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title: "Cinématique du point"
book: "Physique universitaire — 1re année"
subject: physics
language: fr
chapter: 11
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/11-cinematique-du-point
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# Chapitre 11 — Cinématique du point

La voiture d’un grand huit aborde la boucle à $90\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$, ralentit en montant, reste suspendue un instant au sommet, puis repart en rugissant ; ses passagers se sentent écrasés dans leur siège en bas et presque sans poids en haut. Décrire ce parcours — où est la voiture, à quelle [vitesse](#def-b1-point-kinematics-velocity) elle va, comment sa [vitesse](#def-b1-point-kinematics-velocity) tourne et varie — c’est la cinématique, et cela demande plus que les $x$, $y$, $z$ d’une route droite : des [coordonnées polaires](#def-b1-point-kinematics-cylindrical) pour tout ce qui tourne, et un repère qui voyage avec la voiture elle-même. Ce chapitre met en place ces outils, démontre les formules de la [vitesse](#def-b1-point-kinematics-velocity) et de l’[accélération](#def-b1-point-kinematics-velocity) dans chacun d’eux, et les applique aux mouvements que tous les chapitres suivants invoqueront : circulaire, hélicoïdal, harmonique, et le mouvement le long d’une courbe quelconque.

## 11.1 Position, vitesse, accélération

**Définition 11.1 (Référentiel ; position ; trajectoire).**

Un *référentiel* est un solide pris pour fixe (le laboratoire, la Terre, un train), muni d’une horloge. Un *point matériel* $M$ — un corps dont la taille n’importe pas au mouvement étudié — est repéré à chaque instant par son *vecteur position* $\vect{OM}(t)$ depuis une origine $O$ liée au référentiel ; la courbe décrite par $M$ est sa *trajectoire*. Un mouvement est toujours un mouvement *par rapport à un référentiel* : le même voyageur est au repos dans le train et en mouvement dans la gare.

**Définition 11.2 (Vitesse et accélération).**

La *vitesse* et l’*accélération* de $M$ dans le [référentiel](#def-b1-point-kinematics-frame) sont

$$
\vect v = \frac{\dd\vect{OM}}{\dd t}, \qquad
\vect a = \frac{\dd\vect v}{\dd t} = \frac{\dd^2\vect{OM}}{\dd t^2},
$$

dérivées de fonctions vectorielles : la dérivée d’un vecteur s’obtient en dérivant ses composantes dans une base *fixe dans le [référentiel](#def-b1-point-kinematics-frame)*. La vitesse est tangente à la [trajectoire](#def-b1-point-kinematics-frame) et orientée dans le sens du mouvement ; sa norme $v$ est la *valeur de la vitesse*. Unités : $\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$.

**Proposition 11.3 (Coordonnées cartésiennes).**

Avec une base orthonormée fixe $(\vect e_x, \vect e_y, \vect e_z)$ et $\vect{OM} = x\,\vect e_x + y\,\vect e_y + z\,\vect e_z$,

$$
\vect v = \dot x\,\vect e_x + \dot y\,\vect e_y + \dot z\,\vect e_z, \qquad
\vect a = \ddot x\,\vect e_x + \ddot y\,\vect e_y + \ddot z\,\vect e_z,
$$

où le point désigne $\dd/\dd t$.

**Démonstration.** Les vecteurs de base sont constants ; seules les composantes varient. ∎

**Exemple 11.4 (Projectile).**

Lancée de $O$ à la [vitesse](#def-b1-point-kinematics-velocity) $v_0$ sous un angle $\alpha$ au-dessus de l’horizontale, une balle a pour coordonnées (dynamique : chapitre suivant) $x = v_0\cos\alpha\,t$, $z = v_0\sin\alpha\,t - \tfrac12 gt^2$. Alors $\vect v = v_0\cos\alpha\,\vect e_x + (v_0\sin\alpha - gt)\vect e_z$ et $\vect a = -g\vect e_z$ : l’[accélération](#def-b1-point-kinematics-velocity) est constante tandis que la [vitesse](#def-b1-point-kinematics-velocity) tourne ; au sommet ($\dot z = 0$, $t = v_0\sin\alpha/g$) la [vitesse](#def-b1-point-kinematics-velocity) est horizontale et l’[accélération](#def-b1-point-kinematics-velocity) lui est perpendiculaire. En éliminant $t$ : $z = x\tan\alpha - gx^2/(2v_0^2\cos^2\alpha)$, une parabole.

![La parabole d’un projectile : la vitesse est tangente à la trajectoire et tourne, l’accélération g est constante. Au sommet, vitesse et accélération sont perpendiculaires : la valeur de la vitesse est momentanément stationnaire alors que sa direction change encore.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-point-kinematics/fig-243698fae792.svg)

*La parabole d’un projectile : la [vitesse](#def-b1-point-kinematics-velocity) est tangente à la [trajectoire](#def-b1-point-kinematics-frame) et tourne, l’[accélération](#def-b1-point-kinematics-velocity) $\vect g$ est constante. Au sommet, [vitesse](#def-b1-point-kinematics-velocity) et [accélération](#def-b1-point-kinematics-velocity) sont perpendiculaires : la valeur de la [vitesse](#def-b1-point-kinematics-velocity) est momentanément stationnaire alors que sa direction change encore.*

## 11.2 Coordonnées cylindriques

**Définition 11.5 (Coordonnées cylindriques et base locale).**

Le point $M$ est repéré par $r \geq 0$ (distance à l’axe $z$), l’angle $\theta$ que fait sa projection sur le plan $xy$ avec $\vect e_x$, et $z$ : $\vect{OM} = r\,\vect e_r + z\,\vect e_z$, où

$$
\vect e_r = \cos\theta\,\vect e_x + \sin\theta\,\vect e_y, \qquad
\vect e_\theta = -\sin\theta\,\vect e_x + \cos\theta\,\vect e_y,
$$

et $\vect e_z$ forment la *base locale* $(\vect e_r, \vect e_\theta,
\vect e_z)$, orthonormée directe, qui *se déplace avec $M$*. Dans le plan ($z$ fixé), ce sont les *coordonnées polaires* $(r, \theta)$.

**Lemme 11.6 (Dérivées de la base locale).**

$$
\frac{\dd\vect e_r}{\dd t} = \dot\theta\,\vect e_\theta, \qquad
\frac{\dd\vect e_\theta}{\dd t} = -\dot\theta\,\vect e_r, \qquad
\frac{\dd\vect e_z}{\dd t} = \vect 0 .
$$

**Démonstration.** En dérivant les composantes : $\dd\vect e_r/\dd t = \dot\theta(-\sin\theta\,
\vect e_x + \cos\theta\,\vect e_y) = \dot\theta\vect e_\theta$, et de même pour $\vect e_\theta$. La dérivée d’un vecteur unitaire qui tourne lui est perpendiculaire, et a pour norme la [vitesse angulaire](#cor-b1-point-kinematics-circular). ∎

**Théorème 11.7 (Vitesse et accélération en coordonnées cylindriques).**

$$
\vect v = \dot r\,\vect e_r + r\dot\theta\,\vect e_\theta + \dot z\,\vect e_z,
\qquad
\vect a = \big(\ddot r - r\dot\theta^2\big)\vect e_r
+ \big(r\ddot\theta + 2\dot r\dot\theta\big)\vect e_\theta + \ddot z\,\vect e_z .
$$

**Démonstration.** Dérivons $\vect{OM} = r\vect e_r + z\vect e_z$ à l’aide du lemme : $\vect v = \dot r\vect e_r + r\dot\theta\vect e_\theta + \dot z\vect e_z$. Dérivons une seconde fois : $\ddot r\vect e_r + \dot r\dot\theta\vect e_\theta +
\dot r\dot\theta\vect e_\theta + r\ddot\theta\vect e_\theta - r\dot\theta^2
\vect e_r + \ddot z\vect e_z$ ; puis on regroupe. ∎

![Coordonnées polaires : la base locale ( e_r, e_ ) tourne avec M ; la vitesse a une composante radiale r et une composante orthoradiale r. Ici la trajectoire (en rouge) s’enroule vers l’extérieur, donc r > 0 et v s’écarte de la tangente au cercle vers l’extérieur.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-point-kinematics/fig-98a6b555635a.svg)

*[Coordonnées polaires](#def-b1-point-kinematics-cylindrical) : la [base locale](#def-b1-point-kinematics-cylindrical) $(\vect e_r, \vect e_\theta)$ tourne avec $M$ ; la [vitesse](#def-b1-point-kinematics-velocity) a une composante radiale $\dot r$ et une composante orthoradiale $r\dot\theta$. Ici la [trajectoire](#def-b1-point-kinematics-frame) (en rouge) s’enroule vers l’extérieur, donc $\dot r > 0$ et $\vect v$ s’écarte de la tangente au cercle vers l’extérieur.*

**Corollaire 11.8 (Mouvement circulaire).**

Sur un cercle de rayon $R$ ($r = R$, $z = 0$), avec la *[vitesse angulaire](#cor-b1-point-kinematics-circular)* $\omega = \dot\theta$ :

$$
\vect v = R\omega\,\vect e_\theta, \qquad
\vect a = -R\omega^2\,\vect e_r + R\dot\omega\,\vect e_\theta
= -\frac{v^2}{R}\,\vect e_r + \frac{\dd v}{\dd t}\,\vect e_\theta .
$$

Pour un [mouvement circulaire](#cor-b1-point-kinematics-circular) *uniforme* ($\omega$ constante), l’[accélération](#def-b1-point-kinematics-velocity) est purement *centripète*, de norme $v^2/R = R\omega^2$, bien que la [vitesse](#def-b1-point-kinematics-velocity) soit constante en norme.

**Démonstration.** On pose $\dot r = \ddot r = 0$ dans le théorème ; $v = R\omega$. ∎

**Exemple 11.9 (Deux cercles).**

Une voiture prend un rond-point de rayon $20\,\mathrm{m}$ à $36\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ($10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$) : $a = v^2/R = 5.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$, un demi-$g$, dirigé vers le centre — ce que les pneus doivent fournir. La Lune ($R = 3.84 \times 10^{8}\,\mathrm{m}$, $T = 27.3\,\mathrm{d}$) : $\omega = 2\pi/T =
2.66 \times 10^{-6}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$, $a = R\omega^2 = 2.7 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$, le $3600$e du $g$ terrestre, à soixante rayons terrestres — la comparaison qu’a faite Newton ([Chapitre 16](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/16-forces-centrales-planetes-et-satellites#ch-b1-central-forces)).

## 11.3 Coordonnées sphériques

**Définition 11.10 (Coordonnées sphériques).**

Le point $M$ est repéré par sa distance $r = OM$, la *colatitude* $\theta \in [0, \pi]$ entre $\vect{OM}$ et $\vect e_z$, et l’*azimut* $\varphi$ de sa projection sur le plan $xy$ : $\vect{OM} = r\,\vect e_r$ avec

$$
\vect e_r = \sin\theta\cos\varphi\,\vect e_x + \sin\theta\sin\varphi\,\vect e_y + \cos\theta\,\vect e_z ;
$$

où $\vect e_\theta$ (tangent au méridien, vers les $\theta$ croissants) et $\vect e_\varphi$ (tangent au parallèle) complètent la [base locale](#def-b1-point-kinematics-cylindrical) orthonormée. Sur la Terre, $\theta$ vaut $90^\circ$ moins la latitude et $\varphi$ est la longitude.

**Proposition 11.11 (Vitesse en coordonnées sphériques).**

$$
\vect v = \dot r\,\vect e_r + r\dot\theta\,\vect e_\theta + r\sin\theta\,\dot\varphi\,\vect e_\varphi .
$$

**Démonstration.** $\dd\vect e_r/\dd t = \dot\theta\,\vect e_\theta + \sin\theta\,\dot\varphi\,
\vect e_\varphi$ : le premier terme est la rotation dans le plan méridien (comme dans le cas polaire), le second la rotation autour de $\vect e_z$ à la [vitesse](#def-b1-point-kinematics-velocity) $\dot\varphi$ d’un vecteur dont la distance à l’axe vaut $\sin\theta$. Puis $\vect v = \dd(r\vect e_r)/\dd t$. L’[accélération](#def-b1-point-kinematics-velocity) n’est pas utile cette année. ∎

![Les coordonnées sphériques (r, , ) et leur base locale : e_r radial, e_ le long du méridien (vers le sud sur un globe), e_ le long du parallèle (vers l’est).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-point-kinematics/fig-64181e6f86ea.svg)

*Les [coordonnées sphériques](#def-b1-point-kinematics-spherical) $(r, \theta, \varphi)$ et leur [base locale](#def-b1-point-kinematics-cylindrical) : $\vect e_r$ radial, $\vect e_\theta$ le long du méridien (vers le sud sur un globe), $\vect e_\varphi$ le long du parallèle (vers l’est).*

## 11.4 Le repère de Frenet

**Définition 11.12 (Abscisse curviligne ; base de Frenet).**

Le long d’une [trajectoire](#def-b1-point-kinematics-frame), l’*abscisse curviligne* $s(t)$ est la longueur d’arc depuis un point de référence, comptée algébriquement ; $v = \dot s$. En $M$, le vecteur unitaire tangent $\vect T = \dd\vect{OM}/\dd s$ pointe vers les $s$ croissants ; le *rayon de courbure* $\rho > 0$ et le vecteur unitaire normal $\vect N$, dirigé vers la concavité (vers le centre de courbure), sont définis par

$$
\frac{\dd\vect T}{\dd s} = \frac{1}{\rho}\,\vect N .
$$

$(\vect T, \vect N)$ est la *base de Frenet* ; $\rho = \infty$ sur une droite, $\rho = R$ sur un cercle de rayon $R$.

**Théorème 11.13 (Accélération dans la base de Frenet).**

$$
\vect v = v\,\vect T, \qquad
\vect a = \frac{\dd v}{\dd t}\,\vect T + \frac{v^2}{\rho}\,\vect N .
$$

La composante *tangentielle* $\dd v/\dd t$ mesure la rapidité avec laquelle la [vitesse](#def-b1-point-kinematics-velocity) change en valeur ; la composante *normale* $v^2/\rho$, toujours dirigée vers le centre de courbure, la rapidité avec laquelle la direction tourne. Le mouvement est uniforme si et seulement si $\vect a \perp \vect v$ ; il est rectiligne si et seulement si $\vect a \parallel \vect v$.

**Démonstration.** $\vect v = (\dd\vect{OM}/\dd s)(\dd s/\dd t) = v\vect T$. Puis $\vect a =
\dot v\vect T + v\,\dd\vect T/\dd t = \dot v\vect T + v(\dd\vect T/\dd s)\dot s
= \dot v\vect T + (v^2/\rho)\vect N$. Que $\dd\vect T/\dd s \perp \vect T$ résulte de $\vect T\cdot\vect T = 1$ dérivé. ∎

![La base de Frenet en un point d’une courbe : T dans le sens du mouvement, N vers le centre de courbure C. L’accélération se décompose en une part tangentielle v T (accélérer ou freiner) et une part normale (v2/ ) N (tourner).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-point-kinematics/fig-446333fa46d5.svg)

*La [base de Frenet](#def-b1-point-kinematics-frenet) en un point d’une courbe : $\vect T$ dans le sens du mouvement, $\vect N$ vers le centre de courbure $C$. L’[accélération](#def-b1-point-kinematics-velocity) se décompose en une part tangentielle $\dot v\vect T$ (accélérer ou freiner) et une part normale $(v^2/\rho)\vect N$ (tourner).*

**Exemple 11.14 (Freiner dans un virage).**

Une voiture à $90\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ($25\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$) dans un virage de rayon $100\,\mathrm{m}$ freine à $2.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ : $a_T = -2.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$, $a_N = 625/100 =
6.25\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$, $a = \sqrt{4 + 39} = 6.6\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$. La part normale domine : un virage est d’abord un changement de direction, et l’adhérence des pneus (chapitre suivant) limite $\sqrt{a_T^2 + a_N^2}$, ce qui explique qu’on freine *avant* le virage.

## 11.5 Mouvements de référence

**Proposition 11.15 (Mouvement rectiligne uniformément accéléré).**

Sur un axe, avec $\ddot x = a$ constante, à partir de $x_0$ et $v_0$ : $v = v_0 + at$, $x = x_0 + v_0t + \tfrac12 at^2$, et $v^2 - v_0^2 = 2a(x - x_0)$.

**Démonstration.** On intègre deux fois ; on élimine $t$ entre les deux premières relations. ∎

**Proposition 11.16 (Mouvement hélicoïdal).**

$r = R$, $\theta = \omega t$, $z = v_zt$ ($R$, $\omega$, $v_z$ constants) : la [vitesse](#def-b1-point-kinematics-velocity) $v = \sqrt{R^2\omega^2 + v_z^2}$ est constante, l’[accélération](#def-b1-point-kinematics-velocity) $\vect a = -R\omega^2\vect e_r$ est centripète et de norme constante, et le [rayon de courbure](#def-b1-point-kinematics-frenet) vaut $\rho = v^2/a = R(1 + v_z^2/R^2\omega^2) > R$.

**Démonstration.** La [Théorème 11.7](#thm-b1-point-kinematics-cylindrical) avec $\dot r = 0$, $\ddot\theta = 0$, $\ddot z = 0$ ; le mouvement est uniforme, donc $\vect a$ est purement normale et $v^2/\rho = R\omega^2$. ∎

**Proposition 11.17 (Mouvement harmonique).**

$x = A\cos(\omega t + \varphi)$ : $\dot x = -A\omega\sin(\omega t + \varphi)$, $\ddot x = -\omega^2 x$. La [vitesse](#def-b1-point-kinematics-velocity) est en avance d’un quart de période sur la position et l’[accélération](#def-b1-point-kinematics-velocity) est opposée à la position ; $v_{\max} =
A\omega$, $a_{\max} = A\omega^2$. C’est la projection sur un diamètre d’un [mouvement circulaire](#cor-b1-point-kinematics-circular) uniforme de rayon $A$ et de [vitesse angulaire](#cor-b1-point-kinematics-circular) $\omega$.

**Démonstration.** On dérive ; pour la projection, on prend $x = A\cos\theta$ avec $\theta =
\omega t + \varphi$. ∎

**Méthode 11.18 (Choisir ses coordonnées).**

- Mouvement rectiligne ou parabolique, [accélération](#def-b1-point-kinematics-velocity) constante : cartésiennes.
- Mouvement autour d’un axe ou d’un point (cercles, spirales, orbites, plateaux tournants) : cylindriques ou polaires ; la base bouge, donc on utilise la [Théorème 11.7](#thm-b1-point-kinematics-cylindrical) , jamais une dérivation naïve des composantes.
- Une courbe donnée (piste, virage, boucle) lorsque la loi des [vitesses](#def-b1-point-kinematics-velocity) est connue : Frenet, qui sépare le « à quelle [vitesse](#def-b1-point-kinematics-velocity) » du « dans quelle direction ».

Quel que soit le choix, $\vect v$ et $\vect a$ sont des vecteurs qui dépendent du [référentiel](#def-b1-point-kinematics-frame), et un résultat n’est complet qu’avec le [référentiel](#def-b1-point-kinematics-frame) nommé.

## 11.6 Exercices

**Exercice 11.1 ★.**

Une voiture part du repos avec $x(t) = 2.0\,t^2$ (unités SI). [Vitesse](#def-b1-point-kinematics-velocity) et [accélération](#def-b1-point-kinematics-velocity) à $t = 3.0\,\mathrm{s}$ ; distance parcourue pendant les $5\,\mathrm{s}$ initiales ; temps pour atteindre $100\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$.

**Solution de Exercice 11.1.**

$v = 4.0t$ : $12\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ à $3.0\,\mathrm{s}$ ; $a = 4.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ; $x(5) = 50\,\mathrm{m}$ ; $100\,\mathrm{km}/\mathrm{h} = 27.8\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ à $t = 27.8/4.0
= 6.9\,\mathrm{s}$.

**Exercice 11.2 ★.**

Un point se déplace dans un plan avec $r = 2.0\,\mathrm{m}$ et $\theta = 3.0\,t$ (en rad, unités SI). Donner $\vect v$ et $\vect a$ dans la base polaire, leurs normes, et la nature du mouvement.

**Solution de Exercice 11.2.**

$\dot r = 0$, $\dot\theta = 3.0\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ : $\vect v = r\dot\theta\,\vect e_\theta
= 6.0\,\vect e_\theta$ ($\mathrm{m}/\mathrm{s}$) ; $\vect a = -r\dot\theta^2\vect e_r =
-18\,\vect e_r$ ($\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$). [Mouvement circulaire](#cor-b1-point-kinematics-circular) uniforme : [vitesse](#def-b1-point-kinematics-velocity) constante en norme, [accélération centripète](#cor-b1-point-kinematics-circular).

**Exercice 11.3 ★.**

Un point de l’équateur ($R = 6.37 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$, jour sidéral $86\,164\,\mathrm{s}$) : [vitesse](#def-b1-point-kinematics-velocity) et [accélération](#def-b1-point-kinematics-velocity) dans le [référentiel](#def-b1-point-kinematics-frame) géocentrique. Comparer l’[accélération](#def-b1-point-kinematics-velocity) à $g$.

**Solution de Exercice 11.3.**

$v = 2\pi R/T = 2\pi \times 6.37\times10^6/86164 = 465\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $a = v^2/R = 0.034\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$, soit $g/290$.

**Exercice 11.4 ★.**

Une balle est lancée avec $v_0 = 12\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ sous $\alpha = 40^\circ$ ; ses coordonnées sont celles de l’[Exemple 11.4](#ex-b1-point-kinematics-projectile). Trouver la durée de montée jusqu’au sommet, la hauteur maximale, la portée et la [vitesse](#def-b1-point-kinematics-velocity) à l’arrivée au sol.

**Solution de Exercice 11.4.**

$v_0\sin\alpha = 7.71\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $v_0\cos\alpha = 9.19\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Sommet à $t = 7.71/9.81 = 0.79\,\mathrm{s}$, hauteur $7.71^2/(2 \times 9.81) =
3.0\,\mathrm{m}$. Portée $2 \times 9.19 \times 0.786 = 14.5\,\mathrm{m}$. À l’arrivée : $(9.19, -7.71)$, soit $12\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ à $40^\circ$ sous l’horizontale.

**Exercice 11.5 ★★.**

Un cycliste à $10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ aborde un virage de rayon $25\,\mathrm{m}$ et accélère de $1.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$. Donner $\vect a$ dans la [base de Frenet](#def-b1-point-kinematics-frenet) et sa norme ; et après $5\,\mathrm{s}$ de la même [accélération](#def-b1-point-kinematics-velocity) sur le même virage ?

**Solution de Exercice 11.5.**

$a_T = 1.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$, $a_N = 10^2/25 = 4.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$, $a =
4.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$. Après $5\,\mathrm{s}$ : $v = 15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $a_N = 225/25 =
9.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$, $a = 9.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$.

**Exercice 11.6 ★★.**

Un point suit la spirale $r = b\theta$, $\theta = \omega t$ ($b$ et $\omega$ constants). Calculer $\vect v$, la [vitesse](#def-b1-point-kinematics-velocity) et $\vect a$ dans la base polaire. D’où vient le terme $2\dot r\dot\theta$ ?

**Solution de Exercice 11.6.**

$r = b\omega t$, $\dot r = b\omega$, $\ddot r = 0$, $\dot\theta = \omega$ : $\vect v = b\omega\,\vect e_r + b\omega^2 t\,\vect e_\theta$, $v = b\omega
\sqrt{1 + \omega^2t^2}$ ; $\vect a = -b\omega^3 t\,\vect e_r + 2b\omega^2\,
\vect e_\theta$. Le terme $2\dot r\dot\theta$ a deux moitiés égales : la direction de la [vitesse](#def-b1-point-kinematics-velocity) radiale tourne à la [vitesse](#def-b1-point-kinematics-velocity) $\dot\theta$ (d’où $\dot r\dot\theta\,\vect e_\theta$), et s’éloigner augmente la [vitesse](#def-b1-point-kinematics-velocity) orthoradiale $r\dot\theta$ (encore $\dot r\dot\theta$).

**Exercice 11.7 ★★.**

Hélice : $R = 2.0\,\mathrm{m}$, $\omega = 1.0\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$, $v_z = 0.50\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. [Vitesse](#def-b1-point-kinematics-velocity), [accélération](#def-b1-point-kinematics-velocity), pas de l’hélice, [rayon de courbure](#def-b1-point-kinematics-frenet).

**Solution de Exercice 11.7.**

$v = \sqrt{(2.0 \times 1.0)^2 + 0.5^2} = 2.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $a = R\omega^2 =
2.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ vers l’axe ; pas de l’hélice $v_z \times 2\pi/\omega =
3.1\,\mathrm{m}$ ; $\rho = v^2/a = 4.25/2.0 = 2.1\,\mathrm{m} > R$.

**Exercice 11.8 ★★.**

Un piston se déplace selon $x = 0.10\cos(10t)$ (unités SI). Donner $v_{\max}$, $a_{\max}$, les relations de phase entre $x$, $v$ et $a$, et les positions où $\abs v$ et $\abs a$ sont les plus grands.

**Solution de Exercice 11.8.**

$v_{\max} = A\omega = 1.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $a_{\max} = A\omega^2 = 10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ; $v$ est en avance d’un quart de période sur $x$, et $a = -\omega^2x$ est opposée à $x$. $\abs v$ est maximale en $x = 0$, $\abs a$ aux extrémités $x = \pm A$.

**Exercice 11.9 ★★.**

En partant de $\vect e_r = \cos\theta\,\vect e_x + \sin\theta\,\vect e_y$, établir $\dd\vect e_r/\dd t$ et $\dd\vect e_\theta/\dd t$, puis la [vitesse](#def-b1-point-kinematics-velocity) et l’[accélération](#def-b1-point-kinematics-velocity) polaires de la [Théorème 11.7](#thm-b1-point-kinematics-cylindrical).

**Solution de Exercice 11.9.**

$\dot{\vect e}_r = \dot\theta(-\sin\theta\,\vect e_x + \cos\theta\,\vect e_y)
= \dot\theta\,\vect e_\theta$ ; $\dot{\vect e}_\theta = \dot\theta(-\cos\theta\,
\vect e_x - \sin\theta\,\vect e_y) = -\dot\theta\,\vect e_r$. Puis $\vect v = \dot r\vect e_r + r\dot\theta\vect e_\theta$, et une seconde dérivation par la règle du produit donne l’[accélération](#def-b1-point-kinematics-velocity) de la [Théorème 11.7](#thm-b1-point-kinematics-cylindrical).

**Exercice 11.10 ★★★.**

Pour le projectile de l’[Exemple 11.4](#ex-b1-point-kinematics-projectile), trouver le [rayon de courbure](#def-b1-point-kinematics-frenet) de la [trajectoire](#def-b1-point-kinematics-frame) au sommet et au point de lancement (utiliser la composante normale de $\vect g$). Lequel est le plus petit, et pourquoi ?

**Solution de Exercice 11.10.**

Sommet : $v = v_0\cos\alpha$, $a_N = g$ : $\rho = v_0^2\cos^2\alpha/g$. Lancement : $v = v_0$, $a_N = g\cos\alpha$ : $\rho = v_0^2/(g\cos\alpha)$. Le rayon au sommet est plus petit d’un facteur $\cos^3\alpha$ : la parabole se courbe le plus là où elle est la plus lente et où tout $\vect g$ est normal.

**Exercice 11.11 ★★★.**

Une roue de rayon $R$ roule sans glisser à la [vitesse](#def-b1-point-kinematics-velocity) $v$ ; un point de sa jante a pour coordonnées $x = vt - R\sin(vt/R)$, $y = R - R\cos(vt/R)$ (une cycloïde). Calculer sa [vitesse](#def-b1-point-kinematics-velocity) et son [accélération](#def-b1-point-kinematics-velocity) ; montrer qu’au moment où il touche le sol sa [vitesse](#def-b1-point-kinematics-velocity) s’annule et son [accélération](#def-b1-point-kinematics-velocity) vaut $v^2/R$ vers le haut ; trouver sa [vitesse](#def-b1-point-kinematics-velocity) au sommet.

**Solution de Exercice 11.11.**

$\dot x = v - v\cos(vt/R)$, $\dot y = v\sin(vt/R)$ ; $\ddot x = (v^2/R)
\sin(vt/R)$, $\ddot y = (v^2/R)\cos(vt/R)$. Au sol ($vt/R = 2\pi n$) : $\dot x = \dot y = 0$ et $\vect a = (0, v^2/R)$, vers le haut. Au sommet ($vt/R = \pi$) : $\dot x = 2v$, $\dot y = 0$, donc une [vitesse](#def-b1-point-kinematics-velocity) $2v$.

**Exercice 11.12 ★★★.**

Une personne s’éloigne le long d’un rayon d’un plateau tournant à $\omega$ constante, à la [vitesse](#def-b1-point-kinematics-velocity) constante $u$ par rapport au plateau : $r = ut$, $\theta = \omega t$. Calculer $\vect a$ dans la base polaire, identifier les deux termes, et les évaluer pour $u = 1.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ et $\omega = 1.0\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ à $t = 2.0\,\mathrm{s}$. Lequel n’a aucun équivalent pour une personne qui marche sur le sol ?

**Solution de Exercice 11.12.**

$\ddot r = 0$, $\dot r = u$, $\dot\theta = \omega$ : $\vect a = -ut\omega^2\,
\vect e_r + 2u\omega\,\vect e_\theta$. À $t = 2.0\,\mathrm{s}$ : $-2.0\,\vect e_r
+ 2.0\,\vect e_\theta$ ($\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$). Le premier est le terme centripète de la rotation ; le second, $2\dot r\dot\theta$, n’existe que parce que la direction radiale tourne elle-même — sur le sol, marcher droit à [vitesse](#def-b1-point-kinematics-velocity) constante ne donne aucune [accélération](#def-b1-point-kinematics-velocity).

![Une boucle verticale (Yomiuriland, Tokyo) : une goutte d’eau plutôt qu’un cercle, de sorte que la courbure soit la plus forte au sommet, là où la vitesse est la plus faible — la géométrie du problème du week-end. Photographie : Jeremy Thompson, CC BY 2.0.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-point-kinematics/img-427803100044.jpg)

*Une boucle verticale (Yomiuriland, Tokyo) : une goutte d’eau plutôt qu’un cercle, de sorte que la courbure soit la plus forte au sommet, là où la [vitesse](#def-b1-point-kinematics-velocity) est la plus faible — la géométrie du problème du week-end. Photographie : Jeremy Thompson, CC BY 2.0.*

## 11.7 Problème : la boucle du grand huit

**Problème 11.1.**

Problème du week-end — une voiture aborde une boucle verticale à quatre-vingt-dix kilomètres à l’heure : où elle ralentit, où pointe son accélération, combien de $g$ ressentent les passagers, et pourquoi les boucles modernes ne sont pas des cercles

Une voiture, assimilée à un point $M$, parcourt une boucle circulaire verticale de rayon $R = 10\,\mathrm{m}$ et de centre $C$. Sa position est donnée par l’angle $\theta$ entre $\vect{CM}$ et la verticale descendante ($\theta =
0$ en bas, $\pi$ en haut). Les frottements sont négligés, et la loi des [vitesses](#def-b1-point-kinematics-velocity) (établie au [Chapitre 13](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/13-travail-energie-et-energie-potentielle#ch-b1-work-and-energy)) s’écrit

$$
v^2 = v_0^2 - 2gR(1 - \cos\theta),
$$

avec $v_0 = 25\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ la [vitesse](#def-b1-point-kinematics-velocity) en bas ; $g = 9.81\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$.

**Partie I — Cinématique sur le cercle.**

1. En [coordonnées polaires](#def-b1-point-kinematics-cylindrical) centrées en $C$ (avec $\vect e_r$ de $C$ vers $M$ ), écrire $\vect v$ et $\vect a$ pour un mouvement sur le cercle.
2. Identifier les vecteurs de Frenet $\vect T$ et $\vect N$ en fonction de $\vect e_r$ et $\vect e_\theta$ , ainsi que le [rayon de courbure](#def-b1-point-kinematics-frenet) .
3. Calculer la [vitesse](#def-b1-point-kinematics-velocity) au sommet, puis aux points latéraux $\theta = \pi/2$ et $3\pi/2$ .
4. Dériver la loi des [vitesses](#def-b1-point-kinematics-velocity) par rapport au temps pour montrer que l’ [accélération tangentielle](#thm-b1-point-kinematics-frenet) vaut $a_T = -g\sin\theta$ . Interpréter son signe à la montée et à la descente.
5. Exprimer l’ [accélération normale](#thm-b1-point-kinematics-frenet) $a_N(\theta)$ et la calculer en bas, sur les côtés et au sommet.
6. Donner la norme de $\vect a$ aux quatre points et l’angle qu’elle fait avec la verticale au sommet.
7. En quels points $\vect a$ est-elle perpendiculaire à $\vect v$ ? Parallèle ?

**Partie II — [Vitesses angulaires](#cor-b1-point-kinematics-circular) et durées.**

8. Exprimer $\dot\theta$ en fonction de $\theta$ et la calculer en bas et au sommet.
9. Montrer que $\ddot\theta = -(g/R)\sin\theta$ (l’équation du pendule) et commenter.
10. Pour comparaison, calculer la période des petites oscillations d’un pendule simple de longueur $R$ (l’ [Exemple 1.8](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/1-unites-dimensions-et-mesure#ex-b1-units-dimensions-pendulum) en a donné la forme ; $k = 2\pi$ ).
11. Estimer la durée d’un tour de boucle, en utilisant la moyenne des [vitesses](#def-b1-point-kinematics-velocity) aux quatre points de référence.
12. La [vitesse](#def-b1-point-kinematics-velocity) minimale au sommet pour que la voiture reste sur le rail (chapitre suivant) vaut $\sqrt{gR}$ . Est-elle atteinte ? Quelle $v_0$ minimale faudrait-il ?

**Partie III — Ce que ressentent les passagers.** Le poids apparent par unité de masse ressenti par un passager vaut $\vect a - \vect g$ (admis ici, établi au [Chapitre 12](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/12-les-lois-de-newton#ch-b1-newton-dynamics)) ; sa norme, en unités de $g$, est le « nombre de $g$ ».

13. Calculer le nombre de $g$ en bas.
14. Le calculer au sommet, et dire dans quel sens le passager est pressé (siège ou harnais).
15. Le calculer aux points latéraux.
16. Les passagers tolèrent brièvement environ $4g$ . Cette boucle passe-t-elle ? Où est le problème ?
17. Montrer que, pour une boucle circulaire abordée juste assez vite pour passer le sommet (poids apparent nul en haut), le nombre de $g$ en bas vaut nécessairement $6g$ , quel que soit $R$ .

**Partie IV — La boucle en clothoïde.** Les boucles modernes sont des « gouttes d’eau » : le [rayon de courbure](#def-b1-point-kinematics-frenet) est grand en bas et petit en haut.

18. À l’aide de la forme de Frenet de $\vect a$ , expliquer pourquoi faire varier $\rho$ le long du rail change $a_N$ sans changer la loi des [vitesses](#def-b1-point-kinematics-velocity) (qui ne dépend que de la hauteur).
19. Choisir $\rho_{\text{bas}}$ pour que le nombre de $g$ en bas vaille $3g$ avec $v_0 = 25\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .
20. Au sommet, la hauteur est toujours $2R = 20\,\mathrm{m}$ au-dessus du bas. Choisir $\rho_{\text{haut}}$ pour que le nombre de $g$ y vaille $1.5g$ .
21. Une clothoïde a une courbure proportionnelle à l’ [abscisse curviligne](#def-b1-point-kinematics-frenet) , $1/\rho = s/A^2$ . Le long d’une telle entrée, la [vitesse](#def-b1-point-kinematics-velocity) étant presque constante, comment $a_N$ croît-elle avec le temps, et pourquoi est-ce plus doux pour la nuque qu’un cercle (où $a_N$ saute à l’entrée) ?
22. Esquisser qualitativement la forme de boucle obtenue et récapituler en deux phrases pourquoi elle a remplacé le cercle.

**Partie V — Vue depuis le sol.** Une caméra au niveau du sol, à $50\,\mathrm{m}$ du centre de la boucle et dans son plan, suit la voiture.

23. Lorsque la voiture est au sommet et se déplace horizontalement à $15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , à quelle [vitesse angulaire](#cor-b1-point-kinematics-circular) (en rad/s) la caméra doit-elle tourner ? ( [Coordonnées polaires](#def-b1-point-kinematics-cylindrical) depuis la caméra.)
24. Pourquoi une caméra qui tourne à [vitesse](#def-b1-point-kinematics-velocity) constante suit-elle mal un [mouvement circulaire](#cor-b1-point-kinematics-circular) uniforme ?
25. Récapituler la leçon du chapitre tirée de cette boucle : quel système de coordonnées a répondu à quelle question.

**Solution de Problème 11.1.**

**1.** $\vect v = R\dot\theta\,\vect e_\theta$ ; $\vect a = -R\dot\theta^2
\,\vect e_r + R\ddot\theta\,\vect e_\theta$.

**2.** $\vect T = \vect e_\theta$ (mouvement à $\theta$ croissant), $\vect N = -\vect e_r$ (vers $C$), $\rho = R$.

**3.** Sommet : $v^2 = 625 - 392 = 233$, $v = 15.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Côtés : $625 - 196 = 429$, $v = 20.7\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

**4.** $2v\dot v = -2gR\sin\theta\,\dot\theta$ et $v = R\dot\theta$ : $\dot v = -g\sin\theta$. Négative pour $0 < \theta < \pi$ (ralentissement à la montée), positive à la descente.

**5.** $a_N = v^2/R = v_0^2/R - 2g(1 - \cos\theta)$ : en bas $62.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ; côtés $62.5 - 19.6 = 42.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ; sommet $62.5 -
39.2 = 23.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$.

**6.** En bas : $62.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ (pas de part tangentielle) ; côtés : $\sqrt{42.9^2 + 9.81^2} = 44.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ; sommet : $23.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$, dirigée droit vers le bas, vers $C$ : angle $0$ avec la verticale.

**7.** Perpendiculaires en bas et au sommet ($a_T = 0$) ; jamais parallèles ($a_N > 0$ partout).

**8.** $\dot\theta = v/R = \sqrt{v_0^2 - 2gR(1 - \cos\theta)}/R$ : en bas $2.50\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$, au sommet $1.53\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$.

**9.** $\ddot\theta = \dot v/R = -(g/R)\sin\theta$ : l’équation du pendule simple de longueur $R$ — la voiture sur son rail est un pendule qui passe par le sommet.

**10.** $2\pi\sqrt{R/g} = 2\pi\sqrt{10/9.81} = 6.3\,\mathrm{s}$.

**11.** Moyenne de $25$, $20.7$, $15.3$, $20.7$ : environ $20\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; longueur $2\pi R = 63\,\mathrm{m}$ : à peu près $3\,\mathrm{s}$.

**12.** $\sqrt{gR} = 9.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s} < 15.3$ : oui. Minimum : $v_0^2 \geq
gR + 4gR = 5gR = 490$, soit $v_0 \geq 22.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

**13.** En bas : $\vect a = 62.5$ vers le haut, $\vect g$ vers le bas : $\abs{\vect a - \vect g} = 62.5 + 9.8 = 72.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2} = 7.4g$.

**14.** Au sommet : toutes deux vers le bas, $23.3 - 9.8 = 13.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2} = 1.4g$, qui presse le passager dans son siège (vers le centre, donc vers le haut pour le passager la tête en bas).

**15.** Côtés : $\vect a = 42.9$ horizontale vers $C$ plus $9.8$ vers le bas (tangentielle) ; $\vect a - \vect g$ vaut $42.9$ à l’horizontale : $4.4g$ latéralement, vers le centre.

**16.** Elle échoue : $7.4g$ en bas (le sommet et les côtés vont bien).

**17.** Poids apparent nul au sommet : $v_{\text{sommet}}^2 = gR$ ; alors $v_0^2 = gR + 4gR = 5gR$, $a_N = 5g$ en bas et la charge vaut $5g + g = 6g$, indépendamment de $R$.

**18.** $a_N = v^2/\rho$ : $v$ est fixée par la hauteur (l’énergie), $\rho$ par la géométrie du rail ; un $\rho$ différent à la même hauteur change $a_N$ et rien d’autre.

**19.** $a_N + g = 3g$ : $a_N = 2g$, $\rho = v_0^2/2g = 625/19.6 =
32\,\mathrm{m}$.

**20.** $v_{\text{sommet}} = 15.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $a_N - g = 1.5g$ : $a_N =
24.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$, $\rho = 233/24.5 = 9.5\,\mathrm{m}$.

**21.** $a_N = v^2/\rho = v^2s/A^2 = v^3t/A^2$ : elle croît linéairement depuis zéro — un taux de variation constant de l’[accélération](#def-b1-point-kinematics-velocity) — au lieu de sauter de $0$ à $v^2/R$ à l’entrée d’un cercle, ce que la nuque ressent comme un choc.

**22.** Une goutte d’eau : large et peu courbée en bas, où la voiture est rapide, resserrée en haut, où elle est lente. Elle maintient la charge au voisinage de $3g$ tout du long et l’amène progressivement.

**23.** Ligne de visée : distance horizontale $50\,\mathrm{m}$, hauteur $20\,\mathrm{m}$ : $r = 53.9\,\mathrm{m}$, élévation $\beta = 21.8^\circ$. La composante transversale de la [vitesse](#def-b1-point-kinematics-velocity) horizontale vaut $v\sin\beta = 15 \times
0.371 = 5.6\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $\dot\theta = 5.6/53.9 = 0.10\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$.

**24.** Vu d’un point excentré, la [vitesse angulaire](#cor-b1-point-kinematics-circular) de la ligne de visée n’est pas constante (rapide quand la voiture est proche, lente quand elle est loin) : une caméra à [vitesse](#def-b1-point-kinematics-velocity) constante décroche.

**25.** [Coordonnées polaires](#def-b1-point-kinematics-cylindrical) en $C$ pour la [vitesse](#def-b1-point-kinematics-velocity) et l’[accélération](#def-b1-point-kinematics-velocity) sur le cercle ; la décomposition de Frenet pour séparer « accélérer » de « tourner » et pour la clothoïde ; [coordonnées polaires](#def-b1-point-kinematics-cylindrical) depuis la caméra pour la [vitesse](#def-b1-point-kinematics-velocity) de suivi ; l’énergie (chapitres suivants) pour la loi des [vitesses](#def-b1-point-kinematics-velocity).