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title: "L’amplificateur opérationnel"
book: "Physique universitaire — 1re année"
subject: physics
language: fr
chapter: 10
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/10-lamplificateur-operationnel
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# Chapitre 10 — L’amplificateur opérationnel

Une jauge de contrainte collée sur la poutre d’un pont voit sa résistance varier d’un millième au passage d’un camion ; le [pont de Wheatstone](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/6-circuits-en-courant-continu-lois-de-kirchhoff-et-theoremes#prop-b1-dc-circuits-wheatstone) qui l’entoure ([Chapitre 6](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/6-circuits-en-courant-continu-lois-de-kirchhoff-et-theoremes#ch-b1-dc-circuits)) en fait deux millivolts. Deux millivolts ne commandent rien. Entre la jauge et l’alarme qui fermera le pont à la circulation s’intercale une puce grande comme un ongle, vendue quelques centimes, qui multiplie le [signal](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/5-propagation-dun-signal-ondes-progressives-et-stationnaires#def-b1-wave-propagation-signal) par mille, le [filtre](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/9-filtres-et-fonctions-de-transfert#def-b1-filters-transfer-functions-H), le compare à un seuil et allume une lampe — quatre tâches, un composant, quatre câblages différents. Ce chapitre présente l’[amplificateur opérationnel](#def-b1-operational-amplifier-opamp) par son modèle idéal, en tire la poignée de montages dont tout instrument est fait, et montre ce qui arrive lorsqu’on retire la contre-réaction.

## 10.1 Le composant et son modèle idéal

**Définition 10.1 (Amplificateur opérationnel).**

Un *amplificateur opérationnel* est un circuit intégré à deux entrées — l’entrée *non inverseuse* au potentiel $V_+$ et l’entrée *inverseuse* au potentiel $V_-$ — et une sortie au potentiel $V_s$, alimenté par deux sources $\pm V_{\mathrm{cc}}$ (en général $\pm15\,\mathrm{V}$) que l’on omet d’ordinaire sur les schémas. Il amplifie la différence $\epsilon = V_+ - V_-$ :

$$
V_s = \mu\,\epsilon \quad\text{tant que } \abs{V_s} < V_{\mathrm{sat}},
$$

avec un *gain en boucle ouverte* $\mu$ de l’ordre de $10^5$ et une *tension de saturation* $V_{\mathrm{sat}}$ légèrement inférieure à $V_{\mathrm{cc}}$. Lorsque $\mu\abs\epsilon$ dépasserait $V_{\mathrm{sat}}$, la sortie se bloque à $+V_{\mathrm{sat}}$ ou $-V_{\mathrm{sat}}$ : c’est le régime *saturé*.

**Définition 10.2 (Amplificateur opérationnel idéal).**

Le modèle *idéal* suppose : (i) qu’aucun courant n’entre par les entrées, $i_+ = i_- = 0$ ([impédance](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/8-regime-sinusoidal-force-et-impedance#def-b1-sinusoidal-impedance-impedance) d’entrée infinie) ; (ii) que la sortie impose sa tension quel que soit le courant demandé ([impédance](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/8-regime-sinusoidal-force-et-impedance#def-b1-sinusoidal-impedance-impedance) de sortie nulle) ; (iii) que le gain est infini, $\mu \to \infty$. En *régime linéaire* ($\abs{V_s}
< V_{\mathrm{sat}}$), la troisième hypothèse impose

$$
\epsilon = V_+ - V_- = 0 :
$$

les deux entrées sont au même potentiel (un « court-circuit virtuel ») bien qu’aucun courant ne circule entre elles.

![L’amplificateur opérationnel : son symbole avec ses deux entrées, et sa caractéristique de transfert V_s( ) — un segment linéaire très raide de pente 105 (dessinée bien trop plate), puis la saturation à ± V_ sat. Dans le modèle idéal, ce segment est vertical : = 0.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-operational-amplifier/fig-f9cc98deb974.svg)

*L’[amplificateur opérationnel](#def-b1-operational-amplifier-opamp) : son symbole avec ses deux entrées, et sa caractéristique de transfert $V_s(\epsilon)$ — un segment linéaire très raide de pente $\mu \sim 10^5$ (dessinée bien trop plate), puis la saturation à $\pm V_{\mathrm{sat}}$. Dans le modèle idéal, ce segment est vertical : $\epsilon = 0$.*

**Proposition 10.3 (Contre-réaction et régime linéaire).**

Si la sortie est ramenée sur l’entrée *inverseuse* par un réseau (contre-réaction), le montage possède un [point de fonctionnement](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/6-circuits-en-courant-continu-lois-de-kirchhoff-et-theoremes#met-b1-dc-circuits-loadline) linéaire stable en $\epsilon = 0$ et les règles de l’amplificateur idéal s’appliquent. Si la sortie est ramenée sur l’entrée non inverseuse ([réaction positive](#prop-b1-operational-amplifier-feedback)), ou n’est pas ramenée du tout, l’amplificateur sature : $V_s = \pm V_{\mathrm{sat}}$ selon le signe de $\epsilon$.

**Démonstration partielle.** Avec la contre-réaction, supposons que $V_s$ s’élève un peu au-dessus de sa valeur d’équilibre : le réseau de retour fait monter $V_-$, $\epsilon$ diminue, et l’amplificateur ramène $V_s$ vers le bas : la perturbation est corrigée. Avec la [réaction positive](#prop-b1-operational-amplifier-feedback), la même perturbation élève $V_+$, augmente $\epsilon$ et éloigne encore $V_s$ jusqu’à la saturation. L’argument complet (un modèle du premier ordre de l’amplificateur, $\mu(j\omega)
= \mu_0/(1 + j\omega/\omega_0)$, et la stabilité de l’équation différentielle qui en résulte) relève du volume de deuxième année ; la règle ci-dessus est celle que l’on utilise. ∎

**Remarque 10.4 (Amplificateurs réels).**

Trois écarts au modèle idéal comptent en pratique. Le [gain en boucle ouverte](#def-b1-operational-amplifier-opamp) décroît avec la fréquence comme $\mu_0/(1 + jf/f_0)$ avec $f_0 \sim 10\,\mathrm{Hz}$ : le produit $\mu_0 f_0 = f_T \sim 1\,\mathrm{MHz}$ (le *[produit gain–bande passante](#rem-b1-operational-amplifier-real)*) est la [bande passante](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/9-filtres-et-fonctions-de-transfert#def-b1-filters-transfer-functions-bode) offerte à un suiveur, et un montage de gain en boucle fermée $G$ a pour [bande passante](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/9-filtres-et-fonctions-de-transfert#def-b1-filters-transfer-functions-bode) $f_T/G$. La sortie ne peut pas varier plus vite que la *[vitesse de balayage](#rem-b1-operational-amplifier-real)*, $\sim1\,\mathrm{V}/\text{µ}\mathrm{s}$. Enfin une petite *[tension de décalage d’entrée](#rem-b1-operational-amplifier-real)* ($\sim1\,\mathrm{mV}$) est amplifiée comme un [signal](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/5-propagation-dun-signal-ondes-progressives-et-stationnaires#def-b1-wave-propagation-signal) — fatal pour des entrées de quelques millivolts, sauf à la compenser.

## 10.2 Les montages linéaires de base

**Méthode 10.5 (Analyser un montage à AO idéal en régime linéaire).**

1. Vérifier que le retour se fait sur l’entrée inverseuse.
2. Écrire $i_+ = i_- = 0$ : les nœuds d’entrée obéissent à la [loi des nœuds](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/6-circuits-en-courant-continu-lois-de-kirchhoff-et-theoremes#thm-b1-dc-circuits-kirchhoff) sans courant vers l’amplificateur (les diviseurs et le théorème de Millman s’appliquent).
3. Écrire $V_+ = V_-$ et résoudre en $V_s$ .
4. Vérifier ensuite que $\abs{V_s} < V_{\mathrm{sat}}$ ; sinon, l’amplificateur est saturé et le résultat vaut $\pm V_{\mathrm{sat}}$ .

**Proposition 10.6 (Suiveur, amplificateur non inverseur et inverseur).**

- *Suiveur* : sortie reliée à $V_-$ , entrée sur $V_+$ : $V_s = V_e$ ; [impédance](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/8-regime-sinusoidal-force-et-impedance#def-b1-sinusoidal-impedance-impedance) d’entrée infinie, [impédance](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/8-regime-sinusoidal-force-et-impedance#def-b1-sinusoidal-impedance-impedance) de sortie nulle.
- *[Amplificateur non inverseur](#prop-b1-operational-amplifier-basic)* : sortie vers $V_-$ par un diviseur $R_2$ (retour) et $R_1$ (vers la masse), entrée sur $V_+$ : $$V_s = \left(1 + \frac{R_2}{R_1}\right)V_e .$$
- *[Amplificateur inverseur](#prop-b1-operational-amplifier-basic)* : $V_+$ à la masse, entrée par $R_1$ vers $V_-$, retour $R_2$ de la sortie vers $V_-$ : $$V_s = -\frac{R_2}{R_1}\,V_e ,$$ avec $V_-$ maintenue au potentiel de la masse (une *[masse virtuelle](#prop-b1-operational-amplifier-basic)*) et une [impédance](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/8-regime-sinusoidal-force-et-impedance#def-b1-sinusoidal-impedance-impedance) d’entrée $R_1$.

**Démonstration.** Suiveur : $V_- = V_s$ et $V_+ = V_e$ ; $\epsilon = 0$ donne $V_s = V_e$. Non inverseur : aucun courant n’entre en $V_-$, donc le diviseur donne $V_- =
V_sR_1/(R_1 + R_2)$ ; on l’égale à $V_+ = V_e$. Inverseur : $V_- = V_+ = 0$ ; [loi des nœuds](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/6-circuits-en-courant-continu-lois-de-kirchhoff-et-theoremes#thm-b1-dc-circuits-kirchhoff) en $V_-$ avec $i_- = 0$ : $(V_e - 0)/R_1 + (V_s - 0)/R_2 = 0$. La source débite $V_e/R_1$ : l’[impédance](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/8-regime-sinusoidal-force-et-impedance#def-b1-sinusoidal-impedance-impedance) d’entrée vaut $R_1$. ∎

![Les trois montages de base. Dans chacun, la sortie alimente l’entrée inverseuse, l’amplificateur travaille en régime linéaire, et le gain n’est fixé que par des rapports de résistances — non par le énorme et mal défini de l’amplificateur lui-même.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-operational-amplifier/fig-63ecf3b2cba3.svg)

*Les trois montages de base. Dans chacun, la sortie alimente l’entrée inverseuse, l’amplificateur travaille en [régime linéaire](#def-b1-operational-amplifier-ideal), et le gain n’est fixé que par des rapports de résistances — non par le $\mu$ énorme et mal défini de l’amplificateur lui-même.*

**Exemple 10.7 (À quoi sert un suiveur).**

Un capteur de résistance de Thévenin $10\,\mathrm{k}\Omega$ qui alimente une charge de $1\,\mathrm{k}\Omega$ ne lui délivre que $1/11$ de sa tension à vide ([Remarque 6.14](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/6-circuits-en-courant-continu-lois-de-kirchhoff-et-theoremes#rem-b1-dc-circuits-loading)). Un suiveur intercalé ne tire aucun courant du capteur et attaque la charge depuis une sortie d’[impédance](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/8-regime-sinusoidal-force-et-impedance#def-b1-sinusoidal-impedance-impedance) nulle : la tension entière arrive. Le suiveur est un *adaptateur d’[impédance](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/8-regime-sinusoidal-force-et-impedance#def-b1-sinusoidal-impedance-impedance)* — et il rend exacte la règle de mise en cascade de la [Proposition 9.14](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/9-filtres-et-fonctions-de-transfert#prop-b1-filters-transfer-functions-cascade).

**Proposition 10.8 (Sommateur et amplificateur différentiel).**

Entrées $V_1, V_2$ par $R_1, R_2$ vers le nœud inverseur, retour $R_f$, $V_+$ à la masse :

$$
V_s = -R_f\left(\frac{V_1}{R_1} + \frac{V_2}{R_2}\right)
\quad (\text{sommateur}).
$$

Avec $V_1$ par $R_1$ vers $V_-$ (retour $R_2$) et $V_2$ par $R_1$ vers $V_+$ (avec $R_2$ de $V_+$ à la masse) :

$$
V_s = \frac{R_2}{R_1}\,(V_2 - V_1)
\quad (\text{amplificateur différentiel}).
$$

**Démonstration.** Sommateur : [loi des nœuds](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/6-circuits-en-courant-continu-lois-de-kirchhoff-et-theoremes#thm-b1-dc-circuits-kirchhoff) à la [masse virtuelle](#prop-b1-operational-amplifier-basic), $V_1/R_1 + V_2/R_2 + V_s/R_f =
0$. Différentiel : $V_+ = V_2R_2/(R_1 + R_2)$ (diviseur) ; [loi des nœuds](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/6-circuits-en-courant-continu-lois-de-kirchhoff-et-theoremes#thm-b1-dc-circuits-kirchhoff) en $V_-$ : $(V_1 - V_-)/R_1 + (V_s - V_-)/R_2 = 0$, donc $V_s = V_-(1 + R_2/R_1) -
V_1R_2/R_1$ ; on pose $V_- = V_+$ et on simplifie. ∎

## 10.3 Intégrateur et dérivateur

**Proposition 10.9 (Intégrateur).**

Entrée par $R$ vers $V_-$, un condensateur $C$ en retour, $V_+$ à la masse :

$$
V_s(t) = -\frac{1}{RC}\int_0^t V_e(t')\,\dd t' + V_s(0),
\qquad
\underline H = -\frac{1}{jRC\omega} .
$$

Le gain tombe de $20\,\mathrm{dB}$ par décade à toute fréquence et la phase vaut $+90^\circ$ : un intégrateur exact — jusqu’à ce que le moindre décalage ou courant de polarisation, intégré indéfiniment, pousse la sortie à la saturation.

**Démonstration.** [Masse virtuelle](#prop-b1-operational-amplifier-basic) : le courant $V_e/R$ passe dans le condensateur, dont la tension (de $V_-$ vers la sortie) vaut $-V_s$ ; d’où $C\,\dd(-V_s)/\dd t
= V_e/R$, et en notation complexe $\underline H = -1/(jRC\omega)$. ∎

**Remarque 10.10 (Dompter l’intégrateur).**

Une résistance $R'$ en dérivation sur $C$ donne

$$
\underline H = -\frac{R'/R}{1 + jR'C\omega},
$$

un passe-bas du premier ordre de gain continu $-R'/R$ et de coupure $1/R'C$, qui intègre pour $\omega \gg 1/R'C$ mais ne peut pas dériver jusqu’à la saturation. De même le dérivateur (condensateur à l’entrée, résistance en retour : $V_s = -RC\,\dd V_e/\dd t$, $\underline H =
-jRC\omega$) amplifie sans limite le bruit de haute fréquence, sauf à plafonner son gain par une petite résistance en série.

![L’intégrateur et son diagramme de Bode (en bleu, -20\, dB par décade partout, gain infini en continu) ; avec une résistance aux bornes de C, le gain est plafonné à basse fréquence (en rouge) : un passe-bas qui intègre au-dessus de sa coupure.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-operational-amplifier/fig-5d623ef1e9ad.svg)

*L’intégrateur et son [diagramme de Bode](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/9-filtres-et-fonctions-de-transfert#def-b1-filters-transfer-functions-bode) (en bleu, $-20\,\mathrm{dB}$ par décade partout, gain infini en continu) ; avec une résistance aux bornes de $C$, le gain est plafonné à basse fréquence (en rouge) : un passe-bas qui intègre au-dessus de sa coupure.*

**Exemple 10.11 (Un triangle à partir d’un carré).**

$R = 10\,\mathrm{k}\Omega$, $C = 100\,\mathrm{nF}$, $1/RC = 1000\,\mathrm{s}^{-1}$. Un [signal](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/5-propagation-dun-signal-ondes-progressives-et-stationnaires#def-b1-wave-propagation-signal) carré à $1\,\mathrm{kHz}$ de $\pm1\,\mathrm{V}$ donne un triangle de pente $\mp1000\,\mathrm{V}/\mathrm{s}$ et d’[amplitude](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/5-propagation-dun-signal-ondes-progressives-et-stationnaires#def-b1-wave-propagation-signal) $ET/4RC = 0.25\,\mathrm{V}$ — sans l’atténuation en $1/\omega$ d’un RC passif, et avec une sortie d’[impédance](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/8-regime-sinusoidal-force-et-impedance#def-b1-sinusoidal-impedance-impedance) nulle pour attaquer l’étage suivant.

## 10.4 Filtres actifs

**Proposition 10.12 (Passe-bas actif du premier ordre).**

L’[amplificateur inverseur](#prop-b1-operational-amplifier-basic) muni d’un condensateur $C$ en dérivation sur sa résistance de retour $R_2$ a pour [fonction de transfert](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/9-filtres-et-fonctions-de-transfert#def-b1-filters-transfer-functions-H)

$$
\underline H = -\frac{R_2/R_1}{1 + jR_2C\omega}:
$$

un passe-bas de gain continu $-R_2/R_1$ (qui peut dépasser $1$) et de coupure $\omega_c = 1/R_2C$, d’[impédance](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/8-regime-sinusoidal-force-et-impedance#def-b1-sinusoidal-impedance-impedance) de sortie nulle — les étages se mettent en cascade par simple multiplication.

**Démonstration.** [Amplificateur inverseur](#prop-b1-operational-amplifier-basic) avec l’[impédance](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/8-regime-sinusoidal-force-et-impedance#def-b1-sinusoidal-impedance-impedance) de retour $R_2 \parallel 1/jC\omega
= R_2/(1 + jR_2C\omega)$ à la place de $R_2$. ∎

## 10.5 Sans contre-réaction : les comparateurs

**Proposition 10.13 (Comparateur).**

Sans retour, l’amplificateur idéal est saturé : $V_s = +V_{\mathrm{sat}}$ si $V_+ > V_-$, et $-V_{\mathrm{sat}}$ si $V_+ < V_-$. Avec une référence $V_{\mathrm{ref}}$ sur une entrée et un [signal](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/5-propagation-dun-signal-ondes-progressives-et-stationnaires#def-b1-wave-propagation-signal) sur l’autre, la sortie dit si le [signal](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/5-propagation-dun-signal-ondes-progressives-et-stationnaires#def-b1-wave-propagation-signal) dépasse la référence — un convertisseur à un bit.

**Démonstration.** $\mu\epsilon$ dépasse $V_{\mathrm{sat}}$ pour tout $\abs\epsilon >
V_{\mathrm{sat}}/\mu \sim 0.1\,\mathrm{mV}$. ∎

**Proposition 10.14 (Comparateur à hystérésis (trigger de Schmitt)).**

Ramenons une fraction $\beta = R_1/(R_1 + R_2)$ de la sortie sur $V_+$ (diviseur $R_1$ vers la masse, $R_2$ depuis la sortie) et appliquons le [signal](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/5-propagation-dun-signal-ondes-progressives-et-stationnaires#def-b1-wave-propagation-signal) $V_e$ sur $V_-$. La sortie bascule de $+V_{\mathrm{sat}}$ à $-V_{\mathrm{sat}}$ lorsque $V_e$ monte au-delà de $+\beta V_{\mathrm{sat}}$, et revient lorsque $V_e$ descend sous $-\beta V_{\mathrm{sat}}$ : deux seuils, une *hystérésis* de largeur $2\beta V_{\mathrm{sat}}$, insensible à tout bruit plus petit que cette largeur.

**Démonstration.** [Réaction positive](#prop-b1-operational-amplifier-feedback) : montage saturé. Si $V_s = +V_{\mathrm{sat}}$, alors $V_+ =
\beta V_{\mathrm{sat}}$, et $\epsilon = \beta V_{\mathrm{sat}} - V_e$ reste positif tant que $V_e$ ne dépasse pas $\beta V_{\mathrm{sat}}$ ; la sortie bascule alors, $V_+$ tombe à $-\beta V_{\mathrm{sat}}$, et ce nouvel état tient jusqu’à ce que $V_e$ passe sous cette valeur. ∎

![Le trigger de Schmitt : la réaction positive par R_1 et R_2 donne deux seuils ± V_ sat. La sortie bascule du haut vers le bas quand V_e franchit le seuil supérieur, et du bas vers le haut quand elle passe sous le seuil inférieur (flèches) : un cycle d’hystérésis.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-operational-amplifier/fig-3b55744c7cd2.svg)

*Le [trigger de Schmitt](#prop-b1-operational-amplifier-schmitt) : la [réaction positive](#prop-b1-operational-amplifier-feedback) par $R_1$ et $R_2$ donne deux seuils $\pm\beta V_{\mathrm{sat}}$. La sortie bascule du haut vers le bas quand $V_e$ franchit le seuil supérieur, et du bas vers le haut quand elle passe sous le seuil inférieur (flèches) : un cycle d’hystérésis.*

**Exemple 10.15 (L’oscillateur à relaxation).**

Ramenons la sortie du [trigger de Schmitt](#prop-b1-operational-amplifier-schmitt) sur sa propre entrée inverseuse à travers $R$, avec $C$ de $V_-$ à la masse. Le condensateur se charge vers $\pm V_{\mathrm{sat}}$ et fait basculer le trigger chaque fois qu’il atteint $\pm\beta V_{\mathrm{sat}}$ : la sortie est un [signal](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/5-propagation-dun-signal-ondes-progressives-et-stationnaires#def-b1-wave-propagation-signal) carré, la tension du condensateur une suite d’arcs exponentiels, et la période vaut

$$
T = 2RC\ln\frac{1 + \beta}{1 - \beta}
$$

([Exercice 10.12](#exo-b1-operational-amplifier-12)) : $2.2\,RC$ pour $\beta = \tfrac12$. Pas d’entrée, un condensateur, et voilà une horloge — un système qui oscille parce qu’il ne peut pas se stabiliser, thème qui reviendra avec les oscillateurs à réaction du volume de deuxième année.

## 10.6 Exercices

**Exercice 10.1 ★.**

Un [amplificateur non inverseur](#prop-b1-operational-amplifier-basic) a $R_1 = 1.0\,\mathrm{k}\Omega$, $R_2 =
9.0\,\mathrm{k}\Omega$, $V_{\mathrm{sat}} = 15\,\mathrm{V}$. Gain ? Sortie pour $V_e = 0.50\,\mathrm{V}$ ? Plus grande entrée avant saturation ?

**Solution de Exercice 10.1.**

$G = 1 + 9 = 10$ ; $V_s = 5.0\,\mathrm{V}$ ; saturation pour $V_e = 15/10 =
1.5\,\mathrm{V}$.

**Exercice 10.2 ★.**

Un [amplificateur inverseur](#prop-b1-operational-amplifier-basic) a $R_1 = 10\,\mathrm{k}\Omega$, $R_2 = 100\,\mathrm{k}\Omega$. Gain, [impédance](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/8-regime-sinusoidal-force-et-impedance#def-b1-sinusoidal-impedance-impedance) d’entrée, courant tiré d’une source de $1.0\,\mathrm{V}$, tension de sortie.

**Solution de Exercice 10.2.**

$G = -10$ ; [impédance](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/8-regime-sinusoidal-force-et-impedance#def-b1-sinusoidal-impedance-impedance) d’entrée $R_1 = 10\,\mathrm{k}\Omega$ ; $i = 1.0/10^4 =
0.10\,\mathrm{mA}$ ; $V_s = -10\,\mathrm{V}$.

**Exercice 10.3 ★.**

Un capteur de [résistance interne](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/6-circuits-en-courant-continu-lois-de-kirchhoff-et-theoremes#def-b1-dc-circuits-sources) $10\,\mathrm{k}\Omega$ et de tension à vide $1.0\,\mathrm{V}$ doit alimenter une charge de $1.0\,\mathrm{k}\Omega$. Tension aux bornes de la charge sans, puis avec, un suiveur intercalé ?

**Solution de Exercice 10.3.**

Sans : diviseur $1/(1 + 10) = 0.091$, soit $91\,\mathrm{mV}$. Avec le suiveur : $1.0\,\mathrm{V}$ — le suiveur ne tire rien du capteur et fournit le $1\,\mathrm{mA}$ dont la charge a besoin.

**Exercice 10.4 ★.**

Un sommateur a $R_f = 10\,\mathrm{k}\Omega$ et des entrées par $10\,\mathrm{k}\Omega$ et $20\,\mathrm{k}\Omega$. Écrire $V_s$ ; le calculer pour $V_1 = 1.0\,\mathrm{V}$, $V_2 = 2.0\,\mathrm{V}$.

**Solution de Exercice 10.4.**

$V_s = -R_f(V_1/R_1 + V_2/R_2) = -(V_1 + V_2/2) = -(1.0 + 1.0) = -2.0\,\mathrm{V}$.

**Exercice 10.5 ★★.**

Établir la relation $V_s = (R_2/R_1)(V_2 - V_1)$ de l’[amplificateur différentiel](#prop-b1-operational-amplifier-sumdiff). Avec $R_1 = 10\,\mathrm{k}\Omega$, $R_2 = 100\,\mathrm{k}\Omega$, $V_1 = 1.00\,\mathrm{V}$ et $V_2 = 1.05\,\mathrm{V}$ : quelle sortie ? Qu’est devenu le $1\,\mathrm{V}$ commun aux deux entrées ?

**Solution de Exercice 10.5.**

$V_+ = V_2R_2/(R_1 + R_2)$ ; en $V_-$ : $(V_1 - V_-)/R_1 = (V_- - V_s)/R_2$, donc $V_s = V_-(1 + R_2/R_1) - V_1R_2/R_1$ ; avec $V_- = V_+$ : $V_s = V_2R_2/R_1 - V_1R_2/R_1$. Application : $10 \times 0.05 = 0.50\,\mathrm{V}$ ; le $1\,\mathrm{V}$ commun n’apporte rien — c’est le rejet de mode commun.

**Exercice 10.6 ★★.**

Intégrateur avec $R = 10\,\mathrm{k}\Omega$, $C = 100\,\mathrm{nF}$, sortie initialement nulle. On applique un échelon de $1.0\,\mathrm{V}$ : pente de la sortie et temps avant saturation ($15\,\mathrm{V}$). Puis un [signal](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/5-propagation-dun-signal-ondes-progressives-et-stationnaires#def-b1-wave-propagation-signal) carré à $1.0\,\mathrm{kHz}$ de $\pm1.0\,\mathrm{V}$ : forme et [amplitude](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/5-propagation-dun-signal-ondes-progressives-et-stationnaires#def-b1-wave-propagation-signal) de la sortie.

**Solution de Exercice 10.6.**

$V_s = -(1/RC)\int V_e$ : pente $-1000 \times 1.0 = -1000\,\mathrm{V}/\mathrm{s}$ ; saturation au bout de $15/1000 = 15\,\mathrm{ms}$. [Signal](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/5-propagation-dun-signal-ondes-progressives-et-stationnaires#def-b1-wave-propagation-signal) carré : triangle d’[amplitude](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/5-propagation-dun-signal-ondes-progressives-et-stationnaires#def-b1-wave-propagation-signal) $ET/4RC = 1.0 \times 10^{-3}/(4 \times 10^{-3}) = 0.25\,\mathrm{V}$ (à la constante près qu’a laissée la charge initiale).

**Exercice 10.7 ★★.**

On ajoute une résistance de $1.0\,\mathrm{M}\Omega$ aux bornes du condensateur de l’intégrateur précédent. Donner la [fonction de transfert](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/9-filtres-et-fonctions-de-transfert#def-b1-filters-transfer-functions-H), le gain en continu, la [fréquence de coupure](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/9-filtres-et-fonctions-de-transfert#def-b1-filters-transfer-functions-bode) et le gain à $1.0\,\mathrm{kHz}$ ; dans quel domaine le montage intègre-t-il encore ?

**Solution de Exercice 10.7.**

$\underline H = -(R'/R)/(1 + jR'C\omega)$ : gain continu $-100$ ; coupure $1/(2\pi R'C) = 1.6\,\mathrm{Hz}$ ; à $1\,\mathrm{kHz}$, $R'C\omega = 628$, $G =
100/628 = 0.16$ — la valeur $1/RC\omega$ de l’intégrateur. Il intègre pour $f \gg 1.6\,\mathrm{Hz}$.

**Exercice 10.8 ★★.**

Dimensionner un passe-bas actif inverseur de gain $20\,\mathrm{dB}$ dans la [bande passante](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/9-filtres-et-fonctions-de-transfert#def-b1-filters-transfer-functions-bode) et de coupure à $500\,\mathrm{Hz}$, avec $R_1 = 1.0\,\mathrm{k}\Omega$.

**Solution de Exercice 10.8.**

$R_2/R_1 = 10$ : $R_2 = 10\,\mathrm{k}\Omega$ ; $C = 1/(2\pi R_2f_c) = 1/(2\pi
\times 10^4 \times 500) = 32\,\mathrm{nF}$.

**Exercice 10.9 ★★.**

Un amplificateur réel a $\mu_0 = 10^5$ et $f_T = 1.0\,\mathrm{MHz}$. Pour un montage non inverseur prévu pour un gain de $100$ : gain réel en continu (en gardant $\mu_0$ fini dans l’analyse), et [bande passante](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/9-filtres-et-fonctions-de-transfert#def-b1-filters-transfer-functions-bode). [Bande passante](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/9-filtres-et-fonctions-de-transfert#def-b1-filters-transfer-functions-bode) d’un suiveur ?

**Solution de Exercice 10.9.**

Avec $\mu$ fini : $V_s = \mu(V_e - \beta V_s)$, $\beta = 1/100$, donc $G = \mu/(1 + \mu\beta) = 10^5/(1 + 10^3) = 99.9$. [Bande passante](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/9-filtres-et-fonctions-de-transfert#def-b1-filters-transfer-functions-bode) $f_T/G =
10\,\mathrm{kHz}$ ; pour un suiveur : $1\,\mathrm{MHz}$.

**Exercice 10.10 ★★★.**

Un comparateur de référence $V_{\mathrm{ref}} = 2.0\,\mathrm{V}$ sur $V_-$ surveille un [signal](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/5-propagation-dun-signal-ondes-progressives-et-stationnaires#def-b1-wave-propagation-signal) qui monte lentement en portant $50\,\mathrm{mV}$ de bruit. Décrire la sortie au passage de $2.0\,\mathrm{V}$. Remède ?

**Solution de Exercice 10.10.**

Chaque excursion du bruit à travers $2.0\,\mathrm{V}$ fait basculer la sortie : une rafale de commutations rapides autour du passage. Remède : une hystérésis plus large que le bruit, c’est-à-dire un [trigger de Schmitt](#prop-b1-operational-amplifier-schmitt).

**Exercice 10.11 ★★★.**

[Trigger de Schmitt](#prop-b1-operational-amplifier-schmitt) avec $R_1 = 1.0\,\mathrm{k}\Omega$, $R_2 = 9.0\,\mathrm{k}\Omega$, $V_{\mathrm{sat}} = 15\,\mathrm{V}$ : établir et calculer les deux seuils. Esquisser $V_s$ pour un $V_e$ triangulaire d’[amplitude](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/5-propagation-dun-signal-ondes-progressives-et-stationnaires#def-b1-wave-propagation-signal) $3\,\mathrm{V}$.

**Solution de Exercice 10.11.**

$V_+ = V_sR_1/(R_1 + R_2) = V_s/10$ : seuils $\pm1.5\,\mathrm{V}$. La sortie vaut $+15\,\mathrm{V}$ tant que $V_e$ monte jusqu’à $1.5\,\mathrm{V}$, bascule à $-15\,\mathrm{V}$, y reste jusqu’à ce que $V_e$ descende sous $-1.5\,\mathrm{V}$, puis rebascule : un [signal](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/5-propagation-dun-signal-ondes-progressives-et-stationnaires#def-b1-wave-propagation-signal) carré à la fréquence du triangle, dont les fronts sont aux passages des seuils.

**Exercice 10.12 ★★★.**

[Oscillateur à relaxation](#ex-b1-operational-amplifier-astable) avec $R_1 = R_2$ ($\beta = \tfrac12$). Établir la période $T = 2RC\ln\frac{1 + \beta}{1 - \beta}$ à partir de la charge de $C$ à travers $R$ entre les deux seuils ; choisir $R$ pour $1.0\,\mathrm{kHz}$ avec $C = 100\,\mathrm{nF}$ ; esquisser $V_s(t)$ et $V_C(t)$.

**Solution de Exercice 10.12.**

Avec $V_s = +V_{\mathrm{sat}}$, $V_C$ se charge depuis $-\beta V_{\mathrm{sat}}$ vers $+V_{\mathrm{sat}}$ : $V_C = V_{\mathrm{sat}} - (1 + \beta)V_{\mathrm{sat}}
\eu^{-t/RC}$, et atteint $+\beta V_{\mathrm{sat}}$ lorsque $\eu^{-t/RC} =
(1 - \beta)/(1 + \beta)$ : demi-période $RC\ln\frac{1 + \beta}{1 - \beta}$, d’où $T$. Pour $\beta = \tfrac12$ : $T = 2RC\ln 3 = 2.2RC$ ; $RC = 1/(2.2 \times
10^3) = 0.455\,\mathrm{ms}$, $R = 4.6\,\mathrm{k}\Omega$. $V_s$ : [signal](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/5-propagation-dun-signal-ondes-progressives-et-stationnaires#def-b1-wave-propagation-signal) carré $\pm15\,\mathrm{V}$ ; $V_C$ : arcs exponentiels entre $\pm7.5\,\mathrm{V}$.

## 10.7 Problème : une chaîne de mesure pour une jauge de contrainte

**Problème 10.1.**

Problème du week-end — de deux millivolts sur la poutre d’un pont à une lampe rouge : des suiveurs, un amplificateur différentiel, un filtre actif et un trigger de Schmitt, et les deux imperfections qui décident si la chaîne fonctionne

Une jauge de contrainte de résistance $R(1 + \epsilon)$, avec $R = 1.00\,\mathrm{k}\Omega$ et $0 \leq \epsilon \leq 2.0 \times 10^{-3}$, forme un [pont de Wheatstone](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/6-circuits-en-courant-continu-lois-de-kirchhoff-et-theoremes#prop-b1-dc-circuits-wheatstone) avec trois résistances fixes de $1.00\,\mathrm{k}\Omega$, alimenté sous $E = 5.00\,\mathrm{V}$. La sortie du pont $u = V_B - V_A$ (entre les deux points milieux) vaut $u \approx E\epsilon/4$ (le signe est fixé par le câblage). Amplificateurs : idéaux sauf mention contraire ; $V_{\mathrm{sat}} = 15\,\mathrm{V}$ ; au besoin, $f_T = 1.0\,\mathrm{MHz}$, [vitesse de balayage](#rem-b1-operational-amplifier-real) $0.5\,\mathrm{V}/\text{µ}\mathrm{s}$, décalage d’entrée $1\,\mathrm{mV}$.

**Partie I — Le pont et son effet de charge.**

1. Rappeler pourquoi $u \approx E\epsilon/4$ pour $\epsilon$ petit.
2. Calculer $u$ en pleine échelle ( $\epsilon = 2.0 \times 10^{-3}$ ).
3. Donner le potentiel de chaque point milieu (par rapport à la borne négative du pont) à déformation nulle et en pleine échelle. Comment appelle-t-on leur valeur commune ?
4. Chaque point milieu est la sortie d’un diviseur de deux résistances de $1\,\mathrm{k}\Omega$ : quelle est la résistance de Thévenin vue entre les deux points milieux ?
5. Un amplificateur de résistance d’entrée $10\,\mathrm{k}\Omega$ est branché aux bornes de sortie du pont : quelle fraction de $u$ reçoit-il ?
6. Pourquoi un suiveur sur chaque point milieu guérit-il cela ? Énoncer les deux propriétés utilisées.
7. Que valent les tensions de sortie des suiveurs (en fonction de $V_A$ et $V_B$ ), et quel courant tirent-ils du pont ?

**Partie II — Amplifier la différence.**

8. Les suiveurs alimentent un [amplificateur différentiel](#prop-b1-operational-amplifier-sumdiff) ( $R_1$ sur les deux entrées, $R_2$ en retour et vers la masse). Établir $V_s =  (R_2/R_1)(V_B - V_A)$ .
9. Choisir $R_1 = 10\,\mathrm{k}\Omega$ et $R_2$ pour un gain de $100$ .
10. Un second étage, non inverseur, multiplie par $10$ : donner ses résistances, le gain total et la sortie en pleine échelle.
11. Les deux points milieux sont voisins de $E/2 = 2.5\,\mathrm{V}$ (la tension de mode commun). Qu’en fait un [amplificateur différentiel](#prop-b1-operational-amplifier-sumdiff) parfaitement apparié ? Si un rapport de résistances est faux de $1\%$ , estimer la tension parasite ramenée à l’entrée et la comparer au [signal](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/5-propagation-dun-signal-ondes-progressives-et-stationnaires#def-b1-wave-propagation-signal) .
12. Le premier amplificateur a un décalage d’entrée de $1\,\mathrm{mV}$ . Quelle erreur de sortie cela produit-il après le gain total ? Conclure.
13. Avec $f_T = 1\,\mathrm{MHz}$ , quelle est la [bande passante](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/9-filtres-et-fonctions-de-transfert#def-b1-filters-transfer-functions-bode) de chaque étage ? Est-elle suffisante pour un [signal](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/5-propagation-dun-signal-ondes-progressives-et-stationnaires#def-b1-wave-propagation-signal) sous $5\,\mathrm{Hz}$ ?
14. La sortie doit varier de $2.5\,\mathrm{V}$ lorsqu’un camion arrive en $10\,\mathrm{ms}$ environ : la [vitesse de balayage](#rem-b1-operational-amplifier-real) limite-t-elle ?

**Partie III — Le filtrage.** Le [signal](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/5-propagation-dun-signal-ondes-progressives-et-stationnaires#def-b1-wave-propagation-signal) amplifié porte un ronflement à $50\,\mathrm{Hz}$ capté sur le secteur.

15. Dimensionner un passe-bas actif inverseur de gain $-1$ et de coupure $10\,\mathrm{Hz}$ , avec $R_1 = R_2 = 16\,\mathrm{k}\Omega$ : trouver $C$ .
16. Calculer son atténuation à $50\,\mathrm{Hz}$ en [décibels](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/9-filtres-et-fonctions-de-transfert#def-b1-filters-transfer-functions-bode) .
17. Calculer le déphasage à $5\,\mathrm{Hz}$ et le retard correspondant. Acceptable pour une alarme ?
18. Pourquoi un [filtre actif](#prop-b1-operational-amplifier-activelp) vaut-il mieux ici qu’un RC passif (deux raisons) ?
19. On met en cascade un second étage identique : atténuation à $50\,\mathrm{Hz}$ ? Pourquoi la règle du produit est-elle exacte ici ?

**Partie IV — Seuil et alarme.** L’alarme doit se déclencher lorsque la déformation dépasse $1.6 \times 10^{-3}$.

20. À quelle tension de sortie de la chaîne cela correspond-il ? Un comparateur réglé sur cette référence : états de sortie.
21. Le [signal](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/5-propagation-dun-signal-ondes-progressives-et-stationnaires#def-b1-wave-propagation-signal) filtré porte encore $50\,\mathrm{mV}$ de bruit au voisinage du seuil. Que fait le comparateur simple ?
22. Un [trigger de Schmitt](#prop-b1-operational-amplifier-schmitt) avec la référence sur une entrée et un retour $\beta$ : montrer que les seuils valent $V_{\mathrm{ref}} \pm  \beta V_{\mathrm{sat}}$ ; choisir $\beta$ pour $\pm0.10\,\mathrm{V}$ et donner $R_1$ et $R_2$ .
23. Donner les deux seuils en volts et en déformation.
24. La sortie alimente une diode électroluminescente ( $2.0\,\mathrm{V}$ , $13\,\mathrm{mA}$ ) à travers une résistance : la calculer. Qu’est-ce qui protège la diode lorsque la sortie est à $-V_{\mathrm{sat}}$ ?
25. Récapituler la chaîne, étage par étage, et nommer les deux imperfections qui en fixent les limites réelles.

**Solution de Problème 10.1.**

**1.** Deux diviseurs : $u = E[\tfrac12 - (1 + \epsilon)/(2 + \epsilon)]
\approx -E\epsilon/4$ ([Proposition 6.22](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/6-circuits-en-courant-continu-lois-de-kirchhoff-et-theoremes#prop-b1-dc-circuits-wheatstone)) ; le câblage en fixe le signe.

**2.** $u = 5.00 \times 2.0\times10^{-3}/4 = 2.5\,\mathrm{mV}$.

**3.** $V_A = E/2 = 2.500\,\mathrm{V}$ toujours ; $V_B = E(1 + \epsilon)/(2 +
\epsilon) \approx 2.500 + 0.0025 = 2.5025\,\mathrm{V}$ en pleine échelle. Les $2.5\,\mathrm{V}$ communs aux deux sont la tension de mode commun.

**4.** Chaque point milieu : $1 \parallel 1 = 500\,\Omega$ ; entre les deux points milieux, $1.0\,\mathrm{k}\Omega$.

**5.** $10/(10 + 1) = 0.91$ : une perte de $9\%$.

**6.** [Impédance](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/8-regime-sinusoidal-force-et-impedance#def-b1-sinusoidal-impedance-impedance) d’entrée infinie (aucun courant tiré du pont, donc les points milieux gardent leurs potentiels à vide) et [impédance](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/8-regime-sinusoidal-force-et-impedance#def-b1-sinusoidal-impedance-impedance) de sortie nulle (l’étage suivant peut tirer ce dont il a besoin).

**7.** Exactement $V_A$ et $V_B$ ; courant nul.

**8.** Comme à la [Proposition 10.8](#prop-b1-operational-amplifier-sumdiff) : $V_+ =
V_BR_2/(R_1 + R_2)$, [loi des nœuds](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/6-circuits-en-courant-continu-lois-de-kirchhoff-et-theoremes#thm-b1-dc-circuits-kirchhoff) en $V_-$, puis $V_- = V_+$.

**9.** $R_2 = 1.0\,\mathrm{M}\Omega$.

**10.** $1 + R_2/R_1 = 10$ : par exemple $1\,\mathrm{k}\Omega$ et $9\,\mathrm{k}\Omega$. Gain total $1000$ ; pleine échelle $2.5 \times 10^{-3} \times 1000 = 2.5\,\mathrm{V}$.

**11.** Apparié : les $2.5\,\mathrm{V}$ communs s’annulent exactement (seul $V_B - V_A$ survit). Un désappariement de $1\%$ en laisse passer environ $1\%$ : une erreur ramenée à l’entrée de l’ordre de $25\,\mathrm{mV}$, dix fois le [signal](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/5-propagation-dun-signal-ondes-progressives-et-stationnaires#def-b1-wave-propagation-signal) de pleine échelle — les quatre résistances doivent être appariées à mieux que $0.01\%$ (ou la tension de mode commun retirée d’abord).

**12.** $1\ \mathrm{mV} \times 1000 = 1\,\mathrm{V}$, soit quarante pour cent de la pleine échelle : inutilisable sans compensation du décalage, sans amplificateur à faible décalage, ou sans un étalonnage du zéro pont non chargé.

**13.** Étage 1 : $f_T/100 = 10\,\mathrm{kHz}$ ; étage 2 : $100\,\mathrm{kHz}$ ; très au-dessus de $5\,\mathrm{Hz}$.

**14.** Il faut $2.5/10^{-2} = 250\,\mathrm{V}/\mathrm{s} = 0.25\,\mathrm{mV}/\text{µ}\mathrm{s}$, deux mille fois moins que la [vitesse de balayage](#rem-b1-operational-amplifier-real) : non.

**15.** $C = 1/(2\pi R_2f_c) = 1/(2\pi \times 1.6\times10^4 \times 10)
= 1.0\,\text{µ}\mathrm{F}$.

**16.** $x = 5$ : $G = 1/\sqrt{26}$, soit $-14\,\mathrm{dB}$.

**17.** $\varphi = -\arctan 0.5 = -27^\circ$ ; retard $\varphi/\omega =
15\,\mathrm{ms}$ — rien au regard du passage d’un camion.

**18.** Aucune charge de l’étage suivant ([impédance](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/8-regime-sinusoidal-force-et-impedance#def-b1-sinusoidal-impedance-impedance) de sortie nulle) et un gain disponible ; de plus, aucune atténuation du [signal](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/5-propagation-dun-signal-ondes-progressives-et-stationnaires#def-b1-wave-propagation-signal) utile sous la coupure.

**19.** $-28\,\mathrm{dB}$ (les gains se multiplient, les [décibels](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/9-filtres-et-fonctions-de-transfert#def-b1-filters-transfer-functions-bode) s’ajoutent), exactement, parce que l’[impédance](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/8-regime-sinusoidal-force-et-impedance#def-b1-sinusoidal-impedance-impedance) de sortie du premier étage est nulle : le second ne le charge pas.

**20.** $\epsilon = 1.6\times10^{-3} \to u = 2.0\,\mathrm{mV} \to
2.0\,\mathrm{V}$ ; sortie $+V_{\mathrm{sat}}$ lorsque le [signal](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/5-propagation-dun-signal-ondes-progressives-et-stationnaires#def-b1-wave-propagation-signal) dépasse $2.0\,\mathrm{V}$, $-V_{\mathrm{sat}}$ en dessous (ou l’inverse, selon le câblage).

**21.** Il papillote : la lampe clignote à chaque passage du bruit par la référence.

**22.** Avec $V_{\mathrm{ref}}$ par $R_2$ et la sortie par $R_1$… sous la forme standard, l’entrée non inverseuse est au potentiel $V_{\mathrm{ref}}(1 - \beta) + \beta V_s$ ; en décalant la référence en conséquence, les niveaux de basculement valent $V_{\mathrm{ref}} \pm \beta V_{\mathrm{sat}}$. Comme $\beta V_{\mathrm{sat}} = 0.10\,\mathrm{V}$ : $\beta = 1/150$, par exemple $R_1 =
1.0\,\mathrm{k}\Omega$ et $R_2 = 149\,\mathrm{k}\Omega$.

**23.** $2.1\,\mathrm{V}$ (déclenchement) et $1.9\,\mathrm{V}$ (retour) : déformations $1.68 \times 10^{-3}$ et $1.52 \times 10^{-3}$.

**24.** $R = (15 - 2.0)/0.013 = 1.0\,\mathrm{k}\Omega$. À $-V_{\mathrm{sat}}$, la diode est polarisée en inverse sous $15\,\mathrm{V}$, au-delà de ce qu’elle supporte : une diode ordinaire en antiparallèle (ou en série) la protège.

**25.** Pont ($2.5\,\mathrm{mV}$ en pleine échelle) $\to$ deux suiveurs (pas d’effet de charge) $\to$ [amplificateur différentiel](#prop-b1-operational-amplifier-sumdiff) $\times100$ $\to$ non inverseur $\times10$ $\to$ passe-bas actif à $10\,\mathrm{Hz}$ $\to$ [trigger de Schmitt](#prop-b1-operational-amplifier-schmitt) à $2.0\,\mathrm{V} \pm 0.1\,\mathrm{V}$ $\to$ diode. Les vraies limites : la [tension de décalage d’entrée](#rem-b1-operational-amplifier-real) et l’appariement des résistances de l’[amplificateur différentiel](#prop-b1-operational-amplifier-sumdiff), toutes deux comparables au [signal](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/5-propagation-dun-signal-ondes-progressives-et-stationnaires#def-b1-wave-propagation-signal) de quelques millivolts.