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title: "Circuitos en corriente continua: leyes de Kirchhoff y teoremas"
book: "Física universitaria — primer año"
subject: physics
language: es
chapter: 6
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/6-circuitos-en-corriente-continua-leyes-de-kirchhoff-y-teoremas
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# Capítulo 6 — Circuitos en corriente continua: leyes de Kirchhoff y teoremas

Girar la llave en una mañana fría: el motor de arranque gruñe, las luces del salpicadero se apagan un segundo y el coche arranca entre toses. La batería que hace un momento entregaba $12.6\,\mathrm{V}$ constantes ha bajado a once mientras el motor de arranque consume sus ciento cincuenta [amperios](#def-b1-dc-circuits-current) — y los faros, conectados en paralelo, lo pagan. Todo lo que sucede en ese segundo lo gobiernan dos leyes de conservación y un puñado de teoremas sobre [circuitos lineales](#def-b1-dc-circuits-linear), que este capítulo enuncia, demuestra y aplica: las [leyes de Kirchhoff](#thm-b1-dc-circuits-kirchhoff), los modelos de fuentes y [resistores](#def-b1-dc-circuits-resistor), los divisores, Thévenin y Norton, y el arte gráfico de hallar un [punto de funcionamiento](#met-b1-dc-circuits-loadline).

## 6.1 Corriente, tensión y régimen cuasiestacionario

**Definición 6.1 (Intensidad de corriente).**

La *intensidad de corriente* a través de una superficie (la sección de un hilo) es la carga que la atraviesa por unidad de tiempo, contada positivamente en una orientación elegida:

$$
i = \frac{\dd q}{\dd t} \qquad (\text{amperios: } 1\,\mathrm{A} = 1\,\mathrm{C}/\mathrm{s}).
$$

Invertir la orientación cambia el signo de $i$. En un metal los portadores son electrones, que se desplazan *en sentido contrario* al de la corriente convencional, a una fracción de milímetro por segundo.

**Definición 6.2 (Potencial y tensión).**

Cada punto de un circuito tiene un *potencial eléctrico* $V$ (voltios), definido salvo una constante que se fija eligiendo una *masa* ($V = 0$). La *tensión* entre $A$ y $B$ es la diferencia de potencial $u_{AB} = V_A - V_B$, dibujada como una flecha de $B$ hacia $A$. La energía que pierde una carga $q$ al ir de $A$ a $B$ vale $q\,u_{AB}$ (esto enlaza con el potencial electrostático de [Capítulo 27](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/27-el-potencial-electrico-conductores-y-condensadores#ch-b1-potential-capacitors)).

**Definición 6.3 (Régimen cuasiestacionario (ARQS)).**

Un circuito de tamaño $\ell$ excitado a la frecuencia $f$ está en *régimen cuasiestacionario* cuando el tiempo de propagación $\ell/c$ de las [señales](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/5-propagacion-de-senales-ondas-progresivas-y-estacionarias#def-b1-wave-propagation-signal) eléctricas a lo largo de él es despreciable frente al periodo $1/f$: $\ell \ll c/f$. La corriente es entonces la misma en todos los puntos de un hilo sin derivaciones en cada instante, y las leyes siguientes se aplican en cada instante a corrientes y tensiones variables (minúsculas $i$, $u$) exactamente igual que a las continuas ($I$, $U$).

**Ejemplo 6.4 (Cuán “cuasi” es cuasi).**

A $50\,\mathrm{Hz}$, $c/f = 6000\,\mathrm{km}$: una vivienda está en [régimen cuasiestacionario](#def-b1-dc-circuits-arqs). A $1\,\mathrm{MHz}$, $300\,\mathrm{m}$: una radio también. A $2\,\mathrm{GHz}$, $15\,\mathrm{cm}$: la placa de un teléfono no lo está, y sus pistas deben tratarse como líneas de transmisión — tema del volumen del Año 2.

**Teorema 6.5 (Leyes de Kirchhoff).**

En [régimen cuasiestacionario](#def-b1-dc-circuits-arqs):

1. *[Ley de los nudos](#thm-b1-dc-circuits-kirchhoff)* : en un nudo donde concurren varios hilos, la suma de las corrientes que llegan es igual a la suma de las corrientes que salen, $\sum_{\text{ent}} i_k = \sum_{\text{sal}} i_k$ .
2. *[Ley de las mallas](#thm-b1-dc-circuits-kirchhoff)* : a lo largo de cualquier malla cerrada, las tensiones suman cero cuando se cuentan con el signo que fija un sentido de recorrido elegido: $\sum_{\text{malla}} \pm u_k = 0$ .

**Demostración.** La carga se conserva y, en [régimen cuasiestacionario](#def-b1-dc-circuits-arqs), no se acumula en un nudo: lo que llega por segundo sale por segundo. La [ley de las mallas](#thm-b1-dc-circuits-kirchhoff) es el enunciado de que el potencial es función de la posición: al recorrer una malla y volver al punto de partida, la suma de las caídas de potencial vale $V_A - V_A = 0$. ∎

**Notación 6.6 (Convenios y potencia).**

Para un componente de dos bornes (un *dipolo*), el *[convenio receptor](#thm-b1-dc-circuits-kirchhoff)* dibuja la flecha de [tensión](#def-b1-dc-circuits-voltage) y la de corriente en sentidos opuestos; el *[convenio generador](#thm-b1-dc-circuits-kirchhoff)* las dibuja en el mismo sentido. En el [convenio receptor](#thm-b1-dc-circuits-kirchhoff), la potencia *recibida* por el dipolo vale

$$
p = u\,i \qquad (\text{vatios}),
$$

positiva para un [resistor](#def-b1-dc-circuits-resistor) que se calienta y negativa para una batería que entrega. En el [convenio generador](#thm-b1-dc-circuits-kirchhoff), $p = ui$ es la potencia *entregada*.

![Los dos convenios de signo para un dipolo: flechas opuestas (receptor) o alineadas (generador). La física es la misma; solo se lee de otro modo el signo de ui.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-dc-circuits/fig-77f929120c53.svg)

*Los dos convenios de signo para un dipolo: flechas opuestas (receptor) o alineadas (generador). La física es la misma; solo se lee de otro modo el signo de $ui$.*

## 6.2 Dipolos y sus modelos

**Definición 6.7 (Característica; resistor; ley de Ohm).**

La *característica* de un dipolo es la curva $i(u)$ (o $u(i)$) que impone. Un *resistor* tiene una característica lineal que pasa por el origen, la *ley de Ohm*

$$
u = R\,i \qquad (\text{convenio receptor}),
$$

donde $R$ es su *resistencia* (ohmios, $1\,\Omega = 1\,\mathrm{V}/\mathrm{A}$) y $G = 1/R$ su *conductancia* (siemens). Recibe $p = Ri^2 =
u^2/R \geq 0$, que se disipa en calor (*efecto Joule*). Un hilo de longitud $\ell$, sección $S$ y resistividad $\rho$ tiene $R = \rho\ell/S$.

**Definición 6.8 (Fuentes ideales y reales).**

Una *fuente de [tensión](#def-b1-dc-circuits-voltage) ideal* impone $u = E$ sea cual sea la corriente; $E$ es su *fuerza electromotriz* (fem). Una *fuente de corriente ideal* impone $i = I_N$ sea cual sea la [tensión](#def-b1-dc-circuits-voltage). Una *fuente real* (batería, generador, fuente de alimentación) se modela, en el [convenio generador](#thm-b1-dc-circuits-kirchhoff), por

$$
u = E - r\,i \quad (\text{modelo de Thévenin: fem ideal } E \text{ en serie con } r)
$$

o, de forma equivalente, por $i = I_N - u/r$ (modelo de Norton: fuente de corriente ideal $I_N = E/r$ en paralelo con $r$); $r$ es la *resistencia interna*. $E$ es la [tensión](#def-b1-dc-circuits-voltage) en circuito abierto e $I_N = E/r$ la corriente de cortocircuito.

**Proposición 6.9 (Balance de potencia de una fuente real).**

Una fuente real $(E, r)$ que alimenta un [resistor](#def-b1-dc-circuits-resistor) $R$ entrega $i = E/(R + r)$ y la potencia

$$
P_R = \frac{E^2 R}{(R + r)^2},
$$

máxima e igual a $E^2/4r$ cuando $R = r$ (*[adaptación de impedancias](#prop-b1-dc-circuits-sourcepower)*), con rendimiento $P_R/(Ei) = R/(R + r)$, solo del $50\%$ en el máximo.

**Demostración.** [Ley de las mallas](#thm-b1-dc-circuits-kirchhoff): $E = ri + Ri$. $P_R = Ri^2$; derívese $R/(R + r)^2$: $\big[(R + r)^2 - 2R(R + r)\big]/(R + r)^4 = (r - R)/(R + r)^3$, nulo en $R = r$, positivo antes y negativo después. La fuente aporta $Ei = (R + r)i^2$, de los cuales $ri^2$ calientan la propia fuente. ∎

![Izquierda: las características de una fuente real (u = E - ri) y de una carga resistiva (u = Ri) se cortan en el punto de funcionamiento. Derecha: la potencia entregada a la carga es máxima en R = r, donde la mitad de la potencia de la fuente se pierde en su propia resistencia.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-dc-circuits/fig-96de9cd41d8e.svg)

![Izquierda: las características de una fuente real (u = E - ri) y de una carga resistiva (u = Ri) se cortan en el punto de funcionamiento. Derecha: la potencia entregada a la carga es máxima en R = r, donde la mitad de la potencia de la fuente se pierde en su propia resistencia.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-dc-circuits/fig-ef081915e244.svg)

*Izquierda: las características de una fuente real ($u = E - ri$) y de una carga resistiva ($u = Ri$) se cortan en el [punto de funcionamiento](#met-b1-dc-circuits-loadline). Derecha: la potencia entregada a la carga es máxima en $R = r$, donde la mitad de la potencia de la fuente se pierde en su propia resistencia.*

**Ejemplo 6.10 (Una batería de coche bajo carga).**

En circuito abierto $12.6\,\mathrm{V}$; $11.4\,\mathrm{V}$ mientras el motor de arranque consume $120\,\mathrm{A}$: $r = 1.2/120 = 10\,\mathrm{m}\Omega$, $I_N = 1260\,\mathrm{A}$ (de ahí el peligro, digno de una soldadura, de una llave caída). Una carga adaptada $R = 10\,\mathrm{m}\Omega$ tomaría $E^2/4r = 4\,\mathrm{kW}$ durante unos segundos — más o menos lo que necesita un motor de arranque.

**Observación 6.11 (Otros dipolos).**

Un *diodo* conduce en un solo sentido: un modelo idealizado es un circuito abierto para $u < U_0$ y una [tensión](#def-b1-dc-circuits-voltage) fija $u = U_0$ (unos $0.7\,\mathrm{V}$ en silicio, de $2\,$ a $3\,\mathrm{V}$ en un LED) cuando conduce. Una lámpara de filamento es un [resistor](#def-b1-dc-circuits-resistor) cuya $R$ crece con la temperatura y, por tanto, con $i$ — característica curvada. En régimen estacionario un condensador es un circuito abierto ($i = C\,\dd u/\dd t = 0$) y una bobina un cortocircuito ($u = L\,\dd i/\dd t = 0$); su papel en los transitorios es [Capítulo 7](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/7-regimenes-transitorios-primer-y-segundo-orden#ch-b1-transient-regimes).

## 6.3 Asociaciones y divisores

**Proposición 6.12 (Resistores en serie y en paralelo).**

Los [resistores](#def-b1-dc-circuits-resistor) en serie (misma corriente) suman: $R = R_1 + R_2 + \cdots$. Los [resistores](#def-b1-dc-circuits-resistor) en paralelo (misma [tensión](#def-b1-dc-circuits-voltage)) suman sus conductancias: $1/R = 1/R_1 + 1/R_2 + \cdots$; para dos, $R = R_1R_2/(R_1 + R_2)$, que se escribe $R_1 \parallel R_2$.

**Demostración.** Serie: $u = u_1 + u_2 = (R_1 + R_2)i$ ([ley de las mallas](#thm-b1-dc-circuits-kirchhoff)). Paralelo: $i = i_1 +
i_2 = u/R_1 + u/R_2$ ([ley de los nudos](#thm-b1-dc-circuits-kirchhoff)). ∎

**Proposición 6.13 (Divisores de tensión y de corriente).**

Dos [resistores](#def-b1-dc-circuits-resistor) en serie sometidos a una [tensión](#def-b1-dc-circuits-voltage) $u$ se la reparten en proporción a sus resistencias:

$$
u_2 = \frac{R_2}{R_1 + R_2}\,u .
$$

Dos [resistores](#def-b1-dc-circuits-resistor) en paralelo alimentados por una corriente $i$ se la reparten en proporción inversa:

$$
i_2 = \frac{R_1}{R_1 + R_2}\,i = \frac{G_2}{G_1 + G_2}\,i .
$$

**Demostración.** Serie: $i = u/(R_1 + R_2)$ y $u_2 = R_2 i$. Paralelo: $u = (R_1
\parallel R_2)\,i$ e $i_2 = u/R_2$. ∎

![Divisor de tensión (izquierda): u_2 = R_2 u/(R_1 + R_2). Divisor de corriente (derecha): i_2 = R_1 i/(R_1 + R_2) — la corriente prefiere la resistencia menor.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-dc-circuits/fig-246b3afb158f.svg)

*[Divisor de tensión](#prop-b1-dc-circuits-dividers) (izquierda): $u_2 = R_2 u/(R_1 + R_2)$. [Divisor de corriente](#prop-b1-dc-circuits-dividers) (derecha): $i_2 = R_1 i/(R_1 + R_2)$ — la corriente prefiere la resistencia menor.*

**Observación 6.14 (Cargar un divisor).**

La fórmula del divisor solo vale si nada consume corriente del punto intermedio. Una carga $R_L$ conectada en paralelo con $R_2$ sustituye $R_2$ por $R_2
\parallel R_L$ y hace bajar $u_2$ — el “efecto de carga”, y la razón de que un voltímetro deba tener una resistencia alta y un potenciómetro una baja frente a lo que alimenta ([Ejercicio 6.4](#exo-b1-dc-circuits-4)).

**Método 6.15 (Reducir una red).**

Para hallar una corriente o una [tensión](#def-b1-dc-circuits-voltage) en una red de [resistores](#def-b1-dc-circuits-resistor) con una sola fuente:

1. empezando lejos de la fuente, sustitúyanse los grupos en serie y en paralelo por sus equivalentes hasta que un único [resistor](#def-b1-dc-circuits-resistor) quede frente a la fuente;
2. calcúlese la corriente de la fuente;
3. recórrase el camino inverso, repartiendo corrientes con [divisores de corriente](#prop-b1-dc-circuits-dividers) y tensiones con [divisores de tensión](#prop-b1-dc-circuits-dividers) , hasta la rama buscada.

Con varias fuentes, o para una rama cuyo entorno cambia, úsense los teoremas de la sección siguiente.

## 6.4 Teoremas de los circuitos lineales

**Definición 6.16 (Dipolo lineal, circuito lineal).**

Un dipolo es *lineal* si su característica es una recta ([resistor](#def-b1-dc-circuits-resistor), fuentes ideales y reales); un circuito formado solo por dipolos lineales es un *circuito lineal*. Sus incógnitas obedecen un sistema de ecuaciones lineales (las [leyes de Kirchhoff](#thm-b1-dc-circuits-kirchhoff) más las características), cuya solución es única.

**Teorema 6.17 (Thévenin y Norton).**

Visto desde dos de sus bornes $A$ y $B$, todo [circuito lineal](#def-b1-dc-circuits-linear) equivale a una fuente real: una fem $E_{\mathrm{Th}}$ en serie con una resistencia $R_{\mathrm{Th}}$ (Thévenin), o una [fuente de corriente](#def-b1-dc-circuits-sources) $I_N =
E_{\mathrm{Th}}/R_{\mathrm{Th}}$ en paralelo con $R_{\mathrm{Th}}$ (Norton), donde

- $E_{\mathrm{Th}}$ es la [tensión](#def-b1-dc-circuits-voltage) en circuito abierto $u_{AB}$ ;
- $I_N$ es la corriente de cortocircuito de $A$ hacia $B$ ;
- $R_{\mathrm{Th}}$ es la resistencia vista entre $A$ y $B$ cuando se apaga toda fuente independiente (las [fuentes de tensión](#def-b1-dc-circuits-sources) ideales se sustituyen por hilos y las de corriente ideales por circuitos abiertos).

**Demostración parcial.** Por linealidad, la relación entre la [tensión](#def-b1-dc-circuits-voltage) $u_{AB}$ y la corriente $i$ que se extrae de los bornes es afín: $u_{AB} = a - b\,i$. Hacer $i = 0$ identifica $a = E_{\mathrm{Th}}$; hacer $u_{AB} = 0$ da $b = E_{\mathrm{Th}}/I_N$. Que $b$ sea igual a la resistencia vista con las fuentes apagadas se sigue de la superposición (más abajo): la parte de $u_{AB}$ debida solo a la corriente exterior es la que produciría una red pasiva de resistencia $R_{\mathrm{Th}}$. Que todo sistema lineal tenga una relación entrada–salida afín es el álgebra de las ecuaciones lineales. ∎

**Teorema 6.18 (Superposición).**

En un [circuito lineal](#def-b1-dc-circuits-linear) con varias fuentes independientes, cualquier corriente o [tensión](#def-b1-dc-circuits-voltage) es la suma de los valores que toma cuando cada fuente actúa sola, con las demás apagadas.

**Demostración.** Las ecuaciones son lineales en las incógnitas, con las fuentes como segundo miembro; la solución es una función lineal de ese segundo miembro y, por tanto, la suma de las soluciones para cada fuente por separado. ∎

**Proposición 6.19 (Teorema de Millman).**

Un nudo $N$ conectado a puntos de potenciales $V_1, \dots, V_n$ a través de resistencias $R_1, \dots, R_n$ (y a nada más) tiene el potencial

$$
V_N = \frac{\sum_k V_k/R_k}{\sum_k 1/R_k} = \frac{\sum_k G_k V_k}{\sum_k G_k},
$$

la media de los potenciales de sus vecinos ponderada por las conductancias.

**Demostración.** [Ley de los nudos](#thm-b1-dc-circuits-kirchhoff) en $N$: $\sum_k (V_k - V_N)/R_k = 0$; despéjese $V_N$. ∎

![Dos fuentes que alimentan una carga común R_3. Vista desde los bornes de R_3, el resto del circuito es una fuente de Thévenin (E_ Th, R_ Th); el teorema de Millman da el potencial del nudo N en una línea.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-dc-circuits/fig-30434c8dc9c6.svg)

*Dos fuentes que alimentan una carga común $R_3$. Vista desde los bornes de $R_3$, el resto del circuito es una fuente de Thévenin ($E_{\mathrm{Th}}$, $R_{\mathrm{Th}}$); el [teorema de Millman](#prop-b1-dc-circuits-millman) da el potencial del nudo $N$ en una línea.*

**Ejemplo 6.20 (Tres caminos hacia la misma respuesta).**

En la figura, $E_1 = 10\,\mathrm{V}$, $R_1 = 1.0\,\mathrm{k}\Omega$, $E_2 =
5.0\,\mathrm{V}$, $R_2 = 2.0\,\mathrm{k}\Omega$, $R_3 = 2.0\,\mathrm{k}\Omega$. *Millman*: $V_N = (10/1 + 5/2 + 0/2)/(1 + 0.5 + 0.5) = 12.5/2 =
6.25\,\mathrm{V}$. *Superposición*: $E_1$ sola ve $R_2 \parallel
R_3 = 1\,\mathrm{k}\Omega$, luego $u = 10 \times 1/2 = 5\,\mathrm{V}$; $E_2$ sola ve $R_1 \parallel R_3 = 0.667\,\mathrm{k}\Omega$, $u = 5 \times 0.667/2.667
= 1.25\,\mathrm{V}$; en total $6.25\,\mathrm{V}$. *Thévenin* visto desde $R_3$: $E_{\mathrm{Th}}$ es la [tensión](#def-b1-dc-circuits-voltage) en circuito abierto del divisor $(E_1, R_1, R_2, E_2)$: $E_2 + (E_1 - E_2)R_2/(R_1 + R_2) = 5 + 5 \times
2/3 = 8.33\,\mathrm{V}$; $R_{\mathrm{Th}} = R_1 \parallel R_2 =
0.667\,\mathrm{k}\Omega$; y entonces $u = 8.33 \times 2/2.667 = 6.25\,\mathrm{V}$.

## 6.5 Punto de funcionamiento; el puente de Wheatstone

**Método 6.21 (Punto de funcionamiento gráfico).**

Un dipolo no lineal (de característica $i = g(u)$) alimentado por una fuente de Thévenin $(E, R)$ se sitúa donde se cumplen ambas relaciones: trácense en los mismos ejes la característica del dipolo y la *[recta de carga](#met-b1-dc-circuits-loadline)* $u = E - Ri$ de la fuente; su intersección es el *[punto de funcionamiento](#met-b1-dc-circuits-loadline)*. Dimensionar el [resistor](#def-b1-dc-circuits-resistor) en serie de un LED, un regulador Zener o la polarización de un transistor es exactamente esta construcción.

![Un LED (umbral cerca de 2\, V) alimentado por E = 5\, V a través de R = 200\,: la recta de carga u = E - Ri corta la característica del diodo en 2.0\, V, 15\, mA. Aumentar R inclina la recta hacia abajo y atenúa el LED.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-dc-circuits/fig-03e7db7d2db9.svg)

*Un LED (umbral cerca de $2\,\mathrm{V}$) alimentado por $E = 5\,\mathrm{V}$ a través de $R = 200\,\Omega$: la [recta de carga](#met-b1-dc-circuits-loadline) $u = E - Ri$ corta la característica del diodo en $2.0\,\mathrm{V}$, $15\,\mathrm{mA}$. Aumentar $R$ inclina la recta hacia abajo y atenúa el LED.*

**Proposición 6.22 (Puente de Wheatstone).**

Cuatro [resistores](#def-b1-dc-circuits-resistor) $R_1, R_2$ (una rama) y $R_3, R_4$ (la otra) sometidos a una fuente $E$; la salida del puente es la [tensión](#def-b1-dc-circuits-voltage) entre los dos puntos intermedios:

$$
u = E\left(\frac{R_2}{R_1 + R_2} - \frac{R_4}{R_3 + R_4}\right),
$$

nula (el puente está *equilibrado*) si y solo si $R_1R_4 = R_2R_3$. Para un puente equilibrado con $R_4$ perturbada a $R_4(1 + \epsilon)$, $\epsilon
\ll 1$, y $R_3 = R_4$: $u \approx -E\epsilon/4$.

**Demostración.** Dos [divisores de tensión](#prop-b1-dc-circuits-dividers); réstense. Equilibrio: $R_2(R_3 + R_4) = R_4(R_1 +
R_2)$, es decir $R_2R_3 = R_1R_4$. Con $R_3 = R_4 = R$ y $R_1 = R_2$: $u = E[\tfrac12 - (1 + \epsilon)/(2 + \epsilon)] = E[(2 + \epsilon - 2 -
2\epsilon)/(2(2 + \epsilon))] \approx -E\epsilon/4$. ∎

![El puente de Wheatstone: dos divisores uno al lado del otro. Equilibrado cuando R_1R_4 = R_2R_3, convierte una variación minúscula de una resistencia (galga extensométrica, termistor) en una tensión en torno a cero, mucho más fácil de amplificar que una variación pequeña de una tensión grande.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-dc-circuits/fig-bef8e1df3350.svg)

*El [puente de Wheatstone](#prop-b1-dc-circuits-wheatstone): dos divisores uno al lado del otro. Equilibrado cuando $R_1R_4 = R_2R_3$, convierte una variación minúscula de una resistencia (galga extensométrica, termistor) en una [tensión](#def-b1-dc-circuits-voltage) en torno a cero, mucho más fácil de amplificar que una variación pequeña de una [tensión](#def-b1-dc-circuits-voltage) grande.*

## 6.6 Ejercicios

**Ejercicio 6.1 ★.**

Un teléfono se carga a $1.5\,\mathrm{A}$ durante una hora: ¿qué carga circula y cuántos electrones? Estímese si se cumple el [régimen cuasiestacionario](#def-b1-dc-circuits-arqs) para la instalación de una vivienda a $50\,\mathrm{Hz}$, para un circuito de $10\,\mathrm{cm}$ a $1\,\mathrm{MHz}$ y para ese mismo circuito a $1\,\mathrm{GHz}$.

**Solución de Ejercicio 6.1.**

$q = 1.5 \times 3600 = 5400\,\mathrm{C}$, $N = 5400/1.6\times10^{-19} =
3.4 \times 10^{22}$ electrones. $c/f$: $6000\,\mathrm{km}$ a $50\,\mathrm{Hz}$ (vivienda: sí); $300\,\mathrm{m}$ a $1\,\mathrm{MHz}$ (circuito de $10\,\mathrm{cm}$: sí); $30\,\mathrm{cm}$ a $1\,\mathrm{GHz}$, comparable a $10\,\mathrm{cm}$: no.

**Ejercicio 6.2 ★.**

Un calefactor de $2000\,\mathrm{W}$ a $230\,\mathrm{V}$: corriente, resistencia y energía consumida en $3.0\,\mathrm{h}$ (en kWh y en julios). Su cable de cobre de $5.0\,\mathrm{m}$ tiene una sección de $1.5\,\mathrm{mm}^{2}$ ($\rho = 1.7 \times 10^{-8}\,\Omega\,\mathrm{m}$): potencia perdida en el cable.

**Solución de Ejercicio 6.2.**

$I = 2000/230 = 8.7\,\mathrm{A}$; $R = U^2/P = 26.5\,\Omega$; $E =
6.0\,\mathrm{kWh} = 2.2 \times 10^{7}\,\mathrm{J}$. Cable: un conductor $R = 1.7\times10^{-8}
\times 5.0/1.5\times10^{-6} = 57\,\mathrm{m}\Omega$, dos conductores $0.11\,\Omega$: $P = 0.11 \times 8.7^2 = 8.6\,\mathrm{W}$.

**Ejercicio 6.3 ★.**

Con $10\,\Omega$, $20\,\Omega$ y $30\,\Omega$: calcúlese la resistencia de los tres en serie, en paralelo y la de $(10 \parallel 20) + 30$.

**Solución de Ejercicio 6.3.**

Serie $60\,\Omega$; paralelo $1/(0.1 + 0.05 + 0.033) = 5.5\,\Omega$; $10 \parallel 20 = 6.7\,\Omega$, más $30$: $36.7\,\Omega$.

**Ejercicio 6.4 ★.**

Una fuente de $12\,\mathrm{V}$ alimenta $4.7\,\mathrm{k}\Omega$ y $2.2\,\mathrm{k}\Omega$ en serie. Calcúlese la [tensión](#def-b1-dc-circuits-voltage) en bornes de la de $2.2\,\mathrm{k}\Omega$. Se conecta después en paralelo con ella un aparato de resistencia $2.2\,\mathrm{k}\Omega$: ¿nueva [tensión](#def-b1-dc-circuits-voltage)? Conclúyase sobre el efecto de carga.

**Solución de Ejercicio 6.4.**

$u_2 = 12 \times 2.2/6.9 = 3.83\,\mathrm{V}$. Con carga: $2.2 \parallel 2.2 =
1.1\,\mathrm{k}\Omega$, $u_2 = 12 \times 1.1/5.8 = 2.28\,\mathrm{V}$: la carga hunde el divisor un $40\%$ — un divisor solo “divide” si alimenta algo de resistencia mucho mayor.

**Ejercicio 6.5 ★★.**

Una batería marca $12.6\,\mathrm{V}$ en circuito abierto y $11.4\,\mathrm{V}$ mientras entrega $120\,\mathrm{A}$. Hállense su [resistencia interna](#def-b1-dc-circuits-sources) y su corriente de cortocircuito, la potencia entregada al motor de arranque y la perdida en su interior, y el rendimiento.

**Solución de Ejercicio 6.5.**

$r = (12.6 - 11.4)/120 = 10\,\mathrm{m}\Omega$; $I_N = 12.6/0.010 =
1260\,\mathrm{A}$. Al motor de arranque $11.4 \times 120 = 1.37\,\mathrm{kW}$; se pierden $0.010 \times 120^2 = 144\,\mathrm{W}$; rendimiento $1368/1512 = 90\%$.

**Ejercicio 6.6 ★★.**

Hállese el equivalente de Thévenin, visto desde los bornes del [resistor](#def-b1-dc-circuits-resistor) de $2.2\,\mathrm{k}\Omega$, del divisor de [Ejercicio 6.4](#exo-b1-dc-circuits-4) ($E = 12\,\mathrm{V}$, $R_1 = 4.7\,\mathrm{k}\Omega$, $R_2 = 2.2\,\mathrm{k}\Omega$). Úsese para recuperar la [tensión](#def-b1-dc-circuits-voltage) con carga de aquel ejercicio.

**Solución de Ejercicio 6.6.**

$E_{\mathrm{Th}} = 3.83\,\mathrm{V}$ (divisor en circuito abierto); $R_{\mathrm{Th}}
= 4.7 \parallel 2.2 = 1.50\,\mathrm{k}\Omega$ (fuente cortocircuitada). Con carga: $u = 3.83 \times 2.2/(1.50 + 2.2) = 2.28\,\mathrm{V}$.

**Ejercicio 6.7 ★★.**

Dos baterías, $E_1 = 10\,\mathrm{V}$ ($r_1 = 1.0\,\Omega$) y $E_2 = 5.0\,\mathrm{V}$ ($r_2 = 2.0\,\Omega$), se conectan en paralelo (misma polaridad) a una carga de $2.0\,\Omega$. Hállese la [tensión](#def-b1-dc-circuits-voltage) en la carga por superposición y luego por Millman, y la corriente en cada batería. ¿Se carga o se descarga la batería más débil?

**Solución de Ejercicio 6.7.**

Superposición: $E_1$ sola ve $r_2 \parallel R = 1.0\,\Omega$, $u = 10 \times 1/(1 + 1) = 5.0\,\mathrm{V}$; $E_2$ sola ve $r_1 \parallel R
= 0.667\,\Omega$, $u = 5 \times 0.667/2.667 = 1.25\,\mathrm{V}$; en total $6.25\,\mathrm{V}$. Millman: $(10/1 + 5/2 + 0/2)/(1 + 0.5 + 0.5) = 6.25\,\mathrm{V}$. Batería 1: $(10 - 6.25)/1 = 3.75\,\mathrm{A}$ que salen; batería 2: $(5 - 6.25)/2
= -0.63\,\mathrm{A}$, es decir $0.63\,\mathrm{A}$ *hacia* ella — la está cargando la más fuerte; carga $6.25/2 = 3.1\,\mathrm{A}$.

**Ejercicio 6.8 ★★.**

Una fuente $E = 9.0\,\mathrm{V}$, $r = 3.0\,\Omega$. Calcúlense la potencia entregada a cargas de $1.0\,\Omega$, $3.0\,\Omega$ y $12\,\Omega$ y el rendimiento en cada caso. ¿Qué carga elegiría un ingeniero para un aparato alimentado por batería, y por qué no la adaptada?

**Solución de Ejercicio 6.8.**

$i = 9/(R + 3)$, $P = Ri^2$, $\eta = R/(R + 3)$: $1\,\Omega$: $5.1\,\mathrm{W}$, $25\%$; $3\,\Omega$: $6.75\,\mathrm{W}$, $50\%$; $12\,\Omega$: $4.3\,\mathrm{W}$, $80\%$. Un aparato a batería busca rendimiento (autonomía), luego $R \gg r$; la carga adaptada malgasta la mitad de la energía en calor dentro de la batería.

**Ejercicio 6.9 ★★.**

Un LED conduce a $2.0\,\mathrm{V}$ y debe llevar $15\,\mathrm{mA}$ desde una fuente de $5.0\,\mathrm{V}$. Elíjase el [resistor](#def-b1-dc-circuits-resistor) en serie, calcúlense las potencias en el [resistor](#def-b1-dc-circuits-resistor) y en el LED, y esbócese la construcción con la [recta de carga](#met-b1-dc-circuits-loadline). ¿Qué ocurre si la fuente es de $3.3\,\mathrm{V}$?

**Solución de Ejercicio 6.9.**

$R = (5.0 - 2.0)/0.015 = 200\,\Omega$; $P_R = 3.0 \times 0.015 =
45\,\mathrm{mW}$, $P_{\mathrm{LED}} = 2.0 \times 0.015 = 30\,\mathrm{mW}$. La [recta de carga](#met-b1-dc-circuits-loadline), de $(0, 25\,\mathrm{mA})$ a $(5\,\mathrm{V}, 0)$, corta la característica vertical en $2.0\,\mathrm{V}$. A $3.3\,\mathrm{V}$ el mismo [resistor](#def-b1-dc-circuits-resistor) da solo $6.5\,\mathrm{mA}$; para $15\,\mathrm{mA}$ hace falta $R = 1.3/0.015 =
87\,\Omega$.

**Ejercicio 6.10 ★★★.**

Una galga extensométrica $R_4 = R(1 + \epsilon)$, con $R = 1.0\,\mathrm{k}\Omega$, está montada en un [puente de Wheatstone](#prop-b1-dc-circuits-wheatstone) con otros tres [resistores](#def-b1-dc-circuits-resistor) fijos de $1.0\,\mathrm{k}\Omega$ alimentado a $5.0\,\mathrm{V}$. Dedúzcase la [tensión](#def-b1-dc-circuits-voltage) de salida a primer orden en $\epsilon$ y calcúlese para $\epsilon = 1.0 \times 10^{-3}$. ¿Por qué es preferible el puente a medir la [tensión](#def-b1-dc-circuits-voltage) de la galga en un simple divisor?

**Solución de Ejercicio 6.10.**

$u = E\left[\dfrac12 - \dfrac{1 + \epsilon}{2 + \epsilon}\right] =
-E\dfrac{\epsilon}{2(2 + \epsilon)} \approx -\dfrac{E\epsilon}{4} =
-1.25\,\mathrm{mV}$. En un divisor simple esa misma variación se monta sobre un desplazamiento de $2.5\,\mathrm{V}$ ($2.501\,25\,\mathrm{V}$); el puente entrega los $1.25\,\mathrm{mV}$ en torno a cero, que pueden amplificarse mil veces sin saturar nada.

**Ejercicio 6.11 ★★★.**

Doce [resistores](#def-b1-dc-circuits-resistor) idénticos $R$ forman las aristas de un cubo. Usando la simetría (qué nudos están al mismo potencial cuando una corriente $I$ entra por un vértice y sale por el opuesto), muéstrese que la resistencia entre vértices opuestos vale $5R/6$.

**Solución de Ejercicio 6.11.**

Por simetría, los tres vecinos del vértice de entrada comparten un potencial y los tres vecinos del vértice de salida otro. La corriente $I$ se reparte en $I/3$ por las tres aristas de entrada, cada una después en dos de $I/6$ por las seis aristas centrales, que se recombinan en $I/3$ en las tres aristas de salida. [Tensión](#def-b1-dc-circuits-voltage): $RI/3 + RI/6 + RI/3 = 5RI/6$, luego $R_{\mathrm{eq}} = 5R/6$.

**Ejercicio 6.12 ★★★.**

Una [fuente de corriente](#def-b1-dc-circuits-sources) $I_N = 2.0\,\mathrm{A}$ en paralelo con $4.0\,\Omega$ se conecta, a través de un [resistor](#def-b1-dc-circuits-resistor) de $2.0\,\Omega$, a una batería de $6.0\,\mathrm{V}$ (de resistencia despreciable) cuya fem se le opone. Conviértase la fuente de Norton en una de Thévenin y hállense la corriente en el [resistor](#def-b1-dc-circuits-resistor) de $2.0\,\Omega$ y la potencia intercambiada por cada fuente.

**Solución de Ejercicio 6.12.**

Thévenin: $E = I_N r = 8.0\,\mathrm{V}$ con $4.0\,\Omega$ en serie. Malla: $8.0 - 6.0 = (4.0 + 2.0)i$, $i = 0.33\,\mathrm{A}$ hacia la batería. La batería recibe $6.0 \times 0.33 = 2.0\,\mathrm{W}$ (se carga); el [resistor](#def-b1-dc-circuits-resistor) de $2\,\Omega$ disipa $0.22\,\mathrm{W}$; la [tensión](#def-b1-dc-circuits-voltage) en bornes del conjunto Norton vale $8.0 - 4.0 \times 0.33 = 6.67\,\mathrm{V}$, así que su $4\,\Omega$ lleva $1.67\,\mathrm{A}$ y disipa $11.1\,\mathrm{W}$, y la [fuente de corriente](#def-b1-dc-circuits-sources) entrega $2.0 \times 6.67 = 13.3\,\mathrm{W}$ — todo cuadra.

![Bajo el capó: la batería de 12\, V, sus cables gruesos y el alternador — la red de corriente continua del problema de fin de semana, con centenares de amperios en el arranque.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-dc-circuits/img-bd8366c9fe62.jpg)

*Bajo el capó: la batería de $12\,\mathrm{V}$, sus cables gruesos y el alternador — la red de corriente continua del problema de fin de semana, con centenares de [amperios](#def-b1-dc-circuits-current) en el arranque.*

## 6.7 Problema: la instalación eléctrica de un coche

**Problema 6.1.**

Problema de fin de semana — una batería, un motor de arranque, dos faros, un alternador y unos metros de cobre: quién se lleva la corriente, quién la paga y por qué bajan las luces al arrancar

La batería es una fuente real de fem $E = 12.6\,\mathrm{V}$ y [resistencia interna](#def-b1-dc-circuits-sources) $r = 10\,\mathrm{m}\Omega$. Cobre: $\rho = 1.7 \times 10^{-8}\,\Omega\,\mathrm{m}$.

**Parte I — La batería sola.**

1. Dibújese el modelo de Thévenin y escríbase $u(i)$ en el [convenio generador](#thm-b1-dc-circuits-kirchhoff) .
2. Dense la [tensión](#def-b1-dc-circuits-voltage) en circuito abierto y la corriente de cortocircuito. ¿Por qué una llave caída no debe puentear nunca los bornes?
3. Escríbase el modelo de Norton de esa misma batería.
4. La batería alimenta un [resistor](#def-b1-dc-circuits-resistor) $R$ : exprésense la corriente, la [tensión](#def-b1-dc-circuits-voltage) en bornes, la potencia $P_R$ entregada y la potencia perdida en $r$ .
5. Muéstrese que $P_R$ es máxima para $R = r$ y calcúlese ese máximo. ¿Cuál es entonces el rendimiento?
6. Un técnico mide $u = 12.48\,\mathrm{V}$ a $12\,\mathrm{A}$ y $u = 11.40\,\mathrm{V}$ a $120\,\mathrm{A}$ . Compruébese que ambos puntos caen sobre el modelo y explíquese cómo una serie de puntos así da $E$ y $r$ mediante un ajuste por una recta.
7. La batería almacena $60\,\mathrm{A}\,\mathrm{h}$ . ¿Cuánto tiempo podría alimentar los dos faros de $55\,\mathrm{W}$ sola (tómese $12\,\mathrm{V}$ )? ¿Cuánta energía es eso en julios?

**Parte II — Arrancar con las luces encendidas.** El motor de arranque es un [resistor](#def-b1-dc-circuits-resistor) $R_s = 80\,\mathrm{m}\Omega$; cada faro es de $55\,\mathrm{W}$ a $12.0\,\mathrm{V}$ y se trata como un [resistor](#def-b1-dc-circuits-resistor).

8. Calcúlense la resistencia de un faro y la de los dos en paralelo.
9. Motor de arranque solo: corriente, [tensión](#def-b1-dc-circuits-voltage) en bornes, potencia en el motor de arranque y potencia perdida en la batería.
10. Motor de arranque y los dos faros a la vez: resistencia de carga equivalente, corriente total y [tensión](#def-b1-dc-circuits-voltage) en bornes.
11. Úsese el [divisor de corriente](#prop-b1-dc-circuits-dividers) para hallar la corriente del motor de arranque y la de los faros.
12. Calcúlese la potencia que recibe ahora cada faro y compárese con su valor nominal: ¿en qué fracción se atenúan las luces?
13. Explíquese en dos frases, con la [ley de las mallas](#thm-b1-dc-circuits-kirchhoff) , por qué las luces se atenúan precisamente porque el motor de arranque consume una corriente grande.
14. ¿Ayudaría a las luces poner cables de batería más gruesos? Justifíquese de forma cualitativa por ahora (la Parte IV lo cuantifica).

**Parte III — Motor en marcha: el alternador.** El alternador es una segunda fuente real, $E_a = 14.2\,\mathrm{V}$, $r_a = 50\,\mathrm{m}\Omega$, en paralelo con la batería; el motor de arranque está parado y los dos faros encendidos.

15. Dibújese el circuito: dos fuentes reales y la carga de los faros en paralelo entre los dos mismos nudos.
16. Aplíquese el [teorema de Millman](#prop-b1-dc-circuits-millman) para hallar la [tensión](#def-b1-dc-circuits-voltage) común en bornes.
17. Dedúzcanse la corriente del alternador, la de la batería (¡con su signo!) y la de los faros; compruébese la [ley de los nudos](#thm-b1-dc-circuits-kirchhoff) .
18. ¿Se carga o se descarga la batería? ¿Qué potencia recibe y qué potencia suministra el alternador?
19. Recupérese la [tensión](#def-b1-dc-circuits-voltage) en bornes por superposición (cada fuente sola, con la otra sustituida por su [resistencia interna](#def-b1-dc-circuits-sources) ) y compruébese.

**Parte IV — Sensores y cables.**

20. El sensor de refrigerante es un termistor cuya resistencia baja de $2.0\,\mathrm{k}\Omega$ a $20{}^{\circ}\mathrm{C}$ hasta $300\,\Omega$ a $90{}^{\circ}\mathrm{C}$ ; es el [resistor](#def-b1-dc-circuits-resistor) inferior de un divisor alimentado a $5.0\,\mathrm{V}$ , siendo $R_0$ el superior. Exprésese la [tensión](#def-b1-dc-circuits-voltage) de salida y calcúlese a ambas temperaturas para $R_0 = 775\,\Omega$ .
21. Muéstrese que la excursión de salida entre las dos temperaturas es máxima cuando $R_0$ es la media geométrica de los dos valores del sensor, y compruébese el valor anterior.
22. El mismo sensor se monta en un [puente de Wheatstone](#prop-b1-dc-circuits-wheatstone) con otros tres [resistores](#def-b1-dc-circuits-resistor) de $775\,\Omega$ : escríbase la salida del puente y dígase a qué temperatura está equilibrado.
23. El cable del motor de arranque mide $1.5\,\mathrm{m}$ en cada sentido. Calcúlense la resistencia de un conductor de sección $16\,\mathrm{mm}^{2}$ , la caída de [tensión](#def-b1-dc-circuits-voltage) total a $140\,\mathrm{A}$ y la potencia disipada en los cables.
24. Lo mismo con cable de $4\,\mathrm{mm}^{2}$ : ¿por qué es tan grueso el cable del motor de arranque?
25. Resúmase: dese la [tensión](#def-b1-dc-circuits-voltage) en bornes durante el arranque, la fracción de potencia que llega al motor de arranque y la única ley que explica la atenuación de las luces.

**Solución de Problema 6.1.**

**1.** Fem ideal $E$ en serie con $r$: $u = E - ri$.

**2.** $u(0) = 12.6\,\mathrm{V}$; $I_N = E/r = 1260\,\mathrm{A}$. Una llave apoyada sobre los bornes la llevaría: $16\,\mathrm{kW}$ en unos gramos de acero — se funde y salpica.

**3.** [Fuente de corriente](#def-b1-dc-circuits-sources) $I_N = 1260\,\mathrm{A}$ en paralelo con $10\,\mathrm{m}\Omega$.

**4.** $i = E/(R + r)$; $u = ER/(R + r)$; $P_R = E^2R/(R + r)^2$; $P_r = E^2r/(R + r)^2$.

**5.** $\dd P_R/\dd R \propto (r - R)$: máximo en $R = r$, $P_{\max} = E^2/4r = 12.6^2/0.040 = 4.0\,\mathrm{kW}$; rendimiento $R/(R + r) = 50\%$.

**6.** $12.6 - 0.010 \times 12 = 12.48\,\mathrm{V}$; $12.6 - 0.010 \times
120 = 11.40\,\mathrm{V}$. Representar $u$ frente a $i$ da una recta de ordenada en el origen $E$ y pendiente $-r$ ([mínimos cuadrados](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/1-unidades-dimensiones-y-medida#prop-b1-units-dimensions-regression), [Capítulo 1](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/1-unidades-dimensiones-y-medida#ch-b1-units-dimensions)).

**7.** Dos lámparas: $110\,\mathrm{W}$ a $12\,\mathrm{V}$, $9.2\,\mathrm{A}$; $60/9.2 = 6.5\,\mathrm{h}$. Energía $60 \times 3600 \times 12 = 2.6\,\mathrm{MJ}$.

**8.** $R_h = 12^2/55 = 2.62\,\Omega$; en paralelo $1.31\,\Omega$.

**9.** $i = 12.6/0.090 = 140\,\mathrm{A}$; $u = 12.6 - 1.4 = 11.2\,\mathrm{V}$; $P_s = 0.080 \times 140^2 = 1.57\,\mathrm{kW}$; se pierden $0.010 \times 140^2 =
196\,\mathrm{W}$.

**10.** $R = 0.080 \parallel 1.31 = 75.4\,\mathrm{m}\Omega$; $i = 12.6/0.0854
= 148\,\mathrm{A}$; $u = 12.6 - 1.48 = 11.1\,\mathrm{V}$.

**11.** $i_s = i \times 1.31/(1.31 + 0.080) = 139\,\mathrm{A}$; $i_h =
8.5\,\mathrm{A}$ para las dos lámparas.

**12.** Cada lámpara: $u^2/R_h = 11.1^2/2.62 = 47\,\mathrm{W}$ frente a $55\,\mathrm{W}$: un $14\%$ menos.

**13.** [Ley de las mallas](#thm-b1-dc-circuits-kirchhoff): la [tensión](#def-b1-dc-circuits-voltage) en bornes vale $u = E - ri$; los $140\,\mathrm{A}$ del motor de arranque producen una caída de $1.4\,\mathrm{V}$ dentro de la batería, y las lámparas, en paralelo sobre esos mismos bornes, reciben esa [tensión](#def-b1-dc-circuits-voltage) reducida.

**14.** Solo en parte: unos cables más gruesos reducen la caída en los cables, no en $r$; las lámparas alimentadas desde los bornes siguen viendo $E - ri$.

**15.** Tres ramas entre los dos mismos nudos: $(E, r)$, $(E_a, r_a)$ y $R_h = 1.31\,\Omega$.

**16.** $V = \dfrac{12.6/0.010 + 14.2/0.050 + 0/1.31}{100 + 20 + 0.763}
= \dfrac{1544}{120.8} = 12.79\,\mathrm{V}$.

**17.** Alternador $(14.2 - 12.79)/0.050 = 28.3\,\mathrm{A}$; batería $(12.6 - 12.79)/0.010 = -18.6\,\mathrm{A}$ (que circulan *hacia* ella); lámparas $12.79/1.31 = 9.8\,\mathrm{A}$; $28.3 = 18.6 + 9.8$.

**18.** Se carga. Recibe $12.79 \times 18.6 = 238\,\mathrm{W}$ ($234\,\mathrm{W}$ almacenados, $3.5\,\mathrm{W}$ de calor); el alternador suministra $12.79 \times 28.3 = 362\,\mathrm{W}$ en sus bornes.

**19.** Batería sola (alternador $\to$ $50\,\mathrm{m}\Omega$): carga $0.050 \parallel 1.31 = 48.2\,\mathrm{m}\Omega$, $u_1 = 12.6 \times 48.2/58.2 =
10.44\,\mathrm{V}$. Alternador solo (batería $\to$ $10\,\mathrm{m}\Omega$): carga $0.010 \parallel 1.31 = 9.92\,\mathrm{m}\Omega$, $u_2 = 14.2 \times 9.92/59.9 =
2.35\,\mathrm{V}$. Suma $12.79\,\mathrm{V}$.

**20.** $u = 5.0\,R_s/(R_0 + R_s)$: $3.60\,\mathrm{V}$ a $20{}^{\circ}\mathrm{C}$ y $1.40\,\mathrm{V}$ a $90{}^{\circ}\mathrm{C}$.

**21.** $\Delta u = 5[R_a/(R_0 + R_a) - R_b/(R_0 + R_b)]$; $\dd\Delta u/\dd R_0 = 0 \Leftrightarrow R_a/(R_0 + R_a)^2 = R_b/(R_0 +
R_b)^2 \Leftrightarrow R_0^2 = R_aR_b$: $R_0 = \sqrt{2000 \times 300} =
775\,\Omega$.

**22.** $u = 5[\tfrac12 - R_s/(775 + R_s)]$, nula cuando $R_s =
775\,\Omega$, es decir a la temperatura intermedia en la que el termistor alcanza ese valor.

**23.** $R = 1.7\times10^{-8} \times 1.5/16\times10^{-6} =
1.6\,\mathrm{m}\Omega$ por conductor, $3.2\,\mathrm{m}\Omega$ en total; caída $0.0032
\times 140 = 0.45\,\mathrm{V}$; potencia $63\,\mathrm{W}$.

**24.** $4\,\mathrm{mm}^{2}$: $6.4\,\mathrm{m}\Omega$ cada uno, $12.8\,\mathrm{m}\Omega$ en total: caída $1.8\,\mathrm{V}$ y $250\,\mathrm{W}$ desperdiciados — el motor de arranque perdería un sexto de su [tensión](#def-b1-dc-circuits-voltage). Un cable grueso mantiene $R_{\text{cable}} \ll R_s$.

**25.** Unos $11.1\,\mathrm{V}$ en bornes durante el arranque; el motor de arranque recibe $1568/(1568 + 196) \approx 89\%$ de la potencia de la batería; la atenuación de las luces es la [ley de las mallas](#thm-b1-dc-circuits-kirchhoff), $u = E - ri$.