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title: "Electrostática: el campo y el teorema de Gauss"
book: "Física universitaria — primer año"
subject: physics
language: es
chapter: 26
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/26-electrostatica-el-campo-y-el-teorema-de-gauss
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# Capítulo 26 — Electrostática: el campo y el teorema de Gauss

Frótese un globo con un jersey y se pega a la pared; péinese el pelo seco y el peine desvía un hilo fino de agua. Detrás de ambas cosas está la fuerza entre [cargas eléctricas](#def-b1-electrostatics-gauss-charge) en reposo, la [ley de Coulomb](#thm-b1-electrostatics-gauss-coulomb) — una ley en el inverso del cuadrado como la [gravitación](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/16-fuerzas-centrales-planetas-y-satelites#def-b1-central-forces-gravitation), pero $10^{36}$ veces más intensa entre dos protones y de los dos signos, de modo que la materia es neutra con una precisión fantástica y los efectos residuales son lo que llamamos química, materiales y rayos. Este capítulo construye el concepto que hace manejable la ley, el [campo eléctrico](#def-b1-electrostatics-gauss-field), muestra cómo leer un campo a partir de sus simetrías y deduce el único teorema que calcula en tres líneas los campos de las distribuciones simétricas: el [teorema de Gauss](#thm-b1-electrostatics-gauss-gauss). Su gemelo gravitatorio sale gratis al final.

![Un rayo de nube a tierra: decenas de culombios traídos abajo en unas pocas descargas de cien kiloamperios — la Tierra eléctrica del problema de fin de semana.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-electrostatics-gauss/img-4e36ee9b571d.jpg)

*Un rayo de nube a tierra: decenas de culombios traídos abajo en unas pocas descargas de cien kiloamperios — la Tierra eléctrica del problema de fin de semana.*

## 26.1 Las cargas y la ley de Coulomb

**Definición 26.1 (Carga eléctrica).**

La *carga eléctrica* $q$ (culombio, $\mathrm{C}$) es una propiedad de la materia que puede tener uno u otro signo; se conserva (la carga total de un sistema aislado no cambia nunca) y está cuantizada en unidades de la *carga elemental* $e = 1.602 \times 10^{-19}\,\mathrm{C}$ (protón $+e$, electrón $-e$). Una distribución macroscópica se describe con una *densidad de carga*: lineal $\lambda$ ($\mathrm{C}/\mathrm{m}$), superficial $\sigma$ ($\mathrm{C}/\mathrm{m}^{2}$) o volumétrica $\rho$ ($\mathrm{C}/\mathrm{m}^{3}$), de modo que un pequeño elemento lleva $\dd q = \lambda\,\dd l$, $\sigma\,\dd S$ o $\rho\,\dd\tau$.

**Teorema 26.2 (Ley de Coulomb).**

Dos cargas puntuales $q_1$ en $M_1$ y $q_2$ en $M_2$ en reposo en el vacío ejercen una sobre otra las fuerzas

$$
\vect F_{1 \to 2} = \frac{q_1q_2}{4\pi\varepsilon_0\,r^2}\,\vect e_{12} = -\vect F_{2 \to 1},
\qquad r = M_1M_2,\quad \vect e_{12} = \frac{\vect{M_1M_2}}{r},
$$

repulsivas para cargas del mismo signo y atractivas para cargas de signos opuestos, con la *[permitividad del vacío](#thm-b1-electrostatics-gauss-coulomb)* $\varepsilon_0 = 8.854 \times 10^{-12}\,\mathrm{F}/\mathrm{m}$, es decir $1/4\pi\varepsilon_0 = 8.99 \times 10^{9}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{C}^{2}$. Las fuerzas de varias cargas se suman (superposición).

**Demostración.** *Admitido a este nivel.* ∎

**Ejemplo 26.3 (Cuán intensa).**

Dos protones separados $1\,\mathrm{fm}$ se repelen con $8.99 \times 10^9 \times (1.6 \times
10^{-19})^2/10^{-30} = 230\,\mathrm{N}$ — el peso de un niño, entre dos partículas de $10^{-27}$ kg; su atracción gravitatoria es $10^{36}$ veces menor. Dos gramos de electrones en un extremo de una habitación y los protones correspondientes en el otro se atraerían con $10^{25}$ N. La materia es neutra porque no le queda otra: todo desequilibrio lo corrigen fuerzas a las que ninguna estructura puede resistir.

## 26.2 El campo eléctrico

**Definición 26.4 (Campo electrostático).**

Una distribución de cargas en reposo crea en cada punto $M$ del espacio un *campo eléctrico* $\vect E(M)$, definido por la fuerza que ejerce sobre una carga de prueba $q$ colocada en $M$: $\vect F = q\vect E(M)$ ($\mathrm{V}/\mathrm{m}$ $=$ $\mathrm{N}/\mathrm{C}$). Una carga puntual $q_1$ situada en $O$ crea

$$
\vect E(M) = \frac{q_1}{4\pi\varepsilon_0 r^2}\,\vect e_r , \qquad r = OM ,
$$

radial, saliente si $q_1 > 0$; una distribución crea la suma vectorial de los campos de sus elementos. Una *línea de campo* es una curva tangente en cada punto a $\vect E$ y orientada según él.

**Proposición 26.5 (Cómo leer un mapa de campo).**

Las [líneas de campo](#def-b1-electrostatics-gauss-field) salen de las cargas positivas y acaban en las negativas (o en el infinito); nunca se cortan (el campo es único en cada punto) y se aprietan donde el campo es intenso. Cuando hay dos cargas presentes, el número de líneas dibujadas en cada una es proporcional a su carga.

![Líneas de campo de dos cargas opuestas (izquierda) y de dos cargas positivas iguales (derecha). Las líneas nacen en el + y mueren en el - o en el infinito; a la derecha se repelen entre sí y el campo se anula en el punto medio, por donde no pasa ninguna línea.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-electrostatics-gauss/fig-944406dd220a.svg)

*[Líneas de campo](#def-b1-electrostatics-gauss-field) de dos cargas opuestas (izquierda) y de dos cargas positivas iguales (derecha). Las líneas nacen en el $+$ y mueren en el $-$ o en el infinito; a la derecha se repelen entre sí y el campo se anula en el punto medio, por donde no pasa ninguna línea.*

**Ejemplo 26.6 (Anillo y segmento por suma directa).**

En el eje de un anillo de radio $R$ que lleva $Q$ uniformemente, a la distancia $z$ de su centro, cada elemento $\dd q$ aporta $\dd q/4\pi\varepsilon_0(R^2 +
z^2)$ a lo largo de la recta que lo une con $M$; las componentes perpendiculares al eje se cancelan de dos en dos y las axiales se suman con el factor $z/\sqrt{R^2 + z^2}$:

$$
E_z = \frac{Qz}{4\pi\varepsilon_0(R^2 + z^2)^{3/2}} ,
$$

nulo en el centro, máximo en $z = R/\sqrt2$ y $Q/4\pi\varepsilon_0z^2$ muy lejos. Un disco cargado uniformemente es un montón de anillos ([Problema 26.1](#pb-b1-electrostatics-gauss-1)). La suma directa funciona siempre que la geometría permita hacer la integral; el resto del capítulo trata de evitarla.

## 26.3 Simetrías e invariancias

**Proposición 26.7 (Principio de simetría).**

El campo tiene las simetrías de sus fuentes. Si un plano $\Pi$ es *[plano de simetría](#prop-b1-electrostatics-gauss-symmetry)* de la distribución de cargas (la imagen especular de la distribución es ella misma), entonces en todo punto de $\Pi$ el campo está *contenido* en $\Pi$; si $\Pi$ es un *[plano de antisimetría](#prop-b1-electrostatics-gauss-symmetry)* (la imagen especular es la distribución con todas las cargas cambiadas de signo), el campo en los puntos de $\Pi$ es *perpendicular* a $\Pi$. Si la distribución es invariante en una traslación o en una rotación, también lo es el campo: sus componentes no dependen de la coordenada correspondiente.

**Demostración.** $\vect E$ es una suma de términos $\dd q\,\vect e/4\pi\varepsilon_0r^2$; la imagen especular de la suma es la suma de las imágenes, y la imagen del campo de una distribución es el campo de la distribución imagen (un vector construido a partir de posiciones y cargas se transforma como las posiciones). En un [plano de simetría](#prop-b1-electrostatics-gauss-symmetry) el campo es igual a su propia imagen especular, luego está contenido en el plano; en un [plano de antisimetría](#prop-b1-electrostatics-gauss-symmetry) es igual al opuesto de su imagen, luego es normal a él. La invariancia es el mismo argumento con una traslación o una rotación. ∎

**Método 26.8 (Hallar la forma de un campo antes de calcularlo).**

Para el punto $M$ donde se quiere el campo: (1) enumérense los [planos de simetría](#prop-b1-electrostatics-gauss-symmetry) de las fuentes que contienen a $M$ — el campo está en su intersección; dos de esos planos fijan la dirección. (2) Enumérense las invariancias — dicen de qué coordenadas depende $\vect E$. Así, un hilo infinito cargado uniformemente da $\vect E = E(r)\,\vect e_r$ en [coordenadas cilíndricas](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/11-cinematica-del-punto#def-b1-point-kinematics-cylindrical), una esfera $\vect E = E(r)\,\vect e_r$ en esféricas, y un plano infinito $\vect E = E(z)\,\vect e_z$ con $E(-z) = -E(z)$. Solo entonces se calcula.

![Las tres distribuciones simétricas del capítulo y las superficies de Gauss (a trazos) adaptadas a ellas: una esfera concéntrica, un cilindro coaxial y un cilindro achatado que atraviesa el plano. En cada una, el campo es o bien normal y de módulo uniforme, o bien tangente.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-electrostatics-gauss/fig-ee7c48718874.svg)

*Las tres distribuciones simétricas del capítulo y las superficies de Gauss (a trazos) adaptadas a ellas: una esfera concéntrica, un cilindro coaxial y un cilindro achatado que atraviesa el plano. En cada una, el campo es o bien normal y de módulo uniforme, o bien tangente.*

## 26.4 El flujo y el teorema de Gauss

**Definición 26.9 (Flujo del campo).**

Córtese una superficie $S$ en pequeños elementos de área $\dd S$, cada uno con una normal unitaria $\vect n$ (para una superficie cerrada, la normal saliente). El *flujo* de $\vect E$ a través de $S$ es la suma

$$
\Phi = \sum \vect E\cdot\vect n\,\dd S = \sum E_n\,\dd S \qquad (\mathrm{V}\,\mathrm{m}):
$$

la componente normal del campo ponderada por el área — el “número de [líneas de campo](#def-b1-electrostatics-gauss-field)” que atraviesan $S$, contadas positivamente cuando lo hacen en el sentido de $\vect n$.

**Teorema 26.10 (Teorema de Gauss).**

El [flujo](#def-b1-electrostatics-gauss-flux) del campo electrostático a través de cualquier superficie cerrada $S$ vale la carga total encerrada por $S$ dividida por $\varepsilon_0$:

$$
\Phi_{\text{sal}} = \frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_0} .
$$

Las cargas exteriores a $S$ no aportan nada al [flujo](#def-b1-electrostatics-gauss-flux) (sus líneas entran y vuelven a salir).

**Demostración.** Para una carga puntual $q$ en el centro de una esfera de radio $r$: $\vect E$ es radial y de módulo $q/4\pi\varepsilon_0r^2$ en toda la esfera, luego $\Phi = E \times 4\pi r^2 = q/\varepsilon_0$ — independiente de $r$, porque el campo decrece como $1/r^2$ exactamente igual que crece el área. Que lo mismo valga para cualquier superficie cerrada que rodee a $q$ (el [flujo](#def-b1-electrostatics-gauss-flux) a través de un elemento de superficie solo depende del ángulo sólido que subtiende desde $q$), que una carga exterior dé cero (subtiende dos veces cada ángulo sólido, con signos opuestos) y que los [flujos](#def-b1-electrostatics-gauss-flux) de varias cargas se sumen, se admite aquí; la demostración completa está en el volumen del Año 2. ∎

**Método 26.11 (Cómo usar el teorema de Gauss).**

(1) A partir de las simetrías, escríbase la forma de $\vect E$ (dirección y variable de la que depende). (2) Elíjase una *superficie de Gauss* cerrada que pase por el punto $M$ y sobre la cual $\vect E$ sea en todas partes o bien normal y del mismo módulo $E(M)$, o bien tangente: el [flujo](#def-b1-electrostatics-gauss-flux) es entonces $E(M)$ por el área de la parte normal. (3) Cuéntese la carga interior. (4) Despéjese $E(M)$. Funciona con esferas, cilindros infinitos y planos infinitos — y con nada más sin herramientas adicionales.

**Proposición 26.12 (Los tres campos clásicos).**

1. Esfera de radio $R$ con la carga $Q$ repartida uniformemente en su volumen: $E(r) = \dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0r^2}$ fuera ( $r > R$ ) — como si toda la carga estuviera en el centro — y $E(r) =  \dfrac{Qr}{4\pi\varepsilon_0R^3}$ dentro, creciendo linealmente desde cero; continuo en $r = R$ . Si la carga está solo en la superficie, el campo interior es nulo.
2. Hilo infinito de carga lineal $\lambda$ : $E(r) =  \dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 r}$ , radial.
3. Plano infinito de carga superficial $\sigma$ : $E = \dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0}$ a cada lado, normal al plano y saliendo de él si $\sigma > 0$ , *independiente de la distancia* . Al atravesar el plano, la componente normal salta en $\sigma/\varepsilon_0$ .

**Demostración.** (1) Esfera de radio $r$: [flujo](#def-b1-electrostatics-gauss-flux) $4\pi r^2E(r)$; carga interior $Q$ si $r > R$ y $Q(r/R)^3$ si $r < R$. (2) Cilindro de radio $r$ y longitud $h$: [flujo](#def-b1-electrostatics-gauss-flux) $2\pi rh\,E(r)$ por la superficie lateral y ninguno por las bases (campo tangente); carga $\lambda h$. (3) Cilindro achatado de sección $S$ que atraviesa el plano: [flujo](#def-b1-electrostatics-gauss-flux) $2SE$ por las dos bases (el campo es impar en $z$, de modo que ambas cuentan positivamente) y ninguno por el costado; carga $\sigma S$. ∎

![El campo de una esfera cargada frente a la distancia a su centro: lineal dentro y en 1/r2 fuera cuando la carga llena el volumen (línea continua); nulo dentro y el mismo fuera cuando está en la superficie (a trazos). Fuera, nada distingue la esfera de una carga puntual situada en su centro.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-electrostatics-gauss/fig-84fb9306df75.svg)

*El [campo de una esfera cargada](#prop-b1-electrostatics-gauss-three) frente a la distancia a su centro: lineal dentro y en $1/r^2$ fuera cuando la carga llena el volumen (línea continua); nulo dentro y el mismo fuera cuando está en la superficie (a trazos). Fuera, nada distingue la esfera de una carga puntual situada en su centro.*

**Ejemplo 26.13 (Dos planos: el condensador plano).**

Dos planos paralelos con $+\sigma$ y $-\sigma$: cada uno crea $\sigma/2\varepsilon_0$ saliendo de él (entrando en el negativo). Entre los planos los dos campos se suman y dan $\sigma/\varepsilon_0$, dirigido del $+$ al $-$; fuera se cancelan. Con $\sigma = 1\,\text{µ}\mathrm{C}/\mathrm{m}^{2}$, $E =
10^{-6}/8.85 \times 10^{-12} = 1.1 \times 10^{5}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ entre ellos y cero fuera: el campo de un condensador cargado está confinado en su entrehierro ([Capítulo 27](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/27-el-potencial-electrico-conductores-y-condensadores#ch-b1-potential-capacitors)).

![Superposición para dos láminas opuestas. A la izquierda: los campos uniformes de cada lámina por separado (en rojo el de la positiva, en azul el que entra en la negativa). A la derecha: su suma, / _0 en el entrehierro y cero en el resto.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-electrostatics-gauss/fig-547e40c2fcfa.svg)

*Superposición para dos láminas opuestas. A la izquierda: los campos uniformes de cada lámina por separado (en rojo el de la positiva, en azul el que entra en la negativa). A la derecha: su suma, $\sigma/\varepsilon_0$ en el entrehierro y cero en el resto.*

## 26.5 La analogía gravitatoria

**Proposición 26.14 (Teorema de Gauss para la gravitación).**

La ley de Newton $\vect F = -Gm_1m_2\,\vect e_{12}/r^2$ tiene la forma de la de Coulomb con $q \to m$ y $1/4\pi\varepsilon_0 \to -G$. El [campo gravitatorio](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/12-las-leyes-de-newton-de-la-dinamica#prop-b1-newton-dynamics-weight) $\vect g$ (fuerza por unidad de masa) obedece por tanto a las mismas reglas de simetría y a

$$
\Phi_{\text{sal}}(\vect g) = -4\pi G\,M_{\text{int}} .
$$

En particular, un cuerpo de simetría esférica atrae a los puntos exteriores como si su masa estuviera en su centro, y el campo dentro de una esfera uniforme de radio $R$ y masa $M$ vale $g(r) = GMr/R^3$, lineal en $r$.

**Demostración.** Sustitúyase $Q/\varepsilon_0$ por $-4\pi GM$ en la demostración de [Proposición 26.12](#prop-b1-electrostatics-gauss-three); el signo menos dice que el [flujo](#def-b1-electrostatics-gauss-flux) entra (la gravedad atrae). ∎

**Ejemplo 26.15 (Dentro de la Tierra).**

Para una Tierra uniforme, $g$ caería linealmente desde $9.8\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ en la superficie hasta cero en el centro; una piedra soltada por un túnel que atravesara el planeta oscilaría armónicamente con periodo $2\pi\sqrt{R/g} =
84\,\mathrm{min}$ — el periodo de un satélite rasante. La Tierra real tiene un núcleo denso, y $g$ en realidad *sube* hasta $10.7\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ en la frontera núcleo–manto antes de caer ([Problema 26.1](#pb-b1-electrostatics-gauss-1)). Newton necesitó el teorema de las capas para aplicar su ley a los planetas; el [teorema de Gauss](#thm-b1-electrostatics-gauss-gauss) lo da en una línea.

## 26.6 Ejercicios

**Ejercicio 26.1 ★.**

Fuerza eléctrica y fuerza gravitatoria entre dos protones separados $2.0\,\mathrm{fm}$; su cociente. ¿Por qué se mantienen unidos entonces los núcleos?

**Solución de Ejercicio 26.1.**

$F_e = 8.99 \times 10^9 \times (1.6 \times 10^{-19})^2/(2 \times 10^{-15})^2 = 58\,\mathrm{N}$; $F_g = 6.67 \times 10^{-11} \times (1.67 \times 10^{-27})^2/(4 \times 10^{-30}) =
4.6 \times 10^{-35}\,\mathrm{N}$; cociente $1.2 \times 10^{36}$. Los núcleos se mantienen porque la interacción fuerte, con alcance de femtómetros, vence incluso a esta repulsión.

**Ejercicio 26.2 ★.**

Campo a $1.0\,\mathrm{m}$ de una carga puntual de $1.0\,\text{µ}\mathrm{C}$. La superficie de la Tierra soporta un campo de $100\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ dirigido hacia abajo: signo y valor de la carga de la Tierra, tratada como una esfera de radio $6370\,\mathrm{km}$.

**Solución de Ejercicio 26.2.**

$E = 8.99 \times 10^9 \times 10^{-6}/1 = 9.0\,\mathrm{kV}/\mathrm{m}$. Un campo dirigido hacia abajo es el de una carga negativa: $Q = -4\pi\varepsilon_0R^2E = -1.11 \times 10^{-10} \times
(6.37 \times 10^6)^2 \times 100 = -4.5 \times 10^{5}\,\mathrm{C}$.

**Ejercicio 26.3 ★.**

Dos cargas $+q$ en $x = \pm a$ sobre el eje $x$. Campo sobre el eje $x$ para $|x| > a$ y sobre el eje $y$; muéstrese que sobre el eje $y$ el $E_y$ es máximo en $y = a/\sqrt2$. Esbócense las líneas cerca del origen.

**Solución de Ejercicio 26.3.**

En el eje, $|x| > a$: $E_x = \dfrac{q}{4\pi\varepsilon_0}\Bigl[\dfrac{1}{(x - a)^2} +
\dfrac{1}{(x + a)^2}\Bigr]$, saliente. En el eje $y$ las componentes según $x$ se cancelan: $E_y = \dfrac{2qy}{4\pi\varepsilon_0(y^2 + a^2)^{3/2}}$; $\dd E_y/\dd y \propto
(y^2 + a^2) - 3y^2 = 0$ en $y = a/\sqrt2$. En el origen el campo se anula; las líneas que salen de cada carga hacia la otra se desvían y escapan según $\pm y$ — un punto de silla.

**Ejercicio 26.4 ★.**

Cargas $+2q$ en $x = 0$ y $-q$ en $x = a$. ¿Dónde se anula el campo sobre el eje $x$? ¿Cuántas [líneas de campo](#def-b1-electrostatics-gauss-field) salen de $+2q$ por cada una que llega a $-q$, y adónde van las demás?

**Solución de Ejercicio 26.4.**

Entre las cargas los dos campos apuntan hacia $-q$: no hay cero. A la izquierda de $+2q$, $2q/x^2 > q/(x + a)^2$ siempre. Más allá de $-q$, a la distancia $d$ de ella: $2q/(a + d)^2 = q/d^2$, $a + d = \sqrt2\,d$, $d = a/(\sqrt2 - 1) = 2.4a$. Salen dos líneas de $+2q$ por cada una que acaba en $-q$; la otra mitad va al infinito, donde el par parece una carga $+q$.

**Ejercicio 26.5 ★★.**

Un disco de radio $R$ lleva $\sigma$ uniformemente. A partir del resultado del anillo, muéstrese que en su eje $E_z = \dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0}\Bigl(1 - \dfrac{z}{\sqrt{z^2 +
R^2}}\Bigr)$ para $z > 0$; compruébense los dos límites $z \ll R$ y $z \gg R$.

**Solución de Ejercicio 26.5.**

Anillo de radio $a$, grosor $\dd a$: $\dd q = 2\pi\sigma a\,\dd a$, $\dd E_z =
\dfrac{\sigma z}{2\varepsilon_0}\dfrac{a\,\dd a}{(a^2 + z^2)^{3/2}}$; al integrar: $\dfrac{\sigma z}{2\varepsilon_0}\Bigl[-\dfrac{1}{\sqrt{a^2 + z^2}}\Bigr]_0^R = \dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0}
\Bigl(1 - \dfrac{z}{\sqrt{z^2 + R^2}}\Bigr)$. $z \ll R$: $\sigma/2\varepsilon_0$, el plano infinito. $z \gg R$: $z/\sqrt{z^2 + R^2} \approx 1 - R^2/2z^2$, luego $E_z
\approx \sigma R^2/4\varepsilon_0z^2 = Q/4\pi\varepsilon_0z^2$, la carga puntual.

**Ejercicio 26.6 ★★.**

Un núcleo de oro ($Z = 79$, $R = 7.0\,\mathrm{fm}$) como esfera cargada uniformemente: campo en la superficie, en $R/2$ y a $1\,\mathrm{pm}$. Compárese con el campo de ruptura del aire, $3 \times 10^{6}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$.

**Solución de Ejercicio 26.6.**

$Q = 79e = 1.26 \times 10^{-17}\,\mathrm{C}$; $E(R) = 8.99 \times 10^9 \times 1.26 \times 10^{-17}/
(7 \times 10^{-15})^2 = 2.3 \times 10^{21}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$; en $R/2$, la mitad: $1.2 \times 10^{21}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$; a $1\,\mathrm{pm}$: $1.14 \times 10^{-7}/10^{-24} = 1.1 \times 10^{17}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ — $10^{15}$ veces el campo de ruptura del aire, a una distancia donde viven los electrones.

**Ejercicio 26.7 ★★.**

Campo de un hilo infinito por el [teorema de Gauss](#thm-b1-electrostatics-gauss-gauss). Un conductor de alta tensión de radio $1.0\,\mathrm{cm}$: carga lineal a la que el campo en su superficie alcanza el valor de ruptura $3 \times 10^{6}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ (inicio del efecto corona). Campo a $5\,\mathrm{m}$ entonces.

**Solución de Ejercicio 26.7.**

Cilindro de radio $r$ y longitud $h$: $2\pi rh\,E = \lambda h/\varepsilon_0$, $E =
\lambda/2\pi\varepsilon_0r$. Efecto corona cuando $\lambda = 2\pi\varepsilon_0 rE = 2\pi \times 8.85 \times
10^{-12} \times 0.01 \times 3 \times 10^6 = 1.7\,\text{µ}\mathrm{C}/\mathrm{m}$; a $5\,\mathrm{m}$, $E = 3 \times 10^6 \times 0.01/5 = 6\,\mathrm{kV}/\mathrm{m}$.

**Ejercicio 26.8 ★★.**

Dos placas paralelas de $1.0\,\mathrm{m}^{2}$ llevan $\pm1.0\,\text{µ}\mathrm{C}$. Campo entre ellas; fuerza sobre una placa (el campo que actúa sobre ella es solo el de la otra placa: ¿por qué?); presión sobre las placas.

**Solución de Ejercicio 26.8.**

$E = \sigma/\varepsilon_0 = 10^{-6}/8.85 \times 10^{-12} = 1.1 \times 10^{5}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$. Una placa no ejerce fuerza neta sobre sí misma (las contribuciones de su propio campo se cancelan de dos en dos); el campo de la otra placa en su posición vale $\sigma/2\varepsilon_0$, luego $F = Q\sigma/2\varepsilon_0 = 10^{-6} \times 10^{-6}/(2 \times 8.85 \times 10^{-12}) =
5.6 \times 10^{-2}\,\mathrm{N}$, atractiva; presión $\sigma^2/2\varepsilon_0 = 0.056\,\mathrm{Pa}$.

**Ejercicio 26.9 ★★.**

Cable coaxial: conductor interior de radio $a$ con $+\lambda$ y malla exterior de radio $b$ con $-\lambda$. Campo en las tres regiones por el [teorema de Gauss](#thm-b1-electrostatics-gauss-gauss). $a = 0.5\,\mathrm{mm}$, $b = 2.5\,\mathrm{mm}$, $\lambda = 10\,\mathrm{nC}/\mathrm{m}$: campo en la superficie del conductor interior.

**Solución de Ejercicio 26.9.**

$r < a$: la carga del conductor interior está en su superficie, no hay carga dentro, $E = 0$. $a < r < b$: $E = \lambda/2\pi\varepsilon_0r$. $r > b$: la carga encerrada es $\lambda - \lambda = 0$, $E = 0$ — el cable no radia ningún campo estático. En $r = a$: $2 \times 8.99 \times 10^9 \times 10^{-8}/(5 \times 10^{-4}) =
3.6 \times 10^{5}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$.

**Ejercicio 26.10 ★★★.**

Una corona esférica gruesa $R_1 < r < R_2$ lleva $Q$ uniformemente en su volumen. Campo en las tres regiones; compruébese la continuidad en $R_1$ y $R_2$; ¿dónde es máximo? Esbócese $E(r)$. Una carga positiva colocada en la cavidad: ¿qué fuerza siente?

**Solución de Ejercicio 26.10.**

$\rho = 3Q/4\pi(R_2^3 - R_1^3)$. $r < R_1$: $E = 0$. $R_1 < r < R_2$: $4\pi r^2E =
\rho\,\tfrac43\pi(r^3 - R_1^3)/\varepsilon_0$, luego $E = \dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0r^2}\,
\dfrac{r^3 - R_1^3}{R_2^3 - R_1^3}$. $r > R_2$: $Q/4\pi\varepsilon_0r^2$. En $R_1$ ambos lados dan $0$; en $R_2$ ambos dan $Q/4\pi\varepsilon_0R_2^2$. En la corona, $E
\propto r - R_1^3/r^2$ crece, de modo que el máximo está en $R_2$, tras el cual cae como $1/r^2$. En la cavidad el campo es nulo: una carga allí no siente fuerza alguna — esté donde esté.

**Ejercicio 26.11 ★★★.**

*La gravedad dentro de la Tierra.* Núcleo: radio $3480\,\mathrm{km}$, densidad $11\,000\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$; manto hasta $6370\,\mathrm{km}$, densidad $4500\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$. (a) Masa del núcleo, del manto y total (compárese con $5.97 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$). (b) $g$ en la superficie y en la frontera núcleo–manto. (c) Muéstrese que $g$ crece con la profundidad en el manto si la densidad de este es menor que $\tfrac23$ de la densidad media de lo que hay debajo, y compruébese.

**Solución de Ejercicio 26.11.**

(a) Núcleo $\tfrac43\pi(3.48 \times 10^6)^3 \times 11000 = 1.94 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$; manto $\tfrac43\pi[(6.37 \times 10^6)^3 - (3.48 \times 10^6)^3] \times 4500 = 4.08 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$; total $6.0 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$, con un error del $1\%$. (b) Superficie $GM/R^2 = 9.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$; frontera $6.67 \times 10^{-11} \times 1.94 \times 10^{24}/(3.48 \times 10^6)^2 =
10.7\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$. (c) $g = GM(r)/r^2$ con $\dd M = 4\pi r^2\rho_m\,\dd r$: $\dd g/\dd r = 4\pi G\rho_m - 2GM(r)/r^3 = 4\pi G[\rho_m - \tfrac23\bar\rho(r)]$, donde $\bar\rho(r) = M(r)/\tfrac43\pi r^3$ es la densidad media por debajo de $r$. $g$ crece con la profundidad ($\dd g/\dd r < 0$) si y solo si $\rho_m < \tfrac23\bar\rho$. Justo por debajo de la superficie $\bar\rho = 5500$ y $\tfrac23\bar\rho = 3700 < 4500$: $g$ baja primero un poco; en la frontera del núcleo $\bar\rho = 11000$ y $7300 >
4500$: allí sube, hasta $10.7$.

**Ejercicio 26.12 ★★★.**

*El átomo de Thomson.* Modélese el átomo de hidrógeno como una esfera positiva uniforme de carga $+e$ y radio $R = 0.10\,\mathrm{nm}$ con el electrón libre en su interior. (a) Fuerza sobre el electrón a la distancia $r$ del centro. (b) Muéstrese que oscila armónicamente y calcúlense la frecuencia y la [longitud de onda](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/5-propagacion-de-senales-ondas-progresivas-y-estacionarias#prop-b1-wave-propagation-sinusoidal) de la luz que emitiría. (c) Compárese con las rayas ultravioletas del hidrógeno ($122\,\mathrm{nm}$ y menores) y coméntese en qué acierta y en qué falla el modelo ([Capítulo 30](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/30-introduccion-a-la-fisica-cuantica#ch-b1-quantum-introduction)).

**Solución de Ejercicio 26.12.**

(a) Dentro, $E = er/4\pi\varepsilon_0R^3$ saliente; sobre el electrón $\vect F =
-\dfrac{e^2}{4\pi\varepsilon_0R^3}\,\vect r$: un muelle. (b) $\omega = \sqrt{e^2/4\pi\varepsilon_0mR^3}
= \sqrt{2.31 \times 10^{-28}/(9.11 \times 10^{-31} \times 10^{-30})} = 1.6 \times 10^{16}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$, $f = 2.5 \times 10^{15}\,\mathrm{Hz}$, $\lambda = c/f = 120\,\mathrm{nm}$. (c) Asombrosamente cerca de la raya de $122\,\mathrm{nm}$: el tamaño y la intensidad del átomo son correctos. Pero el modelo da una sola frecuencia, no una serie, y el núcleo no es una bola de $0.1\,\mathrm{nm}$, sino un punto de $10^{-15}$ m — y un electrón clásico en órbita radiaría toda su energía en nanosegundos. El remedio es [Capítulo 30](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/30-introduccion-a-la-fisica-cuantica#ch-b1-quantum-introduction).

## 26.7 Problema: la Tierra eléctrica

**Problema 26.1.**

Problema de fin de semana — el campo de buen tiempo, la nube de tormenta, la descarga del rayo y el teorema de Gauss aplicado a la gravitación

Datos: $\varepsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12}\,\mathrm{F}/\mathrm{m}$, $1/4\pi\varepsilon_0 = 8.99 \times 10^{9}\,\mathrm{SI}$, $e = 1.6 \times 10^{-19}\,\mathrm{C}$, radio de la Tierra $R_E = 6.37 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$, superficie $5.1 \times 10^{14}\,\mathrm{m}^{2}$, $G = 6.67 \times 10^{-11}\,\mathrm{SI}$, $M_E = 5.97 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$.

**Parte I — El campo de buen tiempo.** Con tiempo despejado el campo en el suelo vale $E_0 = 100\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ y apunta hacia *abajo*.

1. Sentido de la fuerza sobre un electrón libre en el suelo; signo de la carga de la Tierra.
2. Trátese la Tierra como una esfera cargada uniformemente: dese, por el [teorema de Gauss](#thm-b1-electrostatics-gauss-gauss) , su carga total.
3. Densidad superficial de carga del suelo; número de electrones en exceso por centímetro cuadrado.
4. Fuerza sobre un grano de polvo de $1\,\text{µ}\mathrm{g}$ que lleva $100$ [cargas elementales](#def-b1-electrostatics-gauss-charge) ; compárese con su peso.
5. Las medidas muestran que el campo baja a unos $5\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ a $10\,\mathrm{km}$ . Aplíquese el [teorema de Gauss](#thm-b1-electrostatics-gauss-gauss) a una columna vertical de sección $1\,\mathrm{m}^{2}$ entre el suelo y $10\,\mathrm{km}$ : signo y cantidad de la carga que lleva el aire por metro cuadrado.
6. Densidad volumétrica media de carga de ese aire y número correspondiente de [cargas elementales](#def-b1-electrostatics-gauss-charge) por metro cúbico. (El aire contiene unos $10^9$ iones de cada signo por metro cúbico: ¿qué fracción de desequilibrio es esta?)
7. El aire tiene una pequeña conductividad $\gamma = 2 \times 10^{-14}\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$ , de modo que baja una densidad de corriente $\gamma E_0$ . Corriente total de buen tiempo en todo el globo; tiempo que tardaría en neutralizar la carga de la Tierra. Conclúyase.

**Parte II — La nube de tormenta.** Modélese una nube de tormenta como dos discos horizontales de radio $R = 3\,\mathrm{km}$: $-Q$ a $3\,\mathrm{km}$ de altitud y $+Q$ a $9\,\mathrm{km}$, con $Q = 40\,\mathrm{C}$.

8. Campo en el eje de un anillo de radio $a$ que lleva $q$ , a la distancia $z$ de su centro (simetría y después suma).
9. Dedúzcase, sumando anillos, el campo en el eje de un disco de radio $R$ y carga superficial $\sigma$ : $E_z = \dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0}\Bigl(1 - \dfrac{z}{\sqrt{z^2 + R^2}}\Bigr)$ .
10. Límites $z \ll R$ y $z \gg R$ ; interprétese cada uno.
11. Carga superficial del disco inferior; campo que crea en el suelo justo debajo (dirección y valor).
12. Campo del disco superior en el mismo punto; campo total en el suelo bajo la tormenta. El suelo es un conductor y sus cargas inducidas duplican aproximadamente el resultado (admitido): compárese con los $10\,\mathrm{kV}/\mathrm{m}$ medidos bajo las tormentas y con el valor de buen tiempo.
13. [Flujo](#def-b1-electrostatics-gauss-flux) del campo a través de una superficie cerrada que encierra toda la nube; y a través de otra que encierra solo el disco inferior.
14. Campo a media distancia entre los dos discos ( $6\,\mathrm{km}$ ) y su dirección; compárese con el campo de ruptura del aire a esa altitud, de unos $1.5 \times 10^{6}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ .
15. Si los $40\,\mathrm{C}$ estuvieran concentrados en una esfera de radio $500\,\mathrm{m}$ : campo en su superficie. ¿Por qué sigue siendo una cuestión abierta el inicio del rayo?

**Parte III — La descarga.** Una descarga de retorno lleva $5\,\mathrm{C}$ al suelo en $50\,\text{µ}\mathrm{s}$ por un canal de $3\,\mathrm{km}$ de largo; tómese el campo a lo largo del canal igual a $10^5$ V/m.

16. Corriente media.
17. Trabajo de la fuerza eléctrica sobre la carga transferida; potencia durante la descarga; compárese con el consumo medio de potencia de la humanidad, de unos $2 \times 10^{13}\,\mathrm{W}$ .
18. El canal tiene un radio de $2\,\mathrm{cm}$ : masa de aire que contiene ( $\rho = 1.2\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ) y temperatura que alcanzaría si toda la energía lo calentara a volumen constante ( $c_V =  720\,\mathrm{J}/(\mathrm{kg}\,\mathrm{K})$ ). Las temperaturas reales del canal rondan los $30\,000\,\mathrm{K}$ : ¿adónde va el resto?
19. El trueno: retraso por kilómetro y razón de que el sonido de un canal de $3\,\mathrm{km}$ retumbe durante segundos.
20. En todo el mundo se producen unas $50$ descargas de nube a tierra por segundo: corriente que llevan hacia abajo; compárese con la Parte I y complétese la imagen del “circuito global”.

**Parte IV — El [teorema de Gauss](#thm-b1-electrostatics-gauss-gauss) aplicado a la [gravitación](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/16-fuerzas-centrales-planetas-y-satelites#def-b1-central-forces-gravitation).**

21. Escríbase el [teorema de Gauss](#thm-b1-electrostatics-gauss-gauss) para el [campo gravitatorio](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/12-las-leyes-de-newton-de-la-dinamica#prop-b1-newton-dynamics-weight) $\vect g$ y justifíquese la constante con el caso de una masa puntual.
22. Tierra uniforme: $g(r)$ en el interior; valor en $r = R_E/2$ .
23. Tierra real, con un núcleo de radio $3480\,\mathrm{km}$ y densidad $11\,000\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ : $g$ en la frontera núcleo–manto; compárese con la superficie.
24. Una piedra soltada por un túnel sin rozamiento que atraviesa una Tierra uniforme: ecuación del movimiento, periodo de la oscilación y rapidez en el centro.
25. Resúmase: en cada una de las cuatro partes, ¿qué sustituyó el [teorema de Gauss](#thm-b1-electrostatics-gauss-gauss) y qué cuatro números vale la pena recordar?

**Solución de Problema 26.1.**

**1.** $\vect F = -e\vect E$: hacia arriba. Un campo dirigido hacia abajo en la superficie es el de una carga negativa: la Tierra es negativa.

**2.** Esfera de radio $R_E$, $E_n = -100$: $Q = 4\pi\varepsilon_0R_E^2E_n =
1.11 \times 10^{-10} \times 4.06 \times 10^{13} \times (-100) = -4.5 \times 10^{5}\,\mathrm{C}$.

**3.** $\sigma = \varepsilon_0E_n = -8.9 \times 10^{-10}\,\mathrm{C}/\mathrm{m}^{2}$; $8.9 \times 10^{-10}/1.6 \times
10^{-19} = 5.5 \times 10^9$ electrones por metro cuadrado, $5.5 \times 10^5$ por centímetro cuadrado.

**4.** $F = 100e \times 100 = 1.6 \times 10^{-15}\,\mathrm{N}$; peso $10^{-9} \times 9.8 =
9.8 \times 10^{-9}\,\mathrm{N}$: seis millones de veces mayor.

**5.** Normales salientes: arriba $E_n = -5$, abajo $E_n = +100$, los costados cero: $\Phi = 95\,\mathrm{V}\,\mathrm{m}$, luego $Q = 95\varepsilon_0 = +8.4 \times 10^{-10}\,\mathrm{C}$ por metro cuadrado — carga espacial positiva, que casi cancela los $-8.9 \times 10^{-10}$ del suelo.

**6.** $\rho = 8.4 \times 10^{-10}/10^4 = 8.4 \times 10^{-14}\,\mathrm{C}/\mathrm{m}^{3}$: $5 \times 10^5$ [cargas elementales](#def-b1-electrostatics-gauss-charge) por metro cúbico; frente a $10^9$ iones de cada signo, un desequilibrio de $5 \times 10^{-4}$.

**7.** $J = \gamma E_0 = 2 \times 10^{-12}\,\mathrm{A}/\mathrm{m}^{2}$; $I = J \times 5.1 \times 10^{14} =
1.0\,\mathrm{kA}$; $Q/I = 4.5 \times 10^5/1000 = 450\,\mathrm{s}$. La Tierra quedaría neutra en ocho minutos: algo la recarga sin parar.

**8.** El eje está contenido en todos los planos que lo contienen, y todos son de simetría: $\vect E$ es axial. Cada $\dd q$ da $\dd q/4\pi\varepsilon_0(a^2 + z^2)$ según su propia dirección, cuya parte axial es la fracción $z/\sqrt{a^2 + z^2}$: $E_z = qz/4\pi\varepsilon_0(a^2 + z^2)^{3/2}$.

**9.** $\dd q = 2\pi\sigma a\,\dd a$: $E_z = \dfrac{\sigma z}{2\varepsilon_0}\displaystyle\int_0^R
\dfrac{a\,\dd a}{(a^2 + z^2)^{3/2}} = \dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0}\Bigl(1 - \dfrac{z}{\sqrt{z^2
+ R^2}}\Bigr)$.

**10.** $z \ll R$: $\sigma/2\varepsilon_0$, el plano infinito (el valor de Gauss); $z \gg R$: $\sigma R^2/4\varepsilon_0z^2 = Q/4\pi\varepsilon_0z^2$, la carga puntual.

**11.** $\sigma = -40/(\pi \times 9 \times 10^6) = -1.4 \times 10^{-6}\,\mathrm{C}/\mathrm{m}^{2}$; $\sigma/2\varepsilon_0 =
8.0 \times 10^{4}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$; a $z = 3\,\mathrm{km}$, $1 - 3/\sqrt{18} = 0.29$: $E =
2.3 \times 10^{4}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$, dirigido hacia *arriba*, hacia la carga negativa.

**12.** Disco superior, $z = 9\,\mathrm{km}$: $8.0 \times 10^4 \times (1 - 9/\sqrt{90}) =
4.1 \times 10^{3}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ hacia abajo. Neto: $1.9 \times 10^{4}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ hacia arriba, unos $4 \times 10^4$ con las cargas inducidas del suelo: el orden correcto de los $10\,\mathrm{kV}/\mathrm{m}$ medidos (la carga real está más repartida y en parte apantallada); invertido y cien veces el campo de buen tiempo.

**13.** Nube entera: carga neta nula, [flujo](#def-b1-electrostatics-gauss-flux) nulo. Solo el disco inferior: $-Q/\varepsilon_0 = -40/8.85 \times 10^{-12} = -4.5 \times 10^{12}\,\mathrm{V}\,\mathrm{m}$.

**14.** Cada disco está a $3\,\mathrm{km}$ y da $2.3 \times 10^4$; el superior ($+$) empuja hacia abajo y el inferior ($-$) tira hacia abajo: $4.7 \times 10^{4}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ hacia abajo — treinta veces por debajo de la ruptura.

**15.** $Q/4\pi\varepsilon_0R^2 = 8.99 \times 10^9 \times 40/(2.5 \times 10^5) =
1.4 \times 10^{6}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$: solo una carga apretada en medio kilómetro llega a la ruptura, y los campos medidos dentro de la nube son diez veces demasiado débiles. El refuerzo local en gotas y cristales de hielo, o los electrones desbocados que siembran los rayos cósmicos, son los candidatos — cómo arranca un relámpago sigue en discusión.

**16.** $I = 5/(5 \times 10^{-5}) = 1 \times 10^{5}\,\mathrm{A}$.

**17.** $W = QEd = 5 \times 10^5 \times 3000 = 1.5 \times 10^{9}\,\mathrm{J}$ ($420\,\mathrm{kW}\mathrm{h}$); $P = 1.5 \times 10^9/5 \times 10^{-5} = 3 \times 10^{13}\,\mathrm{W}$ — una vez y media la potencia de toda la humanidad, durante cincuenta microsegundos.

**18.** Volumen $\pi(0.02)^2 \times 3000 = 3.8\,\mathrm{m}^{3}$, masa $4.5\,\mathrm{kg}$; $\Delta T = 1.5 \times 10^9/(4.5 \times 720) = 4.6 \times 10^{5}\,\mathrm{K}$ si nada escapara. El canal estalla hacia fuera (la onda de choque es el trueno), radia luz y ondas de radio, ioniza y disocia el aire: calentar el canal final hasta $3 \times 10^4$ K es una pequeña parte de la factura.

**19.** $2.9\,\mathrm{s}$ por kilómetro. El sonido sale a la vez de todos los puntos de un canal de $3\,\mathrm{km}$, desde distancias que difieren en kilómetros: llega repartido en varios segundos — el retumbo.

**20.** $50 \times 5 = 250\,\mathrm{A}$ llevados al suelo; con las corrientes más discretas de las tormentas (descarga por puntas bajo las nubes, lluvia cargada) el total alcanza el kiloamperio de la Parte I: las tormentas son los generadores de un circuito global cuyo retorno es el aire de buen tiempo.

**21.** $\Phi_{\text{sal}}(\vect g) = -4\pi GM_{\text{int}}$: para una masa puntual $g = -GM/r^2$ sobre una esfera de área $4\pi r^2$, el [flujo](#def-b1-electrostatics-gauss-flux) vale $-4\pi GM$, independiente de $r$; lo demás sigue como en Coulomb.

**22.** $g(r) = g_0r/R_E$; en $R_E/2$: $4.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$.

**23.** $M_{\text{núcleo}} = 1.94 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$, $g = GM_{\text{núcleo}}/R_c^2 =
10.7\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ — mayor que en la superficie: el manto de encima es más ligero que la media de lo que hay debajo.

**24.** $m\ddot x = -mg_0x/R_E$: $\omega = \sqrt{g_0/R_E} = 1.24 \times 10^{-3}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$, $T = 2\pi/\omega = 5060\,\mathrm{s} = 84\,\mathrm{min}$, $v_{\max} = \omega R_E =
7.9\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ — la [rapidez orbital](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/16-fuerzas-centrales-planetas-y-satelites#thm-b1-central-forces-circular) de un satélite rasante, cuyo periodo es el mismo.

**25.** Sustituyó la suma sobre todas las cargas de la Tierra (I), sobre los iones del aire (I) y sobre todas las capas de roca (IV) — y en II fijó los límites de la suma sobre el disco. Recuérdense: $-5 \times 10^{5}\,\mathrm{C}$ y $1\,\mathrm{kA}$ para la Tierra de buen tiempo; $40\,\mathrm{C}$ y $10^{4}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ bajo una tormenta; $10^{5}\,\mathrm{A}$ y $10^{9}\,\mathrm{J}$ por descarga; $10.7\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ en la frontera del núcleo.