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title: "El potencial eléctrico; conductores y condensadores"
book: "Física universitaria — primer año"
subject: physics
language: es
chapter: 27
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/27-el-potencial-electrico-conductores-y-condensadores
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# Capítulo 27 — El potencial eléctrico; conductores y condensadores

Un campo son tres números en cada punto; un potencial, uno solo. Como la fuerza electrostática es conservativa, todo el campo de una distribución de cargas puede plegarse en una única función escalar, el potencial, del que se recupera derivando — la misma economía que convirtió las fuerzas en [energía potencial](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/13-trabajo-energia-y-energia-potencial#def-b1-work-and-energy-conservative) en mecánica. El potencial es lo que mide un voltímetro, lo que mantiene una pila, lo que acelera los electrones en un tubo; sus superficies de nivel dibujan un campo de un vistazo. Este capítulo lo construye, lo aplica al dipolo (el primer modelo eléctrico de una molécula) y se vuelve después hacia los dos objetos con los que está hecho todo circuito: los conductores, en los que la carga se ordena de modo que mata el campo interior, y los [condensadores](#def-b1-potential-capacitors-capacitance), que almacenan carga y energía en un campo.

![Cargada a unos cientos de kilovoltios por un generador de Van de Graaff, una persona es un conductor equipotencial cuyos cabellos, todos al mismo potencial y todos cargados igual, se repelen entre sí.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-potential-capacitors/img-b002bebad4b0.jpg)

*Cargada a unos cientos de kilovoltios por un generador de Van de Graaff, una persona es un conductor equipotencial cuyos cabellos, todos al mismo potencial y todos cargados igual, se repelen entre sí.*

## 27.1 El potencial electrostático

**Teorema 27.1 (El campo electrostático es conservativo).**

Existe una función escalar $V(M)$, el *[potencial electrostático](#thm-b1-potential-capacitors-potential)* (voltio, $\mathrm{V}$), tal que

$$
\vect E = -\overrightarrow{\operatorname{grad}}\,V , \qquad
V_A - V_B = \int_A^B \vect E\cdot\dd\vect l
$$

a lo largo de cualquier camino de $A$ a $B$ (la *circulación* de $\vect E$ de $A$ a $B$ no depende del camino y es nula sobre un circuito cerrado). Para una carga puntual $q$ situada en $O$, $V(M) = \dfrac{q}{4\pi\varepsilon_0\,OM}$ con el convenio $V(\infty) = 0$; para varias cargas los potenciales se suman. La [energía potencial](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/13-trabajo-energia-y-energia-potencial#def-b1-work-and-energy-conservative) de una carga $q'$ en $M$ es $E_p = q'V(M)$, y el trabajo de la fuerza eléctrica de $A$ a $B$ vale $q'(V_A - V_B)$.

**Demostración.** La fuerza de Coulomb de una carga fija $q$ sobre $q'$ tiene la forma de la [gravitación](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/16-fuerzas-centrales-planetas-y-satelites#def-b1-central-forces-gravitation) de Newton con $-Gm_1m_2$ sustituido por $qq'/4\pi\varepsilon_0$; el mismo cálculo que dio $E_p = -Gm_1m_2/r$ ([Proposición 13.7](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/13-trabajo-energia-y-energia-potencial#prop-b1-work-and-energy-eps)) da $E_p = qq'/4\pi\varepsilon_0r$: al dividir por $q'$ se obtiene $V$, y $\vect E = \vect F/q' =
-\overrightarrow{\operatorname{grad}}(E_p)/q'$. La superposición lleva el resultado a cualquier distribución; la fórmula de la circulación es la definición del gradiente integrada a lo largo del camino. ∎

**Proposición 27.2 (Cómo leer un potencial).**

1. Las *[superficies equipotenciales](#prop-b1-potential-capacitors-reading)* $V = \text{cte}$ son en todo punto perpendiculares a las [líneas de campo](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/26-electrostatica-el-campo-y-el-teorema-de-gauss#def-b1-electrostatics-gauss-field) , y el campo apunta hacia los potenciales *decrecientes* .
2. $|\vect E|$ es la rapidez de variación de $V$ en la dirección de mayor pendiente: donde las equipotenciales se aprietan, el campo es intenso.
3. $V$ está definido salvo una constante aditiva; solo son medibles las diferencias (las tensiones). La tierra o el infinito se toman como cero por convenio.
4. En [coordenadas esféricas](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/11-cinematica-del-punto#def-b1-point-kinematics-spherical) con simetría en torno a $O$ , $E_r = -\dd V/  \dd r$ ; en [coordenadas polares](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/11-cinematica-del-punto#def-b1-point-kinematics-cylindrical) $(r, \theta)$ en un plano, $E_r = -\partial V/\partial r$ y $E_\theta = -\dfrac1r\,\partial V/\partial\theta$ .

**Demostración.** Sobre una equipotencial $\dd V = -\vect E\cdot\dd\vect l = 0$ para todo desplazamiento contenido en la superficie, luego $\vect E$ es normal a ella; al avanzar según $\vect E$, $\dd V = -E\,\dd l < 0$. Las componentes polares salen de $\dd V = (\partial V/\partial r)\dd r + (\partial V/\partial\theta)\dd\theta$ y $\dd\vect l = \dd r\,\vect e_r + r\,\dd\theta\,\vect e_\theta$. ∎

![Equipotenciales (naranja) y líneas de campo (azul) de una carga puntual y de un condensador plano. Las líneas cortan las equipotenciales en ángulo recto y van del potencial alto al bajo; donde las equipotenciales se aprietan, el campo es intenso.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-potential-capacitors/fig-816cb1e1caf9.svg)

*Equipotenciales (naranja) y [líneas de campo](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/26-electrostatica-el-campo-y-el-teorema-de-gauss#def-b1-electrostatics-gauss-field) (azul) de una carga puntual y de un [condensador plano](#prop-b1-potential-capacitors-three). Las líneas cortan las equipotenciales en ángulo recto y van del potencial alto al bajo; donde las equipotenciales se aprietan, el campo es intenso.*

**Método 27.3 (Cómo calcular un potencial).**

O bien se suma $\dd q/4\pi\varepsilon_0r$ sobre la distribución (cuando la suma es manejable y la distribución es finita, de modo que $V(\infty) = 0$ tenga sentido), o bien se integra $\dd V = -\vect E\cdot\dd\vect l$ por un camino cómodo desde un punto donde se conoce $V$, usando el campo hallado con el [teorema de Gauss](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/26-electrostatica-el-campo-y-el-teorema-de-gauss#thm-b1-electrostatics-gauss-gauss). Para las distribuciones infinitas (hilo, plano) solo sirve la segunda vía, y el cero de $V$ ha de elegirse en un punto finito.

**Proposición 27.4 (Potenciales de las distribuciones clásicas).**

1. Esfera de radio $R$ con $Q$ en su volumen: $V(r) = \dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0r}$ fuera; $V(r) = \dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0}\,\dfrac{3R^2 - r^2}{2R^3}$ dentro, luego $V(0) = \tfrac32\,Q/4\pi\varepsilon_0R$ . Con $Q$ en la superficie, $V$ es uniforme dentro e igual a $Q/4\pi\varepsilon_0R$ .
2. Hilo infinito $\lambda$ : $V(r) = -\dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\ln\dfrac{r}{r_0}$ .
3. [Condensador plano](#prop-b1-potential-capacitors-three) , con campo $E$ de la armadura 1 a la armadura 2, separadas $d$ : $V$ decrece linealmente en el hueco y $V_1 - V_2 = Ed$ .

**Demostración.** Intégrese $E_r = -\dd V/\dd r$ con los campos de [Proposición 26.12](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/26-electrostatica-el-campo-y-el-teorema-de-gauss#prop-b1-electrostatics-gauss-three): desde el infinito hacia dentro para la esfera (la continuidad en $R$ fija la constante interior), desde $r_0$ para el hilo y a través del hueco para el [condensador](#def-b1-potential-capacitors-capacitance). ∎

![Potencial (línea continua) y campo (a trazos) de una esfera cargada uniformemente. El potencial es continuo y con pendiente continua; es parabólico dentro, donde el campo es lineal, y va como 1/r fuera. Su máximo está en el centro, donde el campo se anula — un máximo de V es un punto de campo nulo, no al revés.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-potential-capacitors/fig-ebe9b57417e1.svg)

*Potencial (línea continua) y campo (a trazos) de una esfera cargada uniformemente. El potencial es continuo y con pendiente continua; es parabólico dentro, donde el campo es lineal, y va como $1/r$ fuera. Su máximo está en el centro, donde el campo se anula — un máximo de $V$ es un punto de campo nulo, no al revés.*

**Ejemplo 27.5 (El electronvoltio, otra vez).**

Un electrón que atraviesa un hueco de $100\,\mathrm{V}$ gana $eU = 100\,\mathrm{eV} =
1.6 \times 10^{-17}\,\mathrm{J}$, sea cual sea la forma del campo entre los electrodos: el potencial hace irrelevante el camino ([Definición 17.3](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/17-particulas-cargadas-en-campos-e-y-b#def-b1-charged-particles-eV)). Una carga de $1\,\text{µ}\mathrm{C}$ a $1\,\mathrm{m}$ de otra tiene $V = 9\,\mathrm{kV}$ y el par almacena $9\,\mathrm{mJ}$; el potencial en el centro de un núcleo de oro vale $24\,\mathrm{MV}$ ([Ejercicio 27.6](#exo-b1-potential-capacitors-6)).

## 27.2 El dipolo eléctrico

**Definición 27.6 (Dipolo eléctrico).**

Dos cargas opuestas, $-q$ en $N$ y $+q$ en $P$, separadas una distancia $a = NP$, forman un *dipolo eléctrico* de *momento dipolar* $\vect p = q\,\vect{NP}$ ($\mathrm{C}\,\mathrm{m}$), dirigido del $-$ al $+$. La aproximación dipolar es el estudio de su campo a distancias $r \gg a$. Una molécula cuyos centros de carga positiva y negativa no coinciden (el agua, $p = 6.2 \times 10^{-30}\,\mathrm{C}\,\mathrm{m}$) es un dipolo; un átomo neutro en un campo se convierte en uno (dipolo inducido).

**Proposición 27.7 (Campo de un dipolo).**

En $M$ con $OM = r \gg a$ ($O$ el punto medio de $NP$) y $\theta$ el ángulo entre $\vect p$ y $\vect{OM}$,

$$
V(M) = \frac{p\cos\theta}{4\pi\varepsilon_0 r^2}, \qquad
E_r = \frac{2p\cos\theta}{4\pi\varepsilon_0r^3}, \qquad
E_\theta = \frac{p\sin\theta}{4\pi\varepsilon_0r^3} .
$$

El campo de un dipolo cae como $1/r^3$, más deprisa que el $1/r^2$ de una carga: de lejos las dos cargas casi se cancelan, y lo que queda es su separación.

**Demostración.** $V = \dfrac{q}{4\pi\varepsilon_0}\Bigl(\dfrac1{PM} - \dfrac1{NM}\Bigr)$ con $PM \approx r - \tfrac a2\cos\theta$ y $NM \approx r + \tfrac a2\cos\theta$ (proyección de $\pm\tfrac a2$ sobre $\vect{OM}$); a primer orden en $a/r$, $1/PM - 1/NM \approx a\cos\theta/r^2$. Después $E_r = -\partial V/\partial r$ y $E_\theta = -(1/r)\,\partial V/\partial\theta$. ∎

![A la izquierda: la geometría de la aproximación dipolar — M visto desde el centro O a la distancia r y bajo el ángulo respecto de p, con las componentes radial y ortorradial del campo. A la derecha: líneas de campo (azul, r 2) y equipotenciales (naranja, r √| |) de un dipolo dirigido hacia la derecha; el plano que pasa por O perpendicular a p es la equipotencial V = 0.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-potential-capacitors/fig-f70f9c36fab9.svg)

*A la izquierda: la geometría de la aproximación dipolar — $M$ visto desde el centro $O$ a la distancia $r$ y bajo el ángulo $\theta$ respecto de $\vect p$, con las componentes radial y ortorradial del campo. A la derecha: [líneas de campo](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/26-electrostatica-el-campo-y-el-teorema-de-gauss#def-b1-electrostatics-gauss-field) (azul, $r \propto \sin^2\theta$) y equipotenciales (naranja, $r \propto
\sqrt{|\cos\theta|}$) de un dipolo dirigido hacia la derecha; el plano que pasa por $O$ perpendicular a $\vect p$ es la equipotencial $V = 0$.*

**Proposición 27.8 (Dipolo en un campo exterior).**

Un dipolo $\vect p$ en un campo uniforme $\vect E$ no siente fuerza neta, sino un par $\vect\Gamma = \vect p\wedge\vect E$ que tiende a alinearlo con el campo, y tiene la [energía potencial](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/13-trabajo-energia-y-energia-potencial#def-b1-work-and-energy-conservative) $E_p = -\vect p\cdot\vect E$, mínima cuando está alineado. En un campo no uniforme es además atraído hacia las regiones de campo intenso (en una dimensión, $F_x = p\,\dd E/\dd x$ para un dipolo alineado).

**Demostración.** Las fuerzas $\pm q\vect E$ se cancelan; su momento respecto de $O$ vale $\vect{OP}\wedge
q\vect E + \vect{ON}\wedge(-q\vect E) = q\vect{NP}\wedge\vect E$. Energía: $qV(P) - qV(N) = -q\,\vect{NP}\cdot\vect E$ en un campo uniforme (ya que $V(P)
- V(N) = -\vect E\cdot\vect{NP}$). No uniforme y alineado según $x$: $F_x =
qE(x + a) - qE(x) \approx qa\,\dd E/\dd x$. ∎

**Ejemplo 27.9 (Por qué el peine atrae al papel).**

Un peine cargado crea un campo que decrece con la distancia; un trocito de papel, neutro, queda polarizado por él (dipolo inducido según $\vect E$), y la fuerza $p\,\dd E/\dd x$ sobre un dipolo alineado lo atrae hacia la región de campo intenso: el peine. El signo de la carga del peine es indiferente; el mismo mecanismo mantiene el globo en la pared y desvía el hilo de agua. Para las moléculas de agua, $pE$ en un campo de $1\,\mathrm{MV}/\mathrm{m}$ vale $6 \times 10^{-24}\,\mathrm{J}$, $600$ veces menos que $k_BT$ a temperatura ambiente: solo sobrevive una ligera alineación neta al revoltijo térmico ([Ejercicio 27.7](#exo-b1-potential-capacitors-7)).

## 27.3 Los conductores en equilibrio electrostático

**Teorema 27.10 (Propiedades de un conductor en equilibrio).**

En un conductor cuyas cargas libres están en reposo:

1. $\vect E = \vect 0$ en el interior, y el conductor es un volumen equipotencial: $V$ uniforme dentro y en su superficie.
2. Toda carga neta se sitúa en la superficie, con una densidad superficial $\sigma$ ; el interior es neutro.
3. Justo fuera, el campo es normal a la superficie y vale $\vect E = \dfrac{\sigma}{\varepsilon_0}\,\vect n$ ( *[teorema de Coulomb](#thm-b1-potential-capacitors-conductor)* ).
4. Una cavidad interior a un conductor, vacía de carga, tiene $\vect E =  \vect 0$ y $V$ uniforme pase lo que pase fuera ( *[jaula de Faraday](#thm-b1-potential-capacitors-conductor)* ).

**Demostración.** (1) Un campo movería las cargas libres: el equilibrio exige $\vect E =
\vect 0$, luego $\dd V = 0$ entre dos puntos interiores cualesquiera; la superficie es el límite. (2) El [teorema de Gauss](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/26-electrostatica-el-campo-y-el-teorema-de-gauss#thm-b1-electrostatics-gauss-gauss) sobre cualquier superficie cerrada trazada dentro del conductor: flujo nulo, carga encerrada nula. (3) La superficie es una equipotencial, luego $\vect E$ justo fuera es normal a ella; un cilindro achatado que la atraviesa tiene un flujo $E\,\dd S$ solo por su cara exterior (dentro $\vect E = \vect 0$) y encierra la carga $\sigma\,\dd S$. (4) La pared de la cavidad es una equipotencial; una [línea de campo](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/26-electrostatica-el-campo-y-el-teorema-de-gauss#def-b1-electrostatics-gauss-field) interior a la cavidad tendría que ir de la pared a la pared salvando una caída de potencial — imposible sobre una equipotencial; así que no hay línea ni campo (admitido en esta forma). ∎

**Ejemplo 27.11 (Poder de las puntas y pararrayos).**

Dos esferas de radios $R_1 > R_2$, muy separadas y unidas por un hilo, comparten el mismo $V = Q_i/4\pi\varepsilon_0R_i$, luego $\sigma_i = Q_i/4\pi R_i^2 = \varepsilon_0V/R_i$: cuanto *menor* es el [radio de curvatura](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/11-cinematica-del-punto#def-b1-point-kinematics-frenet), *mayor* son la carga superficial y el campo $\sigma/\varepsilon_0 = V/R$. En una punta afilada el campo supera el valor de ruptura del aire ($3\,\mathrm{MV}/\mathrm{m}$) mucho antes que en ningún otro sitio: el aire se ioniza y la carga se fuga en silencio. Un pararrayos funciona por este *[poder de las puntas](#ex-b1-potential-capacitors-point)* — no atrae tanto la descarga como le ofrece un camino, y descarga el suelo bajo una nube antes de que la carga se acumule.

![A la izquierda: un conductor hueco en un campo exterior — las cargas inducidas en su superficie cancelan el campo dentro del metal y en la cavidad (la jaula de Faraday). A la derecha: el poder de las puntas — sobre un conductor, que es una sola equipotencial, la carga superficial y el campo exterior son máximos donde la curvatura es mayor.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-potential-capacitors/fig-d71b71a8bd47.svg)

*A la izquierda: un conductor hueco en un campo exterior — las cargas inducidas en su superficie cancelan el campo dentro del metal y en la cavidad (la [jaula de Faraday](#thm-b1-potential-capacitors-conductor)). A la derecha: el [poder de las puntas](#ex-b1-potential-capacitors-point) — sobre un conductor, que es una sola equipotencial, la carga superficial y el campo exterior son máximos donde la curvatura es mayor.*

## 27.4 Los condensadores

**Definición 27.12 (Capacidad).**

Un conductor aislado a potencial $V$ lleva una carga $Q$ proporcional a $V$: $Q = CV$, con $C$ su *capacidad* (faradio, $\mathrm{F}$); para una esfera $C = 4\pi\varepsilon_0R$. Un *condensador* es un par de conductores (las *armaduras*) que llevan cargas opuestas $\pm Q$ y se enfrentan de modo que el campo queda confinado entre ellas; su capacidad es $C = Q/U$, con $U = V_1 - V_2$ la tensión entre las armaduras. El símbolo y la ley de circuito $i = C\,\dd u/\dd t$ se usaron en [Capítulo 7](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/7-regimenes-transitorios-primer-y-segundo-orden#ch-b1-transient-regimes).

**Proposición 27.13 (Tres condensadores).**

1. Plano: armaduras de área $S$ separadas $d \ll \sqrt S$ : $C = \dfrac{\varepsilon_0S}{d}$ .
2. Esférico: esferas concéntricas de radios $R_1 < R_2$ : $C = \dfrac{4\pi\varepsilon_0R_1R_2}{R_2 - R_1}$ .
3. Cilíndrico (coaxial), radios $a < b$ , longitud $L \gg b$ : $C = \dfrac{2\pi\varepsilon_0L}{\ln(b/a)}$ .

Llenar el hueco con un aislante de permitividad relativa $\varepsilon_r$ multiplica $C$ por $\varepsilon_r$ (las moléculas del dieléctrico se polarizan y debilitan el campo, $\varepsilon_r = 2$ a $10$ en los plásticos y el vidrio corrientes, $80$ en el agua).

**Demostración.** En cada caso el campo entre las armaduras es el de [Proposición 26.12](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/26-electrostatica-el-campo-y-el-teorema-de-gauss#prop-b1-electrostatics-gauss-three): $E = \sigma/\varepsilon_0 = Q/\varepsilon_0S$, $U = Ed$; $E = Q/4\pi\varepsilon_0r^2$, $U = \int_{R_1}^{R_2}E\,\dd r = \dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0}
\Bigl(\dfrac1{R_1} - \dfrac1{R_2}\Bigr)$; $E = Q/2\pi\varepsilon_0Lr$, $U =
\dfrac{Q}{2\pi\varepsilon_0L}\ln\dfrac ba$. Divídase $Q$ por $U$. El factor del dieléctrico se admite. ∎

**Teorema 27.14 (Energía de un condensador).**

Un [condensador](#def-b1-potential-capacitors-capacitance) cargado con $Q$ bajo la tensión $U$ almacena

$$
W = \tfrac12 CU^2 = \tfrac12 QU = \frac{Q^2}{2C} ,
$$

el trabajo necesario para llevar la carga de una armadura a la otra contra la tensión creciente. En un [condensador plano](#prop-b1-potential-capacitors-three) $W = \tfrac12\varepsilon_0E^2
\times Sd$: la energía está en el campo, con una densidad $\tfrac12\varepsilon_0E^2$ por unidad de volumen — afirmación válida para todo campo electrostático.

**Demostración.** Llevar $\dd q$ de la armadura negativa a la positiva cuando la carga vale $q$ cuesta $\dd W = (q/C)\,\dd q$; intégrese de $0$ a $Q$. Sustitúyanse después $C = \varepsilon_0S/d$ y $U = Ed$; la densidad general se admite. ∎

**Ejemplo 27.15 (Tres condensadores y sus energías).**

Un metro cuadrado de par de láminas separadas $1\,\mathrm{mm}$: $C = 8.85 \times 10^{-12}/
10^{-3} = 8.9\,\mathrm{nF}$ — el [faradio](#def-b1-potential-capacitors-capacitance) es una unidad enorme. Los $150\,\text{µ}\mathrm{F}$ de un desfibrilador a $2\,\mathrm{kV}$: $300\,\mathrm{J}$, entregados en milisegundos. Un supercondensador de $3000\,\mathrm{F}$ a $2.7\,\mathrm{V}$: $11\,\mathrm{kJ}$ en un bote del tamaño de una botella de refresco — su [capacidad](#def-b1-potential-capacitors-capacitance) viene de un hueco $d$ molecular y de un $S$ poroso enorme. La densidad de energía de un campo en la ruptura del aire, $\tfrac12\varepsilon_0(3 \times 10^6)^2 = 40\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}$, explica por qué los [condensadores](#def-b1-potential-capacitors-capacitance) almacenan tan poco frente a las baterías.

![Condensadores plano, esférico y con dieléctrico. El campo (naranja) queda confinado entre las armaduras salvo los efectos de borde, despreciables cuando d es pequeño; la energía 1/2 _0E2 por unidad de volumen vive en ese campo.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-potential-capacitors/fig-a2c724ea814d.svg)

*[Condensadores plano](#prop-b1-potential-capacitors-three), esférico y con dieléctrico. El campo (naranja) queda confinado entre las armaduras salvo los efectos de borde, despreciables cuando $d$ es pequeño; la energía $\tfrac12\varepsilon_0E^2$ por unidad de volumen vive en ese campo.*

**Observación 27.16 (Asociación de condensadores).**

En paralelo (misma $U$) las cargas se suman: $C = C_1 + C_2$; en serie (misma $Q$) las tensiones se suman: $1/C = 1/C_1 + 1/C_2$ — al revés que las resistencias, porque $C$ mide una facilidad (carga por voltio) allí donde $R$ mide una dificultad. Estas reglas salen de $Q = CU$ y de las leyes de los circuitos de [Capítulo 6](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/6-circuitos-en-corriente-continua-leyes-de-kirchhoff-y-teoremas#ch-b1-dc-circuits).

## 27.5 Ejercicios

**Ejercicio 27.1 ★.**

Potencial a $1.0\,\mathrm{m}$ de una carga de $1.0\,\text{µ}\mathrm{C}$; energía necesaria para traer una segunda carga de $1.0\,\text{µ}\mathrm{C}$ desde el infinito hasta ese punto; rapidez con la que saldría despedida si se la soltara, siendo su masa de $1\,\mathrm{g}$.

**Solución de Ejercicio 27.1.**

$V = 8.99 \times 10^9 \times 10^{-6}/1 = 9.0\,\mathrm{kV}$; $W = qV = 9.0\,\mathrm{mJ}$; al soltarla, $\tfrac12mv^2 = 9\,\mathrm{mJ}$: $v = \sqrt{18} = 4.2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

**Ejercicio 27.2 ★.**

Armaduras separadas $1.0\,\mathrm{mm}$ bajo $100\,\mathrm{V}$: campo; [energía cinética](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/13-trabajo-energia-y-energia-potencial#thm-b1-work-and-energy-ke) y rapidez que gana un electrón que cruza el hueco partiendo del reposo; tiempo de vuelo.

**Solución de Ejercicio 27.2.**

$E = 100/10^{-3} = 1 \times 10^{5}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$; $E_k = eU = 100\,\mathrm{eV} = 1.6 \times 10^{-17}\,\mathrm{J}$, luego $v = \sqrt{2E_k/m_e} = 5.9 \times 10^{6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; con aceleración uniforme, $t = 2d/v = 3.4 \times 10^{-10}\,\mathrm{s}$.

**Ejercicio 27.3 ★.**

En un mapa de equipotenciales trazadas cada $10\,\mathrm{V}$, las líneas distan $2\,\mathrm{mm}$ cerca de $A$ y $8\,\mathrm{mm}$ cerca de $B$. Campo en $A$ y en $B$; ¿hacia dónde apunta el campo respecto de los potenciales crecientes?; ¿hacia dónde se acelera un electrón?

**Solución de Ejercicio 27.3.**

$E_A = 10/0.002 = 5\,\mathrm{kV}/\mathrm{m}$, $E_B = 10/0.008 = 1.25\,\mathrm{kV}/\mathrm{m}$. El campo apunta hacia los potenciales decrecientes; un electrón ($q < 0$) se acelera al revés, hacia los $V$ crecientes.

**Ejercicio 27.4 ★.**

Una esfera de Van de Graaff de $15\,\mathrm{cm}$ de radio se carga a $200\,\mathrm{kV}$. [Capacidad](#def-b1-potential-capacitors-capacitance), carga y campo en su superficie. Potencial máximo antes de que el aire de alrededor rompa ($3\,\mathrm{MV}/\mathrm{m}$).

**Solución de Ejercicio 27.4.**

$C = 4\pi\varepsilon_0R = 1.11 \times 10^{-10} \times 0.15 = 17\,\mathrm{pF}$; $Q = CV =
3.3\,\text{µ}\mathrm{C}$; $E = V/R = 2 \times 10^5/0.15 = 1.3\,\mathrm{MV}/\mathrm{m}$. Ruptura en $V = E_{\max}R = 3 \times 10^6 \times 0.15 = 450\,\mathrm{kV}$ — las máquinas grandes usan esferas grandes.

**Ejercicio 27.5 ★★.**

Potencial en el eje de un anillo de radio $R$ y carga $Q$; recupérese el campo axial derivando. Lo mismo para el disco cargado uniformemente (úsese [Ejercicio 26.5](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/26-electrostatica-el-campo-y-el-teorema-de-gauss#exo-b1-electrostatics-gauss-5)): $V(z) = \dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0}
\bigl(\sqrt{z^2 + R^2} - z\bigr)$.

**Solución de Ejercicio 27.5.**

Todo elemento del anillo está a la distancia $\sqrt{R^2 + z^2}$: $V =
Q/4\pi\varepsilon_0\sqrt{R^2 + z^2}$; $E_z = -\dd V/\dd z = Qz/4\pi\varepsilon_0(R^2 +
z^2)^{3/2}$. Disco: $\dd q = 2\pi\sigma a\,\dd a$ a $\sqrt{a^2 + z^2}$: $V =
\dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0}\displaystyle\int_0^R\dfrac{a\,\dd a}{\sqrt{a^2 + z^2}} =
\dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0}\bigl(\sqrt{z^2 + R^2} - z\bigr)$, y $-\dd V/\dd z =
\dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0}\Bigl(1 - \dfrac{z}{\sqrt{z^2 + R^2}}\Bigr)$.

**Ejercicio 27.6 ★★.**

Dedúzcase el potencial dentro de una esfera cargada uniformemente a partir de su campo. Potencial en el centro de un núcleo de oro ($Z = 79$, $R = 7.0\,\mathrm{fm}$); energía que necesitaría un protón para llegar al centro desde muy lejos, en $\mathrm{MeV}$; coméntense las partículas alfa de $5\,\mathrm{MeV}$ de Rutherford.

**Solución de Ejercicio 27.6.**

$V(r) = V(R) + \displaystyle\int_r^R\dfrac{Qr'\,\dd r'}{4\pi\varepsilon_0R^3} =
\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0R} + \dfrac{Q(R^2 - r^2)}{8\pi\varepsilon_0R^3} = \dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0}
\dfrac{3R^2 - r^2}{2R^3}$. Oro: $V(0) = 1.5 \times 8.99 \times 10^9 \times 1.26 \times
10^{-17}/7 \times 10^{-15} = 24\,\mathrm{MV}$: un protón necesita $24\,\mathrm{MeV}$ y una alfa ($2e$) $48\,\mathrm{MeV}$ para llegar al centro, y $32\,\mathrm{MeV}$ para tocar la superficie. Las alfas de $5\,\mathrm{MeV}$ de Rutherford dan la vuelta en el $r$ donde $2eV =
5\,\mathrm{MeV}$: $V = 2.5\,\mathrm{MV}$, $r = 45\,\mathrm{fm}$ — muy fuera del núcleo, y por eso funcionó su análisis con cargas puntuales.

**Ejercicio 27.7 ★★.**

Molécula de agua, $p = 6.2 \times 10^{-30}\,\mathrm{C}\,\mathrm{m}$. Campo que crea a $1.0\,\mathrm{nm}$ en su eje y perpendicularmente a él; par y diferencia de energía entre las posiciones alineada y antialineada en $E = 1.0\,\mathrm{MV}/\mathrm{m}$; compárese con $k_BT$ a $300\,\mathrm{K}$. Campo de un ion de sodio a $0.3\,\mathrm{nm}$ y energía del dipolo de agua alineado en él (hidratación).

**Solución de Ejercicio 27.7.**

Eje: $2p/4\pi\varepsilon_0r^3 = 2 \times 8.99 \times 10^9 \times 6.2 \times 10^{-30}/10^{-27} =
1.1 \times 10^{8}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$; perpendicularmente, la mitad: $5.6 \times 10^{7}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$. Par $pE =
6.2 \times 10^{-24}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}$; salto de energía $2pE = 1.2 \times 10^{-23}\,\mathrm{J}$ frente a $k_BT =
4.1 \times 10^{-21}\,\mathrm{J}$: $330$ veces menor — solo un $0.1\%$ de alineación neta. Ion de sodio a $0.3\,\mathrm{nm}$: $E = e/4\pi\varepsilon_0r^2 = 1.6 \times 10^{10}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$, $-pE
= -1.0 \times 10^{-19}\,\mathrm{J} = -0.6\,\mathrm{eV}$, $24\,k_BT$: las moléculas de agua se enganchan al ion — la hidratación.

**Ejercicio 27.8 ★★.**

Una esfera conductora de $1.0\,\mathrm{cm}$ de radio en aire: carga y potencial máximos antes de la ruptura. Dos esferas conductoras, $R_1 = 10\,\mathrm{cm}$ y $R_2 = 1.0\,\mathrm{mm}$, unidas por un hilo fino y llevadas a $20\,\mathrm{kV}$: campo superficial en cada una; ¿cuál descarga en el aire?

**Solución de Ejercicio 27.8.**

$Q = 4\pi\varepsilon_0R^2E = 10^{-4} \times 3 \times 10^6/8.99 \times 10^9 = 33\,\mathrm{nC}$, $V = ER = 30\,\mathrm{kV}$. Esferas unidas: $E_1 = V/R_1 = 0.2\,\mathrm{MV}/\mathrm{m}$, $E_2 = V/R_2 = 20\,\mathrm{MV}/\mathrm{m} > 3\,\mathrm{MV}/\mathrm{m}$: la esfera pequeña ioniza el aire y pierde la carga — el [poder de las puntas](#ex-b1-potential-capacitors-point).

**Ejercicio 27.9 ★★.**

[Capacidades](#def-b1-potential-capacitors-capacitance): dos láminas de $1.0\,\mathrm{m}^{2}$ separadas $10\,\text{µ}\mathrm{m}$ por una película de polímero con $\varepsilon_r = 2.2$ (un [condensador](#def-b1-potential-capacitors-capacitance) de película); las mismas láminas enrolladas: ¿cambia $C$ al enrollarlas? Energía a $400\,\mathrm{V}$. Un [condensador](#def-b1-potential-capacitors-capacitance) de $150\,\text{µ}\mathrm{F}$ a $2.0\,\mathrm{kV}$ (desfibrilador): carga, energía y [potencia media](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/8-regimen-sinusoidal-permanente-e-impedancia#thm-b1-sinusoidal-impedance-power) si se entrega en $5\,\mathrm{ms}$.

**Solución de Ejercicio 27.9.**

$C = \varepsilon_r\varepsilon_0S/d = 2.2 \times 8.85 \times 10^{-12}/10^{-5} = 2.0\,\text{µ}\mathrm{F}$; enrollarlas cambia la forma, no el área enfrentada: el mismo $C$ (con una segunda película, para que cada lámina se enfrente a la otra por ambas caras, se duplica). $W = \tfrac12 \times 2 \times 10^{-6} \times 400^2 = 0.16\,\mathrm{J}$. Desfibrilador: $Q = 150 \times 10^{-6} \times 2000 = 0.30\,\mathrm{C}$, $W = \tfrac12CU^2 = 300\,\mathrm{J}$, $P = 300/0.005 = 60\,\mathrm{kW}$.

**Ejercicio 27.10 ★★★.**

*[Condensadores esférico](#prop-b1-potential-capacitors-three) y cilíndrico.* (a) Dedúzcase $C$ para dos esferas concéntricas y compruébese que, si $R_2 - R_1 = d \ll R_1$, se reduce a la fórmula del plano, y que si $R_2 \to \infty$ da la esfera aislada. (b) Cable coaxial, $a = 0.5\,\mathrm{mm}$, $b = 2.5\,\mathrm{mm}$, con polietileno $\varepsilon_r = 2.3$: [capacidad](#def-b1-potential-capacitors-capacitance) por metro (compárese con los $100\,\mathrm{pF}/\mathrm{m}$ de los cables corrientes). (c) Campo en el conductor interior bajo $1\,\mathrm{kV}$; ¿es seguro?

**Solución de Ejercicio 27.10.**

(a) $E = Q/4\pi\varepsilon_0r^2$, $U = \dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0}\Bigl(\dfrac1{R_1} -
\dfrac1{R_2}\Bigr)$, $C = 4\pi\varepsilon_0R_1R_2/(R_2 - R_1)$; con $R_2 - R_1 = d \ll
R_1$, $R_1R_2 \approx R^2$ y $C \approx 4\pi R^2\varepsilon_0/d = \varepsilon_0S/d$; con $R_2 \to
\infty$, $C \to 4\pi\varepsilon_0R_1$. (b) $C/L = 2\pi\varepsilon_r\varepsilon_0/\ln(b/a) = 2\pi \times 2.3
\times 8.85 \times 10^{-12}/\ln5 = 79\,\mathrm{pF}/\mathrm{m}$, el orden correcto. (c) $E(a) =
U/[a\ln(b/a)] = 1000/(5 \times 10^{-4} \times 1.61) = 1.2\,\mathrm{MV}/\mathrm{m}$: por debajo de los $20\,\mathrm{MV}/\mathrm{m}$ del polietileno, seguro; en aire sería ajustado.

**Ejercicio 27.11 ★★★.**

*La energía del campo.* (a) Energía de una esfera conductora cargada ($Q$, $R$) a partir de $Q^2/2C$. (b) Iguálese a la energía en reposo del electrón $m_ec^2 = 0.511\,\mathrm{MeV}$ y despéjese $R$: el “radio clásico del electrón” (salvo un factor). (c) A un [condensador plano](#prop-b1-potential-capacitors-three) aislado cargado con $Q$ se le separan las armaduras de $d$ a $2d$: variación de la energía almacenada y fuerza entre las armaduras deducida de ella; compruébese frente a [Ejercicio 26.8](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/26-electrostatica-el-campo-y-el-teorema-de-gauss#exo-b1-electrostatics-gauss-8). (d) Lo mismo con el [condensador](#def-b1-potential-capacitors-capacitance) mantenido a $U$ fija por una pila: variación de energía y adónde va la diferencia.

**Solución de Ejercicio 27.11.**

(a) $W = Q^2/2C = Q^2/8\pi\varepsilon_0R$. (b) $R = e^2/8\pi\varepsilon_0m_ec^2 = 2.31 \times
10^{-28}/(2 \times 8.19 \times 10^{-14}) = 1.4 \times 10^{-15}\,\mathrm{m}$ (el “radio clásico” habitual $e^2/4\pi\varepsilon_0m_ec^2 = 2.8\,\mathrm{fm}$ prescinde del $\tfrac12$). (c) $W =
Q^2/2C = Q^2d/2\varepsilon_0S$ se duplica: $\Delta W = Q^2d/2\varepsilon_0S = F\,d$ con $F =
Q^2/2\varepsilon_0S = \sigma^2S/2\varepsilon_0$, como se halló directamente. (d) A $U$ fija, $W =
\varepsilon_0SU^2/2d$ se reduce a la mitad: $\Delta W = -W/2$; quien tira sigue realizando $W/2$ (al integrar $F = \varepsilon_0SU^2/2x^2$ de $d$ a $2d$); ambas mitades, $W$ en total, vuelven a la pila cuando la carga $CU/2$ regresa a ella a la tensión $U$.

**Ejercicio 27.12 ★★★.**

*Energía coulombiana de un núcleo.* (a) Constrúyase capa a capa una esfera cargada uniformemente ($Q$, $R$) y muéstrese que su energía electrostática vale $W = \dfrac{3Q^2}{20\pi\varepsilon_0R}$. (b) Uranio-238: $Z = 92$, $R =
7.4\,\mathrm{fm}$: $W$ en $\mathrm{MeV}$. (c) Divídase en dos fragmentos iguales ($Z/2$, $A/2$, radio $R/2^{1/3}$) muy separados: energía coulombiana liberada. (d) La energía medida de la fisión ronda los $200\,\mathrm{MeV}$: ¿qué se opone a la ganancia coulombiana?

**Solución de Ejercicio 27.12.**

(a) La esfera de radio $r$ lleva $q = Qr^3/R^3$ a un potencial superficial $q/4\pi\varepsilon_0r$; añadir la capa $\dd q = 3Qr^2\,\dd r/R^3$ cuesta $\dd W =
q\,\dd q/4\pi\varepsilon_0r = 3Q^2r^4\,\dd r/4\pi\varepsilon_0R^6$; al integrar: $W =
3Q^2/20\pi\varepsilon_0R$. (b) $Q = 92e = 1.47 \times 10^{-17}\,\mathrm{C}$: $W = 3 \times 2.17 \times
10^{-34}/(20\pi \times 8.85 \times 10^{-12} \times 7.4 \times 10^{-15}) = 1.6 \times 10^{-10}\,\mathrm{J}
= 990\,\mathrm{MeV}$. (c) Cada fragmento: carga $Q/2$, radio $R/2^{1/3}$, energía $\tfrac14 2^{1/3}W$; los dos juntos: $2^{1/3}W/2 = 0.63W$: se liberan $0.37 \times 990 = 370\,\mathrm{MeV}$. (d) La “tensión superficial” nuclear: dos fragmentos tienen más superficie que un solo núcleo, lo que cuesta unos $170\,\mathrm{MeV}$; el saldo, cercano a $200\,\mathrm{MeV}$, aparece sobre todo como [energía cinética](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/13-trabajo-energia-y-energia-potencial#thm-b1-work-and-energy-ke) de los dos fragmentos que se separan bajo su repulsión mutua.

![El aparato de la gota de aceite de Millikan, hacia 1916 (Museo de Ciencia e Industria, Chicago): la cámara de latón aloja las dos armaduras horizontales entre las que se observaban las gotas.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-potential-capacitors/img-e7375e9d57d0.jpg)

*El aparato de la gota de aceite de Millikan, hacia 1916 (Museo de Ciencia e Industria, Chicago): la cámara de latón aloja las dos armaduras horizontales entre las que se observaban las gotas.*

## 27.6 Problema: la gota de aceite de Millikan

**Problema 27.1.**

Problema de fin de semana — pesar la carga del electrón con una gota de aceite: Stokes, el condensador plano y una tabla de números que se niegan a ser otra cosa que múltiplos de uno solo

Se pulverizan gotas de aceite entre dos armaduras horizontales separadas $d = 16\,\mathrm{mm}$, de $20\,\mathrm{cm}$ de diámetro, y se observan con un [microscopio](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/4-instrumentos-opticos-y-el-ojo#def-b1-optical-instruments-microscope). Datos: densidad del aceite $\rho = 900\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$, densidad del aire $1.2\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$, viscosidad del aire $\eta = 1.8 \times 10^{-5}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$, $g =
9.8\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$, $\varepsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12}\,\mathrm{F}/\mathrm{m}$. Una esfera pequeña de radio $r$ que se mueve a $v$ en el aire sufre la fuerza de Stokes $6\pi\eta rv$.

**Parte I — La gota que cae.**

1. Fuerzas sobre una gota que cae sin tensión aplicada; muéstrese que alcanza una [velocidad límite](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/12-las-leyes-de-newton-de-la-dinamica#prop-b1-newton-dynamics-terminal) $v_1 = 2\rho gr^2/9\eta$ (despréciese el empuje del aire, y justifíquese).
2. Una gota cae $1.0\,\mathrm{mm}$ en $10\,\mathrm{s}$ : su radio y su masa.
3. [Constante de tiempo](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/7-regimenes-transitorios-primer-y-segundo-orden#def-b1-transient-regimes-firstorder) con que se aproxima a $v_1$ ; distancia recorrida entretanto. ¿Se ve alguna vez acelerar la gota?
4. Número de Reynolds $\rho_{\text{aire}}v_1r/\eta$ del movimiento: ¿es legítima la [ley de Stokes](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/12-las-leyes-de-newton-de-la-dinamica#prop-b1-newton-dynamics-drag) ?
5. ¿Por qué han de ser tan pequeñas las gotas? (Compárese el peso con la fuerza eléctrica sobre una [carga elemental](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/26-electrostatica-el-campo-y-el-teorema-de-gauss#def-b1-electrostatics-gauss-charge) en un campo de $3 \times 10^{5}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ .)
6. Se ve que la gota tiembla ligeramente en torno a su caída media: ¿qué es esto y por qué limita la precisión?

**Parte II — El campo.** Se aplica una tensión $U$, con la armadura superior positiva.

7. Campo entre las armaduras para $U = 5.0\,\mathrm{kV}$ ; ¿por qué es uniforme y cuáles son las equipotenciales?
8. [Capacidad](#def-b1-potential-capacitors-capacitance) de las armaduras, carga que llevan a $5.0\,\mathrm{kV}$ y energía almacenada.
9. La gota de la pregunta 2 queda inmóvil con $U_0 = 1080\,\mathrm{V}$ : signo y valor de su carga, en culombios y en unidades de $e$ .
10. Con $U = 5.0\,\mathrm{kV}$ la misma gota sube a $v_2$ : muéstrese que $q = 6\pi\eta r(v_1 + v_2)d/U$ y calcúlese $v_2$ .
11. ¿Por qué es mejor cronometrar una subida y una caída que buscar la tensión de equilibrio?
12. [Energía potencial](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/13-trabajo-energia-y-energia-potencial#def-b1-work-and-energy-conservative) de la carga de la gota entre las armaduras a $5\,\mathrm{kV}$ , y energía disipada por el rozamiento durante una subida de $1\,\mathrm{cm}$ .

**Parte III — La tabla de cargas.** Expuesta entre medidas a una fuente débil de rayos X, la misma gota cambia de carga; las medidas sucesivas dan (en $10^{-19}$ C): $4.80$, $8.01$, $6.42$, $3.19$, $9.63$.

13. Muéstrese que las cinco están cerca de múltiplos enteros de una misma cantidad, y dense los enteros.
14. Mejor estimación de la [carga elemental](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/26-electrostatica-el-campo-y-el-teorema-de-gauss#def-b1-electrostatics-gauss-charge) a partir de los cinco valores; [incertidumbre típica](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/1-unidades-dimensiones-y-medida#def-b1-units-dimensions-uncertainty) de la media ( [Capítulo 1](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/1-unidades-dimensiones-y-medida#ch-b1-units-dimensions) ).
15. ¿Por qué cambia la carga en números enteros de $e$ entre dos medidas?
16. Muéstrese que, con este método, $q \propto \eta^{3/2}$ : ¿cuánto desplaza un error del $1\%$ en la viscosidad el valor de $e$ ? (El valor original de Millikan era un $0.6\%$ bajo, justamente por eso.)
17. Los quarks llevan $\pm e/3$ y $\pm 2e/3$ : ¿por qué ninguna gota de aceite ha mostrado nunca un tercio de $e$ ?
18. La constante de Faraday, la carga de un [mol](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/20-teoria-cinetica-y-gas-perfecto#def-b1-kinetic-theory-scales) de electrones, vale $F = 96\,485\,\mathrm{C}/\mathrm{mol}$ : dedúzcase el número de Avogadro.
19. Thomson había medido $e/m_e = 1.76 \times 10^{11}\,\mathrm{C}/\mathrm{kg}$ para el electrón: dedúzcase su masa y compárese con un átomo de hidrógeno ( $1.67 \times 10^{-27}\,\mathrm{kg}$ ).

**Parte IV — El aparato, visto por el potencial.**

20. Esbócense las equipotenciales y las [líneas de campo](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/26-electrostatica-el-campo-y-el-teorema-de-gauss#def-b1-electrostatics-gauss-field) entre las armaduras, incluidos los efectos de borde; justifíquese que se desprecien.
21. Una gota cargada positivamente a la altura $z$ sobre la armadura inferior (a $0\,\mathrm{V}$ ): [energía potencial](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/13-trabajo-energia-y-energia-potencial#def-b1-work-and-energy-conservative) en función de $z$ ; [energía potencial](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/13-trabajo-energia-y-energia-potencial#def-b1-work-and-energy-conservative) total incluida la gravedad; condición sobre $U$ para el punto de equilibrio.
22. Compárese la energía de la carga de la gota (pregunta 12) con la energía almacenada en el [condensador](#def-b1-potential-capacitors-capacitance) : ¿perturba la gota el campo?
23. Se invierte la tensión (armadura inferior positiva) con $U = 5.0\,\mathrm{kV}$ : ¿qué hace la gota de la pregunta 9 y a qué rapidez?
24. Un grano de polvo de $1\,\text{µ}\mathrm{g}$ que lleva $10^4e$ en el mismo campo: cociente entre la fuerza eléctrica y el peso; por qué no pueden levitarse esos granos y por qué eligió Millikan una niebla de aceite.
25. Resúmase: qué se midió (tres veces), qué se dedujo, con qué incertidumbre y qué dos constantes se siguieron de ello.

**Solución de Problema 27.1.**

**1.** Peso $\tfrac43\pi r^3\rho g$ hacia abajo, rozamiento $6\pi\eta rv$ hacia arriba, empuje $\tfrac43\pi r^3\rho_{\text{aire}}g$ hacia arriba — el $1.2/900 = 0.13\%$ del peso, despreciable. [Velocidad límite](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/12-las-leyes-de-newton-de-la-dinamica#prop-b1-newton-dynamics-terminal): $\tfrac43\pi r^3\rho g = 6\pi\eta rv_1$, $v_1 =
2\rho gr^2/9\eta$.

**2.** $v_1 = 1.0 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$: $r = \sqrt{9\eta v_1/2\rho g} = \sqrt{9 \times
1.8 \times 10^{-5} \times 10^{-4}/(2 \times 900 \times 9.8)} = 9.6 \times 10^{-7}\,\mathrm{m}$, un micrómetro; $m = \tfrac43\pi r^3\rho = 3.3 \times 10^{-15}\,\mathrm{kg}$.

**3.** $\tau = m/6\pi\eta r = 3.3 \times 10^{-15}/3.3 \times 10^{-10} = 1 \times 10^{-5}\,\mathrm{s}$; distancia $\sim v_1\tau = 1\,\mathrm{nm}$. Nunca.

**4.** $\mathrm{Re} = 1.2 \times 10^{-4} \times 9.6 \times 10^{-7}/1.8 \times 10^{-5} =
6 \times 10^{-6} \ll 1$: Stokes vale.

**5.** $eE = 1.6 \times 10^{-19} \times 3 \times 10^5 = 4.8 \times 10^{-14}\,\mathrm{N}$ frente a $mg = 3.2 \times 10^{-14}\,\mathrm{N}$: comparables solo en gotas de una micra. Una gota de $10\,\text{µ}\mathrm{m}$ pesa mil veces más; una sola [carga elemental](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/26-electrostatica-el-campo-y-el-teorema-de-gauss#def-b1-electrostatics-gauss-charge) le cambiaría la rapidez en un $0.1\%$, invisible.

**6.** El movimiento browniano: el bombardeo de las moléculas de aire zarandea la gota al azar; los tiempos se dispersan, lo que limita la precisión y pone una cota inferior al tamaño útil de las gotas.

**7.** $E = U/d = 5000/0.016 = 3.1 \times 10^{5}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$; las armaduras son mucho más anchas que $d$, de modo que la superposición de los dos planos da un campo uniforme; las equipotenciales son planos horizontales, $V = Uz/d$.

**8.** $C = \varepsilon_0\pi(0.1)^2/0.016 = 17\,\mathrm{pF}$; $Q = CU = 87\,\mathrm{nC}$; $W = \tfrac12CU^2 = 0.22\,\mathrm{mJ}$.

**9.** Armadura superior positiva: $\vect E$ apunta hacia abajo; la fuerza ha de apuntar hacia arriba, luego $q < 0$. $|q| = mgd/U_0 = 3.3 \times 10^{-15} \times 9.8 \times 0.016/
1080 = 4.8 \times 10^{-19}\,\mathrm{C} = 3e$: $q = -3e$.

**10.** Al subir a rapidez constante: $|q|E = mg + 6\pi\eta rv_2$ y $mg =
6\pi\eta rv_1$, luego $|q|E = 6\pi\eta r(v_1 + v_2)$ y $|q| = 6\pi\eta r(v_1 +
v_2)d/U$. $v_2 = (|q|E - mg)/6\pi\eta r = (1.5 \times 10^{-13} - 3.2 \times 10^{-14})/
3.3 \times 10^{-10} = 3.6 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$: $1\,\mathrm{mm}$ en $2.8\,\mathrm{s}$.

**11.** El equilibrio es un juicio de cero sobre una mota que deriva y tiembla y cuya carga puede cambiar entretanto; los cronometrajes sobre una distancia fija pueden repetirse a voluntad, $r$ queda fijado de una vez por $v_1$, y una sola gota da entonces toda una serie de cargas.

**12.** $|q|U = 3 \times 1.6 \times 10^{-19} \times 5000 = 2.4 \times 10^{-15}\,\mathrm{J}$ ($15\,\mathrm{keV}$) en todo el hueco; rozamiento en $1\,\mathrm{cm}$: $(|q|E - mg) \times 0.01 =
1.2 \times 10^{-15}\,\mathrm{J}$, convertidos en calor en el aire.

**13.** Divídase por $1.60$: $3.00$, $5.01$, $4.01$, $1.99$, $6.02$ — los enteros $3, 5, 4, 2, 6$.

**14.** $q/n$: $1.600, 1.602, 1.605, 1.595, 1.605$; media $1.601$, desviación típica $0.004$, incertidumbre de la media $0.004/\sqrt5 =
0.002$: $e = (1.601 \pm 0.002) \times 10^{-19}$ C.

**15.** Los rayos X ionizan el aire; la gota captura iones de uno en uno, y cada uno lleva un número entero de $e$.

**16.** $r \propto \eta^{1/2}$ por $v_1$, $m \propto r^3 \propto \eta^{3/2}$, y $|q| = mgd/U_0 \propto \eta^{3/2}$: un $1\%$ en $\eta$ da un $1.5\%$ en $e$. La $\eta$ de Millikan era un $0.4\%$ baja, de ahí su $e$ un $0.6\%$ bajo.

**17.** Los quarks nunca aparecen solos: están confinados dentro de los hadrones, y todo objeto libre lleva una carga entera.

**18.** $N_A = F/e = 96485/1.602 \times 10^{-19} = 6.02 \times 10^{23}\,\mathrm{mol}^{-1}$.

**19.** $m_e = 1.602 \times 10^{-19}/1.76 \times 10^{11} = 9.1 \times 10^{-31}\,\mathrm{kg}$: $1840$ veces más ligero que el átomo de hidrógeno.

**20.** Planos horizontales entre las armaduras, que se abomban en los bordes; [líneas de campo](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/26-electrostatica-el-campo-y-el-teorema-de-gauss#def-b1-electrostatics-gauss-field) verticales que se abren en abanico en los bordes sobre una anchura del orden de $d = 1.6\,\mathrm{cm}$ — pequeña frente a los $20\,\mathrm{cm}$ de diámetro, y la gota se observa en el centro.

**21.** $E_p = qUz/d + mgz$, lineal en $z$: no hay mínimo; una gota inmóvil exige que la pendiente se anule, $q = -mgd/U$, y el equilibrio es entonces indiferente — toda deriva residual persiste, y por eso cuesta tanto juzgar el equilibrio.

**22.** $2.4 \times 10^{-15}$ frente a $2.2 \times 10^{-4}$ J: $10^{-11}$. La gota no perturba el campo.

**23.** Campo hacia arriba y fuerza sobre la gota negativa hacia abajo: cae a $(mg
+ |q|E)/6\pi\eta r = (3.2 \times 10^{-14} + 1.5 \times 10^{-13})/3.3 \times 10^{-10} =
5.6 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

**24.** $F = 10^4 \times 1.6 \times 10^{-19} \times 3.1 \times 10^5 = 5 \times 10^{-10}\,\mathrm{N}$ frente a $9.8 \times 10^{-9}\,\mathrm{N}$: el $5\%$ del peso — no se puede levantar y, con $10^4$ cargas, un cambio de un $e$ es invisible. La niebla de aceite da gotas pequeñas, esféricas y que no se evaporan.

**25.** Se midieron $v_1$, $v_2$ y $U$ (con $d$, $\eta$ y $\rho$ conocidos); se dedujeron $r$, $m$ y después $q$, siempre múltiplo entero de $e = (1.601 \pm 0.002) \times 10^{-19}$ C ($0.1\%$); de ahí $N_A = F/e$ y $m_e = e/(e/m_e)$.