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title: "Instrumentos ópticos y el ojo"
book: "Física universitaria — primer año"
subject: physics
language: es
chapter: 4
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/4-instrumentos-opticos-y-el-ojo
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# Capítulo 4 — Instrumentos ópticos y el ojo

Desde la última fila de una sala de conciertos, unos prismáticos acercan el rostro de la cantante hasta el alcance del brazo; un [microscopio](#def-b1-optical-instruments-microscope) convierte una gota de agua de estanque en un zoo; un teléfono del grosor de un dedo fotografía la Vía Láctea. Cada uno de esos instrumentos son unas pocas [lentes delgadas](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/3-espejos-y-lentes-delgadas#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) dispuestas con un único fin: presentar al [ojo](#def-b1-optical-instruments-eye), o a un sensor, una imagen mayor, más luminosa o más nítida que la que el [ojo](#def-b1-optical-instruments-eye) podría formar por sí solo. Por eso el capítulo empieza por el [ojo](#def-b1-optical-instruments-eye) mismo — lo que puede y lo que no puede hacer — y después construye la [lupa](#def-b1-optical-instruments-G), el [microscopio](#def-b1-optical-instruments-microscope), el anteojo y la [cámara](#def-b1-optical-instruments-camera) a partir de la relación de conjugación del capítulo anterior.

![El refractor de 40 pulgadas del Observatorio Yerkes (1897), todavía hoy el mayor telescopio de lente jamás construido: un objetivo de un metro y un tubo de diecinueve. Por encima de ese tamaño una lente cede bajo su propio peso, y la astronomía pasó a los espejos.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-optical-instruments/img-4e4f7ec86ae8.jpg)

*El refractor de 40 pulgadas del Observatorio Yerkes (1897), todavía hoy el mayor telescopio de [lente](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/3-espejos-y-lentes-delgadas#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) jamás construido: un [objetivo](#def-b1-optical-instruments-microscope) de un metro y un tubo de diecinueve. Por encima de ese tamaño una [lente](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/3-espejos-y-lentes-delgadas#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) cede bajo su propio peso, y la astronomía pasó a los espejos.*

![Un pequeño refractor al atardecer: un objetivo de distancia focal larga y un ocular de distancia focal corta — el anteojo afocal de este capítulo, apuntado a la Luna de su problema de fin de semana.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-optical-instruments/img-ccb52c3300bb.jpg)

*Un pequeño refractor al atardecer: un [objetivo](#def-b1-optical-instruments-microscope) de [distancia focal](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/3-espejos-y-lentes-delgadas#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) larga y un [ocular](#def-b1-optical-instruments-microscope) de [distancia focal](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/3-espejos-y-lentes-delgadas#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) corta — el anteojo afocal de este capítulo, apuntado a la Luna de su problema de fin de semana.*

## 4.1 El ojo

**Definición 4.1 (Ojo reducido).**

El *ojo reducido* modela la córnea y el cristalino como una única [lente delgada](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/3-espejos-y-lentes-delgadas#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) convergente de [distancia focal](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/3-espejos-y-lentes-delgadas#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) *variable*, y la *retina* como una pantalla situada a una distancia fija $d \approx 17\,\mathrm{mm}$ por detrás. Unos músculos cambian la curvatura del cristalino para mantener sobre la retina la imagen del objeto observado: es la *acomodación*. El iris, delante del cristalino, es un diafragma variable de $2\,$ a $8\,\mathrm{mm}$ de diámetro, la *pupila*.

**Definición 4.2 (Punto remoto, punto próximo).**

El *punto remoto* (punctum remotum) es el punto objeto que se ve nítido sin acomodar; el *punto próximo* (punctum proximum), el punto más cercano que se ve nítido con la [acomodación](#def-b1-optical-instruments-eye) máxima. Para un [ojo](#def-b1-optical-instruments-eye) normal (emétrope) el punto remoto está en el infinito y el punto próximo a $d_m \approx 25\,\mathrm{cm}$, la *distancia convencional de visión distinta*. La diferencia de [vergencias](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/3-espejos-y-lentes-delgadas#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) necesaria para pasar de uno a otro es la *amplitud de [acomodación](#def-b1-optical-instruments-eye)*: unas $4\,\delta$ en un adulto joven, que disminuyen con la edad.

**Ejemplo 4.3 (La vergencia del ojo).**

Objeto lejano: imagen a $d = 17\,\mathrm{mm}$ significa $f' = 17\,\mathrm{mm}$, $V = 1/0.017 = 59\,\delta$. Objeto a $25\,\mathrm{cm}$: $V = 1/0.017 + 1/0.25 = 59 + 4 = 63\,\delta$. Cuatro dioptrías de [acomodación](#def-b1-optical-instruments-eye) sobre sesenta: el cristalino añade solo un pequeño porcentaje al trabajo de la córnea, pero ese pequeño porcentaje lo es todo para leer.

**Proposición 4.4 (Defectos y correcciones).**

Un [ojo](#def-b1-optical-instruments-eye) *miope* es demasiado convergente: su [punto remoto](#def-b1-optical-instruments-punctum) está a una distancia finita $D_r$; una [lente divergente](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/3-espejos-y-lentes-delgadas#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) de [distancia focal](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/3-espejos-y-lentes-delgadas#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) $f' = -D_r$ (llevada junto al [ojo](#def-b1-optical-instruments-eye)) conjuga el infinito con el [punto remoto](#def-b1-optical-instruments-punctum) y restituye la visión lejana. Un [ojo](#def-b1-optical-instruments-eye) *hipermétrope* no es bastante convergente: su [punto remoto](#def-b1-optical-instruments-punctum) es virtual (detrás del [ojo](#def-b1-optical-instruments-eye)) y su [punto próximo](#def-b1-optical-instruments-punctum) está demasiado lejos; lo corrige una [lente convergente](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/3-espejos-y-lentes-delgadas#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens). La *presbicia* es la pérdida de [acomodación](#def-b1-optical-instruments-eye) con la edad: el [punto próximo](#def-b1-optical-instruments-punctum) se aleja y la lectura exige [lentes convergentes](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/3-espejos-y-lentes-delgadas#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens), sea cual sea el [punto remoto](#def-b1-optical-instruments-punctum).

**Demostración.** Una [lente](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/3-espejos-y-lentes-delgadas#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) pegada al [ojo](#def-b1-optical-instruments-eye) y el [ojo](#def-b1-optical-instruments-eye) forman un sistema cuyo objeto ha de ser algo que el [ojo](#def-b1-optical-instruments-eye) pueda ver: la [lente](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/3-espejos-y-lentes-delgadas#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) debe convertir un objeto en el infinito en una [imagen virtual](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/3-espejos-y-lentes-delgadas#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) en el [punto remoto](#def-b1-optical-instruments-punctum), $\overline{OA'} = -D_r$ para $\overline{OA} = -\infty$, luego $f' = \overline{OA'} = -D_r$. Los demás casos son el mismo argumento con los puntos pertinentes. ∎

![El ojo reducido: una lente delgada de distancia focal variable y una retina 17\, mm por detrás. Relajado, enfoca los objetos lejanos; al acomodar acorta f' para llevar a la retina la imagen de un objeto próximo. La imagen está invertida — el cerebro la endereza.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-optical-instruments/fig-b4caaef3ec02.svg)

*El [ojo reducido](#def-b1-optical-instruments-eye): una [lente delgada](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/3-espejos-y-lentes-delgadas#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) de [distancia focal](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/3-espejos-y-lentes-delgadas#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) variable y una [retina](#def-b1-optical-instruments-eye) $17\,\mathrm{mm}$ por detrás. Relajado, enfoca los objetos lejanos; al acomodar acorta $f'$ para llevar a la [retina](#def-b1-optical-instruments-eye) la imagen de un objeto próximo. La imagen está invertida — el cerebro la endereza.*

**Definición 4.5 (Tamaño angular y resolución).**

El *tamaño angular* de un objeto de altura $h$ situado a una distancia $D$ es $\theta \approx h/D$ (ángulos pequeños). El [ojo](#def-b1-optical-instruments-eye) distingue dos puntos solo si su separación angular supera su *resolución angular*, de unos $\epsilon \approx 3 \times 10^{-4}\,\mathrm{rad}$ (un minuto de arco): la separación de los conos y la difracción en la pupila fijan por igual ese límite.

**Observación 4.6 (Para qué sirve un instrumento).**

Llevado al [punto próximo](#def-b1-optical-instruments-punctum), un detalle de $1\,\mathrm{mm}$ subtiende $1/250 =
4 \times 10^{-3}\,\mathrm{rad}$: trece veces el límite de resolución; un detalle de $0.05\,\mathrm{mm}$ subtiende $2 \times 10^{-4}\,\mathrm{rad}$ y es invisible. Los instrumentos que miran objetos próximos ([lupa](#def-b1-optical-instruments-G), [microscopio](#def-b1-optical-instruments-microscope)) aumentan el [tamaño angular](#def-b1-optical-instruments-angular) más allá de lo que permite acercar el objeto; los instrumentos para objetos lejanos (anteojo) aumentan el [tamaño angular](#def-b1-optical-instruments-angular) de lo que no se puede acercar; la [cámara](#def-b1-optical-instruments-camera) sustituye la [retina](#def-b1-optical-instruments-eye) por un sensor capaz de acumular luz durante segundos y de ampliarse después.

## 4.2 La lupa

**Definición 4.7 (Aumento angular).**

Para un instrumento utilizado por el [ojo](#def-b1-optical-instruments-eye), el *aumento angular* es $G = \theta'/\theta$, donde $\theta'$ es el [tamaño angular](#def-b1-optical-instruments-angular) de la imagen vista a través del instrumento y $\theta$ el [tamaño angular](#def-b1-optical-instruments-angular) del objeto visto a simple vista — en el [punto próximo](#def-b1-optical-instruments-punctum) $d_m = 25\,\mathrm{cm}$ para un objeto cercano, y en su sitio para uno lejano.

**Proposición 4.8 (La lupa).**

Una [lente convergente](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/3-espejos-y-lentes-delgadas#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) de [distancia focal](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/3-espejos-y-lentes-delgadas#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) $f' < d_m$ con el objeto en su plano focal objeto da una imagen en el infinito, vista sin acomodar, con

$$
G = \frac{d_m}{f'} = d_m V .
$$

**Demostración.** Objeto $AB$ de altura $h$ en el plano focal: los rayos que salen de $B$ emergen paralelos, con el ángulo del rayo que pasa por $O$, $\theta' = h/f'$. A simple vista, en el mejor caso: $\theta = h/d_m$. El cociente vale $d_m/f'$. ∎

**Ejemplo 4.9 (La lupa de un relojero).**

$f' = 25\,\mathrm{mm}$: $G = 250/25 = 10$, que se vende como “$10\times$”. Un detalle de $0.05\,\mathrm{mm}$ subtiende entonces $2 \times 10^{-3}\,\mathrm{rad}$, de sobra resuelto. Subir más $G$ exige una $f'$ de pocos milímetros, una [lente](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/3-espejos-y-lentes-delgadas#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) diminuta pegada al [ojo](#def-b1-optical-instruments-eye) — el límite de la [lente](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/3-espejos-y-lentes-delgadas#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) única y la razón de que exista el [microscopio](#def-b1-optical-instruments-microscope).

## 4.3 El microscopio

**Definición 4.10 (Microscopio compuesto).**

Un *microscopio* es un *objetivo* $L_1$ de [distancia focal](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/3-espejos-y-lentes-delgadas#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) corta $f_1'$ que forma una imagen intermedia real y agrandada de un objeto próximo en el plano focal objeto de un *ocular* $L_2$ (de [distancia focal](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/3-espejos-y-lentes-delgadas#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) $f_2'$), que actúa como [lupa](#def-b1-optical-instruments-G). La distancia $\Delta =
\overline{F_1'F_2}$ entre el foco imagen del objetivo y el foco objeto del ocular es el *intervalo óptico*, normalizado en $160\,\mathrm{mm}$ en los instrumentos clásicos.

**Proposición 4.11 (Aumento de un microscopio).**

Con la imagen final en el infinito,

$$
\gamma_1 = -\frac{\Delta}{f_1'}, \qquad G_2 = \frac{d_m}{f_2'},
\qquad G = \abs{\gamma_1}\,G_2 = \frac{\Delta\,d_m}{f_1' f_2'} .
$$

**Demostración.** La imagen intermedia $A_1B_1$ está en el plano focal objeto del [ocular](#def-b1-optical-instruments-microscope), es decir en $\overline{F_1'A_1} = \Delta$; la [relación de Newton](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/3-espejos-y-lentes-delgadas#thm-b1-mirrors-thin-lenses-lensconj) da $\gamma_1 = -\overline{F_1'A_1}/f_1' = -\Delta/f_1'$. El [ocular](#def-b1-optical-instruments-microscope) muestra entonces $A_1B_1$ (de altura $\abs{\gamma_1} h$) en el infinito bajo el ángulo $\theta' = \abs{\gamma_1} h/f_2'$, frente a $\theta = h/d_m$ a simple vista. ∎

![El microscopio: el objetivo forma una imagen intermedia real, agrandada e invertida A_1B_1 en el plano focal objeto del ocular; el ocular la envía al infinito, donde el ojo relajado la observa bajo un ángulo grande.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-optical-instruments/fig-cc56293d39a2.svg)

*El [microscopio](#def-b1-optical-instruments-microscope): el [objetivo](#def-b1-optical-instruments-microscope) forma una imagen intermedia real, agrandada e invertida $A_1B_1$ en el plano focal objeto del [ocular](#def-b1-optical-instruments-microscope); el [ocular](#def-b1-optical-instruments-microscope) la envía al infinito, donde el [ojo](#def-b1-optical-instruments-eye) relajado la observa bajo un ángulo grande.*

**Ejemplo 4.12 (Un microscopio escolar).**

[Objetivo](#def-b1-optical-instruments-microscope) $f_1' = 4.0\,\mathrm{mm}$, [ocular](#def-b1-optical-instruments-microscope) $f_2' = 25\,\mathrm{mm}$, $\Delta = 160\,\mathrm{mm}$: $\gamma_1 = -40$, $G_2 = 10$, $G = 400$. El objeto se sitúa a $\overline{F_1A} = -f_1'^2/\Delta = -16/160 =
-0.10\,\mathrm{mm}$ de $F_1$: a $4.1\,\mathrm{mm}$ del [objetivo](#def-b1-optical-instruments-microscope). Enfocar consiste en mover el tubo entero fracciones de milímetro.

**Observación 4.13 (El límite de resolución).**

Aumentar sin límite no serviría de nada: la luz es una onda, y un [objetivo](#def-b1-optical-instruments-microscope) que acepta rayos dentro de un semiángulo $u$ (en un medio de índice $n$) no puede separar dos puntos más próximos que $\lambda/(2n\sin u)$ — el tratamiento ondulatorio del volumen del Año 2 lo deduce. Con $n\sin u \approx 1.4$ (inmersión en aceite) y $\lambda =
0.5\,\text{µ}\mathrm{m}$, el límite ronda $0.2\,\text{µ}\mathrm{m}$. Para hacer visible ese detalle al [ojo](#def-b1-optical-instruments-eye) ($\epsilon = 3 \times 10^{-4}\,\mathrm{rad}$ a $25\,\mathrm{cm}$, es decir $75\,\text{µ}\mathrm{m}$) basta un aumento de unos $400$; más allá de $1000$ la imagen solo es mayor, no más rica: es *aumento vacío*.

## 4.4 El anteojo astronómico

**Proposición 4.14 (Anteojo refractor).**

Un [objetivo](#def-b1-optical-instruments-microscope) $L_1$ y un [ocular](#def-b1-optical-instruments-microscope) $L_2$ con $F_1' = F_2$ forman un [sistema afocal](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/3-espejos-y-lentes-delgadas#prop-b1-mirrors-thin-lenses-doublet): una estrella (en el infinito) se ve en el infinito, el [ojo](#def-b1-optical-instruments-eye) relajado la observa, y

$$
G = -\frac{f_1'}{f_2'} .
$$

La imagen del borde del [objetivo](#def-b1-optical-instruments-microscope) a través del [ocular](#def-b1-optical-instruments-microscope) es la *[pupila de salida](#prop-b1-optical-instruments-telescope)*: un disco brillante de diámetro $D/\abs G$ situado $\overline{O_2P'} = f_2'(f_1' + f_2')/f_1'$ detrás del [ocular](#def-b1-optical-instruments-microscope), donde ha de colocarse la pupila del [ojo](#def-b1-optical-instruments-eye) para recibir toda la luz.

**Demostración.** $G$ se dedujo en [Proposición 3.18](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/3-espejos-y-lentes-delgadas#prop-b1-mirrors-thin-lenses-doublet). El [objetivo](#def-b1-optical-instruments-microscope), visto desde $L_2$, es un objeto situado en $\overline{O_2O_1} = -(f_1'
+ f_2')$; Descartes da $1/\overline{O_2P'} = 1/f_2' - 1/(f_1' + f_2')
= f_1'/[f_2'(f_1' + f_2')]$, y el aumento $\overline{O_2P'}/
\overline{O_2O_1} = -f_2'/f_1' = 1/G$ lleva el diámetro $D$ a $D/\abs G$. Todo rayo que entra por el [objetivo](#def-b1-optical-instruments-microscope) sale por la [pupila de salida](#prop-b1-optical-instruments-telescope), porque cada punto del [objetivo](#def-b1-optical-instruments-microscope) tiene allí su imagen. ∎

![El anteojo astronómico: el objetivo enfoca en el plano focal común un haz paralelo procedente de una estrella y el ocular lo devuelve al infinito, con un ángulo G veces mayor. Toda la luz recogida por el objetivo de diámetro D pasa por la pupila de salida, de diámetro D/ G.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-optical-instruments/fig-7b83580784cd.svg)

*El anteojo astronómico: el [objetivo](#def-b1-optical-instruments-microscope) enfoca en el plano focal común un haz paralelo procedente de una estrella y el [ocular](#def-b1-optical-instruments-microscope) lo devuelve al infinito, con un ángulo $\abs G$ veces mayor. Toda la luz recogida por el [objetivo](#def-b1-optical-instruments-microscope) de diámetro $D$ pasa por la [pupila de salida](#prop-b1-optical-instruments-telescope), de diámetro $D/\abs G$.*

**Proposición 4.15 (Lo que gana un anteojo).**

Frente al [ojo](#def-b1-optical-instruments-eye) desnudo (pupila $d_p$):

- *[tamaño angular](#def-b1-optical-instruments-angular)* : multiplicado por $\abs G$ ;
- *luz recogida* de una fuente puntual: multiplicada por $(D/d_p)^2$ , siempre que la [pupila de salida](#prop-b1-optical-instruments-telescope) no sea mayor que la pupila del [ojo](#def-b1-optical-instruments-eye) , es decir $\abs G \geq D/d_p$ ;
- *[resolución angular](#def-b1-optical-instruments-angular)* : la difracción en el [objetivo](#def-b1-optical-instruments-microscope) la limita a $\theta_{\min} \approx 1.22\,\lambda/D$ ( [criterio de Rayleigh](#prop-b1-optical-instruments-gains) ), muy por debajo del $\epsilon$ del [ojo](#def-b1-optical-instruments-eye) ; el aumento que hace visible ese límite es $G_r = \epsilon/\theta_{\min}$ , y aumentos mayores solo agrandan la mancha.

**Demostración.** *Admitido a este nivel.* ∎

**Ejemplo 4.16 (El refractor de 150 milímetros de un aficionado).**

$D = 150\,\mathrm{mm}$, $f_1' = 1200\,\mathrm{mm}$, [ocular](#def-b1-optical-instruments-microscope) de $25\,\mathrm{mm}$: $G = -48$; [pupila de salida](#prop-b1-optical-instruments-telescope) $3.1\,\mathrm{mm}$; ganancia de luz $(150/7)^2 \approx
460$ frente a una pupila adaptada a la oscuridad de $7\,\mathrm{mm}$; resolución $1.22 \times
550\,\mathrm{nm}/0.15\,\mathrm{m} = 4.5 \times 10^{-6}\,\mathrm{rad} = 0.9''$, es decir cráteres de $1.7\,\mathrm{km}$ en la Luna; $G_r = 3\times10^{-4}/4.5\times
10^{-6} \approx 67$ — el [ocular](#def-b1-optical-instruments-microscope) de $6\,\mathrm{mm}$ ($G = 200$) no enseña más detalle, solo un disco mayor y más apagado. El problema de fin de semana diseña este instrumento.

**Observación 4.17 (Reflectores, prismáticos, catalejos).**

Un [espejo cóncavo](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/3-espejos-y-lentes-delgadas#def-b1-mirrors-thin-lenses-mirror) de [distancia focal](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/3-espejos-y-lentes-delgadas#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) $f_1'$ sustituye a la [lente](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/3-espejos-y-lentes-delgadas#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) [objetivo](#def-b1-optical-instruments-microscope) en el telescopio *reflector* (sin dispersión cromática, y un espejo puede tener metros de anchura y sostenerse por detrás): todo lo anterior vale con $f_1'$ la [distancia focal](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/3-espejos-y-lentes-delgadas#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) del espejo. La imagen está invertida — inofensivo para las estrellas; para uso terrestre, los prismáticos intercalan un par de prismas de [reflexión total](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/2-optica-geometrica-rayos-reflexion-refraccion#thm-b1-rays-reflection-refraction-tir) que la enderezan, y el catalejo de Galileo usa un [ocular](#def-b1-optical-instruments-microscope) divergente ($f_2' < 0$, $G > 0$), más corto pero de campo estrecho.

## 4.5 La cámara fotográfica

**Definición 4.18 (Cámara; número de diafragma).**

Una *cámara* es una [lente convergente](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/3-espejos-y-lentes-delgadas#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) de [distancia focal](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/3-espejos-y-lentes-delgadas#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) $f'$ que forma una [imagen real](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/3-espejos-y-lentes-delgadas#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) sobre un sensor, en $\overline{OA'} \approx f'$ para motivos lejanos; enfocar consiste en mover la [lente](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/3-espejos-y-lentes-delgadas#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens). Un diafragma de diámetro $D$ limita el haz; el *número de diafragma* es $N = f'/D$ (se escribe $f/N$). El *ángulo de campo* vale $2\arctan(\ell/2f')$ para un sensor de anchura $\ell$.

**Proposición 4.19 (Exposición y profundidad de campo).**

La irradiancia sobre el sensor va como $1/N^2$, de modo que el tiempo de exposición para un brillo de imagen dado va como $N^2$. Un punto situado a una distancia distinta de la enfocada forma un disco de desenfoque; si se le exige quedar por debajo de un diámetro tolerado $c$, una [lente](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/3-espejos-y-lentes-delgadas#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) enfocada a la *[distancia hiperfocal](#prop-b1-optical-instruments-dof)*

$$
H = \frac{f'^2}{N c}
$$

da por nítido todo lo que hay entre $H/2$ y el infinito.

**Demostración.** Irradiancia $=$ potencia/área $\propto D^2/f'^2 = 1/N^2$ (la imagen de un motivo dado tiene un tamaño fijado por $f'$, y la potencia recogida crece como $D^2$). Enfóquese a la distancia $p$, con la imagen en $q \approx f'$; un punto en el infinito se enfoca en $f'$, es decir $q - f'$ antes del sensor; su cono de rayos, de base $D$ en la [lente](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/3-espejos-y-lentes-delgadas#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens), tiene diámetro $D(q - f')/q$ sobre el sensor (triángulos semejantes). Con $1/q = 1/f' - 1/p$ en el marco paraxial, $q - f' \approx f'^2/p$ para $p \gg f'$, así que el desenfoque vale $Df'/p = f'^2/(Np)$; iguala a $c$ para $p = H$. La misma geometría por el lado cercano da el límite $H/2$. ∎

![Profundidad de campo: la lente está enfocada sobre un punto a distancia p (imagen sobre el sensor); un punto en el infinito se enfoca en F', antes del sensor, y deja un disco de desenfoque de diámetro c = Df'/p — menor con abertura pequeña (N grande), de ahí el compromiso entre nitidez y tiempo de exposición.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-optical-instruments/fig-0921f2b362f4.svg)

*[Profundidad de campo](#def-b1-optical-instruments-camera): la [lente](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/3-espejos-y-lentes-delgadas#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) está enfocada sobre un punto a distancia $p$ (imagen sobre el sensor); un punto en el infinito se enfoca en $F'$, antes del sensor, y deja un disco de desenfoque de diámetro $c = Df'/p$ — menor con abertura pequeña ($N$ grande), de ahí el compromiso entre nitidez y tiempo de exposición.*

**Ejemplo 4.20 (Formato completo y teléfono).**

Un [objetivo](#def-b1-optical-instruments-microscope) de $50\,\mathrm{mm}$ sobre un sensor de $36\,\mathrm{mm}$ de ancho: ángulo de campo $2\arctan(18/50) = 40^\circ$; a $f/8$ con $c = 0.03\,\mathrm{mm}$, $H = 2500/(8 \times 0.03) = 10\,\mathrm{m}$: enfocando a $10\,\mathrm{m}$, todo lo que está más allá de $5\,\mathrm{m}$ sale nítido. El [objetivo](#def-b1-optical-instruments-microscope) de un teléfono, $f' = 4.3\,\mathrm{mm}$ a $f/1.8$ sobre un sensor de $6\,\mathrm{mm}$ con $c = 5\,\text{µ}\mathrm{m}$: el mismo ángulo de campo ($70{}^{\circ}$), $H = 18.5/(1.8 \times 0.005) =
2.1\,\mathrm{m}$ — casi todo queda enfocado a la vez, y por eso los teléfonos simulan el desenfoque del fondo por programa.

![Lentes y montura de pruebas de un optometrista: una lente convergente o divergente de la vergencia adecuada delante del ojo lleva su punto remoto de vuelta al infinito.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-optical-instruments/img-ee6212e4f9ea.jpg)

*[Lentes](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/3-espejos-y-lentes-delgadas#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) y montura de pruebas de un optometrista: una [lente convergente](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/3-espejos-y-lentes-delgadas#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) o divergente de la [vergencia](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/3-espejos-y-lentes-delgadas#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) adecuada delante del [ojo](#def-b1-optical-instruments-eye) lleva su [punto remoto](#def-b1-optical-instruments-punctum) de vuelta al infinito.*

## 4.6 Ejercicios

**Ejercicio 4.1 ★.**

Con la [retina](#def-b1-optical-instruments-eye) $17\,\mathrm{mm}$ por detrás del cristalino, calcúlese la [vergencia](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/3-espejos-y-lentes-delgadas#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) de un [ojo](#def-b1-optical-instruments-eye) normal que mira al infinito y luego a $25\,\mathrm{cm}$; dedúzcase la [amplitud de acomodación](#def-b1-optical-instruments-punctum). ¿Qué [distancias focales](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/3-espejos-y-lentes-delgadas#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) son esas?

**Solución de Ejercicio 4.1.**

Infinito: $f' = 17\,\mathrm{mm}$, $V = 1/0.017 = 58.8\,\delta$. $25\,\mathrm{cm}$: $V = 58.8 + 1/0.25 = 62.8\,\delta$, $f' = 15.9\,\mathrm{mm}$. Amplitud $4.0\,\delta$.

**Ejercicio 4.2 ★.**

Un [ojo](#def-b1-optical-instruments-eye) miope tiene el [punto remoto](#def-b1-optical-instruments-punctum) a $40\,\mathrm{cm}$. ¿Qué [lente](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/3-espejos-y-lentes-delgadas#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) lo corrige ([distancia focal](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/3-espejos-y-lentes-delgadas#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens), [vergencia](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/3-espejos-y-lentes-delgadas#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens))? Un [ojo](#def-b1-optical-instruments-eye) hipermétrope no puede acomodar sobre nada más cercano que $1.0\,\mathrm{m}$: ¿qué [lente](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/3-espejos-y-lentes-delgadas#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) le permite leer a $25\,\mathrm{cm}$?

**Solución de Ejercicio 4.2.**

Miope: el infinito ha de conjugarse con el [punto remoto](#def-b1-optical-instruments-punctum), $f' = -40\,\mathrm{cm}$, $V = -2.5\,\delta$. Hipermétrope: un objeto a $25\,\mathrm{cm}$ ha de conjugarse (virtualmente) a $1.0\,\mathrm{m}$: $V = 1/\overline{OA'} - 1/\overline{OA}
= -1 + 4 = +3.0\,\delta$.

**Ejercicio 4.3 ★.**

Una [lupa](#def-b1-optical-instruments-G) tiene $f' = 4.0\,\mathrm{cm}$. Dense su [aumento angular](#def-b1-optical-instruments-G), dónde hay que sostener el sello y el [tamaño angular](#def-b1-optical-instruments-angular) a través de ella de un detalle de $2\,\mathrm{mm}$, comparado con el [ojo](#def-b1-optical-instruments-eye) desnudo a $25\,\mathrm{cm}$.

**Solución de Ejercicio 4.3.**

$G = 25/4.0 = 6.3$; sello en el plano focal, a $4.0\,\mathrm{cm}$ de la [lente](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/3-espejos-y-lentes-delgadas#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens). Detalle de $2\,\mathrm{mm}$: $\theta' = 2/40 = 0.05\,\mathrm{rad}$, frente a $2/250 = 0.008\,\mathrm{rad}$ a $25\,\mathrm{cm}$.

**Ejercicio 4.4 ★.**

Un refractor tiene $f_1' = 900\,\mathrm{mm}$. Calcúlense $G$ con un [ocular](#def-b1-optical-instruments-microscope) de $25\,\mathrm{mm}$ y con otro de $9\,\mathrm{mm}$, la longitud del tubo en cada caso y el tamaño aparente de la Luna ($0.52^\circ$).

**Solución de Ejercicio 4.4.**

$G = 900/25 = 36$ y $900/9 = 100$; longitudes del tubo $f_1' + f_2' =
925\,\mathrm{mm}$ y $909\,\mathrm{mm}$; Luna: $36 \times 0.52^\circ = 19^\circ$ y $52^\circ$.

**Ejercicio 4.5 ★★.**

[Microscopio](#def-b1-optical-instruments-microscope): $f_1' = 4.0\,\mathrm{mm}$, $f_2' = 20\,\mathrm{mm}$, $\Delta = 160\,\mathrm{mm}$. Calcúlense $\gamma_1$, $G_2$, $G$ y la distancia objeto–objetivo. ¿Cuánto hay que mover el tubo para enfocar $10\,\text{µ}\mathrm{m}$ más adentro del objeto?

**Solución de Ejercicio 4.5.**

$\gamma_1 = -160/4 = -40$; $G_2 = 250/20 = 12.5$; $G = 500$. $\overline{F_1A} = -f_1'^2/\Delta = -16/160 = -0.10\,\mathrm{mm}$: objeto a $4.1\,\mathrm{mm}$ del [objetivo](#def-b1-optical-instruments-microscope). El objeto debe permanecer a esa distancia del [objetivo](#def-b1-optical-instruments-microscope), así que el tubo entero se desplaza $10\,\text{µ}\mathrm{m}$ — el mando de enfoque fino.

**Ejercicio 4.6 ★★.**

Dos faros distan $1.5\,\mathrm{m}$. ¿Desde qué distancia puede el [ojo](#def-b1-optical-instruments-eye) desnudo ($\epsilon = 3 \times 10^{-4}\,\mathrm{rad}$) distinguirlos? Un anteojo con $D = 100\,\mathrm{mm}$: calcúlense su límite de difracción ($\lambda =
550\,\mathrm{nm}$), la distancia a la que separa los faros y el aumento $G_r$ por encima del cual no muestra nada nuevo.

**Solución de Ejercicio 4.6.**

[Ojo](#def-b1-optical-instruments-eye) desnudo: $1.5/3\times10^{-4} = 5\,\mathrm{km}$. Anteojo: $\theta_{\min}
= 1.22 \times 5.5\times10^{-7}/0.100 = 6.7 \times 10^{-6}\,\mathrm{rad}$; faros separables hasta $1.5/6.7\times10^{-6} \approx 220\,\mathrm{km}$ (en principio: el aire y la curvatura terrestre se interponen antes). $G_r = 3\times10^{-4}/
6.7\times10^{-6} = 45$.

**Ejercicio 4.7 ★★.**

Un [objetivo](#def-b1-optical-instruments-microscope) de $50\,\mathrm{mm}$ a $f/2$: ¿cuál es el diámetro de la abertura? Una escena queda bien expuesta a $f/2$ en $1/500$ $\mathrm{s}$; ¿qué tiempo de exposición a $f/8$? ¿Qué se gana con la abertura menor?

**Solución de Ejercicio 4.7.**

$D = 50/2 = 25\,\mathrm{mm}$. Exposición $\propto N^2$: $(8/2)^2 = 16$ veces más larga, $16/500 \approx 1/30$ $\mathrm{s}$. Se gana [profundidad de campo](#def-b1-optical-instruments-camera) (y menos aberraciones) al precio de trepidación o de un trípode.

**Ejercicio 4.8 ★★.**

Calcúlense la [distancia hiperfocal](#prop-b1-optical-instruments-dof) de un [objetivo](#def-b1-optical-instruments-microscope) de $35\,\mathrm{mm}$ a $f/11$ con $c = 0.03\,\mathrm{mm}$ y el intervalo de distancias nítidas cuando se enfoca en $H$. Los fotógrafos callejeros lo prefijan: ¿por qué?

**Solución de Ejercicio 4.8.**

$H = 35^2/(11 \times 0.03) = 3.7\,\mathrm{m}$; nítido desde $H/2 =
1.9\,\mathrm{m}$ hasta el infinito. Prefijada en $H$, la [cámara](#def-b1-optical-instruments-camera) no necesita enfocar: la foto se hace en el instante mismo en que sucede la escena.

**Ejercicio 4.9 ★★.**

Unos prismáticos “$8\times30$” tienen $G = 8$ y $D = 30\,\mathrm{mm}$. Calcúlese la [pupila de salida](#prop-b1-optical-instruments-telescope); ¿aprovecha toda la luz una pupila nocturna de $7\,\mathrm{mm}$? ¿Y con unos “$7\times50$”? ¿Cuál es mejor al atardecer, y por qué unos “$20\times30$” son mala elección?

**Solución de Ejercicio 4.9.**

$8\times30$: [pupila de salida](#prop-b1-optical-instruments-telescope) $30/8 = 3.8\,\mathrm{mm} < 7\,\mathrm{mm}$, toda la luz entra en el [ojo](#def-b1-optical-instruments-eye). $7\times50$: $7.1\,\mathrm{mm}$, que iguala la pupila nocturna, y $(50/30)^2 = 2.8$ veces más luz recogida: los del atardecer. $20\times30$: [pupila de salida](#prop-b1-optical-instruments-telescope) $1.5\,\mathrm{mm}$, imagen apagada, campo estrecho y pulso de la mano amplificado veinte veces.

**Ejercicio 4.10 ★★★.**

El [punto remoto](#def-b1-optical-instruments-punctum) de un miope está a $25\,\mathrm{cm}$ del [ojo](#def-b1-optical-instruments-eye). Calcúlese la [vergencia](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/3-espejos-y-lentes-delgadas#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) de la [lente](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/3-espejos-y-lentes-delgadas#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) de contacto correctora y luego la de unas gafas llevadas $15\,\mathrm{mm}$ por delante del [ojo](#def-b1-optical-instruments-eye). ¿Cuál corrección es más fuerte, y por qué difieren?

**Solución de Ejercicio 4.10.**

[Lente](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/3-espejos-y-lentes-delgadas#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) de contacto: $f' = -25\,\mathrm{cm}$, $V = -4.0\,\delta$. Gafas: el [punto remoto](#def-b1-optical-instruments-punctum) queda a $25 - 1.5 = 23.5\,\mathrm{cm}$ de la [lente](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/3-espejos-y-lentes-delgadas#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens), luego $f' =
-23.5\,\mathrm{cm}$, $V = -4.3\,\delta$ — más fuerte. La [lente](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/3-espejos-y-lentes-delgadas#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) ha de formar la imagen en el [punto remoto](#def-b1-optical-instruments-punctum) del [ojo](#def-b1-optical-instruments-eye), cuya distancia a la [lente](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/3-espejos-y-lentes-delgadas#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) depende de dónde se sitúe la [lente](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/3-espejos-y-lentes-delgadas#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens).

**Ejercicio 4.11 ★★★.**

Catalejo de Galileo: $f_1' = 30\,\mathrm{cm}$, $f_2' = -10\,\mathrm{cm}$. Hállense la separación de las [lentes](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/3-espejos-y-lentes-delgadas#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) para que el sistema sea afocal, $G$ y la orientación de la imagen. Localícese la [pupila de salida](#prop-b1-optical-instruments-telescope) y explíquese por qué el campo es estrecho.

**Solución de Ejercicio 4.11.**

Afocal: $F_1' = F_2$, separación $f_1' + f_2' = 20\,\mathrm{cm}$ (más corta que los $40\,\mathrm{cm}$ de un kepleriano del mismo $G$). $G = -30/(-10) =
+3$: derecha. [Pupila de salida](#prop-b1-optical-instruments-telescope) $\overline{O_2P'} = f_2'(f_1' + f_2')/f_1' =
-10 \times 20/30 = -6.7\,\mathrm{cm}$: virtual, dentro del tubo, donde el [ojo](#def-b1-optical-instruments-eye) no puede situarse; el [ojo](#def-b1-optical-instruments-eye), detrás del [ocular](#def-b1-optical-instruments-microscope), solo recoge los haces que por azar le llegan — campo estrecho, la queja clásica de los gemelos de teatro.

**Ejercicio 4.12 ★★★.**

Un anteojo de $200\,\mathrm{mm}$ y una pupila de $7\,\mathrm{mm}$. ¿Por qué factor aumenta la luz recibida de una estrella? Los astrónomos gradúan el brillo en magnitudes, $m_2 - m_1 = 2.5\log_{10}(F_1/F_2)$; el [ojo](#def-b1-optical-instruments-eye) llega a la magnitud $6$: ¿a qué magnitud límite llega el anteojo? ¿Cuántas veces más lejos puede verse una lámpara dada?

**Solución de Ejercicio 4.12.**

$(200/7)^2 = 820$; $\Delta m = 2.5\log_{10}820 = 7.3$: magnitud límite $13.3$. El flujo es $\propto 1/r^2$, así que la lámpara se ve $\sqrt{820} = 29$ veces más lejos.

![La cara visible de la Luna (Lunar Reconnaissance Orbiter, NASA): el blanco del anteojo del problema de fin de semana, 3476\, km de diámetro a 384\,000\, km.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-optical-instruments/img-ce53ac82ea4e.jpg)

*La cara visible de la Luna (Lunar Reconnaissance Orbiter, NASA): el blanco del anteojo del problema de fin de semana, $3476\,\mathrm{km}$ de diámetro a $384\,000\,\mathrm{km}$.*

## 4.7 Problema: diseñar un anteojo para la Luna

**Problema 4.1.**

Problema de fin de semana — un refractor de 150 milímetros sobre el césped del jardín: elegir los oculares, colocar el ojo, contar la luz y averiguar qué cráter tan pequeño puede mostrar

El [objetivo](#def-b1-optical-instruments-microscope) es una [lente convergente](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/3-espejos-y-lentes-delgadas#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) $L_1$ de [distancia focal](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/3-espejos-y-lentes-delgadas#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) $f_1' = 1200\,\mathrm{mm}$ y diámetro $D = 150\,\mathrm{mm}$; se dispone de [oculares](#def-b1-optical-instruments-microscope) $L_2$ de [distancias focales](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/3-espejos-y-lentes-delgadas#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) $25\,\mathrm{mm}$ y $6\,\mathrm{mm}$. La Luna está a $3.84 \times 10^{5}\,\mathrm{km}$ y subtiende $0.52^\circ$; la pupila nocturna del [ojo](#def-b1-optical-instruments-eye) mide $7\,\mathrm{mm}$ y su resolución es $\epsilon = 3.0 \times 10^{-4}\,\mathrm{rad}$; $\lambda = 550\,\mathrm{nm}$.

**Parte I — El montaje afocal.**

1. ¿Dónde debe colocarse el [ocular](#def-b1-optical-instruments-microscope) para ver una estrella sin acomodar? Dese la distancia objetivo–ocular para cada [ocular](#def-b1-optical-instruments-microscope) .
2. Compruébese con la [relación de Descartes](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/3-espejos-y-lentes-delgadas#thm-b1-mirrors-thin-lenses-lensconj) , aplicada a cada [lente](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/3-espejos-y-lentes-delgadas#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) por turno, que un punto del eje en el infinito se conjuga con el infinito.
3. Muéstrese que un haz procedente de una estrella con ángulo $\alpha$ respecto del eje emerge como haz paralelo con ángulo $\alpha' = -(f_1'/f_2')\alpha$ .
4. Calcúlense $G$ para cada [ocular](#def-b1-optical-instruments-microscope) y el diámetro aparente de la Luna a través de cada uno.
5. La imagen está invertida. ¿Por qué resulta aceptable aquí, y qué añadiría un anteojo terrestre?
6. ¿Dónde está la imagen intermedia real de la Luna y cuál es su diámetro? (Ahí puede fotografiarse.)

**Parte II — Dónde va el [ojo](#def-b1-optical-instruments-eye).**

7. Muéstrese que el [ocular](#def-b1-optical-instruments-microscope) forma una [imagen real](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/3-espejos-y-lentes-delgadas#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) del borde del [objetivo](#def-b1-optical-instruments-microscope) a $\overline{O_2P'} = f_2'(f_1' + f_2')/f_1'$ por detrás de él, de diámetro $D/\abs G$ (la [pupila de salida](#prop-b1-optical-instruments-telescope) ).
8. Calcúlense la posición y el diámetro de la [pupila de salida](#prop-b1-optical-instruments-telescope) para cada [ocular](#def-b1-optical-instruments-microscope) .
9. ¿Por qué debe situarse la pupila del [ojo](#def-b1-optical-instruments-eye) en la [pupila de salida](#prop-b1-optical-instruments-telescope) ? ¿Qué le ocurre al campo si se coloca más atrás?
10. Para aprovechar íntegra la luz de una estrella, la [pupila de salida](#prop-b1-optical-instruments-telescope) no debe superar la del [ojo](#def-b1-optical-instruments-eye) : dedúzcase el aumento útil mínimo de este anteojo de noche.

**Parte III — Resolución.**

11. Calcúlese el límite de difracción $\theta_{\min} = 1.22\lambda/D$ en radianes y en segundos de arco.
12. ¿A qué cráter mínimo corresponde ese ángulo sobre la Luna? ¿Y para el [ojo](#def-b1-optical-instruments-eye) desnudo?
13. Defínase y calcúlese el aumento resolvente $G_r =  \epsilon/\theta_{\min}$ . ¿Qué [ocular](#def-b1-optical-instruments-microscope) se le acerca más?
14. Con el [ocular](#def-b1-optical-instruments-microscope) de $6\,\mathrm{mm}$ la imagen se ve más borrosa y más apagada que con el de $25\,\mathrm{mm}$ . Explíquense ambos efectos.
15. La turbulencia atmosférica difumina las imágenes estelares hasta cerca de $1''$ . ¿Para qué diámetros de [objetivo](#def-b1-optical-instruments-microscope) deja de importar el límite de Rayleigh desde el suelo, y qué sigue aportando un $D$ mayor?

**Parte IV — La luz.**

16. ¿Por qué factor recoge el [objetivo](#def-b1-optical-instruments-microscope) más luz que la pupila nocturna?
17. Conviértase a magnitudes ( $\Delta m = 2.5\log_{10}$ del cociente); si el [ojo](#def-b1-optical-instruments-eye) llega a la magnitud $6$ , ¿a qué magnitud llega el anteojo?
18. La Luna llena entrega en el suelo una irradiancia de unos $2 \times 10^{-3}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ . ¿Qué potencia entra por el [objetivo](#def-b1-optical-instruments-microscope) y cómo se reparte sobre la [retina](#def-b1-optical-instruments-eye) en comparación con la visión a simple vista (mismo argumento de potencia por unidad de ángulo sólido: compárense los brillos superficiales a través de los dos [oculares](#def-b1-optical-instruments-microscope) )?
19. ¿Por qué un anteojo no hace más brillante la superficie lunar por unidad de área que el [ojo](#def-b1-optical-instruments-eye) desnudo, mientras que sí hace más brillantes las estrellas?

**Parte V — El campo de visión.** El [ocular](#def-b1-optical-instruments-microscope) lleva, en su plano focal, un diafragma de campo circular de $20\,\mathrm{mm}$ de diámetro ([ocular](#def-b1-optical-instruments-microscope) de $25\,\mathrm{mm}$) o de $5\,\mathrm{mm}$ ([ocular](#def-b1-optical-instruments-microscope) de $6\,\mathrm{mm}$).

20. Muéstrese que el campo real vale $2\arctan(\phi/2f_1')  \approx \phi/f_1'$ para un diafragma de diámetro $\phi$ .
21. Calcúlese para ambos [oculares](#def-b1-optical-instruments-microscope) y dígase si la Luna entera cabe en el campo.
22. Calcúlese el campo aparente (el ángulo bajo el que el [ojo](#def-b1-optical-instruments-eye) ve el diafragma a través del [ocular](#def-b1-optical-instruments-microscope) ) para ambos.
23. La Tierra gira $15''$ por segundo de tiempo: ¿cuánto tarda la Luna en cruzar el campo de cada [ocular](#def-b1-optical-instruments-microscope) sin seguimiento?
24. Resúmase el diseño: qué [ocular](#def-b1-optical-instruments-microscope) para la Luna entera, cuál para los cráteres y el tamaño del menor cráter que el instrumento puede revelar — su número.
25. El mismo [objetivo](#def-b1-optical-instruments-microscope) se sustituye por un [espejo cóncavo](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/3-espejos-y-lentes-delgadas#def-b1-mirrors-thin-lenses-mirror) de $150\,\mathrm{mm}$ de la misma [distancia focal](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/3-espejos-y-lentes-delgadas#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) . ¿Cuáles de los resultados anteriores cambian?

**Solución de Problema 4.1.**

**1.** $F_2 = F_1'$: separación $f_1' + f_2' = 1225\,\mathrm{mm}$ ([ocular](#def-b1-optical-instruments-microscope) de $25\,\mathrm{mm}$) o $1206\,\mathrm{mm}$ (el de $6\,\mathrm{mm}$).

**2.** $L_1$: $\overline{O_1A_1} = f_1'$ (imagen en $F_1'$). $L_2$: $\overline{O_2A_1} = -f_2'$, luego $1/\overline{O_2A'} = 1/f_2' + 1/(-f_2')
= 0$: imagen en el infinito.

**3.** El haz converge en el plano focal común a la altura $h =
f_1'\alpha$ (rayo por $O_1$); desde ahí, el rayo que pasa por $O_2$ fija la dirección emergente, $\alpha' = -h/f_2' = -(f_1'/f_2')\alpha$.

**4.** $G = -48$ y $-200$; Luna: $25^\circ$ y $104^\circ$.

**5.** Arriba y abajo carecen de sentido en el cielo; un anteojo terrestre añade un par de prismas enderezadores (o un relé de [lentes](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/3-espejos-y-lentes-delgadas#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens)).

**6.** En el plano focal de $L_1$, de diámetro $f_1'\theta = 1200 \times
9.1\times10^{-3} = 11\,\mathrm{mm}$.

**7.** Objeto $O_1$ en $\overline{O_2O_1} = -(f_1' + f_2')$: $1/\overline{O_2P'} = 1/f_2' - 1/(f_1' + f_2') = f_1'/[f_2'(f_1' + f_2')]$; aumento $\overline{O_2P'}/\overline{O_2O_1} = -f_2'/f_1' = 1/G$, diámetro $D/\abs G$.

**8.** $25\,\mathrm{mm}$: $\overline{O_2P'} = 25 \times 1225/1200 =
25.5\,\mathrm{mm}$, diámetro $150/48 = 3.1\,\mathrm{mm}$. $6\,\mathrm{mm}$: $6.0\,\mathrm{mm}$ por detrás, diámetro $0.75\,\mathrm{mm}$.

**9.** Todo rayo que ha entrado por el [objetivo](#def-b1-optical-instruments-microscope) pasa por la [pupila de salida](#prop-b1-optical-instruments-telescope): un [ojo](#def-b1-optical-instruments-eye) situado allí recibe el campo entero. Más atrás solo intercepta los haces centrales: el campo se reduce a una mirilla.

**10.** $D/\abs G \leq 7\,\mathrm{mm}$: $\abs G \geq 150/7 \approx 21$.

**11.** $\theta_{\min} = 1.22 \times 5.5\times10^{-7}/0.150 =
4.5 \times 10^{-6}\,\mathrm{rad} = 0.92''$.

**12.** $4.5\times10^{-6} \times 3.84\times10^5 = 1.7\,\mathrm{km}$; [ojo](#def-b1-optical-instruments-eye) desnudo $3\times10^{-4} \times 3.84\times10^5 = 115\,\mathrm{km}$.

**13.** $G_r = 3\times10^{-4}/4.5\times10^{-6} = 67$; el [ocular](#def-b1-optical-instruments-microscope) de $25\,\mathrm{mm}$ ($48$) es el más próximo, algo por debajo; el de $6\,\mathrm{mm}$ ($200$) lo triplica.

**14.** Con $G = 200$ la mancha de difracción subtiende $200 \times 4.5
\times10^{-6} = 9 \times 10^{-4}\,\mathrm{rad} > \epsilon$: visiblemente borrosa. La luz de la Luna se reparte sobre un área $(200/48)^2 = 17$ veces mayor en la [retina](#def-b1-optical-instruments-eye): más apagada.

**15.** $1'' = 4.85 \times 10^{-6}\,\mathrm{rad}$: $D = 1.22\lambda/\theta =
140\,\mathrm{mm}$. Por encima de ese diámetro, la turbulencia limita la resolución desde el suelo (salvo óptica adaptativa); un $D$ mayor sigue recogiendo más luz y alcanzando objetos más débiles.

**16.** $(150/7)^2 = 460$.

**17.** $\Delta m = 2.5\log_{10}460 = 6.7$: magnitud $12.7$.

**18.** $P = 2\times10^{-3} \times \pi(0.075)^2 = 3.5 \times 10^{-5}\,\mathrm{W}$, $460$ veces la del [ojo](#def-b1-optical-instruments-eye) desnudo. La imagen retiniana tiene un área $\abs G^2$ veces mayor: cociente de brillos superficiales $460/G^2 = 0.20$ ($G = 48$) y $0.012$ ($G = 200$) — igual a $(D/\abs G)^2/d_p^2$, el cuadrado del cociente entre [pupila de salida](#prop-b1-optical-instruments-telescope) y pupila del [ojo](#def-b1-optical-instruments-eye).

**19.** Para un objeto extenso, la luz recogida crece como $D^2$ pero el área de la imagen como $G^2 \geq (D/d_p)^2$: el brillo superficial, en el mejor de los casos, iguala al de la visión a simple vista ([pupila de salida](#prop-b1-optical-instruments-telescope) $=$ pupila del [ojo](#def-b1-optical-instruments-eye)). Una estrella no se resuelve: toda su luz cae en una única mancha de difracción, y su brillo crece como $(D/d_p)^2$.

**20.** Un punto de ángulo $\beta$ se conjuga a la altura $f_1'\beta$ en el plano focal; el diafragma deja pasar $\abs{f_1'\beta} \leq \phi/2$: campo total $\phi/f_1'$ (ángulos pequeños).

**21.** $20/1200 = 0.0167\,\mathrm{rad} = 0.95^\circ$: la Luna entera cabe. $5/1200 = 0.24^\circ$: no cabe.

**22.** Campo aparente $\phi/f_2'$: $20/25 = 0.8\,\mathrm{rad} = 46^\circ$; $5/6 = 48^\circ$.

**23.** $0.95^\circ = 3420''$: $3420/15 = 230\,\mathrm{s}$, casi cuatro minutos; $0.24^\circ = 864''$: $58\,\mathrm{s}$.

**24.** [Ocular](#def-b1-optical-instruments-microscope) de $25\,\mathrm{mm}$ ($G = 48$, cerca de $G_r$, luminoso, Luna entera) para el disco; el de $6\,\mathrm{mm}$ ($G = 200$) para acercarse a los cráteres, más apagado y más borroso. El número del instrumento: cráteres de hasta $1.7\,\mathrm{km}$.

**25.** Con la misma $f_1'$ y el mismo $D$: los mismos $G$, campos, [pupilas de salida](#prop-b1-optical-instruments-telescope), resolución y luz (descontada la obstrucción central). Se gana: ninguna aberración cromática. Cambio práctico: el foco queda por delante del espejo, así que un pequeño espejo secundario debe desviar el haz hacia el [ocular](#def-b1-optical-instruments-microscope).