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title: "Sistemas de puntos; introducción al sólido rígido"
book: "Física universitaria — primer año"
subject: physics
language: es
chapter: 19
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/19-sistemas-de-puntos-introduccion-al-solido-rigido
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# Capítulo 19 — Sistemas de puntos; introducción al sólido rígido

Una saltadora abandona el trampolín, se encoge, da dos volteretas y se estira; a lo largo de todo ello, un punto de su cuerpo — su [centro de masas](#def-b1-systems-of-points-cm) — traza la misma parábola sencilla que trazaría una piedra. Un yoyó soltado de la mano tarda tres veces más que una piedra en llegar al final de su cuerda y llega girando a dos mil vueltas por minuto. Una esfera maciza gana a una hueca por cualquier plano inclinado, sean cuales sean sus tamaños y sus masas. La mecánica de un solo punto, desarrollada en los capítulos anteriores, se extiende a sistemas de muchos puntos — y a los [sólidos rígidos](#def-b1-systems-of-points-solid) de la vida diaria — mediante un puñado de teoremas: el [centro de masas](#def-b1-systems-of-points-cm) se mueve como un punto, la energía y el [momento angular](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/15-momento-angular#def-b1-angular-momentum-L) se parten en una contribución del [centro de masas](#def-b1-systems-of-points-cm) y otra “en torno” a él, y un cuerpo que gira sobre un eje fijo es un sistema de un grado de libertad gobernado por su [momento de inercia](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/15-momento-angular#prop-b1-angular-momentum-inertia).

## 19.1 Centro de masas y cantidad de movimiento

**Definición 19.1 (Centro de masas; cantidad de movimiento de un sistema).**

Para [puntos materiales](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/11-cinematica-del-punto#def-b1-point-kinematics-frame) de masas $m_i$ situados en $M_i$, con masa total $M = \sum m_i$, el *centro de masas* (baricentro) $G$ se define por

$$
\sum_i m_i\,\vect{GM_i} = \vect 0, \qquad\text{es decir}\qquad
\vect{OG} = \frac{1}{M}\sum_i m_i\,\vect{OM_i}
$$

sea cual sea el origen $O$. La *cantidad de movimiento* del sistema es $\vect P =
\sum_i m_i\vect v_i = M\vect v_G$.

**Teorema 19.2 (Teorema del centro de masas).**

En un [sistema inercial](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/12-las-leyes-de-newton-de-la-dinamica#thm-b1-newton-dynamics-laws),

$$
M\,\vect a_G = \frac{\dd\vect P}{\dd t} = \sum\vect F_{\mathrm{ext}} :
$$

el [centro de masas](#def-b1-systems-of-points-cm) se mueve como un [punto material](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/11-cinematica-del-punto#def-b1-point-kinematics-frame) de masa $M$ sometido solo a la resultante de las fuerzas *exteriores*. Para un [sistema cerrado](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/12-las-leyes-de-newton-de-la-dinamica#def-b1-newton-dynamics-conservation) sin fuerza exterior, $\vect P$ se conserva y $G$ se mueve uniformemente.

**Demostración.** Súmese la segunda ley de Newton sobre todos los puntos; las fuerzas interiores se cancelan por parejas de [acción y reacción](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/12-las-leyes-de-newton-de-la-dinamica#thm-b1-newton-dynamics-laws); y $\sum m_i\vect a_i = M\vect a_G$ al derivar dos veces la definición de $G$. ∎

**Ejemplo 19.3 (Saltadora, retroceso, choque).**

El $G$ de la saltadora sigue una parábola bajo su solo peso, gire como gire — sus músculos son fuerzas interiores. Un fusil de $4.0\,\mathrm{kg}$ que dispara una bala de $10\,\mathrm{g}$ a $800\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$: $\vect P = \vect 0$ antes y después, así que el fusil retrocede a $2.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Dos coches, uno de $1000\,\mathrm{kg}$ a $20\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ y otro de $1500\,\mathrm{kg}$ en reposo, que quedan enganchados: $v =
20000/2500 = 8.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ — cantidad de movimiento conservada, mientras que el $60\%$ de la [energía cinética](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/13-trabajo-energia-y-energia-potencial#thm-b1-work-and-energy-ke) se ha ido en chapa abollada y calor. La cantidad de movimiento se conserva en todo choque; la [energía cinética](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/13-trabajo-energia-y-energia-potencial#thm-b1-work-and-energy-ke), solo en los *elásticos* ([Ejercicio 19.12](#exo-b1-systems-of-points-12)).

## 19.2 Los teoremas de König

**Definición 19.4 (Sistema baricéntrico).**

El *sistema baricéntrico* $\mathcal R^*$ tiene su origen en $G$ y está en traslación respecto del [sistema inercial](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/12-las-leyes-de-newton-de-la-dinamica#thm-b1-newton-dynamics-laws) $\mathcal R$ (sus ejes conservan direcciones fijas). Las magnitudes medidas en él llevan asterisco: $\vect v_i^*
= \vect v_i - \vect v_G$, y $\sum m_i\vect v_i^* = \vect 0$.

**Teorema 19.5 (Teoremas de König).**

El [momento angular](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/15-momento-angular#def-b1-angular-momentum-L) respecto de un punto $O$ y la [energía cinética](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/13-trabajo-energia-y-energia-potencial#thm-b1-work-and-energy-ke) de un sistema se parten en la contribución de su [centro de masas](#def-b1-systems-of-points-cm), que lleva toda la masa, y las contribuciones en el [sistema baricéntrico](#def-b1-systems-of-points-barycentric):

$$
\vect L_O = \vect{OG}\wedge M\vect v_G + \vect L^*, \qquad
E_k = \tfrac12 Mv_G^2 + E_k^*,
$$

donde $\vect L^* = \sum\vect{GM_i}\wedge m_i\vect v_i^*$ y $E_k^* = \sum\tfrac12
m_iv_i^{*2}$ no dependen del origen del sistema.

**Demostración.** $\vect{OM_i} = \vect{OG} + \vect{GM_i}$ y $\vect v_i = \vect v_G + \vect v_i^*$; desarróllense $\sum\vect{OM_i}\wedge m_i\vect v_i$ y $\sum\tfrac12 m_iv_i^2$: los términos cruzados contienen $\sum m_i\vect{GM_i} = \vect 0$ o $\sum m_i\vect v_i^* = \vect 0$ y se anulan. ∎

**Ejemplo 19.6 (Una rueda que rueda).**

Una rueda de masa $M$ y radio $R$, con [momento de inercia](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/15-momento-angular#prop-b1-angular-momentum-inertia) $J$ respecto de su eje, que rueda sin deslizar con rapidez $v$: el punto de contacto está en reposo, luego $\omega = v/R$, y $E_k = \tfrac12 Mv^2 + \tfrac12 J\omega^2 = \tfrac12 Mv^2(1 +
J/MR^2)$ — tres cuartos de $Mv^2$ para un disco homogéneo ($J = \tfrac12 MR^2$) y $Mv^2$ para un aro. El segundo término explica por qué las ruedas de una bicicleta se hacen ligeras: su rotación cuesta una energía que la masa del cuadro no cuesta.

## 19.3 El problema de dos cuerpos

**Proposición 19.7 (Masa reducida).**

Dos [puntos materiales](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/11-cinematica-del-punto#def-b1-point-kinematics-frame) que interaccionan solo entre sí (fuerza $\vect F$ sobre $m_2$ debida a $m_1$, y $-\vect F$ sobre $m_1$): $G$ se mueve uniformemente y la posición relativa $\vect r = \vect{M_1M_2}$ cumple

$$
\mu\,\frac{\dd^2\vect r}{\dd t^2} = \vect F, \qquad \mu = \frac{m_1m_2}{m_1 + m_2},
$$

la ecuación de un único punto ficticio de *[masa reducida](#prop-b1-systems-of-points-twobody)* $\mu$ que se mueve bajo $\vect F$ en torno a un centro fijo. En $\mathcal R^*$, $E_k^* =
\tfrac12\mu\dot{\vect r}^2$ y $\vect L^* = \vect r\wedge\mu\dot{\vect r}$.

**Demostración.** $\ddot{\vect r} = \vect a_2 - \vect a_1 = \vect F/m_2 + \vect F/m_1 = \vect F(m_1 +
m_2)/m_1m_2$. En $\mathcal R^*$, $\vect{GM_2} = m_1\vect r/(m_1 + m_2)$ y $\vect{GM_1} = -m_2\vect r/(m_1 + m_2)$; sustitúyase en $E_k^*$ y en $\vect L^*$. ∎

**Ejemplo 19.8 (Cuando el centro también se mueve).**

En [Capítulo 16](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/16-fuerzas-centrales-planetas-y-satelites#ch-b1-central-forces) el Sol estaba fijo: exacto solo en el límite $m \ll M$; en general la [tercera ley de Kepler](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/16-fuerzas-centrales-planetas-y-satelites#thm-b1-central-forces-circular) se lee $T^2 = 4\pi^2a^3/G(M +
m)$. Para la molécula de HCl que vibra en [Problema 13.1](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/13-trabajo-energia-y-energia-potencial#pb-b1-work-and-energy-1), la masa que oscila en el pozo es $\mu = m_Hm_{Cl}/(m_H + m_{Cl}) =
0.972\,m_H$, lo que sube la frecuencia un $1.4\%$; para el átomo de hidrógeno, la $\mu$ del electrón difiere de $m_e$ en una parte entre $1836$ — medible en el espectro.

## 19.4 Sólido rígido que gira en torno a un eje fijo

**Definición 19.9 (Sólido; rotación en torno a un eje fijo).**

Un *sólido rígido* es un sistema cuyos puntos mantienen distancias mutuas fijas. Si gira en torno a un eje $\Delta$ fijo en el sistema, todo punto describe una circunferencia centrada en $\Delta$ con la misma [velocidad angular](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/11-cinematica-del-punto#cor-b1-point-kinematics-circular) $\omega = \dot\theta$; un punto a distancia $r_i$ del eje tiene rapidez $r_i\omega$.

**Proposición 19.10 (Momento de inercia; momento angular; energía cinética).**

Con el *[momento de inercia](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/15-momento-angular#prop-b1-angular-momentum-inertia)* $J_\Delta = \sum m_ir_i^2$ (una integral $\int r^2\,\dd m$ para un cuerpo continuo):

$$
L_\Delta = J_\Delta\,\omega, \qquad E_k = \tfrac12 J_\Delta\omega^2 .
$$

Valores habituales (masa $M$): anillo delgado o cilindro hueco respecto de su eje, $MR^2$; disco homogéneo o cilindro macizo, $\tfrac12 MR^2$; varilla delgada de longitud $L$ respecto de su centro, $\tfrac{1}{12}ML^2$, y respecto de un extremo, $\tfrac13 ML^2$; esfera maciza respecto de un diámetro, $\tfrac25 MR^2$. *[Teorema de Huygens](#prop-b1-systems-of-points-inertia)*: respecto de un eje $\Delta$ paralelo a un eje $\Delta_G$ que pasa por $G$ a distancia $d$, $J_\Delta = J_{\Delta_G} + Md^2$.

**Demostración.** $L_\Delta$ y $E_k$: [Proposición 15.9](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/15-momento-angular#prop-b1-angular-momentum-inertia). Varilla respecto de un extremo: $\int_0^L x^2(M/L)\,\dd x = ML^2/3$; respecto del centro, $\int_{-L/2}^{L/2}
x^2(M/L)\dd x = ML^2/12$. Disco: anillo de radio $r$ y anchura $\dd r$, de masa $(2Mr/R^2)\dd r$: $\int_0^R r^2(2Mr/R^2)\dd r = MR^2/2$; el anillo y la esfera se admiten (la esfera exige una integral doble). Huygens: con $r_i^2 = \abs{\vect{GM_i}_\perp + \vect d}^2 = r_{G,i}^2 + d^2 + 2\vect d\cdot
\vect{GM_i}_\perp$, el término cruzado suma cero por definición de $G$. ∎

![Izquierda: el momento de inercia de un disco, sumado anillo a anillo. Derecha: el teorema de Huygens — respecto de un eje por el borde de un disco, paralelo al eje por su centro, J = 1/2 MR2 + MR2.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-systems-of-points/fig-e4b616a8d0ed.svg)

*Izquierda: el [momento de inercia](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/15-momento-angular#prop-b1-angular-momentum-inertia) de un disco, sumado anillo a anillo. Derecha: el [teorema de Huygens](#prop-b1-systems-of-points-inertia) — respecto de un eje por el borde de un disco, paralelo al eje por su centro, $J = \tfrac12 MR^2 + MR^2$.*

**Teorema 19.11 (Dinámica de un sólido en torno a un eje fijo).**

Para un sólido que gira en torno a un eje fijo $\Delta$ en un [sistema inercial](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/12-las-leyes-de-newton-de-la-dinamica#thm-b1-newton-dynamics-laws),

$$
J_\Delta\,\ddot\theta = \sum\mathcal M_\Delta(\vect F_{\mathrm{ext}}),
\qquad
\frac{\dd}{\dd t}\Big(\tfrac12 J_\Delta\dot\theta^2\Big) = \sum\mathcal M_\Delta(\vect F_{\mathrm{ext}})\,\dot\theta :
$$

los momentos de las fuerzas exteriores respecto del eje mandan sobre la aceleración angular, y un momento $\mathcal M_\Delta$ entrega la potencia $\mathcal M_\Delta\omega$. Un *pivote* ideal (cojinete sin rozamiento) no ejerce momento alguno respecto de su eje y, por tanto, ni acelera ni frena la rotación.

**Demostración.** [Teorema 15.8](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/15-momento-angular#thm-b1-angular-momentum-system) proyectado sobre $\Delta$, con $L_\Delta
= J_\Delta\dot\theta$ y $J_\Delta$ constante para un [sólido rígido](#def-b1-systems-of-points-solid); multiplíquese por $\dot\theta$ para la forma energética (las fuerzas interiores de un [sólido rígido](#def-b1-systems-of-points-solid) no trabajan: las distancias no cambian). ∎

**Ejemplo 19.12 (Péndulo compuesto; péndulo de torsión).**

Un sólido de masa $M$ que pivota en torno a un eje horizontal a distancia $d$ de $G$: el momento del peso vale $-Mgd\sin\theta$, luego $J_\Delta\ddot\theta =
-Mgd\sin\theta$ y las oscilaciones pequeñas tienen el periodo

$$
T = 2\pi\sqrt{\frac{J_\Delta}{Mgd}} ,
$$

el de un [péndulo simple](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/12-las-leyes-de-newton-de-la-dinamica#ex-b1-newton-dynamics-pendulum) de longitud $J_\Delta/Md$ — para una varilla homogénea que pivota por un extremo, $2L/3$. Un disco colgado de un hilo de constante de torsión $C$ (momento recuperador $-C\theta$): $J\ddot\theta = -C\theta$, $T = 2\pi\sqrt{J/C}$ — la balanza de torsión que midió $G$ y la ley de Coulomb.

![Tres sólidos en movimiento: un péndulo compuesto que oscila en torno a un pivote (momento del peso respecto del eje), un péndulo de torsión (momento del hilo) y un sólido que rueda sin deslizar por un plano inclinado — cuanto mayor es su J/MR2, más despacio rueda.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-systems-of-points/fig-591dd8783de3.svg)

*Tres sólidos en movimiento: un [péndulo compuesto](#ex-b1-systems-of-points-pendulums) que oscila en torno a un pivote (momento del peso respecto del eje), un [péndulo de torsión](#ex-b1-systems-of-points-pendulums) (momento del hilo) y un sólido que rueda sin deslizar por un plano inclinado — cuanto mayor es su $J/MR^2$, más despacio rueda.*

**Proposición 19.13 (Rodadura sin deslizamiento por un plano inclinado).**

Un sólido de revolución ($J = kMR^2$ respecto de su eje) soltado en un plano inclinado de ángulo $\alpha$ rueda sin deslizar con la aceleración

$$
a = \frac{g\sin\alpha}{1 + k} :
$$

$\tfrac57 g\sin\alpha$ para una esfera maciza, $\tfrac23 g\sin\alpha$ para un disco y $\tfrac12 g\sin\alpha$ para un aro — sin depender de la masa ni del radio.

**Demostración.** Energía: $Mgh = \tfrac12 Mv^2(1 + k)$ a lo largo de la pendiente (el rozamiento estático en el punto de contacto, que está en reposo, no trabaja), luego $v^2 = 2ah$ con la $a$ indicada; o bien Newton para $G$ y el teorema del momento respecto de $G$ con el rozamiento $f$: $Ma = Mg\sin\alpha - f$, $kMR^2\dot\omega = fR$, $a = R\dot\omega$. ∎

**Observación 19.14 (Sistemas deformables).**

Para un sistema que no es rígido, el [teorema de la energía cinética](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/13-trabajo-energia-y-energia-potencial#thm-b1-work-and-energy-ke) se lee $\Delta E_k = W_{\mathrm{ext}} + W_{\mathrm{int}}$: las fuerzas interiores trabajan (músculos, resortes, rozamiento dentro del sistema). La patinadora que recoge los brazos, la saltadora que se encoge y el ciclista que se levanta sobre los pedales ganan [energía cinética](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/13-trabajo-energia-y-energia-potencial#thm-b1-work-and-energy-ke) sin trabajo exterior — el [teorema del centro de masas](#thm-b1-systems-of-points-cmtheorem) sigue siendo cierto, y la energía viene de dentro.

## 19.5 Ejercicios

**Ejercicio 19.1 ★.**

Masas de $2.0\,\mathrm{kg}$ en $x = 0$ y de $3.0\,\mathrm{kg}$ en $x = 1.0\,\mathrm{m}$: posición de $G$. El sistema Tierra–Luna ($81:1$, $384\,000\,\mathrm{km}$): distancia de $G$ al centro de la Tierra; compárese con el radio terrestre.

**Solución de Ejercicio 19.1.**

$x_G = (2.0 \times 0 + 3.0 \times 1.0)/5.0 = 0.60\,\mathrm{m}$. Tierra–Luna: $384000/82 = 4700\,\mathrm{km}$ desde el centro de la Tierra, dentro de ella ($6370\,\mathrm{km}$): la Tierra bambolea en torno a un punto situado $1700\,\mathrm{km}$ bajo su superficie.

**Ejercicio 19.2 ★.**

Un fusil de $4.0\,\mathrm{kg}$ dispara una bala de $10\,\mathrm{g}$ a $800\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Rapidez de retroceso; [energías cinéticas](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/13-trabajo-energia-y-energia-potencial#thm-b1-work-and-energy-ke) de la bala y del fusil; ¿de dónde salió la energía?

**Solución de Ejercicio 19.2.**

$4.0v = 0.010 \times 800$: $v = 2.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Bala $\tfrac12 \times 0.010
\times 800^2 = 3.2\,\mathrm{kJ}$, fusil $8\,\mathrm{J}$: de la energía química de la pólvora; el cuerpo ligero se lleva casi toda ($E_k = p^2/2m$ con la misma $p$).

**Ejercicio 19.3 ★.**

Un coche de $1000\,\mathrm{kg}$ a $20\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ choca con otro de $1500\,\mathrm{kg}$ en reposo y quedan enganchados. Rapidez común; fracción de [energía cinética](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/13-trabajo-energia-y-energia-potencial#thm-b1-work-and-energy-ke) perdida.

**Solución de Ejercicio 19.3.**

$v = 20000/2500 = 8.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; $E_k$: $200\,\mathrm{kJ}$ antes y $\tfrac12 \times
2500 \times 64 = 80\,\mathrm{kJ}$ después: se pierde el $60\%$.

**Ejercicio 19.4 ★.**

Dedúzcase el [momento de inercia](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/15-momento-angular#prop-b1-angular-momentum-inertia) de una varilla homogénea de masa $M$ y longitud $L$ respecto de un eje perpendicular por su extremo, y después por su centro; compruébese entre ambos el [teorema de Huygens](#prop-b1-systems-of-points-inertia).

**Solución de Ejercicio 19.4.**

Extremo: $\int_0^L x^2(M/L)\dd x = ML^2/3$; centro: $\int_{-L/2}^{L/2}x^2(M/L)
\dd x = ML^2/12$; Huygens con $d = L/2$: $ML^2/12 + ML^2/4 = ML^2/3$.

**Ejercicio 19.5 ★★.**

[Energía cinética](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/13-trabajo-energia-y-energia-potencial#thm-b1-work-and-energy-ke) de un cilindro homogéneo que rueda y de un aro que rueda, de la misma masa y la misma rapidez, como múltiplos de $\tfrac12 Mv^2$. ¿Cuál se detiene antes en un suelo plano rugoso y cuál sube más por una pendiente?

**Solución de Ejercicio 19.5.**

$E_k = \tfrac12 Mv^2(1 + k)$: cilindro $1.5$ y aro $2$ veces $\tfrac12 Mv^2$. A igual rapidez, más energía para el aro: rueda más lejos en un suelo plano (mismo rozamiento) y sube más alto ($h = v^2(1 + k)/2g$).

**Ejercicio 19.6 ★★.**

[Masa reducida](#prop-b1-systems-of-points-twobody) del HCl ($m_{Cl} = 35m_H$) y del átomo de hidrógeno ($m_p = 1836m_e$); corrección relativa a una frecuencia de vibración o de órbita calculada solo con la masa ligera.

**Solución de Ejercicio 19.6.**

HCl: $\mu = 35m_H/36 = 0.972m_H$; átomo: $\mu = m_e/(1 + 1/1836) =
0.99946m_e$. Las frecuencias son $\propto 1/\sqrt\mu$: $+1.4\%$ para el HCl y $+0.027\%$ para el hidrógeno (en ello se apoya el desplazamiento isotópico entre los espectros de H y de D).

**Ejercicio 19.7 ★★.**

Una varilla homogénea de $1.0\,\mathrm{m}$ pivota libremente por un extremo. Periodo de las [pequeñas oscilaciones](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/13-trabajo-energia-y-energia-potencial#prop-b1-work-and-energy-stability); longitud del [péndulo simple](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/12-las-leyes-de-newton-de-la-dinamica#ex-b1-newton-dynamics-pendulum) del mismo periodo; el punto de la varilla (el centro de percusión) en el que un golpe seco no produce reacción en el pivote está a esa distancia — ¿por qué lo busca un bateador?

**Solución de Ejercicio 19.7.**

$J = ML^2/3$, $d = L/2$: $T = 2\pi\sqrt{(ML^2/3)/(MgL/2)} = 2\pi\sqrt{2L/3g}
= 1.64\,\mathrm{s}$; longitud equivalente $2L/3 = 0.67\,\mathrm{m}$. Un golpe en el centro de percusión pone la varilla a girar en torno al pivote sin reacción impulsiva allí: golpear la pelota en el “punto dulce” del bate y las manos no sienten el rebote.

**Ejercicio 19.8 ★★.**

Un disco ($M = 0.20\,\mathrm{kg}$, $R = 10\,\mathrm{cm}$) cuelga de un hilo y oscila en torsión con un periodo de $2.0\,\mathrm{s}$. Constante de torsión del hilo.

**Solución de Ejercicio 19.8.**

$J = \tfrac12 MR^2 = 1.0 \times 10^{-3}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}$; $C = 4\pi^2J/T^2 = 9.9 \times 10^{-3}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}/\mathrm{rad}$.

**Ejercicio 19.9 ★★.**

Un volante de inercia de $10\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}$ gira a $3000\,\mathrm{rpm}$. Energía almacenada; momento de frenado que lo detiene en $10\,\mathrm{s}$; número de vueltas durante el frenado.

**Solución de Ejercicio 19.9.**

$\omega = 314\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$, $E = \tfrac12 J\omega^2 = 4.9 \times 10^{5}\,\mathrm{J}$; $\Gamma = J\omega/t = 314\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}$; vueltas: $\tfrac12\omega t/2\pi = 250$.

**Ejercicio 19.10 ★★★.**

Una esfera maciza, un cilindro macizo y un aro se sueltan a la vez en lo alto de un plano inclinado. Orden de llegada y cociente de sus aceleraciones. ¿Depende el resultado de sus radios o de sus masas?

**Solución de Ejercicio 19.10.**

$a = g\sin\alpha/(1 + k)$: esfera ($k = 2/5$) $0.714$, cilindro ($1/2$) $0.667$ y aro ($1$) $0.500$ veces $g\sin\alpha$: la esfera primero y el aro el último; ni masa ni radio por ninguna parte.

**Ejercicio 19.11 ★★★.**

Péndulo balístico: una bala de $10\,\mathrm{g}$ a $400\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ se incrusta en un bloque de $2.0\,\mathrm{kg}$ colgado de un hilo de $1.0\,\mathrm{m}$. Rapidez justo después del impacto; altura alcanzada; fracción de la [energía cinética](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/13-trabajo-energia-y-energia-potencial#thm-b1-work-and-energy-ke) de la bala que se pierde. ¿Por qué no puede usarse la conservación de la energía para el impacto mismo?

**Solución de Ejercicio 19.11.**

Cantidad de movimiento: $0.010 \times 400 = 2.01\,v$: $v = 2.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; después, energía: $h = v^2/2g = 0.20\,\mathrm{m}$. $E_k$: $800\,\mathrm{J}$ antes y $\tfrac12 \times
2.01 \times 4.0 = 4.0\,\mathrm{J}$ después: un $99.5\%$ perdido en deformación y calor. El impacto es inelástico — la energía no se conserva a través de él, la cantidad de movimiento sí (la tensión del hilo es vertical y el impacto brevísimo).

**Ejercicio 19.12 ★★★.**

Choque elástico frontal de $m_1$ a $v_1$ contra $m_2$ en reposo: dedúzcanse $v_1' = \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2}v_1$ y $v_2' = \frac{2m_1}{m_1 + m_2}v_1$. Fracción de energía transferida cuando un neutrón choca con un protón; con un núcleo de carbono ($12m_n$); con uno de plomo ($207m_n$). ¿Por qué se moderan los reactores con núcleos ligeros?

**Solución de Ejercicio 19.12.**

$m_1v_1 = m_1v_1' + m_2v_2'$ y $m_1v_1^2 = m_1v_1'^2 + m_2v_2'^2$ dan $v_1 + v_1' = v_2'$ (divídase la ecuación de la energía por la de la cantidad de movimiento), de donde las fórmulas. Fracción de energía cedida al blanco $4m_1m_2/(m_1 + m_2)^2$: protón, $100\%$; carbono, $4 \times 12/169 = 28\%$; plomo, $4 \times 207/208^2 =
1.9\%$. Los núcleos ligeros se quedan con la energía del neutrón en unos pocos choques (agua, grafito); el plomo necesitaría centenares.

![Un yoyó que se desenrolla: el centro de masas cae, el disco gira y la tensión de la cuerda es lo que ata los dos movimientos — el problema de fin de semana.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-systems-of-points/img-01bcb8be8e85.jpg)

*Un yoyó que se desenrolla: el [centro de masas](#def-b1-systems-of-points-cm) cae, el disco gira y la tensión de la cuerda es lo que ata los dos movimientos — el problema de fin de semana.*

## 19.6 Problema: el yoyó

**Problema 19.1.**

Problema de fin de semana — un disco sobre un eje fino al final de una cuerda: por qué cae tan despacio, a qué velocidad gira abajo, por qué “duerme” allí y hacia dónde rueda un carrete cuando se tira de su hilo

Un yoyó es un disco homogéneo de masa $M = 50\,\mathrm{g}$ y radio $R =
3.0\,\mathrm{cm}$ con un eje fino de radio $r = 0.40\,\mathrm{cm}$ en torno al cual se enrolla una cuerda de longitud $h = 1.0\,\mathrm{m}$; el extremo superior de la cuerda se mantiene fijo. $g = 9.81\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$; $J = \tfrac12 MR^2$ respecto del eje.

**Parte I — Cinemática y energía.**

1. ¿Dónde está el [centro de masas](#def-b1-systems-of-points-cm) $G$ del yoyó? ¿Por qué?
2. Muéstrese, con el teorema de König, que su [energía cinética](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/13-trabajo-energia-y-energia-potencial#thm-b1-work-and-energy-ke) vale $\tfrac12  Mv_G^2 + \tfrac12 J\omega^2$ .
3. Dedúzcase $J = \tfrac12 MR^2$ integrando anillo a anillo, y calcúlese $J$ .
4. A medida que la cuerda se desenrolla del eje sin deslizar, relaciónense $v_G$ y $\omega$ .
5. Dedúzcase $E_k = \tfrac12 Mv_G^2(1 + R^2/2r^2)$ y calcúlese el factor entre paréntesis. Coméntese.

**Parte II — La caída.**

6. Fuerzas sobre el yoyó; escríbase el [teorema del centro de masas](#thm-b1-systems-of-points-cmtheorem) (eje vertical hacia abajo).
7. Escríbase el [teorema del momento angular](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/15-momento-angular#thm-b1-angular-momentum-theorem) respecto del eje que pasa por $G$ (¿qué fuerzas tienen momento?).
8. Combínese con la pregunta 4 para hallar la aceleración $a_G = g/(1 +  R^2/2r^2)$ ; calcúlese.
9. Calcúlese la tensión de la cuerda y compárese con el peso.
10. Tiempo que tarda en desenrollarse el metro de cuerda y rapidez entonces; compárese con una piedra soltada desde la misma altura.
11. [Velocidad angular](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/11-cinematica-del-punto#cor-b1-point-kinematics-circular) abajo, en rad/s y en vueltas por minuto.
12. Sepárese la [energía cinética](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/13-trabajo-energia-y-energia-potencial#thm-b1-work-and-energy-ke) abajo en sus partes de traslación y de rotación.
13. Compruébese el balance energético: compárese $Mgh$ con la [energía cinética](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/13-trabajo-energia-y-energia-potencial#thm-b1-work-and-energy-ke) abajo y dígase por qué la tensión de la cuerda, aun siendo grande, no trabaja.

**Parte III — Abajo: el yoyó que duerme.** Cuando la cuerda está del todo desenrollada, detiene el [centro de masas](#def-b1-systems-of-points-cm) en unos pocos milisegundos; el yoyó sigue girando en el lazo del extremo de la cuerda (“durmiendo”).

14. ¿Por qué sobrevive el giro a la detención de $G$ ? (¿Qué teorema, y qué fuerza habría hecho falta para detenerlo?)
15. Estímese la tensión media durante la detención si $G$ se para en $5\,\mathrm{ms}$ .
16. El lazo roza contra el eje con un momento de rozamiento $\Gamma =  1.0 \times 10^{-4}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}$ : ¿cuánto tiempo duerme el yoyó?
17. Un tirón seco hacia arriba hace que la cuerda vuelva a agarrar el eje; el yoyó, girando, sube entonces. Con la energía, ¿hasta qué altura podría subir si no se perdiera nada? ¿Por qué menos en la práctica?
18. Durante la subida, ¿es la tensión mayor o menor que el peso? (Signo de $a_G$ .)
19. ¿Qué ocurriría con un yoyó cuyo eje tuviera radio $R$ (cuerda enrollada en el borde)? Calcúlese su aceleración de caída.

**Parte IV — El carrete sobre la mesa.** El mismo objeto se apoya en una mesa rugosa, con el eje horizontal, y su hilo sale horizontalmente por la parte *inferior* del eje; se tira con una fuerza $F$. Rueda sin deslizar.

20. En el punto de contacto $C$ con la mesa, ¿cuál es la velocidad del material del carrete? Dedúzcase que el movimiento es, en cada instante, una rotación en torno a $C$ .
21. Calcúlese el momento de $F$ respecto de $C$ ( [brazo de palanca](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/15-momento-angular#def-b1-angular-momentum-moment) $R - r$ ) y el del peso y el de la reacción de la mesa.
22. Con el [teorema del momento angular](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/15-momento-angular#thm-b1-angular-momentum-theorem) respecto de $C$ y $J_C = J +  MR^2$ (Huygens), hállese $a_G$ y muéstrese que el carrete rueda *hacia* la mano.
23. Ahora se tira del hilo con un ángulo $\beta$ sobre la horizontal. Muéstrese que el carrete no rueda cuando la recta de acción de $F$ pasa por $C$ , es decir cuando $\cos\beta = r/R$ , y que rueda alejándose de la mano con tirones más inclinados. Calcúlese ese ángulo.
24. Calcúlese $a_G$ para $F = 0.20\,\mathrm{N}$ tirando en horizontal, y la fuerza de rozamiento necesaria; ¿qué limita $F$ antes de que el carrete deslice?
25. Resúmase: los tres teoremas usados ( [centro de masas](#def-b1-systems-of-points-cm) , [momento angular](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/15-momento-angular#def-b1-angular-momentum-L) respecto de un eje y energía) y qué decidió cada uno.

**Solución de Problema 19.1.**

**1.** Sobre el eje, en el centro del disco, por simetría.

**2.** König: $E_k = \tfrac12 Mv_G^2 + E_k^*$, y en el [sistema baricéntrico](#def-b1-systems-of-points-barycentric) el yoyó gira sobre su eje: $E_k^* = \tfrac12 J\omega^2$.

**3.** Anillo de radio $\rho$ y masa $2M\rho\,\dd\rho/R^2$: $J = \int_0^R
\rho^2\cdot 2M\rho\,\dd\rho/R^2 = MR^2/2 = 0.5 \times 0.050 \times 9\times10^{-4}
= 2.25 \times 10^{-5}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}$.

**4.** La cuerda está fija y se desenrolla del eje: el punto del eje en contacto con ella está momentáneamente en reposo, luego $v_G = r\omega$.

**5.** $E_k = \tfrac12 Mv_G^2 + \tfrac12(\tfrac12 MR^2)(v_G/r)^2 = \tfrac12
Mv_G^2(1 + R^2/2r^2)$; $R^2/2r^2 = 9/(2 \times 0.16) = 28$: factor $29$ — casi toda la energía está en el giro.

**6.** Peso $Mg$ hacia abajo y tensión $T$ hacia arriba: $Ma_G = Mg - T$.

**7.** Solo la tensión tiene momento respecto del eje ([brazo de palanca](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/15-momento-angular#def-b1-angular-momentum-moment) $r$): $J\dot\omega = Tr$.

**8.** $\dot\omega = a_G/r$: $T = Ja_G/r^2 = (R^2/2r^2)Ma_G$; entonces $Ma_G = Mg - (R^2/2r^2)Ma_G$, $a_G = g/29 = 0.34\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$.

**9.** $T = M(g - a_G) = 0.050 \times 9.47 = 0.47\,\mathrm{N}$, el $97\%$ del peso: la cuerda casi lo sostiene.

**10.** $t = \sqrt{2h/a_G} = 2.4\,\mathrm{s}$; $v_G = a_Gt = 0.82\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Una piedra: $0.45\,\mathrm{s}$ y $4.4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

**11.** $\omega = v_G/r = 205\,\mathrm{rad}/\mathrm{s} = 1960\,\mathrm{rpm}$.

**12.** $\tfrac12 Mv_G^2 = 0.017\,\mathrm{J}$ frente a $\tfrac12 J\omega^2 =
0.47\,\mathrm{J}$: $28$ veces más energía en el giro que en la caída.

**13.** $Mgh = 0.49\,\mathrm{J}$; $\tfrac12 Mv_G^2 \times 29 = 0.5 \times 0.050
\times 0.67 \times 29 = 0.49\,\mathrm{J}$. La tensión actúa en el punto de la cuerda que está en reposo (la cuerda no se mueve): potencia nula.

**14.** La fuerza que lo detiene actúa según la cuerda, pasando por el eje: no tiene momento respecto de él y el [momento angular](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/15-momento-angular#def-b1-angular-momentum-L) $J\omega$ queda intacto. Solo una fuerza tangencial (rozamiento en el eje) podría frenar el giro.

**15.** $T \approx Mv_G/\Delta t + Mg = 0.050 \times 0.82/0.005 + 0.49 =
8.7\,\mathrm{N}$, dieciocho veces el peso — de ahí el tirón que siente el dedo.

**16.** $J\dot\omega = -\Gamma$: $t = J\omega/\Gamma = 2.25\times10^{-5} \times
205/10^{-4} = 46\,\mathrm{s}$.

**17.** Toda la energía de giro $\tfrac12 J\omega^2 = 0.47\,\mathrm{J}$ se convierte en $Mgh'$: $h' = 0.96\,\mathrm{m}$, casi la altura entera; menos en la práctica por el rozamiento del eje durante el sueño y por las pérdidas del tirón.

**18.** $a_G$ apunta hacia abajo (el yoyó frena al subir) mientras $v_G$ apunta hacia arriba: $T = M(g - a_G) < Mg$ — menor que el peso.

**19.** $r = R$: factor $1 + 1/2 = 1.5$, $a_G = 2g/3 = 6.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ — caída rápida y poco giro: un eje fino es lo que hace a un yoyó.

**20.** [Rodadura sin deslizamiento](#ex-b1-systems-of-points-rolling): el [punto material](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/11-cinematica-del-punto#def-b1-point-kinematics-frame) en $C$ tiene velocidad nula; el campo de velocidades de un [sólido rígido](#def-b1-systems-of-points-solid) con un punto en reposo es una rotación en torno a ese punto (eje por $C$, el mismo $\omega$).

**21.** $F$ actúa en la parte baja del eje, a una altura $R - r$ sobre la mesa y en horizontal hacia la mano: momento $F(R - r)$ respecto de $C$ en el sentido que hace rodar el carrete hacia la mano; el peso y la reacción pasan por $C$ (sin momento).

**22.** $(J + MR^2)\dot\omega = F(R - r)$, $a_G = R\dot\omega = FR(R - r)/
(\tfrac32 MR^2) = 2F(R - r)/3MR > 0$: hacia la mano.

**23.** La recta de acción de $F$ pasa por $C$ cuando el hilo que sale de la parte baja del eje encuentra la mesa en $C$: $\cos\beta = r/R$, $\beta = 82^\circ$. Más inclinado: el momento respecto de $C$ se invierte y el carrete rueda alejándose (y, con $\beta$ bastante grande, se levanta).

**24.** $a_G = 2 \times 0.20 \times 0.026/(3 \times 0.050 \times 0.030) =
2.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$; el rozamiento sale de $Ma_G = F - f$ (se opone a $F$): $f = 0.20 - 0.050 \times 2.3 = 0.085\,\mathrm{N}$; ha de mantenerse por debajo de $\mu_sMg
\approx 0.2\,\mathrm{N}$ (con $\mu_s = 0.4$), es decir $F \lesssim 0.5\,\mathrm{N}$.

**25.** [Centro de masas](#def-b1-systems-of-points-cm): la traslación de $G$ y la tensión; [momento angular](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/15-momento-angular#def-b1-angular-momentum-L) respecto de un eje: el giro y el sentido de rodadura; energía: la rapidez abajo y la altura de la subida.