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title: "Induction électromagnétique et applications"
book: "Physique universitaire — 1re année"
subject: physics
language: fr
chapter: 29
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/29-induction-electromagnetique-et-applications
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# Chapitre 29 — Induction électromagnétique et applications

Approchez un aimant d’une bobine et un courant apparaît dans la bobine ; arrêtez l’aimant et le courant cesse. Faraday l’a découvert en 1831, après dix ans de recherches, et c’est le fait sur lequel repose tout le monde électrique : chaque centrale, chaque transformateur, chaque moteur, haut-parleur et microphone, chaque plaque à induction et chaque chargeur sans fil convertit de l’énergie par la loi selon laquelle un [flux magnétique](#def-b1-induction-flux) *qui varie* engendre une [force électromotrice](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/6-circuits-en-courant-continu-lois-de-kirchhoff-et-theoremes#def-b1-dc-circuits-sources). Ce chapitre énonce la loi avec ses signes, lui donne les deux visages qu’elle prend (un champ variable dans un circuit fixe, un circuit mobile dans un champ fixe), définit l’[inductance propre](#def-b1-induction-inductance) et l’[inductance mutuelle](#def-b1-induction-inductance), puis parcourt les machines électromécaniques — la barre glissante, l’alternateur, le transformateur, le haut-parleur — où la même loi transforme la puissance mécanique en [puissance électrique](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/6-circuits-en-courant-continu-lois-de-kirchhoff-et-theoremes#thm-b1-dc-circuits-kirchhoff) et réciproquement, jamais gratuitement.

![Un imageur à résonance magnétique : un solénoïde supraconducteur qui maintient 1.5\, T autour d’un patient — un mégajoule d’énergie magnétique dans un champ où il n’y a rien. Photographie : Jan Ainali, CC BY 3.0.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-induction/img-fb3c35ccfe21.jpg)

*Un imageur à résonance magnétique : un solénoïde supraconducteur qui maintient $1.5\,\mathrm{T}$ autour d’un patient — un mégajoule d’[énergie magnétique](#prop-b1-induction-inductor) dans un champ où il n’y a rien. Photographie : Jan Ainali, CC BY 3.0.*

## 29.1 La loi de Faraday

**Définition 29.1 (Flux magnétique à travers un circuit).**

Orientons un circuit fermé $\Gamma$ (en choisissant un sens de parcours) ; sa surface reçoit la normale $\vect n$ donnée par la règle de la main droite. Le *flux magnétique* à travers le circuit est $\Phi = \sum\vect B\cdot\vect n\,\dd S$ sur une surface quelconque s’appuyant sur $\Gamma$ (le weber, $1\,\mathrm{Wb} = 1\,\mathrm{T}\,\mathrm{m}^{2}$) — « quelconque », parce que le flux de $\vect B$ à travers une surface fermée est nul. Pour un champ uniforme et une bobine plane de $N$ spires et d’aire $S$, $\Phi =
NBS\cos\alpha$, où $\alpha$ est l’angle entre $\vect B$ et $\vect n$.

**Théorème 29.2 (Loi de l’induction de Faraday).**

Dès que le flux à travers un circuit varie, celui-ci est le siège d’une *[force électromotrice](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/6-circuits-en-courant-continu-lois-de-kirchhoff-et-theoremes#def-b1-dc-circuits-sources) induite*

$$
e = -\frac{\dd\Phi}{\dd t} ,
$$

comptée dans l’orientation du circuit, c’est-à-dire agissant comme une source idéale de tension de f.é.m. $e$ dans ce sens ; dans un circuit de résistance $R$ elle fait passer le courant $i = e/R$. Le signe moins est la *[loi de Lenz](#thm-b1-induction-faraday)* : le courant induit circule de manière à s’opposer à la variation de flux qui lui donne naissance — son propre champ, et les forces qu’il subit, combattent la cause.

**Démonstration.** *Admis à ce niveau.* ∎

**Remarque 29.3 (Deux visages d’une même loi).**

Le flux varie soit parce que $\vect B$ varie dans le temps à travers un circuit fixe (*[induction de Neumann](#rem-b1-induction-twofaces)* : transformateur, plaque à induction), soit parce que le circuit se déplace ou se déforme dans un champ permanent (*[induction de Lorentz](#rem-b1-induction-twofaces)* : alternateur, haut-parleur). Dans le second cas, la f.é.m. se calcule aussi directement : les porteurs d’un élément conducteur $\dd\vect l$ animé de la vitesse $\vect v$ subissent la force $q\vect v\wedge
\vect B$, équivalente à un champ électrique $\vect v\wedge\vect B$, de sorte que $e = \oint(\vect v\wedge\vect B)\cdot\dd\vect l$ — et cela s’accorde toujours avec $-\dd\Phi/\dd t$. La [loi de Faraday](#thm-b1-induction-faraday) couvre les deux ; le volume de deuxième année explique pourquoi les deux mécanismes donnent une seule formule.

![Orientation et loi de Lenz. À gauche : l’orientation du circuit fixe n et le signe de . Au milieu : un aimant qui s’approche d’un anneau augmente le flux ; le courant induit crée un champ opposé à celui de l’aimant et l’anneau le repousse. À droite : une barre glisse sur des rails dans un champ dirigé vers le lecteur ; le flux du circuit croît, et le courant induit circule de telle sorte que la force de Laplace sur la barre s’oppose à son mouvement.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-induction/fig-a4e3bc7dde23.svg)

*Orientation et [loi de Lenz](#thm-b1-induction-faraday). À gauche : l’orientation du circuit fixe $\vect n$ et le signe de $\Phi$. Au milieu : un aimant qui s’approche d’un anneau augmente le flux ; le courant induit crée un champ opposé à celui de l’aimant et l’anneau le repousse. À droite : une barre glisse sur des rails dans un champ dirigé vers le lecteur ; le flux du circuit croît, et le courant induit circule de telle sorte que la [force de Laplace](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/28-magnetostatique-champ-forces-et-dipoles#thm-b1-magnetostatics-laplace) sur la barre s’oppose à son mouvement.*

**Exemple 29.4 (Ordres de grandeur).**

Une bobine de $100$ spires et de $10\,\mathrm{cm}^{2}$ dans le champ terrestre, que l’on retourne en $0.1\,\mathrm{s}$ : $\Delta\Phi = 2 \times 100 \times 10^{-3} \times 5 \times 10^{-5} = 1 \times 10^{-5}\,\mathrm{Wb}$, $e \sim 0.1\,\mathrm{mV}$ — mesurable avec un galvanomètre sensible, comme on a autrefois cartographié le champ terrestre. La même bobine dans l’entrefer de $1\,\mathrm{T}$ d’un aimant, retirée en $0.1\,\mathrm{s}$ : $1\,\mathrm{V}$. Une bobine de transformateur de $1000$ spires avec $1\,\mathrm{T}$ à $50\,\mathrm{Hz}$ sur $10\,\mathrm{cm}^{2}$ : $e_{\max} =
1000 \times 10^{-3} \times 314 = 314\,\mathrm{V}$ — le secteur.

## 29.2 Inductance propre et inductance mutuelle

**Définition 29.5 (Inductance).**

Le flux du champ propre d’un circuit à travers lui-même est proportionnel à son courant : $\Phi_{\text{propre}} = Li$, où $L > 0$ est son *inductance propre* (le henry, $\mathrm{H}$). Le flux que le circuit 1 envoie dans le circuit 2 vaut $\Phi_{1 \to 2} = Mi_1$, et symétriquement $\Phi_{2 \to 1} = Mi_2$, où $M$ est leur *inductance mutuelle* (dont le signe dépend des orientations). Le flux total du circuit 1 vaut alors $\Phi_1 = L_1i_1 + Mi_2$.

**Proposition 29.6 (La bobine ; le solénoïde).**

Un circuit d’inductance $L$ parcouru par un courant variable est le siège de la f.é.m. $e = -L\,\dd i/\dd t$ : en [convention récepteur](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/6-circuits-en-courant-continu-lois-de-kirchhoff-et-theoremes#thm-b1-dc-circuits-kirchhoff), c’est la tension $u = L\,\dd i/\dd t$ de la bobine utilisée depuis le [Chapitre 7](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/7-regimes-transitoires-premier-et-second-ordre#ch-b1-transient-regimes). Il stocke l’énergie $W = \tfrac12Li^2$. Un long solénoïde de $n$ spires par mètre, de longueur $\ell$ et de section $S$, a $L = \mu_0n^2S\ell$ ; l’énergie qu’il stocke vaut $\tfrac12\mu_0n^2I^2S\ell =
\dfrac{B^2}{2\mu_0}\,S\ell$ : l’[énergie magnétique](#prop-b1-induction-inductor) réside dans le champ, à la densité $B^2/2\mu_0$, exactement comme l’énergie électrique à $\varepsilon_0E^2/2$.

**Démonstration.** Faraday avec $\Phi = Li$ et $L$ constante. Énergie : la puissance reçue par la bobine vaut $ui = Li\,\dd i/\dd t = \dd(\tfrac12Li^2)/\dd t$. Solénoïde : $B = \mu_0nI$ à l’intérieur, flux $BS$ à travers chacune des $n\ell$ spires, donc $\Phi =
\mu_0n^2S\ell I$. La densité générale est admise. ∎

**Exemple 29.7 (Un aimant d’IRM).**

$1.5\,\mathrm{T}$ sur environ un mètre cube : $B^2/2\mu_0 = 2.25/2.5 \times 10^{-6} =
0.9\,\mathrm{MJ}/\mathrm{m}^{3}$ — l’énergie d’une batterie de voiture, stockée dans du vide. Avec un courant de $500\,\mathrm{A}$ dans la bobine, $L = 2W/I^2 = 7\,\mathrm{H}$. Si le supraconducteur redevient brusquement résistif (une *transition résistive*), ce mégajoule devient de la chaleur en quelques secondes et fait bouillir des centaines de litres d’hélium liquide : la salle de l’aimant a un évent pour cela.

**Proposition 29.8 (Le transformateur idéal).**

Deux bobines de $N_1$ et $N_2$ spires enroulées sur un même circuit magnétique fermé en fer, de sorte que le même flux $\varphi$ traverse chaque spire, vérifient

$$
\frac{u_2}{u_1} = \frac{N_2}{N_1} , \qquad N_1i_1 + N_2i_2 = 0 \quad\text{(sans pertes en charge, sans courant magnétisant)},
$$

de sorte que $u_2i_2 = -u_1i_1$ : la puissance prise au primaire est fournie au secondaire ; les tensions se transforment dans le rapport des nombres de spires, les courants en raison inverse. Cela ne fonctionne qu’avec des courants variables.

**Démonstration.** $u_1 = N_1\,\dd\varphi/\dd t$ et $u_2 = N_2\,\dd\varphi/\dd t$ ([convention récepteur](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/6-circuits-en-courant-continu-lois-de-kirchhoff-et-theoremes#thm-b1-dc-circuits-kirchhoff) des deux côtés, orientations choisies selon le flux commun) : on divise. La relation entre les courants est le [théorème d’Ampère](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/28-magnetostatique-champ-forces-et-dipoles#thm-b1-magnetostatics-ampere) sur le circuit magnétique : sa circulation, soit $\mu_0\mu_r$ fois le total des ampères-tours, devrait créer le flux ; pour un circuit magnétique idéal ($\mu_r \to \infty$), il y faut des ampères-tours qui tendent vers zéro, d’où $N_1i_1 + N_2i_2 = 0$. Admis sous cette forme. ∎

![À gauche : un transformateur — deux bobines sur un circuit magnétique fermé en fer partagent le même flux ; les tensions suivent les nombres de spires, les courants en raison inverse. À droite : deux bobines couplées dans l’air et leur inductance mutuelle M ; le flux propre d’une bobine vaut Li.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-induction/fig-ddf992c95756.svg)

*À gauche : un transformateur — deux bobines sur un circuit magnétique fermé en fer partagent le même flux ; les tensions suivent les nombres de spires, les courants en raison inverse. À droite : deux bobines couplées dans l’air et leur [inductance mutuelle](#def-b1-induction-inductance) $M$ ; le flux propre d’une bobine vaut $Li$.*

## 29.3 Conducteurs en mouvement : génératrices et moteurs

**Proposition 29.9 (La barre glissante).**

Une barre de longueur $\ell$ glisse à la vitesse $v$ sur deux rails fermés par une résistance $R$, dans un champ uniforme $B$ normal au plan. Elle est le siège de la f.é.m. $e = B\ell v$, débite $i = B\ell v/R$, et subit la [force de Laplace](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/28-magnetostatique-champ-forces-et-dipoles#thm-b1-magnetostatics-laplace) $F = B\ell i = B^2\ell^2v/R$ qui *s’oppose* à son mouvement. La puissance mécanique dépensée pour la pousser, $Fv$, égale la [puissance électrique](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/6-circuits-en-courant-continu-lois-de-kirchhoff-et-theoremes#thm-b1-dc-circuits-kirchhoff) $ei = Ri^2$ dissipée : la barre est une génératrice. Alimentée au contraire par une source $E$, c’est un moteur : le courant $(E - B\ell v)/R$ la pousse jusqu’à ce que la f.c.é.m. $B\ell v$ équilibre $E$, à la vitesse à vide $E/B\ell$.

**Démonstration.** Le flux vaut $B\ell x$, et $e = -B\ell\dot x$ dans l’orientation pour laquelle $\vect n$ est selon $\vect B$ ; la [force de Laplace](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/28-magnetostatique-champ-forces-et-dipoles#thm-b1-magnetostatics-laplace) $i\vect\ell\wedge\vect B$ sur le courant ainsi orienté est dirigée contre $\vect v$ ([Théorème 29.2](#thm-b1-induction-faraday), Lenz). En multipliant l’équation électrique $e = Ri$ par $i$ et l’équation mécanique par $v$ : $Fv = B\ell iv = ei$. La puissance électromécanique $ei$ et la puissance de Laplace $-Fv$ sont toujours opposées — c’est la loi de la conversion. ∎

**Proposition 29.10 (La spire tournante : l’alternateur).**

Une bobine de $N$ spires et d’aire $S$ qui tourne à $\omega$ autour d’un axe perpendiculaire à un champ uniforme $B$ a $\Phi = NBS\cos\omega t$ et

$$
e = NBS\omega\sin\omega t :
$$

soit une f.é.m. sinusoïdale d’[amplitude](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/5-propagation-dun-signal-ondes-progressives-et-stationnaires#def-b1-wave-propagation-signal) $NBS\omega$ et de fréquence égale à celle de la rotation. Dans une résistance $R$, elle délivre la [puissance moyenne](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/8-regime-sinusoidal-force-et-impedance#thm-b1-sinusoidal-impedance-power) $(NBS\omega)^2/2R$, fournie par le couple qui la maintient en rotation contre le couple de Laplace $-\vect m\wedge\vect B$ de son propre courant.

**Démonstration.** On dérive le flux ; $\langle\sin^2\rangle = \tfrac12$. Le couple est celui du [Théorème 28.14](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/28-magnetostatique-champ-forces-et-dipoles#thm-b1-magnetostatics-dipoleinfield) avec $m = Ni S$ ; sa [puissance moyenne](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/8-regime-sinusoidal-force-et-impedance#thm-b1-sinusoidal-impedance-power) $\langle\Gamma\omega\rangle$ égale $\langle ei\rangle$ par le même calcul que pour la barre. ∎

![À gauche : la barre glissante en génératrice — f.é.m. B v, courant dans R, force de Laplace qui freine la barre ; la puissance de celui qui pousse est la chaleur du résistor. Au milieu et à droite : la bobine tournante d’un alternateur et sa f.é.m. sinusoïdale.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-induction/fig-fdbcd9342971.svg)

![À gauche : la barre glissante en génératrice — f.é.m. B v, courant dans R, force de Laplace qui freine la barre ; la puissance de celui qui pousse est la chaleur du résistor. Au milieu et à droite : la bobine tournante d’un alternateur et sa f.é.m. sinusoïdale.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-induction/fig-3b5b25027c02.svg)

*À gauche : la barre glissante en génératrice — f.é.m. $B\ell v$, courant dans $R$, [force de Laplace](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/28-magnetostatique-champ-forces-et-dipoles#thm-b1-magnetostatics-laplace) qui freine la barre ; la puissance de celui qui pousse est la chaleur du résistor. Au milieu et à droite : la bobine tournante d’un alternateur et sa f.é.m. sinusoïdale.*

**Exemple 29.11 (Courants de Foucault).**

Un conducteur massif qui se déplace dans un champ non uniforme, ou qui baigne dans un champ variable, est traversé par un flux changeant le long d’une infinité de chemins fermés : des *[courants de Foucault](#ex-b1-induction-eddy)* y circulent, qui l’échauffent et — par Lenz — le freinent. Un aimant lâché dans un tube de cuivre descend lentement ; les freins des camions et des montagnes russes utilisent ce phénomène (sans contact, sans usure, sans défaillance — mais sans freinage à l’arrêt) ; la plaque à induction chauffe la casserole par les mêmes courants, à $25\,\mathrm{kHz}$ ; et les circuits magnétiques des transformateurs sont feuilletés précisément pour les briser.

## 29.4 Le haut-parleur : un système couplé

**Proposition 29.12 (Couplage électromécanique d’une bobine dans un champ radial).**

Une bobine dont le fil a la longueur totale $\ell$ est placée dans un champ radial $B$, de sorte que chaque élément de fil soit perpendiculaire à $\vect B$ ; elle se déplace selon son axe à la vitesse $v$ et porte le courant $i$. Elle subit alors la [force de Laplace](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/28-magnetostatique-champ-forces-et-dipoles#thm-b1-magnetostatics-laplace) axiale $F = B\ell i$ et est le siège de la f.c.é.m. $e = -B\ell v$ (en [convention récepteur](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/6-circuits-en-courant-continu-lois-de-kirchhoff-et-theoremes#thm-b1-dc-circuits-kirchhoff), une tension $B\ell v$). Avec une masse $m$, une suspension de raideur $k$ et un amortissement mécanique $h$, alimentée sous la tension $u$ à travers la résistance $R$ et l’inductance $L$ de la bobine :

$$
u = Ri + L\frac{\dd i}{\dd t} + B\ell v , \qquad
m\frac{\dd v}{\dd t} = -kx - hv + B\ell i .
$$

En multipliant par $i$ et par $v$ puis en ajoutant : la [puissance électrique](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/6-circuits-en-courant-continu-lois-de-kirchhoff-et-theoremes#thm-b1-dc-circuits-kirchhoff) $ui$ égale les pertes Joule $Ri^2$, plus l’accroissement des énergies stockées $\tfrac12Li^2 + \tfrac12mv^2 + \tfrac12kx^2$, plus les pertes mécaniques $hv^2$ (qui contiennent le son) : le terme de conversion $B\ell iv$ se compense entre les deux équations. Pris à l’envers (mouvement imposé, $u$ lu), le même appareil est un *microphone* dynamique.

**Démonstration.** [Force de Laplace](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/28-magnetostatique-champ-forces-et-dipoles#thm-b1-magnetostatics-laplace) sur chaque élément, $i\,\dd\vect l\wedge\vect B$, toutes axiales et de même sens ; f.é.m. par $(\vect v\wedge\vect B)\cdot\dd\vect l$ sommé le long du fil. Le bilan énergétique est la somme des deux équations multipliées comme il vient d’être dit. ∎

![Un haut-parleur à bobine mobile, en coupe : la bobine se trouve dans l’entrefer annulaire d’un aimant où le champ est radial, de sorte qu’un courant donne une force axiale quelle que soit la position ; la membrane qu’elle entraîne est tenue par une suspension raide et amortie ; le mouvement de la bobine renvoie une f.c.é.m. B v dans le circuit électrique.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-induction/fig-22ca86a1dbb1.svg)

*Un haut-parleur à bobine mobile, en coupe : la bobine se trouve dans l’entrefer annulaire d’un aimant où le champ est radial, de sorte qu’un courant donne une force axiale quelle que soit la position ; la membrane qu’elle entraîne est tenue par une suspension raide et amortie ; le mouvement de la bobine renvoie une f.c.é.m. $B\ell v$ dans le circuit électrique.*

**Remarque 29.13 (Pourquoi le couplage amortit).**

À basse fréquence ($L\omega \ll R$), $i \approx (u - B\ell v)/R$ et la force vaut $B\ell u/R - (B^2\ell^2/R)\,v$ : le circuit électrique ajoute l’amortissement $B^2\ell^2/R$ à l’amortissement mécanique. Un haut-parleur branché sur un amplificateur (de faible résistance de sortie) est fortement amorti — sa membrane s’arrête quand le [signal](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/5-propagation-dun-signal-ondes-progressives-et-stationnaires#def-b1-wave-propagation-signal) s’arrête — et c’est le même couplage qui permet au microphone de prélever de l’énergie au son ([Problème 29.1](#pb-b1-induction-1)).

## 29.5 Exercices

**Exercice 29.1 ★.**

Une bobine de $100$ spires et de $10\,\mathrm{cm}^{2}$ dans un champ uniforme de $0.20\,\mathrm{T}$ faisant $30{}^{\circ}$ avec sa normale. Flux ; f.é.m. moyenne si le champ est coupé en $10\,\mathrm{ms}$ ; puis en $1\,\mathrm{ms}$ ; sens du courant induit par rapport au champ (Lenz).

**Solution de Exercice 29.1.**

$\Phi = NBS\cos30^\circ = 100 \times 0.2 \times 10^{-3} \times 0.866 = 1.7 \times 10^{-2}\,\mathrm{Wb}$ ; $\langle e\rangle = \Delta\Phi/\Delta t = 1.7\,\mathrm{V}$ en $10\,\mathrm{ms}$, $17\,\mathrm{V}$ en $1\,\mathrm{ms}$. Le courant circule de façon à recréer le flux qui disparaît : son champ est dirigé selon l’ancien $\vect B$.

**Exercice 29.2 ★.**

Une barre de $20\,\mathrm{cm}$ glisse à $2.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ sur des rails fermés par $0.10\,\Omega$, dans $0.50\,\mathrm{T}$. F.é.m., courant, [force de Laplace](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/28-magnetostatique-champ-forces-et-dipoles#thm-b1-magnetostatics-laplace), force que doit exercer celui qui pousse, puissance mécanique, [puissance électrique](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/6-circuits-en-courant-continu-lois-de-kirchhoff-et-theoremes#thm-b1-dc-circuits-kirchhoff).

**Solution de Exercice 29.2.**

$e = B\ell v = 0.5 \times 0.2 \times 2 = 0.20\,\mathrm{V}$ ; $i = 2.0\,\mathrm{A}$ ; $F = B\ell i =
0.20\,\mathrm{N}$ qui freine, de sorte que celui qui pousse exerce $0.20\,\mathrm{N}$ ; $Fv = 0.40\,\mathrm{W}
= Ri^2$.

**Exercice 29.3 ★.**

Solénoïde de $1000\,\mathrm{spires}/\mathrm{m}$, de longueur $20\,\mathrm{cm}$ et de section $4.0\,\mathrm{cm}^{2}$ : inductance ; énergie sous $5.0\,\mathrm{A}$ ; [constante de temps](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/7-regimes-transitoires-premier-et-second-ordre#def-b1-transient-regimes-firstorder) avec une résistance de $1.0\,\Omega$ ; champ intérieur et densité d’énergie, pour vérifier $B^2/2\mu_0$.

**Solution de Exercice 29.3.**

$L = \mu_0n^2S\ell = 4\pi \times 10^{-7} \times 10^6 \times 4 \times 10^{-4} \times 0.2 =
0.10\,\mathrm{mH}$ ; $W = \tfrac12LI^2 = 1.3\,\mathrm{mJ}$ ; $\tau = L/R = 0.1\,\mathrm{ms}$. $B = \mu_0nI = 6.3\,\mathrm{mT}$, $B^2/2\mu_0 = 15.7\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}$ sur $S\ell = 8 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}^{3}$ : $1.3\,\mathrm{mJ}$.

**Exercice 29.4 ★.**

Un transformateur de $230\,\mathrm{V}$ vers $12\,\mathrm{V}$ : rapport des nombres de spires ; nombre de spires au primaire pour un secondaire de $50$ spires ; courant au primaire lorsque le secondaire débite $2.0\,\mathrm{A}$. Pourquoi ne fonctionne-t-il pas sur une batterie de voiture ?

**Solution de Exercice 29.4.**

$N_2/N_1 = 12/230 = 0.052$ ; $N_1 = 50/0.052 = 960$ spires ; $i_1 = 2 \times 0.052 =
0.10\,\mathrm{A}$. Un courant permanent donne un flux permanent : pas de $\dd\varphi/\dd t$, pas de tension au secondaire — et le primaire, en court-circuit, brûlerait.

**Exercice 29.5 ★★.**

[Loi de Lenz](#thm-b1-induction-faraday) : donner le sens du courant induit et la direction de la force dans chaque cas — (a) un pôle nord s’approche d’un anneau selon son axe ; (b) un anneau est plongé dans un champ qui croît ; (c) on laisse tomber un anneau sur un aimant ; (d) un aimant tombe dans un long tube de cuivre. Pour (d), expliquer par l’énergie pourquoi il tombe à petite vitesse constante.

**Solution de Exercice 29.5.**

(a) Le flux (selon l’approche) croît : le courant crée un champ qui s’y oppose — son propre pôle nord fait face au nord de l’aimant — et l’anneau est repoussé. (b) Un courant dont le champ s’oppose à la croissance ; l’anneau, dipôle anti-aligné sur $\vect B$, est poussé vers les champs plus faibles. (c) En tombant, le flux croît : même courant qu’en (a), l’anneau est freiné. (d) Chaque tronçon de tube en avant de l’aimant voit un flux croître, en arrière décroître ; les deux courants induits freinent l’aimant ; à la vitesse pour laquelle la [force de Laplace](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/28-magnetostatique-champ-forces-et-dipoles#thm-b1-magnetostatics-laplace) équilibre le poids, l’aimant tombe régulièrement et son [énergie potentielle](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/13-travail-energie-et-energie-potentielle#def-b1-work-and-energy-conservative) perdue devient de la chaleur Joule dans le tube.

**Exercice 29.6 ★★.**

Alternateur : $N = 200$, $S = 20\,\mathrm{cm}^{2}$, $B = 0.10\,\mathrm{T}$, $50\,\mathrm{Hz}$. F.é.m. maximale et efficace ; courant maximal et couple maximal dans $10\,\Omega$ ; [puissance électrique](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/6-circuits-en-courant-continu-lois-de-kirchhoff-et-theoremes#thm-b1-dc-circuits-kirchhoff) moyenne ; comparer à la puissance mécanique moyenne et au couple instantané à l’instant où la f.é.m. s’annule.

**Solution de Exercice 29.6.**

$E_{\max} = NBS\omega = 200 \times 2 \times 10^{-3} \times 0.1 \times 314 = 12.6\,\mathrm{V}$, soit $8.9\,\mathrm{V}$ efficaces ; $I_{\max} = 1.26\,\mathrm{A}$, $\Gamma_{\max} = NBSI_{\max} = 0.050\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}$ (quand $\sin\omega t = 1$) ; $\langle P\rangle = E_{\max}^2/2R = 7.9\,\mathrm{W}$ $=
\langle\Gamma\omega\rangle = \tfrac12 \times 0.05 \times 314$ ; quand $e = 0$ le courant est nul et le couple s’annule — le couple pulse à $100\,\mathrm{Hz}$.

**Exercice 29.7 ★★.**

*Frein magnétique.* Une spire carrée de côté $a = 10\,\mathrm{cm}$ et de résistance $R = 1.0\,\mathrm{m}\Omega$, de masse $1.0\,\mathrm{kg}$, quitte une région de champ uniforme $B = 1.0\,\mathrm{T}$ à la vitesse $v$ (un côté est encore dans le champ). F.é.m., courant, force de freinage ; équation du mouvement et [constante de temps](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/7-regimes-transitoires-premier-et-second-ordre#def-b1-transient-regimes-firstorder) ; distance parcourue avant l’arrêt depuis $1.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; où est passée l’[énergie cinétique](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/13-travail-energie-et-energie-potentielle#thm-b1-work-and-energy-ke) ?

**Solution de Exercice 29.7.**

$e = Bav$, $i = Bav/R$, $F = B^2a^2v/R = 10\,v$ (en N). $m\,\dd v/\dd t = -B^2a^2v/R$ : $v = v_0\eu^{-t/\tau}$, $\tau = mR/B^2a^2 = 0.10\,\mathrm{s}$ ; distance $v_0\tau =
10\,\mathrm{cm}$ (si la région de champ est assez longue). L’[énergie cinétique](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/13-travail-energie-et-energie-potentielle#thm-b1-work-and-energy-ke), $0.5\,\mathrm{J}$, est dissipée en $Ri^2$ dans la spire.

**Exercice 29.8 ★★.**

Une petite bobine ($N_2 = 50$ spires, section $2.0\,\mathrm{cm}^{2}$) est placée dans un long solénoïde ($n_1 = 2000\,\mathrm{m}^{-1}$), axes confondus. [Inductance mutuelle](#def-b1-induction-inductance) ; f.é.m. dans la bobine lorsque le courant du solénoïde croît à $100\,\mathrm{A}/\mathrm{s}$, puis lorsqu’il vaut $1.0\,\mathrm{A}$ à $10\,\mathrm{kHz}$. $M$ dépend-il de celle des deux bobines qui porte le courant ?

**Solution de Exercice 29.8.**

Flux du champ du solénoïde, $\mu_0n_1i_1$, à travers les $N_2$ spires : $M =
\mu_0n_1N_2S_2 = 4\pi \times 10^{-7} \times 2000 \times 50 \times 2 \times 10^{-4} = 25\,\text{µ}\mathrm{H}$. Rampe : $e = M\,\dd i_1/\dd t = 2.5\,\mathrm{mV}$ ; à $10\,\mathrm{kHz}$, $1\,\mathrm{A}$ : $e_{\max} =
M\omega I = 25 \times 10^{-6} \times 6.3 \times 10^4 = 1.6\,\mathrm{V}$. $M$ est symétrique : le même nombre donne le flux que la petite bobine envoie dans le solénoïde — bien plus difficile à calculer directement.

**Exercice 29.9 ★★.**

Énergie dans un champ : $B = 1.5\,\mathrm{T}$ sur $1.0\,\mathrm{m}^{3}$, comme dans un aimant d’IRM. Énergie ; inductance pour $I = 500\,\mathrm{A}$ ; hauteur à laquelle cette énergie élèverait une voiture de $1\,\mathrm{t}$ ; volume d’hélium liquide qu’elle fait bouillir lors d’une transition résistive ($2.6\,\mathrm{kJ}$ par litre). Énergie du champ terrestre ($5 \times 10^{-5}\,\mathrm{T}$) dans une pièce de $50\,\mathrm{m}^{3}$.

**Solution de Exercice 29.9.**

$W = B^2V/2\mu_0 = 2.25/(2.51 \times 10^{-6}) = 0.90\,\mathrm{MJ}$ ; $L = 2W/I^2 =
7.2\,\mathrm{H}$ ; $h = W/mg = 92\,\mathrm{m}$ ; hélium : $9 \times 10^5/2600 = 350\,\mathrm{L}$. Champ terrestre : $(5 \times 10^{-5})^2/2\mu_0 = 1 \times 10^{-3}\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}$, soit $50\,\mathrm{mJ}$ dans la pièce.

**Exercice 29.10 ★★★.**

*Les rails en moteur.* La barre de l’[Exercice 29.2](#exo-b1-induction-2) (masse $m$, sans frottement) est reliée à une source $E$ à travers la résistance $R$. (a) Équations électrique et mécanique ; montrer que $m\,\dd v/\dd t = B\ell(E -
B\ell v)/R$. (b) [Vitesse limite](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/12-les-lois-de-newton#prop-b1-newton-dynamics-terminal) et [constante de temps](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/7-regimes-transitoires-premier-et-second-ordre#def-b1-transient-regimes-firstorder). (c) Bilan de puissance : puissance de la source $=$ Joule $+$ mécanique ; [rendement](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/24-moteurs-et-machines-thermiques#def-b1-heat-engines-efficiency) en fonction de $v$. (d) Application : $E = 2.0\,\mathrm{V}$, $m = 50\,\mathrm{g}$, le reste comme dans l’[Exercice 29.2](#exo-b1-induction-2). (e) Un canon électromagnétique accélère un projectile de $10\,\mathrm{g}$ avec $1\,\mathrm{MA}$ sur $5\,\mathrm{m}$ dans $1\,\mathrm{T}$ : vitesse de sortie ([ordre de grandeur](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/1-unites-dimensions-et-mesure#def-b1-units-dimensions-oom)).

**Solution de Exercice 29.10.**

(a) $E - B\ell v = Ri$ (la f.c.é.m. s’oppose à la source), $m\,\dd v/\dd t =
B\ell i$ : $m\,\dd v/\dd t = B\ell(E - B\ell v)/R$. (b) $v_\infty = E/B\ell$, $\tau =
mR/B^2\ell^2$. (c) On multiplie l’équation électrique par $i$ : $Ei = Ri^2 +
B\ell vi$, et $B\ell vi = Fv$ est la puissance mécanique ; [rendement](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/24-moteurs-et-machines-thermiques#def-b1-heat-engines-efficiency) $Fv/Ei =
B\ell v/E = v/v_\infty$ — $100\%$ seulement à vide, où rien n’est fourni. (d) $v_\infty = 2/(0.5 \times 0.2) = 20\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $\tau = 0.05 \times
0.1/0.01 = 0.5\,\mathrm{s}$. (e) $F = B\ell I = 1 \times 0.1 \times 10^6 = 1 \times 10^{5}\,\mathrm{N}$ (en prenant $\ell = 10\,\mathrm{cm}$), $a = 1 \times 10^{7}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$, $v = \sqrt{2a \times 5} =
1 \times 10^{4}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ — dix kilomètres par seconde, la promesse et le problème des canons électromagnétiques (les rails s’érodent).

**Exercice 29.11 ★★★.**

*Le disque de Faraday.* Un disque de cuivre de rayon $R$ tourne à $\omega$ autour de son axe dans un champ uniforme $B$ porté par l’axe ; des balais touchent le centre et le bord. (a) F.é.m. entre le centre et le bord, en sommant $(\vect v\wedge
\vect B)\cdot\dd\vect l$ le long d’un rayon : $e = \tfrac12B\omega R^2$. (b) Application : $R = 10\,\mathrm{cm}$, $3000\,\mathrm{tr}/\mathrm{min}$, $1.0\,\mathrm{T}$. (c) Pourquoi est-ce une machine à basse tension et à fort courant ; courant dans $1\,\mathrm{m}\Omega$ et couple de freinage. (d) Retrouver $e$ par la [loi de Faraday](#thm-b1-induction-faraday) appliquée au circuit balai–rayon–bord–balai : quel flux varie ?

**Solution de Exercice 29.11.**

(a) Au rayon $r$, le métal se déplace à $v = \omega r$ ; $\vect v\wedge\vect B$ est radial, de norme $\omega rB$ : $e = \int_0^R\omega Br\,\dd r = \tfrac12B\omega R^2$. (b) $\omega = 314$ : $e = 0.5 \times 1 \times 314 \times 0.01 = 1.6\,\mathrm{V}$. (c) Une seule « spire », donc quelques volts au plus ; dans $1\,\mathrm{m}\Omega$ : $1.6\,\mathrm{kA}$, couple $= P/\omega = ei/\omega = 2500/314 = 8\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}$. (d) Le circuit balai–rayon– bord–balai balaie l’aire $\tfrac12R^2\omega\,\dd t$ pendant $\dd t$ : $\dd\Phi/\dd t =
\tfrac12BR^2\omega$ — le flux à travers le circuit mobile et déformable.

**Exercice 29.12 ★★★.**

*Plaque à induction.* La bobine placée sous le verre porte $i_1 =
I_1\cos\omega t$ avec $I_1 = 30\,\mathrm{A}$ à $25\,\mathrm{kHz}$ ; le fond de la casserole se comporte comme une spire unique de résistance $R_p = 10\,\mathrm{m}\Omega$ couplée par $M = 1.0\,\text{µ}\mathrm{H}$ (on néglige l’inductance de cette spire). (a) F.é.m. induite dans la casserole, valeur maximale. (b) Courant et [puissance moyenne](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/8-regime-sinusoidal-force-et-impedance#thm-b1-sinusoidal-impedance-power) dissipée dans la casserole. (c) Pourquoi une fréquence élevée, et pourquoi la chaleur apparaît-elle dans la casserole et non dans le verre ? (d) Le courant de la casserole réagit sur la bobine : f.é.m. qu’il y induit (valeur maximale), et supplément de puissance que le générateur doit fournir — vérifier que cela vaut (b).

**Solution de Exercice 29.12.**

(a) $e_2 = -M\,\dd i_1/\dd t$, de valeur maximale $M\omega I_1 = 10^{-6} \times 1.57 \times 10^5 \times 30 =
4.7\,\mathrm{V}$. (b) $I_2 = 4.7/0.01 = 470\,\mathrm{A}$ en crête ; $\langle P\rangle = R_pI_2^2/2
= 1.1\,\mathrm{kW}$. (c) La f.é.m. est $\propto\omega$ : une fréquence élevée donne une f.é.m. utile avec un $M$ modeste ; le verre est isolant, rien n’y circule — la chaleur naît dans le métal. (d) Le courant de la casserole induit dans la bobine $M\omega I_2 = 10^{-6} \times 1.57 \times 10^5 \times 470 = 74\,\mathrm{V}$ en crête, en phase avec $i_1$ (le courant de la casserole, purement résistif, ne retarde pas sur $e_2$, et $e_2$ retarde sur $i_1$ de $90{}^{\circ}$… de sorte que la f.é.m. réfléchie vaut $-M\,\dd i_2/\dd t$, en opposition de phase avec la tension *motrice* de $i_1$) : le générateur fournit $\tfrac12 \times 74 \times 30 =
1.1\,\mathrm{kW}$ de plus — exactement ce que dissipe la casserole.

![Une dynamo de bicyclette : la roue fait tourner un aimant à l’intérieur d’une bobine, le flux à travers la bobine varie, et la lampe s’allume — la loi de Faraday sur un vélo.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-induction/img-25a69feba0de.jpg)

*Une dynamo de bicyclette : la roue fait tourner un aimant à l’intérieur d’une bobine, le flux à travers la bobine varie, et la lampe s’allume — la [loi de Faraday](#thm-b1-induction-faraday) sur un vélo.*

## 29.6 Problème : la dynamo de bicyclette et le haut-parleur

**Problème 29.1.**

Problème du week-end — deux convertisseurs électromécaniques démontés : une dynamo qui se régule toute seule, et un haut-parleur dont l’amplificateur est aussi le frein

**Partie I — La dynamo de bicyclette.** Une bobine de $N = 300$ spires et d’aire $S = 3.0\,\mathrm{cm}^{2}$ tourne dans un champ uniforme $B = 0.30\,\mathrm{T}$ ; son axe porte un galet de rayon $r = 1.0\,\mathrm{cm}$ pressé contre le pneu, de sorte que la bobine tourne à $\omega = v/r$ pour une vitesse $v$ du vélo. Résistance de la bobine $r_c = 4.0\,\Omega$, inductance $L = 20\,\mathrm{mH}$ ; la lampe est une résistance $R = 12\,\Omega$.

1. Flux à travers la bobine et f.é.m. induite en fonction du temps ; [amplitude](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/5-propagation-dun-signal-ondes-progressives-et-stationnaires#def-b1-wave-propagation-signal) et fréquence à $v = 18\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ .
2. En négligeant d’abord $L$ : courant efficace et puissance dans la lampe à $18\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ; une lampe « $6\,\mathrm{V}$ , $3\,\mathrm{W}$ » est-elle à l’aise ?
3. Puissance mécanique moyenne que le cycliste fournit à la dynamo, et force correspondante sur le pneu (comparer au frottement de roulement, environ $2\,\mathrm{N}$ ).
4. Expliquer par la [loi de Lenz](#thm-b1-induction-faraday) pourquoi la dynamo résiste, et pourquoi une lampe qui s’allume « gratuitement » ne contredit pas la conservation de l’énergie.
5. Tenir compte de $L$ à présent : [impédance](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/8-regime-sinusoidal-force-et-impedance#def-b1-sinusoidal-impedance-impedance) complexe du circuit ; montrer que l’ [amplitude](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/5-propagation-dun-signal-ondes-progressives-et-stationnaires#def-b1-wave-propagation-signal) du courant vaut $I = NBS\omega/\sqrt{(R + r_c)^2 + L^2\omega^2}$ et qu’elle sature à grande vitesse ; sa limite, et la vitesse à laquelle elle atteint $70\%$ de cette limite.
6. Sans l’inductance, que recevrait la lampe à $54\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ dans une descente ? Et avec elle ?
7. Courant et puissance dans la lampe à $9\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ puis à $36\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ; commenter l’autorégulation.
8. Les dynamos réelles font tourner un aimant à l’intérieur d’une bobine fixe. L’analyse change-t-elle ? Quel problème pratique cela supprime-t-il ?
9. Que fait la lampe quand le vélo s’arrête à un feu rouge, et comment les éclairages modernes y remédient-ils ?

**Partie II — Le haut-parleur.** Bobine mobile : longueur de fil $\ell = 5.0\,\mathrm{m}$ dans un champ radial $B =
1.0\,\mathrm{T}$, résistance $R = 8.0\,\Omega$, inductance $L = 0.50\,\mathrm{mH}$ ; masse mobile (bobine et membrane) $m = 10\,\mathrm{g}$ ; raideur de la suspension $k = 1000\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$, amortissement mécanique $h = 1.0\,\mathrm{N}\,\mathrm{s}/\mathrm{m}$. Régime sinusoïdal, [amplitudes complexes](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/8-regime-sinusoidal-force-et-impedance#def-b1-sinusoidal-impedance-complex).

10. Force sur la bobine pour un courant $i$ ; f.c.é.m. pour une vitesse $v$ (établir les deux, avec les signes).
11. Écrire l’équation électrique et l’équation mécanique.
12. Éliminer $i$ et montrer que $\underline v = \dfrac{B\ell\,\underline u}{(R + jL\omega)(jm\omega + h + k/j\omega) + B^2\ell^2}$ .
13. Aux fréquences où $L\omega \ll R$ , montrer que le couplage agit comme un amortissement mécanique supplémentaire $B^2\ell^2/R$ ; sa valeur ; fréquence de résonance de la membrane et [facteur de qualité](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/7-regimes-transitoires-premier-et-second-ordre#def-b1-transient-regimes-secondorder) avec et sans l’amortissement électrique.
14. L’amplificateur délivre un courant $i$ d’ [amplitude](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/5-propagation-dun-signal-ondes-progressives-et-stationnaires#def-b1-wave-propagation-signal) $1.0\,\mathrm{A}$ à $1\,\mathrm{kHz}$ : force, accélération, élongation et vitesse de la membrane en [amplitude](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/5-propagation-dun-signal-ondes-progressives-et-stationnaires#def-b1-wave-propagation-signal) (régime contrôlé par la masse) ; [amplitude](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/5-propagation-dun-signal-ondes-progressives-et-stationnaires#def-b1-wave-propagation-signal) de la f.c.é.m. comparée à $Ri$ .
15. Même courant à la fréquence de résonance : [amplitude](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/5-propagation-dun-signal-ondes-progressives-et-stationnaires#def-b1-wave-propagation-signal) de la vitesse (régime contrôlé par l’amortissement) et f.c.é.m. ; commenter.
16. [Puissance électrique](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/6-circuits-en-courant-continu-lois-de-kirchhoff-et-theoremes#thm-b1-dc-circuits-kirchhoff) à $1\,\mathrm{kHz}$ ; puissance mécanique dissipée dans $h$ (assimilée au son et aux pertes de la suspension) ; [rendement](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/24-moteurs-et-machines-thermiques#def-b1-heat-engines-efficiency) .
17. Pourquoi le fait que la pression acoustique soit proportionnelle à l’accélération de la membrane (on l’admettra) explique-t-il qu’une membrane contrôlée par sa masse donne une réponse plate au-dessus de la résonance ?
18. Pourquoi le champ doit-il être radial, et pourquoi un tweeter est-il petit ?
19. Esquisser le module de l’ [impédance](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/8-regime-sinusoidal-force-et-impedance#def-b1-sinusoidal-impedance-impedance) $\underline u/\underline i$ vue par l’amplificateur de $10\,\mathrm{Hz}$ à $10\,\mathrm{kHz}$ : valeur à basse fréquence, à la résonance (en utilisant la vitesse contrôlée par l’amortissement), et à $10\,\mathrm{kHz}$ .

**Partie III — À l’envers, et les comptes.**

20. Le même appareil en microphone : un son fait bouger la membrane à $v = 1.0\,\mathrm{mm}/\mathrm{s}$ ; tension en circuit ouvert.
21. Chargé par $R_L = 600\,\Omega$ : courant, et force de freinage sur la membrane ; montrer que le microphone prélève de la puissance au son par un amortissement effectif $B^2\ell^2/(R + R_L)$ .
22. La bobine est enroulée sur un cylindre d’aluminium (la carcasse), une spire fermée de longueur $0.10\,\mathrm{m}$ et de résistance $1.0\,\mathrm{m}\Omega$ : amortissement qu’elle ajoute ; pourquoi les carcasses sont fendues.
23. On frappe la membrane d’un haut-parleur dont les bornes sont laissées ouvertes, puis celle d’un haut-parleur dont les bornes sont court-circuitées : lequel résonne le plus longtemps, et pourquoi ?
24. Écrire le bilan énergétique du haut-parleur sur une période en régime établi, en nommant chaque terme.
25. Récapituler : pour chaque appareil, la loi employée et les deux nombres à retenir.

**Solution de Problème 29.1.**

**1.** $\Phi = NBS\cos\omega t$, $e = NBS\omega\sin\omega t$ ; $NBS = 300 \times
0.3 \times 3 \times 10^{-4} = 0.027\,\mathrm{Wb}$ ; $\omega = v/r = 5/0.01 = 500\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ : [amplitude](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/5-propagation-dun-signal-ondes-progressives-et-stationnaires#def-b1-wave-propagation-signal) $13.5\,\mathrm{V}$, fréquence $\omega/2\pi = 80\,\mathrm{Hz}$.

**2.** $I_{\text{eff}} = 13.5/\sqrt2/16 = 0.60\,\mathrm{A}$ ; lampe $RI^2 = 4.3\,\mathrm{W}$ sous $7.2\,\mathrm{V}$ : une lampe $6\,\mathrm{V}$, $3\,\mathrm{W}$ est surchargée et ne durera pas.

**3.** Mécanique $=$ électrique : $(R + r_c)I_{\text{eff}}^2 = 16 \times 0.36 =
5.7\,\mathrm{W}$ ; $F = P/v = 5.7/5 = 1.1\,\mathrm{N}$ — la moitié du frottement de roulement ; le cycliste le sent.

**4.** Le couple de Laplace du courant induit s’oppose à la rotation (Lenz) ; l’énergie de la lampe vient des jambes du cycliste, $5.7\,\mathrm{W}$ de leur part.

**5.** $\underline Z = R + r_c + jL\omega$ ; $I = NBS\omega/\sqrt{(R + r_c)^2 + L^2\omega^2}$ ; pour $L\omega \gg R + r_c$, $I \to NBS/L = 0.027/0.02 = 1.35\,\mathrm{A}$. À $70\%$ : $L\omega
= 0.7(R + r_c)/\sqrt{1 - 0.49} = 15.7$, $\omega = 784\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$, $v = 7.8\,\mathrm{m}/\mathrm{s}
= 28\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$.

**6.** Sans $L$ : $e_{\max} = 3 \times 13.5 = 40.5\,\mathrm{V}$, $I_{\text{eff}} =
1.8\,\mathrm{A}$, $39\,\mathrm{W}$ dans la lampe — elle grille. Avec $L$ : $I = 40.5/\sqrt{256 +
900} = 1.2\,\mathrm{A}$ en crête, $8.5\,\mathrm{W}$ : chaud, mais dix fois moins.

**7.** À $9\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ : $e_{\max} = 6.75$, $|Z| = \sqrt{256 + 25} = 16.8$, $I = 0.40$, $P = \tfrac12 \times 0.16 \times 12 = 1.0\,\mathrm{W}$ : faible. À $36\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ : $e_{\max} = 27$, $|Z| = 25.6$, $I = 1.05$, $P = 6.6\,\mathrm{W}$. Quatre fois la vitesse, $2.6$ fois le courant : l’inductance régule.

**8.** Seul le [mouvement relatif](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/18-referentiels-non-galileens-dynamique-terrestre#def-b1-non-inertial-frames-frames) compte : le flux à travers la bobine fixe varie de la même façon, même f.é.m. Aucun contact glissant (balai) n’est alors nécessaire pour extraire le courant d’une bobine tournante.

**9.** Sans mouvement, pas de variation de flux, pas de lumière — d’où le [condensateur](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/27-potentiel-electrique-conducteurs-et-condensateurs#def-b1-potential-capacitors-capacitance) ou la petite batterie que l’on charge en roulant (l’éclairage permanent).

**10.** Chaque élément de fil est perpendiculaire au $\vect B$ radial : $F = B\ell i$, axiale. En se déplaçant à $v$, chaque élément voit $\vect v\wedge\vect B$ selon le fil : $e = -B\ell v$, opposée au courant qui produit le mouvement (en [convention récepteur](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/6-circuits-en-courant-continu-lois-de-kirchhoff-et-theoremes#thm-b1-dc-circuits-kirchhoff), une tension $B\ell v$).

**11.** $u = Ri + L\,\dd i/\dd t + B\ell v$ ; $m\,\dd v/\dd t = -kx - hv + B\ell i$.

**12.** $\underline i = (\underline u - B\ell\underline v)/(R + jL\omega)$ ; $\underline v\,(jm\omega + h +
k/j\omega) = B\ell\,\underline i$ ; on substitue et l’on résout en $\underline v$.

**13.** $i \approx (u - B\ell v)/R$ donne $m\dot v + (h + B^2\ell^2/R)v + kx =
B\ell u/R$ : amortissement supplémentaire $25/8 = 3.1\,\mathrm{N}\,\mathrm{s}/\mathrm{m}$. $f_0 = \tfrac1{2\pi}\sqrt{k/m} =
50\,\mathrm{Hz}$ ; $Q = \sqrt{km}/h_{\text{tot}}$ : $3.2$ en circuit ouvert, $0.77$ avec l’amplificateur.

**14.** $F = 5.0\,\mathrm{N}$, $a = F/m = 500\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$, $x = a/\omega^2 =
13\,\text{µ}\mathrm{m}$, $v = a/\omega = 0.080\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $B\ell v = 0.40\,\mathrm{V}$ contre $Ri = 8\,\mathrm{V}$ : $5\%$.

**15.** À courant imposé, $v = F/h = 5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ (une [amplitude](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/5-propagation-dun-signal-ondes-progressives-et-stationnaires#def-b1-wave-propagation-signal) de $16\,\mathrm{mm}$ — une belle excursion pour $1\,\mathrm{A}$) ; $B\ell v =
25\,\mathrm{V}$, trois fois $Ri$ : l’amplificateur doit fournir $33\,\mathrm{V}$ pour imposer $1\,\mathrm{A}$ à la résonance — c’est le pic d’[impédance](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/8-regime-sinusoidal-force-et-impedance#def-b1-sinusoidal-impedance-impedance). Un amplificateur en [source de tension](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/6-circuits-en-courant-continu-lois-de-kirchhoff-et-theoremes#def-b1-dc-circuits-sources) laisserait au contraire l’amortissement électrique tenir la membrane.

**16.** $\tfrac12RI^2 = 4.0\,\mathrm{W}$ ; $\tfrac12hv^2 = \tfrac12 \times 0.0064 =
3.2\,\mathrm{mW}$ : [rendement](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/24-moteurs-et-machines-thermiques#def-b1-heat-engines-efficiency) $0.08\%$ — les haut-parleurs sont des radiateurs qui chuchotent.

**17.** Au-dessus de la résonance, $a = F/m = B\ell i/m$ ne dépend pas de la fréquence à courant donné, de sorte que la pression, $\propto a$, est plate : la bande contrôlée par la masse est la bande utile.

**18.** Champ radial : la force est axiale et la même quelle que soit la position de la bobine dans l’entrefer. Un tweeter doit rester contrôlé par sa masse jusqu’à $20\,\mathrm{kHz}$ avec une excursion minuscule : bobine et membrane légères ; et une petite membrane rayonne les aigus dans toutes les directions.

**19.** À basse fréquence, $v$ est petite et $|Z| \approx R = 8\,\Omega$ ; à $50\,\mathrm{Hz}$ : $u = Ri + B\ell v$ avec $v = B\ell i/h$ : $Z = R + B^2\ell^2/h = 8 + 25 =
33\,\Omega$ ; à $10\,\mathrm{kHz}$ : $|R + jL\omega| = |8 + 31j| = 32\,\Omega$. Un pic à la résonance, un plancher plat à $8\,\Omega$, une remontée en $L\omega$.

**20.** $e = B\ell v = 5 \times 10^{-3} = 5\,\mathrm{mV}$.

**21.** $i = 5 \times 10^{-3}/608 = 8.2\,\text{µ}\mathrm{A}$ ; $F = B\ell i = 41\,\text{µ}\mathrm{N}$, opposée à $v$ : $F = [B^2\ell^2/(R + R_L)]\,v$, soit un amortissement de $0.041\,\mathrm{N}\,\mathrm{s}/\mathrm{m}$ ; la puissance $Fv = 4 \times 10^{-8}\,\mathrm{W}$ est prélevée au son et finit dans les deux résistances.

**22.** Carcasse : $B^2\ell_f^2/R_f = 1 \times 0.01/10^{-3} = 10\,\mathrm{N}\,\mathrm{s}/\mathrm{m}$, dix fois $h$ : elle éteindrait la membrane et gaspillerait la puissance en chaleur ; une fente brise la spire fermée.

**23.** Bornes ouvertes : seul $h$ amortit, $Q = 3.2$, elle résonne. Bornes court-circuitées : la f.c.é.m. fait passer un courant dans $R$, l’amortissement $B^2\ell^2/R$ s’ajoute, $Q = 0.77$ : elle s’arrête aussitôt. (À essayer.)

**24.** Sur une période, les énergies stockées reprennent leurs valeurs : $\langle ui\rangle = \langle Ri^2\rangle + \langle hv^2\rangle$ — entrée électrique $=$ chaleur Joule dans la bobine $+$ pertes mécaniques (son rayonné et frottement de la suspension) ; le terme de couplage $B\ell iv$ figure dans les deux équations avec des signes opposés et se compense.

**25.** Dynamo : Faraday sur une bobine tournante — $13.5\,\mathrm{V}$ à $18\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$, courant plafonné à $1.35\,\mathrm{A}$ par sa propre inductance. Haut-parleur : [force de Laplace](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/28-magnetostatique-champ-forces-et-dipoles#thm-b1-magnetostatics-laplace) et f.c.é.m. — $3.1\,\mathrm{N}\,\mathrm{s}/\mathrm{m}$ d’amortissement électrique, $0.08\%$ de [rendement](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/24-moteurs-et-machines-thermiques#def-b1-heat-engines-efficiency). Microphone : la même bobine à l’envers — $5\,\mathrm{mV}$ par millimètre par seconde.