3/ar/chapter/3-mirrors-and-thin-lenses#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) مضبوطة على نقطة تبعد $p$ (والصورة على المستقبِل)؛ أما النقطة في اللانهاية فتتجمّع عند $F'$، قبل المستقبِل، وتترك قرص ضبابية قطره $c = Df'/p$ — وهو أصغر من أجل فتحة صغيرة (أي $N$ كبير)، ومن هنا المقايضة بين الوضوح وزمن التعريض.*

**مثال 4.20 (الإطار الكامل والهاتف).**

عدسة $50\,\mathrm{mm}$ على مستقبِل عرضه $36\,\mathrm{mm}$: زاوية الحقل $2\arctan(18/50) = 40^\circ$؛ وعند $f/8$ مع $c = 0.03\,\mathrm{mm}$ يكون $H = 2500/(8 \times 0.03) = 10\,\mathrm{m}$: فبالضبط على $10\,\mathrm{m}$ يصير كل ما وراء $5\,\mathrm{m}$ واضحًا. وعدسة هاتف $f' = 4.3\,\mathrm{mm}$ عند $f/1.8$ على مستقبِل قدره $6\,\mathrm{mm}$ مع $c = 5\,\text{µ}\mathrm{m}$: بزاوية الحقل نفسها (بعرض $70{}^{\circ}$)، و $H = 18.5/(1.8 \times 0.005) =
2.1\,\mathrm{m}$ — فكل شيء تقريبًا واضح دفعة واحدة، وهو السبب في أن الهواتف تزيّف ضبابية الخلفية برمجيًّا.

![عدسات اختبار وإطار اختبار عند فاحص البصر: عدسة مجمّعة أو مفرّقة بالتقارب المناسب أمام العين تعيد نقطتها البعيدة إلى اللانهاية.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-optical-instruments/img-ee6212e4f9ea.jpg)

*عدسات اختبار وإطار اختبار عند فاحص البصر: [عدسة مجمّعة](https://one-course.com/books/physics/3/ar/chapter/3-mirrors-and-thin-lenses#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) أو مفرّقة بالتقارب المناسب أمام [العين](#def-b1-optical-instruments-eye) تعيد نقطتها البعيدة إلى اللانهاية.*

## 4.6 تمارين

**تمرين 4.1 ★.**

مع [شبكية](#def-b1-optical-instruments-eye) على $17\,\mathrm{mm}$ خلف [العدسة](https://one-course.com/books/physics/3/ar/chapter/3-mirrors-and-thin-lenses#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens)، احسب تقارب [عين](#def-b1-optical-instruments-eye) سوية تنظر إلى اللانهاية، ثم إلى $25\,\mathrm{cm}$؛ واستنتج [سعة المطابقة](#def-b1-optical-instruments-punctum). وما البعدان البؤريان الموافقان؟

**حل التمرين 4.1.**

اللانهاية: $f' = 17\,\mathrm{mm}$ و $V = 1/0.017 = 58.8\,\delta$. وعلى $25\,\mathrm{cm}$: $V = 58.8 + 1/0.25 = 62.8\,\delta$ و $f' = 15.9\,\mathrm{mm}$. والسعة $4.0\,\delta$.

**تمرين 4.2 ★.**

[عين](#def-b1-optical-instruments-eye) قصيرة البصر نقطتها البعيدة على $40\,\mathrm{cm}$. فأيّ عدسة تصحّحها ([البعد البؤري](https://one-course.com/books/physics/3/ar/chapter/3-mirrors-and-thin-lenses#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) والتقارب)؟ [وعين](#def-b1-optical-instruments-eye) طويلة البصر لا تستطيع [المطابقة](#def-b1-optical-instruments-eye) على شيء أقرب من $1.0\,\mathrm{m}$: فأيّ عدسة تتيح لها القراءة على $25\,\mathrm{cm}$؟

**حل التمرين 4.2.**

[العين](#def-b1-optical-instruments-eye) القصيرة البصر: يجب أن تُصوَّر اللانهاية عند [النقطة البعيدة](#def-b1-optical-instruments-punctum)، ومنه $f' = -40\,\mathrm{cm}$ و $V = -2.5\,\delta$. [والعين](#def-b1-optical-instruments-eye) الطويلة البصر: يجب أن يُصوَّر جسم على $25\,\mathrm{cm}$ تصويرًا تخيليًّا على $1.0\,\mathrm{m}$: $V = 1/\overline{OA'} - 1/\overline{OA}
= -1 + 4 = +3.0\,\delta$.

**تمرين 4.3 ★.**

[مكبِّرة](#def-b1-optical-instruments-G) لها $f' = 4.0\,\mathrm{cm}$. أعطِ تكبيرها الزاوي، وأين يجب أن يُمسك الطابع البريدي، [والقياس الزاوي](#def-b1-optical-instruments-angular) لتفصيل قدره $2\,\mathrm{mm}$ عبرها، مقارنًا [بالعين](#def-b1-optical-instruments-eye) المجرّدة على $25\,\mathrm{cm}$.

**حل التمرين 4.3.**

$G = 25/4.0 = 6.3$؛ والطابع في المستوي البؤري، على $4.0\,\mathrm{cm}$ من [العدسة](https://one-course.com/books/physics/3/ar/chapter/3-mirrors-and-thin-lenses#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens). وتفصيل قدره $2\,\mathrm{mm}$: $\theta' = 2/40 = 0.05\,\mathrm{rad}$، في مقابل $2/250 = 0.008\,\mathrm{rad}$ على $25\,\mathrm{cm}$.

**تمرين 4.4 ★.**

مقراب كاسر له $f_1' = 900\,\mathrm{mm}$. احسب $G$ مع [عينية](#def-b1-optical-instruments-microscope) $25\,\mathrm{mm}$ ومع [عينية](#def-b1-optical-instruments-microscope) $9\,\mathrm{mm}$، وطول الأنبوب في كل حالة، والقياس الظاهري للقمر ($0.52^\circ$).

**حل التمرين 4.4.**

$G = 900/25 = 36$ و $900/9 = 100$؛ وطولا الأنبوب $f_1' + f_2' =
925\,\mathrm{mm}$ و$909\,\mathrm{mm}$؛ والقمر: $36 \times 0.52^\circ = 19^\circ$ و $52^\circ$.

**تمرين 4.5 ★★.**

[مجهر](#def-b1-optical-instruments-microscope): $f_1' = 4.0\,\mathrm{mm}$ و $f_2' = 20\,\mathrm{mm}$ و $\Delta = 160\,\mathrm{mm}$. احسب $\gamma_1$ و $G_2$ و $G$ والمسافة جسم–شيئية. وبأيّ مقدار يجب أن يتحرك الأنبوب لضبط الوضوح على جسم أعمق بمقدار $10\,\text{µ}\mathrm{m}$؟

**حل التمرين 4.5.**

$\gamma_1 = -160/4 = -40$؛ و$G_2 = 250/20 = 12.5$؛ و$G = 500$. و$\overline{F_1A} = -f_1'^2/\Delta = -16/160 = -0.10\,\mathrm{mm}$: أي الجسم على $4.1\,\mathrm{mm}$ من [الشيئية](#def-b1-optical-instruments-microscope). ويجب أن يبقى الجسم على تلك المسافة من [الشيئية](#def-b1-optical-instruments-microscope)، فيتحرك الأنبوب كله بمقدار $10\,\text{µ}\mathrm{m}$ — وهو مقبض الضبط الدقيق.

**تمرين 4.6 ★★.**

مصباحا سيارة يفصل بينهما $1.5\,\mathrm{m}$. فمن أيّ مسافة تستطيع [العين](#def-b1-optical-instruments-eye) المجرّدة ($\epsilon = 3 \times 10^{-4}\,\mathrm{rad}$) التمييز بينهما؟ ومقراب قطره $D = 100\,\mathrm{mm}$: احسب حدّ الحيود عنده ($\lambda =
550\,\mathrm{nm}$)، والمسافة التي يفصل عندها المصباحين، والتكبير $G_r$ الذي لا يُظهر فوقه شيئًا جديدًا.

**حل التمرين 4.6.**

[بالعين](#def-b1-optical-instruments-eye) المجرّدة: $1.5/3\times10^{-4} = 5\,\mathrm{km}$. وبالمقراب: $\theta_{\min}
= 1.22 \times 5.5\times10^{-7}/0.100 = 6.7 \times 10^{-6}\,\mathrm{rad}$؛ فيمكن فصل المصباحين حتى $1.5/6.7\times10^{-6} \approx 220\,\mathrm{km}$ (من حيث المبدأ — إذ يتدخل الهواء وتكوّر الأرض قبل ذلك). و$G_r = 3\times10^{-4}/
6.7\times10^{-6} = 45$.

**تمرين 4.7 ★★.**

عدسة $50\,\mathrm{mm}$ عند $f/2$: ما قطر الفتحة؟ ومشهد معرَّض تعريضًا صحيحًا عند $f/2$ في $1/500$ $\mathrm{s}$؛ فما زمن التعريض عند $f/8$؟ وماذا تشتري الفتحة الأصغر؟

**حل التمرين 4.7.**

$D = 50/2 = 25\,\mathrm{mm}$. والتعريض $\propto N^2$: أي $(8/2)^2 = 16$ مرة أطول، فيكون $16/500 \approx 1/30$ $\mathrm{s}$. وهي تشتري عمق ميدان (وزيوغًا أقلّ) بثمن ضبابية الحركة أو حامل ثلاثي.

**تمرين 4.8 ★★.**

احسب [المسافة فوق البؤرية](#prop-b1-optical-instruments-dof) لعدسة $35\,\mathrm{mm}$ عند $f/11$ مع $c = 0.03\,\mathrm{mm}$، ومجال المسافات الواضحة حين تُضبط على $H$. ويضبط مصوّرو الشارع هذا سلفًا: فلماذا؟

**حل التمرين 4.8.**

$H = 35^2/(11 \times 0.03) = 3.7\,\mathrm{m}$؛ والوضوح من $H/2 =
1.9\,\mathrm{m}$ إلى اللانهاية. وبالضبط المسبق على $H$ لا تحتاج الآلة إلى ضبط: فتُلتقط الصورة لحظة وقوع المشهد.

**تمرين 4.9 ★★.**

منظار مزدوج “$8\times30$” له $G = 8$ و $D = 30\,\mathrm{mm}$. احسب [البؤبؤ الخارج](#prop-b1-optical-instruments-telescope)؛ وهل يستعمل بؤبؤ ليلي قطره $7\,\mathrm{mm}$ الضوءَ كله؟ وماذا عن “$7\times50$”؟ وأيّ المنظارين أفضل عند الغسق، ولماذا يكون “$20\times30$” اختيارًا رديئًا؟

**حل التمرين 4.9.**

المنظار $8\times30$: [البؤبؤ الخارج](#prop-b1-optical-instruments-telescope) $30/8 = 3.8\,\mathrm{mm} < 7\,\mathrm{mm}$، فيدخل الضوء كله إلى [العين](#def-b1-optical-instruments-eye). والمنظار $7\times50$: $7.1\,\mathrm{mm}$، وهو مطابق للبؤبؤ الليلي، مع ضوء مجموع أكثر $(50/30)^2 = 2.8$ مرة: فهو منظار الغسق. أما $20\times30$: فبؤبؤه الخارج $1.5\,\mathrm{mm}$، وصورته خافتة، وحقله ضيق، ورعشة اليد مكبَّرة عشرين مرة.

**تمرين 4.10 ★★★.**

[النقطة البعيدة](#def-b1-optical-instruments-punctum) [لعين](#def-b1-optical-instruments-eye) قصيرة البصر على $25\,\mathrm{cm}$ من [العين](#def-b1-optical-instruments-eye). احسب تقارب عدسة التصحيح اللاصقة، ثم تقارب نظارة تُلبس على $15\,\mathrm{mm}$ أمام [العين](#def-b1-optical-instruments-eye). وأيّ التصحيحين أقوى، ولماذا يختلفان؟

**حل التمرين 4.10.**

[العدسة](https://one-course.com/books/physics/3/ar/chapter/3-mirrors-and-thin-lenses#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) اللاصقة: $f' = -25\,\mathrm{cm}$ و $V = -4.0\,\delta$. والنظارة: [النقطة البعيدة](#def-b1-optical-instruments-punctum) على $25 - 1.5 = 23.5\,\mathrm{cm}$ من [العدسة](https://one-course.com/books/physics/3/ar/chapter/3-mirrors-and-thin-lenses#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens)، ومنه $f' =
-23.5\,\mathrm{cm}$ و $V = -4.3\,\delta$ — أي أقوى. فعلى [العدسة](https://one-course.com/books/physics/3/ar/chapter/3-mirrors-and-thin-lenses#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) أن تكوّن الصورة عند [النقطة البعيدة](#def-b1-optical-instruments-punctum) [للعين](#def-b1-optical-instruments-eye)، وبعدُها عن [العدسة](https://one-course.com/books/physics/3/ar/chapter/3-mirrors-and-thin-lenses#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) يتوقف على موضع [العدسة](https://one-course.com/books/physics/3/ar/chapter/3-mirrors-and-thin-lenses#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens).

**تمرين 4.11 ★★★.**

منظار غاليليو: $f_1' = 30\,\mathrm{cm}$ و $f_2' = -10\,\mathrm{cm}$. أوجد الفصل بين العدستين [لنظام لا بؤري](https://one-course.com/books/physics/3/ar/chapter/3-mirrors-and-thin-lenses#prop-b1-mirrors-thin-lenses-doublet)، و$G$، واتجاه الصورة. وحدّد [البؤبؤ الخارج](#prop-b1-optical-instruments-telescope) وفسّر لماذا يكون حقل الرؤية ضيقًا.

**حل التمرين 4.11.**

اللابؤرية: $F_1' = F_2$، والفصل $f_1' + f_2' = 20\,\mathrm{cm}$ (وهو أقصر من $40\,\mathrm{cm}$ لمقراب كبلري له $G$ نفسه). و$G = -30/(-10) =
+3$: أي منتصبة. [والبؤبؤ الخارج](#prop-b1-optical-instruments-telescope) $\overline{O_2P'} = f_2'(f_1' + f_2')/f_1' =
-10 \times 20/30 = -6.7\,\mathrm{cm}$: أي تخيلي، داخل الأنبوب، حيث لا تستطيع [العين](#def-b1-optical-instruments-eye) أن تكون؛ [والعين](#def-b1-optical-instruments-eye) خلف [العينية](#def-b1-optical-instruments-microscope) لا تلتقط إلا الحزم التي تصادف بلوغها — ومن هنا ضيق الحقل، وهو الشكوى الكلاسيكية من مناظير الأوبرا.

**تمرين 4.12 ★★★.**

مقراب قطره $200\,\mathrm{mm}$ وبؤبؤ قطره $7\,\mathrm{mm}$. بأيّ عامل يزداد ضوء نجم؟ ويصنّف الفلكيون السطوع بالأقدار، $m_2 - m_1 = 2.5\log_{10}(F_1/F_2)$؛ وتبلغ [العين](#def-b1-optical-instruments-eye) القدر $6$: فأيّ قدر حدّي يعطي المقراب؟ وكم مرة يمكن رؤية مصباح معطى أبعد؟

**حل التمرين 4.12.**

$(200/7)^2 = 820$؛ و$\Delta m = 2.5\log_{10}820 = 7.3$: فالقدر الحدّي $13.3$. والتدفق $\propto 1/r^2$، ومنه يُرى المصباح على بعد $\sqrt{820} = 29$ مرة.

![الوجه القريب للقمر (بعدسة المسبار المداري الاستطلاعي للقمر، وكالة الفضاء الأمريكية): وهو هدف مقراب مسألة نهاية الأسبوع، وعرضه 3476\, km على بعد 384\,000\, km.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-optical-instruments/img-ce53ac82ea4e.jpg)

*الوجه القريب للقمر (بعدسة المسبار المداري الاستطلاعي للقمر، وكالة الفضاء الأمريكية): وهو هدف مقراب مسألة نهاية الأسبوع، وعرضه $3476\,\mathrm{km}$ على بعد $384\,000\,\mathrm{km}$.*

## 4.7 مسألة: تصميم مقراب للقمر

**مسألة 4.1.**

مسألة نهاية الأسبوع — مقراب كاسر قطره 150 مليمترًا على عشب حديقة: اختر العينيات، وضَع العين، وعُدّ الضوء، ثم اعرف أصغر فوهة يستطيع إظهارها

[الشيئية](#def-b1-optical-instruments-microscope) [عدسة مجمّعة](https://one-course.com/books/physics/3/ar/chapter/3-mirrors-and-thin-lenses#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) $L_1$ بعدها البؤري $f_1' = 1200\,\mathrm{mm}$ وقطرها $D = 150\,\mathrm{mm}$؛ وتتوفر عينيتان $L_2$ بعداهما البؤريان $25\,\mathrm{mm}$ و$6\,\mathrm{mm}$. ويبعد القمر $3.84 \times 10^{5}\,\mathrm{km}$ ويُرى تحت $0.52^\circ$؛ وبؤبؤ [العين](#def-b1-optical-instruments-eye) الليلي $7\,\mathrm{mm}$، وتمييزها $\epsilon = 3.0 \times 10^{-4}\,\mathrm{rad}$؛ و$\lambda = 550\,\mathrm{nm}$.

**الجزء I — الترتيب اللابؤري.**

1. أين يجب أن توضع [العينية](#def-b1-optical-instruments-microscope) كي يُرى نجم دون [مطابقة](#def-b1-optical-instruments-eye) ؟ أعطِ المسافة شيئية–عينية لكل [عينية](#def-b1-optical-instruments-microscope) .
2. تحقق بعلاقة ديكارت، مطبَّقة على كل عدسة على حدة، من أن نقطة في اللانهاية على المحور تُصوَّر في اللانهاية.
3. بيّن أن حزمة آتية من نجم بزاوية $\alpha$ عن المحور تخرج حزمةً متوازية بزاوية $\alpha' = -(f_1'/f_2')\alpha$ .
4. احسب $G$ لكل [عينية](#def-b1-optical-instruments-microscope) والقطر الظاهري للقمر عبر كلٍّ منهما.
5. الصورة مقلوبة. فلماذا يُقبل ذلك هنا، وماذا يضيف منظار الرصد الأرضي؟
6. أين تقع الصورة الوسيطة الحقيقية للقمر، وما قطرها؟ (ويمكن تصويرها هناك.)

**الجزء II — أين تقف [العين](#def-b1-optical-instruments-eye).**

7. بيّن أن [العينية](#def-b1-optical-instruments-microscope) تكوّن [صورة حقيقية](https://one-course.com/books/physics/3/ar/chapter/3-mirrors-and-thin-lenses#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) لحافة [الشيئية](#def-b1-optical-instruments-microscope) على $\overline{O_2P'} = f_2'(f_1' + f_2')/f_1'$ خلفها، وقطرها $D/\abs G$ (وهو [البؤبؤ الخارج](#prop-b1-optical-instruments-telescope) ).
8. احسب موضع [البؤبؤ الخارج](#prop-b1-optical-instruments-telescope) وقطره لكل [عينية](#def-b1-optical-instruments-microscope) .
9. لماذا يجب أن يوضع بؤبؤ [العين](#def-b1-optical-instruments-eye) عند [البؤبؤ الخارج](#prop-b1-optical-instruments-telescope) ؟ وماذا يحدث للحقل إذا وُضع أبعد منه؟
10. كي يُستعمل ضوء نجم استعمالًا كاملًا يجب ألّا يتجاوز [البؤبؤ الخارج](#prop-b1-optical-instruments-telescope) بؤبؤ [العين](#def-b1-optical-instruments-eye) : فاستنتج أصغر تكبير مفيد لهذا المقراب ليلًا.

**الجزء III — التمييز.**

11. احسب حدّ الحيود $\theta_{\min} = 1.22\lambda/D$ بالراديان وبالثواني القوسية.
12. ما أصغر فوهة توافقها هذه الزاوية على القمر؟ وبالعين المجرّدة؟
13. عرّف واحسب تكبير التمييز $G_r =  \epsilon/\theta_{\min}$ . وأيّ العينيتين أقرب إليه؟
14. مع [العينية](#def-b1-optical-instruments-microscope) $6\,\mathrm{mm}$ تبدو الصورة أضبب وأخفت منها مع $25\,\mathrm{mm}$ . فسّر الأثرين معًا.
15. يلطّخ الاضطراب الجوي صور النجوم إلى نحو $1''$ . فمن أجل أيّ أقطار [للشيئية](#def-b1-optical-instruments-microscope) يكفّ حدّ رايلي عن الأهمية من على الأرض، وماذا يبقى $D$ الأكبر يشتريه؟

**الجزء IV — الضوء.**

16. بأيّ عامل تجمع [الشيئية](#def-b1-optical-instruments-microscope) ضوءًا أكثر من البؤبؤ الليلي؟
17. حوّل ذلك إلى أقدار ( $\Delta m = 2.5\log_{10}$ للنسبة)؛ فإذا بلغت [العين](#def-b1-optical-instruments-eye) القدر $6$ ، فأيّ قدر يبلغه المقراب؟
18. يعطي القمر البدر إشعاعًا قدره نحو $2 \times 10^{-3}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ عند الأرض. فما الاستطاعة الداخلة إلى [الشيئية](#def-b1-optical-instruments-microscope) ، وكيف تتوزع على [الشبكية](#def-b1-optical-instruments-eye) مقارنةً بالرؤية [بالعين](#def-b1-optical-instruments-eye) المجرّدة (بحجّة الاستطاعة نفسها لواحدة الزاوية المجسمة: قارن السطوع السطحي عبر العينيتين)؟
19. لماذا لا يجعل المقراب سطح القمر أسطع في واحدة المساحة ممّا تراه [العين](#def-b1-optical-instruments-eye) المجرّدة، بينما يجعل النجوم أسطع؟

**الجزء V — حقل الرؤية.** تحمل [العينية](#def-b1-optical-instruments-microscope)، في مستويها البؤري، حاجز حقل دائريًّا قطره $20\,\mathrm{mm}$ ([للعينية](#def-b1-optical-instruments-microscope) $25\,\mathrm{mm}$) أو $5\,\mathrm{mm}$ ([للعينية](#def-b1-optical-instruments-microscope) $6\,\mathrm{mm}$).

20. بيّن أن حقل الرؤية الحقيقي هو $2\arctan(\phi/2f_1')  \approx \phi/f_1'$ من أجل حاجز قطره $\phi$ .
21. احسبه للعينيتين وقل هل يتّسع القمر كله في الحقل.
22. احسب الحقل الظاهري (أي الزاوية التي ترى [العين](#def-b1-optical-instruments-eye) تحتها الحاجز عبر [العينية](#def-b1-optical-instruments-microscope) ) لكلتيهما.
23. تدور الأرض بمقدار $15''$ في الثانية الزمنية: فكم يستغرق القمر ليعبر حقل كل [عينية](#def-b1-optical-instruments-microscope) دون تعقّب؟
24. لخّص التصميم: أيّ [عينية](#def-b1-optical-instruments-microscope) للقمر كله، وأيّها للفوهات، وأصغر حجم فوهة يستطيع الجهاز كشفه — أي عدده الوحيد.
25. تُستبدل [بالشيئية](#def-b1-optical-instruments-microscope) نفسها [مرآة مقعرة](https://one-course.com/books/physics/3/ar/chapter/3-mirrors-and-thin-lenses#def-b1-mirrors-thin-lenses-mirror) قطرها $150\,\mathrm{mm}$ ولها [البعد البؤري](https://one-course.com/books/physics/3/ar/chapter/3-mirrors-and-thin-lenses#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) نفسه. فأيّ النتائج السابقة يتغير؟

**حل المسألة 4.1.**

**1.** $F_2 = F_1'$: فالفصل $f_1' + f_2' = 1225\,\mathrm{mm}$ (مع [العينية](#def-b1-optical-instruments-microscope) $25\,\mathrm{mm}$) أو $1206\,\mathrm{mm}$ (مع $6\,\mathrm{mm}$).

**2.** من أجل $L_1$: $\overline{O_1A_1} = f_1'$ (فالصورة عند $F_1'$). ومن أجل $L_2$: $\overline{O_2A_1} = -f_2'$، ومنه $1/\overline{O_2A'} = 1/f_2' + 1/(-f_2')
= 0$: أي صورة في اللانهاية.

**3.** تتجمّع الحزمة في المستوي البؤري المشترك على ارتفاع $h =
f_1'\alpha$ (بالشعاع المارّ بالمركز $O_1$)؛ ومن هناك يحدّد الشعاع المارّ بالمركز $O_2$ اتجاه الخروج، أي $\alpha' = -h/f_2' = -(f_1'/f_2')\alpha$.

**4.** $G = -48$ و $-200$؛ والقمر: $25^\circ$ و $104^\circ$.

**5.** لا معنى للأعلى والأسفل في السماء؛ أما منظار الرصد الأرضي فيضيف زوج موشورات معدِّلة (أو ناقلًا عدسيًّا).

**6.** في المستوي البؤري للعدسة $L_1$، وقطرها $f_1'\theta = 1200 \times
9.1\times10^{-3} = 11\,\mathrm{mm}$.

**7.** الجسم $O_1$ عند $\overline{O_2O_1} = -(f_1' + f_2')$: $1/\overline{O_2P'} = 1/f_2' - 1/(f_1' + f_2') = f_1'/[f_2'(f_1' + f_2')]$؛ والتكبير $\overline{O_2P'}/\overline{O_2O_1} = -f_2'/f_1' = 1/G$، والقطر $D/\abs G$.

**8.** مع $25\,\mathrm{mm}$: $\overline{O_2P'} = 25 \times 1225/1200 =
25.5\,\mathrm{mm}$، والقطر $150/48 = 3.1\,\mathrm{mm}$. ومع $6\,\mathrm{mm}$: $6.0\,\mathrm{mm}$ خلفها، والقطر $0.75\,\mathrm{mm}$.

**9.** كل شعاع دخل [الشيئية](#def-b1-optical-instruments-microscope) يمرّ عبر [البؤبؤ الخارج](#prop-b1-optical-instruments-telescope): [فالعين](#def-b1-optical-instruments-eye) الموضوعة هناك تتلقى الحقل كله. أما أبعد منه فلا تلتقط إلا الحزم المركزية: فينكمش الحقل إلى ثقب مفتاح.

**10.** $D/\abs G \leq 7\,\mathrm{mm}$: ومنه $\abs G \geq 150/7 \approx 21$.

**11.** $\theta_{\min} = 1.22 \times 5.5\times10^{-7}/0.150 =
4.5 \times 10^{-6}\,\mathrm{rad} = 0.92''$.

**12.** $4.5\times10^{-6} \times 3.84\times10^5 = 1.7\,\mathrm{km}$؛ وبالعين المجرّدة $3\times10^{-4} \times 3.84\times10^5 = 115\,\mathrm{km}$.

**13.** $G_r = 3\times10^{-4}/4.5\times10^{-6} = 67$؛ [والعينية](#def-b1-optical-instruments-microscope) $25\,\mathrm{mm}$ (أي $48$) أقربها إليه، ودونه قليلًا؛ أما $6\,\mathrm{mm}$ (أي $200$) فتتجاوزه ثلاث مرات.

**14.** عند $G = 200$ تُرى لطخة الحيود تحت $200 \times 4.5
\times10^{-6} = 9 \times 10^{-4}\,\mathrm{rad} > \epsilon$: أي ضبابية ظاهرة. كما يتوزع ضوء القمر على مساحة أكبر $(200/48)^2 = 17$ مرة على [الشبكية](#def-b1-optical-instruments-eye): أي أخفت.

**15.** $1'' = 4.85 \times 10^{-6}\,\mathrm{rad}$: ومنه $D = 1.22\lambda/\theta =
140\,\mathrm{mm}$. وفوق ذلك تحدّ الرؤية الجوية التمييز من على الأرض (ما لم تُستعمل بصريات تكيّفية)؛ ويبقى $D$ الأكبر يجمع ضوءًا أكثر، فيبلغ أجرامًا أخفت.

**16.** $(150/7)^2 = 460$.

**17.** $\Delta m = 2.5\log_{10}460 = 6.7$: أي القدر $12.7$.

**18.** $P = 2\times10^{-3} \times \pi(0.075)^2 = 3.5 \times 10^{-5}\,\mathrm{W}$، أي $460$ ضعف ما تجمعه [العين](#def-b1-optical-instruments-eye) المجرّدة. والصورة [الشبكية](#def-b1-optical-instruments-eye) أكبر مساحةً $\abs G^2$ مرة: فنسبة السطوع السطحي $460/G^2 = 0.20$ (عند $G = 48$) و $0.012$ (عند $G = 200$) — وهي تساوي $(D/\abs G)^2/d_p^2$، أي مربع نسبة [البؤبؤ الخارج](#prop-b1-optical-instruments-telescope) إلى بؤبؤ [العين](#def-b1-optical-instruments-eye).

**19.** من أجل جسم ممتدّ ينمو الضوء المجموع مثل $D^2$ بينما تنمو مساحة الصورة مثل $G^2 \geq (D/d_p)^2$: فلا يستطيع السطوع السطحي في أحسن حال إلا أن يساوي قيمته [بالعين](#def-b1-optical-instruments-eye) المجرّدة (حين يكون [البؤبؤ الخارج](#prop-b1-optical-instruments-telescope) $=$ بؤبؤ [العين](#def-b1-optical-instruments-eye)). أما النجم فغير مميَّز: إذ يقع ضوؤه كله في لطخة حيود واحدة، فينمو سطوعه مثل $(D/d_p)^2$.

**20.** النقطة عند الزاوية $\beta$ تُصوَّر على ارتفاع $f_1'\beta$ في المستوي البؤري؛ ويمرّر الحاجز ما يحقق $\abs{f_1'\beta} \leq \phi/2$: فالحقل الكامل $\phi/f_1'$ (للزوايا الصغيرة).

**21.** $20/1200 = 0.0167\,\mathrm{rad} = 0.95^\circ$: فيتّسع القمر كله. أما $5/1200 = 0.24^\circ$: فلا يتّسع.

**22.** الحقل الظاهري $\phi/f_2'$: $20/25 = 0.8\,\mathrm{rad} = 46^\circ$؛ و$5/6 = 48^\circ$.

**23.** $0.95^\circ = 3420''$: ومنه $3420/15 = 230\,\mathrm{s}$، أي نحو أربع دقائق؛ و$0.24^\circ = 864''$: أي $58\,\mathrm{s}$.

**24.** [العينية](#def-b1-optical-instruments-microscope) $25\,\mathrm{mm}$ (أي $G = 48$، قرب $G_r$، ساطعة، والقمر كله) من أجل القرص؛ و$6\,\mathrm{mm}$ (أي $G = 200$) لنظرة أقرب إلى الفوهات، أخفت وأضبب. وعدد الجهاز الوحيد: فوهات حتى $1.7\,\mathrm{km}$.

**25.** مع $f_1'$ و $D$ نفسيهما: $G$ نفسه، والحقول [والبؤبؤ الخارج](#prop-b1-optical-instruments-telescope) والتمييز والضوء نفسها (ناقصًا أيّ حجب مركزي). والمكاسب: لا زيغ لوني. والتغيّر العملي: أن البؤرة تقع أمام المرآة، فيجب أن تطوي مرآة ثانوية صغيرة الحزمةَ إلى خارج الأنبوب نحو [العينية](#def-b1-optical-instruments-microscope).