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title: "Travail, énergie et énergie potentielle"
book: "Physique universitaire — 1re année"
subject: physics
language: fr
chapter: 13
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/13-travail-energie-et-energie-potentielle
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# Chapitre 13 — Travail, énergie et énergie potentielle

Un cycliste cesse de pédaler au sommet d’une côte et arrive en bas à une vitesse qui dépend du dénivelé, non de la forme de la route. Un sauteur à l’élastique tombe de soixante mètres et s’arrête, un instant, exactement là où la traction du câble a mangé toute la vitesse que la chute lui avait donnée. Un atome d’hydrogène lié à un atome de chlore vibre dans un puits dont la profondeur est l’énergie qu’il en coûte pour briser la molécule. Dans chaque cas, un seul nombre passe d’une forme à l’autre — mouvement, hauteur, allongement, liaison — et, sommé, il ne change pas. Ce chapitre construit cette comptabilité à partir de la deuxième loi de Newton : [travail](#def-b1-work-and-energy-work) et puissance, théorème de l’[énergie cinétique](#thm-b1-work-and-energy-ke), [énergies potentielles](#def-b1-work-and-energy-conservative) pour les forces qui en admettent une, et [conservation de l’énergie mécanique](#thm-b1-work-and-energy-em), qui réduit bien des problèmes de dynamique à une ligne d’algèbre et explique, par la forme d’un [puits de potentiel](#def-b1-work-and-energy-turning), quelles positions sont stables.

![Le pendule du conférencier : lâchée depuis le nez, la boule de bowling revient au nez et pas plus loin — l’énergie mécanique se conserve, et n’est jamais dépassée.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-work-and-energy/img-b210ce0e63a6.jpg)

*Le pendule du conférencier : lâchée depuis le nez, la boule de bowling revient au nez et pas plus loin — l’[énergie mécanique](#thm-b1-work-and-energy-em) se conserve, et n’est jamais dépassée.*

## 13.1 Puissance et travail

**Définition 13.1 (Puissance et travail d’une force).**

La *puissance* d’une force $\vect F$ qui s’exerce sur un point se déplaçant à la vitesse $\vect v$ vaut

$$
\mathcal P = \vect F\cdot\vect v \qquad (\text{en watts}),
$$

et son *travail* entre les instants $t_1$ et $t_2$ (positions $A$ et $B$) est la puissance accumulée,

$$
W_{A\to B} = \int_{t_1}^{t_2}\vect F\cdot\vect v\,\dd t
= \int_A^B \vect F\cdot\dd\vect\ell \qquad (\text{en joules}),
$$

somme des *travaux élémentaires* $\delta W = \vect F\cdot\dd\vect\ell$ le long des déplacements élémentaires $\dd\vect\ell = \vect v\,\dd t$ de la [trajectoire](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/11-cinematique-du-point#def-b1-point-kinematics-frame). Le travail est positif si la force pousse dans le sens du mouvement (travail *moteur*), négatif si elle s’y oppose (travail *résistant*), nul si elle lui est perpendiculaire.

**Proposition 13.2 (Les travaux que l’on rencontre).**

- Force constante : $W_{A\to B} = \vect F\cdot\vect{AB}$ , quel que soit le chemin. Poids : $W = mg(z_A - z_B)$ , $z$ compté vers le haut.
- Ressort de raideur $k$ , de l’allongement $x_A$ à $x_B$ : $W = \tfrac12 k(x_A^2 - x_B^2)$ .
- [Réaction normale](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/12-les-lois-de-newton#prop-b1-newton-dynamics-friction) d’une surface fixe, tension d’un fil sur un corps qui se déplace perpendiculairement : $W = 0$ (force $\perp$ déplacement).
- Frottement de glissement et traînée : $W < 0$ toujours (la force s’oppose au mouvement relatif), et dépend de la longueur du chemin.

**Démonstration.** Pour $\vect F$ constante : $\int\vect F\cdot\dd\vect\ell = \vect F\cdot\int\dd\vect\ell
= \vect F\cdot\vect{AB}$ ; avec $\vect F = -mg\vect e_z$, $\vect F\cdot\vect{AB}
= -mg(z_B - z_A)$. Ressort : $\vect F\cdot\dd\vect\ell = -kx\,\dd x$, et $\int_{x_A}^{x_B}-kx\,\dd x = \tfrac12 k(x_A^2 - x_B^2)$. Frottement : $\vect T
= -\mu N\vect v/v$, donc $\vect T\cdot\vect v = -\mu Nv < 0$. ∎

![Le travail élémentaire d’une force le long d’un petit déplacement de son point d’application : seule la composante de F dans le sens du mouvement travaille. Sommé le long du chemin de A à B, il donne W_A B.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-work-and-energy/fig-3762d53da000.svg)

*Le [travail](#def-b1-work-and-energy-work) élémentaire d’une force le long d’un petit déplacement de son point d’application : seule la composante de $\vect F$ dans le sens du mouvement travaille. Sommé le long du chemin de $A$ à $B$, il donne $W_{A\to B}$.*

## 13.2 Le théorème de l’énergie cinétique

**Théorème 13.3 (Théorèmes de l’énergie cinétique et de la puissance).**

Dans un [référentiel galiléen](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/12-les-lois-de-newton#thm-b1-newton-dynamics-laws), l’*[énergie cinétique](#thm-b1-work-and-energy-ke)* $E_k = \tfrac12 mv^2$ d’un [point matériel](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/11-cinematique-du-point#def-b1-point-kinematics-frame) obéit à

$$
\frac{\dd E_k}{\dd t} = \sum\mathcal P_i = \Big(\sum\vect F_i\Big)\cdot\vect v,
\qquad
E_k(B) - E_k(A) = \sum_i W_{i,A\to B}:
$$

la variation d’[énergie cinétique](#thm-b1-work-and-energy-ke) entre deux positions égale le [travail](#def-b1-work-and-energy-work) total de toutes les forces appliquées le long du chemin.

**Démonstration.** Multiplions scalairement la deuxième loi de Newton par $\vect v$ : $m\vect a\cdot\vect v =
\tfrac{\dd}{\dd t}(\tfrac12 m\vect v\cdot\vect v) = \dd E_k/\dd t$, tandis que $(\sum\vect F_i)\cdot\vect v = \sum\mathcal P_i$. Puis on intègre en temps. ∎

**Exemple 13.4 (Distance de freinage).**

Une voiture de $1000\,\mathrm{kg}$ à $100\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ($E_k = 386\,\mathrm{kJ}$), freinée par une force constante de $7.0\,\mathrm{kN}$, s’arrête après $d = E_k/F = 55\,\mathrm{m}$ : la distance croît comme le *carré* de la vitesse. Comme la force de freinage maximale vaut $\mu_smg$ ([Chapitre 12](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/12-les-lois-de-newton#ch-b1-newton-dynamics)), la plus courte distance d’arrêt est $v^2/2\mu_sg$ quelle que soit la masse de la voiture — et elle double sur route mouillée, où $\mu_s$ est divisé par deux.

## 13.3 Forces conservatives et énergie potentielle

**Définition 13.5 (Force conservative ; énergie potentielle).**

Une force est *conservative* si son [travail](#def-b1-work-and-energy-work) entre deux points ne dépend pas du chemin suivi. De façon équivalente, il existe une fonction de la position, l’*énergie potentielle* $E_p$, telle que

$$
W_{A\to B} = E_p(A) - E_p(B) = -\Delta E_p ,
\qquad \delta W = -\dd E_p ,
$$

$E_p$ étant définie à une constante additive près (un choix d’origine).

**Proposition 13.6 (Force et énergie potentielle).**

Une [force conservative](#def-b1-work-and-energy-conservative) dérive de son [énergie potentielle](#def-b1-work-and-energy-conservative) :

$$
\vect F = -\overrightarrow{\operatorname{grad}}\,E_p
= -\frac{\partial E_p}{\partial x}\,\vect e_x
- \frac{\partial E_p}{\partial y}\,\vect e_y
- \frac{\partial E_p}{\partial z}\,\vect e_z ,
$$

et à une dimension $F_x = -\dd E_p/\dd x$ : la force pointe vers les [énergies potentielles](#def-b1-work-and-energy-conservative) décroissantes, « vers le bas » sur le graphe de $E_p$.

**Démonstration.** $\delta W = F_x\dd x + F_y\dd y + F_z\dd z = -\dd E_p = -(\partial_xE_p\,\dd x
+ \partial_yE_p\,\dd y + \partial_zE_p\,\dd z)$ pour tout déplacement : on identifie les coefficients (différentielle d’une fonction de plusieurs variables, cours de mathématiques). ∎

**Proposition 13.7 (Les énergies potentielles usuelles).**

- Poids : $E_p = mgz + \text{const}$ ( $z$ vers le haut).
- Ressort : $E_p = \tfrac12 k(\ell - \ell_0)^2 + \text{const}$ .
- Gravitation newtonienne d’une masse $M$ : $E_p = -GMm/r + \text{const}$ , la constante étant d’ordinaire choisie pour que $E_p \to 0$ à l’infini.
- Force électrostatique sur une charge $q$ dans un potentiel $V$ : $E_p = qV$ ( [Chapitre 27](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/27-potentiel-electrique-conducteurs-et-condensateurs#ch-b1-potential-capacitors) ).

Le frottement de glissement et la traînée fluide ne sont *pas* conservatifs (leur [travail](#def-b1-work-and-energy-work) dépend du chemin, et il est toujours négatif).

**Démonstration.** Chacune se lit sur les travaux de la [Proposition 13.2](#prop-b1-work-and-energy-works) : $W = -\Delta E_p$. Pour la gravitation, $\vect F = -GMm/r^2\,\vect e_r$ et $\delta W = -GMm\,\dd r/r^2 = -\dd(-GMm/r)$. ∎

## 13.4 L’énergie mécanique

**Théorème 13.8 (Énergie mécanique).**

Soit $E_m = E_k + E_p$ l’*[énergie mécanique](#thm-b1-work-and-energy-em)*, $E_p$ étant la somme des [énergies potentielles](#def-b1-work-and-energy-conservative) des [forces conservatives](#def-b1-work-and-energy-conservative). Alors

$$
\Delta E_m = W_{\text{nc}} ,
$$

où figure le [travail](#def-b1-work-and-energy-work) total des forces non conservatives. Si celles-ci ne travaillent pas (pas de frottement, ou forces de liaison perpendiculaires au mouvement), $E_m$ se *conserve* : le mouvement est *conservatif*.

**Démonstration.** $\Delta E_k = W_{\text{c}} + W_{\text{nc}} = -\Delta E_p + W_{\text{nc}}$. ∎

**Méthode 13.9 (Utiliser l’énergie).**

Lorsqu’un problème demande une *vitesse à une position* (ni une date, ni une force), il faut essayer l’énergie d’abord :

1. lister les forces ; repérer celles qui travaillent et celles qui sont conservatives ;
2. écrire $E_m$ aux deux positions, avec une origine claire pour $E_p$ ;
3. les égaler (en ajoutant $W_{\text{nc}}$ si le frottement agit) et résoudre en la vitesse ou la position cherchée.

L’énergie ne donne jamais la durée ni les forces de liaison ; pour celles-là, on revient à la loi de Newton — souvent avec la vitesse que l’énergie vient de fournir.

**Exemple 13.10 (La loi des vitesses de la boucle).**

Sur la boucle sans frottement du [Problème 11.1](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/11-cinematique-du-point#pb-b1-point-kinematics-1), la réaction du rail est normale au mouvement et ne travaille pas : $E_m$ se conserve. Avec $z = R(1 - \cos\theta)$ au-dessus du bas, $\tfrac12 mv^2 + mgR(1 -
\cos\theta) = \tfrac12 mv_0^2$ : c’est la loi des vitesses $v^2 = v_0^2 - 2gR(1 -
\cos\theta)$ qui y était utilisée, établie ici en une ligne. La vitesse d’entrée minimale $\sqrt{5gR}$ découle alors de la condition au sommet $v^2 \geq gR$ de l’[Exemple 12.16](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/12-les-lois-de-newton#ex-b1-newton-dynamics-circles).

**Exemple 13.11 (Énergie perdue par frottement).**

Un bloc descend une pente d’angle $\alpha$ et de hauteur $h$ avec un frottement de glissement $\mu_d$ : $W_{\text{nc}} = -\mu_dmg\cos\alpha \times
h/\sin\alpha = -\mu_dmgh\cot\alpha$, donc $\tfrac12 mv^2 = mgh(1 - \mu_d\cot\alpha)$. Pour $h = 2.0\,\mathrm{m}$, $\alpha = 30^\circ$, $\mu_d = 0.20$ : $v =
5.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ au lieu de $6.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; un tiers de l’[énergie potentielle](#def-b1-work-and-energy-conservative) est passé en chaleur.

## 13.5 Équilibre, stabilité et portraits de phase

**Proposition 13.12 (Équilibre et stabilité à une dimension).**

Pour un point qui se déplace sur un axe sous l’effet d’une [force conservative](#def-b1-work-and-energy-conservative) d’[énergie potentielle](#def-b1-work-and-energy-conservative) $E_p(x)$ :

- il est en *équilibre* en $x_0$ si et seulement si $F(x_0) = -E_p'(x_0) = 0$ : aux extrémums de $E_p$ ;
- l’équilibre est *stable* si $E_p$ y présente un minimum local ( $E_p''(x_0) > 0$ ) : un petit écart produit une force de rappel ; il est *instable* en un maximum ;
- au voisinage d’un équilibre stable, les petits mouvements sont harmoniques, avec $$\omega_0^2 = \frac{E_p''(x_0)}{m} .$$

**Démonstration.** La formule de Taylor (cours de mathématiques) : $E_p(x) \approx E_p(x_0) +
\tfrac12 E_p''(x_0)(x - x_0)^2$, donc $F \approx -E_p''(x_0)(x - x_0)$ et $m\ddot x = -E_p''(x_0)(x - x_0)$ — un ressort de raideur $E_p''(x_0)$. Pour $E_p'' < 0$, la « raideur » est négative : éloignement exponentiel. ∎

![Un paysage de potentiel à une dimension : les minimums sont des équilibres stables, le maximum un équilibre instable. Un point d’énergie E_1 inférieure à la barrière est piégé dans un puits, entre deux points de rebroussement (où E_p = E_1, flèches), et oscille ; avec E_2 au-dessus de la barrière, il passe librement d’un puits à l’autre.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-work-and-energy/fig-b2c17da5ceb8.svg)

*Un paysage de potentiel à une dimension : les minimums sont des équilibres stables, le maximum un équilibre instable. Un point d’énergie $E_1$ inférieure à la barrière est piégé dans un puits, entre deux *[points de rebroussement](#def-b1-work-and-energy-turning)* (où $E_p = E_1$, flèches), et oscille ; avec $E_2$ au-dessus de la barrière, il passe librement d’un puits à l’autre.*

**Définition 13.13 (Points de rebroussement ; mouvement lié et libre).**

Pour un mouvement conservatif à une dimension d’énergie $E_m$, le point ne peut se trouver que là où $E_p(x) \leq E_m$ (puisque $E_k \geq 0$) ; les points où $E_p = E_m$ sont les *points de rebroussement*, où la vitesse s’annule et change de sens. Piégé entre deux points de rebroussement dans un *puits de potentiel*, le mouvement est *lié* et périodique ; s’il peut atteindre l’infini, il est *libre* ; une *barrière de potentiel* plus haute que $E_m$ ne peut pas être franchie.

**Définition 13.14 (Portrait de phase).**

Le *portrait de phase* d’un mouvement à une dimension est la famille des courbes décrites par le point $(x, \dot x)$ dans le *plan de phase*. Pour un système conservatif, chaque courbe est une ligne de niveau $\tfrac12 m\dot x^2 +
E_p(x) = E_m$ : courbes fermées autour des équilibres stables (oscillations), courbes ouvertes pour un mouvement libre, et, passant par les équilibres instables, les *séparatrices* qui distinguent les deux. Les courbes sont parcourues dans le sens des aiguilles d’une montre ($\dot x > 0$ signifie $x$ croissant) et ne se coupent jamais.

![Portrait de phase du pendule simple, 1/2 2 + _02(1 - ) = const. Courbes fermées (en bleu) : oscillations autour de l’équilibre stable = 0 ; courbes ouvertes (en orange) : rotations complètes ; entre les deux, la séparatrice (en rouge) qui passe par les équilibres instables = ±π, mouvement qui atteint tout juste le sommet.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-work-and-energy/fig-4f8091d9ae80.svg)

*[Portrait de phase](#def-b1-work-and-energy-phase) du [pendule simple](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/12-les-lois-de-newton#ex-b1-newton-dynamics-pendulum), $\tfrac12\dot\theta^2 +
\omega_0^2(1 - \cos\theta) = \text{const}$. Courbes fermées (en bleu) : oscillations autour de l’équilibre stable $\theta = 0$ ; courbes ouvertes (en orange) : rotations complètes ; entre les deux, la séparatrice (en rouge) qui passe par les équilibres instables $\theta = \pm\pi$, mouvement qui atteint tout juste le sommet.*

**Exemple 13.15 (Le paysage du pendule).**

$E_p = -mg\ell\cos\theta$ : minimum en $\theta = 0$, $E_p'' = mg\ell$, donc $\omega_0^2 = g\ell/(m\ell^2) = g/\ell$ — le résultat des [petites oscillations](#prop-b1-work-and-energy-stability) de l’[Exemple 12.12](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/12-les-lois-de-newton#ex-b1-newton-dynamics-pendulum), lu sur la courbure du puits ; maximum en $\theta = \pi$, le pendule renversé, instable. Pour une énergie $E_m < mg\ell$ : oscillation entre $\pm\theta_{\max}$ ; pour $E_m > mg\ell$ : il passe le sommet et tourne ; pour $E_m = mg\ell$ : la séparatrice, une approche infiniment lente du sommet.

## 13.6 Exercices

**Exercice 13.1 ★.**

Une caisse de $20\,\mathrm{kg}$ est soulevée de $3.0\,\mathrm{m}$ à vitesse constante en $5.0\,\mathrm{s}$. [Travail](#def-b1-work-and-energy-work) de la force de levage, [travail](#def-b1-work-and-energy-work) du poids, puissance fournie. La même caisse poussée sur $3.0\,\mathrm{m}$ le long d’un sol de coefficient $\mu_d = 0.30$ : [travail](#def-b1-work-and-energy-work) du frottement.

**Solution de Exercice 13.1.**

Force de levage $+mgh = 20 \times 9.81 \times 3.0 = 589\,\mathrm{J}$ ; poids $-589\,\mathrm{J}$ ; puissance $589/5.0 = 118\,\mathrm{W}$. Frottement : $-\mu_dmgd =
-0.30 \times 196 \times 3.0 = -177\,\mathrm{J}$.

**Exercice 13.2 ★.**

[Énergie cinétique](#thm-b1-work-and-energy-ke) d’une voiture de $1000\,\mathrm{kg}$ à $100\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ; distance d’arrêt avec une force de freinage constante de $7.0\,\mathrm{kN}$ ; qu’advient-il de cette distance si la vitesse double ?

**Solution de Exercice 13.2.**

$E_k = \tfrac12 \times 1000 \times 27.8^2 = 386\,\mathrm{kJ}$ ; $d = E_k/F =
55\,\mathrm{m}$ ; doubler $v$ quadruple $E_k$ et $d$ : $220\,\mathrm{m}$.

**Exercice 13.3 ★.**

Un ressort de raideur $500\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ est comprimé de $10\,\mathrm{cm}$ puis relâché contre une bille de $50\,\mathrm{g}$ sur un rail horizontal sans frottement. Énergie stockée ; vitesse de la bille.

**Solution de Exercice 13.3.**

$E_p = \tfrac12 \times 500 \times 0.10^2 = 2.5\,\mathrm{J}$ ; $v = \sqrt{2 \times
2.5/0.050} = 10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

**Exercice 13.4 ★.**

Un pendule de longueur $1.0\,\mathrm{m}$ est lâché sans vitesse à $60^\circ$ : vitesse en bas par l’énergie ; puis, par la loi de Newton, la tension en ce point (en unités de $mg$).

**Solution de Exercice 13.4.**

$\tfrac12 mv^2 = mg\ell(1 - \cos 60^\circ)$ : $v = \sqrt{g\ell} = 3.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Tension : $T - mg = mv^2/\ell = mg$, donc $T = 2mg$.

**Exercice 13.5 ★★.**

Un bloc part du repos sur une pente à $30^\circ$ de hauteur $2.0\,\mathrm{m}$, avec $\mu_d = 0.20$. Vitesse en bas par le théorème de l’énergie ; fraction de l’[énergie potentielle](#def-b1-work-and-energy-conservative) initiale perdue par frottement.

**Solution de Exercice 13.5.**

Le frottement travaille $-\mu_dmg\cos\alpha\,(h/\sin\alpha)$, donc

$$
\tfrac12 mv^2 = mgh(1 - \mu_d\cot\alpha) = mgh(1 - 0.35),
$$

$v = \sqrt{2 \times 9.81 \times 2.0 \times 0.65} = 5.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $35\%$ perdus.

**Exercice 13.6 ★★.**

À l’aide de $E_p = -GMm/r$, montrer que la vitesse nécessaire pour échapper à l’attraction terrestre depuis la surface vaut $v_e = \sqrt{2GM/R}$, et la calculer ($M = 5.97 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$, $R = 6.37 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$). Quelle est la vitesse de libération d’un astre de même masse volumique et de rayon double ?

**Solution de Exercice 13.6.**

$E_m = \tfrac12 mv^2 - GMm/R \geq 0$ pour que le corps atteigne l’infini (où $E_p = 0$ et $v \to 0$) : $v_e = \sqrt{2GM/R}$, c’est-à-dire

$$
v_e = \sqrt{\frac{2 \times 6.67\times10^{-11} \times 5.97\times10^{24}}{6.37\times10^6}}
= 11.2\,\mathrm{km}/\mathrm{s}.
$$

Même masse volumique, $M \propto R^3$ : $v_e \propto R$, donc $22.4\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$.

**Exercice 13.7 ★★.**

Saut à l’élastique : un sauteur de $70\,\mathrm{kg}$, câble de longueur à vide $20\,\mathrm{m}$ et de raideur $50\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$, s’élance sans vitesse. Trouver l’allongement maximal du câble, la hauteur totale de chute et la tension maximale (en unités du poids). Où la vitesse est-elle la plus grande ?

**Solution de Exercice 13.7.**

Point le plus bas : $mg(\ell_0 + x) = \tfrac12 kx^2$, $25x^2 - 687x - 13734 = 0$, $x = 41\,\mathrm{m}$ ; chute totale $61\,\mathrm{m}$ ; $T_{\max} = kx = 2.0\,\mathrm{kN}
= 3.0\,mg$ (soit $2\,\mathrm{g}$ net vers le haut). La vitesse est maximale là où la force résultante s’annule, $kx = mg$ : $x = 14\,\mathrm{m}$, à $34\,\mathrm{m}$ sous le point de départ.

**Exercice 13.8 ★★.**

Un cycliste ($80\,\mathrm{kg}$ avec le vélo) gravit une pente de $5\%$ à $5.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ contre une traînée $\tfrac12\rho C_xSv^2$ avec $C_xS = 0.50\,\mathrm{m}^{2}$. Puissance contre la pesanteur, contre la traînée, au total.

**Solution de Exercice 13.8.**

Pesanteur : $mgv\sin\alpha = 80 \times 9.81 \times 5.0 \times 0.05 = 196\,\mathrm{W}$ ; traînée : $\tfrac12\rho C_xSv^3 = 0.5 \times 1.2 \times 0.50 \times 125 =
38\,\mathrm{W}$ ; au total $234\,\mathrm{W}$.

**Exercice 13.9 ★★.**

Un point de masse $m$ a pour [énergie potentielle](#def-b1-work-and-energy-conservative) $E_p(x) = E_0[(x/a)^4 - 2(x/a)^2]$. Trouver les équilibres et leur stabilité, la profondeur des puits, et la [pulsation](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/5-propagation-dun-signal-ondes-progressives-et-stationnaires#def-b1-wave-propagation-signal) des [petites oscillations](#prop-b1-work-and-energy-stability) autour d’un équilibre stable.

**Solution de Exercice 13.9.**

$E_p' = 4E_0(x^3/a^4 - x/a^2) = 0$ : $x = 0, \pm a$. $E_p'' = E_0(12x^2/a^4 -
4/a^2)$ : $-4E_0/a^2$ en $0$ (maximum instable, $E_p = 0$), $+8E_0/a^2$ en $\pm a$ (minimums stables, $E_p = -E_0$) : des puits de profondeur $E_0$ ; $\omega_0^2 = 8E_0/ma^2$.

**Exercice 13.10 ★★★.**

Pour l’oscillateur harmonique $E_p = \tfrac12 kx^2$, montrer que les courbes de phase sont des ellipses, donner leurs demi-axes pour une énergie $E$, et expliquer pourquoi elles sont toutes parcourues en le même temps.

**Solution de Exercice 13.10.**

$\tfrac12 m\dot x^2 + \tfrac12 kx^2 = E$ : une ellipse de demi-axes $x_{\max}
= \sqrt{2E/k}$ et $\dot x_{\max} = \sqrt{2E/m}$. Le mouvement est harmonique, de période $2\pi\sqrt{m/k}$ quelle que soit l’[amplitude](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/5-propagation-dun-signal-ondes-progressives-et-stationnaires#def-b1-wave-propagation-signal) (isochronisme), donc toutes les ellipses sont parcourues en le même temps.

**Exercice 13.11 ★★★.**

Un petit objet part du repos au sommet d’une demi-sphère sans frottement de rayon $R$. À l’aide de l’énergie et de la loi de Newton, trouver l’angle par rapport à la verticale auquel il quitte la surface, la hauteur correspondante et sa vitesse à cet instant.

**Solution de Exercice 13.11.**

Énergie : $v^2 = 2gR(1 - \cos\theta)$. Radialement : $mg\cos\theta - N = mv^2/R$, donc $N = mg(3\cos\theta - 2)$, nulle pour $\cos\theta = 2/3$ ($\theta =
48^\circ$) : hauteur $2R/3$, vitesse $\sqrt{2gR/3}$.

**Exercice 13.12 ★★★.**

Une voiture à $90\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ s’arrête en $80\,\mathrm{m}$ en dérapant, roues bloquées. Trouver $\mu_d$ par l’énergie. Où est passée l’énergie ? Pourquoi un système antiblocage (roues qui continuent de rouler) arrête-t-il plus court ?

**Solution de Exercice 13.12.**

$\tfrac12 mv^2 = \mu_dmgd$ : $\mu_d = 625/(2 \times 9.81 \times 80) = 0.40$. Elle est passée en chaleur dans le contact pneu–route (et en trace de gomme). Des roues qui roulent exploitent le frottement statique, $\mu_s > \mu_d$ : une force de freinage plus grande, une distance plus courte, et la direction conservée.

## 13.7 Problème : le puits d’énergie d’une liaison chimique

**Problème 13.1.**

Problème du week-end — deux atomes, une courbe : l’énergie potentielle d’une liaison lue comme un paysage — son fond, ses parois, les petites vibrations tout en bas, et l’énergie qu’il faut pour en sortir

L’interaction des deux atomes d’une molécule diatomique est modélisée par l’[énergie potentielle](#def-b1-work-and-energy-conservative)

$$
E_p(r) = \epsilon\left[\left(\frac{\sigma}{r}\right)^{12} - 2\left(\frac{\sigma}{r}\right)^{6}\right],
$$

où $r$ est la distance entre les noyaux. Pour le chlorure d’hydrogène, on prend $\epsilon = 4.4\,\mathrm{eV}$ et $\sigma = 0.127\,\mathrm{nm}$, et l’on fait bouger l’atome d’hydrogène léger ($m = 1.67 \times 10^{-27}\,\mathrm{kg}$) tandis que le chlore, lourd, reste immobile. $1\,\mathrm{eV} = 1.60 \times 10^{-19}\,\mathrm{J}$ ; $k_B = 1.38 \times 10^{-23}\,\mathrm{J}/\mathrm{K}$ ; $N_A = 6.02 \times 10^{23}$.

**Partie I — Le paysage.**

1. Donner les limites de $E_p$ quand $r \to 0$ et $r \to \infty$ , et esquisser la courbe.
2. Montrer que $E_p$ n’a qu’un seul minimum, en $r = \sigma$ , de valeur $-\epsilon$ .
3. Avec $u = (\sigma/r)^6$ , montrer que $E_p = \epsilon(u^2 - 2u)$ : une parabole en $u$ . En retrouver le minimum.
4. Exprimer la force $F(r)$ (positive si elle est répulsive) et donner son signe de part et d’autre de $\sigma$ .
5. Calculer $E_p$ et $F$ en $r = 1.2\sigma$ (en eV et en nN).
6. Quelle est l’énergie de dissociation de la molécule, en eV et en $\mathrm{kJ}/\mathrm{mol}$ ? (Énergie de liaison mesurée de HCl : $431\,\mathrm{kJ}/\mathrm{mol}$ .)
7. Vérifier le critère de stabilité en $r = \sigma$ : calculer $E_p''(\sigma)$ .

**Partie II — Les petites vibrations.**

8. Écrire le développement de Taylor à l’ordre deux de $E_p$ autour de $\sigma$ et identifier une raideur effective $k$ .
9. Calculer $k$ (en $\mathrm{N}/\mathrm{m}$ ).
10. En déduire la [pulsation](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/5-propagation-dun-signal-ondes-progressives-et-stationnaires#def-b1-wave-propagation-signal) , la fréquence et la [longueur d’onde](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/5-propagation-dun-signal-ondes-progressives-et-stationnaires#prop-b1-wave-propagation-sinusoidal) de la vibration, ainsi que son [nombre d’onde](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/5-propagation-dun-signal-ondes-progressives-et-stationnaires#prop-b1-wave-propagation-sinusoidal) $1/\lambda$ en $\mathrm{cm}^{-1}$ .
11. La vibration mesurée de HCl est à $2990\,\mathrm{cm}^{-1}$ . Commenter l’accord et ce que le modèle capture correctement.
12. À $300\,\mathrm{K}$ , l’énergie de vibration moyenne est de l’ordre de $k_BT$ . Estimer l’ [amplitude](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/5-propagation-dun-signal-ondes-progressives-et-stationnaires#def-b1-wave-propagation-signal) de la vibration et la comparer à $\sigma$ .
13. En déduire la vitesse maximale de l’atome d’hydrogène dans cette vibration.

**Partie III — Grandes oscillations et sortie du puits.**

14. Décrire le [portrait de phase](#def-b1-work-and-energy-phase) : quelles énergies donnent des courbes fermées, lesquelles des courbes ouvertes, et qu’est-ce qui les sépare ?
15. Pour $E_m = -\epsilon/2$ , trouver les deux [points de rebroussement](#def-b1-work-and-energy-turning) (en unités de $\sigma$ ).
16. Montrer que leur milieu est au-delà de $\sigma$ , et expliquer pourquoi chauffer (élever l’énergie de vibration) fait croître la longueur moyenne de la liaison — l’origine de la dilatation thermique.
17. La période des grandes oscillations est-elle plus longue ou plus courte que $2\pi/\omega_0$ ? Argumenter à partir de la forme des parois.
18. Depuis $E_m = -\epsilon/2$ , quelle énergie faut-il fournir pour dissocier la molécule ? Si on la donne sous forme d’ [énergie cinétique](#thm-b1-work-and-energy-ke) de l’atome d’hydrogène en $r = \sigma$ , quelle vitesse cela représente-t-il ?
19. Deux atomes qui s’approchent de loin avec une énergie totale positive ne peuvent pas former d’eux-mêmes une molécule liée. Pourquoi ? Que faut-il ?

**Partie IV — [Travail](#def-b1-work-and-energy-work), force et température.**

20. Calculer le [travail](#def-b1-work-and-energy-work) de la force de liaison lorsque $r$ passe de $2\sigma$ à $\sigma$ . Est-elle motrice ou résistante sur ce trajet ?
21. Calculer le [travail](#def-b1-work-and-energy-work) qu’un opérateur extérieur doit fournir pour étirer la liaison de $\sigma$ à $1.5\sigma$ à vitesse infiniment lente.
22. Calculer $F$ en $r = 0.9\sigma$ et comparer à $r = 1.2\sigma$ : que dit cette dissymétrie sur la compression face à l’étirement ?
23. À quelle température $k_BT$ égalerait-il $\epsilon$ ? Pourquoi les molécules se dissocient-elles en pratique à des températures bien plus basses ?
24. Un meilleur modèle (celui de Morse) change la forme des parois mais garde un minimum à la longueur de liaison. Lesquels des résultats ci-dessus survivent tels quels dans leur méthode, et quels nombres changeraient ?
25. Récapituler les trois usages faits des méthodes énergétiques : trouver l’équilibre, trouver la fréquence de vibration, et trouver ce qu’il faut pour s’échapper.

**Solution de Problème 13.1.**

**1.** Quand $r \to 0$ : $+\infty$ (le terme en $r^{-12}$) ; quand $r \to \infty$ : $0^-$. Une paroi raide, un puits, une longue queue.

**2.** $E_p' = \epsilon[-12\sigma^{12}/r^{13} + 12\sigma^6/r^7] = 0$ si et seulement si $(\sigma/r)^6 = 1$ : $r = \sigma$, $E_p = \epsilon(1 - 2) = -\epsilon$.

**3.** $(\sigma/r)^{12} = u^2$ : $E_p = \epsilon(u^2 - 2u) = \epsilon[(u - 1)^2
- 1]$, minimale en $u = 1$ ($r = \sigma$) et valant $-\epsilon$.

**4.** $F = -E_p' = (12\epsilon/\sigma)[(\sigma/r)^{13} - (\sigma/r)^7]$ : positive (répulsive) pour $r < \sigma$, négative (attractive) au-delà.

**5.** $(1/1.2)^6 = 0.335$, $(1/1.2)^{12} = 0.112$ : $E_p = \epsilon(0.112
- 0.670) = -0.56\epsilon = -2.5\,\mathrm{eV}$. $(1/1.2)^{13} = 0.0935$, $(1/1.2)^7 = 0.279$ : $F = (12\epsilon/\sigma)(-0.186) = -2.2\epsilon/\sigma =
-2.2 \times 7.0\times10^{-19}/1.27\times10^{-10} = -12\,\mathrm{nN}$.

**6.** $\epsilon = 4.4\,\mathrm{eV} = 4.4 \times 96.5 = 425\,\mathrm{kJ}/\mathrm{mol}$, proche des $431\,\mathrm{kJ}/\mathrm{mol}$ mesurés.

**7.** $E_p'' = \epsilon[156\sigma^{12}/r^{14} - 84\sigma^6/r^8]$ ; en $\sigma$ : $72\epsilon/\sigma^2 > 0$ : stable.

**8.** $E_p \approx -\epsilon + \tfrac12(72\epsilon/\sigma^2)(r - \sigma)^2$ : $k = 72\epsilon/\sigma^2$.

**9.** $k = 72 \times 7.0\times10^{-19}/(1.27\times10^{-10})^2 =
3.1 \times 10^{3}\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$.

**10.** $\omega_0 = \sqrt{k/m} = \sqrt{3.1\times10^3/1.67\times10^{-27}} =
1.4 \times 10^{15}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ ; $f = 2.2 \times 10^{14}\,\mathrm{Hz}$ ; $\lambda = c/f = 1.4\,\text{µ}\mathrm{m}$ ; $1/\lambda = 7300\,\mathrm{cm}^{-1}$.

**11.** Un facteur $2.4$ de trop : les parois du modèle sont trop raides (le cœur en $r^{-12}$ est un substitut grossier d’une liaison covalente), mais l’[ordre de grandeur](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/1-unites-dimensions-et-mesure#def-b1-units-dimensions-oom) — une vibration infrarouge à $10^{14}$ Hz — est juste, et la méthode (la courbure du puits) est exactement celle que l’on emploie avec de meilleurs potentiels.

**12.** $\tfrac12 kA^2 \approx k_BT$ : $A = \sqrt{2k_BT/k} = \sqrt{8.3\times
10^{-21}/3.1\times10^3} = 1.6 \times 10^{-12}\,\mathrm{m} = 0.013\sigma$ : la liaison frissonne à peine.

**13.** $v_{\max} = A\omega_0 = 1.6\times10^{-12} \times 1.4\times10^{15}
= 2.2\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$.

**14.** $-\epsilon < E_m < 0$ : courbes fermées autour de $(\sigma, 0)$ — vibration, état lié ; $E_m > 0$ : courbes ouvertes — les atomes se séparent ; $E_m = 0$ : la séparatrice, un atome tout juste capable d’atteindre l’infini.

**15.** $u^2 - 2u = -\tfrac12$ avec $u = (\sigma/r)^6$ : $u = 1 \pm 1/\sqrt2
= 1.71$ ou $0.293$ ; $r = \sigma u^{-1/6}$ : $0.915\sigma$ et $1.23\sigma$.

**16.** Milieu en $1.07\sigma > \sigma$ : la paroi extérieure est plus molle que l’intérieure, si bien que l’atome dispose de plus de place au dehors ; la distance moyennée dans le temps croît avec l’énergie — les liaisons chauffées s’allongent, les solides se dilatent.

**17.** Plus longue : du côté extérieur, plus mou, la force de rappel est plus faible que ne le suppose l’approximation harmonique, et le retour prend donc plus de temps.

**18.** $\epsilon/2 = 2.2\,\mathrm{eV} = 3.5 \times 10^{-19}\,\mathrm{J}$ ; en [énergie cinétique](#thm-b1-work-and-energy-ke) à la distance $\sigma$, cela donne $v = \sqrt{2 \times 3.5\times10^{-19}/1.67\times10^{-27}}
= 2.0 \times 10^{4}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

**19.** Conservation de l’énergie : si $E_m > 0$, il reste $> 0$, la courbe est ouverte, et les atomes se séparent après une seule rencontre. Il faut un troisième corps (une autre molécule, une paroi, un photon) pour emporter l’excédent.

**20.** $W = E_p(2\sigma) - E_p(\sigma) = \epsilon(2^{-12} - 2 \times 2^{-6})
+ \epsilon = 0.97\epsilon = 4.3\,\mathrm{eV}$, positif : l’attraction ramène l’atome, le [travail](#def-b1-work-and-energy-work) est moteur.

**21.** $W_{\text{ext}} = E_p(1.5\sigma) - E_p(\sigma) = \epsilon(0.0077 -
0.176) + \epsilon = 0.83\epsilon = 3.7\,\mathrm{eV}$.

**22.** $(1/0.9)^{13} = 3.93$, $(1/0.9)^7 = 2.09$ : $F = +22\epsilon/\sigma
= +120\,\mathrm{nN}$, dix fois l’attraction en $1.2\sigma$ : comprimer une liaison de $10\%$ coûte bien plus que l’étirer de $20\%$.

**23.** $T = \epsilon/k_B = 7.0\times10^{-19}/1.38\times10^{-23} =
5.1 \times 10^{4}\,\mathrm{K}$. Les gaz réels se dissocient bien en dessous, parce que les énergies sont distribuées : une fraction des molécules porte plusieurs fois $k_BT$ ([Chapitre 20](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/20-theorie-cinetique-et-gaz-parfait#ch-b1-kinetic-theory)).

**24.** Survivent : l’équilibre au minimum, $k = E_p''$ au minimum, l’énergie de dissociation $=$ profondeur, les [points de rebroussement](#def-b1-work-and-energy-turning) tirés de $E_p = E_m$, la dissymétrie $\Rightarrow$ dilatation. Changent : les valeurs de $k$, de la fréquence et des [points de rebroussement](#def-b1-work-and-energy-turning).

**25.** Équilibre : $E_p' = 0$ ; vibration : $\omega_0^2 = E_p''/m$ ; échappée : $E_m$ comparée au bord du puits.