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title: "El amplificador operacional"
book: "Física universitaria — primer año"
subject: physics
language: es
chapter: 10
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/10-el-amplificador-operacional
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# Capítulo 10 — El amplificador operacional

Una galga extensométrica pegada a la viga de un puente cambia su resistencia en una milésima cuando pasa un camión; el [puente de Wheatstone](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/6-circuitos-en-corriente-continua-leyes-de-kirchhoff-y-teoremas#prop-b1-dc-circuits-wheatstone) que la rodea ([Capítulo 6](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/6-circuitos-en-corriente-continua-leyes-de-kirchhoff-y-teoremas#ch-b1-dc-circuits)) convierte eso en dos milivoltios. Dos milivoltios no accionan nada. Entre la galga y la alarma que cerrará el puente al tráfico hay un chip del tamaño de una uña, que cuesta unos céntimos y que multiplica la [señal](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/5-propagacion-de-senales-ondas-progresivas-y-estacionarias#def-b1-wave-propagation-signal) por mil, la filtra, la compara con un umbral y enciende una lámpara — cuatro tareas, un componente, cuatro cableados distintos. Este capítulo presenta el [amplificador operacional](#def-b1-operational-amplifier-opamp) a través de su modelo ideal, deduce el puñado de circuitos con los que está construido cualquier instrumento y muestra qué ocurre cuando se suprime la realimentación.

## 10.1 El componente y su modelo ideal

**Definición 10.1 (Amplificador operacional).**

Un *amplificador operacional* es un circuito integrado con dos entradas — la entrada *no inversora* a potencial $V_+$ y la entrada *inversora* a $V_-$ — y una salida a potencial $V_s$, alimentado por dos fuentes $\pm V_{\mathrm{cc}}$ (típicamente $\pm15\,\mathrm{V}$) que suelen omitirse en los esquemas. Amplifica la diferencia $\epsilon = V_+ - V_-$:

$$
V_s = \mu\,\epsilon \quad\text{mientras } \abs{V_s} < V_{\mathrm{sat}},
$$

con una *ganancia en lazo abierto* $\mu$ del orden de $10^5$ y una *tensión de saturación* $V_{\mathrm{sat}}$ algo inferior a $V_{\mathrm{cc}}$. Cuando $\mu\abs\epsilon$ superaría $V_{\mathrm{sat}}$, la salida se queda pegada a $+V_{\mathrm{sat}}$ o a $-V_{\mathrm{sat}}$: es el régimen *saturado*.

**Definición 10.2 (Amplificador operacional ideal).**

El modelo *ideal* supone: (i) que no entra corriente por ninguna entrada, $i_+ = i_- = 0$ ([impedancia](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/8-regimen-sinusoidal-permanente-e-impedancia#def-b1-sinusoidal-impedance-impedance) de entrada infinita); (ii) que la salida impone su tensión sea cual sea la corriente que se le pida ([impedancia](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/8-regimen-sinusoidal-permanente-e-impedancia#def-b1-sinusoidal-impedance-impedance) de salida nula); (iii) ganancia infinita, $\mu \to \infty$. En el *régimen lineal* ($\abs{V_s}
< V_{\mathrm{sat}}$) la tercera hipótesis obliga a

$$
\epsilon = V_+ - V_- = 0 :
$$

las dos entradas están al mismo potencial (un “cortocircuito virtual”) aunque entre ellas no circule corriente alguna.

![El amplificador operacional: el símbolo con sus dos entradas y su característica de transferencia V_s( ) — un tramo lineal muy inclinado, de pendiente 105 (dibujado con muy poca pendiente), y después la saturación en ± V_ sat. En el modelo ideal el tramo lineal es vertical: = 0.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-operational-amplifier/fig-81aadb27b960.svg)

*El [amplificador operacional](#def-b1-operational-amplifier-opamp): el símbolo con sus dos entradas y su característica de transferencia $V_s(\epsilon)$ — un tramo lineal muy inclinado, de pendiente $\mu \sim 10^5$ (dibujado con muy poca pendiente), y después la saturación en $\pm V_{\mathrm{sat}}$. En el modelo ideal el tramo lineal es vertical: $\epsilon = 0$.*

**Proposición 10.3 (Realimentación negativa y régimen lineal).**

Si la salida se reconduce a la entrada *inversora* a través de una red ([realimentación negativa](#prop-b1-operational-amplifier-feedback)), el circuito tiene un [punto de funcionamiento](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/6-circuitos-en-corriente-continua-leyes-de-kirchhoff-y-teoremas#met-b1-dc-circuits-loadline) lineal estable en $\epsilon = 0$ y valen las reglas del amplificador ideal. Si la salida se reconduce a la entrada no inversora ([realimentación positiva](#prop-b1-operational-amplifier-feedback)), o no se reconduce en absoluto, el amplificador satura: $V_s = \pm V_{\mathrm{sat}}$ según el signo de $\epsilon$.

**Demostración parcial.** Con [realimentación negativa](#prop-b1-operational-amplifier-feedback), supóngase que $V_s$ sube un poco por encima de su valor de equilibrio; a través de la red de realimentación sube $V_-$, baja $\epsilon$ y el amplificador vuelve a bajar $V_s$: la perturbación queda corregida. Con [realimentación positiva](#prop-b1-operational-amplifier-feedback), esa misma perturbación sube $V_+$, aumenta $\epsilon$ y aleja aún más a $V_s$ hasta que satura. El argumento completo (un modelo de primer orden del amplificador, $\mu(j\omega)
= \mu_0/(1 + j\omega/\omega_0)$, y la estabilidad de la ecuación diferencial resultante) es materia del volumen del Año 2; lo que se usa es la regla anterior. ∎

**Observación 10.4 (Amplificadores reales).**

Tres desviaciones del ideal importan en la práctica. La [ganancia en lazo abierto](#def-b1-operational-amplifier-opamp) cae con la frecuencia como $\mu_0/(1 + jf/f_0)$ con $f_0 \sim 10\,\mathrm{Hz}$: el producto $\mu_0 f_0 = f_T \sim 1\,\mathrm{MHz}$ (el *[producto ganancia–ancho de banda](#rem-b1-operational-amplifier-real)*) es el [ancho de banda](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/8-regimen-sinusoidal-permanente-e-impedancia#thm-b1-sinusoidal-impedance-resonance) disponible para un seguidor, y un circuito de ganancia en lazo cerrado $G$ tiene un [ancho de banda](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/8-regimen-sinusoidal-permanente-e-impedancia#thm-b1-sinusoidal-impedance-resonance) $f_T/G$. La salida no puede cambiar más deprisa que la *[velocidad de subida](#rem-b1-operational-amplifier-real)*, $\sim1\,\mathrm{V}/\text{µ}\mathrm{s}$. Y una pequeña *[tensión de desviación de entrada](#rem-b1-operational-amplifier-real)* ($\sim1\,\mathrm{mV}$) se amplifica igual que una [señal](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/5-propagacion-de-senales-ondas-progresivas-y-estacionarias#def-b1-wave-propagation-signal) — fatal para entradas de milivoltios si no se ajusta.

## 10.2 Los circuitos lineales básicos

**Método 10.5 (Analizar un circuito con operacional ideal en régimen lineal).**

1. Compruébese que la realimentación va a la entrada inversora.
2. Escríbase $i_+ = i_- = 0$ : los nudos de entrada cumplen la [ley de los nudos](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/6-circuitos-en-corriente-continua-leyes-de-kirchhoff-y-teoremas#thm-b1-dc-circuits-kirchhoff) de Kirchhoff sin corriente hacia el amplificador (valen los divisores y el [teorema de Millman](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/6-circuitos-en-corriente-continua-leyes-de-kirchhoff-y-teoremas#prop-b1-dc-circuits-millman) ).
3. Escríbase $V_+ = V_-$ y despéjese $V_s$ .
4. Compruébese después que $\abs{V_s} < V_{\mathrm{sat}}$ ; si no, el amplificador está saturado y el resultado es $\pm V_{\mathrm{sat}}$ .

**Proposición 10.6 (Seguidor, amplificador no inversor e inversor).**

- *Seguidor* : la salida cableada a $V_-$ y la entrada en $V_+$ : $V_s = V_e$ ; [impedancia](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/8-regimen-sinusoidal-permanente-e-impedancia#def-b1-sinusoidal-impedance-impedance) de entrada infinita e [impedancia](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/8-regimen-sinusoidal-permanente-e-impedancia#def-b1-sinusoidal-impedance-impedance) de salida nula.
- *[Amplificador no inversor](#prop-b1-operational-amplifier-basic)*: la salida a $V_-$ a través de un divisor $R_2$ (realimentación) y $R_1$ (a masa), entrada en $V_+$: $$V_s = \left(1 + \frac{R_2}{R_1}\right)V_e .$$
- *[Amplificador inversor](#prop-b1-operational-amplifier-basic)*: $V_+$ a masa, entrada a través de $R_1$ hacia $V_-$, realimentación $R_2$ de la salida a $V_-$: $$V_s = -\frac{R_2}{R_1}\,V_e ,$$ con $V_-$ mantenido al potencial de masa (una *[masa virtual](#prop-b1-operational-amplifier-basic)*) y una [impedancia](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/8-regimen-sinusoidal-permanente-e-impedancia#def-b1-sinusoidal-impedance-impedance) de entrada $R_1$.

**Demostración.** Seguidor: $V_- = V_s$ y $V_+ = V_e$; $\epsilon = 0$ da $V_s = V_e$. No inversor: no entra corriente por $V_-$, así que el divisor da $V_- =
V_sR_1/(R_1 + R_2)$; iguálese a $V_+ = V_e$. Inversor: $V_- = V_+ = 0$; [ley de los nudos](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/6-circuitos-en-corriente-continua-leyes-de-kirchhoff-y-teoremas#thm-b1-dc-circuits-kirchhoff) en $V_-$ con $i_- = 0$: $(V_e - 0)/R_1 + (V_s - 0)/R_2 = 0$. La fuente entrega $V_e/R_1$: [impedancia](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/8-regimen-sinusoidal-permanente-e-impedancia#def-b1-sinusoidal-impedance-impedance) de entrada $R_1$. ∎

![Los tres amplificadores básicos. En cada uno la salida alimenta la entrada inversora, el amplificador trabaja en su régimen lineal y la ganancia la fijan solo cocientes de resistencias — no la enorme y mal definida del propio amplificador.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-operational-amplifier/fig-8cc265345800.svg)

*Los tres amplificadores básicos. En cada uno la salida alimenta la entrada inversora, el amplificador trabaja en su [régimen lineal](#def-b1-operational-amplifier-ideal) y la ganancia la fijan solo cocientes de resistencias — no la $\mu$ enorme y mal definida del propio amplificador.*

**Ejemplo 10.7 (Para qué un seguidor).**

Un sensor de resistencia de Thévenin $10\,\mathrm{k}\Omega$ que alimenta una carga de $1\,\mathrm{k}\Omega$ entrega solo $1/11$ de su tensión en circuito abierto ([Observación 6.14](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/6-circuitos-en-corriente-continua-leyes-de-kirchhoff-y-teoremas#rem-b1-dc-circuits-loading)). Un seguidor entre ambos no toma corriente del sensor y ataca la carga desde una salida de [impedancia](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/8-regimen-sinusoidal-permanente-e-impedancia#def-b1-sinusoidal-impedance-impedance) nula: llega la tensión entera. El seguidor es un *adaptador de [impedancias](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/8-regimen-sinusoidal-permanente-e-impedancia#def-b1-sinusoidal-impedance-impedance)* — y hace exacta la regla de la cascada de [Proposición 9.14](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/9-filtros-y-funciones-de-transferencia#prop-b1-filters-transfer-functions-cascade).

**Proposición 10.8 (Amplificadores sumador y diferencia).**

Entradas $V_1, V_2$ a través de $R_1, R_2$ hacia el nudo inversor, realimentación $R_f$ y $V_+$ a masa:

$$
V_s = -R_f\left(\frac{V_1}{R_1} + \frac{V_2}{R_2}\right)
\quad (\text{amplificador sumador}).
$$

Con $V_1$ a través de $R_1$ hacia $V_-$ (realimentación $R_2$) y $V_2$ a través de $R_1$ hacia $V_+$ (con $R_2$ de $V_+$ a masa):

$$
V_s = \frac{R_2}{R_1}\,(V_2 - V_1)
\quad (\text{amplificador diferencia}).
$$

**Demostración.** Sumador: [ley de los nudos](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/6-circuitos-en-corriente-continua-leyes-de-kirchhoff-y-teoremas#thm-b1-dc-circuits-kirchhoff) en la [masa virtual](#prop-b1-operational-amplifier-basic), $V_1/R_1 + V_2/R_2 + V_s/R_f =
0$. Diferencia: $V_+ = V_2R_2/(R_1 + R_2)$ (divisor); [ley de los nudos](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/6-circuitos-en-corriente-continua-leyes-de-kirchhoff-y-teoremas#thm-b1-dc-circuits-kirchhoff) en $V_-$: $(V_1 - V_-)/R_1 + (V_s - V_-)/R_2 = 0$, luego $V_s = V_-(1 + R_2/R_1) -
V_1R_2/R_1$; hágase $V_- = V_+$ y simplifíquese. ∎

## 10.3 Integrador y derivador

**Proposición 10.9 (Integrador).**

Entrada a través de $R$ hacia $V_-$, un condensador $C$ como realimentación y $V_+$ a masa:

$$
V_s(t) = -\frac{1}{RC}\int_0^t V_e(t')\,\dd t' + V_s(0),
\qquad
\underline H = -\frac{1}{jRC\omega} .
$$

La ganancia cae $20\,\mathrm{dB}$ por década a toda frecuencia y la fase vale $+90^\circ$: un integrador exacto — hasta que la menor desviación o corriente de polarización, integrada indefinidamente, lleva la salida a la saturación.

**Demostración.** [Masa virtual](#prop-b1-operational-amplifier-basic): la corriente $V_e/R$ va al condensador, cuya tensión (de $V_-$ a la salida) vale $-V_s$; por tanto $C\,\dd(-V_s)/\dd t
= V_e/R$, y en notación compleja $\underline H = -1/(jRC\omega)$. ∎

**Observación 10.10 (Domar el integrador).**

Un [resistor](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/6-circuitos-en-corriente-continua-leyes-de-kirchhoff-y-teoremas#def-b1-dc-circuits-resistor) $R'$ en paralelo con $C$ da

$$
\underline H = -\frac{R'/R}{1 + jR'C\omega},
$$

un paso bajo de primer orden de ganancia en continua $-R'/R$ y corte $1/R'C$, que integra para $\omega \gg 1/R'C$ pero no puede derivar hasta la saturación. De igual modo, el derivador (condensador a la entrada, [resistor](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/6-circuitos-en-corriente-continua-leyes-de-kirchhoff-y-teoremas#def-b1-dc-circuits-resistor) como realimentación: $V_s = -RC\,\dd V_e/\dd t$, $\underline H =
-jRC\omega$) amplifica sin límite el ruido de alta frecuencia salvo que un pequeño [resistor](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/6-circuitos-en-corriente-continua-leyes-de-kirchhoff-y-teoremas#def-b1-dc-circuits-resistor) en serie limite su ganancia.

![El integrador y su diagrama de Bode (azul, -20\, dB por década en todo el margen y ganancia infinita en continua); con un resistor en paralelo con C la ganancia queda limitada a baja frecuencia (rojo): un paso bajo que integra por encima de su corte.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-operational-amplifier/fig-cf5df4a436b6.svg)

*El integrador y su [diagrama de Bode](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/9-filtros-y-funciones-de-transferencia#def-b1-filters-transfer-functions-bode) (azul, $-20\,\mathrm{dB}$ por década en todo el margen y ganancia infinita en continua); con un [resistor](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/6-circuitos-en-corriente-continua-leyes-de-kirchhoff-y-teoremas#def-b1-dc-circuits-resistor) en paralelo con $C$ la ganancia queda limitada a baja frecuencia (rojo): un paso bajo que integra por encima de su corte.*

**Ejemplo 10.11 (Triángulo a partir de cuadrada).**

$R = 10\,\mathrm{k}\Omega$, $C = 100\,\mathrm{nF}$, $1/RC = 1000\,\mathrm{s}^{-1}$. Una [señal](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/5-propagacion-de-senales-ondas-progresivas-y-estacionarias#def-b1-wave-propagation-signal) cuadrada de $1\,\mathrm{kHz}$ y $\pm1\,\mathrm{V}$ da un triángulo de pendiente $\mp1000\,\mathrm{V}/\mathrm{s}$ y [amplitud](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/5-propagacion-de-senales-ondas-progresivas-y-estacionarias#def-b1-wave-propagation-signal) $ET/4RC = 0.25\,\mathrm{V}$ — sin la atenuación en $1/\omega$ de un RC pasivo y con una salida de [impedancia](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/8-regimen-sinusoidal-permanente-e-impedancia#def-b1-sinusoidal-impedance-impedance) nula para atacar la etapa siguiente.

## 10.4 Filtros activos

**Proposición 10.12 (Paso bajo activo de primer orden).**

El [amplificador inversor](#prop-b1-operational-amplifier-basic) con un condensador $C$ en paralelo con su [resistor](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/6-circuitos-en-corriente-continua-leyes-de-kirchhoff-y-teoremas#def-b1-dc-circuits-resistor) de realimentación $R_2$ tiene

$$
\underline H = -\frac{R_2/R_1}{1 + jR_2C\omega}:
$$

un paso bajo de ganancia en continua $-R_2/R_1$ (que puede superar $1$) y corte $\omega_c = 1/R_2C$, con [impedancia](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/8-regimen-sinusoidal-permanente-e-impedancia#def-b1-sinusoidal-impedance-impedance) de salida nula — las etapas se ponen en cascada multiplicando sin más.

**Demostración.** [Amplificador inversor](#prop-b1-operational-amplifier-basic) con la [impedancia](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/8-regimen-sinusoidal-permanente-e-impedancia#def-b1-sinusoidal-impedance-impedance) de realimentación $R_2 \parallel 1/jC\omega
= R_2/(1 + jR_2C\omega)$ en lugar de $R_2$. ∎

## 10.5 Sin realimentación negativa: comparadores

**Proposición 10.13 (Comparador).**

Sin realimentación, el amplificador ideal está saturado: $V_s = +V_{\mathrm{sat}}$ si $V_+ > V_-$, y $-V_{\mathrm{sat}}$ si $V_+ < V_-$. Con una referencia $V_{\mathrm{ref}}$ en una entrada y una [señal](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/5-propagacion-de-senales-ondas-progresivas-y-estacionarias#def-b1-wave-propagation-signal) en la otra, la salida dice si la [señal](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/5-propagacion-de-senales-ondas-progresivas-y-estacionarias#def-b1-wave-propagation-signal) supera a la referencia — un convertidor de un bit.

**Demostración.** $\mu\epsilon$ supera $V_{\mathrm{sat}}$ para cualquier $\abs\epsilon >
V_{\mathrm{sat}}/\mu \sim 0.1\,\mathrm{mV}$. ∎

**Proposición 10.14 (Disparador de Schmitt).**

Devuélvase una fracción $\beta = R_1/(R_1 + R_2)$ de la salida hacia $V_+$ (divisor $R_1$ a masa, $R_2$ desde la salida) y aplíquese la [señal](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/5-propagacion-de-senales-ondas-progresivas-y-estacionarias#def-b1-wave-propagation-signal) $V_e$ a $V_-$. La salida conmuta de $+V_{\mathrm{sat}}$ a $-V_{\mathrm{sat}}$ cuando $V_e$ sube por encima de $+\beta V_{\mathrm{sat}}$, y vuelve cuando $V_e$ baja de $-\beta V_{\mathrm{sat}}$: dos umbrales, una *histéresis* de anchura $2\beta V_{\mathrm{sat}}$, inmune al ruido menor que esa anchura.

**Demostración.** [Realimentación positiva](#prop-b1-operational-amplifier-feedback): saturado. Si $V_s = +V_{\mathrm{sat}}$ entonces $V_+ =
\beta V_{\mathrm{sat}}$, y $\epsilon = \beta V_{\mathrm{sat}} - V_e$ se mantiene positivo hasta que $V_e$ supera $\beta V_{\mathrm{sat}}$; entonces la salida bascula, $V_+$ baja a $-\beta V_{\mathrm{sat}}$ y el nuevo estado se mantiene hasta que $V_e$ baja por debajo de ese valor. ∎

![El disparador de Schmitt: la realimentación positiva por R_1 y R_2 da dos umbrales ± V_ sat. La salida bascula de alto a bajo cuando V_e sube por encima del umbral superior, y de bajo a alto cuando baja del inferior (flechas): un ciclo de histéresis.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-operational-amplifier/fig-3b55744c7cd2.svg)

*El [disparador de Schmitt](#prop-b1-operational-amplifier-schmitt): la [realimentación positiva](#prop-b1-operational-amplifier-feedback) por $R_1$ y $R_2$ da dos umbrales $\pm\beta V_{\mathrm{sat}}$. La salida bascula de alto a bajo cuando $V_e$ sube por encima del umbral superior, y de bajo a alto cuando baja del inferior (flechas): un ciclo de histéresis.*

**Ejemplo 10.15 (El oscilador de relajación).**

Conéctese la salida del [disparador de Schmitt](#prop-b1-operational-amplifier-schmitt) a su propia entrada inversora a través de $R$, con $C$ de $V_-$ a masa. El condensador se carga hacia $\pm V_{\mathrm{sat}}$ y hace bascular el disparador cada vez que alcanza $\pm\beta V_{\mathrm{sat}}$: la salida es una [señal](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/5-propagacion-de-senales-ondas-progresivas-y-estacionarias#def-b1-wave-propagation-signal) cuadrada, la tensión del condensador una cadena de arcos exponenciales, y el periodo vale

$$
T = 2RC\ln\frac{1 + \beta}{1 - \beta}
$$

([Ejercicio 10.12](#exo-b1-operational-amplifier-12)): $2.2\,RC$ para $\beta = \tfrac12$. Sin entrada, con un condensador, un reloj — un sistema que oscila porque no puede estabilizarse, tema que vuelve con los osciladores realimentados del volumen del Año 2.

## 10.6 Ejercicios

**Ejercicio 10.1 ★.**

Un [amplificador no inversor](#prop-b1-operational-amplifier-basic) tiene $R_1 = 1.0\,\mathrm{k}\Omega$, $R_2 =
9.0\,\mathrm{k}\Omega$ y $V_{\mathrm{sat}} = 15\,\mathrm{V}$. ¿Ganancia? ¿Salida para $V_e = 0.50\,\mathrm{V}$? ¿Mayor entrada antes de saturar?

**Solución de Ejercicio 10.1.**

$G = 1 + 9 = 10$; $V_s = 5.0\,\mathrm{V}$; satura en $V_e = 15/10 =
1.5\,\mathrm{V}$.

**Ejercicio 10.2 ★.**

Un [amplificador inversor](#prop-b1-operational-amplifier-basic) tiene $R_1 = 10\,\mathrm{k}\Omega$, $R_2 = 100\,\mathrm{k}\Omega$. Ganancia, [impedancia](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/8-regimen-sinusoidal-permanente-e-impedancia#def-b1-sinusoidal-impedance-impedance) de entrada, corriente que toma de una fuente de $1.0\,\mathrm{V}$ y salida.

**Solución de Ejercicio 10.2.**

$G = -10$; [impedancia](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/8-regimen-sinusoidal-permanente-e-impedancia#def-b1-sinusoidal-impedance-impedance) de entrada $R_1 = 10\,\mathrm{k}\Omega$; $i = 1.0/10^4 =
0.10\,\mathrm{mA}$; $V_s = -10\,\mathrm{V}$.

**Ejercicio 10.3 ★.**

Un sensor de [resistencia interna](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/6-circuitos-en-corriente-continua-leyes-de-kirchhoff-y-teoremas#def-b1-dc-circuits-sources) $10\,\mathrm{k}\Omega$ y tensión en circuito abierto $1.0\,\mathrm{V}$ debe atacar una carga de $1.0\,\mathrm{k}\Omega$. ¿Tensión en la carga sin seguidor y con un seguidor intercalado?

**Solución de Ejercicio 10.3.**

Sin él: divisor $1/(1 + 10) = 0.091$, $91\,\mathrm{mV}$. Con el seguidor: $1.0\,\mathrm{V}$ — el seguidor no toma nada del sensor y suministra el $1\,\mathrm{mA}$ que necesita la carga.

**Ejercicio 10.4 ★.**

Un [amplificador sumador](#prop-b1-operational-amplifier-sumdiff) tiene $R_f = 10\,\mathrm{k}\Omega$ y entradas a través de $10\,\mathrm{k}\Omega$ y $20\,\mathrm{k}\Omega$. Escríbase $V_s$ y calcúlese para $V_1 = 1.0\,\mathrm{V}$ y $V_2 = 2.0\,\mathrm{V}$.

**Solución de Ejercicio 10.4.**

$V_s = -R_f(V_1/R_1 + V_2/R_2) = -(V_1 + V_2/2) = -(1.0 + 1.0) = -2.0\,\mathrm{V}$.

**Ejercicio 10.5 ★★.**

Dedúzcase el $V_s = (R_2/R_1)(V_2 - V_1)$ del [amplificador diferencia](#prop-b1-operational-amplifier-sumdiff). Con $R_1 = 10\,\mathrm{k}\Omega$, $R_2 = 100\,\mathrm{k}\Omega$, $V_1 = 1.00\,\mathrm{V}$ y $V_2 = 1.05\,\mathrm{V}$: ¿salida? ¿Qué ha pasado con el $1\,\mathrm{V}$ común a las dos entradas?

**Solución de Ejercicio 10.5.**

$V_+ = V_2R_2/(R_1 + R_2)$; en $V_-$: $(V_1 - V_-)/R_1 = (V_- - V_s)/R_2$, luego $V_s = V_-(1 + R_2/R_1) - V_1R_2/R_1$; con $V_- = V_+$: $V_s = V_2R_2/R_1 - V_1R_2/R_1$. Datos: $10 \times 0.05 = 0.50\,\mathrm{V}$; el $1\,\mathrm{V}$ común no aporta nada — rechazo del modo común.

**Ejercicio 10.6 ★★.**

Integrador con $R = 10\,\mathrm{k}\Omega$, $C = 100\,\mathrm{nF}$ y salida inicialmente nula. Se aplica un escalón de $1.0\,\mathrm{V}$: pendiente de la salida y tiempo hasta saturar ($15\,\mathrm{V}$). Con una [señal](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/5-propagacion-de-senales-ondas-progresivas-y-estacionarias#def-b1-wave-propagation-signal) cuadrada de $1.0\,\mathrm{kHz}$ y $\pm1.0\,\mathrm{V}$: forma y [amplitud](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/5-propagacion-de-senales-ondas-progresivas-y-estacionarias#def-b1-wave-propagation-signal) de la salida.

**Solución de Ejercicio 10.6.**

$V_s = -(1/RC)\int V_e$: pendiente $-1000 \times 1.0 = -1000\,\mathrm{V}/\mathrm{s}$; satura al cabo de $15/1000 = 15\,\mathrm{ms}$. [Señal](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/5-propagacion-de-senales-ondas-progresivas-y-estacionarias#def-b1-wave-propagation-signal) cuadrada: triángulo de [amplitud](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/5-propagacion-de-senales-ondas-progresivas-y-estacionarias#def-b1-wave-propagation-signal) $ET/4RC = 1.0 \times 10^{-3}/(4 \times 10^{-3}) = 0.25\,\mathrm{V}$ (más la constante que deje la carga inicial).

**Ejercicio 10.7 ★★.**

Se añade un [resistor](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/6-circuitos-en-corriente-continua-leyes-de-kirchhoff-y-teoremas#def-b1-dc-circuits-resistor) de $1.0\,\mathrm{M}\Omega$ en paralelo con el condensador del integrador anterior. Dense la [función de transferencia](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/9-filtros-y-funciones-de-transferencia#def-b1-filters-transfer-functions-H), la ganancia en continua, la [frecuencia de corte](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/9-filtros-y-funciones-de-transferencia#def-b1-filters-transfer-functions-bode) y la ganancia a $1.0\,\mathrm{kHz}$; ¿en qué margen sigue integrando el circuito?

**Solución de Ejercicio 10.7.**

$\underline H = -(R'/R)/(1 + jR'C\omega)$: ganancia en continua $-100$; corte $1/(2\pi R'C) = 1.6\,\mathrm{Hz}$; a $1\,\mathrm{kHz}$, $R'C\omega = 628$, $G =
100/628 = 0.16$ — el valor $1/RC\omega$ del integrador. Integra para $f \gg 1.6\,\mathrm{Hz}$.

**Ejercicio 10.8 ★★.**

Diséñese un paso bajo activo inversor con una ganancia de $20\,\mathrm{dB}$ en la [banda pasante](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/9-filtros-y-funciones-de-transferencia#def-b1-filters-transfer-functions-bode) y corte en $500\,\mathrm{Hz}$, usando $R_1 = 1.0\,\mathrm{k}\Omega$.

**Solución de Ejercicio 10.8.**

$R_2/R_1 = 10$: $R_2 = 10\,\mathrm{k}\Omega$; $C = 1/(2\pi R_2f_c) = 1/(2\pi
\times 10^4 \times 500) = 32\,\mathrm{nF}$.

**Ejercicio 10.9 ★★.**

Un amplificador real tiene $\mu_0 = 10^5$ y $f_T = 1.0\,\mathrm{MHz}$. Para un [amplificador no inversor](#prop-b1-operational-amplifier-basic) diseñado con ganancia $100$: ganancia real en continua (manténgase $\mu_0$ finita en el análisis) y [ancho de banda](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/8-regimen-sinusoidal-permanente-e-impedancia#thm-b1-sinusoidal-impedance-resonance). ¿[Ancho de banda](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/8-regimen-sinusoidal-permanente-e-impedancia#thm-b1-sinusoidal-impedance-resonance) de un seguidor?

**Solución de Ejercicio 10.9.**

Con $\mu$ finita: $V_s = \mu(V_e - \beta V_s)$, $\beta = 1/100$, luego $G = \mu/(1 + \mu\beta) = 10^5/(1 + 10^3) = 99.9$. [Ancho de banda](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/8-regimen-sinusoidal-permanente-e-impedancia#thm-b1-sinusoidal-impedance-resonance) $f_T/G =
10\,\mathrm{kHz}$; seguidor: $1\,\mathrm{MHz}$.

**Ejercicio 10.10 ★★★.**

Un comparador con $V_{\mathrm{ref}} = 2.0\,\mathrm{V}$ en $V_-$ vigila una [señal](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/5-propagacion-de-senales-ondas-progresivas-y-estacionarias#def-b1-wave-propagation-signal) que sube despacio y lleva $50\,\mathrm{mV}$ de ruido. Descríbase la salida cuando la [señal](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/5-propagacion-de-senales-ondas-progresivas-y-estacionarias#def-b1-wave-propagation-signal) cruza $2.0\,\mathrm{V}$. ¿Remedio?

**Solución de Ejercicio 10.10.**

Cada excursión del ruido a través de $2.0\,\mathrm{V}$ hace bascular la salida: una ráfaga de conmutaciones rápidas en torno al cruce. Remedio: una histéresis más ancha que el ruido, es decir un [disparador de Schmitt](#prop-b1-operational-amplifier-schmitt).

**Ejercicio 10.11 ★★★.**

[Disparador de Schmitt](#prop-b1-operational-amplifier-schmitt) con $R_1 = 1.0\,\mathrm{k}\Omega$, $R_2 = 9.0\,\mathrm{k}\Omega$ y $V_{\mathrm{sat}} = 15\,\mathrm{V}$: dedúzcanse y calcúlense los dos umbrales. Esbócese $V_s$ para un $V_e$ triangular de [amplitud](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/5-propagacion-de-senales-ondas-progresivas-y-estacionarias#def-b1-wave-propagation-signal) $3\,\mathrm{V}$.

**Solución de Ejercicio 10.11.**

$V_+ = V_sR_1/(R_1 + R_2) = V_s/10$: umbrales $\pm1.5\,\mathrm{V}$. La salida vale $+15\,\mathrm{V}$ mientras $V_e$ sube hasta $1.5\,\mathrm{V}$, bascula a $-15\,\mathrm{V}$, se queda ahí hasta que $V_e$ baja de $-1.5\,\mathrm{V}$ y vuelve a bascular: una [señal](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/5-propagacion-de-senales-ondas-progresivas-y-estacionarias#def-b1-wave-propagation-signal) cuadrada de la frecuencia del triángulo, con sus flancos en los cruces de umbral.

**Ejercicio 10.12 ★★★.**

[Oscilador de relajación](#ex-b1-operational-amplifier-astable) con $R_1 = R_2$ ($\beta = \tfrac12$). Dedúzcase el periodo $T = 2RC\ln\frac{1 + \beta}{1 - \beta}$ a partir de la carga de $C$ a través de $R$ entre los dos umbrales; elíjase $R$ para $1.0\,\mathrm{kHz}$ con $C = 100\,\mathrm{nF}$; esbócense $V_s(t)$ y $V_C(t)$.

**Solución de Ejercicio 10.12.**

Con $V_s = +V_{\mathrm{sat}}$, $V_C$ se carga desde $-\beta V_{\mathrm{sat}}$ hacia $+V_{\mathrm{sat}}$: $V_C = V_{\mathrm{sat}} - (1 + \beta)V_{\mathrm{sat}}
\eu^{-t/RC}$, y llega a $+\beta V_{\mathrm{sat}}$ cuando $\eu^{-t/RC} =
(1 - \beta)/(1 + \beta)$: semiperiodo $RC\ln\frac{1 + \beta}{1 - \beta}$, de donde $T$. Con $\beta = \tfrac12$: $T = 2RC\ln 3 = 2.2RC$; $RC = 1/(2.2 \times
10^3) = 0.455\,\mathrm{ms}$, $R = 4.6\,\mathrm{k}\Omega$. $V_s$: [señal](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/5-propagacion-de-senales-ondas-progresivas-y-estacionarias#def-b1-wave-propagation-signal) cuadrada de $\pm15\,\mathrm{V}$; $V_C$: arcos exponenciales entre $\pm7.5\,\mathrm{V}$.

## 10.7 Problema: una cadena de instrumentación para una galga extensométrica

**Problema 10.1.**

Problema de fin de semana — de dos milivoltios en la viga de un puente a una lámpara roja: seguidores, un amplificador diferencia, un filtro activo y un disparador de Schmitt, y las dos imperfecciones que deciden si la cadena funciona

Una galga extensométrica de resistencia $R(1 + \epsilon)$, con $R = 1.00\,\mathrm{k}\Omega$ y $0 \leq \epsilon \leq 2.0 \times 10^{-3}$, forma un [puente de Wheatstone](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/6-circuitos-en-corriente-continua-leyes-de-kirchhoff-y-teoremas#prop-b1-dc-circuits-wheatstone) con otros tres [resistores](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/6-circuitos-en-corriente-continua-leyes-de-kirchhoff-y-teoremas#def-b1-dc-circuits-resistor) fijos de $1.00\,\mathrm{k}\Omega$, alimentado por $E = 5.00\,\mathrm{V}$. La salida del puente $u = V_B - V_A$ (entre los dos puntos intermedios) vale $u \approx E\epsilon/4$ (el signo se elige con el cableado). Amplificadores: ideales salvo indicación en contra; $V_{\mathrm{sat}} = 15\,\mathrm{V}$; donde haga falta, $f_T = 1.0\,\mathrm{MHz}$, [velocidad de subida](#rem-b1-operational-amplifier-real) $0.5\,\mathrm{V}/\text{µ}\mathrm{s}$ y desviación de entrada $1\,\mathrm{mV}$.

**Parte I — El puente y su carga.**

1. Recuérdese por qué $u \approx E\epsilon/4$ para $\epsilon$ pequeño.
2. Calcúlese $u$ a fondo de escala ( $\epsilon = 2.0 \times 10^{-3}$ ).
3. Dese el potencial de cada punto intermedio (respecto del borne negativo del puente) sin deformación y a fondo de escala. ¿Cómo se llama su valor común?
4. Cada punto intermedio es la salida de un divisor de dos [resistores](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/6-circuitos-en-corriente-continua-leyes-de-kirchhoff-y-teoremas#def-b1-dc-circuits-resistor) de $1\,\mathrm{k}\Omega$ : ¿cuál es la resistencia de Thévenin vista entre los dos puntos intermedios?
5. Se conecta a la salida del puente un amplificador cuya resistencia de entrada vale $10\,\mathrm{k}\Omega$ : ¿qué fracción de $u$ recibe?
6. ¿Por qué lo cura un seguidor en cada punto intermedio? Dígase qué dos propiedades se usan.
7. ¿Cuáles son las tensiones de salida de los seguidores (en función de $V_A$ y $V_B$ ) y qué corriente toman del puente?

**Parte II — Amplificar la diferencia.**

8. Los seguidores alimentan un [amplificador diferencia](#prop-b1-operational-amplifier-sumdiff) ( $R_1$ en las dos entradas, $R_2$ como realimentación y a masa). Dedúzcase $V_s =  (R_2/R_1)(V_B - V_A)$ .
9. Elíjanse $R_1 = 10\,\mathrm{k}\Omega$ y $R_2$ para una ganancia de $100$ .
10. Una segunda etapa, no inversora, multiplica por $10$ : dense sus [resistores](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/6-circuitos-en-corriente-continua-leyes-de-kirchhoff-y-teoremas#def-b1-dc-circuits-resistor) , la ganancia total y la salida a fondo de escala.
11. Los dos puntos intermedios están cerca de $E/2 = 2.5\,\mathrm{V}$ (la tensión de modo común). ¿Qué hace con ella un [amplificador diferencia](#prop-b1-operational-amplifier-sumdiff) exactamente equilibrado? Si un cociente de resistencias se desvía un $1\%$ , estímese la tensión espuria referida a la entrada y compárese con la [señal](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/5-propagacion-de-senales-ondas-progresivas-y-estacionarias#def-b1-wave-propagation-signal) .
12. El primer amplificador tiene una desviación de entrada de $1\,\mathrm{mV}$ . ¿Qué error de salida produce tras la ganancia total? Conclúyase.
13. Con $f_T = 1\,\mathrm{MHz}$ , ¿cuál es el [ancho de banda](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/8-regimen-sinusoidal-permanente-e-impedancia#thm-b1-sinusoidal-impedance-resonance) de cada etapa? ¿Basta para una [señal](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/5-propagacion-de-senales-ondas-progresivas-y-estacionarias#def-b1-wave-propagation-signal) por debajo de $5\,\mathrm{Hz}$ ?
14. La salida debe recorrer $2.5\,\mathrm{V}$ cuando llega un camión en unos $10\,\mathrm{ms}$ : ¿limita la [velocidad de subida](#rem-b1-operational-amplifier-real) ?

**Parte III — El filtrado.** La [señal](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/5-propagacion-de-senales-ondas-progresivas-y-estacionarias#def-b1-wave-propagation-signal) amplificada arrastra un zumbido de $50\,\mathrm{Hz}$ captado de la red eléctrica.

15. Diséñese un paso bajo activo inversor de ganancia $-1$ y corte $10\,\mathrm{Hz}$ , con $R_1 = R_2 = 16\,\mathrm{k}\Omega$ : hállese $C$ .
16. Calcúlese su atenuación a $50\,\mathrm{Hz}$ en [decibelios](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/9-filtros-y-funciones-de-transferencia#def-b1-filters-transfer-functions-bode) .
17. Calcúlense el desfase a $5\,\mathrm{Hz}$ y el retraso correspondiente. ¿Es aceptable para una alarma?
18. ¿Por qué es aquí preferible un [filtro activo](#prop-b1-operational-amplifier-activelp) a un RC pasivo (dos razones)?
19. Se pone en cascada una segunda etapa idéntica: ¿atenuación a $50\,\mathrm{Hz}$ ? ¿Por qué es exacta aquí la regla del producto?

**Parte IV — Umbral y alarma.** La alarma debe dispararse cuando la deformación supera $1.6 \times 10^{-3}$.

20. ¿A qué tensión de salida de la cadena corresponde eso? Con un comparador con esa referencia: estados de salida.
21. La [señal](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/5-propagacion-de-senales-ondas-progresivas-y-estacionarias#def-b1-wave-propagation-signal) filtrada aún lleva $50\,\mathrm{mV}$ de ruido cerca del umbral. ¿Qué hace el comparador simple?
22. Un [disparador de Schmitt](#prop-b1-operational-amplifier-schmitt) con la referencia en una entrada y realimentación $\beta$ : muéstrese que los umbrales son $V_{\mathrm{ref}} \pm  \beta V_{\mathrm{sat}}$ ; elíjase $\beta$ para $\pm0.10\,\mathrm{V}$ y dense $R_1$ y $R_2$ .
23. Dense los dos umbrales en voltios y en deformación.
24. La salida ataca un LED ( $2.0\,\mathrm{V}$ , $13\,\mathrm{mA}$ ) a través de un [resistor](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/6-circuitos-en-corriente-continua-leyes-de-kirchhoff-y-teoremas#def-b1-dc-circuits-resistor) : calcúlese. ¿Qué protege al LED cuando la salida está en $-V_{\mathrm{sat}}$ ?
25. Resúmase la cadena, etapa por etapa, y nómbrense las dos imperfecciones que fijan sus límites reales.

**Solución de Problema 10.1.**

**1.** Dos divisores: $u = E[\tfrac12 - (1 + \epsilon)/(2 + \epsilon)]
\approx -E\epsilon/4$ ([Proposición 6.22](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/6-circuitos-en-corriente-continua-leyes-de-kirchhoff-y-teoremas#prop-b1-dc-circuits-wheatstone)); el cableado fija el signo.

**2.** $u = 5.00 \times 2.0\times10^{-3}/4 = 2.5\,\mathrm{mV}$.

**3.** $V_A = E/2 = 2.500\,\mathrm{V}$ siempre; $V_B = E(1 + \epsilon)/(2 +
\epsilon) \approx 2.500 + 0.0025 = 2.5025\,\mathrm{V}$ a fondo de escala. Los $2.5\,\mathrm{V}$ comunes a ambos son la tensión de modo común.

**4.** Cada punto intermedio: $1 \parallel 1 = 500\,\Omega$; entre los dos puntos intermedios, $1.0\,\mathrm{k}\Omega$.

**5.** $10/(10 + 1) = 0.91$: una pérdida del $9\%$.

**6.** [Impedancia](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/8-regimen-sinusoidal-permanente-e-impedancia#def-b1-sinusoidal-impedance-impedance) de entrada infinita (no toma corriente del puente, así que los puntos intermedios conservan sus potenciales en circuito abierto) e [impedancia](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/8-regimen-sinusoidal-permanente-e-impedancia#def-b1-sinusoidal-impedance-impedance) de salida nula (la etapa siguiente puede pedir lo que necesite).

**7.** $V_A$ y $V_B$ exactamente; corriente nula.

**8.** Como en [Proposición 10.8](#prop-b1-operational-amplifier-sumdiff): $V_+ =
V_BR_2/(R_1 + R_2)$, [ley de los nudos](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/6-circuitos-en-corriente-continua-leyes-de-kirchhoff-y-teoremas#thm-b1-dc-circuits-kirchhoff) en $V_-$, $V_- = V_+$.

**9.** $R_2 = 1.0\,\mathrm{M}\Omega$.

**10.** $1 + R_2/R_1 = 10$: por ejemplo $1\,\mathrm{k}\Omega$ y $9\,\mathrm{k}\Omega$. Ganancia total $1000$; a fondo de escala $2.5 \times 10^{-3} \times 1000 = 2.5\,\mathrm{V}$.

**11.** Equilibrado: los $2.5\,\mathrm{V}$ comunes se cancelan exactamente (solo sobrevive $V_B - V_A$). Un desajuste del $1\%$ deja pasar en torno al $1\%$ de ellos: un error referido a la entrada del orden de $25\,\mathrm{mV}$, diez veces la [señal](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/5-propagacion-de-senales-ondas-progresivas-y-estacionarias#def-b1-wave-propagation-signal) a fondo de escala — los cuatro [resistores](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/6-circuitos-en-corriente-continua-leyes-de-kirchhoff-y-teoremas#def-b1-dc-circuits-resistor) han de estar apareados mejor que un $0.01\%$ (o hay que eliminar antes la tensión de modo común).

**12.** $1\ \mathrm{mV} \times 1000 = 1\,\mathrm{V}$, el cuarenta por ciento del fondo de escala: inservible sin ajuste de la desviación, sin un amplificador de desviación baja (tipo chopper) o sin un calibrado a cero con la viga descargada.

**13.** Etapa 1: $f_T/100 = 10\,\mathrm{kHz}$; etapa 2: $100\,\mathrm{kHz}$; muy por encima de $5\,\mathrm{Hz}$.

**14.** Se necesitan $2.5/10^{-2} = 250\,\mathrm{V}/\mathrm{s} = 0.25\,\mathrm{mV}/\text{µ}\mathrm{s}$, dos mil veces por debajo de la [velocidad de subida](#rem-b1-operational-amplifier-real): no.

**15.** $C = 1/(2\pi R_2f_c) = 1/(2\pi \times 1.6\times10^4 \times 10)
= 1.0\,\text{µ}\mathrm{F}$.

**16.** $x = 5$: $G = 1/\sqrt{26}$, $-14\,\mathrm{dB}$.

**17.** $\varphi = -\arctan 0.5 = -27^\circ$; retraso $\varphi/\omega =
15\,\mathrm{ms}$ — nada frente al paso de un camión.

**18.** No carga a la etapa siguiente ([impedancia](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/8-regimen-sinusoidal-permanente-e-impedancia#def-b1-sinusoidal-impedance-impedance) de salida nula) y ofrece ganancia; además no atenúa la [señal](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/5-propagacion-de-senales-ondas-progresivas-y-estacionarias#def-b1-wave-propagation-signal) útil por debajo del corte.

**19.** $-28\,\mathrm{dB}$ (las ganancias se multiplican y los [decibelios](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/9-filtros-y-funciones-de-transferencia#def-b1-filters-transfer-functions-bode) se suman), exacto porque la [impedancia](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/8-regimen-sinusoidal-permanente-e-impedancia#def-b1-sinusoidal-impedance-impedance) de salida de la primera etapa es nula: la segunda no la carga.

**20.** $\epsilon = 1.6\times10^{-3} \to u = 2.0\,\mathrm{mV} \to
2.0\,\mathrm{V}$; salida $+V_{\mathrm{sat}}$ cuando la [señal](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/5-propagacion-de-senales-ondas-progresivas-y-estacionarias#def-b1-wave-propagation-signal) supera $2.0\,\mathrm{V}$ y $-V_{\mathrm{sat}}$ por debajo (o al revés, según el cableado).

**21.** Castañetea: la lámpara parpadea cada vez que el ruido cruza la referencia.

**22.** Con $V_{\mathrm{ref}}$ a través de $R_2$ y la salida a través de $R_1$… en la forma estándar, la entrada no inversora está a $V_{\mathrm{ref}}(1 - \beta) + \beta V_s$; tomando la referencia desplazada en consecuencia, los niveles de conmutación son $V_{\mathrm{ref}} \pm \beta V_{\mathrm{sat}}$. Con $\beta V_{\mathrm{sat}} = 0.10\,\mathrm{V}$: $\beta = 1/150$, por ejemplo $R_1 =
1.0\,\mathrm{k}\Omega$, $R_2 = 149\,\mathrm{k}\Omega$.

**23.** $2.1\,\mathrm{V}$ (disparo) y $1.9\,\mathrm{V}$ (rearme): deformaciones $1.68 \times 10^{-3}$ y $1.52 \times 10^{-3}$.

**24.** $R = (15 - 2.0)/0.013 = 1.0\,\mathrm{k}\Omega$. En $-V_{\mathrm{sat}}$ el LED queda polarizado en inversa con $15\,\mathrm{V}$, más de lo que admite: lo protege un diodo corriente en antiparalelo (o en serie).

**25.** Puente ($2.5\,\mathrm{mV}$ a fondo de escala) $\to$ dos seguidores (sin carga) $\to$ [amplificador diferencia](#prop-b1-operational-amplifier-sumdiff) $\times100$ $\to$ no inversor $\times10$ $\to$ paso bajo activo de $10\,\mathrm{Hz}$ $\to$ [disparador de Schmitt](#prop-b1-operational-amplifier-schmitt) en $2.0\,\mathrm{V} \pm 0.1\,\mathrm{V}$ $\to$ LED. Los límites reales: la [tensión de desviación de entrada](#rem-b1-operational-amplifier-real) y el apareamiento de los [resistores](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/6-circuitos-en-corriente-continua-leyes-de-kirchhoff-y-teoremas#def-b1-dc-circuits-resistor) del [amplificador diferencia](#prop-b1-operational-amplifier-sumdiff), ambos comparables a la [señal](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/5-propagacion-de-senales-ondas-progresivas-y-estacionarias#def-b1-wave-propagation-signal) de milivoltios.