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title: "Statique des fluides"
book: "Physique universitaire — 1re année"
subject: physics
language: fr
chapter: 21
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/21-statique-des-fluides
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# Chapitre 21 — Statique des fluides

Un sous-marin par trois cents mètres de fond supporte, sur chaque mètre carré de coque, le poids d’un camion chargé. Un barrage retient un lac avec un mur épais en bas et mince en haut, pour une raison qui n’a rien à voir avec la longueur du lac. Un navire de cent mille tonnes flotte parce qu’il écarte cent mille tonnes d’eau, et s’enfonce d’une main de plus lorsqu’il passe de la mer dans un fleuve. Tout cela découle d’une seule relation — dans un fluide au repos, la pression croît vers le bas au rythme $\rho g$ — que ce chapitre établit, applique aux liquides et à l’atmosphère, et dont il déduit la force sur une paroi ainsi que le théorème d’Archimède.

![Un sous-marin lors d’un exercice de remontée d’urgence (US Navy) : ses ballasts chassés, il est plus léger que l’eau qu’il déplace et remonte — le théorème d’Archimède à 7000\, t.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-fluid-statics/img-32f2271ed5d4.jpg)

*Un sous-marin lors d’un exercice de remontée d’urgence (US Navy) : ses ballasts chassés, il est plus léger que l’eau qu’il déplace et remonte — le théorème d’Archimède à $7000\,\mathrm{t}$.*

## 21.1 La pression dans un fluide au repos

**Proposition 21.1 (Isotropie de la pression).**

Dans un fluide au repos, la force exercée par le fluide sur une petite surface $\dd S$ placée en un point $M$ vaut $\dd\vect F = P(M)\,\dd S\,\vect n$ : elle est normale à la surface et dirigée vers elle, et la pression $P(M)$ dépend du point mais *pas* de l’orientation de la surface.

**Démonstration partielle.** Un fluide au repos ne transmet pas de force tangentielle : la force de pression est normale, sinon le fluide s’écoulerait. Considérons un petit prisme triangulaire de fluide autour de $M$, dont les faces ont des orientations différentes : il est en équilibre sous les forces de pression sur ses faces et sous son poids ; le poids varie comme le volume (cube de la taille) et les forces de pression comme des aires (carré), de sorte que pour un prisme assez petit seules comptent les forces de pression, et leur équilibre dans toutes les directions impose le même $P$ sur chaque face. ∎

**Théorème 21.2 (Relation fondamentale de la statique des fluides).**

Dans un fluide au repos placé dans le [champ de pesanteur](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/12-les-lois-de-newton#prop-b1-newton-dynamics-weight) uniforme $\vect g = -g\vect e_z$ ($z$ vers le haut), la pression ne dépend que de $z$ et

$$
\frac{\dd P}{\dd z} = -\rho g ,
$$

où $\rho$ est la masse volumique du fluide à ce niveau. La pression croît vers le bas ; les surfaces d’égale pression (les *isobares*) sont horizontales, comme l’est la surface libre d’un liquide.

**Démonstration.** Considérons une tranche horizontale de fluide, d’aire $S$, comprise entre $z$ et $z + \dd z$ : elle est poussée vers le haut par $P(z)S$ en dessous, vers le bas par $P(z + \dd z)S$ au-dessus, et tirée vers le bas par son poids $\rho gS\,\dd z$. À l’équilibre : $P(z)S - P(z + \dd z)S - \rho gS\,\dd z = 0$. Une tranche horizontale ne subit aucune force horizontale de la pesanteur, donc $P$ est uniforme horizontalement. ∎

![À gauche : équilibre d’une tranche horizontale de fluide — la pression en dessous doit dépasser celle du dessus du poids de la tranche par unité d’aire. À droite : vases communicants — une horizontale rencontre partout la même pression dans un liquide connexe, de sorte que les surfaces libres se placent au même niveau quelles que soient les formes.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-fluid-statics/fig-9afd3b5ca77a.svg)

![À gauche : équilibre d’une tranche horizontale de fluide — la pression en dessous doit dépasser celle du dessus du poids de la tranche par unité d’aire. À droite : vases communicants — une horizontale rencontre partout la même pression dans un liquide connexe, de sorte que les surfaces libres se placent au même niveau quelles que soient les formes.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-fluid-statics/fig-0c89fb31998b.svg)

*À gauche : équilibre d’une tranche horizontale de fluide — la pression en dessous doit dépasser celle du dessus du poids de la tranche par unité d’aire. À droite : vases communicants — une horizontale rencontre partout la même pression dans un liquide connexe, de sorte que les surfaces libres se placent au même niveau quelles que soient les formes.*

**Corollaire 21.3 (Fluide incompressible).**

Dans un liquide de masse volumique uniforme $\rho$, la pression à la profondeur $h$ sous un point où elle vaut $P_0$ est

$$
P = P_0 + \rho gh .
$$

Eau : $1\,\mathrm{bar}$ de plus tous les $10\,\mathrm{m}$. Deux points d’un liquide connexe situés au même niveau sont à la même pression ; les surfaces libres de vases communicants se placent au même niveau ; une pression appliquée en un point quelconque d’un liquide enfermé se transmet intégralement à tous les autres (principe de Pascal).

**Démonstration.** Il suffit d’intégrer $\dd P/\dd z = -\rho g$ à $\rho$ constant ; le reste tient à l’horizontalité des isobares et à l’unicité de $P$ sur un niveau. ∎

**Exemple 21.4 (Manomètres et presses).**

Un tube en U rempli de mercure ($\rho = 13\,600\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$) dont les colonnes diffèrent de $h = 760\,\mathrm{mm}$ mesure une différence de pression $\rho gh = 1.013 \times 10^{5}\,\mathrm{Pa}$ — l’atmosphère, qui soutient une colonne d’eau de $10.3\,\mathrm{m}$. Une [presse hydraulique](#ex-b1-fluid-statics-manometer) : une force $F_1$ sur un piston d’aire $S_1$ élève la pression de $F_1/S_1$ partout ; sur le grand piston $S_2$ elle donne $F_2 = F_1S_2/S_1$ — cinquante fois plus pour cinquante fois l’aire, au prix d’une course cinquante fois plus courte (l’énergie se conserve : $F_1d_1 = F_2d_2$).

## 21.2 L’atmosphère

**Proposition 21.5 (Atmosphère isotherme).**

Pour un [gaz parfait](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/20-theorie-cinetique-et-gaz-parfait#def-b1-kinetic-theory-model) de masse molaire $M$ à température uniforme $T$ dans un [champ de pesanteur](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/12-les-lois-de-newton#prop-b1-newton-dynamics-weight) uniforme,

$$
P(z) = P_0\,\eu^{-z/H}, \qquad H = \frac{RT}{Mg} ,
$$

la *[hauteur d’échelle](#prop-b1-fluid-statics-atmosphere)* : environ $8\,\mathrm{km}$ pour l’air ; la pression est divisée par deux tous les $H\ln2 \approx 5.5\,\mathrm{km}$.

**Démonstration.** $\rho = PM/RT$ (équation d’état), donc $\dd P/\dd z = -(Mg/RT)P$ : une équation différentielle linéaire du premier ordre, $P = P_0\eu^{-Mgz/RT}$. ∎

**Exemple 21.6 (L’air raréfié).**

Avec $T = 260\,\mathrm{K}$ (une moyenne sur la basse atmosphère), $H =
7.6\,\mathrm{km}$ : $P = 0.52P_0$ à $5000\,\mathrm{m}$, $0.31P_0$ au sommet de l’Everest — proche des valeurs mesurées $0.54$ et $0.33$ ; l’atmosphère réelle se refroidit avec l’altitude, ce dont le volume de deuxième année tient compte. Le modèle dit aussi pourquoi la mer est différente : l’eau est huit cents fois plus dense et presque incompressible, de sorte que sa pression croît linéairement, d’un bar tous les dix mètres, sans [hauteur d’échelle](#prop-b1-fluid-statics-atmosphere).

![L’atmosphère isotherme : la pression (et la masse volumique) décroissent exponentiellement avec l’altitude, divisées par deux tous les 5.5\, km. Neuf dixièmes de l’air se trouvent au-dessous de 17\, km.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-fluid-statics/fig-d6c6ddad00e0.svg)

*L’atmosphère isotherme : la pression (et la masse volumique) décroissent exponentiellement avec l’altitude, divisées par deux tous les $5.5\,\mathrm{km}$. Neuf dixièmes de l’air se trouvent au-dessous de $17\,\mathrm{km}$.*

## 21.3 Forces sur les parois

**Proposition 21.7 (Force sur une paroi verticale).**

Un liquide de profondeur $h$ contre une paroi verticale rectangulaire de largeur $L$ (la pression atmosphérique agissant sur les deux faces et se compensant) exerce la force horizontale

$$
F = \tfrac12\rho gh^2L ,
$$

équivalente à une force unique appliquée au *[centre de poussée](#prop-b1-fluid-statics-wall)*, à la profondeur $2h/3$ — la résultante s’exerce bas, là où la pression est la plus grande.

**Démonstration.** À la profondeur $x$ la pression relative vaut $\rho gx$ ; sur la bande de hauteur $\dd x$ la force vaut $\rho gxL\,\dd x$ ; on intègre de $0$ à $h$. Son moment par rapport à la ligne de surface vaut $\int_0^h\rho gx^2L\,\dd x = \tfrac13\rho gh^3L$ ; en divisant par $F$, on obtient le [bras de levier](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/15-moment-cinetique#def-b1-angular-momentum-moment) $2h/3$. ∎

![La pression sur un barrage croît linéairement avec la profondeur (flèches), de sorte que la résultante s’applique aux deux tiers de la profondeur : le mur doit être le plus épais en bas. La force ne dépend que de h et de L, non de la quantité d’eau retenue derrière.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-fluid-statics/fig-07a8962fc964.svg)

*La pression sur un barrage croît linéairement avec la profondeur (flèches), de sorte que la résultante s’applique aux deux tiers de la profondeur : le mur doit être le plus épais en bas. La force ne dépend que de $h$ et de $L$, non de la quantité d’eau retenue derrière.*

**Exemple 21.8 (Un barrage).**

$h = 20\,\mathrm{m}$, $L = 100\,\mathrm{m}$ : $F = \tfrac12 \times 1000 \times 9.81 \times
400 \times 100 = 2.0 \times 10^{8}\,\mathrm{N}$ — vingt mille tonnes, appliquées $13\,\mathrm{m}$ sous la surface, et cela que le lac derrière soit une mare ou un fjord : c’est le *paradoxe hydrostatique*.

## 21.4 Le théorème d’Archimède

**Théorème 21.9 (Archimède).**

Un corps immergé dans un fluide au repos subit, de la part des forces de pression, une résultante — la *[poussée d’Archimède](#thm-b1-fluid-statics-archimedes)* — égale et opposée au poids du fluide qu’il déplace,

$$
\vect\Pi = -\rho_{\text{fluid}}V_{\text{immersed}}\,\vect g ,
$$

appliquée au [centre de masse](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/19-systemes-de-points-introduction-aux-solides#def-b1-systems-of-points-cm) du fluide déplacé (le *[centre de carène](#thm-b1-fluid-statics-archimedes)*).

**Démonstration.** Les forces de pression sur la surface du corps ne dépendent que de la forme de cette surface et du fluide qui l’entoure. Remplaçons le corps, par la pensée, par du fluide au repos occupant le même volume : ce fluide est en équilibre sous son poids et sous ces mêmes forces de pression, donc les forces de pression équilibrent son poids — leur somme vaut $-\rho V\vect g$, appliquée en son [centre de masse](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/19-systemes-de-points-introduction-aux-solides#def-b1-systems-of-points-cm). Supprimons l’expérience de pensée : les forces de pression, elles, n’ont pas changé. ∎

**Corollaire 21.10 (Flottaison).**

Un corps de masse volumique $\rho_b$ flotte dans un fluide de masse volumique $\rho_f > \rho_b$ avec la fraction $\rho_b/\rho_f$ de son volume immergée ; si $\rho_b >
\rho_f$, il coule, avec un poids apparent $(\rho_b - \rho_f)Vg$.

**Démonstration.** Le poids $\rho_bVg$ égale la poussée $\rho_fV_{\text{imm}}g$. ∎

![Un corps flottant : son poids, appliqué en son centre de masse G, équilibre la poussée d’Archimède, appliquée au centre de carène C (le centre du volume immergé). De la glace (= 917\, kg/ m3) dans l’eau de mer (1025\, kg/ m3) : 89\% sous la surface.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-fluid-statics/fig-1c13222bafb7.svg)

*Un corps flottant : son poids, appliqué en son [centre de masse](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/19-systemes-de-points-introduction-aux-solides#def-b1-systems-of-points-cm) $G$, équilibre la [poussée d’Archimède](#thm-b1-fluid-statics-archimedes), appliquée au [centre de carène](#thm-b1-fluid-statics-archimedes) $C$ (le centre du volume immergé). De la glace ($\rho = 917\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$) dans l’eau de mer ($1025\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$) : $89\%$ sous la surface.*

**Exemple 21.11 (Trois poussées).**

Un densimètre est un tube lesté qui s’enfonce jusqu’à déplacer son propre poids : plus le liquide est dense, moins il s’enfonce — une mesure de masse volumique lue sur sa tige. Un ballon de $2800\,\mathrm{m}^{3}$ d’air chaud à $373\,\mathrm{K}$ déplace $3.4\,\mathrm{t}$ d’air froid et pèse $2.6\,\mathrm{t}$ d’air chaud : $0.7\,\mathrm{t}$ de force ascensionnelle ([Problème 20.1](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/20-theorie-cinetique-et-gaz-parfait#pb-b1-kinetic-theory-1)). Un navire de $100\,000\,\mathrm{t}$ déplace $97\,600\,\mathrm{m}^{3}$ d’eau de mer ; en eau douce ($1000\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$) il doit en déplacer $2.5\%$ de plus et s’enfonce davantage — d’où les marques de franc-bord sur sa coque.

**Remarque 21.12 (Stabilité).**

Un corps flottant incliné d’un petit angle est redressé si la [poussée d’Archimède](#thm-b1-fluid-statics-archimedes), désormais appliquée au centre déplacé du nouveau volume immergé, produit un moment de redressement — ce qui se produit lorsque le *métacentre* (le point où la ligne d’action de la poussée coupe l’axe du corps) se trouve au-dessus de $G$. Du lest bas dans la coque abaisse $G$ et stabilise le navire ; un bateau trop lourd du haut chavire.

## 21.5 Exercices

**Exercice 21.1 ★.**

Pression absolue à $10\,\mathrm{m}$, $100\,\mathrm{m}$ et $1\,\mathrm{km}$ sous la mer ($\rho = 1025\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$) ; force sur un hublot de $1.0\,\mathrm{m}^{2}$ à $300\,\mathrm{m}$.

**Solution de Exercice 21.1.**

$P = P_0 + \rho gh$ : $2.0 \times 10^{5}\,\mathrm{Pa}$ ($2.0\,\mathrm{bar}$), $1.1 \times 10^{6}\,\mathrm{Pa}$ ($11\,\mathrm{bar}$), $1.0 \times 10^{7}\,\mathrm{Pa}$ ($101\,\mathrm{bar}$). À $300\,\mathrm{m}$ : $P =
3.1 \times 10^{6}\,\mathrm{Pa}$, force $3.1\,\mathrm{MN}$ sur $1\,\mathrm{m}^{2}$ (résultante, contre $1\,\mathrm{atm}$ à l’intérieur : $3.0\,\mathrm{MN}$).

**Exercice 21.2 ★.**

Hauteur d’une colonne de mercure qui équilibre $1.013 \times 10^{5}\,\mathrm{Pa}$ ; celle d’une colonne d’eau. Pourquoi une pompe aspirante n’élève-t-elle pas l’eau de plus de $10\,\mathrm{m}$ environ ?

**Solution de Exercice 21.2.**

$h = P/\rho g$ : mercure $0.760\,\mathrm{m}$ ; eau $10.3\,\mathrm{m}$. Une pompe ne peut au mieux que faire le vide au-dessus de l’eau : l’atmosphère pousse alors la colonne de $10.3\,\mathrm{m}$, pas davantage.

**Exercice 21.3 ★.**

Un cric hydraulique : $100\,\mathrm{N}$ sur un piston de $2.0\,\mathrm{cm}^{2}$, charge soulevée sur un piston de $200\,\mathrm{cm}^{2}$ ; course de chacun si le petit piston parcourt $20\,\mathrm{cm}$.

**Solution de Exercice 21.3.**

$F_2 = F_1S_2/S_1 = 10\,\mathrm{kN}$ (une tonne) ; $d_2 = d_1S_1/S_2 = 2.0\,\mathrm{mm}$ (même volume déplacé, même travail).

**Exercice 21.4 ★.**

Un tube en U contient de l’eau ; on verse de l’huile ($\rho = 850\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$) dans une branche, où elle forme une colonne de $12\,\mathrm{cm}$. Dénivelé entre les deux surfaces libres.

**Solution de Exercice 21.4.**

Même pression au niveau de l’interface huile–eau dans les deux branches : $\rho_og
h_o = \rho_wgh_w$, soit $h_w = 0.85 \times 12 = 10.2\,\mathrm{cm}$ d’eau au-dessus de ce niveau dans l’autre branche ; la surface de l’huile est $12 - 10.2 = 1.8\,\mathrm{cm}$ plus haut.

**Exercice 21.5 ★★.**

[Hauteur d’échelle](#prop-b1-fluid-statics-atmosphere) de l’atmosphère à $273\,\mathrm{K}$ ; pression à $5000\,\mathrm{m}$ et à $8848\,\mathrm{m}$ ; altitude à laquelle $P = P_0/2$. Comparer avec les valeurs citées au [Chapitre 20](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/20-theorie-cinetique-et-gaz-parfait#ch-b1-kinetic-theory).

**Solution de Exercice 21.5.**

$H = RT/Mg = 8.314 \times 273/(0.029 \times 9.81) = 8.0\,\mathrm{km}$ ; $P/P_0 =
\eu^{-z/H}$ : $0.54$ à $5\,\mathrm{km}$, $0.33$ à $8848\,\mathrm{m}$ ; la moitié à $H\ln2 =
5.5\,\mathrm{km}$ — les valeurs utilisées au [Chapitre 20](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/20-theorie-cinetique-et-gaz-parfait#ch-b1-kinetic-theory).

**Exercice 21.6 ★★.**

Un barrage rectangulaire de $100\,\mathrm{m}$ de large retient $20\,\mathrm{m}$ d’eau. Force totale, profondeur du [centre de poussée](#prop-b1-fluid-statics-wall) et moment de l’eau par rapport au pied du barrage. Pourquoi un barrage est-il courbé vers l’eau ?

**Solution de Exercice 21.6.**

$F = \tfrac12\rho gh^2L = 1.96 \times 10^{8}\,\mathrm{N}$ ; [centre de poussée](#prop-b1-fluid-statics-wall) à $13.3\,\mathrm{m}$ de profondeur, soit $6.7\,\mathrm{m}$ au-dessus du pied ; moment par rapport au pied $F \times
6.7 = 1.3 \times 10^{9}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}$. Courber le barrage vers l’eau transforme la poussée en compression de l’arc, transmise aux flancs de la vallée.

**Exercice 21.7 ★★.**

Fraction d’un iceberg immergée (glace $917\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$, eau de mer $1025\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$) ; d’une bûche de masse volumique $600\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ en eau douce ; combien de personnes de $75\,\mathrm{kg}$ un radeau de $2.0\,\mathrm{m}^{3}$ de ce bois peut-il porter avant que son plancher ne soit au ras de l’eau ?

**Solution de Exercice 21.7.**

$917/1025 = 89\%$ ; bûche $60\%$. Radeau : poussée à immersion totale $1000 \times
2.0 \times 9.81 = 19.6\,\mathrm{kN}$, poids propre $11.8\,\mathrm{kN}$ : $7.8\,\mathrm{kN}$ disponibles, soit dix personnes… la dixième les pieds dans l’eau : neuf pour rester au sec ($800\,\mathrm{kg}$).

**Exercice 21.8 ★★.**

Un densimètre de masse $20\,\mathrm{g}$, dont la tige a une section de $0.50\,\mathrm{cm}^{2}$, flotte dans l’eau en laissant émerger $4.0\,\mathrm{cm}$ de tige. Quelle longueur de tige émerge dans une saumure de masse volumique $1100\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ? Sensibilité (en centimètres par unité de densité) ?

**Solution de Exercice 21.8.**

Volume immergé $m/\rho$ : eau $20\,\mathrm{cm}^{3}$ ; saumure $20/1.1 = 18.2\,\mathrm{cm}^{3}$, soit $1.8\,\mathrm{cm}^{3}$ de moins, c’est-à-dire $1.8/0.50 = 3.6\,\mathrm{cm}$ de tige en plus : $7.6\,\mathrm{cm}$ émergent. Sensibilité $\approx m/(\rho^2S) \approx 40\,\mathrm{cm}$ par unité de densité ($3.6\,\mathrm{cm}$ pour $0.1$).

**Exercice 21.9 ★★.**

Un sous-marin de $3000\,\mathrm{m}^{3}$ a une masse de $2800\,\mathrm{t}$ ballasts vides. Fraction émergée en surface (eau de mer) ; masse d’eau à embarquer pour une flottabilité nulle ; que se passe-t-il s’il entre ensuite dans un estuaire d’eau douce ?

**Solution de Exercice 21.9.**

Volume déplacé $2800/1.025 = 2732\,\mathrm{m}^{3}$ : $268\,\mathrm{m}^{3}$ ($9\%$) émergent. Flottabilité nulle : masse $1025 \times 3000 = 3075\,\mathrm{t}$, donc $275\,\mathrm{t}$ à embarquer. En eau douce, la poussée tombe à $3000\,\mathrm{t}$ : $75\,\mathrm{t}$ de trop — il coule si l’on n’en chasse pas $75\,\mathrm{t}$.

**Exercice 21.10 ★★★.**

Un ballon d’enfant contient $10\,\mathrm{L}$ d’hélium ($M = 4\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$) à $1\,\mathrm{bar}$ et $293\,\mathrm{K}$ ; le caoutchouc pèse $3.0\,\mathrm{g}$. Force ascensionnelle nette ; masse de ficelle qu’il peut porter.

**Solution de Exercice 21.10.**

Air déplacé : $10^{-2} \times 1.20 = 12.0\,\mathrm{g}$ ; hélium intérieur $12.0 \times
4/29 = 1.7\,\mathrm{g}$ ; caoutchouc $3.0\,\mathrm{g}$ : force ascensionnelle nette $7.3\,\mathrm{g}$ — sept mètres de ficelle légère.

**Exercice 21.11 ★★★.**

Démontrer que le [centre de poussée](#prop-b1-fluid-statics-wall) sur une paroi verticale rectangulaire se trouve à $2h/3$ en calculant le moment des forces de pression par rapport à la ligne de surface. Où se trouve-t-il pour une paroi qui n’est immergée que partiellement, disons de la profondeur $h_1$ à $h_2$ ?

**Solution de Exercice 21.11.**

Moment $\int_0^h\rho gx\cdot xL\,\dd x = \rho gLh^3/3$, force $\rho gLh^2/2$ : [bras de levier](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/15-moment-cinetique#def-b1-angular-momentum-moment) $2h/3$. De $h_1$ à $h_2$ : moment $\rho gL(h_2^3 - h_1^3)/3$, force $\rho gL(h_2^2 - h_1^2)/2$ : profondeur $\frac23(h_2^3 - h_1^3)/(h_2^2 - h_1^2)$.

**Exercice 21.12 ★★★.**

Un densimètre cylindrique (masse $m$, section $S$) qui flotte dans un liquide de masse volumique $\rho$ est enfoncé de $x$ puis lâché. Montrer qu’il oscille harmoniquement et donner la période ; la calculer pour $m =
20\,\mathrm{g}$, $S = 0.50\,\mathrm{cm}^{2}$, dans l’eau. ([Exemple 14.3](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/14-oscillateurs-mecaniques-amortissement-et-resonance#ex-b1-oscillators-resonance-bob) revisité.)

**Solution de Exercice 21.12.**

Une immersion supplémentaire $x$ ajoute la poussée $\rho gSx$ vers le haut : $m\ddot x = -\rho gSx$, $\omega_0^2 = \rho gS/m$, $T = 2\pi\sqrt{m/\rho gS} = 2\pi\sqrt{0.020/(1000 \times
9.81 \times 5\times10^{-5})} = 1.3\,\mathrm{s}$.

![Gonflage d’une montgolfière : l’air chauffé est moins dense que l’air froid qui l’entoure, et la poussée d’Archimède sur l’enveloppe l’emporte sur son poids.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-fluid-statics/img-33cb78170213.jpg)

*Gonflage d’une montgolfière : l’air chauffé est moins dense que l’air froid qui l’entoure, et la [poussée d’Archimède](#thm-b1-fluid-statics-archimedes) sur l’enveloppe l’emporte sur son poids.*

## 21.6 Problème : le sous-marin

**Problème 21.1.**

Problème du week-end — une coque d’acier par trois cents mètres de fond : la pression sur ses tôles, l’eau qu’elle doit avaler pour plonger et chasser pour remonter, la plongeuse qui la quitte et le pétrolier qui passe au-dessus

Eau de mer : $\rho = 1025\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ; eau douce $1000\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ; $P_0 = 1.013 \times 10^{5}\,\mathrm{Pa}$ ; $g = 9.81\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$. La coque du sous-marin enferme $V = 3000\,\mathrm{m}^{3}$ ; ballasts vides, sa masse vaut $m_0 = 2800\,\mathrm{t}$.

**Partie I — La pression sur la coque.**

1. Pression absolue à $300\,\mathrm{m}$ , en [pascals](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/20-theorie-cinetique-et-gaz-parfait#def-b1-kinetic-theory-pressure) et en bars.
2. Force sur un panneau circulaire de $0.80\,\mathrm{m}$ de diamètre à cette profondeur ; comparer au poids d’un camion.
3. Force sur un mètre carré de coque à la quille si la coque mesure $10\,\mathrm{m}$ de haut et que son sommet est à $300\,\mathrm{m}$ : quel écart avec le sommet ?
4. L’eau est légèrement compressible ( $\chi_T = 4.6 \times 10^{-10}\,\mathrm{Pa}^{-1}$ ) : de quelle fraction l’eau de mer est-elle plus dense à $300\,\mathrm{m}$ qu’en surface ? Cela change-t-il la pression calculée plus haut ?
5. L’équipage respire de l’air à $1\,\mathrm{atm}$ : pourquoi la coque doit-elle être un cylindre épais, et pourquoi un cylindre résiste-t-il mieux qu’une boîte à faces planes ?
6. Une coque cylindrique mince de rayon $R$ et d’épaisseur $e$ soumise à une surpression extérieure $\Delta P$ supporte dans sa paroi une contrainte de compression $\Delta P\,R/e$ . Pour $R = 5.0\,\mathrm{m}$ et $e = 3.0\,\mathrm{cm}$ à $300\,\mathrm{m}$ , la calculer et la comparer à la limite d’élasticité de l’acier, environ $600\,\mathrm{MPa}$ .

**Partie II — Plonger et flotter.**

7. En surface, ballasts vides, quel volume de la coque émerge ?
8. Quelle masse d’eau de mer les ballasts doivent-ils embarquer pour que le sous-marin reste entre deux eaux (flottabilité nulle) ?
9. En équilibre à $300\,\mathrm{m}$ , la coque est comprimée de $0.1\%$ par la pression. Calculer la force résultante et dire si l’équilibre est stable vis-à-vis de la profondeur.
10. En flottabilité nulle, le bâtiment passe de la mer dans un estuaire d’eau douce. Force résultante ? Dans quel sens part-il, et que doit faire l’équipage ?
11. On tire une torpille de $20\,\mathrm{t}$ . Que doit faire immédiatement le système de ballasts, et de combien ?
12. Pourquoi un sous-marin chasse-t-il ses ballasts à l’air comprimé, et pourquoi la pression de cet air limite-t-elle la profondeur à laquelle il peut le faire ?
13. Estimer le volume d’air à $1\,\mathrm{atm}$ nécessaire pour vider $275\,\mathrm{m}^{3}$ de ballasts à $300\,\mathrm{m}$ (loi de Boyle–Mariotte, $PV$ constant).

**Partie III — La plongeuse.** Une plongeuse quitte la surface avec $6.0\,\mathrm{L}$ d’air dans les poumons.

14. Pression absolue à $10\,\mathrm{m}$ et à $30\,\mathrm{m}$ .
15. Si elle descend en apnée, quel est le volume de ses poumons à $30\,\mathrm{m}$ ?
16. Une plongeuse en scaphandre respire de l’air à la pression ambiante à $30\,\mathrm{m}$ et remonte en bloquant sa respiration : volume qu’il faudrait à ses poumons en surface, et la leçon à en tirer.
17. Un tuba de $1.0\,\mathrm{m}$ de long : différence de pression entre l’eau qui presse la poitrine de la plongeuse et l’air de ses poumons ; force sur une poitrine de $0.05\,\mathrm{m}^{2}$ ; peut-elle inspirer ?
18. La bouteille contient $12\,\mathrm{L}$ à $200\,\mathrm{bar}$ : combien de litres d’air cela fait-il à $30\,\mathrm{m}$ , et pour combien de temps à $20\,\mathrm{L}$ par minute ?

**Partie IV — Le pétrolier au-dessus.**

19. Un pétrolier de $100\,000\,\mathrm{t}$ flotte en eau de mer : volume d’eau déplacé.
20. Son aire de flottaison vaut $8000\,\mathrm{m}^{2}$ : de combien monte-t-il ou s’enfonce-t-il en entrant en eau douce ?
21. Chargement de $10\,000\,\mathrm{t}$ de pétrole : variation du tirant d’eau.
22. Vide, le pétrolier a un [centre de masse](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/19-systemes-de-points-introduction-aux-solides#def-b1-systems-of-points-cm) haut ; il embarque alors de l’eau de mer en ballast. Pourquoi, en termes de métacentre ?
23. La coque du pétrolier à sa quille (tirant d’eau $20\,\mathrm{m}$ ) : pression et force par mètre carré, comparées à celles du sous-marin à $300\,\mathrm{m}$ .
24. Le pétrolier passe exactement au-dessus du sous-marin. Celui-ci ressent-il ses $100\,000\,\mathrm{t}$ ? Expliquer par le champ de pression.
25. Récapituler : la relation unique qui a fixé tous les nombres de ce problème, et le théorème qui en a découlé.

**Solution de Problème 21.1.**

**1.** $P = 1.013\times10^5 + 1025 \times 9.81 \times 300 = 3.12 \times 10^{6}\,\mathrm{Pa}
= 31\,\mathrm{bar}$.

**2.** $S = \pi(0.40)^2 = 0.503\,\mathrm{m}^{2}$ : force résultante $(P - P_0)S =
1.52 \times 10^{6}\,\mathrm{N}$ — 155 tonnes, un camion chargé sur un panneau.

**3.** La quille est $10\,\mathrm{m}$ plus bas : $+\rho g \times 10 = 1.0 \times 10^{5}\,\mathrm{Pa}$ de plus, soit $3\%$ : la coque est chargée presque uniformément.

**4.** $\Delta\rho/\rho = \chi_T\Delta P = 4.6\times10^{-10} \times 3.0\times10^6
= 0.14\%$ : négligeable pour la pression (quelques kilopascals sur trois millions).

**5.** Trente bars au-dehors, un au-dedans : la coque est une enceinte sous pression chargée vers l’intérieur ; un cylindre (ou une sphère) transforme la pression en compression le long de sa paroi, ce que l’acier supporte bien, alors qu’une plaque plane fléchirait.

**6.** $\Delta P\,R/e = 3.0\times10^6 \times 5.0/0.030 = 5.0 \times 10^{8}\,\mathrm{Pa}
= 500\,\mathrm{MPa}$ : proche de la limite d’élasticité — $300\,\mathrm{m}$ est près de la limite pour cette coque, et les bâtiments plus profonds demandent un acier plus épais ou plus résistant (ou du titane).

**7.** Volume déplacé $m_0/\rho = 2800/1.025 = 2732\,\mathrm{m}^{3}$ : $268\,\mathrm{m}^{3}$ émergent ($9\%$).

**8.** Flottabilité nulle : $m = \rho V = 3075\,\mathrm{t}$, donc $275\,\mathrm{t}$ à embarquer.

**9.** La poussée diminue de $0.1\%$ de $\rho Vg$ : $0.001 \times 3075 \times 9.81
\times10^3 = 30\,\mathrm{kN}$ vers le bas (trois tonnes). Plus profond $\Rightarrow$ plus comprimé $\Rightarrow$ plus lourd : équilibre instable — un sous-marin doit corriger son assiette en permanence (et une coque d’acier se comprime moins que l’eau, ce qui aide ; une coque trop souple coulerait sans retour).

**10.** Poussée $1000 \times 3000 \times 9.81 = 29.4\,\mathrm{MN}$ contre un poids $3075 \times 9.81 \times 10^3 = 30.2\,\mathrm{MN}$ : $0.74\,\mathrm{MN}$ vers le bas ($75\,\mathrm{t}$) ; il faut en chasser $75\,\mathrm{t}$.

**11.** Aussitôt $20\,\mathrm{t}$ trop léger : embarquer $20\,\mathrm{t}$ d’eau ($19.5\,\mathrm{m}^{3}$) dans les caisses de compensation.

**12.** L’eau ne peut être chassée que par quelque chose à une pression supérieure à celle de la mer au-dehors ; l’air comprimé des bouteilles l’expulse — mais seulement tant que la pression des bouteilles dépasse la pression ambiante à cette profondeur.

**13.** $PV$ constant : $275\,\mathrm{m}^{3}$ à $31\,\mathrm{bar}$ demandent $275 \times 31
= 8500\,\mathrm{m}^{3}$ d’air à $1\,\mathrm{atm}$ — stockés à $200\,\mathrm{bar}$ dans $43\,\mathrm{m}^{3}$ de bouteilles.

**14.** $2.0\,\mathrm{bar}$ à $10\,\mathrm{m}$ ; $4.0\,\mathrm{bar}$ à $30\,\mathrm{m}$.

**15.** $PV$ constant : $6.0/4.0 = 1.5\,\mathrm{L}$ — la cage thoracique est écrasée ; les apnéistes le sentent.

**16.** L’air pris à $4\,\mathrm{bar}$ se dilate quatre fois : $24\,\mathrm{L}$ dans des poumons qui en contiennent $6\,\mathrm{L}$ : rupture. Ne jamais bloquer sa respiration à la remontée ; expirer continûment.

**17.** $\Delta P = \rho g \times 1.0 = 1.0 \times 10^{4}\,\mathrm{Pa}$ ; force $1.0 \times 10^{4}\,\mathrm{Pa}
\times 0.05 = 500\,\mathrm{N}$ sur la poitrine : les muscles respiratoires ne soulèvent pas cinquante kilogrammes — un tuba ne sert que dans les premiers décimètres.

**18.** $12 \times 200 = 2400\,\mathrm{L}$ à $1\,\mathrm{bar}$, soit $600\,\mathrm{L}$ à $4\,\mathrm{bar}$ : $30\,\mathrm{min}$.

**19.** $V = 10^8/1025 = 97\,600\,\mathrm{m}^{3}$.

**20.** En eau douce, il doit déplacer $10^5\ \mathrm{m}^{3}$ : $2400\,\mathrm{m}^{3}$ de plus, soit $2400/8000 = 0.30\,\mathrm{m}$ d’enfoncement en plus.

**21.** $10^4/1.025 = 9756\,\mathrm{m}^{3}$ de plus : $1.2\,\mathrm{m}$ plus bas.

**22.** À vide, le $G$ du navire est haut et peu de coque est immergée : le métacentre peut passer sous $G$ et le navire chavirer dans la houle. De l’eau de mer basse dans la coque abaisse $G$ et augmente le tirant d’eau.

**23.** $\rho gh = 2.0 \times 10^{5}\,\mathrm{Pa}$, soit $0.2\,\mathrm{MN}/\mathrm{m}^{2}$ : quinze fois moins que les $3\,\mathrm{MN}/\mathrm{m}^{2}$ du sous-marin.

**24.** Non : la pression à la profondeur du sous-marin vaut $P_0 + \rho gh$, fixée par la seule profondeur. Le poids du pétrolier est porté par l’eau qu’il déplace, ce qui élève partout le niveau de la mer d’une quantité immesurable ; aucune charge supplémentaire n’atteint le sous-marin.

**25.** $\dd P/\dd z = -\rho g$ — d’où $P = P_0 + \rho gh$ pour chaque profondeur, chaque force et chaque volume pulmonaire de ce problème — et le théorème d’Archimède, qui n’est que cette relation intégrée sur une surface fermée.