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title: "Teoría cinética y gas perfecto"
book: "Física universitaria — primer año"
subject: physics
language: es
chapter: 20
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/20-teoria-cinetica-y-gas-perfecto
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# Capítulo 20 — Teoría cinética y gas perfecto

El aire de un aula pesa tanto como un hombre adulto y contiene más moléculas que granos de arena hay en la Tierra, cada una volando a la velocidad de la bala de un fusil y chocando diez mil millones de veces por segundo con sus vecinas. Nadie puede seguir a una de ellas; nadie necesita hacerlo. Un puñado de promedios — [presión](#def-b1-kinetic-theory-pressure), [temperatura](#def-b1-kinetic-theory-temperature), volumen, cantidad de sustancia — describe el aire por completo para cualquier fin de la ingeniería, y una imagen sencilla de moléculas que rebotan en las paredes explica de dónde salen esos promedios y cómo se relacionan. Este capítulo abre la parte de termodinámica del volumen mirando la materia por los dos extremos: el caos microscópico y la calma macroscópica, y la teoría cinética que los conecta en el caso del [gas perfecto](#def-b1-kinetic-theory-model).

## 20.1 Dos escalas de descripción

**Definición 20.1 (Escalas microscópica y macroscópica).**

A escala *microscópica*, la materia está hecha de moléculas: $1\,\mathrm{mol}$ contiene $N_A = 6.02 \times 10^{23}\,$ de ellas, cada una de unos $0.3\,\mathrm{nm}$ de tamaño; en un gas en condiciones ordinarias distan $3\,\mathrm{nm}$, se mueven a centenares de metros por segundo y chocan cada $70\,\mathrm{nm}$ aproximadamente. A escala *macroscópica*, un sistema se describe con unas pocas *[variables de estado](#def-b1-kinetic-theory-equilibrium)* — [presión](#def-b1-kinetic-theory-pressure) $P$, volumen $V$, [temperatura](#def-b1-kinetic-theory-temperature) $T$, cantidad de sustancia $n$ — que son promedios sobre números enormes de moléculas. Una variable es *extensiva* si se duplica al duplicar el sistema ($V$, $n$, la masa, la energía), e *intensiva* si no ($P$, $T$, la densidad).

**Definición 20.2 (Equilibrio termodinámico).**

Un sistema está en *equilibrio termodinámico* cuando sus variables de estado son uniformes y constantes en el tiempo y no lo atraviesa ningún flujo macroscópico de materia ni de energía. Solo entonces están definidas $P$ y $T$ para el conjunto del sistema; la *ecuación de estado* las liga con $V$ y $n$.

**Definición 20.3 (Presión).**

Un fluido en reposo empuja sobre cada elemento de superficie $\dd S$ de una pared con una fuerza $\dd\vect F = P\,\dd S\,\vect n$ normal a ella y dirigida hacia la pared; $P$ es la *presión*, en pascales ($1\,\mathrm{Pa} = 1\,\mathrm{N}/\mathrm{m}^{2}$); $1\,\mathrm{bar}
= 1 \times 10^{5}\,\mathrm{Pa}$, $1\,\mathrm{atm} = 1.013 \times 10^{5}\,\mathrm{Pa}$. En un punto dado no depende de la orientación de la superficie ([Capítulo 21](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/21-estatica-de-fluidos#ch-b1-fluid-statics)).

**Definición 20.4 (Temperatura).**

Dos sistemas en contacto a través de una pared que deja pasar energía alcanzan, con el tiempo, un estado común: están entonces a la misma *temperatura*, y dos cuerpos en equilibrio cada uno con un tercero lo están entre sí (el *principio cero*). La escala kelvin queda fijada por $k_B = 1.380\,649 \times 10^{-23}\,\mathrm{J}/\mathrm{K}$ exactamente; en Celsius, $\theta = T - 273.15$. La teoría cinética que sigue da a $T$ su sentido microscópico.

## 20.2 El modelo cinético del gas perfecto

**Definición 20.5 (Gas perfecto, modelo microscópico).**

Un *gas perfecto* (gas ideal) es un conjunto de $N$ moléculas, tratadas como puntos de masa $m$, que se mueven libremente y al azar — sin más interacción que choques breves — dentro de un recipiente de volumen $V$. En el equilibrio, la distribución de velocidades es isótropa y estacionaria; $n^* = N/V$ es la densidad numérica y $\langle v^2\rangle$ la [velocidad cuadrática media](#def-b1-kinetic-theory-kinetictemp).

**Teorema 20.6 (Presión cinética).**

La [presión](#def-b1-kinetic-theory-pressure) que ejerce el gas sobre las paredes vale

$$
P = \tfrac13\,n^*m\langle v^2\rangle = \tfrac23\,n^*\langle\epsilon_k\rangle ,
$$

donde $\langle\epsilon_k\rangle = \tfrac12 m\langle v^2\rangle$ es la [energía cinética](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/13-trabajo-energia-y-energia-potencial#thm-b1-work-and-energy-ke) media de una molécula.

**Demostración parcial.** Tómese el modelo simplificado en el que todas las moléculas tienen rapidez $u$ y se mueven según los tres ejes, una sexta parte en cada sentido. Una molécula que golpea de frente la pared $x = 0$ rebota elásticamente y le entrega la cantidad de movimiento $2mu$. En un tiempo $\dd t$, las moléculas que se dirigen a la pared y alcanzan un área $S$ son las que están en la rodaja de espesor $u\,\dd t$, una sexta parte de las $n^*Su\,\dd t$ que allí hay. Fuerza $=$ cantidad de movimiento por unidad de tiempo $= (n^*Su\,\dd t/6)(2mu)/\dd t = \tfrac13 n^*mu^2S$, luego $P = \tfrac13 n^*mu^2$. Promediar sobre la distribución real de rapideces y direcciones sustituye $u^2$ por $\langle v^2\rangle$ (la isotropía da $\langle v_x^2\rangle = \tfrac13\langle v^2\rangle$); el volumen del Año 2 lo hace completo. ∎

![Izquierda: el origen cinético de la presión — las moléculas golpean una pared y rebotan, entregándole cantidad de movimiento; su número por segundo multiplicado por 2mu es la fuerza. Derecha: las rapideces reales están repartidas (distribución de Maxwell, aquí para el nitrógeno a dos temperaturas); la u única del modelo se sustituye por la velocidad cuadrática media.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-kinetic-theory/fig-3b6b48590eec.svg)

*Izquierda: el origen cinético de la [presión](#def-b1-kinetic-theory-pressure) — las moléculas golpean una pared y rebotan, entregándole cantidad de movimiento; su número por segundo multiplicado por $2mu$ es la fuerza. Derecha: las rapideces reales están repartidas (distribución de Maxwell, aquí para el nitrógeno a dos [temperaturas](#def-b1-kinetic-theory-temperature)); la $u$ única del modelo se sustituye por la [velocidad cuadrática media](#def-b1-kinetic-theory-kinetictemp).*

**Definición 20.7 (Temperatura cinética; ecuación de estado).**

La [temperatura](#def-b1-kinetic-theory-temperature) de un [gas perfecto](#def-b1-kinetic-theory-model) se *define* por la [energía cinética](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/13-trabajo-energia-y-energia-potencial#thm-b1-work-and-energy-ke) media de sus moléculas,

$$
\langle\epsilon_k\rangle = \tfrac12 m\langle v^2\rangle = \tfrac32 k_BT ,
$$

de modo que, combinando con [Teorema 20.6](#thm-b1-kinetic-theory-pressure),

$$
PV = Nk_BT = nRT, \qquad R = N_Ak_B = 8.314\,\mathrm{J}/(\mathrm{mol}\,\mathrm{K}) ,
$$

la *ecuación de estado del [gas perfecto](#def-b1-kinetic-theory-model)*. La *velocidad cuadrática media* vale $u = \sqrt{\langle v^2\rangle} = \sqrt{3k_BT/m} = \sqrt{3RT/M}$, donde $M$ es la masa molar.

**Ejemplo 20.8 (Cifras del aire).**

Nitrógeno a $300\,\mathrm{K}$: $u = \sqrt{3 \times 8.314 \times 300/0.028} =
517\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; hidrógeno, $1930\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; cuanto más pesado, más lento, como $1/\sqrt M$. A $1\,\mathrm{bar}$ y $300\,\mathrm{K}$, $n^* = P/k_BT = 2.4 \times 10^{25}\,\mathrm{m}^{-3}$: $24\,\mathrm{L}$ por [mol](#def-b1-kinetic-theory-scales) y $2.7 \times 10^{22}\,$ moléculas en un litro. Un aula de $200\,\mathrm{m}^{3}$: $8300\,\mathrm{mol}$, $240\,\mathrm{kg}$ de aire.

**Observación 20.9 (Por qué funciona el modelo y cuándo falla).**

Entre dos choques, una molécula de aire vuela un *[recorrido libre medio](#rem-b1-kinetic-theory-validity)* $\lambda \approx 1/(\sqrt2\pi d^2n^*) \approx 70\,\mathrm{nm}$ — doscientas veces su tamaño: el gas está casi vacío, las interacciones son raras y $PV = nRT$ vale con un error menor del uno por ciento a presiones ordinarias. A [presión](#def-b1-kinetic-theory-pressure) alta o [temperatura](#def-b1-kinetic-theory-temperature) baja, el volumen propio de las moléculas y su atracción importan: la ecuación de van der Waals $(P + an^2/V^2)(V - nb) = nRT$ corrige ambas cosas, y por debajo de una [temperatura](#def-b1-kinetic-theory-temperature) crítica el gas se licúa ([Capítulo 25](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/25-cambios-de-estado-de-un-cuerpo-puro#ch-b1-phase-changes)).

![El diagrama de Clapeyron de un gas perfecto: a cada temperatura la isoterma es una hipérbola P = nRT/V, más alta cuanto mayor es T. Una transformación es un camino en este plano; un ciclo, un lazo cerrado ().](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-kinetic-theory/fig-88dd257441ff.svg)

*El diagrama de Clapeyron de un [gas perfecto](#def-b1-kinetic-theory-model): a cada [temperatura](#def-b1-kinetic-theory-temperature) la isoterma es una hipérbola $P = nRT/V$, más alta cuanto mayor es $T$. Una transformación es un camino en este plano; un ciclo, un lazo cerrado ([Capítulo 24](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/24-maquinas-termicas#ch-b1-heat-engines)).*

## 20.3 Energía interna del gas perfecto

**Definición 20.10 (Energía interna).**

La *energía interna* $U$ de un sistema es la suma de las [energías cinéticas](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/13-trabajo-energia-y-energia-potencial#thm-b1-work-and-energy-ke) de sus moléculas en el sistema en el que el conjunto está en reposo y de sus [energías potenciales](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/13-trabajo-energia-y-energia-potencial#def-b1-work-and-energy-conservative) mutuas; es una función de estado extensiva.

**Proposición 20.11 (Energía interna de los gases perfectos).**

Para un [gas perfecto](#def-b1-kinetic-theory-model), $U$ depende solo de $T$ (primera ley de Joule):

$$
\begin{gather*}
U = \tfrac32 nRT \quad (\text{monoatómico: He, Ne, Ar}), \\
U = \tfrac52 nRT \quad (\text{diatómico a temperaturas ordinarias: N}_2, \text{O}_2, \text{H}_2),
\end{gather*}
$$

de modo que la capacidad calorífica molar a volumen constante $C_{V,m} = \dd U_m/\dd T$ vale $\tfrac32 R = 12.5\,\mathrm{J}/(\mathrm{mol}\,\mathrm{K})$ y $\tfrac52 R = 20.8\,\mathrm{J}/(\mathrm{mol}\,\mathrm{K})$ respectivamente.

**Demostración parcial.** Por hipótesis no hay [energía potencial](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/13-trabajo-energia-y-energia-potencial#def-b1-work-and-energy-conservative) mutua, luego $U = N\langle\epsilon_k\rangle
= \tfrac32 Nk_BT$ para moléculas puntuales. Una molécula diatómica gira además: cada uno de sus dos grados de libertad de rotación lleva, en el equilibrio, el mismo $\tfrac12 k_BT$ que cada uno de traslación (el teorema de *equipartición*, admitido; el volumen del Año 3 lo deduce y explica por qué la vibración solo se suma por encima de unos mil [kelvin](#def-b1-kinetic-theory-temperature)). ∎

**Ejemplo 20.12 (Lo que hay en un aula).**

Los $8300\,\mathrm{mol}$ de aire del aula a $300\,\mathrm{K}$: $U = \tfrac52 \times
8300 \times 8.314 \times 300 = 5.2 \times 10^{7}\,\mathrm{J}$ — la energía de litro y medio de gasolina, guardada en movimiento molecular. Calentar el aula $1$ K cuesta $\tfrac52 nR = 170\,\mathrm{kJ}$ (a volumen constante).

## 20.4 Fases condensadas

**Proposición 20.13 (Modelo de la fase incompresible e indilatable).**

Los líquidos y los sólidos se modelan, a este nivel, como fases de volumen fijo — ni compresibles ni dilatables — cuya [energía interna](#def-b1-kinetic-theory-U) depende solo de $T$: $\dd U = C\,\dd T$ con $C = mc$, siendo $c$ la capacidad calorífica específica ($4180\,\mathrm{J}/(\mathrm{kg}\,\mathrm{K})$ para el agua, $450\,\mathrm{J}/(\mathrm{kg}\,\mathrm{K})$ para el acero). Las desviaciones reales, pequeñas, las miden el coeficiente de [dilatación térmica](#prop-b1-kinetic-theory-condensed) $\alpha = (1/V)(\partial V/\partial T)_P$ ($\sim1 \times 10^{-5}\,\mathrm{K}^{-1}$ para los metales, $2 \times 10^{-4}\,\mathrm{K}^{-1}$ para los líquidos) y la compresibilidad isoterma $\chi_T = -(1/V)(\partial V/\partial P)_T$ ($\sim5 \times 10^{-10}\,\mathrm{Pa}^{-1}$ para el agua, frente a $1/P \approx 1 \times 10^{-5}\,\mathrm{Pa}^{-1}$ para un gas).

**Demostración.** *Admitido a este nivel.* ∎

**Ejemplo 20.14 (Cuán incompresible).**

El agua del fondo de la fosa de las Marianas ($1100\,\mathrm{bar}$) está comprimida en $\chi_T\Delta P \approx 5\times10^{-10} \times 1.1\times10^8 = 5\%$; un carril de acero de $30\,\mathrm{m}$ calentado $50$ K se alarga $\alpha L\Delta T =
18\,\mathrm{mm}$ — la razón de las juntas de dilatación. Frente a un gas, cuyo volumen se reduce a la mitad al duplicar la [presión](#def-b1-kinetic-theory-pressure), el modelo de volumen fijo es bueno con un error de pocos por ciento en casi todas las situaciones de este volumen.

## 20.5 Ejercicios

**Ejercicio 20.1 ★.**

Número de moléculas en $1.0\,\mathrm{L}$ de gas a $0{}^{\circ}\mathrm{C}$ y $1\,\mathrm{atm}$; distancia media entre vecinas; compárese con el tamaño molecular de $0.3\,\mathrm{nm}$.

**Solución de Ejercicio 20.1.**

$N = PV/k_BT = 1.013\times10^5 \times 10^{-3}/(1.38\times10^{-23} \times 273) =
2.7 \times 10^{22}$; $n^{*-1/3} = (3.7\times10^{-26})^{1/3} = 3.3\,\mathrm{nm}$, diez veces el tamaño molecular.

**Ejercicio 20.2 ★.**

[Velocidades cuadráticas medias](#def-b1-kinetic-theory-kinetictemp) de H$_2$, N$_2$, O$_2$ y CO$_2$ a $300\,\mathrm{K}$, y de N$_2$ a $77\,\mathrm{K}$ (nitrógeno en ebullición).

**Solución de Ejercicio 20.2.**

$u = \sqrt{3RT/M}$: H$_2$ $1930\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, N$_2$ $517\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, O$_2$ $484\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, CO$_2$ $412\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; N$_2$ a $77\,\mathrm{K}$: $262\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

**Ejercicio 20.3 ★.**

Un neumático de coche de $30\,\mathrm{L}$ se infla a una [presión](#def-b1-kinetic-theory-pressure) manométrica de $2.5\,\mathrm{bar}$ a $20{}^{\circ}\mathrm{C}$. Cantidad y masa de aire dentro; [presión](#def-b1-kinetic-theory-pressure) absoluta tras un trayecto que lo calienta a $50{}^{\circ}\mathrm{C}$.

**Solución de Ejercicio 20.3.**

$P = 3.5\,\mathrm{bar}$ absolutos: $n = PV/RT = 3.5\times10^5 \times 0.030/(8.314
\times 293) = 4.3\,\mathrm{mol}$, $125\,\mathrm{g}$. A $323\,\mathrm{K}$, con $P \propto T$: $3.86\,\mathrm{bar}$ (manométrica $2.85\,\mathrm{bar}$).

**Ejercicio 20.4 ★.**

Estímense el [recorrido libre medio](#rem-b1-kinetic-theory-validity) de las moléculas de aire a $1\,\mathrm{bar}$ y $300\,\mathrm{K}$ ($d = 0.37\,\mathrm{nm}$) y la frecuencia de choques de una molécula. ¿A qué [presión](#def-b1-kinetic-theory-pressure) llega el [recorrido libre medio](#rem-b1-kinetic-theory-validity) a $1\,\mathrm{m}$ (un “vacío”)?

**Solución de Ejercicio 20.4.**

$n^* = P/k_BT = 2.4 \times 10^{25}\,\mathrm{m}^{-3}$; $\lambda = 1/(\sqrt2\pi \times 1.37\times
10^{-19} \times 2.4\times10^{25}) = 6.8 \times 10^{-8}\,\mathrm{m}$; frecuencia $u/\lambda \approx
500/7\times10^{-8} = 7 \times 10^{9}\,\mathrm{s}^{-1}$. Como $\lambda \propto 1/P$: $1\,\mathrm{m}$ para $P \approx 10^5 \times 7\times10^{-8} = 7 \times 10^{-3}\,\mathrm{Pa}$.

**Ejercicio 20.5 ★★.**

Densidad del aire a $1.013\,\mathrm{bar}$ y $20{}^{\circ}\mathrm{C}$ ($M = 29\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$), y después a $100{}^{\circ}\mathrm{C}$. Fuerza ascensional de un globo aerostático de $2800\,\mathrm{m}^{3}$ (diferencia de los dos pesos de aire).

**Solución de Ejercicio 20.5.**

$\rho = PM/RT$: $1.20\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ a $293\,\mathrm{K}$ y $0.946\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ a $373\,\mathrm{K}$. Fuerza ascensional $(1.20 - 0.95) \times 2800 \times 9.81 = 7.0\,\mathrm{kN}$: unos $720\,\mathrm{kg}$.

**Ejercicio 20.6 ★★.**

El aire tiene un $21\%$ de O$_2$ en moléculas. [Presión](#def-b1-kinetic-theory-pressure) parcial del oxígeno a nivel del mar; a $5000\,\mathrm{m}$, donde $P = 0.54\,\mathrm{atm}$; y en la cima del Everest ($0.33\,\mathrm{atm}$). ¿Por qué sufre allí el organismo?

**Solución de Ejercicio 20.6.**

$P_{\mathrm{O}_2} = 0.21P$: $0.21\,\mathrm{atm}$; $0.11\,\mathrm{atm}$ a $5000\,\mathrm{m}$; $0.07\,\mathrm{atm}$ en el Everest — un tercio del nivel del mar. El oxígeno entra en la sangre en proporción a su [presión](#def-b1-kinetic-theory-pressure) parcial; a un tercio, los pulmones no logran saturar la hemoglobina.

**Ejercicio 20.7 ★★.**

Un [mol](#def-b1-kinetic-theory-scales) de CO$_2$ a $300\,\mathrm{K}$ en $1.0\,\mathrm{L}$: [presión](#def-b1-kinetic-theory-pressure) según la ley del [gas perfecto](#def-b1-kinetic-theory-model) y después según van der Waals ($a = 0.364\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{m}^{6}/\mathrm{mol}^{2}$, $b = 4.27 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{mol}$). ¿Qué corrección domina aquí?

**Solución de Ejercicio 20.7.**

[Gas perfecto](#def-b1-kinetic-theory-model): $P = RT/V = 2494/10^{-3} = 24.9\,\mathrm{bar}$. Van der Waals: $RT/(V - b) - a/V^2 = 2494/9.57\times10^{-4} - 0.364/10^{-6} = 26.1 - 3.6 =
22.4\,\mathrm{bar}$: la atracción ($-3.6$ [bar](#def-b1-kinetic-theory-pressure)) pesa más que el volumen excluido ($+1.2$ [bar](#def-b1-kinetic-theory-pressure)); el CO$_2$ real queda un $10\%$ por debajo del valor ideal.

**Ejercicio 20.8 ★★.**

[Energía interna](#def-b1-kinetic-theory-U) del aire de una habitación de $50\,\mathrm{m}^{3}$ a $1\,\mathrm{bar}$ y $300\,\mathrm{K}$; energía para calentarlo $5\,\mathrm{K}$ a volumen constante; tiempo con un calefactor de $2\,\mathrm{kW}$ (sin pérdidas).

**Solución de Ejercicio 20.8.**

$n = PV/RT = 10^5 \times 50/(8.314 \times 300) = 2000\,\mathrm{mol}$; $U = \tfrac52
nRT = 1.25 \times 10^{7}\,\mathrm{J}$; $\Delta U = \tfrac52 nR \times 5 = 208\,\mathrm{kJ}$; $104\,\mathrm{s}$ con $2\,\mathrm{kW}$.

**Ejercicio 20.9 ★★.**

Un carril de acero de $30\,\mathrm{m}$ ($\alpha = 1.2 \times 10^{-5}\,\mathrm{K}^{-1}$) entre $-10{}^{\circ}\mathrm{C}$ y $40{}^{\circ}\mathrm{C}$: variación de longitud. Un anillo de latón ($\alpha = 1.9 \times 10^{-5}\,\mathrm{K}^{-1}$) de diámetro interior $49.95\,\mathrm{mm}$ ha de deslizarse sobre un eje de $50.00\,\mathrm{mm}$: ¿cuánto hay que calentarlo?

**Solución de Ejercicio 20.9.**

$\Delta L = \alpha L\Delta T = 1.2\times10^{-5} \times 30 \times 50 = 18\,\mathrm{mm}$. Anillo: $\Delta d/d = \alpha\Delta T = 0.05/49.95 = 10^{-3}$: $\Delta T = 10^{-3}/
1.9\times10^{-5} = 53\,\mathrm{K}$ (el agujero se dilata como el metal que lo rodea).

**Ejercicio 20.10 ★★★.**

Energía por molécula a $300\,\mathrm{K}$ ($\tfrac32 k_BT$) en julios y en eV; capacidades caloríficas molares $C_{V,m}$ del argón y del nitrógeno; ¿por qué es mayor la del nitrógeno pese a ser sus moléculas más ligeras?

**Solución de Ejercicio 20.10.**

$\tfrac32 k_BT = 6.2 \times 10^{-21}\,\mathrm{J} = 0.039\,\mathrm{eV}$. Argón, $\tfrac32 R =
12.5\,\mathrm{J}/(\mathrm{mol}\,\mathrm{K})$; nitrógeno, $\tfrac52 R = 20.8\,\mathrm{J}/(\mathrm{mol}\,\mathrm{K})$: la molécula diatómica almacena energía también en la rotación (dos grados de libertad más), sea cual sea su masa.

**Ejercicio 20.11 ★★★.**

Repítase la deducción de la [presión cinética](#thm-b1-kinetic-theory-pressure) en el modelo de las seis direcciones y muéstrese después que, para una distribución isótropa de velocidades, $\langle v_x^2\rangle
= \tfrac13\langle v^2\rangle$ y que la fórmula de la [presión](#def-b1-kinetic-theory-pressure) no cambia.

**Solución de Ejercicio 20.11.**

Modelo de las seis direcciones: como en el texto, $P = \tfrac13 n^*mu^2$. Isotropía: $\langle v_x^2\rangle = \langle v_y^2\rangle = \langle v_z^2\rangle$ y su suma vale $\langle v^2\rangle$, luego cada uno es $\tfrac13\langle v^2\rangle$. El argumento del flujo con una distribución da $P = n^*m\langle v_x^2\rangle$ (las moléculas con $v_x > 0$ golpean la pared, con cantidad de movimiento $2mv_x$ cada una y flujo $n^*v_x/2$ por clase de rapidez, promediado), es decir $\tfrac13 n^*m\langle v^2\rangle$: lo mismo.

**Ejercicio 20.12 ★★★.**

[Velocidades cuadráticas medias](#def-b1-kinetic-theory-kinetictemp) de H$_2$ y O$_2$ a $300\,\mathrm{K}$ comparadas con la [velocidad de escape](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/16-fuerzas-centrales-planetas-y-satelites#prop-b1-central-forces-escape) de la Tierra y con la de la Luna ($2.4\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$). Sabiendo que la fracción de moléculas más rápidas que $3u$ es pequeña pero no nula, explíquese por qué la Tierra ha perdido su hidrógeno y la Luna su atmósfera entera.

**Solución de Ejercicio 20.12.**

H$_2$: $1.9\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$, O$_2$: $0.48\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$; Tierra $11.2\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$, Luna $2.4\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$. Para el O$_2$ en la Tierra, $v_e/u = 23$: la cola de la distribución más allá de eso es del todo despreciable; para el H$_2$, $v_e/u \approx 6$: una fracción ínfima pero constante escapa cada año y, en miles de millones de años, el hidrógeno desaparece. En la Luna, $v_e/u$ vale $5$ para el O$_2$ y $1.2$ para el H$_2$: todo se fugó.

## 20.6 Problema: el aire del aula

**Problema 20.1.**

Problema de fin de semana — un aula llena de aire: contar sus moléculas, pesarlas, cronometrar sus vuelos y recuperar del mismo modelo la fuerza ascensional de un globo, la delgadez del aire de montaña y la velocidad del sonido

Un aula mide $10 \times 8 \times 2.5\,\mathrm{m}$; su aire está a $P = 1.013 \times 10^{5}\,\mathrm{Pa}$ y $T = 293\,\mathrm{K}$, con masa molar $M = 29.0\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$, un $79\%$ de N$_2$ y un $21\%$ de O$_2$ en moléculas. $R = 8.314\,\mathrm{J}/(\mathrm{mol}\,\mathrm{K})$, $k_B = 1.38 \times 10^{-23}\,\mathrm{J}/\mathrm{K}$, $N_A = 6.02 \times 10^{23}$, $g = 9.81\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$.

**Parte I — Contar y pesar.**

1. Cantidad de aire (en [moles](#def-b1-kinetic-theory-scales) ) y número de moléculas del aula.
2. Masa del aire; compárese con una persona.
3. Densidad numérica $n^*$ y distancia media entre moléculas ( $n^{*-1/3}$ ); compárese con el diámetro molecular $0.37\,\mathrm{nm}$ .
4. [Velocidad cuadrática media](#def-b1-kinetic-theory-kinetictemp) del N $_2$ y del O $_2$ ; ¿por qué se mueve más despacio el gas más pesado a la misma [temperatura](#def-b1-kinetic-theory-temperature) ?
5. [Energía cinética](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/13-trabajo-energia-y-energia-potencial#thm-b1-work-and-energy-ke) media de una molécula; [energía cinética](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/13-trabajo-energia-y-energia-potencial#thm-b1-work-and-energy-ke) de traslación total del aire del aula; compárese con la [energía cinética](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/13-trabajo-energia-y-energia-potencial#thm-b1-work-and-energy-ke) de un coche a $100\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ .
6. [Recorrido libre medio](#rem-b1-kinetic-theory-validity) $\lambda \approx 1/(\sqrt2\pi d^2n^*)$ y tiempo medio entre choques de una molécula.

**Parte II — La [presión](#def-b1-kinetic-theory-pressure) a partir de los impactos.**

7. Con el modelo de las seis direcciones y $u = 500\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , calcúlese el número de impactos por segundo sobre $1\,\mathrm{cm}^{2}$ de pared.
8. Calcúlese la cantidad de movimiento entregada por segundo y compruébese que reproduce la [presión](#def-b1-kinetic-theory-pressure) atmosférica.
9. Fuerza total del aire sobre una pared de $8\,\mathrm{m}$ por $2.5\,\mathrm{m}$ ; ¿por qué no se mueve la pared?
10. El aula se calienta hasta $303\,\mathrm{K}$ con las ventanas cerradas y selladas: nueva [presión](#def-b1-kinetic-theory-pressure) y fuerza neta sobre la pared.
11. El mismo calentamiento con una ventana abierta: ¿qué sale y cuánto?

**Parte III — El empuje.**

12. Densidad del aire del aula y del aire a $373\,\mathrm{K}$ a la misma [presión](#def-b1-kinetic-theory-pressure) .
13. Un globo aerostático de $2800\,\mathrm{m}^{3}$ se llena con aire a $373\,\mathrm{K}$ : peso del aire caliente, peso del aire frío desalojado y fuerza ascensional disponible (Arquímedes, [Capítulo 21](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/21-estatica-de-fluidos#ch-b1-fluid-statics) ).
14. La envoltura, la cesta, el quemador y el gas pesan $300\,\mathrm{kg}$ : ¿cuántos pasajeros de $75\,\mathrm{kg}$ puede elevar?
15. ¿Hasta qué [temperatura](#def-b1-kinetic-theory-temperature) habría que calentar el aire para duplicar la fuerza ascensional, y por qué no se hace (la envoltura es de nailon)?
16. Un globo de helio del mismo volumen a $293\,\mathrm{K}$ ( $M = 4\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$ ): ¿fuerza ascensional? ¿Por qué usan aun así aire caliente los globos turísticos?

**Parte IV — Aire enrarecido y velocidad del sonido.**

17. [Presión](#def-b1-kinetic-theory-pressure) parcial del oxígeno en el aula.
18. En la cima del Everest, $P = 0.33\,\mathrm{atm}$ y $T \approx 250\,\mathrm{K}$ : densidad numérica de moléculas de oxígeno comparada con la del aula.
19. La [presión](#def-b1-kinetic-theory-pressure) atmosférica cae con la altura aproximadamente como $P(z) = P_0\eu^{-z/H}$ con $H = RT/Mg$ ( [Capítulo 21](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/21-estatica-de-fluidos#ch-b1-fluid-statics) ): calcúlense $H$ para $260\,\mathrm{K}$ y la altura a la que $P = P_0/2$ .
20. La velocidad del sonido en un [gas perfecto](#def-b1-kinetic-theory-model) vale $c_s = \sqrt{\gamma RT/M}$ con $\gamma = 1.4$ para el aire ( [Capítulo 22](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/22-el-primer-principio-de-la-termodinamica#ch-b1-first-law) ): calcúlese a $293\,\mathrm{K}$ y compárese con la [velocidad cuadrática media](#def-b1-kinetic-theory-kinetictemp) ; interprétese la proximidad.
21. ¿Cómo varía $c_s$ con $T$ ? Velocidad del sonido en el aula a $303\,\mathrm{K}$ y en helio a $293\,\mathrm{K}$ ( $\gamma = 5/3$ ): ¿por qué suena aguda una voz con helio?
22. En la cima del Everest, ¿es el sonido más rápido o más lento que en el aula? ¿En cuánto?
23. Se sustituye el aire del aula por argón a los mismos $P$ y $T$ : ¿qué cambia en el recuento, en la masa, en las rapideces y en la [energía interna](#def-b1-kinetic-theory-U) ?
24. [Energía interna](#def-b1-kinetic-theory-U) del aire del aula ( $U = \tfrac52 nRT$ ) y energía para calentarlo $10\,\mathrm{K}$ a volumen constante.
25. Resúmase en tres líneas lo que ha dado el modelo cinético: qué magnitudes macroscópicas ha explicado y a partir de qué único promedio microscópico.

**Solución de Problema 20.1.**

**1.** $V = 200\,\mathrm{m}^{3}$: $n = PV/RT = 1.013\times10^5 \times 200/(8.314
\times 293) = 8320\,\mathrm{mol}$; $N = nN_A = 5.0 \times 10^{27}$.

**2.** $m = nM = 241\,\mathrm{kg}$: tres personas.

**3.** $n^* = N/V = 2.5 \times 10^{25}\,\mathrm{m}^{-3}$; distancia $n^{*-1/3} = 3.4\,\mathrm{nm}$, nueve diámetros moleculares.

**4.** N$_2$: $\sqrt{3 \times 8.314 \times 293/0.028} = 511\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; O$_2$: $478\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. El mismo $\tfrac32 k_BT$ por molécula: $\tfrac12 mu^2$ fijo, luego $u \propto 1/\sqrt m$.

**5.** $\tfrac32 k_BT = 6.1 \times 10^{-21}\,\mathrm{J}$; en total $N \times 6.1\times10^{-21}
= 3.0 \times 10^{7}\,\mathrm{J}$; un coche de $1000\,\mathrm{kg}$ a $100\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$: $3.9 \times 10^{5}\,\mathrm{J}$ — el movimiento molecular del aula equivale a ochenta coches.

**6.** $\lambda = 1/(\sqrt2\pi \times 1.37\times10^{-19} \times 2.5\times10^{25})
= 66\,\mathrm{nm}$; tiempo $\lambda/u = 66\times10^{-9}/500 = 1.3 \times 10^{-10}\,\mathrm{s}$.

**7.** Impactos por segundo sobre $S$: $\tfrac16 n^*Su = \tfrac16 \times 2.5\times
10^{25} \times 10^{-4} \times 500 = 2.1 \times 10^{23}\,\mathrm{s}^{-1}$.

**8.** Cada uno entrega $2mu = 2 \times 4.8\times10^{-26} \times 500 = 4.8 \times 10^{-23}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ (con $m = M/N_A = 4.8 \times 10^{-26}\,\mathrm{kg}$): fuerza $2.1\times10^{23} \times 4.8\times10^{-23}
= 10\,\mathrm{N}$ sobre $1\,\mathrm{cm}^{2}$, es decir $1.0 \times 10^{5}\,\mathrm{Pa}$. El modelo reproduce la [presión](#def-b1-kinetic-theory-pressure) atmosférica.

**9.** $F = PS = 1.013\times10^5 \times 20 = 2.0 \times 10^{6}\,\mathrm{N}$ — doscientas toneladas; la misma [presión](#def-b1-kinetic-theory-pressure) actúa por el otro lado.

**10.** $P' = P \times 303/293 = 1.048 \times 10^{5}\,\mathrm{Pa}$; neto $\Delta P\,S = 3.5
\times10^3 \times 20 = 70\,\mathrm{kN}$ hacia fuera: siete toneladas sobre la pared.

**11.** Sale aire hasta que se igualan las presiones: $n \propto 1/T$ a $P$ y $V$ fijos: salen $8320 \times (1 - 293/303) = 275\,\mathrm{mol}$, $8\,\mathrm{kg}$.

**12.** $\rho = PM/RT$: $1.205\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ a $293\,\mathrm{K}$ y $0.946\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ a $373\,\mathrm{K}$.

**13.** Aire caliente $0.946 \times 2800 \times 9.81 = 26.0\,\mathrm{kN}$; aire frío desalojado $1.205 \times 2800 \times 9.81 = 33.1\,\mathrm{kN}$; fuerza ascensional $7.1\,\mathrm{kN}$ ($725\,\mathrm{kg}$).

**14.** $725 - 300 = 425\,\mathrm{kg}$: cinco pasajeros.

**15.** La fuerza ascensional es $\propto \rho_c - \rho_h = \rho_c(1 - 293/T)$: duplicar $1 - 293/373 = 0.215$ exige $T = 293/0.57 = 514\,\mathrm{K}$ ($240{}^{\circ}\mathrm{C}$), muy por encima de lo que tolera el nailon (unos $120{}^{\circ}\mathrm{C}$).

**16.** Helio: $\rho = 1.205 \times 4/29 = 0.166\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$; fuerza ascensional $(1.205 - 0.166) \times 2800 \times 9.81 = 28.5\,\mathrm{kN}$ ($2.9\,\mathrm{t}$), cuatro veces más — pero el helio es caro y se pierde en cada aterrizaje, mientras que el aire caliente es gratis y su empuje se regula con el quemador.

**17.** $0.21 \times 1.013\times10^5 = 2.1 \times 10^{4}\,\mathrm{Pa}$.

**18.** $n^*_{\mathrm{O}_2} = P_{\mathrm{O}_2}/k_BT$: aula, $2.1\times10^4/
(1.38\times10^{-23} \times 293) = 5.3 \times 10^{24}\,\mathrm{m}^{-3}$; Everest, $0.21 \times 0.33
\times 1.013\times10^5/(1.38\times10^{-23} \times 250) = 2.0 \times 10^{24}\,\mathrm{m}^{-3}$: un $38\%$ del aula.

**19.** $H = RT/Mg = 8.314 \times 260/(0.029 \times 9.81) = 7.6\,\mathrm{km}$; $P_0/2$ a $H\ln 2 = 5.3\,\mathrm{km}$.

**20.** $c_s = \sqrt{1.4 \times 8.314 \times 293/0.029} = 343\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, frente a $u = 503\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ para la mezcla: $c_s/u = \sqrt{\gamma/3} = 0.68$. El sonido es una perturbación que transportan las propias moléculas, así que viaja a una velocidad del orden de la suya — algo menor, porque solo cuenta la componente en la dirección de propagación.

**21.** $c_s \propto \sqrt T$: $343\sqrt{303/293} = 349\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Helio: $\sqrt{(5/3) \times 8.314 \times 293/0.004} = 1010\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$: las resonancias del tracto vocal escalan con $c_s$, de modo que todos los formantes suben tres veces.

**22.** Más lento: $343\sqrt{250/293} = 317\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, un $8\%$ menos; la [presión](#def-b1-kinetic-theory-pressure) no interviene.

**23.** El mismo $N$ (mismos $P$, $V$, $T$); masa $\times 40/29 = 333\,\mathrm{kg}$; rapideces $\times\sqrt{29/40}$: $u = 428\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; $U = \tfrac32 nRT$ en vez de $\tfrac52$: un $60\%$.

**24.** $U = \tfrac52 \times 8320 \times 8.314 \times 293 = 5.1 \times 10^{7}\,\mathrm{J}$; $\Delta U = \tfrac52 nR \times 10 = 1.7 \times 10^{6}\,\mathrm{J}$.

**25.** Un solo promedio, $\langle v^2\rangle$, fija la [presión](#def-b1-kinetic-theory-pressure) ($\tfrac13 n^*m\langle v^2\rangle$), define la [temperatura](#def-b1-kinetic-theory-temperature) ($\tfrac12 m\langle v^2\rangle = \tfrac32 k_BT$), da la ecuación de estado y la [energía interna](#def-b1-kinetic-theory-U), y marca la escala de la velocidad del sonido.