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title: "Máquinas térmicas"
book: "Física universitaria — primer año"
subject: physics
language: es
chapter: 24
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/24-maquinas-termicas
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# Capítulo 24 — Máquinas térmicas

Un motor de coche, una central eléctrica, un [frigorífico](#def-b1-heat-engines-machine) y una [bomba de calor](#def-b1-heat-engines-machine) son el mismo objeto visto por cuatro lados: un fluido que recorre un ciclo, en contacto por turnos con una fuente caliente y otra fría, intercambiando calor con ambas y trabajo con un eje. El primer principio lleva la contabilidad de la energía; el segundo, a través del balance de entropía a lo largo de un ciclo, fija el límite que ninguna astucia puede batir — el [teorema de Carnot](#thm-b1-heat-engines-carnot), la desigualdad de mayores consecuencias de toda la ingeniería. Este capítulo deduce ese límite, calcula el ciclo ideal y los reales que se le acercan (Otto, Diesel, Stirling), invierte la máquina para producir frío y calentar casas, y muestra cómo se paga, julio a julio, en [trabajo perdido](#thm-b1-heat-engines-lostwork), la entropía creada por una máquina real.

## 24.1 Máquinas cíclicas y los dos principios

**Definición 24.1 (Máquina termodinámica).**

Una *máquina termodinámica* es un [sistema cerrado](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/12-las-leyes-de-newton-de-la-dinamica#def-b1-newton-dynamics-conservation) (el fluido de trabajo) que recorre un *ciclo*, de modo que vuelve periódicamente al mismo estado, mientras intercambia un trabajo $W$ con el exterior y calores $Q_i$ con fuentes a las temperaturas $T_i$ — los *termostatos*, cuya temperatura no altera el intercambio. Una máquina *ditérmica* usa dos termostatos, la fuente caliente a $T_h$ y la fuente fría a $T_c < T_h$. Es un *motor* si entrega trabajo ($W < 0$), un *frigorífico* si se la acciona ($W > 0$) para tomar calor de la fuente fría, y una *bomba de calor* si se la acciona para dar calor a la caliente. Todas las magnitudes se cuentan a lo largo de un ciclo, algebraicamente, como recibidas por el fluido.

**Teorema 24.2 (Los dos principios en un ciclo; desigualdad de Clausius).**

A lo largo de un ciclo de una máquina ditérmica,

$$
W + Q_h + Q_c = 0 , \qquad
\frac{Q_h}{T_h} + \frac{Q_c}{T_c} = -S_{\mathrm{created}} \leq 0 ,
$$

con igualdad en la segunda relación si y solo si el ciclo es reversible. Más en general, para un número cualquiera de [termostatos](#def-b1-heat-engines-machine), $\sum_i Q_i/T_i \leq 0$ (*[desigualdad de Clausius](#thm-b1-heat-engines-clausius)*).

**Demostración.** $U$ y $S$ son funciones de estado, luego $\Delta U = 0$ y $\Delta S = 0$ a lo largo de un ciclo. El primer principio da $0 = W + Q_h + Q_c$; el balance de entropía ([Teorema 23.1](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/23-el-segundo-principio-la-entropia#thm-b1-second-law-entropy-secondlaw)) da $0 = S_{\mathrm{exch}} +
S_{\mathrm{created}}$ con $S_{\mathrm{exch}} = \sum Q_i/T_i$, porque cada [termostato](#def-b1-heat-engines-machine) intercambia a su propia temperatura fija ([Proposición 23.5](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/23-el-segundo-principio-la-entropia#prop-b1-second-law-entropy-thermostat)). ∎

**Corolario 24.3 (Kelvin de nuevo).**

Una máquina *monoterma* ($Q_c = 0$) tiene $Q_h \leq 0$, luego $W \geq 0$: ningún ciclo puede convertir en trabajo el calor de una sola fuente. Un barco no puede navegar enfriando el mar — un motor necesita una fuente fría a la que ceder calor, y el segundo principio dice cuánto ha de ceder.

![Los dos sentidos de un ciclo ditérmico. A la izquierda: el motor toma calor de la fuente caliente, cede parte de él a la fría y entrega la diferencia como trabajo. A la derecha: la misma máquina accionada al revés bombea calor de la fría a la caliente; es un frigorífico si lo que se quiere es Q_c, y una bomba de calor si lo que se quiere es |Q_h|.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-heat-engines/fig-020e57e7b2af.svg)

*Los dos sentidos de un ciclo ditérmico. A la izquierda: el motor toma calor de la fuente caliente, cede parte de él a la fría y entrega la diferencia como trabajo. A la derecha: la misma máquina accionada al revés bombea calor de la fría a la caliente; es un [frigorífico](#def-b1-heat-engines-machine) si lo que se quiere es $Q_c$, y una [bomba de calor](#def-b1-heat-engines-machine) si lo que se quiere es $|Q_h|$.*

## 24.2 El teorema de Carnot

**Definición 24.4 (Rendimiento y coeficientes de eficacia).**

El *rendimiento* de un motor es el trabajo entregado por unidad de calor tomado de la fuente caliente, $\eta = -W/Q_h$; el *coeficiente de eficacia* (COP) de un [frigorífico](#def-b1-heat-engines-machine) es el frío producido por unidad de trabajo, $e_f = Q_c/W$; el de una [bomba de calor](#def-b1-heat-engines-machine) es el calor entregado por unidad de trabajo, $e_p = -Q_h/W$. Cada uno es el cociente entre “lo que se quiere” y “lo que se paga”; un rendimiento vale a lo sumo 1, un coeficiente de eficacia puede superar 1.

**Teorema 24.5 (Carnot).**

Entre dos [termostatos](#def-b1-heat-engines-machine) $T_h > T_c$,

$$
\eta \leq \eta_C = 1 - \frac{T_c}{T_h}, \qquad
e_f \leq \frac{T_c}{T_h - T_c}, \qquad
e_p \leq \frac{T_h}{T_h - T_c} = 1 + \frac{T_c}{T_h - T_c},
$$

con igualdad si y solo si el ciclo es reversible. Las cotas solo dependen de las temperaturas — no del fluido ni del mecanismo.

**Demostración.** Para un motor ($Q_h > 0$): $\eta = -W/Q_h = (Q_h + Q_c)/Q_h = 1 + Q_c/Q_h$, y la [desigualdad de Clausius](#thm-b1-heat-engines-clausius) da $Q_c/Q_h \leq -T_c/T_h$. Para un [frigorífico](#def-b1-heat-engines-machine) ($Q_c > 0$, $W > 0$): $W = -Q_h - Q_c$ con $-Q_h \geq Q_c T_h/T_c$, luego $W \geq Q_c(T_h/T_c - 1)$ y $e_f = Q_c/W \leq T_c/(T_h - T_c)$. Para la [bomba de calor](#def-b1-heat-engines-machine), $e_p = -Q_h/W = (W + Q_c)/W = 1 + e_f$. La igualdad es el caso reversible $S_{\mathrm{created}} = 0$ en todo el ciclo. ∎

**Ejemplo 24.6 (Tres cifras).**

Una turbina de vapor entre $T_h = 800\,\mathrm{K}$ y un río a $T_c = 300\,\mathrm{K}$: $\eta_C = 0.625$; las centrales reales llegan a unos $0.40$. Un [frigorífico](#def-b1-heat-engines-machine) doméstico entre los $275\,\mathrm{K}$ del interior y una cocina a $298\,\mathrm{K}$: $e_f \leq 275/23 = 12$; las máquinas reales dan de $2$ a $4$. Una [bomba de calor](#def-b1-heat-engines-machine) que caldea una casa a $293\,\mathrm{K}$ con aire a $273\,\mathrm{K}$: $e_p \leq 293/20 = 14.7$; las bombas reales dan de $3$ a $5$ — aun así, de tres a cinco veces lo que la misma electricidad daría en una resistencia ([Problema 24.1](#pb-b1-heat-engines-1)).

**Observación 24.7 (Por qué el rendimiento no puede valer 1).**

Un motor recibe la entropía $Q_h/T_h$ con el calor que toma; el trabajo no se lleva ninguna; la única salida es el calor cedido a la fuente fría, que se lleva $|Q_c|/T_c$. Como la entropía no puede destruirse, hay que tirar al menos $Q_h T_c/T_h$ de calor, y el trabajo es lo que queda. Cuanto más baja la fuente fría y más alta la caliente, mejor — de ahí las torres de refrigeración y la búsqueda de álabes de turbina cada vez más calientes.

## 24.3 El ciclo de Carnot

**Definición 24.8 (Ciclo de Carnot).**

El *ciclo de Carnot* es el ciclo ditérmico reversible: dos isotermas reversibles, a $T_h$ (en contacto con la fuente caliente) y a $T_c$ (con la fría), unidas por dos tramos adiabáticos reversibles (isentrópicos, sin ninguna fuente en contacto). Recorrido en sentido horario en el plano $(V, P)$ es un motor; en sentido antihorario, un [frigorífico](#def-b1-heat-engines-machine) o una [bomba de calor](#def-b1-heat-engines-machine). En el [diagrama entrópico](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/23-el-segundo-principio-la-entropia#def-b1-second-law-entropy-TS) es un rectángulo.

**Proposición 24.9 (Ciclo de Carnot de un gas perfecto).**

Para $n$ [moles](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/20-teoria-cinetica-y-gas-perfecto#def-b1-kinetic-theory-scales) de [gas perfecto](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/20-teoria-cinetica-y-gas-perfecto#def-b1-kinetic-theory-model) que recorren $A \to B$ (isoterma $T_h$, expansión), $B \to C$ (adiabática), $C \to D$ (isoterma $T_c$, compresión), $D \to A$ (adiabática):

$$
Q_h = nRT_h\ln\frac{V_B}{V_A}, \qquad
Q_c = -nRT_c\ln\frac{V_B}{V_A}, \qquad
\eta = 1 - \frac{T_c}{T_h} ,
$$

el valor de Carnot — como ha de ser en todo ciclo ditérmico reversible.

**Demostración.** En una isoterma $\Delta U = 0$, luego $Q = -W = nRT\ln(V_{\text{final}}/
V_{\text{inicial}})$. En las adiabáticas $TV^{\gamma-1}$ es constante: $T_hV_B^{\gamma-1} = T_cV_C^{\gamma-1}$ y $T_hV_A^{\gamma-1} =
T_cV_D^{\gamma-1}$, de donde $V_C/V_D = V_B/V_A$ y $Q_c = nRT_c\ln(V_D/V_C) =
-nRT_c\ln(V_B/V_A)$. Entonces $\eta = 1 + Q_c/Q_h = 1 - T_c/T_h$. ∎

![El ciclo de Carnot de un gas perfecto. A la izquierda: en el diagrama de Clapeyron, dos isotermas y dos adiabáticas (más empinadas), recorridas en sentido horario; el área encerrada es el trabajo entregado. A la derecha: el mismo ciclo en el diagrama entrópico es un rectángulo de altura T_h - T_c y anchura Q_h/T_h; su área vale otra vez -W, y el cociente de esa área por la que hay bajo el lado superior, Q_h, es 1 - T_c/T_h a simple vista.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-heat-engines/fig-1d6a11640536.svg)

![El ciclo de Carnot de un gas perfecto. A la izquierda: en el diagrama de Clapeyron, dos isotermas y dos adiabáticas (más empinadas), recorridas en sentido horario; el área encerrada es el trabajo entregado. A la derecha: el mismo ciclo en el diagrama entrópico es un rectángulo de altura T_h - T_c y anchura Q_h/T_h; su área vale otra vez -W, y el cociente de esa área por la que hay bajo el lado superior, Q_h, es 1 - T_c/T_h a simple vista.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-heat-engines/fig-a7ec08597e47.svg)

*El [ciclo de Carnot](#def-b1-heat-engines-carnotcycle) de un [gas perfecto](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/20-teoria-cinetica-y-gas-perfecto#def-b1-kinetic-theory-model). A la izquierda: en el diagrama de Clapeyron, dos isotermas y dos adiabáticas (más empinadas), recorridas en sentido horario; el área encerrada es el trabajo entregado. A la derecha: el mismo ciclo en el [diagrama entrópico](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/23-el-segundo-principio-la-entropia#def-b1-second-law-entropy-TS) es un rectángulo de altura $T_h - T_c$ y anchura $Q_h/T_h$; su área vale otra vez $-W$, y el cociente de esa área por la que hay bajo el lado superior, $Q_h$, es $1 - T_c/T_h$ a simple vista.*

**Observación 24.10 (El ciclo de Carnot es un teorema, no un motor).**

Las isotermas reversibles exigen una transferencia de calor infinitamente lenta a través de un salto de temperatura que se anula: un motor de Carnot entrega su trabajo máximo a potencia nula. Las máquinas reales cambian [rendimiento](#def-b1-heat-engines-efficiency) por potencia aceptando diferencias finitas de temperatura en sus intercambiadores ([Ejercicio 24.10](#exo-b1-heat-engines-10)); el valor de Carnot sigue siendo el techo con el que se mide todo diseño.

## 24.4 Los ciclos reales de los motores

**Proposición 24.11 (Ciclo Otto).**

El motor de gasolina idealizado hace recorrer al aire ($\gamma$): $1 \to 2$ compresión adiabática de $V_1$ a $V_2$ (*[relación de compresión](#prop-b1-heat-engines-otto)* $r = V_1/V_2$); $2 \to 3$ calentamiento isócoro (la combustión); $3 \to 4$ expansión adiabática de vuelta a $V_1$; $4 \to 1$ enfriamiento isócoro (el escape). Su [rendimiento](#def-b1-heat-engines-efficiency) vale

$$
\eta_{\text{Otto}} = 1 - \frac{1}{r^{\gamma-1}} .
$$

**Demostración.** Solo se intercambia calor en las isócoras: $Q_h = nC_{V,m}(T_3 - T_2)$ y $Q_c = nC_{V,m}(T_1 - T_4)$. En las adiabáticas $TV^{\gamma-1}$ es constante: $T_2 = T_1r^{\gamma-1}$ y $T_3 = T_4r^{\gamma-1}$, luego $T_3 - T_2 =
(T_4 - T_1)r^{\gamma-1}$ y $\eta = 1 + Q_c/Q_h = 1 - (T_4 - T_1)/(T_3 - T_2) = 1 - r^{1-\gamma}$. ∎

**Ejemplo 24.12 (Cifras de un motor de gasolina).**

$r = 9$, $\gamma = 1.4$: $9^{0.4} = 2.41$ y $\eta = 0.58$. Un motor real da alrededor de $0.30$: la combustión no es instantánea, el gas no es perfecto a $2500\,\mathrm{K}$, se fuga calor por las paredes, y el rozamiento y el bombeo se llevan su parte. Subir $r$ ayuda — hasta que la mezcla de aire y combustible se enciende sola al final de la compresión (el picado); el motor diésel convierte ese vicio en su principio.

**Proposición 24.13 (Ciclo Diesel).**

Sustitúyase el calentamiento isócoro del [ciclo Otto](#prop-b1-heat-engines-otto) por uno isobaro, de $V_2$ a $V_3 = \rho V_2$ (*relación de inyección* $\rho > 1$): el combustible inyectado en un aire ya caliente por una [relación de compresión](#prop-b1-heat-engines-otto) $r$ de $15$ a $22$ arde según llega. Entonces

$$
\eta_{\text{Diesel}} = 1 - \frac{1}{r^{\gamma-1}}\,\frac{\rho^{\gamma} - 1}{\gamma(\rho - 1)} ,
$$

menor que el valor Otto para la misma $r$, pero alcanzado con $r$ mucho mayores y, por tanto, mayor en la práctica ($0.40$ a $0.45$ en los motores grandes).

**Demostración.** $Q_h = nC_{P,m}(T_3 - T_2)$, $Q_c = nC_{V,m}(T_1 - T_4)$, luego $\eta = 1 -
(T_4 - T_1)/[\gamma(T_3 - T_2)]$. Con $T_2 = T_1r^{\gamma-1}$, $T_3 =
\rho T_2$ y, en la adiabática $3 \to 4$ ($V_4 = V_1 = rV_2$), $T_4 =
T_3(V_3/V_4)^{\gamma-1} = \rho T_1 r^{\gamma-1}(\rho/r)^{\gamma-1} = T_1\rho^{\gamma}$: $\eta = 1 - (\rho^\gamma - 1)/[\gamma r^{\gamma-1}(\rho - 1)]$. ∎

![A la izquierda: el ciclo Otto en el diagrama de Clapeyron (dibujado con r = 4): dos adiabáticas y dos isócoras; el calor entra en el punto muerto superior y sale con los gases de escape. A la derecha: rendimientos ideales frente a la relación de compresión; las líneas de trazos marcan un motor de gasolina (r = 9) y un diésel (r = 18, = 2).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-heat-engines/fig-3b3b1884ee3a.svg)

![A la izquierda: el ciclo Otto en el diagrama de Clapeyron (dibujado con r = 4): dos adiabáticas y dos isócoras; el calor entra en el punto muerto superior y sale con los gases de escape. A la derecha: rendimientos ideales frente a la relación de compresión; las líneas de trazos marcan un motor de gasolina (r = 9) y un diésel (r = 18, = 2).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-heat-engines/fig-9f3b2784b6a5.svg)

*A la izquierda: el [ciclo Otto](#prop-b1-heat-engines-otto) en el diagrama de Clapeyron (dibujado con $r = 4$): dos adiabáticas y dos isócoras; el calor entra en el punto muerto superior y sale con los gases de escape. A la derecha: [rendimientos](#def-b1-heat-engines-efficiency) ideales frente a la [relación de compresión](#prop-b1-heat-engines-otto); las líneas de trazos marcan un motor de gasolina ($r = 9$) y un diésel ($r = 18$, $\rho = 2$).*

**Proposición 24.14 (Ciclo Stirling y regenerador).**

Dos isotermas ($T_c$, $T_h$) unidas por dos isócoras. Los calores de los tramos isócoros, $\pm nC_{V,m}(T_h - T_c)$, son iguales y opuestos; si el del tramo de enfriamiento se almacena en un *regenerador* (una masa porosa que el gas atraviesa) y se devuelve en el de calentamiento, solo las isotermas intercambian con las fuentes y $\eta = 1 - T_c/T_h$: el motor Stirling es un motor de Carnot en todo salvo en la forma de su ciclo. Sin regenerador, el calor isócoro ha de venir de la fuente caliente y $\eta = \dfrac{nR(T_h - T_c)\ln(V_1/V_2)}{nRT_h\ln(V_1/V_2) + nC_{V,m}(T_h - T_c)}$, bastante menor ([Ejercicio 24.8](#exo-b1-heat-engines-8)).

**Demostración.** En las isotermas $Q_h = nRT_h\ln(V_1/V_2)$ y $Q_c = -nRT_c\ln(V_1/V_2)$, luego $-W = Q_h + Q_c + 0$ una vez que los calores isócoros se cancelan; divídase por el calor realmente tomado de la fuente caliente en cada caso. ∎

**Observación 24.15 (Turbinas de vapor y de gas).**

Las centrales eléctricas no usan un gas en un cilindro, sino agua que se hierve, se expande en una turbina, se condensa y se bombea de vuelta (el ciclo de Rankine, con dos cambios de fase — [Capítulo 25](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/25-cambios-de-estado-de-un-cuerpo-puro#ch-b1-phase-changes)), o aire comprimido, calentado por combustión y expandido en una turbina de gas (el ciclo de Brayton, dos adiabáticas y dos isobaras). Su análisis exige el balance de energía de un fluido en circulación, que da el volumen del Año 2; la cota de Carnot y la lógica de este capítulo valen sin cambio.

## 24.5 Frigoríficos y bombas de calor

**Definición 24.16 (Ciclo de compresión de vapor).**

Casi todos los [frigoríficos](#def-b1-heat-engines-machine), congeladores, acondicionadores de aire y [bombas de calor](#def-b1-heat-engines-machine) hacen recorrer a un *refrigerante* cuatro componentes: un *compresor* (recibe el trabajo y eleva la presión del vapor), un *condensador* (el vapor caliente se licua a alta presión y cede $|Q_h|$ al lado caliente), una *válvula de expansión* (el líquido baja a la presión baja sin trabajo ni calor, y se vaporiza en parte) y un *evaporador* (el resto hierve a baja presión y absorbe $Q_c$ del lado frío). El calor se transporta como calor latente de vaporización, y las dos presiones fijan las dos temperaturas de ebullición ([Capítulo 25](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/25-cambios-de-estado-de-un-cuerpo-puro#ch-b1-phase-changes)).

![El ciclo de compresión de vapor. El refrigerante hierve en el evaporador, más frío que el lado frío, y se condensa en el condensador, más caliente que el lado caliente: el calor fluye en el sentido natural a través de cada intercambiador, y el compresor paga por elevarlo de T_ ev a T_ cd.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-heat-engines/fig-720fdbd7c3f5.svg)

*El [ciclo de compresión de vapor](#def-b1-heat-engines-vapourcycle). El [refrigerante](#def-b1-heat-engines-vapourcycle) hierve en el evaporador, más frío que el lado frío, y se condensa en el condensador, más caliente que el lado caliente: el calor fluye en el sentido natural a través de cada intercambiador, y el compresor paga por elevarlo de $T_{\mathrm{ev}}$ a $T_{\mathrm{cd}}$.*

**Proposición 24.17 (El precio de los saltos de temperatura).**

Una máquina reversible que trabaja entre sus propias temperaturas internas $T_{\mathrm{ev}} < T_c$ y $T_{\mathrm{cd}} > T_h$ tiene $e_p = T_{\mathrm{cd}}/(T_{\mathrm{cd}} - T_{\mathrm{ev}})$, menor que el valor de Carnot entre las fuentes; una máquina real alcanza una fracción (típicamente de $0.4$ a $0.6$) incluso de ese. El [rendimiento](#def-b1-heat-engines-efficiency) de una [bomba de calor](#def-b1-heat-engines-machine) cae, por tanto, cuando baja la temperatura exterior y cuando sube la temperatura que exige el circuito de calefacción.

**Demostración.** Aplíquese [Teorema 24.5](#thm-b1-heat-engines-carnot) al fluido, cuyos [termostatos](#def-b1-heat-engines-machine) son en la práctica las temperaturas de los intercambiadores; $T_{\mathrm{cd}} - T_{\mathrm{ev}} >
T_h - T_c$ rebaja el cociente. ∎

![Coeficiente de eficacia de una bomba de calor frente a la temperatura exterior: la cota de Carnot entre la casa (20 C) y el aire exterior; la cota una vez contados los saltos de temperatura de los intercambiadores (T_ cd = 313\, K, T_ ev = T_ out - 8\, K); y una máquina realista, al 0.55 de esta última. Incluso a -10 C la bomba real entrega unos tres julios de calor por julio de electricidad, allí donde una resistencia da uno.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-heat-engines/fig-f559fc3ca6af.svg)

*[Coeficiente de eficacia](#def-b1-heat-engines-efficiency) de una [bomba de calor](#def-b1-heat-engines-machine) frente a la temperatura exterior: la cota de Carnot entre la casa ($20{}^{\circ}\mathrm{C}$) y el aire exterior; la cota una vez contados los saltos de temperatura de los intercambiadores ($T_{\mathrm{cd}} = 313\,\mathrm{K}$, $T_{\mathrm{ev}} = T_{\mathrm{out}} - 8\,\mathrm{K}$); y una máquina realista, al $0.55$ de esta última. Incluso a $-10{}^{\circ}\mathrm{C}$ la bomba real entrega unos tres julios de calor por julio de electricidad, allí donde una resistencia da uno.*

**Ejemplo 24.18 (¿Bomba de calor o resistencia?).**

Una casa que pierde $6\,\mathrm{kW}$ con $-5{}^{\circ}\mathrm{C}$ en el exterior necesita $6\,\mathrm{kW}$ de electricidad con resistencias; una [bomba de calor](#def-b1-heat-engines-machine) ideal de $268\,\mathrm{K}$ a $293\,\mathrm{K}$ necesitaría $6/11.7 = 0.51\,\mathrm{kW}$; una real con temperaturas de intercambiador $260\,\mathrm{K}$ y $313\,\mathrm{K}$ y un [factor de calidad](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/7-regimenes-transitorios-primer-y-segundo-orden#def-b1-transient-regimes-secondorder) $0.55$, $e_p = 0.55 \times 313/53 = 3.2$, necesita $1.9\,\mathrm{kW}$. El problema de fin de semana recorre la temporada entera, entropía incluida.

## 24.6 Entropía y trabajo perdido

**Teorema 24.19 (Trabajo perdido).**

Un motor ditérmico que crea la entropía $S_{\mathrm{created}}$ por ciclo entrega

$$
-W = Q_h\Bigl(1 - \frac{T_c}{T_h}\Bigr) - T_c\,S_{\mathrm{created}} ,
$$

y una [bomba de calor](#def-b1-heat-engines-machine) ditérmica que entrega $|Q_h|$ consume $W = |Q_h|(1 - T_c/T_h) + T_c\,S_{\mathrm{created}}$: cada julio por [kelvin](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/20-teoria-cinetica-y-gas-perfecto#def-b1-kinetic-theory-temperature) creado cuesta $T_c$ julios de trabajo, siendo la temperatura de la fuente fría el cambio entre entropía y trabajo.

**Demostración.** De [Teorema 24.2](#thm-b1-heat-engines-clausius), $Q_c = -T_c(Q_h/T_h + S_{\mathrm{created}})$; sustitúyase en $-W = Q_h + Q_c$. Para la bomba, escríbanse las dos mismas relaciones con $Q_h < 0$. ∎

**Método 24.20 (Auditar una máquina).**

Mídanse (o calcúlense) los calores intercambiados con cada fuente y el trabajo; compruébese el primer principio; calcúlese $S_{\mathrm{created}} = -\sum Q_i/T_i$ por ciclo o por segundo; la potencia perdida es $T_c\dot S_{\mathrm{created}}$; localícese la creación (saltos finitos de temperatura en los intercambiadores, rozamiento, laminación, compresión no cuasiestática) aplicando el balance de entropía a cada componente por turno. Un componente que no crea entropía no merece mejora alguna.

**Ejemplo 24.21 (La auditoría de una central).**

Fuente caliente $800\,\mathrm{K}$, río $300\,\mathrm{K}$, $1.0\,\mathrm{GW}$ de electricidad con $\eta = 0.40$: $\dot Q_h = 2.5\,\mathrm{GW}$, $\dot Q_c = 1.5\,\mathrm{GW}$, luego $\dot S_{\mathrm{created}} = 1.5/300 - 2.5/800 = 1.9\,\mathrm{MW}/\mathrm{K}$ y la potencia perdida es $300 \times 1.9 = 0.56\,\mathrm{GW}$: exactamente la distancia entre la producción de Carnot $0.625 \times 2.5 = 1.56\,\mathrm{GW}$ y el $1.0\,\mathrm{GW}$ real. El río se calienta con los $1.5\,\mathrm{GW}$ que ha de evacuar; en verano, cuando va templado y bajo, las centrales reducen su carga.

## 24.7 Ejercicios

**Ejercicio 24.1 ★.**

Una central toma calor a $800\,\mathrm{K}$ y lo cede a un río a $300\,\mathrm{K}$. [Rendimiento de Carnot](#thm-b1-heat-engines-carnot); si el [rendimiento](#def-b1-heat-engines-efficiency) real es $0.40$ y la producción eléctrica $1.0\,\mathrm{GW}$, calor tomado del combustible y calor cedido al río por segundo.

**Solución de Ejercicio 24.1.**

$\eta_C = 1 - 300/800 = 0.625$. Con $0.40$: $\dot Q_h = 1.0/0.40 = 2.5\,\mathrm{GW}$ del combustible y $\dot Q_c = 2.5 - 1.0 = 1.5\,\mathrm{GW}$ al río — se tira más calor del que se vende.

**Ejercicio 24.2 ★.**

Un [frigorífico](#def-b1-heat-engines-machine) mantiene su interior a $275\,\mathrm{K}$ en una cocina a $298\,\mathrm{K}$. [Coeficiente de eficacia](#def-b1-heat-engines-efficiency) máximo; con un COP real de $3$, [potencia eléctrica](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/6-circuitos-en-corriente-continua-leyes-de-kirchhoff-y-teoremas#thm-b1-dc-circuits-kirchhoff) necesaria para evacuar los $100\,\mathrm{W}$ que se cuelan por las paredes.

**Solución de Ejercicio 24.2.**

$e_f \leq 275/(298 - 275) = 12$. Con $e_f = 3$: $P = 100/3 = 33\,\mathrm{W}$ (y $133\,\mathrm{W}$ van a la cocina).

**Ejercicio 24.3 ★.**

[Rendimiento](#def-b1-heat-engines-efficiency) ideal de un [ciclo Otto](#prop-b1-heat-engines-otto) con $r = 9$ y $\gamma = 1.4$; y con $r = 11$ (un motor moderno de inyección directa). ¿Por qué no $r = 20$?

**Solución de Ejercicio 24.3.**

$r = 9$: $9^{0.4} = 2.41$, $\eta = 0.585$; $r = 11$: $11^{0.4} = 2.61$, $\eta = 0.62$. Con $r = 20$ la mezcla de gasolina y aire, comprimida hasta unos $900\,\mathrm{K}$, se encendería antes de la chispa (el picado) y destruiría el motor; solo el diésel, que comprime aire solo, puede llegar ahí.

**Ejercicio 24.4 ★.**

Una [bomba de calor](#def-b1-heat-engines-machine) caldea una casa a $300\,\mathrm{K}$ con aire exterior a $280\,\mathrm{K}$. $e_p$ máximo; [potencia eléctrica](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/6-circuitos-en-corriente-continua-leyes-de-kirchhoff-y-teoremas#thm-b1-dc-circuits-kirchhoff) para una demanda de calefacción de $5\,\mathrm{kW}$ con esa bomba ideal y con una real de $e_p = 3.5$; compárese con una resistencia.

**Solución de Ejercicio 24.4.**

$e_p \leq 300/20 = 15$: potencia ideal $5/15 = 0.33\,\mathrm{kW}$; real, $5/3.5 =
1.43\,\mathrm{kW}$; resistencia, $5\,\mathrm{kW}$.

**Ejercicio 24.5 ★★.**

Un [mol](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/20-teoria-cinetica-y-gas-perfecto#def-b1-kinetic-theory-scales) de [gas perfecto](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/20-teoria-cinetica-y-gas-perfecto#def-b1-kinetic-theory-model) ($\gamma = 1.4$) recorre un [ciclo de Carnot](#def-b1-heat-engines-carnotcycle) entre $T_h = 500\,\mathrm{K}$ y $T_c = 300\,\mathrm{K}$; la isoterma caliente lo lleva de $1.0\,\mathrm{L}$ a $3.0\,\mathrm{L}$. Calcúlense $V_C$, $V_D$, $Q_h$, $Q_c$, $W$ y compruébese el [rendimiento](#def-b1-heat-engines-efficiency).

**Solución de Ejercicio 24.5.**

Adiabáticas: $V_C = V_B(T_h/T_c)^{1/(\gamma-1)} = 3.0 \times (5/3)^{2.5} =
10.8\,\mathrm{L}$, $V_D = 1.0 \times 3.59 = 3.59\,\mathrm{L}$ (luego $V_C/V_D = 3 =
V_B/V_A$). $Q_h = RT_h\ln3 = 8.314 \times 500 \times 1.099 = 4.57\,\mathrm{kJ}$, $Q_c = -RT_c\ln3 = -2.74\,\mathrm{kJ}$, $W = -(4.57 - 2.74) = -1.83\,\mathrm{kJ}$, $\eta = 1.83/4.57 = 0.40 = 1 - 300/500$.

**Ejercicio 24.6 ★★.**

Un inventor anuncia una máquina cíclica que toma $1000\,\mathrm{J}$ por ciclo de una fuente a $400\,\mathrm{K}$, cede $800\,\mathrm{J}$ a una fuente a $300\,\mathrm{K}$ y entrega $200\,\mathrm{J}$ de trabajo. ¿Es posible? Entropía creada por ciclo. Un segundo inventor anuncia $300\,\mathrm{J}$ de trabajo con los mismos $1000\,\mathrm{J}$, cediendo $700\,\mathrm{J}$. ¿Es posible? ¿Cuál es el mayor trabajo que alguien puede sacar de esos $1000\,\mathrm{J}$?

**Solución de Ejercicio 24.6.**

Primer anuncio: la energía cuadra, $200 = 1000 - 800$; Clausius $1000/400 - 800/300
= 2.5 - 2.67 = -0.17\,\mathrm{J}/\mathrm{K}$, luego $S_{\mathrm{created}} = 0.17\,\mathrm{J}/\mathrm{K} \geq 0$: posible ($\eta = 0.20$). Segundo: $1000/400 - 700/300 = +0.17\,\mathrm{J}/\mathrm{K} > 0$: habría que destruir entropía — imposible. Máximo: $\eta_C = 1 -
300/400 = 0.25$, es decir $250\,\mathrm{J}$.

**Ejercicio 24.7 ★★.**

[Ciclo Diesel](#prop-b1-heat-engines-diesel) con $r = 18$, $\rho = 2$, $\gamma = 1.4$: [rendimiento](#def-b1-heat-engines-efficiency); compárese con un [ciclo Otto](#prop-b1-heat-engines-otto) de la misma $r$ y con el [ciclo Otto](#prop-b1-heat-engines-otto) a $r = 9$. ¿Por qué puede el diésel usar una $r$ tan grande?

**Solución de Ejercicio 24.7.**

$r^{\gamma-1} = 18^{0.4} = 3.18$; $\rho^\gamma = 2^{1.4} = 2.64$: $\eta = 1 -
1.64/(1.4 \times 3.18 \times 1) = 0.63$. Otto con $r = 18$: $1 - 1/3.18 = 0.69$; con $r = 9$: $0.585$. El diésel comprime aire puro: no hay combustible que pueda preencenderse, y el combustible, inyectado en aire a $900\,\mathrm{K}$, arde según entra — el límite del picado no existe.

**Ejercicio 24.8 ★★.**

[Ciclo Stirling](#prop-b1-heat-engines-stirling) de un [mol](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/20-teoria-cinetica-y-gas-perfecto#def-b1-kinetic-theory-scales) de [gas diatómico](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/20-teoria-cinetica-y-gas-perfecto#prop-b1-kinetic-theory-Ugas) ($C_{V,m} = \tfrac52R$) entre $600\,\mathrm{K}$ y $300\,\mathrm{K}$ con una razón de volúmenes $V_1/V_2 = 2$. Trabajo por ciclo; [rendimiento](#def-b1-heat-engines-efficiency) con un regenerador perfecto y sin él.

**Solución de Ejercicio 24.8.**

$Q_h = RT_h\ln2 = 8.314 \times 600 \times 0.693 = 3.46\,\mathrm{kJ}$, $Q_c = -8.314
\times 300 \times 0.693 = -1.73\,\mathrm{kJ}$: $W = -1.73\,\mathrm{kJ}$ por ciclo. Con regenerador, $\eta = 1.73/3.46 = 0.50 = 1 - 300/600$. Sin él, la fuente caliente ha de aportar además $C_{V,m}(T_h - T_c) = 2.5 \times 8.314 \times 300 =
6.24\,\mathrm{kJ}$: $\eta = 1.73/(3.46 + 6.24) = 0.18$.

**Ejercicio 24.9 ★★.**

Dos bloques idénticos de capacidad calorífica $C = 4.0\,\mathrm{kJ}/\mathrm{K}$ a $T_1 =
400\,\mathrm{K}$ y $T_2 = 300\,\mathrm{K}$ se usan como fuentes de un motor hasta que alcanzan una temperatura común $T_f$. Muéstrese que el trabajo máximo se obtiene con un motor reversible, que entonces $T_f = \sqrt{T_1T_2}$, y calcúlese $W_{\max}$. ¿Cuál sería $T_f$ si los bloques se pusieran sin más en contacto, y cuánta entropía se crearía entonces?

**Solución de Ejercicio 24.9.**

Entropía de los dos bloques: $\Delta S = C\ln(T_f/T_1) + C\ln(T_f/T_2) =
C\ln\bigl(T_f^2/T_1T_2\bigr) = S_{\mathrm{created}} \geq 0$ (la entropía del propio motor vuelve a su valor en cada ciclo), luego $T_f \geq \sqrt{T_1T_2}$, y $W = C(T_1 + T_2 - 2T_f)$ (primer principio) es máximo para el menor $T_f$: el caso reversible, $T_f = \sqrt{400 \times 300} = 346.4\,\mathrm{K}$, $W_{\max} = 4000 \times (700 - 692.8) = 29\,\mathrm{kJ}$. En contacto directo: $T_f =
350\,\mathrm{K}$, sin trabajo, $S_{\mathrm{created}} = 4000\ln(350^2/120000) =
82\,\mathrm{J}/\mathrm{K}$.

**Ejercicio 24.10 ★★★.**

*Motor a potencia máxima.* Un motor reversible trabaja entre las temperaturas internas $x$ e $y$, e intercambia calor con las fuentes a través de intercambiadores de conductancia $K$: $\dot Q_h = K(T_h - x)$ y $|\dot Q_c| = K(y - T_c)$. (a) Escríbanse la potencia $P$ y la condición de entropía del núcleo reversible. (b) Muéstrese que $y = xT_c/(2x - T_h)$ y que $P = \frac{K}{2}\bigl[(T_h + T_c) - u - T_hT_c/u\bigr]$ con $u = 2x - T_h$. (c) Maximícese en $u$ y muéstrese que el [rendimiento](#def-b1-heat-engines-efficiency) a potencia máxima vale $\eta^\ast = 1 - \sqrt{T_c/T_h}$. (d) Cifras para $T_h = 800\,\mathrm{K}$, $T_c = 300\,\mathrm{K}$; compárese con [Ejercicio 24.1](#exo-b1-heat-engines-1).

**Solución de Ejercicio 24.10.**

(a) $P = \dot Q_h - |\dot Q_c| = K(T_h - x) - K(y - T_c)$; el núcleo reversible no intercambia entropía neta: $K(T_h - x)/x = K(y - T_c)/y$. (b) Multiplíquese en cruz: $y(T_h - x) = x(y - T_c)$, luego $y(T_h - 2x) = -xT_c$ y $y = xT_c/(2x - T_h)$. Entonces $P = K(T_h - x)(1 - y/x) = K(T_h - x)(2x - T_h - T_c)/(2x - T_h)$; con $u = 2x - T_h$, $T_h - x = (T_h - u)/2$ y $P = K(T_h - u)(u - T_c)/(2u) =
\tfrac{K}{2}[(T_h + T_c) - u - T_hT_c/u]$. (c) $\dd P/\dd u = \tfrac K2(-1 +
T_hT_c/u^2) = 0$ en $u = \sqrt{T_hT_c}$, un máximo; entonces $x = (T_h +
\sqrt{T_hT_c})/2$, $y = xT_c/u = (\sqrt{T_hT_c} + T_c)/2$, y $\eta^\ast = 1 - y/x
= 1 - \sqrt{T_c}(\sqrt{T_h} + \sqrt{T_c})/[\sqrt{T_h}(\sqrt{T_h} + \sqrt{T_c})] = 1 -
\sqrt{T_c/T_h}$; $P_{\max} = \tfrac K2(\sqrt{T_h} - \sqrt{T_c})^2$. (d) $\eta^\ast = 1 - \sqrt{0.375} = 0.39$, frente a $\eta_C = 0.625$: el $0.40$ real de [Ejercicio 24.1](#exo-b1-heat-engines-1) es un motor construido para dar potencia, no [rendimiento](#def-b1-heat-engines-efficiency).

**Ejercicio 24.11 ★★★.**

*[Frigorífico](#def-b1-heat-engines-machine) de absorción.* Una máquina sin piezas móviles toma el calor $Q_h$ de un quemador a $T_h$, el calor $Q_c$ de una cámara fría a $T_c$, y cede calor a la habitación a $T_0$ ($T_c < T_0 <
T_h$), sin trabajo alguno. Muéstrese que $Q_c/Q_h \leq \bigl(1 - T_0/T_h\bigr)\,T_c/(T_0 - T_c)$, interprétense los dos factores y calcúlese la cota para $T_h = 400\,\mathrm{K}$, $T_0 =
300\,\mathrm{K}$, $T_c = 275\,\mathrm{K}$.

**Solución de Ejercicio 24.11.**

Ciclo: $Q_h + Q_c + Q_0 = 0$ y $Q_h/T_h + Q_c/T_c + Q_0/T_0 \leq 0$. Elimínese $Q_0 = -(Q_h + Q_c)$: $Q_h(1/T_h - 1/T_0) + Q_c(1/T_c - 1/T_0) \leq 0$, es decir $Q_c(T_0 - T_c)/(T_cT_0) \leq Q_h(T_h - T_0)/(T_hT_0)$, de donde $Q_c/Q_h \leq (1 - T_0/T_h)\,T_c/(T_0 - T_c)$. El primer factor es el [rendimiento](#def-b1-heat-engines-efficiency) de un motor de Carnot entre el quemador y la habitación, y el segundo, el COP de un [frigorífico](#def-b1-heat-engines-machine) de Carnot entre la cámara y la habitación: la cota es lo que se obtiene acoplándolos idealmente. Cifras: $0.25 \times 11 = 2.75$ (los [frigoríficos](#def-b1-heat-engines-machine) de absorción reales: unos $0.6$).

**Ejercicio 24.12 ★★★.**

*Calentar con electricidad, de tres maneras.* La electricidad se produce en una central térmica de [rendimiento](#def-b1-heat-engines-efficiency) $0.40$. Por julio de calor del combustible, ¿cuánto calor llega a una casa (a) por una resistencia, (b) por una [bomba de calor](#def-b1-heat-engines-machine) de $e_p = 3.5$, (c) si el combustible se quema directamente en una caldera de [rendimiento](#def-b1-heat-engines-efficiency) $0.90$? (d) El ideal: un motor reversible entre $800\,\mathrm{K}$ y $293\,\mathrm{K}$ que acciona una [bomba de calor](#def-b1-heat-engines-machine) reversible entre $273\,\mathrm{K}$ y $293\,\mathrm{K}$ — ¿cuánto calor por julio de combustible, y por qué es la respuesta mayor que uno sin contradecir nada?

**Solución de Ejercicio 24.12.**

(a) $0.40\,\mathrm{J}$. (b) $0.40 \times 3.5 = 1.4\,\mathrm{J}$. (c) $0.90\,\mathrm{J}$. (d) Motor $\eta = 1 - 293/800 = 0.634$, bomba $e_p = 293/20 = 14.65$: $0.634 \times 14.65 = 9.3\,\mathrm{J}$ (y los $0.37\,\mathrm{J}$ propios del motor, cedidos a $293\,\mathrm{K}$, podrían calentar también la casa: $9.7\,\mathrm{J}$). Más de un julio porque el resto se eleva desde el aire exterior: la energía se conserva, y el segundo principio solo pide que no se destruya entropía, cosa que una cadena reversible respeta exactamente.

![Una bomba de calor aerotérmica en invierno: toma calor del aire exterior frío y entrega a la casa de tres a cuatro veces la energía eléctrica que consume — el problema de fin de semana.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-heat-engines/img-4f9781d64fbb.jpg)

*Una [bomba de calor](#def-b1-heat-engines-machine) aerotérmica en invierno: toma calor del aire exterior frío y entrega a la casa de tres a cuatro veces la energía eléctrica que consume — el problema de fin de semana.*

## 24.8 Problema: la bomba de calor de una casa

**Problema 24.1.**

Problema de fin de semana — calentar una casa durante un invierno: la factura con resistencias, con gas, con una bomba de calor ideal y con una real, y adónde va la electricidad de la real

Una casa pierde calor a razón de $K(T_{\mathrm{in}} - T_{\mathrm{out}})$ con $K = 250\,\mathrm{W}/\mathrm{K}$; se mantiene a $T_{\mathrm{in}} = 20{}^{\circ}\mathrm{C}$. Temperatura exterior de proyecto $-5{}^{\circ}\mathrm{C}$; temporada de calefacción: $200$ días con una temperatura exterior media de $7{}^{\circ}\mathrm{C}$. Precios: electricidad 0.25 € el $\mathrm{kW}\mathrm{h}$, gas 0.10 € el $\mathrm{kW}\mathrm{h}$; $1\,\mathrm{kW}\mathrm{h} = 3.6\,\mathrm{MJ}$.

**Parte I — La casa y los métodos de siempre.**

1. Potencia de calefacción necesaria a la temperatura de proyecto.
2. Energía necesaria en toda la temporada, en julios y en $\mathrm{kW}\mathrm{h}$ .
3. Coste de la temporada con resistencias eléctricas.
4. Coste con una caldera de gas de [rendimiento](#def-b1-heat-engines-efficiency) $0.90$ .
5. La electricidad viene de una central térmica de [rendimiento](#def-b1-heat-engines-efficiency) $0.40$ . Energía de combustible consumida por temporada por las resistencias y por la caldera; coméntese el dicho “la calefacción eléctrica es un derroche termodinámico”.

**Parte II — La [bomba de calor](#def-b1-heat-engines-machine) ideal.**

6. Defínase $e_p$ y demuéstrese, a partir de los dos principios a lo largo de un ciclo, que $e_p \leq T_{\mathrm{in}}/(T_{\mathrm{in}} - T_{\mathrm{out}})$ .
7. $e_p$ ideal a la temperatura de proyecto y [potencia eléctrica](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/6-circuitos-en-corriente-continua-leyes-de-kirchhoff-y-teoremas#thm-b1-dc-circuits-kirchhoff) necesaria entonces.
8. $e_p$ ideal a la temperatura media de la temporada y (tomando ese valor para toda ella) electricidad de la temporada.
9. Explíquese físicamente por qué cae $e_p$ cuando baja la temperatura exterior, y por qué es este el peor comportamiento posible para un aparato de calefacción.
10. En el punto de proyecto la bomba ideal consume $0.53\,\mathrm{kW}$ y entrega $6.25\,\mathrm{kW}$ : ¿de dónde salen los otros $5.7\,\mathrm{kW}$ , y por qué no viola el segundo principio enfriar el aire exterior frío para calentar una casa templada?

**Parte III — La máquina real.** La bomba recorre un [ciclo de compresión de vapor](#def-b1-heat-engines-vapourcycle). El [refrigerante](#def-b1-heat-engines-vapourcycle) se evapora a $T_{\mathrm{ev}} = T_{\mathrm{out}} - 8\,\mathrm{K}$ y se condensa a $T_{\mathrm{cd}} = 313\,\mathrm{K}$ (el agua de un circuito de suelo radiante va a $35{}^{\circ}\mathrm{C}$); la máquina alcanza el $0.55$ del valor de Carnot calculado entre $T_{\mathrm{ev}}$ y $T_{\mathrm{cd}}$. Calor latente del [refrigerante](#def-b1-heat-engines-vapourcycle): $L = 200\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$.

11. Nómbrense los cuatro componentes del ciclo, dígase en cuál recibe el fluido $Q_c$ , cede $|Q_h|$ y recibe $W$ , y por qué el evaporador ha de estar más frío que el aire exterior y el condensador más caliente que la casa.
12. A la temperatura de proyecto: $T_{\mathrm{ev}}$ y el $e_p$ de Carnot entre $T_{\mathrm{ev}}$ y $T_{\mathrm{cd}}$ .
13. $e_p$ real, [potencia eléctrica](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/6-circuitos-en-corriente-continua-leyes-de-kirchhoff-y-teoremas#thm-b1-dc-circuits-kirchhoff) consumida y calor tomado del aire exterior, a la temperatura de proyecto.
14. Caudal másico de [refrigerante](#def-b1-heat-engines-vapourcycle) por el evaporador.
15. Las mismas preguntas ( $e_p$ real, [potencia eléctrica](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/6-circuitos-en-corriente-continua-leyes-de-kirchhoff-y-teoremas#thm-b1-dc-circuits-kirchhoff) ) a la temperatura media de $7{}^{\circ}\mathrm{C}$ , donde la casa pierde $3.25\,\mathrm{kW}$ .
16. Dese $e_p$ en función de $T_{\mathrm{out}}$ ; electricidad y coste de la temporada, tomando para ella el $e_p$ de la temperatura media. Compárese con la Parte I.
17. Energía de combustible consumida en la central para la temporada con [bomba de calor](#def-b1-heat-engines-machine) ; compárese con las resistencias y la caldera.
18. Una ola de frío a $-15{}^{\circ}\mathrm{C}$ : demanda de calor, $e_p$ real y [potencia eléctrica](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/6-circuitos-en-corriente-continua-leyes-de-kirchhoff-y-teoremas#thm-b1-dc-circuits-kirchhoff) si la bomba pudiera entregarla. La capacidad del compresor cae en realidad con $T_{\mathrm{ev}}$ y la bomba solo puede entregar allí $3.8\,\mathrm{kW}$ : potencia de apoyo por resistencia necesaria, y qué significa “dimensionar una [bomba de calor](#def-b1-heat-engines-machine) ”.
19. Si la casa tuviera radiadores antiguos que exigen agua a $60{}^{\circ}\mathrm{C}$ ( $T_{\mathrm{cd}} = 338\,\mathrm{K}$ ): $e_p$ real y [potencia eléctrica](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/6-circuitos-en-corriente-continua-leyes-de-kirchhoff-y-teoremas#thm-b1-dc-circuits-kirchhoff) a la temperatura de proyecto; conclúyase sobre la elección de los emisores.

**Parte IV — Adónde va la electricidad.**

20. Muéstrese que, para una [bomba de calor](#def-b1-heat-engines-machine) que entrega $|Q_h|$ a la casa a $T_{\mathrm{in}}$ desde el aire exterior a $T_{\mathrm{out}}$ , $W = |Q_h|(1 - T_{\mathrm{out}}/T_{\mathrm{in}}) + T_{\mathrm{out}}S_{\mathrm{created}}$ .
21. En el punto de proyecto, entropía creada por segundo por la transferencia de calor a través del condensador (de $313\,\mathrm{K}$ a la casa) y del evaporador (del aire exterior a $260\,\mathrm{K}$ ).
22. [Potencia eléctrica](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/6-circuitos-en-corriente-continua-leyes-de-kirchhoff-y-teoremas#thm-b1-dc-circuits-kirchhoff) que cuestan esos dos saltos de temperatura; fracción de los $1.92\,\mathrm{kW}$ consumidos.
23. Entropía total creada por segundo por la máquina real (compárense sus $1.92\,\mathrm{kW}$ con los $0.53\,\mathrm{kW}$ ideales); parte que corresponde a los intercambiadores; nómbrense las demás fuentes.
24. Redúzcanse a la mitad los dos saltos ( $4\,\mathrm{K}$ y $10\,\mathrm{K}$ ): entropía creada en los intercambiadores y [potencia eléctrica](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/6-circuitos-en-corriente-continua-leyes-de-kirchhoff-y-teoremas#thm-b1-dc-circuits-kirchhoff) ahorrada; ¿qué le cuesta al proyectista partir por la mitad un salto?
25. Resúmase en tres cifras: kilovatios hora de calor por kilovatio hora de electricidad en la temporada; coste de la temporada frente al gas; y, con una electricidad a $60\,\mathrm{g}$ de CO $_2$ por $\mathrm{kW}\mathrm{h}$ y un gas a $200\,\mathrm{g}$ , el carbono emitido por cada vía.

**Solución de Problema 24.1.**

**1.** $P = 250 \times 25 = 6.25\,\mathrm{kW}$.

**2.** Pérdida media $250 \times 13 = 3.25\,\mathrm{kW}$ durante $200 \times 86400 =
1.73 \times 10^{7}\,\mathrm{s}$: $E = 5.6 \times 10^{10}\,\mathrm{J} = 15\,600\,\mathrm{kW}\mathrm{h}$.

**3.** $15600 \times 0.25 = 3900$ €.

**4.** Gas $15600/0.90 = 17\,300\,\mathrm{kW}\mathrm{h}$: $1730$ €.

**5.** Resistencias: $15600/0.40 = 39\,000\,\mathrm{kW}\mathrm{h}$ de combustible; caldera $17\,300\,\mathrm{kW}\mathrm{h}$: $2.25$ veces menos. La electricidad es trabajo, la forma que sirve para todo; convertirla en calor a $20{}^{\circ}\mathrm{C}$ en una resistencia tira el $60\%$ del combustible ya perdido en la central y la posibilidad de bombear calor.

**6.** A lo largo de un ciclo $W + Q_h + Q_c = 0$ y $Q_h/T_{\mathrm{in}} +
Q_c/T_{\mathrm{out}} \leq 0$ con $Q_h < 0$, $Q_c > 0$: $Q_c \leq
|Q_h|T_{\mathrm{out}}/T_{\mathrm{in}}$, luego $W = |Q_h| - Q_c \geq |Q_h|(1 -
T_{\mathrm{out}}/T_{\mathrm{in}})$ y $e_p = |Q_h|/W \leq T_{\mathrm{in}}/(T_{\mathrm{in}} -
T_{\mathrm{out}})$.

**7.** $293/25 = 11.7$; $6.25/11.7 = 0.53\,\mathrm{kW}$.

**8.** $293/13 = 22.5$; $15600/22.5 = 690\,\mathrm{kW}\mathrm{h}$ (unos $170$ €).

**9.** El trabajo por julio elevado vale $(T_{\mathrm{in}} - T_{\mathrm{out}})/
T_{\mathrm{in}}$, la “altura” de la elevación; cuanto más frío hace fuera, más alto hay que bombear cada julio — y más julios hacen falta, ya que la pérdida es también proporcional a $T_{\mathrm{in}} - T_{\mathrm{out}}$: la [potencia eléctrica](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/6-circuitos-en-corriente-continua-leyes-de-kirchhoff-y-teoremas#thm-b1-dc-circuits-kirchhoff) crece como el cuadrado de la diferencia de temperaturas, y es peor justo cuando más falta hace la calefacción.

**10.** Del aire exterior, que se enfría: $Q_c = 6.25 - 0.53 =
5.7\,\mathrm{kW}$. El segundo principio prohíbe que el calor fluya *espontáneamente* de lo frío a lo caliente; aquí el trabajo paga la elevación. Comprobación: entropía tomada del aire $5.72/268 = 21.3\,\mathrm{W}/\mathrm{K}$, entropía dada a la casa $6.25/293 =
21.3\,\mathrm{W}/\mathrm{K}$ — nada destruido, nada creado: la bomba ideal.

**11.** Compresor (recibe $W$), condensador (cede $|Q_h|$), válvula de expansión (ninguno de los dos), evaporador (recibe $Q_c$). El calor solo baja por una pendiente de temperatura: el [refrigerante](#def-b1-heat-engines-vapourcycle) ha de estar más frío que el aire para tomarle calor y más caliente que el agua de la casa para cedérselo.

**12.** $T_{\mathrm{ev}} = 268 - 8 = 260\,\mathrm{K}$; $e_{p,C} = 313/(313 - 260)
= 5.9$.

**13.** $e_p = 0.55 \times 5.9 = 3.25$; $W = 6.25/3.25 = 1.92\,\mathrm{kW}$; $Q_c = 6.25 - 1.92 = 4.33\,\mathrm{kW}$ tomados del aire.

**14.** $\dot m = 4330/200000 = 22\,\mathrm{g}/\mathrm{s}$, $1.3\,\mathrm{kg}$ por minuto.

**15.** $T_{\mathrm{ev}} = 272\,\mathrm{K}$, $313/41 = 7.6$, $e_p = 4.2$; $W = 3.25/4.2 = 0.77\,\mathrm{kW}$.

**16.** $e_p = 0.55 \times 313/(321 - T_{\mathrm{out}}) = 172/(321 -
T_{\mathrm{out}})$ (con $T_{\mathrm{out}}$ en [kelvin](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/20-teoria-cinetica-y-gas-perfecto#def-b1-kinetic-theory-temperature)). Temporada: $15600/4.2 =
3700\,\mathrm{kW}\mathrm{h}$, $930$ € — frente a los $3900$ con resistencias y los $1730$ con gas.

**17.** $3700/0.40 = 9300\,\mathrm{kW}\mathrm{h}$ de combustible: un $46\%$ menos que la caldera y cuatro veces menos que las resistencias, incluso pasando por una central al $40\%$.

**18.** Demanda $250 \times 35 = 8.75\,\mathrm{kW}$; $T_{\mathrm{ev}} = 250\,\mathrm{K}$, $313/63 = 5.0$, $e_p = 2.7$, $W = 3.2\,\mathrm{kW}$ si pudiera. Capacidad $3.8\,\mathrm{kW}$: apoyo $8.75 - 3.8 \approx 5\,\mathrm{kW}$ de resistencias. Una bomba dimensionada para la hora más fría quedaría sobredimensionada — y funcionaría a arranques ineficientes — todo el invierno; se dimensiona para la temperatura de proyecto y se deja lo raro y extremo a una resistencia barata.

**19.** $338/(338 - 260) = 4.33$, $e_p = 2.4$, $W = 6.25/2.4 =
2.6\,\mathrm{kW}$: un $36\%$ más de electricidad que con el suelo a $35{}^{\circ}\mathrm{C}$. Los emisores de baja temperatura son la mitad de la instalación.

**20.** Entropía a lo largo de un ciclo: $Q_h/T_{\mathrm{in}} + Q_c/T_{\mathrm{out}} +
S_{\mathrm{created}} = 0$ da $Q_c = T_{\mathrm{out}}|Q_h|/T_{\mathrm{in}} -
T_{\mathrm{out}}S_{\mathrm{created}}$; sustitúyase en $W = |Q_h| - Q_c$.

**21.** Condensador: $6250\,(1/293 - 1/313) = 1.36\,\mathrm{W}/\mathrm{K}$; evaporador: $4330\,(1/260 - 1/268) = 0.50\,\mathrm{W}/\mathrm{K}$.

**22.** $268 \times 1.86 = 0.50\,\mathrm{kW}$: la cuarta parte de los $1.92\,\mathrm{kW}$.

**23.** $(1.92 - 0.53)/268 = 5.2\,\mathrm{W}/\mathrm{K}$; los intercambiadores ponen el $36\%$; el resto viene del compresor (rozamiento, compresión no isentrópica, pérdidas del motor), de la laminación en la válvula (una expansión libre), de las pérdidas de carga y de los ventiladores.

**24.** $T_{\mathrm{cd}} = 303\,\mathrm{K}$, $T_{\mathrm{ev}} = 264\,\mathrm{K}$: condensador $6250\,(1/293 - 1/303) = 0.70\,\mathrm{W}/\mathrm{K}$, evaporador $4330\,(1/264 - 1/268) = 0.25\,\mathrm{W}/\mathrm{K}$: $0.95\,\mathrm{W}/\mathrm{K}$ en vez de $1.86$, es decir $268 \times 0.91 \approx 0.25\,\mathrm{kW}$ ahorrados (un $13\%$; la máquina entera, tasada al $0.55$ de un valor de Carnot mejor, ganaría más). Partir un salto por la mitad significa duplicar la superficie de intercambio: intercambiadores mayores y más caros y más potencia de ventilación.

**25.** $15600/3700 = 4.2$ kilovatios hora de calor por kilovatio hora de electricidad; $930$ € frente a $1730$ del gas; carbono: $3700
\times 0.060 = 220\,\mathrm{kg}$ frente a $17300 \times 0.20 = 3500\,\mathrm{kg}$ — quince veces menos.