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title: "Oscillateurs mécaniques : amortissement et résonance"
book: "Physique universitaire — 1re année"
subject: physics
language: fr
chapter: 14
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/14-oscillateurs-mecaniques-amortissement-et-resonance
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# Chapitre 14 — Oscillateurs mécaniques : amortissement et résonance

Poussez une balançoire au mauvais moment et il ne se passe pas grand-chose ; poussez-la une fois par période, doucement, et en une douzaine d’allers-retours l’enfant crie de joie tout en haut de l’arc. Une machine à laver tremble violemment à une vitesse précise de son essorage, et redevient silencieuse au-dessus. Un verre à pied chante quand un doigt mouillé en parcourt le bord à la bonne cadence, et se brise quand une chanteuse tient la même note assez fort. Chacun de ces phénomènes est une *résonance* : un système doté d’une [fréquence propre](#def-b1-oscillators-resonance-harmonic), excité près de cette fréquence, accumule de l’énergie cycle après cycle jusqu’à ce que le frottement en évacue autant qu’il en entre. Ce chapitre reprend l’oscillateur mécanique — libre, amorti, puis forcé — et en tire les courbes de résonance dont les jumelles électriques sont apparues au [Chapitre 8](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/8-regime-sinusoidal-force-et-impedance#ch-b1-sinusoidal-impedance).

## 14.1 L’oscillateur harmonique

**Définition 14.1 (Oscillateur harmonique).**

Un système dont l’écart $x$ à un équilibre stable obéit à

$$
\ddot x + \omega_0^2\,x = 0
$$

est un *oscillateur harmonique* de *[pulsation propre](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/7-regimes-transitoires-premier-et-second-ordre#def-b1-transient-regimes-secondorder)* $\omega_0$ (de période $T_0 = 2\pi/\omega_0$). La solution $x = A\cos(\omega_0t
+ \varphi)$ a une [amplitude](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/5-propagation-dun-signal-ondes-progressives-et-stationnaires#def-b1-wave-propagation-signal) et une phase fixées par les conditions initiales, et une période indépendante de l’[amplitude](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/5-propagation-dun-signal-ondes-progressives-et-stationnaires#def-b1-wave-propagation-signal) (*isochronisme*).

**Proposition 14.2 (D’où viennent les oscillateurs harmoniques).**

- Masse $m$ sur un ressort $k$ : $\omega_0^2 = k/m$ ( [loi de Hooke](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/12-les-lois-de-newton#prop-b1-newton-dynamics-springstring) ).
- [Pendule simple](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/12-les-lois-de-newton#ex-b1-newton-dynamics-pendulum) de longueur $\ell$ , petits angles : $\omega_0^2 = g/\ell$ .
- Tout point au voisinage d’un équilibre stable d’un potentiel $E_p$ : $\omega_0^2 = E_p''(x_0)/m$ ( [Proposition 13.12](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/13-travail-energie-et-energie-potentielle#prop-b1-work-and-energy-stability) ).
- Circuit LC : $\omega_0^2 = 1/LC$ , avec $q \leftrightarrow x$ , $L \leftrightarrow m$ , $1/C \leftrightarrow k$ .

L’énergie $E = \tfrac12 m\dot x^2 + \tfrac12 m\omega_0^2x^2 = \tfrac12
m\omega_0^2A^2$ est constante et passe d’une forme, cinétique, à l’autre, potentielle, deux fois par période.

**Démonstration.** La deuxième loi de Newton avec $F = -kx$ ; l’équation du pendule $\ddot\theta + (g/\ell)\sin\theta = 0$ avec $\sin\theta \approx \theta$ ; la formule de Taylor au minimum de $E_p$ ; la [loi des mailles](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/6-circuits-en-courant-continu-lois-de-kirchhoff-et-theoremes#thm-b1-dc-circuits-kirchhoff) du circuit LC. Pour l’énergie : on dérive et on utilise l’équation. ∎

**Exemple 14.3 (Un cylindre qui tangue).**

Un cylindre vertical de section $S$ flotte avec une hauteur $h$ immergée ($mg = \rho_wgSh$, poussée d’Archimède du [Chapitre 21](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/21-statique-des-fluides#ch-b1-fluid-statics)). Enfoncé de $x$, il reçoit une force supplémentaire vers le haut $\rho_wgSx$ : $m\ddot x = -\rho_wgSx$, donc $\omega_0^2 = \rho_wgS/m = g/h$ — comme un pendule de longueur $h$. Une bouée immergée de $1\,\mathrm{m}$ tangue avec une période de $2\,\mathrm{s}$, quelle que soit sa masse.

## 14.2 L’oscillateur amorti

**Proposition 14.4 (Oscillateur amorti).**

Avec un frottement visqueux $-\alpha\dot x$, l’équation devient

$$
\ddot x + \frac{\omega_0}{Q}\dot x + \omega_0^2x = 0, \qquad
Q = \frac{\sqrt{km}}{\alpha} = \frac{m\omega_0}{\alpha},
$$

c’est la forme canonique du second ordre du [Chapitre 7](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/7-regimes-transitoires-premier-et-second-ordre#ch-b1-transient-regimes) : pour $Q > \tfrac12$, une décroissance pseudo-périodique $x = A\eu^{-t/\tau}\cos(\omega t +
\varphi)$ avec $\tau = 2Q/\omega_0$ et $\omega = \omega_0\sqrt{1 - 1/4Q^2}$ ; l’énergie décroît en $\eu^{-2t/\tau}$ et

$$
Q = 2\pi\,\frac{\text{énergie stockée}}{\text{énergie perdue par période}}
\quad (Q \gg 1) .
$$

**Démonstration.** On divise $m\ddot x + \alpha\dot x + kx = 0$ par $m$. Pour l’énergie : $E
\propto A^2\eu^{-2t/\tau}$ perd la fraction $2T/\tau = 2\pi/Q$ par période lorsque celle-ci est petite. ∎

**Exemple 14.5 (Durées de sonnerie).**

Un diapason à $440\,\mathrm{Hz}$ s’entend encore dix secondes après avoir été frappé : son [amplitude](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/5-propagation-dun-signal-ondes-progressives-et-stationnaires#def-b1-wave-propagation-signal) est tombée à environ $5\%$ en $3\tau = 10\,\mathrm{s}$, donc $\tau = 3.3\,\mathrm{s}$ et $Q = \omega_0\tau/2 \approx 4600$. La suspension d’une voiture ($Q \approx 0.7$) s’arrête en moins d’une période ; une balançoire ($Q \approx 20$) perd un tiers de son énergie par aller-retour et réclame une poussée à chaque fois.

## 14.3 Oscillations forcées et résonance

**Théorème 14.6 (Oscillateur excité sinusoïdalement).**

Excité par une force $F_0\cos\omega t$, l’[oscillateur amorti](#prop-b1-oscillators-resonance-damped)

$$
m\ddot x + \alpha\dot x + kx = F_0\cos\omega t
$$

s’installe, après un transitoire de durée $\sim\tau$, dans le [régime forcé](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/8-regime-sinusoidal-force-et-impedance#prop-b1-sinusoidal-impedance-forced) $x = X\cos(\omega t + \varphi)$ avec, en posant $x_r = \omega/\omega_0$ et $X_0 = F_0/k$ la déformation statique,

$$
X = \frac{X_0}{\sqrt{(1 - x_r^2)^2 + x_r^2/Q^2}}, \qquad
\tan\varphi = -\frac{x_r/Q}{1 - x_r^2}, \quad \varphi \in [-\pi, 0] .
$$

L’*[amplitude](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/5-propagation-dun-signal-ondes-progressives-et-stationnaires#def-b1-wave-propagation-signal)* $X$ passe par un maximum, pour $Q > 1/\sqrt2$, en $\omega_r =
\omega_0\sqrt{1 - 1/2Q^2}$ avec $X_{\max} \approx QX_0$ ; l’*[amplitude](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/5-propagation-dun-signal-ondes-progressives-et-stationnaires#def-b1-wave-propagation-signal) de vitesse* $V = \omega X$ est maximale exactement en $\omega_0$, où $V_{\max} =
F_0/\alpha$, et sa courbe de résonance

$$
\frac{V}{V_{\max}} = \frac{1}{\sqrt{1 + Q^2(x_r - 1/x_r)^2}}
$$

a pour [bande passante](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/9-filtres-et-fonctions-de-transfert#def-b1-filters-transfer-functions-bode) $\Delta\omega = \omega_0/Q$. En $\omega_0$, le déplacement est en retard de $\pi/2$ sur la force et la vitesse est en phase avec elle.

**Démonstration.** Méthode complexe ([Chapitre 8](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/8-regime-sinusoidal-force-et-impedance#ch-b1-sinusoidal-impedance)) : $\underline X(-\omega^2
+ j\omega\omega_0/Q + \omega_0^2) = F_0/m$, donc $\underline X = (F_0/m)/(\omega_0^2
- \omega^2 + j\omega\omega_0/Q)$ ; on divise numérateur et dénominateur par $\omega_0^2 = k/m$. Le module et l’argument suivent ; le maximum de $X$ a été localisé à la [Proposition 8.10](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/8-regime-sinusoidal-force-et-impedance#prop-b1-sinusoidal-impedance-overvoltage) (même fonction). Vitesse : $\underline V = j\omega\underline X$ donne $V = \omega X$ ; en écrivant $(1 - x_r^2)/x_r = 1/x_r - x_r$, le dénominateur devient $\sqrt{1/Q^2 + (1/x_r - x_r)^2}$, c’est-à-dire la forme du RLC. En $x_r = 1$, $\underline X = -jQX_0$ : un retard de $\pi/2$. ∎

![Amplitude (à gauche) et phase (à droite) de l’oscillateur forcé en fonction de la fréquence d’excitation, pour plusieurs facteurs de qualité. Un pic aigu près de _0 pour Q grand, aucun en dessous de Q = 1/√2 ; le déplacement passe de en phase ( faible) à en opposition ( grande), par un retard de π/2 en _0 — plus la résonance est aiguë, plus le basculement est brutal.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-oscillators-resonance/fig-1b9ff811c9c5.svg)

![Amplitude (à gauche) et phase (à droite) de l’oscillateur forcé en fonction de la fréquence d’excitation, pour plusieurs facteurs de qualité. Un pic aigu près de _0 pour Q grand, aucun en dessous de Q = 1/√2 ; le déplacement passe de en phase ( faible) à en opposition ( grande), par un retard de π/2 en _0 — plus la résonance est aiguë, plus le basculement est brutal.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-oscillators-resonance/fig-2142742bced6.svg)

*[Amplitude](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/5-propagation-dun-signal-ondes-progressives-et-stationnaires#def-b1-wave-propagation-signal) (à gauche) et phase (à droite) de l’oscillateur forcé en fonction de la fréquence d’excitation, pour plusieurs [facteurs de qualité](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/7-regimes-transitoires-premier-et-second-ordre#def-b1-transient-regimes-secondorder). Un pic aigu près de $\omega_0$ pour $Q$ grand, aucun en dessous de $Q = 1/\sqrt2$ ; le déplacement passe de en phase ($\omega$ faible) à en opposition ($\omega$ grande), par un retard de $\pi/2$ en $\omega_0$ — plus la résonance est aiguë, plus le basculement est brutal.*

**Remarque 14.7 (Deux résonances, un seul circuit).**

La correspondance $x \leftrightarrow q$, $\dot x \leftrightarrow i$, $m \leftrightarrow L$, $\alpha \leftrightarrow R$, $k \leftrightarrow 1/C$, $F \leftrightarrow e$ transporte l’oscillateur forcé sur le RLC série du [Chapitre 8](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/8-regime-sinusoidal-force-et-impedance#ch-b1-sinusoidal-impedance) : la résonance en vitesse est la résonance en intensité (toujours en $\omega_0$, de [bande passante](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/9-filtres-et-fonctions-de-transfert#def-b1-filters-transfer-functions-bode) $\omega_0/Q$), la résonance en [amplitude](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/5-propagation-dun-signal-ondes-progressives-et-stationnaires#def-b1-wave-propagation-signal) est celle de la charge, c’est-à-dire de la tension du condensateur (un peu au-dessous de $\omega_0$, absente pour $Q$ faible). La puissance absorbée, $\langle F\dot x\rangle
= \tfrac12 F_0V\cos\varphi_v$, est maximale en $\omega_0$ et y vaut $F_0^2/2\alpha$, et les points de demi-puissance délimitent la [bande passante](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/9-filtres-et-fonctions-de-transfert#def-b1-filters-transfer-functions-bode) en vitesse — exactement comme pour le RLC.

**Exemple 14.8 (Vitesses de résonance).**

La suspension d’une voiture a $f_0 \approx 1.3\,\mathrm{Hz}$ ([Problème 7.1](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/7-regimes-transitoires-premier-et-second-ordre#pb-b1-transient-regimes-1)). Sur une route à tôle ondulée de période $\lambda = 10\,\mathrm{m}$, la fréquence d’excitation vaut $v/\lambda$ : résonance à $v = \lambda f_0 = 13\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, environ $47\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ — la vitesse à laquelle une telle route secoue le plus la voiture, et la raison pour laquelle on monte un amortisseur de $Q \approx 0.7$ : avec $Q = 5$, la caisse rebondirait avec cinq fois l’[amplitude](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/5-propagation-dun-signal-ondes-progressives-et-stationnaires#def-b1-wave-propagation-signal) de la route. Au-dessus de la résonance ($x_r \gg 1$), l’[amplitude](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/5-propagation-dun-signal-ondes-progressives-et-stationnaires#def-b1-wave-propagation-signal) tombe comme $X_0/x_r^2$ : la caisse « flotte » au-dessus des bosses rapides — l’isolation, l’autre visage de la résonance.

## 14.4 Excitation par la base : isolation et sismomètre

**Proposition 14.9 (Oscillateur secoué par son support).**

Soit un système masse–ressort–amortisseur dont le support se déplace de $x_g(t)$ (la route sous une voiture, le sol sous un sismomètre) ; soit $u$ le déplacement de la masse par rapport au support et $x = x_g + u$ son déplacement absolu (compté depuis l’équilibre). Alors

$$
m\ddot u + \alpha\dot u + ku = -m\ddot x_g ,
$$

et, pour $x_g = X_g\cos\omega t$, avec $x_r = \omega/\omega_0$ :

$$
\frac{U}{X_g} = \frac{x_r^2}{\sqrt{(1 - x_r^2)^2 + x_r^2/Q^2}},
\qquad
\frac{X}{X_g} = \sqrt{\frac{1 + x_r^2/Q^2}{(1 - x_r^2)^2 + x_r^2/Q^2}} .
$$

Pour $x_r \gg 1$ : $U \to X_g$ (la masse reste immobile dans l’espace — un *sismomètre* lit le déplacement du sol) et $X \to 0$ (la masse est *isolée* des secousses) ; pour $x_r \ll 1$ : $U \approx
\ddot x_g/\omega_0^2$ (un *accéléromètre*) et $X \approx X_g$ (la masse suit le support).

**Démonstration.** Le ressort et l’amortisseur agissent sur le mouvement relatif : $m\ddot x = -ku -
\alpha\dot u$, et $\ddot x = \ddot x_g + \ddot u$. En complexes, $\underline U(\omega_0^2 - \omega^2 + j\omega\omega_0/Q) = \omega^2X_g$, d’où $U/X_g$ ; puis $\underline X = \underline U + X_g = X_g(1 + jx_r/Q)/(1 -
x_r^2 + jx_r/Q)$. ∎

![Une masse secouée par son support. À gauche : le mouvement relatif U/X_g — un accéléromètre en dessous de _0 (pente 2 en échelles logarithmiques), un sismomètre au-dessus. À droite : le mouvement absolu X/X_g — la masse suit le support à basse fréquence, elle en est isolée bien au-dessus de _0 ; un Q élevé n’apporte rien qu’un pic dangereux.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-oscillators-resonance/fig-638881f9f35f.svg)

![Une masse secouée par son support. À gauche : le mouvement relatif U/X_g — un accéléromètre en dessous de _0 (pente 2 en échelles logarithmiques), un sismomètre au-dessus. À droite : le mouvement absolu X/X_g — la masse suit le support à basse fréquence, elle en est isolée bien au-dessus de _0 ; un Q élevé n’apporte rien qu’un pic dangereux.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-oscillators-resonance/fig-1c371b3f1674.svg)

*Une masse secouée par son support. À gauche : le mouvement relatif $U/X_g$ — un accéléromètre en dessous de $\omega_0$ (pente $2$ en échelles logarithmiques), un sismomètre au-dessus. À droite : le mouvement absolu $X/X_g$ — la masse suit le support à basse fréquence, elle en est isolée bien au-dessus de $\omega_0$ ; un $Q$ élevé n’apporte rien qu’un pic dangereux.*

**Exemple 14.10 (Pourquoi les machines reposent sur des supports souples).**

Un moteur à $50\,\mathrm{Hz}$ sur des plots de caoutchouc accordés à $f_0 = 10\,\mathrm{Hz}$ ($x_r = 5$, $Q \approx 2$) : $X/X_g = \sqrt{(1 + 6.25)/(576 + 6.25)} = 0.11$ — neuf dixièmes de la vibration ne passent pas dans le plancher. Les plots doivent être *plus souples* que l’intuition ne le suggère : les raidir remonte $f_0$ vers $50$ Hz et détruit l’isolation. La même formule, lue à l’envers, décrit la voiture de l’[Exemple 14.8](#ex-b1-oscillators-resonance-road) sur sa tôle ondulée.

## 14.5 Énergie : comment une résonance s’installe

**Proposition 14.11 (Bilan d’énergie en régime forcé).**

En [régime forcé](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/8-regime-sinusoidal-force-et-impedance#prop-b1-sinusoidal-impedance-forced) établi, la [puissance moyenne](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/8-regime-sinusoidal-force-et-impedance#thm-b1-sinusoidal-impedance-power) fournie par la force d’excitation égale la [puissance moyenne](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/8-regime-sinusoidal-force-et-impedance#thm-b1-sinusoidal-impedance-power) dissipée par le frottement, $\tfrac12\alpha V^2$. À la résonance, l’énergie stockée $\tfrac12 mV_{\max}^2$ vaut $Q/2\pi$ fois l’énergie fournie par période : l’oscillateur accumule le travail de l’excitation sur environ $Q$ cycles avant que les pertes n’égalent l’apport, ce qui est aussi le nombre de cycles ($\sim\tau/T$) que dure le transitoire.

**Démonstration.** Moyennons le théorème de l’énergie sur une période : $\langle\dd E/\dd t\rangle = 0$ en régime établi, donc $\langle F\dot x\rangle = \langle\alpha\dot x^2\rangle =
\tfrac12\alpha V^2$. À la résonance, $V_{\max} = F_0/\alpha$, l’énergie stockée vaut $\tfrac12 m(F_0/\alpha)^2$, l’énergie fournie par période $\tfrac12\alpha(F_0/\alpha)^2T$ ; le rapport vaut $m/(\alpha T) = Q/2\pi$. ∎

**Exemple 14.12 (La balançoire).**

Une balançoire de $2.5\,\mathrm{m}$ ($T_0 = 3.2\,\mathrm{s}$, $Q \approx 20$) reçoit une poussée de $50\,\mathrm{N}$ sur $0.5\,\mathrm{m}$ à chaque période : $25\,\mathrm{J}$ par cycle. L’[amplitude](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/5-propagation-dun-signal-ondes-progressives-et-stationnaires#def-b1-wave-propagation-signal) croît jusqu’à ce que la perte par période, $2\pi E/Q$, égale $25\,\mathrm{J}$ : $E = 80\,\mathrm{J}$ ; avec un enfant de $30\,\mathrm{kg}$, $mg\ell(1 -
\cos\theta_{\max}) = 80\,\mathrm{J}$ donne $\theta_{\max} \approx 27^\circ$. Poussé sur tout autre rythme, le travail des poussées changerait de signe et se moyennerait à rien.

![Établissement d’une résonance (Q = 5, excitation branchée à t = 0 sur _0) : l’amplitude croît vers QX_0 avec la constante de temps = 2Q/ _0, c’est-à-dire sur environ Q/π périodes — le transitoire du superposé au régime forcé.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-oscillators-resonance/fig-32410aeb23f9.svg)

*Établissement d’une résonance ($Q = 5$, excitation branchée à $t = 0$ sur $\omega_0$) : l’[amplitude](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/5-propagation-dun-signal-ondes-progressives-et-stationnaires#def-b1-wave-propagation-signal) croît vers $QX_0$ avec la [constante de temps](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/7-regimes-transitoires-premier-et-second-ordre#def-b1-transient-regimes-firstorder) $\tau = 2Q/\omega_0$, c’est-à-dire sur environ $Q/\pi$ périodes — le transitoire du [Chapitre 7](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/7-regimes-transitoires-premier-et-second-ordre#ch-b1-transient-regimes) superposé au [régime forcé](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/8-regime-sinusoidal-force-et-impedance#prop-b1-sinusoidal-impedance-forced).*

## 14.6 Exercices

**Exercice 14.1 ★.**

Une masse de $0.20\,\mathrm{kg}$ sur un ressort de raideur $80\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ oscille avec une [amplitude](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/5-propagation-dun-signal-ondes-progressives-et-stationnaires#def-b1-wave-propagation-signal) de $5.0\,\mathrm{cm}$. [Pulsation](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/5-propagation-dun-signal-ondes-progressives-et-stationnaires#def-b1-wave-propagation-signal), fréquence, période, vitesse maximale, énergie totale.

**Solution de Exercice 14.1.**

$\omega_0 = \sqrt{80/0.20} = 20\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$, $f_0 = 3.2\,\mathrm{Hz}$, $T_0 =
0.31\,\mathrm{s}$ ; $v_{\max} = A\omega_0 = 1.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $E = \tfrac12 kA^2 =
0.10\,\mathrm{J}$.

**Exercice 14.2 ★.**

Période d’un pendule de $1.0\,\mathrm{m}$ sur Terre et sur la Lune ($g = 1.62\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$). Qu’advient-il, sur la Lune, de la période du système masse–ressort ?

**Solution de Exercice 14.2.**

$T = 2\pi\sqrt{\ell/g}$ : $2.0\,\mathrm{s}$ sur Terre, $4.9\,\mathrm{s}$ sur la Lune. La période du système masse–ressort, $2\pi\sqrt{m/k}$, ne fait pas intervenir $g$ : elle est inchangée.

**Exercice 14.3 ★.**

Un oscillateur a $f_0 = 2.0\,\mathrm{Hz}$ et $Q = 50$. Temps de décroissance $\tau$ de l’[amplitude](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/5-propagation-dun-signal-ondes-progressives-et-stationnaires#def-b1-wave-propagation-signal) ; temps de demi-vie de l’énergie ; nombre d’oscillations avant que l’[amplitude](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/5-propagation-dun-signal-ondes-progressives-et-stationnaires#def-b1-wave-propagation-signal) soit descendue à $5\%$.

**Solution de Exercice 14.3.**

$\tau = 2Q/\omega_0 = 100/(4\pi) = 8.0\,\mathrm{s}$ ; l’énergie, $\propto \eu^{-2t/\tau}$, est divisée par deux en $t = \tau\ln2/2 = 2.8\,\mathrm{s}$ ; $5\%$ après $3\tau = 24\,\mathrm{s}$, soit environ $48 \approx Q$ oscillations.

**Exercice 14.4 ★.**

Une masse sur un ressort ($k = 100\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$, $Q = 10$) est excitée par une force d’[amplitude](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/5-propagation-dun-signal-ondes-progressives-et-stationnaires#def-b1-wave-propagation-signal) $1.0\,\mathrm{N}$. Déformation statique ; [amplitude](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/5-propagation-dun-signal-ondes-progressives-et-stationnaires#def-b1-wave-propagation-signal) à la résonance ; [amplitude](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/5-propagation-dun-signal-ondes-progressives-et-stationnaires#def-b1-wave-propagation-signal) à $\omega = 3\omega_0$.

**Solution de Exercice 14.4.**

$X_0 = F_0/k = 1.0\,\mathrm{cm}$ ; à la résonance, $\approx QX_0 = 10\,\mathrm{cm}$ ; en $3\omega_0$ : $X_0/\sqrt{64 + 0.09} = 0.13\,\mathrm{cm}$.

**Exercice 14.5 ★★.**

Une voiture ($f_0 = 1.3\,\mathrm{Hz}$, $Q = 0.7$) franchit des ralentisseurs espacés de $8.0\,\mathrm{m}$. Vitesse de résonance ? À $60\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$, quelle fraction de l’[amplitude](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/5-propagation-dun-signal-ondes-progressives-et-stationnaires#def-b1-wave-propagation-signal) des bosses la caisse ressent-elle ? Commenter.

**Solution de Exercice 14.5.**

$v = Lf_0 = 8.0 \times 1.3 = 10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ($37\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$). À $60\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ : $f = 16.7/8.0 = 2.1\,\mathrm{Hz}$, $x_r = 1.6$ : $X/X_g =
\sqrt{(1 + 5.2)/(2.4 + 5.2)} = 0.90$ — à peine isolée ; l’isolation demande $x_r \gg 1$ (à $120\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$, $x_r = 3.2$ : $0.45$).

**Exercice 14.6 ★★.**

Expliquer, par le bilan d’énergie, pourquoi une balançoire doit être poussée à sa propre période ; pour $Q = 20$ et une poussée qui apporte $25\,\mathrm{J}$ par cycle, trouver l’énergie du régime établi et l’[amplitude](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/5-propagation-dun-signal-ondes-progressives-et-stationnaires#def-b1-wave-propagation-signal) pour un enfant de $30\,\mathrm{kg}$ sur une balançoire de $2.5\,\mathrm{m}$.

**Solution de Exercice 14.6.**

Le travail d’une poussée n’est positif que lorsqu’elle agit dans le sens du mouvement ; poussée à chaque période, toutes les poussées s’ajoutent ; sur tout autre rythme, elles alternent. Régime établi : $2\pi E/Q = 25\,\mathrm{J}$, $E = 80\,\mathrm{J}$ ; $mg\ell(1 - \cos\theta_{\max}) = 80$ : $1 - \cos\theta_{\max} = 0.109$, $\theta_{\max} = 27^\circ$.

**Exercice 14.7 ★★.**

Les maxima successifs d’une oscillation libre diminuent de $10\%$ à chaque période. Trouver $Q$ et la [bande passante](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/9-filtres-et-fonctions-de-transfert#def-b1-filters-transfer-functions-bode) (en hertz) de sa résonance en vitesse si $f_0 = 2.0\,\mathrm{Hz}$.

**Solution de Exercice 14.7.**

$\delta = \ln(1/0.9) = 0.105$, $Q = \pi/\delta = 30$ ; $\Delta f = f_0/Q =
0.067\,\mathrm{Hz}$.

**Exercice 14.8 ★★.**

Donner la phase du déplacement par rapport à la force bien en dessous de la résonance, à la résonance et bien au-dessus, ainsi que la phase de la vitesse à la résonance. Pourquoi la résonance en vitesse est-elle celle qui compte pour la puissance ?

**Solution de Exercice 14.8.**

Déplacement : en phase ($\varphi = 0$) bien en dessous, $-\pi/2$ à la résonance, $-\pi$ (en opposition) bien au-dessus. Vitesse à la résonance : en phase avec la force. La puissance vaut $\vect F\cdot\vect v$ : c’est la phase de la vitesse, non celle du déplacement, qui décide du travail fourni par l’excitation.

**Exercice 14.9 ★★.**

Montrer que l’[amplitude](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/5-propagation-dun-signal-ondes-progressives-et-stationnaires#def-b1-wave-propagation-signal) de vitesse $V = \omega X$ est maximale exactement en $\omega_0$, avec $V_{\max} = F_0/\alpha$, et que $V/V_{\max}$ a la forme $1/\sqrt{1 + Q^2(x_r - 1/x_r)^2}$.

**Solution de Exercice 14.9.**

$V = \omega X = \omega(F_0/m)/\sqrt{(\omega_0^2 - \omega^2)^2 + (\omega\omega_0/Q)^2}$ ; en divisant numérateur et dénominateur par $\omega\omega_0/Q$ : $V = (F_0Q/m\omega_0)/
\sqrt{1 + Q^2(\omega_0/\omega - \omega/\omega_0)^2}$, et $F_0Q/m\omega_0 = F_0/\alpha$. La racine est $\geq 1$, et vaut $1$ exactement en $\omega = \omega_0$.

**Exercice 14.10 ★★★.**

Calculer la [puissance moyenne](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/8-regime-sinusoidal-force-et-impedance#thm-b1-sinusoidal-impedance-power) absorbée à la résonance pour $F_0 = 1.0\,\mathrm{N}$ et $\alpha = 0.050\,\mathrm{N}\,\mathrm{s}/\mathrm{m}$, ainsi que l’énergie stockée si $m = 0.20\,\mathrm{kg}$ ; vérifier que leur rapport vaut $Q/\omega_0$ avec $\omega_0 = 20\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$.

**Solution de Exercice 14.10.**

$P = F_0^2/2\alpha = 10\,\mathrm{W}$ ; $V_{\max} = F_0/\alpha = 20\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $E = \tfrac12 mV_{\max}^2 = 40\,\mathrm{J}$ ; $E/P = 4.0\,\mathrm{s}$ et $Q/\omega_0 =
m/\alpha = 4.0\,\mathrm{s}$.

**Exercice 14.11 ★★★.**

Un diapason à $440\,\mathrm{Hz}$ s’entend pendant $10\,\mathrm{s}$ ([amplitude](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/5-propagation-dun-signal-ondes-progressives-et-stationnaires#def-b1-wave-propagation-signal) tombée à $5\%$). Estimer $\tau$ et $Q$, la [bande passante](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/9-filtres-et-fonctions-de-transfert#def-b1-filters-transfer-functions-bode) de sa résonance, et commenter ce qui en fait un bon étalon de fréquence.

**Solution de Exercice 14.11.**

$3\tau = 10\,\mathrm{s}$ : $\tau = 3.3\,\mathrm{s}$, $Q = \omega_0\tau/2 = 2\pi \times
440 \times 3.3/2 \approx 4600$ ; $\Delta f = f_0/Q = 0.1\,\mathrm{Hz}$. Il ne répond qu’à une fréquence, et n’en émet qu’une : un étalon bon à quelques $10^4$es près.

**Exercice 14.12 ★★★.**

Établir la fréquence de tangage d’un cylindre flottant ([Exemple 14.3](#ex-b1-oscillators-resonance-bob)) à partir de la loi de Newton et de la poussée d’Archimède $\rho_wgS(h + x)$ ; montrer que $\omega_0^2 = g/h$ ; calculer la période pour $h = 10\,\mathrm{cm}$. Pourquoi le résultat est-il indépendant de la masse et du liquide ?

**Solution de Exercice 14.12.**

$m\ddot x = mg - \rho_wgS(h + x) = -\rho_wgSx$ (puisque $mg = \rho_wgSh$) : $\omega_0^2 = \rho_wgS/m = g/h$ ; $T = 2\pi\sqrt{0.10/9.81} = 0.63\,\mathrm{s}$. La masse et la masse volumique du liquide n’interviennent qu’à travers la profondeur d’équilibre $h$.

![Un sismographe : une lourde masse sur une suspension souple reste immobile tandis que le sol bouge, et la plume écrit la différence — c’est l’oscillateur excité par la base du problème du week-end.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-oscillators-resonance/img-53d548226295.jpg)

*Un sismographe : une lourde masse sur une suspension souple reste immobile tandis que le sol bouge, et la plume écrit la différence — c’est l’oscillateur excité par la base du problème du week-end.*

## 14.7 Problème : le sismographe

**Problème 14.1.**

Problème du week-end — une masse pend à un ressort dans un boîtier boulonné au sol ; le sol tremble : qu’écrit la plume, pourquoi le même instrument mesure un déplacement à haute fréquence et une accélération à basse fréquence, et pourquoi un sismomètre longue période ne peut pas être simplement un long ressort

Une masse $m = 1.0\,\mathrm{kg}$ pend à un ressort de raideur $k$ à l’intérieur d’un bâti rigide fixé au sol ; un amortisseur exerce $-\alpha\dot u$, où $u$ est le déplacement de la masse par rapport au bâti, compté depuis sa position d’équilibre. Le sol, et donc le bâti, se déplace verticalement de $x_g(t)$. Le [référentiel](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/11-cinematique-du-point#def-b1-point-kinematics-frame) des étoiles lointaines est galiléen.

**Partie I — L’équation.**

1. Écrire la position absolue de la masse sous la forme $x = x_g + u +  \text{const}$, faire le bilan des forces sur la masse (dans le [référentiel galiléen](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/12-les-lois-de-newton#thm-b1-newton-dynamics-laws)), et montrer que $$m\ddot u + \alpha\dot u + ku = -m\ddot x_g .$$
2. La mettre sous forme canonique ; identifier $\omega_0$ et $Q$ .
3. L’instrument est construit avec $f_0 = 0.50\,\mathrm{Hz}$ et $Q = 0.70$ : calculer $k$ et $\alpha$ .
4. Une accélération constante du sol $a_g$ (le bâti qui bascule, par exemple) donne quel $u$ permanent ? Interpréter.
5. Qu’enregistre la plume liée à la masse, qui écrit sur un tambour solidaire du bâti ?

**Partie II — [Mouvement harmonique](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/11-cinematique-du-point#prop-b1-point-kinematics-harmonic) du sol.** Le sol se déplace selon $x_g = X_g\cos\omega t$ ; on pose $x_r = \omega/\omega_0$.

6. À l’aide des [amplitudes complexes](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/8-regime-sinusoidal-force-et-impedance#def-b1-sinusoidal-impedance-complex) , montrer que $\underline U = X_g\,x_r^2/  (1 - x_r^2 + jx_r/Q)$ .
7. En déduire $U/X_g$ en fonction de $x_r$ et de $Q$ .
8. Limite $x_r \gg 1$ : montrer que $U \to X_g$ et expliquer physiquement ce que fait la masse (que mesure alors l’instrument ?).
9. Limite $x_r \ll 1$ : montrer que $U \approx x_r^2X_g = a_g/\omega_0^2$ , où $a_g$ est l’ [amplitude](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/5-propagation-dun-signal-ondes-progressives-et-stationnaires#def-b1-wave-propagation-signal) d’accélération du sol : qu’est devenu l’instrument ?
10. Valeur en $x_r = 1$ ; pourquoi $Q \approx 0.7$ est-il un choix raisonnable ?
11. Esquisser $U/X_g$ en fonction de $x_r$ (échelles logarithmiques) pour $Q = 0.7$ et $Q = 5$ .
12. Phase de $u$ par rapport à $x_g$ à haute fréquence ; interpréter.

**Partie III — Dimensionner pour les séismes.** Les séismes lointains produisent des ondes de surface de $0.05\,$ à $0.1\,\mathrm{Hz}$ et d’[amplitude](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/5-propagation-dun-signal-ondes-progressives-et-stationnaires#def-b1-wave-propagation-signal) millimétrique ; les secousses locales atteignent $5\,$ à $10\,\mathrm{Hz}$.

13. Pour enregistrer les ondes à $0.05\,\mathrm{Hz}$ comme des déplacements, on veut $f_0 \ll 0.05\,\mathrm{Hz}$ , disons $0.02\,\mathrm{Hz}$ . Quel allongement statique le ressort prendrait-il sous le poids de la masse ? Commenter.
14. Un [pendule simple](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/12-les-lois-de-newton#ex-b1-newton-dynamics-pendulum) de même fréquence : quelle longueur ?
15. Les instruments longue période réels emploient un pendule presque horizontal, dit « de porte de jardin », ou une contre-réaction électronique de force. Expliquer en une phrase ce qu’apporte chacun.
16. Pour l’instrument à $0.50\,\mathrm{Hz}$ , calculer l’allongement statique : est-ce réalisable ?
17. Avec lui, une onde à $0.10\,\mathrm{Hz}$ d’ [amplitude](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/5-propagation-dun-signal-ondes-progressives-et-stationnaires#def-b1-wave-propagation-signal) $1.0\,\mathrm{mm}$ donne quel $U$ ? Dans quel régime est l’instrument ?
18. Une secousse locale à $5.0\,\mathrm{Hz}$ d’ [amplitude](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/5-propagation-dun-signal-ondes-progressives-et-stationnaires#def-b1-wave-propagation-signal) $1.0\,\mathrm{mm}$ : quel $U$ ? Quel régime ?

**Partie IV — L’accéléromètre d’un téléphone.** Une masse micro-usinée sur des ressorts de silicium a $f_0 = 1.0\,\mathrm{kHz}$ et $Q = 0.7$.

19. Une secousse à $10\,\mathrm{Hz}$ d’ [amplitude](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/5-propagation-dun-signal-ondes-progressives-et-stationnaires#def-b1-wave-propagation-signal) d’accélération $g$ : calculer $U$ . Comment lit-on un tel déplacement ?
20. Jusqu’à quelle fréquence la lecture reste-t-elle à $10\%$ près de $a_g/\omega_0^2$ ?
21. Quelle [constante de temps](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/7-regimes-transitoires-premier-et-second-ordre#def-b1-transient-regimes-firstorder) $\tau = 2Q/\omega_0$ gouverne sa réponse à un choc, et pourquoi cela importe-t-il pour détecter une chute ?
22. Le $\tau$ du sismomètre : valeur et conséquence après un échelon brusque du sol.
23. Pourquoi choisit-on un amortissement critique (ou presque) pour les deux instruments, plutôt qu’un $Q$ élevé ?
24. Le téléphone est secoué exactement à $1.0\,\mathrm{kHz}$ : de quel facteur la lecture est-elle fausse ?
25. Récapituler : un seul dispositif, deux régimes, tranchés par quelle unique comparaison ?

**Solution de Problème 14.1.**

**1.** Forces : le poids (compensé par l’allongement statique), le ressort $-ku$, l’amortisseur $-\alpha\dot u$ ; $m\ddot x = -ku - \alpha\dot u$ avec $\ddot x =
\ddot x_g + \ddot u$.

**2.** $\ddot u + (\omega_0/Q)\dot u + \omega_0^2u = -\ddot x_g$, avec $\omega_0 =
\sqrt{k/m}$ et $Q = \sqrt{km}/\alpha$.

**3.** $k = m\omega_0^2 = \pi^2 = 9.9\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ ; $\alpha = m\omega_0/Q =
3.14/0.70 = 4.5\,\mathrm{N}\,\mathrm{s}/\mathrm{m}$.

**4.** $u = -a_g/\omega_0^2$ : la masse s’affaisse d’une quantité fixe — l’instrument est un accéléromètre à fréquence nulle (et un inclinomètre).

**5.** Le déplacement relatif $u(t)$.

**6.** $-\omega^2\underline U + j\omega(\omega_0/Q)\underline U + \omega_0^2\underline U
= \omega^2X_g$ ; on divise par $\omega_0^2$.

**7.** $U/X_g = x_r^2/\sqrt{(1 - x_r^2)^2 + x_r^2/Q^2}$.

**8.** $U \to X_g$ : la masse ne bouge pas dans le [référentiel galiléen](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/12-les-lois-de-newton#thm-b1-newton-dynamics-laws) (son inertie la maintient, le ressort étant trop souple pour l’entraîner) ; le bâti se déplace autour d’elle, et la plume enregistre le déplacement du sol — c’est un sismomètre.

**9.** $U \approx x_r^2X_g = \omega^2X_g/\omega_0^2 = a_g/\omega_0^2$ : un accéléromètre.

**10.** $U = QX_g = 0.7X_g$ : pas de pic ; les deux régimes se raccordent en douceur et l’instrument ne sonne pas.

**11.** Pour $Q = 0.7$ : une droite de pente $2$ qui monte jusqu’à $1$ au voisinage de $x_r = 1$, puis un plateau à $1$ ; pour $Q = 5$ : la même chose avec un pic de hauteur $5$ en $x_r = 1$.

**12.** $\underline U \to -X_g$ : $u = -x_g$, la masse immobile pendant que le bâti se déplace.

**13.** $\Delta\ell = g/\omega_0^2 = 9.81/(2\pi \times 0.02)^2 = 620\,\mathrm{m}$ : absurde.

**14.** $\ell = g/\omega_0^2 = 620\,\mathrm{m}$.

**15.** Porte de jardin : le pendule oscille autour d’un axe presque vertical, si bien qu’une infime fraction de $g$ seulement le rappelle et qu’un bras court donne une longue période. Contre-réaction de force : une bobine maintient la masse fixe, et le courant nécessaire est proportionnel à l’accélération du sol — la raideur devient électronique et réglable.

**16.** $\Delta\ell = 9.81/\pi^2 = 0.99\,\mathrm{m}$ : réalisable.

**17.** $x_r = 0.2$ : $U/X_g = 0.04/\sqrt{0.92 + 0.08} = 0.040$ : $40\,\text{µ}\mathrm{m}$ — régime d’accéléromètre, qui demande une amplification (levier optique ou électronique).

**18.** $x_r = 10$ : $100/\sqrt{9801 + 204} \approx 1.00$ : $1.0\,\mathrm{mm}$, un enregistrement fidèle du déplacement.

**19.** $\omega_0 = 6.3 \times 10^{3}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ : $U = g/\omega_0^2 = 2.5 \times 10^{-7}\,\mathrm{m}$ — lu comme la variation de l’entrefer d’un condensateur.

**20.** $U/(a_g/\omega_0^2) = 1/\sqrt{(1 - x_r^2)^2 + x_r^2/Q^2}$ ; avec $Q = 0.7$, ce rapport décroît de façon monotone et reste au-dessus de $0.9$ jusqu’à $x_r \approx 0.7$ : environ $700\,\mathrm{Hz}$.

**21.** $\tau = 2Q/\omega_0 = 0.22\,\mathrm{ms}$ : il suit une chute (quelques dizaines de millisecondes) sans retard.

**22.** $\tau = 1.4/3.14 = 0.45\,\mathrm{s}$ : après un échelon du sol, l’enregistrement se stabilise en une demi-seconde, sans sonnerie.

**23.** Un $Q$ élevé ferait sonner l’instrument à $f_0$ après chaque secousse (il s’enregistrerait lui-même plutôt que le sol) et présenterait un pic près de $f_0$ ; $Q \approx 0.7$ est plat et rapide.

**24.** $U = QX_g = 0.7X_g$ au lieu de l’idéal $X_g$ (ou $a_g/\omega_0^2
= X_g$) : $30\%$ trop bas.

**25.** On compare la fréquence du [signal](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/5-propagation-dun-signal-ondes-progressives-et-stationnaires#def-b1-wave-propagation-signal) à $f_0$ : bien au-dessus, la masse est une référence fixe et $u$ est le déplacement ; bien en dessous, $u$ est l’accélération divisée par $\omega_0^2$.