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title: "Osciladores mecánicos: amortiguamiento y resonancia"
book: "Física universitaria — primer año"
subject: physics
language: es
chapter: 14
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/14-osciladores-mecanicos-amortiguamiento-y-resonancia
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# Capítulo 14 — Osciladores mecánicos: amortiguamiento y resonancia

Empújese el columpio de un niño en el momento equivocado y no pasará gran cosa; empújese una vez por periodo, con suavidad, y en una docena de vaivenes el niño chilla en lo más alto del arco. Una lavadora vibra con violencia a una velocidad concreta de su centrifugado y se calma por encima de ella. Una copa de vino canta cuando un dedo húmedo recorre su borde al ritmo justo, y estalla cuando un cantante mantiene esa misma nota con bastante fuerza. Todos esos casos son una *resonancia*: un sistema con una [frecuencia propia](#def-b1-oscillators-resonance-harmonic), excitado cerca de esa frecuencia, acumula energía ciclo tras ciclo hasta que el rozamiento la drena tan deprisa como entra. Este capítulo toma el oscilador mecánico — libre, amortiguado y después forzado — y deduce las curvas de resonancia cuyas gemelas eléctricas aparecieron en [Capítulo 8](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/8-regimen-sinusoidal-permanente-e-impedancia#ch-b1-sinusoidal-impedance).

## 14.1 El oscilador armónico

**Definición 14.1 (Oscilador armónico).**

Un sistema cuyo desplazamiento $x$ respecto de un equilibrio estable cumple

$$
\ddot x + \omega_0^2\,x = 0
$$

es un *oscilador armónico* de *[frecuencia angular propia](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/7-regimenes-transitorios-primer-y-segundo-orden#def-b1-transient-regimes-secondorder)* $\omega_0$ (periodo $T_0 = 2\pi/\omega_0$). La solución $x = A\cos(\omega_0t
+ \varphi)$ tiene una [amplitud](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/5-propagacion-de-senales-ondas-progresivas-y-estacionarias#def-b1-wave-propagation-signal) y una fase fijadas por las condiciones iniciales y un periodo independiente de la [amplitud](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/5-propagacion-de-senales-ondas-progresivas-y-estacionarias#def-b1-wave-propagation-signal) (*isocronismo*).

**Proposición 14.2 (De dónde salen los osciladores armónicos).**

- Masa $m$ sobre un resorte $k$ : $\omega_0^2 = k/m$ ( [ley de Hooke](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/12-las-leyes-de-newton-de-la-dinamica#prop-b1-newton-dynamics-springstring) ).
- [Péndulo simple](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/12-las-leyes-de-newton-de-la-dinamica#ex-b1-newton-dynamics-pendulum) de longitud $\ell$ , ángulos pequeños: $\omega_0^2 = g/\ell$ .
- Cualquier [punto material](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/11-cinematica-del-punto#def-b1-point-kinematics-frame) cerca de un equilibrio estable de un potencial $E_p$ : $\omega_0^2 = E_p''(x_0)/m$ ( [Proposición 13.12](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/13-trabajo-energia-y-energia-potencial#prop-b1-work-and-energy-stability) ).
- Circuito LC: $\omega_0^2 = 1/LC$ , con $q \leftrightarrow x$ , $L \leftrightarrow m$ , $1/C \leftrightarrow k$ .

La energía $E = \tfrac12 m\dot x^2 + \tfrac12 m\omega_0^2x^2 = \tfrac12
m\omega_0^2A^2$ es constante y va y viene entre la forma cinética y la potencial dos veces por periodo.

**Demostración.** La segunda ley de Newton con $F = -kx$; la ecuación del péndulo $\ddot\theta + (g/\ell)\sin\theta = 0$ con $\sin\theta \approx \theta$; la fórmula de Taylor en el mínimo de $E_p$; la [ley de las mallas](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/6-circuitos-en-corriente-continua-leyes-de-kirchhoff-y-teoremas#thm-b1-dc-circuits-kirchhoff) del circuito LC. Energía: derívese y úsese la ecuación. ∎

**Ejemplo 14.3 (Un cilindro que cabecea).**

Un cilindro vertical de sección $S$ flota con una profundidad $h$ sumergida ($mg = \rho_wgSh$, empuje según [Capítulo 21](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/21-estatica-de-fluidos#ch-b1-fluid-statics)). Si se hunde una cantidad $x$, recibe una fuerza adicional hacia arriba $\rho_wgSx$: $m\ddot x = -\rho_wgSx$, luego $\omega_0^2 = \rho_wgS/m = g/h$ — lo mismo que un péndulo de longitud $h$. Una boya sumergida $1\,\mathrm{m}$ cabecea con un periodo de $2\,\mathrm{s}$, sea cual sea su masa.

## 14.2 El oscilador amortiguado

**Proposición 14.4 (Oscilador amortiguado).**

Con un rozamiento viscoso $-\alpha\dot x$, la ecuación pasa a ser

$$
\ddot x + \frac{\omega_0}{Q}\dot x + \omega_0^2x = 0, \qquad
Q = \frac{\sqrt{km}}{\alpha} = \frac{m\omega_0}{\alpha},
$$

la forma canónica de segundo orden de [Capítulo 7](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/7-regimenes-transitorios-primer-y-segundo-orden#ch-b1-transient-regimes): para $Q > \tfrac12$, un decaimiento seudoperiódico $x = A\eu^{-t/\tau}\cos(\omega t +
\varphi)$ con $\tau = 2Q/\omega_0$, $\omega = \omega_0\sqrt{1 - 1/4Q^2}$; la energía decae como $\eu^{-2t/\tau}$ y

$$
Q = 2\pi\,\frac{\text{energía almacenada}}{\text{energía perdida por periodo}}
\quad (Q \gg 1) .
$$

**Demostración.** Divídase $m\ddot x + \alpha\dot x + kx = 0$ por $m$. Para la energía: $E
\propto A^2\eu^{-2t/\tau}$ pierde la fracción $2T/\tau = 2\pi/Q$ por periodo cuando esta es pequeña. ∎

**Ejemplo 14.5 (Tiempos de extinción).**

Un diapasón de $440\,\mathrm{Hz}$ todavía suena diez segundos después de golpearlo: su [amplitud](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/5-propagacion-de-senales-ondas-progresivas-y-estacionarias#def-b1-wave-propagation-signal) cayó a un $5\%$ en $3\tau = 10\,\mathrm{s}$, luego $\tau = 3.3\,\mathrm{s}$ y $Q = \omega_0\tau/2 \approx 4600$. La suspensión de un coche ($Q \approx 0.7$) se para en menos de un periodo; el columpio de un niño ($Q \approx 20$) pierde un tercio de su energía por vaivén y necesita un empujón cada vez.

## 14.3 Oscilaciones forzadas y resonancia

**Teorema 14.6 (Oscilador excitado sinusoidalmente).**

Excitado por una fuerza $F_0\cos\omega t$, el [oscilador amortiguado](#prop-b1-oscillators-resonance-damped)

$$
m\ddot x + \alpha\dot x + kx = F_0\cos\omega t
$$

se instala, tras un transitorio de duración $\sim\tau$, en el [régimen forzado](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/8-regimen-sinusoidal-permanente-e-impedancia#prop-b1-sinusoidal-impedance-forced) $x = X\cos(\omega t + \varphi)$ con, escribiendo $x_r = \omega/\omega_0$ y $X_0 = F_0/k$ el desplazamiento estático,

$$
X = \frac{X_0}{\sqrt{(1 - x_r^2)^2 + x_r^2/Q^2}}, \qquad
\tan\varphi = -\frac{x_r/Q}{1 - x_r^2}, \quad \varphi \in [-\pi, 0] .
$$

La *[amplitud](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/5-propagacion-de-senales-ondas-progresivas-y-estacionarias#def-b1-wave-propagation-signal)* $X$ presenta un máximo, si $Q > 1/\sqrt2$, en $\omega_r =
\omega_0\sqrt{1 - 1/2Q^2}$, con $X_{\max} \approx QX_0$; la *[amplitud](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/5-propagacion-de-senales-ondas-progresivas-y-estacionarias#def-b1-wave-propagation-signal) de velocidad* $V = \omega X$ es máxima exactamente en $\omega_0$, donde $V_{\max} =
F_0/\alpha$, y su curva de resonancia

$$
\frac{V}{V_{\max}} = \frac{1}{\sqrt{1 + Q^2(x_r - 1/x_r)^2}}
$$

tiene el [ancho de banda](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/8-regimen-sinusoidal-permanente-e-impedancia#thm-b1-sinusoidal-impedance-resonance) $\Delta\omega = \omega_0/Q$. En $\omega_0$ el desplazamiento se retrasa $\pi/2$ respecto de la fuerza y la velocidad está en fase con ella.

**Demostración.** Método complejo ([Capítulo 8](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/8-regimen-sinusoidal-permanente-e-impedancia#ch-b1-sinusoidal-impedance)): $\underline X(-\omega^2
+ j\omega\omega_0/Q + \omega_0^2) = F_0/m$, luego $\underline X = (F_0/m)/(\omega_0^2
- \omega^2 + j\omega\omega_0/Q)$; divídanse numerador y denominador por $\omega_0^2 = k/m$. El módulo y el argumento se siguen; el máximo de $X$ se localizó en [Proposición 8.10](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/8-regimen-sinusoidal-permanente-e-impedancia#prop-b1-sinusoidal-impedance-overvoltage) (la misma función). Velocidad: $\underline V = j\omega\underline X$ da $V = \omega X$; escribir $(1 - x_r^2)/x_r = 1/x_r - x_r$ convierte el denominador en $\sqrt{1/Q^2 + (1/x_r - x_r)^2}$, es decir la forma del RLC. En $x_r = 1$, $\underline X = -jQX_0$: un retraso de $\pi/2$. ∎

![Amplitud (izquierda) y fase (derecha) del oscilador forzado frente a la frecuencia de excitación, para varios factores de calidad. Un pico agudo cerca de _0 para Q grande, y ninguno por debajo de Q = 1/√2; el desplazamiento pasa de estar en fase ( baja) a estar en oposición ( alta), a través de un retraso de π/2 en _0 — cuanto más aguda la resonancia, más brusco el cambio.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-oscillators-resonance/fig-1b9ff811c9c5.svg)

![Amplitud (izquierda) y fase (derecha) del oscilador forzado frente a la frecuencia de excitación, para varios factores de calidad. Un pico agudo cerca de _0 para Q grande, y ninguno por debajo de Q = 1/√2; el desplazamiento pasa de estar en fase ( baja) a estar en oposición ( alta), a través de un retraso de π/2 en _0 — cuanto más aguda la resonancia, más brusco el cambio.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-oscillators-resonance/fig-2142742bced6.svg)

*[Amplitud](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/5-propagacion-de-senales-ondas-progresivas-y-estacionarias#def-b1-wave-propagation-signal) (izquierda) y fase (derecha) del oscilador forzado frente a la frecuencia de excitación, para varios [factores de calidad](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/7-regimenes-transitorios-primer-y-segundo-orden#def-b1-transient-regimes-secondorder). Un pico agudo cerca de $\omega_0$ para $Q$ grande, y ninguno por debajo de $Q = 1/\sqrt2$; el desplazamiento pasa de estar en fase ($\omega$ baja) a estar en oposición ($\omega$ alta), a través de un retraso de $\pi/2$ en $\omega_0$ — cuanto más aguda la resonancia, más brusco el cambio.*

**Observación 14.7 (Dos resonancias, un circuito).**

La correspondencia $x \leftrightarrow q$, $\dot x \leftrightarrow i$, $m \leftrightarrow L$, $\alpha \leftrightarrow R$, $k \leftrightarrow 1/C$, $F \leftrightarrow e$ lleva el oscilador forzado al RLC serie de [Capítulo 8](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/8-regimen-sinusoidal-permanente-e-impedancia#ch-b1-sinusoidal-impedance): la resonancia de velocidad es la resonancia de corriente (siempre en $\omega_0$, con [ancho de banda](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/8-regimen-sinusoidal-permanente-e-impedancia#thm-b1-sinusoidal-impedance-resonance) $\omega_0/Q$), y la resonancia de [amplitud](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/5-propagacion-de-senales-ondas-progresivas-y-estacionarias#def-b1-wave-propagation-signal) es la de la carga, es decir la de la tensión del condensador (algo por debajo de $\omega_0$, ausente para $Q$ bajo). La potencia absorbida, $\langle F\dot x\rangle
= \tfrac12 F_0V\cos\varphi_v$, es máxima en $\omega_0$ y vale $F_0^2/2\alpha$, y los puntos de potencia mitad son el [ancho de banda](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/8-regimen-sinusoidal-permanente-e-impedancia#thm-b1-sinusoidal-impedance-resonance) de velocidad — exactamente como en el RLC.

**Ejemplo 14.8 (Velocidades de resonancia).**

La suspensión de un coche tiene $f_0 \approx 1.3\,\mathrm{Hz}$ ([Problema 7.1](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/7-regimenes-transitorios-primer-y-segundo-orden#pb-b1-transient-regimes-1)). En una carretera con ondulaciones cada $\lambda = 10\,\mathrm{m}$, la frecuencia de excitación es $v/\lambda$: resonancia en $v = \lambda f_0 = 13\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, unos $47\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ — la velocidad a la que una pista ondulada más sacude el coche, y la razón de montar un amortiguador con $Q \approx 0.7$: con $Q = 5$ la carrocería rebotaría con cinco veces la [amplitud](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/5-propagacion-de-senales-ondas-progresivas-y-estacionarias#def-b1-wave-propagation-signal) de la carretera. Por encima de la resonancia ($x_r \gg 1$) la [amplitud](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/5-propagacion-de-senales-ondas-progresivas-y-estacionarias#def-b1-wave-propagation-signal) cae como $X_0/x_r^2$: la carrocería “flota” sobre los baches rápidos — el aislamiento, la otra cara de la resonancia.

## 14.4 Excitación por la base: aislamiento y sismómetro

**Proposición 14.9 (Oscilador sacudido por su soporte).**

Supóngase que el soporte de un conjunto masa–resorte–amortiguador se desplaza $x_g(t)$ (la carretera bajo un coche, el suelo bajo un sismómetro), y sea $u$ el desplazamiento de la masa respecto del soporte y $x = x_g + u$ su desplazamiento absoluto (desde el equilibrio). Entonces

$$
m\ddot u + \alpha\dot u + ku = -m\ddot x_g ,
$$

y para $x_g = X_g\cos\omega t$, con $x_r = \omega/\omega_0$:

$$
\frac{U}{X_g} = \frac{x_r^2}{\sqrt{(1 - x_r^2)^2 + x_r^2/Q^2}},
\qquad
\frac{X}{X_g} = \sqrt{\frac{1 + x_r^2/Q^2}{(1 - x_r^2)^2 + x_r^2/Q^2}} .
$$

Para $x_r \gg 1$: $U \to X_g$ (la masa se queda quieta en el espacio — un *sismómetro* lee el desplazamiento del suelo) y $X \to 0$ (la masa queda *aislada* de la sacudida); para $x_r \ll 1$: $U \approx
\ddot x_g/\omega_0^2$ (un *acelerómetro*) y $X \approx X_g$ (la masa sigue al soporte).

**Demostración.** El resorte y el amortiguador actúan sobre el movimiento relativo: $m\ddot x = -ku -
\alpha\dot u$, y $\ddot x = \ddot x_g + \ddot u$. En forma compleja $\underline U(\omega_0^2 - \omega^2 + j\omega\omega_0/Q) = \omega^2X_g$, de donde $U/X_g$; después $\underline X = \underline U + X_g = X_g(1 + jx_r/Q)/(1 -
x_r^2 + jx_r/Q)$. ∎

![Una masa sacudida a través de su soporte. Izquierda: movimiento relativo U/X_g — un acelerómetro por debajo de _0 (pendiente 2 en escalas logarítmicas) y un sismómetro por encima. Derecha: movimiento absoluto X/X_g — la masa sigue al soporte a baja frecuencia y queda aislada de él muy por encima de _0; un Q alto no compra más que un pico peligroso.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-oscillators-resonance/fig-1c082f22686f.svg)

![Una masa sacudida a través de su soporte. Izquierda: movimiento relativo U/X_g — un acelerómetro por debajo de _0 (pendiente 2 en escalas logarítmicas) y un sismómetro por encima. Derecha: movimiento absoluto X/X_g — la masa sigue al soporte a baja frecuencia y queda aislada de él muy por encima de _0; un Q alto no compra más que un pico peligroso.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-oscillators-resonance/fig-450fc2ffa810.svg)

*Una masa sacudida a través de su soporte. Izquierda: movimiento relativo $U/X_g$ — un acelerómetro por debajo de $\omega_0$ (pendiente $2$ en escalas logarítmicas) y un sismómetro por encima. Derecha: movimiento absoluto $X/X_g$ — la masa sigue al soporte a baja frecuencia y queda aislada de él muy por encima de $\omega_0$; un $Q$ alto no compra más que un pico peligroso.*

**Ejemplo 14.10 (Por qué las máquinas se montan sobre soportes blandos).**

Un motor de $50\,\mathrm{Hz}$ sobre soportes de goma ajustados a $f_0 = 10\,\mathrm{Hz}$ ($x_r = 5$, $Q \approx 2$): $X/X_g = \sqrt{(1 + 6.25)/(576 + 6.25)} = 0.11$ — nueve décimas partes de la vibración no llegan al suelo. Los soportes han de ser *más blandos* de lo que sugiere la intuición: endurecerlos sube $f_0$ hacia los $50$ Hz y destruye el aislamiento. La misma fórmula, leída al revés, es el coche de [Ejemplo 14.8](#ex-b1-oscillators-resonance-road) en una carretera ondulada.

## 14.5 Energía: cómo se construye una resonancia

**Proposición 14.11 (Balance energético en régimen forzado).**

En el [régimen forzado](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/8-regimen-sinusoidal-permanente-e-impedancia#prop-b1-sinusoidal-impedance-forced) estacionario, la [potencia media](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/8-regimen-sinusoidal-permanente-e-impedancia#thm-b1-sinusoidal-impedance-power) que suministra la fuerza excitadora es igual a la [potencia media](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/8-regimen-sinusoidal-permanente-e-impedancia#thm-b1-sinusoidal-impedance-power) que disipa el rozamiento, $\tfrac12\alpha V^2$. En la resonancia, la energía almacenada $\tfrac12 mV_{\max}^2$ vale $Q/2\pi$ veces la energía suministrada por periodo: el oscilador acumula el trabajo de la excitación durante unos $Q$ ciclos antes de que las pérdidas igualen a la entrada, que es también el número de ciclos ($\sim\tau/T$) que dura el transitorio.

**Demostración.** Promédiese el teorema de la energía sobre un periodo: $\langle\dd E/\dd t\rangle = 0$ en régimen estacionario, luego $\langle F\dot x\rangle = \langle\alpha\dot x^2\rangle =
\tfrac12\alpha V^2$. En la resonancia $V_{\max} = F_0/\alpha$, la energía almacenada vale $\tfrac12 m(F_0/\alpha)^2$ y la suministrada por periodo $\tfrac12\alpha(F_0/\alpha)^2T$; el cociente es $m/(\alpha T) = Q/2\pi$. ∎

**Ejemplo 14.12 (El columpio).**

Un columpio de $2.5\,\mathrm{m}$ de largo ($T_0 = 3.2\,\mathrm{s}$, $Q \approx 20$) recibe un empujón de $50\,\mathrm{N}$ a lo largo de $0.5\,\mathrm{m}$ en cada periodo: $25\,\mathrm{J}$ por ciclo. Crece hasta que la pérdida por periodo, $2\pi E/Q$, iguala los $25\,\mathrm{J}$: $E = 80\,\mathrm{J}$; con un niño de $30\,\mathrm{kg}$, $mg\ell(1 -
\cos\theta_{\max}) = 80\,\mathrm{J}$ da $\theta_{\max} \approx 27^\circ$. Empujando a cualquier otro ritmo, el trabajo de los empujones alternaría de signo y promediaría cero.

![Arranque de una resonancia (Q = 5, excitación conectada en t = 0 a _0): la amplitud crece hacia QX_0 con la constante de tiempo = 2Q/ _0, es decir a lo largo de unos Q/π periodos — el transitorio de superpuesto al régimen forzado.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-oscillators-resonance/fig-32410aeb23f9.svg)

*Arranque de una resonancia ($Q = 5$, excitación conectada en $t = 0$ a $\omega_0$): la [amplitud](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/5-propagacion-de-senales-ondas-progresivas-y-estacionarias#def-b1-wave-propagation-signal) crece hacia $QX_0$ con la [constante de tiempo](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/7-regimenes-transitorios-primer-y-segundo-orden#def-b1-transient-regimes-firstorder) $\tau = 2Q/\omega_0$, es decir a lo largo de unos $Q/\pi$ periodos — el transitorio de [Capítulo 7](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/7-regimenes-transitorios-primer-y-segundo-orden#ch-b1-transient-regimes) superpuesto al [régimen forzado](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/8-regimen-sinusoidal-permanente-e-impedancia#prop-b1-sinusoidal-impedance-forced).*

## 14.6 Ejercicios

**Ejercicio 14.1 ★.**

Una masa de $0.20\,\mathrm{kg}$ sobre un resorte de rigidez $80\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ oscila con [amplitud](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/5-propagacion-de-senales-ondas-progresivas-y-estacionarias#def-b1-wave-propagation-signal) $5.0\,\mathrm{cm}$. [Frecuencia angular](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/5-propagacion-de-senales-ondas-progresivas-y-estacionarias#def-b1-wave-propagation-signal), frecuencia, periodo, rapidez máxima y energía total.

**Solución de Ejercicio 14.1.**

$\omega_0 = \sqrt{80/0.20} = 20\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$, $f_0 = 3.2\,\mathrm{Hz}$, $T_0 =
0.31\,\mathrm{s}$; $v_{\max} = A\omega_0 = 1.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; $E = \tfrac12 kA^2 =
0.10\,\mathrm{J}$.

**Ejercicio 14.2 ★.**

Periodo de un péndulo de $1.0\,\mathrm{m}$ en la Tierra y en la Luna ($g = 1.62\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$). ¿Qué le ocurre en la Luna al periodo del conjunto masa–resorte?

**Solución de Ejercicio 14.2.**

$T = 2\pi\sqrt{\ell/g}$: $2.0\,\mathrm{s}$ en la Tierra y $4.9\,\mathrm{s}$ en la Luna. El periodo del conjunto masa–resorte, $2\pi\sqrt{m/k}$, no contiene $g$: no cambia.

**Ejercicio 14.3 ★.**

Un oscilador tiene $f_0 = 2.0\,\mathrm{Hz}$ y $Q = 50$. Tiempo de decaimiento $\tau$ de la [amplitud](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/5-propagacion-de-senales-ondas-progresivas-y-estacionarias#def-b1-wave-propagation-signal); tiempo en el que la energía se reduce a la mitad; número de oscilaciones antes de que la [amplitud](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/5-propagacion-de-senales-ondas-progresivas-y-estacionarias#def-b1-wave-propagation-signal) baje al $5\%$.

**Solución de Ejercicio 14.3.**

$\tau = 2Q/\omega_0 = 100/(4\pi) = 8.0\,\mathrm{s}$; la energía, $\propto \eu^{-2t/\tau}$, se reduce a la mitad en $t = \tau\ln2/2 = 2.8\,\mathrm{s}$; el $5\%$ tras $3\tau = 24\,\mathrm{s}$, unas $48 \approx Q$ oscilaciones.

**Ejercicio 14.4 ★.**

Una masa sobre un resorte ($k = 100\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$, $Q = 10$) es excitada por una fuerza de [amplitud](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/5-propagacion-de-senales-ondas-progresivas-y-estacionarias#def-b1-wave-propagation-signal) $1.0\,\mathrm{N}$. Desplazamiento estático; [amplitud](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/5-propagacion-de-senales-ondas-progresivas-y-estacionarias#def-b1-wave-propagation-signal) en la resonancia; [amplitud](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/5-propagacion-de-senales-ondas-progresivas-y-estacionarias#def-b1-wave-propagation-signal) en $\omega = 3\omega_0$.

**Solución de Ejercicio 14.4.**

$X_0 = F_0/k = 1.0\,\mathrm{cm}$; en la resonancia, $\approx QX_0 = 10\,\mathrm{cm}$; en $3\omega_0$: $X_0/\sqrt{64 + 0.09} = 0.13\,\mathrm{cm}$.

**Ejercicio 14.5 ★★.**

Un coche ($f_0 = 1.3\,\mathrm{Hz}$, $Q = 0.7$) pasa por badenes separados $8.0\,\mathrm{m}$. ¿Velocidad de resonancia? A $60\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$, ¿qué fracción de la [amplitud](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/5-propagacion-de-senales-ondas-progresivas-y-estacionarias#def-b1-wave-propagation-signal) del badén siente la carrocería? Coméntese.

**Solución de Ejercicio 14.5.**

$v = Lf_0 = 8.0 \times 1.3 = 10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ($37\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$). A $60\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$: $f = 16.7/8.0 = 2.1\,\mathrm{Hz}$, $x_r = 1.6$: $X/X_g =
\sqrt{(1 + 5.2)/(2.4 + 5.2)} = 0.90$ — apenas aislado; el aislamiento exige $x_r \gg 1$ (a $120\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$, $x_r = 3.2$: $0.45$).

**Ejercicio 14.6 ★★.**

Explíquese con el balance energético por qué hay que empujar un columpio a su propio periodo; para $Q = 20$ y un empujón que aporta $25\,\mathrm{J}$ por ciclo, hállense la energía en régimen estacionario y la [amplitud](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/5-propagacion-de-senales-ondas-progresivas-y-estacionarias#def-b1-wave-propagation-signal) para un niño de $30\,\mathrm{kg}$ en un columpio de $2.5\,\mathrm{m}$.

**Solución de Ejercicio 14.6.**

El trabajo de un empujón es positivo solo cuando actúa en el sentido del movimiento; empujando cada periodo, todos los empujones se suman; a cualquier otro ritmo se alternan. Régimen estacionario: $2\pi E/Q = 25\,\mathrm{J}$, $E = 80\,\mathrm{J}$; $mg\ell(1 - \cos\theta_{\max}) = 80$: $1 - \cos\theta_{\max} = 0.109$, $\theta_{\max} = 27^\circ$.

**Ejercicio 14.7 ★★.**

Los máximos sucesivos de una oscilación libre disminuyen un $10\%$ en cada periodo. Hállense $Q$ y el [ancho de banda](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/8-regimen-sinusoidal-permanente-e-impedancia#thm-b1-sinusoidal-impedance-resonance) (en hercios) de su resonancia de velocidad si $f_0 = 2.0\,\mathrm{Hz}$.

**Solución de Ejercicio 14.7.**

$\delta = \ln(1/0.9) = 0.105$, $Q = \pi/\delta = 30$; $\Delta f = f_0/Q =
0.067\,\mathrm{Hz}$.

**Ejercicio 14.8 ★★.**

Dese la fase del desplazamiento respecto de la fuerza muy por debajo de la resonancia, en la resonancia y muy por encima, y la fase de la velocidad en la resonancia. ¿Por qué es la resonancia de velocidad la que importa para la potencia?

**Solución de Ejercicio 14.8.**

Desplazamiento: en fase ($\varphi = 0$) muy por debajo, $-\pi/2$ en la resonancia y $-\pi$ (en oposición) muy por encima. Velocidad en la resonancia: en fase con la fuerza. La potencia es $\vect F\cdot\vect v$: es la fase de la velocidad, y no la del desplazamiento, la que decide cuánto trabajo realiza la excitación.

**Ejercicio 14.9 ★★.**

Muéstrese que la [amplitud](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/5-propagacion-de-senales-ondas-progresivas-y-estacionarias#def-b1-wave-propagation-signal) de velocidad $V = \omega X$ es máxima exactamente en $\omega_0$, con $V_{\max} = F_0/\alpha$, y que $V/V_{\max}$ tiene la forma $1/\sqrt{1 + Q^2(x_r - 1/x_r)^2}$.

**Solución de Ejercicio 14.9.**

$V = \omega X = \omega(F_0/m)/\sqrt{(\omega_0^2 - \omega^2)^2 + (\omega\omega_0/Q)^2}$; divídanse numerador y denominador por $\omega\omega_0/Q$: $V = (F_0Q/m\omega_0)/
\sqrt{1 + Q^2(\omega_0/\omega - \omega/\omega_0)^2}$, y $F_0Q/m\omega_0 = F_0/\alpha$. La raíz es $\geq 1$, e igual a $1$ exactamente en $\omega = \omega_0$.

**Ejercicio 14.10 ★★★.**

Calcúlense la [potencia media](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/8-regimen-sinusoidal-permanente-e-impedancia#thm-b1-sinusoidal-impedance-power) absorbida en la resonancia para $F_0 = 1.0\,\mathrm{N}$ y $\alpha = 0.050\,\mathrm{N}\,\mathrm{s}/\mathrm{m}$, y la energía almacenada si $m = 0.20\,\mathrm{kg}$; compruébese que su cociente vale $Q/\omega_0$ con $\omega_0 = 20\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$.

**Solución de Ejercicio 14.10.**

$P = F_0^2/2\alpha = 10\,\mathrm{W}$; $V_{\max} = F_0/\alpha = 20\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $E = \tfrac12 mV_{\max}^2 = 40\,\mathrm{J}$; $E/P = 4.0\,\mathrm{s}$ y $Q/\omega_0 =
m/\alpha = 4.0\,\mathrm{s}$.

**Ejercicio 14.11 ★★★.**

Un diapasón de $440\,\mathrm{Hz}$ se oye durante $10\,\mathrm{s}$ (la [amplitud](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/5-propagacion-de-senales-ondas-progresivas-y-estacionarias#def-b1-wave-propagation-signal) baja al $5\%$). Estímense $\tau$ y $Q$, el [ancho de banda](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/8-regimen-sinusoidal-permanente-e-impedancia#thm-b1-sinusoidal-impedance-resonance) de su resonancia, y coméntese por qué es un buen patrón de frecuencia.

**Solución de Ejercicio 14.11.**

$3\tau = 10\,\mathrm{s}$: $\tau = 3.3\,\mathrm{s}$, $Q = \omega_0\tau/2 = 2\pi \times
440 \times 3.3/2 \approx 4600$; $\Delta f = f_0/Q = 0.1\,\mathrm{Hz}$. Responde a una sola frecuencia, y emite una sola: un patrón bueno hasta unas pocas partes en $10^4$.

**Ejercicio 14.12 ★★★.**

Dedúzcase la frecuencia de cabeceo de un cilindro flotante ([Ejemplo 14.3](#ex-b1-oscillators-resonance-bob)) a partir de la ley de Newton y del empuje de Arquímedes $\rho_wgS(h + x)$; muéstrese que $\omega_0^2 = g/h$; calcúlese el periodo para $h = 10\,\mathrm{cm}$. ¿Por qué es el resultado independiente de la masa y del líquido?

**Solución de Ejercicio 14.12.**

$m\ddot x = mg - \rho_wgS(h + x) = -\rho_wgSx$ (puesto que $mg = \rho_wgSh$): $\omega_0^2 = \rho_wgS/m = g/h$; $T = 2\pi\sqrt{0.10/9.81} = 0.63\,\mathrm{s}$. Tanto la masa como la densidad del líquido entran solo a través de la profundidad de equilibrio $h$.

![Un sismógrafo: una masa pesada sobre una suspensión blanda se queda quieta mientras el suelo se mueve, y la plumilla escribe la diferencia — el oscilador excitado por la base del problema de fin de semana.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-oscillators-resonance/img-53d548226295.jpg)

*Un sismógrafo: una masa pesada sobre una suspensión blanda se queda quieta mientras el suelo se mueve, y la plumilla escribe la diferencia — el oscilador excitado por la base del problema de fin de semana.*

## 14.7 Problema: el sismógrafo

**Problema 14.1.**

Problema de fin de semana — una masa cuelga de un resorte dentro de una caja atornillada al suelo; el suelo tiembla: qué registra la plumilla, por qué el mismo instrumento mide desplazamiento a alta frecuencia y aceleración a baja frecuencia, y por qué un sismómetro de periodo largo no puede ser simplemente un resorte largo

Una masa $m = 1.0\,\mathrm{kg}$ cuelga de un resorte de rigidez $k$ dentro de un bastidor rígido fijado al suelo; un amortiguador ejerce $-\alpha\dot u$, donde $u$ es el desplazamiento de la masa respecto del bastidor, medido desde su posición de equilibrio. El suelo, y con él el bastidor, se desplaza verticalmente $x_g(t)$. El sistema de las estrellas lejanas es inercial.

**Parte I — La ecuación.**

1. Escríbase la posición absoluta de la masa como $x = x_g + u +  \text{cte}$, enumérense las fuerzas sobre la masa (en el [sistema inercial](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/12-las-leyes-de-newton-de-la-dinamica#thm-b1-newton-dynamics-laws)) y muéstrese que $$m\ddot u + \alpha\dot u + ku = -m\ddot x_g .$$
2. Pásese a la forma canónica; identifíquense $\omega_0$ y $Q$ .
3. El instrumento se construye con $f_0 = 0.50\,\mathrm{Hz}$ y $Q = 0.70$ : calcúlense $k$ y $\alpha$ .
4. Una aceleración constante del suelo $a_g$ (por ejemplo, el bastidor que se inclina) ¿qué $u$ estacionario da? Interprétese.
5. ¿Qué registra la plumilla sujeta a la masa, que escribe sobre un tambor fijado al bastidor?

**Parte II — [Movimiento armónico](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/11-cinematica-del-punto#prop-b1-point-kinematics-harmonic) del suelo.** El suelo se mueve como $x_g = X_g\cos\omega t$; escríbase $x_r = \omega/\omega_0$.

6. Con [amplitudes complejas](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/8-regimen-sinusoidal-permanente-e-impedancia#def-b1-sinusoidal-impedance-complex) , muéstrese que $\underline U = X_g\,x_r^2/  (1 - x_r^2 + jx_r/Q)$ .
7. Dedúzcase $U/X_g$ en función de $x_r$ y de $Q$ .
8. Límite $x_r \gg 1$ : muéstrese que $U \to X_g$ y explíquese físicamente qué hace la masa (¿qué mide el instrumento?).
9. Límite $x_r \ll 1$ : muéstrese que $U \approx x_r^2X_g = a_g/\omega_0^2$ , con $a_g$ la [amplitud](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/5-propagacion-de-senales-ondas-progresivas-y-estacionarias#def-b1-wave-propagation-signal) de la aceleración del suelo: ¿qué es ahora el instrumento?
10. Valor en $x_r = 1$ ; ¿por qué es $Q \approx 0.7$ una elección sensata?
11. Esbócese $U/X_g$ frente a $x_r$ (escalas logarítmicas) para $Q = 0.7$ y $Q = 5$ .
12. Fase de $u$ respecto de $x_g$ a alta frecuencia; interprétese.

**Parte III — Diseñar para terremotos.** Los terremotos lejanos producen ondas superficiales de $0.05\,$ a $0.1\,\mathrm{Hz}$ con [amplitudes](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/5-propagacion-de-senales-ondas-progresivas-y-estacionarias#def-b1-wave-propagation-signal) milimétricas; los temblores locales llegan a $5\,$ a $10\,\mathrm{Hz}$.

13. Para registrar como desplazamientos las ondas de $0.05\,\mathrm{Hz}$ conviene $f_0 \ll 0.05\,\mathrm{Hz}$ , digamos $0.02\,\mathrm{Hz}$ . ¿Qué alargamiento estático tendría el resorte bajo el peso de la masa? Coméntese.
14. Un [péndulo simple](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/12-las-leyes-de-newton-de-la-dinamica#ex-b1-newton-dynamics-pendulum) de la misma frecuencia: ¿qué longitud?
15. Los instrumentos reales de periodo largo usan un péndulo de “puerta de jardín”, casi horizontal, o una realimentación electrónica de fuerza. Explíquese en una frase qué consigue cada uno.
16. Para el instrumento de $0.50\,\mathrm{Hz}$ , calcúlese el alargamiento estático: ¿es viable?
17. Con él, una onda de $0.10\,\mathrm{Hz}$ y [amplitud](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/5-propagacion-de-senales-ondas-progresivas-y-estacionarias#def-b1-wave-propagation-signal) $1.0\,\mathrm{mm}$ ¿qué $U$ da? ¿En qué régimen está el instrumento?
18. Un temblor local de $5.0\,\mathrm{Hz}$ y [amplitud](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/5-propagacion-de-senales-ondas-progresivas-y-estacionarias#def-b1-wave-propagation-signal) $1.0\,\mathrm{mm}$ : ¿ $U$ ? ¿Régimen?

**Parte IV — El acelerómetro de un teléfono.** Una masa micromecanizada sobre resortes de silicio tiene $f_0 = 1.0\,\mathrm{kHz}$ y $Q = 0.7$.

19. Una sacudida de $10\,\mathrm{Hz}$ con [amplitud](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/5-propagacion-de-senales-ondas-progresivas-y-estacionarias#def-b1-wave-propagation-signal) de aceleración $g$ : calcúlese $U$ . ¿Cómo se lee un desplazamiento así?
20. ¿Hasta qué frecuencia se mantiene la lectura dentro del $10\%$ de $a_g/\omega_0^2$ ?
21. ¿Qué [constante de tiempo](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/7-regimenes-transitorios-primer-y-segundo-orden#def-b1-transient-regimes-firstorder) $\tau = 2Q/\omega_0$ gobierna su respuesta a una sacudida, y por qué importa eso para detectar una caída?
22. La $\tau$ del sismómetro: valor y consecuencia tras un escalón brusco del suelo.
23. ¿Por qué se elige un amortiguamiento crítico (o casi) en ambos instrumentos, en lugar de un $Q$ alto?
24. El teléfono se agita justo a $1.0\,\mathrm{kHz}$ : ¿en qué factor se equivoca la lectura?
25. Resúmase: un solo aparato, dos regímenes, decididos por una única comparación.

**Solución de Problema 14.1.**

**1.** Fuerzas: el peso (equilibrado por el alargamiento estático), el resorte $-ku$ y el amortiguador $-\alpha\dot u$; $m\ddot x = -ku - \alpha\dot u$ con $\ddot x =
\ddot x_g + \ddot u$.

**2.** $\ddot u + (\omega_0/Q)\dot u + \omega_0^2u = -\ddot x_g$, $\omega_0 =
\sqrt{k/m}$, $Q = \sqrt{km}/\alpha$.

**3.** $k = m\omega_0^2 = \pi^2 = 9.9\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$; $\alpha = m\omega_0/Q =
3.14/0.70 = 4.5\,\mathrm{N}\,\mathrm{s}/\mathrm{m}$.

**4.** $u = -a_g/\omega_0^2$: la masa se desplaza una cantidad fija — el instrumento es un acelerómetro a frecuencia nula (y un inclinómetro).

**5.** El desplazamiento relativo $u(t)$.

**6.** $-\omega^2\underline U + j\omega(\omega_0/Q)\underline U + \omega_0^2\underline U
= \omega^2X_g$; divídase por $\omega_0^2$.

**7.** $U/X_g = x_r^2/\sqrt{(1 - x_r^2)^2 + x_r^2/Q^2}$.

**8.** $U \to X_g$: la masa no se mueve en el [sistema inercial](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/12-las-leyes-de-newton-de-la-dinamica#thm-b1-newton-dynamics-laws) (su inercia la mantiene quieta, porque el resorte es demasiado blando para arrastrarla); el bastidor se mueve a su alrededor y la plumilla registra el desplazamiento del suelo — un sismómetro.

**9.** $U \approx x_r^2X_g = \omega^2X_g/\omega_0^2 = a_g/\omega_0^2$: un acelerómetro.

**10.** $U = QX_g = 0.7X_g$: sin pico; los dos regímenes se enlazan con suavidad y el instrumento no resuena.

**11.** Para $Q = 0.7$: una recta de pendiente $2$ que sube hasta $1$ cerca de $x_r = 1$ y después se mantiene plana en $1$; para $Q = 5$: lo mismo con un pico de altura $5$ en $x_r = 1$.

**12.** $\underline U \to -X_g$: $u = -x_g$, la masa quieta mientras el bastidor se mueve.

**13.** $\Delta\ell = g/\omega_0^2 = 9.81/(2\pi \times 0.02)^2 = 620\,\mathrm{m}$: absurdo.

**14.** $\ell = g/\omega_0^2 = 620\,\mathrm{m}$.

**15.** Puerta de jardín: el péndulo oscila en torno a un eje casi vertical, así que solo una fracción minúscula de $g$ lo devuelve al equilibrio y un brazo corto da un periodo largo. Realimentación de fuerza: una bobina mantiene la masa fija, y la corriente necesaria es proporcional a la aceleración del suelo — la rigidez es electrónica y ajustable.

**16.** $\Delta\ell = 9.81/\pi^2 = 0.99\,\mathrm{m}$: viable.

**17.** $x_r = 0.2$: $U/X_g = 0.04/\sqrt{0.92 + 0.08} = 0.040$: $40\,\text{µ}\mathrm{m}$ — régimen de acelerómetro, hace falta amplificar (palanca óptica o electrónica).

**18.** $x_r = 10$: $100/\sqrt{9801 + 204} \approx 1.00$: $1.0\,\mathrm{mm}$, un registro fiel del desplazamiento.

**19.** $\omega_0 = 6.3 \times 10^{3}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$: $U = g/\omega_0^2 = 2.5 \times 10^{-7}\,\mathrm{m}$ — se lee como la variación del espacio de un condensador.

**20.** $U/(a_g/\omega_0^2) = 1/\sqrt{(1 - x_r^2)^2 + x_r^2/Q^2}$; con $Q = 0.7$ decrece de forma monótona y se mantiene por encima de $0.9$ hasta $x_r \approx 0.7$: unos $700\,\mathrm{Hz}$.

**21.** $\tau = 2Q/\omega_0 = 0.22\,\mathrm{ms}$: sigue una caída (de decenas de milisegundos) sin retraso.

**22.** $\tau = 1.4/3.14 = 0.45\,\mathrm{s}$: tras un escalón del suelo el registro se estabiliza en medio segundo y sin oscilar.

**23.** Un $Q$ alto haría que el instrumento resonase en $f_0$ tras cada sacudida (registrándose a sí mismo en vez de al suelo) y presentase un pico cerca de $f_0$; $Q \approx 0.7$ es plano y rápido.

**24.** $U = QX_g = 0.7X_g$ frente al ideal $X_g$ (o $a_g/\omega_0^2
= X_g$): un $30\%$ por debajo.

**25.** Compárese la frecuencia de la [señal](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/5-propagacion-de-senales-ondas-progresivas-y-estacionarias#def-b1-wave-propagation-signal) con $f_0$: muy por encima, la masa es una referencia fija y $u$ es el desplazamiento; muy por debajo, $u$ es la aceleración dividida por $\omega_0^2$.