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title: "Espejos y lentes delgadas"
book: "Física universitaria — primer año"
subject: physics
language: es
chapter: 3
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/3-espejos-y-lentes-delgadas
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# Capítulo 3 — Espejos y lentes delgadas

Un espejo de tocador muestra una cara del doble de su tamaño; el dorso de una cuchara la muestra diminuta y derecha, y el hueco la muestra diminuta y del revés; una lupa sostenida con el brazo extendido pone la habitación boca abajo, y acercada agranda un sello; el objetivo de un teléfono, del tamaño de una lenteja, pinta la calle entera sobre un sensor. Una sola relación algebraica entre tres distancias gobierna todas esas imágenes, y este capítulo la establece — primero para los espejos curvos y después para la [lente delgada](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) con la que están construidos casi todos los instrumentos ópticos.

![Una lente convergente forma sobre una pantalla la imagen real e invertida de la llama de una vela: las distancias objeto e imagen obedecen la relación de conjugación de este capítulo.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-mirrors-thin-lenses/img-4e16a71a9752.jpg)

*Una [lente convergente](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) forma sobre una pantalla la [imagen real](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) e invertida de la llama de una vela: las distancias objeto e [imagen](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) obedecen la relación de conjugación de este capítulo.*

## 3.1 Imágenes y condiciones de Gauss

**Definición 3.1 (Objeto, imagen, estigmatismo).**

Un sistema óptico recibe rayos procedentes de un punto $A$ (el *punto objeto*). Si todos los rayos emergentes pasan por un mismo punto $A'$, o todos parecen provenir de un mismo punto $A'$, el sistema es *estigmático* para $A$ y $A'$ es la *imagen* de $A$. La imagen es *real* si los rayos emergentes se cortan efectivamente en $A'$ (puede recogerse en una pantalla) y *virtual* si solo se cortan sus prolongaciones hacia atrás (se ve a través del sistema, no se proyecta). Análogamente, el objeto es real si los rayos incidentes divergen desde $A$, y virtual si convergen hacia $A$ detrás de la entrada del sistema. El par $(A, A')$ es *conjugado*.

**Definición 3.2 (Sistema centrado; condiciones de Gauss).**

Un *sistema centrado* posee un eje de simetría de revolución, el *eje óptico*. Los rayos que se mantienen cerca del eje y forman ángulos pequeños con él son *paraxiales*; de un sistema utilizado solo con rayos paraxiales se dice que trabaja en las *condiciones de Gauss*. En esas condiciones un sistema centrado es aproximadamente estigmático para todo punto, y un plano objeto perpendicular al eje tiene un plano [imagen](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) perpendicular al eje (*aplanatismo*).

**Demostración.** *Admitido a este nivel.* ∎

**Observación 3.3 (Por qué ángulos pequeños).**

El [espejo plano](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/2-optica-geometrica-rayos-reflexion-refraccion#prop-b1-rays-reflection-refraction-mirror) es el único sistema simple rigurosamente estigmático para todo punto. Un espejo o una [lente](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) esféricos solo lo son en la medida en que $\sin\theta \approx \tan\theta \approx \theta$: esa aproximación es la que convierte la [ley de Snell](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/2-optica-geometrica-rayos-reflexion-refraccion#thm-b1-rays-reflection-refraction-snell) en relaciones lineales entre distancias. Fuera de ella, la [imagen](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) de un punto es una mancha (*aberraciones*), y el trabajo del diseñador — diafragmas, combinaciones de [lentes](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens), superficies asféricas — consiste en llevar la mancha por debajo de lo que el ojo o el sensor pueden resolver.

**Notación 3.4 (Medidas algebraicas y aumento).**

El [eje óptico](#def-b1-mirrors-thin-lenses-gauss) se orienta en el sentido de la luz incidente; la dirección transversal se orienta hacia arriba. Para puntos $P$, $Q$ del eje, $\overline{PQ}$ designa la [medida algebraica](#rem-b1-mirrors-thin-lenses-why) ($\overline{PQ} > 0$ si $Q$ está aguas abajo de $P$); para un objeto $AB$ perpendicular al eje y su [imagen](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) $A'B'$, el *[aumento transversal](#rem-b1-mirrors-thin-lenses-why)* es

$$
\gamma = \frac{\overline{A'B'}}{\overline{AB}} ,
$$

negativo para una [imagen](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) invertida y de valor absoluto mayor que $1$ para una [imagen](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) agrandada.

## 3.2 Espejos esféricos

**Definición 3.5 (Espejo esférico).**

Un *espejo esférico* es un casquete esférico reflectante de centro $C$ y vértice $S$ (su intersección con el eje). Es *cóncavo* si la luz llega por el lado hueco ($C$ del lado de la luz incidente), y *convexo* en caso contrario. Su *foco* $F$ es la [imagen](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) de un punto del eje en el infinito; su [distancia focal](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) es $f = \overline{SF}$.

**Proposición 3.6 (Foco de un espejo esférico).**

En las [condiciones de Gauss](#def-b1-mirrors-thin-lenses-gauss), el [foco](#def-b1-mirrors-thin-lenses-mirror) es el punto medio de $SC$: $\overline{SF} = \overline{SC}/2$. Un [espejo cóncavo](#def-b1-mirrors-thin-lenses-mirror) tiene $f < 0$ ([foco](#def-b1-mirrors-thin-lenses-mirror) real, por delante); uno convexo tiene $f > 0$ ([foco](#def-b1-mirrors-thin-lenses-mirror) virtual, por detrás).

**Demostración.** Un rayo paralelo al eje a la altura $h$ llega al espejo en $I$; la normal en $I$ es el radio $CI$, que forma un ángulo $\alpha$ con el eje, con $\sin\alpha = h/R$. Reflejado con el mismo ángulo $\alpha$ respecto de la normal, el rayo corta al eje en $F$; el triángulo $CIF$ tiene ángulos iguales $\alpha$ en $C$ y en $I$, luego $CF = IF$ y, proyectando, $CF = R/(2\cos\alpha)$. Para [rayos paraxiales](#def-b1-mirrors-thin-lenses-gauss) $\cos\alpha \to 1$ y $CF = R/2$: todos esos rayos cortan al eje en el mismo punto, el punto medio de $SC$. Signo: para un [espejo cóncavo](#def-b1-mirrors-thin-lenses-mirror), $C$ y $F$ están por delante (aguas arriba) y $\overline{SC} < 0$. ∎

**Teorema 3.7 (Conjugación para un espejo esférico).**

En las [condiciones de Gauss](#def-b1-mirrors-thin-lenses-gauss), la [imagen](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) $A'$ de un punto $A$ del eje cumple

$$
\frac{1}{\overline{SA'}} + \frac{1}{\overline{SA}} = \frac{2}{\overline{SC}}
= \frac{1}{\overline{SF}},
\qquad
\gamma = -\frac{\overline{SA'}}{\overline{SA}} .
$$

**Demostración.** Tómese un [espejo cóncavo](#def-b1-mirrors-thin-lenses-mirror) y un objeto real $A$ más allá de $C$; la forma algebraica cubre después todos los casos. Un rayo que sale de $A$ alcanza el espejo en $I$ (a la altura $h$) y vuelve a $A'$ sobre el eje. Llámense $u$, $u'$, $\omega$ a los ángulos de $AI$, $A'I$ y $CI$ con el eje; paraxialmente $u = h/AS$, $u' = h/A'S$, $\omega = h/CS$ (distancias). La ley de la reflexión dice que la normal $CI$ biseca el ángulo entre $AI$ y $A'I$: $\omega - u = u' - \omega$, es decir $u + u' = 2\omega$, es decir $1/AS + 1/A'S = 2/CS$; siendo $\overline{SA}$, $\overline{SA'}$ y $\overline{SC}$ negativos, esta es la relación mostrada. Para el aumento, el rayo $B \to S \to B'$ reflejado en el vértice forma ángulos iguales con el eje: $A'B'/SA' = AB/SA$ en longitudes, y la [imagen](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) está invertida, $\gamma = -\overline{SA'}/\overline{SA}$. ∎

**Método 3.8 (Construir una imagen en un espejo).**

Para un punto objeto $B$ fuera del eje, trácense dos de los cuatro rayos notables; su intersección (o la de sus prolongaciones) es $B'$:

1. paralelo al eje $\to$ se refleja pasando por $F$ ;
2. pasando por $F$ $\to$ se refleja paralelo al eje;
3. pasando por $C$ $\to$ se refleja sobre sí mismo;
4. hacia el vértice $S$ $\to$ se refleja simétricamente respecto del eje.

Entonces $A'$ es el pie de la perpendicular al eje trazada desde $B'$.

![Un espejo cóncavo (C, foco F a mitad del radio). Para un objeto AB más allá de C, el rayo paralelo al eje vuelve pasando por F y el rayo que pasa por F vuelve paralelo: se cortan en B' — una imagen real, invertida y reducida, entre F y C.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-mirrors-thin-lenses/fig-1566047a0650.svg)

*Un [espejo cóncavo](#def-b1-mirrors-thin-lenses-mirror) ($C$, [foco](#def-b1-mirrors-thin-lenses-mirror) $F$ a mitad del radio). Para un objeto $AB$ más allá de $C$, el rayo paralelo al eje vuelve pasando por $F$ y el rayo que pasa por $F$ vuelve paralelo: se cortan en $B'$ — una [imagen real](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image), invertida y reducida, entre $F$ y $C$.*

**Ejemplo 3.9 (Espejo de afeitar, espejo retrovisor).**

Un [espejo cóncavo](#def-b1-mirrors-thin-lenses-mirror) de radio $60\,\mathrm{cm}$ ($f = -30\,\mathrm{cm}$) con una cara a $20\,\mathrm{cm}$: $1/\overline{SA'} = -1/30 + 1/20 = 1/60$, $\overline{SA'} = +60\,\mathrm{cm}$ — detrás del espejo, virtual — y $\gamma = -60/(-20) = +3$: derecha y tres veces mayor, el espejo de afeitar. Un [espejo convexo](#def-b1-mirrors-thin-lenses-mirror) de radio $2.0\,\mathrm{m}$ ($f = +1.0\,\mathrm{m}$) con un coche $20\,\mathrm{m}$ por detrás: $1/\overline{SA'} = 1 + 1/20$, $\overline{SA'} = 0.95\,\mathrm{m}$ (virtual, por detrás), $\gamma = +0.048$: derecha, veinte veces menor y, por tanto, con un campo amplio — el espejo retrovisor, con su advertencia de que los objetos están más cerca de lo que parecen.

## 3.3 Lentes delgadas

**Definición 3.10 (Lente delgada).**

Una *lente* es un [medio transparente](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/2-optica-geometrica-rayos-reflexion-refraccion#def-b1-rays-reflection-refraction-index) limitado por dos superficies esféricas (o planas); es *delgada* cuando su espesor es despreciable frente a los radios y frente a las distancias en juego, de modo que sus dos vértices se funden en un único punto, el *centro óptico* $O$. Un rayo que pasa por $O$ no se desvía. El *[foco](#def-b1-mirrors-thin-lenses-mirror) [imagen](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image)* $F'$ es la [imagen](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) de un punto del eje en el infinito; el *[foco](#def-b1-mirrors-thin-lenses-mirror) objeto* $F$ es el punto cuya [imagen](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) está en el infinito; ambos están a la misma distancia de $O$: $\overline{OF'} = -\overline{OF} = f'$, la *distancia focal*. La lente es *convergente* si $f' > 0$ ($F'$ real, aguas abajo; bordes más finos que el centro), y *divergente* si $f' < 0$. Su *vergencia* $V = 1/f'$ se mide en *dioptrías* ($1\,\delta = 1\,\mathrm{m}^{-1}$).

**Teorema 3.11 (Conjugación para una lente delgada).**

En las [condiciones de Gauss](#def-b1-mirrors-thin-lenses-gauss), la [imagen](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) $A'$ de un punto $A$ del eje cumple la [relación de Descartes](#thm-b1-mirrors-thin-lenses-lensconj)

$$
\frac{1}{\overline{OA'}} - \frac{1}{\overline{OA}} = \frac{1}{f'},
\qquad
\gamma = \frac{\overline{OA'}}{\overline{OA}},
$$

y, de manera equivalente, la [relación de Newton](#thm-b1-mirrors-thin-lenses-lensconj)

$$
\overline{FA}\cdot\overline{F'A'} = -f'^2,
\qquad
\gamma = \frac{f'}{\overline{FA}} = -\frac{\overline{F'A'}}{f'} .
$$

**Demostración parcial.** El hecho clave es que un rayo que atraviesa una [lente delgada](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) a la altura $h$ resulta desviado hacia el eje un ángulo $h/f'$, sea cual sea su dirección — cada zona de la [lente](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) actúa como un prisma delgado ([Observación 2.21](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/2-optica-geometrica-rayos-reflexion-refraccion#rem-b1-rays-reflection-refraction-thin)) cuyo ángulo crece linealmente con $h$ para superficies esféricas; esa linealidad, exacta para [rayos paraxiales](#def-b1-mirrors-thin-lenses-gauss), se admite aquí y se deduce de la [ley de Snell](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/2-optica-geometrica-rayos-reflexion-refraccion#thm-b1-rays-reflection-refraction-snell) en dos superficies esféricas en el volumen del Año 2. Admitida: un rayo que sale de $A$ (a distancia $p = -\overline{OA} > 0$ para un objeto real) y alcanza la [lente](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) a la altura $h$ llega con pendiente $h/p$, se desvía $h/f'$ y sale con pendiente $h/p - h/f'$; corta al eje en $A'$ con $h/\overline{OA'} = h/f' - h/p$, es decir $1/\overline{OA'}
- 1/\overline{OA} = 1/f'$, con independencia de $h$: todos los rayos que salen de $A$ se reúnen en $A'$. El rayo $B \to O \to B'$ que pasa por el centro es recto, luego $\overline{A'B'}/\overline{AB} = \overline{OA'}/\overline{OA}$. La forma de Newton se sigue sustituyendo $\overline{OA} = \overline{OF} + \overline{FA}
= -f' + \overline{FA}$ y $\overline{OA'} = f' + \overline{F'A'}$. ∎

**Método 3.12 (Construir una imagen a través de una lente delgada).**

Tres rayos notables desde $B$:

1. por $O$ : no se desvía;
2. paralelo al eje: emerge pasando por $F'$ ;
3. pasando por $F$ : emerge paralelo al eje.

Bastan dos; para una [lente divergente](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) úsense las prolongaciones (el rayo dirigido hacia $F$ por detrás de la [lente](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) emerge paralelo; el rayo paralelo emerge como si viniera de $F'$, por delante).

![Una lente convergente: objeto AB más allá de F. El rayo que pasa por O sigue recto, el rayo paralelo se desvía pasando por F' y el rayo que pasa por F sale paralelo; los tres se cortan en B': imagen real e invertida. Aquí OA = -1.5f', luego OA' = 3f' y = -2.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-mirrors-thin-lenses/fig-9d98a81aa150.svg)

*Una [lente convergente](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens): objeto $AB$ más allá de $F$. El rayo que pasa por $O$ sigue recto, el rayo paralelo se desvía pasando por $F'$ y el rayo que pasa por $F$ sale paralelo; los tres se cortan en $B'$: [imagen real](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) e invertida. Aquí $\overline{OA} = -1.5f'$, luego $\overline{OA'} = 3f'$ y $\gamma = -2$.*

![Una lente divergente (F' aguas arriba, F aguas abajo): el rayo paralelo emerge como si viniera de F' y el rayo central sigue recto; sus prolongaciones hacia atrás se cortan en B' — una imagen virtual, derecha y reducida, sea cual sea la posición del objeto.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-mirrors-thin-lenses/fig-0212246928e4.svg)

*Una [lente divergente](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) ($F'$ aguas arriba, $F$ aguas abajo): el rayo paralelo emerge como si viniera de $F'$ y el rayo central sigue recto; sus prolongaciones hacia atrás se cortan en $B'$ — una [imagen virtual](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image), derecha y reducida, sea cual sea la posición del objeto.*

**Ejemplo 3.13 (La misma lente, tres usos).**

Una [lente convergente](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens), $f' = 5.0\,\mathrm{cm}$. Sello a $3.0\,\mathrm{cm}$: $1/\overline{OA'} = 1/5 - 1/3 = -2/15$, $\overline{OA'} = -7.5\,\mathrm{cm}$, virtual, $\gamma = +2.5$: la lupa. Lámpara a $20\,\mathrm{cm}$: $\overline{OA'} = 6.7\,\mathrm{cm}$, real, $\gamma = -1/3$: una [imagen](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) invertida y reducida sobre una cartulina. Ventana a $4\,\mathrm{m}$: $\overline{OA'}
\approx f'$, [imagen](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) invertida diminuta en el plano focal — la cámara. Tres usos, una relación.

**Proposición 3.14 (Aumento longitudinal).**

Si el objeto se desplaza a lo largo del eje una cantidad $\dd\overline{OA}$, la [imagen](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) se desplaza $\dd\overline{OA'} = \gamma^2\,\dd\overline{OA}$, en el mismo sentido.

**Demostración.** Derívese la [relación de Descartes](#thm-b1-mirrors-thin-lenses-lensconj) a $f'$ fijo: $-\dd\overline{OA'}/\overline{OA'}^2 + \dd\overline{OA}/\overline{OA}^2 = 0$, luego $\dd\overline{OA'} = (\overline{OA'}/\overline{OA})^2\,\dd\overline{OA}$. ∎

**Observación 3.15 (Profundidad de foco).**

Un proyector con $\gamma = -50$ tiene $\gamma^2 = 2500$: una diapositiva que se abomba $0.1\,\mathrm{mm}$ por el calor de la lámpara lleva su [imagen](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) $25\,\mathrm{cm}$ fuera del plano de la pantalla. A la inversa, una cámara ($\abs\gamma
\ll 1$) tolera grandes desplazamientos del objeto con un ínfimo corrimiento de la [imagen](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) — la profundidad de campo.

## 3.4 Medir una distancia focal

**Método 3.16 (Autocolimación).**

Colóquese un [espejo plano](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/2-optica-geometrica-rayos-reflexion-refraccion#prop-b1-rays-reflection-refraction-mirror) justo detrás de la [lente](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) y desplácese un objeto iluminado (una cruz sobre un vidrio esmerilado) a lo largo del eje hasta que su [imagen](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image), devuelta a través de la [lente](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens), se forme nítida sobre el propio objeto, invertida y del mismo tamaño. El objeto está entonces en el plano focal: los rayos salen paralelos de la [lente](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens), vuelven paralelos del espejo y se reenfocan en el plano focal. La distancia objeto–lente es $f'$.

**Proposición 3.17 (Método de Bessel).**

Un objeto y una pantalla se fijan a una distancia $D$. Una [lente convergente](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) forma sobre la pantalla una [imagen real](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) nítida en exactamente dos posiciones si $D > 4f'$, en una si $D = 4f'$ y en ninguna si $D < 4f'$. Las dos posiciones distan $d$, con

$$
f' = \frac{D^2 - d^2}{4D} .
$$

Para $D = 4f'$ (Silbermann) la única posición da $\gamma = -1$.

**Demostración.** Sea $p = -\overline{OA} > 0$ la distancia objeto–lente; entonces $\overline{OA'} = D - p$ y Descartes da $1/(D - p) + 1/p = 1/f'$, es decir $p^2 - Dp + Df' = 0$: discriminante $D^2 - 4Df'$, positivo si y solo si $D > 4f'$. Las dos raíces $p_{1,2} = (D \mp \sqrt{D^2 - 4Df'})/2$ suman $D$ (las posiciones son simétricas: las distancias objeto e [imagen](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) se intercambian) y difieren en $d = \sqrt{D^2 - 4Df'}$; despéjese $f'$. Para $D = 4f'$, $p = 2f' = \overline{OA'}$ y $\gamma = -1$. ∎

![Método de Bessel: objeto y pantalla fijos con D > 4f'; la lente da una imagen nítida en dos posiciones simétricas separadas por d (agrandada, reducida), y f' = (D2 - d2)/4D.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-mirrors-thin-lenses/fig-8da78768dcb6.svg)

*[Método de Bessel](#prop-b1-mirrors-thin-lenses-bessel): objeto y pantalla fijos con $D > 4f'$; la [lente](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) da una [imagen](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) nítida en dos posiciones simétricas separadas por $d$ (agrandada, reducida), y $f' = (D^2 - d^2)/4D$.*

## 3.5 Dos lentes delgadas

**Proposición 3.18 (Lentes en contacto; doblete afocal).**

Dos [lentes delgadas](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) en contacto se comportan como una sola [lente delgada](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) de [vergencia](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) $V = V_1 + V_2$. Dos [lentes](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) dispuestas de modo que $F_1' = F_2$ forman un sistema *afocal*: un haz paralelo emerge paralelo, y un haz inclinado $\alpha$ emerge inclinado $\alpha' = G\alpha$ con el *aumento angular* $G = -f_1'/f_2'$.

**Demostración.** La [imagen](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) $A_1$ que da $L_1$ es el objeto de $L_2$. En contacto, $O_1 = O_2 = O$: $1/\overline{OA_1} - 1/\overline{OA} = V_1$ y $1/\overline{OA'} - 1/\overline{OA_1} = V_2$; súmense. Afocal: un haz paralelo con ángulo $\alpha$ converge en el plano focal común a la altura $h = f_1'\alpha$ del eje (rayo por $O_1$); visto desde $L_2$, ese punto está en su plano focal objeto, así que el haz emerge paralelo, con el ángulo del rayo que va del punto a $O_2$: $\alpha' = -h/f_2'$. ∎

**Ejemplo 3.19 (Un anteojo en una línea).**

$f_1' = 1000\,\mathrm{mm}$, $f_2' = 25\,\mathrm{mm}$: $G = -40$; la Luna, de medio grado de anchura, se convierte en un disco de $20^\circ$ — el anteojo astronómico del capítulo siguiente. Con un ocular divergente, $f_2' = -25\,\mathrm{mm}$, $G = +40$: derecha, el catalejo de Galileo.

## 3.6 Ejercicios

**Ejercicio 3.1 ★.**

Un [espejo cóncavo](#def-b1-mirrors-thin-lenses-mirror) tiene $R = 40\,\mathrm{cm}$. Hállese la [imagen](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) de un objeto situado a $60\,\mathrm{cm}$, $30\,\mathrm{cm}$ y $10\,\mathrm{cm}$ del vértice: posición, carácter real o virtual, aumento.

**Solución de Ejercicio 3.1.**

$\overline{SF} = -20\,\mathrm{cm}$; $1/\overline{SA'} = 1/\overline{SF} -
1/\overline{SA}$. A $60\,\mathrm{cm}$: $\overline{SA'} = -30\,\mathrm{cm}$, real, $\gamma = -0.5$. A $30\,\mathrm{cm}$: $\overline{SA'} = -60\,\mathrm{cm}$, real, $\gamma = -2$. A $10\,\mathrm{cm}$: $1/\overline{SA'} = -1/20 + 1/10
= 1/20$, $\overline{SA'} = +20\,\mathrm{cm}$ detrás del espejo, virtual, $\gamma = +2$ (derecha, agrandada).

**Ejercicio 3.2 ★.**

Una [lente convergente](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) tiene $f' = 5.0\,\mathrm{cm}$. Hállese la [imagen](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) de un objeto a $20\,\mathrm{cm}$ y luego a $3.0\,\mathrm{cm}$; dibújense las construcciones.

**Solución de Ejercicio 3.2.**

$\overline{OA} = -20\,\mathrm{cm}$: $1/\overline{OA'} = 1/5 - 1/20 = 3/20$, $\overline{OA'} = +6.7\,\mathrm{cm}$, real e invertida, $\gamma = -1/3$. $\overline{OA} = -3.0\,\mathrm{cm}$: $1/\overline{OA'} = 1/5 - 1/3 = -2/15$, $\overline{OA'} = -7.5\,\mathrm{cm}$, virtual y derecha, $\gamma = +2.5$.

**Ejercicio 3.3 ★.**

Dese la [vergencia](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) de una [lente](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) de [distancia focal](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) $25\,\mathrm{cm}$; la [distancia focal](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) de una [lente](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) de $-2.0\,\delta$; la [distancia focal](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) de una [lente](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) de $+3.0\,\delta$ y otra de $-1.0\,\delta$ en contacto.

**Solución de Ejercicio 3.3.**

$V = 1/0.25 = +4.0\,\delta$; $f' = 1/(-2.0) = -50\,\mathrm{cm}$; $V = 3.0 - 1.0 = +2.0\,\delta$, $f' = 50\,\mathrm{cm}$.

**Ejercicio 3.4 ★.**

Con $f' = 10\,\mathrm{cm}$ y un objeto $15\,\mathrm{cm}$ por delante de $F$, úsese la [relación de Newton](#thm-b1-mirrors-thin-lenses-lensconj) para localizar la [imagen](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) y hallar $\gamma$; compruébese con la [relación de Descartes](#thm-b1-mirrors-thin-lenses-lensconj).

**Solución de Ejercicio 3.4.**

$\overline{FA} = -15\,\mathrm{cm}$: $\overline{F'A'} = -f'^2/\overline{FA}
= +100/15 = 6.7\,\mathrm{cm}$ más allá de $F'$, es decir $\overline{OA'} = 16.7\,\mathrm{cm}$; $\gamma = f'/\overline{FA} = -0.67$. Descartes: $\overline{OA} =
-25\,\mathrm{cm}$, $1/\overline{OA'} = 1/10 - 1/25 = 3/50$, $\overline{OA'} = 16.7\,\mathrm{cm}$, $\gamma = 16.7/(-25) = -0.67$.

**Ejercicio 3.5 ★★.**

Un espejo retrovisor convexo tiene $R = 2.0\,\mathrm{m}$. Un coche de $1.5\,\mathrm{m}$ de alto está $20\,\mathrm{m}$ por detrás: hállense la posición de la [imagen](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) y su altura, y explíquese la advertencia “los objetos están más cerca de lo que parecen”.

**Solución de Ejercicio 3.5.**

$\overline{SF} = +1.0\,\mathrm{m}$, $\overline{SA} = -20\,\mathrm{m}$: $1/\overline{SA'} = 1 + 1/20$, $\overline{SA'} = 0.95\,\mathrm{m}$ detrás del espejo (virtual, derecha); $\gamma = -0.95/(-20) = +0.048$, altura de la [imagen](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) $7.1\,\mathrm{cm}$. El cerebro juzga la distancia por el tamaño aparente: un coche mostrado veinte veces menor a $0.95\,\mathrm{m}$ se lee como un coche lejano — más lejos de $20\,\mathrm{m}$.

**Ejercicio 3.6 ★★.**

Un objetivo fotográfico, $f' = 50\,\mathrm{mm}$, enfoca un motivo situado a $2.0\,\mathrm{m}$. ¿Cuánto debe desplazarse la [lente](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) respecto de su ajuste a infinito? ¿Cuál es el aumento? ¿A qué distancia debe situarse el fotógrafo para que una persona de $1.8\,\mathrm{m}$ quepa en los $24\,\mathrm{mm}$ de altura del sensor?

**Solución de Ejercicio 3.6.**

$1/\overline{OA'} = 1/50 - 1/2000 = 0.0195\,\mathrm{mm}^{-1}$, $\overline{OA'} = 51.3\,\mathrm{mm}$: la [lente](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) se aleja $1.3\,\mathrm{mm}$ del sensor. $\gamma = 51.3/(-2000) = -0.026$. Para $\abs\gamma = 24/1800
= 1/75$: $\overline{OA} = f'(1/\gamma - 1) = 50 \times (-76) =
-3.8\,\mathrm{m}$.

**Ejercicio 3.7 ★★.**

Un proyector debe mostrar una diapositiva de $36\,\mathrm{mm}$ de ancho como una [imagen](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) de $1.8\,\mathrm{m}$ de ancho sobre una pantalla situada a $5.0\,\mathrm{m}$ de la [lente](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens). Hállense la [distancia focal](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) necesaria y la distancia diapositiva–lente. ¿Por qué se introduce la diapositiva del revés?

**Solución de Ejercicio 3.7.**

$\gamma = -1.8/0.036 = -50$; $\overline{OA'} = 5.0\,\mathrm{m}$, $\overline{OA} = \overline{OA'}/\gamma = -10\,\mathrm{cm}$; $1/f' = 1/5.0 + 1/0.10 = 10.2\,\mathrm{m}^{-1}$, $f' = 98\,\mathrm{mm}$. La [imagen](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) está invertida ($\gamma < 0$), arriba–abajo e izquierda–derecha: la diapositiva se introduce girada $180^\circ$.

**Ejercicio 3.8 ★★.**

Explíquese, con un trazado de rayos, por qué la autocolimación localiza exactamente el plano focal y por qué la [imagen](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) devuelta es invertida y del mismo tamaño que el objeto. ¿Qué le ocurre a la [imagen](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) devuelta si se inclina ligeramente el espejo?

**Solución de Ejercicio 3.8.**

Objeto en el plano focal $\Rightarrow$ los rayos de cada punto salen de la [lente](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) paralelos; el [espejo plano](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/2-optica-geometrica-rayos-reflexion-refraccion#prop-b1-rays-reflection-refraction-mirror) los devuelve paralelos (en la dirección simétrica); la [lente](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) enfoca un haz paralelo en su plano focal, en el punto simétrico del punto fuente respecto del eje: [imagen](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) en el plano objeto, invertida, $\gamma = -1$. Inclinar el espejo un ángulo $\alpha$ gira el haz de vuelta $2\alpha$ y desplaza la [imagen](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) lateralmente $2\alpha f'$, que sigue nítida en el mismo plano.

**Ejercicio 3.9 ★★.**

Un objeto y una pantalla distan $1.00\,\mathrm{m}$; se obtienen imágenes nítidas para dos posiciones de la [lente](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) separadas $40\,\mathrm{cm}$. Hállese $f'$. ¿Cuál es la menor distancia objeto–pantalla a la que esta [lente](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) todavía puede proyectar una [imagen](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) nítida, y con qué aumento?

**Solución de Ejercicio 3.9.**

$f' = (100^2 - 40^2)/(4 \times 100) = 21\,\mathrm{cm}$. Distancia mínima $4f' = 84\,\mathrm{cm}$, con $\gamma = -1$.

**Ejercicio 3.10 ★★★.**

Una [lente convergente](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) $L_1$ ($f_1' = 20\,\mathrm{cm}$) va seguida, $15\,\mathrm{cm}$ más allá, de una [lente divergente](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) $L_2$ ($f_2' = -10\,\mathrm{cm}$). Localícese la [imagen](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) de un objeto en el infinito. Muéstrese que un objeto lejano de tamaño angular $\alpha$ da una [imagen](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) de altura $40\,\mathrm{cm}\times\alpha$, y compárese con la longitud del montaje: el principio del teleobjetivo.

**Solución de Ejercicio 3.10.**

$L_1$ conjuga el infinito en $F_1'$, $20\,\mathrm{cm}$ más allá de $L_1$, es decir $5\,\mathrm{cm}$ más allá de $L_2$: un objeto virtual, $\overline{O_2A_1} = +5\,\mathrm{cm}$. $1/\overline{O_2A'} = -1/10 + 1/5 = 1/10$: [imagen](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) final $10\,\mathrm{cm}$ más allá de $L_2$. Altura de la [imagen](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) intermedia $h_1 = f_1'\alpha = 20\alpha$ (cm); $\gamma_2 = 10/5 = 2$, luego $h = 40\alpha$: [distancia focal](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) equivalente $40\,\mathrm{cm}$, en un tubo de $15 + 10 = 25\,\mathrm{cm}$ — un teleobjetivo.

**Ejercicio 3.11 ★★★.**

Un [espejo cóncavo](#def-b1-mirrors-thin-lenses-mirror) forma, sobre una pantalla situada a $80\,\mathrm{cm}$ del filamento de una lámpara, una [imagen](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) del filamento tres veces mayor. Hállense las posiciones del espejo y su radio de curvatura.

**Solución de Ejercicio 3.11.**

$\gamma = -3 = -\overline{SA'}/\overline{SA}$ da $\overline{SA'} =
3\overline{SA}$; ambos reales y por delante: $\overline{SA} = -x$, $\overline{SA'} = -3x$, y la distancia pantalla–lámpara $2x = 80\,\mathrm{cm}$: $x = 40\,\mathrm{cm}$. Espejo a $40\,\mathrm{cm}$ de la lámpara y $120\,\mathrm{cm}$ de la pantalla; $1/\overline{SF} = -1/40 - 1/120 = -1/30$: $R = 2 \times 30 = 60\,\mathrm{cm}$.

**Ejercicio 3.12 ★★★.**

El Sol subtiende $0.53^\circ$. Una [lente convergente](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) de $10\,\mathrm{cm}$ de diámetro y $50\,\mathrm{cm}$ de [distancia focal](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) forma su [imagen](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) sobre una hoja de papel. Calcúlense el diámetro de la [imagen](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image), la potencia recogida (irradiancia solar $1.0\,\mathrm{kW}/\mathrm{m}^{2}$) y la irradiancia en la [imagen](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image); compárese con la irradiancia solar directa y conclúyase.

**Solución de Ejercicio 3.12.**

$\theta = 0.53^\circ = 9.3 \times 10^{-3}\,\mathrm{rad}$; diámetro de la [imagen](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) $f'\theta =
4.6\,\mathrm{mm}$. Potencia recogida $10^3 \times \pi(0.05)^2 = 7.9\,\mathrm{W}$; área de la [imagen](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) $\pi(2.3\times10^{-3})^2 = 1.7 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}^{2}$; irradiancia $4.7 \times 10^{5}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$, $470$ veces la luz solar directa: el papel se carboniza y arde — la lupa que quema. En general la ganancia vale $(D/f'\theta)^2$.

## 3.7 Problema: el proyector de diapositivas

**Problema 3.1.**

Problema de fin de semana — una lente, medida en un banco óptico y obligada después a lanzar una diapositiva de 35 mm a lo ancho de una sala: cómo se diseña, se enfoca y se equipa con un conversor de tiro largo un proyector

Un objetivo de proyección $L_1$ es una [lente delgada](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) convergente de [distancia focal](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) $f_1'$ desconocida. La diapositiva mide $24\,\mathrm{mm}$ de alto y $36\,\mathrm{mm}$ de ancho.

**Parte I — La [lente](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) en el banco óptico.**

1. Enúnciense la [relación de Descartes](#thm-b1-mirrors-thin-lenses-lensconj) y el aumento para una [lente delgada](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) , con los convenios de signos.
2. Un objeto y una pantalla se fijan a una distancia $D$ . Muéstrese que una [imagen real](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) sobre la pantalla exige $D \geq 4f_1'$ .
3. Muéstrese que, cuando $D > 4f_1'$ , las dos posiciones de la [lente](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) que dan una [imagen](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) nítida son simétricas respecto del punto medio entre objeto y pantalla, y que $f_1' = (D^2 - d^2)/4D$ , siendo $d$ su separación.
4. Con $D = 80.0\,\mathrm{cm}$ y $d = 40.0\,\mathrm{cm}$ , calcúlese $f_1'$ .
5. La [lente](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) va montada en un tubo grueso cuyo [centro óptico](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) no puede localizarse con precisión. ¿Por qué no afecta eso al método?
6. Las distancias llevan $u(D) = 0.2\,\mathrm{cm}$ y $u(d) = 0.5\,\mathrm{cm}$ . Calcúlese $u(f_1')$ y escríbase el resultado.
7. Dese el aumento en cada una de las dos posiciones. ¿Cuál corresponde a un proyector?
8. ¿Cuál es el menor $D$ para el que existe una [imagen](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) nítida, y el aumento en ese caso (Silbermann)?

**Parte II — Lanzar la [imagen](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image).** La [imagen](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) sobre la pantalla debe medir $1.80\,\mathrm{m}$ de ancho. Tómese $f_1' = 15.0\,\mathrm{cm}$.

9. ¿Qué aumento hace falta (con su signo)?
10. Calcúlense la distancia lente–pantalla y la distancia diapositiva–lente.
11. ¿Por qué se introduce la diapositiva boca abajo e invertida derecha–izquierda?
12. La pantalla se lleva a $10.0\,\mathrm{m}$ . ¿Cuánto y en qué sentido hay que mover la [lente](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) respecto de la diapositiva para reenfocar? ¿Cuál es ahora la anchura de la [imagen](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) ?

**Parte III — Tolerancia de enfoque y luz.**

13. Muéstrese que un desplazamiento pequeño $\dd\overline{OA}$ de la diapositiva corre la [imagen](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) $\dd\overline{OA'} = \gamma^2\,\dd\overline{OA}$ .
14. La película se abomba $0.10\,\mathrm{mm}$ por el calor de la lámpara. ¿Cuánto se desplaza el plano [imagen](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) (pantalla a $7.65\,\mathrm{m}$ )? Coméntese.
15. La abertura de la [lente](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) mide $30\,\mathrm{mm}$ de diámetro. Si la pantalla queda $20\,\mathrm{cm}$ fuera del plano [imagen](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) , ¿cuál es el diámetro de la mancha de desenfoque de un punto de la diapositiva? Vista desde $5\,\mathrm{m}$ , ¿la aprecia el ojo (resolución angular de unos $3 \times 10^{-4}\,\mathrm{rad}$ )?
16. La diapositiva recibe $2.0\,\mathrm{W}$ de luz, que llegan íntegros a la pantalla. Calcúlese la irradiancia (potencia por unidad de área) sobre la diapositiva y sobre la pantalla, y muéstrese que su cociente vale $\gamma^2$ .

**Parte IV — El conversor de tiro largo.** En una sala mayor la pantalla está a $12.0\,\mathrm{m}$. Se acopla una [lente divergente](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) $L_2$, $f_2' = -30.0\,\mathrm{cm}$, $8.0\,\mathrm{cm}$ por detrás de $L_1$; la pantalla queda a $12.0\,\mathrm{m}$ de $L_2$.

17. Para que la [imagen](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) final sea real y esté sobre la pantalla, ¿dónde (respecto de $L_2$ ) debe situarse la [imagen](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) intermedia que da $L_1$ ? ¿Es un objeto real o virtual para $L_2$ ?
18. Dedúzcase la posición de la diapositiva $\overline{O_1A}$ .
19. Calcúlense $\gamma_1$ , $\gamma_2$ y el aumento total.
20. Dese la anchura de la [imagen](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) y compárese con la que daría $L_1$ sola sobre la misma pantalla (a $12.08\,\mathrm{m}$ de $L_1$ ).
21. Para un objeto en el infinito, muéstrese que el sistema equivale a una sola [lente](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) de [distancia focal](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) $f_{\mathrm{eq}}$ con $$\frac{1}{f_{\mathrm{eq}}} = \frac{1}{f_1'} + \frac{1}{f_2'} - \frac{e}{f_1' f_2'},$$ $e = \overline{O_1O_2}$, en el sentido de que un haz inclinado $\alpha$ converge a la altura $f_{\mathrm{eq}}\,\alpha$ del eje. Calcúlese $f_{\mathrm{eq}}$.
22. Compruébese que el cociente de anchuras de [imagen](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) (con y sin conversor) se acerca a $f_1'/f_{\mathrm{eq}}$ . ¿Por qué solo aproximadamente?
23. ¿Por qué debe quedar la [imagen](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) intermedia a menos de $\abs{f_2'}$ más allá de $L_2$ para que la [imagen](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) final sea real?
24. Con la misma lámpara, ¿por qué factor cambia la irradiancia sobre la pantalla al montar el conversor (misma distancia de pantalla)?
25. Resúmase: ¿por qué factor multiplica el conversor la [distancia focal](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) , y qué le hace al tamaño y al brillo de la [imagen](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) a un tiro dado?

**Solución de Problema 3.1.**

**1.** $1/\overline{OA'} - 1/\overline{OA} = 1/f'$, $\gamma = \overline{OA'}/\overline{OA}$; eje orientado según la luz, distancias algebraicas desde $O$.

**2.** $p = -\overline{OA}$, $\overline{OA'} = D - p$: $1/(D - p) + 1/p = 1/f_1'$, es decir $p^2 - Dp + Df_1' = 0$; raíces reales si y solo si $D^2 - 4Df_1' \geq 0$, es decir $D \geq 4f_1'$.

**3.** Las raíces suman $D$: $p_1 + p_2 = D$, luego $p_2 = D - p_1$ — las distancias objeto e [imagen](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) se intercambian y las posiciones son simétricas respecto del punto medio. $d = p_2 - p_1 = \sqrt{D^2 - 4Df_1'}$, de donde $f_1' = (D^2 -
d^2)/4D$.

**4.** $f_1' = (6400 - 1600)/320 = 15.0\,\mathrm{cm}$.

**5.** Solo intervienen el desplazamiento $d$ del tubo entre los dos ajustes nítidos y la distancia objeto–pantalla $D$: ninguno de los dos exige saber dónde se sitúa $O$ dentro del tubo.

**6.** $\partial f_1'/\partial D = 1/4 + d^2/4D^2 = 0.3125$, $\partial f_1'/\partial d = -d/2D = -0.25$; luego $u(f_1')^2 = (0.3125 \times 0.2)^2 + (0.25 \times 0.5)^2 =
0.0195\,\mathrm{cm}^{2}$ y $u(f_1') = 0.14\,\mathrm{cm}$: $f_1' = (15.00 \pm 0.14)\,\mathrm{cm}$.

**7.** $p = (80 \mp 40)/2 = 20$ o $60\,\mathrm{cm}$: $\gamma =
-60/20 = -3$ (diapositiva cerca de la [lente](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens), agrandada: el proyector) y $\gamma = -1/3$.

**8.** $D_{\min} = 4f_1' = 60.0\,\mathrm{cm}$, $\gamma = -1$.

**9.** $\gamma = -1.80/0.036 = -50$.

**10.** $\overline{OA'} = f_1'(1 - \gamma) = 15 \times 51 =
765\,\mathrm{cm} = 7.65\,\mathrm{m}$; $\overline{OA} = \overline{OA'}/\gamma =
-15.3\,\mathrm{cm}$.

**11.** $\gamma < 0$: la [imagen real](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) está girada $180^\circ$ alrededor del eje, así que la diapositiva se introduce girada $180^\circ$ (boca abajo e invertida derecha–izquierda).

**12.** $\overline{OA'} = 1000\,\mathrm{cm}$: $1/\overline{OA} = 1/1000
- 1/15$, $\overline{OA} = -15.23\,\mathrm{cm}$: la [lente](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) se acerca $0.7\,\mathrm{mm}$ a la diapositiva. $\gamma = 1000/(-15.23) = -65.7$: [imagen](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) de $2.36\,\mathrm{m}$ de ancho.

**13.** Derivando Descartes: $-\dd\overline{OA'}/\overline{OA'}^2
+ \dd\overline{OA}/\overline{OA}^2 = 0$, luego $\dd\overline{OA'} =
(\overline{OA'}/\overline{OA})^2\,\dd\overline{OA} = \gamma^2\,\dd\overline{OA}$.

**14.** $2500 \times 0.10\,\mathrm{mm} = 25\,\mathrm{cm}$: la [imagen](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) se desenfoca a medida que la película se calienta — de ahí las diapositivas montadas entre vidrios, o un autofoco que siga a la película.

**15.** Triángulos semejantes desde la abertura hasta el punto [imagen](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image): mancha $= 30 \times 0.20/7.65 = 0.78\,\mathrm{mm}$; desde $5\,\mathrm{m}$ subtiende $1.6 \times 10^{-4}\,\mathrm{rad} < 3 \times 10^{-4}\,\mathrm{rad}$: no se aprecia.

**16.** Área de la diapositiva $8.64\times10^{-4}\ \mathrm{m}^{2}$: $E_{\text{diap}}
= 2.0/8.64\times10^{-4} = 2.3 \times 10^{3}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$; el área de la pantalla es $\gamma^2$ veces mayor, $2.16\,\mathrm{m}^{2}$: $E_{\text{pant}} = 0.93\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$; misma potencia, áreas en la razón $\gamma^2 = 2500$.

**17.** $\overline{O_2A'} = 1200\,\mathrm{cm}$: $1/\overline{O_2A} =
1/1200 + 1/30 = 0.03417$, $\overline{O_2A} = +29.3\,\mathrm{cm}$: la [imagen](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) intermedia queda $29.3\,\mathrm{cm}$ *más allá* de $L_2$ — un objeto virtual para $L_2$ (los rayos que salen de $L_1$ convergen hacia ella).

**18.** $\overline{O_1A_1'} = 8.0 + 29.3 = 37.3\,\mathrm{cm}$; $1/\overline{O_1A} = 1/37.3 - 1/15 = -0.0398$, $\overline{O_1A} =
-25.1\,\mathrm{cm}$.

**19.** $\gamma_1 = 37.3/(-25.1) = -1.49$; $\gamma_2 = 1200/29.3 =
41.0$; $\gamma = -60.9$.

**20.** Anchura $60.9 \times 36 = 2.19\,\mathrm{m}$. $L_1$ sola: $\gamma = 1 - \overline{OA'}/f_1' = 1 - 1208/15 = -79.5$, anchura $2.86\,\mathrm{m}$.

**21.** Haz con ángulo $\alpha$: $L_1$ lo enfoca a la altura $h_1 = f_1'\alpha$ en su plano focal, que dista $\overline{O_2A_1} = f_1' - e$ de $L_2$; $L_2$ conjuga ese punto en $\overline{O_2A'}$ con $1/\overline{O_2A'}
= 1/f_2' + 1/(f_1' - e)$ y lo aumenta en $\gamma_2 = \overline{O_2A'}/(f_1'
- e)$, luego $h = \gamma_2 f_1'\alpha$ y $f_{\mathrm{eq}} = \gamma_2 f_1'
= \dfrac{f_1' f_2'}{f_1' + f_2' - e}$, cuyo inverso es la fórmula enunciada. $1/f_{\mathrm{eq}} = 1/15 - 1/30 + 8/450 = 0.0511\,\mathrm{cm}^{-1}$, $f_{\mathrm{eq}} = 19.6\,\mathrm{cm}$.

**22.** $2.19/2.86 = 0.77$ y $15/19.6 = 0.77$. Solo aproximadamente, porque la diapositiva está a distancia finita y los dos tiros se miden desde [lentes](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) distintas; para un objeto en el infinito el cociente sería exacto.

**23.** Objeto virtual en $p > 0$ más allá de una [lente divergente](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens): $1/\overline{O_2A'} = 1/p + 1/f_2' = 1/p - 1/\abs{f_2'}$, positivo ([imagen real](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image)) si y solo si $p < \abs{f_2'}$.

**24.** La misma potencia sobre una [imagen](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) de área $(2.19/2.86)^2 = 0.59$ veces menor: irradiancia $\times 1.7$.

**25.** El conversor multiplica la [distancia focal](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) por $f_{\mathrm{eq}}/f_1' = 1.3$; a un tiro dado la [imagen](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) es $1.3$ veces menor en cada dirección y $1.7$ veces más luminosa — un objetivo de tiro largo.