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title: "Momento angular"
book: "Física universitaria — primer año"
subject: physics
language: es
chapter: 15
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/15-momento-angular
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# Capítulo 15 — Momento angular

Una patinadora que gira con los brazos extendidos los recoge y, sin que nadie la empuje, gira el doble de deprisa. Una puerta cede ante la yema de un dedo en el picaporte y resiste un hombro junto a la bisagra. Los planetas barren áreas iguales en tiempos iguales — Kepler lo advirtió hace cuatro siglos, mucho antes de que nadie supiera decir por qué. Y la Luna, tironeada por las mareas que levanta, se aleja de la Tierra unos centímetros al año mientras nuestros días se alargan de forma imperceptible. Detrás de los cuatro casos hay una magnitud vectorial, el [momento angular](#def-b1-angular-momentum-L), y una ley: su ritmo de variación es igual al [momento](#def-b1-angular-momentum-moment) de las fuerzas. Este capítulo define ambos, demuestra la ley para un punto y para un sistema, y la pone a trabajar en péndulos, órbitas y cosas que giran.

![Con los brazos recogidos, la patinadora gira más deprisa: sin par exterior respecto del eje vertical, el momento angular se conserva y un momento de inercia menor significa una velocidad angular mayor.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-angular-momentum/img-9e41b9ef03c7.jpg)

*Con los brazos recogidos, la patinadora gira más deprisa: sin [par](#def-b1-angular-momentum-moment) exterior respecto del eje vertical, el [momento angular](#def-b1-angular-momentum-L) se conserva y un [momento de inercia](#prop-b1-angular-momentum-inertia) menor significa una [velocidad angular](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/11-cinematica-del-punto#cor-b1-point-kinematics-circular) mayor.*

## 15.1 Momento de una fuerza

**Definición 15.1 (Momento respecto de un punto; respecto de un eje).**

El *momento* (o *par*) respecto de un punto $O$ de una fuerza $\vect F$ aplicada en $M$ es el vector

$$
\vect{\mathcal M}_O(\vect F) = \vect{OM}\wedge\vect F \qquad (\mathrm{N}\,\mathrm{m}),
$$

perpendicular al plano de $\vect{OM}$ y $\vect F$, de norma $OM\cdot F\sin\alpha = F\,d$, donde $d$ — el *brazo de palanca* — es la distancia de $O$ a la recta de acción de $\vect F$. El momento respecto de un eje orientado $\Delta$ (de vector unitario $\vect e_\Delta$) que pasa por $O$ es el escalar $\mathcal M_\Delta = \vect{\mathcal M}_O\cdot\vect e_\Delta$, independiente de la elección de $O$ sobre $\Delta$; se anula si $\vect F$ es paralela a $\Delta$ o lo corta. Dos fuerzas opuestas con rectas de acción distintas forman un *par de fuerzas*, cuyo momento $\vect F\wedge\vect{AB}$ es el mismo respecto de todo punto.

**Ejemplo 15.2 (La puerta).**

Un empujón de $20\,\mathrm{N}$ perpendicular a una puerta a $0.80\,\mathrm{m}$ de las bisagras tiene un [momento](#def-b1-angular-momentum-moment) de $16\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}$ respecto del eje de las bisagras; el mismo empujón a $0.10\,\mathrm{m}$, $2\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}$; a lo largo de la puerta (con la recta de acción pasando por las bisagras), cero. La propia reacción de la bisagra, que corta al eje, no tiene [momento](#def-b1-angular-momentum-moment) respecto de él: eso hace del eje el lugar natural para tomar [momentos](#def-b1-angular-momentum-moment).

![El momento de F respecto de O: el producto vectorial OM F, de norma F\,d con d la distancia de O a la recta de acción (el brazo de palanca), dirigido perpendicularmente a la figura — aquí hacia el lector.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-angular-momentum/fig-f5af5c4e0859.svg)

*El [momento](#def-b1-angular-momentum-moment) de $\vect F$ respecto de $O$: el producto vectorial $\vect{OM}\wedge\vect F$, de norma $F\,d$ con $d$ la distancia de $O$ a la recta de acción (el [brazo de palanca](#def-b1-angular-momentum-moment)), dirigido perpendicularmente a la figura — aquí hacia el lector.*

## 15.2 Momento angular de un punto material

**Definición 15.3 (Momento angular).**

El *[momento](#def-b1-angular-momentum-moment) angular* respecto de $O$ de un [punto material](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/11-cinematica-del-punto#def-b1-point-kinematics-frame) de masa $m$ situado en $M$ con velocidad $\vect v$ es

$$
\vect L_O = \vect{OM}\wedge m\vect v \qquad (\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}),
$$

y, respecto de un eje $\Delta$ que pasa por $O$, $L_\Delta = \vect L_O\cdot\vect e_\Delta$. Para un movimiento en un plano perpendicular a $\Delta$, en [coordenadas polares](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/11-cinematica-del-punto#def-b1-point-kinematics-cylindrical) en torno al eje, $L_\Delta = mr^2\dot\theta$; para una circunferencia de radio $R$, $L_\Delta = mR^2\omega = mRv$.

**Demostración.** $\vect{OM} = r\vect e_r$, $\vect v = \dot r\vect e_r + r\dot\theta\vect e_\theta$: $\vect{OM}\wedge m\vect v = mr^2\dot\theta\,\vect e_r\wedge\vect e_\theta = mr^2\dot\theta\,\vect e_z$. ∎

**Teorema 15.4 (Teorema del momento angular).**

En un [sistema inercial](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/12-las-leyes-de-newton-de-la-dinamica#thm-b1-newton-dynamics-laws), para un punto $O$ fijo en ese sistema,

$$
\frac{\dd\vect L_O}{\dd t} = \sum\vect{\mathcal M}_O(\vect F_i),
\qquad
\frac{\dd L_\Delta}{\dd t} = \sum\mathcal M_\Delta(\vect F_i)
$$

para un eje fijo $\Delta$. Si el [momento](#def-b1-angular-momentum-moment) total respecto de $O$ se anula, $\vect L_O$ se conserva.

**Demostración.** $\dd(\vect{OM}\wedge m\vect v)/\dd t = \vect v\wedge m\vect v + \vect{OM}\wedge m\vect a
= \vect 0 + \vect{OM}\wedge\sum\vect F_i$, usando la segunda ley de Newton ($O$ fijo, de modo que $\dd\vect{OM}/\dd t = \vect v$). Proyéctese sobre $\vect e_\Delta$. ∎

**Corolario 15.5 (Fuerzas centrales: movimiento plano y ley de las áreas).**

Un [punto material](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/11-cinematica-del-punto#def-b1-point-kinematics-frame) sometido únicamente a una *fuerza central* (siempre dirigida según $\vect{OM}$, hacia el centro fijo $O$ o en sentido contrario) mantiene $\vect L_O$ constante. Su movimiento se queda en el plano que pasa por $O$ perpendicular a $\vect L_O$, y en ese plano $r^2\dot\theta = C$ (constante): el radio vector $\vect{OM}$ barre área con la *[velocidad areolar](#cor-b1-angular-momentum-central)* constante

$$
\frac{\dd A}{\dd t} = \frac12 r^2\dot\theta = \frac{L_O}{2m} = \frac{C}{2} .
$$

**Demostración.** $\vect{OM}\wedge\vect F = \vect 0$ para $\vect F \parallel \vect{OM}$: $\vect L_O$ es constante. $\vect{OM}\perp\vect L_O$ siempre, de ahí el plano; $L_O =
mr^2\dot\theta$ es constante. El área barrida durante $\dd t$ es la del triángulo de lados $\vect{OM}$ y $\vect v\dd t$: $\dd A = \tfrac12\abs{\vect{OM}
\wedge\vect v}\dd t = \tfrac12 r^2\dot\theta\,\dd t$. ∎

![La ley de las áreas para una fuerza central: en tiempos iguales, el radio vector desde el centro O barre áreas iguales, de modo que el punto se mueve deprisa cerca de O y despacio lejos — la segunda ley de Kepler, consecuencia únicamente de la conservación de L_O, sea cual sea la ley de fuerza.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-angular-momentum/fig-48e7c478636a.svg)

*La [ley de las áreas](#cor-b1-angular-momentum-central) para una fuerza central: en tiempos iguales, el radio vector desde el centro $O$ barre áreas iguales, de modo que el punto se mueve deprisa cerca de $O$ y despacio lejos — la segunda ley de Kepler, consecuencia únicamente de la conservación de $\vect L_O$, sea cual sea la ley de fuerza.*

**Ejemplo 15.6 (El péndulo por momentos).**

[Péndulo simple](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/12-las-leyes-de-newton-de-la-dinamica#ex-b1-newton-dynamics-pendulum), con el eje $\Delta$ por el pivote perpendicular al plano de oscilación: $L_\Delta = m\ell^2\dot\theta$; la tensión corta al eje (no tiene [momento](#def-b1-angular-momentum-moment)) y el [momento](#def-b1-angular-momentum-moment) del peso vale $-mg\ell\sin\theta$ ([brazo de palanca](#def-b1-angular-momentum-moment) $\ell\sin\theta$, recuperador). El teorema da $m\ell^2\ddot\theta =
-mg\ell\sin\theta$, la ecuación de [Ejemplo 12.12](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/12-las-leyes-de-newton-de-la-dinamica#ex-b1-newton-dynamics-pendulum) sin escribir jamás la tensión — la principal ventaja de los [momentos](#def-b1-angular-momentum-moment): las fuerzas que pasan por el eje desaparecen.

**Ejemplo 15.7 (Recoger un disco hacia dentro).**

Un disco desliza sobre hielo sin rozamiento describiendo una circunferencia, sujeto por un hilo que pasa por un agujero en el centro; se tira del hilo hasta reducir el radio a la mitad. La tensión es central: $L = mr^2\omega$ se conserva, luego $\omega$ queda multiplicada por $4$, la rapidez $r\omega$ por $2$ y la [energía cinética](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/13-trabajo-energia-y-energia-potencial#thm-b1-work-and-energy-ke) por $4$ — la energía de más es el trabajo del tirón, al que el disco se resiste durante todo el recorrido. Los brazos de la patinadora son la misma física con la masa repartida ([Ejercicio 15.4](#exo-b1-angular-momentum-4)).

## 15.3 Sistemas de puntos y rotación en torno a un eje fijo

**Teorema 15.8 (Momento angular de un sistema).**

Para un sistema de [puntos materiales](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/11-cinematica-del-punto#def-b1-point-kinematics-frame), con $\vect L_O = \sum_i\vect{OM_i}\wedge m_i\vect v_i$ y $O$ fijo en un [sistema inercial](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/12-las-leyes-de-newton-de-la-dinamica#thm-b1-newton-dynamics-laws),

$$
\frac{\dd\vect L_O}{\dd t} = \sum\vect{\mathcal M}_O(\vect F_{\mathrm{ext}}):
$$

solo cuentan los [momentos](#def-b1-angular-momentum-moment) de las fuerzas *exteriores*; las fuerzas interiores, que cumplen la ley de [acción y reacción](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/12-las-leyes-de-newton-de-la-dinamica#thm-b1-newton-dynamics-laws) a lo largo de la recta que une los puntos, no aportan nada.

**Demostración.** Súmense los teoremas de cada punto. Para una pareja interior, $\vect{OM_i}\wedge\vect F_{j\to i}
+ \vect{OM_j}\wedge\vect F_{i\to j} = (\vect{OM_i} - \vect{OM_j})\wedge\vect F_{j\to i}
= \vect{M_jM_i}\wedge\vect F_{j\to i} = \vect 0$, ya que la fuerza va según $\vect{M_jM_i}$. ∎

**Proposición 15.9 (Rotación rígida en torno a un eje fijo).**

Si los puntos mantienen distancias $r_i$ fijas a un eje $\Delta$ y todos giran en torno a él con la misma [velocidad angular](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/11-cinematica-del-punto#cor-b1-point-kinematics-circular) $\omega$ (rotación rígida),

$$
L_\Delta = J_\Delta\,\omega, \qquad J_\Delta = \sum_i m_ir_i^2, \qquad
E_k = \tfrac12 J_\Delta\omega^2,
$$

donde $J_\Delta$ es el *[momento de inercia](#prop-b1-angular-momentum-inertia)* respecto de $\Delta$, y el teorema se lee $J_\Delta\dot\omega = \sum\mathcal M_\Delta(\vect F_{\mathrm{ext}})$.

**Demostración.** Cada punto aporta $m_ir_i^2\omega$ a $L_\Delta$ y $\tfrac12 m_i(r_i\omega)^2$ a $E_k$. [Capítulo 19](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/19-sistemas-de-puntos-introduccion-al-solido-rigido#ch-b1-systems-of-points) lo extiende a los sólidos continuos. ∎

**Ejemplo 15.10 (La patinadora).**

Con los brazos extendidos, el cuerpo de una patinadora tiene $J \approx 4\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}$ más dos brazos de $3\,\mathrm{kg}$ a $0.8\,\mathrm{m}$: $J_1 = 4 + 2 \times 3 \times 0.64 =
7.8\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}$. Con los brazos recogidos ($0.2\,\mathrm{m}$): $J_2 = 4.2\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}$. La reacción del hielo y el peso no tienen [momento](#def-b1-angular-momentum-moment) respecto del eje vertical: $J\omega$ se conserva y el ritmo de giro sube en $J_1/J_2 = 1.85$ — de $2$ a $3.7$ vueltas por segundo — mientras la [energía cinética](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/13-trabajo-energia-y-energia-potencial#thm-b1-work-and-energy-ke) sube en ese mismo factor, pagada por los músculos que recogen los brazos.

![Puntos materiales que giran rígidamente en torno a un eje: cada uno recorre su propia circunferencia con el común y aporta m_ir_i2 al momento angular respecto del eje. La masa alejada del eje cuenta como el cuadrado de su distancia — los brazos extendidos de la patinadora.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-angular-momentum/fig-a2652396ce81.svg)

*[Puntos materiales](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/11-cinematica-del-punto#def-b1-point-kinematics-frame) que giran rígidamente en torno a un eje: cada uno recorre su propia circunferencia con el $\omega$ común y aporta $m_ir_i^2\omega$ al [momento angular](#def-b1-angular-momentum-L) respecto del eje. La masa alejada del eje cuenta como el cuadrado de su distancia — los brazos extendidos de la patinadora.*

**Observación 15.11 (Estática).**

Un sólido en reposo tiene $\vect L_O = \vect 0$ constante: las fuerzas exteriores han de tener resultante nula *y* [momento](#def-b1-angular-momentum-moment) total nulo respecto de cualquier punto. La segunda condición es la ley de la palanca de la balanza, el balancín y la palanqueta: una fuerza pequeña lejos del pivote equilibra a una grande cerca de él.

## 15.4 Ejercicios

**Ejercicio 15.1 ★.**

Una fuerza de $50\,\mathrm{N}$ sobre una llave a $0.30\,\mathrm{m}$ de la tuerca: [momento](#def-b1-angular-momentum-moment) cuando la fuerza es perpendicular al mango; a $60^\circ$ de él; a lo largo de él.

**Solución de Ejercicio 15.1.**

$Fd = 50 \times 0.30 = 15\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}$; $Fd\sin 60^\circ = 13\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}$; a lo largo del mango, la recta de acción pasa por la tuerca: $0$.

**Ejercicio 15.2 ★.**

[Momento angular](#def-b1-angular-momentum-L) de la Tierra respecto del Sol (órbita circular, $r = 1.50 \times 10^{11}\,\mathrm{m}$, $v = 29.8\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$, $m = 5.97 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$) y su [velocidad areolar](#cor-b1-angular-momentum-central).

**Solución de Ejercicio 15.2.**

$L = mrv = 5.97\times10^{24} \times 1.50\times10^{11} \times 2.98\times10^4 =
2.7 \times 10^{40}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$; $\dd A/\dd t = L/2m = rv/2 = 2.2 \times 10^{15}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$.

**Ejercicio 15.3 ★.**

Un péndulo cónico (hilo de $1.0\,\mathrm{m}$, a $30^\circ$ de la vertical, [Ejercicio 12.9](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/12-las-leyes-de-newton-de-la-dinamica#exo-b1-newton-dynamics-9)). Calcúlese $L$ respecto del eje vertical que pasa por el pivote, por unidad de masa, y explíquese por qué se conserva aunque actúen la tensión del hilo y el peso.

**Solución de Ejercicio 15.3.**

$r = \ell\sin 30^\circ = 0.50\,\mathrm{m}$, $\omega = 3.4\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$: $L_z/m = r^2\omega = 0.84\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$. La recta de acción de la tensión pasa por el pivote ([momento](#def-b1-angular-momentum-moment) nulo respecto de cualquier eje que pase por él); el peso es paralelo al eje vertical ([momento](#def-b1-angular-momentum-moment) nulo respecto de él): $L_z$ se conserva.

**Ejercicio 15.4 ★.**

El tronco de una patinadora tiene $J = 4.0\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}$ respecto del eje de giro; cada brazo ($3.0\,\mathrm{kg}$) se trata como un punto a $0.80\,\mathrm{m}$ y después a $0.20\,\mathrm{m}$. Ritmo de giro tras recoger los brazos, partiendo de $2.0\,$ vueltas por segundo; cociente de [energías cinéticas](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/13-trabajo-energia-y-energia-potencial#thm-b1-work-and-energy-ke); ¿de dónde sale la energía de más?

**Solución de Ejercicio 15.4.**

$J_1 = 4.0 + 2 \times 3.0 \times 0.64 = 7.8\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}$, $J_2 = 4.0 +
2 \times 3.0 \times 0.04 = 4.2\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}$; $\omega_2 = \omega_1J_1/J_2 =
1.85\omega_1$: $3.7\,$ vueltas por segundo. $E_k = L^2/2J$: cociente $J_1/J_2 = 1.85$; el trabajo lo hacen los músculos, que recogen los brazos contra la tendencia centrífuga.

**Ejercicio 15.5 ★★.**

Dedúzcase la ecuación del péndulo $\ell\ddot\theta + g\sin\theta = 0$ a partir del [teorema del momento angular](#thm-b1-angular-momentum-theorem) respecto del eje del pivote, y dese el [momento](#def-b1-angular-momentum-moment) de cada fuerza.

**Solución de Ejercicio 15.5.**

$L_\Delta = m\ell^2\dot\theta$; tensión: [momento](#def-b1-angular-momentum-moment) nulo (corta al eje); peso: $-mg\ell\sin\theta$ ([brazo de palanca](#def-b1-angular-momentum-moment) $\ell\sin\theta$, recuperador). $m\ell^2\ddot\theta = -mg\ell\sin\theta$.

**Ejercicio 15.6 ★★.**

La distancia de la Tierra al Sol varía de $1.471 \times 10^{11}\,\mathrm{m}$ (perihelio) a $1.521 \times 10^{11}\,\mathrm{m}$ (afelio). Con la [ley de las áreas](#cor-b1-angular-momentum-central), hállese el cociente de sus rapideces en esos puntos; con una rapidez media de $29.8\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$, dense ambas.

**Solución de Ejercicio 15.6.**

$r_pv_p = r_av_a$: $v_p/v_a = r_a/r_p = 1.034$; con $(v_p + v_a)/2 \approx
29.8\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$: $v_p = 30.3\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$, $v_a = 29.3\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$.

**Ejercicio 15.7 ★★.**

Un disco de $0.20\,\mathrm{kg}$ gira a $2.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ atado a un hilo de $0.50\,\mathrm{m}$ que pasa por un agujero; se tira del hilo hasta que el radio vale $0.25\,\mathrm{m}$. Nueva rapidez y nueva [velocidad angular](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/11-cinematica-del-punto#cor-b1-point-kinematics-circular); [energías cinéticas](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/13-trabajo-energia-y-energia-potencial#thm-b1-work-and-energy-ke) antes y después; trabajo realizado por el tirón. ¿Por qué puede aquí la tensión realizar trabajo?

**Solución de Ejercicio 15.7.**

$L = mrv$ se conserva: $v_2 = v_1r_1/r_2 = 4.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $\omega_2 = v_2/r_2
= 16\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ (desde $4\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$). $E_1 = 0.40\,\mathrm{J}$, $E_2 =
1.6\,\mathrm{J}$: el tirón realiza $1.2\,\mathrm{J}$. La tensión es radial, pero ahora el desplazamiento del disco tiene una componente radial (describe una espiral hacia dentro): el trabajo $\vect T\cdot\dd\vect\ell$ ya no es nulo.

**Ejercicio 15.8 ★★.**

Un tablón homogéneo de $20\,\mathrm{kg}$ y $4.0\,\mathrm{m}$ de largo se apoya en un pivote a $1.5\,\mathrm{m}$ de su extremo izquierdo; un niño de $30\,\mathrm{kg}$ se sienta en ese extremo. ¿Dónde debe sentarse un niño de $45\,\mathrm{kg}$ para equilibrarlo? ¿Qué soporta el pivote?

**Solución de Ejercicio 15.8.**

[Momentos](#def-b1-angular-momentum-moment) respecto del pivote (con las longitudes medidas desde él): niño $30 \times 1.5 =
45$ (izquierda); peso del tablón en su centro, a $0.5$ hacia la derecha: $20 \times
0.5 = 10$ (derecha); segundo niño a $x$ hacia la derecha: $45x$. Equilibrio: $45 = 10 + 45x$, $x = 0.78\,\mathrm{m}$. El pivote soporta el peso total, $95 \times 9.81 = 932\,\mathrm{N}$.

**Ejercicio 15.9 ★★.**

Una máquina de Atwood ($m_1 = 2.0\,\mathrm{kg}$, $m_2 = 1.0\,\mathrm{kg}$) cuelga de una polea de radio $0.10\,\mathrm{m}$ y [momento de inercia](#prop-b1-angular-momentum-inertia) $0.010\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}$ sobre la que el hilo no desliza. Con el [teorema del momento angular](#thm-b1-angular-momentum-theorem) para la polea y la ley de Newton para las masas, hállense la aceleración y las dos tensiones. Compárese con la polea sin masa.

**Solución de Ejercicio 15.9.**

Masas: $m_1a = m_1g - T_1$, $m_2a = T_2 - m_2g$; polea: $J\dot\omega =
(T_1 - T_2)R$ con $a = R\dot\omega$. Sumando: $a = (m_1 - m_2)g/(m_1 + m_2 +
J/R^2) = 9.81/(3.0 + 1.0) = 2.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ (frente a $3.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$); $T_1 = m_1(g - a) = 14.7\,\mathrm{N}$, $T_2 = m_2(g + a) = 12.3\,\mathrm{N}$ — distintas, porque la polea necesita un [momento](#def-b1-angular-momentum-moment) neto.

**Ejercicio 15.10 ★★★.**

Un cometa pasa por su perihelio a $0.50\,\mathrm{AU}$ del Sol a $40\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$. Cuando está a $10\,\mathrm{AU}$, ¿cuál es la componente de su velocidad perpendicular al radio vector? ¿Puede la [ley de las áreas](#cor-b1-angular-momentum-central) dar su rapidez completa?

**Solución de Ejercicio 15.10.**

$r_1v_1 = r_2v_{\perp 2}$: $v_{\perp 2} = 40 \times 0.5/10 = 2.0\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$. La [ley de las áreas](#cor-b1-angular-momentum-central) da solo la componente perpendicular; la radial exige la conservación de la energía ([Capítulo 16](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/16-fuerzas-centrales-planetas-y-satelites#ch-b1-central-forces)).

**Ejercicio 15.11 ★★★.**

Una estrella como el Sol ($R = 7.0 \times 10^{8}\,\mathrm{m}$, periodo de rotación $25\,\mathrm{d}$) se colapsa en una estrella de neutrones de radio $10\,\mathrm{km}$, conservando su masa y su [momento angular](#def-b1-angular-momentum-L) ($J \propto MR^2$). ¿Nuevo periodo? ¿Rapidez ecuatorial? ¿Qué dice esta última sobre la hipótesis?

**Solución de Ejercicio 15.11.**

$J\omega$ constante con $J \propto R^2$: $T' = T(R'/R)^2 = 25 \times 86400
\times (10^4/7\times10^8)^2 = 4.4 \times 10^{-4}\,\mathrm{s}$. Rapidez ecuatorial $2\pi R'/T'
= 1.4 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, la mitad de la velocidad de la luz: el colapso no puede conservar todo el [momento angular](#def-b1-angular-momentum-L) — se desprende de buena parte (y entra en juego la relatividad).

**Ejercicio 15.12 ★★★.**

Una cuenta desliza sin rozamiento por una varilla recta que gira en un plano horizontal con $\omega$ constante en torno a un eje vertical que pasa por uno de sus extremos. Escríbase $L_z$ de la cuenta; muéstrese que *no* se conserva y calcúlese el [momento](#def-b1-angular-momentum-moment) que debe ejercer la varilla; dedúzcase la reacción transversal de la varilla sobre la cuenta.

**Solución de Ejercicio 15.12.**

$L_z = mr^2\omega$, y $r$ cambia: $\dd L_z/\dd t = 2mr\dot r\omega \neq 0$. Ese ha de ser el [momento](#def-b1-angular-momentum-moment) de la reacción transversal $N$ de la varilla: $rN =
2mr\dot r\omega$, luego $N = 2m\dot r\omega$ — la varilla empuja la cuenta de lado mientras esta se desliza hacia fuera (el término de Coriolis de [Capítulo 18](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/18-sistemas-no-inerciales-dinamica-en-la-tierra#ch-b1-non-inertial-frames)).

## 15.5 Problema: por qué se va la Luna

**Problema 15.1.**

Problema de fin de semana — las mareas que la Luna levanta en la Tierra tiran de ella hacia delante y de la Tierra hacia atrás: cómo fluye el momento angular de nuestros días a la órbita lunar, centímetro a centímetro, y adónde va la energía

Datos: $G = 6.67 \times 10^{-11}\,\mathrm{SI}$; Tierra $M = 5.97 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$, $R =
6.37 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$, rotación $\Omega = 2\pi/(86\,164\,\mathrm{s})$, [momento de inercia](#prop-b1-angular-momentum-inertia) $J = 0.33\,MR^2$; Luna $m = 7.35 \times 10^{22}\,\mathrm{kg}$, con la órbita tratada como circular, $r = 3.84 \times 10^{8}\,\mathrm{m}$; la telemetría láser lunar mide $\dd r/\dd t = 3.8\,\mathrm{cm}/\mathrm{yr}$; el día se alarga $2.3\,\mathrm{ms}$ por siglo; $1$ siglo $= 3.16 \times 10^{9}\,\mathrm{s}$.

**Parte I — Los [momentos angulares](#def-b1-angular-momentum-L).**

1. Calcúlese la [velocidad angular](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/11-cinematica-del-punto#cor-b1-point-kinematics-circular) orbital $\omega$ de la Luna con la ley de Newton (órbita circular) y compruébese frente al mes sidéreo de $27.3\,\mathrm{d}$ .
2. Calcúlese el [momento angular](#def-b1-angular-momentum-L) orbital de la Luna $L_{\text{orb}} =  mr^2\omega$ .
3. Muéstrese que, para una órbita circular, $L_{\text{orb}} = m\sqrt{GMr}$ , y dedúzcase $\dd L_{\text{orb}}/\dd r = L_{\text{orb}}/2r$ .
4. Calcúlese el [momento angular](#def-b1-angular-momentum-L) de rotación de la Tierra $L_{\text{rot}} =  J\Omega$ y compárese con $L_{\text{orb}}$ .
5. La Luna gira sobre sí misma una vez por mes: estímese su [momento angular](#def-b1-angular-momentum-L) de rotación ( $J_m \approx 0.4\,mR_m^2$ , $R_m = 1.74 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$ ) y justifíquese despreciarlo.
6. ¿Qué [momentos](#def-b1-angular-momentum-moment) exteriores actúan sobre el sistema Tierra–Luna respecto de su centro de masas? Arguméntese que, con buena aproximación, el total $L = L_{\text{rot}} + L_{\text{orb}}$ se conserva.

**Parte II — El [par](#def-b1-angular-momentum-moment) de marea.** La Luna levanta dos abultamientos de agua en la Tierra; como la Tierra gira más deprisa de lo que la Luna orbita, el rozamiento arrastra los abultamientos por delante de la línea Tierra–Luna en un ángulo pequeño.

7. Esbócense la Tierra, el abultamiento adelantado y la Luna. ¿En qué sentido actúa la atracción de la Luna sobre el abultamiento más cercano, respecto de la rotación de la Tierra?
8. Dedúzcase el signo del [momento](#def-b1-angular-momentum-moment) sobre la rotación terrestre: ¿se alarga o se acorta el día?
9. Por [acción y reacción](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/12-las-leyes-de-newton-de-la-dinamica#thm-b1-newton-dynamics-laws) , ¿qué [momento](#def-b1-angular-momentum-moment) actúa sobre el movimiento orbital de la Luna? ¿Crece o disminuye $L_{\text{orb}}$ ?
10. A partir de la pregunta 3, ¿crece o disminuye $r$ ? ¿Y la rapidez orbital de la Luna $v = \sqrt{GM/r}$ ?
11. Resuélvase la paradoja aparente: se empuja a la Luna hacia delante y, sin embargo, acaba moviéndose más despacio.
12. ¿Hacia qué estado final tiende el intercambio?

**Parte III — Los números.**

13. A partir del alargamiento del día, calcúlese la variación relativa $\Delta\Omega/\Omega$ por siglo.
14. Dedúzcase la variación de $L_{\text{rot}}$ por siglo.
15. Dedúzcase la variación de $L_{\text{orb}}$ por siglo.
16. Con la pregunta 3, conviértase en una variación de $r$ por siglo y por año. Compárese con el valor de la telemetría láser.
17. ¿En qué fracción, y en cuántos segundos, se alarga el mes sidéreo por siglo ( $T \propto r^{3/2}$ )?
18. Calcúlese la variación de la [energía cinética](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/13-trabajo-energia-y-energia-potencial#thm-b1-work-and-energy-ke) de rotación de la Tierra por siglo ( $\Delta E = L_{\text{rot}}\Delta\Omega$ a primer orden).
19. Calcúlese la variación de la [energía mecánica](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/13-trabajo-energia-y-energia-potencial#thm-b1-work-and-energy-em) orbital de la Luna, $E_{\text{orb}} = -GMm/2r$ , por siglo.

**Parte IV — La energía.**

20. Muéstrese que la Tierra pierde más energía de la que gana la Luna, y calcúlense la diferencia por siglo y la potencia correspondiente. ¿Adónde va?
21. Compárese esa potencia con el consumo de la humanidad, unos $18\,\mathrm{TW}$ , y con el flujo de calor interno de la Tierra, unos $47\,\mathrm{TW}$ .
22. En el estado final de la pregunta 12, día y mes son iguales: $\Omega = \omega = \sqrt{GM/r^3}$ . Escribiendo la conservación de $L_{\text{rot}} + L_{\text{orb}}$ , compruébese que $r \approx  5.5 \times 10^{8}\,\mathrm{m}$ la satisface y dese el periodo común en días.
23. ¿Por qué no se alcanzará nunca en realidad ese estado? (Piénsese en las mareas solares.)
24. La Luna ya muestra a la Tierra una sola cara. Explíquese con el mismo mecanismo y dígase por qué le ocurrió antes a la Luna.
25. Resúmase en tres líneas: qué se conserva, qué se intercambia y qué se disipa.

**Solución de Problema 15.1.**

**1.** $m\omega^2r = GMm/r^2$: $\omega = \sqrt{GM/r^3} = \sqrt{3.98\times
10^{14}/5.66\times10^{25}} = 2.65 \times 10^{-6}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$, periodo $2\pi/\omega =
2.37 \times 10^{6}\,\mathrm{s} = 27.4\,\mathrm{d}$.

**2.** $L_{\text{orb}} = 7.35\times10^{22} \times 1.475\times10^{17}
\times 2.65\times10^{-6} = 2.9 \times 10^{34}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$.

**3.** $v = \sqrt{GM/r}$, $L = mrv = m\sqrt{GMr}$; $\dd L/\dd r =
\tfrac12 m\sqrt{GM/r} = L/2r$.

**4.** $J = 0.33 \times 5.97\times10^{24} \times 4.06\times10^{13} =
8.0 \times 10^{37}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}$; $\Omega = 7.29 \times 10^{-5}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$; $L_{\text{rot}} =
5.8 \times 10^{33}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$, la quinta parte de $L_{\text{orb}}$.

**5.** $J_m \approx 0.4 \times 7.35\times10^{22} \times 3.0\times10^{12} =
8.9 \times 10^{34}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}$, por $\omega$: $2.4 \times 10^{29}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$, $10^{-5}$ del orbital: despreciable.

**6.** La atracción del Sol actúa sobre el centro de masas del sistema (sin [momento](#def-b1-angular-momentum-moment) respecto de él a primer orden); su efecto de marea sobre el [par](#def-b1-angular-momentum-moment) es pequeño: el $L$ total se conserva con la precisión que aquí hace falta.

**7.** El abultamiento más cercano, adelantado respecto de la línea Tierra–Luna, es atraído por la Luna con una fuerza cuya componente tangencial se opone a la rotación terrestre.

**8.** [Momento](#def-b1-angular-momentum-moment) negativo sobre la rotación: la Tierra frena y el día se alarga.

**9.** El abultamiento tira de la Luna hacia delante: [momento](#def-b1-angular-momentum-moment) positivo sobre la órbita, $L_{\text{orb}}$ crece.

**10.** $L_{\text{orb}} \propto \sqrt r$ crece, luego $r$ crece; $v \propto
1/\sqrt r$ disminuye.

**11.** El tirón hacia delante realiza un trabajo positivo, que eleva la energía de la Luna; una órbita más alta es una órbita más lenta: la energía va a la altura (potencial), más que la [energía cinética](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/13-trabajo-energia-y-energia-potencial#thm-b1-work-and-energy-ke) perdida.

**12.** Acoplamiento por marea de la Tierra: día igual al mes, sin abultamiento adelantado y sin [par](#def-b1-angular-momentum-moment).

**13.** $\Delta\Omega/\Omega = -2.3 \times 10^{-3}\,\mathrm{s}/86\,164\,\mathrm{s} =
-2.7 \times 10^{-8}$ por siglo.

**14.** $\Delta L_{\text{rot}} = L_{\text{rot}}\Delta\Omega/\Omega =
-1.55 \times 10^{26}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ por siglo.

**15.** $\Delta L_{\text{orb}} = +1.55 \times 10^{26}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ por siglo.

**16.** $\Delta r = 2r\,\Delta L/L = 2 \times 3.84\times10^8 \times 1.55
\times10^{26}/2.9\times10^{34} = 4.1\,\mathrm{m}$ por siglo, $4.1\,\mathrm{cm}/\mathrm{yr}$: cerca de los $3.8\,\mathrm{cm}/\mathrm{yr}$ medidos (el alargamiento del día tiene también una parte no debida a las mareas).

**17.** $\Delta T/T = \tfrac32\Delta r/r = 1.6\times10^{-8}$: $2.37\times
10^6 \times 1.6\times10^{-8} = 0.04\,\mathrm{s}$ por siglo.

**18.** $\Delta E_{\text{rot}} = L_{\text{rot}}\Delta\Omega = 5.8\times10^{33}
\times 7.29\times10^{-5} \times (-2.7\times10^{-8}) = -1.1 \times 10^{22}\,\mathrm{J}$ por siglo.

**19.** $\Delta E_{\text{orb}} = GMm\Delta r/2r^2 = 2.93\times10^{37}
\times 4.1/(2 \times 1.475\times10^{17}) = +4.1 \times 10^{20}\,\mathrm{J}$ por siglo.

**20.** Neto $-1.1\times10^{22} + 4\times10^{20} \approx -1.06 \times 10^{22}\,\mathrm{J}$ por siglo: $3.4\times10^{12}\ \mathrm{W}$, disipados en forma de calor por el rozamiento de marea en los océanos y en la Tierra sólida.

**21.** La quinta parte de la potencia de la humanidad y la catorceava del flujo geotérmico — un calefactor pequeño pero permanente.

**22.** $L_{\text{tot}} = 3.5\times10^{34}$. Para $r = 5.5\times10^8$: $\omega = \sqrt{GM/r^3} = 1.55 \times 10^{-6}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$, $J\omega = 1.2\times10^{32}$, $m\sqrt{GMr} = 7.35\times10^{22} \times 4.68\times10^{11} = 3.44\times10^{34}$; la suma vale $3.45\times10^{34}$: coherente. Periodo $2\pi/\omega = 4.1 \times 10^{6}\,\mathrm{s}
= 47\,\mathrm{d}$.

**23.** Las mareas solares seguirán frenando la Tierra por debajo del ritmo orbital de la Luna, de modo que el [par](#def-b1-angular-momentum-moment) Tierra–Luna se invertiría entonces; además, el Sol habrá evolucionado mucho antes (la escala de tiempo es de decenas de miles de millones de años).

**24.** La Tierra levantó mareas en la Luna, que frenaron su rotación hasta que una cara quedó mirándonos; al ser más ligera y estar cerca de un compañero más pesado, el acoplamiento de la Luna fue mucho más rápido.

**25.** Se conserva: el [momento angular](#def-b1-angular-momentum-L) total. Se intercambia: [momento angular](#def-b1-angular-momentum-L) de la rotación terrestre a la órbita lunar, unos $1.6 \times 10^{26}\,\mathrm{SI}$ por siglo. Se disipa: [energía mecánica](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/13-trabajo-energia-y-energia-potencial#thm-b1-work-and-energy-em), unos pocos teravatios, en forma de calor de marea.