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title: "Optique géométrique : rayons, réflexion, réfraction"
book: "Physique universitaire — 1re année"
subject: physics
language: fr
chapter: 2
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/2-optique-geometrique-rayons-reflexion-refraction
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# Chapitre 2 — Optique géométrique : rayons, réflexion, réfraction

Une paille plantée dans un verre d’eau paraît brisée à la surface ; un nageur qui regarde vers le haut depuis le fond d’un bassin voit tout le ciel comprimé dans un disque brillant, cerné par un miroir du fond ; une fibre de verre plus fine qu’un cheveu porte une communication téléphonique d’un bout à l’autre d’un océan avec moins de pertes qu’un fil de cuivre n’en subit en traversant une rue. Trois lois — la lumière va tout droit, se réfléchit à angles égaux, se courbe selon la règle de Snell-Descartes — rendent compte de tout cela ; ce chapitre les énonce précisément, marque où elles cessent d’être vraies, et les met au travail.

![Un prisme dévie un faisceau blanc vers sa base et l’étale : l’indice du verre dépend de la longueur d’onde, et le violet est le plus dévié.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-rays-reflection-refraction/img-673a24fa4c06.jpg)

*Un prisme dévie un faisceau blanc vers sa base et l’étale : l’indice du verre dépend de la longueur d’onde, et le violet est le plus dévié.*

## 2.1 Le modèle de l’optique géométrique

**Définition 2.1 (Rayon lumineux ; milieu homogène).**

Dans le modèle de l’*optique géométrique*, la lumière se propage le long de *rayons lumineux* : des courbes orientées, rectilignes dans un milieu *homogène* (mêmes propriétés en tout point), qui transportent de l’énergie indépendamment les uns des autres. Un faisceau est un ensemble de rayons ; une source ponctuelle émet des rayons dans toutes les directions.

**Définition 2.2 (Indice de réfraction).**

Un milieu *transparent* laisse passer la lumière ; celle-ci y progresse à la vitesse $v < c$. Son *indice de réfraction* vaut

$$
n = \frac{c}{v} \geq 1 .
$$

Vide : $n = 1$ ; air : $1.0003$ ; eau : $1.33$ ; verre ordinaire : $1.5$ à $1.6$ ; diamant : $2.42$. Une onde de fréquence $\nu$ garde sa fréquence en entrant dans un milieu, si bien que sa longueur d’onde se contracte de $\lambda_0 =
c/\nu$ dans le vide à $\lambda = \lambda_0/n$.

**Remarque 2.3 (Dispersion).**

Dans la matière, l’indice dépend légèrement de la longueur d’onde — le milieu est *dispersif*. Pour le verre dans le visible, la loi empirique de Cauchy $n(\lambda) = A + B/\lambda^2$ convient bien : $n$ est plus grand pour le bleu que pour le rouge, de $0.01$ à $0.02$ environ. Le prisme et l’arc-en-ciel, à la fin de ce chapitre, vivent de cette différence.

**Remarque 2.4 (Limites du modèle).**

La lumière est une onde, et une onde qui franchit une ouverture de largeur $a$ s’étale d’un angle de l’ordre de $\lambda/a$ (diffraction, [Chapitre 5](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/5-propagation-dun-signal-ondes-progressives-et-stationnaires#ch-b1-wave-propagation)). Les rayons en donnent une bonne description tant que toute ouverture, toute lentille et tout obstacle sont bien plus grands que la longueur d’onde ($0.4\,$ à $0.8\,\text{µ}\mathrm{m}$ pour la lumière visible) : un trou de $1\,\mathrm{mm}$ étale un faisceau de $10^{-3}$ radian, négligeable sur un banc ; un trou de $1\,\text{µ}\mathrm{m}$ l’étale sur tout le demi-espace, et aucune description en termes de rayons ne survit. Le [cœur](#def-b1-rays-reflection-refraction-fiber) de $9\,\text{µ}\mathrm{m}$ d’une fibre monomode de télécommunication est déjà hors du modèle.

**Proposition 2.5 (Retour inverse de la lumière).**

Le trajet d’un rayon ne dépend pas du sens dans lequel la lumière le parcourt : si la lumière va de $A$ à $B$ le long d’un trajet, la lumière issue de $B$ suit le même trajet jusqu’à $A$.

**Démonstration.** *Admis à ce niveau.* ∎

## 2.2 Réflexion et réfraction

**Définition 2.6 (Incidence).**

Un rayon qui rencontre en un point $I$ la surface séparant deux milieux (un *dioptre*) fait avec la *normale* à cette surface en $I$ l’*angle d’incidence* $i_1$. Le *plan d’incidence* contient le rayon incident et la normale.

**Théorème 2.7 (Lois de la réflexion et de la réfraction (Snell-Descartes)).**

À la surface séparant deux milieux d’indices $n_1$ (côté incident) et $n_2$ :

1. les rayons réfléchi et réfracté appartiennent au [plan d’incidence](#def-b1-rays-reflection-refraction-incidence) ;
2. le rayon réfléchi fait avec la normale l’angle $i_1' = i_1$ , de l’autre côté de la normale ;
3. le rayon réfracté fait avec la normale un angle $i_2$ tel que $$n_1 \sin i_1 = n_2 \sin i_2 .$$

**Démonstration.** *Admis à ce niveau.* ∎

**Remarque 2.8 (D’où viennent ces lois).**

Les deux lois découlent du *principe de Fermat* : entre deux points, la lumière suit le trajet de durée minimale. La réflexion à angles égaux est le plus court chemin brisé touchant le miroir ; la [loi de Snell-Descartes](#thm-b1-rays-reflection-refraction-snell) est le trajet qui échange un parcours plus long dans le milieu rapide contre un parcours plus court dans le milieu lent ([Exercice 2.12](#exo-b1-rays-reflection-refraction-12)). Le volume de deuxième année démontre les deux lois à partir de la nature ondulatoire de la lumière à une interface.

![Réflexion et réfraction à la surface séparant deux milieux. Le rayon réfracté se rapproche de la normale lorsque n_2 > n_1 ; les trois rayons et la normale sont dans un même plan, celui de la figure.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-rays-reflection-refraction/fig-8cbc00e42997.svg)

*Réflexion et réfraction à la surface séparant deux milieux. Le rayon réfracté se rapproche de la normale lorsque $n_2 > n_1$ ; les trois rayons et la normale sont dans un même plan, celui de la figure.*

**Proposition 2.9 (Dans quel sens le rayon se courbe).**

En entrant dans un milieu plus réfringent ($n_2 > n_1$), un rayon *se rapproche* de la normale ($i_2 < i_1$) ; en entrant dans un milieu moins réfringent, il *s’en écarte* ($i_2 > i_1$). Un rayon porté par la normale traverse sans être dévié.

**Démonstration.** $\sin i_2 = (n_1/n_2)\sin i_1$, et $\sin$ est croissant sur $[0, \pi/2]$. ∎

**Exemple 2.10 (Profondeur apparente).**

Une pièce de monnaie repose à la profondeur $h$ sous l’eau ($n = 1.33$), observée presque à la verticale. Un rayon issu de la pièce atteint la surface sous un petit angle $i_2$ (dans l’eau) et en sort sous $i_1$ avec $\sin i_1 = n\sin i_2$ ; pour de petits angles, $i_1 \approx n\,i_2$. L’œil prolonge le rayon émergent vers l’arrière : la pièce semble venir d’une profondeur $h'$ telle que $\tan i_1 \approx x/h'$ et $\tan i_2 \approx x/h$ pour le même point de la surface, situé à la distance $x$ de la verticale ; d’où $h' = h\,i_2/i_1 = h/n$. Un bassin de $2.0\,\mathrm{m}$ de profondeur en paraît $1.5\,\mathrm{m}$ ; un poisson voit le pêcheur $1.33$ fois plus haut qu’il n’est.

**Théorème 2.11 (Réflexion totale).**

La lumière qui passe d’un milieu d’indice $n_1$ vers un milieu moins réfringent ($n_2 < n_1$) n’est réfractée que si $i_1 \leq i_c$, où l’*[angle limite](#thm-b1-rays-reflection-refraction-tir)* vérifie

$$
\sin i_c = \frac{n_2}{n_1} .
$$

Pour $i_1 > i_c$, il n’y a pas de rayon réfracté : la surface renvoie toute la lumière — c’est la *[réflexion totale](#thm-b1-rays-reflection-refraction-tir)*.

**Démonstration.** La [loi de Snell-Descartes](#thm-b1-rays-reflection-refraction-snell) exige $\sin i_2 = (n_1/n_2)\sin i_1 > \sin i_1$ ; cette quantité dépasse $1$ dès que $\sin i_1 > n_2/n_1$, et alors aucun angle $i_2$ n’existe. Pour $i_1 = i_c$, le rayon réfracté rase la surface ($i_2 = 90^\circ$). Que *toute* l’énergie soit alors réfléchie est un énoncé sur les intensités, dont l’[optique géométrique](#def-b1-rays-reflection-refraction-ray) ne traite pas ; le traitement ondulatoire du volume de deuxième année le confirme. ∎

![Rayons issus d’une source S sous l’eau. Sous l’angle limite (i_c = 48.8 pour eau–air) une partie de la lumière sort ; à i_c le rayon réfracté rase la surface ; au-delà, la surface est un miroir parfait — le disque de ciel brillant du nageur est borné par cet angle.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-rays-reflection-refraction/fig-186c265fbd26.svg)

*Rayons issus d’une source $S$ sous l’eau. Sous l’[angle limite](#thm-b1-rays-reflection-refraction-tir) ($i_c = 48.8^\circ$ pour eau–air) une partie de la lumière sort ; à $i_c$ le rayon réfracté rase la surface ; au-delà, la surface est un miroir parfait — le disque de ciel brillant du nageur est borné par cet angle.*

**Exemple 2.12 (Diamants et nageurs).**

Verre–air : $\sin i_c = 1/1.5$, $i_c = 41.8^\circ$, ce qui explique qu’un prisme à $45^\circ$ réfléchisse totalement et remplace un miroir dans les jumelles. Diamant–air : $i_c = 24.4^\circ$ ; un diamant taillé piège la lumière qui entre par sa table et la renvoie presque tout entière par la table — l’éclat vient de la [réflexion totale](#thm-b1-rays-reflection-refraction-tir), le feu de la dispersion. Eau–air : $i_c = 48.8^\circ$ ; en regardant vers le haut, un plongeur voit tout le ciel dans un cône de demi-angle $48.8^\circ$ (la « fenêtre de Snell ») et, au-delà, le fond du bassin réfléchi.

## 2.3 La fibre optique

**Définition 2.13 (Fibre à saut d’indice).**

Une *fibre optique à saut d’indice* est un *cœur* de verre cylindrique d’indice $n_1$ entouré d’une *gaine* d’indice $n_2$ légèrement plus faible. La lumière qui entre dans le cœur à l’intérieur d’un cône de demi-angle $\theta_a$ autour de l’axe est guidée par [réflexions totales](#thm-b1-rays-reflection-refraction-tir) successives sur la surface cœur–gaine. L’*ouverture numérique* vaut $\mathrm{NA} = \sin\theta_a$.

**Proposition 2.14 (Cône d’acceptance et étalement intermodal).**

Pour une fibre dont la face d’entrée est dans l’air,

$$
\sin\theta_a = \sqrt{n_1^2 - n_2^2} .
$$

Sur une longueur $L$, le rayon guidé selon l’axe et le rayon guidé le plus incliné arrivent avec un décalage

$$
\Delta t = \frac{L\,n_1}{c}\left(\frac{n_1}{n_2} - 1\right)
$$

entre eux (*[dispersion intermodale](#prop-b1-rays-reflection-refraction-fiber)*).

**Démonstration.** Un rayon entrant à l’angle $\theta$ de l’axe est réfracté sous $\theta'$ avec $\sin\theta = n_1\sin\theta'$ et rencontre la [gaine](#def-b1-rays-reflection-refraction-fiber) sous l’incidence $i = 90^\circ - \theta'$. Le guidage impose $\sin i \geq n_2/n_1$, c’est-à-dire $\cos\theta' \geq n_2/n_1$, soit $\sin\theta' \leq
\sqrt{1 - n_2^2/n_1^2}$ ; il suffit de multiplier par $n_1$. Le rayon axial parcourt $L$ à la vitesse $c/n_1$ : $t_0 = Ln_1/c$. Le rayon le plus incliné zigzague sous l’angle $\theta'_{\max}$ tel que $\cos\theta'_{\max} = n_2/n_1$ ; son trajet vaut $L/\cos\theta'_{\max} = L n_1/n_2$, donc $t_1 = L n_1^2/(n_2 c)$, et $\Delta t = t_1 - t_0$. ∎

![Une fibre à saut d’indice. Un rayon qui entre dans le cône d’acceptance de demi-angle _a rencontre la gaine sous l’incidence i ≥ i_c et se trouve guidé par réflexions totales ; le rayon axial suit le plus court chemin, le rayon guidé le plus incliné le plus long — une impulsion s’étale dans le temps.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-rays-reflection-refraction/fig-6ac4aca6f661.svg)

*Une fibre à saut d’indice. Un rayon qui entre dans le cône d’acceptance de demi-angle $\theta_a$ rencontre la [gaine](#def-b1-rays-reflection-refraction-fiber) sous l’incidence $i \geq i_c$ et se trouve guidé par [réflexions totales](#thm-b1-rays-reflection-refraction-tir) ; le rayon axial suit le plus court chemin, le rayon guidé le plus incliné le plus long — une impulsion s’étale dans le temps.*

**Exemple 2.15 (Les chiffres d’une fibre de télécommunication).**

$n_1 = 1.480$, $n_2 = 1.465$ : $\mathrm{NA} = \sqrt{2.190 - 2.146} =
0.21$, $\theta_a = 12^\circ$ ; $i_c = 81.8^\circ$, donc les rayons guidés restent à moins de $8.2^\circ$ de l’axe. Étalement intermodal : $\Delta t/L =
(1.48/c)(1.48/1.465 - 1) = 51\,\mathrm{ns}/\mathrm{km}$. Sur $2\,\mathrm{km}$ une impulsion s’étale de $0.1\,\text{µ}\mathrm{s}$, ce qui plafonne le débit vers $5\,\mathrm{Mbit}/\mathrm{s}$ : le problème du week-end suit cette limitation jusqu’à son remède, la fibre monomode.

## 2.4 Le miroir plan

**Proposition 2.16 (Image dans un miroir plan).**

Tous les rayons issus d’un point $A$ et réfléchis par un [miroir plan](#prop-b1-rays-reflection-refraction-mirror) semblent provenir du point $A'$ symétrique de $A$ par rapport au plan du miroir : $A'$ est l’*image* de $A$. Elle est *virtuelle* (aucune lumière n’y passe) et le miroir est *rigoureusement stigmatique* : tout point a une image ponctuelle exacte.

**Démonstration.** Un rayon issu de $A$ qui frappe le miroir en $I$ sous l’incidence $i$ repart sous $i$ de l’autre côté de la normale. La droite réfléchie et la normale en $I$ font l’angle $i$, tout comme la droite $IA$ ; par symétrie par rapport au plan du miroir, la droite réfléchie est la symétrique de la droite $IA$, et passe donc par le point symétrique $A'$ — et cela pour tout $I$. ∎

**Proposition 2.17 (Rotation d’un miroir).**

Faire tourner un [miroir plan](#prop-b1-rays-reflection-refraction-mirror) d’un angle $\alpha$ autour d’un axe de son plan, perpendiculaire au [plan d’incidence](#def-b1-rays-reflection-refraction-incidence), fait tourner le rayon réfléchi de $2\alpha$.

**Démonstration.** La normale tourne de $\alpha$, donc l’incidence passe de $i$ à $i + \alpha$ ; le rayon réfléchi, à $i + \alpha$ de l’autre côté de la nouvelle normale, s’est écarté de $\alpha$ (la normale) $+ \alpha$ (l’angle) $=
2\alpha$ de son ancienne direction. ∎

**Exemple 2.18 (Le levier du galvanomètre).**

Un minuscule miroir collé sur le cadre d’un galvanomètre, éclairé par une lampe, projette une tache sur une règle placée à $2\,\mathrm{m}$ : une rotation de $1\,\mathrm{mrad}$ du cadre déplace la tache de $2 \times 10^{-3} \times
2\,\mathrm{m} = 4\,\mathrm{mm}$ — un levier optique qui amplifie sans frottement, principe du galvanomètre à miroir et du scanner laser.

## 2.5 Le prisme

**Proposition 2.19 (Formules du prisme).**

Un rayon qui traverse un prisme d’angle au sommet $A$ et d’indice $n$ dans l’air, dans le plan perpendiculaire à l’arête, avec les angles $i$ (entrée), $r$, $r'$ (à l’intérieur) et $i'$ (sortie) comptés depuis les normales, vérifie

$$
\sin i = n \sin r, \qquad r + r' = A, \qquad \sin i' = n \sin r',
$$

et il est dévié de $D = i + i' - A$. La déviation est minimale lorsque le trajet est symétrique, $i = i'$, $r = r' = A/2$ ; alors

$$
n = \frac{\sin\frac{A + D_{\min}}{2}}{\sin\frac{A}{2}} .
$$

**Démonstration.** La [loi de Snell-Descartes](#thm-b1-rays-reflection-refraction-snell) à chaque face ; $r + r' = A$ parce que les deux normales font l’angle $A$ (dans le quadrilatère formé par le sommet, les deux points d’incidence et l’intersection des normales). La déviation totale vaut $(i - r) + (i' - r') = i + i' - A$. Par le retour inverse de la lumière, la déviation est la même fonction de $i$ et de $i'$ ; si le minimum était atteint en $i_0 \neq i_0'$, il le serait aussi à l’incidence renversée $i_0'$, ce qui donnerait deux minima, que la monotonie de $D(i)$ de part et d’autre de son minimum interdit : le minimum est en $i = i'$. Alors $r = r' = A/2$ et $D_{\min} = 2i - A$ ; en reportant $i = (A +
D_{\min})/2$ dans $\sin i = n\sin(A/2)$, on obtient la formule. ∎

![Un rayon traversant un prisme d’angle au sommet A : réfracté vers la base à l’entrée puis de nouveau à la sortie, il est dévié de D = i + i' - A par rapport à sa direction initiale (en pointillés). Dessiné au minimum de déviation, le trajet est symétrique.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-rays-reflection-refraction/fig-986c838829f9.svg)

*Un rayon traversant un prisme d’angle au sommet $A$ : réfracté vers la base à l’entrée puis de nouveau à la sortie, il est dévié de $D = i + i' - A$ par rapport à sa direction initiale (en pointillés). Dessiné au minimum de déviation, le trajet est symétrique.*

**Exemple 2.20 (Mesurer un indice).**

Un prisme de $60^\circ$ que l’on tourne jusqu’à ce que la déviation d’un faisceau jaune soit la plus faible : $D_{\min} = 38.9^\circ$. Alors $n = \sin 49.45^\circ/\sin 30^\circ
= 0.760/0.500 = 1.52$. Le minimum de déviation est la manière classique de mesurer l’indice d’un verre — ce minimum, net, se trouve en faisant osciller le prisme et reste insensible aux petits défauts de réglage.

**Remarque 2.21 (Prismes minces et spectroscopes).**

Pour $A$ petit et une incidence petite, les sinus valent les angles et $D \approx (n - 1)A$, indépendamment de $i$ : un prisme mince dévie tous les rayons du même angle — un coin de verre est un « prisme » qui courbe la lumière, et une lentille se révélera être un empilement de tels coins. Comme $n$ dépend de $\lambda$, la déviation en dépend aussi : un prisme étale la lumière blanche en un spectre (le bleu le plus dévié), c’est le [cœur](#def-b1-rays-reflection-refraction-fiber) du spectroscope à prisme.

## 2.6 L’arc-en-ciel

**Exemple 2.22 (L’arc-en-ciel de Descartes).**

Un rayon de soleil entre dans une goutte de pluie sphérique sous l’incidence $i$, s’y réfracte ($\sin i = n\sin r$), se réfléchit une fois sur la face arrière, puis ressort après une seconde réfraction. Chaque réfraction le dévie de $i - r$, la réflexion interne de $\pi - 2r$ : la déviation totale vaut $D(i) = \pi + 2i - 4r$. Les rayons remplissent la goutte pour toutes les valeurs de $i$ ; l’observateur voit la lumière la plus vive là où beaucoup de rayons repartent dans presque la même direction, c’est-à-dire là où $D$ est stationnaire : $\dd D/\dd i = 2 - 4\,\dd r/\dd i
= 0$. En différentiant la [loi de Snell-Descartes](#thm-b1-rays-reflection-refraction-snell), $\cos i = n\cos r\,\dd r/\dd i$, si bien que la condition s’écrit $2\cos i = n\cos r$ ; en élevant au carré et en utilisant $n^2\cos^2 r = n^2 - \sin^2 i = n^2 - 1 + \cos^2 i$, il vient

$$
\cos^2 i = \frac{n^2 - 1}{3} .
$$

Pour l’eau, $n = 1.333$ : $i = 59.4^\circ$, $r = 40.2^\circ$, $D_{\min} = 137.9^\circ$. La lumière revient du côté du Soleil, à $180^\circ - 137.9^\circ = 42^\circ$ de la direction antisolaire : l’arc-en-ciel est un cône de demi-angle $42^\circ$ autour de l’ombre de la tête de l’observateur. Le rouge ($n = 1.331$) est à $42.4^\circ$, le violet ($n = 1.343$) à $40.6^\circ$ — rouge à l’extérieur, violet à l’intérieur.

![Le rayon de Descartes dans une goutte de pluie : deux réfractions et une réflexion interne. Au voisinage de i = 59 la déviation D est stationnaire à 138, et les rayons s’y accumulent : c’est l’arc primaire, à 42 du point opposé au Soleil.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-rays-reflection-refraction/fig-e34f406d386e.svg)

*Le rayon de Descartes dans une goutte de pluie : deux réfractions et une réflexion interne. Au voisinage de $i = 59^\circ$ la déviation $D$ est stationnaire à $138^\circ$, et les rayons s’y accumulent : c’est l’arc primaire, à $42^\circ$ du point opposé au Soleil.*

## 2.7 Exercices

**Exercice 2.1 ★.**

Calculer la vitesse de la lumière dans l’eau ($n = 1.33$), dans le verre ($1.50$) et dans le diamant ($2.42$). Combien de temps la lumière met-elle à traverser $1.0\,\mathrm{km}$ d’une fibre d’indice $1.48$ ?

**Solution de Exercice 2.1.**

$v = c/n$ : eau $2.26 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, verre $2.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, diamant $1.24 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Fibre : $t = nL/c = 1.48 \times 10^3/3.00\times10^8 =
4.9\,\text{µ}\mathrm{s}$.

**Exercice 2.2 ★.**

Un rayon dans l’air rencontre l’eau ($n = 1.33$) sous $30^\circ$, puis sous $60^\circ$ de la normale : trouver les angles réfractés. Un rayon dans l’eau rencontre la surface sous $50^\circ$ : que se passe-t-il ?

**Solution de Exercice 2.2.**

$\sin i_2 = \sin i_1/1.33$ : $30^\circ \to 22.1^\circ$ ; $60^\circ \to
40.6^\circ$. Depuis l’eau sous $50^\circ$ : $1.33\sin 50^\circ = 1.02 > 1$, pas de rayon réfracté — [réflexion totale](#thm-b1-rays-reflection-refraction-tir) ($i_c = 48.8^\circ$).

**Exercice 2.3 ★.**

Calculer l’[angle limite](#thm-b1-rays-reflection-refraction-tir) pour verre–air ($n = 1.50$), diamant–air ($2.42$) et eau–air ($1.33$). Quel est le diamètre angulaire du disque de ciel que voit un plongeur ?

**Solution de Exercice 2.3.**

$i_c = \arcsin(1/n)$ : verre $41.8^\circ$, diamant $24.4^\circ$, eau $48.8^\circ$. Le disque de ciel s’étend sur $2 \times 48.8^\circ = 97.5^\circ$.

**Exercice 2.4 ★.**

Une personne de $1.70\,\mathrm{m}$, les yeux $10\,\mathrm{cm}$ sous le sommet du crâne, se tient devant un miroir mural vertical. Trouver le plus petit miroir (hauteur, et position de ses bords au-dessus du sol) dans lequel elle se voit tout entière. La réponse dépend-elle de la distance au miroir ?

**Solution de Exercice 2.4.**

Les yeux sont à $1.60\,\mathrm{m}$. Le rayon venu des pieds atteint l’œil après réflexion à mi-hauteur des yeux, $0.80\,\mathrm{m}$ ; celui venu du sommet du crâne se réfléchit à mi-chemin entre le sommet et les yeux, à $1.65\,\mathrm{m}$. Miroir de $0.80\,\mathrm{m}$ à $1.65\,\mathrm{m}$ : hauteur $0.85\,\mathrm{m}$, la moitié de la taille — indépendante de la distance (la règle du milieu vaut à toute distance).

**Exercice 2.5 ★★.**

Une pièce repose à $1.2\,\mathrm{m}$ de profondeur dans un bassin : à quelle profondeur paraît-elle à qui la regarde d’en haut ? Les yeux d’un pêcheur sont à $1.8\,\mathrm{m}$ au-dessus de l’eau : à quelle hauteur paraissent-ils à un poisson qui regarde vers le haut ? Justifier les deux par des rayons peu inclinés.

**Solution de Exercice 2.5.**

Aux petits angles, la position apparente est $h' = h/n$ vue depuis le milieu le moins réfringent, $h' = nh$ depuis le plus réfringent. Pièce : $1.2/1.33 =
0.90\,\mathrm{m}$. Pêcheur : $1.33 \times 1.8 = 2.4\,\mathrm{m}$. Justification : pour un point de la surface à la distance horizontale $x$, $\tan i_2 \approx i_2 =
x/h$ et $\tan i_1 \approx i_1 = x/h'$ avec $i_1 = n i_2$.

**Exercice 2.6 ★★.**

Un prisme a $A = 60^\circ$ et $n = 1.52$. Calculer la [déviation minimale](#prop-b1-rays-reflection-refraction-prism). Montrer qu’un rayon ne peut émerger par la seconde face que si $A \leq 2 i_c$, et vérifier que ce prisme convient.

**Solution de Exercice 2.6.**

$\sin\frac{A + D_{\min}}{2} = 1.52\sin 30^\circ = 0.760$, donc $\frac{A + D_{\min}}{2} = 49.5^\circ$ et $D_{\min} = 38.9^\circ$. L’émergence exige $r' \leq i_c$ ; par ailleurs $\sin r = \sin i/n \leq 1/n$ donne $r \leq i_c$ ; donc $A = r + r' \leq 2i_c$. Ici $i_c = \arcsin(1/1.52) =
41.1^\circ$, $2i_c = 82.3^\circ > 60^\circ$ : c’est vérifié.

**Exercice 2.7 ★★.**

Une fibre à saut d’indice a $n_1 = 1.50$, $n_2 = 1.48$. Calculer son [ouverture numérique](#def-b1-rays-reflection-refraction-fiber), son [angle d’acceptance](#prop-b1-rays-reflection-refraction-fiber), le décalage intermodal par kilomètre et le débit maximal qui en résulte sur $1\,\mathrm{km}$ (prendre $B_{\max} \approx 1/(2\Delta t)$).

**Solution de Exercice 2.7.**

$\mathrm{NA} = \sqrt{1.50^2 - 1.48^2} = \sqrt{0.0596} = 0.244$, $\theta_a = 14.1^\circ$. $\Delta t/L = (1.50/c)(1.50/1.48 - 1) =
5.0\times10^{-9} \times 0.0135 = 68\,\mathrm{ns}/\mathrm{km}$. Sur $1\,\mathrm{km}$ : $B_{\max} \approx 1/(2 \times 68\,\mathrm{ns}) = 7.4\,\mathrm{Mbit}/\mathrm{s}$.

**Exercice 2.8 ★★.**

Un prisme mince d’angle au sommet $10^\circ$ a $n = 1.510$ pour le rouge et $1.530$ pour le bleu. Calculer la déviation de chaque couleur et la largeur angulaire du spectre qu’il produit.

**Solution de Exercice 2.8.**

$D \approx (n - 1)A$ : rouge $0.510 \times 10^\circ = 5.10^\circ$, bleu $5.30^\circ$ ; largeur du spectre $0.20^\circ$.

**Exercice 2.9 ★★.**

Un rayon rencontre une lame de verre à faces parallèles ($n = 1.50$, épaisseur $e = 2.0\,\mathrm{cm}$) sous $45^\circ$. Montrer qu’il émerge parallèlement à sa direction incidente, décalé latéralement de $d = e\,\sin(i - r)/\cos r$, et calculer $d$.

**Solution de Exercice 2.9.**

Entrée : $\sin r = \sin 45^\circ/1.5 = 0.471$, $r = 28.1^\circ$. Les deux faces étant parallèles, l’incidence sur la seconde face vaut $r$ et $\sin i' = n\sin r = \sin i$ : $i' = i$, le rayon émergent est parallèle à l’incident. Le long du trajet intérieur, de longueur $e/\cos r$, le décalage perpendiculaire vaut $(e/\cos r)\sin(i - r)$ : $d = 2.0 \times \sin 16.9^\circ/\cos 28.1^\circ = 0.66\,\mathrm{cm}$.

**Exercice 2.10 ★★★.**

L’arc secondaire vient des rayons réfléchis *deux fois* à l’intérieur de la goutte. Montrer que $D = 2\pi + 2i - 6r$, que la déviation stationnaire vérifie $\cos^2 i = (n^2 - 1)/8$, et calculer l’angle de l’arc secondaire depuis la direction antisolaire pour $n = 1.333$. Où se situe-t-il par rapport à l’arc primaire, et dans quel ordre ses couleurs se succèdent-elles ?

**Solution de Exercice 2.10.**

Deux réfractions ($2(i - r)$) et deux réflexions ($2(\pi - 2r)$) : $D = 2\pi + 2i - 6r$. $\dd D/\dd i = 2 - 6\cos i/(n\cos r) = 0$ donne $3\cos i = n\cos r$, $9\cos^2 i = n^2 - 1 + \cos^2 i$, $\cos^2 i =
(n^2 - 1)/8$. Pour $n = 1.333$ : $\cos^2 i = 0.0971$, $i = 71.8^\circ$, $\sin r = 0.950/1.333$, $r = 45.5^\circ$, $D = 360^\circ + 143.7^\circ -
272.8^\circ = 230.9^\circ$ : l’arc est à $230.9^\circ - 180^\circ =
51^\circ$ du point antisolaire, en dehors du primaire ($42^\circ$). Le rouge ($n = 1.331$) à $50.4^\circ$, le violet ($1.343$) à $53.6^\circ$ : les couleurs sont inversées, violet à l’extérieur.

**Exercice 2.11 ★★★.**

Sur une route chaude, l’air juste au-dessus du bitume a pour indice $n_{\text{chaud}} = 1.00026$, l’air plus frais au-dessus $n_{\text{froid}} =
1.00029$. En modélisant les couches par une interface nette, trouver l’angle rasant limite (compté depuis la route) au-dessous duquel un rayon venu du ciel est totalement réfléchi vers le haut. L’œil d’un conducteur est à $1.2\,\mathrm{m}$ au-dessus de la route : au-delà de quelle distance la route ressemble-t-elle à de l’eau ?

**Solution de Exercice 2.11.**

$\sin i_c = 1.00026/1.00029 = 0.99997$, $i_c = 89.56^\circ$ : les rayons situés à moins de $0.44^\circ = 7.7\,\mathrm{mrad}$ de la chaussée sont totalement réfléchis (en général, angle rasant $\approx \sqrt{2\Delta n/n}$). Depuis $1.2\,\mathrm{m}$ de hauteur, la ligne de visée rase sous cet angle au-delà de $1.2/0.0077 \approx 160\,\mathrm{m}$ : la route y réfléchit le ciel — c’est la « flaque ».

**Exercice 2.12 ★★★.**

Les points $A$ (à la hauteur $a$ au-dessus d’une interface) et $B$ (à la profondeur $b$ en dessous) sont séparés horizontalement de $d$ ; la lumière va à la vitesse $v_1$ au-dessus et $v_2$ en dessous. Écrire la durée du trajet brisé passant par le point d’interface d’abscisse $x$, et montrer que cette durée est stationnaire exactement lorsque $\sin i_1/v_1 = \sin i_2/v_2$ — la [loi de Snell-Descartes](#thm-b1-rays-reflection-refraction-snell).

**Solution de Exercice 2.12.**

$t(x) = \dfrac{\sqrt{a^2 + x^2}}{v_1} + \dfrac{\sqrt{b^2 + (d - x)^2}}{v_2}$ ; $t'(x) = \dfrac{x}{v_1\sqrt{a^2 + x^2}} - \dfrac{d - x}{v_2\sqrt{b^2 + (d - x)^2}}
= \dfrac{\sin i_1}{v_1} - \dfrac{\sin i_2}{v_2}$, nul exactement lorsque $\sin i_1/v_1 = \sin i_2/v_2$, c’est-à-dire $n_1\sin i_1 = n_2\sin i_2$ avec $n = c/v$.

![Un double arc-en-ciel : l’arc primaire à 42, rouge à l’extérieur, le secondaire plus pâle à 51 aux couleurs inversées, et entre les deux la bande sombre d’Alexandre — réfraction, réflexion et dispersion dans chaque goutte.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-rays-reflection-refraction/img-33f213646757.jpg)

*Un double arc-en-ciel : l’arc primaire à $42{}^{\circ}$, rouge à l’extérieur, le secondaire plus pâle à $51{}^{\circ}$ aux couleurs inversées, et entre les deux la bande sombre d’Alexandre — réfraction, réflexion et dispersion dans chaque goutte.*

## 2.8 Problème : la liaison par fibre optique

**Problème 2.1.**

Problème du week-end — un fil de verre sous la mer : jusqu’où et à quelle cadence une impulsion lumineuse peut-elle porter un bit avant que la géométrie, le verre et la dispersion ne le brouillent

Une liaison utilise une fibre à saut d’indice de [cœur](#def-b1-rays-reflection-refraction-fiber) $n_1 = 1.480$, de [gaine](#def-b1-rays-reflection-refraction-fiber) $n_2 = 1.465$, de rayon de [cœur](#def-b1-rays-reflection-refraction-fiber) $a = 25\,\text{µ}\mathrm{m}$, à la longueur d’onde $\lambda_0 = 1550\,\mathrm{nm}$. Donnée : $c = 3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

**Partie I — La lumière dans le verre.**

1. Définir l’indice et calculer la vitesse de la lumière dans le [cœur](#def-b1-rays-reflection-refraction-fiber) .
2. Combien de temps une impulsion met-elle à parcourir $50\,\mathrm{km}$ selon l’axe ?
3. Calculer la fréquence de la lumière et sa longueur d’onde dans le [cœur](#def-b1-rays-reflection-refraction-fiber) .
4. Pourquoi le [cœur](#def-b1-rays-reflection-refraction-fiber) est-il gainé de verre d’indice plus faible plutôt que laissé nu dans l’air, ce qui donnerait un saut d’indice plus grand ?

**Partie II — Le guidage.**

5. Calculer l’ [angle limite](#thm-b1-rays-reflection-refraction-tir) à la surface cœur–gaine.
6. En déduire le plus grand angle qu’un rayon guidé peut faire avec l’axe.
7. Un rayon entre depuis l’air par la face d’entrée plane, sous l’angle $\theta$ avec l’axe. Montrer qu’il est guidé si $\sin\theta \leq  \sqrt{n_1^2 - n_2^2}$ , et calculer l’ [angle d’acceptance](#prop-b1-rays-reflection-refraction-fiber) $\theta_a$ .
8. Donner l’ [ouverture numérique](#def-b1-rays-reflection-refraction-fiber) . Pourquoi un saut d’indice plus grand rend-il la fibre plus facile à alimenter en lumière ?
9. La fibre est courbée selon un cercle de rayon $R_b$ . On considère un rayon parallèle à l’axe longeant le bord intérieur du [cœur](#def-b1-rays-reflection-refraction-fiber) : montrer qu’il rencontre la paroi extérieure sous l’incidence $i$ telle que $\sin i = R_b/(R_b + 2a)$ , et trouver le plus petit $R_b$ pour lequel il reste guidé.

**Partie III — La [dispersion intermodale](#prop-b1-rays-reflection-refraction-fiber).**

10. Exprimer les durées de parcours du rayon axial et du rayon guidé le plus incliné sur une longueur $L$ .
11. En déduire l’étalement $\Delta t$ par kilomètre, et sa valeur sur $L = 2\,\mathrm{km}$ .
12. Un bit est une impulsion brève ; deux impulsions successives doivent rester séparées d’au moins $2\Delta t$ pour être distinguées. Estimer le débit maximal sur $2\,\mathrm{km}$ .
13. Montrer que le produit (débit) $\times$ (longueur) est une constante pour cette fibre, et le calculer en $\mathrm{Mbit}\,\mathrm{s}^{-1}\,\mathrm{km}$ .
14. Dans une fibre à gradient d’indice, l’indice décroît continûment de l’axe vers l’extérieur. Expliquer qualitativement pourquoi cela réduit l’étalement intermodal.
15. Une fibre monomode a un diamètre de [cœur](#def-b1-rays-reflection-refraction-fiber) d’environ $9\,\text{µ}\mathrm{m}$ . Comparer à $\lambda_0$ et expliquer pourquoi le modèle des rayons ne peut pas la décrire ; qu’y gagne-t-on ?

**Partie IV — Atténuation et dispersion chromatique.** La fibre atténue la puissance de $\alpha = 0.20\,\mathrm{dB}/\mathrm{km}$ à $1550\,\mathrm{nm}$ : $P(L) = P_0\,10^{-\alpha L/10}$. L’émetteur envoie $P_0 = 1.0\,\mathrm{mW}$ ; le récepteur exige au moins $P_{\min} = 1.0\,\text{µ}\mathrm{W}$. Comme $n$ dépend de $\lambda$, deux longueurs d’onde voyagent à des vitesses légèrement différentes : une source de largeur spectrale $\Delta\lambda$ donne un étalement $\Delta t_c = D\,\Delta\lambda\,L$ avec $D = 17\,\mathrm{ps}/(\mathrm{nm}\,\mathrm{km})$.

16. Quelle fraction de la puissance survit à $100\,\mathrm{km}$ ?
17. Trouver la longueur maximale avant qu’un amplificateur ne soit nécessaire.
18. Les amplificateurs sont placés tous les $100\,\mathrm{km}$ : quelle marge, en dB et en rapport de puissances, cela laisse-t-il pour les connecteurs et les épissures ?
19. Calculer $\Delta t_c$ sur $100\,\mathrm{km}$ pour une source à diode électroluminescente ( $\Delta\lambda = 40\,\mathrm{nm}$ ) et pour un laser ( $\Delta\lambda = 0.10\,\mathrm{nm}$ ) ; en déduire le débit maximal de chacune sur cette longueur (même critère que ci-dessus).
20. À $850\,\mathrm{nm}$ , la silice atténue $2.0\,\mathrm{dB}/\mathrm{km}$ . Quelle distance le même bilan de puissance permettrait-il alors ? Pourquoi $1550\,\mathrm{nm}$ est-elle la longueur d’onde des télécommunications ?
21. Un câble coaxial de cuivre atténue environ $30\,\mathrm{dB}/\mathrm{km}$ aux fréquences nécessaires à $1\,\mathrm{Gbit}/\mathrm{s}$ . Comparer l’espacement des amplificateurs à celui de la fibre.

**Partie V — La liaison complète.**

22. Pour la fibre à saut d’indice sur $2\,\mathrm{km}$ , quel effet limite le débit : l’étalement intermodal, l’étalement chromatique (source laser) ou l’atténuation ? Donner le débit limite.
23. Pour une fibre monomode sur $100\,\mathrm{km}$ avec la source laser : quel effet limite, et à quel débit ?
24. La liaison monomode transporte $80$ lasers dont les longueurs d’onde sont espacées de $0.8\,\mathrm{nm}$ (multiplexage en longueur d’onde), chacun au débit de la question précédente. Capacité totale ?
25. Former le produit débit–longueur de la liaison à saut d’indice et d’un canal monomode ; de quel facteur la fibre monomode l’emporte-t-elle, et quel fait physique unique en est responsable ?

**Solution de Problème 2.1.**

**1.** $n = c/v$ ; $v_1 = 3.00\times10^8/1.480 = 2.03 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

**2.** $t = Ln_1/c = 5.0\times10^4 \times 1.48/3.00\times10^8 =
247\,\text{µ}\mathrm{s}$.

**3.** $\nu = c/\lambda_0 = 1.94 \times 10^{14}\,\mathrm{Hz}$, inchangée dans le verre ; $\lambda = \lambda_0/n_1 = 1047\,\mathrm{nm}$.

**4.** Un [cœur](#def-b1-rays-reflection-refraction-fiber) nu ne guide que tant que sa surface reste parfaitement propre et intacte : poussière, eau ou simple contact remplacent localement l’air par un indice plus élevé et la lumière s’échappe, tandis que les rayures la diffusent. La [gaine](#def-b1-rays-reflection-refraction-fiber) est une interface scellée et maîtrisée, dont le saut d’indice est choisi.

**5.** $\sin i_c = 1.465/1.480 = 0.9899$, $i_c = 81.8^\circ$.

**6.** $90^\circ - 81.8^\circ = 8.2^\circ$.

**7.** $\sin\theta = n_1\sin\theta'$ ; guidé si et seulement si $\cos\theta' \geq
n_2/n_1$, c’est-à-dire $\sin\theta' \leq \sqrt{1 - n_2^2/n_1^2}$, soit $\sin\theta \leq \sqrt{n_1^2 - n_2^2} = \sqrt{2.1904 - 2.1462} = 0.210$ : $\theta_a = 12.1^\circ$.

**8.** $\mathrm{NA} = 0.210$. Un saut plus grand élargit le cône, donc capte une plus grande part de la lumière d’une source divergente.

**9.** Le rayon est tangent au cercle de rayon $R_b$ (bord intérieur) et rencontre le cercle de rayon $R_b + 2a$ (bord extérieur) ; dans le triangle rectangle centre–point de tangence–point d’impact, l’angle au point d’impact entre le rayon et le rayon du cercle (la normale) vérifie $\sin i = R_b/(R_b + 2a)$. Guidé si et seulement si $\sin i \geq n_2/n_1$ : $R_b \geq 2a\,\dfrac{n_2/n_1}{1 - n_2/n_1} = 50\,\text{µ}\mathrm{m} \times 97.6
= 4.9\,\mathrm{mm}$. Des courbures plus serrées fuient.

**10.** $t_0 = Ln_1/c$ ; le rayon le plus incliné parcourt $L/\cos\theta'_{\max} =
Ln_1/n_2$, donc $t_1 = Ln_1^2/(n_2 c)$.

**11.** $\Delta t/L = (n_1/c)(n_1/n_2 - 1) = 4.93\times10^{-9} \times
0.01024 = 50.5\,\mathrm{ns}/\mathrm{km}$ ; sur $2\,\mathrm{km}$ : $101\,\mathrm{ns}$.

**12.** $B_{\max} \approx 1/(2\Delta t) = 1/202\,\mathrm{ns} \approx
5\,\mathrm{Mbit}/\mathrm{s}$.

**13.** $B_{\max} L = 1/(2\,\Delta t/L) = 1/(2 \times
50.5\,\mathrm{ns}/\mathrm{km}) \approx 10\,\mathrm{Mbit}\,\mathrm{s}^{-1}\,\mathrm{km}$.

**14.** Les rayons éloignés de l’axe suivent des trajets plus longs, mais dans un indice plus faible, donc plus vite ; avec un profil bien choisi les deux effets se compensent et tous arrivent ensemble.

**15.** $9\,\text{µ}\mathrm{m} \approx 6\lambda_0$ : le [cœur](#def-b1-rays-reflection-refraction-fiber) n’est pas grand devant la longueur d’onde, la diffraction domine et les rayons n’ont plus de sens. Le traitement ondulatoire montre un unique mode guidé : plus aucun étalement intermodal ; ne restent que la dispersion chromatique et l’atténuation.

**16.** $100\,\mathrm{km}$ $\times$ $0.2\,\mathrm{dB}/\mathrm{km}$ $= 20\,\mathrm{dB}$ : $P/P_0 = 10^{-2}$, un pour cent.

**17.** $10\log(P_0/P_{\min}) = 30\,\mathrm{dB}$, donc $L_{\max} =
30/0.20 = 150\,\mathrm{km}$.

**18.** $100\,\mathrm{km}$ coûtent $20\,\mathrm{dB}$ : marge $10\,\mathrm{dB}$, soit un facteur $10$ en puissance.

**19.** Diode : $\Delta t_c = 17 \times 40 \times 100 = 68\,000\,\mathrm{ps}
= 68\,\mathrm{ns}$, $B \approx 1/136\,\mathrm{ns} = 7\,\mathrm{Mbit}/\mathrm{s}$. Laser : $\Delta t_c = 170\,\mathrm{ps}$, $B \approx 1/340\,\mathrm{ps} =
2.9\,\mathrm{Gbit}/\mathrm{s}$.

**20.** $30/2.0 = 15\,\mathrm{km}$, dix fois moins. La silice est la plus transparente au voisinage de $1550\,\mathrm{nm}$ (son minimum d’atténuation), et c’est là qu’existent les amplificateurs optiques.

**21.** $30/30 = 1\,\mathrm{km}$ entre amplificateurs, contre $150\,\mathrm{km}$ : la fibre l’emporte d’un facteur $150$.

**22.** Intermodal : $101\,\mathrm{ns}$ ($\to$ $5\,\mathrm{Mbit}/\mathrm{s}$) ; chromatique (laser) : $17 \times 0.1 \times 2 = 3.4\,\mathrm{ps}$ ; atténuation $0.4\,\mathrm{dB}$, négligeable. C’est l’étalement intermodal qui limite : $5\,\mathrm{Mbit}/\mathrm{s}$.

**23.** Pas d’étalement intermodal ; chromatique $170\,\mathrm{ps}$ $\to$ $2.9\,\mathrm{Gbit}/\mathrm{s}$ ; atténuation $20\,\mathrm{dB}$, dans le bilan. C’est la dispersion chromatique qui limite, vers $3\,\mathrm{Gbit}/\mathrm{s}$.

**24.** $80 \times 2.9 \approx 230\,\mathrm{Gbit}/\mathrm{s}$.

**25.** Saut d’indice : $10\,\mathrm{Mbit}\,\mathrm{s}^{-1}\,\mathrm{km}$ ; canal monomode : $2.9 \times 100 = 290\,\mathrm{Gbit}\,\mathrm{s}^{-1}\,\mathrm{km}$ — un facteur d’environ $3\times10^4$. Un seul fait : un unique trajet guidé, donc aucun étalement géométrique (intermodal) des temps d’arrivée.