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title: "Magnétostatique : champ, forces et dipôles"
book: "Physique universitaire — 1re année"
subject: physics
language: fr
chapter: 28
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/28-magnetostatique-champ-forces-et-dipoles
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# Chapitre 28 — Magnétostatique : champ, forces et dipôles

Une aiguille de boussole tourne lorsqu’un fil voisin est parcouru par un courant : cette observation d’Ørsted, en 1820, a réuni deux sciences qui avaient grandi séparément, l’électricité et le magnétisme, et en quelques mois Ampère tenait la loi de la force entre courants, Biot et Savart le champ d’un fil. Ce chapitre est la statique du [champ magnétique](#def-b1-magnetostatics-field) : ce que créent les courants (cartes de champ, [loi de Biot et Savart](#thm-b1-magnetostatics-biotsavart), et [théorème d’Ampère](#thm-b1-magnetostatics-ampere), le jumeau magnétique du [théorème de Gauss](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/26-electrostatique-champ-et-theoreme-de-gauss#thm-b1-electrostatics-gauss-gauss)), ce que le champ fait aux courants (la [force de Laplace](#thm-b1-magnetostatics-laplace), qui fait tourner tous les moteurs et dévier tous les appareils de mesure), et le [dipôle magnétique](#def-b1-magnetostatics-moment), cette spire de courant qui explique la boussole, l’aimant et le champ de la Terre elle-même.

![Le plus ancien instrument du magnétisme : une aiguille de boussole est un petit dipôle magnétique qui s’aligne sur le champ terrestre.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-magnetostatics/img-c52946ef6b63.jpg)

*Le plus ancien instrument du magnétisme : une aiguille de boussole est un petit [dipôle magnétique](#def-b1-magnetostatics-moment) qui s’aligne sur le champ terrestre.*

![L’expérience d’Ørsted : on ferme le circuit et l’aiguille tourne — un courant crée un champ magnétique, qui s’enroule autour du fil.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-magnetostatics/img-2e2eacba0aff.jpg)

*L’expérience d’Ørsted : on ferme le circuit et l’aiguille tourne — un courant crée un [champ magnétique](#def-b1-magnetostatics-field), qui s’enroule autour du fil.*

## 28.1 Sources et cartes de champ

**Définition 28.1 (Champ magnétostatique).**

Des courants permanents (des charges en mouvement permanent) créent en tout point un *champ magnétique* $\vect B$ (le tesla, $\mathrm{T}$), défini par la force $q\vect v\wedge\vect B$ qu’il exerce sur une charge d’épreuve en mouvement ([Définition 17.1](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/17-particules-chargees-dans-les-champs-e-et-b#def-b1-charged-particles-lorentz)). Ses *[lignes de champ](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/26-electrostatique-champ-et-theoreme-de-gauss#def-b1-electrostatics-gauss-field)* sont tangentes à $\vect B$ et orientées dans son sens. Les aimants permanents créent des champs de même nature, à partir des courants microscopiques de leurs atomes. [Ordres de grandeur](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/1-unites-dimensions-et-mesure#def-b1-units-dimensions-oom) : Terre $5 \times 10^{-5}\,\mathrm{T}$ ; aimant de [réfrigérateur](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/24-moteurs-et-machines-thermiques#def-b1-heat-engines-machine) $0.01\,\mathrm{T}$ ; imageur à résonance magnétique $1.5\,\mathrm{T}$ à $3\,\mathrm{T}$ ; les plus grands champs permanents de laboratoire, $45\,\mathrm{T}$.

**Proposition 28.2 (Cartes de champ).**

1. Un fil rectiligne : des cercles centrés sur le fil, dans des plans qui lui sont perpendiculaires, orientés par la *règle de la main droite* (pouce dans le sens du courant, doigts dans le sens de $\vect B$ ).
2. Une spire circulaire : des lignes qui la traversent selon son axe et se referment au-dehors ; de loin, la carte d’un petit aimant.
3. Un long solénoïde : des lignes parallèles, denses et uniformes à l’intérieur ; presque aucun champ au-dehors ; la carte d’un aimant droit, dont la face « nord » est celle par où les lignes sortent.
4. Les lignes de [champ magnétique](#def-b1-magnetostatics-field) n’ont ni début ni fin : elles se referment sur elles-mêmes ou partent à l’infini. De façon équivalente, le *flux de $\vect B$ à travers toute surface fermée est nul* — il n’existe pas de charges magnétiques.

**Démonstration.** *Admis à ce niveau.* ∎

![Trois cartes de champ. Un point est un courant qui vient vers le lecteur, une croix un courant qui s’en éloigne. Les lignes d’un fil sont des cercles ; celles d’une spire la traversent et se referment au-dehors ; celles d’un long solénoïde sont droites et uniformes à l’intérieur et se referment au loin, là où le champ est faible — dans tous les cas, elles n’ont ni source ni puits.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-magnetostatics/fig-80e7f5517ac4.svg)

*Trois cartes de champ. Un point est un courant qui vient vers le lecteur, une croix un courant qui s’en éloigne. Les lignes d’un fil sont des cercles ; celles d’une spire la traversent et se referment au-dehors ; celles d’un long solénoïde sont droites et uniformes à l’intérieur et se referment au loin, là où le champ est faible — dans tous les cas, elles n’ont ni source ni puits.*

**Proposition 28.3 (Symétries de B→\vect BB).**

$\vect B$ se comporte par réflexion dans un miroir *à l’inverse* de $\vect E$ (c’est un *pseudo-vecteur*, construit sur un produit vectoriel) : en un point d’un plan de *symétrie* des courants, $\vect B$ est *perpendiculaire* au plan ; en un point d’un plan d’*antisymétrie* (l’image miroir renverse les courants), $\vect B$ est *contenu* dans le plan. Les invariances se transmettent comme pour $\vect E$.

**Démonstration.** Le champ d’un élément de courant est $\propto I\,\dd\vect l\wedge\vect e_r$ (voir plus bas) ; un miroir renverse l’un des facteurs d’un produit vectoriel par rapport à l’image d’un vrai vecteur, de sorte que l’image de $\vect B$ est l’opposée de l’image miroir de la flèche. Sur un [plan de symétrie](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/26-electrostatique-champ-et-theoreme-de-gauss#prop-b1-electrostatics-gauss-symmetry), $\vect B$ doit être égal à l’opposé de sa propre image miroir, donc normal au plan ; sur un [plan d’antisymétrie](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/26-electrostatique-champ-et-theoreme-de-gauss#prop-b1-electrostatics-gauss-symmetry), à l’opposé de l’opposé : il est dans le plan. ∎

**Exemple 28.4 (Se servir des symétries).**

Pour un fil rectiligne, tout plan contenant le fil est un [plan de symétrie](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/26-electrostatique-champ-et-theoreme-de-gauss#prop-b1-electrostatics-gauss-symmetry) ; donc en tout point $\vect B$ est perpendiculaire au plan passant par le fil et le point : il est orthoradial, $\vect B = B(r)\,\vect e_\theta$ par invariance le long du fil et autour de lui. Pour une spire, le plan de la spire est un [plan de symétrie](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/26-electrostatique-champ-et-theoreme-de-gauss#prop-b1-electrostatics-gauss-symmetry) : dessus, $\vect B$ est normal à la spire ; l’axe appartient à tout [plan d’antisymétrie](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/26-electrostatique-champ-et-theoreme-de-gauss#prop-b1-electrostatics-gauss-symmetry) qui le contient : sur l’axe, $\vect B$ est porté par l’axe.

## 28.2 La loi de Biot et Savart

**Théorème 28.5 (Biot et Savart).**

Un circuit parcouru par le courant $I$ crée en $M$ le champ

$$
\vect B(M) = \frac{\mu_0}{4\pi}\sum_{\text{circuit}} \frac{I\,\dd\vect l\wedge\vect e_{PM}}{PM^2} ,
$$

somme sur les éléments $\dd\vect l$ du circuit, situés aux points $P$ et orientés dans le sens du courant, où $\vect e_{PM}$ est le vecteur unitaire de $P$ vers $M$ et $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}\,\mathrm{T}\,\mathrm{m}/\mathrm{A}$ la *[perméabilité du vide](#thm-b1-magnetostatics-biotsavart)*. Chaque élément apporte un champ perpendiculaire à lui-même et à la droite $PM$, décroissant en $1/PM^2$.

**Démonstration.** *Admis à ce niveau.* ∎

**Proposition 28.6 (Fil, spire, solénoïde).**

1. Fil rectiligne infini, à la distance $r$ : $B = \dfrac{\mu_0I}{2\pi r}$ .
2. Spire circulaire de rayon $R$ , sur son axe à la distance $z$ du centre : $B_z = \dfrac{\mu_0IR^2}{2(R^2 + z^2)^{3/2}} = \dfrac{\mu_0I}{2R}  \sin^3\alpha$ , où $\alpha$ est le demi-angle sous lequel la spire est vue de $M$ ; au centre, $B = \mu_0I/2R$ .
3. Solénoïde de $n$ spires par mètre, sur son axe : $B = \tfrac12\mu_0nI  (\cos\alpha_1 - \cos\alpha_2)$ , où $\alpha_1, \alpha_2$ sont les angles sous lesquels on voit les deux extrémités ; pour un solénoïde long, $B = \mu_0nI$ à l’intérieur, la moitié à une extrémité.

**Démonstration.** (1) $M$ à la distance $r$ du fil, $P$ d’abscisse $z$ sur celui-ci : $\dd\vect l\wedge\vect e_{PM}$ a pour norme $\dd z\,\sin\beta = \dd z\cdot r/PM$ avec $PM = \sqrt{r^2 + z^2}$, et toutes les contributions sont orthoradiales : $B = \dfrac{\mu_0I}{4\pi}\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\dfrac{r\,\dd z}{(r^2 + z^2)^{3/2}}
= \dfrac{\mu_0I}{4\pi}\,\dfrac{2}{r}$. (2) Chaque élément de la spire est à la même distance $\sqrt{R^2 + z^2}$ de $M$, perpendiculairement à $\vect e_{PM}$ ; son champ a pour norme $\mu_0I\,\dd l/4\pi(R^2 + z^2)$, et seule la composante axiale, la fraction $R/\sqrt{R^2 + z^2}$ de celle-ci, survit à la somme sur la spire : $B_z = \mu_0I\cdot2\pi R\cdot R/4\pi(R^2 +
z^2)^{3/2}$. (3) Une tranche $\dd z'$ de solénoïde est une spire de courant $nI\,\dd z'$ ; avec $z' - z = R/\tan\alpha$, $\dd z' = -R\,\dd\alpha/\sin^2\alpha$, et $B = \dfrac{\mu_0nI}{2}\displaystyle\int\sin^3\alpha\,\dfrac{\dd\alpha}{\sin^2\alpha}$ sur tout le solénoïde $= \tfrac12\mu_0nI(\cos\alpha_1 - \cos\alpha_2)$ ; infiniment long, $\alpha_1 \to 0$, $\alpha_2 \to \pi$. ∎

![Les trois calculs de Biot et Savart du chapitre : l’élément l d’un fil et sa contribution en M, perpendiculaire au plan de la figure ; la spire vue de M sous le demi-angle ; le solénoïde, dont les extrémités sont vues sous _1 et _2.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-magnetostatics/fig-5d3dd33f6df0.svg)

*Les trois calculs de Biot et Savart du chapitre : l’élément $\dd\vect l$ d’un fil et sa contribution en $M$, perpendiculaire au plan de la figure ; la spire vue de $M$ sous le demi-angle $\alpha$ ; le solénoïde, dont les extrémités sont vues sous $\alpha_1$ et $\alpha_2$.*

**Exemple 28.7 (Ordres de grandeur).**

Un fil de $10\,\mathrm{A}$ à $1\,\mathrm{cm}$ : $B = 2 \times 10^{-7} \times 10/0.01 =
2 \times 10^{-4}\,\mathrm{T}$, quatre fois le champ terrestre — la boussole tourne bel et bien. Une bobine de $100$ spires, de rayon $5\,\mathrm{cm}$, sous $2\,\mathrm{A}$ : $\mu_0NI/2R =
2.5\,\mathrm{mT}$ en son centre. Un solénoïde de $1000$ spires par mètre sous $5\,\mathrm{A}$ : $6.3\,\mathrm{mT}$ ; avec un noyau de fer de perméabilité relative $1000$, on obtiendrait plusieurs [teslas](#def-b1-magnetostatics-field) si le fer ne saturait pas vers $2\,\mathrm{T}$ — le plafond de tout électroaimant, et la raison pour laquelle les champs les plus intenses viennent de bobines supraconductrices sans fer.

## 28.3 Le théorème d’Ampère

**Théorème 28.8 (Ampère).**

La circulation de $\vect B$ le long de toute courbe fermée orientée $\Gamma$ vaut $\mu_0$ fois le courant total qui traverse une surface quelconque s’appuyant sur $\Gamma$, compté positivement lorsqu’il la traverse dans le sens donné par la règle de la main droite à partir de l’orientation de $\Gamma$ :

$$
\oint_\Gamma \vect B\cdot\dd\vect l = \mu_0 I_{\text{enlacé}} .
$$

**Démonstration.** Pour un cercle de rayon $r$ centré sur un fil rectiligne, $\vect B$ est tangent et de norme $\mu_0I/2\pi r$ partout, de sorte que la circulation vaut $2\pi r \times \mu_0I/2\pi r = \mu_0I$, indépendante de $r$ ; pour une courbe qui n’entoure pas le fil, les contributions se compensent. Le cas général est admis (volume de deuxième année). ∎

**Méthode 28.9 (Utiliser le théorème d’Ampère).**

Comme pour Gauss : (1) les symétries donnent la direction de $\vect B$ et la variable dont il dépend ; (2) choisir un *contour d’Ampère* passant par $M$, sur lequel $\vect B$ est soit tangent et de norme constante, soit perpendiculaire ; (3) compter le courant qui le traverse ; (4) résoudre. Cela fonctionne pour les fils et cylindres infinis, les solénoïdes infinis et les tores, ainsi que pour les nappes de courant infinies.

**Proposition 28.10 (Cylindre, solénoïde, tore).**

1. Un fil cylindrique de rayon $a$ parcouru uniformément par $I$ : $B = \dfrac{\mu_0Ir}{2\pi a^2}$ à l’intérieur, $\dfrac{\mu_0I}{2\pi r}$ à l’extérieur — le maximum est à la surface.
2. Un solénoïde infini de $n$ spires par mètre : $\vect B = \mu_0nI\,  \vect e_z$ uniforme à l’intérieur, $\vect 0$ à l’extérieur, quelle que soit la forme de sa section.
3. Un tore de $N$ spires : $B = \dfrac{\mu_0NI}{2\pi r}$ à l’intérieur des enroulements, nul au-dehors — un solénoïde refermé sur lui-même, sans champ de fuite.

**Démonstration.** (1) Cercle de rayon $r$ : $2\pi rB = \mu_0I(r/a)^2$ ou $\mu_0I$. (2) $\vect B$ est axial par symétrie et, en appliquant Ampère à un rectangle dont les deux grands côtés sont à l’extérieur, uniforme au-dehors, donc nul (il s’annule à l’infini) ; un rectangle dont un grand côté, de longueur $\ell$, est à l’intérieur donne $B\ell =
\mu_0n\ell I$. (3) Cercle de rayon $r$ à l’intérieur du tore : $2\pi rB =
\mu_0NI$ ; au-dehors, le courant enlacé est nul. ∎

![À gauche : le champ d’un fil épais, linéaire à l’intérieur et en 1/r à l’extérieur, maximal à la surface. À droite : le rectangle d’Ampère qui donne le champ d’un solénoïde infini — seul le côté intérieur contribue à la circulation.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-magnetostatics/fig-e2715cf1005d.svg)

![À gauche : le champ d’un fil épais, linéaire à l’intérieur et en 1/r à l’extérieur, maximal à la surface. À droite : le rectangle d’Ampère qui donne le champ d’un solénoïde infini — seul le côté intérieur contribue à la circulation.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-magnetostatics/fig-19b3f2d32e33.svg)

*À gauche : le champ d’un fil épais, linéaire à l’intérieur et en $1/r$ à l’extérieur, maximal à la surface. À droite : le rectangle d’Ampère qui donne le [champ d’un solénoïde](#prop-b1-magnetostatics-three) infini — seul le côté intérieur contribue à la circulation.*

## 28.4 La force de Laplace

**Théorème 28.11 (Force de Laplace).**

Un élément de conducteur $\dd\vect l$ parcouru par $I$ dans un champ $\vect B$ reçoit la force $\dd\vect F = I\,\dd\vect l\wedge\vect B$ ; un segment rectiligne $\vect L$ dans un champ uniforme reçoit $\vect F = I\vect L\wedge\vect B$, de norme $ILB\sin\theta$, perpendiculaire à la fois au fil et au champ.

**Démonstration.** Les porteurs de charge de $\dd\vect l$ (au nombre de $n\,S\,\dd l$, de charge $q$, de vitesse de dérive $\vect v$) subissent chacun $q\vect v\wedge\vect B$ ; leur somme vaut $nSq\,\dd l\,\vect v\wedge\vect B = I\,\dd\vect l\wedge\vect B$ puisque $I = nqvS$ et que $\vect v$ est porté par $\dd\vect l$. Les porteurs transmettent la force au réseau du fil par leurs chocs. ∎

**Proposition 28.12 (Force entre deux fils parallèles).**

Deux longs fils parallèles distants de $d$, parcourus par $I_1$ et $I_2$, s’attirent si les courants sont de même sens, se repoussent s’ils sont opposés, avec la force par unité de longueur

$$
\frac{F}{\ell} = \frac{\mu_0I_1I_2}{2\pi d} .
$$

Deux fils distants de $1\,\mathrm{m}$ parcourus par $1\,\mathrm{A}$ subissent $2 \times 10^{-7}$ N par mètre — la définition de l’[ampère](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/6-circuits-en-courant-continu-lois-de-kirchhoff-et-theoremes#def-b1-dc-circuits-current) de 1948 à 2019, et l’origine de la valeur $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}$.

**Démonstration.** Le fil 1 crée $\mu_0I_1/2\pi d$ au niveau du fil 2, perpendiculairement à celui-ci ; la [force de Laplace](#thm-b1-magnetostatics-laplace) sur une longueur $\ell$ du fil 2 vaut $I_2\ell \times \mu_0I_1/2\pi d$, dirigée vers le fil 1 lorsque les courants sont de même sens (à vérifier avec la règle de la main droite). ∎

![La force de Laplace : entre fils parallèles (à gauche et au milieu) et sur une barre glissante parcourue par un courant dans un champ (à droite) — les rails de Laplace, dont le bilan énergétique fait l’objet du .](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-magnetostatics/fig-10bd7c7fd55d.svg)

*La [force de Laplace](#thm-b1-magnetostatics-laplace) : entre fils parallèles (à gauche et au milieu) et sur une barre glissante parcourue par un courant dans un champ (à droite) — les rails de Laplace, dont le bilan énergétique fait l’objet du [Chapitre 29](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/29-induction-electromagnetique-et-applications#ch-b1-induction).*

## 28.5 Le dipôle magnétique

**Définition 28.13 (Moment magnétique).**

Une spire plane d’aire $S$ parcourue par $I$, orientée par la règle de la main droite (la normale $\vect n$ selon le pouce quand les doigts suivent $I$), a pour *moment magnétique* $\vect m = IS\,\vect n$ ($\mathrm{A}\,\mathrm{m}^{2}$) ; pour $N$ spires, $NIS\,\vect n$. Vue des distances $r \gg \sqrt S$, la spire est un *dipôle magnétique* : son champ a exactement la forme de celui du [dipôle électrique](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/27-potentiel-electrique-conducteurs-et-condensateurs#def-b1-potential-capacitors-dipole), avec $\vect p/\varepsilon_0 \to \mu_0\vect m$ :

$$
B_r = \frac{\mu_0}{4\pi}\,\frac{2m\cos\theta}{r^3}, \qquad
B_\theta = \frac{\mu_0}{4\pi}\,\frac{m\sin\theta}{r^3} .
$$

Un aimant droit, un atome, la Terre sont des dipôles magnétiques : le moment de la Terre vaut $8 \times 10^{22}\,\mathrm{A}\,\mathrm{m}^{2}$, celui d’un électron $9.3 \times 10^{-24}\,\mathrm{A}\,\mathrm{m}^{2}$ (le magnéton de Bohr).

**Démonstration.** Sur l’axe, le champ de la spire $\mu_0IR^2/2z^3$ pour $z \gg R$ vaut $\mu_0 \cdot 2m/4\pi z^3$ avec $m = I\pi R^2$, ce qui coïncide avec $B_r$ en $\theta = 0$ ; la forme angulaire complète est admise. ∎

**Théorème 28.14 (Dipôle dans un champ).**

Un [moment magnétique](#def-b1-magnetostatics-moment) $\vect m$ placé dans un champ uniforme $\vect B$ ne subit aucune force résultante, mais un couple $\vect\Gamma = \vect m\wedge\vect B$ qui l’aligne sur le champ, et il a l’[énergie potentielle](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/13-travail-energie-et-energie-potentielle#def-b1-work-and-energy-conservative) $E_p = -\vect m\cdot\vect B$. Dans un champ non uniforme, il est attiré vers la région de champ intense lorsqu’il est aligné (et repoussé lorsqu’il est anti-aligné).

**Démonstration.** Pour une spire rectangulaire $a \times b$ dont la normale $\vect n$ fait l’angle $\theta$ avec $\vect B$ : les [forces de Laplace](#thm-b1-magnetostatics-laplace) sur les deux côtés de longueur $b$ parallèles à l’axe de rotation valent $\pm IbB$, opposées et distantes de $a\sin\theta$ : un couple de moment $IabB\sin\theta = mB\sin\theta$, qui tend à diminuer $\theta$ ; les forces sur les deux autres côtés sont opposées et colinéaires. Énergie : $\Gamma = -\dd E_p/\dd\theta$ avec $\Gamma = -mB\sin\theta$ donne $E_p = -mB\cos\theta$. Toute spire plane est une somme de petits rectangles ; le cas non uniforme est admis. ∎

![À gauche : une spire de courant dans un champ uniforme, vue selon son axe de rotation — les forces de Laplace sur les deux côtés forment un couple qui aligne le moment sur le champ. À droite : les lignes de champ d’un aimant droit sont celles d’un dipôle magnétique, de forme identique à celles du dipôle électrique, sortant par la face nord et revenant par la face sud.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-magnetostatics/fig-4e19158979ac.svg)

*À gauche : une spire de courant dans un champ uniforme, vue selon son axe de rotation — les [forces de Laplace](#thm-b1-magnetostatics-laplace) sur les deux côtés forment un couple qui aligne le moment sur le champ. À droite : les [lignes de champ](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/26-electrostatique-champ-et-theoreme-de-gauss#def-b1-electrostatics-gauss-field) d’un aimant droit sont celles d’un [dipôle magnétique](#def-b1-magnetostatics-moment), de forme identique à celles du [dipôle électrique](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/27-potentiel-electrique-conducteurs-et-condensateurs#def-b1-potential-capacitors-dipole), sortant par la face nord et revenant par la face sud.*

**Exemple 28.15 (La boussole et la Terre).**

Une aiguille de boussole est un petit aimant, de moment $m \sim 0.1\,\mathrm{A}\,\mathrm{m}^{2}$ ; dans la composante horizontale du champ terrestre, $B_h \approx 2 \times 10^{-5}\,\mathrm{T}$, le couple $mB_h\sin\theta$ la tourne vers le nord, et elle oscille autour du nord avec la période $2\pi\sqrt{J/mB_h} \sim 1\,\mathrm{s}$ ([Exercice 28.9](#exo-b1-magnetostatics-9)). Le dipôle propre de la Terre, $8 \times 10^{22}\,\mathrm{A}\,\mathrm{m}^{2}$, équivaut à un courant de quelques milliards d’[ampères](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/6-circuits-en-courant-continu-lois-de-kirchhoff-et-theoremes#def-b1-dc-circuits-current) circulant dans le noyau de fer liquide ; le champ qu’il produit à la surface est le plus faible du chapitre et le premier dont on se soit servi.

## 28.6 Exercices

**Exercice 28.1 ★.**

Champ à $1.0\,\mathrm{cm}$ d’un fil rectiligne parcouru par $10\,\mathrm{A}$ ; courant nécessaire pour atteindre $1\,\mathrm{T}$ à cette distance ; distance à laquelle le champ d’un fil de $100\,\mathrm{A}$ égale les $5 \times 10^{-5}\,\mathrm{T}$ terrestres.

**Solution de Exercice 28.1.**

$B = \mu_0I/2\pi r = 2 \times 10^{-7} \times 10/0.01 = 2 \times 10^{-4}\,\mathrm{T}$. Pour $1\,\mathrm{T}$ : $I = 2\pi rB/\mu_0 = 5 \times 10^{4}\,\mathrm{A}$. La valeur terrestre est atteinte en $r = 2 \times 10^{-7} \times
100/5 \times 10^{-5} = 0.4\,\mathrm{m}$.

**Exercice 28.2 ★.**

Champ au centre d’une bobine de $100$ spires, de rayon $5.0\,\mathrm{cm}$, parcourue par $2.0\,\mathrm{A}$ ; sur son axe à $5.0\,\mathrm{cm}$ puis à $50\,\mathrm{cm}$ du centre.

**Solution de Exercice 28.2.**

Centre : $\mu_0NI/2R = 4\pi \times 10^{-7} \times 200/0.1 = 2.5\,\mathrm{mT}$. En $z = R$ : $\times(R^2/2R^2)^{3/2} = 2^{-3/2}$, soit $0.89\,\mathrm{mT}$. En $z = 10R$ : $\times(1/101)^{3/2}
= 10^{-3}$, soit $2.5\,\text{µ}\mathrm{T}$, déjà la loi dipolaire en $1/z^3$.

**Exercice 28.3 ★.**

Un solénoïde de $1000$ spires par mètre est parcouru par $5.0\,\mathrm{A}$ : champ à l’intérieur, loin des extrémités ; puis tout au bout. Nombre de spires de fil de $0.5\,\mathrm{mm}$ que l’on peut bobiner par mètre en une seule couche, et champ obtenu alors sous $5\,\mathrm{A}$.

**Solution de Exercice 28.3.**

$B = \mu_0nI = 4\pi \times 10^{-7} \times 1000 \times 5 = 6.3\,\mathrm{mT}$ ; au bout, la moitié : $3.1\,\mathrm{mT}$. Avec du fil de $0.5\,\mathrm{mm}$ : $2000$ spires par mètre, donc $12.6\,\mathrm{mT}$ sous $5\,\mathrm{A}$.

**Exercice 28.4 ★.**

Force sur un fil de $1.0\,\mathrm{m}$ parcouru par $10\,\mathrm{A}$ perpendiculairement à un champ de $0.10\,\mathrm{T}$ ; sur le même fil à $30{}^{\circ}$ du champ. Un moteur porte $100$ fils de ce genre sur un rotor de rayon $5\,\mathrm{cm}$ : moment du couple ([ordre de grandeur](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/1-unites-dimensions-et-mesure#def-b1-units-dimensions-oom)).

**Solution de Exercice 28.4.**

$F = ILB = 10 \times 1 \times 0.1 = 1.0\,\mathrm{N}$ ; à $30{}^{\circ}$, il faut $\sin30^\circ$ : $0.5\,\mathrm{N}$. Moteur : $100 \times 1\,\mathrm{N} \times 0.05\,\mathrm{m} = 5\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}$ — un petit moteur industriel.

**Exercice 28.5 ★★.**

Champ d’un segment rectiligne fini à la distance $d$ de sa droite support, ses extrémités étant vues sous les angles $\alpha_1$ et $\alpha_2$ (comptés depuis la perpendiculaire) : $B = \dfrac{\mu_0I}{4\pi d}(\sin\alpha_2 - \sin\alpha_1)$. Vérifier la limite du fil infini. Champ au centre d’une spire carrée de côté $a$.

**Solution de Exercice 28.5.**

Avec $z = d\tan\alpha$ : $B = \dfrac{\mu_0I}{4\pi}\displaystyle\int\dfrac{d\,\dd z}{(d^2 + z^2)^{3/2}}
= \dfrac{\mu_0I}{4\pi d}\displaystyle\int_{\alpha_1}^{\alpha_2}\cos\alpha\,\dd\alpha = \dfrac{\mu_0I}{4\pi d}
(\sin\alpha_2 - \sin\alpha_1)$ ; fil infini, $\alpha_{1,2} = \mp\pi/2$ : $\mu_0I/2\pi d$. Carré : chaque côté, à $d = a/2$ et vu sous $\pm45^\circ$, donne $\mu_0I\sqrt2/2\pi a$ ; pour les quatre côtés : $B = 2\sqrt2\,\mu_0I/\pi a = 0.90\,\mu_0I/a$ (un cercle de même « rayon » $a/2$ donnerait $\mu_0I/a$).

**Exercice 28.6 ★★.**

*Bobines de Helmholtz.* Deux bobines identiques ($N$ spires, rayon $R$) sur un même axe, distantes de $R$, parcourues par le même courant dans le même sens. Champ au milieu ; montrer que les dérivées première *et seconde* de $B$ le long de l’axe y sont nulles. Application : $N = 100$, $R = 15\,\mathrm{cm}$, $I = 1.0\,\mathrm{A}$.

**Solution de Exercice 28.6.**

$B(z) = f(z - R/2) + f(z + R/2)$ avec $f(u) = \mu_0NIR^2/2(R^2 + u^2)^{3/2}$. Au milieu : $2f(R/2) = \mu_0NIR^2/(5R^2/4)^{3/2} = (4/5)^{3/2}\mu_0NI/R$. $f'$ est impaire, donc $B'(0) = f'(-R/2) + f'(R/2) = 0$ ; $f''(u) \propto (4u^2 - R^2)(R^2 +
u^2)^{-7/2}$ s’annule en $u = R/2$, donc $B''(0) = 2f''(R/2) = 0$ : le champ est uniforme au troisième ordre. Application : $0.716 \times 4\pi \times 10^{-7} \times 100/0.15 =
0.60\,\mathrm{mT}$.

**Exercice 28.7 ★★.**

Un fil de cuivre de rayon $2.0\,\mathrm{mm}$ est parcouru par $100\,\mathrm{A}$. Champ à la surface, à $1.0\,\mathrm{mm}$ de l’axe, à $1.0\,\mathrm{cm}$. Esquisser $B(r)$. Ce fil devient l’âme d’un câble coaxial dont la [gaine](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/2-optique-geometrique-rayons-reflexion-refraction#def-b1-rays-reflection-refraction-fiber) porte le courant de retour : champ à l’extérieur de la [gaine](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/2-optique-geometrique-rayons-reflexion-refraction#def-b1-rays-reflection-refraction-fiber).

**Solution de Exercice 28.7.**

Surface : $\mu_0I/2\pi a = 2 \times 10^{-7} \times 100/0.002 = 10\,\mathrm{mT}$ ; à $1\,\mathrm{mm}$, à l’intérieur, $\times r/a$ : $5\,\mathrm{mT}$ ; à $1\,\mathrm{cm}$ : $2\,\mathrm{mT}$. $B$ croît linéairement jusqu’à la surface, puis décroît en $1/r$. Coaxial : à l’extérieur de la [gaine](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/2-optique-geometrique-rayons-reflexion-refraction#def-b1-rays-reflection-refraction-fiber) le courant enlacé est nul, donc $B = 0$.

**Exercice 28.8 ★★.**

Force par mètre entre deux fils distants de $1\,\mathrm{m}$ sous $1\,\mathrm{A}$ ; entre deux jeux de barres distants de $10\,\mathrm{cm}$ parcourus par $10\,\mathrm{kA}$ ; sous un court-circuit de $100\,\mathrm{kA}$. Que faut-il prévoir pour tenir les barres ?

**Solution de Exercice 28.8.**

$2 \times 10^{-7}$ N/m. Jeux de barres : $2 \times 10^{-7} \times 10^8/0.1 = 200\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ ; sous $100\,\mathrm{kA}$ : $2 \times 10^{4}\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ — deux tonnes par mètre. Les supports isolants de l’appareillage sont dimensionnés pour le courant de défaut, non pour celui de service.

**Exercice 28.9 ★★.**

Une aiguille de boussole, de moment $m = 0.10\,\mathrm{A}\,\mathrm{m}^{2}$ et de [moment d’inertie](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/15-moment-cinetique#prop-b1-angular-momentum-inertia) $J = 1.0 \times 10^{-7}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}$, dans un champ horizontal $B_h = 2.0 \times 10^{-5}\,\mathrm{T}$. Moment du couple à $90{}^{\circ}$ ; travail pour la tourner du nord au sud ; période des [petites oscillations](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/13-travail-energie-et-energie-potentielle#prop-b1-work-and-energy-stability). Comment mesure-t-on $B_h$ avec elle ?

**Solution de Exercice 28.9.**

$\Gamma = mB_h = 2 \times 10^{-6}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}$ ; $W = 2mB_h = 4 \times 10^{-6}\,\mathrm{J}$ ; $J\ddot\theta =
-mB_h\theta$ : $T = 2\pi\sqrt{J/mB_h} = 2\pi\sqrt{10^{-7}/2 \times 10^{-6}} =
1.4\,\mathrm{s}$. On chronomètre les oscillations : $B_h = 4\pi^2J/mT^2$ une fois $m$ et $J$ connus (Gauss mesurait $m$ séparément, par la déviation qu’il imprime à une seconde aiguille).

**Exercice 28.10 ★★★.**

*La Terre comme dipôle.* (a) Montrer que sur son axe, au loin, le [champ d’une spire](#prop-b1-magnetostatics-three) vaut $B = \mu_0m/2\pi z^3$ avec $m = I\pi R^2$ ; comparer au [dipôle électrique](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/27-potentiel-electrique-conducteurs-et-condensateurs#def-b1-potential-capacitors-dipole). (b) Le champ au pôle magnétique vaut environ $6 \times 10^{-5}\,\mathrm{T}$ : en déduire le [moment dipolaire](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/27-potentiel-electrique-conducteurs-et-condensateurs#def-b1-potential-capacitors-dipole) de la Terre. (c) Courant dans une spire de rayon $3000\,\mathrm{km}$ (le noyau) qui le produirait. (d) Champ à l’équateur dans le modèle dipolaire ; inclinaison du champ à la latitude $45{}^{\circ}$ (utiliser $B_r$ et $B_\theta$).

**Solution de Exercice 28.10.**

(a) $\mu_0IR^2/2z^3 = \mu_0(I\pi R^2)/2\pi z^3 = \mu_0m/2\pi z^3 = (\mu_0/4\pi)\,2m/z^3$ : c’est le $2p/4\pi\varepsilon_0z^3$ électrique avec $1/\varepsilon_0 \to \mu_0$. (b) $m = 2\pi R_E^3B/
\mu_0 = 2\pi \times 2.58 \times 10^{20} \times 6 \times 10^{-5}/1.26 \times 10^{-6} = 7.7 \times 10^{22}\,\mathrm{A}\,\mathrm{m}^{2}$. (c) $I = m/\pi R^2 = 7.7 \times 10^{22}/(\pi \times 9 \times 10^{12}) = 2.7 \times 10^{9}\,\mathrm{A}$. (d) Équateur ($\theta = 90^\circ$) : $B_\theta = \mu_0m/4\pi R_E^3 = 3 \times 10^{-5}\,\mathrm{T}$, la moitié de la valeur polaire. En $\theta = 45^\circ$ : $\tan(\text{inclinaison}) = B_r/B_\theta = 2\cot\theta = 2$, inclinaison $= 63{}^{\circ}$ — aux latitudes moyennes, le champ plonge fortement dans le sol.

**Exercice 28.11 ★★★.**

*Solénoïde fini.* Longueur $L = 20\,\mathrm{cm}$, rayon $R = 2.0\,\mathrm{cm}$, $n = 2000\,\mathrm{m}^{-1}$, $I = 3.0\,\mathrm{A}$. Champ au centre et à une extrémité par la formule du cours ; fraction de la valeur du solénoïde infini ; à quelle distance au-dehors, sur l’axe, le champ est-il tombé à $1\%$ de la valeur centrale ? Esquisser $B(z)$ le long de l’axe.

**Solution de Exercice 28.11.**

$\mu_0nI = 4\pi \times 10^{-7} \times 2000 \times 3 = 7.5\,\mathrm{mT}$. Au centre : $\tan\alpha_1 =
R/(L/2) = 0.2$, $\cos\alpha_1 = -\cos\alpha_2 = 0.981$ : $B = 0.981\,\mu_0nI =
7.4\,\mathrm{mT}$ ($98\%$). Au bout : $\cos\alpha_1 = 0$, $\tan\alpha_2 = R/L$, $\cos\alpha_2 =
-0.995$ : $B = 0.497\,\mu_0nI = 3.7\,\mathrm{mT}$ ($50\%$). À l’extérieur, en $x$ au-delà de l’extrémité, les deux bouts étant du même côté : $B = \tfrac12\mu_0nI(\cos\alpha_1 - \cos\alpha_2)
\approx \tfrac12\mu_0nI\,\tfrac{R^2}{2}[1/x^2 - 1/(x + L)^2]$ ; $1\%$ de la valeur centrale vers $x \approx 10\,\mathrm{cm}$, une demi-longueur plus loin. $B(z)$ : un plateau plat sur presque toute la longueur, qui tombe à la moitié aux extrémités et à quelques pour cent une longueur plus loin.

**Exercice 28.12 ★★★.**

*Pression magnétique.* Dans un long solénoïde, le champ vaut $B$ à l’intérieur et $0$ au-dehors ; les enroulements portent le courant surfacique $K = nI$ par mètre de longueur. (a) Montrer que le champ *au niveau* des enroulements, moyenne de celui du dedans et de celui du dehors, vaut $B/2$, et que la [force de Laplace](#thm-b1-magnetostatics-laplace) qui s’exerce sur eux est une pression dirigée vers l’extérieur, $p = B^2/2\mu_0$. (b) Applications numériques pour $1\,\mathrm{T}$, $10\,\mathrm{T}$, $45\,\mathrm{T}$ ; comparer à la pression atmosphérique et à la limite de rupture de l’acier ($1\,\mathrm{GPa}$). (c) Qu’est-ce qui limite les aimants les plus intenses fonctionnant en continu ?

**Solution de Exercice 28.12.**

(a) Le champ propre des enroulements saute de $0$ à $B$ à leur traversée ; le champ qui agit sur eux est la moyenne, $B/2$ (une nappe ne peut pas se pousser elle-même). Force sur un élément d’enroulement de longueur $\dd l$ et de largeur $\dd z$ parcouru par $K\,\dd z$ : $K\,\dd z\,\dd l\,B/2$, radiale vers l’extérieur (à vérifier avec $I\,\dd\vect l
\wedge\vect B$) : pression $p = KB/2 = B^2/2\mu_0$ puisque $K = nI = B/\mu_0$. (b) $1\,\mathrm{T}$ : $4 \times 10^{5}\,\mathrm{Pa}$ = $4\,\mathrm{bar}$ ; $10\,\mathrm{T}$ : $400\,\mathrm{bar}$ ; $45\,\mathrm{T}$ : $8 \times 10^{8}\,\mathrm{Pa}$ = $8000\,\mathrm{bar}$, proche du $1\,\mathrm{GPa}$ de l’acier. (c) Les enroulements doivent tenir une pression qui croît comme $B^2$ : au-delà de $40\,\mathrm{T}$ environ, aucun matériau ni aucun refroidissement n’y suffit — la limite des aimants à champ continu est mécanique (et, pour les supraconducteurs, leur champ critique).

![Une ligne de transport à haute tension : trois conducteurs par circuit dont les courants ont une somme nulle, de sorte que leurs champs se compensent à distance. Photographie : Stefan Andrej Shambora, CC BY 2.0.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-magnetostatics/img-689accea7d17.jpg)

*Une ligne de transport à haute tension : trois conducteurs par circuit dont les courants ont une somme nulle, de sorte que leurs champs se compensent à distance. Photographie : Stefan Andrej Shambora, CC BY 2.0.*

## 28.7 Problème : le câble, la ligne et l’appareil de mesure

**Problème 28.1.**

Problème du week-end — le théorème d’Ampère sur un câble coaxial, les forces de Laplace sur une ligne électrique, et la conception d’un galvanomètre à cadre mobile

$\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}$ SI ; résistivité du cuivre $\rho = 1.7 \times 10^{-8}\,\Omega\,\mathrm{m}$.

**Partie I — Le câble coaxial.** Un câble transporte $I = 1.0\,\mathrm{A}$ dans une âme de cuivre pleine de rayon $a = 0.50\,\mathrm{mm}$ et le ramène par une [gaine](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/2-optique-geometrique-rayons-reflexion-refraction#def-b1-rays-reflection-refraction-fiber) de rayon intérieur $b =
2.5\,\mathrm{mm}$ et de rayon extérieur $c = 3.0\,\mathrm{mm}$ ; les courants sont uniformes sur la section de chaque conducteur.

1. Symétries et invariances : direction de $\vect B$ et variable dont il dépend.
2. $B(r)$ dans l’âme, entre les conducteurs, puis à l’extérieur du câble, par le [théorème d’Ampère](#thm-b1-magnetostatics-ampere) .
3. Valeurs en $r = a$ et $r = b$ .
4. On remplace l’âme par un mince tube de cuivre de même rayon $a$ portant le même courant : qu’est-ce qui change dans chaque région ?
5. $B(r)$ à l’intérieur de la [gaine](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/2-optique-geometrique-rayons-reflexion-refraction#def-b1-rays-reflection-refraction-fiber) ( $b < r < c$ ) ; vérifier les valeurs en $b$ et en $c$ ; esquisser $B(r)$ de $0$ à $4\,\mathrm{mm}$ .
6. [Force de Laplace](#thm-b1-magnetostatics-laplace) sur la [gaine](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/2-optique-geometrique-rayons-reflexion-refraction#def-b1-rays-reflection-refraction-fiber) : sens (attraction ou répulsion vis-à-vis de l’âme ?) et valeur par unité d’aire, en prenant pour champ à la [gaine](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/2-optique-geometrique-rayons-reflexion-refraction#def-b1-rays-reflection-refraction-fiber) la moyenne de ses valeurs en $b$ et en $c$ . Même question pour un courant impulsionnel de $10\,\mathrm{kA}$ .
7. Pourquoi emploie-t-on la géométrie coaxiale pour les signaux ? Comparer à une paire de fils parallèles distants de $d = 2\,\mathrm{mm}$ : champ à la distance $D = 10\,\mathrm{cm}$ de la paire (superposer deux fils).

**Partie II — La ligne électrique.** Deux conducteurs horizontaux distants de $d = 1.0\,\mathrm{m}$, à $h = 10\,\mathrm{m}$ au-dessus du sol, portent $I = 500\,\mathrm{A}$ en sens opposés.

8. Champ d’un conducteur au point du sol situé sous le milieu des deux ; montrer que les deux champs se composent en un champ vertical et en donner la valeur ; comparer au champ terrestre et à la valeur repère d’exposition de $100\,\text{µ}\mathrm{T}$ .
9. Montrer qu’aux distances $D \gg d$ le champ de la paire décroît comme $\mu_0Id/2\pi D^2$ : pourquoi plus vite que celui d’un fil seul ?
10. Champ à $1.0\,\mathrm{m}$ sous l’un des conducteurs, là où un technicien pourrait travailler.
11. Force par mètre entre les conducteurs ; attraction ou répulsion ? Même question sous un courant de court-circuit de $20\,\mathrm{kA}$ .
12. Force sur une portée de $300\,\mathrm{m}$ , en régime normal puis en court-circuit ; comparer au poids de la portée ( $1.0\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}$ ) ; que font les lignes lors d’un court-circuit ?
13. Une ligne triphasée porte trois courants de même [amplitude](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/5-propagation-dun-signal-ondes-progressives-et-stationnaires#def-b1-wave-propagation-signal) déphasés de $120{}^{\circ}$ : montrer que leur somme s’annule à chaque instant, et ce que cela implique pour le champ lointain.
14. Une boussole au point de la question 8, où le champ horizontal terrestre vaut $2.0 \times 10^{-5}\,\mathrm{T}$ : le champ de la ligne la dévie-t-il ? (Penser à sa direction.)

**Partie III — Le galvanomètre à cadre mobile.** Un cadre rectangulaire de $N = 200$ spires, de côtés $a = 2.0\,\mathrm{cm}$ (parallèles à l’axe de rotation) et $b = 3.0\,\mathrm{cm}$, tourne autour de son axe dans l’entrefer de pièces polaires cylindriques où le champ, $B = 0.20\,\mathrm{T}$, est *radial* : toujours dans le plan du cadre et perpendiculaire à ses côtés $a$. Un ressort spiral exerce le couple de rappel $-C\theta$ avec $C = 1.0 \times 10^{-5}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}/\mathrm{rad}$. [Moment d’inertie](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/15-moment-cinetique#prop-b1-angular-momentum-inertia) du cadre et de l’aiguille : $J = 6.7 \times 10^{-8}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}$.

15. [Forces de Laplace](#thm-b1-magnetostatics-laplace) sur les quatre côtés ; lesquelles produisent un moment autour de l’axe ?
16. Moment du couple pour un courant $I$ ; pourquoi le champ radial le rend-il indépendant de $\theta$ ?
17. Déviation $\theta$ à l’équilibre ; sensibilité en radians par milliampère ; courant donnant la déviation pleine échelle de $1.2\,\mathrm{rad}$ .
18. Le cadre est bobiné avec un fil de cuivre de $0.10\,\mathrm{mm}$ de diamètre : résistance du cadre ; tension à ses bornes et puissance dissipée en pleine échelle.
19. Équation du mouvement du cadre ; période propre des oscillations autour de l’équilibre.
20. Le mouvement du cadre dans le champ induit un couple de freinage $-\alpha\dot\theta$ ( [Chapitre 29](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/29-induction-electromagnetique-et-applications#ch-b1-induction) ) ; valeur de $\alpha$ pour un amortissement critique, et pourquoi on le recherche.
21. Résistance en série pour en faire un voltmètre de $10\,\mathrm{V}$ pleine échelle ; résistance en dérivation pour en faire un ampèremètre de $1.0\,\mathrm{A}$ pleine échelle.
22. [Moment magnétique](#def-b1-magnetostatics-moment) du cadre en pleine échelle ; énergie $-\vect m\cdot  \vect B$ qu’il aurait, aligné, dans un champ uniforme de $0.20\,\mathrm{T}$ ; comparer à l’énergie emmagasinée dans le ressort en pleine échelle.
23. Si le champ était *uniforme* au lieu d’être radial, montrer que la graduation ne serait plus linéaire : écrire la condition d’équilibre avec $\theta$ compté depuis la position où le plan du cadre contient $\vect B$ .
24. On envoie dans l’appareil un courant de $50\,\mathrm{Hz}$ et de $0.5\,\mathrm{mA}$ d’ [amplitude](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/5-propagation-dun-signal-ondes-progressives-et-stationnaires#def-b1-wave-propagation-signal) : qu’indique l’aiguille, et pourquoi ? (Comparer $50\,\mathrm{Hz}$ à la [fréquence propre](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/14-oscillateurs-mecaniques-amortissement-et-resonance#def-b1-oscillators-resonance-harmonic) .)
25. Résumer les trois scènes en trois nombres, et dire quelle loi unique a produit chacun.

**Solution de Problème 28.1.**

**1.** Tout plan contenant l’axe est un [plan de symétrie](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/26-electrostatique-champ-et-theoreme-de-gauss#prop-b1-electrostatics-gauss-symmetry) des courants : $\vect B$ lui est perpendiculaire, donc orthoradial ; par invariance le long de l’axe et autour de lui : $\vect B = B(r)\,\vect e_\theta$.

**2.** Cercle de rayon $r$ : $2\pi rB = \mu_0I_{\text{enlacé}}$. Dans l’âme : $I_{\text{enlacé}} = Ir^2/a^2$, $B = \mu_0Ir/2\pi a^2$ ; entre les conducteurs : $\mu_0I/2\pi r$ ; au-dehors ($r > c$) : $I - I = 0$, donc $B = 0$.

**3.** $B(a) = 2 \times 10^{-7}/5 \times 10^{-4} = 4.0 \times 10^{-4}\,\mathrm{T}$ ; $B(b) = 2 \times
10^{-7}/2.5 \times 10^{-3} = 8.0 \times 10^{-5}\,\mathrm{T}$.

**4.** À l’intérieur du tube, aucun courant n’est enlacé : $B = 0$ au lieu de la croissance linéaire ; partout ailleurs rien ne change — le champ à l’extérieur d’un courant cylindrique ne dépend que du courant total.

**5.** $I_{\text{enlacé}} = I - I(r^2 - b^2)/(c^2 - b^2) = I(c^2 - r^2)/(c^2 -
b^2)$ : $B = \dfrac{\mu_0I}{2\pi r}\,\dfrac{c^2 - r^2}{c^2 - b^2}$, qui vaut $\mu_0I/2\pi b$ en $b$ et $0$ en $c$ : c’est continu. Tracé : croissance linéaire jusqu’à $4 \times 10^{-4}\,\mathrm{T}$ à $0.5\,\mathrm{mm}$, décroissance en $1/r$ jusqu’à $8 \times 10^{-5}\,\mathrm{T}$ à $2.5\,\mathrm{mm}$, chute à zéro à $3\,\mathrm{mm}$, nul au-delà.

**6.** Le courant de la [gaine](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/2-optique-geometrique-rayons-reflexion-refraction#def-b1-rays-reflection-refraction-fiber) est de sens opposé à celui de l’âme : répulsion, donc une pression vers l’extérieur. Courant surfacique $K = I/2\pi b = 64\,\mathrm{A}/\mathrm{m}$ ; champ moyen $\tfrac12(8 \times 10^{-5} + 0) = 4 \times 10^{-5}\,\mathrm{T}$ : $p = KB = 2.5 \times 10^{-3}\,\mathrm{Pa}$. Sous $10\,\mathrm{kA}$ : $\times10^8$, soit $2.5 \times 10^{5}\,\mathrm{Pa}$ = $2.5\,\mathrm{bar}$ — les câbles de puissance impulsionnelle sont construits pour l’encaisser.

**7.** Aucun champ au-dehors : le câble ne rayonne pas et ne capte pas les perturbations magnétiques de ses voisins. Pour une paire de fils, les deux champs se compensent presque, laissant $\approx \mu_0Id/2\pi D^2 = 2 \times 10^{-7} \times 2 \times
10^{-3}/10^{-2} = 4 \times 10^{-8}\,\mathrm{T}$ à $10\,\mathrm{cm}$ — c’est peu, mais le coaxial donne zéro.

**8.** $D = \sqrt{h^2 + d^2/4} = 10.0\,\mathrm{m}$ : chacun donne $\mu_0I/2\pi D =
1.0 \times 10^{-5}\,\mathrm{T}$, perpendiculaire à la droite qui joint le conducteur au point. Les courants étant opposés, les composantes parallèles à la droite qui joint les deux conducteurs se compensent et les verticales s’ajoutent : $B = 2 \times 10^{-5} \times
(d/2)/D = 1.0 \times 10^{-6}\,\mathrm{T}$, vertical. Cinquante fois sous le champ terrestre, cent fois sous la valeur repère.

**9.** Pour $D \gg d$, $B \approx \dfrac{\mu_0I}{2\pi}\Bigl(\dfrac1{D_1} - \dfrac1{D_2}\Bigr)
\sim \dfrac{\mu_0I}{2\pi}\dfrac{d}{D^2}$ : les deux champs en $1/D$ se compensent au premier ordre et seule survit leur différence, d’ordre relatif $d/D$ — un « dipôle à deux fils ».

**10.** Son propre conducteur à $1\,\mathrm{m}$ : $1.0 \times 10^{-4}\,\mathrm{T}$ horizontal ; l’autre à $1.41\,\mathrm{m}$ : $7.1 \times 10^{-5}\,\mathrm{T}$ à $45{}^{\circ}$, en sens contraire : résultante $(5 \times 10^{-5}, 5 \times 10^{-5})$, soit $7 \times 10^{-5}\,\mathrm{T}$ — $70\,\text{µ}\mathrm{T}$, sous la valeur repère du public et très loin sous la valeur professionnelle.

**11.** $F/\ell = \mu_0I^2/2\pi d = 2 \times 10^{-7} \times 2.5 \times 10^5 =
0.05\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$, répulsive ; sous $20\,\mathrm{kA}$ : $80\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$.

**12.** $15\,\mathrm{N}$ en régime normal ; $24\,\mathrm{kN}$ en court-circuit, huit fois le poids de la portée ($2.9\,\mathrm{kN}$) : les conducteurs sont écartés violemment, balancent et peuvent s’entrechoquer en retombant — d’où les entretoises et des disjoncteurs qui ouvrent en quelques périodes.

**13.** $I\cos\omega t + I\cos(\omega t - 2\pi/3) + I\cos(\omega t + 2\pi/3) =
I\cos\omega t\,(1 + 2\cos2\pi/3) = 0$ : les trois [vecteurs de Fresnel](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/8-regime-sinusoidal-force-et-impedance#def-b1-sinusoidal-impedance-complex) ont une somme nulle. Les champs en $1/D$ se compensent comme pour le coaxial ; le champ lointain décroît en $1/D^2$ ou plus vite.

**14.** Le champ de la ligne y est vertical ; une boussole ne répond qu’à la composante horizontale : aucune déviation (l’inclinaison change de $10^{-6}/(2 \times 10^{-5})$, soit trois degrés, que la boussole ne montre pas).

**15.** Côtés $a$ (parallèles à l’axe) : le $\vect B$ radial leur est perpendiculaire, d’où une force $NIaB$ sur chacun, perpendiculaire au plan du cadre et opposée sur les deux côtés : un couple. Côtés $b$ : $\dd\vect l$ y est radial, donc parallèle à $\vect B$ : aucune force.

**16.** $\Gamma = 2 \times NIaB \times b/2 = NIabB = NISB = 0.024\,I$ (en N m, $I$ en A). Le champ radial est toujours dans le plan du cadre et perpendiculaire aux côtés $a$ : les forces sont toujours normales au plan et leur [bras de levier](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/15-moment-cinetique#def-b1-angular-momentum-moment) $b/2$ ne change jamais.

**17.** $C\theta = NISB$ : $\theta = 2400\,I$ rad, soit $2.4\,\mathrm{rad}/\mathrm{mA}$ ; pleine échelle à $1.2\,\mathrm{rad}$ pour $I = 0.50\,\mathrm{mA}$.

**18.** Longueur $200 \times 2(0.02 + 0.03) = 20\,\mathrm{m}$, section $\pi(5 \times
10^{-5})^2 = 7.9 \times 10^{-9}\,\mathrm{m}^{2}$ : $R = 1.7 \times 10^{-8} \times 20/7.9 \times 10^{-9} =
43\,\Omega$ ; $U = 43 \times 5 \times 10^{-4} = 22\,\mathrm{mV}$ ; $P = UI = 11\,\text{µ}\mathrm{W}$.

**19.** $J\ddot\theta = -C\theta + NISB\,I$ : $\omega_0 = \sqrt{C/J} = \sqrt{10^{-5}/6.7
\times 10^{-8}} = 12\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$, $T = 0.51\,\mathrm{s}$.

**20.** $J\ddot\theta + \alpha\dot\theta + C\theta = NISB\,I$ : critique pour $\alpha = 2\sqrt{JC} = 2\sqrt{6.7 \times 10^{-13}} = 1.6 \times 10^{-6}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}$ ; l’aiguille atteint alors sa valeur le plus vite possible sans dépassement.

**21.** Voltmètre : $R_s = 10/5 \times 10^{-4} - 43 \approx 20\,\mathrm{k}\Omega$. Ampèremètre : le shunt porte $0.9995\,\mathrm{A}$ sous $22\,\mathrm{mV}$, d’où $R_{\text{sh}} =
22\,\mathrm{m}\Omega$.

**22.** $m = NIS = 200 \times 5 \times 10^{-4} \times 6 \times 10^{-4} = 6 \times 10^{-5}\,\mathrm{A}\,\mathrm{m}^{2}$ ; $-mB = -1.2 \times 10^{-5}\,\mathrm{J}$ ; ressort $\tfrac12C\theta^2 = \tfrac12 \times 10^{-5} \times 1.44 =
7.2 \times 10^{-6}\,\mathrm{J}$ : le même ordre — le ressort emmagasine ce que le couple magnétique a fourni pendant la rotation du cadre.

**23.** Dans un champ uniforme, le moment vaut $mB\cos\theta$ (maximal quand le plan contient $\vect B$, nul quand la normale lui est parallèle) : $C\theta =
NISB\,I\cos\theta$ — linéaire seulement aux petits $\theta$, et tassé en haut de l’échelle.

**24.** $50\,\mathrm{Hz}$ contre $\omega_0/2\pi = 2\,\mathrm{Hz}$ : le cadre ne peut pas suivre ; il reste à la moyenne du courant, c’est-à-dire zéro, avec un frémissement d’[amplitude](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/5-propagation-dun-signal-ondes-progressives-et-stationnaires#def-b1-wave-propagation-signal) $\approx \theta_{\text{statique}}(\omega_0/\omega)^2 = 1.2 \times (12/314)^2 \approx
2 \times 10^{-3}\,\mathrm{rad}$, invisible. Un appareil à cadre mobile indique la moyenne — pour l’alternatif, il lui faut un redresseur.

**25.** $4 \times 10^{-4}\,\mathrm{T}$ au cœur d’un coaxial de $1\,\mathrm{A}$ et rien au-dehors ([théorème d’Ampère](#thm-b1-magnetostatics-ampere)) ; $1\,\text{µ}\mathrm{T}$ sous une ligne de $500\,\mathrm{A}$ et $0.05\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ entre ses conducteurs (Biot et Savart, puis Laplace) ; $2.4\,\mathrm{rad}/\mathrm{mA}$ pour l’appareil (couple de Laplace contre un ressort).