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title: "Filtros y funciones de transferencia"
book: "Física universitaria — primer año"
subject: physics
language: es
chapter: 9
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/9-filtros-y-funciones-de-transferencia
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# Capítulo 9 — Filtros y funciones de transferencia

Dentro de la caja de un altavoz, una bobina y un condensador deciden, sin un solo transistor, que los graves van al cono grande y los agudos a la cúpula pequeña. El botón “AC” de un osciloscopio elimina una componente continua que deriva despacio y conserva la ondulación que va encima. Una fuente de alimentación convierte una red rectificada y pulsante en una tensión constante con un solo condensador. Los tres son *[filtros](#def-b1-filters-transfer-functions-H)*: [circuitos lineales](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/6-circuitos-en-corriente-continua-leyes-de-kirchhoff-y-teoremas#def-b1-dc-circuits-linear) que tratan de distinto modo cada frecuencia. Como toda [señal](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/5-propagacion-de-senales-ondas-progresivas-y-estacionarias#def-b1-wave-propagation-signal) periódica es una suma de sinusoides, saber qué hace un circuito con cada sinusoide — su [función de transferencia](#def-b1-filters-transfer-functions-H) — es saber qué hace con todo. Este capítulo define las funciones de transferencia, dibuja sus [diagramas de Bode](#def-b1-filters-transfer-functions-bode) para los circuitos de primer y segundo orden de los capítulos anteriores y los usa para predecir cómo sale de un [filtro](#def-b1-filters-transfer-functions-H) una [señal](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/5-propagacion-de-senales-ondas-progresivas-y-estacionarias#def-b1-wave-propagation-signal) cuadrada.

## 9.1 Función de transferencia y diagrama de Bode

**Definición 9.1 (Función de transferencia).**

Un [circuito lineal](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/6-circuitos-en-corriente-continua-leyes-de-kirchhoff-y-teoremas#def-b1-dc-circuits-linear) con una tensión de entrada $\underline U_e$ y una tensión de salida $\underline U_s$ (tomada sin nada conectado a la salida) tiene la *función de transferencia*

$$
\underline H(j\omega) = \frac{\underline U_s}{\underline U_e},
\qquad G(\omega) = \abs{\underline H}, \qquad \varphi(\omega) = \arg\underline H,
$$

donde la *ganancia* $G$ (razón de [amplitudes](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/5-propagacion-de-senales-ondas-progresivas-y-estacionarias#def-b1-wave-propagation-signal)) y el desfase $\varphi$ son los de la salida respecto de la entrada. Un *filtro* es un circuito así, empleado por su dependencia con la frecuencia: una sinusoide de [amplitud](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/5-propagacion-de-senales-ondas-progresivas-y-estacionarias#def-b1-wave-propagation-signal) $E$ a $\omega$ sale como $G(\omega)E\cos(\omega t + \varphi(\omega))$.

**Definición 9.2 (Decibelios; diagrama de Bode).**

La [ganancia](#def-b1-filters-transfer-functions-H) en *decibelios* es $G_{\mathrm{dB}} = 20\log_{10}G$: un factor $10$ son $20\,\mathrm{dB}$, un factor $2$ son $6\,\mathrm{dB}$ y $1/\sqrt2$ son $-3\,\mathrm{dB}$. El *diagrama de Bode* representa $G_{\mathrm{dB}}$ y $\varphi$ frente a $\log_{10}\omega$ (o a $f$). La *frecuencia de corte* es aquella en la que $G$ cae a $G_{\max}/\sqrt2$ ($-3\,\mathrm{dB}$ respecto del máximo); la *banda pasante* es el intervalo de frecuencias que queda a menos de $3\,\mathrm{dB}$ del máximo. Una década es un factor $10$ en frecuencia, y una octava, un factor $2$.

**Método 9.3 (Naturaleza de un filtro de un vistazo).**

Antes de calcular, mírense los límites: a frecuencia muy baja un condensador es un circuito abierto y una bobina un hilo; a frecuencia muy alta, al revés. Sustitúyanse y léase si la salida es la entrada (pasa) o cero (bloqueada). Pasa lo bajo y bloquea lo alto: paso bajo; al revés: paso alto; bloquea ambos: paso banda; deja pasar ambos: banda eliminada. Después calcúlese $\underline H$ con un [divisor de tensión](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/6-circuitos-en-corriente-continua-leyes-de-kirchhoff-y-teoremas#prop-b1-dc-circuits-dividers).

## 9.2 Filtros de primer orden

**Proposición 9.4 (Paso bajo de primer orden).**

El divisor RC con la salida en bornes de $C$ (o el divisor RL con la salida en bornes de $R$) tiene

$$
\underline H = \frac{1}{1 + j\omega/\omega_c}, \qquad
\omega_c = \frac{1}{RC} \ \Big(\text{o } \frac{R}{L}\Big),
\qquad G = \frac{1}{\sqrt{1 + (\omega/\omega_c)^2}}, \qquad
\varphi = -\arctan\frac{\omega}{\omega_c} .
$$

Asíntotas de Bode: $G_{\mathrm{dB}} = 0$ para $\omega \ll \omega_c$ y una recta que cae $20\,\mathrm{dB}$ por década para $\omega \gg \omega_c$, que se cortan en $\omega_c$, donde la curva verdadera está a $-3\,\mathrm{dB}$ y $\varphi = -45^\circ$. Para $\omega \gg \omega_c$, $\underline H \approx
\omega_c/(j\omega)$: la salida es proporcional a la *integral* de la entrada — allí el [filtro](#def-b1-filters-transfer-functions-H) es un integrador.

**Demostración.** [Divisor de tensión](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/6-circuitos-en-corriente-continua-leyes-de-kirchhoff-y-teoremas#prop-b1-dc-circuits-dividers):

$$
\underline H = \frac{1/jC\omega}{R + 1/jC\omega} = \frac{1}{1 + jRC\omega} .
$$

Muy por encima del corte, $1 + j\omega/\omega_c \approx j\omega/\omega_c$, y dividir una [amplitud compleja](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/8-regimen-sinusoidal-permanente-e-impedancia#def-b1-sinusoidal-impedance-complex) por $j\omega$ es integrar ([Proposición 8.3](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/8-regimen-sinusoidal-permanente-e-impedancia#prop-b1-sinusoidal-impedance-rules)): $u_s \approx \omega_c\int u_e\,\dd t$. $20\log(\omega_c/\omega)$ pierde $20\,\mathrm{dB}$ cada vez que $\omega$ se multiplica por diez. ∎

**Proposición 9.5 (Paso alto de primer orden).**

El divisor CR con la salida en bornes de $R$ (o LR con la salida en bornes de $L$) tiene

$$
\underline H = \frac{j\omega/\omega_c}{1 + j\omega/\omega_c},
\qquad G = \frac{\omega/\omega_c}{\sqrt{1 + (\omega/\omega_c)^2}},
\qquad \varphi = \frac{\pi}{2} - \arctan\frac{\omega}{\omega_c},
$$

que sube $20\,\mathrm{dB}$ por década por debajo de $\omega_c$, es plana por encima y vale $-3\,\mathrm{dB}$ y $+45^\circ$ en $\omega_c$. Para $\omega \ll \omega_c$, $\underline H
\approx j\omega/\omega_c$: la salida es proporcional a la *derivada* de la entrada.

**Demostración.** $\underline H = R/(R + 1/jC\omega) = jRC\omega/(1 + jRC\omega)$; multiplicar por $j\omega$ es derivar. ∎

![Diagramas de Bode del paso bajo (azul) y del paso alto (rojo) de primer orden: la ganancia en decibelios con las asíntotas (a trazos) que se cortan en el corte, donde la ganancia verdadera vale -3\, dB, y la fase, que pasa por 45 en el corte.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-filters-transfer-functions/fig-0dfcae3ff498.svg)

![Diagramas de Bode del paso bajo (azul) y del paso alto (rojo) de primer orden: la ganancia en decibelios con las asíntotas (a trazos) que se cortan en el corte, donde la ganancia verdadera vale -3\, dB, y la fase, que pasa por 45 en el corte.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-filters-transfer-functions/fig-551e635144f9.svg)

*[Diagramas de Bode](#def-b1-filters-transfer-functions-bode) del paso bajo (azul) y del paso alto (rojo) de primer orden: la [ganancia](#def-b1-filters-transfer-functions-H) en [decibelios](#def-b1-filters-transfer-functions-bode) con las asíntotas (a trazos) que se cortan en el corte, donde la [ganancia](#def-b1-filters-transfer-functions-H) verdadera vale $-3\,\mathrm{dB}$, y la fase, que pasa por $\mp45^\circ$ en el corte.*

**Ejemplo 9.6 (Acoplamiento en alterna).**

La entrada AC de un osciloscopio es un paso alto con $f_c \approx 10\,\mathrm{Hz}$: una [señal](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/5-propagacion-de-senales-ondas-progresivas-y-estacionarias#def-b1-wave-propagation-signal) de $1\,\mathrm{kHz}$ montada sobre una componente continua de $5\,\mathrm{V}$ pasa a $-0.0002\,\mathrm{dB}$ y sin esa componente. Pero una [señal](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/5-propagacion-de-senales-ondas-progresivas-y-estacionarias#def-b1-wave-propagation-signal) cuadrada de $50\,\mathrm{Hz}$ sale visiblemente deformada — sus techos planos se hunden — porque a $50\,\mathrm{Hz}$ el [filtro](#def-b1-filters-transfer-functions-H) está solo una década por encima de su corte y los armónicos bajos de la [señal](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/5-propagacion-de-senales-ondas-progresivas-y-estacionarias#def-b1-wave-propagation-signal) quedan desfasados ([Ejercicio 9.12](#exo-b1-filters-transfer-functions-12)).

## 9.3 Filtros de segundo orden

**Proposición 9.7 (El RLC serie como tres filtros).**

Con $x = \omega/\omega_0$, $\omega_0 = 1/\sqrt{LC}$ y $Q =
\sqrt{L/C}/R$, el RLC serie alimentado por $\underline U_e$ da, según dónde se tome la salida:

$$
\begin{align*}
\text{en bornes de } C:&\quad \underline H = \frac{1}{1 - x^2 + jx/Q}, \\
\text{en bornes de } R:&\quad \underline H = \frac{jx/Q}{1 - x^2 + jx/Q} = \frac{1}{1 + jQ(x - 1/x)}, \\
\text{en bornes de } L:&\quad \underline H = \frac{-x^2}{1 - x^2 + jx/Q}:
\end{align*}
$$

un paso bajo, un paso banda y un paso alto de segundo orden. Lejos de $\omega_0$, el paso bajo y el paso alto caen $40\,\mathrm{dB}$ por década, y el paso banda $20\,\mathrm{dB}$ por década a cada lado; el paso banda tiene su máximo $1$ en $\omega_0$ y el [ancho de banda](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/8-regimen-sinusoidal-permanente-e-impedancia#thm-b1-sinusoidal-impedance-resonance) $\Delta\omega =
\omega_0/Q$ de [Teorema 8.9](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/8-regimen-sinusoidal-permanente-e-impedancia#thm-b1-sinusoidal-impedance-resonance).

**Demostración.** [Divisores de tensión](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/6-circuitos-en-corriente-continua-leyes-de-kirchhoff-y-teoremas#prop-b1-dc-circuits-dividers) con la [impedancia](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/8-regimen-sinusoidal-permanente-e-impedancia#def-b1-sinusoidal-impedance-impedance) total $R + j(L\omega - 1/C\omega)$; multiplíquense numerador y denominador por $jC\omega$ y úsense $LC\omega_0^2 = 1$ y $RC\omega_0 = 1/Q$. El paso banda es la resonancia de corriente del capítulo anterior leída como tensión en bornes de $R$. ∎

**Proposición 9.8 (Paso bajo de segundo orden: el papel de QQQ).**

Para el paso bajo, $G = 1/\sqrt{(1 - x^2)^2 + x^2/Q^2}$: si $Q > 1/\sqrt2$ la [ganancia](#def-b1-filters-transfer-functions-H) sube por encima de $1$ cerca de $\omega_0$ (resonancia, con un pico $\approx Q$ para $Q$ grande); si $Q = 1/\sqrt2$ es “máximamente plana”, $G = 1/\sqrt{1 + x^4}$, con exactamente $-3\,\mathrm{dB}$ en $\omega_0$; y para $Q$ menor decae antes de tiempo. La fase va de $0$ a $-\pi$, pasando por $-\pi/2$ en $\omega_0$.

**Demostración.** $(1 - x^2)^2 + x^2/Q^2 = 1 + x^4 + x^2(1/Q^2 - 2)$: el término central se anula para $Q^2 = \tfrac12$, es negativo (pico) por encima y positivo (caída) por debajo; el comportamiento cerca de $x = 1$ se analizó en [Proposición 8.10](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/8-regimen-sinusoidal-permanente-e-impedancia#prop-b1-sinusoidal-impedance-overvoltage). ∎

![Filtros de segundo orden a partir del RLC serie. A la izquierda, el paso bajo (salida en bornes de C) para tres valores de Q: un pico de resonancia, la respuesta máximamente plana o una caída temprana, todas uniéndose a la asíntota de -40\, dB por década (a trazos). A la derecha, el paso banda (salida en bornes de R): un pico de anchura _0/Q que cae 20\, dB por década a cada lado.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-filters-transfer-functions/fig-ca3bcba9b685.svg)

![Filtros de segundo orden a partir del RLC serie. A la izquierda, el paso bajo (salida en bornes de C) para tres valores de Q: un pico de resonancia, la respuesta máximamente plana o una caída temprana, todas uniéndose a la asíntota de -40\, dB por década (a trazos). A la derecha, el paso banda (salida en bornes de R): un pico de anchura _0/Q que cae 20\, dB por década a cada lado.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-filters-transfer-functions/fig-083103bb08c8.svg)

*[Filtros de segundo orden](#prop-b1-filters-transfer-functions-rlc) a partir del RLC serie. A la izquierda, el paso bajo (salida en bornes de $C$) para tres valores de $Q$: un pico de resonancia, la respuesta máximamente plana o una caída temprana, todas uniéndose a la asíntota de $-40\,\mathrm{dB}$ por década (a trazos). A la derecha, el paso banda (salida en bornes de $R$): un pico de anchura $\omega_0/Q$ que cae $20\,\mathrm{dB}$ por década a cada lado.*

**Ejemplo 9.9 (Un filtro divisor).**

El altavoz de graves y el de agudos de una caja acústica, de $8\,\Omega$ cada uno, comparten el amplificador a través de un paso bajo (una bobina en serie) y un paso alto (un condensador en serie) cortados en $2\,\mathrm{kHz}$: $L = R/\omega_c = 0.64\,\mathrm{mH}$, $C = 1/R\omega_c = 10\,\text{µ}\mathrm{F}$. A $2\,\mathrm{kHz}$ cada altavoz recibe $-3\,\mathrm{dB}$, es decir la mitad de la potencia, y $G_L^2 + G_H^2 = 1$ a toda frecuencia: la potencia se reparte, no se pierde. El problema de fin de semana diseña una versión más abrupta.

## 9.4 Filtrar una señal periódica

**Teorema 9.10 (Descomposición de Fourier).**

Una [señal](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/5-propagacion-de-senales-ondas-progresivas-y-estacionarias#def-b1-wave-propagation-signal) periódica de periodo $T = 2\pi/\omega$ (razonablemente regular) es la suma de una constante y de sinusoides en los múltiplos de $\omega$:

$$
s(t) = c_0 + \sum_{n = 1}^{\infty} c_n\cos(n\omega t + \varphi_n),
$$

donde $c_0 = \langle s\rangle$ es su valor medio; el término $n = 1$ es la *fundamental* y los demás los *armónicos*, y las [amplitudes](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/5-propagacion-de-senales-ondas-progresivas-y-estacionarias#def-b1-wave-propagation-signal) $c_n$ forman el *espectro*. Una [señal](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/5-propagacion-de-senales-ondas-progresivas-y-estacionarias#def-b1-wave-propagation-signal) cuadrada de [amplitud](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/5-propagacion-de-senales-ondas-progresivas-y-estacionarias#def-b1-wave-propagation-signal) $\pm E$ tiene $c_n = 4E/(n\pi)$ para $n$ impar y $0$ para $n$ par; una [señal](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/5-propagacion-de-senales-ondas-progresivas-y-estacionarias#def-b1-wave-propagation-signal) triangular de [amplitud](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/5-propagacion-de-senales-ondas-progresivas-y-estacionarias#def-b1-wave-propagation-signal) $\pm E$ tiene $c_n = 8E/(n\pi)^2$ para $n$ impar.

**Demostración.** *Admitido a este nivel.* ∎

**Observación 9.11 (Qué hay que retener).**

El teorema y el cálculo de los $c_n$ corresponden al curso de matemáticas del Año 2. Aquí son una herramienta: las esquinas abruptas exigen muchos armónicos (los de la [señal](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/5-propagacion-de-senales-ondas-progresivas-y-estacionarias#def-b1-wave-propagation-signal) cuadrada solo decrecen como $1/n$) y las [señales](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/5-propagacion-de-senales-ondas-progresivas-y-estacionarias#def-b1-wave-propagation-signal) suaves pocos (los del triángulo, como $1/n^2$). El contenido en armónicos de una [señal](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/5-propagacion-de-senales-ondas-progresivas-y-estacionarias#def-b1-wave-propagation-signal) es de lo que está hecho el timbre de un instrumento, y aquello sobre lo que actúa un [filtro](#def-b1-filters-transfer-functions-H).

**Proposición 9.12 (Filtrado lineal de una señal periódica).**

A través de un [filtro](#def-b1-filters-transfer-functions-H) de [función de transferencia](#def-b1-filters-transfer-functions-H) $\underline H$, la [señal](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/5-propagacion-de-senales-ondas-progresivas-y-estacionarias#def-b1-wave-propagation-signal) del teorema se convierte en

$$
s_{\text{sal}}(t) = G(0)\,c_0 + \sum_{n \geq 1} G(n\omega)\,c_n\cos\!\big(n\omega t + \varphi_n + \varphi(n\omega)\big):
$$

cada armónico queda escalado por la [ganancia](#def-b1-filters-transfer-functions-H) y desfasado por la fase a *su propia* frecuencia, y después se suman los trozos. De ahí que:

- un paso bajo con $\omega_c \ll \omega$ conserve esencialmente $c_0$ : *promedia* (alisado, eliminación del rizado) y convierte una [señal](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/5-propagacion-de-senales-ondas-progresivas-y-estacionarias#def-b1-wave-propagation-signal) cuadrada en un triángulo pequeño (integración);
- un paso alto con $\omega_c \ll \omega$ elimine $c_0$ y deje pasar el resto (acoplamiento en alterna); con $\omega_c \gg \omega$ derive (picos en los flancos de una [señal](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/5-propagacion-de-senales-ondas-progresivas-y-estacionarias#def-b1-wave-propagation-signal) cuadrada);
- un paso banda sintonizado en $n\omega$ con $Q \gg 1$ extraiga el armónico $n$ solo: una sinusoide a partir de una [señal](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/5-propagacion-de-senales-ondas-progresivas-y-estacionarias#def-b1-wave-propagation-signal) cuadrada.

**Demostración.** La superposición en un [circuito lineal](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/6-circuitos-en-corriente-continua-leyes-de-kirchhoff-y-teoremas#def-b1-dc-circuits-linear) ([Teorema 6.18](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/6-circuitos-en-corriente-continua-leyes-de-kirchhoff-y-teoremas#thm-b1-dc-circuits-superposition)) aplicada a la suma de entradas sinusoidales, cada una tratada según [Definición 9.1](#def-b1-filters-transfer-functions-H). ∎

![Una señal cuadrada a través de un paso bajo de primer orden. A la izquierda: su espectro (armónicos impares en 1/n) y el espectro después de un filtro cortado en la fundamental. A la derecha: la señal temporal para _c = (rojo, arcos exponenciales) y _c = 10 (naranja, solo esquinas redondeadas); con _c la salida sería un triángulo pequeño en torno al valor medio.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-filters-transfer-functions/fig-ed7437ec53e8.svg)

![Una señal cuadrada a través de un paso bajo de primer orden. A la izquierda: su espectro (armónicos impares en 1/n) y el espectro después de un filtro cortado en la fundamental. A la derecha: la señal temporal para _c = (rojo, arcos exponenciales) y _c = 10 (naranja, solo esquinas redondeadas); con _c la salida sería un triángulo pequeño en torno al valor medio.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-filters-transfer-functions/fig-28451d640fd6.svg)

*Una [señal](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/5-propagacion-de-senales-ondas-progresivas-y-estacionarias#def-b1-wave-propagation-signal) cuadrada a través de un paso bajo de primer orden. A la izquierda: su espectro (armónicos impares en $1/n$) y el espectro después de un [filtro](#def-b1-filters-transfer-functions-H) cortado en la fundamental. A la derecha: la [señal](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/5-propagacion-de-senales-ondas-progresivas-y-estacionarias#def-b1-wave-propagation-signal) temporal para $\omega_c = \omega$ (rojo, arcos exponenciales) y $\omega_c = 10\omega$ (naranja, solo esquinas redondeadas); con $\omega_c \ll \omega$ la salida sería un triángulo pequeño en torno al valor medio.*

**Ejemplo 9.13 (Cifras).**

Una [señal](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/5-propagacion-de-senales-ondas-progresivas-y-estacionarias#def-b1-wave-propagation-signal) cuadrada de $1\,\mathrm{kHz}$ y [amplitud](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/5-propagacion-de-senales-ondas-progresivas-y-estacionarias#def-b1-wave-propagation-signal) $5\,\mathrm{V}$: armónicos de $6.37\,\mathrm{V}$ a $1\,\mathrm{kHz}$, $2.12\,\mathrm{V}$ a $3\,\mathrm{kHz}$ y $1.27\,\mathrm{V}$ a $5\,\mathrm{kHz}$. A través de un paso bajo RC cortado en $10\,\mathrm{Hz}$ ($\tau = 16\,\mathrm{ms}$), la salida es un triángulo de [amplitud](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/5-propagacion-de-senales-ondas-progresivas-y-estacionarias#def-b1-wave-propagation-signal) $ET/4\tau \approx 80\,\mathrm{mV}$ en torno a cero; a través de un paso banda sintonizado en $3\,\mathrm{kHz}$ con $Q = 20$, una sinusoide de $2.1\,\mathrm{V}$ a $3\,\mathrm{kHz}$ con solo un pequeño porcentaje de las vecinas ([Ejercicio 9.8](#exo-b1-filters-transfer-functions-8)).

## 9.5 Filtros en cascada

**Proposición 9.14 (Cascada y carga).**

Dos [filtros](#def-b1-filters-transfer-functions-H) en cascada tienen $\underline H = \underline H_1\underline H_2$ — las [ganancias](#def-b1-filters-transfer-functions-H) se multiplican, y los [decibelios](#def-b1-filters-transfer-functions-bode) y las fases se suman — *siempre que el segundo no cargue al primero*, es decir que consuma una corriente despreciable de su salida. En caso contrario hay que reescribir las relaciones de divisor para la red completa. Un seguidor con amplificador operacional ([Capítulo 10](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/10-el-amplificador-operacional#ch-b1-operational-amplifier)) entre etapas hace exacta la regla del producto.

**Demostración.** $\underline H_1$ se definió con la salida en circuito abierto; si la [impedancia](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/8-regimen-sinusoidal-permanente-e-impedancia#def-b1-sinusoidal-impedance-impedance) de entrada de la etapa siguiente es mucho mayor que la [impedancia](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/8-regimen-sinusoidal-permanente-e-impedancia#def-b1-sinusoidal-impedance-impedance) de salida de la primera (su resistencia de Thévenin), la tensión de salida no cambia y la segunda etapa ve exactamente $\underline U_{s1}$ como entrada. ∎

**Ejemplo 9.15 (Dos etapas RC).**

Dos pasos bajos RC idénticos uno tras otro *no* dan $1/(1 + j\omega/\omega_c)^2$: la $R$ de la segunda etapa carga a la primera. El resultado exacto es $\underline H = 1/[1 - (\omega/\omega_c)^2 +
3j\omega/\omega_c]$, es decir $-9.5\,\mathrm{dB}$ en $\omega_c$ en vez de los $-6\,\mathrm{dB}$ que promete la regla del producto, aunque ambos acaben alcanzando la misma pendiente de $-40\,\mathrm{dB}$ por década.

## 9.6 Ejercicios

**Ejercicio 9.1 ★.**

Conviértanse a [decibelios](#def-b1-filters-transfer-functions-bode) las [ganancias](#def-b1-filters-transfer-functions-H) $0.5$, $10$, $1/\sqrt2$ y $100$. Conviértanse a razones $-40\,\mathrm{dB}$ y $+6\,\mathrm{dB}$. Dos [filtros](#def-b1-filters-transfer-functions-H) en cascada (sin carga) dan $-6\,\mathrm{dB}$ y $-20\,\mathrm{dB}$ a cierta frecuencia: ¿[ganancia](#def-b1-filters-transfer-functions-H) total?

**Solución de Ejercicio 9.1.**

$0.5 \to -6.0\,\mathrm{dB}$; $10 \to 20\,\mathrm{dB}$; $1/\sqrt2 \to -3.0\,\mathrm{dB}$; $100 \to 40\,\mathrm{dB}$. $-40\,\mathrm{dB} \to 0.01$; $+6\,\mathrm{dB} \to 2.0$. Cascada: $-6 - 20 = -26\,\mathrm{dB}$, una razón de $0.05$.

**Ejercicio 9.2 ★.**

Paso bajo RC, $R = 10\,\mathrm{k}\Omega$, $C = 16\,\mathrm{nF}$: [frecuencia de corte](#def-b1-filters-transfer-functions-bode) y [ganancia](#def-b1-filters-transfer-functions-H) en [decibelios](#def-b1-filters-transfer-functions-bode) a $100\,\mathrm{Hz}$, $1\,\mathrm{kHz}$, $10\,\mathrm{kHz}$ y $100\,\mathrm{kHz}$.

**Solución de Ejercicio 9.2.**

$f_c = 1/(2\pi RC) = 1/(2\pi \times 10^4 \times 1.6\times10^{-8}) =
1.0\,\mathrm{kHz}$. [Ganancias](#def-b1-filters-transfer-functions-H) $-10\log(1 + (f/f_c)^2)$: $100\,\mathrm{Hz}$: $-0.04\,\mathrm{dB}$; $1\,\mathrm{kHz}$: $-3\,\mathrm{dB}$; $10\,\mathrm{kHz}$: $-20\,\mathrm{dB}$; $100\,\mathrm{kHz}$: $-40\,\mathrm{dB}$.

**Ejercicio 9.3 ★.**

Sin calcular, dese la naturaleza (paso bajo, paso alto o paso banda) de: (a) $R$ en serie y $C$ a la salida; (b) $C$ en serie y $R$ a la salida; (c) $L$ en serie y $C$ a la salida; (d) $L$ y $C$ en serie y $R$ a la salida.

**Solución de Ejercicio 9.3.**

(a) paso bajo ($C$ cortocircuita la salida a $f$ alta); (b) paso alto ($C$ se abre a $f$ baja); (c) paso bajo de segundo orden ($L$ se abre a $f$ alta y $C$ cortocircuita); (d) paso banda ($C$ bloquea $f$ baja y $L$ bloquea $f$ alta).

**Ejercicio 9.4 ★.**

Una [señal](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/5-propagacion-de-senales-ondas-progresivas-y-estacionarias#def-b1-wave-propagation-signal) cuadrada de $1.0\,\mathrm{kHz}$ y [amplitud](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/5-propagacion-de-senales-ondas-progresivas-y-estacionarias#def-b1-wave-propagation-signal) $5.0\,\mathrm{V}$: dense las frecuencias y las [amplitudes](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/5-propagacion-de-senales-ondas-progresivas-y-estacionarias#def-b1-wave-propagation-signal) de sus tres primeros armónicos no nulos. ¿Por qué no tiene armónicos pares?

**Solución de Ejercicio 9.4.**

$4E/n\pi$: $6.37\,\mathrm{V}$ a $1\,\mathrm{kHz}$, $2.12\,\mathrm{V}$ a $3\,\mathrm{kHz}$ y $1.27\,\mathrm{V}$ a $5\,\mathrm{kHz}$. La [señal](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/5-propagacion-de-senales-ondas-progresivas-y-estacionarias#def-b1-wave-propagation-signal) cuadrada es antisimétrica al desplazarla medio periodo ($s(t + T/2) = -s(t)$), cosa que los armónicos pares no son.

**Ejercicio 9.5 ★★.**

Un paso alto CR cortado en $10\,\mathrm{kHz}$ recibe una [señal](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/5-propagacion-de-senales-ondas-progresivas-y-estacionarias#def-b1-wave-propagation-signal) triangular de [amplitud](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/5-propagacion-de-senales-ondas-progresivas-y-estacionarias#def-b1-wave-propagation-signal) $1.0\,\mathrm{V}$ a $100\,\mathrm{Hz}$. Explíquese por qué se comporta como un derivador y dense la forma y la [amplitud](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/5-propagacion-de-senales-ondas-progresivas-y-estacionarias#def-b1-wave-propagation-signal) de la salida.

**Solución de Ejercicio 9.5.**

A $100\,\mathrm{Hz}$ y en sus armónicos útiles, $\omega \ll \omega_c$: $\underline H \approx j\omega/\omega_c$, una derivada dividida por $\omega_c$. La pendiente del triángulo vale $\pm 4Ef = \pm400\,\mathrm{V}/\mathrm{s}$, así que la salida es una [señal](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/5-propagacion-de-senales-ondas-progresivas-y-estacionarias#def-b1-wave-propagation-signal) cuadrada de [amplitud](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/5-propagacion-de-senales-ondas-progresivas-y-estacionarias#def-b1-wave-propagation-signal) $400/(2\pi \times 10^4) =
6.4\,\mathrm{mV}$.

**Ejercicio 9.6 ★★.**

Un paso bajo RC cortado en $10\,\mathrm{Hz}$ recibe una [señal](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/5-propagacion-de-senales-ondas-progresivas-y-estacionarias#def-b1-wave-propagation-signal) cuadrada de $1.0\,\mathrm{kHz}$ y [amplitud](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/5-propagacion-de-senales-ondas-progresivas-y-estacionarias#def-b1-wave-propagation-signal) $\pm1.0\,\mathrm{V}$. Muéstrese que la salida es un triángulo y calcúlese su [amplitud](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/5-propagacion-de-senales-ondas-progresivas-y-estacionarias#def-b1-wave-propagation-signal).

**Solución de Ejercicio 9.6.**

$\omega \gg \omega_c$: $u_s \approx (1/\tau)\int u_e\,\dd t$, con $\tau =
1/(2\pi \times 10) = 16\,\mathrm{ms}$. La integral de $\pm E$ es un triángulo que sube $ET/2$ por medio periodo: excursión $ET/2\tau$, [amplitud](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/5-propagacion-de-senales-ondas-progresivas-y-estacionarias#def-b1-wave-propagation-signal) $ET/4\tau = 1.0 \times 10^{-3}/(4 \times 0.016) = 16\,\mathrm{mV}$ en torno a cero.

**Ejercicio 9.7 ★★.**

Un paso bajo RLC serie con $L = 10\,\mathrm{mH}$, $C = 100\,\mathrm{nF}$: dese $f_0$; hállese $R$ para la respuesta máximamente plana; dese la [ganancia](#def-b1-filters-transfer-functions-H) en [decibelios](#def-b1-filters-transfer-functions-bode) en $f_0$ y en $10f_0$.

**Solución de Ejercicio 9.7.**

$f_0 = 5.03\,\mathrm{kHz}$. $Q = \sqrt{L/C}/R = 1/\sqrt2$: $R = \sqrt2 \times
316 = 447\,\Omega$. En $f_0$: $-3\,\mathrm{dB}$; en $10f_0$: $1/\sqrt{1 +
10^4} \to -40\,\mathrm{dB}$.

**Ejercicio 9.8 ★★.**

Un paso banda ($Q = 20$) sintonizado en $3.0\,\mathrm{kHz}$ recibe la [señal](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/5-propagacion-de-senales-ondas-progresivas-y-estacionarias#def-b1-wave-propagation-signal) cuadrada de $1\,\mathrm{kHz}$ de [Ejercicio 9.4](#exo-b1-filters-transfer-functions-4). Calcúlense la [ganancia](#def-b1-filters-transfer-functions-H) a $1$, $3$ y $5\,\mathrm{kHz}$ y las [amplitudes](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/5-propagacion-de-senales-ondas-progresivas-y-estacionarias#def-b1-wave-propagation-signal) de salida de esos armónicos; descríbase la salida.

**Solución de Ejercicio 9.8.**

$G = 1/\sqrt{1 + Q^2(x - 1/x)^2}$ con $x = f/3$: $1\,\mathrm{kHz}$: $x = 1/3$, $Q(x - 1/x) = -53$, $G = 0.019$; $3\,\mathrm{kHz}$: $G = 1$; $5\,\mathrm{kHz}$: $x = 5/3$, $21$, $G = 0.047$. Salida: $2.1\,\mathrm{V}$ a $3\,\mathrm{kHz}$, con $0.12\,\mathrm{V}$ a $1\,\mathrm{kHz}$ y $0.06\,\mathrm{V}$ a $5\,\mathrm{kHz}$ — una sinusoide de $3\,\mathrm{kHz}$ casi pura.

**Ejercicio 9.9 ★★.**

Dos pasos bajos RC idénticos ($R = 1.0\,\mathrm{k}\Omega$, $C = 159\,\mathrm{nF}$) en cascada. Calcúlense la [función de transferencia](#def-b1-filters-transfer-functions-H) exacta (el segundo carga al primero) y la [ganancia](#def-b1-filters-transfer-functions-H) en $\omega_c = 1/RC$; compárese con el producto de las dos [ganancias](#def-b1-filters-transfer-functions-H) por separado.

**Solución de Ejercicio 9.9.**

Nudos: con $a = jRC\omega$, el primer condensador ve $R$ aguas arriba y $R + 1/jC\omega$ aguas abajo: $\underline H = 1/(1 + 3a + a^2)$, es decir $1/[1 - (\omega/\omega_c)^2 + 3j\omega/\omega_c]$. En $\omega_c$: $1/3j$, $G = 1/3$, $-9.5\,\mathrm{dB}$; el producto de las dos [ganancias](#def-b1-filters-transfer-functions-H) por separado daría $1/2$, $-6\,\mathrm{dB}$. $f_c = 1.0\,\mathrm{kHz}$.

**Ejercicio 9.10 ★★★.**

Esbócense las asíntotas de Bode de $\underline H = (1 + j\omega/\omega_1)/
(1 + j\omega/\omega_2)$ con $\omega_1 = 100\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ y $\omega_2 =
1 \times 10^{4}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$: pendientes, codos, meseta de alta frecuencia en [decibelios](#def-b1-filters-transfer-functions-bode) y fase en $\sqrt{\omega_1\omega_2}$.

**Solución de Ejercicio 9.10.**

Por debajo de $\omega_1$: $0\,\mathrm{dB}$; entre $\omega_1$ y $\omega_2$ sube $20\,\mathrm{dB}$ por década; por encima de $\omega_2$, plana en $20\log(\omega_2/\omega_1) = 40\,\mathrm{dB}$. Fase $\arctan(\omega/\omega_1) - \arctan(\omega/\omega_2)$: en $\omega = 10^3$, $\arctan 10 - \arctan 0.1 = 84^\circ - 6^\circ = 78^\circ$.

**Ejercicio 9.11 ★★★.**

Un seno rectificado en onda completa (red de $50\,\mathrm{Hz}$) tiene valor medio $2E/\pi$ y un primer armónico a $100\,\mathrm{Hz}$ de [amplitud](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/5-propagacion-de-senales-ondas-progresivas-y-estacionarias#def-b1-wave-propagation-signal) $4E/3\pi$. Un paso bajo RC debe reducir el rizado de $100\,\mathrm{Hz}$ por debajo del $1\%$ del valor medio: hállense la [frecuencia de corte](#def-b1-filters-transfer-functions-bode) y la [constante de tiempo](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/7-regimenes-transitorios-primer-y-segundo-orden#def-b1-transient-regimes-firstorder) necesarias. ¿Por qué se usa habitualmente un condensador solo (con la resistencia de carga)?

**Solución de Ejercicio 9.11.**

Muy por encima del corte, $G \approx f_c/f$; la razón de rizado tras el filtrado vale

$$
\frac{(4E/3\pi)(f_c/100)}{2E/\pi} = \frac{2}{3}\,\frac{f_c}{100} < 0.01,
$$

luego $f_c < 1.5\,\mathrm{Hz}$ y $\tau = 1/2\pi f_c > 0.1\,\mathrm{s}$. La propia carga hace de $R$: un condensador en paralelo con ella no cuesta nada ni en caída de tensión ni en potencia, mientras que un [resistor](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/6-circuitos-en-corriente-continua-leyes-de-kirchhoff-y-teoremas#def-b1-dc-circuits-resistor) en serie desperdiciaría ambas.

**Ejercicio 9.12 ★★★.**

El acoplamiento en alterna de un osciloscopio es un paso alto con $C = 0.10\,\text{µ}\mathrm{F}$ y $R = 160\,\mathrm{k}\Omega$. Calcúlese $f_c$. Se aplica una [señal](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/5-propagacion-de-senales-ondas-progresivas-y-estacionarias#def-b1-wave-propagation-signal) cuadrada: muéstrese que cada techo plano se convierte en una exponencial decreciente y calcúlese el hundimiento (fracción perdida en medio periodo) a $50\,\mathrm{Hz}$ y a $1\,\mathrm{kHz}$.

**Solución de Ejercicio 9.12.**

$f_c = 1/(2\pi RC) = 1/(2\pi \times 1.6\times10^5 \times 10^{-7}) =
10\,\mathrm{Hz}$, $\tau = RC = 16\,\mathrm{ms}$. Durante un techo plano el condensador se carga a través de $R$: la salida decae como $\eu^{-t/\tau}$ desde cada flanco. Hundimiento en $T/2$: $1 - \eu^{-T/2\tau}$: a $50\,\mathrm{Hz}$ ($T/2 = 10\,\mathrm{ms}$), $1 - \eu^{-0.63} = 47\%$; a $1\,\mathrm{kHz}$ ($T/2 = 0.5\,\mathrm{ms}$), $3\%$.

![Por dentro de una caja acústica de dos vías: las bobinas y los condensadores del filtro divisor son los filtros paso bajo y paso alto que envían los graves al altavoz de graves y los agudos al de agudos.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-filters-transfer-functions/img-4accfe2f09c0.jpg)

*Por dentro de una caja acústica de dos vías: las bobinas y los condensadores del [filtro](#def-b1-filters-transfer-functions-H) divisor son los [filtros paso bajo](#prop-b1-filters-transfer-functions-lowpass1) y paso alto que envían los graves al altavoz de graves y los agudos al de agudos.*

## 9.7 Problema: el filtro divisor de una caja acústica

**Problema 9.1.**

Problema de fin de semana — un altavoz de graves, uno de agudos, una bobina y un condensador: cómo un filtro divisor pasivo reparte la música, por qué el más sencillo cuela graves en el altavoz de agudos y qué le hace al diseño una bobina móvil real

El altavoz de graves y el de agudos se modelan primero como resistencias puras $R = 8.0\,\Omega$. El amplificador es una [fuente de tensión](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/6-circuitos-en-corriente-continua-leyes-de-kirchhoff-y-teoremas#def-b1-dc-circuits-sources) ideal $\underline U_e$. La [frecuencia de corte](#def-b1-filters-transfer-functions-bode) es $f_c = 2.0\,\mathrm{kHz}$.

**Parte I — [Filtro](#def-b1-filters-transfer-functions-H) divisor de primer orden.** El altavoz de graves se alimenta a través de una bobina $L$ en serie, y el de agudos a través de un condensador $C$ en serie.

1. Defínanse la [función de transferencia](#def-b1-filters-transfer-functions-H) de cada rama (tensión en bornes del altavoz dividida por $\underline U_e$ ) y la [ganancia](#def-b1-filters-transfer-functions-H) en [decibelios](#def-b1-filters-transfer-functions-bode) .
2. Muéstrese que la rama de graves es un paso bajo de primer orden y dese su corte $\omega_c$ en función de $R$ y $L$ .
3. Calcúlese $L$ para $f_c = 2.0\,\mathrm{kHz}$ .
4. Muéstrese que la rama de agudos es un paso alto de primer orden; dese $\omega_c$ y calcúlese $C$ .
5. Dese la [ganancia](#def-b1-filters-transfer-functions-H) en [decibelios](#def-b1-filters-transfer-functions-bode) de cada altavoz en $f_c$ , a $200\,\mathrm{Hz}$ y a $20\,\mathrm{kHz}$ .
6. Muéstrese que $G_L^2 + G_H^2 = 1$ a toda frecuencia. ¿Qué significa eso para la potencia que se pide al amplificador?
7. Dese la fase de cada rama en $f_c$ ; ¿en cuánto difieren allí las fases de las tensiones de los dos altavoces?
8. ¿Cuáles son las pendientes de las dos respuestas, en dB por octava, lejos de $f_c$ ?

**Parte II — [Filtro](#def-b1-filters-transfer-functions-H) divisor de segundo orden.** El altavoz de graves se alimenta ahora a través de una bobina $L$ en serie con un condensador $C$ en paralelo con el altavoz.

9. Muéstrese que $\underline H = 1/(1 - LC\omega^2 + jL\omega/R)$ .
10. Identifíquense $\omega_0$ y $Q$ en función de $L$ , $C$ y $R$ .
11. Para $Q = 1/\sqrt2$ , muéstrese que $G = 1/\sqrt{1 + (\omega/\omega_0)^4}$ y que la [ganancia](#def-b1-filters-transfer-functions-H) vale $-3\,\mathrm{dB}$ en $\omega_0$ .
12. Calcúlense $L$ y $C$ para $f_0 = 2.0\,\mathrm{kHz}$ y $Q = 1/\sqrt2$ .
13. Calcúlese la [ganancia](#def-b1-filters-transfer-functions-H) en [decibelios](#def-b1-filters-transfer-functions-bode) a $4\,\mathrm{kHz}$ y a $8\,\mathrm{kHz}$ ; dedúzcase la pendiente en dB por octava.
14. La rama de agudos intercambia los papeles de $L$ y $C$ ( $C$ en serie, $L$ en paralelo): escríbase su [función de transferencia](#def-b1-filters-transfer-functions-H) sin ningún cálculo nuevo.
15. Calcúlese la fase de cada rama en $f_0$ . ¿Qué hay que hacer con el cableado del altavoz de agudos, y por qué?

**Parte III — La música a través del [filtro](#def-b1-filters-transfer-functions-H) divisor.**

16. Una nota de violonchelo a $220\,\mathrm{Hz}$ lleva armónicos hasta el vigésimo. ¿Qué armónicos van sobre todo al altavoz de agudos con el [filtro](#def-b1-filters-transfer-functions-H) divisor de primer orden?
17. ¿Qué le ocurre al noveno armónico?
18. Se usa como [señal](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/5-propagacion-de-senales-ondas-progresivas-y-estacionarias#def-b1-wave-propagation-signal) de prueba una [señal](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/5-propagacion-de-senales-ondas-progresivas-y-estacionarias#def-b1-wave-propagation-signal) cuadrada de $1.0\,\mathrm{kHz}$ . Con el [filtro](#def-b1-filters-transfer-functions-H) divisor de primer orden, dese la [ganancia](#def-b1-filters-transfer-functions-H) de cada rama para su fundamental y sus armónicos tercero y quinto.
19. El amplificador desarrolla por accidente una componente continua de $1\,\mathrm{V}$ . ¿Qué altavoz queda protegido, y por qué?
20. Con el [filtro](#def-b1-filters-transfer-functions-H) divisor de primer orden, ¿qué fracción de la tensión y de la potencia de un tono de $500\,\mathrm{Hz}$ llega al altavoz de agudos? Lo mismo con el de segundo orden. ¿Por qué importa esto para la supervivencia del altavoz de agudos?

**Parte IV — Una bobina móvil real.** El altavoz de graves es en realidad $R = 8.0\,\Omega$ en serie con la inductancia de la bobina móvil $L_{vc} = 0.50\,\mathrm{mH}$.

21. Calcúlese la [impedancia](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/8-regimen-sinusoidal-permanente-e-impedancia#def-b1-sinusoidal-impedance-impedance) del altavoz de graves (en módulo) a $2\,\mathrm{kHz}$ y a $8\,\mathrm{kHz}$ .
22. Recalcúlese con esa [impedancia](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/8-regimen-sinusoidal-permanente-e-impedancia#def-b1-sinusoidal-impedance-impedance) la [ganancia](#def-b1-filters-transfer-functions-H) de graves de primer orden a $2\,\mathrm{kHz}$ y a $8\,\mathrm{kHz}$ , y compárese con los $-3\,\mathrm{dB}$ y $-12.3\,\mathrm{dB}$ ideales. ¿Qué le ha pasado a la caída?
23. Se conecta en paralelo con el altavoz de graves una “red de Zobel” — $R_z = R$ en serie con $C_z =  L_{vc}/R^2$ —. Muéstrese que el conjunto se comporta como una resistencia pura $R$ a toda frecuencia, y calcúlese $C_z$ .
24. El amplificador entrega $50\,\mathrm{W}$ sobre $8\,\Omega$ : ¿qué tensión eficaz es esa y qué potencia recibe cada altavoz en $f_c$ ( [filtro](#def-b1-filters-transfer-functions-H) divisor de primer orden)? A $500\,\mathrm{Hz}$ , ¿cuánta llega al altavoz de agudos?
25. Resúmanse los compromisos: pendiente, fase, número de componentes, protección del altavoz de agudos y necesidad de una red de Zobel.

**Solución de Problema 9.1.**

**1.** $\underline H = \underline U_{\text{altavoz}}/\underline U_e$; $G_{\mathrm{dB}} = 20\log\abs{\underline H}$.

**2.** $\underline H_L = R/(R + jL\omega) = 1/(1 + j\omega/\omega_c)$, $\omega_c = R/L$.

**3.** $L = R/\omega_c = 8.0/(2\pi \times 2000) = 0.64\,\mathrm{mH}$.

**4.** $\underline H_H = R/(R + 1/jC\omega) = jRC\omega/(1 + jRC\omega)$, $\omega_c = 1/RC$; $C = 1/(R\omega_c) = 9.9\,\text{µ}\mathrm{F} \approx
10\,\text{µ}\mathrm{F}$.

**5.** En $f_c$: $-3\,\mathrm{dB}$ cada uno. $200\,\mathrm{Hz}$ ($x = 0.1$): graves $-0.04\,\mathrm{dB}$, agudos $-20\,\mathrm{dB}$. $20\,\mathrm{kHz}$ ($x = 10$): graves $-20\,\mathrm{dB}$, agudos $-0.04\,\mathrm{dB}$.

**6.** $G_L^2 + G_H^2 = (1 + x^2)/(1 + x^2) = 1$: con cargas iguales, las dos potencias suman la que tomaría un único altavoz de $8\,\Omega$ — repartida, no perdida.

**7.** $-45^\circ$ (graves) y $+45^\circ$ (agudos): $90^\circ$ de diferencia; en $f_c$ los dos conos no se mueven juntos.

**8.** $\pm 6\,\mathrm{dB}$ por octava ($20\,\mathrm{dB}$ por década).

**9.** Divisor entre $jL\omega$ y $R \parallel 1/jC\omega =
R/(1 + jRC\omega)$: $\underline H = R/[R + jL\omega(1 + jRC\omega)] =
1/(1 - LC\omega^2 + jL\omega/R)$.

**10.** $\omega_0 = 1/\sqrt{LC}$; $L\omega/R = x/Q$ da $Q =
R/L\omega_0 = R\sqrt{C/L}$.

**11.** $\abs{\underline H}^{-2} = (1 - x^2)^2 + x^2/Q^2 = 1 + x^4 +
x^2(1/Q^2 - 2) = 1 + x^4$ para $Q^2 = \tfrac12$; en $x = 1$, $G = 1/\sqrt2$.

**12.** $L = R/(Q\omega_0) = 8\sqrt2/(1.257\times10^4) = 0.90\,\mathrm{mH}$; $C = 1/(L\omega_0^2) = 7.0\,\text{µ}\mathrm{F}$.

**13.** $x = 2$: $1/\sqrt{17}$, $-12.3\,\mathrm{dB}$; $x = 4$: $1/\sqrt{257}$, $-24.1\,\mathrm{dB}$: $12\,\mathrm{dB}$ por octava.

**14.** Intercambiar $L$ y $C$ intercambia $x \leftrightarrow 1/x$ (y $Q$ no cambia): $\underline H_H = -x^2/(1 - x^2 + jx/Q)$.

**15.** En $x = 1$: $\underline H_L = Q/j = -jQ$ ($-90^\circ$) y $\underline H_H = jQ$ ($+90^\circ$): los altavoces están en oposición de fase en el corte y se cancelarían acústicamente; el de agudos se conecta con la polaridad invertida.

**16.** Los armónicos por encima de $2\,\mathrm{kHz}$: de $n \geq 10$ ($2.2\,\mathrm{kHz}$ en adelante) van sobre todo al altavoz de agudos.

**17.** $9 \times 220 = 1980\,\mathrm{Hz} \approx f_c$: se reparte por igual, $-3\,\mathrm{dB}$ a cada uno.

**18.** Graves ($G_L$): $x = 0.5$: $0.89$; $x = 1.5$: $0.55$; $x = 2.5$: $0.37$. Agudos ($G_H$): $0.45$, $0.83$, $0.93$.

**19.** El de agudos: su condensador en serie bloquea la continua. El de graves se lleva la componente continua ($1\,\mathrm{V}$ sobre $8\,\Omega$: $125\,\mathrm{mA}$, $0.125\,\mathrm{W}$ de calor y un cono desplazado).

**20.** Primer orden, $x = 0.25$: $G_H = 0.25/\sqrt{1.0625} = 0.24$ ($-12\,\mathrm{dB}$), fracción de potencia $6\%$. Segundo orden: $0.0625/\sqrt{1 +
0.0039} = 0.06$ ($-24\,\mathrm{dB}$), $0.4\%$. Un altavoz de agudos de unos pocos vatios recibe el $6\%$ de una nota grave fuerte con el diseño de primer orden — puede quemarse.

**21.** $\underline Z = 8 + jL_{vc}\omega$: a $2\,\mathrm{kHz}$: $8 + 6.3j$, $\abs{\underline Z} = 10.2\,\Omega$; a $8\,\mathrm{kHz}$: $8 + 25.1j$, $26.3\,\Omega$.

**22.** $\underline H = \underline Z/(\underline Z + jL\omega)$: a $2\,\mathrm{kHz}$: $10.2/\abs{8 + 14.3j} = 10.2/16.4 = 0.62$ ($-4.2\,\mathrm{dB}$); a $8\,\mathrm{kHz}$: $26.3/\abs{8 + 57.3j} = 0.45$ ($-6.9\,\mathrm{dB}$) en vez de $-12.3\,\mathrm{dB}$: la [impedancia](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/8-regimen-sinusoidal-permanente-e-impedancia#def-b1-sinusoidal-impedance-impedance) creciente de la bobina móvil se opone a la bobina en serie y la caída se aplana a unos pocos dB por octava.

**23.** [Admitancias](https://one-course.com/books/physics/3/es/chapter/8-regimen-sinusoidal-permanente-e-impedancia#def-b1-sinusoidal-impedance-impedance): $1/(R + jL_{vc}\omega) + jC_z\omega/(1 + jRC_z\omega)$; con $C_z = L_{vc}/R^2$ el segundo término vale $jL_{vc}\omega/[R(R +
jL_{vc}\omega)]$, y la suma es $(R + jL_{vc}\omega)/[R(R + jL_{vc}\omega)]
= 1/R$. $C_z = 0.50\times10^{-3}/64 = 7.8\,\text{µ}\mathrm{F}$.

**24.** $U = \sqrt{PR} = \sqrt{400} = 20\,\mathrm{V}$ eficaces. En $f_c$ cada altavoz recibe la mitad: $25\,\mathrm{W}$. A $500\,\mathrm{Hz}$ el de agudos recibe el $6\%$: $3\,\mathrm{W}$.

**25.** Primer orden: dos componentes, complementario en potencia, pendientes suaves de $6\,\mathrm{dB}/\mathrm{oct}$, $90^\circ$ entre altavoces y graves que se cuelan en el de agudos. Segundo orden: cuatro componentes, $12\,\mathrm{dB}/\mathrm{oct}$, $180^\circ$ en el corte (hay que invertir el de agudos) y una protección mucho mejor del altavoz de agudos. En ambos casos la inductancia del altavoz de graves debe domarse con una red de Zobel para que el diseño se sostenga.