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title: "Magnetostática: campo, fuerzas y dipolos"
book: "Física universitaria — primer año"
subject: physics
language: es
chapter: 28
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/28-magnetostatica-campo-fuerzas-y-dipolos
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# Capítulo 28 — Magnetostática: campo, fuerzas y dipolos

La aguja de una brújula gira cuando un hilo cercano lleva corriente: esa observación de Ørsted, en 1820, unió dos ciencias que habían crecido separadas, la electricidad y el magnetismo, y en pocos meses Ampère tenía la ley de la fuerza entre corrientes, y Biot y Savart el campo de un hilo. Este capítulo es la estática del [campo magnético](#def-b1-magnetostatics-field): lo que crean las corrientes (mapas de campo, la [ley de Biot–Savart](#thm-b1-magnetostatics-biotsavart) y el [teorema de Ampère](#thm-b1-magnetostatics-ampere), gemelo magnético del de Gauss), lo que el campo hace a las corrientes (la [fuerza de Laplace](#thm-b1-magnetostatics-laplace), que mueve todos los motores y todos los aparatos de medida) y el [dipolo magnético](#def-b1-magnetostatics-moment), la espira de corriente que explica la brújula, el imán y el propio campo de la Tierra.

![El instrumento más antiguo del magnetismo: la aguja de una brújula es un pequeño dipolo magnético que se alinea con el campo de la Tierra.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-magnetostatics/img-c52946ef6b63.jpg)

*El instrumento más antiguo del magnetismo: la aguja de una brújula es un pequeño [dipolo magnético](#def-b1-magnetostatics-moment) que se alinea con el campo de la Tierra.*

![La experiencia de Ørsted: se cierra el circuito y la aguja gira — una corriente crea un campo magnético que rodea el hilo.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-magnetostatics/img-2e2eacba0aff.jpg)

*La experiencia de Ørsted: se cierra el circuito y la aguja gira — una corriente crea un [campo magnético](#def-b1-magnetostatics-field) que rodea el hilo.*

## 28.1 Las fuentes y los mapas de campo

**Definición 28.1 (Campo magnetostático).**

Las corrientes estacionarias (cargas en movimiento permanente) crean en cada punto un *campo magnético* $\vect B$ (tesla, $\mathrm{T}$), definido por la fuerza $q\vect v\wedge\vect B$ que ejerce sobre una carga de prueba en movimiento ([Definición 17.1](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/17-particulas-cargadas-en-campos-e-y-b#def-b1-charged-particles-lorentz)). Sus *[líneas de campo](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/26-electrostatica-el-campo-y-el-teorema-de-gauss#def-b1-electrostatics-gauss-field)* son tangentes a $\vect B$ y están orientadas según él. Los imanes permanentes crean campos de la misma naturaleza, a partir de las corrientes microscópicas de sus átomos. Órdenes de magnitud: la Tierra $5 \times 10^{-5}\,\mathrm{T}$; un imán de nevera $0.01\,\mathrm{T}$; un aparato de resonancia magnética de $1.5\,\mathrm{T}$ a $3\,\mathrm{T}$; los mayores campos permanentes de laboratorio $45\,\mathrm{T}$.

**Proposición 28.2 (Mapas de campo).**

1. Un hilo rectilíneo: circunferencias centradas en el hilo, en planos perpendiculares a él, orientadas por la *[regla de la mano derecha](#prop-b1-magnetostatics-maps)* (el pulgar según la corriente, los dedos según $\vect B$ ).
2. Una espira circular: líneas que la atraviesan según su eje y se cierran por fuera; de lejos, el mapa de un imán pequeño.
3. Un solenoide largo: líneas paralelas, densas y uniformes dentro; casi ningún campo fuera; el mapa de un imán recto, cuya cara “norte” es aquella por la que salen las líneas.
4. Las líneas del [campo magnético](#def-b1-magnetostatics-field) no tienen principio ni fin: se cierran sobre sí mismas o se van al infinito. Equivalentemente, el *flujo de $\vect B$ a través de toda superficie cerrada es nulo* — no existen cargas magnéticas.

**Demostración.** *Admitido a este nivel.* ∎

![Tres mapas de campo. Un punto es una corriente hacia el lector y una cruz una corriente que se aleja. Las líneas de un hilo son circunferencias; las de una espira la atraviesan y se cierran por fuera; las de un solenoide largo son rectas y uniformes dentro y se cierran muy lejos, donde el campo es débil — en todos los casos, sin fuente ni sumidero.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-magnetostatics/fig-96ff734f680d.svg)

*Tres mapas de campo. Un punto es una corriente hacia el lector y una cruz una corriente que se aleja. Las líneas de un hilo son circunferencias; las de una espira la atraviesan y se cierran por fuera; las de un solenoide largo son rectas y uniformes dentro y se cierran muy lejos, donde el campo es débil — en todos los casos, sin fuente ni sumidero.*

**Proposición 28.3 (Simetrías de B→\vect BB).**

$\vect B$ se comporta ante una reflexión especular al *revés* que $\vect E$ (es un *pseudovector*, construido con un producto vectorial): en un punto de un plano de *simetría* de las corrientes, $\vect B$ es *perpendicular* al plano; en un punto de un plano de *antisimetría* (la imagen especular invierte las corrientes), $\vect B$ está *contenido* en el plano. Las invariancias se trasladan igual que para $\vect E$.

**Demostración.** El campo de un elemento de corriente es $\propto I\,\dd\vect l\wedge\vect e_r$ (más abajo); un espejo invierte uno de los factores de un producto vectorial respecto de la imagen de un vector verdadero, luego la imagen de $\vect B$ es la opuesta de la imagen especular de la flecha. En un [plano de simetría](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/26-electrostatica-el-campo-y-el-teorema-de-gauss#prop-b1-electrostatics-gauss-symmetry) $\vect B$ ha de ser igual al opuesto de su propia imagen especular, luego es normal al plano; en un [plano de antisimetría](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/26-electrostatica-el-campo-y-el-teorema-de-gauss#prop-b1-electrostatics-gauss-symmetry), el opuesto del opuesto: contenido en el plano. ∎

**Ejemplo 28.4 (Uso de las simetrías).**

Para un hilo rectilíneo, todo plano que contiene al hilo es un [plano de simetría](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/26-electrostatica-el-campo-y-el-teorema-de-gauss#prop-b1-electrostatics-gauss-symmetry), luego en cada punto $\vect B$ es perpendicular al plano que pasa por el hilo y el punto: ortorradial, $\vect B = B(r)\,\vect e_\theta$ por invariancia a lo largo y alrededor del hilo. Para una espira, el plano de la espira es un [plano de simetría](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/26-electrostatica-el-campo-y-el-teorema-de-gauss#prop-b1-electrostatics-gauss-symmetry): sobre él $\vect B$ es normal a la espira; el eje está contenido en todos los [planos de antisimetría](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/26-electrostatica-el-campo-y-el-teorema-de-gauss#prop-b1-electrostatics-gauss-symmetry) que lo contienen: sobre el eje $\vect B$ va según el eje.

## 28.2 La ley de Biot–Savart

**Teorema 28.5 (Biot–Savart).**

Un circuito recorrido por la corriente $I$ crea en $M$ el campo

$$
\vect B(M) = \frac{\mu_0}{4\pi}\sum_{\text{circuito}} \frac{I\,\dd\vect l\wedge\vect e_{PM}}{PM^2} ,
$$

suma sobre los elementos $\dd\vect l$ del circuito situados en los puntos $P$, orientados según la corriente, siendo $\vect e_{PM}$ el vector unitario de $P$ a $M$ y $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}\,\mathrm{T}\,\mathrm{m}/\mathrm{A}$ la *[permeabilidad del vacío](#thm-b1-magnetostatics-biotsavart)*. Cada elemento aporta un campo perpendicular a sí mismo y a la recta $PM$, que decrece como $1/PM^2$.

**Demostración.** *Admitido a este nivel.* ∎

**Proposición 28.6 (Hilo, espira, solenoide).**

1. Hilo rectilíneo infinito, a la distancia $r$ : $B = \dfrac{\mu_0I}{2\pi r}$ .
2. Espira circular de radio $R$ , sobre su eje a la distancia $z$ del centro: $B_z = \dfrac{\mu_0IR^2}{2(R^2 + z^2)^{3/2}} = \dfrac{\mu_0I}{2R}  \sin^3\alpha$ , siendo $\alpha$ el semiángulo bajo el que se ve la espira desde $M$ ; en el centro $B = \mu_0I/2R$ .
3. Solenoide de $n$ espiras por metro, sobre su eje: $B = \tfrac12\mu_0nI  (\cos\alpha_1 - \cos\alpha_2)$ , con $\alpha_1, \alpha_2$ los ángulos bajo los que se ven los dos extremos; en un solenoide largo, $B = \mu_0nI$ dentro, y la mitad en un extremo.

**Demostración.** (1) $M$ a la distancia $r$ del hilo y $P$ de abscisa $z$ sobre él: $\dd\vect l\wedge\vect e_{PM}$ tiene módulo $\dd z\,\sin\beta = \dd z\cdot r/PM$ con $PM = \sqrt{r^2 + z^2}$, y todas las contribuciones son ortorradiales: $B = \dfrac{\mu_0I}{4\pi}\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\dfrac{r\,\dd z}{(r^2 + z^2)^{3/2}}
= \dfrac{\mu_0I}{4\pi}\,\dfrac{2}{r}$. (2) Cada elemento de la espira está a la misma distancia $\sqrt{R^2 + z^2}$ de $M$ y es perpendicular a $\vect e_{PM}$; su campo tiene módulo $\mu_0I\,\dd l/4\pi(R^2 + z^2)$, y solo sobrevive a la suma sobre la espira la componente axial, la fracción $R/\sqrt{R^2 + z^2}$ de aquel: $B_z = \mu_0I\cdot2\pi R\cdot R/4\pi(R^2 +
z^2)^{3/2}$. (3) Una rodaja $\dd z'$ de solenoide es una espira de corriente $nI\,\dd z'$; con $z' - z = R/\tan\alpha$, $\dd z' = -R\,\dd\alpha/\sin^2\alpha$, y $B = \dfrac{\mu_0nI}{2}\displaystyle\int\sin^3\alpha\,\dfrac{\dd\alpha}{\sin^2\alpha}$ sobre todo el solenoide $= \tfrac12\mu_0nI(\cos\alpha_1 - \cos\alpha_2)$; si es infinitamente largo, $\alpha_1 \to 0$, $\alpha_2 \to \pi$. ∎

![Los tres cálculos de Biot–Savart del capítulo: el elemento l de un hilo y su contribución en M, perpendicular al plano de la figura; la espira vista desde M bajo el semiángulo ; y el solenoide, cuyos extremos se ven bajo _1 y _2.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-magnetostatics/fig-2cd7e3130b05.svg)

*Los tres cálculos de Biot–Savart del capítulo: el elemento $\dd\vect l$ de un hilo y su contribución en $M$, perpendicular al plano de la figura; la espira vista desde $M$ bajo el semiángulo $\alpha$; y el solenoide, cuyos extremos se ven bajo $\alpha_1$ y $\alpha_2$.*

**Ejemplo 28.7 (Órdenes de magnitud).**

Un hilo de $10\,\mathrm{A}$ a $1\,\mathrm{cm}$: $B = 2 \times 10^{-7} \times 10/0.01 =
2 \times 10^{-4}\,\mathrm{T}$, cuatro veces el campo terrestre — la brújula sí gira. Una bobina de $100$ espiras, de radio $5\,\mathrm{cm}$, con $2\,\mathrm{A}$: $\mu_0NI/2R =
2.5\,\mathrm{mT}$ en su centro. Un solenoide de $1000$ espiras por metro con $5\,\mathrm{A}$: $6.3\,\mathrm{mT}$; con un núcleo de hierro de permeabilidad relativa $1000$ vendrían varios [teslas](#def-b1-magnetostatics-field) si el hierro no saturase cerca de $2\,\mathrm{T}$ — el techo de todo electroimán, y la razón de que los campos más intensos vengan de bobinas superconductoras sin hierro.

## 28.3 El teorema de Ampère

**Teorema 28.8 (Ampère).**

La circulación de $\vect B$ a lo largo de cualquier curva cerrada orientada $\Gamma$ vale $\mu_0$ por la corriente total que atraviesa cualquier superficie apoyada en $\Gamma$, contada positivamente cuando la atraviesa en el sentido que da la [regla de la mano derecha](#prop-b1-magnetostatics-maps) a partir de la orientación de $\Gamma$:

$$
\oint_\Gamma \vect B\cdot\dd\vect l = \mu_0 I_{\text{enlazada}} .
$$

**Demostración.** Para una circunferencia de radio $r$ centrada en un hilo rectilíneo, $\vect B$ es tangente y de módulo $\mu_0I/2\pi r$ en todos sus puntos, de modo que la circulación vale $2\pi r \times \mu_0I/2\pi r = \mu_0I$, independiente de $r$; para una curva que no rodea al hilo, las contribuciones se cancelan. El caso general se admite (volumen del Año 2). ∎

**Método 28.9 (Cómo usar el teorema de Ampère).**

Como con Gauss: (1) las simetrías dan la dirección de $\vect B$ y la variable de la que depende; (2) elíjase un *contorno de Ampère* que pase por $M$ y sobre el cual $\vect B$ sea o bien tangente y de módulo constante, o bien perpendicular; (3) cuéntese la corriente que lo atraviesa; (4) despéjese. Funciona con hilos y cilindros infinitos, con solenoides y toroides infinitos y con capas de corriente infinitas.

**Proposición 28.10 (Cilindro, solenoide, toroide).**

1. Un hilo cilíndrico de radio $a$ que lleva $I$ uniformemente: $B = \dfrac{\mu_0Ir}{2\pi a^2}$ dentro y $\dfrac{\mu_0I}{2\pi r}$ fuera — el máximo está en la superficie.
2. Un solenoide infinito de $n$ espiras por metro: $\vect B = \mu_0nI\,  \vect e_z$ uniforme dentro y $\vect 0$ fuera, sea cual sea la forma de su sección.
3. Un toroide de $N$ espiras: $B = \dfrac{\mu_0NI}{2\pi r}$ dentro del devanado y cero fuera — un solenoide cerrado sobre sí mismo, sin campo disperso.

**Demostración.** (1) Circunferencia de radio $r$: $2\pi rB = \mu_0I(r/a)^2$ o $\mu_0I$. (2) $\vect B$ es axial por simetría y, por Ampère sobre un rectángulo con los dos lados largos fuera, uniforme fuera y por tanto nulo (se anula en el infinito); un rectángulo con un lado largo dentro, de longitud $\ell$, da $B\ell =
\mu_0n\ell I$. (3) Circunferencia de radio $r$ dentro del toro: $2\pi rB =
\mu_0NI$; fuera, la corriente enlazada es nula. ∎

![A la izquierda: el campo de un hilo grueso, lineal dentro y en 1/r fuera, máximo en la superficie. A la derecha: el rectángulo de Ampère que da el campo de un solenoide infinito — solo el lado interior contribuye a la circulación.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-magnetostatics/fig-161ee00a6448.svg)

![A la izquierda: el campo de un hilo grueso, lineal dentro y en 1/r fuera, máximo en la superficie. A la derecha: el rectángulo de Ampère que da el campo de un solenoide infinito — solo el lado interior contribuye a la circulación.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-magnetostatics/fig-7e705ae71338.svg)

*A la izquierda: el campo de un hilo grueso, lineal dentro y en $1/r$ fuera, máximo en la superficie. A la derecha: el rectángulo de Ampère que da el [campo de un solenoide](#prop-b1-magnetostatics-three) infinito — solo el lado interior contribuye a la circulación.*

## 28.4 La fuerza de Laplace

**Teorema 28.11 (Fuerza de Laplace).**

Un elemento de conductor $\dd\vect l$ recorrido por $I$ en un campo $\vect B$ recibe la fuerza $\dd\vect F = I\,\dd\vect l\wedge\vect B$; un segmento rectilíneo $\vect L$ en un campo uniforme recibe $\vect F = I\vect L\wedge\vect B$, de módulo $ILB\sin\theta$, perpendicular a la vez al hilo y al campo.

**Demostración.** Los portadores de carga de $\dd\vect l$ (en número $n\,S\,\dd l$, de carga $q$ y [velocidad de arrastre](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/18-sistemas-no-inerciales-dinamica-en-la-tierra#thm-b1-non-inertial-frames-composition) $\vect v$) sienten cada uno $q\vect v\wedge\vect B$; su suma vale $nSq\,\dd l\,\vect v\wedge\vect B = I\,\dd\vect l\wedge\vect B$, ya que $I = nqvS$ y $\vect v$ va según $\dd\vect l$. Los portadores transmiten la fuerza a la red del hilo mediante sus choques. ∎

**Proposición 28.12 (Fuerza entre hilos paralelos).**

Dos hilos largos y paralelos separados una distancia $d$ que llevan $I_1$ e $I_2$ se atraen si las corrientes son paralelas y se repelen si son antiparalelas, con la fuerza por unidad de longitud

$$
\frac{F}{\ell} = \frac{\mu_0I_1I_2}{2\pi d} .
$$

Dos hilos separados $1\,\mathrm{m}$ que llevan $1\,\mathrm{A}$ sienten $2 \times 10^{-7}$ N por metro — la definición del [amperio](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/6-circuitos-en-corriente-continua-leyes-de-kirchhoff-y-teoremas#def-b1-dc-circuits-current) de 1948 a 2019, y el origen del valor $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}$.

**Demostración.** El hilo 1 crea $\mu_0I_1/2\pi d$ en el hilo 2, perpendicular a él; la [fuerza de Laplace](#thm-b1-magnetostatics-laplace) sobre una longitud $\ell$ del hilo 2 vale $I_2\ell \times \mu_0I_1/2\pi d$ y está dirigida hacia el hilo 1 cuando las corrientes son paralelas (compruébese con la [regla de la mano derecha](#prop-b1-magnetostatics-maps)). ∎

![La fuerza de Laplace: entre hilos paralelos (izquierda y centro) y sobre una barra deslizante recorrida por una corriente en un campo (derecha) — los raíles de Laplace, cuyo balance energético es el tema de .](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-magnetostatics/fig-52351b1421bf.svg)

*La [fuerza de Laplace](#thm-b1-magnetostatics-laplace): entre hilos paralelos (izquierda y centro) y sobre una barra deslizante recorrida por una corriente en un campo (derecha) — los raíles de Laplace, cuyo balance energético es el tema de [Capítulo 29](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/29-la-induccion-electromagnetica-y-sus-aplicaciones#ch-b1-induction).*

## 28.5 El dipolo magnético

**Definición 28.13 (Momento magnético).**

Una espira plana de área $S$ recorrida por $I$, orientada por la [regla de la mano derecha](#prop-b1-magnetostatics-maps) (la normal $\vect n$ según el pulgar cuando los dedos siguen a $I$), tiene el *momento magnético* $\vect m = IS\,\vect n$ ($\mathrm{A}\,\mathrm{m}^{2}$); con $N$ espiras, $NIS\,\vect n$. Vista desde distancias $r \gg \sqrt S$, la espira es un *dipolo magnético*: su campo tiene exactamente la forma del [dipolo eléctrico](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/27-el-potencial-electrico-conductores-y-condensadores#def-b1-potential-capacitors-dipole) con $\vect p/\varepsilon_0 \to \mu_0\vect m$:

$$
B_r = \frac{\mu_0}{4\pi}\,\frac{2m\cos\theta}{r^3}, \qquad
B_\theta = \frac{\mu_0}{4\pi}\,\frac{m\sin\theta}{r^3} .
$$

Un imán recto, un átomo y la Tierra son dipolos magnéticos: el momento de la Tierra vale $8 \times 10^{22}\,\mathrm{A}\,\mathrm{m}^{2}$ y el de un electrón $9.3 \times 10^{-24}\,\mathrm{A}\,\mathrm{m}^{2}$ (el magnetón de Bohr).

**Demostración.** Sobre el eje, el campo de la espira $\mu_0IR^2/2z^3$ para $z \gg R$ vale $\mu_0 \cdot 2m/4\pi z^3$ con $m = I\pi R^2$, que coincide con $B_r$ en $\theta = 0$; la forma angular completa se admite. ∎

**Teorema 28.14 (Dipolo en un campo).**

Un [momento magnético](#def-b1-magnetostatics-moment) $\vect m$ en un campo uniforme $\vect B$ no siente fuerza neta, sino un par $\vect\Gamma = \vect m\wedge\vect B$ que lo alinea con el campo, y tiene la [energía potencial](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/13-trabajo-energia-y-energia-potencial#def-b1-work-and-energy-conservative) $E_p = -\vect m\cdot\vect B$. En un campo no uniforme es atraído hacia la región de campo intenso cuando está alineado (y repelido cuando está antialineado).

**Demostración.** Para una espira rectangular $a \times b$ con $\vect n$ formando el ángulo $\theta$ con $\vect B$: las [fuerzas de Laplace](#thm-b1-magnetostatics-laplace) sobre los dos lados de longitud $b$ paralelos al eje de giro valen $\pm IbB$, son opuestas y distan $a\sin\theta$: forman un par de momento $IabB\sin\theta = mB\sin\theta$, que tiende a reducir $\theta$; las fuerzas sobre los otros dos lados son opuestas y colineales. Energía: $\Gamma = -\dd E_p/\dd\theta$ con $\Gamma = -mB\sin\theta$ da $E_p = -mB\cos\theta$. Toda espira plana es una suma de rectángulos pequeños; el caso no uniforme se admite. ∎

![A la izquierda: una espira de corriente en un campo uniforme, vista según su eje de giro — las fuerzas de Laplace sobre los dos lados forman un par que alinea el momento con el campo. A la derecha: las líneas de campo de un imán recto son las de un dipolo magnético, idénticas en forma a las del dipolo eléctrico, que salen por la cara norte y vuelven por la sur.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-magnetostatics/fig-10badcd76278.svg)

*A la izquierda: una espira de corriente en un campo uniforme, vista según su eje de giro — las [fuerzas de Laplace](#thm-b1-magnetostatics-laplace) sobre los dos lados forman un par que alinea el momento con el campo. A la derecha: las [líneas de campo](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/26-electrostatica-el-campo-y-el-teorema-de-gauss#def-b1-electrostatics-gauss-field) de un imán recto son las de un [dipolo magnético](#def-b1-magnetostatics-moment), idénticas en forma a las del [dipolo eléctrico](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/27-el-potencial-electrico-conductores-y-condensadores#def-b1-potential-capacitors-dipole), que salen por la cara norte y vuelven por la sur.*

**Ejemplo 28.15 (La brújula y la Tierra).**

La aguja de una brújula es un imán pequeño, de momento $m \sim 0.1\,\mathrm{A}\,\mathrm{m}^{2}$; en la componente horizontal del campo terrestre, $B_h \approx 2 \times 10^{-5}\,\mathrm{T}$, el par $mB_h\sin\theta$ la lleva al norte, y oscila en torno al norte con periodo $2\pi\sqrt{J/mB_h} \sim 1\,\mathrm{s}$ ([Ejercicio 28.9](#exo-b1-magnetostatics-9)). El propio dipolo terrestre, $8 \times 10^{22}\,\mathrm{A}\,\mathrm{m}^{2}$, equivale a una corriente de unos miles de millones de [amperios](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/6-circuitos-en-corriente-continua-leyes-de-kirchhoff-y-teoremas#def-b1-dc-circuits-current) circulando por el núcleo de hierro líquido; el campo que produce en la superficie es el más débil del capítulo y el primero que alguien utilizó.

## 28.6 Ejercicios

**Ejercicio 28.1 ★.**

Campo a $1.0\,\mathrm{cm}$ de un hilo rectilíneo que lleva $10\,\mathrm{A}$; corriente necesaria para llegar a $1\,\mathrm{T}$ a esa distancia; distancia a la que el campo de un hilo de $100\,\mathrm{A}$ iguala los $5 \times 10^{-5}\,\mathrm{T}$ terrestres.

**Solución de Ejercicio 28.1.**

$B = \mu_0I/2\pi r = 2 \times 10^{-7} \times 10/0.01 = 2 \times 10^{-4}\,\mathrm{T}$. Para $1\,\mathrm{T}$: $I = 2\pi rB/\mu_0 = 5 \times 10^{4}\,\mathrm{A}$. El valor terrestre, a $r = 2 \times 10^{-7} \times
100/5 \times 10^{-5} = 0.4\,\mathrm{m}$.

**Ejercicio 28.2 ★.**

Campo en el centro de una bobina de $100$ espiras y radio $5.0\,\mathrm{cm}$ que lleva $2.0\,\mathrm{A}$; y sobre su eje a $5.0\,\mathrm{cm}$ y a $50\,\mathrm{cm}$ del centro.

**Solución de Ejercicio 28.2.**

Centro: $\mu_0NI/2R = 4\pi \times 10^{-7} \times 200/0.1 = 2.5\,\mathrm{mT}$. En $z = R$: $\times(R^2/2R^2)^{3/2} = 2^{-3/2}$: $0.89\,\mathrm{mT}$. En $z = 10R$: $\times(1/101)^{3/2}
= 10^{-3}$: $2.5\,\text{µ}\mathrm{T}$, ya la ley dipolar en $1/z^3$.

**Ejercicio 28.3 ★.**

Un solenoide de $1000$ espiras por metro lleva $5.0\,\mathrm{A}$: campo dentro, lejos de los extremos, y justo en el extremo. Número de espiras de hilo de $0.5\,\mathrm{mm}$ que pueden devanarse por metro en una sola capa, y campo que resulta con $5\,\mathrm{A}$.

**Solución de Ejercicio 28.3.**

$B = \mu_0nI = 4\pi \times 10^{-7} \times 1000 \times 5 = 6.3\,\mathrm{mT}$; en el extremo, la mitad: $3.1\,\mathrm{mT}$. Con hilo de $0.5\,\mathrm{mm}$: $2000$ espiras por metro, luego $12.6\,\mathrm{mT}$ con $5\,\mathrm{A}$.

**Ejercicio 28.4 ★.**

Fuerza sobre un hilo de $1.0\,\mathrm{m}$ que lleva $10\,\mathrm{A}$ perpendicular a un campo de $0.10\,\mathrm{T}$; y sobre el mismo hilo a $30{}^{\circ}$ del campo. Un motor tiene $100$ hilos así en un rotor de $5\,\mathrm{cm}$ de radio: par ([orden de magnitud](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/1-unidades-dimensiones-y-medida#def-b1-units-dimensions-oom)).

**Solución de Ejercicio 28.4.**

$F = ILB = 10 \times 1 \times 0.1 = 1.0\,\mathrm{N}$; a $30{}^{\circ}$, $\sin30^\circ$: $0.5\,\mathrm{N}$. Motor: $100 \times 1\,\mathrm{N} \times 0.05\,\mathrm{m} = 5\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}$ — un motor industrial pequeño.

**Ejercicio 28.5 ★★.**

Campo de un segmento rectilíneo finito a la distancia $d$ de su recta, con los extremos vistos bajo los ángulos $\alpha_1$ y $\alpha_2$ (medidos desde la perpendicular): $B = \dfrac{\mu_0I}{4\pi d}(\sin\alpha_2 - \sin\alpha_1)$. Compruébese el límite del hilo infinito. Campo en el centro de una espira cuadrada de lado $a$.

**Solución de Ejercicio 28.5.**

Con $z = d\tan\alpha$: $B = \dfrac{\mu_0I}{4\pi}\displaystyle\int\dfrac{d\,\dd z}{(d^2 + z^2)^{3/2}}
= \dfrac{\mu_0I}{4\pi d}\displaystyle\int_{\alpha_1}^{\alpha_2}\cos\alpha\,\dd\alpha = \dfrac{\mu_0I}{4\pi d}
(\sin\alpha_2 - \sin\alpha_1)$; hilo infinito, $\alpha_{1,2} = \mp\pi/2$: $\mu_0I/2\pi d$. Cuadrado: cada lado a $d = a/2$ visto bajo $\pm45^\circ$ da $\mu_0I\sqrt2/2\pi a$; los cuatro lados: $B = 2\sqrt2\,\mu_0I/\pi a = 0.90\,\mu_0I/a$ (una circunferencia del mismo “radio” $a/2$ daría $\mu_0I/a$).

**Ejercicio 28.6 ★★.**

*Bobinas de Helmholtz.* Dos bobinas idénticas ($N$ espiras, radio $R$) sobre un eje común, separadas una distancia $R$, llevan la misma corriente en el mismo sentido. Campo en el punto medio; muéstrese que allí se anulan la primera *y la segunda* derivadas de $B$ según el eje. Cifras: $N = 100$, $R = 15\,\mathrm{cm}$, $I = 1.0\,\mathrm{A}$.

**Solución de Ejercicio 28.6.**

$B(z) = f(z - R/2) + f(z + R/2)$ con $f(u) = \mu_0NIR^2/2(R^2 + u^2)^{3/2}$. Punto medio: $2f(R/2) = \mu_0NIR^2/(5R^2/4)^{3/2} = (4/5)^{3/2}\mu_0NI/R$. $f'$ es impar, luego $B'(0) = f'(-R/2) + f'(R/2) = 0$; $f''(u) \propto (4u^2 - R^2)(R^2 +
u^2)^{-7/2}$ se anula en $u = R/2$, luego $B''(0) = 2f''(R/2) = 0$: el campo es uniforme hasta el tercer orden. Cifras: $0.716 \times 4\pi \times 10^{-7} \times 100/0.15 =
0.60\,\mathrm{mT}$.

**Ejercicio 28.7 ★★.**

Un hilo de cobre de $2.0\,\mathrm{mm}$ de radio lleva $100\,\mathrm{A}$. Campo en la superficie, a $1.0\,\mathrm{mm}$ del eje y a $1.0\,\mathrm{cm}$. Esbócese $B(r)$. El hilo es ahora el conductor interior de un cable coaxial cuya malla lleva la corriente de retorno: campo fuera de la malla.

**Solución de Ejercicio 28.7.**

Superficie: $\mu_0I/2\pi a = 2 \times 10^{-7} \times 100/0.002 = 10\,\mathrm{mT}$; a $1\,\mathrm{mm}$, dentro, $\times r/a$: $5\,\mathrm{mT}$; a $1\,\mathrm{cm}$: $2\,\mathrm{mT}$. $B$ crece linealmente hasta la superficie y luego cae como $1/r$. Coaxial: fuera de la malla la corriente enlazada es nula, $B = 0$.

**Ejercicio 28.8 ★★.**

Fuerza por metro entre dos hilos separados $1\,\mathrm{m}$ con $1\,\mathrm{A}$; entre dos barras conductoras separadas $10\,\mathrm{cm}$ que llevan $10\,\mathrm{kA}$; y bajo un cortocircuito de $100\,\mathrm{kA}$. ¿Qué ha de sujetar las barras?

**Solución de Ejercicio 28.8.**

$2 \times 10^{-7}$ N/m. Barras: $2 \times 10^{-7} \times 10^8/0.1 = 200\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$; a $100\,\mathrm{kA}$: $2 \times 10^{4}\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ — dos toneladas por metro. Los soportes aislantes de la aparamenta se dimensionan para la corriente de defecto, no para la de servicio.

**Ejercicio 28.9 ★★.**

Una aguja de brújula de momento $m = 0.10\,\mathrm{A}\,\mathrm{m}^{2}$ y [momento de inercia](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/15-momento-angular#prop-b1-angular-momentum-inertia) $J = 1.0 \times 10^{-7}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}$, en un campo horizontal $B_h = 2.0 \times 10^{-5}\,\mathrm{T}$. Par a $90{}^{\circ}$; trabajo para llevarla del norte al sur; periodo de las oscilaciones pequeñas. ¿Cómo se mide $B_h$ con ella?

**Solución de Ejercicio 28.9.**

$\Gamma = mB_h = 2 \times 10^{-6}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}$; $W = 2mB_h = 4 \times 10^{-6}\,\mathrm{J}$; $J\ddot\theta =
-mB_h\theta$: $T = 2\pi\sqrt{J/mB_h} = 2\pi\sqrt{10^{-7}/2 \times 10^{-6}} =
1.4\,\mathrm{s}$. Se cronometran las oscilaciones: $B_h = 4\pi^2J/mT^2$ una vez conocidos $m$ y $J$ (Gauss medía $m$ aparte, por la desviación que produce en una segunda aguja).

**Ejercicio 28.10 ★★★.**

*La Tierra como dipolo.* (a) Muéstrese que sobre su eje, muy lejos, el [campo de una espira](#prop-b1-magnetostatics-three) vale $B = \mu_0m/2\pi z^3$ con $m = I\pi R^2$; compárese con el [dipolo eléctrico](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/27-el-potencial-electrico-conductores-y-condensadores#def-b1-potential-capacitors-dipole). (b) El campo en el polo magnético ronda los $6 \times 10^{-5}\,\mathrm{T}$: dedúzcase el [momento dipolar](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/27-el-potencial-electrico-conductores-y-condensadores#def-b1-potential-capacitors-dipole) de la Tierra. (c) Corriente en una espira de radio $3000\,\mathrm{km}$ (el núcleo) que lo produciría. (d) Campo en el ecuador según el modelo dipolar; ángulo de inclinación del campo a la latitud $45{}^{\circ}$ (úsense $B_r$ y $B_\theta$).

**Solución de Ejercicio 28.10.**

(a) $\mu_0IR^2/2z^3 = \mu_0(I\pi R^2)/2\pi z^3 = \mu_0m/2\pi z^3 = (\mu_0/4\pi)\,2m/z^3$: el eléctrico $2p/4\pi\varepsilon_0z^3$ con $1/\varepsilon_0 \to \mu_0$. (b) $m = 2\pi R_E^3B/
\mu_0 = 2\pi \times 2.58 \times 10^{20} \times 6 \times 10^{-5}/1.26 \times 10^{-6} = 7.7 \times 10^{22}\,\mathrm{A}\,\mathrm{m}^{2}$. (c) $I = m/\pi R^2 = 7.7 \times 10^{22}/(\pi \times 9 \times 10^{12}) = 2.7 \times 10^{9}\,\mathrm{A}$. (d) Ecuador ($\theta = 90^\circ$): $B_\theta = \mu_0m/4\pi R_E^3 = 3 \times 10^{-5}\,\mathrm{T}$, la mitad del valor polar. En $\theta = 45^\circ$: $\tan(\text{incl}) = B_r/B_\theta = 2\cot\theta = 2$, inclinación $= 63{}^{\circ}$ — el campo se hunde con fuerte pendiente en el suelo en las latitudes medias.

**Ejercicio 28.11 ★★★.**

*Solenoide finito.* Longitud $L = 20\,\mathrm{cm}$, radio $R = 2.0\,\mathrm{cm}$, $n = 2000\,\mathrm{m}^{-1}$, $I = 3.0\,\mathrm{A}$. Campo en el centro y en un extremo con la fórmula del curso; fracción del valor del solenoide infinito; ¿a qué distancia fuera, según el eje, ha caído el campo al $1\%$ del valor central? Esbócese $B(z)$ a lo largo del eje.

**Solución de Ejercicio 28.11.**

$\mu_0nI = 4\pi \times 10^{-7} \times 2000 \times 3 = 7.5\,\mathrm{mT}$. Centro: $\tan\alpha_1 =
R/(L/2) = 0.2$, $\cos\alpha_1 = -\cos\alpha_2 = 0.981$: $B = 0.981\,\mu_0nI =
7.4\,\mathrm{mT}$ (el $98\%$). Extremo: $\cos\alpha_1 = 0$, $\tan\alpha_2 = R/L$, $\cos\alpha_2 =
-0.995$: $B = 0.497\,\mu_0nI = 3.7\,\mathrm{mT}$ (el $50\%$). Fuera, a una distancia $x$ del extremo, con los dos extremos del mismo lado: $B = \tfrac12\mu_0nI(\cos\alpha_1 - \cos\alpha_2)
\approx \tfrac12\mu_0nI\,\tfrac{R^2}{2}[1/x^2 - 1/(x + L)^2]$; el $1\%$ del valor central en $x \approx 10\,\mathrm{cm}$, media longitud fuera. $B(z)$: una meseta plana en casi toda la longitud, que baja a la mitad en los extremos y a unos pocos por ciento a una longitud de distancia.

**Ejercicio 28.12 ★★★.**

*Presión magnética.* En un solenoide largo el campo vale $B$ dentro y $0$ fuera; el devanado lleva la corriente superficial $K = nI$ por metro de longitud. (a) Muéstrese que el campo *en* el devanado, la media entre el interior y el exterior, vale $B/2$, y que la [fuerza de Laplace](#thm-b1-magnetostatics-laplace) sobre él es una presión hacia fuera $p = B^2/2\mu_0$. (b) Cifras para $1\,\mathrm{T}$, $10\,\mathrm{T}$ y $45\,\mathrm{T}$; compárense con la presión atmosférica y con la resistencia a la tracción del acero ($1\,\mathrm{GPa}$). (c) ¿Qué limita los imanes permanentes más intensos?

**Solución de Ejercicio 28.12.**

(a) El campo propio del devanado salta de $0$ a $B$ al atravesarlo; el campo que actúa sobre él es la media, $B/2$ (la capa no puede empujarse a sí misma). Fuerza sobre un elemento de devanado de longitud $\dd l$ y anchura $\dd z$ que lleva $K\,\dd z$: $K\,\dd z\,\dd l\,B/2$, radial hacia fuera (compruébese con $I\,\dd\vect l
\wedge\vect B$): presión $p = KB/2 = B^2/2\mu_0$, ya que $K = nI = B/\mu_0$. (b) $1\,\mathrm{T}$: $4 \times 10^{5}\,\mathrm{Pa}$ = $4\,\mathrm{bar}$; $10\,\mathrm{T}$: $400\,\mathrm{bar}$; $45\,\mathrm{T}$: $8 \times 10^{8}\,\mathrm{Pa}$ = $8000\,\mathrm{bar}$, cerca del $1\,\mathrm{GPa}$ del acero. (c) El devanado ha de soportar una presión que crece como $B^2$: por encima de $40\,\mathrm{T}$ más o menos, ningún material ni sistema de refrigeración aguanta — el límite de los imanes permanentes es mecánico (y, en los superconductores, su campo crítico).

![Una línea de transporte de alta tensión: tres conductores por circuito cuyas corrientes suman cero, de modo que sus campos se cancelan a distancia. Fotografía: Stefan Andrej Shambora, CC BY 2.0.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-magnetostatics/img-689accea7d17.jpg)

*Una línea de transporte de alta tensión: tres conductores por circuito cuyas corrientes suman cero, de modo que sus campos se cancelan a distancia. Fotografía: Stefan Andrej Shambora, CC BY 2.0.*

## 28.7 Problema: el cable, la línea y el aparato de medida

**Problema 28.1.**

Problema de fin de semana — el teorema de Ampère en un cable coaxial, las fuerzas de Laplace en una línea eléctrica y el diseño de un galvanómetro de cuadro móvil

$\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}$ SI; resistividad del cobre $\rho = 1.7 \times 10^{-8}\,\Omega\,\mathrm{m}$.

**Parte I — El cable coaxial.** Un cable lleva $I = 1.0\,\mathrm{A}$ por un alma maciza de cobre de radio $a = 0.50\,\mathrm{mm}$ y de vuelta por una malla de radio interior $b =
2.5\,\mathrm{mm}$ y radio exterior $c = 3.0\,\mathrm{mm}$; las corrientes son uniformes en la sección de cada conductor.

1. Simetrías e invariancias: dirección de $\vect B$ y variable de la que depende.
2. $B(r)$ en el alma, entre los conductores y fuera del cable, por el [teorema de Ampère](#thm-b1-magnetostatics-ampere) .
3. Valores en $r = a$ y $r = b$ .
4. El alma se sustituye por un tubo delgado de cobre del mismo radio $a$ que lleva la misma corriente: ¿qué cambia en cada región?
5. $B(r)$ dentro de la malla ( $b < r < c$ ); compruébense los valores en $b$ y en $c$ ; esbócese $B(r)$ de $0$ a $4\,\mathrm{mm}$ .
6. [Fuerza de Laplace](#thm-b1-magnetostatics-laplace) sobre la malla: sentido (¿atracción o repulsión respecto del alma?) y módulo por unidad de área, tomando el campo en la malla como la media de sus valores en $b$ y en $c$ . Lo mismo para una corriente pulsada de $10\,\mathrm{kA}$ .
7. ¿Por qué se usa la geometría coaxial para las [señales](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/5-propagacion-de-senales-ondas-progresivas-y-estacionarias#def-b1-wave-propagation-signal) ? Compárese con un par de hilos paralelos separados $d = 2\,\mathrm{mm}$ : campo a la distancia $D = 10\,\mathrm{cm}$ del par (supóngase la superposición de dos hilos).

**Parte II — La línea eléctrica.** Dos conductores horizontales separados $d = 1.0\,\mathrm{m}$, a $h = 10\,\mathrm{m}$ sobre el suelo, llevan $I = 500\,\mathrm{A}$ en sentidos opuestos.

8. Campo de uno de los conductores en el punto del suelo situado bajo el punto medio; muéstrese que los dos campos se componen en un campo vertical y dese su valor; compárese con el terrestre y con la recomendación de exposición de $100\,\text{µ}\mathrm{T}$ .
9. Muéstrese que a distancias $D \gg d$ el campo del par decrece como $\mu_0Id/2\pi D^2$ : ¿por qué más deprisa que el de un solo hilo?
10. Campo a $1.0\,\mathrm{m}$ bajo uno de los conductores, donde podría trabajar un técnico.
11. Fuerza por metro entre los conductores; ¿atracción o repulsión? Lo mismo con una corriente de cortocircuito de $20\,\mathrm{kA}$ .
12. Fuerza sobre un vano de $300\,\mathrm{m}$ , en régimen normal y en cortocircuito; compárese con el peso del vano ( $1.0\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}$ ); ¿qué hacen las líneas durante un cortocircuito?
13. Una línea trifásica lleva tres corrientes de la misma [amplitud](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/5-propagacion-de-senales-ondas-progresivas-y-estacionarias#def-b1-wave-propagation-signal) desfasadas $120{}^{\circ}$ : muéstrese que su suma se anula en todo instante, y qué implica eso para el campo lejano.
14. Una brújula en el punto de la pregunta 8, donde el campo horizontal terrestre vale $2.0 \times 10^{-5}\,\mathrm{T}$ : ¿la desvía el campo de la línea? (Piénsese en su dirección.)

**Parte III — El galvanómetro de cuadro móvil.** Un cuadro rectangular de $N = 200$ espiras, de lados $a = 2.0\,\mathrm{cm}$ (paralelo al eje de giro) y $b = 3.0\,\mathrm{cm}$, gira alrededor de su eje en el entrehierro entre piezas polares cilíndricas donde el campo, $B = 0.20\,\mathrm{T}$, es *radial*: siempre en el plano del cuadro y perpendicular a sus lados $a$. Un resorte espiral ejerce el par recuperador $-C\theta$ con $C = 1.0 \times 10^{-5}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}/\mathrm{rad}$. [Momento de inercia](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/15-momento-angular#prop-b1-angular-momentum-inertia) del cuadro y la aguja: $J = 6.7 \times 10^{-8}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}$.

15. [Fuerzas de Laplace](#thm-b1-magnetostatics-laplace) sobre los cuatro lados; ¿cuáles producen par respecto del eje?
16. Par para una corriente $I$ ; ¿por qué lo hace independiente de $\theta$ el campo radial?
17. Desviación $\theta$ en el equilibrio; sensibilidad en radianes por miliamperio; corriente para una desviación a fondo de escala de $1.2\,\mathrm{rad}$ .
18. El cuadro está devanado con hilo de cobre de $0.10\,\mathrm{mm}$ de diámetro: resistencia del cuadro; tensión en sus bornes y potencia disipada a fondo de escala.
19. Ecuación del movimiento del cuadro; periodo propio de las oscilaciones en torno al equilibrio.
20. El movimiento del cuadro en el campo induce un par de frenado $-\alpha\dot\theta$ ( [Capítulo 29](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/29-la-induccion-electromagnetica-y-sus-aplicaciones#ch-b1-induction) ); valor de $\alpha$ para el amortiguamiento crítico, y por qué se busca.
21. Resistencia en serie para hacer un voltímetro de $10\,\mathrm{V}$ a fondo de escala; resistencia en derivación para hacer un amperímetro de $1.0\,\mathrm{A}$ a fondo de escala.
22. [Momento magnético](#def-b1-magnetostatics-moment) del cuadro a fondo de escala; energía $-\vect m\cdot  \vect B$ que tendría, alineado, en un campo uniforme de $0.20\,\mathrm{T}$ ; compárese con la energía almacenada en el resorte a fondo de escala.
23. Si el campo fuera *uniforme* en vez de radial, muéstrese que la escala dejaría de ser lineal: escríbase la condición de equilibrio con $\theta$ medido desde la posición en la que el plano del cuadro contiene a $\vect B$ .
24. Se aplica al aparato una corriente de $50\,\mathrm{Hz}$ y $0.5\,\mathrm{mA}$ de [amplitud](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/5-propagacion-de-senales-ondas-progresivas-y-estacionarias#def-b1-wave-propagation-signal) : ¿qué marca la aguja y por qué? (Compárense los $50\,\mathrm{Hz}$ con la [frecuencia propia](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/14-osciladores-mecanicos-amortiguamiento-y-resonancia#def-b1-oscillators-resonance-harmonic) .)
25. Resúmanse las tres escenas en tres cifras, y dígase qué única ley produjo cada una.

**Solución de Problema 28.1.**

**1.** Todo plano que contiene al eje es un [plano de simetría](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/26-electrostatica-el-campo-y-el-teorema-de-gauss#prop-b1-electrostatics-gauss-symmetry) de las corrientes: $\vect B$ es perpendicular a él, ortorradial; por invariancia a lo largo y alrededor del eje: $\vect B = B(r)\,\vect e_\theta$.

**2.** Circunferencia de radio $r$: $2\pi rB = \mu_0I_{\text{enc}}$. Alma: $I_{\text{enc}} = Ir^2/a^2$, $B = \mu_0Ir/2\pi a^2$; entre ambos: $\mu_0I/2\pi r$; fuera ($r > c$): $I - I = 0$, $B = 0$.

**3.** $B(a) = 2 \times 10^{-7}/5 \times 10^{-4} = 4.0 \times 10^{-4}\,\mathrm{T}$; $B(b) = 2 \times
10^{-7}/2.5 \times 10^{-3} = 8.0 \times 10^{-5}\,\mathrm{T}$.

**4.** Dentro del tubo no hay corriente enlazada: allí $B = 0$ en vez del crecimiento lineal; en todo lo demás nada cambia — el campo fuera de una corriente cilíndrica solo depende de la corriente total.

**5.** $I_{\text{enc}} = I - I(r^2 - b^2)/(c^2 - b^2) = I(c^2 - r^2)/(c^2 -
b^2)$: $B = \dfrac{\mu_0I}{2\pi r}\,\dfrac{c^2 - r^2}{c^2 - b^2}$, igual a $\mu_0I/2\pi b$ en $b$ y a $0$ en $c$: continuo. Esbozo: lineal hasta $4 \times 10^{-4}\,\mathrm{T}$ en $0.5\,\mathrm{mm}$, en $1/r$ hasta $8 \times 10^{-5}\,\mathrm{T}$ en $2.5\,\mathrm{mm}$, cayendo a cero en $3\,\mathrm{mm}$ y nulo más allá.

**6.** La corriente de la malla es antiparalela a la del alma: repulsión, una presión hacia fuera. Corriente superficial $K = I/2\pi b = 64\,\mathrm{A}/\mathrm{m}$; campo medio $\tfrac12(8 \times 10^{-5} + 0) = 4 \times 10^{-5}\,\mathrm{T}$: $p = KB = 2.5 \times 10^{-3}\,\mathrm{Pa}$. A $10\,\mathrm{kA}$: $\times10^8$, $2.5 \times 10^{5}\,\mathrm{Pa}$ = $2.5\,\mathrm{bar}$ — los cables de potencia pulsada se construyen para aguantarlo.

**7.** No hay campo fuera: el cable ni radia ni recoge interferencias magnéticas de sus vecinos. Un par de hilos: los dos campos casi se cancelan y dejan $\approx \mu_0Id/2\pi D^2 = 2 \times 10^{-7} \times 2 \times
10^{-3}/10^{-2} = 4 \times 10^{-8}\,\mathrm{T}$ a $10\,\mathrm{cm}$ — poco, pero el coaxial da cero.

**8.** $D = \sqrt{h^2 + d^2/4} = 10.0\,\mathrm{m}$: cada uno da $\mu_0I/2\pi D =
1.0 \times 10^{-5}\,\mathrm{T}$, perpendicular a la recta que va del conductor al punto. Al ser opuestas las corrientes, las componentes paralelas a la recta que une los conductores se cancelan y las verticales se suman: $B = 2 \times 10^{-5} \times
(d/2)/D = 1.0 \times 10^{-6}\,\mathrm{T}$, vertical. Cincuenta veces por debajo del campo terrestre y cien veces por debajo de la recomendación.

**9.** Para $D \gg d$, $B \approx \dfrac{\mu_0I}{2\pi}\Bigl(\dfrac1{D_1} - \dfrac1{D_2}\Bigr)
\sim \dfrac{\mu_0I}{2\pi}\dfrac{d}{D^2}$: los dos campos en $1/D$ se cancelan a primer orden y solo sobrevive su diferencia, de tamaño relativo $d/D$ — un “dipolo de dos hilos”.

**10.** El propio conductor a $1\,\mathrm{m}$: $1.0 \times 10^{-4}\,\mathrm{T}$ horizontal; el otro a $1.41\,\mathrm{m}$: $7.1 \times 10^{-5}\,\mathrm{T}$ a $45{}^{\circ}$, en sentido opuesto: resultante $(5 \times 10^{-5}, 5 \times 10^{-5})$, $7 \times 10^{-5}\,\mathrm{T}$ — $70\,\text{µ}\mathrm{T}$, por debajo de la recomendación para el público y muy por debajo de la profesional.

**11.** $F/\ell = \mu_0I^2/2\pi d = 2 \times 10^{-7} \times 2.5 \times 10^5 =
0.05\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$, repulsiva; a $20\,\mathrm{kA}$: $80\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$.

**12.** $15\,\mathrm{N}$ en régimen normal; $24\,\mathrm{kN}$ en cortocircuito, ocho veces el peso del vano, $2.9\,\mathrm{kN}$: los conductores salen despedidos, oscilan y pueden chocar al volver — de ahí los separadores y los interruptores que abren en unos pocos ciclos.

**13.** $I\cos\omega t + I\cos(\omega t - 2\pi/3) + I\cos(\omega t + 2\pi/3) =
I\cos\omega t\,(1 + 2\cos2\pi/3) = 0$: los tres [fasores](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/8-regimen-sinusoidal-permanente-e-impedancia#def-b1-sinusoidal-impedance-complex) suman cero. Los campos en $1/D$ se cancelan como en el coaxial; el campo lejano decrece como $1/D^2$ o más deprisa.

**14.** Allí el campo de la línea es vertical, y una brújula responde solo a la componente horizontal: no hay desviación (la inclinación cambia en $10^{-6}/(2 \times 10^{-5})$, tres grados, que la brújula no puede mostrar).

**15.** Lados $a$ (paralelos al eje): $\vect B$, radial, es perpendicular a ellos; fuerza $NIaB$ en cada uno, perpendicular al plano del cuadro y opuesta en los dos lados: un par. Lados $b$: $\dd\vect l$ es radial, paralelo a $\vect B$: sin fuerza.

**16.** $\Gamma = 2 \times NIaB \times b/2 = NIabB = NISB = 0.024\,I$ (N m, con $I$ en A). El campo radial está siempre en el plano del cuadro y es perpendicular a los lados $a$: las fuerzas son siempre normales al plano y su brazo $b/2$ no cambia nunca.

**17.** $C\theta = NISB$: $\theta = 2400\,I$ rad, es decir $2.4\,\mathrm{rad}/\mathrm{mA}$; fondo de escala $1.2\,\mathrm{rad}$ con $I = 0.50\,\mathrm{mA}$.

**18.** Longitud $200 \times 2(0.02 + 0.03) = 20\,\mathrm{m}$, sección $\pi(5 \times
10^{-5})^2 = 7.9 \times 10^{-9}\,\mathrm{m}^{2}$: $R = 1.7 \times 10^{-8} \times 20/7.9 \times 10^{-9} =
43\,\Omega$; $U = 43 \times 5 \times 10^{-4} = 22\,\mathrm{mV}$; $P = UI = 11\,\text{µ}\mathrm{W}$.

**19.** $J\ddot\theta = -C\theta + NISB\,I$: $\omega_0 = \sqrt{C/J} = \sqrt{10^{-5}/6.7
\times 10^{-8}} = 12\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$, $T = 0.51\,\mathrm{s}$.

**20.** $J\ddot\theta + \alpha\dot\theta + C\theta = NISB\,I$: crítico para $\alpha = 2\sqrt{JC} = 2\sqrt{6.7 \times 10^{-13}} = 1.6 \times 10^{-6}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}$; la aguja alcanza entonces su lectura lo más deprisa posible sin sobrepasarla.

**21.** Voltímetro: $R_s = 10/5 \times 10^{-4} - 43 \approx 20\,\mathrm{k}\Omega$. Amperímetro: la derivación lleva $0.9995\,\mathrm{A}$ bajo $22\,\mathrm{mV}$: $R_{\text{sh}} =
22\,\mathrm{m}\Omega$.

**22.** $m = NIS = 200 \times 5 \times 10^{-4} \times 6 \times 10^{-4} = 6 \times 10^{-5}\,\mathrm{A}\,\mathrm{m}^{2}$; $-mB = -1.2 \times 10^{-5}\,\mathrm{J}$; resorte $\tfrac12C\theta^2 = \tfrac12 \times 10^{-5} \times 1.44 =
7.2 \times 10^{-6}\,\mathrm{J}$: el mismo orden — el resorte almacena lo que el par magnético trabajó mientras el cuadro giraba.

**23.** En un campo uniforme el par vale $mB\cos\theta$ (máximo cuando el plano contiene a $\vect B$ y nulo cuando la normal va según él): $C\theta =
NISB\,I\cos\theta$ — lineal solo para $\theta$ pequeños y comprimida en lo alto de la escala.

**24.** $50\,\mathrm{Hz}$ frente a $\omega_0/2\pi = 2\,\mathrm{Hz}$: el cuadro no puede seguirlos; se queda en la media de la corriente, cero, con un temblor de [amplitud](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/5-propagacion-de-senales-ondas-progresivas-y-estacionarias#def-b1-wave-propagation-signal) $\approx \theta_{\text{est}}(\omega_0/\omega)^2 = 1.2 \times (12/314)^2 \approx
2 \times 10^{-3}\,\mathrm{rad}$, invisible. Un aparato de cuadro móvil lee la media — para la corriente alterna necesita un rectificador.

**25.** $4 \times 10^{-4}\,\mathrm{T}$ en el alma de un coaxial de $1\,\mathrm{A}$ y nada fuera ([teorema de Ampère](#thm-b1-magnetostatics-ampere)); $1\,\text{µ}\mathrm{T}$ bajo una línea de $500\,\mathrm{A}$ y $0.05\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ entre sus conductores (Biot–Savart más Laplace); $2.4\,\mathrm{rad}/\mathrm{mA}$ para el aparato (par de Laplace contra un resorte).