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title: "Électrostatique : champ et théorème de Gauss"
book: "Physique universitaire — 1re année"
subject: physics
language: fr
chapter: 26
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/26-electrostatique-champ-et-theoreme-de-gauss
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# Chapitre 26 — Électrostatique : champ et théorème de Gauss

Frottez un ballon sur un pull et il se colle au mur ; peignez des cheveux secs et le peigne dévie un mince filet d’eau. Derrière l’un et l’autre, il y a la force entre [charges électriques](#def-b1-electrostatics-gauss-charge) au repos, la [loi de Coulomb](#thm-b1-electrostatics-gauss-coulomb) — une loi en carré inverse comme la [gravitation](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/16-forces-centrales-planetes-et-satellites#def-b1-central-forces-gravitation), mais $10^{36}$ fois plus intense entre deux protons et de deux signes, si bien que la matière est neutre avec une précision fantastique et que les effets résiduels s’appellent chimie, matériaux et foudre. Ce chapitre construit le concept qui rend la loi maniable, le [champ électrique](#def-b1-electrostatics-gauss-field), montre comment lire un champ sur ses symétries, et démontre le théorème unique qui calcule en trois lignes le champ des distributions symétriques : le [théorème de Gauss](#thm-b1-electrostatics-gauss-gauss). Son jumeau gravitationnel vient en prime à la fin.

![Un éclair nuage–sol : des dizaines de coulombs amenés au sol en quelques arcs de cent kiloampères — la Terre électrique du problème du week-end.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-electrostatics-gauss/img-4e36ee9b571d.jpg)

*Un éclair nuage–sol : des dizaines de coulombs amenés au sol en quelques arcs de cent kiloampères — la Terre électrique du problème du week-end.*

## 26.1 Les charges et la loi de Coulomb

**Définition 26.1 (Charge électrique).**

La *charge électrique* $q$ (le coulomb, $\mathrm{C}$) est une propriété de la matière, des deux signes ; elle se conserve (la charge totale d’un système isolé ne change jamais) et elle est quantifiée en multiples de la *charge élémentaire* $e = 1.602 \times 10^{-19}\,\mathrm{C}$ (proton $+e$, électron $-e$). Une distribution macroscopique se décrit par une *densité de charge* : linéique $\lambda$ ($\mathrm{C}/\mathrm{m}$), surfacique $\sigma$ ($\mathrm{C}/\mathrm{m}^{2}$) ou volumique $\rho$ ($\mathrm{C}/\mathrm{m}^{3}$), de sorte qu’un petit élément porte $\dd q = \lambda\,\dd l$, $\sigma\,\dd S$ ou $\rho\,\dd\tau$.

**Théorème 26.2 (Loi de Coulomb).**

Deux charges ponctuelles $q_1$ en $M_1$ et $q_2$ en $M_2$, au repos dans le vide, exercent l’une sur l’autre les forces

$$
\vect F_{1 \to 2} = \frac{q_1q_2}{4\pi\varepsilon_0\,r^2}\,\vect e_{12} = -\vect F_{2 \to 1},
\qquad r = M_1M_2,\quad \vect e_{12} = \frac{\vect{M_1M_2}}{r},
$$

répulsives entre charges de même signe, attractives entre charges opposées, où $\varepsilon_0 = 8.854 \times 10^{-12}\,\mathrm{F}/\mathrm{m}$ est la *[permittivité du vide](#thm-b1-electrostatics-gauss-coulomb)*, c’est-à-dire $1/4\pi\varepsilon_0 = 8.99 \times 10^{9}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{C}^{2}$. Les forces de plusieurs charges s’ajoutent (superposition).

**Démonstration.** *Admis à ce niveau.* ∎

**Exemple 26.3 (Quelle intensité).**

Deux protons distants de $1\,\mathrm{fm}$ se repoussent avec $8.99 \times 10^9 \times (1.6 \times
10^{-19})^2/10^{-30} = 230\,\mathrm{N}$ — le poids d’un enfant, entre deux particules de $10^{-27}$ kg ; leur attraction gravitationnelle est $10^{36}$ fois plus faible. Deux grammes d’électrons à un bout d’une pièce et les protons correspondants à l’autre s’attireraient avec $10^{25}$ N. La matière est neutre parce qu’elle n’a pas le choix : tout déséquilibre est corrigé par des forces qu’aucune structure ne peut supporter.

## 26.2 Le champ électrique

**Définition 26.4 (Champ électrostatique).**

Une distribution de charges au repos crée en tout point $M$ de l’espace un *champ électrique* $\vect E(M)$, défini par la force qu’il exerce sur une charge d’épreuve $q$ placée en $M$ : $\vect F = q\vect E(M)$ ($\mathrm{V}/\mathrm{m}$ $=$ $\mathrm{N}/\mathrm{C}$). Une charge ponctuelle $q_1$ en $O$ crée

$$
\vect E(M) = \frac{q_1}{4\pi\varepsilon_0 r^2}\,\vect e_r , \qquad r = OM ,
$$

radial, dirigé vers l’extérieur si $q_1 > 0$ ; une distribution crée la somme vectorielle des champs de ses éléments. Une *ligne de champ* est une courbe tangente en chaque point à $\vect E$, orientée dans son sens.

**Proposition 26.5 (Lire une carte de champ).**

Les [lignes de champ](#def-b1-electrostatics-gauss-field) partent des charges positives et aboutissent aux charges négatives (ou à l’infini) ; elles ne se croisent jamais (le champ a une valeur unique), et elles se resserrent là où le champ est intense. En présence de deux charges, le nombre de lignes tracées à partir de chacune est proportionnel à sa charge.

![Lignes de champ de deux charges opposées (à gauche) et de deux charges positives égales (à droite). Les lignes partent du + et aboutissent au - ou à l’infini ; à droite elles se repoussent et le champ s’annule au milieu, où ne passe aucune ligne.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-electrostatics-gauss/fig-944406dd220a.svg)

*[Lignes de champ](#def-b1-electrostatics-gauss-field) de deux charges opposées (à gauche) et de deux charges positives égales (à droite). Les lignes partent du $+$ et aboutissent au $-$ ou à l’infini ; à droite elles se repoussent et le champ s’annule au milieu, où ne passe aucune ligne.*

**Exemple 26.6 (Anneau et segment par sommation directe).**

Sur l’axe d’un anneau de rayon $R$ portant uniformément $Q$, à la distance $z$ de son centre, chaque élément $\dd q$ contribue pour $\dd q/4\pi\varepsilon_0(R^2 +
z^2)$ selon la droite qui le joint à $M$ ; les composantes perpendiculaires à l’axe se compensent deux à deux et les composantes axiales s’ajoutent avec le facteur $z/\sqrt{R^2 + z^2}$ :

$$
E_z = \frac{Qz}{4\pi\varepsilon_0(R^2 + z^2)^{3/2}} ,
$$

nul au centre, maximal en $z = R/\sqrt2$, et égal à $Q/4\pi\varepsilon_0z^2$ au loin. Un disque uniformément chargé est un empilement d’anneaux ([Problème 26.1](#pb-b1-electrostatics-gauss-1)). La sommation directe fonctionne dès que la géométrie permet l’intégrale ; tout le reste du chapitre consiste à l’éviter.

## 26.3 Symétries et invariances

**Proposition 26.7 (Principe de symétrie).**

Le champ possède les symétries de ses sources. Si un plan $\Pi$ est un *[plan de symétrie](#prop-b1-electrostatics-gauss-symmetry)* de la distribution de charges (l’image miroir de la distribution est elle-même), alors en tout point de $\Pi$ le champ est *contenu* dans $\Pi$ ; si $\Pi$ est un *[plan d’antisymétrie](#prop-b1-electrostatics-gauss-symmetry)* (l’image miroir est la distribution dont toutes les charges sont changées de signe), le champ en un point de $\Pi$ est *perpendiculaire* à $\Pi$. Si la distribution est invariante par une translation ou une rotation, le champ l’est aussi : ses composantes ne dépendent pas de la coordonnée correspondante.

**Démonstration.** $\vect E$ est une somme de termes $\dd q\,\vect e/4\pi\varepsilon_0r^2$ ; l’image miroir de la somme est la somme des images, et l’image du champ d’une distribution est le champ de la distribution image (un vecteur construit à partir des positions et des charges se transforme comme les positions). Sur un [plan de symétrie](#prop-b1-electrostatics-gauss-symmetry), le champ est égal à sa propre image miroir, donc il est contenu dans le plan ; sur un [plan d’antisymétrie](#prop-b1-electrostatics-gauss-symmetry), il est égal à l’opposé de son image, donc il lui est normal. Pour l’invariance, c’est le même argument avec une translation ou une rotation. ∎

**Méthode 26.8 (Trouver la forme d’un champ avant de le calculer).**

Pour le point $M$ où l’on cherche le champ : (1) recenser les [plans de symétrie](#prop-b1-electrostatics-gauss-symmetry) des sources qui contiennent $M$ — le champ est porté par leur intersection ; deux tels plans en fixent la direction. (2) Recenser les invariances — elles disent de quelles coordonnées $\vect E$ dépend. Ainsi un fil infini uniformément chargé donne $\vect E = E(r)\,\vect e_r$ en [coordonnées cylindriques](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/11-cinematique-du-point#def-b1-point-kinematics-cylindrical), une sphère $\vect E = E(r)\,\vect e_r$ en [coordonnées sphériques](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/11-cinematique-du-point#def-b1-point-kinematics-spherical), un plan infini $\vect E = E(z)\,\vect e_z$ avec $E(-z) = -E(z)$. Ce n’est qu’ensuite que l’on calcule.

![Les trois distributions symétriques du chapitre et les surfaces de Gauss (en pointillés) qui leur conviennent : une sphère concentrique, un cylindre coaxial, une boîte plate à cheval sur le plan. Sur chacune, le champ est soit normal et de norme uniforme, soit tangent.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-electrostatics-gauss/fig-9e56b1da4141.svg)

*Les trois distributions symétriques du chapitre et les surfaces de Gauss (en pointillés) qui leur conviennent : une sphère concentrique, un cylindre coaxial, une boîte plate à cheval sur le plan. Sur chacune, le champ est soit normal et de norme uniforme, soit tangent.*

## 26.4 Flux et théorème de Gauss

**Définition 26.9 (Flux du champ).**

Découpons une surface $S$ en petits éléments d’aire $\dd S$, chacun muni d’une normale unitaire $\vect n$ (pour une surface fermée, la normale sortante). Le *flux* de $\vect E$ à travers $S$ est la somme

$$
\Phi = \sum \vect E\cdot\vect n\,\dd S = \sum E_n\,\dd S \qquad (\mathrm{V}\,\mathrm{m}):
$$

la composante normale du champ pondérée par l’aire — le « nombre de [lignes de champ](#def-b1-electrostatics-gauss-field) » qui traversent $S$, comptées positivement lorsqu’elles la traversent dans le sens de $\vect n$.

**Théorème 26.10 (Théorème de Gauss).**

Le [flux](#def-b1-electrostatics-gauss-flux) du champ électrostatique à travers toute surface fermée $S$ est égal à la charge totale enfermée par $S$, divisée par $\varepsilon_0$ :

$$
\Phi_{\text{sortant}} = \frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_0} .
$$

Les charges extérieures à $S$ ne contribuent pas au [flux](#def-b1-electrostatics-gauss-flux) (leurs lignes entrent puis ressortent).

**Démonstration.** Pour une charge ponctuelle $q$ au centre d’une sphère de rayon $r$ : $\vect E$ est radial, de norme $q/4\pi\varepsilon_0r^2$ en tout point de la sphère, donc $\Phi = E \times 4\pi r^2 = q/\varepsilon_0$ — indépendant de $r$, parce que le champ décroît en $1/r^2$ exactement comme l’aire croît. Que la même chose vaille pour toute surface fermée entourant $q$ (le [flux](#def-b1-electrostatics-gauss-flux) à travers un élément de surface ne dépend que de l’angle solide sous lequel il est vu de $q$), qu’une charge extérieure donne zéro (elle voit deux fois chaque angle solide, avec des signes opposés), et que les [flux](#def-b1-electrostatics-gauss-flux) de plusieurs charges s’ajoutent, est ici admis ; la démonstration complète est dans le volume de deuxième année. ∎

**Méthode 26.11 (Utiliser le théorème de Gauss).**

(1) À partir des symétries, écrire la forme de $\vect E$ (direction et variable dont il dépend). (2) Choisir une *surface de Gauss* fermée passant par le point $M$, sur laquelle $\vect E$ est partout soit normal et de même norme $E(M)$, soit tangent : le [flux](#def-b1-electrostatics-gauss-flux) vaut alors $E(M)$ fois l’aire de la partie normale. (3) Compter la charge intérieure. (4) En tirer $E(M)$. Cela fonctionne pour les sphères, les cylindres infinis et les plans infinis — et pour rien d’autre sans outils supplémentaires.

**Proposition 26.12 (Les trois champs classiques).**

1. Sphère de rayon $R$ , de charge $Q$ répartie uniformément dans son volume : $E(r) = \dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0r^2}$ à l’extérieur ( $r > R$ ) — comme si toute la charge était au centre — et $E(r) =  \dfrac{Qr}{4\pi\varepsilon_0R^3}$ à l’intérieur, croissant linéairement depuis zéro ; continu en $r = R$ . Si la charge n’est portée que par la surface, le champ intérieur est nul.
2. Fil infini de charge linéique $\lambda$ : $E(r) =  \dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 r}$ , radial.
3. Plan infini de charge surfacique $\sigma$ : $E = \dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0}$ de part et d’autre, normal au plan, dirigé en s’en éloignant si $\sigma > 0$ , *indépendant de la distance* . À la traversée du plan, la composante normale saute de $\sigma/\varepsilon_0$ .

**Démonstration.** (1) Sphère de rayon $r$ : [flux](#def-b1-electrostatics-gauss-flux) $4\pi r^2E(r)$ ; charge intérieure $Q$ si $r > R$, $Q(r/R)^3$ si $r < R$. (2) Cylindre de rayon $r$ et de hauteur $h$ : [flux](#def-b1-electrostatics-gauss-flux) $2\pi rh\,E(r)$ par la surface latérale, nul par les bases (le champ y est tangent) ; charge $\lambda h$. (3) Boîte plate de section $S$ à cheval sur le plan : [flux](#def-b1-electrostatics-gauss-flux) $2SE$ par les deux bases (le champ est impair en $z$, donc les deux comptent positivement), nul par le côté ; charge $\sigma S$. ∎

![Le champ d’une sphère chargée en fonction de la distance à son centre : linéaire à l’intérieur et en 1/r2 à l’extérieur lorsque la charge remplit le volume (trait plein) ; nul à l’intérieur et identique à l’extérieur lorsqu’elle est portée par la surface (pointillés). À l’extérieur, rien ne distingue la sphère d’une charge ponctuelle placée en son centre.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-electrostatics-gauss/fig-e196345353ba.svg)

*Le [champ d’une sphère chargée](#prop-b1-electrostatics-gauss-three) en fonction de la distance à son centre : linéaire à l’intérieur et en $1/r^2$ à l’extérieur lorsque la charge remplit le volume (trait plein) ; nul à l’intérieur et identique à l’extérieur lorsqu’elle est portée par la surface (pointillés). À l’extérieur, rien ne distingue la sphère d’une charge ponctuelle placée en son centre.*

**Exemple 26.13 (Deux plans : le condensateur plan).**

Deux plans parallèles portant $+\sigma$ et $-\sigma$ : chacun crée $\sigma/2\varepsilon_0$ en s’en éloignant (en s’en rapprochant pour le plan négatif). Entre les plans, les deux champs s’ajoutent en $\sigma/\varepsilon_0$, dirigé du $+$ vers le $-$ ; à l’extérieur ils se compensent. Avec $\sigma = 1\,\text{µ}\mathrm{C}/\mathrm{m}^{2}$, $E =
10^{-6}/8.85 \times 10^{-12} = 1.1 \times 10^{5}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ entre les plans et zéro dehors : le champ d’un condensateur chargé est confiné à son intervalle ([Chapitre 27](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/27-potentiel-electrique-conducteurs-et-condensateurs#ch-b1-potential-capacitors)).

![Superposition pour deux nappes opposées. À gauche : les champs uniformes de chaque nappe seule (en rouge à partir de la positive, en bleu vers la négative). À droite : leur somme, / _0 dans l’intervalle et zéro ailleurs.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-electrostatics-gauss/fig-e08e6c7de0d7.svg)

*Superposition pour deux nappes opposées. À gauche : les champs uniformes de chaque nappe seule (en rouge à partir de la positive, en bleu vers la négative). À droite : leur somme, $\sigma/\varepsilon_0$ dans l’intervalle et zéro ailleurs.*

## 26.5 L’analogie gravitationnelle

**Proposition 26.14 (Théorème de Gauss pour la gravitation).**

La loi de Newton $\vect F = -Gm_1m_2\,\vect e_{12}/r^2$ a la forme de celle de Coulomb avec $q \to m$ et $1/4\pi\varepsilon_0 \to -G$. Le [champ de gravitation](#prop-b1-electrostatics-gauss-gravity) $\vect g$ (force par unité de masse) obéit donc aux mêmes règles de symétrie et à

$$
\Phi_{\text{sortant}}(\vect g) = -4\pi G\,M_{\text{int}} .
$$

En particulier, un corps à symétrie sphérique attire les points extérieurs comme si toute sa masse était en son centre, et le champ à l’intérieur d’une sphère uniforme de rayon $R$ et de masse $M$ vaut $g(r) = GMr/R^3$, linéaire en $r$.

**Démonstration.** On remplace $Q/\varepsilon_0$ par $-4\pi GM$ dans la démonstration de la [Proposition 26.12](#prop-b1-electrostatics-gauss-three) ; le signe moins dit que le [flux](#def-b1-electrostatics-gauss-flux) entre (la [gravitation](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/16-forces-centrales-planetes-et-satellites#def-b1-central-forces-gravitation) attire). ∎

**Exemple 26.15 (À l’intérieur de la Terre).**

Pour une Terre homogène, $g$ décroîtrait linéairement de $9.8\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ en surface jusqu’à zéro au centre ; une pierre lâchée dans un tunnel traversant la planète y oscillerait harmoniquement avec la période $2\pi\sqrt{R/g} =
84\,\mathrm{min}$ — la période d’un satellite rasant. La Terre réelle a un noyau dense, et $g$ *croît* en fait jusqu’à $10.7\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ à la frontière noyau–manteau avant de décroître ([Problème 26.1](#pb-b1-electrostatics-gauss-1)). Newton avait besoin du théorème des coquilles pour appliquer sa loi aux planètes ; le [théorème de Gauss](#thm-b1-electrostatics-gauss-gauss) le donne en une ligne.

## 26.6 Exercices

**Exercice 26.1 ★.**

Force électrique et force gravitationnelle entre deux protons distants de $2.0\,\mathrm{fm}$ ; leur rapport. Pourquoi, alors, les noyaux tiennent-ils ?

**Solution de Exercice 26.1.**

$F_e = 8.99 \times 10^9 \times (1.6 \times 10^{-19})^2/(2 \times 10^{-15})^2 = 58\,\mathrm{N}$ ; $F_g = 6.67 \times 10^{-11} \times (1.67 \times 10^{-27})^2/(4 \times 10^{-30}) =
4.6 \times 10^{-35}\,\mathrm{N}$ ; rapport $1.2 \times 10^{36}$. Les noyaux tiennent parce que l’interaction forte, à portée du femtomètre, l’emporte même sur cette répulsion.

**Exercice 26.2 ★.**

Champ à $1.0\,\mathrm{m}$ d’une charge ponctuelle de $1.0\,\text{µ}\mathrm{C}$. La surface de la Terre porte un champ de $100\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ dirigé vers le bas : signe et valeur de la charge de la Terre, assimilée à une sphère de rayon $6370\,\mathrm{km}$.

**Solution de Exercice 26.2.**

$E = 8.99 \times 10^9 \times 10^{-6}/1 = 9.0\,\mathrm{kV}/\mathrm{m}$. Un champ dirigé vers le bas est celui d’une charge négative : $Q = -4\pi\varepsilon_0R^2E = -1.11 \times 10^{-10} \times
(6.37 \times 10^6)^2 \times 100 = -4.5 \times 10^{5}\,\mathrm{C}$.

**Exercice 26.3 ★.**

Deux charges $+q$ en $x = \pm a$ sur l’axe $x$. Champ sur l’axe $x$ pour $|x| > a$ et sur l’axe $y$ ; montrer que, sur l’axe $y$, $E_y$ est maximal en $y = a/\sqrt2$. Esquisser les lignes près de l’origine.

**Solution de Exercice 26.3.**

Sur l’axe, pour $|x| > a$ : $E_x = \dfrac{q}{4\pi\varepsilon_0}\Bigl[\dfrac{1}{(x - a)^2} +
\dfrac{1}{(x + a)^2}\Bigr]$, dirigé vers l’extérieur. Sur l’axe $y$, les composantes selon $x$ se compensent : $E_y = \dfrac{2qy}{4\pi\varepsilon_0(y^2 + a^2)^{3/2}}$ ; $\dd E_y/\dd y \propto
(y^2 + a^2) - 3y^2 = 0$ en $y = a/\sqrt2$. À l’origine le champ s’annule ; les lignes qui quittent chaque charge vers l’autre s’écartent selon $\pm y$ — un col.

**Exercice 26.4 ★.**

Charges $+2q$ en $x = 0$ et $-q$ en $x = a$. En quel point de l’axe $x$ le champ s’annule-t-il ? Combien de [lignes de champ](#def-b1-electrostatics-gauss-field) partent de $+2q$ pour chacune qui arrive sur $-q$, et où vont les autres ?

**Solution de Exercice 26.4.**

Entre les charges, les deux champs pointent vers $-q$ : pas de zéro. À gauche de $+2q$, $2q/x^2 > q/(x + a)^2$ toujours. Au-delà de $-q$, à la distance $d$ de celle-ci : $2q/(a + d)^2 = q/d^2$, $a + d = \sqrt2\,d$, $d = a/(\sqrt2 - 1) = 2.4a$. Deux lignes quittent $+2q$ pour chacune qui aboutit sur $-q$ ; l’autre moitié part à l’infini, où le couple ressemble à une charge $+q$.

**Exercice 26.5 ★★.**

Un disque de rayon $R$ porte $\sigma$ uniformément. À partir du résultat de l’anneau, montrer que sur son axe $E_z = \dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0}\Bigl(1 - \dfrac{z}{\sqrt{z^2 +
R^2}}\Bigr)$ pour $z > 0$ ; vérifier les deux limites $z \ll R$ et $z \gg R$.

**Solution de Exercice 26.5.**

Anneau de rayon $a$ et de largeur $\dd a$ : $\dd q = 2\pi\sigma a\,\dd a$, $\dd E_z =
\dfrac{\sigma z}{2\varepsilon_0}\dfrac{a\,\dd a}{(a^2 + z^2)^{3/2}}$ ; on intègre : $\dfrac{\sigma z}{2\varepsilon_0}\Bigl[-\dfrac{1}{\sqrt{a^2 + z^2}}\Bigr]_0^R = \dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0}
\Bigl(1 - \dfrac{z}{\sqrt{z^2 + R^2}}\Bigr)$. Pour $z \ll R$ : $\sigma/2\varepsilon_0$, le plan infini. Pour $z \gg R$ : $z/\sqrt{z^2 + R^2} \approx 1 - R^2/2z^2$, donc $E_z
\approx \sigma R^2/4\varepsilon_0z^2 = Q/4\pi\varepsilon_0z^2$, la charge ponctuelle.

**Exercice 26.6 ★★.**

Un noyau d’or ($Z = 79$, $R = 7.0\,\mathrm{fm}$) assimilé à une sphère uniformément chargée : champ à sa surface, en $R/2$, à $1\,\mathrm{pm}$. Comparer au champ disruptif de l’air, $3 \times 10^{6}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$.

**Solution de Exercice 26.6.**

$Q = 79e = 1.26 \times 10^{-17}\,\mathrm{C}$ ; $E(R) = 8.99 \times 10^9 \times 1.26 \times 10^{-17}/
(7 \times 10^{-15})^2 = 2.3 \times 10^{21}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ ; en $R/2$, la moitié : $1.2 \times 10^{21}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ ; à $1\,\mathrm{pm}$ : $1.14 \times 10^{-7}/10^{-24} = 1.1 \times 10^{17}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ — $10^{15}$ fois le champ disruptif de l’air, à la distance où vivent les électrons.

**Exercice 26.7 ★★.**

Champ d’un fil infini par le [théorème de Gauss](#thm-b1-electrostatics-gauss-gauss). Pour un conducteur haute tension de rayon $1.0\,\mathrm{cm}$ : charge linéique pour laquelle le champ à sa surface atteint la valeur disruptive $3 \times 10^{6}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ (seuil de l’effet couronne). Champ à $5\,\mathrm{m}$ dans ce cas.

**Solution de Exercice 26.7.**

Cylindre de rayon $r$ et de hauteur $h$ : $2\pi rh\,E = \lambda h/\varepsilon_0$, $E =
\lambda/2\pi\varepsilon_0r$. Effet couronne lorsque $\lambda = 2\pi\varepsilon_0 rE = 2\pi \times 8.85 \times
10^{-12} \times 0.01 \times 3 \times 10^6 = 1.7\,\text{µ}\mathrm{C}/\mathrm{m}$ ; à $5\,\mathrm{m}$, $E = 3 \times 10^6 \times 0.01/5 = 6\,\mathrm{kV}/\mathrm{m}$.

**Exercice 26.8 ★★.**

Deux plaques parallèles d’aire $1.0\,\mathrm{m}^{2}$ portent $\pm1.0\,\text{µ}\mathrm{C}$. Champ entre elles ; force sur une plaque (le champ qui agit sur elle est celui de l’autre plaque seulement — pourquoi ?) ; pression sur les plaques.

**Solution de Exercice 26.8.**

$E = \sigma/\varepsilon_0 = 10^{-6}/8.85 \times 10^{-12} = 1.1 \times 10^{5}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$. Une plaque n’exerce aucune force résultante sur elle-même (les contributions de son propre champ se compensent deux à deux) ; à son emplacement, le champ de l’autre plaque vaut $\sigma/2\varepsilon_0$, donc $F = Q\sigma/2\varepsilon_0 = 10^{-6} \times 10^{-6}/(2 \times 8.85 \times 10^{-12}) =
5.6 \times 10^{-2}\,\mathrm{N}$, attractive ; pression $\sigma^2/2\varepsilon_0 = 0.056\,\mathrm{Pa}$.

**Exercice 26.9 ★★.**

Câble coaxial : âme de rayon $a$ portant $+\lambda$, [gaine](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/2-optique-geometrique-rayons-reflexion-refraction#def-b1-rays-reflection-refraction-fiber) extérieure de rayon $b$ portant $-\lambda$. Champ dans les trois régions par le [théorème de Gauss](#thm-b1-electrostatics-gauss-gauss). Pour $a = 0.5\,\mathrm{mm}$, $b = 2.5\,\mathrm{mm}$, $\lambda = 10\,\mathrm{nC}/\mathrm{m}$ : champ à la surface de l’âme.

**Solution de Exercice 26.9.**

Pour $r < a$ : la charge de l’âme est portée par sa surface, aucune charge à l’intérieur, $E = 0$. Pour $a < r < b$ : $E = \lambda/2\pi\varepsilon_0r$. Pour $r > b$ : la charge intérieure vaut $\lambda - \lambda = 0$, donc $E = 0$ — le câble ne rayonne aucun champ statique. En $r = a$ : $2 \times 8.99 \times 10^9 \times 10^{-8}/(5 \times 10^{-4}) =
3.6 \times 10^{5}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$.

**Exercice 26.10 ★★★.**

Une coquille sphérique épaisse $R_1 < r < R_2$ porte $Q$ uniformément dans son volume. Champ dans les trois régions ; vérifier la continuité en $R_1$ et $R_2$ ; où est-il maximal ? Esquisser $E(r)$. Une charge positive placée dans la cavité : quelle force subit-elle ?

**Solution de Exercice 26.10.**

$\rho = 3Q/4\pi(R_2^3 - R_1^3)$. Pour $r < R_1$ : $E = 0$. Pour $R_1 < r < R_2$ : $4\pi r^2E =
\rho\,\tfrac43\pi(r^3 - R_1^3)/\varepsilon_0$, donc $E = \dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0r^2}\,
\dfrac{r^3 - R_1^3}{R_2^3 - R_1^3}$. Pour $r > R_2$ : $Q/4\pi\varepsilon_0r^2$. En $R_1$ les deux expressions donnent $0$ ; en $R_2$, toutes deux donnent $Q/4\pi\varepsilon_0R_2^2$. Dans la coquille, $E
\propto r - R_1^3/r^2$ croît, de sorte que le maximum est en $R_2$, après quoi le champ décroît en $1/r^2$. Dans la cavité le champ est nul : une charge qui s’y trouve ne subit aucune force — où qu’elle soit.

**Exercice 26.11 ★★★.**

*La [gravitation](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/16-forces-centrales-planetes-et-satellites#def-b1-central-forces-gravitation) à l’intérieur de la Terre.* Noyau : rayon $3480\,\mathrm{km}$, masse volumique $11\,000\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ; manteau jusqu’à $6370\,\mathrm{km}$, masse volumique $4500\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$. (a) Masse du noyau, du manteau, totale (comparer à $5.97 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$). (b) $g$ à la surface et à la frontière noyau–manteau. (c) Montrer que $g$ croît avec la profondeur dans le manteau si la masse volumique du manteau est inférieure aux $\tfrac23$ de la masse volumique moyenne de ce qui est en dessous, et le vérifier.

**Solution de Exercice 26.11.**

(a) Noyau $\tfrac43\pi(3.48 \times 10^6)^3 \times 11000 = 1.94 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$ ; manteau $\tfrac43\pi[(6.37 \times 10^6)^3 - (3.48 \times 10^6)^3] \times 4500 = 4.08 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$ ; total $6.0 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$, à $1\%$ près. (b) Surface $GM/R^2 = 9.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ; frontière $6.67 \times 10^{-11} \times 1.94 \times 10^{24}/(3.48 \times 10^6)^2 =
10.7\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$. (c) $g = GM(r)/r^2$ avec $\dd M = 4\pi r^2\rho_m\,\dd r$ : $\dd g/\dd r = 4\pi G\rho_m - 2GM(r)/r^3 = 4\pi G[\rho_m - \tfrac23\bar\rho(r)]$, où $\bar\rho(r) = M(r)/\tfrac43\pi r^3$ est la masse volumique moyenne au-dessous de $r$. $g$ croît avec la profondeur ($\dd g/\dd r < 0$) si et seulement si $\rho_m < \tfrac23\bar\rho$. Juste sous la surface, $\bar\rho = 5500$ et $\tfrac23\bar\rho = 3700 < 4500$ : $g$ fléchit d’abord légèrement ; à la frontière du noyau, $\bar\rho = 11000$, $7300 >
4500$ : il croît alors, jusqu’à $10.7$.

**Exercice 26.12 ★★★.**

*L’atome de Thomson.* On modélise l’atome d’hydrogène par une sphère positive uniforme de charge $+e$ et de rayon $R = 0.10\,\mathrm{nm}$, l’électron étant libre à l’intérieur. (a) Force sur l’électron à la distance $r$ du centre. (b) Montrer qu’il oscille harmoniquement et calculer la fréquence ainsi que la [longueur d’onde](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/5-propagation-dun-signal-ondes-progressives-et-stationnaires#prop-b1-wave-propagation-sinusoidal) de la lumière qu’il émettrait. (c) Comparer aux raies ultraviolettes de l’hydrogène ($122\,\mathrm{nm}$ et au-dessous) et commenter ce que le modèle réussit et ce qu’il manque ([Chapitre 30](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/30-introduction-a-la-physique-quantique#ch-b1-quantum-introduction)).

**Solution de Exercice 26.12.**

(a) À l’intérieur, $E = er/4\pi\varepsilon_0R^3$ vers l’extérieur ; sur l’électron, $\vect F =
-\dfrac{e^2}{4\pi\varepsilon_0R^3}\,\vect r$ : un ressort. (b) $\omega = \sqrt{e^2/4\pi\varepsilon_0mR^3}
= \sqrt{2.31 \times 10^{-28}/(9.11 \times 10^{-31} \times 10^{-30})} = 1.6 \times 10^{16}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$, $f = 2.5 \times 10^{15}\,\mathrm{Hz}$, $\lambda = c/f = 120\,\mathrm{nm}$. (c) Étonnamment proche de la raie à $122\,\mathrm{nm}$ : la taille et l’intensité de l’atome sont justes. Mais le modèle ne donne qu’une fréquence, non une série, et le noyau n’est pas une bille de $0.1\,\mathrm{nm}$ mais un point de $10^{-15}$ m — sans compter qu’un électron classique en orbite rayonnerait toute son énergie en quelques nanosecondes. Le remède est au [Chapitre 30](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/30-introduction-a-la-physique-quantique#ch-b1-quantum-introduction).

## 26.7 Problème : la Terre électrique

**Problème 26.1.**

Problème du week-end — le champ de beau temps, le nuage d’orage, l’éclair, et le théorème de Gauss retourné sur la gravitation

Données : $\varepsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12}\,\mathrm{F}/\mathrm{m}$, $1/4\pi\varepsilon_0 = 8.99 \times 10^{9}\,\mathrm{SI}$, $e = 1.6 \times 10^{-19}\,\mathrm{C}$, rayon de la Terre $R_E = 6.37 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$, surface $5.1 \times 10^{14}\,\mathrm{m}^{2}$, $G = 6.67 \times 10^{-11}\,\mathrm{SI}$, $M_E = 5.97 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$.

**Partie I — Le champ de beau temps.** Par temps clair, le champ au sol vaut $E_0 = 100\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ et il est dirigé *vers le bas*.

1. Sens de la force sur un électron libre au sol ; signe de la charge de la Terre.
2. En assimilant la Terre à une sphère uniformément chargée : sa charge totale, par le [théorème de Gauss](#thm-b1-electrostatics-gauss-gauss) .
3. Densité surfacique de charge du sol ; nombre d’électrons en excès par centimètre carré.
4. Force sur un grain de poussière de masse $1\,\text{µ}\mathrm{g}$ portant $100$ [charges élémentaires](#def-b1-electrostatics-gauss-charge) ; comparer à son poids.
5. Les mesures montrent que le champ tombe à environ $5\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ à $10\,\mathrm{km}$ . Appliquer le [théorème de Gauss](#thm-b1-electrostatics-gauss-gauss) à une colonne verticale de section $1\,\mathrm{m}^{2}$ entre le sol et $10\,\mathrm{km}$ : signe et valeur de la charge que porte l’air par mètre carré.
6. Densité volumique moyenne de charge de cet air, et nombre correspondant de [charges élémentaires](#def-b1-electrostatics-gauss-charge) par mètre cube. (L’air contient environ $10^9$ ions de chaque signe par mètre cube : quelle fraction de déséquilibre cela représente-t-il ?)
7. L’air a une faible conductivité $\gamma = 2 \times 10^{-14}\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$ , de sorte qu’une densité de courant $\gamma E_0$ descend. Courant de beau temps total sur le globe ; durée qu’il faudrait pour neutraliser la charge de la Terre. Conclure.

**Partie II — Le nuage d’orage.** On modélise un nuage d’orage par deux disques horizontaux de rayon $R = 3\,\mathrm{km}$ : $-Q$ à l’altitude $3\,\mathrm{km}$, $+Q$ à $9\,\mathrm{km}$, avec $Q = 40\,\mathrm{C}$.

8. Champ sur l’axe d’un anneau de rayon $a$ portant $q$ , à la distance $z$ de son centre (symétries, puis sommation).
9. En sommant sur les anneaux, en déduire le champ sur l’axe d’un disque de rayon $R$ et de charge surfacique $\sigma$ : $E_z = \dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0}\Bigl(1 - \dfrac{z}{\sqrt{z^2 + R^2}}\Bigr)$ .
10. Limites $z \ll R$ et $z \gg R$ ; interpréter chacune.
11. Charge surfacique du disque inférieur ; champ qu’il crée au sol, juste au-dessous (sens et valeur).
12. Champ du disque supérieur au même point ; champ résultant au sol sous l’orage. Le sol est conducteur et les charges qu’il porte par influence doublent à peu près le résultat (admis) : comparer aux $10\,\mathrm{kV}/\mathrm{m}$ mesurés sous les orages et à la valeur de beau temps.
13. [Flux](#def-b1-electrostatics-gauss-flux) du champ à travers une surface fermée entourant tout le nuage ; puis à travers une surface n’entourant que le disque inférieur.
14. Champ à mi-distance des deux disques ( $6\,\mathrm{km}$ ), et son sens ; comparer au champ disruptif de l’air à cette altitude, environ $1.5 \times 10^{6}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ .
15. Si les $40\,\mathrm{C}$ étaient concentrés dans une sphère de rayon $500\,\mathrm{m}$ : champ à sa surface. Pourquoi l’amorçage de la foudre reste-t-il une question ouverte ?

**Partie III — L’arc en retour.** Un arc en retour amène $5\,\mathrm{C}$ au sol en $50\,\text{µ}\mathrm{s}$ par un canal long de $3\,\mathrm{km}$ ; on prendra le champ le long du canal égal à $10^5$ V/m.

16. Courant moyen.
17. Travail de la force électrique sur la charge transférée ; puissance pendant l’arc ; comparer à la consommation moyenne de l’humanité, environ $2 \times 10^{13}\,\mathrm{W}$ .
18. Le canal a un rayon de $2\,\mathrm{cm}$ : masse d’air qu’il contient ( $\rho = 1.2\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ), et température qu’elle atteindrait si toute l’énergie la chauffait à volume constant ( $c_V =  720\,\mathrm{J}/(\mathrm{kg}\,\mathrm{K})$ ). Les températures réelles du canal sont voisines de $30\,000\,\mathrm{K}$ : où part le reste ?
19. Le tonnerre : retard par kilomètre, et pourquoi le son d’un canal de $3\,\mathrm{km}$ gronde pendant des secondes.
20. Dans le monde, environ $50$ arcs nuage–sol se produisent chaque seconde : courant qu’ils font descendre ; comparer à la partie I et compléter le tableau du « circuit global ».

**Partie IV — Le [théorème de Gauss](#thm-b1-electrostatics-gauss-gauss) retourné sur la [gravitation](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/16-forces-centrales-planetes-et-satellites#def-b1-central-forces-gravitation).**

21. Écrire le [théorème de Gauss](#thm-b1-electrostatics-gauss-gauss) pour le [champ de gravitation](#prop-b1-electrostatics-gauss-gravity) $\vect g$ et justifier la constante par le cas d’une masse ponctuelle.
22. Terre homogène : $g(r)$ à l’intérieur ; valeur en $r = R_E/2$ .
23. Terre réelle, noyau de rayon $3480\,\mathrm{km}$ et de masse volumique $11\,000\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ : $g$ à la frontière noyau–manteau ; comparer à la surface.
24. Une pierre lâchée dans un tunnel sans frottement traversant une Terre homogène : équation du mouvement, période de l’oscillation, vitesse au centre.
25. Récapituler : dans chacune des quatre parties, qu’est-ce que le [théorème de Gauss](#thm-b1-electrostatics-gauss-gauss) a remplacé, et quels quatre nombres méritent d’être retenus ?

**Solution de Problème 26.1.**

**1.** $\vect F = -e\vect E$ : vers le haut. Un champ dirigé vers le bas en surface est celui d’une charge négative : la Terre est négative.

**2.** Sphère de rayon $R_E$, avec $E_n = -100$ : $Q = 4\pi\varepsilon_0R_E^2E_n =
1.11 \times 10^{-10} \times 4.06 \times 10^{13} \times (-100) = -4.5 \times 10^{5}\,\mathrm{C}$.

**3.** $\sigma = \varepsilon_0E_n = -8.9 \times 10^{-10}\,\mathrm{C}/\mathrm{m}^{2}$ ; $8.9 \times 10^{-10}/1.6 \times
10^{-19} = 5.5 \times 10^9$ électrons par mètre carré, soit $5.5 \times 10^5$ par centimètre carré.

**4.** $F = 100e \times 100 = 1.6 \times 10^{-15}\,\mathrm{N}$ ; poids $10^{-9} \times 9.8 =
9.8 \times 10^{-9}\,\mathrm{N}$ : six millions de fois plus grand.

**5.** Normales sortantes : en haut $E_n = -5$, en bas $E_n = +100$, nul sur les côtés : $\Phi = 95\,\mathrm{V}\,\mathrm{m}$, donc $Q = 95\varepsilon_0 = +8.4 \times 10^{-10}\,\mathrm{C}$ par mètre carré — une charge d’espace positive, qui compense presque le $-8.9 \times 10^{-10}$ du sol.

**6.** $\rho = 8.4 \times 10^{-10}/10^4 = 8.4 \times 10^{-14}\,\mathrm{C}/\mathrm{m}^{3}$ : $5 \times 10^5$ [charges élémentaires](#def-b1-electrostatics-gauss-charge) par mètre cube ; face à $10^9$ ions de chaque signe, un déséquilibre de $5 \times 10^{-4}$.

**7.** $J = \gamma E_0 = 2 \times 10^{-12}\,\mathrm{A}/\mathrm{m}^{2}$ ; $I = J \times 5.1 \times 10^{14} =
1.0\,\mathrm{kA}$ ; $Q/I = 4.5 \times 10^5/1000 = 450\,\mathrm{s}$. La Terre serait neutre en huit minutes : quelque chose la recharge en permanence.

**8.** L’axe appartient à tous les plans qui le contiennent, tous [plans de symétrie](#prop-b1-electrostatics-gauss-symmetry) : $\vect E$ est axial. Chaque $\dd q$ donne $\dd q/4\pi\varepsilon_0(a^2 + z^2)$ selon sa propre direction, dont la part axiale est la fraction $z/\sqrt{a^2 + z^2}$ : $E_z = qz/4\pi\varepsilon_0(a^2 + z^2)^{3/2}$.

**9.** $\dd q = 2\pi\sigma a\,\dd a$ : $E_z = \dfrac{\sigma z}{2\varepsilon_0}\displaystyle\int_0^R
\dfrac{a\,\dd a}{(a^2 + z^2)^{3/2}} = \dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0}\Bigl(1 - \dfrac{z}{\sqrt{z^2
+ R^2}}\Bigr)$.

**10.** $z \ll R$ : $\sigma/2\varepsilon_0$, le plan infini (la valeur de Gauss) ; $z \gg R$ : $\sigma R^2/4\varepsilon_0z^2 = Q/4\pi\varepsilon_0z^2$, la charge ponctuelle.

**11.** $\sigma = -40/(\pi \times 9 \times 10^6) = -1.4 \times 10^{-6}\,\mathrm{C}/\mathrm{m}^{2}$ ; $\sigma/2\varepsilon_0 =
8.0 \times 10^{4}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ ; en $z = 3\,\mathrm{km}$, $1 - 3/\sqrt{18} = 0.29$ : $E =
2.3 \times 10^{4}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$, dirigé *vers le haut*, vers la charge négative.

**12.** Disque supérieur, $z = 9\,\mathrm{km}$ : $8.0 \times 10^4 \times (1 - 9/\sqrt{90}) =
4.1 \times 10^{3}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ vers le bas. Résultante $1.9 \times 10^{4}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ vers le haut, environ $4 \times 10^4$ avec les charges induites du sol : le bon [ordre de grandeur](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/1-unites-dimensions-et-mesure#def-b1-units-dimensions-oom) des $10\,\mathrm{kV}/\mathrm{m}$ mesurés (la charge réelle est plus étalée et en partie écrantée) ; inversé et cent fois plus grand que le champ de beau temps.

**13.** Tout le nuage : charge totale nulle, [flux](#def-b1-electrostatics-gauss-flux) nul. Disque inférieur seul : $-Q/\varepsilon_0 = -40/8.85 \times 10^{-12} = -4.5 \times 10^{12}\,\mathrm{V}\,\mathrm{m}$.

**14.** Chaque disque est à $3\,\mathrm{km}$ et donne $2.3 \times 10^4$ ; le supérieur ($+$) pousse vers le bas, l’inférieur ($-$) tire vers le bas : $4.7 \times 10^{4}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ vers le bas — trente fois sous le seuil disruptif.

**15.** $Q/4\pi\varepsilon_0R^2 = 8.99 \times 10^9 \times 40/(2.5 \times 10^5) =
1.4 \times 10^{6}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ : seule une charge tassée dans un demi-kilomètre atteint le seuil disruptif, et les champs mesurés dans les nuages sont dix fois trop faibles. Le renforcement local sur les gouttes et la glace, ou des électrons emballés initiés par les rayons cosmiques, sont les candidats — la façon dont un éclair s’amorce reste discutée.

**16.** $I = 5/(5 \times 10^{-5}) = 1 \times 10^{5}\,\mathrm{A}$.

**17.** $W = QEd = 5 \times 10^5 \times 3000 = 1.5 \times 10^{9}\,\mathrm{J}$ ($420\,\mathrm{kW}\mathrm{h}$) ; $P = 1.5 \times 10^9/5 \times 10^{-5} = 3 \times 10^{13}\,\mathrm{W}$ — une fois et demie la puissance de toute l’humanité, pendant cinquante microsecondes.

**18.** Volume $\pi(0.02)^2 \times 3000 = 3.8\,\mathrm{m}^{3}$, masse $4.5\,\mathrm{kg}$ ; $\Delta T = 1.5 \times 10^9/(4.5 \times 720) = 4.6 \times 10^{5}\,\mathrm{K}$ si rien ne s’échappait. Le canal explose vers l’extérieur (l’onde de choc est le tonnerre), rayonne de la lumière et des ondes radio, ionise et dissocie l’air : porter le canal final à $3 \times 10^4$ K n’est qu’une petite part de la facture.

**19.** $2.9\,\mathrm{s}$ par kilomètre. Le son quitte tous les points d’un canal de $3\,\mathrm{km}$ en même temps, depuis des distances qui diffèrent de kilomètres : il arrive étalé sur plusieurs secondes — c’est le grondement.

**20.** $50 \times 5 = 250\,\mathrm{A}$ amenés au sol ; avec les courants d’orage plus discrets (effluves sous les nuages, pluie chargée), le total atteint le kiloampère de la partie I : les orages sont les générateurs d’un circuit global dont l’air de beau temps est le chemin de retour.

**21.** $\Phi_{\text{sortant}}(\vect g) = -4\pi GM_{\text{int}}$ : pour une masse ponctuelle, $g = -GM/r^2$ sur une sphère d’aire $4\pi r^2$, d’où un [flux](#def-b1-electrostatics-gauss-flux) $-4\pi GM$, indépendant de $r$ ; le reste suit comme pour Coulomb.

**22.** $g(r) = g_0r/R_E$ ; en $R_E/2$ : $4.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$.

**23.** $M_{\text{noyau}} = 1.94 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$, $g = GM_{\text{noyau}}/R_c^2 =
10.7\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ — plus grand qu’en surface : le manteau qui le recouvre est plus léger que la moyenne de ce qui se trouve au-dessous.

**24.** $m\ddot x = -mg_0x/R_E$ : $\omega = \sqrt{g_0/R_E} = 1.24 \times 10^{-3}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$, $T = 2\pi/\omega = 5060\,\mathrm{s} = 84\,\mathrm{min}$, $v_{\max} = \omega R_E =
7.9\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ — la [vitesse orbitale](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/16-forces-centrales-planetes-et-satellites#thm-b1-central-forces-circular) d’un satellite rasant, dont la période est la même.

**25.** Il a remplacé la somme sur toutes les charges de la Terre (I), sur les ions de l’air (I) et sur chaque coquille de roche (IV) — et, dans la partie II, il a fixé les bornes de la somme sur les anneaux. À retenir : $-5 \times 10^{5}\,\mathrm{C}$ et $1\,\mathrm{kA}$ pour la Terre de beau temps ; $40\,\mathrm{C}$ et $10^{4}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ sous un orage ; $10^{5}\,\mathrm{A}$ et $10^{9}\,\mathrm{J}$ par arc ; $10.7\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ à la frontière du noyau.