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title: "Las leyes de Newton de la dinámica"
book: "Física universitaria — primer año"
subject: physics
language: es
chapter: 12
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/12-las-leyes-de-newton-de-la-dinamica
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# Capítulo 12 — Las leyes de Newton de la dinámica

Un paracaidista sale del avión y, en una docena de segundos, deja de acelerar: a doscientos kilómetros por hora el aire empuja exactamente tanto como tira la Tierra. Un coche toma una curva demasiado deprisa y los neumáticos ceden; un camión en una carretera de montaña avanza a paso lento en una marcha corta, sostenido por el mismo rozamiento que le permite detenerse en llano. La cinemática describía movimientos; la dinámica los explica, a partir de una única ley que liga la aceleración de un cuerpo con las [fuerzas](#def-b1-newton-dynamics-momentum) que actúan sobre él. Este capítulo enuncia las tres [leyes de Newton](#thm-b1-newton-dynamics-laws), cataloga las [fuerzas](#def-b1-newton-dynamics-momentum) que aparecen al nivel de este volumen — peso, resortes, hilos, contactos, [rozamiento seco](#prop-b1-newton-dynamics-friction) y fluido — y muestra cómo pasar de un dibujo de las [fuerzas](#def-b1-newton-dynamics-momentum) a una ecuación diferencial y a su solución.

![La Estación Espacial Internacional vista desde el transbordador que se aleja (NASA): todo lo que hay a bordo está en caída libre a la vez, y por eso nada a bordo parece pesar.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-newton-dynamics/img-58b3db574027.jpg)

*La Estación Espacial Internacional vista desde el transbordador que se aleja (NASA): todo lo que hay a bordo está en caída libre a la vez, y por eso nada a bordo parece pesar.*

## 12.1 Masa, cantidad de movimiento y las tres leyes

**Definición 12.1 (Masa, cantidad de movimiento, fuerza).**

Un [punto material](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/11-cinematica-del-punto#def-b1-point-kinematics-frame) tiene una *masa inercial* $m > 0$ (kilogramos), una medida de su resistencia a los cambios de velocidad, independiente del [sistema de referencia](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/11-cinematica-del-punto#def-b1-point-kinematics-frame). Su *cantidad de movimiento* en un sistema es

$$
\vect p = m\,\vect v \qquad (\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}).
$$

Una *fuerza* $\vect F$ (newtons) es la acción de otro cuerpo sobre el punto; las fuerzas se suman como vectores, y la *resultante* es su suma $\sum\vect F$.

**Teorema 12.2 (Leyes de Newton).**

1. *[Principio de inercia](#thm-b1-newton-dynamics-laws).* Existen [sistemas de referencia](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/11-cinematica-del-punto#def-b1-point-kinematics-frame) , llamados *inerciales* (o galileanos), en los que un [punto material](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/11-cinematica-del-punto#def-b1-point-kinematics-frame) sin [fuerzas](#def-b1-newton-dynamics-momentum) , o con [fuerzas](#def-b1-newton-dynamics-momentum) de resultante nula, se mueve en línea recta con velocidad constante. Todo sistema en traslación rectilínea uniforme respecto de un [sistema inercial](#thm-b1-newton-dynamics-laws) es inercial.
2. *Ley de la [cantidad de movimiento](#def-b1-newton-dynamics-momentum).* En un [sistema inercial](#thm-b1-newton-dynamics-laws), $$\frac{\dd\vect p}{\dd t} = \sum\vect F, \qquad \text{es decir}\qquad  m\,\vect a = \sum\vect F \ \text{ para una masa constante } m .$$
3. *[Acción y reacción](#thm-b1-newton-dynamics-laws).* Si el cuerpo $A$ ejerce $\vect F_{A\to B}$ sobre el cuerpo $B$ , entonces $B$ ejerce $\vect F_{B\to A} = -\vect F_{A\to B}$ sobre $A$ , a lo largo de la recta que los une.

**Demostración.** *Admitido a este nivel.* ∎

**Observación 12.3 (Qué dicen las leyes).**

La primera ley no es un caso particular de la segunda: *define* los sistemas en los que vale la segunda. En la práctica, un laboratorio en la Tierra es inercial con excelente precisión para experimentos que duran minutos ([Capítulo 18](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/18-sistemas-no-inerciales-dinamica-en-la-tierra#ch-b1-non-inertial-frames) cuantifica el error); un sistema ligado al Sol y a las estrellas lejanas lo es todavía más. La segunda ley es una ecuación vectorial: tres ecuaciones escalares, una por eje, y la elección de ejes ([Capítulo 11](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/11-cinematica-del-punto#ch-b1-point-kinematics)) es la primera decisión de todo problema. La tercera ley vale en cada instante para las [fuerzas](#def-b1-newton-dynamics-momentum) de contacto y gravitatorias de este volumen.

**Definición 12.4 (Sistema cerrado; conservación de la cantidad de movimiento).**

Un *sistema cerrado* no intercambia materia con el exterior. Para un sistema de [puntos materiales](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/11-cinematica-del-punto#def-b1-point-kinematics-frame), las [fuerzas](#def-b1-newton-dynamics-momentum) internas se cancelan por parejas (tercera ley), y la [cantidad de movimiento](#def-b1-newton-dynamics-momentum) total $\vect P = \sum m_i\vect v_i$ obedece $\dd\vect P/\dd t = \sum\vect F_{\mathrm{ext}}$: se conserva cuando se anulan las [fuerzas](#def-b1-newton-dynamics-momentum) exteriores ([Capítulo 19](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/19-sistemas-de-puntos-introduccion-al-solido-rigido#ch-b1-systems-of-points) lo desarrolla).

## 12.2 Las fuerzas habituales

**Proposición 12.5 (Peso y gravitación).**

Cerca de la superficie terrestre, un cuerpo de [masa](#def-b1-newton-dynamics-momentum) $m$ es atraído por su *peso* $\vect P = m\vect g$, donde $\vect g$ es el [campo gravitatorio](#prop-b1-newton-dynamics-weight) local, $g \approx 9.81\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$, dirigido hacia abajo (hacia el centro, con muy buena aproximación). Más en general, una [masa](#def-b1-newton-dynamics-momentum) $M$ a distancia $r$ atrae a $m$ con $\vect F = -GMm/r^2\,\vect e_r$ ([Capítulo 16](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/16-fuerzas-centrales-planetas-y-satelites#ch-b1-central-forces)); en la superficie de una esfera de radio $R$, $g = GM/R^2$. Obsérvese la unidad: $\mathrm{N}/\mathrm{kg}$ y $\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ son la misma, y por eso todos los cuerpos caen igual.

**Demostración.** La ley de gravitación de Newton se admite y se explora en [Capítulo 16](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/16-fuerzas-centrales-planetas-y-satelites#ch-b1-central-forces); $g = GM/R^2 = 6.67\times10^{-11} \times
5.97\times10^{24}/(6.37\times10^6)^2 = 9.8\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$. ∎

**Proposición 12.6 (Resorte; hilo).**

Un resorte ideal de constante de rigidez $k$ y longitud natural $\ell_0$, estirado hasta la longitud $\ell$ a lo largo del vector unitario $\vect u$ que va de su extremo fijo al cuerpo, ejerce sobre este la *[fuerza](#def-b1-newton-dynamics-momentum) recuperadora*

$$
\vect F = -k(\ell - \ell_0)\,\vect u \qquad (\text{ley de Hooke}),
$$

dirigida hacia su longitud natural. Un hilo ideal (sin [masa](#def-b1-newton-dynamics-momentum) e inextensible) ejerce una *tensión* $\vect T$ a lo largo de sí mismo, tirando, con el mismo módulo en los dos extremos y en toda su longitud (incluso pasando por una polea sin [masa](#def-b1-newton-dynamics-momentum) ni rozamiento).

**Demostración.** La [ley de Hooke](#prop-b1-newton-dynamics-springstring) es un modelo empírico válido para deformaciones pequeñas. El hilo: un elemento sin [masa](#def-b1-newton-dynamics-momentum) cumple $0 = \vect T_1 + \vect T_2$ por la segunda ley de Newton, luego la tensión se transmite sin cambio. ∎

**Proposición 12.7 (Fuerzas de contacto: reacción normal y rozamiento seco).**

Una superficie sólida ejerce sobre un cuerpo que la toca una *[reacción normal](#prop-b1-newton-dynamics-friction)* $\vect N$, perpendicular a la superficie y repulsiva ($N \geq 0$: una superficie no puede tirar), y una *[fuerza](#def-b1-newton-dynamics-momentum) de rozamiento* tangencial $\vect T$. Leyes de Coulomb: si el cuerpo no desliza, $\abs{\vect T} \leq \mu_s N$ (el rozamiento *estático* se ajusta a lo que haga falta, hasta ese límite); si desliza con velocidad $\vect v_g$ respecto de la superficie, $\vect T = -\mu_d N\,\vect v_g/\abs{\vect v_g}$ (rozamiento *cinético*, que se opone al deslizamiento), con $\mu_d \leq \mu_s$ coeficientes del orden de $0.1$ a $1$ según los materiales, e independientes del área de contacto y de la rapidez.

**Demostración.** *Admitido a este nivel.* ∎

![Izquierda: las fuerzas sobre un bloque en un plano inclinado — peso, reacción normal y rozamiento a lo largo de la superficie — y los ejes naturales. Derecha: las leyes de Coulomb: en reposo el rozamiento equilibra la fuerza aplicada hasta _sN; en cuanto empieza el deslizamiento cae a _dN y ahí se queda.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-newton-dynamics/fig-73cfb08faca4.svg)

![Izquierda: las fuerzas sobre un bloque en un plano inclinado — peso, reacción normal y rozamiento a lo largo de la superficie — y los ejes naturales. Derecha: las leyes de Coulomb: en reposo el rozamiento equilibra la fuerza aplicada hasta _sN; en cuanto empieza el deslizamiento cae a _dN y ahí se queda.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-newton-dynamics/fig-909c1aeb1418.svg)

*Izquierda: las [fuerzas](#def-b1-newton-dynamics-momentum) sobre un bloque en un plano inclinado — peso, [reacción normal](#prop-b1-newton-dynamics-friction) y rozamiento a lo largo de la superficie — y los ejes naturales. Derecha: las leyes de Coulomb: en reposo el rozamiento equilibra la [fuerza](#def-b1-newton-dynamics-momentum) aplicada hasta $\mu_sN$; en cuanto empieza el deslizamiento cae a $\mu_dN$ y ahí se queda.*

**Proposición 12.8 (Rozamiento fluido).**

Un cuerpo que se mueve con velocidad $\vect v$ en un fluido en reposo siente una *[fuerza de arrastre](#prop-b1-newton-dynamics-drag)* opuesta a $\vect v$: a baja rapidez (tamaño pequeño, fluido viscoso) es lineal, $\vect F = -\alpha\vect v$ — para una esfera de radio $r$ en un fluido de viscosidad $\eta$, $\alpha = 6\pi\eta r$ (Stokes); a rapidez alta (cuerpos grandes y rápidos en aire o agua) es cuadrática,

$$
\vect F = -\tfrac12\,\rho\,C_xS\,v\,\vect v ,
$$

con $\rho$ la densidad del fluido, $S$ la sección del cuerpo enfrentada al flujo y $C_x$ un *coeficiente de arrastre* [adimensional](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/1-unidades-dimensiones-y-medida#def-b1-units-dimensions-dimension) ($0.5$ para una esfera, $0.3$ para un coche, $1$ para un disco plano). El número de Reynolds $\rho vL/\eta$ ([Observación 1.10](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/1-unidades-dimensiones-y-medida#rem-b1-units-dimensions-pi)) decide: lineal por debajo de $1$, cuadrático por encima de unos $1000$.

**Demostración.** *Admitido a este nivel.* ∎

**Observación 12.9 (Otras fuerzas).**

El empuje de Arquímedes es una resultante de [fuerzas](#def-b1-newton-dynamics-momentum) de presión, deducida en [Capítulo 21](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/21-estatica-de-fluidos#ch-b1-fluid-statics); las [fuerzas](#def-b1-newton-dynamics-momentum) eléctrica y magnética sobre una carga son el objeto de [Capítulo 17](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/17-particulas-cargadas-en-campos-e-y-b#ch-b1-charged-particles). Todas las [fuerzas](#def-b1-newton-dynamics-momentum) de este capítulo son *modelos* de interacciones de contacto o de campo, válidos dentro de límites declarados — el resorte de Hooke se rompe, el rozamiento de Coulomb falla a presiones altas y el arrastre de Stokes falla a rapidez alta. Parte de toda solución es comprobar que el modelo empleado se aplica.

## 12.3 Resolver un problema de dinámica

**Método 12.10 (De la situación a la ecuación).**

1. *Sistema* : nómbrese el cuerpo tratado como punto.
2. *[Sistema de referencia](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/11-cinematica-del-punto#def-b1-point-kinematics-frame)* : nómbrese y compruébese que es inercial (o trátese como tal con la precisión exigida).
3. *[Fuerzas](#def-b1-newton-dynamics-momentum)* : enumérese todo cuerpo que toque o atraiga al sistema y dibújese cada [fuerza](#def-b1-newton-dynamics-momentum) en un esquema (el diagrama de [fuerzas](#def-b1-newton-dynamics-momentum) ); nada más interviene.
4. *Coordenadas* : elíjanse ejes adaptados al movimiento ( [Método 11.18](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/11-cinematica-del-punto#met-b1-point-kinematics-choose) ) y exprésese $\vect a$ .
5. *Proyéctese* $m\vect a = \sum\vect F$ sobre los ejes; úsense las ligaduras (un cuerpo sobre una superficie permanece en ella: $a_\perp = 0$ ; un hilo de longitud fija: igual rapidez en los dos extremos).
6. *Resuélvase* y *compruébese* : dimensiones, casos límite, signos ( $N \geq 0$ , $\abs T \leq \mu_sN$ si está en reposo).

**Ejemplo 12.11 (Bloque en un plano inclinado).**

Bloque de [masa](#def-b1-newton-dynamics-momentum) $m$ en un plano inclinado un ángulo $\alpha$, con coeficientes $\mu_s$ y $\mu_d$. Ejes: $x$ pendiente abajo, $y$ según la normal. Peso $(mg\sin\alpha, -mg\cos\alpha)$, reacción $(0, N)$, rozamiento $(-T, 0)$ si desliza hacia abajo. Según $y$: $N = mg\cos\alpha$. En reposo, según $x$: $T = mg\sin\alpha \leq \mu_sN = \mu_smg\cos\alpha$, es decir $\tan\alpha
\leq \mu_s$: el bloque aguanta hasta el ángulo $\arctan\mu_s$ — una medida de $\mu_s$ que no necesita balanza. Deslizando: $ma = mg\sin\alpha -
\mu_dmg\cos\alpha$, luego $a = g(\sin\alpha - \mu_d\cos\alpha)$, con independencia de $m$: $3.2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ para $\alpha = 30^\circ$ y $\mu_d = 0.2$.

**Ejemplo 12.12 (El péndulo simple).**

[Masa](#def-b1-newton-dynamics-momentum) $m$ en un hilo de longitud $\ell$, con ángulo $\theta$ respecto de la vertical descendente. [Coordenadas polares](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/11-cinematica-del-punto#def-b1-point-kinematics-cylindrical) en el punto de suspensión: $\vect a =
-\ell\dot\theta^2\,\vect e_r + \ell\ddot\theta\,\vect e_\theta$; [fuerzas](#def-b1-newton-dynamics-momentum): el peso $mg(\cos\theta\,\vect e_r - \sin\theta\,\vect e_\theta)$ y la tensión $-T\vect e_r$. Según $\vect e_\theta$: $m\ell\ddot\theta =
-mg\sin\theta$,

$$
\ddot\theta + \frac{g}{\ell}\sin\theta = 0 ,
$$

que para ángulos pequeños ($\sin\theta \approx \theta$) es la ecuación armónica con $\omega_0 = \sqrt{g/\ell}$: periodo $T_0 = 2\pi\sqrt{\ell/g}$, el $k = 2\pi$ que [Ejemplo 1.8](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/1-unidades-dimensiones-y-medida#ex-b1-units-dimensions-pendulum) no podía proporcionar. Según $\vect e_r$: $T = mg\cos\theta + m\ell\dot\theta^2$ — el hilo tira con más [fuerza](#def-b1-newton-dynamics-momentum) abajo, donde la rapidez es mayor.

![Izquierda: el péndulo simple, sus dos fuerzas y la base polar usada para proyectar la ley de Newton. Derecha: un cuerpo que cae desde el reposo bajo su peso y una fuerza de arrastre: la rapidez tiende a la velocidad límite v_∈fty, de forma exponencial con arrastre lineal (= m/) y como una tangente hiperbólica con arrastre cuadrático (= v_∈fty/g).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-newton-dynamics/fig-42aff5404e26.svg)

![Izquierda: el péndulo simple, sus dos fuerzas y la base polar usada para proyectar la ley de Newton. Derecha: un cuerpo que cae desde el reposo bajo su peso y una fuerza de arrastre: la rapidez tiende a la velocidad límite v_∈fty, de forma exponencial con arrastre lineal (= m/) y como una tangente hiperbólica con arrastre cuadrático (= v_∈fty/g).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-newton-dynamics/fig-b5f45c1f5cba.svg)

*Izquierda: el [péndulo simple](#ex-b1-newton-dynamics-pendulum), sus dos [fuerzas](#def-b1-newton-dynamics-momentum) y la base polar usada para proyectar la ley de Newton. Derecha: un cuerpo que cae desde el reposo bajo su peso y una [fuerza de arrastre](#prop-b1-newton-dynamics-drag): la rapidez tiende a la [velocidad límite](#prop-b1-newton-dynamics-terminal) $v_\infty$, de forma exponencial con arrastre lineal ($\tau = m/\alpha$) y como una tangente hiperbólica con arrastre cuadrático ($\tau = v_\infty/g$).*

**Proposición 12.13 (Caída con arrastre; velocidad límite).**

Un cuerpo de [masa](#def-b1-newton-dynamics-momentum) $m$ que cae desde el reposo bajo su peso y una [fuerza de arrastre](#prop-b1-newton-dynamics-drag) alcanza una *[velocidad límite](#prop-b1-newton-dynamics-terminal)* en la que ambas se equilibran. Arrastre lineal: $m\dot v = mg - \alpha v$, $v = v_\infty(1 - \eu^{-t/\tau})$ con $v_\infty = mg/\alpha$, $\tau = m/\alpha$. Arrastre cuadrático: $m\dot v = mg -
\tfrac12\rho C_xSv^2$, $v = v_\infty\tanh(t/\tau)$ con

$$
v_\infty = \sqrt{\frac{2mg}{\rho C_xS}}, \qquad \tau = \frac{v_\infty}{g} .
$$

**Demostración.** Lineal: una ecuación de primer orden, $\tau\dot v + v = v_\infty$ ([Teorema 7.2](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/7-regimenes-transitorios-primer-y-segundo-orden#thm-b1-transient-regimes-firstorder)). Cuadrática: con $u = v/v_\infty$, $\dot u = (1 - u^2)/\tau$; separando variables, $\int\dd u/(1 - u^2) = \operatorname{artanh}u = t/\tau$ (la fracción racional $1/(1 - u^2) = \tfrac12[1/(1 - u) + 1/(1 + u)]$ se integra a $\tfrac12\ln\frac{1 + u}{1 - u}$), de donde $u = \tanh(t/\tau)$. ∎

**Ejemplo 12.14 (Dos velocidades límite).**

Un paracaidista, $m = 80\,\mathrm{kg}$, boca abajo, $C_xS \approx 0.8\,\mathrm{m}^{2}$ en el aire ($\rho = 1.2\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$): $v_\infty = \sqrt{2 \times 785/(1.2
\times 0.8)} = 40\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, alcanzada (al $90\%$) en unos $1.5\tau =
6\,\mathrm{s}$. Una gotita de niebla, $r = 10\,\text{µ}\mathrm{m}$, en régimen de Stokes ($\eta_{\text{aire}} = 1.8 \times 10^{-5}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$): $v_\infty = mg/6\pi\eta r =
1.2\,\mathrm{cm}/\mathrm{s}$ — por eso la niebla se queda suspendida en el aire.

## 12.4 Movimiento circular: fuerzas de ligadura

**Proposición 12.15 (Exigencia centrípeta).**

Un punto que se mueve sobre una circunferencia de radio $R$ con rapidez $v$ ha de recibir de la resultante de las [fuerzas](#def-b1-newton-dynamics-momentum) una componente $mv^2/R$ dirigida hacia el centro. Lo que la proporcione — la tensión de un hilo, el rozamiento, la reacción de una carretera peraltada, la gravedad — fija la rapidez máxima, o la mínima, a la que el movimiento es posible.

**Demostración.** La segunda ley de Newton con la aceleración de Frenet: la componente normal de $\sum\vect F$ vale $mv^2/\rho$. ∎

**Ejemplo 12.16 (Tres circunferencias).**

*Curva plana*: el rozamiento ha de aportar $mv^2/R \leq \mu_sN = \mu_smg$, luego $v \leq \sqrt{\mu_sgR}$: $20\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ para $R = 50\,\mathrm{m}$ y $\mu_s = 0.8$. *Curva peraltada* un ángulo $\beta$, sin rozamiento: la reacción $\vect N$ es normal a la calzada; en vertical $N\cos\beta = mg$ y en horizontal $N\sin\beta = mv^2/R$, luego $v^2 = gR\tan\beta$ — la única rapidez a la que la curva se toma sin rozamiento alguno. *Rizo*: en lo alto, con $\vect N$ apuntando hacia abajo, hacia el centro, $N + mg =
mv^2/R$, y $N \geq 0$ exige $v \geq \sqrt{gR}$: por debajo, el vagón se sale de la vía (otra vez [Problema 11.1](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/11-cinematica-del-punto#pb-b1-point-kinematics-1), ahora explicado).

![Una curva peraltada vista en sección: sin rozamiento, la reacción normal de la calzada ha de sostener el coche y empujarlo a la vez hacia el centro; la componente horizontal N aporta mv2/R, cosa que ocurre a una única rapidez, v = √gR.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-newton-dynamics/fig-efdb4ef1efa7.svg)

*Una curva peraltada vista en sección: sin rozamiento, la [reacción normal](#prop-b1-newton-dynamics-friction) de la calzada ha de sostener el coche y empujarlo a la vez hacia el centro; la componente horizontal $N\sin\beta$ aporta $mv^2/R$, cosa que ocurre a una única rapidez, $v = \sqrt{gR\tan\beta}$.*

## 12.5 Ejercicios

**Ejercicio 12.1 ★.**

Una persona de $70\,\mathrm{kg}$ está de pie sobre una báscula dentro de un ascensor. ¿Qué marca la báscula (en newtons y en “kilogramos”) cuando el ascensor acelera hacia arriba a $2.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$, hacia abajo a $2.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$, se mueve con velocidad constante y cae libremente?

**Solución de Ejercicio 12.1.**

Lectura de la báscula $N = m(g + a)$, con $a$ la aceleración hacia arriba: hacia arriba, $70 \times 11.81 = 827\,\mathrm{N}$ (“$84\,\mathrm{kg}$”); hacia abajo, $70 \times 7.81 =
547\,\mathrm{N}$ (“$56\,\mathrm{kg}$”); a velocidad constante, $687\,\mathrm{N}$ ($70\,\mathrm{kg}$); en caída libre, $0$.

**Ejercicio 12.2 ★.**

Un bloque $m_1 = 2.0\,\mathrm{kg}$ sobre una mesa sin rozamiento está unido por un hilo, a través de una polea sin rozamiento, a una [masa](#def-b1-newton-dynamics-momentum) colgante $m_2 = 1.0\,\mathrm{kg}$. Hállense la aceleración y la tensión.

**Solución de Ejercicio 12.2.**

La misma aceleración $a$ para ambos (hilo inextensible): $m_1a = T$, $m_2a = m_2g - T$, luego $a = m_2g/(m_1 + m_2) = 3.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ y $T = m_1a = 6.5\,\mathrm{N}$.

**Ejercicio 12.3 ★.**

Un bloque desliza por un plano inclinado $30^\circ$ con $\mu_d = 0.20$. Calcúlense su aceleración y su rapidez tras $5.0\,\mathrm{m}$ desde el reposo. ¿Depende la respuesta de su [masa](#def-b1-newton-dynamics-momentum)?

**Solución de Ejercicio 12.3.**

$a = g(\sin\alpha - \mu_d\cos\alpha) = 9.81(0.50 - 0.17) = 3.2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$; $v = \sqrt{2 \times 3.2 \times 5.0} = 5.7\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. La [masa](#def-b1-newton-dynamics-momentum) no aparece.

**Ejercicio 12.4 ★.**

Una [masa](#def-b1-newton-dynamics-momentum) de $0.50\,\mathrm{kg}$ cuelga de un resorte de constante de rigidez $200\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$. Hállese el alargamiento estático; después, la [frecuencia angular](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/5-propagacion-de-senales-ondas-progresivas-y-estacionarias#def-b1-wave-propagation-signal) y el periodo de sus oscilaciones verticales en torno al equilibrio (muéstrese que la ecuación del movimiento es armónica).

**Solución de Ejercicio 12.4.**

$k\Delta\ell = mg$: $\Delta\ell = 0.50 \times 9.81/200 = 2.5\,\mathrm{cm}$. Con $x$ el desplazamiento respecto del equilibrio, $m\ddot x = -kx$ (el peso y el alargamiento estático se cancelan): $\omega_0 = \sqrt{k/m} = 20\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$, $T = 0.31\,\mathrm{s}$.

**Ejercicio 12.5 ★★.**

Una caja está sobre una plataforma que se inclina; empieza a deslizar a $22^\circ$. Hállese $\mu_s$. Un coche en una carretera llana con $\mu_s = 0.80$: rapidez máxima en una curva de radio $50\,\mathrm{m}$, y en calzada mojada con $\mu_s = 0.40$.

**Solución de Ejercicio 12.5.**

$\mu_s = \tan 22^\circ = 0.40$. Curva: $v \leq \sqrt{\mu_sgR}$: $\sqrt{0.8
\times 9.81 \times 50} = 20\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ($71\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$); en mojado, $14\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ($50\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$).

**Ejercicio 12.6 ★★.**

[Velocidades límite](#prop-b1-newton-dynamics-terminal): un paracaidista ($m = 80\,\mathrm{kg}$, $C_xS = 0.70\,\mathrm{m}^{2}$, $\rho = 1.2\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$); una gotita de niebla de radio $10\,\text{µ}\mathrm{m}$ en el aire ($\eta = 1.8 \times 10^{-5}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$), con la [ley de Stokes](#prop-b1-newton-dynamics-drag). Compruébese con un número de Reynolds que cada régimen es el adecuado.

**Solución de Ejercicio 12.6.**

Paracaidista: $v_\infty = \sqrt{2 \times 785/(1.2 \times 0.70)} = 43\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; $\mathrm{Re} = \rho vL/\eta \approx 1.2 \times 43 \times 0.5/1.8\times10^{-5}
\approx 10^6$: cuadrático. Gotita: $m = \tfrac43\pi r^3\rho_w = 4.2 \times 10^{-12}\,\mathrm{kg}$, $v_\infty = mg/6\pi\eta r = 4.1\times10^{-11}/3.4\times10^{-9} = 1.2\,\mathrm{cm}/\mathrm{s}$; $\mathrm{Re} = 1.2 \times 0.012 \times 2\times10^{-5}/1.8\times10^{-5} = 0.02$: lineal.

**Ejercicio 12.7 ★★.**

Un péndulo de longitud $\ell$ se suelta desde el reposo en $\theta_0 = 60^\circ$. Sabiendo que su rapidez abajo vale $\sqrt{2g\ell(1 - \cos\theta_0)}$ (energía, capítulo siguiente), hállese la tensión del hilo abajo en unidades de $mg$, y en el punto de suelta.

**Solución de Ejercicio 12.7.**

Abajo: $v^2 = 2g\ell(1 - \cos 60^\circ) = g\ell$; $T = mg + mv^2/\ell =
2mg$. Punto de suelta: $v = 0$, $T = mg\cos\theta_0 = 0.5mg$.

**Ejercicio 12.8 ★★.**

Una curva de radio $200\,\mathrm{m}$ está peraltada $15^\circ$. ¿A qué rapidez puede tomarse sin rozamiento alguno? ¿Qué debe hacer el rozamiento a rapideces menores y mayores?

**Solución de Ejercicio 12.8.**

$v = \sqrt{gR\tan\beta} = \sqrt{9.81 \times 200 \times 0.268} = 23\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ($82\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$). Más despacio: el coche tiende a deslizar peralte abajo y el rozamiento debe apuntar pendiente arriba; más deprisa: el rozamiento apunta pendiente abajo para añadir [fuerza centrípeta](#prop-b1-newton-dynamics-centripetal).

**Ejercicio 12.9 ★★.**

Un péndulo cónico: una [masa](#def-b1-newton-dynamics-momentum) colgada de un hilo de longitud $\ell = 1.0\,\mathrm{m}$ describe una circunferencia horizontal, con el hilo formando $30^\circ$ con la vertical. Hállense la [velocidad angular](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/11-cinematica-del-punto#cor-b1-point-kinematics-circular), el periodo y la tensión (en unidades de $mg$).

**Solución de Ejercicio 12.9.**

$T\cos\alpha = mg$, $T\sin\alpha = m\omega^2\ell\sin\alpha$: $\omega =
\sqrt{g/\ell\cos\alpha} = \sqrt{9.81/0.866} = 3.4\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$, periodo $1.9\,\mathrm{s}$; $T = mg/\cos\alpha = 1.15mg$.

**Ejercicio 12.10 ★★★.**

Un coche de $1000\,\mathrm{kg}$ alcanza $100\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ desde el reposo en $8.0\,\mathrm{s}$ con aceleración constante. Hállense la [fuerza](#def-b1-newton-dynamics-momentum) resultante y el [coeficiente de rozamiento](#prop-b1-newton-dynamics-friction) mínimo entre las ruedas motrices y la calzada si estas soportan todo el peso. ¿Qué limita a un deportivo en calzada mojada?

**Solución de Ejercicio 12.10.**

$a = 27.8/8.0 = 3.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$, $F = 3.5\,\mathrm{kN}$; $F \leq \mu_smg$ da $\mu_s \geq a/g = 0.35$. En calzada mojada, $\mu_s \approx 0.4$ limita la aceleración a unos $0.4g$ por mucho motor que haya: adherencia, no potencia.

**Ejercicio 12.11 ★★★.**

Un cuerpo cae desde el reposo con arrastre lineal, $\tau = m/\alpha = 0.50\,\mathrm{s}$. Escríbase $v(t)$ y dedúzcase la distancia caída $z(t)$; calcúlense $v_\infty$ y $z$ al cabo de $2.0\,\mathrm{s}$; compárese con la caída libre.

**Solución de Ejercicio 12.11.**

$v = v_\infty(1 - \eu^{-t/\tau})$, $v_\infty = g\tau = 4.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; $z = \int v = v_\infty[t - \tau(1 - \eu^{-t/\tau})]$. A los $2.0\,\mathrm{s}$: $4.9 \times (2.0 - 0.5 \times 0.98) = 7.4\,\mathrm{m}$, frente a $\tfrac12 gt^2
= 20\,\mathrm{m}$ en el vacío.

**Ejercicio 12.12 ★★★.**

Un vagón de [masa](#def-b1-newton-dynamics-momentum) $m$ recorre el interior de un rizo circular vertical de radio $R$ ([Problema 11.1](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/11-cinematica-del-punto#pb-b1-point-kinematics-1)). Exprésese la [reacción normal](#prop-b1-newton-dynamics-friction) de la vía en función del ángulo $\theta$ medido desde abajo y de la rapidez $v(\theta)$; dedúzcase la rapidez mínima en lo alto; con $v^2 = v_0^2 - 2gR(1 - \cos\theta)$, hállense la rapidez mínima de entrada y la reacción abajo en ese caso.

**Solución de Ejercicio 12.12.**

Proyección radial (hacia el centro): $N - mg\cos\theta = mv^2/R$, luego $N = m(v^2/R + g\cos\theta)$. Arriba ($\theta = \pi$): $N = m(v^2/R - g)
\geq 0$ si y solo si $v \geq \sqrt{gR}$. Con la ley de rapidez, $v_{\text{arr}}^2 =
v_0^2 - 4gR \geq gR$: $v_0 \geq \sqrt{5gR}$; y entonces abajo $N =
m(5g + g) = 6mg$.

![Caída libre con aire: al cabo de unos segundos el arrastre cuadrático equilibra el peso y el paracaidista cae a una rapidez límite cercana a 200\, km/ h — el problema de fin de semana.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-newton-dynamics/img-56eb68ace300.jpg)

*Caída libre con aire: al cabo de unos segundos el arrastre cuadrático equilibra el peso y el paracaidista cae a una rapidez límite cercana a $200\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ — el problema de fin de semana.*

## 12.6 Problema: el paracaidista

**Problema 12.1.**

Problema de fin de semana — de la puerta del avión al suelo: caída libre, el aire que empuja de vuelta, una vela que se abre demasiado deprisa y el aterrizaje — una ley del movimiento, dos leyes de arrastre

Un paracaidista con su equipo tiene una [masa](#def-b1-newton-dynamics-momentum) $m = 80\,\mathrm{kg}$. Aire: $\rho = 1.2\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$, $\eta = 1.8 \times 10^{-5}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$. Cayendo boca abajo, $C_xS = 0.80\,\mathrm{m}^{2}$; con la vela abierta, $C_xS =
25\,\mathrm{m}^{2}$. $g = 9.81\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$; $z$ se cuenta hacia abajo desde el punto de salto.

**Parte I — Sin aire.**

1. Escríbase la segunda ley de Newton y dense $v(t)$ y $z(t)$ ; calcúlense ambos en $t = 10\,\mathrm{s}$ .
2. Calcúlese el peso.
3. El paracaidista se siente “ingrávido” durante esta fase aunque la gravedad actúe por completo. Explíquese con las [fuerzas](#def-b1-newton-dynamics-momentum) (qué falta respecto de estar de pie en el suelo).
4. ¿Es el sistema terrestre bastante inercial para este problema? Nómbrese lo que se desprecia.

**Parte II — Cayendo a través del aire.**

5. Escríbase la [fuerza de arrastre](#prop-b1-newton-dynamics-drag) para la caída boca abajo en función de $v$ .
6. Escríbase la ecuación del movimiento para $v(t)$ .
7. Hállese la [velocidad límite](#prop-b1-newton-dynamics-terminal) $v_\infty$ (en $\mathrm{m}/\mathrm{s}$ y en $\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ).
8. Con $u = v/v_\infty$ y $\tau = v_\infty/g$ , muéstrese que $\dd u/\dd t = (1 - u^2)/\tau$ ; calcúlese $\tau$ .
9. Resuélvase por separación de variables y muéstrese que $v = v_\infty\tanh(t/\tau)$ .
10. ¿Al cabo de cuánto tiempo es $v = 0.9v_\infty$ ? ¿Y $0.99v_\infty$ ?
11. Muéstrese que $z(t) = v_\infty\tau\ln\cosh(t/\tau)$ y calcúlese la distancia caída en $t = 10\,\mathrm{s}$ ; compárese con la Parte I.
12. Estímese el número de Reynolds en $v_\infty$ con $L = 0.5\,\mathrm{m}$ y justifíquese la ley cuadrática.

**Parte III — Se abre la vela.**

13. Calcúlese la nueva [velocidad límite](#prop-b1-newton-dynamics-terminal) con la vela abierta.
14. Si la vela se abriera instantáneamente a $v = 40\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , ¿cuál sería la deceleración, en $\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ y en $g$ ? ¿Por qué resulta inaceptable?
15. Las velas reales se abren en unos $3\,\mathrm{s}$ . Estímense la deceleración media y la [fuerza](#def-b1-newton-dynamics-momentum) media del arnés sobre el paracaidista.
16. Una vez abierta del todo la vela, la rapidez decae hacia la nueva $v_\infty$ : ¿cuál es la nueva [constante de tiempo](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/7-regimenes-transitorios-primer-y-segundo-orden#def-b1-transient-regimes-firstorder) $\tau' = v_\infty'/g$ , y qué significa para la llegada al descenso estacionario?
17. En descenso estacionario, ¿cuál es la [fuerza](#def-b1-newton-dynamics-momentum) del arnés? Justifíquese con la segunda ley.
18. Explíquese por qué la [velocidad límite](#prop-b1-newton-dynamics-terminal) varía como $1/\sqrt{C_xS}$ : ¿por qué factor la subiría una vela de la mitad de área?
19. Un saltador más pesado ( $100\,\mathrm{kg}$ ) con la misma vela: ¿ [velocidad límite](#prop-b1-newton-dynamics-terminal) ?

**Parte IV — El aterrizaje.**

20. La rapidez de aterrizaje es la $v_\infty$ de la vela. ¿Desde qué altura habría que saltar, sin aire, para llegar al suelo con esa rapidez?
21. Un aterrizaje con las piernas rígidas detiene el cuerpo en $0.5\,\mathrm{m}$ ; una voltereta, en $1.5\,\mathrm{m}$ . Estímense la deceleración media (en $g$ ) y la [fuerza](#def-b1-newton-dynamics-momentum) media sobre las piernas en cada caso, y conclúyase.
22. Justo antes de tomar tierra, el paracaidista tira de los dos mandos, lo que aumenta brevemente el arrastre de la vela. Explíquese cualitativamente el efecto sobre la rapidez.

**Parte V — Las cosas pequeñas caen de otro modo.**

23. Una gota de lluvia de radio $1.0\,\mathrm{mm}$ ( $C_x = 0.5$ ): calcúlese su [velocidad límite](#prop-b1-newton-dynamics-terminal) con la ley cuadrática y compruébese el número de Reynolds.
24. Una gotita de niebla de radio $10\,\text{µ}\mathrm{m}$ : úsese la [ley de Stokes](#prop-b1-newton-dynamics-drag) para $v_\infty$ y compruébese que el número de Reynolds es en efecto pequeño.
25. Resúmase: una ecuación del movimiento, dos regímenes de arrastre y los tres números ( $\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ) que deciden si algo cae como una piedra, como una hoja o no cae.

**Solución de Problema 12.1.**

**1.** $m\dot v = mg$: $v = gt$, $z = \tfrac12 gt^2$; a los $10\,\mathrm{s}$: $98\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $490\,\mathrm{m}$.

**2.** $mg = 785\,\mathrm{N}$.

**3.** En el suelo, el piso empuja hacia arriba con $N = mg$ — ese empuje es lo que se siente como peso. En caída libre no hay [fuerza](#def-b1-newton-dynamics-momentum) de contacto: la gravedad actúa igual sobre todas las partes y nada aprieta.

**4.** Sí, con un error de una fracción de por ciento en un minuto; se desprecian la rotación terrestre (términos centrífugo y de Coriolis, [Capítulo 18](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/18-sistemas-no-inerciales-dinamica-en-la-tierra#ch-b1-non-inertial-frames)) y el viento.

**5.** $F_d = \tfrac12\rho C_xSv^2 = 0.48\,v^2$ (SI).

**6.** $m\,\dd v/\dd t = mg - 0.48v^2$.

**7.** $v_\infty = \sqrt{mg/0.48} = \sqrt{1635} = 40\,\mathrm{m}/\mathrm{s} =
146\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$.

**8.** Divídase por $mg$: $\dd u/\dd t\,(v_\infty/g) = 1 - u^2$; $\tau = 40.4/9.81 = 4.1\,\mathrm{s}$.

**9.** $\int_0^u\dd u'/(1 - u'^2) = \operatorname{artanh}u = t/\tau$, luego $u = \tanh(t/\tau)$.

**10.** $t = \tau\operatorname{artanh}(0.9) = 1.47\tau = 6.1\,\mathrm{s}$; para $0.99$: $2.65\tau = 11\,\mathrm{s}$.

**11.** $z = \int v_\infty\tanh(t/\tau)\dd t = v_\infty\tau\ln\cosh(t/\tau)$; a los $10\,\mathrm{s}$: $166 \times \ln\cosh(2.43) = 166 \times 1.74 = 290\,\mathrm{m}$, frente a $490\,\mathrm{m}$.

**12.** $\mathrm{Re} = 1.2 \times 40 \times 0.5/1.8\times10^{-5} \approx
1.3 \times 10^{6}$: muy por encima de $1000$, cuadrático.

**13.** $v_\infty' = \sqrt{785/(0.6 \times 25)} = \sqrt{52} = 7.2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

**14.** Arrastre $= 15 \times 1600 = 24\,\mathrm{kN}$; $a = (24000 - 785)/80
= 290\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2} \approx 30g$: se rompería el arnés, o el saltador.

**15.** Media $a \approx (40 - 7)/3 = 11\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2} \approx 1.1g$; [fuerza](#def-b1-newton-dynamics-momentum) del arnés $\approx m(g + a) \approx 1.7\,\mathrm{kN}$.

**16.** $\tau' = 7.2/9.81 = 0.73\,\mathrm{s}$: a los pocos segundos de la apertura completa el descenso es estacionario.

**17.** $\vect a = \vect 0$: [fuerza](#def-b1-newton-dynamics-momentum) del arnés $= mg = 785\,\mathrm{N}$.

**18.** El equilibrio $mg = \tfrac12\rho C_xSv^2$ da $v \propto (C_xS)^{-1/2}$: con la mitad de área, $\sqrt2$ veces la rapidez ($10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$).

**19.** $v \propto \sqrt m$: $7.2 \times \sqrt{100/80} = 8.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

**20.** $h = v^2/2g = 52/19.6 = 2.6\,\mathrm{m}$: un salto desde un primer piso.

**21.** $a = v^2/2d$: $52\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ($5.3g$) en $0.5\,\mathrm{m}$, [fuerza](#def-b1-newton-dynamics-momentum) $m(g + a) \approx 5\,\mathrm{kN}$; $17\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ($1.8g$) en $1.5\,\mathrm{m}$, $2.2\,\mathrm{kN}$. Mejor la voltereta.

**22.** Un arrastre mayor (y algo de sustentación) supera momentáneamente al peso: el saltador decelera y toma tierra por debajo de $v_\infty'$.

**23.** $m = \tfrac43\pi r^3\rho_w = 4.2 \times 10^{-6}\,\mathrm{kg}$, $S = \pi r^2 =
3.1 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}$: $v_\infty = \sqrt{2mg/\rho C_xS} = \sqrt{8.2\times10^{-5}/
1.9\times10^{-6}} = 6.6\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; $\mathrm{Re} = 1.2 \times 6.6 \times
2\times10^{-3}/1.8\times10^{-5} \approx 900$: cuadrático (a grandes rasgos).

**24.** $v_\infty = 1.2\,\mathrm{cm}/\mathrm{s}$ ([Ejercicio 12.6](#exo-b1-newton-dynamics-6)); $\mathrm{Re} \approx 0.02 \ll 1$: Stokes se aplica, de forma coherente.

**25.** $m\dot{\vect v} = m\vect g + \vect F_{\text{arr}}$; el arrastre es lineal en $v$ para lo pequeño y lento, y cuadrático para lo grande y rápido. Los números: $40\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ para un cuerpo en caída, $7\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ bajo una vela (o para una gota de lluvia) y $1\,\mathrm{cm}/\mathrm{s}$ para la niebla — la misma ley a lo largo de cuatro órdenes de magnitud.