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title: "Regímenes transitorios: primer y segundo orden"
book: "Física universitaria — primer año"
subject: physics
language: es
chapter: 7
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/7-regimenes-transitorios-primer-y-segundo-orden
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# Capítulo 7 — Regímenes transitorios: primer y segundo orden

Basta empujar hacia abajo la esquina de un coche aparcado y soltar. Un coche en buen estado sube una vez y se detiene; un coche con los amortiguadores gastados cabecea dos o tres veces antes de calmarse. En un laboratorio de electrónica aparecen esos mismos dos comportamientos en un osciloscopio cuando un condensador se descarga a través de una bobina: un retorno suave, o una oscilación que se extingue. Ambos son el *transitorio* entre un [régimen permanente](#def-b1-transient-regimes-firstorder) y otro, y ambos obedecen la misma pequeña familia de ecuaciones diferenciales lineales — de primer orden para un único almacén de energía, de segundo orden para dos que intercambian. Este capítulo las resuelve de una vez por todas, nombra sus parámetros ([constante de tiempo](#def-b1-transient-regimes-firstorder), frecuencia propia, [factor de calidad](#def-b1-transient-regimes-secondorder)) y muestra cómo los mismos números describen un circuito y una suspensión.

![Una bobina, un condensador y un resistor sobre una placa de pruebas, y en el osciloscopio la oscilación amortiguada que sigue a un escalón: el régimen seudoperiódico de este capítulo.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-transient-regimes/img-5618bb456d89.jpg)

*Una bobina, un condensador y un [resistor](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/6-circuitos-en-corriente-continua-leyes-de-kirchhoff-y-teoremas#def-b1-dc-circuits-resistor) sobre una placa de pruebas, y en el osciloscopio la oscilación amortiguada que sigue a un escalón: el [régimen seudoperiódico](#thm-b1-transient-regimes-regimes) de este capítulo.*

## 7.1 Sistemas de primer orden

**Definición 7.1 (Sistema lineal de primer orden).**

Una magnitud $x(t)$ obedece una *ecuación lineal de primer orden con coeficientes constantes* cuando

$$
\tau\,\frac{\dd x}{\dd t} + x = x_\infty ,
$$

con $\tau > 0$ la *constante de tiempo* y $x_\infty$ una constante (el valor impuesto por la fuente). Su *régimen permanente* es $x = x_\infty$; el *régimen transitorio* es la aproximación a él desde el valor inicial $x(0) = x_0$.

**Teorema 7.2 (Solución).**

La única solución con $x(0) = x_0$ es

$$
x(t) = x_\infty + (x_0 - x_\infty)\,\eu^{-t/\tau} .
$$

La distancia al [régimen permanente](#def-b1-transient-regimes-firstorder) se reduce en el factor $\eu^{-1} \approx
0.37$ cada $\tau$: se ha recorrido el $63\%$ del camino en $\tau$, el $95\%$ en $3\tau$ y el $99\%$ en $4.6\tau$. La tangente en el origen alcanza $x_\infty$ en $t = \tau$.

**Demostración.** $y = x - x_\infty$ obedece $\tau y' + y = 0$, cuyas soluciones son $y = K\eu^{-t/\tau}$ (el curso de matemáticas sobre ecuaciones diferenciales lineales demuestra que no hay otras); $K = x_0 - x_\infty$. La pendiente en $0$ vale $-(x_0 - x_\infty)/\tau$, que cerraría la distancia en un tiempo $\tau$. ∎

![La respuesta de primer orden a un escalón desde x_0 = 0: la tangente inicial corta la asíntota en t =; el 63\% del camino en y el 95\% en 3. Todo transitorio de primer orden es esta curva, dilatada por y desplazada por x_0 y x_∈fty.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-transient-regimes/fig-e1ad58760d1d.svg)

*La respuesta de primer orden a un escalón desde $x_0 = 0$: la tangente inicial corta la asíntota en $t = \tau$; el $63\%$ del camino en $\tau$ y el $95\%$ en $3\tau$. Todo transitorio de primer orden es esta curva, dilatada por $\tau$ y desplazada por $x_0$ y $x_\infty$.*

**Proposición 7.3 (Circuitos RC y RL).**

Un condensador $C$ que se carga a través de un [resistor](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/6-circuitos-en-corriente-continua-leyes-de-kirchhoff-y-teoremas#def-b1-dc-circuits-resistor) $R$ desde una fuente ideal $E$ obedece $RC\,\dd u_C/\dd t + u_C = E$: $\tau = RC$, $u_{C,\infty} = E$. Una bobina $L$ en serie con $R$ sometida a $E$ obedece $(L/R)\,\dd i/\dd t + i =
E/R$: $\tau = L/R$, $i_\infty = E/R$. Retirada la fuente ($E \to 0$), esas mismas ecuaciones describen la descarga hacia cero.

**Demostración.** [Ley de las mallas](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/6-circuitos-en-corriente-continua-leyes-de-kirchhoff-y-teoremas#thm-b1-dc-circuits-kirchhoff) $E = Ri + u_C$ con $i = C\,\dd u_C/\dd t$; [ley de las mallas](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/6-circuitos-en-corriente-continua-leyes-de-kirchhoff-y-teoremas#thm-b1-dc-circuits-kirchhoff) $E = Ri + L\,\dd i/\dd t$. ∎

**Proposición 7.4 (Condiciones de continuidad).**

La tensión en bornes de un condensador y la corriente por una bobina son funciones continuas del tiempo: en un instante de conmutación $t_0$, $u_C(t_0^+) = u_C(t_0^-)$ e $i_L(t_0^+) = i_L(t_0^-)$. Las corrientes en los [resistores](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/6-circuitos-en-corriente-continua-leyes-de-kirchhoff-y-teoremas#def-b1-dc-circuits-resistor) y las tensiones en las bobinas sí pueden saltar.

**Demostración.** Un salto de $u_C$ exigiría $i = C\,\dd u_C/\dd t$ infinita, y un salto de $i_L$ exigiría $u = L\,\dd i/\dd t$ infinita; ambas cosas son imposibles en un circuito de tensiones y corrientes finitas (dicho de otro modo, las energías almacenadas $\tfrac12 Cu_C^2$ y $\tfrac12 Li^2$ no pueden cambiar instantáneamente sin una potencia infinita). ∎

**Método 7.5 (Resolver un transitorio de primer orden).**

1. Escríbanse las leyes de mallas y de nudos después de la conmutación, junto con las leyes de los componentes; redúzcase a una única ecuación en $u_C$ o en $i_L$ y pásese a la forma $\tau x' + x = x_\infty$ ; léanse $\tau$ y $x_\infty$ (este último es también el [régimen permanente](#def-b1-transient-regimes-firstorder) que se obtiene sustituyendo $C$ por un circuito abierto y $L$ por un hilo).
2. Hállese $x_0$ por la continuidad de $u_C$ o de $i_L$ en el instante de conmutación, usando el circuito *anterior* a ella.
3. Escríbase $x = x_\infty + (x_0 - x_\infty)\eu^{-t/\tau}$ ; dedúzcanse las demás magnitudes por derivación y por la [ley de las mallas](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/6-circuitos-en-corriente-continua-leyes-de-kirchhoff-y-teoremas#thm-b1-dc-circuits-kirchhoff) .

Cuando el condensador ve una red de [resistores](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/6-circuitos-en-corriente-continua-leyes-de-kirchhoff-y-teoremas#def-b1-dc-circuits-resistor) y fuentes, sustitúyase antes esa red por su equivalente de Thévenin $(E_{\mathrm{Th}}, R_{\mathrm{Th}})$ ([Capítulo 6](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/6-circuitos-en-corriente-continua-leyes-de-kirchhoff-y-teoremas#ch-b1-dc-circuits)): $\tau = R_{\mathrm{Th}}C$, $u_\infty = E_{\mathrm{Th}}$.

**Proposición 7.6 (Balance energético de la carga RC).**

Al cargar un condensador de $0$ a $E$ a través de un [resistor](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/6-circuitos-en-corriente-continua-leyes-de-kirchhoff-y-teoremas#def-b1-dc-circuits-resistor) $R$ cualquiera, la fuente aporta $CE^2$, el condensador almacena $\tfrac12 CE^2$ y el [resistor](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/6-circuitos-en-corriente-continua-leyes-de-kirchhoff-y-teoremas#def-b1-dc-circuits-resistor) disipa el otro $\tfrac12 CE^2$ — sea cual sea $R$.

**Demostración.** $i = (E/R)\eu^{-t/\tau}$; la fuente aporta $\int_0^\infty Ei\,\dd t
= E \cdot (E/R)\tau = CE^2$; el [resistor](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/6-circuitos-en-corriente-continua-leyes-de-kirchhoff-y-teoremas#def-b1-dc-circuits-resistor) toma $\int_0^\infty Ri^2\,\dd t
= (E^2/R)\int_0^\infty \eu^{-2t/\tau}\dd t = (E^2/R)(\tau/2) = \tfrac12 CE^2$; la diferencia es la energía almacenada $\tfrac12 CE^2$. Una $R$ menor disipa la misma energía más deprisa. ∎

**Ejemplo 7.7 (La bobina de un relé).**

$L = 20\,\mathrm{mH}$, $R = 5.0\,\Omega$, $E = 10\,\mathrm{V}$: $\tau =
4.0\,\mathrm{ms}$, $i_\infty = 2.0\,\mathrm{A}$; los contactos se cierran cuando $i$ llega a $1.5\,\mathrm{A}$, es decir en $t = -\tau\ln(1 - 0.75) =
5.5\,\mathrm{ms}$. Al abrir el circuito, $i$ debe caer desde $2\,\mathrm{A}$; un diodo de rueda libre en paralelo con la bobina le ofrece un camino a través de $R$ solo, con $\tau = 4\,\mathrm{ms}$, en vez de una chispa.

## 7.2 Sistemas de segundo orden

**Definición 7.8 (Forma canónica de segundo orden).**

Una magnitud $x(t)$ es un *sistema lineal de segundo orden* cuando

$$
\frac{\dd^2 x}{\dd t^2} + \frac{\omega_0}{Q}\,\frac{\dd x}{\dd t} + \omega_0^2\,x
= \omega_0^2\,x_\infty ,
$$

con $\omega_0 > 0$ la *[frecuencia angular](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/5-propagacion-de-senales-ondas-progresivas-y-estacionarias#def-b1-wave-propagation-signal) propia*, $Q > 0$ el *factor de calidad* ([adimensional](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/1-unidades-dimensiones-y-medida#def-b1-units-dimensions-dimension)) y $x_\infty$ el [régimen permanente](#def-b1-transient-regimes-firstorder). También se escribe $\omega_0/Q = 2\xi\omega_0$, con $\xi = 1/2Q$ el *factor de amortiguamiento*.

**Proposición 7.9 (El circuito RLC serie).**

Un condensador $C$, una bobina $L$ y un [resistor](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/6-circuitos-en-corriente-continua-leyes-de-kirchhoff-y-teoremas#def-b1-dc-circuits-resistor) $R$ en serie sometidos a una fuente $E$: la tensión del condensador obedece la forma canónica con

$$
\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}, \qquad Q = \frac{1}{R}\sqrt{\frac{L}{C}},
\qquad u_{C,\infty} = E .
$$

**Demostración.** [Ley de las mallas](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/6-circuitos-en-corriente-continua-leyes-de-kirchhoff-y-teoremas#thm-b1-dc-circuits-kirchhoff): $E = L\,\dd i/\dd t + Ri + u_C$ con $i = C\,\dd u_C/\dd t$: $LC\,u_C'' + RC\,u_C' + u_C = E$; divídase por $LC$ e identifíquense $\omega_0^2 = 1/LC$ y $\omega_0/Q = R/L$. ∎

![Las dos caras del sistema de segundo orden: el circuito RLC serie (_0 = 1/√LC, Q = √L/C/R) y el conjunto masa–resorte–amortiguador (_0 = √k/m, Q = √km/). La misma ecuación y los mismos tres regímenes.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-transient-regimes/fig-835ccde5ccf2.svg)

*Las dos caras del [sistema de segundo orden](#def-b1-transient-regimes-secondorder): el [circuito RLC](#prop-b1-transient-regimes-rlc) serie ($\omega_0 = 1/\sqrt{LC}$, $Q = \sqrt{L/C}/R$) y el conjunto masa–resorte–amortiguador ($\omega_0 = \sqrt{k/m}$, $Q = \sqrt{km}/\alpha$). La misma ecuación y los mismos tres regímenes.*

**Proposición 7.10 (El oscilador mecánico).**

Una masa $m$ sobre un resorte de rigidez $k$ con un amortiguador viscoso de coeficiente $\alpha$ (fuerza $-\alpha\dot x$), separada $x$ de la posición de equilibrio, obedece $m\ddot x + \alpha\dot x + kx = 0$: la forma canónica con

$$
\omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}}, \qquad Q = \frac{\sqrt{km}}{\alpha} .
$$

La correspondencia $x \leftrightarrow q$, $\dot x \leftrightarrow i$, $m \leftrightarrow L$, $\alpha \leftrightarrow R$, $k \leftrightarrow 1/C$ lleva todo resultado de un sistema al otro.

**Demostración.** La segunda ley de Newton ([Capítulo 12](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/12-las-leyes-de-newton-de-la-dinamica#ch-b1-newton-dynamics)) con la fuerza del resorte $-kx$ y la fuerza de amortiguamiento; divídase por $m$. ∎

**Teorema 7.11 (Los tres regímenes).**

Las soluciones de la ecuación homogénea $x'' + (\omega_0/Q)x' +
\omega_0^2 x = 0$ las gobiernan las raíces de $r^2 + (\omega_0/Q)r +
\omega_0^2 = 0$, de discriminante $\Delta = \omega_0^2(1/Q^2 - 4)$:

- $Q < \tfrac12$ , *aperiódico* : dos raíces reales negativas $r_\pm = -\frac{\omega_0}{2Q}\big(1 \mp \sqrt{1 - 4Q^2}\big)$ , $x = A\eu^{r_+t} + B\eu^{r_-t}$ , un retorno sin oscilación;
- $Q = \tfrac12$ , *crítico* : una raíz doble $r = -\omega_0$ , $x = (A + Bt)\eu^{-\omega_0 t}$ , el retorno más rápido sin sobreoscilación;
- $Q > \tfrac12$, *seudoperiódico*: raíces complejas $r = -1/\tau \pm \iu\omega$ con $$\tau = \frac{2Q}{\omega_0}, \qquad  \omega = \omega_0\sqrt{1 - \frac{1}{4Q^2}},  \qquad  x = \eu^{-t/\tau}\big(A\cos\omega t + B\sin\omega t\big),$$ una oscilación amortiguada de *seudoperiodo* $T = 2\pi/\omega$ dentro de la envolvente $\pm\sqrt{A^2 + B^2}\,\eu^{-t/\tau}$.

La solución completa con segundo miembro constante es $x_\infty$ más la solución homogénea; $A$ y $B$ se obtienen de $x(0)$ y $x'(0)$.

**Demostración.** Ecuación característica de una ecuación lineal con coeficientes constantes (curso de matemáticas, ecuaciones lineales de segundo orden): las raíces son $r = -\omega_0/2Q \pm \tfrac12\sqrt\Delta$. Para $Q > \tfrac12$, $\sqrt\Delta = \iu\omega_0\sqrt{4 - 1/Q^2}$, lo que da la parte real $-\omega_0/2Q = -1/\tau$ y la parte imaginaria $\pm\omega_0\sqrt{1 - 1/4Q^2}$; las soluciones reales son las combinaciones de $\eu^{-t/\tau}\cos\omega t$ y $\eu^{-t/\tau}\sin\omega t$. ∎

![Respuesta a un escalón, partiendo del reposo, de un sistema de segundo orden, para tres factores de calidad. Q pequeño: una subida lenta; Q = 1/2: el retorno más rápido sin sobreoscilación; Q grande: una oscilación que dura alrededor de Q periodos.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-transient-regimes/fig-6ac2f0837d04.svg)

*Respuesta a un escalón, partiendo del reposo, de un [sistema de segundo orden](#def-b1-transient-regimes-secondorder), para tres [factores de calidad](#def-b1-transient-regimes-secondorder). $Q$ pequeño: una subida lenta; $Q = \tfrac12$: el retorno más rápido sin sobreoscilación; $Q$ grande: una oscilación que dura alrededor de $Q$ periodos.*

**Proposición 7.12 (Leer QQQ en un registro seudoperiódico).**

En [régimen seudoperiódico](#thm-b1-transient-regimes-regimes), dos máximos sucesivos están en la razón $x_{n+1}/x_n = \eu^{-T/\tau}$; el *[decremento logarítmico](#prop-b1-transient-regimes-decrement)*

$$
\delta = \ln\frac{x_n}{x_{n+1}} = \frac{T}{\tau} = \frac{\pi}{Q\sqrt{1 - 1/4Q^2}}
\approx \frac{\pi}{Q} \quad (Q \gg 1)
$$

da $Q$; el número de oscilaciones visibles antes de que la [amplitud](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/5-propagacion-de-senales-ondas-progresivas-y-estacionarias#def-b1-wave-propagation-signal) baje del $5\%$ es del orden de $Q$. Para $Q \gg 1$, $\omega \approx \omega_0$ y $T \approx 2\pi/\omega_0$.

**Demostración.** La envolvente $\eu^{-t/\tau}$ se multiplica por $\eu^{-T/\tau}$ en cada periodo; $T/\tau = (2\pi/\omega)(\omega_0/2Q)$. La envolvente llega a $\eu^{-3}
\approx 5\%$ en $3\tau = 6Q/\omega_0 \approx Q\,T$, es decir al cabo de unos $Q$ periodos. ∎

![Decaimiento libre seudoperiódico, x = x_0 -t/ t: los máximos sucesivos se reducen en el factor constante -T/, y (x_n/x_n+1) = T/ π/Q mide el factor de calidad a partir del registro.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-transient-regimes/fig-9bdad485c4bb.svg)

*Decaimiento libre seudoperiódico, $x = x_0\eu^{-t/\tau}\cos\omega t$: los máximos sucesivos se reducen en el factor constante $\eu^{-T/\tau}$, y $\ln(x_n/x_{n+1}) = T/\tau \approx \pi/Q$ mide el [factor de calidad](#def-b1-transient-regimes-secondorder) a partir del registro.*

**Ejemplo 7.13 (Una oscilación RLC).**

$L = 10\,\mathrm{mH}$, $C = 100\,\mathrm{nF}$, $R = 100\,\Omega$: $\omega_0 = 1/\sqrt{10^{-9}} = 3.16 \times 10^{4}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ ($f_0 =
5.03\,\mathrm{kHz}$), $Q = \sqrt{L/C}/R = 316/100 = 3.16$: seudoperiódico, $\tau = 2Q/\omega_0 = 0.20\,\mathrm{ms}$, $\omega = 0.987\,\omega_0$, $T = 0.20\,\mathrm{ms}$, tres oscilaciones visibles. La resistencia crítica vale $R_c = 2\sqrt{L/C} = 632\,\Omega$; por encima de ella la descarga es aperiódica.

**Método 7.14 (Resolver un transitorio de segundo orden).**

1. Escríbase la ecuación; pásese a la forma canónica; léanse $\omega_0$ , $Q$ y $x_\infty$ .
2. Decídase el régimen a partir de $Q$ y escríbase la solución general como $x_\infty$ más la solución homogénea.
3. Hállense $x(0)$ y $x'(0)$ por la continuidad de $u_C$ y de $i_L$ (para el RLC: $u_C(0^+) = u_C(0^-)$ y $u_C'(0^+) = i(0^-)/C$ ); despéjense las dos constantes.

**Ejemplo 7.15 (Condiciones iniciales).**

El condensador del ejemplo anterior se carga a $U_0$ y, en $t = 0$, se cierra sobre $L$ y $R$ (sin fuente): $x_\infty = 0$, $u_C(0) = U_0$, $u_C'(0) = i(0)/C = 0$, pues la corriente de la bobina era nula. Por tanto $A = U_0$ y $-A/\tau + B\omega = 0$, $B = U_0/(\omega\tau) =
U_0/\sqrt{4Q^2 - 1}$: $u_C = U_0\eu^{-t/\tau}[\cos\omega t + \sin(\omega
t)/\sqrt{4Q^2 - 1}]$ — para $Q \gg 1$, simplemente $U_0\eu^{-t/\tau}\cos\omega_0 t$, y la corriente $i = -C\,\dd u_C/\dd t$ tiene un máximo cercano a $U_0\sqrt{C/L} =
U_0/(\omega_0 L)$.

**Observación 7.16 (Energía).**

La energía almacenada $\tfrac12 Cu_C^2 + \tfrac12 Li^2$ (o $\tfrac12 kx^2
+ \tfrac12 m\dot x^2$) decrece a razón de $Ri^2$ ($\alpha\dot x^2$): derívese y úsese la ecuación. En cada seudoperiodo la energía se reduce en el factor $\eu^{-2T/\tau}$; con $Q = 3$ se pierde alrededor del $88\%$ por oscilación. Un $Q$ alto significa una fuga lenta comparada con la oscilación — un buen reloj, una resonancia aguda ([Capítulo 8](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/8-regimen-sinusoidal-permanente-e-impedancia#ch-b1-sinusoidal-impedance)) — y un $Q$ bajo, un retorno rápido: lo que conviene a una suspensión o a la aguja de un aparato de medida.

## 7.3 Ejercicios

**Ejercicio 7.1 ★.**

Un [circuito RC](#prop-b1-transient-regimes-rcrl): $R = 10\,\mathrm{k}\Omega$, $C = 47\,\mathrm{nF}$, cargado desde $E$. Calcúlense $\tau$, $u_C(\tau)/E$ y el tiempo para llegar al $99\%$ de $E$.

**Solución de Ejercicio 7.1.**

$\tau = RC = 10^4 \times 47\times10^{-9} = 0.47\,\mathrm{ms}$; $u_C(\tau)/E
= 1 - \eu^{-1} = 0.63$; $99\%$: $\eu^{-t/\tau} = 0.01$, $t = \tau\ln 100
= 4.6\tau = 2.2\,\mathrm{ms}$.

**Ejercicio 7.2 ★.**

Un [circuito RL](#prop-b1-transient-regimes-rcrl): $L = 20\,\mathrm{mH}$, $R = 5.0\,\Omega$, $E = 10\,\mathrm{V}$. Calcúlense $\tau$, la corriente final, la corriente en $t = \tau$ y la tensión en bornes de la bobina justo después de cerrar el interruptor.

**Solución de Ejercicio 7.2.**

$\tau = L/R = 4.0\,\mathrm{ms}$; $i_\infty = E/R = 2.0\,\mathrm{A}$; $i(\tau) =
0.63 \times 2.0 = 1.26\,\mathrm{A}$; en $0^+$, $i = 0$ (continuidad), luego $u_L = E - Ri = 10\,\mathrm{V}$.

**Ejercicio 7.3 ★.**

Un RLC serie: $L = 10\,\mathrm{mH}$, $C = 100\,\mathrm{nF}$, $R = 100\,\Omega$. Calcúlense $\omega_0$, $f_0$ y $Q$; nómbrese el régimen; dense $\tau$ y el seudoperiodo.

**Solución de Ejercicio 7.3.**

$\omega_0 = 1/\sqrt{LC} = 3.16 \times 10^{4}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$, $f_0 = 5.03\,\mathrm{kHz}$; $Q = \sqrt{L/C}/R = 316/100 = 3.2 > \tfrac12$: seudoperiódico; $\tau = 2Q/\omega_0 = 0.20\,\mathrm{ms}$; $\omega = \omega_0\sqrt{1 - 1/4Q^2}
= 0.987\omega_0$, $T = 0.20\,\mathrm{ms}$.

**Ejercicio 7.4 ★.**

Con los mismos $L$ y $C$, ¿qué resistencia da el [régimen crítico](#thm-b1-transient-regimes-regimes)? ¿Cuánto vale entonces $Q$? ¿Qué ocurre para $R = 2\,\mathrm{k}\Omega$?

**Solución de Ejercicio 7.4.**

$R_c = 2\sqrt{L/C} = 632\,\Omega$, $Q = \tfrac12$. A $2\,\mathrm{k}\Omega$, $Q = 0.16$: aperiódico, una subida lenta gobernada por la raíz pequeña $\abs{r_+} \approx \omega_0 Q = 5 \times 10^{3}\,\mathrm{s}^{-1}$ (escala de tiempo $0.2\,\mathrm{ms}$, pero sin oscilación).

**Ejercicio 7.5 ★★.**

Un condensador cargado $C = 1.0\,\text{µ}\mathrm{F}$ se descarga a través de una $R$ desconocida; la tensión se reduce a la mitad cada $3.5\,\mathrm{ms}$. Muéstrese que el tiempo de semirreducción vale $\tau\ln 2$ y hállese $R$.

**Solución de Ejercicio 7.5.**

$u = U_0\eu^{-t/\tau}$ se reduce a la mitad cuando $\eu^{-t/\tau} = \tfrac12$: $t_{1/2}
= \tau\ln 2$. $\tau = 3.5/0.693 = 5.05\,\mathrm{ms}$, $R = \tau/C =
5.1\,\mathrm{k}\Omega$.

**Ejercicio 7.6 ★★.**

Muéstrese por integración directa que cargar un condensador de $0$ a $E$ a través de $R$ disipa exactamente $\tfrac12 CE^2$ en $R$, con independencia de $R$. ¿En qué queda el rendimiento de la transferencia y cómo podría mejorarse?

**Solución de Ejercicio 7.6.**

$i = (E/R)\eu^{-t/\tau}$: $\int_0^\infty Ri^2\,\dd t = (E^2/R)(\tau/2) =
\tfrac12 CE^2$, sin rastro de $R$. La fuente aporta $CE^2$: rendimiento del $50\%$ con cualquier [resistor](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/6-circuitos-en-corriente-continua-leyes-de-kirchhoff-y-teoremas#def-b1-dc-circuits-resistor). Mejor: cargar a través de una bobina (la corriente ya no es proporcional a la diferencia de tensión) o en varios escalones de tensión — cada escalón de $E/n$ solo pierde $\tfrac12 C(E/n)^2$.

**Ejercicio 7.7 ★★.**

En un osciloscopio, una descarga libre de un RLC muestra máximos sucesivos de $2.0\,\mathrm{V}$, $1.5\,\mathrm{V}$ y $1.12\,\mathrm{V}$ separados $0.40\,\mathrm{ms}$. Dedúzcanse $Q$, $\omega_0$ y, con $C = 1.0\,\text{µ}\mathrm{F}$, los valores de $L$ y $R$.

**Solución de Ejercicio 7.7.**

$\delta = \ln(2.0/1.5) = 0.29$ (y $\ln(1.5/1.12) = 0.29$: coherente); $Q \approx \pi/\delta = 11$. $T = 0.40\,\mathrm{ms}$, luego $\omega_0 \approx
2\pi/T = 1.57 \times 10^{4}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ (la corrección $1/8Q^2$ es del $0.1\%$). $L = 1/(\omega_0^2 C) = 4.1\,\mathrm{mH}$; $R = \omega_0 L/Q = 5.8\,\Omega$.

**Ejercicio 7.8 ★★.**

Un condensador cargado a $U_0 = 100\,\mathrm{V}$ ($C = 10\,\text{µ}\mathrm{F}$) se conmuta sobre una bobina $L = 1.0\,\mathrm{mH}$ de resistencia pequeña ($Q \gg 1$). Escríbanse $u_C(t)$ e $i(t)$, y estímese la corriente máxima. ¿Dónde está la energía en ese máximo?

**Solución de Ejercicio 7.8.**

$u_C \approx U_0\eu^{-t/\tau}\cos\omega_0 t$; $i = -C\,\dd u_C/\dd t
\approx CU_0\omega_0\sin\omega_0 t$ (para $t \ll \tau$), con máximo $U_0\sqrt{C/L}
= 100 \times 0.1 = 10\,\mathrm{A}$, alcanzado un cuarto de periodo después de cerrar, cuando $u_C = 0$: toda la energía ($\tfrac12 CU_0^2 = 50\,\mathrm{mJ}$) es entonces magnética, $\tfrac12 Li^2 = 50\,\mathrm{mJ}$.

**Ejercicio 7.9 ★★.**

Un cuarto de coche: $m = 400\,\mathrm{kg}$ sobre un resorte $k = 2.0 \times 10^{4}\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$. Calcúlense $\omega_0$, $f_0$ y el coeficiente de amortiguamiento crítico. Con un amortiguador $\alpha = 2000\,\mathrm{N}\,\mathrm{s}/\mathrm{m}$, dense $Q$, el régimen, el seudoperiodo y el tiempo de decaimiento $\tau$.

**Solución de Ejercicio 7.9.**

$\omega_0 = \sqrt{k/m} = 7.1\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$, $f_0 = 1.1\,\mathrm{Hz}$; $\alpha_c = 2\sqrt{km} = 2\sqrt{8\times10^6} = 5.7 \times 10^{3}\,\mathrm{N}\,\mathrm{s}/\mathrm{m}$. $\alpha = 2000$: $Q = \sqrt{km}/\alpha = 2828/2000 = 1.4$, seudoperiódico; $T = 2\pi/(\omega_0\sqrt{1 - 1/4Q^2}) = 0.89/0.935 = 0.95\,\mathrm{s}$; $\tau = 2Q/\omega_0 = 0.40\,\mathrm{s}$.

**Ejercicio 7.10 ★★★.**

Una bobina $L = 0.50\,\mathrm{H}$ lleva $I_0 = 2.0\,\mathrm{A}$; se desconecta la fuente y la bobina queda sobre un [resistor](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/6-circuitos-en-corriente-continua-leyes-de-kirchhoff-y-teoremas#def-b1-dc-circuits-resistor) de descarga $R = 100\,\Omega$. Dense $i(t)$, $\tau$, la tensión máxima en bornes de la bobina y la energía disipada. ¿Qué ocurriría sin el [resistor](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/6-circuitos-en-corriente-continua-leyes-de-kirchhoff-y-teoremas#def-b1-dc-circuits-resistor)?

**Solución de Ejercicio 7.10.**

$i = I_0\eu^{-t/\tau}$, $\tau = L/R = 5.0\,\mathrm{ms}$; tensión máxima $RI_0 = 200\,\mathrm{V}$ en $t = 0^+$; energía $\tfrac12 LI_0^2 = 1.0\,\mathrm{J}$ disipada en $R$. Sin el [resistor](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/6-circuitos-en-corriente-continua-leyes-de-kirchhoff-y-teoremas#def-b1-dc-circuits-resistor) la corriente no tiene camino: $\dd i/\dd t$ es enorme, la tensión de la bobina llega a los kilovoltios y salta un arco en el interruptor.

**Ejercicio 7.11 ★★★.**

Un condensador $C = 1.0\,\text{µ}\mathrm{F}$ se carga desde $E = 12\,\mathrm{V}$ a través de $R_1 = 10\,\mathrm{k}\Omega$ mientras $R_2 = 20\,\mathrm{k}\Omega$ está conectado en paralelo con él. Usando un equivalente de Thévenin, hállense la [constante de tiempo](#def-b1-transient-regimes-firstorder) y la tensión final; escríbase $u_C(t)$ a partir de $u_C(0) = 0$.

**Solución de Ejercicio 7.11.**

Visto desde $C$: $E_{\mathrm{Th}} = ER_2/(R_1 + R_2) = 8.0\,\mathrm{V}$, $R_{\mathrm{Th}} = R_1 \parallel R_2 = 6.67\,\mathrm{k}\Omega$; $\tau =
R_{\mathrm{Th}}C = 6.7\,\mathrm{ms}$; $u_C = 8.0(1 - \eu^{-t/\tau})$ V.

**Ejercicio 7.12 ★★★.**

[Régimen crítico](#thm-b1-transient-regimes-regimes), escalón desde el reposo ($x(0) = x'(0) = 0$): muéstrese que $x = x_\infty[1 - (1 + \omega_0 t)\eu^{-\omega_0 t}]$ y hállese numéricamente el tiempo necesario para alcanzar el $95\%$ de $x_\infty$ (en unidades de $1/\omega_0$). Compárese con el tiempo de establecimiento de la envolvente para $Q = 5$ y con el de la raíz lenta cuando $Q = 0.1$; conclúyase por qué el [régimen crítico](#thm-b1-transient-regimes-regimes) es el objetivo del ingeniero.

**Solución de Ejercicio 7.12.**

Raíz doble $-\omega_0$: $x = x_\infty + (A + Bt)\eu^{-\omega_0 t}$; $x(0) = 0$ da $A = -x_\infty$ y $x'(0) = 0$ da $B = \omega_0 A$: $x = x_\infty[1 - (1 + \omega_0 t)\eu^{-\omega_0 t}]$. Para el $95\%$: $(1 + s)\eu^{-s} = 0.05$, $s \approx 4.7$: $t_{95} = 4.7/\omega_0$. Para $Q = 5$ la envolvente $\eu^{-t/\tau}$ con $\tau = 10/\omega_0$ necesita $3\tau = 30/\omega_0$; para $Q = 0.1$ la raíz lenta es $\abs{r_+} \approx
\omega_0 Q$ y $3/\abs{r_+} = 30/\omega_0$. Ambos son seis veces más lentos: el amortiguamiento crítico es el retorno sin sobreoscilación más rápido, que es lo que quiere un aparato de medida, un cierrapuertas o una suspensión.

## 7.4 Problema: diseñar una suspensión

**Problema 7.1.**

Problema de fin de semana — la misma ecuación diferencial en un banco de laboratorio y bajo un coche: cuántos rebotes permite un amortiguador gastado, qué elige en su lugar el diseñador y cómo un solo número distingue los dos casos

La Parte I estudia un [circuito RLC](#prop-b1-transient-regimes-rlc) serie, $L = 10\,\mathrm{mH}$, $C = 100\,\mathrm{nF}$; las Partes II–IV, un modelo de cuarto de coche: una masa $m = 350\,\mathrm{kg}$ apoyada en un resorte $k = 22\,\mathrm{kN}/\mathrm{m}$ y un amortiguador que ejerce $-\alpha\dot x$. Sobreoscilación de una respuesta a un escalón en [régimen seudoperiódico](#thm-b1-transient-regimes-regimes) (dato): $x_{\max}/x_\infty - 1 = \exp(-\pi\xi/\sqrt{1 - \xi^2})$, $\xi = 1/2Q$.

**Parte I — El circuito.**

1. Escríbase la [ley de las mallas](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/6-circuitos-en-corriente-continua-leyes-de-kirchhoff-y-teoremas#thm-b1-dc-circuits-kirchhoff) para el RLC serie sometido a una fuente $E$ , y la ecuación diferencial de $u_C$ .
2. Pásese a la forma canónica; exprésense $\omega_0$ y $Q$ .
3. Calcúlense $\omega_0$ , $f_0$ y la resistencia crítica $R_c$ .
4. Escríbanse la ecuación característica y su discriminante; enúnciense los tres regímenes en función de $Q$ .
5. En el caso seudoperiódico, dense $\tau$ y $\omega$ y la forma de $u_C(t)$ .
6. Para $R = 100\,\Omega$ calcúlense $Q$ , $\tau$ , el seudoperiodo y el número de oscilaciones visibles.
7. El condensador, cargado a $U_0$ , se conmuta sobre $L$ y $R$ en $t = 0$ . Dense $u_C(0^+)$ y $\dd u_C/\dd t(0^+)$ , con la razón física de cada uno.

**Parte II — El cuarto de coche.**

8. Midiendo $x$ desde la posición de equilibrio, escríbase la segunda ley de Newton para la carrocería y muéstrese que el peso desaparece.
9. Pásese la ecuación a la forma canónica; dense $\omega_0$ y $Q$ en función de $m$ , $k$ y $\alpha$ , y enumérense las correspondencias electromecánicas.
10. Calcúlense $\omega_0$ , $f_0$ y el coeficiente crítico $\alpha_c$ .
11. El diseñador monta $\alpha = 4000\,\mathrm{N}\,\mathrm{s}/\mathrm{m}$ : calcúlense $Q$ y $\xi$ , y nómbrese el régimen.
12. Calcúlense $\tau$ y el seudoperiodo.
13. Calcúlese la sobreoscilación tras un escalón (un bordillo): ¿es cómodo el coche?
14. ¿Qué resistencia $R$ daría al circuito de la Parte I el mismo $Q$ que esta suspensión?

**Parte III — El amortiguador gastado.** Se ha perdido aceite: $\alpha = 1200\,\mathrm{N}\,\mathrm{s}/\mathrm{m}$.

15. Calcúlense $Q$ , el seudoperiodo y $\tau$ .
16. ¿En qué factor se reducen los máximos sucesivos? ¿Cuántos rebotes se ven antes de que la [amplitud](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/5-propagacion-de-senales-ondas-progresivas-y-estacionarias#def-b1-wave-propagation-signal) baje del $5\%$ ?
17. La prueba del rebote: se empuja la esquina hacia abajo $x_0 =  5.0\,\mathrm{cm}$ y se suelta. Dense las condiciones iniciales, la energía almacenada en el resorte y dígase adónde va esa energía.
18. Estímense la velocidad máxima de la carrocería durante el primer retorno ( $\approx x_0\omega_0$ para $Q \gg 1$ ) y la fuerza máxima del amortiguador.
19. ¿Por qué el amortiguamiento exactamente crítico ( $Q = \tfrac12$ ) no es la elección del diseñador, pese a no dar sobreoscilación? (Piénsese en los últimos milímetros del retorno.)
20. Calcúlese la sobreoscilación del amortiguador gastado y compárese con la Parte II.

**Parte IV — Diagnosticar $Q$ a partir de un registro.** Un acelerómetro sobre la carrocería registra el decaimiento libre.

21. Para el coche gastado, los máximos sucesivos valen $1.00$ , $0.25$ y $0.062$ (unidades arbitrarias). Calcúlese el [decremento logarítmico](#prop-b1-transient-regimes-decrement) , dedúzcase $\xi$ exactamente de $\delta = 2\pi\xi/\sqrt{1 - \xi^2}$ y después $Q$ ; compárese con la Parte III.
22. En el coche sano no se ve un segundo máximo; solo puede leerse la sobreoscilación, del $3.8\%$ . Invirtiendo la fórmula de la sobreoscilación, hállense $\xi$ y $Q$ .
23. ¿Qué fracción de la energía mecánica disipa por seudoperiodo el amortiguador gastado?
24. Un técnico que no tiene un coche a mano monta el RLC de la Parte I con una $R$ elegida para que $Q = 2.3$ : ¿qué $R$ , y por qué el registro del osciloscopio, representado frente a $\omega_0 t$ , tiene exactamente la misma forma que el del coche?
25. Resúmase: qué número [adimensional](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/1-unidades-dimensiones-y-medida#def-b1-units-dimensions-dimension) decide la forma de cualquier transitorio de segundo orden, qué valor busca quien diseña una suspensión y qué debe concluir un conductor de “más de un rebote”.

**Solución de Problema 7.1.**

**1.** $E = L\,\dd i/\dd t + Ri + u_C$, $i = C\,\dd u_C/\dd t$: $LC\,u_C'' + RC\,u_C' + u_C = E$.

**2.** $u_C'' + (\omega_0/Q)u_C' + \omega_0^2u_C = \omega_0^2E$ con $\omega_0 = 1/\sqrt{LC}$, $Q = \sqrt{L/C}/R$.

**3.** $\omega_0 = 3.16 \times 10^{4}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$, $f_0 = 5.03\,\mathrm{kHz}$, $R_c = 2\sqrt{L/C} = 632\,\Omega$.

**4.** $r^2 + (\omega_0/Q)r + \omega_0^2 = 0$, $\Delta = \omega_0^2(1/Q^2
- 4)$: $Q < \tfrac12$ aperiódico, $Q = \tfrac12$ crítico, $Q > \tfrac12$ seudoperiódico.

**5.** $\tau = 2Q/\omega_0$, $\omega = \omega_0\sqrt{1 - 1/4Q^2}$, $u_C = E + \eu^{-t/\tau}(A\cos\omega t + B\sin\omega t)$.

**6.** $Q = 3.16$, $\tau = 0.20\,\mathrm{ms}$, $T = 2\pi/\omega =
0.20\,\mathrm{ms}$, unas tres oscilaciones.

**7.** $u_C(0^+) = U_0$ ($u_C$ continua: corriente finita); $u_C'(0^+) = i(0^+)/C = 0$ ($i_L$ continua y nula antes).

**8.** $m\ddot x = -k(x + x_{\text{eq}}) - \alpha\dot x + mg$ con $kx_{\text{eq}} = mg$: $m\ddot x + \alpha\dot x + kx = 0$.

**9.** $\omega_0 = \sqrt{k/m}$, $Q = \sqrt{km}/\alpha$; $x \leftrightarrow
q$, $\dot x \leftrightarrow i$, $m \leftrightarrow L$, $\alpha \leftrightarrow
R$, $k \leftrightarrow 1/C$.

**10.** $\omega_0 = \sqrt{22000/350} = 7.93\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$, $f_0 =
1.26\,\mathrm{Hz}$; $\alpha_c = 2\sqrt{km} = 5.55 \times 10^{3}\,\mathrm{N}\,\mathrm{s}/\mathrm{m}$.

**11.** $Q = 2775/4000 = 0.69$, $\xi = 0.72$: seudoperiódico, justo por debajo del crítico.

**12.** $\tau = 2Q/\omega_0 = 0.18\,\mathrm{s}$; $\omega = \omega_0\sqrt{1
- \xi^2} = 5.5\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$, $T = 1.1\,\mathrm{s}$.

**13.** Sobreoscilación $\exp(-\pi \times 0.72/0.69) = \exp(-3.3) = 3.8\%$: una pequeña subida por encima del equilibrio y se acabó — cómodo.

**14.** $R = \sqrt{L/C}/Q = 316/0.69 = 455\,\Omega$.

**15.** $Q = 2775/1200 = 2.3$, $\xi = 0.22$; $\omega = 0.976\omega_0$, $T = 0.81\,\mathrm{s}$; $\tau = 2Q/\omega_0 = 0.58\,\mathrm{s}$.

**16.** $\eu^{-T/\tau} = \eu^{-1.39} = 0.25$: cada rebote es la cuarta parte del anterior; $0.25^3 = 1.6\%$: tres rebotes visibles.

**17.** $x(0) = -x_0$, $\dot x(0) = 0$; energía $\tfrac12 kx_0^2 =
0.5 \times 22000 \times 0.0025 = 28\,\mathrm{J}$, disipada en forma de calor en el aceite del amortiguador.

**18.** $v \approx x_0\omega_0 = 0.05 \times 7.93 = 0.40\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; fuerza del amortiguador $\alpha v \approx 1200 \times 0.40 = 480\,\mathrm{N}$.

**19.** Con $Q = \tfrac12$ el retorno es $(1 + \omega_0 t)\eu^{-\omega_0
t}$, que se aproxima asintóticamente: los últimos milímetros tardan mucho. Un sistema ligeramente subamortiguado ($\xi \approx 0.7$) sobrepasa unos pocos por ciento, pero entra antes en una banda de tolerancia y se queda.

**20.** $\exp(-\pi \times 0.22/0.976) = \exp(-0.70) = 50\%$, frente al $3.8\%$: el coche gastado rebota media [amplitud](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/5-propagacion-de-senales-ondas-progresivas-y-estacionarias#def-b1-wave-propagation-signal) por encima del equilibrio.

**21.** $\delta = \ln 4 = 1.39$ (dos veces, coherente); $\xi =
\delta/\sqrt{4\pi^2 + \delta^2} = 1.39/6.43 = 0.215$, $Q = 1/2\xi = 2.3$: el valor del amortiguador gastado.

**22.** $-\ln 0.038 = 3.27 = \pi\xi/\sqrt{1 - \xi^2}$, luego $\xi =
3.27/\sqrt{\pi^2 + 3.27^2} = 0.72$, $Q = 0.69$.

**23.** La energía es $\propto$ [amplitud](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/5-propagacion-de-senales-ondas-progresivas-y-estacionarias#def-b1-wave-propagation-signal)$^2$: fracción restante por periodo $0.25^2 = 6\%$, luego se disipa el $94\%$ por seudoperiodo.

**24.** $R = 316/2.3 = 137\,\Omega$. En la variable $\omega_0 t$ la ecuación canónica solo contiene $Q$: dos sistemas con el mismo $Q$ trazan la misma curva.

**25.** El [factor de calidad](#def-b1-transient-regimes-secondorder) $Q$ (o $\xi$) fija por sí solo la forma; un diseñador apunta a $Q \approx 0.7$ ($\xi \approx 0.7$); más de un rebote visible significa un $Q$ bastante mayor que $1$: el amortiguador está gastado.