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title: "Unidades, dimensiones y medida"
book: "Física universitaria — primer año"
subject: physics
language: es
chapter: 1
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/1-unidades-dimensiones-y-medida
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# Capítulo 1 — Unidades, dimensiones y medida

En un laboratorio del sótano oscila un péndulo, un cronómetro hace clic y un estudiante escribe $g = 9.77\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$. ¿Es ese el valor “correcto”? El libro de texto dice $9.81$. Si los dos números concuerdan, si el experimento estaba bien diseñado, cuál de sus etapas lo limitó — nada de eso se decide a partir de las cifras solas. La física mide, y una medida sin su incertidumbre es un rumor. Este capítulo establece el lenguaje común de todos los capítulos por venir: [unidades](#def-b1-units-dimensions-unit), dimensiones, órdenes de magnitud y la aritmética honesta de las incertidumbres.

![La balanza de Kibble NIST-4, uno de los instrumentos que hoy realizan el kilogramo a partir de la constante de Planck: una masa se pesa contra una fuerza electromagnética medida en unidades eléctricas. Fotografía: J. L. Lee, NIST (dominio público).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-units-dimensions/img-4f0aff410783.jpg)

*La balanza de Kibble NIST-4, uno de los instrumentos que hoy realizan el kilogramo a partir de la constante de Planck: una masa se pesa contra una fuerza electromagnética medida en [unidades](#def-b1-units-dimensions-unit) eléctricas. Fotografía: J. L. Lee, NIST (dominio público).*

## 1.1 El Sistema Internacional de Unidades

**Definición 1.1 (Magnitud física y unidad).**

Una *magnitud física* es una propiedad que puede medirse: una longitud, una duración, una masa, una intensidad de corriente. Medirla es compararla con una magnitud de referencia de la misma especie, la *unidad*: el resultado es un número por una unidad, $\ell = 1.257\,\mathrm{m}$. El número solo no significa nada; la unidad sola no mide nada.

**Definición 1.2 (Unidades básicas del SI).**

El *Sistema Internacional de [Unidades](#def-b1-units-dimensions-unit)* (SI) descansa sobre siete *[unidades](#def-b1-units-dimensions-unit) básicas*: el segundo ($\mathrm{s}$), el metro ($\mathrm{m}$), el kilogramo ($\mathrm{kg}$), el amperio ($\mathrm{A}$), el kelvin ($\mathrm{K}$), el mol ($\mathrm{mol}$) y la candela ($\mathrm{cd}$). Desde 2019 cada una queda definida fijando el valor numérico de una constante de la naturaleza: la frecuencia hiperfina del cesio $\Delta\nu_{\mathrm{Cs}} = 9\,192\,631\,770\,\mathrm{Hz}$ define el segundo; la velocidad de la luz $c = 299\,792\,458\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ define entonces el metro; la constante de Planck $h = 6.626\,070\,15 \times 10^{-34}\,\mathrm{J}\,\mathrm{s}$ define el kilogramo; la carga elemental $e = 1.602\,176\,634 \times 10^{-19}\,\mathrm{C}$, el amperio; la constante de Boltzmann $k_B = 1.380\,649 \times 10^{-23}\,\mathrm{J}/\mathrm{K}$, el kelvin; la constante de Avogadro $N_A = 6.022\,140\,76 \times 10^{23}\,\mathrm{mol}^{-1}$, el mol; y una eficacia luminosa fija $K_{\mathrm{cd}}$, la candela. Cualquier otra [unidad](#def-b1-units-dimensions-unit) es una *unidad derivada*, producto de potencias de [unidades](#def-b1-units-dimensions-unit) básicas: $1\,\mathrm{N} = 1\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$, $1\,\mathrm{J} = 1\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}$, $1\,\mathrm{W} = 1\,\mathrm{J}/\mathrm{s}$, $1\,\mathrm{V} = 1\,\mathrm{W}/\mathrm{A}$, $1\,\mathrm{Pa} = 1\,\mathrm{N}/\mathrm{m}^{2}$.

![Las siete unidades básicas (anillo exterior) y las siete constantes que las definen (anillo interior). Una constante fijada define su unidad solo junto con unidades ya definidas (a trazos): c convierte segundos en metros, h necesita el metro y el segundo para definir el kilogramo, e necesita el segundo para definir el amperio.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-units-dimensions/fig-816ead3c3bb9.svg)

*Las siete [unidades básicas](#def-b1-units-dimensions-si) (anillo exterior) y las siete constantes que las definen (anillo interior). Una constante fijada define su [unidad](#def-b1-units-dimensions-unit) solo junto con [unidades](#def-b1-units-dimensions-unit) ya definidas (a trazos): $c$ convierte segundos en metros, $h$ necesita el metro y el segundo para definir el kilogramo, $e$ necesita el segundo para definir el amperio.*

**Observación 1.3 (Nombres y símbolos).**

Las [unidades](#def-b1-units-dimensions-unit) que llevan el nombre de una persona se escriben en minúscula cuando se escriben con todas sus letras (newton, julio, pascal) y con mayúscula como símbolo ($\mathrm{N}$, $\mathrm{J}$, $\mathrm{Pa}$); con mayúscula y completa, la palabra designa a la persona. Los prefijos multiplican por potencias de diez, desde p ($10^{-12}$) pasando por n, $\mu$, m, k, M, G hasta T ($10^{12}$); el kilogramo es la única [unidad básica](#def-b1-units-dimensions-si) cuyo nombre lleva un prefijo.

**Ejemplo 1.4 (Desglose de una unidad derivada).**

El voltio: $\mathrm{V} = \mathrm{W}/\mathrm{A} = \mathrm{J}/(\mathrm{A}\,\mathrm{s}) = \mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}/(\mathrm{A}\,\mathrm{s}^{3})$. El ohmio: $\Omega = \mathrm{V}/\mathrm{A} = \mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}/(\mathrm{A}^{2}\,\mathrm{s}^{3})$. El faradio: $\mathrm{F} = \mathrm{C}/\mathrm{V} = \mathrm{A}\,\mathrm{s}/\mathrm{V} = \mathrm{A}^{2}\,\mathrm{s}^{4}/(\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2})$. Este desglose es la comprobación más segura de que una fórmula se ha recordado bien — la sección siguiente lo convierte en un método.

## 1.2 Análisis dimensional

**Definición 1.5 (Dimensión).**

La *dimensión* de una magnitud $X$, escrita $[X]$, registra cómo se construye $X$ a partir de las siete magnitudes básicas, con independencia de las [unidades](#def-b1-units-dimensions-unit) elegidas: longitud $L$, masa $M$, tiempo $T$, intensidad de corriente $I$, temperatura $\Theta$, cantidad de sustancia $N$, intensidad luminosa $J$. Una velocidad tiene dimensión $[v] = L\,T^{-1}$; una fuerza, $[F] = M\,L\,T^{-2}$; una energía, $[E] = M\,L^2\,T^{-2}$. Una magnitud de dimensión $1$ (un ángulo, un cociente, un índice de refracción) es *adimensional*.

**Teorema 1.6 (Principio de homogeneidad dimensional).**

En una ley física, los dos miembros de una igualdad tienen la misma [dimensión](#def-b1-units-dimensions-dimension), y cada término de una suma tiene la [dimensión](#def-b1-units-dimensions-dimension) del conjunto. El argumento de una exponencial, de un logaritmo, de un seno o de un coseno es [adimensional](#def-b1-units-dimensions-dimension).

**Demostración.** Las leyes de la física no dependen de las [unidades](#def-b1-units-dimensions-unit) que elijan los seres humanos. Cambiar la [unidad](#def-b1-units-dimensions-unit) de longitud en un factor $\lambda$ multiplica toda magnitud de [dimensión](#def-b1-units-dimensions-dimension) $L^a \cdots$ por $\lambda^{-a}$: una igualdad entre términos de dimensiones distintas se cumpliría en un sistema de [unidades](#def-b1-units-dimensions-unit) y fallaría en otro. Para una función como $\exp$, la serie $1 + x + x^2/2 + \dots$ suma potencias de $x$ de dimensiones distintas salvo que $x$ sea [adimensional](#def-b1-units-dimensions-dimension). ∎

**Método 1.7 (Comprobar una fórmula).**

1. Escríbase la [dimensión](#def-b1-units-dimensions-dimension) de cada símbolo.
2. Redúzcase cada miembro (cada término) a un producto $L^a M^b T^c \cdots$ .
3. Exponentes iguales en ambos miembros: la fórmula *puede* ser correcta. Desiguales: es con certeza falsa — falta un factor $g$ , hay una magnitud al cuadrado que debería ir sola, o un exponente con dimensiones.

Una fórmula homogénea todavía puede ser falsa por un factor [adimensional](#def-b1-units-dimensions-dimension) ($2$, $\pi$, $\tfrac12$): las dimensiones nunca los ven.

**Ejemplo 1.8 (El periodo de un péndulo).**

Un péndulo de longitud $\ell$ y masa $m$ oscila en un campo de gravedad $g$. Supóngase que su periodo es $\tau = k\,\ell^\alpha m^\beta g^\gamma$ con $k$ [adimensional](#def-b1-units-dimensions-dimension). Entonces $T = L^\alpha M^\beta (L T^{-2})^\gamma =
L^{\alpha+\gamma} M^\beta T^{-2\gamma}$, de donde $\beta = 0$, $\gamma = -\tfrac12$, $\alpha = \tfrac12$:

$$
\tau = k\sqrt{\ell/g} .
$$

Sin resolver ni una sola ecuación del movimiento: la masa desaparece y duplicar la longitud multiplica el periodo por $\sqrt2$. La dinámica ([Capítulo 14](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/14-osciladores-mecanicos-amortiguamiento-y-resonancia#ch-b1-oscillators-resonance)) proporcionará $k = 2\pi$ para las oscilaciones de pequeña amplitud.

**Proposición 1.9 (Grupos adimensionales).**

Si una magnitud $Y$ depende de $n$ magnitudes $X_1, \dots, X_n$ en las que intervienen $r$ dimensiones básicas independientes, la relación puede reescribirse entre $n + 1 - r$ combinaciones [adimensionales](#def-b1-units-dimensions-dimension) de las $X_i$ y de $Y$. Cuando $n + 1 - r = 1$, la única combinación ha de ser constante y el análisis dimensional da la ley salvo un factor numérico.

**Demostración.** *Admitido a este nivel.* ∎

**Observación 1.10 (Uso de la proposición).**

El enunciado general (el teorema de Vaschy–Buckingham) es un resultado de álgebra lineal sobre los vectores de exponentes. Lo que aquí importa es la receta: enumerar las magnitudes pertinentes, contar dimensiones, formar los [grupos adimensionales](#prop-b1-units-dimensions-pi). En [Ejemplo 1.8](#ex-b1-units-dimensions-pendulum), $n = 3$ ($\ell, m, g$), $r = 3$ ($L, M, T$), de modo que existe un único grupo $\tau\sqrt{g/\ell}$, que debe ser constante. La fuerza de arrastre sobre una esfera de radio $R$ que se mueve a velocidad $v$ en un fluido de densidad $\rho$ y viscosidad $\eta$ pone en juego $n = 4$ magnitudes y $r = 3$ dimensiones: dos grupos, $F/(\rho v^2 R^2)$ y $\rho v R/\eta$ (el número de Reynolds), y las dimensiones por sí solas no dicen cómo depende el primero del segundo — eso debe decirlo el experimento.

## 1.3 Órdenes de magnitud

**Definición 1.11 (Orden de magnitud).**

El *orden de magnitud* de una magnitud es la potencia de diez más próxima a ella: $6.4 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$ (el radio de la Tierra) tiene orden de magnitud $10^7$; $3 \times 10^{3}\,\mathrm{m}$ tiene orden $10^3$; $3.2 \times 10^{3}\,\mathrm{m}$ está más cerca de $10^3$ que de $10^4$ en una escala logarítmica (la frontera es $\sqrt{10} \approx 3.16$). Dos magnitudes son “del mismo orden” cuando su cociente es menor que $3$ aproximadamente.

**Método 1.12 (Estimar).**

Para estimar una magnitud que nadie ha medido de antemano:

1. descompóngase en factores que puedan estimarse cada uno con un error de un factor $2$ o $3$ ;
2. estímese cada factor conservando una cifra significativa;
3. multiplíquese, conservando la potencia de diez y una cifra.

Los errores de los distintos factores se compensan en parte; el resultado suele ser correcto salvo un factor de $3$ a $10$, que a menudo es cuanto hace falta para admitir o descartar una hipótesis.

**Ejemplo 1.13 (La masa de la atmósfera).**

La presión atmosférica $P_0 \approx 1 \times 10^{5}\,\mathrm{Pa}$ es el peso de la columna de aire situada sobre un metro cuadrado, $P_0 = m_{\text{col}}\,g$, de modo que $m_{\text{col}} \approx 10^5/10 = 1 \times 10^{4}\,\mathrm{kg}$ por metro cuadrado. La superficie de la Tierra vale $4\pi R^2 \approx 4 \times 3 \times (6\times10^6)^2
\approx 5 \times 10^{14}\,\mathrm{m}^{2}$; la atmósfera pesa unos $5 \times 10^{18}\,\mathrm{kg}$. El valor admitido es $5.1 \times 10^{18}\,\mathrm{kg}$ — a la estimación le bastaron $P_0$ y $R$.

**Definición 1.14 (Cifras significativas).**

Las *cifras significativas* de un número escrito son sus dígitos a partir del primero no nulo: $0.0820$ tiene tres, $8.20 \times 10^{-2}$ las mismas tres, $820$ es ambiguo (dos o tres) salvo que se escriba $8.2 \times 10^{2}$ o $8.20 \times 10^{2}$. Un resultado se escribe con las cifras significativas que su incertidumbre permite ([Método 1.20](#met-b1-units-dimensions-writing) más abajo): no “$g = 9.7723\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$” cuando el cuarto dígito se ignora.

## 1.4 Incertidumbre de medida

**Definición 1.15 (Mensurando, error, incertidumbre).**

El *mensurando* es la magnitud que se pretende medir. Repetir una medida da valores dispersos: la medida es *variable*. El *error* de un resultado es su diferencia desconocida al valor verdadero; la *incertidumbre típica* $u(x)$ de un resultado $x$ es la desviación típica de los valores que razonablemente podrían atribuirse al mensurando — una cantidad que sí *puede* evaluarse. Sus fuentes: el operador (tiempo de reacción, paralaje), el entorno (temperatura, vibraciones), el instrumento (resolución, calibración) y el método (un modelo que solo es aproximadamente cierto).

**Proposición 1.16 (Evaluación de tipo A).**

A partir de $n$ valores repetidos independientes $x_1, \dots, x_n$, de media $\bar x = \frac1n \sum x_i$ y desviación típica experimental

$$
s = \sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (x_i - \bar x)^2},
$$

la mejor estimación del [mensurando](#def-b1-units-dimensions-uncertainty) es $\bar x$ y su [incertidumbre típica](#def-b1-units-dimensions-uncertainty) vale

$$
u(\bar x) = \frac{s}{\sqrt n} .
$$

**Demostración parcial.** Que $s$ estime la dispersión de una medida aislada es la definición misma de la desviación típica experimental ($n - 1$ y no $n$ porque la propia media se estimó a partir de los datos). Que la media de $n$ valores independientes se disperse $\sqrt n$ veces menos que un valor aislado es la adición de varianzas: la varianza de una suma de $n$ variables independientes vale $n$ veces la varianza de una sola, luego la varianza de la media es $s^2 n / n^2 = s^2/n$. El curso de probabilidad de este año demuestra ambos enunciados. ∎

![Cincuenta cronometrajes del mismo periodo del péndulo, agrupados en clases de 0.01\, s. Su dispersión es s 0.016\, s (un cronometraje); la media de los cincuenta se conoce con s/√50 0.002\, s. La campana es la gaussiana de la misma media y la misma dispersión.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-units-dimensions/fig-1ce28ee2e6fd.svg)

*Cincuenta cronometrajes del mismo periodo del péndulo, agrupados en clases de $0.01\,\mathrm{s}$. Su dispersión es $s \approx 0.016\,\mathrm{s}$ (un cronometraje); la media de los cincuenta se conoce con $s/\sqrt{50} \approx 0.002\,\mathrm{s}$. La campana es la gaussiana de la misma media y la misma dispersión.*

**Proposición 1.17 (Evaluación de tipo B).**

Cuando un valor se lee una sola vez, su incertidumbre se evalúa a partir de lo que se sabe del instrumento. Si el valor verdadero puede estar en cualquier punto entre $x - a$ y $x + a$ sin preferencia alguna (una distribución *uniforme* de semianchura $a$),

$$
u(x) = \frac{a}{\sqrt 3} .
$$

Para una escala graduada en pasos $\delta$ (semianchura $a = \delta/2$), $u = \delta/(2\sqrt3) = \delta/\sqrt{12}$; lo mismo vale para el último dígito de una pantalla digital. Una tolerancia del fabricante indicada como “$\pm a$” se trata del mismo modo salvo que la hoja de características diga otra cosa.

**Demostración.** La varianza de una distribución uniforme sobre $[x - a, x + a]$ vale $\frac{1}{2a}\int_{-a}^{a} t^2\,\dd t = \frac{1}{2a}\cdot\frac{2a^3}{3}
= \frac{a^2}{3}$; su desviación típica es $a/\sqrt3$. ∎

![Una lectura de la que solo se sabe que cae dentro de ± a: densidad uniforme 1/(2a), desviación típica a/√3 0.58\,a — menor que a, porque los extremos no son más probables que el centro.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-units-dimensions/fig-21e276c399ed.svg)

*Una lectura de la que solo se sabe que cae dentro de $\pm a$: densidad uniforme $1/(2a)$, desviación típica $a/\sqrt3 \approx 0.58\,a$ — menor que $a$, porque los extremos no son más probables que el centro.*

**Teorema 1.18 (Incertidumbre combinada).**

Sea $y = f(x_1, \dots, x_n)$ calculada a partir de valores medidos independientes de [incertidumbres típicas](#def-b1-units-dimensions-uncertainty) $u(x_i)$. Entonces

$$
u(y)^2 = \sum_{i=1}^n \left(\frac{\partial f}{\partial x_i}\right)^2 u(x_i)^2 .
$$

En particular:

- suma o diferencia $y = x_1 \pm x_2$ : $u(y)^2 = u(x_1)^2 + u(x_2)^2$ ;
- producto o cociente $y = x_1 x_2$ o $x_1/x_2$ : $\left(\dfrac{u(y)}{y}\right)^2 = \left(\dfrac{u(x_1)}{x_1}\right)^2  + \left(\dfrac{u(x_2)}{x_2}\right)^2$ ;
- potencia $y = k\,x^\alpha$ : $\dfrac{u(y)}{\abs y} = \abs\alpha\,\dfrac{u(x)}{\abs x}$ .

**Demostración.** Para desviaciones pequeñas $\delta x_i$, el desarrollo de Taylor de primer orden da $\delta y = \sum_i (\partial f/\partial x_i)\,\delta x_i$. Las desviaciones son independientes y de media nula, luego la varianza de la suma es la suma de las varianzas, cada una multiplicada por el cuadrado de su coeficiente — la fórmula mostrada. Los casos particulares se deducen: $\partial(x_1 x_2)/\partial x_1 = x_2$ da $u(y)^2 = x_2^2 u(x_1)^2 + x_1^2 u(x_2)^2$, y se divide por $y^2 = x_1^2 x_2^2$; para $y = kx^\alpha$, $\partial y/\partial x = \alpha y/x$. ∎

**Ejemplo 1.19 (La densidad de un cilindro).**

Un cilindro: $m = 47.32\,\mathrm{g}$ ($u = 0.01\,\mathrm{g}$), $d = 12.00\,\mathrm{mm}$ ($u = 0.02\,\mathrm{mm}$), $h = 50.2\,\mathrm{mm}$ ($u = 0.1\,\mathrm{mm}$). $\rho = 4m/(\pi d^2 h)$, así que el cuadrado de la incertidumbre relativa suma $(0.01/47.32)^2 = 4.5 \times 10^{-8}$, $(2 \times 0.02/12.00)^2 = 1.1 \times 10^{-5}$ y $(0.1/50.2)^2 = 4.0 \times 10^{-6}$: domina el diámetro, porque está elevado al cuadrado y medido con un $0.17\%$. $u(\rho)/\rho = \sqrt{1.5 \times 10^{-5}}
= 0.39\%$; $\rho = 8334\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$, luego $u(\rho) = 33\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$: $\rho = (8.33 \pm 0.03)\times10^3\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ — latón.

**Método 1.20 (Escribir un resultado).**

1. Redondéese la incertidumbre a una cifra significativa (dos si la primera es $1$ o $2$ ).
2. Redondéese el valor a la misma posición decimal.
3. Escríbanse el valor y la incertidumbre con la [unidad](#def-b1-units-dimensions-unit) : $g = (9.77 \pm 0.03)\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ , o bien $g = 9.77\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ , $u(g) = 0.03\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ .

Consérvense cifras de más *durante* el cálculo; redondéese solo al final.

**Definición 1.21 (Desviación normalizada).**

Dos resultados $x_1 \pm u_1$ y $x_2 \pm u_2$ del mismo [mensurando](#def-b1-units-dimensions-uncertainty) se comparan mediante su *desviación normalizada*

$$
z = \frac{\abs{x_1 - x_2}}{\sqrt{u_1^2 + u_2^2}} .
$$

Son *compatibles* cuando $z \leq 2$; un $z$ mayor apunta a un efecto no tenido en cuenta — o a una incertidumbre subestimada. Cuando $x_2$ es un valor de referencia sin incertidumbre declarada, se toma $u_2 = 0$.

**Observación 1.22 (Por qué 2).**

Si los dos resultados se dispersan como gaussianas, su diferencia tiene desviación típica $\sqrt{u_1^2 + u_2^2}$, y una gaussiana supera el doble de su desviación típica en cerca del $5\%$ de los casos. “$z \leq 2$” es un convenio, no un teorema: acepta aproximadamente una buena medida de cada veinte como falso desacuerdo.

## 1.5 Ajustar un modelo a los datos

**Proposición 1.23 (Recta de mínimos cuadrados).**

Dados $n$ puntos $(x_i, y_i)$ de los que se espera que cumplan $y = a x + b$, la recta que minimiza la suma de los cuadrados de las distancias verticales $\sum_i (y_i - a x_i - b)^2$ tiene

$$
a = \frac{\sum_i (x_i - \bar x)(y_i - \bar y)}{\sum_i (x_i - \bar x)^2},
\qquad
b = \bar y - a\,\bar x .
$$

**Demostración.** La suma es una función cuadrática de $(a, b)$; anular las dos derivadas parciales da dos ecuaciones lineales: $\sum_i (y_i - ax_i - b) = 0$, es decir $\bar y = a \bar x + b$, y $\sum_i x_i (y_i - ax_i - b) = 0$. Sustituyendo $b$ en la segunda y centrando las variables se obtiene $a$. La minimización propiamente dicha se lleva a cabo en el curso de matemáticas sobre funciones de dos variables. ∎

**Método 1.24 (Validar gráficamente un modelo).**

1. Elíjanse variables que conviertan la ley esperada en una recta: $\tau^2$ frente a $\ell$ para el péndulo, $\ln y$ frente a $\ln x$ para una ley de potencias $y = Cx^\alpha$ (pendiente $\alpha$ ).
2. Represéntense los puntos *con sus barras de incertidumbre* .
3. Ajústese la recta; el modelo es aceptable si las barras cortan la recta sin una tendencia sistemática de los residuos y si la ordenada en el origen es la que el modelo predice (aquí, cero).
4. Léase la física en la pendiente, con su incertidumbre.

![2 frente a para cinco longitudes de péndulo, con barras de incertidumbre; la recta de mínimos cuadrados pasa por el origen dentro de la incertidumbre y su pendiente 4π2/g da g.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-units-dimensions/fig-56a516d0cd8b.svg)

*$\tau^2$ frente a $\ell$ para cinco longitudes de péndulo, con barras de incertidumbre; la recta de [mínimos cuadrados](#prop-b1-units-dimensions-regression) pasa por el origen dentro de la incertidumbre y su pendiente $4\pi^2/g$ da $g$.*

**Ejemplo 1.25 (Leer ggg en una pendiente).**

Los cinco puntos de la figura tienen $\bar\ell = 0.800\,\mathrm{m}$, $\overline{\tau^2} = 3.232\,\mathrm{s}^{2}$, y las sumas $\sum (\ell_i - \bar\ell)(\tau_i^2 - \overline{\tau^2}) = 1.614\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{2}$, $\sum (\ell_i - \bar\ell)^2 = 0.400\,\mathrm{m}^{2}$: pendiente $a = 4.035\,\mathrm{s}^{2}/\mathrm{m}$, ordenada en el origen $b = 0.004\,\mathrm{s}^{2}$, despreciable. Con $\tau^2 = (4\pi^2/g)\,\ell$, $g = 4\pi^2/a = 9.78\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$.

## 1.6 Ejercicios

**Ejercicio 1.1 ★.**

Exprésense el julio, el vatio, el pascal y el culombio en [unidades básicas](#def-b1-units-dimensions-si). Dedúzcase que $\mathrm{Pa}\,\mathrm{m}^{3}$ es una [unidad](#def-b1-units-dimensions-unit) de energía.

**Solución de Ejercicio 1.1.**

$\mathrm{J} = \mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-2}$; $\mathrm{W} = \mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-3}$; $\mathrm{Pa} = \mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{s}^{-2}$; $\mathrm{C} = \mathrm{A}\,\mathrm{s}$. $\mathrm{Pa}\,\mathrm{m}^{3} = \mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{s}^{-2}\,\mathrm{m}^{3} = \mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-2} = \mathrm{J}$ (el trabajo de las fuerzas de presión, $P\,\dd V$).

**Ejercicio 1.2 ★.**

Dense las dimensiones de una presión, una potencia, una carga eléctrica y una tensión, y las de las constantes $G$ (en $F = Gm_1m_2/r^2$), $h$ (en $E = h\nu$) y $k_B$ (en $E = k_B T$).

**Solución de Ejercicio 1.2.**

Presión, $M L^{-1} T^{-2}$; potencia, $M L^2 T^{-3}$; carga, $I\,T$; tensión $=$ potencia/corriente $= M L^2 T^{-3} I^{-1}$. $[G] = [F r^2/m^2] = M L T^{-2} L^2 M^{-2} = L^3 M^{-1} T^{-2}$; $[h] = [E/\nu] = M L^2 T^{-2} \cdot T = M L^2 T^{-1}$; $[k_B] = [E/T] = M L^2 T^{-2} \Theta^{-1}$.

**Ejercicio 1.3 ★.**

¿Son homogéneas estas fórmulas? $v = \sqrt{2gh}$; $E = \tfrac12 m v$; $P = \rho g h$ para una presión; $x = v_0 t +
\tfrac12 g t^2$; $T = 2\pi\sqrt{g/\ell}$; $I = I_0 \eu^{-t/RC}$.

**Solución de Ejercicio 1.3.**

$\sqrt{2gh}$: $\sqrt{L T^{-2} \cdot L} = L T^{-1}$, homogénea. $\tfrac12 mv$: $M L T^{-1} \neq M L^2 T^{-2}$, no es una energía. $\rho g h$: $M L^{-3} \cdot L T^{-2} \cdot L = M L^{-1} T^{-2}$, una presión. $v_0 t + \tfrac12 g t^2$: los dos términos son $L$, homogénea. $2\pi\sqrt{g/\ell}$: $\sqrt{T^{-2}} = T^{-1}$ — una frecuencia, no un periodo. $I_0\eu^{-t/RC}$: $RC$ en $\Omega\,\mathrm{F} = \mathrm{s}$, argumento [adimensional](#def-b1-units-dimensions-dimension), homogénea.

**Ejercicio 1.4 ★.**

Una regla está graduada en milímetros; una balanza digital muestra pasos de $0.01\,\mathrm{g}$; la hoja de características de un voltímetro promete “$\pm 0.5\%$ de la lectura”. Dese la [incertidumbre típica](#def-b1-units-dimensions-uncertainty) de tipo B de una longitud de $12.7\,\mathrm{cm}$, de una masa de $5.43\,\mathrm{g}$ y de una lectura de $4.80\,\mathrm{V}$.

**Solución de Ejercicio 1.4.**

Regla: $\delta = 1\,\mathrm{mm}$, $u = 1/\sqrt{12} = 0.29\,\mathrm{mm}$. Balanza: $u = 0.01/\sqrt{12} = 0.003\,\mathrm{g}$. Voltímetro: $a = 0.005 \times 4.80 = 0.024\,\mathrm{V}$, $u = 0.024/\sqrt3 = 0.014\,\mathrm{V}$.

**Ejercicio 1.5 ★★.**

La velocidad $v$ de las ondas en una cuerda tensa depende de su tensión $F$ (una fuerza) y de su masa por [unidad](#def-b1-units-dimensions-unit) de longitud $\mu$. Hállese $v$ salvo un factor [adimensional](#def-b1-units-dimensions-dimension). La misma pregunta para la velocidad del sonido en un gas de presión $P$ y densidad $\rho$.

**Solución de Ejercicio 1.5.**

$v = k F^\alpha \mu^\beta$: $L T^{-1} = (M L T^{-2})^\alpha (M L^{-1})^\beta$, de donde $\alpha + \beta = 0$, $\alpha - \beta = 1$, $-2\alpha = -1$: $\alpha = \tfrac12$, $\beta = -\tfrac12$, $v = k\sqrt{F/\mu}$ (de hecho $k = 1$). Sonido: $P/\rho$ tiene [dimensión](#def-b1-units-dimensions-dimension) $M L^{-1} T^{-2} / (M L^{-3}) = L^2 T^{-2}$, luego $v = k\sqrt{P/\rho}$ ($k = \sqrt\gamma \approx 1.2$ para el aire).

**Ejercicio 1.6 ★★.**

Ocho cronometrajes de la misma caída, en milisegundos: $452$, $447$, $461$, $455$, $449$, $458$, $444$, $454$. Calcúlense la media, la desviación típica experimental y la [incertidumbre típica](#def-b1-units-dimensions-uncertainty) de la media; escríbase el resultado.

**Solución de Ejercicio 1.6.**

Suma $= 3620\,\mathrm{ms}$, $\bar t = 452.5\,\mathrm{ms}$. Desviaciones $-0.5, -5.5, 8.5, 2.5, -3.5, 5.5, -8.5, 1.5$; la suma de sus cuadrados es $226$; $s = \sqrt{226/7} = 5.7\,\mathrm{ms}$; $u(\bar t) = 5.7/\sqrt8 = 2.0\,\mathrm{ms}$. Resultado: $t = (452.5 \pm 2.0)\,\mathrm{ms}$.

**Ejercicio 1.7 ★★.**

Una resistencia se mide como $R = U/I$ con $U = 4.80\,\mathrm{V}$, $u(U) = 0.03\,\mathrm{V}$ e $I = 12.4\,\mathrm{mA}$, $u(I) = 0.2\,\mathrm{mA}$. Calcúlense $R$ y $u(R)$; ¿qué medida convendría mejorar primero?

**Solución de Ejercicio 1.7.**

$R = 4.80/0.0124 = 387\,\Omega$. Incertidumbres relativas $0.03/4.80 =
0.63\%$ y $0.2/12.4 = 1.6\%$; combinadas, $\sqrt{0.63^2 + 1.6^2} = 1.7\%$, $u(R) = 7\,\Omega$: $R = (387 \pm 7)\,\Omega$. Domina la corriente — conviene mejorar primero el amperímetro (o su escala).

**Ejercicio 1.8 ★★.**

Dos equipos miden la velocidad del sonido: $(343 \pm 4)\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ y $(336 \pm 3)\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. ¿Son compatibles? Un tercer equipo obtiene $(352 \pm 2)\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$: ¿es compatible con el primero? ¿y con el segundo?

**Solución de Ejercicio 1.8.**

$z = 7/\sqrt{16 + 9} = 1.4 \leq 2$: compatibles. Tercero frente al primero: $z = 9/\sqrt{4 + 16} = 2.0$: en el límite, apenas compatibles. Tercero frente al segundo: $z = 16/\sqrt{4 + 9} = 4.4$: incompatibles — al menos uno de los dos arrastra un error sistemático o una incertidumbre subestimada.

**Ejercicio 1.9 ★★.**

El volumen de una esfera se calcula a partir de su diámetro $d = 25.40\,\mathrm{mm}$ medido con un calibre, $u(d) = 0.02\,\mathrm{mm}$. Calcúlense $V$, su incertidumbre relativa y absoluta, y escríbase el resultado.

**Solución de Ejercicio 1.9.**

$V = \pi d^3/6 = \pi \times 25.40^3/6 = 8580\,\mathrm{mm}^{3}$. $u(V)/V = 3\,u(d)/d = 3 \times 0.02/25.40 = 0.24\%$, $u(V) = 20\,\mathrm{mm}^{3}$: $V = (8.58 \pm 0.02)\,\mathrm{cm}^{3}$.

**Ejercicio 1.10 ★★★.**

Una esfera pequeña de radio $R$ cae lentamente en un líquido viscoso; la fuerza de arrastre depende de $R$, de la velocidad $v$ y de la viscosidad $\eta$, de [dimensión](#def-b1-units-dimensions-dimension) $M L^{-1} T^{-1}$. Muéstrese que $F = k\,\eta R v$. A gran velocidad el arrastre depende en cambio de $R$, $v$ y la densidad $\rho$ del fluido: hállese la nueva ley. Estímese, para una gota de lluvia ($R = 1\,\mathrm{mm}$, $v = 5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, aire: $\rho = 1.2\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$, $\eta = 1.8 \times 10^{-5}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$), qué régimen se aplica comparando las dos estimaciones.

**Solución de Ejercicio 1.10.**

$F = k\eta^a R^b v^c$: $M$: $a = 1$; $T$: $-a - c = -2$, $c = 1$; $L$: $-a + b + c = 1$, $b = 1$: $F = k\eta R v$ (Stokes, $k = 6\pi$). Con $\rho$ en su lugar: $M$: $a = 1$; $T$: $-c = -2$, $c = 2$; $L$: $-3 + b + 2 = 1$, $b = 2$: $F = k\rho R^2 v^2$. Gota de lluvia: $\eta R v = 1.8\times10^{-5} \times 10^{-3} \times 5 \approx
1 \times 10^{-7}\,\mathrm{N}$; $\rho R^2 v^2 = 1.2 \times 10^{-6} \times 25 =
3 \times 10^{-5}\,\mathrm{N}$, trescientas veces mayor: se aplica el régimen inercial (de alta velocidad) — el cociente $\rho v R/\eta \approx 330$ es el número de Reynolds.

**Ejercicio 1.11 ★★★.**

Cuatro medidas de la tensión en bornes de una resistencia para corrientes crecientes: $(I, U) = (2.0\,\mathrm{mA}, 0.41\,\mathrm{V})$, $(4.0\,\mathrm{mA},
0.78\,\mathrm{V})$, $(6.0\,\mathrm{mA}, 1.22\,\mathrm{V})$, $(8.0\,\mathrm{mA},
1.59\,\mathrm{V})$. Calcúlense la pendiente y la ordenada en el origen de [mínimos cuadrados](#prop-b1-units-dimensions-regression); dedúzcase $R$; ¿es la ordenada en el origen compatible con cero si cada $U$ lleva $u = 0.02\,\mathrm{V}$?

**Solución de Ejercicio 1.11.**

$\bar I = 5.0\,\mathrm{mA}$, $\bar U = 1.000\,\mathrm{V}$; desviaciones en $I$: $-3, -1, 1, 3$; en $U$: $-0.59, -0.22, 0.22, 0.59$. $\sum (I_i - \bar I)(U_i - \bar U) = 3.98$, $\sum (I_i - \bar I)^2 = 20$: $a = 0.199\,\mathrm{V}/\mathrm{mA} = 199\,\Omega$, $b = 1.000 - 0.199 \times 5 =
0.005\,\mathrm{V}$. Con $u(U) = 0.02\,\mathrm{V}$ por punto, una ordenada en el origen de $0.005\,\mathrm{V}$ cae holgadamente dentro de la incertidumbre: compatible con cero, la resistencia es óhmica, $R \approx 199\,\Omega$.

**Ejercicio 1.12 ★★★.**

A partir de $G = 6.67 \times 10^{-11}\,\mathrm{m}^{3}/(\mathrm{kg}\,\mathrm{s}^{2})$, $h = 6.63 \times 10^{-34}\,\mathrm{J}\,\mathrm{s}$ y $c = 3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, constrúyanse por análisis dimensional una longitud, un tiempo y una masa (las [unidades](#def-b1-units-dimensions-unit) de Planck). Calcúlense y compárense con el tamaño de un protón ($1 \times 10^{-15}\,\mathrm{m}$) y con la masa de una persona.

**Solución de Ejercicio 1.12.**

$\ell = G^a h^b c^c$: $M$: $-a + b = 0$; $T$: $-2a - b - c = 0$; $L$: $3a + 2b + c = 1$. Luego $b = a$, $c = -3a$, $2a = 1$: $\ell_P = \sqrt{Gh/c^3} = \sqrt{4.42\times10^{-44}/2.7\times10^{25}}
= 4.1 \times 10^{-35}\,\mathrm{m}$; $t_P = \ell_P/c = 1.4 \times 10^{-43}\,\mathrm{s}$; $m_P = \sqrt{hc/G} = \sqrt{1.99\times10^{-25}/6.67\times10^{-11}}
= 5.5 \times 10^{-8}\,\mathrm{kg}$. La longitud de Planck queda veinte órdenes de magnitud por debajo de un protón; la masa de Planck, $55\,\text{µ}\mathrm{g}$, es una mota de polvo — enorme para una partícula, ínfima para una persona ($10^9$ veces más ligera).

![La materia prima del capítulo: un calibre, un cronómetro, una bola, una regla y una columna de lecturas repetidas que nunca acaban de coincidir.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-units-dimensions/img-013d91118919.jpg)

*La materia prima del capítulo: un calibre, un cronómetro, una bola, una regla y una columna de lecturas repetidas que nunca acaban de coincidir.*

## 1.7 Problema: medir $g$ con un péndulo

**Problema 1.1.**

Problema de fin de semana — un hilo, una lenteja, un cronómetro y una cinta métrica: ¿con qué fidelidad puede una mesa de cocina medir el campo gravitatorio terrestre, y cuál de sus cuatro números es el punto débil

Un péndulo es una bola de acero colgada de un punto fijo mediante un hilo ligero; las oscilaciones de pequeña amplitud tienen periodo $\tau = 2\pi\sqrt{\ell/g}$, donde $\ell$ es la distancia del punto de suspensión al centro de la bola. El objetivo es un valor de $g$ con una incertidumbre defendible.

**Parte I — El modelo.**

1. Compruébese la homogeneidad de $\tau = 2\pi\sqrt{\ell/g}$ .
2. La bola tiene masa $m$ . Arguméntese solo por dimensiones que el periodo no puede depender de $m$ si depende únicamente de $\ell$ , $g$ y $m$ .
3. El periodo depende también, ligeramente, de la amplitud $\theta_0$ de la oscilación. ¿Por qué lo permite el análisis dimensional, y qué hay que hacer experimentalmente para que la fórmula sea aplicable?
4. Exprésese $g$ en función de $\ell$ y $\tau$ .

**Parte II — Medir la longitud.** La cinta métrica está graduada en milímetros; el hilo mide $99.0\,\mathrm{cm}$ desde la suspensión hasta la parte superior de la bola y el diámetro de la bola es $2.00\,\mathrm{cm}$, ambos leídos una sola vez.

5. Calcúlese $\ell$ .
6. Evalúese la incertidumbre de tipo B de una lectura aislada sobre la cinta.
7. Localizar el punto de suspensión y el centro de la bola añade un error posible estimado en $\pm5\,\mathrm{mm}$ (uniforme). Combínese con el apartado anterior en $u(\ell)$ y dese la incertidumbre relativa $u(\ell)/\ell$ .

**Parte III — Medir el periodo.** Para reducir el efecto del tiempo de reacción se cronometran diez periodos. Ocho cronometrajes de este tipo, en segundos: $20.12$, $20.05$, $20.18$, $20.09$, $20.15$, $20.02$, $20.11$, $20.08$.

8. ¿Por qué cronometrar diez periodos y no uno? ¿Por qué repetir el cronometraje ocho veces?
9. Calcúlense la media $\overline{t_{10}}$ y la desviación típica experimental $s$ de los ocho cronometrajes.
10. Dedúzcase la [incertidumbre típica](#def-b1-units-dimensions-uncertainty) de la media, luego el periodo $\tau$ y su incertidumbre $u(\tau)$ .
11. Compárese $u(\tau)/\tau$ con $u(\ell)/\ell$ .

**Parte IV — El resultado y su punto débil.**

12. Calcúlese $g$ .
13. Escríbase $u(g)/g$ en función de $u(\ell)/\ell$ y $u(\tau)/\tau$ , y calcúlese.
14. Escríbase el resultado en la forma normalizada.
15. Compárese con el valor de referencia $9.81\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ mediante la [desviación normalizada](#def-b1-units-dimensions-zscore) . ¿Veredicto?
16. ¿Cuál de las dos magnitudes medidas limita la precisión de $g$ ? Propónganse dos mejoras concretas y dígase en cuánto reduciría cada una la incertidumbre relativa.
17. Supóngase que, por un alineamiento descuidado, toda longitud se sobrestimó en $5\,\mathrm{mm}$ . ¿Está eso contemplado en el balance de incertidumbres? ¿Qué nombre recibe esta clase de error y cómo se detectaría?

**Parte V — Cinco longitudes y una recta.** El experimento se repite para $\ell = 0.400$, $0.600$, $0.800$, $1.000$ y $1.200\,\mathrm{m}$, con $\tau^2 = 1.62$, $2.41$, $3.25$, $4.04$ y $4.84\,\mathrm{s}^{2}$, cada uno con $u(\tau^2) \approx 1\%$.

18. ¿Por qué representar $\tau^2$ frente a $\ell$ y no $\tau$ frente a $\ell$ ?
19. Calcúlense $\bar\ell$ y $\overline{\tau^2}$ .
20. Calcúlense la pendiente $a$ y la ordenada en el origen $b$ de [mínimos cuadrados](#prop-b1-units-dimensions-regression) .
21. Dedúzcase $g$ de la pendiente.
22. Interprétese la ordenada en el origen: ¿qué revelaría un $b$ claramente no nulo?
23. El ajuste del ordenador indica $u(a) = 0.05\,\mathrm{s}^{2}/\mathrm{m}$ . Dedúzcase $u(g)$ y escríbase el resultado.
24. Compárese mediante la [desviación normalizada](#def-b1-units-dimensions-zscore) el resultado de una sola longitud de la Parte IV con este.
25. Un estudiante propone medir, en su lugar, una sola oscilación de un péndulo de $10\,\mathrm{m}$ en el hueco de una escalera, con la misma cinta y el mismo cronómetro. Estímese la incertidumbre relativa sobre $g$ que eso daría y conclúyase sobre la mejor estrategia.

**Solución de Problema 1.1.**

**1.** $\sqrt{L/(L T^{-2})} = \sqrt{T^2} = T$.

**2.** $\tau = k\ell^\alpha m^\beta g^\gamma$ da $T = L^{\alpha+\gamma} M^\beta T^{-2\gamma}$, luego $\beta = 0$: ninguna combinación de $\ell$ y $g$ puede cancelar una masa.

**3.** $\theta_0$ es [adimensional](#def-b1-units-dimensions-dimension), de modo que cualquier factor $f(\theta_0)$ resulta invisible a las dimensiones. Manténgase la amplitud pequeña (por debajo de unos $10^\circ$), donde $f \approx 1$ con un error inferior al $0.2\%$.

**4.** $g = 4\pi^2\ell/\tau^2$.

**5.** $\ell = 99.0 + 1.00 = 100.0\,\mathrm{cm} = 1.000\,\mathrm{m}$.

**6.** $u = 1\,\mathrm{mm}/\sqrt{12} = 0.29\,\mathrm{mm}$.

**7.** Alineamiento: $5/\sqrt3 = 2.9\,\mathrm{mm}$; combinadas, $\sqrt{0.29^2 + 2.9^2} = 2.9\,\mathrm{mm}$ — la lectura de la cinta es despreciable. $u(\ell)/\ell = 0.29\%$.

**8.** El error de tiempo de reacción (unos $0.1\,\mathrm{s}$) es el mismo se cronometre uno o diez periodos, así que su efecto sobre un periodo es diez veces menor. Repetir revela la dispersión (de ahí $s$) y divide entre $\sqrt8$ la incertidumbre de la media.

**9.** Suma $= 160.80\,\mathrm{s}$, $\overline{t_{10}} = 20.100\,\mathrm{s}$. Desviaciones $0.02, -0.05, 0.08, -0.01, 0.05, -0.08, 0.01, -0.02$; la suma de sus cuadrados es $188 \times 10^{-4}$; $s = \sqrt{188\times10^{-4}/7} = 0.052\,\mathrm{s}$.

**10.** $u(\overline{t_{10}}) = 0.052/\sqrt8 = 0.018\,\mathrm{s}$; $\tau = 2.0100\,\mathrm{s}$, $u(\tau) = 0.0018\,\mathrm{s}$.

**11.** $u(\tau)/\tau = 0.09\%$, tres veces menor que $u(\ell)/\ell = 0.29\%$.

**12.** $g = 4\pi^2 \times 1.000/2.0100^2 = 39.48/4.040 =
9.772\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$.

**13.** $g \propto \ell\,\tau^{-2}$: $\dfrac{u(g)}{g} = \sqrt{\left(\dfrac{u(\ell)}{\ell}\right)^2
+ \left(2\dfrac{u(\tau)}{\tau}\right)^2} = \sqrt{0.29^2 + 0.18^2}\,\%
= 0.34\%$.

**14.** $u(g) = 0.0034 \times 9.772 = 0.033\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$: $g = (9.77 \pm 0.03)\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$.

**15.** $z = \abs{9.772 - 9.81}/0.033 = 1.2 \leq 2$: compatible.

**16.** La longitud ($0.29\%$ frente al $0.18\%$ del término del periodo). Localizar ambos extremos con $\pm1\,\mathrm{mm}$ lleva $u(\ell)/\ell$ al $0.06\%$ y $u(g)/g$ a $\sqrt{0.06^2 + 0.18^2} = 0.19\%$; duplicar la longitud reduce a la mitad $u(\ell)/\ell$ y alarga $\tau$, con lo que mejora los dos términos. Cronometrar veinte periodos en vez de diez reduce a la mitad solo el término del periodo: $u(g)/g = \sqrt{0.29^2 + 0.09^2} = 0.30\%$ — ganancia escasa mientras el cuello de botella sea la longitud.

**17.** No: un desplazamiento común a todas las lecturas es un *error sistemático* (un sesgo); el balance cubre la dispersión aleatoria y las tolerancias declaradas, no un desvío constante. Se detecta cambiando de método o de instrumento o — Parte V — por una ordenada en el origen no nula de la recta $\tau^2$–$\ell$.

**18.** $\tau^2 = (4\pi^2/g)\,\ell$ es una recta que pasa por el origen: la linealidad y la ordenada nula se contrastan a ojo y por [mínimos cuadrados](#prop-b1-units-dimensions-regression); $\tau \propto \sqrt\ell$, no.

**19.** $\bar\ell = 0.800\,\mathrm{m}$; $\overline{\tau^2} = 16.16/5 =
3.232\,\mathrm{s}^{2}$.

**20.** Desviaciones en $\ell$: $-0.4, -0.2, 0, 0.2, 0.4$; en $\tau^2$: $-1.612, -0.822, 0.018, 0.808, 1.608$. Suma de productos $= 1.614$, $\sum(\ell_i - \bar\ell)^2 = 0.400$: $a = 4.035\,\mathrm{s}^{2}/\mathrm{m}$, $b = 3.232 - 4.035 \times 0.800 = 0.004\,\mathrm{s}^{2}$.

**21.** $g = 4\pi^2/a = 39.48/4.035 = 9.78\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$.

**22.** $b \approx 0$, como predice el modelo. Un $b$ claramente no nulo delataría un desvío sistemático $\delta$ en todas las longitudes ($\tau^2 = a(\ell_{\text{med}} - \delta)$ da $b = -a\delta$), por ejemplo un centro de la bola mal situado — o un efecto de amplitud.

**23.** $u(g)/g = u(a)/a = 0.05/4.035 = 1.2\%$, $u(g) =
0.12\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$: $g = (9.78 \pm 0.12)\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$.

**24.** $z = \abs{9.772 - 9.784}/\sqrt{0.033^2 + 0.12^2} = 0.1$: plenamente compatibles. La medida única y cuidadosa es más precisa; la recta valida el modelo y protege frente a un desvío en la longitud.

**25.** $\tau = 2\pi\sqrt{10/9.8} = 6.3\,\mathrm{s}$; una sola oscilación cronometrada con un tiempo de reacción de unos $0.2\,\mathrm{s}$ da $u(\tau)/\tau \approx
3\%$, luego $u(g)/g \approx 6\%$, mientras que $u(\ell)/\ell$ baja al $0.03\%$: veinte veces peor que en la Parte IV. La ganancia en longitud se desperdicia al cronometrar un solo periodo. Mejor estrategia: péndulo largo *y* muchos periodos, repetidos — diez oscilaciones del péndulo de $10\,\mathrm{m}$, ocho veces, dan $u(\tau)/\tau \approx 0.03\%$ y $u(g)/g \approx 0.07\%$.