---
title: "الدارات المستمرة: قانونا كيرشوف والمبرهنات"
book: "الفيزياء الجامعية — السنة الأولى"
subject: physics
language: ar
chapter: 6
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/physics/3/ar/chapter/6-dc-circuits-kirchhoffs-laws-and-theorems
---

# الفصل 6 — الدارات المستمرة: قانونا كيرشوف والمبرهنات

أدِر المفتاح في صباح بارد: يئنّ المقلع، وتخفت أضواء لوحة القيادة ثانيةً، ثم تسعل السيارة عائدةً إلى الحياة. فالبطارية التي كانت تعطي $12.6\,\mathrm{V}$ ثابتة قبل لحظة هبطت إلى أحد عشر بينما يسحب المقلع مئةً وخمسين أمبيرًا — والمصباحان الأماميان، الموصولان على التفرع، يدفعان الثمن. وكل ما يجري في تلك الثانية يحكمه قانونا انحفاظ وحفنة من المبرهنات عن الدارات الخطية، وهي ما يذكره هذا الفصل ويبرهن عليه ويطبّقه: قانونا كيرشوف، ونماذج المنابع والناقلات الأومية، والمجزّئات، وتيفنان ونورتن، والفنّ البياني في إيجاد [نقطة العمل](#met-b1-dc-circuits-loadline).

## 6.1 التيار والتوتر والنظام شبه المستقر

**تعريف 6.1 (التيار الكهربائي).**

*التيار الكهربائي* عبر سطح (كمقطع سلك) هو الشحنة العابرة له في واحدة الزمن، محسوبةً موجبةً في اتجاه مختار:

$$
i = \frac{\dd q}{\dd t} \qquad (\text{بالأمبير: } 1\,\mathrm{A} = 1\,\mathrm{C}/\mathrm{s}).
$$

وقلب الاتجاه يقلب إشارة $i$. وفي المعدن تكون الحوامل إلكترونات تنساق *عكس* اتجاه التيار الاصطلاحي، بكسر من المليمتر في الثانية.

**تعريف 6.2 (الكمون والتوتر).**

لكل نقطة من دارة *كمون كهربائي* $V$ (بالفولط)، معرَّف إلى حدّ ثابت يثبّته اختيار *مرجع أرضي* ($V = 0$). و*التوتر* بين $A$ و $B$ هو فرق الكمون $u_{AB} = V_A - V_B$، ويُرسم سهمًا من $B$ إلى $A$. والطاقة التي تفقدها شحنة $q$ في انتقالها من $A$ إلى $B$ هي $q\,u_{AB}$ (وهذا يربطه بالكمون الكهرسكوني في [الفصل 27](https://one-course.com/books/physics/3/ar/chapter/27-electric-potential-conductors-and-capacitors#ch-b1-potential-capacitors)).

**تعريف 6.3 (النظام شبه المستقر).**

تكون دارة حجمها $\ell$ مقادة بتواتر $f$ في *النظام شبه المستقر* حين يكون زمن انتشار $\ell/c$ الإشارات الكهربائية على امتدادها مهملًا أمام الدور $1/f$: أي $\ell \ll c/f$. وعندئذٍ يكون التيار نفسه في كل نقطة من سلك غير متفرع في كل لحظة، وتنطبق القوانين أدناه في كل لحظة على التيارات والتوترات المتغيرة مع الزمن ($i$ و $u$ بالحرف الصغير) كما تنطبق على المستقرة ($I$ و $U$).

**مثال 6.4 (كم هو “شبه” هذا النظام).**

عند $50\,\mathrm{Hz}$ يكون $c/f = 6000\,\mathrm{km}$: فالمنزل في [النظام شبه المستقر](#def-b1-dc-circuits-arqs). وعند $1\,\mathrm{MHz}$ يكون $300\,\mathrm{m}$: فالراديو كذلك أيضًا. وعند $2\,\mathrm{GHz}$ يكون $15\,\mathrm{cm}$: فلوحة دارة هاتف ليست كذلك، ويجب أن تُعالج مساراتها معالجة خطوط النقل — وهو موضوع من مواضيع مجلد السنة الثانية.

**مبرهنة 6.5 (قانونا كيرشوف).**

في [النظام شبه المستقر](#def-b1-dc-circuits-arqs):

1. *قانون العقد* : عند عقدة تلتقي فيها عدة أسلاك، يساوي مجموع التيارات الواردة مجموعَ التيارات الصادرة، $\sum_{\text{وارد}} i_k = \sum_{\text{صادر}} i_k$ .
2. *قانون الحلقات* : على امتداد أيّ حلقة مغلقة، يكون مجموع التوترات معدومًا إذا حُسبت بالإشارة التي يعطيها اتجاه سير مختار: $\sum_{\text{الحلقة}} \pm u_k = 0$ .

**برهان.** الشحنة محفوظة، وهي في [النظام شبه المستقر](#def-b1-dc-circuits-arqs) لا تتراكم عند عقدة: فما يصل في الثانية يغادر في الثانية. أما قانون الحلقات فهو العبارة القائلة إن الكمون دالة للموضع: فبالدوران حول حلقة والعودة إلى نقطة البدء يكون مجموع هبوطات الكمون $V_A - V_A = 0$. ∎

**ترميز 6.6 (الاصطلاحات والاستطاعة).**

من أجل عنصر ذي طرفين (أي *ثنائي قطب*)، يرسم *[اصطلاح المستقبِل](#thm-b1-dc-circuits-kirchhoff)* سهم [التوتر](#def-b1-dc-circuits-voltage) وسهم التيار في اتجاهين متعاكسين؛ ويرسمهما *[اصطلاح المولّد](#thm-b1-dc-circuits-kirchhoff)* في الاتجاه نفسه. وفي [اصطلاح المستقبِل](#thm-b1-dc-circuits-kirchhoff) تكون الاستطاعة *المستقبَلة* في ثنائي القطب

$$
p = u\,i \qquad (\text{بالواط}),
$$

وهي موجبة [لناقلة أومية](#def-b1-dc-circuits-resistor) تسخن، وسالبة لبطارية تعطي. وفي [اصطلاح المولّد](#thm-b1-dc-circuits-kirchhoff) يكون $p = ui$ هو الاستطاعة *المقدَّمة*.

![اصطلاحا الإشارة في ثنائي القطب: سهمان متعاكسان (المستقبِل) أو متوافقان (المولّد). والفيزياء واحدة؛ ولا يختلف إلا تأويل إشارة ui.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-dc-circuits/fig-4082ed9f49a0.svg)

*اصطلاحا الإشارة في ثنائي القطب: سهمان متعاكسان (المستقبِل) أو متوافقان (المولّد). والفيزياء واحدة؛ ولا يختلف إلا تأويل إشارة $ui$.*

## 6.2 ثنائيات القطب ونماذجها

**تعريف 6.7 (المميِّزة؛ الناقلة الأومية؛ قانون أوم).**

*مميِّزة* ثنائي القطب هي المنحني $i(u)$ (أو $u(i)$) الذي يفرضه. و*الناقلة الأومية* لها مميِّزة خطية تمرّ بالمبدأ، وهي *قانون أوم*

$$
u = R\,i \qquad (\text{اصطلاح المستقبِل}),
$$

حيث $R$ هي *مقاومتها* (بالأوم، $1\,\Omega = 1\,\mathrm{V}/\mathrm{A}$) و $G = 1/R$ هي *مواصلتها* (بالسيمنس). وتستقبل $p = Ri^2 =
u^2/R \geq 0$ تتبدد حرارةً (وهو *مفعول جول*). وسلك طوله $\ell$ ومقطعه $S$ ومقاوميته $\rho$ له $R = \rho\ell/S$.

**تعريف 6.8 (المنابع المثالية والحقيقية).**

*منبع [التوتر](#def-b1-dc-circuits-voltage) المثالي* يفرض $u = E$ مهما يكن التيار؛ و$E$ هي *قوته المحركة الكهربائية*. و*منبع التيار المثالي* يفرض $i = I_N$ مهما يكن [التوتر](#def-b1-dc-circuits-voltage). أما *المنبع الحقيقي* (بطارية أو مولّد أو مغذٍّ) فيُنمذج، في [اصطلاح المولّد](#thm-b1-dc-circuits-kirchhoff)، بالعلاقة

$$
u = E - r\,i \quad (\text{نموذج تيفنان: قوة محركة مثالية } E \text{ على التسلسل مع } r)
$$

أو، على نحو مكافئ، $i = I_N - u/r$ (نموذج نورتن: منبع تيار مثالي $I_N = E/r$ على التفرع مع $r$)؛ و$r$ هي *المقاومة الداخلية*. و$E$ هي [توتر](#def-b1-dc-circuits-voltage) الدارة المفتوحة، و$I_N = E/r$ تيار القصر.

**قضية 6.9 (الحصيلة الاستطاعية لمنبع حقيقي).**

منبع حقيقي $(E, r)$ يغذّي [ناقلة أومية](#def-b1-dc-circuits-resistor) $R$ يعطي $i = E/(R + r)$ والاستطاعة

$$
P_R = \frac{E^2 R}{(R + r)^2},
$$

وهي عظمى وتساوي $E^2/4r$ حين $R = r$ (وهو *التكييف*)، بمردود $P_R/(Ei) = R/(R + r)$، لا يتجاوز $50\%$ عند العظمى.

**برهان.** قانون الحلقات: $E = ri + Ri$. و$P_R = Ri^2$؛ وباشتقاق $R/(R + r)^2$: $\big[(R + r)^2 - 2R(R + r)\big]/(R + r)^4 = (r - R)/(R + r)^3$، وهو معدوم عند $R = r$، وموجب قبله وسالب بعده. والمنبع يقدّم $Ei = (R + r)i^2$، منها $ri^2$ تسخّن المنبع نفسه. ∎

![يسارًا: مميِّزتا منبع حقيقي (u = E - ri) وحمولة مقاومية (u = Ri) تلتقيان عند نقطة العمل. ويمينًا: الاستطاعة المقدَّمة إلى الحمولة تبلغ ذروتها عند R = r، حيث يضيع نصف استطاعة المنبع في مقاومته الخاصة.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-dc-circuits/fig-c3b0d559cc6f.svg)

![يسارًا: مميِّزتا منبع حقيقي (u = E - ri) وحمولة مقاومية (u = Ri) تلتقيان عند نقطة العمل. ويمينًا: الاستطاعة المقدَّمة إلى الحمولة تبلغ ذروتها عند R = r، حيث يضيع نصف استطاعة المنبع في مقاومته الخاصة.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-dc-circuits/fig-ef081915e244.svg)

*يسارًا: مميِّزتا منبع حقيقي ($u = E - ri$) وحمولة مقاومية ($u = Ri$) تلتقيان عند [نقطة العمل](#met-b1-dc-circuits-loadline). ويمينًا: الاستطاعة المقدَّمة إلى الحمولة تبلغ ذروتها عند $R = r$، حيث يضيع نصف استطاعة المنبع في مقاومته الخاصة.*

**مثال 6.10 (بطارية سيارة تحت الحمل).**

الدارة المفتوحة $12.6\,\mathrm{V}$؛ و$11.4\,\mathrm{V}$ بينما يسحب المقلع $120\,\mathrm{A}$: ومنه $r = 1.2/120 = 10\,\mathrm{m}\Omega$ و $I_N = 1260\,\mathrm{A}$ (ومن هنا خطر مفتاح ربط ساقط، وهو خطر بمستوى اللحام). والحمولة المكيَّفة $R = 10\,\mathrm{m}\Omega$ كانت ستأخذ $E^2/4r = 4\,\mathrm{kW}$ بضع ثوانٍ — وهو نحو ما يحتاجه محرك المقلع.

**ملاحظة 6.11 (ثنائيات قطب أخرى).**

*الثنائي* لا ينقل التيار إلا في اتجاه واحد: ونموذجه المثالي دارة مفتوحة من أجل $u < U_0$ [وتوتر](#def-b1-dc-circuits-voltage) ثابت $u = U_0$ (نحو $0.7\,\mathrm{V}$ في السيليسيوم، ومن $2\,$ إلى $3\,\mathrm{V}$ في LED) حين ينقل. والمصباح ذو الشعيرة [ناقلة أومية](#def-b1-dc-circuits-resistor) تنمو $R$ فيها مع درجة حرارتها، ومن ثمّ مع $i$ — فمميِّزتها منحنية. وفي النظام المستقر يكون المكثف دارةً مفتوحة ($i = C\,\dd u/\dd t = 0$) وتكون الوشيعة دارةً قصيرة ($u = L\,\dd i/\dd t = 0$)؛ ودورهما في الأنظمة العابرة هو [الفصل 7](https://one-course.com/books/physics/3/ar/chapter/7-transient-regimes-first-and-second-order#ch-b1-transient-regimes).

## 6.3 التجميعات والمجزّئات

**قضية 6.12 (الناقلات على التسلسل وعلى التفرع).**

الناقلات على التسلسل (بالتيار نفسه) تُجمع مقاوماتها: $R = R_1 + R_2 + \cdots$. والناقلات على التفرع ([بالتوتر](#def-b1-dc-circuits-voltage) نفسه) تُجمع مواصلاتها: $1/R = 1/R_1 + 1/R_2 + \cdots$؛ ومن أجل اثنتين، $R = R_1R_2/(R_1 + R_2)$، ويُكتب $R_1 \parallel R_2$.

**برهان.** على التسلسل: $u = u_1 + u_2 = (R_1 + R_2)i$ (بقانون الحلقات). وعلى التفرع: $i = i_1 +
i_2 = u/R_1 + u/R_2$ (بقانون العقد). ∎

**قضية 6.13 (مجزّئا التوتر والتيار).**

ناقلتان على التسلسل تحت [توتر](#def-b1-dc-circuits-voltage) $u$ تقتسمانه بنسبة مقاومتيهما:

$$
u_2 = \frac{R_2}{R_1 + R_2}\,u .
$$

وناقلتان على التفرع يغذّيهما تيار $i$ تقتسمانه بنسبة عكسية:

$$
i_2 = \frac{R_1}{R_1 + R_2}\,i = \frac{G_2}{G_1 + G_2}\,i .
$$

**برهان.** على التسلسل: $i = u/(R_1 + R_2)$ و $u_2 = R_2 i$. وعلى التفرع: $u = (R_1
\parallel R_2)\,i$ و $i_2 = u/R_2$. ∎

![مجزّئ التوتر (يسارًا): u_2 = R_2 u/(R_1 + R_2). ومجزّئ التيار (يمينًا): i_2 = R_1 i/(R_1 + R_2) — فالتيار يفضّل المقاومة الأصغر.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-dc-circuits/fig-246b3afb158f.svg)

*[مجزّئ التوتر](#prop-b1-dc-circuits-dividers) (يسارًا): $u_2 = R_2 u/(R_1 + R_2)$. [ومجزّئ التيار](#prop-b1-dc-circuits-dividers) (يمينًا): $i_2 = R_1 i/(R_1 + R_2)$ — فالتيار يفضّل المقاومة الأصغر.*

**ملاحظة 6.14 (تحميل مجزّئ).**

لا تصحّ صيغة المجزّئ إلا إذا لم يسحب شيء تيارًا من النقطة الوسطى. فحمولة $R_L$ موصولة على طرفَي $R_2$ تستبدل بالمقاومة $R_2$ المجموعةَ $R_2
\parallel R_L$ وتخفض $u_2$ — وهو “مفعول التحميل”، والسبب في وجوب أن تكون مقاومة الفولطمتر عالية ومقاومة المجزّئ الجهدي منخفضة أمام ما يغذّيه ([التمرين 6.4](#exo-b1-dc-circuits-4)).

**طريقة 6.15 (اختزال شبكة).**

لإيجاد تيار واحد أو [توتر](#def-b1-dc-circuits-voltage) واحد في شبكة من الناقلات الأومية ومنبع واحد:

1. ابدأ بعيدًا عن المنبع واستبدل بالمجموعات المتسلسلة والمتفرعة مكافئاتِها حتى تواجه المنبعَ ناقلةٌ واحدة؛
2. احسب تيار المنبع؛
3. ثم ارجع أدراجك، مجزّئًا التيارات بمجزّئات التيار والتوترات بمجزّئات [التوتر](#def-b1-dc-circuits-voltage) ، حتى الفرع المطلوب.

ومع عدة منابع، أو من أجل فرع تتغير جيرانه، تُستعمل مبرهنات القسم التالي.

## 6.4 مبرهنات الدارات الخطية

**تعريف 6.16 (ثنائي القطب الخطي والدارة الخطية).**

يكون ثنائي القطب *خطيًّا* إذا كانت مميِّزته مستقيمًا ([كالناقلة الأومية](#def-b1-dc-circuits-resistor) والمنابع المثالية والحقيقية)؛ والدارة المؤلَّفة من ثنائيات قطب خطية فقط *دارة خطية*. ومجاهيلها تحقق جملة معادلات خطية (قانونا كيرشوف مع المميِّزات)، وحلّها وحيد.

**مبرهنة 6.17 (تيفنان ونورتن).**

منظورًا إليها من طرفين $A$ و $B$، تكافئ كل [دارة خطية](#def-b1-dc-circuits-linear) منبعًا حقيقيًّا: أي قوة محركة $E_{\mathrm{Th}}$ على التسلسل مع مقاومة $R_{\mathrm{Th}}$ (تيفنان)، أو [منبع تيار](#def-b1-dc-circuits-sources) $I_N =
E_{\mathrm{Th}}/R_{\mathrm{Th}}$ على التفرع مع $R_{\mathrm{Th}}$ (نورتن)، حيث

- $E_{\mathrm{Th}}$ هي [توتر](#def-b1-dc-circuits-voltage) الدارة المفتوحة $u_{AB}$ ؛
- $I_N$ هو تيار القصر من $A$ إلى $B$ ؛
- $R_{\mathrm{Th}}$ هي المقاومة المرئية بين $A$ و $B$ حين يُطفأ كل منبع مستقل (فتُستبدل بمنابع [التوتر](#def-b1-dc-circuits-voltage) المثالية أسلاكٌ، وبمنابع التيار المثالية دارات مفتوحة).

**برهان جزئي.** بالخطية تكون العلاقة بين [التوتر](#def-b1-dc-circuits-voltage) $u_{AB}$ والتيار $i$ المسحوب عند الطرفين علاقةً تآلفية: $u_{AB} = a - b\,i$. وبوضع $i = 0$ نعرف $a = E_{\mathrm{Th}}$؛ وبوضع $u_{AB} = 0$ نجد $b = E_{\mathrm{Th}}/I_N$. وكون $b$ يساوي المقاومة المرئية عند إطفاء المنابع يتبع من التراكب (أدناه): فالجزء من $u_{AB}$ العائد إلى التيار الخارجي وحده هو ما كانت ستنتجه شبكة سلبية مقاومتها $R_{\mathrm{Th}}$. أما أن لكل جملة خطية علاقةً تآلفية بين الدخل والخرج فذلك جبر المعادلات الخطية. ∎

**مبرهنة 6.18 (التراكب).**

في [دارة خطية](#def-b1-dc-circuits-linear) فيها عدة منابع مستقلة، يكون أيّ تيار أو [توتر](#def-b1-dc-circuits-voltage) مجموعَ القيم التي يأخذها حين يعمل كل منبع وحده، والبقية مطفأة.

**برهان.** المعادلات خطية في المجاهيل، والمنابع في طرفها الأيمن؛ والحلّ دالة خطية لذلك الطرف الأيمن، ومن ثمّ فهو مجموع الحلول من أجل كل منبع على حدة. ∎

**قضية 6.19 (مبرهنة ميلمان).**

عقدة $N$ موصولة بنقاط كموناتها $V_1, \dots, V_n$ عبر مقاومات $R_1, \dots, R_n$ (ولا شيء غير ذلك) كمونها

$$
V_N = \frac{\sum_k V_k/R_k}{\sum_k 1/R_k} = \frac{\sum_k G_k V_k}{\sum_k G_k},
$$

وهو المتوسط الموزون بالمواصلات لكمونات جيرانها.

**برهان.** قانون العقد عند $N$: $\sum_k (V_k - V_N)/R_k = 0$؛ ثم نحلّ بالنسبة إلى $V_N$. ∎

![منبعان يغذّيان حمولة مشتركة R_3. ومنظورًا إليها من طرفَي R_3، تكون بقية الدارة منبع تيفنان (E_ Th، R_ Th)؛ وتعطي مبرهنة ميلمان كمون العقدة N في سطر واحد.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-dc-circuits/fig-30434c8dc9c6.svg)

*منبعان يغذّيان حمولة مشتركة $R_3$. ومنظورًا إليها من طرفَي $R_3$، تكون بقية الدارة منبع تيفنان ($E_{\mathrm{Th}}$، $R_{\mathrm{Th}}$)؛ وتعطي مبرهنة ميلمان كمون العقدة $N$ في سطر واحد.*

**مثال 6.20 (ثلاث طرق إلى الجواب نفسه).**

في الشكل، $E_1 = 10\,\mathrm{V}$ و $R_1 = 1.0\,\mathrm{k}\Omega$ و $E_2 =
5.0\,\mathrm{V}$ و $R_2 = 2.0\,\mathrm{k}\Omega$ و $R_3 = 2.0\,\mathrm{k}\Omega$. *بميلمان*: $V_N = (10/1 + 5/2 + 0/2)/(1 + 0.5 + 0.5) = 12.5/2 =
6.25\,\mathrm{V}$. و*بالتراكب*: يرى $E_1$ وحده $R_2 \parallel
R_3 = 1\,\mathrm{k}\Omega$، ومنه $u = 10 \times 1/2 = 5\,\mathrm{V}$؛ ويرى $E_2$ وحده $R_1 \parallel R_3 = 0.667\,\mathrm{k}\Omega$، ومنه $u = 5 \times 0.667/2.667
= 1.25\,\mathrm{V}$؛ والمجموع $6.25\,\mathrm{V}$. و*بتيفنان* منظورًا من $R_3$: تكون $E_{\mathrm{Th}}$ توترَ الدارة المفتوحة للمجزّئ $(E_1, R_1, R_2, E_2)$: أي $E_2 + (E_1 - E_2)R_2/(R_1 + R_2) = 5 + 5 \times
2/3 = 8.33\,\mathrm{V}$؛ و$R_{\mathrm{Th}} = R_1 \parallel R_2 =
0.667\,\mathrm{k}\Omega$؛ ومنه $u = 8.33 \times 2/2.667 = 6.25\,\mathrm{V}$.

## 6.5 نقطة العمل؛ جسر ويتستون

**طريقة 6.21 (نقطة العمل بيانيًّا).**

ثنائي قطب غير خطي (مميِّزته $i = g(u)$) يغذّيه منبع تيفنان $(E, R)$ يستقرّ حيث تتحقق العلاقتان معًا: فارسم مميِّزة ثنائي القطب و*مستقيم حمولة* المنبع $u = E - Ri$ على المحورين نفسيهما؛ فتقاطعهما هو *[نقطة العمل](#met-b1-dc-circuits-loadline)*. وتصميم الناقلة المتسلسلة لثنائي LED أو منظّم زنر أو استقطاب ترانزستور هو هذا البناء بعينه.

![ثنائي LED (عتبته قرب 2\, V) يغذّيه E = 5\, V عبر R = 200\,: فمستقيم الحمولة u = E - Ri يقطع مميِّزة الثنائي عند 2.0\, V و15\, mA. ورفع R يميل المستقيم إلى الأسفل ويخفت الثنائي.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-dc-circuits/fig-36f643fb5321.svg)

*ثنائي LED (عتبته قرب $2\,\mathrm{V}$) يغذّيه $E = 5\,\mathrm{V}$ عبر $R = 200\,\Omega$: [فمستقيم الحمولة](#met-b1-dc-circuits-loadline) $u = E - Ri$ يقطع مميِّزة الثنائي عند $2.0\,\mathrm{V}$ و$15\,\mathrm{mA}$. ورفع $R$ يميل المستقيم إلى الأسفل ويخفت الثنائي.*

**قضية 6.22 (جسر ويتستون).**

أربع ناقلات أومية $R_1, R_2$ (في فرع) و $R_3, R_4$ (في الآخر) تحت منبع $E$؛ وخرج الجسر هو [التوتر](#def-b1-dc-circuits-voltage) بين النقطتين الوسطيين:

$$
u = E\left(\frac{R_2}{R_1 + R_2} - \frac{R_4}{R_3 + R_4}\right),
$$

وهو معدوم (فيكون الجسر *متوازنًا*) إذا وفقط إذا كان $R_1R_4 = R_2R_3$. ومن أجل جسر متوازن مع اضطراب $R_4$ إلى $R_4(1 + \epsilon)$، حيث $\epsilon
\ll 1$، و $R_3 = R_4$: يكون $u \approx -E\epsilon/4$.

**برهان.** مجزّئا [توتر](#def-b1-dc-circuits-voltage)؛ ثم نطرح. والتوازن: $R_2(R_3 + R_4) = R_4(R_1 +
R_2)$، أي $R_2R_3 = R_1R_4$. ومع $R_3 = R_4 = R$ و $R_1 = R_2$: $u = E[\tfrac12 - (1 + \epsilon)/(2 + \epsilon)] = E[(2 + \epsilon - 2 -
2\epsilon)/(2(2 + \epsilon))] \approx -E\epsilon/4$. ∎

![جسر ويتستون: مجزّئان جنبًا إلى جنب. وهو متوازن حين R_1R_4 = R_2R_3، فيحوّل تغيّرًا ضئيلًا في إحدى المقاومات (مقياس تشوّه أو مقاومة حرارية) إلى توتر حول الصفر، وذلك أيسر كثيرًا في التضخيم من تغيّر صغير في توتر كبير.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-dc-circuits/fig-bef8e1df3350.svg)

*[جسر ويتستون](#prop-b1-dc-circuits-wheatstone): مجزّئان جنبًا إلى جنب. وهو متوازن حين $R_1R_4 = R_2R_3$، فيحوّل تغيّرًا ضئيلًا في إحدى المقاومات (مقياس تشوّه أو مقاومة حرارية) إلى [توتر](#def-b1-dc-circuits-voltage) حول الصفر، وذلك أيسر كثيرًا في التضخيم من تغيّر صغير في [توتر](#def-b1-dc-circuits-voltage) كبير.*

## 6.6 تمارين

**تمرين 6.1 ★.**

هاتف يُشحن عند $1.5\,\mathrm{A}$ ساعةً واحدة: فما الشحنة العابرة، وكم إلكترونًا؟ وقدّر هل يصحّ [النظام شبه المستقر](#def-b1-dc-circuits-arqs) لتمديدات منزل عند $50\,\mathrm{Hz}$، ولدارة قدرها $10\,\mathrm{cm}$ عند $1\,\mathrm{MHz}$، وللدارة نفسها عند $1\,\mathrm{GHz}$.

**حل التمرين 6.1.**

$q = 1.5 \times 3600 = 5400\,\mathrm{C}$ و $N = 5400/1.6\times10^{-19} =
3.4 \times 10^{22}$ إلكترونًا. و$c/f$: $6000\,\mathrm{km}$ عند $50\,\mathrm{Hz}$ (فالمنزل: نعم)؛ و$300\,\mathrm{m}$ عند $1\,\mathrm{MHz}$ (ودارة $10\,\mathrm{cm}$: نعم)؛ و$30\,\mathrm{cm}$ عند $1\,\mathrm{GHz}$، وهو يقارن بالطول $10\,\mathrm{cm}$: فلا.

**تمرين 6.2 ★.**

مدفأة $2000\,\mathrm{W}$ على $230\,\mathrm{V}$: التيار والمقاومة والطاقة المستهلكة في $3.0\,\mathrm{h}$ (بالكيلوواط ساعة وبالجول). وسلكها النحاسي الذي طوله $5.0\,\mathrm{m}$ مقطعه $1.5\,\mathrm{mm}^{2}$ ($\rho = 1.7 \times 10^{-8}\,\Omega\,\mathrm{m}$): فما الاستطاعة الضائعة في السلك؟

**حل التمرين 6.2.**

$I = 2000/230 = 8.7\,\mathrm{A}$؛ و$R = U^2/P = 26.5\,\Omega$؛ و$E =
6.0\,\mathrm{kWh} = 2.2 \times 10^{7}\,\mathrm{J}$. والسلك: ناقل واحد $R = 1.7\times10^{-8}
\times 5.0/1.5\times10^{-6} = 57\,\mathrm{m}\Omega$، وناقلان $0.11\,\Omega$: ومنه $P = 0.11 \times 8.7^2 = 8.6\,\mathrm{W}$.

**تمرين 6.3 ★.**

مع $10\,\Omega$ و $20\,\Omega$ و $30\,\Omega$: احسب مقاومة الثلاث على التسلسل، ثم على التفرع، ثم مقاومة $(10 \parallel 20) + 30$.

**حل التمرين 6.3.**

على التسلسل $60\,\Omega$؛ وعلى التفرع $1/(0.1 + 0.05 + 0.033) = 5.5\,\Omega$؛ و$10 \parallel 20 = 6.7\,\Omega$، زائد $30$: أي $36.7\,\Omega$.

**تمرين 6.4 ★.**

منبع $12\,\mathrm{V}$ يغذّي $4.7\,\mathrm{k}\Omega$ و$2.2\,\mathrm{k}\Omega$ على التسلسل. احسب [التوتر](#def-b1-dc-circuits-voltage) بين طرفَي $2.2\,\mathrm{k}\Omega$. ثم يُوصل جهاز مقاومته $2.2\,\mathrm{k}\Omega$ على طرفيها: فما [التوتر](#def-b1-dc-circuits-voltage) الجديد؟ واستنتج ما مفعول التحميل.

**حل التمرين 6.4.**

$u_2 = 12 \times 2.2/6.9 = 3.83\,\mathrm{V}$. ومحمَّلًا: $2.2 \parallel 2.2 =
1.1\,\mathrm{k}\Omega$ و $u_2 = 12 \times 1.1/5.8 = 2.28\,\mathrm{V}$: فالحمولة تجرّ المجزّئ إلى الأسفل بمقدار $40\%$ — فالمجزّئ لا “يجزّئ” إلا إذا غذّى شيئًا أعلى مقاومةً بكثير.

**تمرين 6.5 ★★.**

بطارية تقرأ $12.6\,\mathrm{V}$ مفتوحةً و$11.4\,\mathrm{V}$ وهي تعطي $120\,\mathrm{A}$. أوجد مقاومتها الداخلية وتيار قصرها، والاستطاعة المقدَّمة إلى المقلع والاستطاعة الضائعة داخلها، والمردود.

**حل التمرين 6.5.**

$r = (12.6 - 11.4)/120 = 10\,\mathrm{m}\Omega$؛ و$I_N = 12.6/0.010 =
1260\,\mathrm{A}$. وإلى المقلع $11.4 \times 120 = 1.37\,\mathrm{kW}$؛ والضائع $0.010 \times 120^2 = 144\,\mathrm{W}$؛ والمردود $1368/1512 = 90\%$.

**تمرين 6.6 ★★.**

أوجد مكافئ تيفنان، منظورًا من طرفَي الناقلة $2.2\,\mathrm{k}\Omega$، للمجزّئ في [التمرين 6.4](#exo-b1-dc-circuits-4) ($E = 12\,\mathrm{V}$ و $R_1 = 4.7\,\mathrm{k}\Omega$ و $R_2 = 2.2\,\mathrm{k}\Omega$). واستعمله لاستعادة [التوتر](#def-b1-dc-circuits-voltage) المحمَّل في ذلك التمرين.

**حل التمرين 6.6.**

$E_{\mathrm{Th}} = 3.83\,\mathrm{V}$ (وهو مجزّئ الدارة المفتوحة)؛ و$R_{\mathrm{Th}}
= 4.7 \parallel 2.2 = 1.50\,\mathrm{k}\Omega$ (بقصر المنبع). ومحمَّلًا: $u = 3.83 \times 2.2/(1.50 + 2.2) = 2.28\,\mathrm{V}$.

**تمرين 6.7 ★★.**

بطاريتان، $E_1 = 10\,\mathrm{V}$ ($r_1 = 1.0\,\Omega$) و $E_2 = 5.0\,\mathrm{V}$ ($r_2 = 2.0\,\Omega$)، موصولتان على التفرع (بالقطبية نفسها) على حمولة $2.0\,\Omega$. أوجد [توتر](#def-b1-dc-circuits-voltage) الحمولة بالتراكب، ثم بميلمان، والتيار في كل بطارية. وهل تُشحن البطارية الأضعف أم تُفرَّغ؟

**حل التمرين 6.7.**

بالتراكب: يرى $E_1$ وحده $r_2 \parallel R = 1.0\,\Omega$، ومنه $u = 10 \times 1/(1 + 1) = 5.0\,\mathrm{V}$؛ ويرى $E_2$ وحده $r_1 \parallel R
= 0.667\,\Omega$، ومنه $u = 5 \times 0.667/2.667 = 1.25\,\mathrm{V}$؛ والمجموع $6.25\,\mathrm{V}$. وبميلمان: $(10/1 + 5/2 + 0/2)/(1 + 0.5 + 0.5) = 6.25\,\mathrm{V}$. والبطارية 1: $(10 - 6.25)/1 = 3.75\,\mathrm{A}$ خارجة؛ والبطارية 2: $(5 - 6.25)/2
= -0.63\,\mathrm{A}$، أي $0.63\,\mathrm{A}$ *داخلة* إليها — فهي تُشحن من الأقوى؛ والحمولة $6.25/2 = 3.1\,\mathrm{A}$.

**تمرين 6.8 ★★.**

منبع $E = 9.0\,\mathrm{V}$ و $r = 3.0\,\Omega$. احسب الاستطاعة المقدَّمة إلى حمولات $1.0\,\Omega$ و $3.0\,\Omega$ و $12\,\Omega$، والمردود في كل حالة. وأيّ حمولة يختار المهندس لجهاز يعمل ببطارية، ولماذا ليست المكيَّفة؟

**حل التمرين 6.8.**

$i = 9/(R + 3)$ و $P = Ri^2$ و $\eta = R/(R + 3)$: فمن أجل $1\,\Omega$: $5.1\,\mathrm{W}$ و$25\%$؛ ومن أجل $3\,\Omega$: $6.75\,\mathrm{W}$ و$50\%$؛ ومن أجل $12\,\Omega$: $4.3\,\mathrm{W}$ و$80\%$. والجهاز الذي يعمل ببطارية يريد المردود (أي عمر البطارية)، ومن ثمّ $R \gg r$؛ أما الحمولة المكيَّفة فتهدر نصف الطاقة حرارةً في البطارية.

**تمرين 6.9 ★★.**

ثنائي LED ينقل عند $2.0\,\mathrm{V}$ ويجب أن يحمل $15\,\mathrm{mA}$ من مغذٍّ $5.0\,\mathrm{V}$. اختر الناقلة المتسلسلة، والاستطاعتين في الناقلة وفي الثنائي، وارسم بناء [مستقيم الحمولة](#met-b1-dc-circuits-loadline). وماذا يحدث إذا كان المغذّي $3.3\,\mathrm{V}$؟

**حل التمرين 6.9.**

$R = (5.0 - 2.0)/0.015 = 200\,\Omega$؛ و$P_R = 3.0 \times 0.015 =
45\,\mathrm{mW}$ و $P_{\mathrm{LED}} = 2.0 \times 0.015 = 30\,\mathrm{mW}$. [ومستقيم الحمولة](#met-b1-dc-circuits-loadline) من $(0, 25\,\mathrm{mA})$ إلى $(5\,\mathrm{V}, 0)$ يلاقي المميِّزة الشاقولية عند $2.0\,\mathrm{V}$. وعند $3.3\,\mathrm{V}$ تعطي الناقلة نفسها $6.5\,\mathrm{mA}$ فقط؛ ومن أجل $15\,\mathrm{mA}$ يلزم $R = 1.3/0.015 =
87\,\Omega$.

**تمرين 6.10 ★★★.**

مقياس تشوّه $R_4 = R(1 + \epsilon)$، حيث $R = 1.0\,\mathrm{k}\Omega$، موضوع في [جسر ويتستون](#prop-b1-dc-circuits-wheatstone) مع ثلاث ناقلات ثابتة $1.0\,\mathrm{k}\Omega$ تحت $5.0\,\mathrm{V}$. اشتقّ [توتر](#def-b1-dc-circuits-voltage) الخرج حتى الرتبة الأولى في $\epsilon$ ثم احسبه من أجل $\epsilon = 1.0 \times 10^{-3}$. ولماذا يُفضَّل الجسر على قياس [توتر](#def-b1-dc-circuits-voltage) المقياس في مجزّئ بسيط؟

**حل التمرين 6.10.**

$u = E\left[\dfrac12 - \dfrac{1 + \epsilon}{2 + \epsilon}\right] =
-E\dfrac{\epsilon}{2(2 + \epsilon)} \approx -\dfrac{E\epsilon}{4} =
-1.25\,\mathrm{mV}$. وفي مجزّئ بسيط يقع التغيّر نفسه فوق إزاحة $2.5\,\mathrm{V}$ (أي $2.501\,25\,\mathrm{V}$)؛ أما الجسر فيعطي $1.25\,\mathrm{mV}$ حول الصفر، ويمكن تضخيمها ألف مرة دون إشباع أيّ شيء.

**تمرين 6.11 ★★★.**

اثنتا عشرة [ناقلة أومية](#def-b1-dc-circuits-resistor) متماثلة $R$ تشكّل أحرف مكعب. باستعمال التناظر (أيّ العقد لها الكمون نفسه حين يدخل تيار $I$ من زاوية ويخرج من الزاوية المقابلة)، بيّن أن المقاومة بين زاويتين متقابلتين هي $5R/6$.

**حل التمرين 6.11.**

بالتناظر يشترك جيران زاوية الدخول الثلاثة في كمون واحد، وجيران زاوية الخروج الثلاثة في كمون آخر. فينقسم التيار $I$ إلى $I/3$ في أحرف الدخول الثلاثة، ثم ينقسم كل منها إلى $I/6$ على امتداد الأحرف الوسطى الستة، ثم تتجمّع في $I/3$ في أحرف الخروج الثلاثة. [والتوتر](#def-b1-dc-circuits-voltage): $RI/3 + RI/6 + RI/3 = 5RI/6$، ومنه $R_{\mathrm{eq}} = 5R/6$.

**تمرين 6.12 ★★★.**

[منبع تيار](#def-b1-dc-circuits-sources) $I_N = 2.0\,\mathrm{A}$ على التفرع مع $4.0\,\Omega$ موصول، عبر ناقلة $2.0\,\Omega$، ببطارية $6.0\,\mathrm{V}$ (مقاومتها مهملة) تعاكسه قوتها المحركة. حوّل منبع نورتن إلى تيفنان وأوجد التيار في الناقلة $2.0\,\Omega$ والاستطاعة التي يتبادلها كل منبع.

**حل التمرين 6.12.**

بتيفنان: $E = I_N r = 8.0\,\mathrm{V}$ مع $4.0\,\Omega$ على التسلسل. وبقانون الحلقات: $8.0 - 6.0 = (4.0 + 2.0)i$، ومنه $i = 0.33\,\mathrm{A}$ نحو البطارية. فتتلقى البطارية $6.0 \times 0.33 = 2.0\,\mathrm{W}$ (أي تُشحن)؛ وتبدد الناقلة $2\,\Omega$ مقدار $0.22\,\mathrm{W}$؛ [وتوتر](#def-b1-dc-circuits-voltage) طرفَي زوج نورتن هو $8.0 - 4.0 \times 0.33 = 6.67\,\mathrm{V}$، ومنه تحمل $4\,\Omega$ تيارًا قدره $1.67\,\mathrm{A}$ وتبدد $11.1\,\mathrm{W}$، ويقدّم [منبع التيار](#def-b1-dc-circuits-sources) $2.0 \times 6.67 = 13.3\,\mathrm{W}$ — والحصيلة متوازنة.

![تحت غطاء المحرك: بطارية 12\, V وكبلاتها الغليظة والمولّد المتناوب — وهي شبكة التيار المستمر في مسألة نهاية الأسبوع، بمئات الأمبيرات عند الإقلاع.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-dc-circuits/img-bd8366c9fe62.jpg)

*تحت غطاء المحرك: بطارية $12\,\mathrm{V}$ وكبلاتها الغليظة والمولّد المتناوب — وهي شبكة التيار المستمر في مسألة نهاية الأسبوع، بمئات الأمبيرات عند الإقلاع.*

## 6.7 مسألة: الشبكة الكهربائية في سيارة

**مسألة 6.1.**

مسألة نهاية الأسبوع — بطارية واحدة ومقلع ومصباحان أماميان ومولّد متناوب وبضعة أمتار من النحاس: من يأخذ التيار، ومن يدفع، ولماذا تخفت الأضواء حين يدور المحرك

البطارية منبع حقيقي، قوته المحركة $E = 12.6\,\mathrm{V}$ ومقاومته الداخلية $r = 10\,\mathrm{m}\Omega$. والنحاس: $\rho = 1.7 \times 10^{-8}\,\Omega\,\mathrm{m}$.

**الجزء I — البطارية وحدها.**

1. ارسم [نموذج تيفنان](#def-b1-dc-circuits-sources) واكتب $u(i)$ في [اصطلاح المولّد](#thm-b1-dc-circuits-kirchhoff) .
2. أعطِ [توتر](#def-b1-dc-circuits-voltage) الدارة المفتوحة وتيار القصر. ولماذا يجب ألّا يصل مفتاح ربط ساقط بين الطرفين أبدًا؟
3. اكتب [نموذج نورتن](#def-b1-dc-circuits-sources) للبطارية نفسها.
4. تغذّي البطارية [ناقلة أومية](#def-b1-dc-circuits-resistor) $R$ : عبّر عن التيار [وتوتر](#def-b1-dc-circuits-voltage) الطرفين والاستطاعة $P_R$ المقدَّمة والاستطاعة الضائعة في $r$ .
5. بيّن أن $P_R$ عظمى من أجل $R = r$ واحسب تلك القيمة العظمى. وما المردود عندئذٍ؟
6. يقيس فنّيّ $u = 12.48\,\mathrm{V}$ عند $12\,\mathrm{A}$ و $u = 11.40\,\mathrm{V}$ عند $120\,\mathrm{A}$ . تحقق من أن النقطتين تقعان على النموذج وفسّر كيف تعطي سلسلة من نقاط كهذه $E$ و $r$ بملاءمة مستقيمة.
7. تخزّن البطارية $60\,\mathrm{A}\,\mathrm{h}$ . فكم من الوقت تستطيع تشغيل المصباحين الأماميين $55\,\mathrm{W}$ وحدهما (خذ $12\,\mathrm{V}$ )؟ وكم تبلغ تلك الطاقة بالجول؟

**الجزء II — الإقلاع والأضواء مشتعلة.** المقلع [ناقلة أومية](#def-b1-dc-circuits-resistor) $R_s = 80\,\mathrm{m}\Omega$؛ وكل مصباح أمامي مقنَّن $55\,\mathrm{W}$ عند $12.0\,\mathrm{V}$ ويُعالَج معالجة [ناقلة أومية](#def-b1-dc-circuits-resistor).

8. احسب مقاومة مصباح واحد ومقاومة الاثنين على التفرع.
9. المقلع وحده: التيار [وتوتر](#def-b1-dc-circuits-voltage) الطرفين والاستطاعة في المقلع، والاستطاعة الضائعة في البطارية.
10. المقلع والمصباحان معًا: مقاومة الحمولة المكافئة والتيار الكلي [وتوتر](#def-b1-dc-circuits-voltage) الطرفين.
11. استعمل [مجزّئ التيار](#prop-b1-dc-circuits-dividers) لإيجاد تيار المقلع وتيار المصباحين.
12. احسب الاستطاعة التي يتلقاها كل مصباح الآن وقارنها بتقنينه: فبأيّ كسر تخفت الأضواء؟
13. فسّر في جملتين، بقانون الحلقات، لماذا تخفت الأضواء بالضبط لأن المقلع يسحب تيارًا كبيرًا.
14. وهل تنفع كبلات بطارية أغلظ الأضواءَ؟ برّر الآن نوعيًّا (والجزء IV يكمّم ذلك).

**الجزء III — المحرك يدور: المولّد المتناوب.** المولّد المتناوب منبع حقيقي ثانٍ، $E_a = 14.2\,\mathrm{V}$ و $r_a = 50\,\mathrm{m}\Omega$، على التفرع مع البطارية؛ والمقلع مطفأ والمصباحان مشتعلان.

15. ارسم الدارة: منبعان حقيقيان وحمولة المصباحين على التفرع بين العقدتين نفسيهما.
16. طبّق مبرهنة ميلمان لإيجاد [توتر](#def-b1-dc-circuits-voltage) الطرفين المشترك.
17. استنتج تيار المولّد وتيار البطارية (بإشارته!) و تيار المصباحين؛ وتحقق من قانون العقد.
18. هل تُشحن البطارية أم تُفرَّغ؟ وأيّ استطاعة تتلقى، وأيّ استطاعة يقدّم المولّد؟
19. استعد [توتر](#def-b1-dc-circuits-voltage) الطرفين بالتراكب (كل منبع وحده والآخر مستبدَل بمقاومته الداخلية) ثم تحقق.

**الجزء IV — المحسّات والأسلاك.**

20. محسّ سائل التبريد مقاومة حرارية تهبط مقاومتها من $2.0\,\mathrm{k}\Omega$ عند $20{}^{\circ}\mathrm{C}$ إلى $300\,\Omega$ عند $90{}^{\circ}\mathrm{C}$ ؛ وهي الناقلة السفلى في مجزّئ يغذّيه $5.0\,\mathrm{V}$ ، والناقلة العليا $R_0$ . عبّر عن [توتر](#def-b1-dc-circuits-voltage) الخرج، واحسبه عند درجتَي الحرارة من أجل $R_0 = 775\,\Omega$ .
21. بيّن أن مدى الخرج بين درجتَي الحرارة يكون أكبر ما يكون حين تكون $R_0$ الوسط الهندسي لقيمتَي المحسّ، وتحقق من القيمة أعلاه.
22. يوضع المحسّ نفسه في [جسر ويتستون](#prop-b1-dc-circuits-wheatstone) مع ثلاث ناقلات $775\,\Omega$ : اكتب خرج الجسر وقل عند أيّ درجة حرارة يتوازن.
23. كبل المقلع طوله $1.5\,\mathrm{m}$ في كل اتجاه. احسب مقاومة ناقل واحد مقطعه $16\,\mathrm{mm}^{2}$ ، و هبوط [التوتر](#def-b1-dc-circuits-voltage) الكلي عند $140\,\mathrm{A}$ ، والاستطاعة المتبددة في الكبلين.
24. والمثل مع كبل $4\,\mathrm{mm}^{2}$ : فلماذا يكون كبل المقلع بهذه الغلاظة؟
25. لخّص: أعطِ [توتر](#def-b1-dc-circuits-voltage) الطرفين أثناء الإقلاع، و كسر الاستطاعة الذي يبلغ المقلع، والقانون الوحيد الذي يفسّر خفوت الأضواء.

**حل المسألة 6.1.**

**1.** قوة محركة مثالية $E$ على التسلسل مع $r$: أي $u = E - ri$.

**2.** $u(0) = 12.6\,\mathrm{V}$؛ و$I_N = E/r = 1260\,\mathrm{A}$. ومفتاح ربط يصل بين الطرفين سيحمله: أي $16\,\mathrm{kW}$ في بضعة غرامات من الفولاذ — فينصهر ويتطاير.

**3.** [منبع تيار](#def-b1-dc-circuits-sources) $I_N = 1260\,\mathrm{A}$ على التفرع مع $10\,\mathrm{m}\Omega$.

**4.** $i = E/(R + r)$؛ و$u = ER/(R + r)$؛ و$P_R = E^2R/(R + r)^2$؛ و$P_r = E^2r/(R + r)^2$.

**5.** $\dd P_R/\dd R \propto (r - R)$: فالعظمى عند $R = r$، و $P_{\max} = E^2/4r = 12.6^2/0.040 = 4.0\,\mathrm{kW}$؛ والمردود $R/(R + r) = 50\%$.

**6.** $12.6 - 0.010 \times 12 = 12.48\,\mathrm{V}$؛ و$12.6 - 0.010 \times
120 = 11.40\,\mathrm{V}$. ورسم $u$ بدلالة $i$ يعطي مستقيمًا مقطعه $E$ وميله $-r$ ([بالمربعات الصغرى](https://one-course.com/books/physics/3/ar/chapter/1-units-dimensions-and-measurement#prop-b1-units-dimensions-regression)، [الفصل 1](https://one-course.com/books/physics/3/ar/chapter/1-units-dimensions-and-measurement#ch-b1-units-dimensions)).

**7.** المصباحان: $110\,\mathrm{W}$ عند $12\,\mathrm{V}$، أي $9.2\,\mathrm{A}$؛ ومنه $60/9.2 = 6.5\,\mathrm{h}$. والطاقة $60 \times 3600 \times 12 = 2.6\,\mathrm{MJ}$.

**8.** $R_h = 12^2/55 = 2.62\,\Omega$؛ وعلى التفرع $1.31\,\Omega$.

**9.** $i = 12.6/0.090 = 140\,\mathrm{A}$؛ و$u = 12.6 - 1.4 = 11.2\,\mathrm{V}$؛ و$P_s = 0.080 \times 140^2 = 1.57\,\mathrm{kW}$؛ والضائع $0.010 \times 140^2 =
196\,\mathrm{W}$.

**10.** $R = 0.080 \parallel 1.31 = 75.4\,\mathrm{m}\Omega$؛ و$i = 12.6/0.0854
= 148\,\mathrm{A}$؛ و$u = 12.6 - 1.48 = 11.1\,\mathrm{V}$.

**11.** $i_s = i \times 1.31/(1.31 + 0.080) = 139\,\mathrm{A}$؛ و$i_h =
8.5\,\mathrm{A}$ للمصباحين معًا.

**12.** كل مصباح: $u^2/R_h = 11.1^2/2.62 = 47\,\mathrm{W}$ في مقابل $55\,\mathrm{W}$: أي خفوت بمقدار $14\%$.

**13.** بقانون الحلقات: [توتر](#def-b1-dc-circuits-voltage) الطرفين هو $u = E - ri$؛ فتيار المقلع البالغ $140\,\mathrm{A}$ يُحدث هبوطًا قدره $1.4\,\mathrm{V}$ داخل البطارية، والمصباحان، وهما على التفرع على الطرفين نفسيهما، يتلقيان ذلك [التوتر](#def-b1-dc-circuits-voltage) المخفَّض.

**14.** جزئيًّا فقط: فالكبلات الأغلظ تخفض الهبوط في الكبلات، لا في $r$؛ والمصباحان المغذَّيان من طرفَي البطارية يريان $E - ri$ دائمًا.

**15.** ثلاثة فروع بين العقدتين نفسيهما: $(E, r)$ و $(E_a, r_a)$ و $R_h = 1.31\,\Omega$.

**16.** $V = \dfrac{12.6/0.010 + 14.2/0.050 + 0/1.31}{100 + 20 + 0.763}
= \dfrac{1544}{120.8} = 12.79\,\mathrm{V}$.

**17.** المولّد $(14.2 - 12.79)/0.050 = 28.3\,\mathrm{A}$؛ والبطارية $(12.6 - 12.79)/0.010 = -18.6\,\mathrm{A}$ (أي داخلًا *إليها*)؛ والمصباحان $12.79/1.31 = 9.8\,\mathrm{A}$؛ و$28.3 = 18.6 + 9.8$.

**18.** تُشحن. وتتلقى $12.79 \times 18.6 = 238\,\mathrm{W}$ (منها $234\,\mathrm{W}$ مخزَّنة و$3.5\,\mathrm{W}$ حرارة)؛ ويقدّم المولّد $12.79 \times 28.3 = 362\,\mathrm{W}$ عند طرفيه.

**19.** البطارية وحدها (والمولّد $\to$ $50\,\mathrm{m}\Omega$): الحمولة $0.050 \parallel 1.31 = 48.2\,\mathrm{m}\Omega$، ومنه $u_1 = 12.6 \times 48.2/58.2 =
10.44\,\mathrm{V}$. والمولّد وحده (والبطارية $\to$ $10\,\mathrm{m}\Omega$): الحمولة $0.010 \parallel 1.31 = 9.92\,\mathrm{m}\Omega$، ومنه $u_2 = 14.2 \times 9.92/59.9 =
2.35\,\mathrm{V}$. والمجموع $12.79\,\mathrm{V}$.

**20.** $u = 5.0\,R_s/(R_0 + R_s)$: أي $3.60\,\mathrm{V}$ عند $20{}^{\circ}\mathrm{C}$، و$1.40\,\mathrm{V}$ عند $90{}^{\circ}\mathrm{C}$.

**21.** $\Delta u = 5[R_a/(R_0 + R_a) - R_b/(R_0 + R_b)]$؛ و$\dd\Delta u/\dd R_0 = 0 \Leftrightarrow R_a/(R_0 + R_a)^2 = R_b/(R_0 +
R_b)^2 \Leftrightarrow R_0^2 = R_aR_b$: ومنه $R_0 = \sqrt{2000 \times 300} =
775\,\Omega$.

**22.** $u = 5[\tfrac12 - R_s/(775 + R_s)]$، وهو معدوم حين $R_s =
775\,\Omega$، أي عند درجة الحرارة الوسطى التي تبلغ عندها المقاومة الحرارية تلك القيمة.

**23.** $R = 1.7\times10^{-8} \times 1.5/16\times10^{-6} =
1.6\,\mathrm{m}\Omega$ لكل ناقل، أي $3.2\,\mathrm{m}\Omega$ إجمالًا؛ والهبوط $0.0032
\times 140 = 0.45\,\mathrm{V}$؛ والاستطاعة $63\,\mathrm{W}$.

**24.** ومع $4\,\mathrm{mm}^{2}$: $6.4\,\mathrm{m}\Omega$ لكل ناقل، أي $12.8\,\mathrm{m}\Omega$ إجمالًا: فالهبوط $1.8\,\mathrm{V}$ و$250\,\mathrm{W}$ مهدورة — وكان المقلع سيفقد سُدس توتره. فالكبل الغليظ يبقي $R_{\text{الكبل}} \ll R_s$.

**25.** نحو $11.1\,\mathrm{V}$ عند الطرفين أثناء الإقلاع؛ ويتلقى المقلع $1568/(1568 + 196) \approx 89\%$ من استطاعة البطارية؛ والخفوت هو قانون الحلقات، $u = E - ri$.