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title: "Cambios de estado de un cuerpo puro"
book: "Física universitaria — primer año"
subject: physics
language: es
chapter: 25
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/25-cambios-de-estado-de-un-cuerpo-puro
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# Capítulo 25 — Cambios de estado de un cuerpo puro

El agua es la única sustancia que todo el mundo ha visto en los tres estados, y es el fluido de trabajo de casi todas las centrales eléctricas del mundo, el [refrigerante](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/24-maquinas-termicas#def-b1-heat-engines-vapourcycle) de las primeras máquinas de hielo y el motor del tiempo atmosférico. El hielo se funde a una temperatura que no se mueve mientras el calor entra a raudales; un hervidor hierve a $100{}^{\circ}\mathrm{C}$ a orillas del mar y a $70{}^{\circ}\mathrm{C}$ en el Everest; una botella cerrada de agua muy fría se congela entera de un golpecito. Este capítulo traza el mapa de las [fases](#def-b1-phase-changes-phase) de un [cuerpo puro](#def-b1-phase-changes-phase) — los diagramas $(T, P)$ y $(v, P)$ — y da las tres herramientas que lo acompañan: la [regla de la palanca](#thm-b1-phase-changes-lever) (cuánto hay de cada [fase](#def-b1-phase-changes-phase)), el [calor latente](#def-b1-phase-changes-phase) (lo que cuesta un cambio, en energía y en entropía) y la [relación de Clausius–Clapeyron](#thm-b1-phase-changes-clapeyron) (la pendiente de las líneas frontera). Acaba donde el mapa falla: en los [estados metaestables](#def-b1-phase-changes-metastable), de donde vienen el tiempo atmosférico y las sorpresas de la olla a presión.

## 25.1 Las fases y el diagrama $(T, P)$

**Definición 25.1 (Cuerpo puro, fase, cambio de estado).**

Un *cuerpo puro* es un cuerpo formado por una sola especie química. Una *fase* es una parte de él homogénea en sus propiedades físicas: sólido, líquido, gas (*vapor* cuando coexiste con su líquido). Un *cambio de estado* (fusión/solidificación, vaporización/ licuefacción, sublimación/condensación sólida) es el paso de una fase a otra; a presión fija ocurre a temperatura fija, con intercambio de calor pero sin variación de temperatura: el *calor latente*.

**Proposición 25.2 (Diagrama de equilibrio).**

En el plano $(T, P)$ cada [fase](#def-b1-phase-changes-phase) ocupa una región; dos [fases](#def-b1-phase-changes-phase) coexisten solo a lo largo de una curva (sublimación, fusión, vaporización), y las tres solo en un punto, el *[punto triple](#prop-b1-phase-changes-PTdiagram)*. La curva de vaporización $P = P_s(T)$ — la *[presión de vapor saturante](#prop-b1-phase-changes-PTdiagram)* — acaba en el *[punto crítico](#prop-b1-phase-changes-PTdiagram)* $(T_c, P_c)$, más allá del cual líquido y gas dejan de distinguirse. Para el agua: [punto triple](#prop-b1-phase-changes-PTdiagram) $273.16\,\mathrm{K}$, $611\,\mathrm{Pa}$; [punto crítico](#prop-b1-phase-changes-PTdiagram) $647\,\mathrm{K}$, $221\,\mathrm{bar}$. La curva de fusión del agua se inclina hacia la izquierda (el hielo es menos denso que el agua); en casi todas las demás sustancias se inclina hacia la derecha.

**Demostración.** *Admitido a este nivel.* ∎

![El diagrama de fases del agua (no está a escala). Calentar a presión atmosférica sigue la isobara de trazos: el hielo se funde donde esta corta a la curva de fusión y el agua hierve donde corta a la de vaporización. La curva de fusión del agua se inclina hacia la izquierda: la presión rebaja su punto de fusión.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-phase-changes/fig-a1d9c9462fd9.svg)

*El [diagrama de fases](#prop-b1-phase-changes-PTdiagram) del agua (no está a escala). Calentar a presión atmosférica sigue la isobara de trazos: el hielo se funde donde esta corta a la curva de fusión y el agua hierve donde corta a la de vaporización. La curva de fusión del agua se inclina hacia la izquierda: la presión rebaja su punto de fusión.*

**Observación 25.3 (Ebullición, evaporación y la olla a presión).**

Un líquido se *evapora* a cualquier temperatura desde su superficie, mientras la presión parcial de su vapor por encima esté por debajo de $P_s(T)$; *hierve* cuando $P_s(T)$ alcanza la presión ambiente, de modo que pueden crecer burbujas de vapor en su interior. El agua hierve a $100{}^{\circ}\mathrm{C}$ porque $P_s(100{}^{\circ}\mathrm{C}) = 1.013\,\mathrm{bar}$; a $0.33\,\mathrm{bar}$ en el Everest hierve cerca de $70{}^{\circ}\mathrm{C}$, y en una olla a presión a $1.8\,\mathrm{bar}$, cerca de $117{}^{\circ}\mathrm{C}$. La temperatura de un líquido en ebullición la clava la presión — hecho que sirvió durante dos siglos para definir la escala Celsius.

## 25.2 El diagrama $(v, P)$ y la regla de la palanca

**Proposición 25.4 (Isotermas de Andrews).**

En el plano de Clapeyron $(v, P)$ del volumen másico, una isoterma $T < T_c$ tiene tres partes: una rama muy empinada (líquido, casi incompresible), un *escalón* horizontal a $P = P_s(T)$ donde coexisten líquido y vapor, y una rama parecida a una hipérbola (vapor). Los extremos del escalón son los volúmenes másicos $v_l(T)$ y $v_v(T)$ del líquido y del vapor saturantes; su lugar geométrico es la *[curva de saturación](#prop-b1-phase-changes-andrews)* (la campana), cuya cima es el [punto crítico](#prop-b1-phase-changes-PTdiagram), donde la isoterma $T_c$ tiene una inflexión horizontal. Por encima de $T_c$ no hay escalón.

**Demostración.** *Admitido a este nivel.* ∎

**Teorema 25.5 (Regla de la palanca).**

Una masa $m$ de volumen másico $v$ situada en el escalón a $T$ se reparte en una fracción másica de vapor $x = m_v/m$ (el *título*) y una fracción líquida $1 - x$, con

$$
v = (1 - x)v_l + x\,v_v , \qquad\text{es decir}\qquad
x = \frac{v - v_l}{v_v - v_l} = \frac{LM}{LV} ,
$$

la razón de los segmentos que el punto de estado $M$ recorta en el escalón. La misma regla vale para toda magnitud extensiva por unidad de masa ($u$, $h$, $s$): $h = (1 - x)h_l + xh_v$.

**Demostración.** Los volúmenes se suman: $V = m_lv_l + m_vv_v$; divídase por $m$. La energía, la [entalpía](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/22-el-primer-principio-de-la-termodinamica#def-b1-first-law-enthalpy) y la entropía son también extensivas. ∎

![Isotermas de Andrews en el diagrama de Clapeyron. Bajo la campana, la isoterma T_1 es un escalón a P_s(T_1); un estado M sobre él es una mezcla cuya fracción de vapor x es la razón LM/LV. La isoterma crítica toca la campana en su cima con una inflexión horizontal; por encima de T_c no hay escalón ni distinción entre líquido y gas.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-phase-changes/fig-8985247cb249.svg)

*[Isotermas de Andrews](#prop-b1-phase-changes-andrews) en el diagrama de Clapeyron. Bajo la campana, la isoterma $T_1$ es un escalón a $P_s(T_1)$; un estado $M$ sobre él es una mezcla cuya fracción de vapor $x$ es la razón $LM/LV$. La isoterma crítica toca la campana en su cima con una inflexión horizontal; por encima de $T_c$ no hay escalón ni distinción entre líquido y gas.*

**Ejemplo 25.6 (Un hervidor y una caldera).**

Agua a $100{}^{\circ}\mathrm{C}$ y $1\,\mathrm{atm}$: $v_l = 1.04 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{kg}$, $v_v = 1.67\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{kg}$ — una razón de $1600$. Un recipiente cerrado de $1.0\,\mathrm{L}$ que contiene $0.50\,\mathrm{kg}$ de agua a esa temperatura tiene $v =
2.0 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{kg}$ y $x = (2.0 - 1.04) \times 10^{-3}/1.67 = 5.8 \times 10^{-4}$: $0.29\,\mathrm{g}$ de vapor ocupan la mitad del recipiente. Duplicar la masa de vapor en un recipiente cerrado apenas mueve el punto de estado; la presión la fija la temperatura por sí sola.

## 25.3 Energética de un cambio de estado

**Proposición 25.7 (Calor latente, entalpía y entropía de transición).**

A la temperatura $T$ y la presión $P_s(T)$ de coexistencia, la transición de la unidad de masa de la [fase](#def-b1-phase-changes-phase) 1 a la [fase](#def-b1-phase-changes-phase) 2 es reversible, isoterma e isobara, y

$$
L_{12}(T) = h_2 - h_1 , \qquad s_2 - s_1 = \frac{L_{12}}{T} , \qquad
u_2 - u_1 = L_{12} - P_s(v_2 - v_1) .
$$

$L_{12} > 0$ cuando se va hacia la [fase](#def-b1-phase-changes-phase) menos ordenada (fusión, vaporización, sublimación), y $L_{21} = -L_{12}$. Para el agua a $1\,\mathrm{atm}$: $L_f = 334\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ a $0{}^{\circ}\mathrm{C}$ y $L_v = 2257\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ a $100{}^{\circ}\mathrm{C}$.

**Demostración.** A presión constante, el calor recibido es $\Delta H$ ([Proposición 22.7](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/22-el-primer-principio-de-la-termodinamica#prop-b1-first-law-qvqp)); reversible e isotermo, vale $T\Delta S$ ([Proposición 23.3](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/23-el-segundo-principio-la-entropia#prop-b1-second-law-entropy-identity)); y $U = H - PV$. ∎

**Ejemplo 25.8 (Adónde va el calor de vaporización).**

Para el agua a $100{}^{\circ}\mathrm{C}$: $P_s(v_v - v_l) = 1.013 \times 10^5 \times
1.67 = 169\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$, luego $u_v - u_l = 2257 - 169 = 2088\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$: el $93\%$ del [calor latente](#def-b1-phase-changes-phase) se emplea en separar las moléculas y el $7\%$ en apartar la atmósfera. La entropía de vaporización, $2257/373 = 6.05\,\mathrm{kJ}/(\mathrm{kg}\,\mathrm{K})$, aplasta a la de fusión, $334/273 =
1.22\,\mathrm{kJ}/(\mathrm{kg}\,\mathrm{K})$: fundir afloja las moléculas, hervir las libera.

**Método 25.9 (Calorimetría con cambios de estado).**

En un recipiente aislado a presión constante, $\sum\Delta H_i = 0$. Supóngase el estado final (qué [fases](#def-b1-phase-changes-phase) hay presentes y a qué temperatura); escríbase el $\Delta H$ de cada cuerpo como calores sensibles $mc\,\Delta T$ más [calores latentes](#def-b1-phase-changes-phase) $\pm mL$ por los cambios que sufra; resuélvase, y *compruébese la suposición*: un cuerpo que acabe por encima de su temperatura de ebullición o por debajo de la de fusión, o una masa negativa de una [fase](#def-b1-phase-changes-phase), significan que la suposición era falsa — el estado final es entonces una mezcla a la temperatura de transición, y la incógnita pasa a ser la masa transformada ([Ejemplo 22.13](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/22-el-primer-principio-de-la-termodinamica#ex-b1-first-law-ice)).

**Ejemplo 25.10 (El vapor quema).**

$10\,\mathrm{g}$ de vapor a $100{}^{\circ}\mathrm{C}$ que se condensan sobre la piel entregan $0.010 \times 2257 = 22.6\,\mathrm{kJ}$ antes de haberse enfriado un solo grado — tanto como los que $10\,\mathrm{g}$ de agua hirviendo dan al enfriarse $540\,\mathrm{K}$. Por eso escalda el vapor mucho más que el agua a la misma temperatura, y por eso un radiador de vapor necesita tan poco caudal.

![La misma campana en el diagrama entrópico. Una isobara la atraviesa como un segmento horizontal de longitud L_v/T; el área bajo el segmento es el calor latente. Los ciclos de las centrales eléctricas se dibujan en este plano, y el título a la salida de la turbina se lee sobre el segmento con la regla de la palanca.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-phase-changes/fig-1ce6c43cf3bb.svg)

*La misma campana en el [diagrama entrópico](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/23-el-segundo-principio-la-entropia#def-b1-second-law-entropy-TS). Una isobara la atraviesa como un segmento horizontal de longitud $L_v/T$; el área bajo el segmento es el [calor latente](#def-b1-phase-changes-phase). Los ciclos de las centrales eléctricas se dibujan en este plano, y el título a la salida de la turbina se lee sobre el segmento con la [regla de la palanca](#thm-b1-phase-changes-lever).*

## 25.4 La relación de Clausius–Clapeyron

**Teorema 25.11 (Clausius–Clapeyron).**

A lo largo de una curva de coexistencia de las [fases](#def-b1-phase-changes-phase) 1 y 2,

$$
\frac{\dd P_s}{\dd T} = \frac{L_{12}(T)}{T\,(v_2 - v_1)} .
$$

**Demostración.** Hágase recorrer a la unidad de masa un [ciclo de Carnot](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/24-maquinas-termicas#def-b1-heat-engines-carnotcycle) infinitesimal dentro de la campana: transición completa $1 \to 2$ por el escalón a $T + \dd T$ y presión $P_s + \dd P_s$ (calor recibido $L_{12}$ a primer orden); un paso adiabático infinitesimal hasta $T$; la transición inversa por el escalón a $T$, $P_s$; un paso adiabático de vuelta. El ciclo es reversible y ditérmico entre $T + \dd T$ y $T$, luego su [rendimiento](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/24-maquinas-termicas#def-b1-heat-engines-efficiency) vale $\dd T/T$ ([Teorema 24.5](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/24-maquinas-termicas#thm-b1-heat-engines-carnot)); su trabajo, el área del rectángulo delgado, vale $\dd P_s\,(v_2 - v_1)$. De ahí $\dd P_s\,(v_2 - v_1)/L_{12} =
\dd T/T$. ∎

![El ciclo de Carnot infinitesimal que demuestra la relación de Clausius–Clapeyron: dos escalones separados por T, unidos por pasos adiabáticos demasiado cortos para dibujarlos; el teorema de Carnot iguala a T/T la razón entre su área y el calor recibido.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-phase-changes/fig-b1ef002ae825.svg)

*El [ciclo de Carnot](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/24-maquinas-termicas#def-b1-heat-engines-carnotcycle) infinitesimal que demuestra la [relación de Clausius–Clapeyron](#thm-b1-phase-changes-clapeyron): dos escalones separados por $\dd T$, unidos por pasos adiabáticos demasiado cortos para dibujarlos; el [teorema de Carnot](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/24-maquinas-termicas#thm-b1-heat-engines-carnot) iguala a $\dd T/T$ la razón entre su área y el calor recibido.*

**Corolario 25.12 (Presión de vapor saturante de un líquido).**

Si el vapor es un [gas perfecto](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/20-teoria-cinetica-y-gas-perfecto#def-b1-kinetic-theory-model) y $v_v \gg v_l$, de modo que $v_v - v_l \approx
RT/(MP_s)$, y si $L_v$ varía poco,

$$
\frac{\dd P_s}{P_s} = \frac{ML_v}{R}\,\frac{\dd T}{T^2} , \qquad
\ln\frac{P_s(T)}{P_s(T_0)} = \frac{ML_v}{R}\Bigl(\frac{1}{T_0} - \frac{1}{T}\Bigr) :
$$

la presión de vapor crece aproximadamente de forma exponencial con la temperatura. Para el agua cerca de $100{}^{\circ}\mathrm{C}$, $ML_v/R = 0.018 \times 2.257 \times 10^6/
8.314 = 4890\,\mathrm{K}$ y $\dd P_s/\dd T = 2.257 \times 10^6/(373 \times 1.67) =
3.6\,\mathrm{kPa}/\mathrm{K}$: cada [kelvin](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/20-teoria-cinetica-y-gas-perfecto#def-b1-kinetic-theory-temperature) de más en la temperatura de ebullición cuesta $36\,\mathrm{mbar}$ de presión.

**Demostración.** Sustitúyase $v_v - v_l \approx RT/(MP_s)$ en el teorema y sepárense las variables; intégrese con $L_v$ constante. ∎

![La presión de vapor saturante del agua. La curva es casi una exponencial en -1/T; la temperatura de ebullición es aquella a la que corta a la presión ambiente.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-phase-changes/fig-57e6ea0128a0.svg)

*La [presión de vapor saturante](#prop-b1-phase-changes-PTdiagram) del agua. La curva es casi una exponencial en $-1/T$; la temperatura de ebullición es aquella a la que corta a la presión ambiente.*

**Ejemplo 25.13 (El hielo bajo un patín).**

Para el equilibrio hielo–agua, $L_f = 334\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ y $v_l - v_s = (1.000 - 1.091)
\times 10^{-3} = -9.1 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{kg}$: $\dd P/\dd T = 3.34 \times 10^5/(273 \times
(-9.1 \times 10^{-5})) = -1.3 \times 10^{7}\,\mathrm{Pa}/\mathrm{K} = -130\,\mathrm{bar}/\mathrm{K}$. Un patinador de $70\,\mathrm{kg}$ sobre una cuchilla de $30\,\mathrm{cm}$ por $3\,\mathrm{mm}$ ($9\,\mathrm{cm}^{2}$) ejerce unos $8\,\mathrm{bar}$, que rebajan el punto de fusión en $0.06\,\mathrm{K}$ — la fusión por presión no es la razón de que los patines deslicen (una fina capa superficial del hielo se comporta ya por sí sola como un líquido, y el rozamiento calienta); pero la pendiente negativa es real, y es la razón de que un alambre cargado con pesas corte un bloque de hielo que vuelve a congelarse detrás de él.

## 25.5 Los estados metaestables

**Definición 25.14 (Sobrefusión, sobrecalentamiento).**

Una [fase](#def-b1-phase-changes-phase) puede persistir más allá de su frontera de equilibrio: agua líquida enfriada por debajo de $0{}^{\circ}\mathrm{C}$ sin congelarse (la *sobrefusión*), calentada por encima de su temperatura de ebullición sin hervir (el *sobrecalentamiento*), vapor comprimido más allá de $P_s$ sin condensar (la sobresaturación). Estos *estados metaestables* exigen la ausencia de puntos de *nucleación* — polvo, arañazos, gas disuelto, cristales de hielo — sobre los que pueda arrancar la nueva [fase](#def-b1-phase-changes-phase); una perturbación los vuelca de golpe, y de modo irreversible, hacia el equilibrio.

**Ejemplo 25.15 (La botella en sobrefusión).**

Agua en reposo a $-8{}^{\circ}\mathrm{C}$ en una botella limpia, y un golpe: los cristales de hielo la recorren como un disparo y la temperatura salta a $0{}^{\circ}\mathrm{C}$. El proceso es adiabático y rápido, de modo que el calor sensible $c\,\Delta T$ congela una fracción $x = c\,\Delta T/L_f = 4.18 \times 8/334 =
0.10$ del agua; la entropía creada, $c\ln(273/265) - xL_f/273 =
124 - 122 = +2\,\mathrm{J}/(\mathrm{kg}\,\mathrm{K})$, es positiva como ha de ser. Las nubes están llenas de gotitas en [sobrefusión](#def-b1-phase-changes-metastable) hasta $-40{}^{\circ}\mathrm{C}$; el engelamiento de los aviones y la siembra de nubes explotan ambos ese hecho.

**Observación 25.16 (Perlas de ebullición y cámaras de burbujas).**

Una burbuja de radio $r$ en un líquido a la presión $P$ contiene vapor a $P + 2\sigma/r$ (tensión superficial $\sigma$, volumen del Año 2); solo puede crecer si $P_s(T) > P + 2\sigma/r$, de modo que un líquido limpio en su temperatura de ebullición no tiene ninguna burbuja lo bastante pequeña para arrancar y se sobrecalienta varios [kelvin](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/20-teoria-cinetica-y-gas-perfecto#def-b1-kinetic-theory-temperature) antes de estallar — los “sobresaltos” que evitan las perlas de ebullición ofreciendo cavidades llenas de gas atrapado. La cámara de burbujas de la física de partículas funcionaba con la misma inestabilidad al revés: un líquido sobrecalentado hierve primero a lo largo de la traza de una partícula ionizante.

**Ejemplo 25.17 (Humedad y rocío).**

El aire contiene vapor de agua a una presión parcial $P_v \leq P_s(T)$; la *[humedad relativa](#ex-b1-phase-changes-dew)* es $P_v/P_s(T)$, y el *[punto de rocío](#ex-b1-phase-changes-dew)*, la temperatura a la que $P_s$ baja hasta $P_v$. Aire a $25{}^{\circ}\mathrm{C}$ ($P_s = 3.17\,\mathrm{kPa}$) con un $60\%$ de humedad tiene $P_v = 1.9\,\mathrm{kPa}$ y $\rho_v = P_vM/(RT) = 14\,\mathrm{g}/\mathrm{m}^{3}$, y deja rocío sobre cualquier superficie por debajo de unos $17{}^{\circ}\mathrm{C}$ — la hierba al alba, la botella fría, el espejo del baño. Si asciende, ese mismo aire se enfría adiabáticamente a $9.8\,\mathrm{K}/\mathrm{km}$ ([Problema 25.1](#pb-b1-phase-changes-1)) y alcanza su [punto de rocío](#ex-b1-phase-changes-dew) hacia un kilómetro de altura: ahí está la base plana de los cúmulos.

## 25.6 Ejercicios

**Ejercicio 25.1 ★.**

Con el diagrama del curso, dese la [fase](#def-b1-phase-changes-phase) del agua (a) a $20{}^{\circ}\mathrm{C}$ bajo $0.5\,\mathrm{kPa}$; (b) a $-5{}^{\circ}\mathrm{C}$ bajo $1\,\mathrm{bar}$; (c) a $400{}^{\circ}\mathrm{C}$ bajo $200\,\mathrm{bar}$; (d) a $0.01{}^{\circ}\mathrm{C}$ bajo $611\,\mathrm{Pa}$. ¿Por qué se seca un charco a $20{}^{\circ}\mathrm{C}$ si el agua “hierve a 100”?

**Solución de Ejercicio 25.1.**

(a) Vapor: $0.5\,\mathrm{kPa}$ está por debajo de $P_s(20{}^{\circ}\mathrm{C}) = 2.3\,\mathrm{kPa}$. (b) Sólido. (c) Por encima de $T_c = 374{}^{\circ}\mathrm{C}$: fluido supercrítico, sin distinción líquido–gas. (d) El [punto triple](#prop-b1-phase-changes-PTdiagram): las tres. El charco se evapora desde su superficie mientras la presión de vapor del aire esté por debajo de $P_s(20{}^{\circ}\mathrm{C})$; la ebullición es solo el caso en que pueden formarse burbujas dentro del líquido.

**Ejercicio 25.2 ★.**

Se burbujean $100\,\mathrm{g}$ de vapor a $100{}^{\circ}\mathrm{C}$ en $1.0\,\mathrm{kg}$ de agua a $20{}^{\circ}\mathrm{C}$ en un recipiente aislado. Temperatura final ($L_v = 2257\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$, $c = 4.18\,\mathrm{kJ}/(\mathrm{kg}\,\mathrm{K})$). Compárese con añadir $100\,\mathrm{g}$ de agua a $100{}^{\circ}\mathrm{C}$.

**Solución de Ejercicio 25.2.**

$0.1 \times 2257 + 0.1 \times 4.18\,(100 - T_f) = 1.0 \times 4.18\,(T_f - 20)$: $351.1 = 4.60\,T_f$, $T_f = 76{}^{\circ}\mathrm{C}$. Con agua caliente en su lugar: $100 - T_f = 10(T_f - 20)$, $T_f = 27{}^{\circ}\mathrm{C}$ — el [calor latente](#def-b1-phase-changes-phase) vale $540\,\mathrm{K}$ de calor sensible.

**Ejercicio 25.3 ★.**

Un recipiente rígido de $2.0\,\mathrm{L}$ contiene $1.0\,\mathrm{kg}$ de agua a $150{}^{\circ}\mathrm{C}$ en equilibrio líquido–vapor ($P_s =
4.76\,\mathrm{bar}$, $v_l = 1.09 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{kg}$, $v_v = 0.393\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{kg}$). Título, masa de vapor y volumen ocupado por el líquido.

**Solución de Ejercicio 25.3.**

$v = 2.0 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{kg}$; $x = (2.0 - 1.09) \times 10^{-3}/0.392 = 2.3 \times 10^{-3}$: $2.3\,\mathrm{g}$ de vapor que llenan $0.91\,\mathrm{L}$; los $0.998\,\mathrm{kg}$ de líquido ocupan $0.998 \times 1.09 = 1.09\,\mathrm{L}$.

**Ejercicio 25.4 ★.**

Entropía de vaporización del agua a $100{}^{\circ}\mathrm{C}$, por kilogramo y por [mol](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/20-teoria-cinetica-y-gas-perfecto#def-b1-kinetic-theory-scales); entropía de fusión por [mol](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/20-teoria-cinetica-y-gas-perfecto#def-b1-kinetic-theory-scales) a $0{}^{\circ}\mathrm{C}$. Muchos líquidos corrientes tienen una entropía molar de vaporización próxima a $88\,\mathrm{J}/(\mathrm{mol}\,\mathrm{K})$ (regla de Trouton): ¿es corriente el agua?

**Solución de Ejercicio 25.4.**

$2257/373 = 6.05\,\mathrm{kJ}/(\mathrm{kg}\,\mathrm{K})$, es decir $\times 0.018 = 109\,\mathrm{J}/(\mathrm{mol}\,\mathrm{K})$; fusión $334/273 \times 0.018 = 22\,\mathrm{J}/(\mathrm{mol}\,\mathrm{K})$. Los $109$ del agua quedan muy por encima de los $88$ de Trouton: los enlaces de hidrógeno hacen el agua líquida más ordenada que un líquido corriente, y vaporizarla gana más desorden.

**Ejercicio 25.5 ★★.**

Temperatura de ebullición del agua en la cima del Everest, $P =
0.33\,\mathrm{bar}$, a partir de [Corolario 25.12](#cor-b1-phase-changes-vapourpressure) con $ML_v/R = 4890\,\mathrm{K}$; y a $2000\,\mathrm{m}$ ($P = 0.80\,\mathrm{bar}$). ¿En qué queda un huevo de $3\,\mathrm{min}$?

**Solución de Ejercicio 25.5.**

$1/T = 1/373.15 - \ln(P/P_0)/4890$. Everest: $\ln(0.33/1.013) = -1.12$, $1/T = 2.680 \times 10^{-3} + 2.29 \times 10^{-4}$, $T = 344\,\mathrm{K} =
71{}^{\circ}\mathrm{C}$. A $0.80\,\mathrm{bar}$: $\ln = -0.236$, $T = 366\,\mathrm{K} =
93{}^{\circ}\mathrm{C}$. A $71{}^{\circ}\mathrm{C}$ la clara cuaja despacio y la yema casi nada: el huevo de $3\,\mathrm{min}$ pasa a ser un huevo de $10\,\mathrm{min}$ o más.

**Ejercicio 25.6 ★★.**

Temperatura dentro de una olla a presión cuya válvula abre a $1.8\,\mathrm{bar}$ absolutos; y la misma si la válvula estuviera tarada a $2.5\,\mathrm{bar}$. El vapor a $1.8\,\mathrm{bar}$ tiene $v_v = 0.98\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{kg}$: ¿cuántos gramos de vapor contiene una olla de $6\,\mathrm{L}$ sobre $4\,\mathrm{L}$ de agua?

**Solución de Ejercicio 25.6.**

$\ln(1.8/1.013) = 0.575$: $1/T = 2.680 \times 10^{-3} - 1.18 \times 10^{-4}$, $T = 390\,\mathrm{K} = 117{}^{\circ}\mathrm{C}$; a $2.5\,\mathrm{bar}$: $\ln = 0.903$, $T = 401\,\mathrm{K} = 128{}^{\circ}\mathrm{C}$. Vapor: $2\,\mathrm{L}/0.98 =
2.0\,\mathrm{g}$ — la olla no contiene casi nada más que agua y un poco de vapor.

**Ejercicio 25.7 ★★.**

Pendiente de la curva de fusión del agua a $0{}^{\circ}\mathrm{C}$ ($L_f =
334\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$, $v_s = 1.091 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{kg}$, $v_l = 1.000 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{kg}$). ¿A qué presión se funde el hielo a $-1{}^{\circ}\mathrm{C}$? Hielo en el fondo de un casquete de $3\,\mathrm{km}$ ($\rho = 917\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$): temperatura de fusión allí y una consecuencia para el flujo de los glaciares.

**Solución de Ejercicio 25.7.**

$\dd P/\dd T = 3.34 \times 10^5/[273 \times (-9.1 \times 10^{-5})] = -1.3 \times 10^{7}\,\mathrm{Pa}/\mathrm{K}
= -130\,\mathrm{bar}/\mathrm{K}$: el hielo se funde a $-1{}^{\circ}\mathrm{C}$ bajo unos $130\,\mathrm{bar}$. Bajo $3\,\mathrm{km}$ de hielo, $P = 917 \times 9.8 \times 3000 =
270\,\mathrm{bar}$: fusión a $-2{}^{\circ}\mathrm{C}$; el lecho de un glaciar puede estar en su punto de fusión mientras la superficie está mucho más fría, y la película de agua de fusión deja deslizar el casquete.

**Ejercicio 25.8 ★★.**

Un kilogramo de agua se evapora por completo a $100{}^{\circ}\mathrm{C}$ bajo $1\,\mathrm{atm}$ ($v_v = 1.673\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{kg}$, $v_l = 1.04 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{kg}$). Trabajo recibido, calor recibido, $\Delta U$, $\Delta H$ y $\Delta S$ del agua; entropía creada si el calor viene de una llama a $1500\,\mathrm{K}$.

**Solución de Ejercicio 25.8.**

$W = -P(v_v - v_l) = -1.013 \times 10^5 \times 1.672 = -169\,\mathrm{kJ}$ (el agua aparta la atmósfera); $Q = L_v = 2257\,\mathrm{kJ}$; $\Delta U = 2257 - 169
= 2088\,\mathrm{kJ}$; $\Delta H = 2257\,\mathrm{kJ}$; $\Delta S = 2257/373 = 6.05\,\mathrm{kJ}/\mathrm{K}$. Con una llama a $1500\,\mathrm{K}$: $S_{\mathrm{exch}} = 2257/1500 = 1.50\,\mathrm{kJ}/\mathrm{K}$, y se crean $4.5\,\mathrm{kJ}/\mathrm{K}$ — casi toda la calidad de la llama se derrocha en calentar agua.

**Ejercicio 25.9 ★★.**

Presiones de saturación: $1.23\,\mathrm{kPa}$ ($10{}^{\circ}\mathrm{C}$), $1.70\,\mathrm{kPa}$ ($15{}^{\circ}\mathrm{C}$), $2.34\,\mathrm{kPa}$ ($20{}^{\circ}\mathrm{C}$), $3.17\,\mathrm{kPa}$ ($25{}^{\circ}\mathrm{C}$), $4.24\,\mathrm{kPa}$ ($30{}^{\circ}\mathrm{C}$). Una habitación a $22{}^{\circ}\mathrm{C}$ tiene una [humedad relativa](#ex-b1-phase-changes-dew) del $70\%$: presión de vapor, [punto de rocío](#ex-b1-phase-changes-dew) (interpólese) y masa de vapor de agua en $50\,\mathrm{m}^{3}$. Un cristal de ventana a $12{}^{\circ}\mathrm{C}$: ¿se empaña? Si se calienta la habitación a $25{}^{\circ}\mathrm{C}$ sin añadir agua: nueva humedad.

**Solución de Ejercicio 25.9.**

$P_s(22{}^{\circ}\mathrm{C}) \approx 2.34 + 0.4 \times 0.83 = 2.67\,\mathrm{kPa}$, $P_v = 0.70 \times 2.67 = 1.87\,\mathrm{kPa}$; [punto de rocío](#ex-b1-phase-changes-dew) donde $P_s = 1.87$: $15 +
5 \times 0.17/0.64 = 16{}^{\circ}\mathrm{C}$. Masa: $\rho_v = 1870 \times 0.018/
(8.314 \times 295) = 13.7\,\mathrm{g}/\mathrm{m}^{3}$, $0.69\,\mathrm{kg}$ en la habitación. Cristal a $12{}^{\circ}\mathrm{C}$: $P_s \approx 1.42\,\mathrm{kPa} < 1.87$, se empaña. A $25{}^{\circ}\mathrm{C}$ la humedad baja al $1.87/3.17 = 59\%$.

**Ejercicio 25.10 ★★★.**

*El [punto triple](#prop-b1-phase-changes-PTdiagram).* (a) Muéstrese, por el carácter de función de estado de $h$, que en el [punto triple](#prop-b1-phase-changes-PTdiagram) $L_s = L_f + L_v$ (sublimación = fusión + vaporización). (b) Muéstrese con Clausius–Clapeyron que la curva de sublimación es más empinada que la de vaporización en el [punto triple](#prop-b1-phase-changes-PTdiagram) (despréciense $v_s$ y $v_l$ frente a $v_v$). (c) Agua: $L_f = 334\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$, $L_v = 2500\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$, $T = 273.16\,\mathrm{K}$, $P = 611\,\mathrm{Pa}$, con el vapor como [gas perfecto](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/20-teoria-cinetica-y-gas-perfecto#def-b1-kinetic-theory-model): ambas pendientes en $\mathrm{Pa}/\mathrm{K}$. (d) ¿Por qué desaparece la nieve en un día frío y seco sin llegar a fundirse?

**Solución de Ejercicio 25.10.**

(a) $h$ es una función de estado: pasar de sólido $\to$ líquido $\to$ vapor en el [punto triple](#prop-b1-phase-changes-PTdiagram) o de sólido $\to$ vapor directamente da el mismo $\Delta h$: $L_s = L_f + L_v$. (b) Con $v_s, v_l \ll v_v$, ambas pendientes valen $L/(Tv_v)$ a la misma $T$ y el mismo $v_v$: su razón es $L_s/L_v > 1$. (c) $v_v = RT/(MP) =
8.314 \times 273.16/(0.018 \times 611) = 206\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{kg}$; vaporización $2.50 \times 10^6/(273.16 \times 206) = 44\,\mathrm{Pa}/\mathrm{K}$, sublimación $2.83 \times 10^6/
(273.16 \times 206) = 50\,\mathrm{Pa}/\mathrm{K}$. (d) Por debajo de $0{}^{\circ}\mathrm{C}$ a $1\,\mathrm{bar}$ no existe líquido; si la presión de vapor del aire está por debajo de $P_s$ sobre el hielo ($260\,\mathrm{Pa}$ a $-10{}^{\circ}\mathrm{C}$), la nieve se sublima — el viento frío y seco se la come.

**Ejercicio 25.11 ★★★.**

*Agua sobrecalentada.* Una burbuja de radio $r$ en agua a la presión $P_0$ contiene vapor a $P_0 + 2\sigma/r$ con $\sigma = 0.059\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ (admitido). (a) Radio mínimo de una burbuja que pueda crecer en agua a $105{}^{\circ}\mathrm{C}$ bajo $1.013\,\mathrm{bar}$, usando $\dd P_s/\dd T = 3.6\,\mathrm{kPa}/\mathrm{K}$. (b) Lo mismo a $101{}^{\circ}\mathrm{C}$. (c) Una taza de agua sobrecalentada hasta $105{}^{\circ}\mathrm{C}$ en un horno microondas se perturba con una cuchara: fracción del agua que se convierte de golpe en vapor y volumen de vapor producido por litro de agua — coméntese el peligro. (d) ¿Por qué lo evitan las perlas de ebullición?

**Solución de Ejercicio 25.11.**

(a) $P_s(105{}^{\circ}\mathrm{C}) \approx 1.013 + 5 \times 0.036 = 1.19\,\mathrm{bar}$: $\Delta P = 0.18\,\mathrm{bar}$, $r^\ast = 2 \times 0.059/(1.8 \times 10^4) = 6.6\,\text{µ}\mathrm{m}$. (b) $\Delta P = 3.6\,\mathrm{kPa}$, $r^\ast = 33\,\text{µ}\mathrm{m}$. (c) $x = c\,\Delta T/L_v =
4.18 \times 5/2257 = 0.93\%$: $9.3\,\mathrm{g}$ por litro, es decir $9.3 \times 10^{-3}
\times 1.67 = 16\,\mathrm{L}$ de vapor producidos en una fracción de segundo dentro de una taza — el agua sale despedida, hirviendo. (d) Las perlas retienen aire en sus poros: ya existen burbujas de decenas de micrómetros, de modo que la ebullición arranca en cuanto $P_s$ alcanza $P_0$.

**Ejercicio 25.12 ★★★.**

*El ciclo de un [refrigerante](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/24-maquinas-termicas#def-b1-heat-engines-vapourcycle).* Una [bomba de calor](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/24-maquinas-termicas#def-b1-heat-engines-machine) hace recorrer al R-134a [Definición 24.16](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/24-maquinas-termicas#def-b1-heat-engines-vapourcycle): evaporación a $-10{}^{\circ}\mathrm{C}$ ($2.0\,\mathrm{bar}$; $h_l = 187\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$, $h_v =
392\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$) y condensación a $40{}^{\circ}\mathrm{C}$ ($10.2\,\mathrm{bar}$; $h_l = 256\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$, $h_v = 419\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$). El fluido sale del condensador como líquido saturante y del evaporador como vapor saturante; el compresor lo entrega a $h = 430\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$. Admítase que en la válvula $h$ se conserva y que el trabajo del compresor por kilogramo es $\Delta h$ (balances en régimen de circulación, volumen del Año 2); en los intercambiadores, isobaros, $q = \Delta h$ ([Proposición 22.7](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/22-el-primer-principio-de-la-termodinamica#prop-b1-first-law-qvqp)). (a) Título a la entrada del evaporador. (b) Calor tomado por kilogramo en el evaporador, calor cedido en el condensador y trabajo de compresión; compruébese el primer principio. (c) $e_p$ y $e_f$; compárense con los valores de Carnot entre las dos temperaturas de saturación. (d) Caudal másico para $6\,\mathrm{kW}$ de calefacción.

**Solución de Ejercicio 25.12.**

(a) Tras la válvula $h = 256\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ a $-10{}^{\circ}\mathrm{C}$: $x =
(256 - 187)/(392 - 187) = 0.34$. (b) Evaporador $q_c = 392 - 256 =
136\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$; compresor $w = 430 - 392 = 38\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$; condensador $q_h = 256 - 430 = -174\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$; $136 + 38 - 174 = 0$. (c) $e_p =
174/38 = 4.6$, $e_f = 136/38 = 3.6$; Carnot $313/50 = 6.3$ y $263/50 =
5.3$: alrededor del $0.7$ del ideal. (d) $\dot m = 6000/174000 = 34\,\mathrm{g}/\mathrm{s}$, $2.1\,\mathrm{kg}$ por minuto.

![Una olla a presión: a 1.8\, bar el agua hierve a 117 C, y es la válvula lastrada la que fija la presión.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-phase-changes/img-3a8cb16dd599.jpg)

*Una olla a presión: a $1.8\,\mathrm{bar}$ el agua hierve a $117{}^{\circ}\mathrm{C}$, y es la válvula lastrada la que fija la presión.*

## 25.7 Problema: el agua en cuatro escenas

**Problema 25.1.**

Problema de fin de semana — la olla a presión, la nube, el recipiente cerrado y la botella en sobrefusión: un solo cuerpo, cuatro usos de su diagrama de fases

Datos del agua: $L_v = 2257\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ a $100{}^{\circ}\mathrm{C}$ y alrededor de $2.2\,\mathrm{MJ}/\mathrm{kg}$ a $117{}^{\circ}\mathrm{C}$, $2.45\,\mathrm{MJ}/\mathrm{kg}$ cerca de $20{}^{\circ}\mathrm{C}$; $L_f = 334\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$; $c = 4.18\,\mathrm{kJ}/(\mathrm{kg}\,\mathrm{K})$ (líquido); $M = 18\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$; $ML_v/R = 4890\,\mathrm{K}$ cerca de $100{}^{\circ}\mathrm{C}$. Presiones de saturación: $0.61\,\mathrm{kPa}$ ($0{}^{\circ}\mathrm{C}$), $1.23\,\mathrm{kPa}$ ($10{}^{\circ}\mathrm{C}$), $1.70\,\mathrm{kPa}$ ($15{}^{\circ}\mathrm{C}$), $2.34\,\mathrm{kPa}$ ($20{}^{\circ}\mathrm{C}$), $3.17\,\mathrm{kPa}$ ($25{}^{\circ}\mathrm{C}$), $4.24\,\mathrm{kPa}$ ($30{}^{\circ}\mathrm{C}$), $101.3\,\mathrm{kPa}$ ($100{}^{\circ}\mathrm{C}$). Volúmenes másicos saturantes: $v_l = 1.0 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{kg}$ (agua fría) y $1.9 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{kg}$ a $360{}^{\circ}\mathrm{C}$; $v_v = 0.0217\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{kg}$ a $300{}^{\circ}\mathrm{C}$, $0.0108$ a $340{}^{\circ}\mathrm{C}$ y $0.0088$ a $350{}^{\circ}\mathrm{C}$; [punto crítico](#prop-b1-phase-changes-PTdiagram) $374{}^{\circ}\mathrm{C}$, $221\,\mathrm{bar}$, $v_c = 3.1 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{kg}$. Aire: $M = 29\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$, $c_p =
1.0\,\mathrm{kJ}/(\mathrm{kg}\,\mathrm{K})$, $\gamma = 1.4$; $g = 9.8\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$; $R =
8.314\,\mathrm{J}/(\mathrm{mol}\,\mathrm{K})$.

**Parte I — La olla a presión.**

1. ¿Por qué no puede calentarse por encima de $100{}^{\circ}\mathrm{C}$ el agua de una cazuela abierta a nivel del mar, por fuerte que sea la llama?
2. A partir de la [relación de Clausius–Clapeyron](#thm-b1-phase-changes-clapeyron) , dedúzcase $\ln[P_s(T)/P_s(T_0)] = (ML_v/R)(1/T_0 - 1/T)$ , enunciando las aproximaciones.
3. Temperatura en una olla cuya válvula abre a $1.8\,\mathrm{bar}$ absolutos.
4. La válvula es una pesa apoyada sobre un orificio de $20\,\mathrm{mm}^{2}$ ; presión atmosférica $1.0\,\mathrm{bar}$ : masa de la pesa.
5. $2.0\,\mathrm{L}$ de agua se llevan de $20{}^{\circ}\mathrm{C}$ a la temperatura de trabajo con una placa de $2.0\,\mathrm{kW}$ (despréciese la olla): calor y tiempo.
6. Una vez allí, se deja la placa a $2.0\,\mathrm{kW}$ : masa de vapor que sale por la válvula cada minuto. ¿Qué debería hacer el cocinero?
7. Las reacciones de la cocción duplican aproximadamente su velocidad cada $10\,\mathrm{K}$ : ¿en qué factor acorta la olla una receta de $30\,\mathrm{min}$ a nivel del mar? ¿Y cuánto duraría esa receta en el Everest, donde el agua hierve a $70{}^{\circ}\mathrm{C}$ ?

**Parte II — La nube.**

8. Defínase la [humedad relativa](#ex-b1-phase-changes-dew) . Aire a $25{}^{\circ}\mathrm{C}$ y $60\%$ : presión parcial del vapor y masa de vapor por metro cúbico ( [gas perfecto](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/20-teoria-cinetica-y-gas-perfecto#def-b1-kinetic-theory-model) ).
9. [Punto de rocío](#ex-b1-phase-changes-dew) de ese aire (interpólese la tabla). Explíquense el rocío sobre la hierba al alba y las gotas en una botella fría.
10. Una parcela de aire seco asciende sin intercambiar calor. A partir de la ley adiabática reversible y de la relación de la estática de fluidos $\dd P/\dd z = -\rho g$ , muéstrese que $\dd T/\dd z = -g/c_p$ y evalúese.
11. El [punto de rocío](#ex-b1-phase-changes-dew) de la parcela ascendente baja a su vez unos $2\,\mathrm{K}/\mathrm{km}$ al caer la presión. Altura a la que la parcela de la pregunta 8 queda saturada — la base de la nube.
12. Por encima de la base, el vapor que condensa libera su [calor latente](#def-b1-phase-changes-phase) en la parcela. ¿En cuánto calienta ese aire la condensación de $1\,\mathrm{g}$ de agua por kilogramo de aire? ¿Qué hace eso con el ritmo de enfriamiento de la parcela mientras sigue subiendo, y por qué importa para las tormentas?
13. Un cúmulo de $1\,\mathrm{km}^{3}$ contiene $1\,\mathrm{g}$ de agua líquida por metro cúbico: masa de agua y energía que libera su condensación, en julios y en $\mathrm{GW}\mathrm{h}$ .
14. Un espejo de baño a $18{}^{\circ}\mathrm{C}$ , con el aire a $25{}^{\circ}\mathrm{C}$ y un $80\%$ : ¿se empaña? ¿Con qué humedad dejaría de hacerlo?

**Parte III — El recipiente cerrado.** Un recipiente rígido de acero de $1.0\,\mathrm{L}$ se llena con una masa $m$ de agua y se cierra sin aire; después se calienta lentamente.

15. $m = 0.50\,\mathrm{kg}$ a $20{}^{\circ}\mathrm{C}$ : presión interior, volumen másico, masa de vapor (úsese el [gas perfecto](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/20-teoria-cinetica-y-gas-perfecto#def-b1-kinetic-theory-model) para $v_v$ ) y fracción del volumen ocupada por el líquido.
16. Al calentarlo, ¿sube o baja el nivel del líquido? ¿A qué temperatura, aproximadamente, llena el líquido el recipiente, y qué le ocurre después a la presión? (Úsese $v_l$ a $360{}^{\circ}\mathrm{C}$ .)
17. $m = 0.10\,\mathrm{kg}$ : ¿sube o baja el nivel del líquido al calentar? ¿A qué temperatura, aproximadamente, se evapora la última gota (úsese la tabla de $v_v$ )?
18. $m = 0.31\,\mathrm{kg}$ : descríbase lo que ve un observador en el menisco cuando la temperatura se acerca a $374{}^{\circ}\mathrm{C}$ .
19. Dibújense los tres caminos de calentamiento en el diagrama $(v, P)$ con la campana de saturación, y dígase por qué lado del [punto crítico](#prop-b1-phase-changes-PTdiagram) pasa cada uno.
20. El mismo recipiente de $1.0\,\mathrm{L}$ con $0.50\,\mathrm{kg}$ de agua se cierra ahora *con* el aire que contenía a $20{}^{\circ}\mathrm{C}$ y $1.0\,\mathrm{bar}$ , y se calienta hasta $100{}^{\circ}\mathrm{C}$ : presión total interior (Dalton) y fuerza sobre una tapa de $100\,\mathrm{cm}^{2}$ .

**Parte IV — La botella en [sobrefusión](#def-b1-phase-changes-metastable).**

21. Una botella de agua limpia y en reposo se ha enfriado hasta $-8{}^{\circ}\mathrm{C}$ sin congelarse. ¿Cómo se llama este estado, por qué es posible y qué ocurre al golpear la botella? ¿Por qué se queda entonces la temperatura exactamente en $0{}^{\circ}\mathrm{C}$ ?
22. Fracción del agua que se congela (el proceso es rápido, luego adiabático).
23. Entropía creada por kilogramo; compruébese el signo.
24. La sorpresa contraria: una taza de agua calentada a $105{}^{\circ}\mathrm{C}$ en un horno microondas sin hervir, y luego perturbada. Fracción del agua que se convierte de golpe en vapor, volumen de vapor producido por litro ( $v_v = 1.67\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{kg}$ ) y por qué estalla la taza.
25. [Trabajo perdido](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/24-maquinas-termicas#thm-b1-heat-engines-lostwork) : el litro en [sobrefusión](#def-b1-phase-changes-metastable) podría haber accionado una máquina reversible con el entorno a $0{}^{\circ}\mathrm{C}$ ; tomando $T_0 = 273\,\mathrm{K}$ , el trabajo que se tira al dejarlo congelarse de un golpe vale $T_0S_{\mathrm{created}}$ . Evalúese por litro y compárese con subir la botella un metro. Conclúyase: ¿qué almacena un [estado metaestable](#def-b1-phase-changes-metastable) ?

**Solución de Problema 25.1.**

**1.** A $1\,\mathrm{atm}$ el agua hierve a $100{}^{\circ}\mathrm{C}$; mientras quede líquido, todo calor aportado produce vapor a esa temperatura ([calor latente](#def-b1-phase-changes-phase)) en vez de calentar el líquido: la presión clava la temperatura.

**2.** $\dd P_s/\dd T = L_v/[T(v_v - v_l)]$ con $v_l \ll v_v = RT/(MP_s)$ (vapor [gas perfecto](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/20-teoria-cinetica-y-gas-perfecto#def-b1-kinetic-theory-model)): $\dd P_s/P_s = (ML_v/R)\,\dd T/T^2$; tomando $L_v$ constante e integrando: $\ln(P_s/P_0) = (ML_v/R)(1/T_0 - 1/T)$.

**3.** $1/T = 1/373.15 - \ln(1.8/1.013)/4890 = 2.562 \times 10^{-3}$: $T =
390\,\mathrm{K} = 117{}^{\circ}\mathrm{C}$.

**4.** $m = \Delta P\,A/g = 0.8 \times 10^5 \times 2.0 \times 10^{-5}/9.8 =
0.16\,\mathrm{kg}$.

**5.** $Q = 2.0 \times 4.18 \times 97 = 811\,\mathrm{kJ}$; $t = 811/2.0 =
405\,\mathrm{s} \approx 7\,\mathrm{min}$.

**6.** $2000/(2.2 \times 10^6) = 0.91\,\mathrm{g}/\mathrm{s} = 55\,\mathrm{g}/\mathrm{min}$ — dos litros idos en $37\,\mathrm{min}$. Bajar la placa a lo mínimo que mantenga la válvula silbando: la temperatura la fija la presión, no la llama.

**7.** $+17\,\mathrm{K}$: $2^{1.7} = 3.2$ veces más rápido, $30\,\mathrm{min}$ $\to$ $9\,\mathrm{min}$. En el Everest, $-30\,\mathrm{K}$: $2^{-3}$, cuatro horas.

**8.** [Humedad relativa](#ex-b1-phase-changes-dew) $= P_v/P_s(T)$. $P_v = 0.60 \times 3.17 =
1.90\,\mathrm{kPa}$; $\rho_v = P_vM/(RT) = 1900 \times 0.018/(8.314 \times 298) =
13.8\,\mathrm{g}/\mathrm{m}^{3}$.

**9.** $P_s(T_d) = 1.90\,\mathrm{kPa}$: entre $15{}^{\circ}\mathrm{C}$ ($1.70\,\mathrm{kPa}$) y $20{}^{\circ}\mathrm{C}$ ($2.34\,\mathrm{kPa}$): $T_d = 15 + 5 \times 0.20/0.64
= 16.6{}^{\circ}\mathrm{C}$. La hierba, que radia hacia el cielo nocturno, o una botella sacada del [frigorífico](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/24-maquinas-termicas#def-b1-heat-engines-machine) bajan por debajo de $T_d$: el vapor en contacto con ellas queda entonces sobresaturado y condensa.

**10.** $TP^{(1-\gamma)/\gamma} = \text{cte}$: $\dd T/T = \frac{\gamma - 1}{\gamma}
\dd P/P$; $\dd P = -\rho g\,\dd z$ con $\rho = PM/(RT)$: $\dd T/T = -\frac{\gamma -
1}{\gamma}\frac{Mg}{RT}\dd z$, luego $\dd T/\dd z = -\frac{\gamma - 1}{\gamma}\frac{Mg}{R} =
-g/c_p$, ya que $c_p = \gamma R/[(\gamma - 1)M]$. Valor $9.8/1000 = 9.8\,\mathrm{K}/\mathrm{km}$.

**11.** $T - T_d$ se cierra a $9.8 - 2 = 7.8\,\mathrm{K}/\mathrm{km}$: $z = (25 - 16.6)/
7.8 = 1.1\,\mathrm{km}$.

**12.** $1 \times 2.45 = 2.45\,\mathrm{kJ}$ por kilogramo de aire: $\Delta T =
2.45\,\mathrm{K}$. Lo liberado compensa parte del enfriamiento adiabático: una parcela saturada solo se enfría $5\text{ to }6\,\mathrm{K}/\mathrm{km}$, se mantiene más caliente y más ligera que su entorno y sigue subiendo — el [calor latente](#def-b1-phase-changes-phase) es el combustible de la tormenta.

**13.** $10^9 \times 1\,\mathrm{g} = 1000\,\mathrm{t}$; $10^6 \times 2.45 \times 10^6 =
2.5 \times 10^{12}\,\mathrm{J} = 0.68\,\mathrm{GW}\mathrm{h}$ — cuarenta minutos de una central grande.

**14.** $P_v = 0.80 \times 3.17 = 2.54\,\mathrm{kPa}$; $P_s(18{}^{\circ}\mathrm{C})
\approx 1.70 + 0.6 \times 0.64 = 2.08\,\mathrm{kPa} < 2.54$: se empaña, hasta que la humedad baje del $2.08/3.17 = 66\%$.

**15.** $P = P_s(20{}^{\circ}\mathrm{C}) = 2.3\,\mathrm{kPa}$; $v = 2.0 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{kg}$; $v_v = RT/(MP_s) = 8.314 \times 293/(0.018 \times 2340) = 58\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{kg}$; $x =
(2.0 - 1.0) \times 10^{-3}/58 = 1.7 \times 10^{-5}$: $9\,\mathrm{mg}$ de vapor; líquido $0.50 \times 10^{-3} = 0.50\,\mathrm{L}$, la mitad del recipiente.

**16.** $v = 2.0 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{kg} < v_c$: la isócora corta la rama líquida de la campana — el líquido se dilata más deprisa de lo que se evapora, el nivel *sube* y el recipiente está lleno de líquido cuando $v_l(T) =
2.0 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{kg}$, poco por encima de $360{}^{\circ}\mathrm{C}$ (unos $190\,\mathrm{bar}$). Más allá, un líquido casi incompresible calentado a volumen constante: la presión sube decenas de bar por [kelvin](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/20-teoria-cinetica-y-gas-perfecto#def-b1-kinetic-theory-temperature) — el recipiente revienta. Nunca hay que cerrar un recipiente lleno de líquido.

**17.** $v = 1.0 \times 10^{-2}\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{kg} > v_c$: el nivel *baja*; la última gota se va cuando $v_v(T) = 0.010$, entre $340{}^{\circ}\mathrm{C}$ ($0.0108$) y $350{}^{\circ}\mathrm{C}$ ($0.0088$): hacia $344{}^{\circ}\mathrm{C}$ y $150\,\mathrm{bar}$.

**18.** $v = 3.2 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{kg} \approx v_c$: el menisco se queda cerca de media altura, se vuelve más plano y más tenue a medida que las dos densidades convergen, el fluido se pone lechoso (opalescencia crítica) y, a $374{}^{\circ}\mathrm{C}$ y $221\,\mathrm{bar}$, el menisco desaparece: una sola [fase](#def-b1-phase-changes-phase).

**19.** Tres rectas verticales: $v = 2.0 \times 10^{-3}$ sale de la campana por la rama líquida, a la izquierda de C; $10^{-2}$, por la rama de vapor, a la derecha de C; $3.2 \times 10^{-3}$, por la cima.

**20.** Aire: $0.5\,\mathrm{L}$ a $1.0\,\mathrm{bar}$ y $293\,\mathrm{K}$, mismo volumen a $373\,\mathrm{K}$: $P_{\text{aire}} = 1.0 \times 373/293 = 1.27\,\mathrm{bar}$; más $P_s = 1.01\,\mathrm{bar}$: $2.3\,\mathrm{bar}$ dentro, $1.3\,\mathrm{bar}$ sobre el exterior: $1.3 \times 10^5 \times 10^{-2} = 1.3\,\mathrm{kN}$ sobre la tapa — el peso de $130\,\mathrm{kg}$.

**21.** [Sobrefusión](#def-b1-phase-changes-metastable), [estado metaestable](#def-b1-phase-changes-metastable): no hay punto de [nucleación](#def-b1-phase-changes-metastable) (agua limpia, sin polvo, sin movimiento) para el primer cristal. Un golpe nuclea hielo, que crece por toda la botella liberando $L_f$; la temperatura sube hasta $0{}^{\circ}\mathrm{C}$ y allí se detiene, la única temperatura a la que coexisten hielo y agua a $1\,\mathrm{atm}$: la congelación cesa en cuanto el calor liberado ha llevado la mezcla hasta ella.

**22.** $x = c\,\Delta T/L_f = 4.18 \times 8/334 = 0.10$.

**23.** $\Delta s = c\ln(273/265) - xL_f/273 = 124.3 - 122.3 =
+2.0\,\mathrm{J}/(\mathrm{kg}\,\mathrm{K})$: adiabático, luego todo creado; y positivo, como ha de ser en un proceso espontáneo.

**24.** $x = 4.18 \times 5/2257 = 0.93\%$: $9.3\,\mathrm{g}$ de vapor por litro, $9.3 \times 10^{-3} \times 1.67 = 16\,\mathrm{L}$ de vapor nacidos en el seno del líquido en una fracción de segundo: la taza estalla.

**25.** $T_0S_{\mathrm{created}} = 273 \times 2.0 = 550\,\mathrm{J}$ por litro, frente a $mgh = 9.8\,\mathrm{J}$: cincuenta y seis veces más. Un [estado metaestable](#def-b1-phase-changes-metastable) almacena trabajo — el que un camino reversible habría podido extraer — y un golpe lo convierte todo en entropía.