--- title: "النظام الجيبي الدائم والممانعة" book: "الفيزياء الجامعية — السنة الأولى" subject: physics language: ar chapter: 8 exercises: 12 source: https://one-course.com/books/physics/3/ar/chapter/8-sinusoidal-steady-state-and-impedance --- # الفصل 8 — النظام الجيبي الدائم والممانعة أدِر قرص مذياع قديم، فمن بين مئة محطة تبلغ الهوائي دفعةً واحدة تنفذ واحدة: إذ ضُبطت وشيعة ومكثف متغير بحيث يجعلهما تواتر واحد بالضبط يرنّان. والتيار المنزلي الذي يهمهم في كل جدار جيب عند $50\,\mathrm{Hz}$؛ والمصنع الذي يشغّل عليه محركات كبيرة يدفع غرامة إذا تأخر تياره عن توتره أكثر مما ينبغي. والجيوب هي اللغة الطبيعية للدارات الخطية — إذ تخرج كما تدخل، مضروبةً في عدد ومنزاحةً في الطور — ويعطيها هذا الفصل جبرها: السعات العقدية، والممانعات، ورنين [الدارة RLC](https://one-course.com/books/physics/3/ar/chapter/7-transient-regimes-first-and-second-order#prop-b1-transient-regimes-rlc)، والاستطاعة التي تقدّمها التيارات الجيبية فعلًا. ![راسم اهتزاز يعرض جيبًا وموجة مربعة: فالجيب هو الإشارة التي يعيش عليها هذا الفصل، والموجة المربعة هي التي يفكّكها الفصل التالي إلى جيوب.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-sinusoidal-impedance/img-1d22c9099832.jpg) *راسم اهتزاز يعرض جيبًا وموجة مربعة: فالجيب هو الإشارة التي يعيش عليها هذا الفصل، والموجة المربعة هي التي يفكّكها الفصل التالي إلى جيوب.* ## 8.1 النظام الجيبي الدائم **قضية 8.1 (النظام الجيبي القسري).** في [دارة خطية](https://one-course.com/books/physics/3/ar/chapter/6-dc-circuits-kirchhoffs-laws-and-theorems#def-b1-dc-circuits-linear) يقودها منبع جيبي تواتره الزاوي $\omega$، يكون كل تيار وكل توتر، بعد أن تخبو الأنظمة العابرة، جيبًا له [التواتر الزاوي](https://one-course.com/books/physics/3/ar/chapter/5-signal-propagation-travelling-and-standing-waves#def-b1-wave-propagation-signal) $\omega$ نفسه، ولكلٍّ سعته وطوره: $x(t) = X\cos(\omega t + \varphi)$. **برهان.** معادلات الدارة معادلات تفاضلية خطية ذات معاملات ثابتة؛ وحلّها العام حلّ خاصّ زائد حلول المعادلة المتجانسة، وهي عوابر [الفصل 7](https://one-course.com/books/physics/3/ar/chapter/7-transient-regimes-first-and-second-order#ch-b1-transient-regimes) وتتناقص (فلكل دارة حقيقية بعض المقاومة). ويوجد حلّ خاصّ جيبي لأن اشتقاق جيب تواتره $\omega$ يعطي جيبًا له التواتر نفسه: فيمكن تحقيق المعادلات حدًّا حدًّا — والطريقة العقدية أدناه تبنيه صراحةً. ∎ **تعريف 8.2 (السعة العقدية).** يُقرن بالجيب $x(t) = X\cos(\omega t + \varphi)$ الإشارةُ العقدية $\underline{x}(t) = X\eu^{j(\omega t + \varphi)}$، بحيث $x = \Rea(\underline{x})$، وتُقرن به *السعة العقدية* $$ \underline{X} = X\eu^{j\varphi}, \qquad \underline{x}(t) = \underline{X}\,\eu^{j\omega t}, $$ وهي تحمل السعة $X = \abs{\underline{X}}$ والطور $\varphi = \arg\underline{X}$. ويرمز $j$ هنا إلى الوحدة التخيلية، $j^2 = -1$، إذ حُفظ الحرف $i$ للتيارات. وإذا رُسمت متجهةً طولها $X$ بالزاوية $\varphi$ كانت $\underline{X}$ *متجهة فرنل*. **قضية 8.3 (قواعد الطريقة العقدية).** 1. العمليات الخطية تتبادل مع أخذ الجزء الحقيقي: [فالسعة العقدية](#def-b1-sinusoidal-impedance-complex) لمجموع هي مجموع السعات العقدية. 2. الاشتقاق بالنسبة إلى الزمن يضرب [السعة العقدية](#def-b1-sinusoidal-impedance-complex) في $j\omega$ ؛ والمكاملة تقسمها على $j\omega$ . 3. قانونا كيرشوف، لكونهما خطيين، يصحّان من أجل السعات العقدية. **برهان.** $\Rea(\underline a + \underline b) = \Rea\underline a + \Rea\underline b$؛ و$\dd(\underline X\eu^{j\omega t})/\dd t = j\omega\underline X\eu^{j\omega t}$، و$\dd x/\dd t = \Rea(\dd\underline x/\dd t)$ لأن الاشتقاق خطي حقيقيًّا. ومجاميع التيارات عند عقدة والتوترات على امتداد حلقة خطية. ∎ **مثال 8.4 (جمع جيبين).** $3\cos\omega t + 4\sin\omega t$: السعتان العقديتان هما $3$ و $4\eu^{-j\pi/2} = -4j$ (لأن $\sin\omega t = \cos(\omega t - \pi/2)$)؛ ومجموعهما $3 - 4j$ مقياسه $5$ وعمدته $-0.927\ \mathrm{rad}$: أي $5\cos(\omega t - 0.927)$. ولا حاجة إلى أيّ متطابقة مثلثية. ## 8.2 الممانعة **تعريف 8.5 (الممانعة والمسايرة).** من أجل [ثنائي قطب خطي](https://one-course.com/books/physics/3/ar/chapter/6-dc-circuits-kirchhoffs-laws-and-theorems#def-b1-dc-circuits-linear) في [النظام الجيبي الدائم](#prop-b1-sinusoidal-impedance-forced) ([باصطلاح المستقبِل](https://one-course.com/books/physics/3/ar/chapter/6-dc-circuits-kirchhoffs-laws-and-theorems#thm-b1-dc-circuits-kirchhoff))، تكون *الممانعة* نسبةَ السعتين العقديتين $$ \underline Z = \frac{\underline U}{\underline I} = Z\eu^{j\varphi} \quad (\text{بالأوم}), $$ ومقياسها $Z = U/I$ يربط السعتين، وعمدتها $\varphi = \varphi_u - \varphi_i$ هي تقدّم طور التوتر على التيار. ومقلوبها $\underline Y = 1/\underline Z$ هو *المسايرة* (بالسيمنس). والجزء الحقيقي من $\underline Z$ هو مقاومتها، والجزء التخيلي *مفاعلتها*. **قضية 8.6 (ممانعات R و L و C).** $$ \underline Z_R = R, \qquad \underline Z_L = jL\omega, \qquad \underline Z_C = \frac{1}{jC\omega} = -\frac{j}{C\omega} . $$ [الناقلة الأومية](https://one-course.com/books/physics/3/ar/chapter/6-dc-circuits-kirchhoffs-laws-and-theorems#def-b1-dc-circuits-resistor) تُبقي التوتر والتيار على الطور نفسه؛ وفي الوشيعة يتقدّم التوتر على التيار بمقدار $\pi/2$؛ وفي المكثف يتأخر بمقدار $\pi/2$. وعند التواتر المنخفض تؤول الوشيعة إلى سلك ويؤول المكثف إلى دارة مفتوحة؛ وعند التواتر العالي يكون العكس. **برهان.** $u = Ri$؛ و$u = L\,\dd i/\dd t \to \underline U = jL\omega\,\underline I$؛ و$i = C\,\dd u/\dd t \to \underline I = jC\omega\,\underline U$. و عمدات $1$ و $j$ و $-j$ هي $0$ و $\pi/2$ و $-\pi/2$. ∎ **قضية 8.7 (التجميع والمجزّئات والمبرهنات).** الممانعات على التسلسل تُجمع؛ والمسايرات على التفرع تُجمع؛ ومجزّئا التوتر والتيار ومبرهنتا تيفنان ونورتن والتراكب و مبرهنة ميلمان في [الفصل 6](https://one-course.com/books/physics/3/ar/chapter/6-dc-circuits-kirchhoffs-laws-and-theorems#ch-b1-dc-circuits) تصحّ كلها مع السعات العقدية والممانعات بدلًا من التوترات والتيارات والمقاومات الحقيقية. **برهان.** كل برهان في [الفصل 6](https://one-course.com/books/physics/3/ar/chapter/6-dc-circuits-kirchhoffs-laws-and-theorems#ch-b1-dc-circuits) لم يستعمل إلا قانونَي كيرشوف و خطية $u = Ri$، وكلاهما يصحّ في الصورة العقدية. ∎ **مثال 8.8 (مجزّئ RC).** [ناقلة أومية](https://one-course.com/books/physics/3/ar/chapter/6-dc-circuits-kirchhoffs-laws-and-theorems#def-b1-dc-circuits-resistor) $R$ ومكثف $C$ على التسلسل تحت $\underline E$، و الخرج مأخوذ على طرفَي $C$: فيكون $\underline U_C = \underline E\,\dfrac{1/jC\omega} {R + 1/jC\omega}$، أي $\dfrac{\underline E}{1 + jRC\omega}$. فالسعة $E/\sqrt{1 + (RC\omega)^2}$، والطور $-\arctan(RC\omega)$: أي نفاذ تامّ عند التواترات المنخفضة، و$1/\sqrt2$ و$-45^\circ$ عند $\omega = 1/RC$، وهبوط بالمقدار $1/\omega$ بعدها — أي مرشّح تمرير منخفض، وهو موضوع [الفصل 9](https://one-course.com/books/physics/3/ar/chapter/9-filters-and-transfer-functions#ch-b1-filters-transfer-functions). ## 8.3 الدارة RLC على التسلسل: الرنين **مبرهنة 8.9 (رنين التيار).** [ناقلة أومية](https://one-course.com/books/physics/3/ar/chapter/6-dc-circuits-kirchhoffs-laws-and-theorems#def-b1-dc-circuits-resistor) $R$ ووشيعة $L$ ومكثف $C$ على التسلسل تحت $e(t) = E\cos\omega t$ تحمل تيارًا سعته العقدية $$ \underline I = \frac{E}{R + j\left(L\omega - \dfrac{1}{C\omega}\right)}, \qquad I = \frac{E}{\sqrt{R^2 + \left(L\omega - \dfrac{1}{C\omega}\right)^2}}, \qquad \varphi_i = -\arctan\frac{L\omega - 1/C\omega}{R} . $$ والسعة عظمى، $I_{\max} = E/R$، ويكون التيار والتوتر على الطور نفسه، عند *الرنين* $\omega_0 = 1/\sqrt{LC}$. ومع $Q = L\omega_0/R = 1/(RC\omega_0)$ و $x = \omega/\omega_0$، $$ \frac{I}{I_{\max}} = \frac{1}{\sqrt{1 + Q^2\left(x - \dfrac1x\right)^2}} , $$ ويكون *[عرض النطاق](#thm-b1-sinusoidal-impedance-resonance)* — أي مجال $\omega$ الذي يتحقق فيه $I \geq I_{\max}/\sqrt2$ — هو $$ \Delta\omega = \omega_2 - \omega_1 = \frac{\omega_0}{Q} = \frac{R}{L} . $$ **برهان.** الممانعات على التسلسل تُجمع: $\underline Z = R + jL\omega + 1/jC\omega$، و $\underline I = \underline E/\underline Z$. والمقياس أكبر ما يكون حين تنعدم [المفاعلة](#def-b1-sinusoidal-impedance-impedance) $L\omega - 1/C\omega$، أي عند $\omega_0$. ونعامل $L\omega - 1/C\omega = L\omega_0(x - 1/x)$ ونقسم على $R$: فيكون $L\omega_0/R = Q$. وعند حدَّي النطاق يكون $Q(x - 1/x) = \pm 1$، أي $x^2 \mp x/Q - 1 = 0$، وجذراه الموجبان $x_{1,2} = \mp\frac{1}{2Q} + \sqrt{1 + \frac{1}{4Q^2}}$؛ والفرق بينهما $1/Q$. ∎ ![الدارة RLC على التسلسل: سعة التيار (يسارًا) وطوره بالنسبة إلى المنبع (يمينًا) بدلالة / _0، من أجل Q = 1, 3, 10. وتضيق الذروة كلما نما Q (= _0/Q)؛ ودون الرنين تكون الدارة سعوية (فيتقدّم التيار)، وفوقه تحريضية (فيتأخر).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-sinusoidal-impedance/fig-74f88f6a89eb.svg) ![الدارة RLC على التسلسل: سعة التيار (يسارًا) وطوره بالنسبة إلى المنبع (يمينًا) بدلالة / _0، من أجل Q = 1, 3, 10. وتضيق الذروة كلما نما Q (= _0/Q)؛ ودون الرنين تكون الدارة سعوية (فيتقدّم التيار)، وفوقه تحريضية (فيتأخر).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-sinusoidal-impedance/fig-9bef167671c0.svg) *[الدارة RLC](https://one-course.com/books/physics/3/ar/chapter/7-transient-regimes-first-and-second-order#prop-b1-transient-regimes-rlc) على التسلسل: سعة التيار (يسارًا) وطوره بالنسبة إلى المنبع (يمينًا) بدلالة $\omega/\omega_0$، من أجل $Q = 1, 3, 10$. وتضيق الذروة كلما نما $Q$ ($\Delta\omega = \omega_0/Q$)؛ ودون الرنين تكون الدارة سعوية (فيتقدّم التيار)، وفوقه تحريضية (فيتأخر).* ![مخطط متجهات فرنل للدارة RLC على التسلسل فوق الرنين: U_R على امتداد I، وU_L متقدمةً ربع دورة، وU_C متأخرةً ربع دورة؛ ومجموعها E يتقدّم على التيار بمقدار . وعند الرنين تتلاشى U_L و U_C ويكون E = U_R.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-sinusoidal-impedance/fig-b403cb43517d.svg) *مخطط متجهات فرنل [للدارة RLC](https://one-course.com/books/physics/3/ar/chapter/7-transient-regimes-first-and-second-order#prop-b1-transient-regimes-rlc) على التسلسل فوق الرنين: $\underline U_R$ على امتداد $\underline I$، و$\underline U_L$ متقدمةً ربع دورة، و$\underline U_C$ متأخرةً ربع دورة؛ ومجموعها $\underline E$ يتقدّم على التيار بمقدار $\varphi$. وعند الرنين تتلاشى $\underline U_L$ و $\underline U_C$ ويكون $\underline E = \underline U_R$.* **قضية 8.10 (تضخيم التوتر).** عند الرنين يكون للتوترين بين طرفَي الوشيعة والمكثف السعة $QE$ نفسها وطوران متعاكسان: فمن أجل $Q \gg 1$ يحمل المكثف توترًا أكبر $Q$ مرة من توتر المنبع. والسعة $U_C(\omega)$ نفسها تبلغ ذروة، من أجل $Q > 1/\sqrt2$، عند $\omega_r = \omega_0\sqrt{1 - 1/2Q^2}$، دون $\omega_0$ بقليل، حيث $U_{C,\max} = QE/\sqrt{1 - 1/4Q^2}$. **برهان.** عند $\omega_0$ يكون $\underline U_C = \underline I/jC\omega_0 = -jQE$ و $\underline U_L = jL\omega_0\underline I = jQE$ لأن $I = E/R$. وفي الحالة العامة $U_C = I/C\omega = E/\sqrt{(1 - x^2)^2 + x^2/Q^2}$ (بضرب البسط والمقام في $1/C\omega_0$)؛ ومربع المقام هو $(1 - x^2)^2 + x^2/Q^2$، وهو ثلاثي حدود في $x^2$ يصغر عند $x^2 = 1 - 1/2Q^2$ حين يكون ذلك موجبًا، وأصغره $1/Q^2 - 1/4Q^4$. ∎ **مثال 8.11 (ضبط مذياع).** وشيعة $L = 200\,\text{µ}\mathrm{H}$ ومكثف متغير: فالسعة $C = 127\,\mathrm{pF}$ تضبط $f_0 = 1.00\,\mathrm{MHz}$. ومع مقاومة سلك الوشيعة $R = 12.6\,\Omega$ يكون $L\omega_0 = 1257\,\Omega$ و $Q = 100$: [فعرض النطاق](#thm-b1-sinusoidal-impedance-resonance) $\Delta f = f_0/Q = 10\,\mathrm{kHz}$ — وهو عرض قناة إذاعية — ويصير التوتر $10\,\text{µ}\mathrm{V}$ الذي يحرّضه مرسِل بعيد مقدارًا قدره $QE = 1\,\mathrm{mV}$ على طرفَي المكثف، بلا مقابل. وتبني مسألة نهاية الأسبوع هذا المستقبِل. **ملاحظة 8.12 (لماذا QQQ من جديد).** [عامل الجودة](https://one-course.com/books/physics/3/ar/chapter/7-transient-regimes-first-and-second-order#def-b1-transient-regimes-secondorder) $Q$ في هذا الفصل هو $Q$ في [الفصل 7](https://one-course.com/books/physics/3/ar/chapter/7-transient-regimes-first-and-second-order#ch-b1-transient-regimes): فالدارة التي ترنّ نحو $Q$ تذبذبة عند قرعها هي التي ترنّ على نطاق عرضه $\omega_0/Q$ عند قيادتها. وكلاهما يعبّر عن نسبة واحدة: $2\pi$ مضروبًا في الطاقة المخزونة على الطاقة المتبددة في كل دور ([التمرين 8.12](#exo-b1-sinusoidal-impedance-12)). و الرنين الحادّ والرنين الطويل خاصية واحدة، وكذلك الاستجابة البطيئة: فمرشّح عرض نطاقه $\Delta\omega$ يحتاج إلى زمن من رتبة $1/\Delta\omega$ ليستقرّ. ## 8.4 الاستطاعة في النظام الجيبي **تعريف 8.13 (القيمة الفعّالة).** *جذر متوسط المربعات* (أو القيمة الفعّالة) لإشارة دورية $x(t)$ هو $X_{\mathrm{rms}} = \sqrt{\langle x^2\rangle}$، أي الجذر التربيعي لمتوسط $x^2$ الزمني على دور. ومن أجل جيب سعته $X$ يكون $X_{\mathrm{rms}} = X/\sqrt2$. والقيمة $230\,\mathrm{V}$ للتيار المنزلي قيمة فعّالة؛ وسعته $325\,\mathrm{V}$. **مبرهنة 8.14 (الاستطاعة المتوسطة).** ثنائي قطب فيه $u = U\cos\omega t$ و $i = I\cos(\omega t - \varphi)$ ([باصطلاح المستقبِل](https://one-course.com/books/physics/3/ar/chapter/6-dc-circuits-kirchhoffs-laws-and-theorems#thm-b1-dc-circuits-kirchhoff)) يتلقى الاستطاعة اللحظية $p = ui$، ومتوسطها $$ P = \tfrac12\,UI\cos\varphi = U_{\mathrm{rms}}I_{\mathrm{rms}}\cos\varphi = \tfrac12\Rea\!\big(\underline U\,\underline I^{\,*}\big) = \tfrac12\Rea(\underline Z)\,I^2, $$ حيث $\cos\varphi$ هو *[عامل الاستطاعة](#thm-b1-sinusoidal-impedance-power)*. [والناقلة الأومية](https://one-course.com/books/physics/3/ar/chapter/6-dc-circuits-kirchhoffs-laws-and-theorems#def-b1-dc-circuits-resistor) تتلقى $\tfrac12 RI^2 = RI_{\mathrm{rms}}^2$؛ أما الوشيعة أو المكثف المثالي ($\varphi = \pm\pi/2$) فلا يتلقى [استطاعة متوسطة](#thm-b1-sinusoidal-impedance-power) — إذ يخزّن الطاقة نصف دور ويعيدها في النصف الآخر. **برهان.** $p = UI\cos\omega t\cos(\omega t - \varphi) = \tfrac12 UI[\cos\varphi + \cos(2\omega t - \varphi)]$؛ ومتوسط الحدّ الثاني معدوم. ومع $\underline U = U$ و $\underline I = I\eu^{-j\varphi}$ يكون $\underline U\,\underline I^* = UI\eu^{j\varphi}$، وجزؤه الحقيقي $UI\cos\varphi$؛ و$\underline U = \underline Z\,\underline I$ يعطي $\underline U\,\underline I^* = \underline Z I^2$. ∎ ![الاستطاعة اللحظية التي يتلقاها ثنائي قطب بفرق طور قدره 60 بين التيار والتوتر: فهي تنبض عند 2، وتغوص دون الصفر (أي طاقة تعود إلى المنبع)، ومتوسطها 1/2 UI — أي نصف ما كانت ستكونه لو كانا على الطور نفسه.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-sinusoidal-impedance/fig-fed7c4549aff.svg) *الاستطاعة اللحظية التي يتلقاها ثنائي قطب بفرق طور قدره $60^\circ$ بين التيار والتوتر: فهي تنبض عند $2\omega$، وتغوص دون الصفر (أي طاقة تعود إلى المنبع)، ومتوسطها $\tfrac12 UI\cos\varphi$ — أي نصف ما كانت ستكونه لو كانا على الطور نفسه.* **مثال 8.15 (تصحيح عامل الاستطاعة).** محرك ورشة على $230\,\mathrm{V}$ فعّالة يسحب $2.0\,\mathrm{kW}$ مع $\cos\varphi = 0.70$ (تحريضي): فيكون $I_{\mathrm{rms}} = 2000/(230 \times 0.70) = 12.4\,\mathrm{A}$، في مقابل $8.7\,\mathrm{A}$ لو كان [عامل الاستطاعة](#thm-b1-sinusoidal-impedance-power) $1$ — والتيار الزائد يسخّن كبلات الشركة بلا فائدة، ومن هنا الغرامة. ومكثف على التفرع يوفّر محليًّا تأرجحات طاقة الوشيعة كل ربع دور: أي إن *[الاستطاعة التفاعلية](#thm-b1-sinusoidal-impedance-power)* $P\tan\varphi = 2.0\,\mathrm{kvar}$ تحتاج إلى $C = P\tan\varphi/(\omega U_{\mathrm{rms}}^2) \approx 120\,\text{µ}\mathrm{F}$ عند $50\,\mathrm{Hz}$، فيهبط تيار الخط إلى $8.7\,\mathrm{A}$. ## 8.5 تمارين **تمرين 8.1 ★.** أعطِ [السعة العقدية](#def-b1-sinusoidal-impedance-complex) للتوتر $u = 5\cos(\omega t + \pi/3)$ (بالفولط)، بالصورتين القطبية والديكارتية. وباستعمال السعات العقدية، اكتب $3\cos\omega t + 4\sin\omega t$ جيبَ تمام واحدًا. **حل التمرين 8.1.** $\underline U = 5\eu^{j\pi/3} = 2.5 + 4.33j$ (بالفولط). ومن أجل $3\cos\omega t + 4\sin\omega t$: $3 + 4\eu^{-j\pi/2} = 3 - 4j$، ومقياسه $5$ وعمدته $-\arctan(4/3) = -0.927\,\mathrm{rad}$: أي $5\cos(\omega t - 0.927)$. **تمرين 8.2 ★.** احسب [ممانعة](#def-b1-sinusoidal-impedance-impedance) $R = 100\,\Omega$ و $L = 0.10\,\mathrm{H}$ و $C = 10\,\text{µ}\mathrm{F}$ عند $50\,\mathrm{Hz}$ وعند $1.0\,\mathrm{kHz}$. وأعطِ مقياس وطور [ممانعة](#def-b1-sinusoidal-impedance-impedance) $R$ و $L$ على التسلسل عند $50\,\mathrm{Hz}$. **حل التمرين 8.2.** $R$: $100\,\Omega$ عند التواترين. و$L\omega$: $31.4\,\Omega$ (عند $50\,\mathrm{Hz}$) و$628\,\Omega$ (عند $1\,\mathrm{kHz}$). و$1/C\omega$: $318\,\Omega$ و$15.9\,\Omega$. و$RL$ على التسلسل عند $50\,\mathrm{Hz}$: $\abs{\underline Z} = \sqrt{100^2 + 31.4^2} = 105\,\Omega$، والطور $\arctan(0.314) = 17^\circ$. **تمرين 8.3 ★.** التيار المنزلي $230\,\mathrm{V}$ فعّالة: فما سعته؟ ومدفأة $2.0\,\mathrm{kW}$: التيار الفعّال والأعظمي. وبيّن أن [الاستطاعة المتوسطة](#thm-b1-sinusoidal-impedance-power) في [ناقلة أومية](https://one-course.com/books/physics/3/ar/chapter/6-dc-circuits-kirchhoffs-laws-and-theorems#def-b1-dc-circuits-resistor) هي $RI_{\mathrm{rms}}^2$. **حل التمرين 8.3.** $U = 230\sqrt2 = 325\,\mathrm{V}$. و$I_{\mathrm{rms}} = 2000/230 = 8.7\,\mathrm{A}$، والأعظمي $12.3\,\mathrm{A}$. و$\langle Ri^2\rangle = R\langle i^2\rangle = RI_{\mathrm{rms}}^2$ بتعريف [القيمة الفعّالة](#def-b1-sinusoidal-impedance-rms). **تمرين 8.4 ★.** [دارة RLC](https://one-course.com/books/physics/3/ar/chapter/7-transient-regimes-first-and-second-order#prop-b1-transient-regimes-rlc) على التسلسل: $L = 10\,\mathrm{mH}$ و $C = 100\,\mathrm{nF}$ و $R = 100\,\Omega$ و $E = 1.0\,\mathrm{V}$. أعطِ $f_0$ و $Q$ [وعرض النطاق](#thm-b1-sinusoidal-impedance-resonance) بالهرتز و سعة التيار عند الرنين. **حل التمرين 8.4.** $f_0 = 1/(2\pi\sqrt{LC}) = 5.03\,\mathrm{kHz}$؛ و$Q = \sqrt{L/C}/R = 3.16$؛ و$\Delta f = f_0/Q = 1.6\,\mathrm{kHz}$؛ و$I_{\max} = E/R = 10\,\mathrm{mA}$. **تمرين 8.5 ★★.** مجزّئ RC، والخرج على طرفَي $C$: $R = 1.0\,\mathrm{k}\Omega$ و $C = 159\,\mathrm{nF}$. عند أيّ تواتر يكون الخرج $1/\sqrt2$ من الدخل؟ وأعطِ نسبة سعة الخرج وطوره عند $1.0\,\mathrm{kHz}$ وعند $10\,\mathrm{kHz}$. **حل التمرين 8.5.** النسبة $1/\sqrt2$ عند $\omega = 1/RC$: أي $f_c = 1/(2\pi RC) = 1.0\,\mathrm{kHz}$. وعند $1.0\,\mathrm{kHz}$: النسبة $0.71$ والطور $-45^\circ$. وعند $10\,\mathrm{kHz}$: $RC\omega = 10$ والنسبة $1/\sqrt{101} = 0.10$ والطور $-84^\circ$. **تمرين 8.6 ★★.** عند تواتر ما تكون [لدارة RLC](https://one-course.com/books/physics/3/ar/chapter/7-transient-regimes-first-and-second-order#prop-b1-transient-regimes-rlc) على التسلسل $R = 100\,\Omega$ و $L\omega = 250\,\Omega$ و $1/C\omega = 100\,\Omega$، مع $E = 1.0\,\mathrm{V}$. احسب $\underline Z$ وسعة التيار وطوره والتوترات الثلاثة؛ وارسم مخطط متجهات فرنل. وهل الدارة فوق الرنين أم دونه؟ **حل التمرين 8.6.** $\underline Z = 100 + j(250 - 100) = 100 + 150j$: ومنه $Z = 180\,\Omega$ و $\arg = 56^\circ$. و$I = 1.0/180 = 5.6\,\mathrm{mA}$، متأخرًا عن المنبع بمقدار $56^\circ$. و$U_R = 0.56\,\mathrm{V}$ و $U_L = 1.39\,\mathrm{V}$ و $U_C = 0.56\,\mathrm{V}$؛ والمتجهات: $U_R$ على امتداد $I$، و$U_L$ إلى أعلى، و$U_C$ إلى أسفل، والمحصلة $1.0\,\mathrm{V}$. و$L\omega > 1/C\omega$: أي فوق الرنين (تحريضي). **تمرين 8.7 ★★.** مذياع: $L = 200\,\text{µ}\mathrm{H}$ و $C$ قابلة للضبط من $50\,$ إلى $500\,\mathrm{pF}$. أوجد مجال التواترات، والسعة الموافقة للتواتر $1.00\,\mathrm{MHz}$، ثم، مع $Q = 100$، [عرض النطاق](#thm-b1-sinusoidal-impedance-resonance) والتوهين (أي نسبة السعات) لمحطة تبعد $9\,\mathrm{kHz}$. ومع قوة محركة هوائية قدرها $10\,\text{µ}\mathrm{V}$: ما التوتر على طرفَي $C$ عند الرنين؟ **حل التمرين 8.7.** لدينا $f_0 = 1/(2\pi\sqrt{LC})$: أي من $1.59\,\mathrm{MHz}$ عند $50\,\mathrm{pF}$ إلى $0.50\,\mathrm{MHz}$ عند $500\,\mathrm{pF}$. وعند $1.00\,\mathrm{MHz}$ يكون $C = 1/(4\pi^2f_0^2L) = 127\,\mathrm{pF}$. و$\Delta f = 10\,\mathrm{kHz}$. والمحطة عند $1.009\,\mathrm{MHz}$: $x = 1.009$ و $Q(x - 1/x) = 1.8$ والنسبة $1/\sqrt{1 + 3.2} = 0.49$. وتوتر المكثف $QE = 1.0\,\mathrm{mV}$. **تمرين 8.8 ★★.** اشتقّ تواترَي نصف الاستطاعة [للدارة RLC](https://one-course.com/books/physics/3/ar/chapter/7-transient-regimes-first-and-second-order#prop-b1-transient-regimes-rlc) على التسلسل وبيّن أن فرقهما $\omega_0/Q$ وجداءهما $\omega_0^2$. **حل التمرين 8.8.** $Q(x - 1/x) = \pm1 \Leftrightarrow x^2 \mp x/Q - 1 = 0$؛ والجذران الموجبان $x_{1,2} = \mp 1/2Q + \sqrt{1 + 1/4Q^2}$. والفرق $1/Q$، ومنه $\Delta\omega = \omega_0/Q$؛ والجداء $(1 + 1/4Q^2) - 1/4Q^2 = 1$، ومنه $\omega_1\omega_2 = \omega_0^2$ (فالنطاق متناظر على سُلّم لوغاريتمي). **تمرين 8.9 ★★.** محرك على $230\,\mathrm{V}$ فعّالة عند $50\,\mathrm{Hz}$ يمتصّ $2.0\,\mathrm{kW}$ مع $\cos\varphi = 0.70$. احسب التيار الفعّال [والاستطاعة التفاعلية](#thm-b1-sinusoidal-impedance-power) و السعة الموضوعة على التفرع التي ترفع [عامل الاستطاعة](#thm-b1-sinusoidal-impedance-power) إلى $1$، والتيار الجديد. وخط التغذية مقاومته $0.50\,\Omega$: فما ضياعات جول قبل ذلك وبعده؟ **حل التمرين 8.9.** $I = P/(U\cos\varphi) = 2000/(230 \times 0.70) = 12.4\,\mathrm{A}$. [والاستطاعة التفاعلية](#thm-b1-sinusoidal-impedance-power) $P\tan\varphi = 2000 \times 1.02 = 2.0\,\mathrm{kvar}$. و$C = 2040/(314 \times 230^2) = 123\,\text{µ}\mathrm{F}$. والتيار الجديد $2000/230 = 8.7\,\mathrm{A}$. والضياعات $0.50 \times 12.4^2 = 77\,\mathrm{W}$ قبل ذلك، و$0.50 \times 8.7^2 = 38\,\mathrm{W}$ بعده. **تمرين 8.10 ★★★.** [دارة RLC](https://one-course.com/books/physics/3/ar/chapter/7-transient-regimes-first-and-second-order#prop-b1-transient-regimes-rlc) على التفرع يغذّيها [منبع تيار](https://one-course.com/books/physics/3/ar/chapter/6-dc-circuits-kirchhoffs-laws-and-theorems#def-b1-dc-circuits-sources): اكتب [المسايرة](#def-b1-sinusoidal-impedance-impedance)، وبيّن أن التوتر أعظمي عند $\omega_0 = 1/\sqrt{LC}$ ويساوي $RI$ هناك، وأن [عرض النطاق](#thm-b1-sinusoidal-impedance-resonance) $\Delta\omega = 1/RC$، أي $Q = R\sqrt{C/L}$. والأعداد: $R = 10\,\mathrm{k}\Omega$ و $L = 1.0\,\mathrm{mH}$ و $C = 1.0\,\mathrm{nF}$. **حل التمرين 8.10.** $\underline Y = 1/R + j(C\omega - 1/L\omega)$؛ و$\underline U = \underline I/ \underline Y$ أعظمي حين ينعدم الجزء التخيلي من [المسايرة](#def-b1-sinusoidal-impedance-impedance)، أي عند $\omega_0$، حيث $U = RI$. وعند نصف الاستطاعة: $\abs{C\omega - 1/L\omega} = 1/R$، أي $RC\omega_0(x - 1/x) = \pm1$: ومنه $\Delta\omega = \omega_0/(RC\omega_0) = 1/RC$ و $Q = RC\omega_0 = R\sqrt{C/L}$. والأعداد: $\omega_0 = 1.0 \times 10^{6}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ (أي $f_0 = 159\,\mathrm{kHz}$)، و $Q = 10^4\sqrt{10^{-6}} = 10$، و $\Delta f = 16\,\mathrm{kHz}$. **تمرين 8.11 ★★★.** بيّن أن توتر مكثف [دارة RLC](https://one-course.com/books/physics/3/ar/chapter/7-transient-regimes-first-and-second-order#prop-b1-transient-regimes-rlc) على التسلسل هو $U_C = E/\sqrt{(1 - x^2)^2 + x^2/Q^2}$، وأنه يبلغ ذروته عند $x_r = \sqrt{1 - 1/2Q^2}$ إذا كان $Q > 1/\sqrt2$، واحسب $x_r$ و $U_{C,\max}/E$ من أجل $Q = 3.16$. وماذا يحدث من أجل $Q < 1/\sqrt2$؟ **حل التمرين 8.11.** $U_C = I/C\omega = E/[C\omega\sqrt{R^2 + (L\omega - 1/C\omega)^2}]$؛ وبالضرب داخل الجذر في $C\omega$: $\sqrt{(RC\omega)^2 + (LC\omega^2 - 1)^2} = \sqrt{x^2/Q^2 + (1 - x^2)^2}$. ومع $s = x^2$ يكون $(1 - s)^2 + s/Q^2$ أصغريًّا عند $s = 1 - 1/2Q^2$ (إن كان موجبًا)، وأصغره $1/Q^2 - 1/4Q^4$: ومنه $U_{C,\max} = QE/\sqrt{1 - 1/4Q^2}$. ومن أجل $Q = 3.16$: $x_r = 0.975$ و $U_{C,\max} = 3.2E$. أما من أجل $Q < 1/\sqrt2$ فالأصغر عند $s = 0$: فتتناقص $U_C$ تناقصًا رتيبًا من $E$، بلا ذروة. **تمرين 8.12 ★★★.** عند رنين [دارة RLC](https://one-course.com/books/physics/3/ar/chapter/7-transient-regimes-first-and-second-order#prop-b1-transient-regimes-rlc) على التسلسل، بيّن أن الطاقة المخزونة الكلية $\tfrac12 Li^2 + \tfrac12 Cu_C^2$ ثابتة وتساوي $\tfrac12 LI^2$، واحسب الطاقة المتبددة في $R$ في كل دور، وبرهن على أن $2\pi\,(\text{المخزونة})/(\text{المتبددة في كل دور}) = Q$. **حل التمرين 8.12.** عند الرنين يكون $i = I\cos\omega_0 t$ و $u_C = (I/C\omega_0)\sin\omega_0 t$، ومنه، باستعمال $1/C\omega_0^2 = L$، $$ \tfrac12 Li^2 + \tfrac12 Cu_C^2 = \tfrac12 LI^2\cos^2\omega_0 t + \tfrac12 LI^2\sin^2\omega_0 t = \tfrac12 LI^2 . $$ والمتبدد في كل دور: $\tfrac12 RI^2T$. والنسبة $\times 2\pi$: $2\pi L/(RT) = L\omega_0/R = Q$. ![ضبط مذياع صمّامي: إدارة المقبض تغيّر مكثفًا، والمكثف يثبّت تواتر رنين دارة LC، فتكون المحطة التي يوافق تواترها هي المسموعة — وهي مسألة نهاية الأسبوع.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-sinusoidal-impedance/img-9d0e0e3a0a3d.jpg) *ضبط مذياع صمّامي: إدارة المقبض تغيّر مكثفًا، والمكثف يثبّت تواتر رنين دارة $LC$، فتكون المحطة التي يوافق تواترها هي المسموعة — وهي مسألة نهاية الأسبوع.* ## 8.6 مسألة: مستقبِل المذياع الرنّان **مسألة 8.1.** مسألة نهاية الأسبوع — وشيعة ومكثف متغير و هوائي: كيف يلتقط رنينٌ متسلسل محطة واحدة من مئة، ويضرب إشارتها الخافتة في مئة، ولماذا لا يمكن جعله انتقائيًّا بلا حدّ يُنمذج الهوائي بقوة محركة جيبية مثالية $e(t) = E\cos\omega t$ على التسلسل مع وشيعة $L = 200\,\text{µ}\mathrm{H}$ مقاومة سلكها $R = 12.6\,\Omega$، ومكثف متغير $C$. ويقرأ المستقبِل التوتر على طرفَي $C$. وفي ما بعد (الجزء IV) تُؤخذ مقاومة الهوائي نفسه $R_a = 50\,\Omega$ في الحسبان. **الجزء I — التيار الرنّان.** 1. اكتب [الممانعة](#def-b1-sinusoidal-impedance-impedance) العقدية للدارة المتسلسلة. 2. أعطِ [السعة العقدية](#def-b1-sinusoidal-impedance-complex) للتيار، ثم سعته $I(\omega)$ وطوره $\varphi_i(\omega)$ بالنسبة إلى $e$ . 3. بيّن أن $I$ أعظمي عند $\omega_0 = 1/\sqrt{LC}$ ؛ وأعطِ $I_{\max}$ والطور عندئذٍ. 4. أيّ سعة تضبط $f_0 = 1.000\,\mathrm{MHz}$ ؟ واحسب $L\omega_0$ . 5. عرّف $Q = L\omega_0/R$ واحسبه. 6. بيّن أن $I/I_{\max} = 1/\sqrt{1 + Q^2(x - 1/x)^2}$ مع $x = \omega/\omega_0$ . 7. اذكر إشارة $\varphi_i$ دون الرنين وفوقه ثم فسّرها (سلوك سعوي أم تحريضي). **الجزء II — الانتقائية.** 8. اكتب الشرط الذي يعرّف التواترين اللذين يكون عندهما $I = I_{\max}/\sqrt2$ . 9. حلّه وبيّن أن $\Delta\omega = \omega_2 - \omega_1 = \omega_0/Q$ . 10. احسب [عرض النطاق](#thm-b1-sinusoidal-impedance-resonance) $\Delta f$ لهذا المستقبِل. 11. محطة ثانية تبثّ عند $1.010\,\mathrm{MHz}$ ، وثالثة عند $1.020\,\mathrm{MHz}$ : احسب نسبة السعات $I/I_{\max}$ لكلٍّ منهما، ونسبة الاستطاعات الموافقة بالديسيبل. 12. تتباعد المحطات الإذاعية $9\,$ إلى $10\,\mathrm{kHz}$ . فهل المستقبِل انتقائي بما فيه الكفاية؟ وما الذي يحسّنه؟ 13. يمكن ضبط المكثف بين $50\,$ و $500\,\mathrm{pF}$ : فأيّ نطاق تواتري يغطّيه المستقبِل؟ **الجزء III — تضخيم التوتر.** 14. عبّر عن [السعة العقدية](#def-b1-sinusoidal-impedance-complex) لتوتر المكثف وبيّن أن سعته عند الرنين هي $QE$ . 15. القوة المحركة للهوائي $E = 10\,\text{µ}\mathrm{V}$ : احسب $I_{\max}$ وتوتر المكثف عند الرنين. علّق على ذلك. 16. بيّن أن لتوتر الوشيعة السعة نفسها وأنه في تعاكس طور مع توتر المكثف عند الرنين: فماذا “يرى” المنبع؟ 17. احسب الطاقة المخزونة في الدارة عند الرنين و الطاقة المتبددة في كل دور؛ وتحقق من أن نسبتهما مضروبةً في $2\pi$ تساوي $Q$ . 18. انطلاقًا من [الفصل 7](https://one-course.com/books/physics/3/ar/chapter/7-transient-regimes-first-and-second-order#ch-b1-transient-regimes) ، ما [ثابت الزمن](https://one-course.com/books/physics/3/ar/chapter/7-transient-regimes-first-and-second-order#def-b1-transient-regimes-firstorder) $\tau = 2Q/\omega_0$ لهذه الدارة؟ ولماذا يشوّه $Q$ العالي جدًّا الكلام والموسيقى في النهاية (وعرض نطاق الصوت نحو $5\,\mathrm{kHz}$ في الإذاعة)؟ 19. لو تضاعفت مقاومة سلك الوشيعة (بسلك أرقّ)، فكيف تتغير $Q$ [وعرض النطاق](#thm-b1-sinusoidal-impedance-resonance) وتوتر المكثف؟ **الجزء IV — مقاومة الهوائي والاستطاعة.** 20. مع $R_a = 50\,\Omega$ على التسلسل، أعد حساب $Q$ و [عرض النطاق](#thm-b1-sinusoidal-impedance-resonance) وتوتر المكثف من أجل $E = 10\,\text{µ}\mathrm{V}$ . واستنتج. 21. احسب [الاستطاعة المتوسطة](#thm-b1-sinusoidal-impedance-power) التي تقدّمها القوة المحركة للهوائي عند الرنين والكسر المتبدد في $R_a$ . 22. تطلب مبرهنة الاستطاعة العظمى مقاومة حمولة تساوي $R_a$ : فلماذا يتعارض هذا الهدف مع الانتقائية؟ 23. تصل المستقبِلات الحقيقية الهوائي بمأخذ على الوشيعة، أو عبر مكثف اقتران صغير. فسّر نوعيًّا ما الذي يحققه ذلك. 24. باستعمال $P = \tfrac12 UI\cos\varphi$ ، احسب [عامل الاستطاعة](#thm-b1-sinusoidal-impedance-power) عند تواترَي نصف الاستطاعة وفسّر الاسم “نصف الاستطاعة”. 25. لخّص التصميم: ماذا يشتري $Q$ ، وماذا يكلّف، وما القيمة المختارة لمستقبِل عند $1\,\mathrm{MHz}$ بقنوات عرضها $10\,\mathrm{kHz}$ . **حل المسألة 8.1.** **1.** $\underline Z = R + j(L\omega - 1/C\omega)$. **2.** $\underline I = E/\underline Z$؛ و$I = E/\sqrt{R^2 + (L\omega - 1/C\omega)^2}$؛ و$\varphi_i = -\arctan[(L\omega - 1/C\omega)/R]$. **3.** تنعدم [المفاعلة](#def-b1-sinusoidal-impedance-impedance) عند $\omega_0 = 1/\sqrt{LC}$: ومنه $I_{\max} = E/R$ و $\varphi_i = 0$. **4.** $C = 1/(4\pi^2f_0^2L) = 127\,\mathrm{pF}$؛ و$L\omega_0 = 2\times10^{-4} \times 6.28\times10^6 = 1257\,\Omega$. **5.** $Q = 1257/12.6 = 100$. **6.** $L\omega - 1/C\omega = L\omega_0(x - 1/x)$، ثم نقسم على $R$. **7.** من أجل $x < 1$: [المفاعلة](#def-b1-sinusoidal-impedance-impedance) سالبة و $\varphi_i > 0$، فيتقدّم التيار (سلوك سعوي)؛ ومن أجل $x > 1$: يتأخر (سلوك تحريضي). **8.** $Q(x - 1/x) = \pm1$. **9.** $x^2 \mp x/Q - 1 = 0$ و $x_{1,2} = \mp1/2Q + \sqrt{1 + 1/4Q^2}$ و $x_2 - x_1 = 1/Q$: ومنه $\Delta\omega = \omega_0/Q$. **10.** $\Delta f = 10\,\mathrm{kHz}$. **11.** عند $1.010\,\mathrm{MHz}$: $Q(x - 1/x) = 100 \times 0.0199 = 2.0$ و النسبة $1/\sqrt{5.0} = 0.45$ والاستطاعة $0.20$: أي $-7\,\mathrm{dB}$. وعند $1.020\,\mathrm{MHz}$: $3.96$ والنسبة $0.25$ والاستطاعة $0.06$: أي $-12\,\mathrm{dB}$. **12.** على الحدّ: فالجارة لا تنخفض إلا $7\,\mathrm{dB}$. وعامل جودة $Q$ أعلى (أي $R$ أدنى)، أو عدة مراحل مضبوطة على التتالي، يشحذ الانتقاء. **13.** من $0.50\,\mathrm{MHz}$ إلى $1.59\,\mathrm{MHz}$: أي النطاق الإذاعي. **14.** $\underline U_C = \underline I/jC\omega$؛ وعند $\omega_0$ يكون $U_C = I_{\max}/C\omega_0 = E/(RC\omega_0) = QE$. **15.** $I_{\max} = 10^{-5}/12.6 = 0.79\,\text{µ}\mathrm{A}$؛ و$U_C = QE = 1.0\,\mathrm{mV}$: أي ربح توتر مئة ضعف بلا مضخّم. **16.** $\underline U_L = jL\omega_0\underline I = jQE$ و $\underline U_C = -jQE$: متساويتان متعاكستان فتتلاشيان؛ فيرى المنبع $R$ وحدها. **17.** المخزونة $\tfrac12 LI_{\max}^2 = 6.2 \times 10^{-17}\,\mathrm{J}$؛ والمتبددة في كل دور $\tfrac12 RI_{\max}^2T = 3.9 \times 10^{-18}\,\mathrm{J}$؛ و$2\pi \times 6.2/0.39 \approx 100 = Q$. **18.** $\tau = 2Q/\omega_0 = 32\,\text{µ}\mathrm{s}$. ولا تستطيع الدارة متابعة تغيّرات أسرع من $\sim\tau$: فعرض نطاق $\Delta f$ لا يمرّر إلا تضمينات أبطأ من $\Delta f$؛ ومع $Q = 1000$ يكون $\Delta f = 1\,\mathrm{kHz}$ فتضيع الأصوات الحادّة في البرنامج. **19.** ينتصف $Q$ إلى $50$، ويتضاعف $\Delta f$ إلى $20\,\mathrm{kHz}$، وينتصف $U_C$ إلى $0.5\,\mathrm{mV}$. **20.** $R_{\text{كلي}} = 62.6\,\Omega$: ومنه $Q = 1257/62.6 = 20$ و $\Delta f = 50\,\mathrm{kHz}$ و $U_C = 20 \times 10\,\text{µ}\mathrm{V} = 0.2\,\mathrm{mV}$: فتنهار الحساسية والانتقائية معًا. **21.** $P = E^2/(2R_{\text{كلي}}) = 10^{-10}/125 = 8 \times 10^{-13}\,\mathrm{W}$؛ والكسر في $R_a$: $50/62.6 = 80\%$. **22.** يطلب التكييف مقاومة حمولة تساوي $R_a$، أي مقاومة كلية كبيرة؛ وتطلب الانتقائية أصغر مقاومة كلية ممكنة (لأن $Q = L\omega_0/R_{\text{كلي}}$). فلا يمكن الجمع بينهما بوصل مباشر. **23.** المأخذ أو مكثف الاقتران الصغير يقدّم إلى الهوائي جزءًا فقط من الدارة الرنّانة: فتُرى مقاومة الهوائي من الدارة مخفَّضة كثيرًا، فيبقى $Q$ عاليًا، بينما يظلّ الهوائي يقدّم استطاعة قرب الأمثل. **24.** عند تواترَي نصف الاستطاعة تساوي [المفاعلة](#def-b1-sinusoidal-impedance-impedance) $\pm R$، فيكون $\varphi = \pm45^\circ$ و $\cos\varphi = 1/\sqrt2$؛ ومع $I = I_{\max}/\sqrt2$ أيضًا تكون $P = \tfrac12 EI\cos\varphi$ نصف قيمتها عند الرنين. **25.** يضرب $Q$ الإشارة في $Q$ ويضيّق النطاق إلى $f_0/Q$، بثمن استجابة أبطأ ($\tau = 2Q/\omega_0$) و اقتران هشّ بالهوائي؛ ومن أجل قنوات عرضها $10\,\mathrm{kHz}$ عند $1\,\mathrm{MHz}$ يكون $Q \approx 100$ هو العدد المطلوب — ويجب أن يُقرن الهوائي اقترانًا خفيفًا للحفاظ عليه.